ca 003-2006

2006 3-1 ufpr/tc405

3 3AES, SOLICITAES E RESISTNCIAS1

3.1 Tipos de aes Na anlise estrutural deve ser considerada a influncia de todas as aes que possam

produzir efeitos significativos para a segurana da estrutura em exame, levando-se em conta os possveis estados limites ltimos e os de servio.

As aes a considerar classificam-se de acordo com a ABNT NBR 8681 em: permanentes; variveis; e excepcionais.

3.1.1 Aes permanentes Aes permanentes so as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda

a vida da construo. Tambm so consideradas como permanentes as aes que crescem no tempo, tendendo a um valor limite constante. As aes permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavorveis para a segurana.

As aes permanentes so constitudas pelas: aes permanentes diretas; e aes permanentes indiretas.

3.1.1.1 Aes permanentes diretas As aes permanentes diretas so constitudas pelos: peso prprio da estrutura; pesos dos elementos construtivos fixos e das instalaes permanentes; e empuxos permanentes.

3.1.1.1.1 Peso prprio da estrutura Nas construes correntes admite-se que o peso prprio da estrutura seja avaliado

considerando a massa especifica do material conforme estabelecido em [1.4.2].

3.1.1.1.2 Peso dos elementos construtivos fixos e das instalaes permanentes As massas especficas dos materiais de construo correntes podem ser avaliadas com

base nos valores indicados na ABNT NBR 6120. Os pesos das instalaes permanentes so considerados com os valores nominais indicados pelos respectivos fornecedores.

3.1.1.1.3 Empuxos permanentes Consideram-se como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos

quando forem admitidos no removveis. Como representativos devem ser considerados os valores caractersticos Fk,sup ou Fk,inf

conforme a ABNT NBR 8681.

3.1.1.2 Aes permanentes indiretas As aes permanentes indiretas so constitudas pelas deformaes impostas por: retrao; fluncia; deslocamentos de apoio; e imperfeies geomtricas.

1 O texto relativo a este captulo , basicamente, uma cpia dos captulos 11 e 12 da ABNT NBR 6118.

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3.1.1.2.1 Retrao do concreto A deformao especfica de retrao do concreto deve ser calculada conforme indica o

Anexo A da ABNT NBR 6118. Na grande maioria dos casos, permite-se que ela seja calculada simplificadamente atravs

da Tabela [1.2], por interpolao. Essa tabela fornece o valor caracterstico superior da deformao especfica de retrao entre os instantes t0 e t, cs(t,t0), em algumas situaes usuais.

Nos casos correntes das obras de concreto armado, em funo da restrio retrao do concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mnimo especificado na ABNT NBR 6118, o valor de cs(t,t0) pode ser adotado igual a

)10(-1515,0)t,t( -50cs = Equao 3.1

Esse valor admite elementos estruturais de dimenses usuais, entre 10 cm e 100 cm sujeitos a umidade ambiental no inferior a 75%.

O valor caracterstico inferior da retrao do concreto considerado nulo. Nos elementos estruturais permanentes submetidos a diferentes condies de umidade em

faces opostas, admite-se variao linear da retrao ao longo da espessura do elemento estrutural entre os dois valores correspondentes a cada uma das faces.

3.1.1.2.2 Fluncia do concreto As deformaes decorrentes da fluncia do concreto devem ser calculadas conforme indica

o Anexo A da ABNT NBR 618. Nos casos em que a tenso c(t0) no varia significativamente, permite-se que essas

deformaes sejam calculadas simplificadamente pela expresso:

+= )28(E

)t,t()t(E

1)t( )t,t(ci

0

0ci0c0c Equao 3.2

onde: c(t,t0) a deformao especfica total do concreto entre os instantes t0 e t; c(t0) a tenso no concreto devida ao carregamento aplicado em t0; (t,t0) o limite para o qual tende o coeficiente de fluncia provocado por carregamento

aplicado em t0; Eci(t0) o mdulo de elasticidade inicial do concreto no instante t0; e Eci(28) o mdulo de elasticidade inicial do concreto aos 28 dias. O valor de (t,t0) pode ser calculado por interpolao da Tabela [1.2]. Essa Tabela fornece

o valor caracterstico superior de (t,t0) em algumas situaes usuais. O valor caracterstico inferior de (t,t0) considerado nulo.

3.1.1.2.3 Deslocamentos de apoio Os deslocamentos de apoio s devem ser considerados quando gerarem esforos

significativos em relao ao conjunto das outras aes, isto , quando a estrutura for hiperesttica e muito rgida.

O deslocamento de cada apoio deve ser avaliado em funo das caractersticas fsicas do correspondente material de fundao. Como representativo desses deslocamentos, devem ser considerados os valores caractersticos superiores, k,sup, calculados com avaliao pessimista da rigidez do material de fundao, correspondente, em princpio, ao quantil de 5% da respectiva distribuio de probabilidade.

Os valores caractersticos inferiores podem ser considerados nulos. O conjunto desses deslocamentos constitui-se numa nica ao, admitindo-se que todos

eles sejam majorados pelo mesmo coeficiente de ponderao. 3.1.1.2.4 Imperfeies geomtricas

Na verificao do estado limite ltimo das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeies geomtricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeies podem ser divididas em dois grupos:

2006 3-3 ufpr/tc405

imperfeies globais; e imperfeies locais.

3.1.2 Aes variveis As aes variveis so constitudas pelas: aes variveis diretas; e aes variveis indiretas.

3.1.2.1 Aes variveis diretas As aes variveis diretas so constitudas pelas: cargas acidentais1 previstas para o uso da construo; e ao do vento e da chuva. Todas as aes devem respeitar as prescries feitas por Normas Brasileiras especficas.

3.1.2.1.1 Cargas acidentais previstas para o uso da construo As cargas acidentais correspondem normalmente a: cargas verticais de uso da construo; cargas mveis, considerando o impacto vertical; impacto lateral; fora longitudinal de frenao ou acelerao; e fora centrfuga. Essas cargas devem ser dispostas nas posies mais desfavorveis para o elemento

estudado, ressalvadas as simplificaes permitidas por Normas Brasileiras especficas.

3.1.2.1.2 Ao do vento Os esforos devidos ao do vento devem ser considerados e recomenda-se que sejam

determinados de acordo com o prescrito pela ABNT NBR 6123, permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras especficas.

3.1.2.1.3 Ao da gua O nvel d'gua, ou de outro lquido, adotado para clculo de reservatrios, tanques,

decantadores e outros deve ser igual ao mximo possvel compatvel com o sistema de extravaso, considerando apenas o coeficiente f = f3 =1,2 (ver 3.5 e 3.6). Nas estruturas em que a gua de chuva possa ficar retida deve ser considerada a presena de uma lmina de gua correspondente ao nvel da drenagem efetivamente garantida pela construo.

3.1.2.1.4 Aes variveis durante a construo As estruturas em que todas as fases construtivas no tenham sua segurana garantida pela

verificao da obra pronta, devem ter, includas no projeto, as verificaes das fases construtivas mais significativas e sua influncia na fase final.

A verificao de cada uma dessas fases deve ser feita considerando a parte da estrutura j executada e as estruturas provisrias auxiliares com os respectivos pesos prprios. Alm disso devem ser consideradas as cargas acidentais de execuo.

3.1.2.2 Aes variveis indiretas As aes variveis indiretas so constitudas pelas: variaes uniformes de temperatura; e variaes no uniformes de temperatura.

3.1.2.2.1 Variaes uniformes de temperatura A variao da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variao da temperatura

da atmosfera e pela insolao direta, considerada uniforme. Ela depende do local de implantao da construo e das dimenses dos elementos estruturais que a compem.

1 O termo "cargas acidentais", embora bastante consagrado na engenharia brasileira de estruturas, no representa

carregamento que provoque acidente, mas corresponde, apenas e to somente, as "cargas no permanentes". Nos paises de lngua inglesa, cargas acidentais (no permanentes) so definidas como "live loads" e cargas permanentes como "dead loads".

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De maneira genrica podem ser adotados os seguintes valores: para elementos estruturais cuja menor dimenso no seja superior a 50 cm, deve ser

considerada uma oscilao de temperatura em torno da mdia de 10C a 15C; para elementos estruturais macios ou ocos com os espaos vazios inteiramente

fechados, cuja menor dimenso seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilao seja reduzida respectivamente para 5C a 10C; e

para elementos estruturais cuja menor dimenso esteja entre 50 cm e 70 cm admite-se que seja feita uma interpolao linear entre os valores acima indicados.

A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da diferena entre as temperaturas mdias de vero e inverno, no local da obra.

Em edifcios de vrios andares devem ser respeitadas as exigncias construtivas prescritas pela ABNT NBR 6118 para que sejam minimizados os efeitos das variaes de temperatura sobre a estrutura da construo.

3.1.2.2.2 Variaes no uniformes de temperatura Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuio significativamente

diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuio. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variao linear entre os valores de temperatura adotados, desde que a variao de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura no seja inferior a 5C.

3.1.3 Aes dinmicas Quando a estrutura, pelas suas condies de uso, est sujeita a choques ou vibraes, os

respectivos efeitos devem ser considerados na determinao das solicitaes e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos elementos estruturais de acordo com a seo 23 da ABNT NBR 6118.

3.1.4 Aes excepcionais No projeto de estruturas sujeitas a situaes excepcionais de carregamento, cujos efeitos

no possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas aes excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por Normas Brasileiras especficas.

3.2 Tipos de estruturas Segundo a ABNT NBR 8681, as estruturas so classificadas como: grandes pontes; edificaes tipo 1; e edificaes tipo 2.

3.2.1 Grandes pontes Grandes pontes so aquelas em que o peso prprio da estrutura supera 75% da totalidade

das aes permanentes.

3.2.2 Edificaes tipo 1 Edificaes tipo 1 so aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2.

3.2.3 Edificaes tipo 2 Edificaes tipo 2 so aquelas onde as cargas acidentais no superam 5 kN/m2.

3.3 Valores das aes 3.3.1 Valores caractersticos

Os valores caractersticos Fk das aes so estabelecido em funo da variabilidade de suas intensidades.

3.3.1.1 Aes permanentes Para as aes permanentes, os valores caractersticos devem ser adotados iguais aos

valores mdios das respectivas distribuies de probabilidade, sejam valores caractersticos

2006 3-5 ufpr/tc405

superiores ou inferiores. Esses valores esto definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas Brasileiras especficas, como a ABNT NBR 6120.

Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para peso especfico de materiais de construo, correspondem a:

blocos de argamassa ................................................................................................. 22 kN/m3 lajotas cermicas ....................................................................................................... 18 kN/m3 tijolos furados ............................................................................................................. 13 kN/m3 tijolos macios ............................................................................................................ 18 kN/m3 argamassa de cal, cimento e areia ............................................................................ 19 kN/m3 argamassa de cimento e areia ................................................................................... 21 kN/m3 concreto simples ........................................................................................................ 24 kN/m3 concreto armado ........................................................................................................ 25 kN/m3

3.3.1.2 Aes variveis Os valores caractersticos das aes variveis, Fqk estabelecidos por consenso e indicados

em Normas Brasileiras especficas, correspondem a valores que tm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorvel, durante um perodo de 50 anos, o que significa que o valor caracterstico Fqk o valor com perodo mdio de retorno de 200 a 140 anos respectivamente. Esses valores esto definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas Brasileiras especficas, como a ABNT NBR 6120.

Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para valores mnimos de cargas verticais, correspondem a:

ginsios de esportes ................................................................................................. 5,0 kN/m2 lojas ........................................................................................................................... 4,0 kN/m2 restaurantes .............................................................................................................. 3,0 kN/m2 escritrios .................................................................................................................. 2,0 kN/m2 forros ......................................................................................................................... 0,5 kN/m2 edifcios residenciais

dormitrio, sala, copa, cozinha e banheiro ...................................................... 1,5 kN/m2 despensa, rea de servio e lavanderia .......................................................... 2,0 kN/m2

escadas com acesso ao pblico .................................................................................... 3,0 kN/m2 sem acesso ao pblico .................................................................................... 2,5 kN/m2

3.3.2 Valores representativos As aes so quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: valores caractersticos conforme definido em 3.3.1; valores convencionais excepcionais, que so os valores arbitrados para as aes

excepcionais; valores reduzidos, em funo da combinao de aes, tais como:

! verificaes de estados limites ltimos, quando a ao considerada se combina com a ao principal. Os valores reduzidos so determinados a partir dos valores caractersticos pela expresso 0 Fk, que considera muito baixa a probabilidade de ocorrncia simultnea dos valores caractersticos de duas ou mais aes variveis de naturezas diferentes; e

! verificaes de estados limites de servio. Estes valores reduzidos so determinados a partir dos valores caractersticos pelas expresses 1 Fk e 2 Fk, que estimam valores freqentes e quase permanentes, respectivamente, de uma ao que acompanha a ao principal.

3.3.3 Valores de clculo Os valores de clculo Fd das aes so obtidos a partir dos valores representativos,

multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderao f.

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3.4 Tipos de carregamento1 Durante o perodo de vida da construo, podem ocorrer os seguintes tipos de

carregamento: normal; especial; excepcional; ou de construo. Os tipos de carregamento podem ser de longa durao ou transitrios, conforme seu tempo

de durao.

3.4.1 Carregamento normal O carregamento normal decorre do uso previsto para construo. Admite-se que o

carregamento normal possa ter durao igual ao perodo de referncia da estrutura, e sempre deve ser considerado na verificao da segurana, tanto em relao a estados limites ltimos quanto em relao a estados limites de servio.

3.4.2 Carregamento especial Um carregamento especial decorre da atuao de aes variveis de natureza ou

intensidade especiais, cujos efeitos superem em intensidade os efeitos produzidos pelas aes consideradas no carregamento normal. Os carregamentos especiais so transitrios, com durao muito pequena em relao ao perodo de referncia da estrutura. Os carregamentos especiais so em geral considerados apenas na verificao da segurana em relao aos estados limites ltimos, no se observando as exigncias referentes aos estados limites de servio.

3.4.3 Carregamento excepcional Um carregamento excepcional decorre da atuao de aes excepcionais que podem

provocar efeitos catastrficos. Os carregamentos excepcionais somente devem ser considerados no projeto de estrutura de determinados tipos de construo, para os quais a ocorrncia de aes excepcionais no possa ser desprezada e que, alm disso, na concepo estrutural, no possam ser tomadas medidas que anulem ou atenuem a gravidade das conseqncias dos efeitos dessas aes. O carregamento excepcional transitrio, com durao extremamente curta. Com um carregamento do tipo excepcional, considera-se apenas a verificao da segurana em relao a estados limites ltimos, atravs de uma nica combinao ltima excepcional de aes.

3.4.4 Carregamento de construo O carregamento de construo considerado apenas nas estruturas em que haja risco de

ocorrncia de estados limites, j durante a fase de construo. O carregamento de construo transitrio e sua durao deve ser definida em cada caso particular. Devem ser consideradas tantas combinaes de aes quantas sejam necessrias para verificao das condies de segurana em relao a todos os estados limites que so de se temer durante a fase de construo.

3.5 Coeficientes de ponderao das aes 3.5.1 Estado limite ltimo 3.5.1.1 Coeficientes de majorao de aes

Quando se consideram estados limites ltimos, os coeficientes f de ponderao (majorao) das aes podem ser considerados como o produto de dois outros, de tal forma que:

0,13f1ff = Equao 3.3 onde2:

f1 leva em conta a variabilidade das aes; e f3 considera os possveis erros de avaliao dos efeitos das aes, seja por problemas

construtivos, seja por deficincia do mtodo de clculo empregado.

1 O texto relativo a este captulo , basicamente, uma cpia do item 4.3.2 da ABNT NBR 8681. 2 O coeficiente de combinao 0 faz o papel do terceiro coeficiente, que seria indicado por f2.

2006 3-7 ufpr/tc405

O desdobramento do coeficiente de segurana f em coeficientes parciais permite que os valores gerais estabelecidos para f possam ser discriminados em funo de peculiaridades dos diferentes tipos de estruturas e de materiais de construo considerados.

Tendo em vista as diversas aes levadas em conta no projeto, o ndice do coeficiente f pode ser alterado para identificar a ao considerada, resultando os smbolos g, q e , de tal forma que:

==

indiretas) variveis (aesdiretas) variveis (aes

indiretas) spermanente (aesdiretas) spermanente (aes

q

q

g

g

3f1ff Equao 3.4

Os coeficientes de ponderao para combinaes ltimas g, g, q e q so apresentados, em forma de tabelas, na ABNT NBR 8681, considerando:

aes permanentes diretas consideradas separadamente (Tabela 1); aes permanentes diretas agrupadas (Tabela 2); efeitos de recalques de apoio e de retrao dos materiais (Tabela 3); aes variveis consideradas separadamente (Tabela 4); e aes variveis consideradas conjuntamente (Tabela 5). A ABNT NBR 6118 procura sintetizar, na sua Tabela 11.1, os valores mais usados

apresentados nas Tabelas 1 a 5 de ABNT NBR 8681. Por se tratar de uma tabela incompleta (no leva em conta os tipos de estrutura, no diferencia aes consideradas separadamente de aes agrupadas, no apresenta coeficientes para efeitos de temperatura, etc.) recomenda-se, sempre, o uso das tabelas da ABNT NBR 8681.

Quando as aes permanentes diretas so agrupadas (Tabela 1 da ABNT NBR 8681) e as aes variveis so consideradas conjuntamente (Tabela 5 da ABNT NBR 8681), os valores de g, g, q e q assumem os valores apresentados na Tabela 3.11, Tabela 3.2 e Tabela 3.3.

Grandes pontes

Aes

Permanentes Variveis

Diretas (g) Indiretas (g) Diretas (q) Indiretas (q) Combinaes de

aes

D F D F D F D F

Normais

1,3 1,0 1,2 0,0 1,5 0,0 1,2 0,0

Especiais ou de

construo 1,2 1,0 1,2 0,0 1,3 0,0 1,0 0,0

Excepcionais

1,1 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0

D desfavorvel F favorvel

Tabela 3.1 - ELU - Coeficientes f Grandes pontes - Aes permanentes diretas agrupadas e aes variveis consideradas conjuntamente

1 A Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3 foram construdas com base na afirmao contida no rodap da Tabela 5 da

ABNT NBR 8681: Quando as aes variveis forem consideradas conjuntamente, o coeficiente de ponderao mostrado na

tabela 5 se aplica a todas as aes, devendo-se considerar tambm conjuntamente as aes permanentes diretas. Nesse caso permite-se considerar separadamente as aes indiretas como recalque de apoio e retrao dos materiais conforme tabela 3 e o efeito de temperatura conforme tabela 4.

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Edificaes tipo 1 e pontes em geral

Aes



aes

D F D F D F D F

Normais

1,35 1,0 1,2 0,0 1,5 0,0 1,2 0,0

Especiais ou de

construo 1,25 1,0 1,2 0,0 1,3 0,0 1,0 0,0

Excepcionais

1,15 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0


Tabela 3.2 - ELU - Coeficientes f Edificaes tipo 1 e pontes em geral - Aes permanentes diretas agrupadas e aes variveis consideradas conjuntamente

Edificaes tipo 2

Aes



aes

D F D F D F D F

Normais

1,4 1,0 1,2 0,0 1,4 0,0 1,2 0,0

Especiais ou de

construo 1,3 1,0 1,2 0,0 1,2 0,0 1,0 0,0

Excepcionais

1,2 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0


Tabela 3.3 - ELU - Coeficientes f Edificaes tipo 2 - Aes permanentes diretas agrupadas e aes variveis consideradas conjuntamente

O valor do coeficiente de ponderao, de cargas permanentes de mesma origem, num dado carregamento, deve ser o mesmo ao longo de toda estrutura. A nica exceo o caso da verificao da estabilidade como corpo rgido.

O valor do coeficiente de ponderao, para aes variveis direta decorrentes de empuxos d'gua, ou de outro lquido, adotado para clculo de reservatrios, tanques, decantadores e outros deve ser considerando como sendo 1,1 (ver 3.1.2.1.3).

3.5.1.2 Pilares com dimenso inferior a 20 cm Em casos especiais, permite-se a considerao de pilares ou pilares-parede com dimenses

entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem as aes a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional (coeficiente de ajustamento) n apresentado na Tabela 3.4. Em qualquer caso no se permite pilar com seo transversal inferior a 360 cm2.

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b (cm) 19 18 17 16 15 14 13 12

n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 onde:

n = 1,95 0,05b (b em cm) b a menor dimenso da seo transversal da parede ou pilar.

nota: o coeficiente n deve majorar os esforos solicitantes finais de clculo nos pilares, quando de seu dimensionamento.

Tabela 3.4 - Coeficiente n - ELU

3.5.1.3 Fatores de combinao de aes A considerao da simultaneidade das aes variveis expressa pelo fator 0 da

ABNT NBR 8681 e esto, resumidamente, apresentados na Tabela 3.5. O fator 0 pode ser representado por:

0,102ff == Equao 3.5

Aes 0

Edificaes residenciais, de acesso restrito 0,5

Edificaes comerciais, de escritrios e de acesso pblico 0,7 Cargas acidentais de edifcios

Bibliotecas, arquivos, depsitos, oficinas e garagens 0,8

Vento Presso dinmica do vento nas estruturas em geral 0,6

Temperatura Variaes uniformes de temperatura em relao mdia anual local 0,6

Passarelas de pedestre 0,6

Pontes rodovirias 0,7

Pontes ferrovirias no especializadas 0,8

Pontes ferrovirias especializadas 1,0

Passarelas e pontes

Vigas de rolamento de pontes rolantes 1,0

Tabela 3.5 - Coeficiente f2 ELU

3.5.2 Estado limite de servio O coeficiente de ponderao das aes para estados limites de servio dado pela

Equao 3.6 e tem valor varivel conforme a verificao que se deseja fazer (Tabela 3.6).

2ff = Equao 3.6 onde:

f2 = 1,0 para combinaes raras; f2 = 1 para combinaes freqentes; e f2 = 2 para combinaes quase permanentes.

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Aes 1 21), 2)

Edificaes residenciais, de acesso restrito 0,4 0,3

Edificaes comerciais, de escritrios e de acesso pblico 0,6 0,4 Cargas acidentais de edifcios

Bibliotecas, arquivos, depsitos, oficinas e garagens 0,7 0,6

Vento Presso dinmica do vento nas estruturas em geral 0,3 0,0

Temperatura Variaes uniformes de temperatura em relao mdia anual local 0,5 0,3

Passarelas de pedestre 0,4 0,3

Pontes rodovirias 0,5 0,3

Pontes ferrovirias no especializadas 0,7 0,5

Pontes ferrovirias especializadas 1,0 0,6

Passarelas e pontes

Vigas de rolamento de pontes rolantes 0,8 0,5 1) Para combinaes excepcionais onde a ao principal for sismo, admite-se adotar para 2 o valor zero. 2) Para combinaes excepcionais onde a ao principal for o fogo, o fator de reduo 2 pode ser reduzido,

multiplicando-o por 0,7.

Tabela 3.6 - Coeficiente f2 - ELS

3.6 Combinaes de aes Um carregamento definido pela combinao das aes que tm probabilidades no

desprezveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um perodo pr-estabelecido.

A combinao das aes deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos mais desfavorveis para a estrutura. A verificao da segurana em relao aos estados limites ltimos e aos estados limites de servio deve ser realizada em funo de combinaes ltimas e combinaes de servio, respectivamente.

3.6.1 Combinaes ltimas Uma combinao ltima pode ser classificada em: normal; especial ou de construo; e excepcional.

3.6.1.1 Combinaes ltimas normais Em cada combinao devem estar includas as aes permanentes e a ao varivel

principal, com seus valores caractersticos e as demais aes variveis, consideradas como secundrias, com seus valores reduzidos de combinao, conforme ABNT NBR 8681.

De modo geral, as combinaes ltimas usuais de aes devero considerar: o esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto

armado; e a perda de equilbrio como corpo rgido

3.6.1.1.1 Esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais A equao para o clculo de solicitaes considerando o possvel esgotamento da

capacidade resistente de elementos estruturais de concreto armado pode ser representada por:

qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF ++++= Equao 3.7

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onde: Fd o valor de clculo das aes para combinao ltima. Fgk representa as aes permanentes diretas (valor caracterstico):

peso prprio da estrutura; peso dos elementos construtivos fixos das instalaes permanentes; e empuxos permanentes.

Fgk representa as aes permanentes indiretas (valor caracterstico): retrao do concreto; fluncia do concreto; deslocamentos de apoio; e imperfeies geomtricas.

Fq1k representa a ao varivel direta considerada como principal (valor caracterstico). Fqjk representa as aes variveis diretas das quais Fq1k escolhida principal (valor

caracterstico): cargas acidentais; ao do vento; e ao da gua.

Fqk representa as aes variveis indiretas (valor caracterstico): variaes uniformes de temperatura; e variaes no uniformes de temperatura.

g representa o coeficiente de ponderao para aes permanentes diretas: Grandes pontes (Tabela 3.1): 1,3 para combinao desfavorvel; e 1,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 1,35 para combinao desfavorvel; e 1,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 2 (Tabela 3.3): 1,4 para combinao desfavorvel; e 1,0 para combinao favorvel.

g representa o coeficiente de ponderao para aes permanentes indiretas (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 1,2 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel.

q representa o coeficiente de ponderao para aes variveis diretas: Grandes pontes (Tabela 3.1): 1,5 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 1,5 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 2 (Tabela 3.3): 1,4 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel.

q representa o coeficiente de ponderao para aes variveis indiretas (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 1,2 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel.

0j representa o fator de reduo de combinao para aes variveis diretas (Tabela 3.5): 0,5 para cargas acidentais de edifcios residenciais; 0,7 para cargas acidentais de edifcios comerciais ou de escritrios; 0,8 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 0,6 para o vento.

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0 representa o fator de reduo de combinao para aes variveis indiretas (Tabela 3.5): 0,6 para variaes uniformes de temperatura.

No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinaes onde o efeito favorvel das cargas permanentes seja reduzido pela considerao de g = 1,0. No caso de estruturas usuais de edifcios essas combinaes que consideram g reduzido (1,0) no precisam ser consideradas.

Deve ser observado que a Equao 3.7 no considera a ao varivel indireta (temperatura) como possvel de ser a ao principal dentre as aes variveis (diretas ou indiretas). Caso os efeitos de temperatura (Fqk) venham a se constituir em fator altamente significativo para a determinao dos esforos em estruturas, constituindo-se numa possvel ao varivel principal, a seguinte equao deve tambm ser verificada:

qkqqjkj0qgkggkgd FFFFF +++= Equao 3.8 3.6.1.1.2 Cargas de Fundaes

A capacidade de carga1 de fundaes superficiais (sapatas) ou de fundaes profundas (estacas ou tubules), de modo geral, so definidas por tenses admissveis (fundaes superficiais) ou cargas admissveis (fundaes profundas). Essas tenses ou cargas admissveis incluem coeficientes (fatores) de segurana que minoram as resistncias dos elementos de fundao. Segundo a Tabela 1 da ABNT NBR 6122, os fatores de segurana globais mnimos correspondem a:

capacidade de carga de fundaes superficiais ................................................................. 3,0 capacidade de carga de estacas ou tubules sem prova de carga .................................... 2,0 capacidade de carga de estacas ou tubules com prova de carga .................................... 1,6 Os valores das solicitaes correspondentes s reaes de apoio a serem suportadas por

elementos de fundao, decorrentes das combinaes de aes estabelecidas pela Equao 3.7 (estado limite ltimo), consideram coeficientes de ponderao (majorao) variveis de acordo com a natureza das aes.

Se as reaes de apoio a serem suportadas por elementos de fundao, definidas pela Equao 3.7 do estado limite ltimo, forem usadas diretamente nos projetos de fundaes superficiais ou profundas, baseados no critrio das tenses ou cargas admissveis, haver um confronto de critrios de segurana, pois:

o critrio do estado limite ltimo usa coeficientes de segurana diferenciados tanto para as solicitaes (aes) como para as resistncias dos materiais; e

o critrio das tenses ou cargas admissveis usa um nico coeficiente de segurana global envolvendo tanto as solicitaes (aes) com as resistncias dos materiais.

Portanto, para que no ocorra confronto entre critrios de segurana, a aplicao do critrio das tenses ou cargas admissveis nas fundaes superficiais ou profundas implica na necessidade das solicitaes resultantes das combinaes de aes atuantes na estrutura serem consideradas sem coeficientes de ponderao (majorao).

Por outro lado, a probabilidade de ocorrncia simultnea de diferentes aes variveis (cargas acidentais, vento, temperatura, etc.), representada pelo coeficiente 0, deve ser considerada.

Desta forma, a equao para a definio das reaes de apoio a serem suportadas por elementos de fundao superficiais ou profundas, que empregam fator se segurana global (tenses ou cargas admissveis), corresponde a:

qk0qjkj0k1qgkgkfund,d F)FF(FFF ++++= Equao 3.9

1 A ABNT NBR 6122 estabelece dois modos de verificao de segurana. O clculo empregando fator de segurana

global (tenses e cargas admissveis) e o clculo empregando-se fatores de segurana parciais (estado limite ltimo). O primeiro quase que o nico utilizado.

2006 3-13 ufpr/tc405

A Figura 3.1 mostra as solicitaes decorrentes das diversas combinaes de aes, a serem usadas na verificao da capacidade do terreno de fundao superficial (sapata). A fora normal Nz, sendo de compresso, tem o sentido indicado na Figura. Os momentos fletores Mx e My, bem como as foras horizontais Hx e Hy dependem das combinaes das aes (direo do vento, por exemplo) e podem assumir tanto valores positivos como negativos.

Figura 3.1 Solicitaes em sapatas de concreto armado Deve-se tomar muito cuidado com a manipulao da Equao 3.7 e da Equao 3.9. No

caso especfico da Figura 3.1, a Equao 3.7 deve ser usada para o dimensionamento da sapata de concreto armado, ao passo que a Equao 3.9 seria a usada para a verificao da capacidade do terreno de fundao.

Exemplo 3.1: Definir a equao de clculo das aes para a combinao ltima normal (Fd) de estruturas de edifcios comerciais onde os carregamentos so resultantes de combinaes que s levam em considerao as aes permanentes diretas (peso prprio da estrutura, paredes, caixa d'gua, etc.) e aes variveis diretas (cargas acidentais e vento). Considerar o esgotamento da capacidade resistente de edificaes tipo 2 para:

- carregamentos gerais desfavorveis; e - efeito favorvel das cargas permanentes. Estabelecer, tambm, as equaes de clculo a serem usadas em projeto de

fundao. Soluo: Para a combinao ltima normal, devero ser usados, para a Equao 3.7, os

valores da Tabela 3.3 e da Tabela 3.5. Para o projeto de fundaes diretas, dever ser usada a Equao 3.9.

Fgk: Gk (valor caracterstico da ao permanente direta) Fqk,acid: Qk (valor caracterstico da ao varivel direta carga acidental) Fqk,vento: Wk (valor caracterstico da ao varivel direta vento) g: 1,4 (combinao normal, ao permanente direta desfavorvel) 1,0 (combinao normal, ao permanente direta favorvel) q: 1,4 (combinao normal, ao varivel direta desfavorvel geral) 0,0 (combinao normal, ao varivel direta favorvel) 0: 0,7 (carga acidental de edifcio comercial - desfavorvel) 0,0 (carga acidental de edifcio comercial - favorvel) 0: 0,6 (vento - desfavorvel) 0,0 (vento - favorvel) a. Ao permanente direta desfavorvel (g =1,4) qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF ++++= Fd = 1,4 Gk + 0,0 (Qk + 0,0 Wk) Fd = 1,4 Gk Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Qk + 0,0 Wk) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Qk + 0,6 Wk) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk + 0,84 Wk Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Wk + 0,0 Qk) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Wk

My Hy

Nz

Mx Hx

2006 3-14 ufpr/tc405

Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Wk + 0,7 Qk) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Wk + 0,98 Qk b. Ao permanente direta favorvel (g =1,0) qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF ++++= Fd = 1,0 Gk + 0,0 (Qk + 0,0 Wk) Fd = 1,0 Gk Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Qk + 0,0 Wk) Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Qk + 0,6 Wk) Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk + 0,84 Wk Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Wk + 0,0 Qk) Fd = 1,0 Gk + 1,4 Wk Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Wk + 0,7 Qk) Fd = 1,0 Gk + 1,4 Wk + 0,98 Qk c. Ao para projeto de fundao qk0qjkj0k1qgkgkfund,d F)FF(FFF ++++= Fd = Gk + 0,0 (Qk + Wk) Fd = Gk Fd = Gk + (Qk + 0,0 Wk) Fd = Gk + Qk Fd = Gk + (Qk + 0,6 Wk) Fd = Gk + Qk + 0,6 Wk Fd = Gk + (Wk + 0,0 Qk) Fd = Gk + Wk Fd = Gk + (Wk + 0,7 Qk) Fd = Gk + Wk + 0,7 Qk d. Observaes d.1 Vento Todas as equaes que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o

vento tem que ser considerado atuando nas duas direes principais da estrutura (da esquerda para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para baixo). Isto vale dizer que haveria 14 combinaes possveis de aes (carregamentos) para o item a e mais 14 combinaes para o item b. O total corresponderia a 28 possveis combinaes de aes (carregamentos) para a considerao do estado limite ltimo - combinao normal.

d.2 Verificao da fundao direta Tambm para o projeto de fundao haveria outras 14 combinaes de aes,

dependentes das direes do vento. A planilha para fornecimento das aes possveis de atuarem nos elementos de

fundao, para cada um deles (cada pilar), tem o aspecto mostrado a seguir. importante observar que as 14 combinaes de aes, individualmente, tm que ser verificadas. A combinao de valores da tabela, como por exemplo valores mximos, no deve ser includa como outros casos possveis de combinao de aes.

planta de pilares da estrutura

Wk1

Wk3

Wk2

WK4

2006 3-15 ufpr/tc405

cp: carga permanente ca: carga acidental vt: vento d.3 Estruturas usuais de edifcios Caso a estrutura venha a ser considerada como usual, os efeitos decorrentes

das aes permanentes diretas favorveis (g =1,0) no precisam ser considerados. Isto vale dizer que todo o item b poderia ser desconsiderado.

d.4 Carregamentos obrigatrios em estruturas As aes (carregamentos) consideradas neste exemplo (cargas permanentes,

cargas acidentais e vento) constituem as aes obrigatrias de serem consideradas em todas as estruturas. Para qualquer tipo de estrutura, a ao do vento tem que ser considerada.

Incluindo a definio dos carregamentos nos elementos de fundao, so necessrias 42 combinaes de aes para o projeto estrutural de um edifcio de concreto armado. A considerao de aes indiretas (fluncia, retrao, recalques de apoio, temperatura, etc.) elevaria bem mais este valor.

3.6.1.1.3 Perda de equilbrio como corpo rgido A equao para a verificao da perda de equilbrio como corpo rgido pode ser

representada por: ( ) ( )

min,sqsjkj0k1qnkgnnd

dskgssd

ndsd

Q)QQ(GFRGF

FSFS

++=+=

Equao 3.10

onde: S(Fsd) o valor de clculo das solicitaes estabilizantes. S(Fnd) o valor de clculo das solicitaes no estabilizantes. Fsd representa as aes estabilizantes (valor de clculo). Fnd representa as aes no estabilizantes (valor de clculo). Rd o esforo resistente considerado como estabilizante, quando houver. Gsk o valor caracterstico da ao permanente estabilizante. Gnk o valor caracterstico da ao permanente instabilizante. Q1k o valor caracterstico da ao varivel instabilizante considerada como principal. Qjk o valor caracterstico da ao varivel instabilizante. Qs,min o valor caracterstico mnimo da ao varivel estabilizante que acompanha

obrigatoriamente uma ao varivel instabilizante.

Sapata (Bloco) n .... Nz Mx My Hx Hy cp

cp + ca cp + ca + (0,6 vt1) cp + ca + (0,6 vt2) cp + ca + (0,6 vt3) cp + ca + (0,6 vt4)

cp + vt1 cp + vt2 cp + vt3 cp + vt4

cp + vt1 + (0,7 ca) cp + vt2 + (0,7 ca) cp + vt3 + (0,7 ca) cp + vt4 + (0,7 ca)

2006 3-16 ufpr/tc405

gs representa o coeficiente de ponderao para aes permanentes diretas estabilizante: 1,0 para combinao favorvel.

gn representa o coeficiente de ponderao para aes permanentes diretas instabilizante: valores das Tabelas 1 e 2 da ABNT NBR 8681.

q representa o coeficiente de ponderao para aes variveis diretas instabilizante: valores das Tabelas 4 e 5 da ABNT NBR 8681.

qs representa o coeficiente de ponderao da ao varivel estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ao varivel instabilizante: usar o valor que conduza ao mximo Fnd.

0j representa o fator de reduo de combinao para aes variveis diretas instabilizantes:

usar valores que levem em conta a simultaneidade das aes.

Exemplo 3.2: Verificar as condies de segurana quanto ao tombamento da barragem de rejeito abaixo representada. Considerar:

massa especfica do concreto da barragem igual a 2 200 kg/m3; e massa especfica do material de rejeito igual 1 300 kg/m3.

Soluo: Dever ser verificada a condio de perda de equilbrio como corpo rgido da barragem. Para tal devero ser calculados o momento estabilizante [S(Fsd)] e o momento no estabilizantes [S(Fnd)] em relao ao p da barragem (ponto A). A barragem ser segura se [S(Fsd)] [S(Fnd)]. Devero ser usados, para a Equao 3.10, as seguintes notaes e os seguintes valores para as aes e coeficientes:

Gsk = Gpp,bar (peso prprio da barragem - ao caracterstica estabilizante) Q1k = Erej (empuxo do material de rejeito - ao caracterstica no

estabilizante) Fsd = gs Gsk = gs Gpp,bar (valor de clculo da ao estabilizante) Fnd = q Q1k = q Erej (valor de clculo da ao no estabilizante) gs = 1,0 (combinao normal, ao permanente direta favorvel) q = 1,2 (ver 3.1.2.1.3) a. Massas especficas e pesos especficos do concreto e do material de rejeito (valores

caractersticos) conc = 2 200 kg/m3 pconc = 22 000 N/m3 = 22 kN/m3 rej = 1 300 kg/m3 prej = 13 000 N/m3 = 13 kN/m3

1H 1,8V

51 m 54 m

0 m A

2006 3-17 ufpr/tc405

b. Ao permanente estabilizante (peso prprio da barragem)

m 301,854B ==

kN/m 820,0 17222

5430p2

HBGG concbar,ppsk =

=

==

kN/m 820,0 17820 171,0GF skgssd ===

c. Ao varivel no estabilizante (empuxo do material de rejeito)

kN/m 906,5 16132

51p2

HEQ2

rejei

2

rejei1k ====

kN/m 6,28620905,5 161,2QF 1kqnd ===

d. Solicitaes de clculo (momentos referentes ao p da barragem - ponto A)

( ) kNm/m 400,0 3563302820,0 17

3B2

FMFS barsdA

barpp,d,sd =

=

==

B

H = 54 m

1 1,8

A Gsk

H = 51 m Q1k

A

Bbar = 30 m

Fsd

Fnd Hrej = 51 m

A

2006 3-18 ufpr/tc405

( ) kNm/m 2,8723443516,28620

3H

FMFS rejeindA

rejeiemp,d,nd ====

e. Condio de segurana ( ) ( ) segura barragemFSFS

)2,872344(

nd

)0,400356(

sd > 321321

f. Considerao do material de rejeito como slido Como o peso prprio da estrutura supera em 75% peso total das aes permanentes

deve ser considerado para q o valor 1,5 (Tabela 5 da ABNT NBR 8681). f.1 Ao varivel no estabilizante (empuxo do material de rejeito)

kN/m 906,5 16132

51p2

HEQ2

rejei

2

rejei1k ====

kN/m 358,25 25905,5 161,5QF 1kqnd === f.2 Solicitaes de clculo (momentos referentes ao p da barragem ponto A)

( ) kNm/m 400,0 3563302820,0 17

3B2

FMFS barsdA

barpp,d,sd =

=

==

( ) kNm/m 090,25431351358,25 25

3H

FMFS rejeindA

rejeiemp,d,nd ====

f.3 Condio de segurana ( ) ( ) segura no barragemFSFS

)25,090431(

nd

)0,400356(

sd < 321321

3.6.1.2 Combinaes ltimas especiais ou de construo Em cada combinao devem estar presentes as aes permanentes e a ao varivel

especial, quando existir, com seus valores caractersticos e as demais aes variveis com probabilidade no desprezvel de ocorrncia simultnea, com seus valores reduzidos de combinao, conforme ABNT NBR 8681.

H = 51 m Q1k

A

Bbar = 30 m

Fsd

Fnd Hrej = 51 m

A

2006 3-19 ufpr/tc405

As combinaes ltimas de aes devero considerar o esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais. A equao para o clculo de solicitaes pode ser representada por:

qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF ++++= Equao 3.11 onde:

Fd o valor de clculo das aes para combinao ltima. Fgk representa as aes permanentes diretas, para a situao transitria considerada

(valor caracterstico). peso prprio parcial da estrutura; peso dos elementos construtivos transitrios; empuxos transitrios.

Fgk representa as aes permanentes indiretas, para a situao transitria considerada (valor caracterstico). retrao parcial do concreto; fluncia parcial do concreto; e deslocamentos de apoio.

Fq1k representa a ao varivel direta principal (especial, se for o caso), para a situao transitria considerada (valor caracterstico).

Fqjk representa as demais aes variveis diretas que podem agir concomitantemente com a ao principal Fq1k (valor caracterstico): aes variveis transitrias durante a construo; e demais aes variveis diretas (vento, gua, etc.).

Fqk representa as aes variveis indiretas que podem agir concomitantemente com a ao principal Fq1k (valor caracterstico). variaes de temperatura.

g representa o coeficiente de ponderao para aes permanentes diretas: Grandes pontes (Tabela 3.1): 1,2 para combinao desfavorvel; e 1,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 1,25 para combinao desfavorvel; e 1,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 2 (Tabela 3.3): 1,3 para combinao desfavorvel; e 1,0 para combinao favorvel.

g representa o coeficiente de ponderao para aes permanentes indiretas (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 1,2 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel.

q representa o coeficiente de ponderao para aes variveis diretas: Grandes pontes (Tabela 3.1): 1,3 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 1,3 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 2 (Tabela 3.3): 1,2 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel.

q representa o coeficiente de ponderao para aes variveis indiretas (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 1,0 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel.

2006 3-20 ufpr/tc405

0j1 representa o fator de reduo de combinao para aes variveis diretas que podem agir concomitantemente com a ao principal Fq1k, durante a situao transitria. Este fator dever ser igual aos valores adotados nas combinaes normais (Tabela 3.5), salvo quando a ao principal Fq1k tiver um tempo de atuao muito pequeno ou probabilidade de ocorrncia muito baixa, caso em que 0j pode ser tomado com o correspondente 2j (Tabela 3.6): 0,5 ou 0,3 para cargas acidentais de edifcios residenciais; 0,7 ou 0,4 para cargas acidentais de edifcios comerciais ou de escritrios; 0,8 ou 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 0,6 ou 0,0 para o vento.

0 representa o fator de reduo de combinao para aes variveis indiretas que podem agir concomitantemente com a ao principal Fq1k, durante a situao transitria. Este fator dever ser igual aos valores adotados nas combinaes normais (Tabela 3.5), salvo quando a ao principal Fq1k tiver um tempo de atuao muito pequeno ou probabilidade de ocorrncia muito baixa, caso em que 0 pode ser tomado com o correspondente 2 (Tabela 3.6): 0,6 ou 0,3 para variaes uniformes de temperatura.

Deve ser observado, que a Equao 3.11 no considera a ao varivel indireta (temperatura) como possvel de ser a ao principal dentre as aes variveis (diretas ou indiretas). Caso os efeitos de temperatura (Fqk) venham a se constituir em fator altamente significativo para a determinao dos esforos em estruturas, constituindo-se numa possvel ao varivel principal, a seguinte equao deve tambm ser verificada:

qkqqjkj0qgkggkgd FFFFF +++= Equao 3.12 3.6.1.3 Combinaes ltimas excepcionais

Em cada combinao devem figurar as aes permanentes e a ao varivel excepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais aes variveis com probabilidade no desprezvel de ocorrncia simultnea, com seus valores reduzidos de combinao, conforme ABNT NBR 8681. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incndio e colapso progressivo.

As combinaes ltimas de aes devero considerar o esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais. A equao2 para o clculo de solicitaes pode ser representada por:

++= qjkj0qexc1qgkgd FFFF Equao 3.13 onde:

Fd o valor de clculo das aes para combinao ltima. Fgk representa as aes permanentes diretas, para a situao transitria considerada

(valor caracterstico). peso prprio parcial da estrutura; peso dos elementos construtivos transitrios; e empuxos transitrios.

Fq1exc representa a ao varivel transitria excepcional (valor caracterstico). Fqjk representa as aes variveis diretas que podem agir concomitantemente com a ao

excepcional Fq1exc (valor caracterstico). aes variveis transitrias; e demais aes variveis diretas (vento, gua, etc.).

g representa o coeficiente de ponderao para aes permanentes diretas: Grandes pontes (Tabela 3.1): 1,1 para combinao desfavorvel; e 1,0 para combinao favorvel.

1 A ABNT NBR 8681 define este fator como 0,ef. Como a ABNT NBR 6118 no faz distino de valores 0, a

Equao 3.7 (combinao ltima normal) e a Equao 3.11 (combinao ltima especial ou de construo) so iguais na apresentao, embora com significados diferentes na aplicao.

2 A equao apresentada pela ABNT NBR 6118 contm os termos Fgk e Fqk, o que no faz sentido pois os coeficientes g e q so nulos (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3).

2006 3-21 ufpr/tc405

Edificaes tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 1,15 para combinao desfavorvel; e 1,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 2 (Tabela 3.3): 1,2 para combinao desfavorvel; e 1,0 para combinao favorvel.

q representa o coeficiente de ponderao para aes variveis diretas Grandes pontes (Tabela 3.1): 1,0 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 1,0 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel. Edificaes tipo 2 (Tabela 3.3): 1,0 para combinao desfavorvel; e 0,0 para combinao favorvel.

0j representa o fator de reduo de combinao para aes variveis diretas que podem agir concomitantemente com a ao excepcional Fq1exc, durante a situao transitria. Este fator dever ser igual aos valores adotados nas combinaes normais (Tabela 3.5), salvo quando a ao excepcional Fq1exc tiver um tempo de atuao muito pequeno ou probabilidade de ocorrncia muito baixa, caso em que 0j pode ser tomado com o correspondente 2j (Tabela 3.6). 0,5 ou 0,3 para cargas acidentais de edifcios residenciais; 0,7 ou 0,4 para cargas acidentais de edifcios comerciais ou de escritrios; 0,8 ou 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 0,6 ou 0,0 para o vento.

3.6.2 Combinaes de servio As combinaes de servio so classificadas de acordo com sua permanncia na estrutura

e devem ser verificadas como estabelecido a seguir: quase permanentes; freqentes; e raras.

3.6.2.1 Combinaes quase permanentes de servio So combinaes que podem atuar durante grande parte do perodo de vida da estrutura e

sua considerao pode ser necessria na verificao do estado limite de deformaes excessivas. Nas combinaes quase permanentes de servio, todas as aes variveis so

consideradas com seus valores quase permanentes 2 Fqk. A equao para o clculo de solicitaes pode ser representada por:

+= qjkj2gkser,d FFF Equao 3.14 onde:

Fd,ser o valor de clculo das aes para combinaes de servio. Fgk representa as aes permanentes diretas (valor caracterstico):


Fqjk representa as aes variveis diretas (valor caracterstico): cargas acidentais; ao do vento; e ao da gua.

2j representa o fator de reduo de combinao quase permanente para as aes variveis diretas (Tabela 3.6): 0,3 para cargas acidentais de edifcios residenciais; 0,4 para cargas acidentais de edifcios comerciais ou de escritrios;

2006 3-22 ufpr/tc405

0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 0,0 para o vento.

3.6.2.2 Combinaes freqentes de servio So combinaes que se repetem muitas vezes durante o perodo de vida da estrutura e

sua considerao pode ser necessria na verificao dos estados limites de formao de fissuras, de abertura de fissuras e de vibraes excessivas. Podem tambm ser consideradas para verificaes de estados limites de deformaes excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedaes.

Nas combinaes freqentes de servio, a ao varivel principal Fq1 tomada com seu valor freqente 1 Fq1k e todas as demais aes variveis so tomadas com seus valores quase permanentes 2 Fqk.

A equao para o clculo de solicitaes pode ser representada por:

++= qjkj2k1q1gkser,d FFFF Equao 3.15 onde:



Fq1k representa a ao varivel direta considerada como principal (valor caracterstico). Fqjk representa as aes variveis diretas das quais Fq1k escolhida principal (valor

caracterstico): cargas acidentais; ao do vento; e ao da gua.

1 representa o fator de reduo de combinao freqente para a ao varivel direta principal Tabela 3.6): 0,4 para cargas acidentais de edifcios residenciais; 0,6 para cargas acidentais de edifcios comerciais ou de escritrios; 0,7 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 0,3 para o vento.

2j representa o fator de reduo de combinao quase permanente para as aes variveis diretas (Tabela 3.6): 0,3 para cargas acidentais de edifcios residenciais; 0,4 para cargas acidentais de edifcios comerciais ou de escritrios; 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 0,0 para o vento.

3.6.2.3 Combinaes raras de servio So combinaes que ocorrem algumas vezes durante o perodo de vida da estrutura e sua

considerao pode ser necessria na verificao do estado limite de formao de fissuras. Nas combinaes raras de servio, a ao varivel principal Fq1 tomada com seu valor

caracterstico Fq1k e todas as demais aes so tomadas com seus valores freqentes 1 Fqk. A equao para o clculo de solicitaes pode ser representada por:

++= qjkj1k1qgkser,d FFFF Equao 3.16 onde:



Fq1k representa a ao varivel direta considerada como principal (valor caracterstico).

2006 3-23 ufpr/tc405

Fqjk representa as aes variveis diretas das quais Fq1k escolhida principal (valor caracterstico): cargas acidentais; ao do vento; e ao da gua.

1 representa o fator de reduo de combinao freqente para a ao varivel direta principal Tabela 3.6): 0,4 para cargas acidentais de edifcios residenciais; 0,6 para cargas acidentais de edifcios comerciais ou de escritrios; 0,7 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 0,3 para o vento.

Exemplo 3.3: Definir as equaes clculo das aes para as combinaes de servio (Fd,ser) de estruturas de edifcios residenciais onde os carregamentos so resultantes de combinaes que s levam em considerao as aes permanentes diretas (peso prprio da estrutura, paredes, caixa d'gua, etc.) e aes variveis diretas (cargas acidentais e vento).

Soluo: Dever ser usada a Equao 3.14 para a combinao quase permanente, a Equao 3.15 para a combinao freqente e a Equao 3.16 para a combinao rara. Os valores de 1 e 2 so os constantes da Tabela 3.6.

Fgk: Gk (valor caracterstico da ao permanente direta) Fqk,acid: Qk (valor caracterstico da ao varivel direta carga acidental) Fqk,vento: Wk (valor caracterstico da ao varivel direta vento) 1: 0,4 (carga acidental de edifcio residencial - desfavorvel) 0,0 (carga acidental de edifcio residencial - favorvel) 2: 0,3 (carga acidental de edifcio residencial - desfavorvel) 0,0 (carga acidental de edifcio residencial - favorvel) 1: 0,3 (vento - desfavorvel) 0,0 (vento - favorvel) 2: 0,0 (vento - desfavorvel) 0,0 (vento - favorvel) a. Combinao quase permanente += qjkj2gkser,d FFF Fd,ser = Gk + 0,3 Qk + 0,0 Wk Fd,ser = Gk + 0,3 Qk b. Combinao freqente ++= qjkj2k1q1gkser,d FFFF Fd,ser = Gk + 0,4 Qk + 0,0 Wk Fd,ser = Gk + 0,4 Qk Fd,ser = Gk + 0,3 Wk + 0,3 Qk Fd,ser = Gk + 0,3 Wk + 0,3 Qk c. Combinao rara ++= qjkj1k1qgkser,d FFFF Fd,ser = Gk + Qk + 0,3 Wk Fd,ser = Gk + Qk + 0,3 Wk Fd,ser = Gk + Wk + 0,4 Qk Fd,ser = Gk + Wk + 0,4 Qk

Todas as equaes que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o vento tem que ser considerado atuando nas duas direes principais da estrutura (da esquerda para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para baixo). Isto vale dizer que haveria 5 combinaes possveis de aes (carregamentos) para a combinao freqente e 8 combinaes possveis para a combinao rara.

2006 3-24 ufpr/tc405

3.7 Solicitaes e tenses de clculo As solicitaes (esforos), decorrentes das aes atuantes em elementos estruturais,

classificam-se em: Solicitaes normais, caracterizadas pelos momentos fletores (M) e foras normais

de (N), e Solicitaes de cisalhamento, caracterizadas pelos momentos torores (T) e foras

cortantes (V). As tenses, tambm decorrentes das aes, classificam-se em: Tenses normais (), relacionadas aos momentos fletores (M) e foras normais (N), e Tenses de cisalhamento (), relacionadas aos momentos torores (T) e foras

cortantes (V). Como as aes a serem consideradas no projeto estrutural correspondem s aes de

clculo (aes combinadas), as solicitaes e as tenses devero, tambm, ser representadas pelos seus valores de clculo. Desta, forma, para efeito de dimensionamento e verificao de elementos estruturais os valores das solicitaes e tenses a serem considerados so:

Solicitaes e tenses normais: MSd momento fletor solicitante de clculo; NSd fora normal solicitante de clculo; e Sd tenso normal solicitante de clculo.

Solicitaes e tenses de cisalhamento: TSd momento toror solicitante de clculo; VSd fora cortante solicitante de clculo; e Sd tenso de cisalhamento solicitante de clculo.

Exemplo 3.4: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltria do diagrama de momentos fletores solicitantes de clculo (MSd), considerando aes diretas, estado limite ltimo, combinaes ltimas normais, edificao tipo 2 e peso prprio desprezvel. Admitir:

a. estrutura qualquer, onde as combinaes das aes que consideram o efeito favorvel das cargas permanentes (g = 1,0) precisam ser consideradas; e

b. estrutura usual de edifcio onde as combinaes das aes que consideram o efeito favorvel das cargas permanentes (g = 1,0) no precisam ser consideradas (ver 3.6.1.1.1).

Soluo: Devero ser usados, para a Equao 3.7, os seguintes valores para as aes e coeficientes (Tabela 3.3 edificao tipo 2):

qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF ++++= Fgk = Gk = 10 kN (valor caracterstico da ao permanente direta) Fq1k = Qk = 5 kN (valor caracterstico da ao varivel direta principal) g = 1,4 (combinao normal, ao permanente direta desfavorvel) g = 1,0 (combinao normal, ao permanente direta favorvel) q = 1,4 (combinao normal, ao varivel direta desfavorvel geral) q = 0,0 (combinao normal, ao varivel direta favorvel geral) Para o caso a, devero ser consideradas as seguintes combinaes: Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk (permanente desfavorvel + ao varivel favorvel) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk (permanente desfavorvel + varivel desfavorvel geral) Fd = 1,0 Gk + 0,0 Qk (permanente favorvel + ao varivel favorvel)

C A

B D 2 m 4 m 4 m

Gk = 10 kN (permanente) Qk = 5 kN

(varivel)

2006 3-25 ufpr/tc405

Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk (permanente favorvel + varivel desfavorvel geral) Para o caso b, devero ser consideradas as seguintes combinaes: Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk (permanente desfavorvel + ao varivel favorvel) Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk (permanente desfavorvel + varivel desfavorvel geral) a. Considerao do efeito favorvel da ao permanente a.1 Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk

a.2 Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk

a.3 Fd = 1,0 Gk + 0,0 Qk

a.4 Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk

a.5 envoltria MSd

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,0 x 10 = 10 kN 1,4 x 5 = 7 kN

MSd,A = -00 kNm MSd,B = +04 kNm MSd,C = -20 kNm MSd,D = -00 kNm

-14 kNm

-28 kNm

+4 kNm

MSd,A = -00 kNm MSd,B = -00 kNm MSd,C = -28 kNm MSd,D = -00 kNm

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,4 x 10 = 14 kN 1,4 x 5 = 7 kN


C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,4 x 10 = 14 kN 0,0 x 5 = 0 kN

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,0 x 10 = 10 kN 0,0 x 5 = 0 kN


2006 3-26 ufpr/tc405

b. No considerao do efeito favorvel da ao permanente b.1 Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk

b.2 Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk

b.3 envoltria MSd

c. Observaes Deve ser observado que a considerao ou no do efeito favorvel da carga

permanente define a existncia ou no de momentos positivos atuando na viga. A envoltria MSd mostrada no item a.5 mostra um momento positivo mximo de 4 kNm, enquanto que a envoltria MSd mostrada no item b.3 no apresenta momentos positivos.

Em princpio, deve-se acreditar que o efeito favorvel da carga permanente deva ser sempre considerado nas combinaes de aes, e que a envoltria apresentada no item a.5 a nica correta.

Na realidade a opo mostrada em 3.6.1.1.1, onde a ABNT NBR 6118 estabelece: "No caso de estruturas usuais de edifcios essas combinaes que consideram

g reduzido (1,0) no precisam ser consideradas" no pode ser usada isoladamente. A ABNT NBR 6118 estabelece, tambm: "14.6.7 Estruturas usuais de edifcios - Aproximaes permitidas 14.6.7.1 Vigas contnuas Pode ser utilizado o modelo clssico de viga contnua, simplesmente apoiada

nos pilares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correes adicionais:

a) no devem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos;

b) ............." Portanto, ao diagrama (envoltria) apresentado no item b.3, deve-se acrescentar o

diagrama de momentos fletores para o seguinte carregamento:

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,4 x 10 = 14 kN 1,4 x 5 = 7 kN


-14 kNm

-28 kNm

C A

B D 2 m 4 m 4 m

1,4 x 10 = 14 kN 0,0 x 5 = 0 kN


2006 3-27 ufpr/tc405

Desta forma, embora o efeito favorvel da ao permanente no tenha sido considerado nas combinaes ltimas, a envoltria MSd apresenta momentos positivos, como mostrado no diagrama seguinte.

3.8 Resistncias 3.8.1 Valores caractersticos

Os valores caractersticos fk das resistncias so os que, num lote de material, tm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorvel para a segurana.

Usualmente de interesse a resistncia caracterstica inferior fk,inf., cujo valor menor que a resistncia mdia fm, embora por vezes haja interesse na resistncia caracterstica superior fk,sup, cujo valor maior que fm.

Para os efeitos desta Norma, a resistncia caracterstica inferior admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de no ser atingido pelos elementos de um dado lote de material (Figura 3.2).

Figura 3.2- Valor caracterstico de resistncia

3.8.1.1 Resistncia caracterstica do concreto O concreto, quer preparado no canteiro quer pr-misturado, dever apresentar uma

resistncia caracterstica fck, compatvel com a adotada no projeto. Conforme mostrado na Tabela [1.1], ao se definir a classe do concreto, fica estabelecido o valor da sua resistncia caracterstica (por exemplo, para o concreto classe C25, o valor de fck corresponde a 25 MPa).

-28 kNm

-14 kNm

+8,75 kNm

dens

idad

e de

pr

obab

ilidad

e

resistncias fm fk,inf

5% distribuio

normal

B C

A

4 m 4 m

1,4 x 5 = 7 kN MSd,A = -0,00 kNm MSd,B = +8,75 kNm MSd,C = -10,5 kNm

2006 3-28 ufpr/tc405

A especificao pura e simples da classe no suficiente para a caracterizao do concreto. A ABNT NBR 6118 exige, tambm, que seja fixado um valor mximo para a relao gua/cimento, conforme mostrado na Tabela [2.2].

Outras caractersticas do concreto, tais como dimetro mximo da brita, slump, etc. tambm podem ser requeridas. Em casos especficos, o consumo mnimo de cimento por metro cbico de concreto pode vir a ser solicitado.

Outro fator importante que deve ser estabelecido pelo profissional responsvel pelo projeto a data em que o concreto dever ser solicitado estruturalmente. Etapas construtivas, tais como, retirada de cimbramento, manuseio de pr-moldados, etc., definem valores da resistncia caracterstica do tipo fck,14, fck,90, fck,180, onde o nmero posterior vrgula corresponde data em que o concreto dever ser solicitado estruturalmente. A no indicao da data significa que o concreto foi dosado para atingir sua resistncia caracterstica aos 28 dias (fck = fck,28).

3.8.1.2 Resistncia caracterstica do ao Conforme mostrado na Tabela [1.3], ao se definir a categoria do ao, fica estabelecido o

valor da sua resistncia caracterstica (por exemplo, para o ao CA-25, o valor de fyk corresponde a 250 MPa).

3.8.2 Valores de clculo 3.8.2.1 Resistncia de clculo

A resistncia de clculo fd dada pela expresso:

m

kd

ff

= Equao 3.17

onde: fd resistncia de clculo; fk resistncia caracterstica; e m coeficiente de ponderao (minorao) da resistncia. O coeficiente m obtido pela multiplicao de trs fatores, de tal forma que:

3m2m1mm = Equao 3.18 onde:

m1 leva em conta a variabilidade da resistncia efetiva, transformando a resistncia caracterstica num valor extremo de menor probabilidade de ocorrncia;

m2 considera as diferenas entre a resistncia efetiva do material da estrutura e a resistncia medida convencionalmente em corpos-de-prova padronizados; e

m3 considera as incertezas existentes na determinao das solicitaes resistentes, seja em decorrncia de mtodos construtivos seja em virtude do mtodo de clculo empregado.

3.8.2.2 Resistncia de clculo do concreto Quando os valores de projeto so referidos resistncia do concreto aos 28 dias, a

resistncia de clculo fica definida pela expresso:

f fcd ckc

=

Equao 3.19

O valor de c varia acordo com os estados limites e com as combinaes de aes. Seus valores esto mostrados na Tabela 3.7.

Combinaes c Normais 1,40

Especiais ou de construo 1,20 Estado Limite Ultimo

Excepcionais 1,20 Estado Limite de Servio 1,00

Tabela 3.7 - Valores de c

2006 3-29 ufpr/tc405

Para a execuo de elementos estruturais nos quais estejam previstas condies desfavorveis (por exemplo, ms condies de transporte, ou adensamento manual, ou concretagem deficiente por concentrao de armadura), o coeficiente c deve ser multiplicado por 1,1.

Para elementos estruturais pr-moldados e pr-fabricados deve ser consultada a ABNT NBR 9062.

Admite-se, no caso de testemunhos extrados da estrutura, dividir o valor de c por 1,1 No caso em que o concreto venha a ser solicitado antes dos 28 dias, a resistncia de

clculo fica definida pela expresso:

c

ck1

c

ckjcd

fff

= Equao 3.20

Na Equao 3.20, fckj representa a resistncia caracterstica do concreto aos j dias. Os valores de 1 dependem do tipo de cimento e podem ser estabelecidos pelas expresses:

ARI-CPV decimento concreto paraeff

CPII e CPI cimento de concreto paraeff

CPIV e CPIII cimento de concreto paraeff

t2810,20

ck

ckj1

t2810,25

ck

ckj1

t2810,38

ck

ckj1

==

==

==

Equao 3.21

Na Equao 3.21, t corresponde a idade efetiva do concreto, em dias. Alguns valores de 1 esto mostrados na Tabela 3.8.

1 Dias CPIII e CPIV CPI e CPII CPV - ARI

3 0,46 0,60 0,66 7 0,68 0,78 0,82

14 0,85 0,90 0,92 21 0,94 0,96 0,97 28 1,00 1,00 1,00

Tabela 3.8 - Valores de 1

Exemplo 3.5: Definir o valor de fcd para o concreto classe C25. Considerar combinao de aes normais para estado limite ltimo, cimento CPIV e concreto solicitado aos 10 e 28 dias. Considerar, tambm, estado limite de servio.

Soluo: A fixao da classe do concreto automaticamente define o valor da resistncia caracterstica fck, conforme mostrado na Tabela [1.1]. A obteno do valor da resistncia de clculo fcd aos 28 dias feita pela Equao 3.19, com valores de c obtidos da Tabela 3.7. Para a determinao do valor da resistncia de clculo fcd aos 10 dias devero ser usadas a Equao 3.20 e a Equao 3.21.

a. Valor de fcd aos 28 dias para o concreto classe C25 - ELU 2ck kN/cm 2,5MPa 25f == 1,4= c

2c

ckcd kN/cm 1,791,4

2,5ff ==

=

b. Valor de fcd aos 28 dias para o concreto classe C25 - ELS 2ck kN/cm 2,5MPa 25f ==

2006 3-30 ufpr/tc405

1,0= c

2c

ckcd kN/cm 2,501,0

2,5ff ==

=

c. Valor de fcd aos 10 dias para o concreto classe C25, cimento CPIV - ELU 2ck kN/cm 2,5MPa 25f == 1,4= c dias 10t = cimento = CPIV

0,774ee 102810,38

t2810,38

1 ===

2c

ck1cd,10 kN/cm 1,381,4

2,5774,0f

f ==

=

d. Valor de fcd aos 10 dias para o concreto classe C25, cimento CPIV - ELS 2ck kN/cm 2,5MPa 25f == 1,0= c dias 10t = cimento = CPIV

0,774ee 102810,38

t2810,38

1 ===

2c

ck1cd,10 kN/cm 1,941,0

2,5774,0f

f ==

=

3.8.2.3 Resistncia de clculo do ao O valor da resistncia de clculo fyd definido pela expresso:

s

ykyd

ff

= Equao 3.22

O valor de s varia acordo com os estados limites e com as combinaes de aes. Seus valores esto mostrados na Tabela 3.9.

Combinaes s Normais 1,15

Especiais ou de construo 1,15 Estado Limite Ultimo

Excepcionais 1,00 Estado Limite de Servio 1,00

Tabela 3.9 - Valores de s Exemplo 3.6: Definir o valor de fyd para o ao CA-50. Considerar aes normais para o estado

limite ltimo, e estado limite de servio. Soluo: A fixao da categoria do ao automaticamente define o valor da resistncia

caracterstica fyk, conforme mostrado na Tabela [1.3]. A obteno do valor da resistncia de clculo fyd feita pela Equao 3.22, com valores de s obtidos da Tabela 3.9.

a. Valor de fyk para o ao CA-50 - ELU 2yk kN/cm 50MPa 500f == 1,15= s

2s

ykyd kN/cm 43,51,15

50ff ==

=

2006 3-31 ufpr/tc405

b. Valor de fyk para o ao CA-50 - ELS 2yk kN/cm 50MPa 500f == 1,0= s

2s

ykyd kN/cm 50,01,0

50ff ==

=

3.9 Esforos resistentes de clculo Os esforos resistentes de clculo decorrem da distribuio de tenses (resistentes)

atuantes numa dada seo do elemento estrutural. Desta forma, assim como para as solicitaes e tenses de clculo, os esforos e as tenses resistncias de clculo a serem consideradas so:

Esforos e tenses normais: MRd momento fletor resistente de clculo; NRd fora normal resistente de clculo; e Rd tenso normal resistente de clculo.

Esforos e tenses de cisalhamento: TRd momento toror resistente de clculo; VRd fora cortante resistente de clculo; e Rd tenso de cisalhamento resistente de clculo.

3.10 Verificao da segurana Na verificao da segurana das estruturas de concreto devem ser atendidas: as condies construtivas; e as condies analticas de segurana.

3.10.1 Condies construtivas de segurana Para as condies construtivas de segurana devem ser atendidas as exigncias

estabelecidas: nos critrios de detalhamento constantes das sees 18 e 20 da ABNT NBR 6118; nas normas de controle dos materiais, especialmente a ABNT NBR 12655; e no controle de execuo da obra, conforme ABNT NBR 14931 e Normas Brasileiras

especficas.

3.10.2 Condies analticas de segurana As condies analticas de segurana devem ser verificadas para o: estado limite ltimo; e estado limite de utilizao.

3.10.2.1 Estado limite ltimo As condies analticas de segurana estabelecem que as resistncias no devem ser

menores que as solicitaes e devem ser verificadas em relao a todos os estados limites e todos os carregamentos especificados para o tipo de construo considerada, ou seja, em qualquer caso deve ser respeitada a condio:

dd SR Equao 3.23 onde:

Rd representa os esforos resistentes de clculo; e Sd representa as solicitaes de clculo. Os valores de clculo dos esforos resistentes so determinados a partir dos valores de

clculo das resistncias dos materiais adotados no projeto, ou das tenses resistentes de clculo, como definido em 3.8.2.1.

As solicitaes de clculo so calculadas, para a combinao de aes considerada, de acordo com a anlise estrutural.

2006 3-32 ufpr/tc405

Para a verificao do estado limite ltimo de perda de equilbrio como corpo rgido, Rd e Sd devem assumir os valores de clculo das aes estabilizantes e desestabilizantes respectivamente.

Uma condio analtica de segurana pode ser representada no trecho l de uma viga de concreto armado, mostrada na Figura 3.3.

Figura 3.3 - Solicitaes e resistncias em viga de concreto armado Na Figura 3.3, as dimenses, reas, deformaes, tenses, esforos e solicitaes

correspondem a: MSd solicitao de clculo obtida da envoltria MSd (aes caractersticas - permanentes,

variveis, dinmicas ou excepcionais - ponderadas pelos coeficientes f e combinadas entres si definem a envoltria MSd, como mostrado no Exemplo 3.4);

MRd esforo resistente de clculo, binrio dado pelo produto Rcd z ou Rsd z; c encurtamento (deformao) do concreto provocado pelo momento fletor solicitante de

clculo MSd; s alongamento (deformao) da armadura provocado pelo momento fletor solicitante de

clculo MSd; c tenso de compresso atuante na regio de concreto comprimido decorrente do

encurtamento (deformao) c; x posio da linha neutra (distncia compreendida entre a fibra de concreto mais

comprimida e a linha neutra); z brao de alavanca (distncia entre os esforos resistentes de clculo Rcd e Rsd); d altura til da viga (distncia compreendida entre a fibra de concreto mais comprimida e

o centro de gravidade da seo geomtrica da armadura tracionada); bw largura da viga; h altura da viga; As rea da seo transversal da armadura tracionada: Rcd esforo resistente de clculo, atuante na regio de concreto comprimido, igual a cdA; Rsd esforo resistente de clculo, atuante na armadura tracionada, igual a s As (s obtido

do diagrama tenso-deformao do ao, atravs s). Na Figura 3.3, confrontando os valores de MSd e MRd, conclui-se: a. MRd >>> MSd

O trecho l seguro (Rd > Sd), com excesso de materiais. A seo transversal da viga no econmica.

b. MRd > MSd O trecho l seguro (Rd > Sd), com sobra de materiais. A seo transversal da viga estar mais prxima da econmica quanto menor for sobra de material.

h z

c

l

Rsd s

c

MSd

bw

d

As

Rcd MRd

esforos resistentes de clculo ("interno")

solicitaes de clculo

("externa")

x

2006 3-33 ufpr/tc405

c. MRd = MSd O trecho l atinge o limite de segurana (Rd = Sd), com uso adequado de materiais. A seo transversal da viga mais econmica ser aquela em que o balano dos materiais (concreto e ao) atingir o menor custo.

d. MRd < MSd O trecho l no seguro (Rd < Sd), com falta de materiais. A seo transversal da viga tem que ser redimensionada. O redimensionamento da seo transversal do trecho l da viga pode ser feito alterando, de forma isolada ou combinada, os valores d, bw ou As. A alterao das resistncias do concreto ou do ao, embora possa ser feita, no constitui prtica comum nos projetos de estrutura de concreto armado.

3.10.2.2 Estruturas em regime elstico linear No projeto de estruturas de concreto armado, se for considerado comportamento em regime

elstico linear (elstico ou pseudo-elstico), os coeficientes de ponderao f, conforme mostrados em 3.6, podero ser aplicados tanto s aes caractersticas (carregamento) como aos esforos resultantes (momento fletor, fora cortante, fora norma ou momento toror). Desta forma, Sd pode ser obtido de duas formas, como mostrado na Equao 3.24.

( )

( )

=

=

kfkf

kf

d

FSSou

FSS Equao 3.24

Caso o comportamento da estrutura no possa ser considerado em regime elstico linear, os coeficientes de ponderao f devero ser aplicados somente s aes caractersticas (carregamento), conforme estabelecido em 3.6.1. Neste caso o valor de Sd deve ser estabelecido considerando apenas a primeira igualdade da Equao 3.24 (Sd = S(f Fk).

Diz-se que no h linearidade geomtrica quando o comportamento estrutural deixa de ser linear em virtude da alterao da geometria do sistema.

Considerando que a aplicao direta dos coeficientes de ponderao f nas aes caractersticas (carregamento) vlida para qualquer comportamento de estrutura, fica mais simples adotar sempre este procedimento.

3.10.3 Estado limite de servio As condies usuais de verificao da segurana relativas aos estados limites de servio

so, de modo geral, expressas pela desigualdade:

limd SS Equao 3.25 onde:

Sd representa as solicitaes de clculo; e Slim corresponde a valores limites estabelecidos.

3.11 Simbologia especfica 3.11.1 Smbolos base

b menor dimenso da seo transversal da parede ou pilar bw largura da alma de uma viga d altura til fcd resistncia compresso do concreto de clculo fck resistncia compresso do concreto caracterstica fckj resistncia compresso do concreto caracterstica aos j dias fd resistncia de clculo fk resistncia caracterstica fk,inf resistncia caracterstica inferior fk,sup resistncia caracterstica superior fm resistncia mdia fyd resistncia ao escoamento do ao de clculo fyk resistncia ao escoamento do ao caracterstica

2006 3-34 ufpr/tc405

gk valor caracterstico da ao permanente h altura l vo qk valor caracterstico da ao varivel t tempo x altura da linha neutra z brao de alavanca As rea da seo transversal da armadura longitudinal de trao B base E empuxo Eci(t0) mdulo de elasticidade inicial do concreto no instante t0 Eci(28) mdulo de elasticidade inicial do concreto aos 28 dias F aes Fd valor de clculo das aes Fd,fund valor de clculo das aes a serem considerados em projetos de fundaes,

quando nesses projetos ser usado o mtodo das tenses ou cargas admissveis Fd,ser valor de clculo das aes para combinaes de servio Fgk valor caracterstico das aes permanentes diretas Fk valor caracterstico das aes Fk,inf valor inferior caracterstico das aes Fk,sup valor superior caracterstico das aes Fnd valor de clculo das aes no estabilizantes Fqjk valor caracterstico das aes variveis diretas Fqk valor caracterstico das aes variveis Fq1exc valor caracterstico da ao varivel transitria excepcional Fq1k valor caracterstico da ao varivel direta principal Fsd valor de clculo das aes estabilizantes Fgk valor caracterstico das aes permanentes indiretas Fqk valor caracterstico das aes variveis indiretas Gk valor caracterstico da ao permanente Gnk valor caracterstico da ao permanente instabilizante Gsk valor caracterstico da ao permanente estabilizante H altura Hx fora horizontal na direo x Hy fora horizontal na direo y M momento fletor MRd momento fletor resistente de clculo MSd momento fletor solicitante de clculo Mx momento fletor na direo x My momento fletor na direo y N fora normal NRd fora normal resistente de clculo NSd fora normal solicitante de clculo Nz fora normal na direo z Qjk valor caracterstico da ao varivel instabilizante Qk valor caracterstico de ao varivel Q1k valor caracterstico da ao varivel instabilizante considerada como principal Qs,min valor caracterstico mnimo da ao varivel estabilizante que acompanha

obrigatoriamente uma ao varivel instabilizante Rcd esforo resistente de clculo atuante na regio de concreto comprimido Rd esforo resistente de clculo esforo resistente considerado como estabilizante Rsd esforo resistente de clculo atuante na armadura tracionada S(Fnd) valor de clculo das solicitaes no estabilizantes S(Fsd) valor de clculo das solicitaes estabilizantes Sd solicitao de clculo Sk solicitao caracterstica Slim solicitaes limites

2006 3-35 ufpr/tc405

T momento toror TRd momento toror resistente de clculo TSd momento toror solicitante de clculo V fora cortante VRd fora cortante resistente de clculo VSd fora cortante solicitante de clculo Wk valor caracterstico de ao varivel devida ao vento 1 coeficiente referente resistncia do concreto a j dias c deformao especfica do concreto c(t,t0) deformao especfica total do concreto entre os instantes t0 e t s deformao especfica do ao trao cs(t,t0) deformao especfica do concreto devida retrao entre os instantes t0 e t k,sup deslocamento de apoio (valor caracterstico superior) c coeficiente de ponderao da resistncia do concreto f coeficiente de ponderao das aes f1 parte do coeficiente de ponderao das aes f que considera a variabilidade das

aes f2 parte do coeficiente de ponderao das aes f que considera a simultaneidade de

atuao das aes f3 parte do coeficiente de ponderao das aes f que considera os desvios gerados

nas construes e as aproximaes feitas em projeto do ponto de vista das solicitaes

g coeficiente de ponderao para as aes permanentes diretas gn coeficiente de ponderao para as aes permanentes diretas instabilizantes gs coeficiente de ponderao para aes permanentes diretas estabilizantes m coeficiente de ponderao das resistncias m1 parte do coeficiente de ponderao das resistncias m que considera a

variabilidade da resistncia dos materiais envolvidos m2 parte do coeficiente de ponderao das resistncias m que considera a diferena

entre a resistncia do material no corpo de prova e na estrutura m3 parte do coeficiente de ponderao das resistncias m que considera os desvios

gerados nas construes e as aproximaes feitas em projeto do ponto de vista das resistncias

n coeficiente de ajuste de f que considera o aumento de probabilidade de ocorrncia de desvios relativos e falhas na construo (aplicado em paredes e pilares com dimenses abaixo de certos valores)

q coeficiente de ponderao para as aes variveis diretas coeficiente de ponderao para aes variveis diretas instabilizantes qs coeficiente de ponderao da ao varivel estabilizante que acompanha

obrigatoriamente uma ao varivel instabilizante s coeficiente de ponderao da resistncia do ao g coeficiente de ponderao para as aes permanentes indiretas (retrao, fluncia,

deslocamento de apoios e imperfeies geomtricas) q coeficiente de ponderao para as aes variveis indiretas (temperatura) (t,t0) limite para o qual tende o coeficiente de fluncia provocado por carregamento

aplicado em t0 massa especfica tenso normal c tenso compresso no concreto c(t0) tenso no concreto devida ao carregamento aplicado em t0 Sd tenso normal solicitante de clculo Rd tenso normal resistente de clculo tenso de cisalhamento Sd tenso de cisalhamento solicitante de clculo Rd tenso de cisalhamento resistente de clculo 0 fator de reduo de combinao para as aes variveis diretas para ELU

2006 3-36 ufpr/tc405

0j fator de reduo de combinao para as aes variveis diretas para ELU fator de reduo de combinao para as aes variveis diretas instabilizantes 0 fator de reduo de combinao para as aes variveis indiretas para ELU 1 fator de reduo de combinao freqente para ELS 1j fator de reduo de combinao freqente para ELS 2 fator de reduo de combinao quase permanente para ELS 2j fator de reduo de combinao quase permanente para ELS

3.11.2 Smbolos subscritos acid acidental bar barragem conc concreto emp empuxo pp peso prprio rej rejeito ser servio vento vento

3.12 Exerccios Ex. 3.1: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltria do diagrama das foras

cortantes solicitantes de clculo (VSd), considerando aes diretas, estado limite ltimo, combinaes ltimas normais, edificao tipo 2 e peso prprio desprezvel. Admitir:

a. estrutura qualquer, onde as combinaes das aes que consideram o efeito favorvel das cargas permanentes (g = 1,0) precisam ser consideradas; e

b. estrutura usual de edifcio onde as combinaes das aes que consideram o efeito favorvel das cargas permanentes (g = 1,0) no precisam ser consideradas.

Ex. 3.2: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltria do diagrama de momentos fletores solicitantes de clculo (MSd), considerando

a. combinao ltima normal; b. combinao ltima especial (Qk corresponde ao carregamento especial); c. combinao ltima excepcional (Qk corresponde ao carregamento excepcional); d. combinao quase permanente de servio; e. combinao freqente de servio; e f. combinao rara de servio. A viga, cujo peso prprio pode ser desprezado, parte de uma estrutura usual de edifcio

residencial (edificao tipo 2), cujas aes (cargas) so provenientes de: peso de elementos construtivos (Gk); carga acidental (Qk); e vento (Wk).

C A

B D 2 m 4 m 4 m

Gk = 10 kN (permanente) Qk = 5 kN

(varivel)

C A

B D 2 m 4 m 4 m

Gk = 10 kN Qk = 5 kN Wk = 5 kNm

2006 3-37 ufpr/tc405

Ex. 3.3: Determinar as solicitaes de clculo (NSd) atuantes na barra AD. A estrutura de um edifcio residencial, cujas aes (cargas) so provenientes de:

peso prprio da viga AC mais elementos construtivos (gk); e carga acidental (qk). Considerar: estado limite ltimo, combinaes ltimas normais, edificao tipo 1; e estado limite de servio, combinao quase permanente.

Ex. 3.4: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltria do diagrama de momentos fletores solicitantes de clculo (MSd) e a envoltria do diagrama das foras cortantes solicitantes de clculo (VSd). O carregamento gk (carga permanente) corresponde a uma ao permanente direta e os carregamentos q1k e q2k (cargas acidentais de mesma natureza1) correspondem a aes variveis diretas independentes, ou seja, podem atuar simultaneamente ou no.

Considerar: estado limite ltimo, combinaes ltimas normais, edificao tipo 1; e estrutura de edifcio onde as combinaes das aes que consideram o efeito

favorvel das cargas permanentes (g = 1,0) precisam ser consideradas.

Ex. 3.5: Deseja-se dimensionar a viga de concreto armado abaixo indicada. Para tanto, necessrio determinar os momentos fletores solicitantes de clculo (MSd) nas sees A (apoio do balano) e C (meio do vo AB). Levando-se em considerao os coeficientes de ponderao das aes estabelecidos na ABNT NBR-6118, por meio de uma combinao de carregamentos, determine a envoltria de solicitaes e avalie os momentos fletores solicitantes de clculo nas sees A e C.

Considerar: estado limite ltimo, combinaes ltimas normais, edificao tipo 2;

! ao permanente direta desfavorvel: ..........................g = 1,40 ! ao varivel direta desfavorvel: .................................q = 1,40 ! ao varivel direta favorvel: .......................................q = 0,00

1 As cargas q1k e q2k so de mesma natureza. Isto vale dizer que ambas representam a ao varivel direta

considerada como principal (ambas correspondem ao ndice 1 da Equao 3.7, dependendo qual delas esteja sendo considerada). Mesmo que as cargas possam atuar simultaneamente, no se implica o fator 0 pois as cargas so de mesma natureza.

qk = 50 kN/m

gk = 10 kN/m

8 m 10 m

D

ca 003-2006

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