ca 005-2006
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2006 5-1 ufpr/tc405
5 5FLEXO SIMPLES ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA
5.1 Introduo Uma viga reta, desde que no possua carregamentos horizontais ou inclinados, ser
solicitada por momentos fletores e foras cortantes, como mostrado na Figura 5.1.
Figura 5.1 Solicitaes em viga Nas vigas de concreto armado, os momentos fletores e as foras cortantes so
responsveis pela existncia de dois tipos de armadura (Figura 5.2): longitudinal, para resistir
aos momentos fletores; e transversal, para resistir
s foras cortantes. Neste captulo s sero
estudadas as armaduras longitudinais, ou seja, as armaduras necessrias para resistir aos momentos fletores.
Figura 5.2 Armaduras de viga de concreto armado Segundo o item 18.3.1 da ABNT NBR 6118, as vigas ficam caracterizadas quando: l/h 3 para vigas isostticas; e l/h 2 para vigas contnuas;
onde: l o comprimento do vo terico (ou o dobro do comprimento terico, no caso de
balano); e h a altura total da viga. Vigas com relaes l/h menores devem ser tratadas como vigas-parede.
fora cortante
momento fletor
A
A
corte AA
armadura para momento fletor
armadura para momento fletor
armadura para fora cortante
-
2006 5-2 ufpr/tc405
5.2 Vos efetivos de vigas Segundo a 6118, item 14.6.2.4, o vo efetivo (Figura 5.3) pode ser calculado pela seguinte
expresso:
210ef aa ++= ll Equao 5.1 com
=
=
h3,0t5,0
mina
h3,0t5,0
mina
22
11
onde: lef vo efetivo da viga; l0 distncia entre faces de dois apoios consecutivos; t comprimento do apoio paralelo ao vo da viga analisada; h altura da viga.
Figura 5.3 Vo efetivo de viga
5.3 Estado limite ltimo domnios da ABNT NBR 6118 5.3.1 Domnios 2, 3 e 4
Quando da apresentao dos domnios da ABNT NBR 6118 (Figura [4.7]) foi visto que as peas de concreto armado solicitadas somente por momento fletor (vigas) seriam possveis apenas nos domnios 2, 3 e 4, como reproduzido na Figura 5.4. Desta Figura deve ser observado que:
no domnio 2 ! o concreto no chegou ao seu encurtamento limite (3,5), possuindo, ainda,
uma certa reserva de capacidade resistente; ! o ao chegou ao seu alongamento mximo (10), tendo esgotado sua
capacidade resistente; e ! a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar
um quadro de fissurao intensa devido ao excessivo alongamento da armadura (e do concreto adjacente);
no domnio 3 (seo subarmada) ! o concreto chegou ao seu encurtamento limite (3,5), tendo esgotado sua
capacidade resistente; ! o ao tem seu alongamento compreendido entre yd e 10, possuindo, ainda,
uma boa reserva de capacidade resistente; e ! a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, deve apresentar
um quadro de fissurao expressivo devido ao fato da armadura (e o concreto adjacente) apresentar alongamento considervel;
h
t2 t1
l0
lef
viga
pilar
-
2006 5-3 ufpr/tc405
no domnio 4 (seo superarmada) ! o concreto pode estar prximo de ultrapassar seu encurtamento limite (3,5),
tendo esgotado, por inteiro, sua capacidade resistente; ! o ao tem seu alongamento compreendido entre 0 e yd, possuindo uma
grande reserva de capacidade resistente; e ! a viga, se submetida a um carregamento superior ao de projeto, no deve
apresentar um quadro de fissurao to perceptvel quanto aos dos domnios 2 e 3 devido ao pequeno alongamento da armadura (e do concreto adjacente).
Figura 5.4 Domnios possveis para vigas de concreto armado As vigas, quando dimensionadas no domnio 4 (superarmadas), podem, em caso de uma
eventual sobrecarga imprevista, ser conduzidas a uma ruptura frgil (sem aviso prvio pois o concreto rompe bruscamente sem que a armadura tenha esgotado sua capacidade resistente). As vigas dimensionadas nos domnios 2 e 3 (subarmadas) tm, devido a condies mais adequadas da posio da linha neutra, garantida boas condies de dutilidade, sendo conduzidas, para uma condio adversa de carregamento, a rupturas com aviso prvio (a armadura escoa antes do rompimento do concreto mostrando um quadro visvel de deteriorao da viga).
O comportamento de viga, se subarmada ou superarmada1, fica definido pela passagem do domnio 3 para o domnio 4 (Figura 5.4), que corresponde reta 3-4 definida pela Equao [4.8]. Desta forma possvel estabelecer, matematicamente, a condio para comportamento de viga subarmada (desejado) e superarmada (a ser evitado), ou seja:
1 As vigas superarmadas possuem, em geral, pouca altura e excessiva armadura (da o super, no sentido de
excessiva quantidade de armadura), ao passo que as vigas subarmadas tm uma distribuio mais equilibrada de materiais (da o sub, no sentido de menos quantidade de armadura).
sub- armada super-
armada
x
s
dx
x =
MSd
x
10 yd
s
c = 3,5
4
2
3 d
As
fyd
3 4
2
0,259 x,34 1,000
x,34
CA-25: 0,772 CA-50: 0,628 CA-60: 0,585
0,000
0,259
1,000
x,34
-
2006 5-4 ufpr/tc405
>
=erarmadasup
subarmada
60CA585,0
50CA628,0
25CA772,0
34,x
34,x
xx,34 Equao 5.2
5.3.2 Recomendaes da ABNT NBR 6118 ABNT NBR 6118, item 16.2.3:
Em relao aos ELU, alm de se garantir a segurana adequada, isto , uma probabilidade suficientemente pequena de runa, necessrio garantir uma boa dutilidade, de forma que uma eventual runa ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usurios.
ABNT NBR 6118, item 17.2.3: Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuio de esforos, importante garantir boas condies de dutilidade, sendo adotada, se necessrio, armadura de compresso que garanta a posio da linha neutra (x), respeitando-se os limites de 14.6.4.3. A introduo da armadura de compresso para garantir o atendimento de valores menores da posio da linha neutra (x), que estejam nos domnios 2 ou 3, no conduz a elementos estruturais com ruptura frgil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frgil est associada a posies da linha neutra no domnio 4, com ou sem armadura de compresso.
ABNT NBR 6118, item 14.6.4.3: A capacidade de rotao dos elementos estruturais funo da posio da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior ser essa capacidade. Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regies dos apoios das vigas ou de ligaes com outros elementos estruturais, mesmo quando no forem feitas redistribuies de esforos solicitantes, a posio da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: x/d 0,50 para concretos com fck 35 MPa; ou x/d 0,40 para concretos com fck > 35 MPa. Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo os que produzem confinamento nessas regies.
O dimensionamento e detalhamento de vigas de concreto armado ficam mais simples se for seguido, para todas as regies da viga (regies de apoios e afastadas deles), o prescrito no item 14.6.4.3 da ABNT NBR 6118. Desta forma, a melhora nas condies de dutilidade das estruturas fica garantida se for adotado, para a posio da linha neutra, os valores limites (da o x.lim) mostrados na Figura 5.5 e na Equao 5.3.
>
=
MPa35f400,0
MPa35f500,0
ck
ck
limx, Equao 5.3
-
2006 5-5 ufpr/tc405
Figura 5.5 Condies de dutilidade da ABNT NBR 6118
5.4 Distribuio de tenses na regio de concreto comprimido Conforme visto em [4.1], o diagrama tenso-deformao simplificado de clculo
(Figura [4.3]) permite, ao longo da altura y, a distribuio constante de tenses c (regio de concreto comprimido), como mostrado na Figura 5.6.
Figura 5.6 Distribuio de tenses na regio de concreto comprimido
y
l s
MSd
esforos resistentes de clculo
solicitaes de clculo
x
c c
Rsd
MRd d
As
Rcd
0,7
x
s
dx
x =
MSd
x
10 yd
s
c = 3,5
4
2
d
As
fyd
4
2
0,259 1,000
x,lim
0,500 fck 35 MPa 0,400 fck > 35 MPa
0,000
0,259
1,000
x,lim
dtil
3
x,lim
frgil
3
-
2006 5-6 ufpr/tc405
Da Figura 5.6, tem-se:
x7,0yc
c
= Equao 5.4
Tendo em vista que nos domnios 3 e 4 o encurtamento do concreto c igual a 3,5 (Figura 5.4), a Equao 5.4 resulta:
x5,3
7,05,3y
=
x8,0y = Equao 5.5
ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e: a distribuio de tenses no concreto se faz de acordo com o diagrama parbola-retngulo, definido em 8.2.10, com tenso de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em 12.3.3. Esse diagrama pode ser substitudo pelo retngulo de altura 0,8 x (onde x a profundidade da linha neutra), com a seguinte tenso: 0,85 fcd no caso da largura da seo, medida paralelamente linha neutra, no
diminuir a partir desta para a borda comprimida; 0,80 fcd no caso contrrio. As diferenas de resultados obtidos com esses dois diagramas so pequenas e aceitveis, sem necessidade de coeficiente de correo adicional.
Como pode ser observado, a ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e, estende o resultado alcanado pela Equao 5.5 a todos os domnios, inclusive o domnio 2, deixando de ser necessrio representar o valor de y como funo da deformao c (Equao 5.4).
Cabe ao engenheiro responsvel pelo projeto estrutural a opo em adotar o procedimento mostrado Captulo [4]1, onde a altura do retngulo de tenses de compresso estabelecida em funo do encurtamento da fibra de concreto mais comprimida e da posio da linha neutra (y = y(c, x) Equao 5.4), ou adotar a simplificao prevista no item 17.2.2-e da ABNT NBR 6118, onde a altura do retngulo de tenses de compresso estabelecida em funo apenas da posio da linha neutra (y = 0,8 x Equao 5.5).
Tendo em vista que o prescrito no item 17.2.2-e da ABNT NBR conduz a uma sistemtica de clculo mais simples, a Equao 5.5 ser usada na determinao das equaes de dimensionamento e verificao de armadura longitudinal de vigas de concreto armado.
Ainda, seguindo o que prescreve o item 17.2.2-e da ABNT NBR 6118, o valor da tenso de compresso (c) deve obedecer ao mostrado na Figura 5.7, para a condio y = 0,8 x.
Figura 5.7 Valor de tenso de compresso na regio de concreto comprimido
5.5 Variveis adimensionais - ELU 5.5.1 Elementos geomtricos de sees retangulares
Seja a Figura 5.8 onde so mostrados, dentre outros: os esforos resistentes de clculo (Rcd e Rsd), a posio da linha neutra (x), a altura do retngulo de tenses de compresso (y), a distncia entre os esforos resistentes de clculo (z) e a altura til da viga (d).
1 Ver Exemplo [4.1], item c e Exemplo [4.2], item c.
c = 0,85 fcd
x
linha neutra y = 0,8 x
c = 0,80 fcd
y = 0,8 x linha neutra
x
-
2006 5-7 ufpr/tc405
Figura 5.8 Solicitao e esforos resistentes em vigas de concreto armado Da Figura 5.8 e levando-se em conta a Equao 5.5, tem-se: posio da linha neutra1
dxsc
c
+
=
sc
cx d
x+
==
altura do retngulo de tenses c2
==
dxd8,0x8,0y
xy 8,0dy
==
brao de alavanca entre os esforos resistentes de clculo Rcd e Rsd y5,0dz = ( )x8,05,0dz =
==
dx4,01dx4,0dz
xz 4,01dz
==
Agrupando todas as variveis geomtricas , e criando a varivel auxiliar c, tem-se:
( ) auxiliar varivel4,0168,068,0
R e R entre alavanca de brao4,01dz
tenses de retngulo do altura8,0dy
neutra linha da posiodx
xxzxc
sdcdxz
cxy
sc
cx
==
==
==
+
==
Equao 5.6
A Equao 5.6 mostra que as variveis adimensionais y, z e c so funes diretas de x. Desta forma, uma vez conhecida a posio da linha neutra (x), todos os demais elementos
1 Ver Equao [4.3]. 2 Ver Equao 5.5.
l s
MSd
esforos resistentes de clculo
solicitao de clculo
x
c c
Rsd
MRd d
bw
As
z h
y = 0,8 x 0,5 y Rcd
-
2006 5-8 ufpr/tc405
geomtricos (y, z e c) ficam igualmente definidos. A Equao 5.6 permite agrupar os valores de como mostrado na Tabela 5.1.
x y z c
0,100 0,080 0,960 0,065
0,259 0,207 0,896 0,158
0,585 0,468 0,776 0,305
0,628 0,502 0,749 0,320
0,772 0,618 0,691 0,363
Tabela 5.1 Valores de y, z, e c como funo de x
5.5.2 Diagrama adimensional tenso-deformao do ao Conforme visto em [4.2.2], o diagrama tenso-deformao do ao tem o aspecto mostrado
na Figura 5.9. Nesta Figura optou-se por apresentar este diagrama de forma adimensional, com a introduo dos valores de s e s dados pela Equao 5.7.
Figura 5.9 Diagrama adimensional tenso--deformao do ao
0,1fE
f
0,1fE
f
yd
s's
yd
's'
s
yd
ss
yd
ss
=
=
=
=
Equao 5.7
Seja a Figura 5.10 onde so mostrados, dentre outros: os esforos resistentes de clculo (Rcd, Rsd e Rsd), a posio da linha neutra (x), a altura til da viga (d), a posio da armadura comprimida (d), o encurtamento da fibra de concreto mais comprimida (c), o encurtamento da armadura comprimida (s) e o alongamento da armadura tracionada (s).
yd
sss f
E=
yd
yd
's'
s f
=
yd
ss f
=
's s
1,0
1,0
10
yd
Es = 210.000 MPa
3,5
-
2006 5-9 ufpr/tc405
Figura 5.10 Alongamento e encurtamento da armadura Da Figura 5.10 e levando-se em considerao a Equao 5.6, a Figura 5.4 e a Figura 5.9,
tem-se: alongamento da armadura tracionada1
ccs
dx
dx1
xxd
=
=
cx
xs
1
=
>
=
4 e 3 domnios259,0
5,31
2 domnio259,0
10
X
x
x
X
s Equao 5.8
encurtamento da armadura comprimida2
s
'
c
''s xd
dx x
dx
=
=
s
'
c
'
's
dx1dd
dx
dx
dd
dx
=
=
sx
'
x
cx
'
x's 1
dd
dd
=
=
1 Ver Equao [4.15], Equao [4.16] e Equao [4.17]. 2 Ver Equao [4.12], onde foi considerada a conveno de sinais da Figura [4.8].
d' c
Rcd y
l s
MSd
esforos resistentes de clculo
solicitaes de clculo
x
c
Rsd
MRd d
As
Rsd As
s
-
2006 5-10 ufpr/tc405
>
=
4 e 3 domnios259,0
5,3dd
2 domnio259,0
101
dd
X
x
'
x
X
x
'
x
's Equao 5.9
A associao da Equao 5.7 com a Equao 5.8 e com a Equao 5.9 resulta:
>
=
=
>
=
=
4 e 3 domnios259,0
0,15,3dd
fE
2 domnio259,0
0,1101
dd
fE
f
4 e 3 domnios259,0
0,15,31fE
2 domnio259,0
0,1
f
X
x
'
x
yd
s
X
x
'
x
yd
s
yd
's'
s
X
x
x
yd
s
X
yd
ss
Equao 5.10
A Equao 5.10 demonstra que s e s so funes de x, da relao d/d e da categoria do ao (fyk). Assim como feito para as variveis y, z, e c (Tabela 5.1), possvel associar os valores s e s a valores pr-fixados de x e (d/d), como mostrado na Tabela 5.2, feita para o ao CA-501.
CA-50 s para (d/d) = x y z c s 0,05 0,10 0,15
0,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,268
0,259 0,207 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 0,712
0,628 0,502 0,749 0,320 1,000 1,000 1,000 1,000
0,800 0,640 0,680 0,370 0,422 1,000 1,000 1,000
Tabela 5.2 Flexo simples CA-50 A Figura 5.4 pode, tambm, ser apresentada com o diagrama adimensional
tenso-deformao do ao, como mostrado na Figura 5.11.
1 As tabelas completas so apresentadas em 5.16.
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2006 5-11 ufpr/tc405
Figura 5.11 Vigas - domnios e diagrama adimensional do ao
5.6 Indexao de reas comprimidas Para a caracterizao de reas comprimidas e correspondentes esforos resistentes de
clculo (foras e momentos), ser usada a seguinte indexao (Figura 5.12): ndice 1
! rea de concreto comprimido de largura bw e altura y; ! fora resistente de clculo (Rcd1) definida pelo produto (bw y) c; e ! momento resistente de clculo (MRd1) definido pelo produto Rcd1 z.
ndice 2 ou plica () ! rea de armadura comprimida (As); ! fora resistente de clculo (Rsd) definida pelo produto As s; e ! momento resistente de clculo (MRd2) definido pelo produto Rsd (d d).
ndice 3 ! rea de concreto comprimido de largura (bf - bw) e altura hf; ! fora resistente de clculo (Rcd3) definida pelo produto [(bf - bw) hf] c; e ! momento resistente de clculo (MRd3) definido pelo produto Rcd3 (d hf/2).
x
s
dx
x =
MSd
x
10 yd
s
c = 3,5
4
2
d
As
1,0
3 4
2
0,259 1,000
x,lim
0,500 fck 35 MPa 0,400 fck > 35 MPa
0,000
0,259
1,000
x,lim
dtil
3
x,lim
frgil
-
2006 5-12 ufpr/tc405
Figura 5.12 Indexao de reas comprimidas
5.7 Armaduras longitudinais mximas e mnimas 5.7.1 Armadura mnima
A ruptura frgil de sees transversais de vigas de concreto armado pode, tambm, ocorrer devida a pouca quantidade de armadura. Vigas com baixa taxa de armadura longitudinal tm comportamento semelhante ao das vigas de concreto simples, onde a ruptura sem aviso prvio pode ocorrer imediatamente aps o aparecimento das primeiras fissuras decorrentes de solicitaes normais (momento fletor).
A ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1, define a taxa de armadura longitudinal mnima como sendo:
c
min,smin A
A= Equao 5.11
e adota os seguintes valores:
tracionada mesaT sees
%15,0ff031,0
max
comprimida mesaT sees
%15,0ff024,0
max
esretangular sees%15,0
ff035,0
max
yd
cd
min
yd
cd
min
yd
cd
min
=
=
=
Equao 5.12
Nas sees T, a rea da seo a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.
Para vigas de seo retangular, a taxa de armadura mnima pode ser expressa por:
==
%15,0ff
035,0max
hbA
yd
cd
w
min,smin Equao 5.13
s
esforos resistentes de clculo
Rsd
MRd
l bw
bf d'
As
c c
y x
Rcd1 Rcd3
Rsd As
z
d
hf
solicitao de clculo
MSd h
1
3 3
2
MRd = MRd1 + MRd2 + MRd3
s
-
2006 5-13 ufpr/tc405
5.7.2 Armadura mxima O Captulo [4] mostrou expresses para a determinao de armadura tracionada (As) e de
armadura comprimida (As), sem nenhuma limitao de valores. Esta no limitao para as quantidades de armaduras pode dar a falsa impresso de que sempre seria possvel determinar um conjunto delas (As e As) que, compondo com as dimenses da seo transversal e com as resistncias dos materiais (fcd e fyd), seria capaz de resistir a qualquer solicitao de clculo. A ABNT NBR 6118 apresenta valores mximos para as armaduras longitudinais tracionadas ou comprimidas.
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.1: A especificao de valores mximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condies de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem s prescries de funcionamento do conjunto ao-concreto.
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.4: A soma das armaduras de trao e compresso (As + As) no devem ter valor maior que 4% Ac, calculada na regio fora da zona de emendas.
O item 17.3.5.2.4 da ABNT NBR 6118 pode ser representado por: ( )
%4AAA
c
max'ss
max =+
= Equao 5.14
A aplicao direta da Equao 5.14, para sees T, pode conduzir a vigas de difcil concretagem (excesso de armadura). A Figura 5.13 mostra uma seo retangular e uma seo T, de mesma altura (h) e mesma armadura tracionada (As). Admitindo-se que a armadura comprimida (As) seja de pequena monta a seguinte situao pode vir a ocorrer:
( ) ( )%4
hbAA
AAA
w
'ss
c
'ss
ret
=
=
4 e 3 domnios259,0
0,15,31fE
2 domnio259,0
0,1
fX
x
x
yd
s
X
yd
ss
condio de segurana SdRd MM
esforos resistentes de clculo sd1cd RR =
momento fletor (binrio) devido aos esforos resistentes de clculo 1RdRd MM =
zRzRM sd1cd1Rd == esforo resistente de clculo atuante na regio de concreto comprimido de largura bw
( ) cw1cd ybR = ( )( )( )cdw1cd f85,0x8,0bR =
( )( )( )cdxw1cd fdb68,0R = ( )( )cdwx1cd fdb68,0R =
As
l s
MSd
esforos resistentes de clculo
solicitao de clculo
x
c c
Rsd
MRd = MRd1 d
bw
Rcd = Rcd1
z h 1
y = 0,8 x
-
2006 5-15 ufpr/tc405
esforos resistentes de clculo atuantes nas armaduras tracionadas sssd AR =
ydsssd fAR =
ydsssd fAR = binrio MRd1/Rcd1
zRM 1cd1Rd = ( )( )cdwx1cd fdb68,0R =
dz z= xz 4,01 =
( )xxzxc 4,0168,068,0 == ( )( )[ ]( )dfdb68,0M zcdwx1Rd =
( )( )cd2wzx1Rd fdb68,0M = cd
2wc1Rd fdbM =
( )( )( )cd2wxx1Rd fdb4,0168,0M = ( )( )( )cd2wxx1Rd fdb4,0168,0M =
( ) ( )2xxcd
2w
1Rd 272,068,0fdb
M=
0fdb272,0
M5,2
cd2
w
1Rdx
2x =+
cd2
w
1Rdx fdb272,0
M5625,125,1 =
binrio MRd1/Rsd zRM sd1Rd =
ydsssd fAR = dz z= ( )( )dfAM zydss1Rd =
ydsz
1Rds fd
MA
=
equilbrio dos esforos resistentes de clculo ( )( )cdwx1cd fdb68,0R =
ydsssd fAR =
1cdsd RR = ( )( )cdwxydss fdb68,0fA =
xyds
cdws fA
fdb68,0
=
-
2006 5-16 ufpr/tc405
equaes principais
xyds
cdws
ydsz
1Rds
xx
x
yd
s
x
s
zxc
xz
xy
cd2
w
1Rdx
cd2
wc1Rd
1RdRd
SdRd
fAfdb68,0
fdMA
259,00,15,31fE
259,00,1
68,04,01
8,0
fdb272,0M5625,125,1
fdbM
MMMM
=
=
>
=
==
=
=
=
=
Equao 5.16
5.8.1 Dutilidade A dutilidade de uma viga fica garantida pela condio estabelecida na Equao 5.3, ou seja:
>
=
MPa35f400,0
MPa35f500,0
ck
ck
limx,x
A associao da Equao 5.6 com a Equao 5.3 torna possvel estabelecer, tambm, valores limites de c que garantam a condio de dutilidade de uma viga, ou seja:
>
=
MPa35f228,0
MPa35f272,0
ck
ck
limc,c Equao 5.17
Por outro lado, associando MRd1 da Equao 5.16 com a Equao 5.17 torna-se possvel estabelecer, tambm, valores limites para MRd1 que garantam a condio de dutilidade de uma viga, ou seja:
>
=
MPa35ffdb228,0
MPa35ffdb272,0MM
ckcd2
w
ckcd2
w
lim,1Rd1Rd Equao 5.18
Tanto a Equao 5.3, como a Equao 5.17, como a Equao 5.18 representam a condio de dutilidade de uma viga de concreto armado.
5.8.2 Equaes para dimensionamento Considerando as condies de: equilbrio, compatibilidade e segurana (Equao 5.16); dutilidade (Equao 5.3 ou Equao 5.17 ou Equao 5.18); armadura mnima (Equao 5.13); e armadura mxima (Equao 5.15),
o dimensionamento ou a verificao de vigas de seo retangular, sem armadura de compresso, pode ser representado por:
-
2006 5-17 ufpr/tc405
xyds
cdws
wmax,s
w
wyd
cd
min,s
ydsz
1Rds
xx
x
yd
s
x
s
xz
ck
ck
cd2
w
1Rdx
szck
ck
cd2
w
1Rdc
1RdRdSd
lim,1RdSd
ckcd2
w
ckcd2
wlim,1Rd
fAfdb68,0
hb04,0Ahb0015,0
hbff035,0
maxAfd
MA
259,00,15,31fE
259,00,1
4,01
MPa35f400,0MPa35f500,0
fdb272,0M5625,125,1
ou
e tabMPa35f228,0MPa35f272,0
fdbM
MMMcompresso de armadura de enecessidad h noMM
MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0
M
=
=
=
=
>
=
=
>
=
>
=
==
>
=
Equao 5.19
Exemplo 5.1: Determinar a armadura necessria para a viga abaixo indicada, a qual est submetida a um momento fletor solicitante de clculo (MSd) igual a 125 kNm.
Dados: concreto: C20; e ao: CA-50. Considerar: somente solicitaes normais (momentos fletores); e estado limite ltimo, combinaes normais (c = 1,4 e s = 1,15).
Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao direta da Equao 5.19. A soluo fica facilitada se for feita a utilizao da tabela de flexo simples do CA-50 (item 5.16).
a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm) 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinao - (ELU 1,40= c
20 cm 5 cm
45 cm
MSd = 125 kNm
As
-
2006 5-18 ufpr/tc405
2c
ckcd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
=
2yk kN/cm 50MPa 500f == normal) combinao - (ELU 1,15= s
2s
ykyd kN/cm 43,51,15
50ff ==
=
2s kN/cm 00021MPa000210GPa 210E === cm 20bw = cm 45d = cm 50h =
=
hb0015,0
hbff035,0
maxAw
wyd
cd
min,s
22
2
min,s cm50,1cm50,150200015,0
cm15,150205,43
43,1035,0maxA =
=
==
hb04,0A wmaxs, =
2maxs, cm,040502004,0A == kNcm50012kNm125MSd == MPa35ffdb272,0M ckcd
2wlim,1Rd =
kNcm7531543,14520272,0M 2lim,1Rd == { compresso de armadura de enecessidad h noMM
kNcm75315
lim,1RdkNcm50012Sd < 321
kNcm50012MMM 1RdRdSd ===
b. Linha neutra (x)
500,0fdb272,0
M5625,125,1cd
2w
1Rdx =
OK500,0373,043,14520272,0
500125625,125,1 2x
=
000,1000,1840,20001
5,3373,0
373,015,43
00021ss =>=
=
e. Clculo da armadura (As)
=
max,s
min,s
ydsz
1Rds A
Afd
MA
OKcm0,40cm50,1cm50,7
5,43000,145851,050012A 2
22
s
=
=
2cal,s cm50,7A = (armadura calculada)
-
2006 5-19 ufpr/tc405
f. Resoluo com uso de tabela
272,0fdb
M
cd2
w
1Rdc =
OK272,0216,043,14520
500122c
=
=
2cal,s cm50,7A = (armadura calculada)
g. Verificao
xyds
cdws fA
fdb68,0
=
OK000,1001,1373,05,4350,7
43,1452068,0s =
=
5.9 Disposio da armadura A distribuio e o posicionamento corretos das armaduras dentro da seo transversal de
uma viga constitui fator de suma importncia para a durabilidade das estruturas de concreto. A disposio da armadura dentro da seo transversal da viga no pode obstruir a colocao do concreto fresco, devendo permitir, com relativa folga, a introduo de equipamentos de vibrao (Figura 5.15).
Figura 5.15 Espaamento horizontal e vertical de barras longitudinais
ABNT NBR 6118, item 18.3.2.2: O espaamento mnimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seo transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: a) na direo horizontal (ah):
20 mm; dimetro da barra, do feixe ou da luva; 1,2 vez o dimetro mximo do agregado1;
b) na direo vertical (av): 20 mm; dimetro da barra, do feixe ou da luva; 0,5 vez o dimetro mximo do agregado.
1 O correto seria dizer dimenso mxima do agregado. Ver Equao [2.2].
ah
av t
dmax
l
-
2006 5-20 ufpr/tc405
Para feixes de barras deve-se considerar o dimetro do feixe: n = n. Esses valores se aplicam tambm s regies de emendas por traspasse das barras.
O item 18.3.2.2 da ABNT NBR 6118 pode ser expresso pela Equao 5.20.
max
v
max
h
d5,0
cm2maxa
d2,1
cm2maxa
l
l
Equao 5.20
Exemplo 5.2: Determinar o mximo momento fletor solicitante de clculo (MSd) que a viga abaixo representada pode suportar.
Dados: concreto: C20; ao: CA-50; armadura longitudinal: 5 16 mm; armadura transversal: 6,3 mm; cobrimento: 3 cm; e dimenso mxima do agregado: 19 mm. Considerar: somente solicitaes normais (momentos fletores); e estado limite ltimo, combinaes normais (c = 1,4 e s = 1,15).
Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao direta da Equao 5.19 e Equao 5.20, com o auxlio da tabela de flexo simples do CA-50 (item 5.16).
a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm) 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinao - (ELU 1,40= c
2c
ckcd kN/cm43,11,40
2,0ff ==
=
2yk kN/cm 50MPa 500f == normal) combinao - (ELU 1,15= s
2s
ykyd kN/cm 43,51,15
50ff ==
=
cm 20bw = cm 45h = cm 3cnom = cm0,63mm 3,6t ==
20 cm
45 cm MSd
As
-
2006 5-21 ufpr/tc405
cm 1,9mm 19dmax ==
22
efs,s cm 05,1046,15AA === (armadura efetiva)
=
hb0015,0
hbff035,0
maxAw
wyd
cd
min,s
22
2
min,s cm35,1cm35,145200015,0
cm04,145205,43
43,1035,0maxA =
=
==
hb04,0A wmaxs, =
2maxs, cm,036452004,0A ==
OKcm00,36cm05,10cm35,1max,ssmin,s A
2
A
2
A
2434214342143421
max
v
d5,0
cm2maxa l
cm0,2cm95,09,15,0d5,0
cm6,1cm2
maxa
max
v
=== l
cm0,2av = (valor adotado) c. Determinao da altura til (d)1
10hycg <
cm5,41045ycg =<
1 ABNT NBR 6118, item 17.2.4.1: Os esforos nas armaduras podem ser considerados no centro de gravidade
correspondente, se a distncia deste cento ao ponto da seo de armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10%. (Ver Figura 5.26)
t
cnom
l av
ah
cg
d
t
cnom
l
ycg
(ycg + t + cnom)
h
d = h - (ycg + t + cnom)
2 cm (av)
-
2006 5-22 ufpr/tc405
=
si
isicg A
yAy
OKcm4,5cm 24,2
46,12
46,13
26,10,26,1
46,12
26,1
46,13
y22
22
cg ==
Como o valor MRd1 calculado (13 090 kNcm) resultou maior que o valor limite MRd1,lim (11 790 kNcm) isto significa que a viga esta com excesso de armadura. Para que sejam mantidas as condies de dutilidade da seo transversal apresentada necessrio que o valor de MSd fique limitado ao valor limite. Portanto:
kNm9,117kNcm79011MM lim,1RdSd === kNm9,117MSd = O valor assumido obedece ao item 14.6.4.3 da ABNT NBR 6118 que limita a 0,500 o
valor de x (x,lim) para regies de vigas prximas a apoios, onde ocorrem momentos negativos como o caso deste exemplo.
5.10 Vigas de seo retangular com armadura de compresso Conforme visto em 5.8, vigas com dimenses adequadas e sem armadura de compresso,
tem comportamento dtil desde que sejam projetadas para suportar momentos solicitantes inferiores a um determinado limite (MSd MRd1,lim). Quando os momentos solicitantes ultrapassam o valor limite, a dutilidade das vigas pode ser garantida com o uso de armadura de compresso, como mostrado na Figura 5.16. Para tal basta forar que a linha neutra mantenha-se no domnio 2 ou no domnio 3.
-
2006 5-23 ufpr/tc405
A manuteno da linha neutra no domnio 2 (0,000 x 0,259) ou no domnio 3 (0,259 x x,lim) pode ser alcanada com a definio do valor de x que conduza ao dimensionamento mais econmico, ou seja, aquele que definir a menor quantidade total de armadura (menor As + As). Em termos prticos, isto nem sempre possvel. A prtica comum simplesmente adotar para x o seu valor limite (x = x.lim que corresponde a MRd1 = MRd1,lim), independentemente de qualquer estudo econmico.
Figura 5.16 Vigas de seo retangular com armadura de compresso
Como mostrado na Figura 5.16, o momento fletor resistente de clculo MRd (MRd MSd) composto por dois momentos MRd1 e MRd2. No que se refere a MRd1 valem todas as consideraes apresentadas em 5.8. Desenvolvendo, para a Figura 5.16, um raciocnio semelhante ao apresentado em 5.8, chega-se:
valor adimensional da tenso na armadura comprimida (Equao 5.10)
>
=
=
4 e 3 domnios259,0
0,15,3dd
fE
2 domnio259,0
0,1101
dd
fE
f
X
x
'
x
yd
s
X
x
'
x
yd
s
yd
's'
s
armadura comprimida
( ) yd's'2Rd'
s fddM
A
=
armadura tracionada
yds'
2Rd
z
1Rds f
1)dd(
Md
MA
+
=
equao de verificao
's
s
's
xyds
cdws A
AfA
fdb68,0
+
=
Rsd
c
As
l s
MSd
esforos resistentes de clculo
solicitao de clculo
x
c
MRd = MRd1 + MRd2
d'
d
bw
R'sd
Rcd1
d-d z
Rsd
Rsd2 + Rsd1 (Rsd) (Rcd1)
v
As
v
As2 + As1
h
A's
2
1
y = 0,8 x
's
-
2006 5-24 ufpr/tc405
Desta forma, as vigas de seo retangular com armadura de compresso, podem ser representadas por:
( )
( )( )
's
s
's
xyds
cdws
w'ss
yd's
'2Rd'
s
w
wyd
cd
min,syds
'2Rd
z
1Rds
xx
'
x
yd
s
xx
'
x
yd
s
's
xx
x
yd
s
x
s
xz
ck
ck
cd2
w
1Rdx
'ssz
ck
ck
cd2
w
1Rdc
1RdRd2Rd
2Rd1RdRdSd
lim,1RdRd1lim,1Rd1Rd
lim,1RdSd
ckcd2
w
ckcd2
wlim,1Rd
AA
fAfdb68,0
hb04,0AA
fddMA
hb0015,0
hbff035,0
maxAf1
ddM
dMA
259,00,15,3dd
fE
259,00,1101
dd
fE
259,00,15,31fE
259,00,1
4,01
MPa35f400,0MPa35f500,0
fdb272,0M5625,125,1
ou
e ,tabMPa35f228,0MPa35f272,0
fdbM
MMMMMMM
)MM ser (pode assumido ser a valorMMcompresso de armadura de enecessidad hMM
MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0
M
+
=
+
=
=
+
=
>
=
>
=
=
>
=
>
=
=
+==
=
>
>
=
Equao 5.21
Exemplo 5.3: Determinar a armadura necessria para a viga abaixo indicada, a qual est submetida a um momento fletor solicitante de clculo (MSd) igual a 220 kNm.
Dados: concreto: C20; ao: CA-50; armadura transversal: 6,3 mm; cobrimento: 3 cm; e dimenso mxima do agregado: 19 mm. Considerar: somente solicitaes normais (momentos fletores); e estado limite ltimo, combinaes normais (c = 1,4 e s = 1,15).
-
2006 5-25 ufpr/tc405
Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao da Equao 5.19 ou Equao 5.21 e da tabela de flexo simples do CA-50 (item 5.16).
a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm) 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinao - (ELU 1,40= c
2c
ckcd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
=
2yk kN/cm 50MPa 500f == normal) combinao - (ELU 1,15= s
2s
ykyd kN/cm 43,51,15
50ff ==
=
cm 20bw = cm 50h = (assumido)cm 44d = (assumido)cm 4d' = cm 3cnom = cm0,63mm 3,6t == cm 1,9mm 19dmax ==
=
hb0015,0
hbff035,0
maxAw
wyd
cd
min,s
22
2
min,s cm50,1cm50,150200015,0
cm15,150205,43
43,1035,0maxA =
=
==
( ) 2wmax'ss cm,040502004,0hb04,0AA ===+ kNcm00022kNm220MSd == MPa35ffdb272,0M ckcd
2wlim,1Rd =
kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd == {
compresso de armadura de enecessidad hMMkNcm06115
lim,1RdkNcm00022
Sd > 321
kNcm06115MM limRd1,1Rd = ) a de(correspon adotado valorkNcm06115M limc,Rd1 = kNcm00022MMMM 2RdRd1RdSd =+== 1RdRd2Rd MMM = kNcm93960611500022M 2Rd ==
20 cm
50 cm
MSd = 220 kNm
As
-
2006 5-26 ufpr/tc405
b. Tabela CA-50
272,0fdb
Mcd
2w
1Rdc =
limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,1442006115
=
=
{
=
=
=
=
==
=
000,1
000,1800,0500,0
091,0444
dd
272,0
's
s
z
x
tabela'
c
( ) min,syds'2Rd
z
1Rds Af
1dd
Md
MA
+
=
OKcm50,1cm82,135,43000,1
1)444(
939644800,0
06115A 22s >=
+
=
2cal,s cm82,13A =
22
ef,s cm71,1540,25mm20 5A === (2 camadas)
( ) yd's'2Rd'
s fddMA
=
2's cm99,35,43000,1)444(9396A =
=
2' cal,s cm99,3A =
22
'ef,s cm02,44
6,12mm16 2A ===
OKcm0,40cm73,1902,471,15AA 22' ef,sef,s
-
2006 5-27 ufpr/tc405
{
OKaacm28,2
min,hcm37,3cal,h 321
>
max
v
d5,0
cm2maxa l
cm0,2cm95,09,15,0d5,0
cm2cm2
maxa
max
v
=== l
cm0,2av = (valor adotado) e. Determinao da altura til (d)
10hycg <
cm0,51050ycg =<
=
si
isicg A
yAy
OKcm5,0cm 60,2
40.22
40,23
20,20,20,2
40,22
20,2
40,23
y22
22
cg =++=
g. Clculo da armadura para novos valores de d e d kNcm9031443,177,4320272,0fdb272,0M 2cd
2w1Rd ===
kNcm09779031400022M 2Rd ==
limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,177,432014903
=
=
=
==
==
=
000,1000,1800,0
101,077,4343,4
dd
272,0
's
s
z
tabela'
c
321
OKcm50,1cm93,135,43000,1
1)43,477,43(
097777,43800,0
90314A 22s >=
+
=
2cal,s cm93,13A =
22
ef,s cm71,1540,25mm20 5A ===
cg
d
t
cnom
l
ycg
(ycg + t + cnom)
h
d = h - (ycg + t + cnom)
2 cm (av)
d
t cnom
l
h
d' = cnom + t + 0,5l
-
2006 5-28 ufpr/tc405
2's cm15,45,43000,1)43,477,43(0977A =
=
2' cal,s cm15,4A =
222
'ef,s cm81,44
0,14
6,12mm10 1mm16 2A =
+
=+=
OKcm0,40cm52,2081,471,15AA 22' ef,sef,s
-
2006 5-29 ufpr/tc405
2' ef,s cm81,4A =
2' ef,sef,s cm52,2081,471,15AA =+=+ kNcm95810M 1Rd = 2ef,s cm71,15A =
2' ef,s cm07,7A =
%11cm78,2207,771,15AA 2' ef,sef,s +=+=+
5.11 Vigas de seo T sem armadura de compresso 5.11.1 Regio de concreto comprimido
A regio de concreto comprimido, em uma viga de seo T, pode ocorrer de trs modos distintos como apresentado na Figura 5.17.
Figura 5.17 Regies de concreto comprimido em vigas de seo T A situao em que toda a mesa est comprimida, corresponde a:
fhy =
dh
dy f=
Considerando a Equao 5.6, tem-se:
dh
dy f
y ==
d8,0h
8,0fy
x =
=
( )
=
==
2hd
dh85,0
d8,0h4,01
d8,0h68,04,0168,0 f2
fffxxc
Levando-se em conta as condies estabelecidas na Figura 5.14, cuja regio comprimida definida pelo retngulo de dimenses bw y, tem-se, pela Equao 5.16:
cd2
wc1Rd fdbM =
( ) cdffwcd2wf2f1Rd f2hdhb85,0fdb
2hd
dh85,0M
=
=
No caso particular em que bw (da Figura 5.14) for igual a bf (da Figura 5.17), e definindo, para este caso, MRd1 como sendo o momento resistente de clculo resistido pela mesa comprimida da seo T, tem-se:
( ) cdfffmesa,Rd1Rd f2hdhb85,0MM
==
y
bw
bf
As
hf
y < hf
y
bw
bf
As
y = hf
y
bw
bf
As
y > hf
-
2006 5-30 ufpr/tc405
( ) cdfffmesa,Rd f2hdhb85,0M
= Equao 5.22
Desta forma, para as regies de concreto comprimido em vigas de sees T, tm-se:
mesa,RdRdf
mesa,RdRdf
mesa,RdRdf
MMhy
MMhy
MMhy
>>
==
-
2006 5-31 ufpr/tc405
( )
xyds
cdfs
wmax,s
c
cyd
cd
min,s
ydsz
1Rds
fy
xx
x
yd
s
x
s
xz
xy
ck
ck
cd2
f
1Rdx
szyck
ck
cd2
f
1Rdc
1RdRdSd
lim,1RdSd
ckcd2
f
ckcd2
flim,1Rd
ffmesa,RdSd
cdf
ffmesa,Rd
fAfdb68,0
hb04,0AA0015,0
Aff024,0
maxAfd
MA
hdy
259,00,15,31fE
259,00,1
4,018,0
MPa35f400,0MPa35f500,0
fdb272,0M5625,125,1
ou
e ,tabMPa35f228,0MPa35f272,0
fdbM
MMMcompresso de armadura de enecessidad h noMM
MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0
M
b base de eequivalent retangular seohyMM
f2hdhb85,0M
=
=
=
=
=
>
=
=
=
>
=
>
=
==
>
=
=
Equao 5.24
Exemplo 5.4: Determinar a armadura necessria para a viga abaixo indicada, a qual est submetida a um momento fletor solicitante de clculo (MSd) igual a 220 kNm.
Dados: concreto: C20; e ao: CA-50. Considerar: somente solicitaes normais (momentos fletores); e estado limite ltimo, combinaes normais (c = 1,4 e s = 1,15).
10 cm
40 cm
20 cm
MSd = 220 kNm
As
60 cm
-
2006 5-32 ufpr/tc405
Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao direta da Equao 5.24 e da tabela de flexo simples do CA-50 (item 5.16).
a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm) 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinao - (ELU 1,40= c
2c
ckcd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
=
2yk kN/cm 50MPa 500f == normal) combinao - (ELU 1,15= s
2s
ykyd kN/cm 43,51,15
50ff ==
=
cm 20bw = cm 06bf = cm 44d = (assumido) cm 50h = cm 10hf = ( ) fwfwc hbbhbA += ( ) 2c cm 00411020-605020A =+=
=
c
cyd
cd
min,s
A0015,0
Aff024,0
maxA
22
2
min,s cm10,2cm10,240010015,0
cm10,140015,43
43,1024,0maxA =
=
==
hb04,0A wmaxs, =
2maxs, cm,040502004,0A == kNcm00022kNm220MSd ==
( ) cdfffmesa,Rd f2hdhb85,0M
=
( ) kNcm4432843,12
1044106085,0M mesa,Rd =
=
{ ffkNcm44328
mesa,RdkNcm00022
Sd b base de eequivalent retangular seohyMM
-
2006 5-33 ufpr/tc405
=
=
=
=
=
000,1915,0170,0213,0
132,0
s
z
y
x
tabelac 321
OKcm0,10cm48,744170,0dyfh
y 43421
=
=
2cal,s cm56,12A =
22
ef,s cm57,1240,24mm20 4A ===
c. Verificao para valores calculados
xyds
cdfs fA
fdb68,0
=
OK000,1001,1213,05,4356,12
43,1446068,0s =
=
d. Comparao com o Exemplo 5.3, para d igual a 44 cm
e. Observao Deve ser verificado o valor de d (assumido igual a 44 cm) em funo da disposio
da armadura definida por As,ef. Esta verificao pressupe o conhecimento do dimetro da armadura transversal (estribo), cobrimento da armadura e dimenso mxima do agregado grado.
MSd = 220 kNm Seo Retang. Seo T Ac 1000,0 cm2 1400,0 cm2 40,0% Acc 352,0 cm2 448,8 cm2 27,5% As 3,99 cm2 # # As 13,82 cm2 12,56 cm2 -9,1%
As + As 17,81 cm2 12,56 cm2 -29,5% x 0,500 0,213
Domnio 3 2
17,6 cm
20 cm
As
As
As = 13,82 cm2 As = 3,99 cm2
6 cm
10 cm
34 cm
20 cm
As
60 cm
7,48 cm
As = 12,56 cm2
-
2006 5-34 ufpr/tc405
5.11.3 Sees T sem armadura de compresso: y > hf Seja Figura 5.19 onde est representada uma viga de seo T em que a solicitao de
clculo MSd resistida pelo momento resistente de clculo MRd, composto pelos binrios das foras Rcd1 / Rsd1 e Rcd3 / Rsd3, sem a necessidade de armadura de compresso.
Figura 5.19 Vigas de seo T sem armadura de compresso y > hf Como mostrado na Figura 5.19, o momento fletor resistente de clculo MRd (MRd MSd)
composto por dois momentos MRd1 e MRd3. No que se refere a MRd1 valem todas as consideraes apresentadas em 5.8. Desenvolvendo, para a Figura 5.19, um raciocnio semelhante ao apresentado em 5.8, chega-se:
armadura tracionada
ydsf
3Rd
z
1Rds f
1
2hd
Md
MA
+
=
equao de verificao ( )[ ]
+
=
yds
cdfwfx
yds
cdws fA
fhbb85,0fA
fdb68,0
Desta forma, as vigas de seo T, sem armadura de compresso, com y > hf, podem ser representadas por:
Rsd3 + Rsd1 (Rcd3) (Rcd1)
s
esforos resistentes de clculo
Rsd
MRd = MRd1 + MRd3
l bw
bf
As
c c
x Rcd1
Rcd3
z
d
hf
solicitao de clculo
MSd
Rsd
v
As
v
As3 + As1
h
1
3 3
y = 0,8 x
-
2006 5-35 ufpr/tc405
( )
( )
( )
( )[ ]
+
=
=
=
+
=
>=
>
=
=
=
>
=
>
=
=
+==
+
=
>
=
>>
=
yds
cdfwfx
yds
cdws
wmax,s
c
cyd
cd
min,s
ydsf
3Rd
z
1Rds
fy
xx
x
yd
s
x
s
xz
xy
ck
ck
cd2
w
1Rdx
szyck
ck
cd2
w
1Rdc
3RdRd1Rd
3Rd1RdRdSd
3Rdlim,1RdSd
cdf
fwf3Rd
ckcd2
w
ckcd2
wlim,1Rd
fmesa,RdSd
cdf
ffmesa,Rd
fAfhbb85,0
fAfdb68,0
hb04,0AA0015,0
Aff024,0
maxAf1
2hd
Md
MA
hdy
259,00,15,31fE
259,00,1
4,018,0
MPa35f400,0MPa35f500,0
fdb272,0M5625,125,1
ou
e ,tabMPa35f228,0MPa35f272,0
fdbM
MMMMMMM
compresso de armadurade enecessidad h no
MMM
f2hdhbb85,0M
MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0
M
T seohyMM
f2hdhb85,0M
Equao 5.25
Exemplo 5.5: Determinar a armadura necessria para a viga abaixo indicada, a qual est submetida a um momento fletor solicitante de clculo (MSd) igual a 320 kNm.
Dados: concreto: C20; e ao: CA-50. Considerar: somente solicitaes normais (momentos fletores); e estado limite ltimo, combinaes normais (c = 1,4 e s = 1,15).
-
2006 5-36 ufpr/tc405
Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao direta da Equao 5.25 e da tabela de flexo simples do CA-50 (item 5.16).
a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm) 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinao - (ELU 1,40= c
2c
ckcd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
=
2yk kN/cm 50MPa 500f == normal) combinao - (ELU 1,15= s
2s
ykyd kN/cm 43,51,15
50ff ==
=
cm 20bw = cm 06bf = cm 44d = (assumido) cm 50h = cm 10hf = ( ) fwfwc hbbhbA += ( ) 2c cm 00411020-605020A =+=
=
c
cyd
cd
min,s
A0015,0
Aff024,0
maxA
22
2
min,s cm10,2cm10,240010015,0
cm10,140015,43
43,1024,0maxA =
=
==
hb04,0A wmaxs, =
2maxs, cm,040502004,0A == kNcm00032kNm320MSd ==
( ) cdfffmesa,Rd f2hdhb85,0M
=
( ) kNcm4432843,12
1044106085,0M mesa,Rd =
=
{ T seohyMM fkNcm44328
mesa,RdkNcm00032
Sd >> 43421
MPa35ffdb272,0M ckcd2
wlim,1Rd =
kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd ==
bf
bf
As
d h
hf
10 cm
40 cm
20 cm
MSd = 320 kNm
As
60 cm
-
2006 5-37 ufpr/tc405
( ) cdffwf3Rd f2hdhbb85,0M
=
( ) kNcm9621843,12
104410206085,0M 3dR =
=
kNcm3402396218kNcm06115MM 3Rdlim,1Rd =+=+
{compresso de armadura de enecessidad h noMMM
kNcm02334
3Rdlim,1RdkNcm00032
Sd +< 44 344 21
kNcm00032MMMM 3Rd1RdRdSd =+== 3RdRd1Rd MMM = kNcm038139621800032M 1Rd == b. Tabela CA-50
272,0fdb
M
cd2
w
1Rdc =
OK272,0235,043,14420
038132c ===
+
=max,s
min,s
ydsf
3Rd
z
1Rds A
Af
1
2hd
Md
MA
OKcm0,40cm10,2cm34,19
5,43000,11
21044
9621844834,0
03813A 22
2s
=
+
=
2cal,s cm34,19A =
22
ef,s cm63,1945,24mm25 4A ===
c. Verificao para valores calculados
( )[ ]
+
=
yds
cdfwfx
yds
cdws fA
fhbb85,0fA
fdb68,0
( )[ ] OK000,15,4334,19
43,110206085,0415,05,4334,19
43,1442068,0s =
+
=
d. Observao Deve ser verificado o valor de d (assumido igual a 44 cm) em funo da disposio
da armadura definida por As,ef. Esta verificao pressupe o conhecimento do dimetro da armadura transversal (estribo), cobrimento da armadura e dimenso mxima do agregado grado.
-
2006 5-38 ufpr/tc405
5.12 Vigas de seo T com armadura de compresso 5.12.1 Sees T com Armadura de Compresso: y hf
Nas sees T, a necessidade da armadura de compresso (Figura 5.20) pode vir a ser necessria, em alguns casos, quando a relao hf / d assume valores maiores que 0,4 para concretos de classe igual ou inferior a C35, ou 0,32 para concretos de classe superior a C35.
Figura 5.20 Vigas de seo T com armadura de compresso y hf Desenvolvendo um raciocnio anlogo ao apresentado em 5.8, 5.10 e 5.11, as vigas de
seo T, com armadura de compresso, com y hf, podem ser representadas por:
s
esforos resistentes de clculo
Rsd
l bw
bf d'
As
c c
x
Rcd1 Rsd
z
d hf
solicitao de clculo
MSd
Rsd
Rsd2 + Rsd1 (Rsd) (Rcd1)
v
As
v
As2 + As1
h
As
1
2
s
y = 0,8 x
MRd = MRd1 + MRd2
-
2006 5-39 ufpr/tc405
( )
( )
( )( )
's
s
's
xyds
cdfs
w'ss
yd's
'2Rd'
s
c
cyd
cd
min,syds
'2Rd
z
1Rds
fy
xx
'
x
yd
s
xx
'
x
yd
s
's
xx
x
yd
s
x
s
xz
xy
ck
ck
cd2
f
1Rdx
'sszy
ck
ck
cd2
f
1Rdc
1RdRd2Rd
2Rd1RdRdSd
lim,1RdRd1lim,1Rd1Rd
lim,1RdSd
ckcd2
f
ckcd2
flim,1Rd
ffmesa,RdSd
cdf
ffmesa,Rd
AA
fAfdb68,0
hb04,0AA
fddMA
A0015,0
Aff024,0
maxAf1
ddM
dMA
hdy
259,00,15,3dd
fE
259,00,1101
dd
fE
259,00,15,31fE
259,00,14,01
8,0MPa35f400,0MPa35f500,0
fdb272,0M5625,125,1
ou
e , ,tabMPa35f228,0MPa35f272,0
fdbM
MMMMMMM
)MM ser (pode assumido ser a valorMMcompresso de armadura de enecessidad hMM
MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0
M
b base de eequivalent retangular seohyMM
f2hdhb85,0M
+
=
+
=
=
+
=
=
>
=
>
=
==
>
=
>
=
=
+==
=
>
>
=
=
Equao 5.26
Exemplo 5.6: Determinar a armadura necessria para a viga abaixo indicada, a qual est submetida a um momento fletor solicitante de clculo (MSd) igual a 500 kNm.
Dados: concreto: C20; e ao: CA-50. Considerar: somente solicitaes normais (momentos fletores); e estado limite ltimo, combinaes normais (c = 1,4 e s = 1,15).
-
2006 5-40 ufpr/tc405
Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao direta da Equao 5.26 e da tabela de flexo simples do CA-50 (item 5.16).
a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm) 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinao - (ELU 1,40= c
2c
ckcd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
=
2yk kN/cm 50MPa 500f == normal) combinao - (ELU 1,15= s
2s
ykyd kN/cm 43,51,15
50ff ==
=
cm 20bw = cm 06bf = cm 44d = (assumido) cm 4d' = (assumido) cm 50h = cm 52hf = ( ) fwfwc hbbhbA += ( ) 2c cm 00022520-605020A =+=
=
c
cyd
cd
min,s
A0015,0
Aff024,0
maxA
22
2
min,s cm00,3cm00,300020015,0
cm58,100025,43
43,1024,0maxA =
=
==
hb04,0A wmaxs, =
2maxs, cm,040502004,0A == kNcm00050kNm500MSd ==
( ) cdfffmesa,Rd f2hdhb85,0M
=
( ) kNcm4325743,12
2544256085,0M mesa,Rd =
=
{ ffkNcm43257
mesa,RdkNcm00050
Sd b base de eequivalent retangular seohyMM
-
2006 5-41 ufpr/tc405
kNcm1824543,14460272,0M 2lim,1Rd == { compresso de armadura de enecessidad hMM
kNcm18245
lim,1RdkNcm00050
Sd > 321
kNcm18245MM limRd1,1Rd = ) a de(correspon adotado valorkNcm18245M limx,Rd1 = kNcm00050MMMM 2Rd1RdRdSd =+== 1RdRd2Rd MMM = kNcm81841824500050M 2Rd == b. Tabela CA-50
272,0fdb
M
cd2
f
1Rdc =
limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,1446018245
=
=
=====
==
=
000,1000,1800,0400,0500,0
091,0444
dd
272,0
's
s
z
y
x
tabela'
c
321
OKcm0,25cm60,1644400,0dyfh
y 43421
-
2006 5-42 ufpr/tc405
5.12.2 Sees T com Armadura de Compresso: y > hf Nas sees T, a necessidade da armadura de compresso (Figura 5.21) pode vir a ser
necessria, em casos, que a altura da regio de concreto comprimido (y) ocupe boa parte da nervura, alm da ocupao total da mesa.
Figura 5.21 - Vigas de seo T com armadura de compresso y > hf Desenvolvendo um raciocnio anlogo ao apresentado em 5.8, 5.10 e 5.11, as vigas de
seo T, com armadura de compresso, com y > hf, podem ser representadas por:
s
esforos resistentes de clculo
Rsd MRd = MRd1
+ MRd2 + MRd3
l bw
bf d'
As
c c
x Rcd1
Rcd3 Rsd
As
z
d
hf
solicitao de clculo
MSd
Rsd
Rsd3 + Rsd2 + Rsd1 (Rcd3) (Rsd) (Rcd1)
v
As
v
As3 + As2 + As1
h
1
3 3
2
s
y = 0,8 x
-
2006 5-43 ufpr/tc405
( )
( )
( )
( )( )
( )[ ]
+
+
=
+
=
=
+
+
=
>=
>
=
>
=
==
>
=
>
=
+=
++==
=
+>
=
>
=
>>
=
yds
cdfwf's
s
's
xyds
cdws
w'ss
yd's
'2Rd'
s
c
cyd
cd
min,sydsf
3Rd'
2dR
z
1Rds
fy
xx
'
x
yd
s
xx
'
x
yd
s
's
xx
x
yd
s
x
s
xz
xy
ck
ck
cd2
w
1Rdx
'sszy
ck
ck
cd2
w
1Rdc
3Rd1RdRd2Rd
3Rd2Rd1RdRdSd
limRd1,Rd1lim,1Rd1Rd
3Rdlim,1RdSd
cdf
fwf3Rd
ckcd2
w
ckcd2
wlim,1Rd
fmesa,RdSd
cdf
ffmesa,Rd
fAfhbb85,0
AA
fAfdb68,0
hb04,0AA
fddMA
A0015,0
Aff024,0
maxAf1
2hd
M)dd(
Md
MA
hdy
259,00,15,3dd
fE
259,00,1101
dd
fE
259,00,15,31fE
259,00,14,01
8,0MPa35f400,0MPa35f500,0
fdb272,0M5625,125,1
ou
e , ,tabMPa35f228,0MPa35f272,0
fdbM
MMMMMMMMM
)MM ser (pode assumido ser a valorMMcompresso de armadura
de enecessidad a h)MM(M
f2hdhbb85,0M
MPa35ffdb228,0MPa35ffdb272,0
M
T seohyMM
f2hdhb85,0M
Equao 5.27
-
2006 5-44 ufpr/tc405
Exemplo 5.7: Determinar a armadura necessria para a viga abaixo indicada, a qual est submetida a um momento fletor solicitante de clculo (MSd) igual a 500 kNm.
Dados: concreto: C20; e ao: CA-50. Considerar: somente solicitaes normais (momentos fletores); e estado limite ltimo, combinaes normais (c = 1,4 e s = 1,15).
Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao direta da Equao 5.27 e da tabela de flexo simples do CA-50 (item 5.16).
a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm) 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinao - (ELU 1,40= c
2c
ckcd kN/cm 43,11,40
2,0ff ==
=
2yk kN/cm 50MPa 500f == normal) combinao - (ELU 1,15= s
2s
ykyd kN/cm 43,51,15
50ff ==
=
cm 20bw = cm 06bf = cm 44d = (assumido) cm 4d' = (assumido) cm 50h = cm 10hf = ( ) fwfwc hbbhbA += ( ) 2c cm 00411020-605020A =+=
=
c
cyd
cd
min,s
A0015,0
Aff
024,0maxA
22
2
min,s cm10,2cm10,240010015,0
cm10,140015,43
43,1024,0maxA =
=
==
hb04,0A wmaxs, =
2maxs, cm,040502004,0A == kNcm00050kNm500MSd ==
10 cm
40 cm
20 cm
MSd = 500 kNm
As
60 cm
-
2006 5-45 ufpr/tc405
( ) cdfffmesa,Rd f2hdhb85,0M
=
( ) kNcm4432843,12
1044106085,0M mesa,Rd =
=
{
T seohyMM fkNcm44328
mesa,RdkNcm00050
Sd >> 43421
MPa35ffdb272,0M ckcd2
wlim,1Rd =
kNcm0611543,14420272,0M 2lim,1Rd ==
( ) cdffwf3Rd f2hdhbb85,0M
=
( ) kNcm9621843,12
104410206085,0M 3dR =
=
kNcm0233496218kNcm06115MM 3Rdlim,1Rd =+=+ { compresso de armadura de enecessidad hMMM
kNcm02334
3Rdlim,1RdkNcm00050
Sd +> 44 344 21
lim,1RdRd1 MM adotado valorkNcm15061MRd1 = kNcm00050MMMMM 3Rd2Rd1RdRdSd =++== ( )3Rd1RdRd2Rd MMMM += kNcm97715)9621806115(00050M 2Rd =+= b. Tabela CA-50
272,0fdb
M
cd2
w
1dc =
limRd1,Rd12c M de diferente fosse M se 0,272 de diferente erias272,043,1442006115
=
=
=
=
=
==
==
=
000,1
000,1800,0400,0500,0
091,0444
dd
272,0
's
s
z
y
x
tabela'
c
321
OKcm0,10cm60,1744400,0dyfh
y 43421>===
min,sydsf
3Rd'
2dR
z
1Rds Af
1
2hd
M)dd(
Md
MA
+
+
=
OKcm10,2cm20,305,43000,1
1
21044
96218)444(
9771544800,0
06115A 22s =
+
+
=
2cal,s cm20,30A =
22
ef,s cm36,3445,27mm25 7A ===
bf
bf
As
d h
hf
-
2006 5-46 ufpr/tc405
( ) yd's'2Rd'
s fddMA
=
( )2'
s cm18,95,43000,144497715A =
=
2' cal,s cm18,9A =
22
'ef,s cm05,104
6,15mm16 5A ===
viga da dimenses as aumentarcm0,40cm41,4405,1036,34AA 22' ef,sef,s >=+=+
c. Verificao para valores calculados
( )[ ]
+
+
=
yds
cdfwf's
s
's
xyds
cdws fA
fhbb85,0AA
fAfdb68,0
( )[ ] 000,15,4320,30
43,110206085,0000,120,30
18,9500,05,4320,30
43,1442068,0s =
+
+
=
OK d. Observao Se para a verificao da armadura mxima fosse usada a Equao 5.14 no lugar da
Equao 5.15, teramos: ( ) cmax'ss A04,0AA + ( ) 2max'ss cm0,56400104,0AA =+ OKcm0,56cm41,4405,1036,34AA 22' ef,sef,s
-
2006 5-47 ufpr/tc405
Deve ser notado que no dimensionamento da armadura longitudinal (armadura de flexo), a viga de concreto armado composta por nervura (alma) e abas (mesa), como mostrado na Figura 5.22, s poder ser considerada como seo T, quando a mesa estiver comprimida. Caso contrrio (mesa tracionada), a viga dever ser considerada como de seo retangular de base bw.
De modo geral, pode se dizer que a seo T, com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em p), pode ser usada para o dimensionamento da armadura longitudinal positiva (momentos fletores positivos da viga V3 da Figura 5.22).
Eventualmente, em construes com lajes rebaixadas (apoiadas na base da viga), possvel configurar-se sees (T invertido da viga V4 da Figura 5.22). Nestes casos, estas sees poderiam ser usadas no dimensionamento da armadura longitudinal negativa (momentos fletores negativos, se houverem, na viga V4 da Figura 5.22).
5.13.2 Largura colaborante de vigas de seo T 5.13.2.1 Distncia entre pontos de momentos fletores nulos
A considerao da largura colaborante da laje associada viga (Figura 5.22) deve obedecer s prescries da ABNT NBR 6118.
ABNT NBR 6118, item 14.6.2.2: A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no mximo 10% da distncia a entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. A distncia a pode ser estimada, em funo do comprimento l do tramo considerado, como se apresenta a seguir:
viga simplesmente apoiada: a = 1,00 l; viga com momento em uma s extremidade: a = 0,75 l; viga com momento nas duas extremidades: a = 0,60 l; viga em balano: a = 2,00 l.
Alternativamente, o cmputo da distncia a pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura. No caso de vigas contnuas, permite-se calcul-las com uma largura colaborante nica para todas as sees, inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a largura resulte mnima.
Os valores de a podem ser estabelecidos como:
balano em viga2aesextremidad duas nas momento com viga60,0a
eextremidad s uma em momento com viga75,0aapoiada tesimplesmen vigaa
l
l
l
l
====
Equao 5.28
A Figura 5.23 mostra os valores simplificados de a, como estabelecidos pela ABNT NBR 6118.
-
2006 5-48 ufpr/tc405
Figura 5.23 Distncia entre pontos de momento fletor nulo
Deve ser observado na Figura 5.23 que para a viga isosttica (l1) s tem sentido o uso de sees T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em p), pois nesta viga s atuam momentos fletores positivos. Neste caso:
11aa l==
Para a viga contnua (l2 + l3 + l4), as sees T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em p) podem ser admitidas nos trechos I e III, onde atuam momentos fletores positivos. As sees com a mesa posicionada na parte inferior da viga (T invertido) podem ser admitidas nos trechos II e IV, onde atuam momentos fletores negativos.
Para o caso em que a viga contnua mostrada na Figura 5.23 tiver, em toda sua extenso, seo transversal em forma de T com a mesa posicionada na parte superior da viga (T em p), na determinao do valor de bf (a ser usado no dimensionamento dos momentos fletores positivos dos trechos I e III), deve ser tomado para a o menor dos seguintes valores:
==
33
22
60,0a75,0a
al
l
Para o caso em que a viga contnua mostrada na Figura 5.23 tiver, em toda sua extenso, seo transversal em forma de com a mesa posicionada na parte inferior da viga (T invertido), na determinao do valor de bf (a ser usado no dimensionamento dos momentos fletores negativos dos trechos II e IV), deve ser tomado para a o menor dos seguintes valores:
++
43
32
00,220,020,025,0
all
ll
5.13.2.2 Vigas isoladas e painel de vigas Na determinao de bf no pode ser apenas considerada a distncia a entre os pontos de
momento fletor nulo, como apresentado em 5.13.2.1. Algumas disposies decorrentes da prpria natureza da viga, ou do conjunto delas, devem ser consideradas, como mostrado na Figura 5.24.
a1 = l1
l1 l4 l3 l2
a2 = 0,75 l2 a3 = 0,60 l3 a4 = 2,00 l4
I II III IV
-
2006 5-49 ufpr/tc405
Figura 5.24 Largura de mesa colaborante As relaes entre os valores de a mostrados na Figura 5.23 e os valores de bi apresentados
na Figura 5.24 correspondem a:
4
32
1 ba1,0
bb5,0a1,0
b Equao 5.29
Exemplo 5.8: Determinar o valor de bf para a viga V2. Considerar: vigas simplesmente apoiadas nos pilares.
b4 b4
b3
bf
bw
c
b3 c
viga isolada
bw
b1
b2 b4
b3
bf
bw
c
b1 c
conjunto de vigas
b1 0,5 b2
b3 b4
L1
L3
L2 V3 V4
P1 P2
P3 P4
V2B V2A
V1B V1A
40
40
400
40 740 40 180
120
-
2006 5-50 ufpr/tc405
Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao direta da Equao 5.28 e da Equao 5.29.
a. Definio de a (vista longitudinal de V2) 22 75,0aa l== cm58578075,0a ==
b. Definio de bf (seo transversal de V2) cm400b2 = cm120b4 =
2
1 b5,0a1,0
b
===
cm2004005,0b5,0
cm5,585851,0b
21
4
3 ba1,0
b
=
cm120
cm5,585851,0b3
1w3f bbbb ++= cm1575,58405,58bf =++= cm157bf =
5.14 MSd,min Uma outra maneira de se determinar armadura mnima em vigas de concreto armado
usando o conceito de MSd,min. ABNT NBR 6118, item 17.3.5.1:
A ruptura frgil das sees transversais, quando da formao da primeira fissura, deve ser evitada considerando-se, para o clculo das armaduras, um momento mnimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seo de concreto simples, supondo que a resistncia trao do concreto seja dada por fctk,sup, devendo tambm obedecer s condies relativas ao controle da abertura de fissuras dadas em 17.3.3.
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1: A armadura mnima de trao, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seo a um momento fletor mnimo dado pela expresso a seguir, respeitada a taxa mnima absoluta de 0,15%:
Md,mim = 0,8 W0 fctk,sup onde:
W0 o mdulo de resistncia da seo transversal bruta de concreto, relativo fibra mais tracionada;
fctk,sup a resistncia caracterstica superior do concreto trao.
P4 P3
l1 = 2 m l2 = 7,8 m
a2 = 0,75 l2
V2 V1
bf
b1 b3
bw 40
bw b2 b4 400 120 40
-
2006 5-51 ufpr/tc405
Seguindo o prescrito no item 17.3.5.2.1 da ABNT NBR 6118, a equao para a determinao do momento fletor mnimo1 resulta:
== MPa em ff39,0ffW8,0M ck3
2cksup,ctksup,ctk0min,Sd Equao 5.30
para uma taxa mnima de armadura dada por:
%15,0A
A
c
min,smin == Equao 5.31
ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1: Em elementos estruturais superdimensionados, pode ser utilizada armadura menor que a mnima, com valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de Md. Neste caso, a determinao dos esforos solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinaes possveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformaes diferidas e recalques de apoio. Deve-se ter ainda cuidado com o dimetro e espaamento das armaduras de limitao de fissurao.
Exemplo 5.9: Determinar, para a viga abaixo representada, o momento fletor solicitante de clculo mnimo (MSd,min).
Considerar: concreto: C20; e estado limite ltimo, combinaes normais (c = 1,4).
Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao direta da Equao 5.30. a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm) 2ck kN/cm 2,0MPa 20f == normal) combinao - (ELU 1,40= c
MPa em ff39,0f ck32cksup,ctk =
23 2sup,ctk kN/cm287,0MPa874,22039,0f === cm 20bw = cm 06bf = cm 50h = cm 10hf =
1 A ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.1, define o momento fletor mnimo como Md,min, deixando de caracteriz-lo como
momento fletor solicitante de clculo. Para manter coerncia com o desenvolvimento deste Captulo, na Equao 5.30, o momento foi definido como sendo MSd,min.
10 cm
40 cm
20 cm
MSd,min
As
60 cm
-
2006 5-52 ufpr/tc405
b. MSd,min ( ) fwfwc hbbhbA += ( ) 2c cm 00411020-605020A =+=
)]}hh()bb[()hb{[(2])hh()bb[()hb(y
fwff
2fwf
2f
w
=
{ } cm71,30)]1050()2060[()5060[(2])1050()2060[()5060(y
22
w =
=
wf yhy = cm29,1971,3050yf ==
2wc3
fwf3
f yA3
])hh()bb[(hbI
=
4233
cm32132671,3040013
])1050()2060[(5060I =
=
(w) tracionada mais fibrayIWWw
w,00 ==
30 cm6261071,30321326W ==
sup,ctk0min,Sd fW8,0M = kNcm4402287,0626108,0M min,Sd == kNm4,42M min,Sd =
c. Observao Se nesta viga estiver atuando um momento fletor solicitante de clculo inferior a
24,4 kNm, o clculo da armadura As pode ser feito de duas maneiras: - considerando um momento fletor solicitante de clculo igual a 24,4 kNm e
BBBBverificando a taxa mnima de armadura (0,15%) para o As calculado; ou - considerando um momento fletor solicitante de clculo igual ao dobro de
BBBB24,4 kNm, sem a verificao da taxa mnima de armadura para o As calculado.
5.15 Disposies construtivas 5.15.1 Dimenses limites
As vigas de concreto armado, de modo geral, no devem possuir largura inferior a 12 cm. ABNT NBR 6118, item 13.2.2:
A seo transversal das vigas no deve apresentar largura menor que 12 cm e das vigas-parede, menor que 15 cm. Estes limites podem ser reduzidos, respeitado um mnimo absoluto de 10 cm em caso excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condies: alojamento das armaduras e suas interferncias com as armaduras de outros
elementos estruturais, respeitando os espaamentos e coberturas estabelecidos nesta Norma;
lanamento e vibrao do concreto de acordo com a ABNT NBR 14931.
5.15.2 Armadura de trao nas sees de apoio Segundo o item 18.3.2.4 da ABNT NBR 6118, as armaduras longitudinais positivas de vigas
devem ser prolongadas at os apoios (Figura 5.25), de tal forma que: As,apoio 0,33 As,vo, se Mapoio for nulo ou negativo de valor absoluto Mapoio 0,5 Mvo;
ou As,apoio 0,25 As,vo, se Mapoio for negativo de valor absoluto Mapoio> 0,5 Mvo; e
hf
cg
bw
h
bf
yf
yw
-
2006 5-53 ufpr/tc405
No caso de apoios intermedirios, onde no haja a possibilidade de ocorrncia de momentos positivos, as armaduras provenientes do meio do vo devero se estender, no mnimo, 10 alm da face do apoio (item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118).
Figura 5.25 - Prolongamento de armadura positiva
5.15.3 Concentrao de armaduras Os esforos nas armaduras, tracionadas ou comprimidas, podem ser considerados
concentrados no centro de gravidade correspondente (Figura 5.26), se a distncia deste centro ao ponto da seo de armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10% h (ABNT NBR 6118, item 17.2.4.1).
Figura 5.26 - Centro de gravidade de armaduras
5.15.4 Armadura de pele Quando a altura de viga superar 60 cm e a armadura longitudinal de trao desta viga for
constituda por ao de alta aderncia (1 2,25), obrigatrio o uso da armadura de pele (ABNT NBR 6118, item 17.3.5.2.3). Esta armadura de pele (armadura lateral) dever ser
constituda pelo mesmo ao da armadura longitudinal de trao, com rea mnima igual a 0,10% Ac,alma em cada face da alma da viga. O espaamento entre as barras constituintes da armadura de pele no deve superar 20 cm (Figura 5.27).
Figura 5.27 - Armadura de pele
5.16 Tabelas de Flexo Simples
As,vo 0,33 As,vo 0,25 As,vo
10
yCG CG
h yCG < 0,1 h
s 20 cm h 60 cm
bw
As,pele 0,1 bw h (por face)
-
2006 5-54 ufpr/tc405
CA-25 fyd = 21,7 kN/cm2
x y z c s 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,2500,010 0,008 0,996 0,007 1,0000,020 0,016 0,992 0,013 1,0000,030 0,024 0,988 0,020 1,000 0,0500,040 0,032 0,984 0,027 1,000 0,1510,050 0,040 0,980 0,033 1,000 0,2550,060 0,048 0,976 0,040 1,000 0,360 0,1030,070 0,056 0,972 0,046 1,000 0,468 0,2080,080 0,064 0,968 0,053 1,000 0,579 0,316 0,0530,090 0,072 0,964 0,059 1,000 0,691 0,425 0,1600,100 0,080 0,960 0,065 1,000 0,806 0,538 0,2690,110 0,088 0,956 0,072 1,000 0,924 0,652 0,381 0,1090,120 0,096 0,952 0,078 1,000 1,000 0,770 0,495 0,2200,130 0,104 0,948 0,084 1,000 1,000 0,890 0,612 0,334 0,0560,140 0,112 0,944 0,090 1,000 1,000 1,000 0,731 0,450 0,1690,150 0,120 0,940 0,096 1,000 1,000 1,000 0,854 0,569 0,2850,160 0,128 0,936 0,102 1,000 1,000 1,000 0,979 0,691 0,403 0,1150,170 0,136 0,932 0,108 1,000 1,000 1,000 1,000 0,816 0,525 0,2330,180 0,144 0,928 0,114 1,000 1,000 1,000 1,000 0,944 0,649 0,354 0,0590,190 0,152 0,924 0,119 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,777 0,478 0,1790,200 0,160 0,920 0,125 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,907 0,605 0,3020,210 0,168 0,916 0,131 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,735 0,429 0,1220,220 0,176 0,912 0,136 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,868 0,558 0,2480,230 0,184 0,908 0,142 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,691 0,377 0,0630,240 0,192 0,904 0,148 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,828 0,509 0,1910,250 0,200 0,900 0,153 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,645 0,3230,259 0,207 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,774 0,448 0,1210,260 0,208 0,896 0,158 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,782 0,456 0,1300,270 0,216 0,892 0,164 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,878 0,565 0,2510,280 0,224 0,888 0,169 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,968 0,665 0,3630,290 0,232 0,884 0,174 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,759 0,4670,300 0,240 0,880 0,180 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,847 0,5650,310 0,248 0,876 0,185 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,929 0,6560,320 0,256 0,872 0,190 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,7410,330 0,264 0,868 0,195 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,8210,340 0,272 0,864 0,200 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,8970,350 0,280 0,860 0,205 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,9680,360 0,288 0,856 0,210 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,0000,370 0,296 0,852 0,214 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,0000,380 0,304 0,848 0,219 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,0000,390 0,312 0,844 0,224 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,0000,400 0,320 0,840 0,228 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,0000,410 0,328 0,836 0,233 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 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-
2006 5-55 ufpr/tc405
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's para d'/d =
-
2006 5-56 ufpr/tc405
CA-60 fyd = 52,2 kN/cm2
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