dokumen.tips makalah perpangkatan dan penarikan akar

7/24/2019 'Dokumen.tips Makalah Perpangkatan Dan Penarikan Akar

1/11

Perpangkatan dan Penarikan Akar| 1

PERPANGKATAN DAN PENARIKAN AKAR

1.1 Perpangkatan Dua (Kuadrat)

Definisi. Perpangkatan adalah mengalikan suatu bilangan (asli) dng bilangan itu sendiri

beberapa kali sebanyak yg ditunjukkan oleh bilangan (asli) itu, msl 3 pangkat 4 adalah 3 x

3 x 3 x 3.

Contoh:

Ayah mempunyai kebun bunga yang berbentuk persegi dengan

panjang sisi 5 cm, maka berapa luas kebun bunga Ayah?

Untuk menyelesaikan soal tersebut diperlukan kemampuan

menerjemahkan situasi dunia nyata kedalam pengalaman

matematis, oleh karenanya diperlukan kemampuan

mengoperasikan bilangan. Operasi hitung yang digunakan dalammenyelesaikan soal ini adalah perpangkatan.

Dibawah ini akan dijelaskan alternatif proses pembelajaran melakukan operasi

perpangkatan dua (kuadrat) suatu bilangan.

Guru memberi pertanyaan: Berapa banyak persegi satuan pada masing-masing gambar

berikut ini.

Dengan mengamati gambar diatas, siswa diharapkan dapat menghitung sendiri banyak

persegi satuan pada masing-masing gambar persegi. Setelah itu siswa diharapkan dapat

mengisikan sendiri hasil hitungannya pada tabel.

Gambar ke- 1 2 3 4

Banyak Persegi Satuan 1 4 9 16

Pada kegiatan ini guru sebaiknya tidak hanya menanyakan kepada siswa tentang hasilnya.

Tetapi, juga cara siswa mendapatkan hasilnya. Guru dalam hal ini dapat mengarahkan bahwa

untuk menghitung hasil perpangkatan dua suatu bilangan tidak perlu menggunakan gambar

lagi, namun dapat dilakukan dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan bilangan itu

sendiri seperti berikut ini.

32

= 3 x 3 = 9 dibaca 3 pangkat dua atau 3 kuadrat sama dengan 9

Selanjutnya siswa diminta untuk menghitung kuadrat 10 bilangan asli yang pertama dan

dimasukkan dalam tabel seperti ini.

Angka dua diatas angka tiga artinya pangkat dua atau kuadrat


2/11


Bilangan Hasil perpangkatan dua Bilangan Hasil Perpangkatan dua

1 1 6 36

2 4 7 49

3 9 8 64

4 16 9 81

5 25 10 100

Bilangan 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...disebut bilangan kuadrat sempurna. Setelah

mengisi tabel tersebut, siswa diminta untuk menjelaskan hasil pengamatan mereka. Maka

diharapkan siswa dapat menemukan bahwa ternyata angka terakhir hasil kuadrat suatu

bilangan adalah 1, 4, 5, 6, 9, 00. Kemudian kelompokkan bilangan dan hasil pangkatnya

untuk mengamati kekhususankekhususan sseperti berikut.

Bilangan Hasil Perpangkatan dua

1 12 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81

10 100

Berikut, akan dijelaskan cara cepat atau teknik menghitung kuadrat suatu bilangan.

1. Menggunakan kuadrat jumlah dari dua bilangan

a. Jika bilangannya terdiri dari dua angka

Contoh:

92

2

= ...Cara:

1. Pisahkan antara puluhan dan satuan

(90 + 2 )2

2. Gambarkan secara geometris dengan luasan seperti berikut

Bilangan satuan 1 dan 9,

maka satuan dari hasil

pangkat adalah 1



pangkat adalah 4



an kat adalah 9

Bilangan

satuan 4

dan 6,

maka

satuan darihasil

pangkat

adalah 6

Bilangan

satuan 5maka

satuan dari

hasil

pangkat

adalah 5


3/11


90 2

90 90 + 2

2

3. Ternyata ada 4 bagian luasan. Berapa luas masing-masing bagian?

90 x 2= 180

90 x 2= 180 2 x 2 = 4

4. Jumlahkan semua hasil luasan, yaitu: 810 + (2 x 180) + 4 = 8464

5. Dari ilustrasi pada gambar ternyata kuadrat dua bilangan dapat dilakukan

dengan cara sederhana, yaitu:

922

= (90 + 2 )2

= (90 + 2 )(90 + 2 )

= 90(90+2) + 2(90 + 2 )

= [(90 x 90) +(90 x 2)] + [(2 x 90) + (2 x 2)]

= 902

+ (90 x 2) + (90 x 2) + 22

= 902

+ 2 x (90 x 2) + 22

= 8100 +360 + 4

= 8464

b. Jika bilangannya terdiri dari tiga angka

Contoh: 1242

= ...

1242

= (100 + 20 + 4)2

= (100 + 20 + 4) (100 + 20 + 4)= 100

2+ 2(100 x 20) + 2(100 x 4) + 2(20 x 4 ) + 20

2+ 4

2

= 10.000 + 4000 + 800 + 160 + 400 + 16

=15.376

2. Menggunakan Selisih Kuadrat Bilangan

Contoh : 982

= ...

Cara:

a. Bila 982

ditunjukkan dengan luas suatu persegi panjang maka diperoleh gambar

sebagai berikut.

I II

III IV

902

= 810


4/11


98

98

b. Perhatikan bahwa 9822

2+ 2

2= (98

2-2

2) + 2

2. Bila hal itu ditunjukkan secara

geometris maka diperoleh gambar sebagai berikut.

98-2 98-2

22

2

98-2

Supaya membentuk persegi dan tidak mengubah luasnya, maka tambahkan dua

persegi panjang dengan ukuran (98x2), yang satu positif dan yang lainnya negatif.

= (982-2

2) + 2

2+ [(98x2)(98x2)]

= (982+(98 x 2) +(98x (-2)) -2

2) +2

2

= (98+2)(98-2)+22

c. Jadi, kuadrat suatu bilangan dapat dinyatakan dengans selisih kuadrat bilangan.

982

= (98 + 2)(98-2) +22

= 100 x 96 +22

= 9604

Dilakukannya penambahan dan pengurangan 2 dimaksudkan untuk

memudahkan perhitungan perkalian. Kita dapat menambahkan bilangan dasar

dengan bilangan lain yang menurut kita mempermudah dan tidak mengubah

hasil akhir.

3. Melakukan perpangkatan suatu bilangan yang bilangan akhirnya 5

Contoh:

352

= ...

Langkah-langkahnya:

a. Pisahkan satuannya

b. Kuadratkan puluhannya dan tambahkan dengan bilangan puluhan

32

+ 3 = 12

c. Tambahkan dibelakang jawaban dengan 25 (karena 52 = 25). Sehingga menjadi

1225

982

982-2

298

2-2

2

22

98-2

22


5/11


Jadi 352

= 1225

1252

= ...

a. (12 x 12) + 12 = 144 + 12 = 156

b. Di belakang angka jawaban tambahkan angka 25, sehingga manjadi 15625.c. 125

2= 15625

4. Menguadratkan secara cepat dengan rumus

Rumus : a2

= (a-b)(a+b) + b2

Contoh: 922

=

84 92 100

8 8

1.2 Penarikan Akar Pangkat Dua

Contoh Soal: Suatu meja laboratorium berbentuk persegi dan akan ditutupi dengan 144

ubin persegi. Berapakah banyak ubin pada setiap sisinya dan apakah hubungan antara

banyak ubin pada tiap sisi dan banyak seluruh ubin yang menutupi meja tersebut?

Untuk dapat menjawab pertanyaan tersebut, siswa harus diajarkan mengenai penarikan

akar pangkat dua. Simbol dari akar pangkat . Misal16 dibaca Akar pangkat duadari 16 atau akar kuadrat 16

Pada materi sebelumnya dijelaskan bahwa:

4 x 4 = 16, maka16 = 4Berikut tabel hasil penarikan akar pangkat dua dari bilangan kuadrat dengan bilangan

pokok 1 sampai 10.

Bilangan Pangkat dua (Kuadrat) Akar Pangkat Dua

1 1 = 1 x 1 = 1 1 = 12 2 = 2 x 2 = 4 4 = 23 3 = 3 x 3 = 9 9 = 34 4 = 4 x 4 = 16 16 = 45 5 = 5 x 5 = 25 25 = 56 6 = 6 x 6 = 36 36 = 67 7 = 7 x 7 = 49 49 = 78 8 = 8 x 8 = 64 64 = 89 9 = 9 x 9 = 81 81 = 910 10 = 10 x 10 = 100 100 = 10

Ternyata akar pangkat dua adalah operasi kebalikan dari pangkat dua. Untuk

mempermudah menarik akar pada bilangan adalah:

1. Faktorisasi Prima

Seperti permasalahan sebelumnya untuk menghitung banyak ubin pada setiap sisi.

Untuk mengetahui banyak ubin pada setiap sisi meja persegi, akan dihitung akar

pangkat dua dari 144 atau144. Caranya:a. Tentukan faktor-faktor primanya

922

= 84 x 100 +82

= 8400 + 64

= 8464


6/11


144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3

b. Kelompokkan dalam dua faktor yang sama

144 = (2 x 2 x 3) (2 x 2 x 3)

= (2 x 2 x 3)2

c. Hasilnya adalah

144 = (2 2 3)2

=(2 x 2 x 3)= 12

2. Perkiraan

Cara ini hanya dapat digunakan untuk akar bilangan kuadrat sempurna. Oleh karena

itu untuk mengguanakan cara ini kita harus terampil menghitung bilangan kuadrat

sempurna dari 1 sampai 10.

Contoh:144 = ...

Bilangan 144 terletak antara100 dan400 atau 10 < 144 < 20, berarti angkapuluhannya adalah 1. Angka terakhir dari 144 adalah 4, maka hasil akar pangkat

satuannya dapat 2 atau 8. Namun, karena lebih dekat dengan 10, maka hasil akar

satuannya adalah 2. Sehingga,144 = 12.

3. Pendekatan Luas

Contoh: Berapakah panjang sisi persegi apabila luas persegi tersebut adalah 1296 cm2

? S R

P Q

Cara: Kita pilih satu bagian yang merupakan persegi terbesar dan dapat diletakkandidalam PQRS. Suatu persegi yang panjang sisinya 30 cm, maka luasnya 900 cm

2.

Suatu persegi yang panjang sisinya 40 cm, maka luasnya 1600 cm2, sehingga luasnya

melebihi persegi PQRS. Oleh karena itu, yang dipilih persegi panjang sisinya 30

dengan luas 900 cm2

dan akan diletakkan dipojok persegi PQRS. Sisa persegi tersebut

terbagi menjadi bagian: 1. Persegi hitam diwakili oleh x, dan 2 persegi panjang

dengan panjangnya 30 cm dan lebarnya x cm.Sisanya dijadikan satu bersambung

seperti berikut:

900 cm2


7/11


D C

x

A B

x

Dari susunan tersebut, yang terbentuk adalah persegi panjang.

Luas persegi panjang ABCD = ....

(1296900 ) cm2 = 396 cm2

(30 + 30 + x) x = 396 cm2

(60 + x) x = 396 cm2

Maka diperkirakan nilai x dari persegi panjang ABCD adalah 6, dengan membagi 396

dengan 60. Maka luas persegi panjang ABCD = 66 X 6 = 396

Ternyata dengan membuat bilangan perkiraan 6 hasilnya sudah sesuai. Jika belum

sesuai, maka proses dapat dilanjutkan sampai dipeoleh hasil yang tepat. Jadi1296 =36.

Dari gambaran secara geometris diatas dapat diubah kelangkah-langkah secara

algoritma atau disebut teknik Calandra seperti berikut:900


8/11


1. Dengan cara Calandra

Contoh:25015,81

250,0000

12

= 1 -150

25 x 5 = 125 -

2500

30,8x0,8 2464 -

3600

31,61x0,01 3161 -

439

Dan seterusnya sesuai dengan angka desimal yang diinginkan

2. Dengan cara BabyloniaLangkah-langkah:

a. Ambil sembarang bilangan sebagai perkiraan awal akar pangkat dua suatu

bilangan;

b. Bagi bilangannya dengan bilangan perkiraan, hasilnya adalah bilangan perkiraan

akar pangkat dua yang baru;

c. Buat rata-rata perkiraan pangkat dua awal dan baru;

d. Nilai rata-rata ini merupakan bilangan perkiraan akar pangkat dua baru;

e. Lakukan seperti pada langkah 2 dan seterusnya sesuai dengan banyak angka

desimal yang diinginkan.

Contoh:250 = .

Bilangan

perkiraan

Hasil bagi Rat-rata Bilangan

Perkiraan Baru

10 = 25 = 17,5 17,5

17,5,

= 14,29 , ,

= 15,895 15,895

15,895,

= 15,7282 , ,

=

15,8116

15,8116

Proses tersebut dapat dilakuakn terus sampai beberapa angka decimal yang

diinginkan.

1.3 Pangkat Tiga dan Penarikan Akar Pangkat Tiga

1.3.1 Perpangkatan tiga bilangan bulat

Di kelas V, kita telah mengenal bilangan pangkat dua. Misalnya 52, 6

2,7

2, dan 8

2.

52

artinya 5 x 5. sehingga dapat ditulis 52

= 25.

62


= 36.

7

2


2

= 49.8

2artinya 8 x 8. sehingga dapat ditulis 8

2= 64.


9/11


25, 36, 49, dan 64 disebut bilangan kuadrat.

Dengan cara yang sama, kita dapat memahami pangkat tiga dari suatu bilangan.

Misalnya 13, 23,33, 43, dan 53.

13

artinya 1 x 1 x 1 sehingga dapat ditulis 13

= 1.

2

3


3

= 833


= 27.

.43


= 64.

53


= 125.

1, 8, 27, 64, dan 125 disebut bilangan kubik karena bilangan-bilangan itu dapat

dinyatakan sebagai pangkat tiga dari suatu bilangan.

Selanjutnya kita dapat menentukan hasil dari pangkat tiga dari beberapa bilangan,

misalnya 6, 7, 8, 9, 10, 15, 20, 25, dan 30. Hasil dari perpangkatan bilangan-

bilangan itu disajikan pada tabel berikut.

Bilangan 6 7 8 9 10 15 20 25 30

HasilPangkat

216 343 512 729 1000 3375 8000 15625 27000

2. Penarikan Akar Pangkat Tiga

Algoritma (teknik menghitung bilangan) untuk penarikan akar pangkat tiga yang

berlaku untuk setiap bilangan seperti halnya akar kuadrat hingga saat ini belum

pernah ditemukan. Namun, sekedar teknik menarik akar pangkat tiga dari bilangan

bulat yang hasilnya juga bilangan bulat sudah dikenal dilingkungan. Di kelas V, kita

juga telah mengenal penarikan akar pangkat dua dari suatu

bilangan. Misalnya1 ,4 , dan9 .1 = 1 karena 1 x 1 = 1,4 = 2 karena 2 x 2 = 4, dan9 = 3 karena 3 x 3 = 9.Dengan cara yang sama, kita dapat memahami akar pangkat tiga dari suatu

bilangan. Misalnya1, 8,27,64,125, dan216.1= 1, karena 1 x 1 x 1 = 1,8 = 2, karena 2 x 2 x 2 = 8,27 = 3, karena 3 x 3 x 3 = 27.64 = 4, karena 4 x 4 x 4 = 64,

125 = 5, karena 5 x 5 x 5 = 125, dan216 = 6, karena 6 x 6 x 6 = 216.

Selanjutnya kita dapat menentukan hasil dari akar pangkat tiga dari beberapa

bilangan, misalnya 343, 512, 729, 1000, 3375, 8000, 15625, dan 27000..

Hasil dari akar pangkat tiga bilangan-bilangan itu disajikan pada tabel berikut.

Bilangan 343 512 729 1000 3375 8000 15625 27000

Hasil

Akar

PangkatTiga

7 8 9 10 15 20 25 30


10/11


Penarikan akar pangkat tiga seperti ini sering digunakan untuk menentukkan rusuk kubus

bila diketahui volumenya.

Teknik atau cara cepat untuk menarik akar :

9261= ....Cara : Ribuannya = 9 bilangan kubik tepat dibawah 9 adalah 8.

Sehingga 8 = 2 ...menyatakan nilai satuannya.Bilangan terakhir = 1 bilangan kubik dasar yang akhirnya 1 adalah 1 sendiri

Sehingga 1 = 1 .... menyatakan nilai satuannya.

Dengan demikian9261= 21


11/11


DAFTAR PUSTAKA

www.p4tkmatematika.com

www.bahan_ajar_untuk_guru_kelas_6.pdf

www.bilanganACB.pdf

dokumen.tips makalah perpangkatan dan penarikan akar

Documents