klmpk 1. lengkap

7/25/2019 KLMPK 1. lengkap

1/56

KELOMPOK IMATEMATIKA SEKOLAH II

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN

LOGARITMA

IRMA ARFA

AGUITO SALUALO


2/56

KELAS: MATEMATIKA. A SEMESTER: III ( ganjil)


3/56

A. Bilangan Pangkat1. PangkatBulat Positif

a.PengetianPangkatBulat Positif

!ika a

a"ala# $ilangan

iil "an n $ilangan

$ulat %ositif &aka

a

n

'"i$a(a )a%angkat n)*

a"ala# #asil kali n

$ua# fakto +ang

&asing,&asingfakton+a a"ala#

a. !a"i- %angkat


4/56

$ulat %ositif

se(aau&u&

"in+atakan "ala&

$entuk


5/56

a n =axaxax...xaSe$an+ak n fakto

"engan

a = bilangan pokok (basis); n =

pangkat atau eksponen; an=

bilangan berpangkat. Contoh

soal 1:a.34 =3x3x3x3 =81

2 3 2 2 2 8

b. = x x =


6/56

5 5 5 1255


7/56

$. Sifat,sifat O%easi Pe%angkatan

1* Sifat Pekalian BilanganBe%angkat Untuk a / R "an &-

n $ilangan $ulat %ositif-

$elaku am an =am+nBukti

aman =a a a...a a a a...a

sebanyakm faktor sebanyakn faktor

=a a a ...a a a ...a =am+n(terbukti)sebanyakm+n faktor


8/56

2) Sifat Pe&$agian $ilanganBe%angkat Untuk a / R- a0"an &- n $ilangan $ulat%ositif +ang &e&enu#i &2 n- $elaku3

Bukti sebanyakm faktor am:an = am =amnan

am :a

n =

a a a...aa a a...a

sebanyakn faktor

=a a a ...a =amn(terbukti)sebanyakmn faktor


9/56

4* Sifat Pangkat "ai Bilangan Be%angkat Untuk a / R"an &-

n$ilangan $ulat %ositif-

$elaku(am)n=amn Bukti

(am)n=amamam...amsebanyakn faktor

=(aa ...a)(aa ...a)...(aa ...a)=amn(terbukti)sebanyakmn faktor


10/56

5* Sifat Pangkat "ai Pekalian Bilangan Untuk a- $ / R"an n$ilangan $ulat %ositif- $elaku3

(ab)n=anbn

Bukti 3

(ab)n=anbn

(ab)n=(aa a ...a)(bb b ...b)=anbn(terbukti)sebanyakn faktor sebanyakn faktor


11/56

5) Sifat Pangkat "ai Pe&$agianBilangan Untuk a- $ / R- $ 0 "an n$ilangan $ulat %ositif-

$elaku

Bukti3

a n

an

=

n b

b

a n a a a a

= ... bb b b b

sebanyakn faktor

=a

a

a

.

..a =an

(terbukti)b bb ...b bnsebanyakn faktor


12/56

2. Pangkat Bulat 6egatif "an 6ol

1. Pangkat $ulat negatif

Untuk a R "an a 0

"i"e7nisikan an=1an

8e7nisi ini $easal "ai $entuk $eikut.

am:am+n=am(m+n)=anMisalkanm m+n a

m 1a : a = =m nn

1a a a

Maka an =


13/56

an


14/56

9onto#

a. a4 =

1

a4

$.1 1 1 52

=p q

p5q2

=

p5 q2


15/56

$. Bilangan Pangkat 6olUntuk a

Bukti

a0 =annan ='sifat

an

an = axaxax...

an axaxax...: 1

R

"an

a 0&aka

a

0

=1

%e&$agian$ilangan$e%angkat*

se$an+akn fakto


16/56

!a"i-a0 =1


17/56

9onto#3a 60 =1

9

0 a 0(2a)=1 "engan s+aat 3 4

0

y (

x

=1"engan s+aat x 0"any0

4


18/56

Pangkat Tak Se$enan+a

Bilangan $e%angkat "engan %angkat nol- $ulat negatif-"an

%e(a#an "ise$ut ;uga se$agai $ilangan $e%angkat takse$enan+a. A"a%un $ilangan $e%angkat "engan %angkat$ulat %ositif "ise$ut ;uga $ilangan $e%angkat

se$enan+a.Untuk se$aang nilai a"engan a0- &$ilangan$ulat- n$ilangan asli- "an n


19/56

Bilangan

1

"an

m "ise$ut $ilangan "engan %angkattaka n a n

se$enan+a.


20/56

Sifat,sifat o%easioal %angkat tak

se$enan+a

Untuk a-$ / R"engana- $ 0 - seta %- > $ilangan asional &aka $elaku sifatsifat o%easi %angkat tak se$enan+ase$agai $eikut.

a . apa q =a p+q e.

pq

pq

b. (a )=ac . a

p :a q =a pq f .

d .p p p

(ab)=a b

a p

ap

= bpb

ap=

1,a a p

, b

0

0

O%easi %a"a $ilangan $entuk

%angkat tak se$enan+a&en;elaskan $a#?a

%a"a "asan+a o%easi +ang

$elaku sa&a "engan o%easi %a"a

$ilangan

$entuk

%angkat

se$enan+a.

Pel

u

"i%

e#

ati

ka

n

"i

sini $a#?a %angkat +ang "i%akai

a"ala# %angkat $ilangan nol-$ilangan $ulat negatif- "an

$ilangan %e(a#an.


21/56

2.

BE6TUK AKAR2 8ala& $ilangan $entuk aka 'a"ikal*- a"a 4 $agian +ang %elu"iketa#ui- +aitu la&$ang $entuk aka- a"ikan- "an

in"eks. Se(aa u&u&- $entuk aka "itulis "ala& $entukn

a

1 ' n a "i$a(a@aka %angkat n "aia @ *"engan n a "ise$ut $entuk aka 'a"ikal*-n a

"

i

s

e

$ut la&$ang

$entuk aka-

"ise$ut in"eks

'%angkat aka*

"ise$ut a"ikan'$ilangan "i $a?a#


22/56

tan"a aka*-"engan a

$ilangan iil %ositif untuk

n

$ilangan asli "an

untuk n $ilangan

gan;il- a"a%at $eu%a

$ilangan iil negatif.


23/56

Bentuk aka te$agi atas =

;enis

1. Aka Sena&aSuatu $entuk aka "ikatakan aka sena&a ;ika

in"eks '%angkat aka* n+a sa&a.

1. 2, 3, 5 Me&%un+ai in"eks =

2.3

5,

3

10,

3

11, Me&%un+ai in"eks 4


24/56

2. Aka se;enis

Suatu $entuk aka "ikatakan aka se;enis ;ika in"eks "an

a"ikann+a sa&a.

9onto#

32 ,23 10,

311, &e&%un+ai in"eks 4 "an a"ikann+a =

Se%eti #aln+a $ilangan %angkat- $entuk aka %un &e&iliki

sifat,sifat tetentu- +aitu se$agai $eikut Untuk a- $ $ilangan

eal "engan n-$ilangan asli +ang sesuai $elaku

1. na n b =n a b


25/56

=. n a n a

n b

=

b


26/56

9. Measionalkan Pen+e$ut Bentuk Aka

1 8ala& suatu $entuk o%easi $ilangan- a"a kalan+a $ilangan tese$ut &e&iliki%en+e$ut "ala&

$entuk aka- se%eti1 , 3 , 2 3 .

3 +1 5 35 2

Bentuk,$entuk $ilangan tese$ut "a%at "ise"e#anakan "engan (aa

&easionalkan %en+e$ut %e(a#an,%e(a#an tese$ut. Kegiatan &easionalkan

%a"a intin+a &engu$a# $entuk aka %a"a %en+e$ut &en;a"i $entuk $ilangan

asional- +ang %a"a ak#in+a $ilangan tese$ut "a%at "in+atakan "ala& $entuk

+ang le$i# se"e#ana.Suatu $entuk %e(a#an +ang &e&uat $ilangan $entuk aka

"ikatakan se"e#ana ;ika "i%enu#i

1. setia% $ilangan $entuk akan+a su"a# "ala& $entuk se"e#ana- "an

2. ti"ak a"a $entuk aka %a"a %en+e$ut ;ika $ilangan tese$ut %e(a#an.Pa"a

$agian ini- An"a akan &e&%ela;ai &engenai (aa &easionalkan $e$agai


27/56

$entuk %e(a#an aga le$i# se"e#ana.

1.Pe(a#anBent

uk

a

b

Bentuk akaa

b

"engan

$

"a%at"iasionalkan


28/56

%en+e$utn+a "engan

b se#ingga

a =b


29/56

9onto#3

6

3 = 3 6 3 1= 6 = 66 6 6 6 2

=. Pe(a#an Bentuk bca

Untuk menyederhanakan bentuk pecahan b +ca

atau adalah dengan mengalikan pecahanb c

dengan bentuk sekawan dari penyebut. Bentuk

sekawan darib + c adalahb c. Sebaliknya,bentuk


30/56

sekawan darib c adalahb+ c

sehingga:(a+b)2 ab = a b


31/56

3. Pe(a#an Bentuk

aDan untuk menyederhanakan penyebut dari bentuk pecahan b + catau a yaitu dengan cara mengalikan pecahan dengan

b c

bentuk sekawan dari penyebutnya. Bentuk sekawan darib + cadalah Sebaliknya, bentuk sekawan darib b c. c

adalahb + sehingga:c

a( )a = a b c = b c ,

b +cb+c b c b c

+ a( +)a=

a

b c= b c

b c


32/56

b c b c b +c


33/56

5. Men+e"e#anakan Bentuk Aka aalogx

=xn

Bentuk (a+b)2 a b "a%at "iu$a# &en;a"i $entuk(a b )"engan s+aat a- $/R "an a 2 $.

Bukti(a b )2=a 2 a b +b

=(a+b)2 ab

a b = (a+b)2 ab

( )


34/56

!a"i- (a+b)2 ab = a b


35/56

8.LOGARITMA

Pa"a

Sli"e

se$elu&

n+a-

An"a

tela#

&e&%ela

;ai &engenai

$ilangan

$e%angkat-

&isaln+a =5: 1- =

"ise$ut se$agai

$asis- 5 se$agai

%angkat 'eks%onen*-

"an 1 se$agai #asil


36/56

%e&angk

atan =

ole# 5.

!ika

%etan+a

ann+a"i$alik-

=

%angkat

$ea%a

&eng#as

ilkan nilai 1- An"a

akan &en;a?a$ 5.

O%easi ke$alikan

"ai &enentukan

nilai %e&angkatan

&en;a"i

&enentukan

%angkatn+a "ise$ut

se$agai o%easilogati&a- +ang"a%at "itulis


37/56

24 =162log16 =4

Se(aa

u&u&

!ikax =

an

sebalik

nya jika

Hubung

an

antara


38/56

makaalog x =

n, danalog x

= n maka x= an.

bilanganberpangkatdan

logarit

ma

da

patdin

yat

akansebag

ai

berik

ut:alog x = n x= an

Hu$u

nganantaa

$ilangan

$e%angka

t "an

logait&a


39/56

"a%

at

"in+a

takan

se$agai

$eikut

alog x = n x = an


40/56

log x n x a

"engan a = bilangan pokok atau basis, a ! "; a#1;

x = numerus (yang di$ari nilai logaritmanya), x ! "

n = hasil logaritma.

'alogx diba$a%logaritma x dengan basis a%)

Bentuk logait&a "a%at "in+atakan "ala&

$entuk %angkat "an se$alikn+a- $entuk %angkat

"a%at "in+atakan "ala& $entuk logait&a.


41/56

9onto# Soal =.1=

1.6+atakan logait&a $eikut "ala&

$entuk %angkat.

a. 4log : =

!a?a$a. 4log : = C : 4=


42/56

1.

Sifat,Sifat Logait&a1. Sifat 1

Untuk a ! ", a # 1, berlaku:alog a = 1,

alog 1 =

", log 1" = 1

Bukti

1 Setia% $ilangan a%a$ila "i%angkat1#asiln+a a"ala# $ilangan itu sen"ii. !a"i- a1= aalog a = 1

2 Setia% $ilangan ti"ak sa&a "engan"i%angkatkan nol #asiln+a selalu satu. !a"i- a

"= 1alog 1 = "

3 Log 1 a"ala# suatu $entuk logai "an nu&eusn+a 1. !a"i- log

1 : 1


43/56

$. Sifat =Untuk a ! ", a # 1, x ! "sertadana, x,ydan! "y & ' berlaku:

alog x

alog y =

alog xy

Buktialog x = n a

n= x

alog y = m a

m= y

alog xy =

p ap

= xy

8ai $entuk %angkat tese$ut "i%eole#xy = ana

m xy = a

nm

ap = anm p = nm


44/56

Maka

n =alog x, m =

alog y dan p =

alog xy,

sehingga

alog x

alog y =

alog xy


45/56

(. Sifat 4

Untuk a ! ", a # 1, x ! "sertadana, x, dan y & ', berlaku:

Bukti a a a x

alog x = n an = x logxlogy=log yalog y = m am = y

a

log

x

=p ap

=

x

y y


46/56

8ai $entuk %angkat tese$ut

"i%eole#

x = an

x = an

y am

y am

1 ap =a nm

2 p =n m

!a"i- alogxalogy=alogxy


47/56

". Sifat 5Untuk a ! ", a # 1, a,&'nberlaku:dan x

alog x

n= n

alog x

Bukti

a

logxn

=a

log(x.x.x....x)=alogx+alogx+... +alogx

an fakto

=n logx!a"i- =alogxn =nalogx


48/56

e. Sifat DUntuk a, m > 0, serta a, m, n, x&R, berlaku:

amlogxna=n

alogxm

Buktialog x = p ap = x

am logxn =qam.q =xn8ai $entuk %angkat "i atas "i%eole#x

n= a

m * (a

p)

n= a

m*

C anp = am* np = m*

nq = p

m

Jadi,a

logxn n

= a logxm


49/56

f. Sifat


50/56

logx=nlog aUntuk a, p ! ", dan1,a,sertapa,#p,

n =p

logxplog a

dan x & ', berlaku:

Bukti a logx=

plogx

(Terbukti)plog a

jika , p =x , makaalog x = n x = x a

n

alogx= logxxloga

logx = log an

(si+at logaritma)= 1

xlog a


51/56

logx=nlog a

n =plogxplog a

a logx=plogx

(Terbukti)plog a

jika ,p =x , maka

1 logx=x

log

x

10

log a

2

1

24log a


52/56

g. Sifat Untuk a ! ", x ! ", y ! ", a, x, dan y&' berlaku:

alog x

xlog y =

alog y

Buktialog x = p a

p= x

xlog y = * x

*= y

8ai $entuk %angkat tese$ut "i%eole#y = x* y = (ap)*1 y = ap*2 alog y = alog ap*3 alog y = p* alog a4 alog y = p*5 alog y = alog x xlog y


53/56

#. Sifat Untuk a! ",serta adan x&',berlaku:

aBukti 1

logx=nan=x

24 =an x=aa

logx

Jadi, aa

log

x

=x


54/56

i. Sifat Untuk a !", serta adan x&'berlaku:

aBukti

na

logx

=p

a

logxn =p

xn =an

xn =ana

logx

Jadi,

ana

logx

=xn


55/56

Tank!"


56/56

#$u%Att&nti$n

klmpk 1. lengkap

Documents