rangkaian dari listrik.pdf

7/21/2019 Rangkaian dari Listrik.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/rangkaian-dari-listrikpdf 1/308

RANGKAIAN LISTRIK(REVISI)

Disusun Oleh :

MOHAMAD RAMDHANI, ST.

LABORATORIA SISTEM ELEKTRONIKAJURUSAN TEKNIK ELEKTRO

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOMBANDUNG

2005



LEMBAR PENGESAHAN

DIKTAT KULIAH / MODUL / BUKU AJAR

1. a. Judul : Rangkaian Listrik (Revisi)

b. Jenis : Diktat

c. Pada : Program Sarjana Teknik Elektro

d. Waktu : Pebruari 2005

2. Indentitas Penulis

e. Nama Lengkap dan Gelar : Mohamad Ramdhani, ST.

f. Golongam/Pangkat dan NIP : 8 / 200173237

g. Jabatan Akademik : Asisten Ahli

h. Jurusan : Teknik Elektro

i. Perguruan Tinggi : Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

3. Jumlah Penulis : 1 Orang

Disahkan Oleh :

Ketua Jurusan TE Kepala LaboratoriaSistem Elektronika

Heroe Wijanto, Ir. MT. Sony Sumaryo, Ir. MT. NIP. 9268054 NIP. 9367070

Kepala Unit Perpustakaan

Yani Nuraeni, Dra NIP. 9167035



iRangkaian Listrik

Mohamad RamdhaniSekolah Tinggi Teknologi Telkom

KATA PENGANTAR

Puji syukur penyusun panjatkan ke hadirat Allah SWT, atas terselesaikannya diktat

kuliah Rangkaian Listrik Revisi ini.

Sama halnya dengan diktat Rangkaian Listrik sebelumnya dimaksudkan untukmembantu mahasiswa dalam memahami mata kuliah dasar Rangkaian Listrik, padaedisi revisi ini ada beberapa materi yang ditambahkan dan penyusun lebih cenderungmenambahkan latihan-latihan soal untuk sebanyak mungkin menjadi bahan latihanmahasiswa.

Buku revisi ini juga telah mengacu pada kurikulum 2004 yang berlaku di SekolahTinggi Teknologi Telkom sehingga telah memenuhi standar bagi buku perkuliahan yangdigunakan di kampus tercinta ini.

Akhirnya penyusun mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telahmembantu terselesaikannya diktat ini.

Saran dan kritik penyusun harapkan untuk penyempurnaan dimasa mendatang.

Bandung, Pebruari 2005

Penyusun



Rangkaian Listrik

Mohamad RamdhaniSekolah Tinggi Teknologi Bandung

ii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ............................................................................................................... iDaftar Isi ......................................................................................................................... iiBAB I KONSEP RANGKAIAN LISTRIK

Definisi – definisi .............................................................................................. 1Arus listrik .......................................................................................................... 1Tegangan............................................................................................................. 3Energi.................................................................................................................. 4Daya.................................................................................................................... 5Analisis rangkaian .............................................................................................. 5Prefix dalam SI ................................................................................................... 5

BAB II ELEMEN RANGKAIAN LISTRIKElemen aktif...................................................................................................... 14Elemen pasif ..................................................................................................... 15

BAB III HUKUM – HUKUM RANGKAIANHukum Ohm ..................................................................................................... 21Hukum Kirchoff I ............................................................................................. 21Hukum Kirchoff II............................................................................................ 21Hubungan seri dan paralel ................................................................................ 24Resistor ............................................................................................................. 24Kapasitor........................................................................................................... 28Induktor............................................................................................................. 31

BAB IV METODA ANALISIS RANGKAIANAnalisis node .................................................................................................... 60Analisis mesh atau arus lopp ............................................................................ 68Analisis arus cabang ......................................................................................... 74

BAB V TEOREMA RANGKAIANTeorema superposisi ......................................................................................... 92Teorema substitusi ............................................................................................ 97Teorema Thevenin ............................................................................................ 99Teorema Norton.............................................................................................. 110Teorema Millman ........................................................................................... 119Teorema transfer daya maksimum.................................................................. 123Transformasi resistansi star – delta................................................................. 124

BAB VI DASAR – DASAR ACBentuk gelombang .......................................................................................... 143Konsep phasor ................................................................................................ 144Bilangan kompleks ......................................................................................... 144Arus dan tegangan sinusoidal ......................................................................... 145

Impedansi kompleks ....................................................................................... 147Diagram phasor............................................................................................... 149Rangkaian seri dan paralel.............................................................................. 149Admitansi bilangan kompleks ........................................................................ 150Harga rata-rata ................................................................................................ 151Harga efektif ................................................................................................... 151



Rangkaian Listrik


iii

BAB VII ANALISIS RANGKAIAN ACHukum Ohm ................................................................................................... 157Hukum Kirchoff I ........................................................................................... 157Hukum Kirchoff II.......................................................................................... 157Analisis node .................................................................................................. 158

Analisis mesh atau arus loop .......................................................................... 161Analisis arus cabang ....................................................................................... 163Teorema superposisi ....................................................................................... 163Teorema Thevenin .......................................................................................... 166Teorema Norton.............................................................................................. 169Teorema Millman ........................................................................................... 171Transfer daya maksimum ............................................................................... 172

BAB VIII DAYA PADA RANGKAIAN RLCDaya sesaat ..................................................................................................... 180Daya rata-rata.................................................................................................. 180Daya kompleks ............................................................................................... 184Faktor daya ..................................................................................................... 185Segitiga daya................................................................................................... 185Perbaikan faktor daya/ correction power factor .............................................. 190

BAB IX FREKUENSI KOMPLEKS DAN FUNGSI TRANSFERSinyal sinusoidal teredam............................................................................... 202Phasor frekuensi kompleks ............................................................................. 204Impedansi dan admitansi frekuensi kompleks................................................ 204Fungsi transfer frekuensi kompleks................................................................ 205Pole dan zero................................................................................................... 207Diagram Bode plot.......................................................................................... 207

BAB X RESPON FREKUENSI DAN RESONANSIRangkaian RL ................................................................................................. 217Rangkaian RC................................................................................................. 220Rangkaian RLC .............................................................................................. 223Resonansi ........................................................................................................ 226Faktor kualitas ................................................................................................ 236Bandwidth 3 dB .............................................................................................. 240Konversi faktor kualitas rangkaian seri - paralel ............................................ 242

BAB XI RANGKAIAN KOPLING MAGNETIKInduktansi sendiri............................................................................................ 247Induktansi bersama ......................................................................................... 247Aturan tanda dot (titik) ................................................................................... 250Tanda dot (titik) .............................................................................................. 250Koefisien kopling (K) ..................................................................................... 253

Analisis rangkaian kopling magnetik ............................................................. 253Transformator ideal ........................................................................................ 258BAB XII RANGKAIAN TRANSIEN

Rangkaian transien orde – 1 ........................................................................... 267Respon fungsi paksa orde – 1 ......................................................................... 271Rangkaian transien orde – 2 ........................................................................... 277



Rangkaian Listrik


iv

BAB XIII KUTUB EMPATParameter Z..................................................................................................... 284Parameter Y .................................................................................................... 287Parameter hibrid.............................................................................................. 289Parameter transmisi (parameter ABCD)......................................................... 290

Konversi parameter Y ke parameter Z............................................................ 293Interkoneksi kutub empat ............................................................................... 295

Daftar Pustaka ............................................................................................................ 302



Rangkaian Listrik


1

BAB IKONSEP RANGKAIAN LISTRIK

Definisi - DefinisiRangkaian listrik adalah suatu kumpulan elemen atau komponen listrik yang saling

dihubungkan dengan cara-cara tertentu dan paling sedikit mempunyai satu lintasantertutup.Elemen atau komponen yang akan dibahas pada mata kuliah Rangkaian Listrik terbatas

pada elemen atau komponen yang memiliki dua buah terminal atau kutub pada keduaujungnya. Untuk elemen atau komponen yang lebih dari dua terminal dibahas pada matakuliah Elektronika.Pembatasan elemen atau komponen listrik pada Rangkaian Listrik dapat dikelompokkankedalam elemen atau komponen aktif dan pasif. Elemen aktif adalah elemen yangmenghasilkan energi dalam hal ini adalah sumber tegangan dan sumber arus, mengenaisumber ini akan dijelaskan pada bab berikutnya. Elemen lain adalah elemen pasifdimana elemen ini tidak dapat menghasilkan energi, dapat dikelompokkan menjadielemen yang hanya dapat menyerap energi dalam hal ini hanya terdapat pada komponenresistor atau banyak juga yang menyebutkan tahanan atau hambatan dengan simbol R,dan komponen pasif yang dapat menyimpan energi juga diklasifikasikan menjadi duayaitu komponen atau lemen yang menyerap energi dalam bentuk medan magnet dalamhal ini induktor atau sering juga disebut sebagai lilitan, belitan atau kumparan dengansimbol L, dan kompone pasif yang menyerap energi dalam bentuk medan magnet dalamhal ini adalah kapasitor atau sering juga dikatakan dengan kondensator dengan simbolC, pembahasan mengenai ketiga komponen pasif tersebut nantinya akan dijelaskan pada

bab berikutnya.Elemen atau kompoen listrik yang dibicarakan disini adalah :

1. Elemen listrik dua terminala. Sumber tegangan

b. Sumber arusc. Resistor ( R )d. Induktor ( L )e. Kapasitor ( C )

2. Elemen listrik lebih dari dua terminala. Transistor

b. Op-ampBerbicara mengenai Rangkaian Listrik, tentu tidak dapat dilepaskan dari pengertian darirangkaian itu sendiri, dimana rangkaian adalah interkoneksi dari sekumpulan elemenatau komponen penyusunnya ditambah dengan rangkaian penghubungnya dimanadisusun dengan cara-cara tertentu dan minimal memiliki satu lintasan tertutup. Dengankata lain hanya dengan satu lintasan tertutup saja kita dapat menganalisis suatu

rangkaian.Yang dimaksud dengan satu lintasan tertutup adalah satu lintasan saat kita mulai darititik yang dimaksud akan kembali lagi ketitik tersebut tanpa terputus dan tidakmemandang seberapa jauh atau dekat lintasan yang kita tempuh.Rangkaian listrik merupakan dasar dari teori rangkaian pada teknik elektro yangmenjadi dasar atay fundamental bagi ilmu-ilmu lainnya seperti elektronika, sistem daya,sistem computer, putaran mesin, dan teori control.



Rangkaian Listrik


2

Arus ListrikPada pembahasan tentang rangkaian listrik, perlu kiranya kita mengetahui terlebihdahulu beberapa hal megenai apa itu yang dimaksud dengan listrik. Untuk memahamitentang listrik, perlu kita ketahui terlebih dahulu pengertian dari arus.Arus merupakan perubahan kecepatan muatan terhadap waktu atau muatan yang

mengalir dalam satuan waktu dengan simbol i (dari kata Perancis : intensite ), dengankata lain arus adalah muatan yang bergerak. Selama muatan tersebut bergerak makaakan muncul arus tetapi ketika muatan tersebut diam maka arus pun akan hilang.Muatan akan bergerak jika ada energi luar yang memepengaruhinya. Muatan adalahsatuan terkecil dari atom atau sub bagian dari atom. Dimana dalam teori atom modernmenyatakan atom terdiri dari partikel inti (proton bermuatan + dan neutron bersifatnetral) yang dikelilingi oleh muatan elektron (-), normalnya atom bermuatan netral.Muatan terdiri dari dua jenis yaitu muatan positif dan muatan negatifArah arus searah dengan arah muatan positif (arah arus listrik) atau berlawanan denganarah aliran elektron. Suatu partikel dapat menjadi muatan positif apabila kehilanganelektron dan menjadi muatan negatif apabila menerima elektron dari partikel lain.Coulomb adalah unit dasar dari International System of Units (SI) yang digunakanuntuk mengukur muatan listrik.Simbol : Q = muatan konstan

q = muatan tergantung satuan waktumuatan 1 elektron = -1,6021 x 10 -19 coulomb

1 coulomb = -6,24 x 10 18 elektron

Secara matematis arus didefinisikan :dt dq

i =

Satuannya : Ampere (A)Dalam teori rangkaian arus merupakan pergerakan muatan positif. Ketika terjadi beda

potensial disuatu elemen atau komponen maka akan muncul arus dimaan arah arus positif mengalir dari potensial tinggi ke potensial rendah dan arah arus negatif mengalir

sebaliknya.

Macam-macam arus :1. Arus searah (Direct Current/DC)

Arus DC adalah arus yang mempunyai nilai tetap atau konstan terhadap satuanwaktu, artinya diaman pun kita meninjau arus tersebut pada wakttu berbeda akanmendapatkan nilai yang sama



Rangkaian Listrik


3

2. Arus bolak-balik (Alternating Current/AC)Arus AC adalah arus yang mempunyai nilai yang berubah terhadap satuan waktudengan karakteristik akan selalu berulang untuk perioda waktu tertentu(mempunyai perida waktu : T).

TeganganTegangan atau seringkali orang menyebut dengan beda potensial dalam bahasa Inggrisvoltage adalah kerja yang dilakukan untuk menggerakkan satu muatan (sebesar satu

coulomb) pada elemen atau komponen dari satu terminal/kutub ke terminal/kutublainnya, atau pada kedua terminal/kutub akan mempunyai beda potensial jika kitamenggerakkan/memindahkan muatan sebesar satu coulomb dari satu terminal keterminal lainnya.Keterkaitan antara kerja yang dilakukan sebenarnya adalah energi yang dikeluarkan,sehingga pengertian diatas dapat dipersingkat bahwa tegangan adalah energi per satuanmuatan.

Secara matematis :dqdw

v =

Satuannya : Volt (V)

Pada gambar diatas, jika terminal/kutub A mempunyai potensial lebih tinggi daripada potensial di terminal/kutub B. Maka ada dua istilah yang seringkali dipakai padaRangkaian Listrik, yaitu :1. Tegangan turun/ voltage drop

Jika dipandang dari potensial lebih tinggi ke potensial lebih rendah dalam hal inidari terminal A ke terminal B.

2. Tegangan naik/ voltage riseJika dipandang dari potensial lebih rendah ke potensial lebih tinggi dalam hal inidari terminal B ke terminal A.

Pada buku ini istilah yang akan dipakai adalah pengertian pada item nomor 1 yaitutegangan turun. Maka jika beda potensial antara kedua titik tersebut adalah sebesar 5Volt, maka V AB = 5 Volt dan V BA = -5 Volt



Rangkaian Listrik


4

EnergiKerja yang dilakukan oleh gaya sebesar satu Newton sejauh satu meter. Jadi energiadalah sesuatu kerja dimana kita memindahkan sesuatu dengan mengeluarkan gayasebesar satu Newton dengan jarak tempuh atau sesuatu tersebut berpindah denganselisih jarak satu meter.

Pada alam akan berlaku hukum Kekekalan Energi dimana energi sebetulnya tidak dapatdihasilkan dan tidak dapat dihilangkan, energi hanya berpindah dari satu bentuk ke

bentuk yang lainnya. Contohnya pada pembangkit listrik, energi dari air yang bergerakakan berpindah menjadi energi yang menghasilkan energi listrik, energi listrik akan

berpindah menjadi energi cahaya jika anergi listrik tersebut melewati suatu lampu,energi cahaya akan berpinda menjadi energi panas jika bola lampu tersebut

pemakaiannya lama, demikian seterusnya.Untuk menyatakan apakah energi dikirim atau diserap tidak hanya polaritas tegangantetapi arah arus juga berpengaruh.Elemen/komponen listrik digolongkan menjadi :

1. Menyerap energiJika arus positif meninggalkan terminal positif menuju terminalelemen/komponen, atau arus positif menuju terminal positif elemen/komponentersebut.

2. Mengirim energiJika arus positif masuk terminal positif dari terminal elemen/komponen, atauarus positif meninggalkan terminal positif elemen/komponen.

Energi yang diserap/dikirim pada suatu elemen yang bertegangan v dan muatan yangmelewatinya q∆ adalah qvw ∆=∆ Satuannya : Joule (J)



Rangkaian Listrik


6

Contoh latihan :

1. Jika arus 6 A, tentukan v jika elemen menyerap daya 18 W ?

Jawaban :Menyerap daya jika arus positif meninggalkan terminal positif

Arus positif karena dari potensial tinggi ke potensial rendahi = 6 AP = 18 W

36

18===

iP

v Volt

2. Jika arus 6 A, tentukan v jika elemen mengirimkan daya 18 W ?

Jawaban :Mengirimkan daya jika arus positif masuk terminal positif



Rangkaian Listrik


7

Arus negatif karena dari potensial rendah ke potensial tinggii = - 6 AP = 18 W

36

18−=

−==

iP

v Volt

3. Tentukan daya pada rangkaian tersebut, apakah sumber tegangan mengirimkan ataumenyerap daya !

Jawaban :Arus positif karena dari potensial tinggi ke potensial rendahi = 3 Av = 6 V

p = vi = 3.6 = 18 WArus positif meninggalkan terminal positif sumber, sehingga sumber mengirimkandaya.



Rangkaian Listrik


8

Soal – soal :

1. Jika tegangan pada elemen adalah 8 V dan arus yang melewati terminal positifnyaseperti diperlihatkan pada grafik disamping. Tentukan daya yang diserap elemen padasaat :

a. t = 4 s b. t = 7 s

2. Tentukan muatan total pada soal nomor 1 diatas !


4. Tentukan daya pada rangkaian tersebut, apakah sumber tegangan mengirimkan atau

menyerap daya !




Rangkaian Listrik


9

6. Jika diketahui muatan q = 12t Coulomb, tentukan i !

7. Diketahui kurva arus terhadap waktu, tentukan muatan total yang masuk padaelemen !

8. Tentukan muatan dalam satuan waktu jika arus t t i 48 2 −= Ampere, t ≥ 0 saat q(0)= 0.

9. Arus sebesar 5 µA melalui suatu kawata. Berapa banyak muatan yang melalui kawat dalam 10 detik

b. Berapa banyak muatan yang melalui kawat dalam satu tahun

10. Muatan 5 kC melewati suatu elemen dan energi yang diberikan 20 MJ. Tentukantegangan yang melintasi elemen tersebut.

11. Arus yang mengalir 2 A pada suatu elemen . Energi untuk memindahkan arusselama 1 s adalah 10 J. Tentukan tegangan yang melintasi elemen tersebut.

12. Sebuah arus 10 A dikirimkan ke elemen selama 5 s. Tentukan energi yangdiperlukan untuk menghasilkan 10 V.

13. Sebuah lampu dihubungkan batere 12 V menghasilkan arus sebesar 0,5 A. Tentujanenergi selama 2 s.

14. Jika V = 4 Volt dan i = 10 A. Tentukana. Daya yang diserap atau dikirmkan

b. Energi diserap atau dikirimkan selama 10 s



Rangkaian Listrik


10

15. Jika V = -4 Volt dan i =10 A. Tentukan daya diserap atau dikirimkan.

16. Jika V = 4 Volt dan i = -10 A. Tentukan daya diserap atau dikirimkan.

17. Jika V = -4 Volt dan I = -10 A. Tentukan daya diserap atau dikirimkan.

18. Sebuah kawat dilalui arus 10 mA. Berapa banyak muatan pada kawat tersebutselama 20 s.

19. Tentukana. Muatan total antara 4 - 9 s

b. Muatan saat t = 8 sc. Arus saat t = 1 s, 5 s, dan 8 s



Rangkaian Listrik


11

20. Berapa arus dihasilkan batere mobil, jika energi yang disuplai 2 x 10 6 J selama 10 jam (standar batere mobil 12 V)

21. Tentukana. Daya diserap atau dikirim

b. Nilai daya jika V = 10 Volt dan i = 12 mA

22. Arus 6 A, tentukan V jika elemen menyerap daya P = 18 W

23. Jika arus 6 A, tentukan V jika elemen mengirimkan daya P = 18 W



Rangkaian Listrik


12

24. Tentukan daya pada rangkaian berikut






Rangkaian Listrik


13

28. Tentukan daya yang diserap oleh tiap elemen pada rangkaian berikut



Rangkaian Listrik


14

BAB IIELEMEN RANGKAIAN LISTRIK

Seperti dijelaskan pada bab sebelumnya, bahwa pada Rangkaian Listrik tidak dapatdipisahkan dari penyusunnya sendiri, yaitu berupa elemen atau komponen. Pada bab ini

akan dibahas elemen atau komponen listrik aktif dan pasif.

Elemen AktifElemen aktif adalah elemen yang menghasilkan energi, pada mata kuliah RangkaianListrik yang akan dibahas pada elemen aktif adalah sumber tegangan dan sumber arus.Pada pembahasan selanjutnya kita akan membicarakan semua yang berkaitan denganelemen atau komponen ideal. Yang dimaksud dengan kondisi ideal disini adalah bahwasesuatunya berdasarkan dari sifat karakteristik dari elemen atau komponen tersebut dantidak terpengaruh oleh lingkungan luar. Jadi untuk elemen listrik seperti sumbertegangan, sumber arus, kompone R, L, dan C pada mata kuliah ini diasumsikansemuanya dalam kondisi ideal.

1. Sumber Tegangan ( Voltage Source )Sumber tegangan ideal adalah suatu sumber yang menghasilkan tegangan yangtetap, tidak tergantung pada arus yang mengalir pada sumber tersebut, meskipuntegangan tersebut merupakan fungsi dari t.Sifat lain :Mempunyai nilai resistansi dalam R d = 0 (sumber tegangan ideal)a. Sumber Tegangan Bebas/ Independent Voltage Source

Sumber yang menghasilkan tegangan tetap tetapi mempunyai sifat khususyaitu harga tegangannya tidak bergantung pada harga tegangan atau aruslainnya, artinya nilai tersebut berasal dari sumbet tegangan dia sendiri.Simbol :

b. Sumber Tegangan Tidak Bebas/ Dependent Voltage Source Mempunyai sifat khusus yaitu harga tegangan bergantung pada hargategangan atau arus lainnya.Simbol :



Rangkaian Listrik


15

2. Sumber Arus ( Current Source )Sumber arus ideal adalah sumber yang menghasilkan arus yang tetap, tidak

bergantung pada tegangan dari sumber arus tersebut.Sifat lain :Mempunyai nilai resistansi dalam R d = ∞ (sumber arus ideal)

a. Sumber Arus Bebas/ Independent Current Source Mempunyai sifat khusus yaitu harga arus tidak bergantung pada hargategangan atau arus lainnya.Simbol :

b. Sumber Arus Tidak Bebas/ Dependent Current Source Mempunyai sifat khusus yaitu harga arus bergantung pada harga teganganatau arus lainnya.Simbol :

Elemen Pasif1. Resistor (R)

Sering juga disebut dengan tahanan, hambatan, penghantar, atau resistansidimana resistor mempunyai fungsi sebagai penghambat arus, pembagi arus , dan

pembagi tegangan. Nilai resistor tergantung dari hambatan jenis bahan resistor itu sendiri(tergantung dari bahan pembuatnya), panjang dari resistor itu sendiri dan luas

penampang dari resistor itu sendiri.Secara matematis :

Al

R ρ = dimana : ρ = hambatan jenis

=l panjang dari resistorA = luas penampang

Satuan dari resistor : Ohm ( )Ω



Rangkaian Listrik


16

Jika suatu resistor dilewati oleh sebuah arus maka pada kedua ujung dari resistortersebut akan menimbulkan beda potensial atau tegangan. Hukum yang didapatdari percobaan ini adalah: Hukum Ohm.Mengenai pembahasan dari Hukum Ohm akan dibahas pada bab selanjutnya.

IRV R =

2. Kapasitor (C)Sering juga disebut dengan kondensator atau kapasitansi. Mempunyai fungsiuntuk membatasi arus DC yang mengalir pada kapasitor tersebut, dan dapatmenyimpan energi dalam bentuk medan listrik.

Nilai suatu kapasitor tergantung dari nilai permitivitas bahan pembuat kapasitor,luas penampang dari kapsitor tersebut dan jarak antara dua keping penyusun darikapasitor tersebut.Secara matematis :

d A

C ε =

dimana : ε = permitivitas bahanA = luas penampang bahand = jarak dua keping

Satuan dari kapasitor : Farad (F)Jika sebuah kapasitor dilewati oleh sebuah arus maka pada kedua ujungkapaistor tersebut akan muncul beda potensial atau tegangan, dimana secaramatematis dinyatakan :

dt dv

C i cc =

Penurunan rumus :

dt idqdt dq

i

ana

Cdvdq

CV Q

.

:dim

=

=

==



Rangkaian Listrik


17

dt dv

C i

Cdvdt i

sehingga

=

=.

:

Dari karakteristik v - i, dapat diturunkan sifat penyimpanan energi padakapasitor.

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫

====

==

=

Cvdvdt dt dv

vC dt vidt pw

dt pdw

dt pdwdt dw

p

..

.

.

Misalkan : pada saat t = 0 maka v = 0

pada saat t = t maka v = VSehingga : 2

0 21

CV CvdvwV

== ∫ yang merupakan energi yang disimpan pada

kapasitor dalam bentuk medan listrik.Jika kapasitor dipasang tegangan konstan/DC, maka arus sama dengan nol.Sehingga kapasitor bertindak sebagai rangkaian terbuka/ open circuit untuktegangan DC.

3. Induktor/ Induktansi/ Lilitan/ Kumparan (L)Seringkali disebut sebagai induktansi, lilitan, kumparan, atau belitan. Padainduktor mempunyai sifat dapat menyimpan energi dalam bentuk medanmagnet.

Satuan dari induktor : Henry (H)

Arus yang mengalir pada induktor akan menghasilkan fluksi magnetik ( φ ) yangmembentuk loop yang melingkupi kumparan. Jika ada N lilitan, maka total

fluksi adalah :

dt di

Ldt d

v

I L

LI

==

=

=

λ

λ

λ



Rangkaian Listrik


18

Dari karakteristik v-i, dapat diturunkan sifat penyimpan energi pada induktor.

∫ ∫ ∫∫∫ ∫

======

=

=

di Lidt idt di

Ldt vidt pw

dt pdw

dt pdwdt dw

p

....

.

.

Misalkan : pada saat t = 0 maka i = 0 pada saat t = t maka i = I

sehingga ; 2

0 21

. LI di Liw I

== ∫ merupakan energi yang disimpan pada induktor L

dalam bentuk medan magnet.Jika induktor dipasang arus konstan/DC, maka tegangan sama dengan nol.Sehingga induktor bertindak sebagai rangkaian hubung singkat/ short circuit .

Hal-Hal Yang Perlu Diperhatikan :

1. Tegangan antara 2 titik, a dan b digambarkan dengan satu anak panah seperti pada gambar dibawah ini :

Vab menunjukkan besar potensial relatif titik a terhadap titik b.

2. Tegangan yang dipakai pada buku ini adalah tegangan drop / jatuh dimana akan bernilai positif, bila kita berjalan dari potensial tinggi ke potensial rendah.Contoh :

Voltage drop : V ac = V ab + V bc = IR – V

3. Setiap arus yang melewati komponen pasif maka terminal dari komponentersebut pertamakali dialiri arus akan menjadi potensial lebih tinggidibandingkan potensial terminal lainnya.

4. Bedakan antara sumber tegangan dan pengukur tegangan/ Voltmeter.Sumber tegangan (R d = 0)Voltmeter (R d = ∞)



Rangkaian Listrik


19

Voltmeter dipasang paralel pada komponen yang akan diukur supaya tidak adaarus yang melalui Voltmeter.

5. Bedakan antara sumber arus dan pengukur arus/ AmperemeterSumber arus (R d = ∞)

Amperemeter (R d = 0)Amperemeter dipasang seri pada komponen yang akan diukur supaya tegangan

pada Amperemeter samadengan nol.

Perlu diingat bahwa rangkaian paralel adalah pembagi arus dan rangkaian seriadalah pembagi tegangan. Pembahasan rangkain seri dan paralel akan dibahas

pada bab selanjutnya.

6. Rangkaian Hubung Singkat ( Short Circuit )Sifat : V ab selalu samadengan 0, tidak tergantung pada arus I yang mengalir

padanya.Vab = 0R d = 0



Rangkaian Listrik


20

7. Rangkaian Terbuka ( Open Circuit )Sifat : arus selalu samadengan 0, tidak tergantung pada tegangan a-b.I = 0R d = ∞



Rangkaian Listrik


21

BAB IIIHUKUM – HUKUM RANGKAIAN

Hukum OhmJika sebuah penghantar atau resistansi atau hantaran dilewati oleh sebuah arus maka

pada kedua ujung penghantar tersebut akan muncul beda potensial, atau Hukum Ohmmenyatakan bahwa tegangan melintasi berbagai jenis bahan pengantar adalah

berbanding lurus dengan arus yang mengalir melalui bahan tersebut.Secara matematis :

R I V .=

Hukum Kirchoff I / Kirchoff’s Current Law (KCL) Jumlah arus yang memasuki suatu percabangan atau node atau simpul samadengan arusyang meninggalkan percabangan atau node atau simpul, dengan kata lain jumlah aljabarsemua arus yang memasuki sebuah percabangan atau node atau simpul samadengan nol.Secara matematis :

Σ Arus pada satu titik percabangan = 0Σ Arus yang masuk percabangan = Σ Arus yang keluar percabangan

Dapat diilustrasikan bahwa arus yang mengalir samadengan aliran sungai, dimana padasaat menemui percabangan maka aliran sungai tersebut akan terbagi sesuai proporsinya

pada percabangan tersebut. Artinya bahwa aliran sungai akan terbagi sesuai dengan jumlah percabangan yang ada, dimana tentunya jumlah debit air yang masuk akansamadengan jumlah debit air yang keluar dari percabangan tersebut.

Contoh :

3142

3142 0

0

iiii

keluar arusmasuk arus

iiii

i

+=+⋅=⋅

=−−+=

∑∑

∑

Hukum Kirchoff II / Kirchoff’s Voltage Law (KVL) Jumlah tegangan pada suatu lintasan tertutup samadengan nol, atau penjumlahantegangan pada masing-masing komponen penyusunnya yang membentuk satu lintasantertutup akan bernilai samadengan nol.Secara matematis :

0=∑V



Rangkaian Listrik


22

Contoh :

Lintasan a-b-c-d-a :

0

00

0

312

321

=−−=+−+−

=+++

V V V

V V V

V V V V dacd bcab

Lintasan a-d-c-b-a :

0

00

0

123

123

=+−=++−

=+++

V V V

V V V

V V V V bacbdcad

Contoh Latihan :

1. Tentukan v 1 pada rangkaian tersebut !

Jawaban :Hukum KVL :

0=Σv searah jarum jam

V v

v

3

015210

1

1

==−+++

berlawanan arah jarum jam

V v

v

3

015210

1

1

==+−−−



Rangkaian Listrik


23

2. Tentukan v 1 pada rangkaian tersebut !

Jawaban :Hukum KVL :

0=Σv

V v

v

7

015210

1

1

−==++−+

3. Tentukan nilai i dan v ab !

Jawaban :

Hukum KCL :0=Σi

Ai 178 −=+−=



Rangkaian Listrik


24

Hukum KVL :

0=Σv V vab 6265648 =−+++=

Hubungan Seri dan ParalelSecara umum digolongkan menjadi 2 :

1. Hubungan seriJika salah satu terminal dari dua elemen tersambung, akibatnya arus yang lewatakan sama besar.

2. Hubungan paralelJika semua terminal terhubung dengan elemen lain dan akibatnya tegangandiantaranya akan sama.

Resistor ( R )Hubungan seri :

321

321

321

321321

321

)(

0

0:

R R R R

R R Ri

V

R R RiV

iRiRiRV V V V

V V V V

V KVL

ek ++=

++=

++=++=++=

=−++=∑



Rangkaian Listrik


25

Pembagi tegangan :

321

33

22

11

:dim

R R RV

i

ana

iRV

iRV

iRV

++=

===

sehingga :

V R R R

RV

V R R R

RV

V R R R

RV

321

33

321

22

321

11

++=

++=

++=

Hubungan paralel :

321

321

321

321

1111

0

0

:

R R R R

RV

RV

RV

RV

iiii

iiii

i

KCL

ek

ek

++=

++=

++==−−−

=∑



Rangkaian Listrik


26

Pembagi arus :

ek iRV

ana

RV

i R

V i

RV

i

=

=

=

=

:dim3

3

2

2

11

sehingga :

i R

Ri

i R

Ri

i R

Ri

ek

ek

ek

33

22

11

=

=

=

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai R ek pada rangkain tersebut!

Jawaban :

Ω=++=Ω+Ω+=Ω=+=→Ω

Ω=+=Ω+=

Ω=+

=→Ω

Ω=+=

751550101550103015

301530//

15787

816161616

16//

16412

2

22

12

11

1

pek

ps

ps

ps

s

R R

x R R

R R

x R R

R



Rangkaian Listrik


27

2. Tentukan nilai arus i !

Jawaban :

Ai

R R

R

R R

R R R

R R

x R

t

pek

p

ss

s ps

ps

p

23

1624

166106

10

20.3020.30.20.30.

20//30//

60481248

1248164816

2

2

11

121

11

1

==

Ω=+=Ω+=Ω=

++=→ΩΩ

Ω=+=Ω+=

Ω=+

=

Ω=+

=→ΩΩ 156020

60.2060//20 p R

Aii t 21

23

4515

301515 ==+

=



Rangkaian Listrik


28


Jawaban :

Av

i

sehingga

V xv x R

Rv

x R

V v

p

p

R

p

p

R

p

144

4

:

4129

34

6

3412412

4//12

3

1

1

==Ω

=

==Ω+

=

Ω=+

=→ΩΩ

=

Kapasitor ( C )Hubungan seri

321

321

321

321

321

1111

1111

111

0

0:

C C C C

idt C

idt C

idt C

idt C

idt C

idt C

idt C

V

V V V V

V V V V

V KVL

ek

ek

++=

++=

++=

++==−++

=

∫∫∫∫

∫∫∫

∑



Rangkaian Listrik


29

Pembagi tegangan :

∫

∫

∫

∫

=→

=

=

=

idt C

V ana

idt C

V

idt

C

V

idt C

V

ek

1dim

1

1

1

33

2

2

11

sehingga :

V C

C V

V C

C V

V C

C V

ek

ek

ek

33

22

11

=

=

=

Hubungan paralel :

321

321

321

321 0

0

:

C C C C dt

dV C

dt

dV C

dt

dV C

dt

dV C

iiii

iiii

i

KCL

ek

ek

++=

++=

++==−−−

=∑



Rangkaian Listrik


30

Pembagi arus :

ek ek C

idt dV

dt dV

C iana

dt dV

C idt

dV C i

dt dV

C i

=→=→

=

=

=

dim

33

22

11

sehingga :

iC C i

iC

C i

iC

C i

ek

ek

ek

33

22

11

=

=

=

Contoh latihan :

1. Tentukan C ek pada rangkaian tersebut!

Jawaban :

F F F C

F F F C

p

p

µ µ µ

µ µ µ

502525

502525

2

1

=+==+=

F F C C

F x

C

sek

s

µ µ

µ

50252525

25

5050

5050

=+=+=

=

+

=



Rangkaian Listrik


31

2. Tentukan C ek !

Jawaban :

F F F C C F F C

F x

C

F F F C

F F F C

sek s

s

p

p

µ µ µ µ µ

µ

µ µ µ

µ µ µ

20555//5//

1020202020

201010

201010

1

1

=++=→

=+

=

=+==+=

Induktor ( L )Hubungan seri :

321

321

321

321

321 0

0:

L L L Ldt di

Ldt di

Ldt di

Ldt di

L

dt di

Ldt di

Ldt di

LV

V V V V

V V V V

V KVL

ek

ek

++=

++=

++=++=

=−++=∑



Rangkaian Listrik


32

Pembagi tegangan :

ek ek L

V dt di

dt di

LV ana

dt di

LV

dt di

LV

dt di

LV

=→=→

=

=

=

dim

33

22

11

sehingga :

V L LV

V L L

V

V L L

V

ek

ek

ek

33

22

11

=

=

=

Hubungan paralel :

321

321

321

321

1111

1111

0

0

:

L L L L

Vdt

L

Vdt

L

Vdt

L

Vdt

L

iiii

iiii

i

KCL

ek

ek

++=

++=

++==−−−

=

∫∫∫∫

∑



Rangkaian Listrik


33

Pembagi arus ;

i LVdt Vdt L

iana

Vdt L

i

Vdt

L

i

Vdt L

i

ek ek

=→=→

=

=

=

∫∫

∫

∫

∫

1dim

1

1

1

33

2

2

11

i L

Li

i L

Li

i L

Li

ek

ek

ek

33

22

11

=

=

=

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai L ek !

Jawaban :

mH x

LmH L

mH mH L L

mH x

LmH L

mH mH mH L

ek s

ps

ps

s

2550505050

50//

50252525

255050

505050//

502525

2

12

11

1

=+

=→

=+=+=

=+

=→

=+=



Rangkaian Listrik


34

2. Tentukan nilai L ek !

Jawaban :

mH mH L LmH LmH L

mH mH mH L

ps

ps

s

1010010025//0//

502030

12

11

1

=+=+==→

=+=

mH x

L

L

x L LmH L

ek

s

sek s

510101010

1010

10//2

22

=+

=

+=→



Rangkaian Listrik


35

Soal – soal :

1. Tentukan nilai arus i jika diberikan sumber tegangan DC 10 V !

2. Tentukan nilai tegangan V ab!

3. Tentukan nilai i !




Rangkaian Listrik


36

5. Jika pada suatu rangkaian diberikan tegangan 10 V maka timbul arus sebesar 2 A,maka berapa arus yang muncul jika tegangan yang diberikan pada rangkaiantersebut sebesar 15 V

6. Pada suatu rangkaian yang tidak diketahui nilai resistansinya, daya pada rangkaian

tersebut yang terukur dengan wattmeter sebesar 250 W dengan tegangan terpasang50 V, tentukan nilai resistansinya.

7. Nilai suatu rangkaian seri Ω= 61 R dan Ω=122 R jika diberikan sumber tegangan 8V akan menghasilkan arus sebesar 2 A, tentukan nilai arus rangkaian paralel dengandaya yang sama saat rangkaian dihubung seri.

8. Jika suatu nilai kapasitor yang terdiri dari 10pF, 12x10 -6 µF, dan 0,008nF, jikadihubungkan paralel maka berapa nilai kapasitor totalnya.

9. Jika diberikan sumber tegangan sebesar 10 V dan nilai resistor masing-masing 5 Ω

seri dengan 10 Ω kemudian paralel dengan 15 Ω lalu diserikan lagi dengan paralelantara 5 Ω dan 5 Ω, maka tentukan arus yang dihasilkan.

10. Tentukan tahanan totalnya

11. Tentukan C ek !



Rangkaian Listrik


37

12. Tentukan nilai pada alat ukur masing-masing :

13. Tentukan arus pada Amperemeter :

26. Tentukan V 1 pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


38



29. Tentukan arus i dan Vab pada rangkaian berikut :

30. Tentukan arus i dan V pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


39

31. Tentukan arus i dan V pada rangkaian berikut :

32. Tentukan Rek dan i pada rangkaian berikut :

33. Tentukna Rtot pada rangkaian berikut :

34. Tentukan Rek pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


40

35. Tentukan Cek pada rangkaian berikut :

36. Tentukan Lek pada rangkaian berikut :

37. Tentukan tegangan dititik a-b pada rangkaian berikut :

38. Tentukan tegangan dititik a-b pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


41

39. Tentukan tegangan V ab pada rangkaian berikut :

40. Tentukan i 1, i2, dan V pada rangkaian berikut :

41. Tentukan tegangan V pada rangkaian berikut :

42. Tentukan arus i, i 1 dan V :



Rangkaian Listrik


42


44. Tentukan nilai tegangan V pada rangkaian berikut :

45. Tentukan nilai arus i dan hambatan R rangkaian berikut :

46. Tentukan arus i pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


43

47. Tentukan nilai arus i pada rangkaian berikut :

48. Tentukan nilai i pada rangkaiann berikut :

49. Jika tegangan pada elemen adalah 8 V dan rus yang meleweati trminal positifnyaseperti diperlihatkan pada gambar. Tentukan daya yang diserap elemen pada saat :a. t = 4 s b. t = 7 s

50. Tentukan muatan total pada soal no. 49 :

51. Tentukan Zek rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


44

52. Tentukan nilai arus i pada rangkaian berikut :

53. Tentukan tegangan dititik a-b rangkaian berikut :

54. Tentuklan i 1, i2 dan V ab :

55. Sebuah resistor 1k Ω dihubungkan baterai dan 6 mA mengalir. Berapa arus jika baterai dihubungkan resistor 30 Ω? Berapa tegangan baterai?

56. Sebuah toaster resistor akan menjadi panas ketika arus melewatinya. Jika toastermendisipasikan daya 960 W pada teganngan 120 V. Tentukan arus danresistansinya.

57. Sebuah sumber 10 V diserikan dengan beberapa resistor dengan arus 50 mA. Berapa

nilai tahanan yang harus diserikan dengan sumber dan resistor dengan arus terbatas20 mA?

58. Resistor 20 Ω, 30 Ω dan R dihubung paralel membentuk resistansi ekivalen 4 Ω.Tentukan R dan arus melewatinya. Jika sumber arus 6A dipasang pada kombinasitersebut.



Rangkaian Listrik


45

59. Tentukan tegangan V dan arus i :

60. Tentukan i 1 dan i 2 :

61. Tentukan arus i :

62. Tentukan arus i dan tegangan V :



Rangkaian Listrik


46

63. Tentukan i dan nilai R :

64. Tentukan i :

65. Tentukan i, V 1, V 2 :

66. Tentukan tegangan V dan R :



Rangkaian Listrik


47

67. Tentukan arus i dan tegangan V :

68. Tentukan i 1, dan i 2 :

69. Tentiakn tegangan V 1 dan daya di R = 10 Ω :

70. Tentukan V 1 dan i 1 :



Rangkaian Listrik


48

71. Tentukan i 1 :

72. Jika R = 9 Ω tentukan nilai i 1 :

73. Tentukan nilai i :

74. Tentukan nilai i 1 dan tegangan V :



Rangkaian Listrik


49

75. Tentukan i :

76. Tentukan nilai tegangan V :

77. Tentukan nilai R 2 :

78. Tentukan i dan V :



Rangkaian Listrik


50

79. Tentukan V 2 :

80. Tentukan i :

81. Tentukan i :

82. Tentukan i :



Rangkaian Listrik


51

83. Tentukan nilai R :

84. Tentukan daya pada R = 600 Ω :

85. Tentukan R :

86. Tentukan i :



Rangkaian Listrik


52

87. Tentukan R :

88. Tentukan V 1 :

89. Tentukan Va :

90. Tentukan Vo :



Rangkaian Listrik


53

91. Tentukan i dan V :

92. Tentukan i :

93. Tentukan R :

94. Tentukan V :



Rangkaian Listrik


54

95. Tentukan R :

96. Tentukan V :

97. Tentukan nilai tegangan V 1 :

98. Berapa nilai R jika diukur pada kedua ujung terbuka :



Rangkaian Listrik


55

99. Tentukan R ek :

100. Tentukan L ek pada rangkaian berikut :

101. Tentukan nilai arus pada tahanan 20 Ω :

102. Tentukan daya pada sumber tegangan 8 V !



Rangkaian Listrik


56

103. Tentukan arus I y !

104. Tentukan nilai nilai arus pada resistor 4 Ω :

105. Tentukan arus pada sumber tegangan -4 V :

106. Tentukan nilai V !



Rangkaian Listrik


57


108. Berapa nilai resistansi ekivalennya !

109. Tentukan nilai arus i :

110. Tentukan tegangan V ab !



Rangkaian Listrik


58

111. Tentukan nilai arus i :

112. Tentukan arus i !

113. Cari nilai i a :

114. Berapa nilai i :



Rangkaian Listrik


59

115. Tentukan nilai V 1 !

116. Jika kurva arus terhadap waktu diperlihatkan seperti pada gambar dibawah ini,tentukan nilai muatan totalnya dari 0 – 3 s

117. Berapa nilai tegangan V ab :



Rangkaian Listrik


60

BAB IVMETODA ANALISIS RANGKAIAN

Metoda analisis rangkaian sebenarnya merupakan salah satu alat bantu untukmenyelesaikan suatu permasalahan yang muncul dalam menganalisis suatu rangkaian,

bilamana konsep dasar atau hukum-hukum dasar seperti Hukum Ohm dan HukumKirchoff tidak dapat menyelesaikan permasalahan pada rangkaian tersebut.Pada bab ini akan dibahas tiga metoda analisis rangkaian yang akan dipakai, yaitu :analisis node, analisis mesh dan analisis arus cabang.

Analisis NodeSebelum membahas metoda ini ada beberapa hal yang perlu diperhatikan yaitu

pengertian mengenai tentang node. Node atau titik simpul adalah titik pertemuan dari dua atau lebih elemen rangkaian.Junction atau titik simpul utama atau titik percabangan adalah titik pertemuan dari tigaatau lebih elemen rangkaian.Untuk lebih jelasnya mengenai dua pengertian dasar diatas, dapat dimodelkan dengancontoh gambar berikut.Contoh :

Jumlah node = 5, yaitu : a, b, c, d, e=f=g=hJumlah junction = 3, yaitu : b, c, e=f=g=h

Analisis node berprinsip pada Hukum Kirchoff I/ KCL dimana jumlah arus yang masukdan keluar dari titik percabangan akan samadengan nol, dimana tegangan merupakan

parameter yang tidak diketahui. Atau analisis node lebih mudah jika pencatunyasemuanya adalah sumber arus. Analisis ini dapat diterapkan pada sumber searah/ DCmaupun sumber bolak-balik/ AC.Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada analisis node, yaitu :

Tentukan node referensi sebagai ground / potensial nol. Tentukan node voltage , yaitu tegangan antara node non referensi dan ground. Asumsikan tegangan node yang sedang diperhitungkan lebih tinggi daripada

tegangan node manapun, sehingga arah arus keluar dari node tersebut positif. Jika terdapat N node, maka jumlah node voltage adalah (N-1). Jumlah node voltage

ini akan menentukan banyaknya persamaan yang dihasilkan.



Rangkaian Listrik


61

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai i dengan analisis node !

Jawaban :

- Tentukan node referensinya/ground- Tentukan node voltage- Jumlah N=3, jumlah persamaan (N - 1) = 2

Tinjau node voltage V 1 :

KCL :

)1(243

242

384

0

0384

3

0740

21

211

211

211

21

21

KK−=−−=−+

−=−+−

=→−=−+−

−=+=−−−→=∑

V V

V V V

V V V

V V V V V

ii

iii

gg



Rangkaian Listrik


62


KCL :

)2(16835

1682)(3

712

08

07128

7

070

12

212

212

212

21

21

KK=−=+−

=−+−

=→=−

+−=+

=−−→=∑

V V

V V V

V V V

V V V V V

ii

iii

gg

Dari kedua persamaan diatas, dapat diselesaikan dengan 2 cara, yaitu :1. Cara substitusi

volt V V

V V

V V

⋅=→=

=+−−=−

+

361444

16853

243

22

21

21

V2 dapat dimasukkan kesalah satu persamaan, misalkan persamaan (1) :

AV V

i

volt V V

V

V V

g⋅=−=

−=

⋅=→=−=−=−−=−

14

044

41224363

24363

243

1

11

1

21

2. Cara Metoda Cramer

Menggunakan matrik :

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=+−−=−

168

24

53

13

:

16853

243

2

1

21

21

V

V

Matrik

V V

V V



Rangkaian Listrik


63

12)3).(1(5.353

13 =−−−=−

−=∆

sehingga ;

AV V

i

volt V

volt V

g⋅=

−=

⋅=−−−=∆

−−

=

⋅=−−−=∆

−−

=

14

3612

)3).(24(168.31683

243

412

168).1(5.245168

124

1

2

1

2. Tentukan nilai tegangan v dengan analisis node !

Jawaban :

- Tentukan node referensinya/ground- Tentukan node voltage

Tinjau node voltage v a :

)1........(14439816

098

016

0

=−=+

−

=−−+−=Σ

ba

aba

aba

vv

vvv

vvv

i



Rangkaian Listrik


64

Tinjau node voltage v b :

)2........(14473

31216

0312

016

0

=+−=+

−

=−−+−=Σ

ba

bab

bab

vv

vvv

vvv

i

Substitusikan pers. (1) dan (2) :

V vv

vv

vv

bb

ba

ba

486

2882886

14473

1443

==→=

+=+−=−

Masukan nilai v b ke persamaan (1) :

V v

vv

vv

a

a

a

ba

643

192

192481443144483

1443

==

=+==−

=−

3. Tentukan nilai arus i dengan analisis node!

Jawaban :

- Tentukan node referensinya/ground- Tentukan node voltage



Rangkaian Listrik


65


)1.......(48019

0106

121040

10

:dim

06121040

=+

=−++−

=

=−++−

ba

aaba

a

aba

vv

vvvv

viana

ivvv

Tinjau node voltage v b :

)2.......(80323

02106

2040

0262040

=+

=−++−

=−++−

ba

abab

bab

vv

vvvv

ivvv

Metoda Cramer :

Av

i

sehingga

V v

v

v

a

a

b

a

41040

10

:

401.233.191.803.480

323

119

380

1480

80

480

323

119

===

=−−==

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛

Analisis node mudah dilakukan bila pencatunya berupa sumber arus. Apabila padarangkaian tersebut terdapat sumber tegangan, maka sumber tegangan tersebutdiperlakukan sebagai supernode , yaitu menganggap sumber tegangan tersebutdianggap sebagai satu node.

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai i dengan analisis node !



Rangkaian Listrik


66

Jawaban :

- Tentukan node referensinya/ground- Tentukan node voltage- Teg. Sumber sebagai supernode

- Jumlah N=3, jumlah persamaan (N-1)=2Tinjau node voltage di V :

KCL :

11010

20

0011010

20

0

=+−

=→=−−

+−

=∑

V V

V V V V

i

gg

Ai

V i

volt V V

⋅=−=

−=

⋅=→=−

5,010

1520

)2(10

20

)1(1510202

KK

KK

2. Tentukan nilai tegangan v dengan analisis node !

Jawaban : - Tentukan node referensinya/ground- Tentukan node voltage- Teg. Sumber sebagai supernode



Rangkaian Listrik


67


V vv

V v

v

vv

vv

a

a

a

aa

aa

8162416

245

120

01205

0722483

03128

16

=−=−=

==

=−=−+−

=−+−

3. Tentukan nilai arus i dengan analisis node!

Jawaban :



Rangkaian Listrik


68


Av

isehingga

V vv

vvvv

vvvv

a

a

a

aaaa

aaaa

122

2:

21326

02613

012346423

04

412

424

14

===

==

=−=+++++−

=+++++−

Analisis Mesh atau Arus LoopArus loop adalah arus yang dimisalkan mengalir dalam suatu loop (lintasan tertutup).Arus loop sebenarnya tidak dapat diukur (arus permisalan).Berbeda dengan analisis node, pada analisis ini berprinsip pada Hukum Kirchoff II/

KVL dimana jumlah tegangan pada satu lintasan tertutup samadengan nol atau arusmerupakan parameter yang tidak diketahui. Analisis ini dapat diterapkan pada rangkaiansumber searah/ DC maupun sumber bolak-balik/ AC.Hal-hal yang perlu diperhatikan :

Buatlah pada setiap loop arus asumsi yang melingkari loop. Pengambilan arus loopterserah kita yang terpenting masih dalam satu lintasan tertutup. Arah arus dapatsearah satu sama lain ataupun berlawanan baik searah jarum jam maupun

berlawanan dengan arah jarum jam. Biasanya jumlah arus loop menunjukkan jumlah persamaan arus yang terjadi. Metoda ini mudah jika sumber pencatunya adalah sumber tegangan. Jumlah persamaan = Jumlah cabang – Jumlah junction + 1

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai arus i dengan analisis mesh!

Jawaban :



Rangkaian Listrik


69

Tinjau loop I 1 :

)1........(735

0)(39216

0

21

211

=−=−+++−

=Σ

I I

I I I

v

Tinjau loop I 2 :

)2........(3930)(3669

0

21

122

=+− =−+++−

=Σ

I I I I I

v

Substitusikan persamaan (1) dan (2) :

A I isehingga

A I

I

x I I

x I I

2:

21224

2412

1........393

3..........735

1

1

1

21

21

==

==

=

+=+−=−

2. Tentukan nilai tegangan v dengan analisis mesh!

Jawaban :



Rangkaian Listrik


70

Tinjau loop I 1:

)1(..........181217

0)(12518

21

211

=−=−++−

I I

I I I

Tinjau loop I 2:

)2(..........072120)(124020

21

1222=+−

=−++ I I

I I I I

substitusikan persamaan (1) dan (2) :

V x x I vsehingga

A I

I I I

I I

I I I I

84010

240:

102

9018

18901812102

1812171272

07212

2

2

222

21

2121

==Ω=

==

=→=−=−

=→=+−

3. Tentukan nilai i dengan analisis mesh!

Jawaban :

Tinjau loop I 1 :

Aiii

i I ana

i I

v

aaa

a

a

50565

:dim

0565

0

1

1

=→=−+−

==−+−

=Σ

Tinjau loop I 2 :

A I i

A I I

I i

v

a

5)5(

51050

0251025

025105

0

2

22

2

=−−=−=

−=−=→=++

=+++=Σ



Rangkaian Listrik


71

Apabila ada sumber arus, maka diperlakukan sebagai supermesh . Pada supermesh, pemilihan lintasan menghindari sumber arus karena pada sumber arus tidakdiketahui besar tegangan terminalnya.

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai i dengan analisis mesh !

Jawaban :

Tinjau loop I 1 : A I 91

= Tinjau loop I 2 dan I 3 :

)1.........(..............................3

3

23

23

I I

A I I +==−

Tinjau lintasan supermesh :

)2....(..........01216)(8

0

3212 =++−

=Σ I I I I

v

substitusikan persamaan (1) dan (2) :

A I isehingga

A I I

I I I

I I I

1:

13636

3636

0123616728

0)3(1216)9(8

2

22

222

222

==

==→=

=+++−=+++−



Rangkaian Listrik


72

2. Tentukan nilai V dengan analisis mesh !

Jawaban :

Tinjau loop I 1 dan I 2 :

1

21

12

:dim

)1...(..............................6

6

I iana

I I

A I I

=−==−

Tinjau lintasan supermesh :

)2........(....................1233

03212032.112

0

21

211

21

=+=+++−=+++−

=Σ

I I

I I I I i I

v


V x I V sehingga

A I I

I I

I I

15533:

56

30306

123183

123)6(3

2

22

22

22

===

==→=

=+−=+−



Rangkaian Listrik


73

3. Tentukan nilai arus i dengan analisis mesh !

Jawaban :

Tinjau loop I 1 :

)1.........(....................121218

0)(12126

21

211

−=−=−++

I I

I I I

Tinjau loop I 2 dan I 3 :)2.(........................................323

=− I I Tinjau lintasan supermesh :

)3....(....................1261216

012)(1264

0

312

1232

=+−=−−++

=Σ

I I I

I I I I

v

Metoda Cramer :

A I isehingga

A I

I

I

I

2:

2

612

1012

616

1118

1612

1012

1212

3012

1216

3118

61612

110

01218

121612

310

121218

12

3

12

61612

110

01218

3

3

3

2

1

−=

=−

+−−

−−

−+

−

=

−−

−−

−−−

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛ −=⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−−

−



Rangkaian Listrik


74

Analisis Arus CabangArus cabang adalah arus yang benar-benar ada (dapat diukur) yang mengalir pada suatucabang. Artinya arus cabang adalah arus yang sebenarnya mengalir pada percabangantersebut.Arti cabang :

Mempunyai satu elemen rangkaian Bagian rangkaian dengan dua terminal dengan arus yang sama Jumlah persamaan = Jumlah arus cabang yang ada

Contoh latihan :

1. Tentukan semua persamaan yang ada !

Jawaban :

Σ persamaan = Σ arus cabang = 3Tinjau arus cabang i 1 dan i 2 :

)1(0

0

2211 KK=−+

=ΣV Ri Ri

V

Tinjau arus cabang i3 :

)2(.....................3 KK I i =

Tinjau arus cabang i 2 :

)3....(....................

0

231 iii

i=+

=Σ

2. Tentukan nilai i dengan analisis arus cabang !



Rangkaian Listrik


75

Jawaban :

Tinjau arus cabang i 1 dan i 2 :

)1.....(..........3

47

21

21

−=+=++

ii

ii

Tinjau arus cabang i 2 dan i 3 :

)2.....(..........7732

32

−=−=+

iiii

Tinjau lintasan tertutup semua arus cabang

)3(..........04128

0

132 =−+

=Σiii

v

Metoda Cramer :

Aiisehingga

Ai

i

i

i

1:

12424

84

100

124

101

128

111

80

170

120

171

128

113

1284

110

011

1280

117

013

0

7

3

1284

110

011

1

1

3

2

1

==

==

−+

−−

−−

−+

−−−

−−

=

−−

−−−

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛ −−

=⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−−



Rangkaian Listrik


76

Soal – soal :

1. Tentukan arus i dengan analisis node !

2. Tentukan tegangan v dengan analisis node !

3. Tentukan tegangan v dengan analisis node !

4. Tentukan i dengan analisis mesh !



Rangkaian Listrik


77

5. Tentukan i dengan analisis mesh !

6. Tentukan i dengan analisis node !

7. Tentukan nilai i a dengan analisis node !

8. Tentukan V ab dengan analisis mesh !



Rangkaian Listrik


78

9. Tentukan tegangan V dengan metoda node :

10. Tentukan arus i dengan metoda node :

11. Tentukan arus i pada rangkaian berikut dengan metoda node :

12. Tentukan arus i dengan metoda node pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


79

13. Tentukan arus i dengan metoda node pada rangkaian berikut :

14. Tentukan tegangan V dengan metoda node pada rangkaian berikut :

15. Tentukan arus i dengan metoda node (supernode) pada rangkaian berikut :

16. Tentukan arus i dengan metoda node (supernode) pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


80

17. Tentukan tegangan V dengan metoda node (supernode) pada rangkaian berikut :



20. Tentukan arus pada R = 2 Ω :



Rangkaian Listrik


81

21. Tentukan V :

22. Tentukan daya yang diserap oleh sumber arus 1 mA :


24. Tentukan V :



Rangkaian Listrik


82

25. Tentukan V :

26. Tentukan V :

27. Tentukan V :

28. Tentukan V x :



Rangkaian Listrik


83

29. Tentukan V dan i :

30. Tentukan V 1 dan i 2 :

31. Tentukan ix dan Vx :

32. Tentukan i :



Rangkaian Listrik


84

33. Tentukan Vx :

34. Tentukan i dengan node :


36. Tentukan tegangan V dengan node :



Rangkaian Listrik


85


38. Tentukan tegangan V A dan V :

39. Tentukan arus i1 dengan node :

40. Tentukan tegangan V 1 :



Rangkaian Listrik


86


42. Tentukan tegangan V dengan node :

43. Tentukan arus i dengan node :

44. Tentukan arus i dngan node :



Rangkaian Listrik


87

45. Tentukan arus i dengan node :

46. Tentukan nilai arus i dengan analisis mesh pada rangkaian berikut :

47. Tentukan tegangan V dengan mesh pada rangkaian berikut :

48. Tentukan arus i dengan analisis mesh pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


88

49. Tentujkan tegangan V dengan analisis mesh pada rangkaian berikut :

50. Tentukan arus i denagan analisis mesh pada rangkaian berikut :

51. Tentukan arus i dengan analisis supermesh pada rangkaian berikut :

52. Tentukan tegangan V dengan analisis supermesh pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


89

53. Tentukan tegangan V dengan analisis supermesh pada rangkaian berikut :


55. Tentukan i :

56. Tentukan i :



Rangkaian Listrik


90

57. Tentukan i :

58. Tentukan i :

59. Tentukana i :

60. Tentukan daya pada R = 2 Ω :



Rangkaian Listrik


91

61. Tentukan i :



Rangkaian Listrik


92

BAB VTEOREMA RANGKAIAN

Pada bab ini akan dibahas penyelesaian persoalan yang muncul pada Rangkaian Listrikdengan menggunakan suatu teorema tertentu. Dengan pengertian bahwa suatu persoalan

Rangkaian Listrik bukan tidak dapat dipecahkan dengan hukum-hukum dasar ataukonsep dasar ataupun dengan bantuan suatu analisis tertentu yang dibahas pada babsebelumnya, tetapi pada bab ini dibahas bahwa penggunaan teorema tertentu dalammenyelesaikan persoalan yang muncul pada Rangkaian Listrik dapat dilakukan denganmenggunakan suatu teorema tertentu. Bahwa nantinya pada implementasi penggunaanteorema tertentu akan diperlukan suatu bantuan konsep dasar ataupun analisisrangkaian.Ada beberapa teorema yang dibahas pada bab ini , yaitu :1. Teorema Superposisi2. Teorema Substitusi3. Teorema Thevenin4. Teorema Norton5. Teorema Millman6. Teorema Transfer Daya Maksimum

Teorema SuperposisiPada teorema ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier, dimana rangkaianlinier adalah suatu rangkaian dimana persamaan yang muncul akan memenuhi jika y =kx, dimana k = konstanta dan x = variabel.Dalam setiap rangkaian linier dengan beberapa buah sumber tegangan/ sumber arusdapat dihitung dengan cara :

Menjumlah aljabarkan tegangan/ arus yang disebabkan tiap sumber independent/bebas yang bekerja sendiri, dengan semua sumber tegangan/ arus independent/ bebaslainnya diganti dengan tahanan dalamnya.

Pengertian dari teorema diatas bahwa jika terdapat n buah sumber bebas maka denganteorema superposisi samadengan n buah keadaan rangkaian yang dianalisis, dimananantinya n buah keadaan tersebut akan dijumlahkan. Jika terdapat beberapa buahsumber tak bebas maka tetap saja teorema superposisi menghitung untuk n buahkeadaan dari n buah sumber yang bebasnya.Rangkaian linier tentu tidak terlepas dari gabungan rangkaian yang mempunyai sumberindependent atau sumber bebas, sumber dependent / sumber tak bebas linier (sumberdependent arus/ tegangan sebanding dengan pangkat satu dari tegangan/ arus lain, atausebanding dengan jumlah pangkat satu besaran-besaran tersebut) dan elemen resistor (

R ), induktor ( L ), dan kapasitor ( C ).



Rangkaian Listrik


93

Contoh latihan :

1. Berapakah arus i dengan teorema superposisi ?

Jawaban :

Pada saat sumber tegangan aktif/bekerja maka sumber arus tidak aktif (diganti dengantahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit ) :

maka : Ai ⋅=+

= 11010

201

Pada saat sumber arus aktif/bekerja maka sumber tegangan tidak aktif (diganti dengantahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit ) :

Aiii

sehingga

Ai

5,05,01

:

5,01.1010

10

21

2

=−=+=

⋅−=+

−=



Rangkaian Listrik


94

2. Tentukan nilai i dengan superposisi !

Jawaban :

Pada saat sumber V s = 17V aktif/bekerja maka sumber tegangan 6 V diganti dengantahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit , dan sumber arus 2 A digantidengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :

AV

isehingga

V xV

x R R

p

p

R

R

p

p

817

2:

417

1731

1

12222

2//200//3

2

2

1

2

1

−=−

=

=+

=

Ω=+

=→ΩΩ

Ω=→ΩΩ

Pada saat sumber V s = 6V aktif/bekerja maka sumber tegangan 17 V diganti dengantahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit , dan sumber arus 2 A digantidengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :



Rangkaian Listrik


95

Ω=+=Ω+=

Ω=+

=→ΩΩ

516

256

2

56

2323

2//3

1

1

ps

p

R R

x R

A R

i

x R R

p

ps

831

3148

66

3148

3516

35

163//

22

2

===

Ω=+

=→Ω

Pada saat sumber I s = 2A aktif/bekerja maka sumber tegangan 17 V diganti dengantahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit , dan sumber tegangan 6 Vdiganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit :

A xi

R

x R

p

p

45

25

62

2

00//356

2323

2//3

3

2

1

=+

=

Ω=→ΩΩ

Ω=+

=→ΩΩ

Ai

iiiisehingga

38

2445

831

817

: 321

==++−=

++=



Rangkaian Listrik


96

3. Tentukan nilai i dengan superposisi !

Jawaban :

Pada rangkaian ini terdapat sumber tak bebasnya, maka tetap dalam perhitungan denganteorema superposisi membuat analisis untuk n buah keadaan sumber bebas, pada soaldiatas terdapat dua buah sumber bebas, maka dengan superposisi terdapat dua buahkeadaan yang harus dianalisis.Pada saat sumber I s = 8A aktif/bekerja maka sumber arus 4A diganti dengan tahanandalamnnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :

Aiii

i xi

i xi

64

242495

)83(53

)83(23

3

111

11

11

==→−=

−=

−+

=

Pada saat sumber I s = 4A aktif/bekerja maka sumber arus 8A diganti dengan tahanandalamnnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :



Rangkaian Listrik


97

Aiii

i xi

i xi

34121295

)43(53

)43(23

3

122

22

22

−=−=→+=

+=

++

=

Aiiisehingga 336: 21 =−=+=

Teorema SubstitusiPada teorema ini berlaku bahwa :

Suatu komponen atau elemen pasif yang dilalui oleh sebuah arus yang mengalir(sebesar i) maka pada komponen pasif tersebut dapat digantikan dengan sumbertegangan V s yang mempunyai nilai yang sama saat arus tersebut melalui komponen

pasif tersebut.

Jika pada komponen pasifnya adalah sebuah resistor sebesar R, maka sumber tegangan penggantinya bernilai V s = i.R dengan tahanan dalam dari sumber tegangan tersebutsamadengan nol.

Contoh latihan :



Rangkaian Listrik


98

Ai Ai

Ai

R

t

t

⋅=→⋅=+=

⋅==

Ω⋅=++

=

5,05,01.22 2

122

1122

2.2

12

dengan teorema substitusi :Resistor 1 Ω yang dilalui arus i 2 sebesar 0,5 A, jika diganti dengan V s = 1.i 2 = 0,5 V,akan menghasilkan arus i 1 yang sama pada saat sebelum dan sesudah diganti dengansumber tegangan.

Dengan analisis mesh :Loop i 1 :

223

0)(22'

2'

1

'2

'1

'1

=−

=−++−

ii

iii

loop i 2 :

5,032

0)(25,0'

2'

1

'1

'2

'2

−=+−=−++

ii

iii

dengan metoda Cramer :

Ai

Ai

i

i

⋅=−

+−=

−−

−−=

⋅=−−=

−−

−−

=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −

−

5,049

45,1

32

23

5,02

23

14916

32

23

35,0

22

5,0

2

32

23

'2

'1

'2

'1

sehingga : Aiii ⋅=−=−= 5,05,01'2

'11



Rangkaian Listrik


99

Teorema TheveninPada teorema ini berlaku bahwa :

Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buahsumber tegangan yang dihubungserikan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua

terminal yang diamati.

Tujuan sebenarnya dari teorema ini adalah untuk menyederhanakan analisis rangkaian,yaitu membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber tegangan yang dihubungkanseri dengan suatu resistansi ekivalennya.

Pada gambar diatas, dengan terorema substitusi kita dapat melihat rangkaian sirkit Bdapat diganti dengan sumber tegangan yang bernilai sama saat arus melewati sirkit B

pada dua terminal yang kita amati yaitu terminal a-b.Setelah kita dapatkan rangkaian substitusinya, maka dengan menggunakan teoremasuperposisi didapatkan bahwa :

1. Ketika sumber tegangan V aktif/bekerja maka rangkaian pada sirkit linier Atidak aktif (semua sumber bebasnya mati diganti tahanan dalamnya), sehinggadidapatkan nilai resistansi ekivelnnya.

2. Ketika sirkit linier A aktif/bekerja maka pada sumber tegangan bebas digantidengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit .



Rangkaian Listrik


100

Dengan menggabungkan kedua keadaan tadi (teorema superposisi) maka didapatkan :

)1(

1

KKscth

sc

i RV

i

iii

+−=

+=

Pada saat terminal a-b di open circuit (OC), maka i yang mengalir samadengan nol(i = 0), sehingga :

)2(.

0

KKthscoc

scth

oc

scth

RiV

i RV

i RV i

=

+−=

+−=

Dari persamaan (1) dan (2) , didapatkan :

thoc

octh

thscthth

thsc

thsc

th

RiV V

V V Ri

RiV R R

Ri

RV

i RV

i

.

.

).(1

−=

+−=

+−=+−=+−=

Cara memperoleh resistansi penggantinya (R th) adalah dengan mematikan atau menonaktifkan semua sumber bebas pada rangkaian linier A (untuk sumber tegangan tahanandalamnya = 0 atau rangkaian short circuit dan untuk sumber arus tahanan dalamnya = ∞ atau rangkaian open circuit).Jika pada rangkaian tersebut terdapat sumber dependent atau sumber tak bebasnya,maka untuk memperoleh resistansi penggantinya, terlebih dahulu kita mencari arushubung singkat (i sc), sehingga nilai resistansi penggantinya (R th) didapatkan dari nilaitegangan pada kedua terminal tersebut yang di- open circuit dibagi dengan arus padakedua terminal tersebut yang di- short circuit .

Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Thevenin :1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan.2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, open circuit kan pada terminal a-b

kemudian hitung nilai tegangan dititik a-b tersebut (V ab = V th).3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur

pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti



Rangkaian Listrik


101

dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian shortcircuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit )(R ab = R th).

4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti

Theveninnya didapatkan dengan cara sc

th

th I

V

R =

.5. Untuk mencari Isc pada terminal titik a-b tersebut dihubungsingkatkan dan

dicari arus yang mengalir pada titik tersebut (I ab = I sc).6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Theveninnya, kemudian pasangkan

kembali komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.

Contoh latihan :untuk sumber bebas/ independent

1. Tentukan nilai arus i dengan teorema Thevenin !

Jawaban :

Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung tegangan dititika-b pada saat terbuka :

V V V ocab 192456.45 =+−=+−==



Rangkaian Listrik


102

Mencari R th ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanandalamnya) dilihat dari titik a-b :

Ω= 4th R Rangkaian pengganti Thevenin :

Ai

sehingga

819

:

=

2. Tentukan nilai arus i dengan teorema Thevenin !

Jawaban :

Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung tegangan dititika-b pada saat terbuka :



Rangkaian Listrik


103

dengan analisis node :

Tinjau node voltage v 1 :

V vV V

sehingga

V vv

vv

vv

ocab 2816123.4

:

163

48483

036122

0312

126

1

11

11

11

=+=+==

==→=

=−−+

=−−

+


Ω=+=++

= 8444126126 x

Rth



Rangkaian Listrik


104

Rangkaian pengganti Thevenin :

Ai

sehingga

21428

6828

:

==+

=

3. Tentukan besarnya tegangan dititik a-b dengan teorema Thevenin !

Jawaban :

Cari V ab pada saat titik a-b terbuka :

V V sehingga

V xV

V xV

V V V V

oc

xb

xa

xbaxocab

41612V:

16242448

48

12242424

24

ab =+−==

=+

=

=+

=

+==




Rangkaian Listrik


105

Ω=+=+

++

= 28161224482448

24242424 x x

Rth


V V

sehingga

ab 525642.284

:=+−=+−=

Contoh latihan :untuk sumber tak bebas/ dependent

1. Tentukan nilai V dengan teorema Thevenin !

Jawaban :

Mencari V ab dimana tegangan di R=3 Ω , dimana rangkaian tersebut terbuka :



Rangkaian Listrik


106

V xV

Aiana

iiiV V

oc

ocab

30121812)63(

6:dim

12312.12 111

=+=+−−=−=

+−=+−−==

Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari R th tidak bisa langsung dengan

mematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai I sc :

Ω===

=+=+=

==→=

=++−

=Σ+=

31030

:

10646:

43

12123

02.112

0

6

2

22

22

2

sc

octh

sc

sc

iV

Rmaka

Aiisehingga

Aii

ii

v

ii


V xV 153033

3 =+

=

2. Tentukan nilai i dengan teorema Thevenin !



Rangkaian Listrik


107

Jawaban :

Cari V ab saat titik a-b terbuka :

V V V ocab 618126.312 −=−=−+== Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari R th tidak bisa langsung denganmematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai I sc :

Ω=−−==

−=→=+

=−++=Σ

55

66:

56

065

012)6(32

0

sc

octh

scsc

scsc

iV Rsehingga

Aii

ii

v


Ai 166 −=−=



Rangkaian Listrik


108


Jawaban :

Mencari V ab :

V V

V sehingga

V V V

V V

cnode perhatikan

V V

V V V

oc

ocab

1228.3

23

:

824

242

:....2

34

2

1

11

11

11

1

===

=→=

+=

=+==

Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari R th tidak bisa langsung denganmematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai I sc :



Rangkaian Listrik


109


Ω===

=→=

−=−=−=

84

612

:

4

62

3

43

24.3

42

42 2

sc

octh

scsc

scscsc

iV

Rsehingga

Aii

iiV i


V xV 41284

4 =+

=



Rangkaian Listrik


110

Teorema NortonPada teorema ini berlaku bahwa :

Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buahsumber arus yang dihubungparalelkan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua

terminal yang diamati.

Tujuan untuk menyederhanakan analisis rangkaian, yaitu dengan membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber arus yang diparalel dengan suatu tahanan ekivalennya.

sc N

i RV i +−=

Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Norton :1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan.2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, short circuit kan pada terminal a-b

kemudian hitung nilai arus dititik a-b tersebut (I ab = I sc = I N).3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur

pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara digantidengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian shortcircuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit )

(R ab = R N = R th).4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti

Nortonnya didapatkan dengan cara N

oc N I

V R = .

5. Untuk mencari Voc pada terminal titik a-b tersebut dibuka dan dicari tegangan pada titik tersebut (V ab = V oc).

6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Nortonnya, kemudian pasangkankembali komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.



Rangkaian Listrik


111

Contoh latihan :untuk sumber bebas/ independent

1. Tentukan nilai arus i dengan teorema Norton !

Jawaban :

Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung i sc = i N saat R =4Ω dilepas :

Analisis mesh :- Tinjau loop I 1 :

)1..(..............................61 A I = - Tinjau loop I 3 :

A I I iisehingga

A I I

I I

perskansubstitusi

I I

I I

v

N sc 419

45

6:

45

54

5)2

3(8

:)2.(..

5)(8

0)(85

0

21

22

22

23

23

=−=−==

=→=

=−

=−=−+−

=Σ



Rangkaian Listrik


112


Ω= 4 N R Rangkaian pengganti Norton :

Aii N 819

419

.84

444 ==+

=

2. Tentukan nilai v dengan teorema Norton !

Jawaban :

Mencari i sc :



Rangkaian Listrik


113

AV

ii

V x R

RV

R

N sc

p

p

p

5027

20

554

185

2

152

1518

5

215

122012.20

12//20

1

1

===

=+

=+

=

Ω=+

=→ΩΩ

Mencari R N dititik a-b :

Ω=+=Ω+=

Ω=+

=→ΩΩ

17400

201760

2017

60

125

12.512//5

p N

p

R R

R

Rangkaian pengganti Norton :

V x xRivsehingga

x R R

p N

p N

827

4005027

:

27400

4017400

4017

400

40//

===

Ω=+

=→Ω

3. Tentukan nilai i dengan teorema Norton !

Jawaban :



Rangkaian Listrik


114

Mencari i sc :

A I I iisehingga

A x I

A x I

N sc224:

461224

24

262448

24

4812

12

48

=−=−==

=+

=

=+

=

ΩΩ

Ω

Ω

Mencari R N :

Ω=+

=+

=

Ω=Ω+Ω=Ω=Ω+Ω=

243672

36.72.

361224

724824

21

21

2

1

ss

ss N

s

s

R R R R

R

R

R


Aiiisehingga

Ai

N 312:

12424

1

1

=+=+=

==



Rangkaian Listrik


115

Contoh latihan :untuk sumber tak bebas/ dependent


Jawaban :

Mencari i sc :

Aisehingga

Ai

i

iv

v

V v

sc

sc

sc

sc

2:

26

12

063.4

064

0

3

1

1

=

==

=+−=+−

=Σ=

Mencari R N, harus mencari V oc :

Ω===

==+

==

=

428

:

81218124

61212

3

1

1

sc

oc N

ocab

iV

Rsehingga

V xv xV V

V v




Rangkaian Listrik


116

A A xi 1244

4 =+

=


Jawaban :

Mencari i sc :

Aii

ii

v

scsc

scsc

56

065

012)6(32

0

−=→=+

=−++=Σ

Cari R N dengan mencari V ab saat titik a-b terbuka :

Ω=−−==

−=−=−+==

55

66

:

618126.312

sc

oc N

ocab

iV

Rsehingga

V V V




Rangkaian Listrik


117

A xi 156

155 −=−+

=

3. Tentukan tegangan V dengan teorema Norton !

Jawaban :

Mencari i sc :

Ai

isehingga

Aii

ii

v

sc 51

610

12

62:

512

62

5

02

26

0

1

11

11

===

=→=

=++−

=Σ

Mencari V ab :



Rangkaian Listrik


118

Ω===

==

=→=

=++−

=Σ

==

65

15

6:

56

2:

512

62

5

02

26

02

2

22

22

2

sc

oc N

oc

ocab

iV

Rmaka

V i

V sehingga

Aii

ii

v

iV V


V x A x RV sehingga

R

p

p

103

51

23

51

:

23

626.2

6//2

===

Ω=+

=→ΩΩ



Rangkaian Listrik


119

Teorema MillmanTeorema ini seringkali disebut juga sebagai teorema transformasi sumber, baik darisumber tegangan yang dihubungserikan dengan resistansi ke sumber arus yangdihubungparalelkan dengan resistansi yang sama atau sebaliknya.Teorema ini berguna untuk menyederhanakan rangkaian dengan multi sumber tegangan

atau multi sumber arus menjadi satu sumber pengganti.

Langkah-langkah :- Ubah semua sumber tegangan ke sumber arus

- Jumlahkan semua sumber arus paralel dan tahanan paralel

321

3

3

2

2

1

1

1111 R R R R

RV

RV

RV

i

t

t

++=

++=

- Konversikan hasil akhir sumber arus ke sumber tegangan

t ek

t t ek

R R

RiV == .



Rangkaian Listrik


120

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai V dengan transformasi sumber !

Jawaban :

Tinjau transformasi sumber di titik a-b :

V xixV sehingga

Aii

ii

v

88)1(8:

12020

02020

03612816

0

=−−=Ω−=

−=−=→=+

=+++−=Σ



Rangkaian Listrik


121

2. Tentukan i a dengan transformasi sumber !

Jawaban :

Tinjau sumber arus 8A dan 4A ,sehingga dihasilkan sumber arus (8-4)=4 A :

Tinjau sumber arus 4A dan 3i a A ,sehingga dihasilkan sumber arus (3i a -4) A :

Aii

ii

ii

i xi xi

aa

aa

aa

aaa

34

12124

1295

1295

)43(53

)43(23

3

=−−=→−=−

−=−−=

−=−+

=

3. Tentukan tegangan V dengan transformasi sumber !



Rangkaian Listrik


122

Jawaban :

Tinjau sumber arus 3A :

Tinjau sumber arus 9A :

V iV

sehingga

Aii

iii

v

641.872872

:

13636

03636

0361216872

0

=−=−+=

==→=+−

=++++−=Σ



Rangkaian Listrik


123

Teorema Transfer Daya MaksimumTeorema ini menyatakan bahwa :

Transfer daya maksimum terjadi jika nilai resistansi beban samadengan nilai resistansisumber, baik dipasang seri dengan sumber tegangan ataupun dipasang paralel dengan

sumber arus.

Hal ini dapat dibuktikan dengan penurunan rumus sebagai berikut :

L Lg

g L

Lg

g

L L L L

R R R

V P

sehingga

R R

V i

ana

Rii RiiV P

.)(

:

:dim

....

2

2

+=

+=

===

dengan asumsi V g dan R g tetap, dan P L merupakan fungsi R L, maka untuk mencari nilaimaksimum P L adalah :

[ ]

g L

Lg

Lgg

Lg

L

Lgg

L Lg Lgg L

L

L Lgg L Lg

g L

Lg

g L

R Rsehingga

R R

R RV

R R

R

R RV

R R R R RV dRdP

R R RV R R R

V R

R R

V P

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+−

+=

+−+=

+=+

=+

=

−−

−

:

)(0

)(2

)(1

0

)(2)(

)(.)(

.)(

32

322

322

22

2

22

Teorema transfer daya maksimum adalah daya maksimum yang dikirimkan ketika beban R L samadengan beban intern sumber R g.

Maka didapatkan daya maksimumnya :g

g L R

V P

4

2

max=



Rangkaian Listrik


124

Transformasi Resistansi Star – Delta ( Υ )Jika sekumpulan resistansi yang membentuk hubungan tertentu saat dianalisis ternyata

bukan merupakan hubungan seri ataupun hubungan paralel yang telah kita pelajarisebelumnya, maka jika rangkaian resistansi tersebut membentuk hubungan star atau

bintang atau rangkaian tipe T, ataupun membentuk hubungan delta atau segitiga atau

rangkaian tipe Π, maka diperlukan transformasi baik dari star ke delta ataupunsebaliknya.

Tinjau rangkaian Star ( Υ) :Tinjau node D dengan analisis node dimana node C sebagai ground.

B A D

B A D

B A D

D B D A D

V R R R R R R

R RV

R R R R R R R R

V

RV

RV

R R R R R R R R R

V

R

V

R

V

R R RV

RV

RV V

RV V

312132

21

312132

32

31321

312132

31231

231

)(

)111

(

0

+++

++=

+=++

+=++

=+−

+−

)2()()(

)(1

)1(

)(1

3121323

21

3121323

31212

312132

21

312132

32

333332

312132

2

312132

321

312132

21

312132

32

111111

LLL

LLL

B A

B A B D B D B

B A

B A A D A D A

V R R R R R R R

R RV

R R R R R R R

R R R Ri

V R R R R R R

R RV

R R R R R R R R

R RV

RV

RV

RV V

i

V R R R R R R

RV

R R R R R R

R Ri

V R R R R R R

R RV

R R R R R R

R R

R RV

RV

RV

RV V

i

++−

+++

=

+++

++−=−=

−=⇒

++−

++

+=

+++

++−=−=

−=⇒



Rangkaian Listrik


125

Tinjau rangkaian Delta ( ∆)Tinjau node A dengan analisis node dimana node C sebagai ground :

1

1

1)11( iV R

V R R

i RV

RV V

B A

A B A

B

A

A

B A

=−+

=+−

Bandingkan dengan persamaan (1) pada rangkaian Star ( Υ) :

2

312132

312132

2

1

1312132

2

312132

32

1

:

1)

11(

R R R R R R R

R

R R R R R R

R

R

sehingga

iV R

V R R

iV R R R R R R

RV

R R R R R R R R

A

A

B A

A B A

B A

++=++

=⇒

=−+

=++

−++

+

3

312132

312132

3

312132

2

312132

32

312132

32

312132

32

1

1

11

11

R

R R R R R R R

R R R R R R R

R

R R R R R R

R

R R R R R R

R R

R

R R R R R R R

R R

R

R R R R R R

R R

R R

B

B

B

A B

B A

++=

++=

++−

+++

=

−++

+=

+++

=+⇒

Tinjau node B :

2

2

)11

(1

iV R R

V R

i R

V

R

V V

BC A

A A

C

B

A

A B

=++−

=+−



Rangkaian Listrik


126

Bandingkan dengan persamaan (2) pada rangkaian Star ( Υ) :

AC

C A

B

C A

A

A

B A

R R R R R R R R R R

R

R R R R R R R R R

R R

sehingga

iV R R

V R

iV R R R R R R R

R RV

R R R R R R R R R R R

1)(

1

)(11

:

)11

(1

)()(

3121323

21

3121323

21

2

23121323

21

3121323

3121

−++

−=

++−=+⇒

=++−

=++

−++

+

1

312132

312132

1

3121323

3121

3121323

21

)(1

.)()(

1

R

R R R R R R R

R R R R R R

R

R

R R R R R R R

R R R R

R R R R R R R

R R

R

C

C

C

++=

++=

+++

+++

−=

Perumusannya :Transformasi Star ( Υ) ke Delta ( ∆) :

1

312132

3

312132

2

312132

R

R R R R R R R

R

R R R R R R R

R

R R R R R R R

C

B

A

++=

++=

++=



Rangkaian Listrik


127

Transformasi Delta ( ∆) ke Star ( Υ):

C B A

C A

C B A

C B

C B A

B A

R R R R R

R

R R R

R R R

R R R R R

R

++=

++=

++=

3

2

1



Rangkaian Listrik


128

Soal – soal :


2. Tentukan nilai V dengan teorema Norton !


4. Tentukan nilai i a dengan Norton !



Rangkaian Listrik


129

5. Tentukan R agar terjadi transfer daya maksimum !

6. Tentukan tegangan V dengna superposisi :

7. Tentukan arus i dengan superposisi :




Rangkaian Listrik


130


10. Tentukan arus i dengan superposisi

11. Tentukan tegangan V dengan superposisi :




Rangkaian Listrik


131




16. Tentukan i dengan superposisi :



Rangkaian Listrik


132

17. Tentukan i dengan superposisi :

18. Tentukan Vx dengan superposisi :

19. Tentukan I 1 dengan superposisi :

20. Tentukan V dengan superposisi :



Rangkaian Listrik


133

21. Tentukan arus i degan Thevenin :

22. Tentukan arus i dengan Thevenin :

23. Tentukan tegangan V dengan Thevevnin :

24. Tentukan tegangan V dengan Thevenin pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


134

25. Tentukan arus i dengan Thevenin pada rangkaian berikut :

26. Tentukan tegangan V dengan Thevenin :

27. Tentukan tegangan V dengan Thevenin pada rangkaian berikut :

28. Tentukan i dengan Thevenin :



Rangkaian Listrik


135


30. Tentukan V dengan Thevenin :

31. Tentukan V 1 dengan Thevenin :

32. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin dititik a-b :



Rangkaian Listrik


136

33. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :






Rangkaian Listrik


137







Rangkaian Listrik


138







Rangkaian Listrik


139




48. Tentukan Vx dengan Thevenin :



Rangkaian Listrik


140


50. Tentukan Vx dengan Thevenin :


52. Tentukan nilai i dengan Norton :



Rangkaian Listrik


141

53. Tentukan i dengan Norton :

54. Tentukan i dengan Norton :

55. Tentukan nilai R pada rangkaian berikut agar terjadi transfer daya maksimum :

56. Tentukan R agar terjadi transfer daya maksimum di R :



Rangkaian Listrik


142

57. Tentukan nilai R agar terjadi transfer daya maksimum :



Rangkaian Listrik


143

BAB VIDASAR – DASAR AC

Bentuk Gelombang Pada bab sebelumnya kita telah membahas rangkaian listrik dengan sumbernya adalah

sumber searah, dimana untuk selang waktu dari nol sampai tak hingga nilainya akanselalu tetap atau konstan, sedangkanp pada bab ini akan dibahas rangkaian listrikdeengan sumbernya adalah bolak-balik, dimana untuk waktu tertentu akan didapatkannilai yang berbeda-beda. Tentunya dengan sumber bolak-balik atau lebih singkatnyadengan sumber AC ( Alternating Current ) akan mempengaruhi komponen pasif yangdigunakan, saat sumber DC maka komponen pasif seperti L dan C akan menjadirangkaian hubungsingkat dan terbuka. Tetapi dengan sumber AC komponen pada L danC akan berbeda halnya saat deiberikan sumber DC.Sebelum membahas masalah AC secara mendalam alangkah baiknya kitamemperhatikan terlebih dahulu karakteristik dari sumber AC atau gelombang AC ini.Salah satu sifat khusus dari gelombang AC adalah dia mempunyai sifat periodik atau

berulang dengan selang waktu tertentu atau lebih sering disebut dengan perioda,dimana nilai dari periodik ini memenuhi persamaan :f (t) = f ( t + nT ) dimana n : integer 0,1,2,… dengan T = perioda, seperti terlihat padagambar dibawah ini :



Rangkaian Listrik


144

Konsep PhasorPhasor adalah bilangan kompleks yang merepresentasikan besaran atau magnitude dan

phasa gelombang sinusoidal.Phasor biasanya dinyatakan dengan sebuah notasi pada domain frekuensi yang hanyaterdiri dari besaran dan phasa.

Formula Euler :

[ ] [ ]t jt jt j

t jt jt j

e jet jt e

e jet jt eω ω ω

ω ω ω

ω ω

ω ω

−−− −=−=+=+=

ImResincos

ImResincos

Sebagai contoh :)cos()( θ ω += t V t v m Volt dalam domain waktu

Formula Euler : θ ω θ jm

t j jm eV eeV v == Re Volt

Notasi phasor : θ ω ∠= mV V )( Volt dalam domain frekuensi

Bilangan KompleksBilangan yang terdiri dari harga real (nyata) dan harga imajiner (khayal)

Contoh :z = x + jydimana 11 2 −=−= jatau j Grafik bilangan kompleks :

Bentuk-bentuk bilangan kompleks :1. Bentuk Kartesian / Rectanguler

jy x z += 2. Bentuk Polar

x y

r y

y xr r xana

r z

1

22

tansin

cos:dim

−=→=

+=→=

∠=

θ θ

θ

θ

3. Bentuk Eksponensial

θ

θ

θ θ θ θ j

j

re jr jr r jy xanare z

=+=+=+=

)sin(cossincos:dim

4. Bentuk Trigonometri ( )θ θ sincos jr z +=



Rangkaian Listrik


145

Konjugate bilangan kompleks

( ) ( )θ θ θ θ

θ θ

θ θ

sincossincos *

*

*

*

*

jr z jr z

re zre z

r zr z

jy x z jy x z

z z

j j

−=→+==→=

−∠=→∠=−=→+=

→

−

Jumlah dan selisih bilangan kompleks

( ) ( )( ) ( )2121221121

2121221121

222

111

)( y y j x x jy x jy x z z

y y j x x jy x jy x z z

jy x z

jy x z

−++=+−+=−+++=+++=+

+=+=

Perkalian dan pembagian bilangan kompleks

( )

( )21

2

1

2121

1

1

2

1

2

1

2

1

212121

22

11

θ θ

θ

θ

θ θ θ θ

θ

θ

−

+

==

====

j j

j

j j j

j

j

er r

er

er z z

er r er er z z

er z

er z

Arus dan Tegangan Sinusoidal Arus sinusoidal :Tegangan yang melewati elemen pasif jika arusnya sinusoidal

elemen iω

sinm I i = tω

cosm I i = tR i RV R .= ω sin. m R I RV = t ω cos. m R I RV = t

Ldt di

LV L .= ω cos.. m L I LV = t ( )t I LV m L

ω ω sin.. −=

C ∫= idt C

V C 1

( )t C

I V m

C ω

ω cos−= t

C I

V mC

ω ω

sin=

Tegangan sinusoidal :Arus pada elemen pasif jika tegangannya sinusoidal

elemen v t V V m ω sin= t V V m

ω cos=

R RV i R = t

RV i m

R ω sin= t

RV i m

R ω cos=

L ∫= vdt L

i L1

( )t L

V i m L

ω ω

cos−= t L

V i m L

ω ω

sin=

Cdt dV

C iC = t CV i mC

ω cos= ( )t CV i mC ω sin−=



Rangkaian Listrik


146

Sudut PhasaPengaruh gelombang AC pada elemen R :

R Z impedansi Magnitudesama phasanya

RI V t RI V

I I t I io

m Rm R

omm

=

∠=⇒=∠=⇒=

....

0sin

0sin

ω

ω

Pengaruh gelombang AC pada elemen L :

( )

L j L Z

I

LI

I V

Z

laggingarus

sebesar tegangandibandingtertinggal Arus

LI V

t LI t LI V

I I t I i

m

m L

o

om L

omm L

omm

ω ω

ω

ω

ω ω ω ω

ω

=∠=

∠

∠==

→

∠=⇒

+==∠=⇒=

o

o

o

90

090

90

90

90sincos

0sin

Pengaruh gelombang AC pada elemen C :

( ) ( )o

90

90sincos

0sin

−∠=⇒

−=−=

∠=⇒=

C

I V

t C

I t

C

I V

I I t I i

mC

ommC

omm

ω

ω ω

ω ω

ω



Rangkaian Listrik


147

C jC j

C Z

I

C

I

I

V Z

leadingarus

sebesar tegangandibandingmendahului Arus

m

m

C

o

ω ω ω

ω

ω

190

10

90

90

=−=−∠=∠

−∠==

→

o

o

o

Impedansi KompleksJika rangkaian seri RL dihubungkan dengan gelombang AC maka :

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) t jm

m

t jm

t jt j

t j

t jm

t jm

e L j R

V t I

L j RV

k

eV Lke j Rke

Ket I

Misalkan

eV t V dt

t d Lt RKVL

eV t V

ω

ω ω ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+=

+=

=+=

==+

=

:

: 11

Sehingga impedansi menjadi( )( )

L j Re

L j RV

eV t I t V

Z t jm

t jm ω

ω

ω

ω

+=

+

==



Rangkaian Listrik


148

Jika rangkaian seri RC dihubungkan dengan gelombang Ac maka :

( )

( ) ( )

( )

( )

C R

V t I

C j R

V k

eV keC j

Rke

Ket I

Misalkan

eV dt t I C

t RKVL

eV t V

m

m

t jm

t jt j

t j

t jm

t jm

ω

ω

ω

ω ω ω

ω

ω

ω

1

1

1

:

1: 1

−=

+=

=+=

=+

=

∫

sehingga impedansi( )( ) C

j R

C j R

e L j R

V eV

t I t V

Z t jm

t jm

ω ω

ω

ω

ω

−=+=

+

== 1

Diagram Impedansi :



Rangkaian Listrik


149

Diagram Phasor( ) t r ret f t j ω ω

∠==

0

0=

=t

t ω

4

4π

ω

ω

π

=

=

t

t

2

2π

ω

ω

π

=

=

t

t

Jika beda phasa antara tegangan dan arus sebesar θ, maka diagram phasornya sebagai berikut :

Rangkaian Seri dan Paralel

321

321

321

Z Z Z Z

IZ IZ IZ

V V V V

eq ++=++=

++=



Rangkaian Listrik


150

321

321

321

1111 Z Z Z Z

Z V

Z V

Z V

I I I I

eq

++=

++=

++=

Admitansi Bilangan Kompleks

jBGY

jX R Z Z

Y

±=±=

= 1

dimana :Z = ImpedansiR = ResistansiX = ReaktansiY = AdmitansiG = KonduktansiB = Suseptansi

Contoh latihan :

1. Tentukan arus i 4 yang keluar dari percabangan saat arus i 1, i2, dan i 3 masuk percabangan jika :

)603cos(34

)303cos(4

3cos6

3

2

1

°+−=

°−==

t i

t i

t i

Jawaban :)603cos(34)303cos(43cos63214 °+−°−+=++= t t t iiii

Dalam notasi phasor :

°−∠=−=−−−+=°∠−°−∠+°∠=++=

1,531086

646,3246,36603430406

4

3214

j I

j j I I I I

sehingga : )1,533cos(104 °−= t i



Rangkaian Listrik


151

2. Tentukan arus i 4 yang keluar dari percabangan saat arus i 1, i2, dan i 3 masuk percabangan jika :

)1503cos(5

3sin5

)303cos(5

3

2

1

°+==

°+=

t i

t i

t i

Jawaban :

)1503cos(5)903cos(5)303cos(5

)1503cos(53sin5)303cos(5

4

3214

°++°−+°+=°+++°+=++=

t t t i

t t t iiii

Dalam notasi phasor :

0

5,23,455,23,41505905305

4

3214

=+−−+=°∠+°−∠+°∠=++=

I

j j j I I I I

sehingga : 04 =i

Harga Rata-RataHarga rata-rata fungsi periodik didefinisikan sebagai integral fungsi waktu ataskeseleuruhan perioda dibagi dengan selang waktu periodanya.Fungsi umum y (t) dengan perioda T, maka harga rata – rata :

∫=T

av dt t yT

Y 0

)(1

Harga Efektif/ RMS ( Root Mean Square)Fungsi umum y(t) dengan perioda T, maka harga efektif :

∫=T

rms dt t yT

Y 0

2)(

1

Contoh latihan :

1. Tentukan harga rata-rata dan efektif fungsi t At y sin)( = !

Jawaban :



Rangkaian Listrik


152

- Harga rata-rata :

avY

[ ] [ ] 0112

)0cos(2cos2

cos.2

)(sin21

)(1 2

0

2

00

=+−=−−−=

−=== ∫∫

π π

π

ω π

ω ω π

π π

A A

t A

t td Adt t yT

T

- Harga efektif :

rmsY

[ ]2

.2

.)11(2

.)4

0.2cos4

2.2cos()02(

21

2.

42cos

21

2

.)(2

2cos12

)(sin21

)(1

22

22

0

2

0

2

2

0

22

0

22

0

2

A A A

At t

A

t d t A

t td Adt t yT

T

==−−=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=== ∫∫∫

π π

π π

π π

π

ω ω

π

ω ω

π ω ω

π

π π

π π

2. Tentukan harga rata-rata dan efektif fungsi t At y sin)( = !

Jawaban :

- Harga rata-rata :

avY

[ ] [ ]π π

π π

ω π

ω ω π

π π

A A A

t A

t td Adt t y

T

T

211)0cos(cos

cos.)(sin1

)(1

0

00

=+=−−−=

−=== ∫∫



Rangkaian Listrik


153

- Harga efektif :

rmsY

22.)11(

2

.)4

0.2cos4

.2cos()0(

21

.42cos

21

.)(2

2cos1)(sin

1)(

1

22

2

00

2

0

2

0

22

0

2

A A A

At t

A

t d t A

t td Adt t yT

T

==⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=== ∫∫∫

π

π

π π

π

ω ω

π

ω ω

π ω ω

π

π π

π π

3. Tentukan harga rata-rata dan efektif fungsi t t y 25)( = !

Jawaban :

- Harga rata-rata :

avY

25)02(425

2

25.

2

125

2

1)(

1

2

2

0

22

00

=−=

=== ∫∫ t tdt dt t y

T

T

- Harga efektif :

rmsY

[ ]3

5002

6625

.3

.2

62525

21

)(1 32

0

32

0

22

0

2 =−==== ∫∫ t dt t dt t y

T

T



Rangkaian Listrik


154

Soal- soal :

1. Jika 43 j x += dan 96 j y += . Tentukan :a. x dan y dalam bentuk polar

b. x dan y dalam bentuk trigonometri

2. Jika 34 j A −= dan 52 j B +−= . Tentukan :a. A+B

b. A.B

c. B A

3. Jika o Z 4581 ∠= dan o Z 3052

∠= . Tentukan :a. 21 Z Z +

b. 21 . Z Z

c. 21 Z Z −

4. Tentukan harga rata-rata dan efektif-nya !




Rangkaian Listrik


155



8. Tentukan nilai rata-rata dan efektif fungsi t Y t y m ω sin)( = :

9. Tentukan nilai rata-rata dan efektif gelombang gigi gergaji berikut :



Rangkaian Listrik


156

10. Tentukan nilai rata-rata dan efektif funhgsi berikut :

11. Tentukan nilai rata-rata dan efektif fungsi berikut :



14. Tentukna Yrms dari gambar berikut :



Rangkaian Listrik


157

BAB VIIANALISIS RANGKAIAN AC

Hukum OhmJika sebuah impedansi dilewati oleh sebuah arus maka pada kedua ujung impedansi

tersebut akan muncul beda potensial, atau Hukum Ohm menyatakan bahwa teganganmelintasi berbagai jenis bahan pengantar adalah berbanding lurus dengan arus yangmengalir melalui bahan tersebut.Secara matematis :

Z I V .=

Hukum Kirchoff I / Kirchoff’s Current Law (KCL) Jumlah arus yang memasuki suatu percabangan atau node atau simpul samadengan arusyang meninggalkan percabangan atau node atau simpul, dengan kata lain jumlah aljabarsemua arus yang memasuki sebuah percabangan atau node atau simpul samadengan nol.Secara matematis :

Σ Arus pada satu titik percabangan = 0Σ Arus yang masuk percabangan = Σ Arus yang keluar percabangan

Hukum Kirchoff II / Kirchoff’s Voltage Law (KVL) Jumlah tegangan pada suatu lintasan tertutup samadengan nol, atau penjumlahantegangan pada masing-masing komponen penyusunnya yang membentuk satu lintasantertutup akan bernilai samadengan nol.Secara matematis :

0=∑ V

Contoh latihan :


Jawaban :Dengan phasor :



Rangkaian Listrik


158

At imaka

j j j I

o

oo

ooo

)9,364cos(4:

9,3649,3625

010

232

010

222

010

−=

−∠=∠

∠=

+

∠=

−+

∠=


Jawaban :Dengan phasor :

V t V maka

I V sehingga

j j I

o

o

oo

ooo

)538cos(8:

,5384:

5325310020

86020

010842

2

−=

−∠==

−∠=∠

∠=

+

∠=∠

++=

Analisis NodeAnalisis node berprinsip pada Hukum Kirchoff I/ KCL dimana jumlah arus yang masukdan keluar dari titik percabangan akan samadengan nol, dimana tegangan merupakan

parameter yang tidak diketahui. Atau analisis node lebih mudah jika pencatunyasemuanya adalah sumber arus. Analisis ini dapat diterapkan pada sumber searah/ DCmaupun sumber bolak-balik/ AC.Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada analisis node, yaitu :

Tentukan node referensi sebagai ground / potensial nol. Tentukan node voltage , yaitu tegangan antara node non referensi dan ground. Asumsikan tegangan node yang sedang diperhitungkan lebih tinggi daripada

tegangan node manapun, sehingga arah arus keluar dari node tersebut positif. Jika terdapat N node, maka jumlah node voltage adalah (N-1). Jumlah node voltage

ini akan menentukan banyaknya persamaan yang dihasilkan. Analisis node mudah dilakukan bila pencatunya berupa sumber arus. Apabila pada

rangkaian tersebut terdapat sumber tegangan, maka sumber tegangan tersebutdiperlakukan sebagai supernode , yaitu menganggap sumber tegangan tersebutdianggap sebagai satu node.



Rangkaian Listrik


159

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai V dengan analisis node !

Jawaban : Dengam phasor :


10

)1(10)1(

10109010010

010901090

00110

901010

1

1

11

11

11

=

+=+

+=∠+∠=+

∠=∠−+∠

=∠−∠−

+−

V

j jV

j jV V

V V

V jV

oo

ooo

oo

V t V maka

V V sehingga

.3sin10:

10: 1

=

==

2. Tentukan nilai V dengan analisis node !

Jawaban :



Rangkaian Listrik


160


)1...(..........30303)3(

303303

030)9010(390

059010

0215

21

211

211

211

jV V j

V jV jV

V V V

V V jV

ooo

oo

−=−+

=−++

∠=−∠++∠

=−∠+

+∠−−

Tinjau node voltage V 2

)2.......(..........7032

502023

9050)9010(22

05

)9010(905

10

21

12

122

122

jV V

j jV V

V V V

V V V

oo

oo

=+−

=−−

∠=∠+−+

=∠+−

+∠−

Substitusikan persamaan (1) & (2) :

V t vmaka

j j

V

jV j

jV V j

jV V

o

o

o

o

)82sin(225:

8225452

5350)1(4030

4030)1(

30303)3(

7032

1

1

21

21

+=

∠=∠

∠=

+

+=

+=+

−=−+

=+−



Rangkaian Listrik


161

Analisis Mesh atau Arus LoopArus loop adalah arus yang dimisalkan mengalir dalam suatu loop (lintasan tertutup).Arus loop sebenarnya tidak dapat diukur (arus permisalan).Berbeda dengan analisis node, pada analisis ini berprinsip pada Hukum Kirchoff II/KVL dimana jumlah tegangan pada satu lintasan tertutup samadengan nol atau arusmerupakan parameter yang tidak diketahui. Analisis ini dapat diterapkan pada rangkaiansumber searah/ DC maupun sumber bolak-balik/ AC.Hal-hal yang perlu diperhatikan :

Buatlah pada setiap loop arus asumsi yang melingkari loop. Pengambilan arus loopterserah kita yang terpenting masih dalam satu lintasan tertutup. Arah arus dapatsearah satu sama lain ataupun berlawanan baik searah jarum jam maupun

berlawanan dengan arah jarum jam. Biasanya jumlah arus loop menunjukkan jumlah persamaan arus yang terjadi. Metoda ini mudah jika sumber pencatunya adalah sumber tegangan. Jumlah persamaan = Jumlah cabang – Jumlah junction + 1 Apabila ada sumber arus, maka diperlakukan sebagai supermesh . Pada supermesh,

pemilihan lintasan menghindari sumber arus karena pada sumber arus tidakdiketahui besar tegangan terminalnya.

Contoh latihan :


Jawaban :

Tinjau loop I 1 :

)1.(..........901010)1010(

0)(10109010

21

211

o

o

I j I j

I I j I

∠=+−

=−−+∠−

Tinjau loop I 2 :)2......(..........012

o I ∠−=



Rangkaian Listrik


162

substitusikan persamaan (1) & (2) :

o

o

o

oo

j

j I

j j j I j

j I j

135245210

9020

1010

20

201010)1010(

9010)01(10)1010(

1

1

1

∠=−∠

∠=

−=

=+=−

∠=∠−+−

tV V maka

j j jV

j I I jV

sehinggaoo

3sin10:

1010)11(10

)011352(10)(10

:

2

21

=

=−=++−−=

∠+∠−=−−=


Jawaban :

Tinjau loop I 1 :)1........(..........9051

o I ∠= Tinjau loop I 2 :

)2....(901015)1515(10

0)(1590105)(10

321

32212

o

o

I j I j I

I I j I I I

∠−=+−+−

=−−∠++−

Tinjau loop I 3 :)3..(..........023

o I ∠−= substitusikan persamaan (1), (2), & (3) :

70305010)02(15)905(109010)1515(

9010)02(15)1515()905(10

901015)1515(10

2

2

321

j j j j j I j

j I j

I j I j I

ooo

ooo

o

=++−=∠−−∠+∠−=−

∠−=∠−+−+∠−

∠−=+−+−



Rangkaian Listrik


163

V t V maka

j jV

j j j I I jV sehingga

j j

I

o

ooo

oo

o

o

o

)82sin(25,35:

825,35)9835,2(9015)33,233,0(15

)233,233,2(15)021353

27(15)(15:

1353

27

45215

90701515

70

32

2

+=

∠=∠−∠=+−−=

++−−=∠+∠−=−−=

∠=−∠

∠=

−=

Analisis Arus CabangArus cabang adalah arus yang benar-benar ada (dapat diukur) yang mengalir pada suatucabang. Artinya arus cabang adalah arus yang sebenarnya mengalir pada percabangantersebut.Arti cabang :

Mempunyai satu elemen rangkaian Bagian rangkaian dengan dua terminal dengan arus yang sama Jumlah persamaan = Jumlah arus cabang yang ada

Teorema SuperposisiPada teorema ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier, dimana rangkaianlinier adalah suatu rangkaian dimana persamaan yang muncul akan memenuhi jika y =kx, dimana k = konstanta dan x = variabel.Dalam setiap rangkaian linier dengan beberapa buah sumber tegangan/ sumber arusdapat dihitung dengan cara :

Menjumlah aljabarkan tegangan/ arus yang disebabkan tiap sumber independent/bebas yang bekerja sendiri, dengan semua sumber tegangan/ arus independent/ bebaslainnya diganti dengan tahanan dalamnya.

Pengertian dari teorema diatas bahwa jika terdapat n buah sumber bebas maka denganteorema superposisi samadengan n buah keadaan rangkaian yang dianalisis, dimananantinya n buah keadaan tersebut akan dijumlahkan. Jika terdapat beberapa buahsumber tak bebas maka tetap saja teorema superposisi menghitung untuk n buahkeadaan dari n buah sumber yang bebasnya.Rangkaian linier tentu tidak terlepas dari gabungan rangkaian yang mempunyai sumberindependent atau sumber bebas, sumber dependent / sumber tak bebas linier (sumberdependent arus/ tegangan sebanding dengan pangkat satu dari tegangan/ arus lain, atausebanding dengan jumlah pangkat satu besaran-besaran tersebut) dan elemen resistor (R ), induktor ( L ), dan kapasitor ( C ).



Rangkaian Listrik


164

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai V dengan superposisi !

Jawaban :

- Pada saat tV V s 3cos10= aktif :

o

o

oo

V

j j

V

4525

45210

01009010

101010

1

1

∠=

−∠

∠=∠

+−

−=

- Pada saat tA I s 3sin= aktif :

oo p

o

o

o

p

o p

x Z V

sehingga

Z

j j j

Z

452501

:

452545210

90100

45210

1001010

10.10

2 −∠=∠=

−∠=−∠

−∠=

−∠

−=

+−

−=

Maka tegangan V :

tV V sehingga

j jV V V oo

3sin10:

1055554525452521

=

=−++=−∠+∠=+=



Rangkaian Listrik


165

2. Tentukan nilai V dengan superposisi !

Jawaban :

- Pada saat tV V s 2cos3= aktif :

tV V sehingga

V o

2cos3:

03

1

1

=

∠=

- Pada saat V t V os )303cos(26 += aktif :

V V 02 = sehingga :

tV V V V 2cos321 =+=



Rangkaian Listrik


166

Teorema TheveninPada teorema ini berlaku bahwa :

Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buahsumber tegangan yang dihubungserikan dengan sebuah impedansi ekivelennya pada

dua terminal yang diamati.

Tujuan sebenarnya dari teorema ini adalah untuk menyederhanakan analisis rangkaian,yaitu membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber tegangan yang dihubungkanseri dengan suatu impedansi ekivalennya.


Cara memperoleh impedansi penggantinya (Z th) adalah dengan mematikan atau menonaktifkan semua sumber bebas pada rangkaian linier A (untuk sumber tegangan tahanandalamnya = 0 atau rangkaian short circuit dan untuk sumber arus tahanan dalamnya = ∞ atau rangkaian open circuit).Jika pada rangkaian tersebut terdapat sumber dependent atau sumber tak bebasnya,maka untuk memperoleh impedansi penggantinya, terlebih dahulu kita mencari arushubung singkat (i sc), sehingga nilai resistansi penggantinya (Z th) didapatkan dari nilaitegangan pada kedua terminal tersebut yang di- open circuit dibagi dengan arus padakedua terminal tersebut yang di- short circuit .

Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Thevenin :1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan.2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, open circuit kan pada terminal a-b

kemudian hitung nilai tegangan dititik a-b tersebut (V ab = V th).3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai impedansi

diukur pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan caradiganti dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti



Rangkaian Listrik


167

rangkaian short circuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaianopen circuit )(Zab = Z th).

4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai impedanso pengganti

Theveninnya didapatkan dengan cara sc

th

th I

V

Z =

.5. Untuk mencari Isc pada terminal titik a-b tersebut dihubungsingkatkan dan

dicari arus yang mengalir pada titik tersebut (I ab = I sc).6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Theveninnya, kemudian pasangkan


Contoh latihan :


Jawaban :

Mencari V oc :

ooc

ooocab

jV

V V

452101010

901001.10

∠=+=

∠+∠==

Mencari Z th :

Ω= 10th Z



Rangkaian Listrik


168


tV V

sehingga

V

j j

V

o

o

o

o

3sin10

:

104521045210

9010

452101010

10

=

=∠

−∠

−∠=

∠

+−

−=


Jawaban :

ooc

oc

oooocab

jV

j j j j jV

jV V

37603648

42486)78(66

)07908(6906

−∠=−=

−+=+−=

∠+∠−∠==



Rangkaian Listrik


169

Mencari Z th :

Ω−= 6 j Zth Rangkaian pengganti Thevenin :

tV V maka

V

jV

sehingga

o

oo

8sin48:

48371037480

376068

8

:

=

=

−∠

−∠=−∠

−=

Teorema NortonPada teorema ini berlaku bahwa :

Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buahsumber arus yang dihubungparalelkan dengan sebuah impedansi ekivelennya pada duaterminal yang diamati.

Tujuan untuk menyederhanakan analisis rangkaian, yaitu dengan membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber arus yang diparalel dengan suatu impedansi ekivalennya.



Rangkaian Listrik


170

Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Norton :1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan.2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, short circuit kan pada terminal a-b

kemudian hitung nilai arus dititik a-b tersebut (I ab = I sc = I N).3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai impedansi

diukur pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan caradiganti dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas digantirangkaian short circuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaianopen circuit )(Zab = Z N = Z th).

4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti

Nortonnya didapatkan dengan cara N

oc N I

V Z = .

5. Untuk mencari Voc pada terminal titik a-b tersebut dibuka dan dicari tegangan pada titik tersebut (V ab = V oc).

6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Nortonnya, kemudian pasangkan


Contoh latihan :

Tentukan nilai V dengan teorema Norton !

Jawaban :

Mencari i sc = i N :

Tinjau loop I 1 :

oo

o

I I

I

v

901901010

0109010

0

11

1

∠=→∠=

=+∠−

=Σ

Tinjau loop I 2 :o I 012 ∠−=



Rangkaian Listrik


171

sehingga :

osc

oosc

i

j I I i

452

10190121

∠=

+=∠+∠=−=

Mencari Z N :

Ω= 10 N Z Rangkaian pengganti Norton :

o

o

o

p j j

Z 452545210

901001010

10.10 −∠=−∠

−∠=

+−

−=

tV V

makaV

x Z V

sehingga

o

ooo p

3sin10

:010

452.4525452

:

=

∠=

∠−∠=∠=

Teorema MillmanTeorema ini seringkali disebut juga sebagai teorema transformasi sumber, baik darisumber tegangan yang dihubungserikan dengan impedansi ke sumber arus yangdihubungparalelkan dengan impedansi yang sama atau sebaliknya.Teorema ini berguna untuk menyederhanakan rangkaian dengan multi sumber teganganatau multi sumber arus menjadi satu sumber pengganti.



Rangkaian Listrik


172

Transfer Daya MaksimumTeorema ini menyatakan bahwa :

Transfer daya maksimum terjadi jika nilai impedansi beban samadengan nilaiimpedansi konjugate sumber, baik dipasang seri dengan sumber tegangan ataupun

dipasang paralel dengan sumber arus.

Teorema transfer daya maksimum adalah daya maksimum yang dikirimkan ketika beban Z L samadengan konjugate beban intern sumber Z s

*.Maka didapatkan daya maksimumnya :

[ ]*

2

Re4max

s

s L

Z

V P =

Catatan :Secara garis besar analisis rangkaian AC dapat diklasifikasikan menjadi :1. Sumber mempunyai fungsi persamaan dan frekuensi yang sama

Penyelesaian persoalan analisis rangkaian AC ini dapat menggunakan konsep dasar,hukum dasar, analisis rangkaian, dan teorema rangkaian dengan menggunakannotasi phasor untuk mempermudah.

2. Sumber mempunyai fungsi persamaan berbeda dengan frekuensi yang samaPenyelesaian persoalan ini terlebih dahulu semua fungsi persamaan dikonversikankedalam fungsi persamaan yang sama, baru kemudian pengerjaan sama dengan itemnomor 1.

3. Sumber mempunyai fungsi persamaan sama tetapi frekuensi berbedaPenyelesaian persoalan analisis rangkaian AC ini hanya dapat dilakukan denganmenggunakan teorema superposisi.

4. Sumber mempunyai fungsi persamaan dan frekuensi yang berbedaPenyelesaian persoalan analisis rangkaian AC ini hanya dapat dilakukan denganmenggunakan teorema superposisi.

5. Sumber gabungan DC dan ACPenyelesaian persoalan analisis rangkaian AC dan DC ini hanya dapat dilakukandengan menggunakan teorema superposisi.



Rangkaian Listrik


173

Soal – soal :







Rangkaian Listrik


174

5. Jika At t t ig ..3cos182cos39cos29 +−−=

Tentukan nilai i !



8. Tentukan V :



Rangkaian Listrik


175

9. Tentukan nilai C agar impedansi dilihat dari sumber real semua :



12. Tentukan nilai V :

13. Tentukan nilai V :



Rangkaian Listrik


176

14. Tentukan nilai V dengan analisis node :

15. Tentukan V dengan analisis mesh :

16. Tentukan nilai V dengan teorema Thevenin :

17. Tentukan V dengan analisis node :

18. Tentukan V dengan analisis mesh :



Rangkaian Listrik


177


20. Tentukan nilai V dengan analaisis node :


22. Tentukan V :



Rangkaian Listrik


178

23. Tentukan nilai V pada rangkaian berikut :


25. Tentukan nilai i, jika t t t i g 3cos182cos39cos209 +−−= :




Rangkaian Listrik


179





Rangkaian Listrik


180

BAB VIIIDAYA PADA RANGKAIAN RLC

Pengertian daya : perkalian antara tegangan yang diberikan dengan hasil arus yangmengalir.

Secara matematis : VI P = sumber searah atau DC Daya dikatakan positif , ketika arus yang mengalir bernilai positif artinya arus

mengalir dari sumber tegangan menuju rangkaian (transfer energi dari sumber kerangkaian )

Daya dikatakan negatif , ketika arus yang mengalir bernilai negatif artinya arusmengalir dari rangkaian menuju sumber tegangan (transfer energi dari rangkaian kesumber )

Daya SesaatDaya sesaat adalah daya yang terjadi pada saat hanya waktu tertentu ketika sebuahkomponen mempunyai nilai tegangan dan arus yang mengalir padanya hanya saat waktutersebut.

Contoh latihan :

Jika sebuah komponen dilewati arus sebesar t t i 30sin10)( = A dan tegangannya)3030sin(50)( °+= t t v , maka berapa daya yang muncul saat t = 1 detik !

Jawaban :

34

50060sin5030sin10)3030sin(5030sin10)1(

)3030sin(5030sin10)().()(

==+=

°+==

x xP

t txt it vt P

Daya Rata – RataDaya rata-rata adalah daya yang dihasilkan sebagai integral dari fungsi periodik waktuterhadap keseluruhan range waktu tertentu dibagi oleh periodanya sendiri.Untuk melihat hasil daya rata-rata pada setiap komponen pasif yang dilaluinyamenggunakan rumus yang telah kita pelajari pada bab sebelumnya tentang harga rata-rata.

Daya rata-rata pada komponen L :

t V t V m ω sin)( = Arus pada komponen induktor adalah :



Rangkaian Listrik


181

)2

sin(cos)(

sin1

)(1

)(

π ω

ω ω

ω

ω

−=−=

== ∫∫

t L

V t

L

V t i

dt t V L

dt t V L

t i

mm

m

dimana nilai mm I LV =ω , maka: )2sin()( π ω −= t I t i m

sehingga :

t I V t t I V t t I V t I t V t P mmmmmm ω ω ω π

ω ω 2sin21

)cos(.sin)2

sin(.sin)()..()( −=−=−==

Grafik :

Dari grafik tersebut dapat diambil kesimpulan :Ketika tegangan dan arus positif maka dayanya positif berarti energi mengalir darisumber ke induktor, demikian juga ketika tegangan dan arus negatif.Tetapi pada saat tegangan dan arusnya bertanda berlawanan maka dayanya negatifberarti energi mengalir dari induktor kesumber tegangan.

Daya rata – rata :

00

22cos

21

41

2sin412

2sin41

2sin41

2sin21

21

)(1

2

0

2

0

2

0

2

00

==−=−=

−=−==

∫∫

∫∫∫π

π π π

π

ω π

ω π

π π

π π

t I V tdt I V tdt T

I V P

tdt I V tdt I V dt t PT

P

mmmmmm

mmmm

T

maka daya rata-rata pada komponen L samadengan nol.

Daya rata-rata pada komponen C :



Rangkaian Listrik


182

t V t V m ω sin)( = Arus pada komponen kapasitor adalah :

)2

sin()(

cos)(sin)(

π ω ω

ω ω ω

+=

===

t CV t i

t CV t dt d

CV dt dV

C t i

m

mm

dimana nilai mm I CV =ω , maka :

)2

sin()( π

ω += t I t i m

sehingga :

t I V t I V t I V t I t V t P mmmmmm ω ω ω π

ω ω 2sin21

cos.sin)2

sin(.sin)()..()( ==+==

Grafik :

Daya rata-rata :

00

22cos

21

41

2sin41

2sin21

21

)(1

2

0

2

00

=−=

=

==

∫∫∫

π

π

π

ω π π

π

t I V P

tdt I V P

tdt I V dt t PT P

mm

mm

mm

T

maka daya rata-rata pada komponen C samadengan nol.

Daya rata-rata pada komponen R :



Rangkaian Listrik


183

t V t V m ω sin)( = Arus pada komponen resistor adalah :

t R

t V R

t V t i ω sin

)()()( ==

dimana nilai mm I R

V = , maka : t I t i m ω sin)( =

sehingga :

)2cos1(21

sin)()..()( 2 t I V t I V t I t V t P mmmm ω ω −===

Grafik :

Daya rata-rata :

mmmm

mm

mm

mm

T

I V I V P

t t I V P

dt t I V P

tdt I V dt t PT

P

21

2.41

02)2sin

21(

41

)2cos1(41

)2cos1(21

21

)(1

2

0

2

00

==

−=

−=

−==

∫

∫∫

π π

π π

ω π

ω π

π

π

Daya rata-rata :

mmmmmm

mmmm

T

I V I V t t I V P

dt t I V tdt I V dt t PT

P

21

2.41

0

2)2sin

21

(41

)2cos1(41

)2cos1(21

21

)(1 2

0

2

00

==−=

−=−== ∫∫∫

π π

π

π

ω π

ω π

π π

maka daya rata-rata pada kompone R sebesar eff eff mmmm I V I V

I V == 2221



Rangkaian Listrik


184

Untuk komponen L dan C dapat diambil rumus umum,dimana :

)sin()(

sin)(

θ ω

ω +=

=t I t i

t V t V

m

m

nilai θ tergantung dari komponen induktor atau kapasitor (kapasitor bertanda “ + “, dan

induktor bertanda “ – “ )sehingga :

[ ]

[ ])2cos(cos21

)(

))(cos())(cos(21

)sin(.sin)().()(

θ ω θ

θ ω ω θ ω ω θ ω ω

+−=

+−−+−=+==

t I V t P

t t t t I V t I V t I t V t P

mm

mmmm

Daya rata – rata :

[ ]

θ θ θ θ π

θ ω θ π

π π

π

coscos2

1)2cos(cos

4

1

)2cos(cos21

21

)(1

2

0

2

0

2

00

eff eff mmmm

mm

T

I V I V dt t dt I V P

dt t I V dt t PT

P

==⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡+−=

+−==

∫∫

∫∫

dimana nilai efektif (rms) :2m

eff

V V = dan

2m

eff

I I =

Daya Kompleks Daya Rata – Rata (P)Daya ini sebenarnya adalah daya yang dipakai oleh komponen pasif resistor yangmerupakan daya yang terpakai atau terserap. Kalau kita perhatikan supply dari PLN kerumah-rumah maka daya yang tercatat pada alat kWH meter adalah daya rata-rata atausering disebut juga sebagai daya nyata yang akan dibayarkan oleh pelanggan.Simbol : P

Satuan : Watt (W)Secara matematis daya rata-rata atau daya nyata merupakan perkalian antara teganganefektif, arus efektif, dan koefisien faktor dayanya.

θ coseff eff I V P =

Daya Reaktif ( Q )Daya ini adalah daya yang muncul diakibatkan oleh komponen pasif diluar resistor yangmerupakan daya rugi-rugi atau daya yang tidak diinginkan. Daya ini seminimalmungkin dihindari kalaupun bisa diperkecil, walaupun tidak akan hilang sama sekalidengan cara memperkecil faktor dayanya.Simbol : QSatuan : Volt Ampere Reaktif (VAR)Secara matematis daya reaktif merupakan perkalian antara tegangan efektif, arus efektif,dan nilai sin θ.

θ sineff eff I V Q =



Rangkaian Listrik


185

Daya Tampak ( S )Daya yang sebenarnya disupply oleh PLN, merupakan resultan daya antara daya rata-rata dan daya reaktif.Simbol : SSatuan : Volt Ampere (VA)

Secara matematis daya tampak merupakan perkalian antara tegangan dan arusefektifnya

eff eff I V S =

Daya kompleksMerupakan gabungan antara daya rata-rata dan daya reaktifnya.S

∗=+=+= eff eff eff eff eff eff I V I jV I V jQP θ θ sincos

Faktor DayaFaktor daya atau power factor (pf) merupakan perbandingan daya rata-rata terhadapdaya tampak.

θ θ coscos ===eff eff

eff eff

I V I V

S P pf

Segitiga DayaUntuk komponen L :

θ

θ

sin

cos

eff eff

eff eff

eff eff

I V Q

I V S

I V P

===

I lagging terhadap V dimana nilai arus tertinggal sebesar phasa θ dibandingkan dengannilai tegangan.



Rangkaian Listrik


186

Untuk komponen C :

θ

θ

sin

cos

eff eff

eff eff

eff eff

I V Q

I V S

I V P

===

I leading terhadap V dimana nilai arus mendahului sebesar phasa θ dibandingkandengan nilai tegangan



Rangkaian Listrik


187

Rumus umum :

S P

Z R

pf

Z

V Z I I V S

X

V

X I I V Q

R

V R I I V P

Z eff

Z eff eff eff

X eff

X eff eff eff

Reff

Reff eff eff

===

===

===

===

θ

θ

θ

cos

sin

cos

22

22

22

Contoh latihan :

1. Tentukan daya rata-ratanya !

Jawaban : Dengan phasor :

W R I Psehingga

j j j

Z

Reff

oo

o

p

43959,87.2

10.:

9,159,873,1044,891,53500

100.4,632,447100)400200(

100).400200(

22 =⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ==

+=∠=∠

∠=++

+=



Rangkaian Listrik


188

2. Tentukan segitiga dayanya !

Jawaban : Dengan phasor :

W Z I S

W X I Q

W R I P

sehingga

j j j

Z

Z eff

X eff

Reff

oo

o

p

447244,89.2

10.

7959,15.2

10.

43959,87.2

10.

:

9,159,873,1044,891,53500

100.4,632,447100)400200(

100).400200(

22

22

22

=⎟

⎠ ⎞

⎜

⎝ ⎛ ==

=⎟

⎠ ⎞

⎜

⎝ ⎛ ==

=⎟

⎠ ⎞

⎜

⎝ ⎛ ==

+=∠=∠

∠=++

+=

3. Tentukan daya rata-rata pada Ω= 4 R !

Jawaban :



Rangkaian Listrik


189

Dengan superposisi :- Pada saat Vs = 20cos4t V, aktif :

W RiPsehingga

j ji

eff

oo

oo

324.2

4.:

374375

020364

020

22

11

1

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ==

−∠=∠

∠=−+∠=

- Pada saat Is = 5cos2t A, aktif :

( )o

j j

ji 05.

436

62 ∠−

++−

−=

W RiPsehingga

i

eff

oo

o

o

o

724.2

6.:

536375

90305.

375906

22

22

2

=⎟

⎠ ⎞

⎜

⎝ ⎛ −==

−∠−=−∠

−∠−=−−∠−∠=

maka :W PPP 104723221

=+=+=



Rangkaian Listrik


190

Perbaikan Faktor Daya/ Correction Power Factor Faktor daya atau power factor ( pf ) akan membesar atau meningkat ketika nilai cos θ mendekati nilai 1 atau sudut θ akan mendekati sudut 0.Misalkan kalau kita mempunyai segitiga daya untuk arus lagging , secara grafik :

Seperti dijelaskan diawal tadi bahwa Q atau daya reaktif sebenarnya adalah daya rugi-rugi dan sebisa mungkin kita minimalkan, artinya dengan nilai daya rata-rata yang tetapdan nilai daya reaktif yang kita perkecil akan memperkecil daya tampak secarakeseluruhan.

Nilai P tidak berubah yang diubah adalah nilai Q karena Q berkaitan dengan komponenL atau C, oleh karena itu untuk meningkatkan faktor daya maka kita harus memasangsecara paralel komponen L atau C.Kenapa kita harus memasang secara paralel ? karena tujuan diawal kita membuat nilai Pyang tetap atau konstan, maka dengan ilustrasi seperti dibawah ini :

akan didapatkan nilai L j R

V I R I P eff

Reff Reff ω +=⇒= 2

Jika komponen yang akan dipasang untuk memperkecil nilai Q, katakanlah komponentersebut C maka jika dipasang seri :



Rangkaian Listrik


191

akan didapatkan nilai)

1(

2

C L j R

V I R I P eff

Reff Reff

ω ω −+

=⇒=

terlihat bahwa nilai P-nya telah berubah, padahal kita mempersyaratkan untuk perbaikanfaktor daya nilai P-nya tetap.Tetapi jika komponen C tersebut dipasang paralel maka :

akan didapatkan nilai L j R

V I R I P eff

Reff Reff ω +=⇒= 2

ternyata nilai P-nya tetap dan dengan penambahan komponen C tentunya akanmemperkecil daya reaktifnya.

Secara grafik segitiga daya :



Rangkaian Listrik


192

Merupakan komponen C

Sehingga untuk meningkatkan pf suatu rangkaian I lagging dilakukan denganmenambahkan atau mempararelkan komponen C

Misalkan kalau kita mempunyai segitiga daya arus leading , secara grafik :

Secara grafik segitiga daya :



Rangkaian Listrik


193

Merupakan komponen L

Sehingga untuk meningkatkan pf suatu rangkaian arus leading dilakukan denganmenambahkan atau mempararelkan komponen L

Contoh latihan :

1. Faktor daya suatu beban yang telah dikoreksi adalah 0,9 lagging dengan cara penambahan 20 kVAR kapasitor parallel. Jika daya akhir adalah 185 kVA. Tentukansegitiga daya sebelum diperbaiki atau dikoreksi !

Jawaban :

kVAk k QPS laggingkVARQQQ

kW P

dikoreksisetelahdayanyasegitiga

laggingk k S Q

kW k S P

lagging

kVAS

C

o

o

o

6,1941015,166.1012081'

5,166

:...

.var 8126sin.185'sin'.'

5,16626cos.185'cos'.

26'9,0'cos

185

2222

'

=+=+==+=+=

=

======

=→==

θ

θ

θ θ



Rangkaian Listrik


194

2. Sebuah sumber 60 Hz dengan V V eff 240= disuplai oleh 4500 VA ke beban dengan

faktor daya 0,75 lagging . Tentukan paralel kapasitor untuk meningkatkan faktor dayake :

a. 0,9 lagging b. 0,9 leading Jawaban :

S = 4500 VA pf = cos θ = 0,75 lagging θ = 41,4 o P = S cos θ = 4500.0,75 = 3375 WQ = S sin θ = 4500.sin41,4 o = 2976 var lagging a. 0,9 lagging

F C

sehingga

F X f X

C C

X

Q

V X

X

V Q

leadingQQQlaggingPQ

C C C

C

eff C

C

eff C

C

o

µ

µ π π ω ω

θ

3,61

:

3,613,43.60.2

1.2111

3,431330240

.var 133016462976'.var 164626tan.3375'tan'

222

=

====→=

===→=

=−=−= ===



Rangkaian Listrik


195

b. 0,9 leading

F C

sehingga

F X f X

C C

X

Q

V X

X

V Q

leadingQQQ

laggingPQ

C C C

C

eff C

C

eff C

C

o

µ

µ π π ω ω

θ

2,212

:

2,2125,12.60.2

1.2111

5,124622240

.var 462216462976'

.var 164626tan.3375'tan'

222

=

====→=

===→=

=+=+=

===

Perbaikan Faktor Daya dapat menggunakan rumus yang telah didapatkan jika bebannya

induktif dan memerlukan penambahan komponen C yang dipasang paralel :

[ ] X pfc R X R

X −

+= −1

22

1 costan

dimana :X1 = nilai reaktansi setelah perbaikan faktor daya (komponen C)R = nilai resistansi sebelum perbaikan faktor dayaX = nilai reaktansi sebelum perbaikan faktor daya

pfc = nilai dari perbaikan faktor dayanya (pf setelah diperbaiki)dengan catatan :

Jika pfc lagging maka pfc1costan − bernilai positif Jika pfc l eading maka pfc1costan − bernilai negatif



Rangkaian Listrik


196

Soal – soal :

1. Dua buah beban dipasang secara paralel dan disuplai oleh tegangan efektif 220 Vdengan pf 0,9 lagging . Salah satu beban diketahui mempunyai pf sebesar 0,8 leading dengan daya rata-rata 1200 W. Jika daya rata-rata total kedua beban adalah 2000 W.

Berapa pf beban kedua ?

2. Diberikan suatu rangkaian dengan tegangan terpasang V t V o )10sin(150 += ω dan

arus yang dihasilkan At i o )50sin(5 −= ω . Tentukan segitiga dayanya !

3. Dua buah elemen seri mempunyai daya rata-rata 940 W dan pf 0,707 leading . Jikategangan V t V o )306000sin(99 += . Tentukan kedua elemen tersebut !

4. Tentukan segitiga daya kombinasi paralel dari masing-masing beban dimana untuk beban 1 mempunyai 250 VA pf 0,5 lagging , beban 2 sebesar 180 W pf 0,8 leading dan beban 3 sebesar 300 VA, 100 var lagging !

5. Tentukan segitiga dayanya !Jika ooo

eff Z Z V 605,304,6020 21 ∠=∠=∠=

6. Tentukan daya rata-rata pada gambar berikut :



Rangkaian Listrik


197

7. Tentukan daya rata-rata pada resistor Ωk 3 :

8. Tentukan daya rata-rata pada Ω4,0 :

9. Cari daya rata-rata pada resistor Ω4 :

10. Tentukan i eff dan power faktor dilihat dari sumber :

11. Komponen apa yang harus dipasang paralel pada saat soal diatas, jika koreksi power pactor menjadi 0,8 lagging .



Rangkaian Listrik


198

12. Tentukan pf dilihat dari terminal sumber dan berapa nialai komponen yang perludipasang secara paralel dengan sumber agar pf menjadi 1 :

13. Tentukan daya nyata, daya rekatif dan daya kompleks yang dikirim sumber padagambat ini

14. Tentukan P,Q, S oleh sumber dan elemen reaktif yang harus dipasang paraleldengan sumber agar pf dilihat dari sumber menjadi 0,9 leading

15. Dua buah beban dipasang secara paralel dan disuplai oleh tegangan efektif 220 Vdengan pf 0,9 lagging . Salah satu beban diketahui mempunyai pf sebesar 0,8leading dengan daya rata-rata 1200 W. Jika daya rata-rata total kedua beban adalah2000 W. Berapa pf beban kedua ?

16. Faktor daya suatu beban yang telah dikoreksi adalah 0,9 lagging dengan cara penambahan 20 kVAR kapasitor paralel. Jika daya akhir adalah 185 kVA. Tentukansegitiga daya sebelum diperbaiki/dikoreksi.

17. Diberikan suatu rangkaian dengan tegangan terpasang )10sin(150 ot v += ω dan arus

yang dihasilkan )50sin(5 ot i −= ω . Tentukan segitiga dayanya.



Rangkaian Listrik


199

18. Dua buah elemen seri mempunyai daya rata-rata 940 W dan pf 0,707 leading . Jikategangan )306000sin(99 ot v += . Tentukan kedua elemen tersebut ?

19. Jika oeff v 6020∠= , o Z 3041 ∠= dan o Z 6052 ∠= . Tentukan segitiga dayanya.

20. Tentukan segitiga daya kombinasi paralel dari masing-masing beban dimana untuk beban 1 mempunyai 250 VA pf 0,5 lagging , beban 2 sebesar 180 W pf 0,8 leading dan beban 3 sebesar 300 VA, 100 VAR lagging .

21. Sebuah sumber 60 Hz dengan Veff = 240 V disuplai oleh 44500 VA ke bebandengan pf 0,75 lagging . Tentukan paralel kapasitor untuk meningkatkan pf ke :a. 0,9 lagging

b. 0,9 leading

22. Tentukan daya rata-rata dan daya reaktif :

23. Tentukan daya rata-rata dan daya reaktif :



Rangkaian Listrik


200

24. Tentukan segitiga daya :

25. Tentukan segitiga daya pada masing-masing beban pada soal diatas !

26. Sebuah beban Z = 100 + j100, tentukan kapasitansi paralel agar pf meningkatmenjadi 0,95 lagging (Asumsi srad /377=ω )

27. Dua buah beban dipasang paralel, dimana beban 1 dengan daya 50 kW resistif murni

dan beban 2 dengan pf 0,86 lagging daya 100 kVA disuplai tegangan 10000 Vrms.Tentukan total arusnya. !

28. Sebuah beban 50 + j80. Tentukan :a. pf sebelum dikoreksi

b. Z 1 agar pf meningkat menjadi 1c. Dari niali Z 1 tentukan komponen apa yang harus dipasang paralel, jika( srad /377=ω )

29. Suatu beban 110 Veff dengtan 4 kW dan pf 0,82 lagging . Tentukan nilai C agar pfmeningkat menjadi 0,95 lagging dengan srad /377=ω !

30. Tentukan daya rata-rata pada R = 2 Ω :

31. Dua buah beban dengan 440 Vrms 60 HZ dimana beban 1 12 kVA 0,7 lagging dan beban 2 10 kVA 0,8 lagging . Tentukan segitiga daya totalnya. !



Rangkaian Listrik


201

32. Jika daya yang disuplai 50 kVA dengan pf 0,8 lagging . Tentukan Z !

33. Dua buah beban dengan oeff v 160100∠= dimana o

tot I 1902∠= beban 1 P 1 = 23,2

W , Q 1 = 50 VAR lagging . Tentukan pf 2 !

34. Dua buah elemen seri R = 10 ohm dan Xc = 5 ohm mempunyai tegangan efektif120 V. tentukan pf !

35. Dua buah elemen seri dengan arus sesaat )455000sin(24,4 ot i += mempunyaidaya 180 W dan pf 0,8 lagging . Tentukan kedua elemen tersebut !

36. Sebuah beban 300 kW dengan pf 0,65 lagging saat diparalel kapasitor pf menjadi0,9 lagging . Tentukan nilai daya yang disuplai kapasitor !

37. Sebuah beban 1 dengan daya 200 VA pf 0,8 lagging dikombinasikan dengan beban 2. Jika total pf adalah 0,9 lagging , tentukan pf beban 2 jika Ptot = 200 W !

38. Tentukan nilai C agar pf naik menjadi 1,2 semula !



Rangkaian Listrik


202

BAB IXFREKUENSI KOMPLEKS DAN FUNGSI TRANSFER

Sinyal Sinusoidal TeredamPada bab sebelumnya kita telah melihat bahwa fungsi sinusoidal mempunyai persamaan

sebagai berikut : )cos()( φ ω += t V t v m Volt.Pada bab ini akan dibahas mengenai frekuensi kompleks yang sebetulnya muncul dari

persamaan fungsi sinusoidal diatas hanya ditambahkan suatu nilai konstanta peredamnya, dimana dituliskan dalam persamaan : )cos()( φ ω σ += t eV t v t

m Volt.

Pada persamaan tersebut muncul suatu konstanta peredam t eσ , dimana σ adalah bernilainegatif atau nol yang disebut dengan faktor peredam/frekuensi Neper dengan satuan

Np/s.Pada persamaan )cos()( φ ω σ += t eV t v t

m Volt tersebut apabila kita analisis bahwa : Jika mV t v =⇒== )(0,0 ω σ merupakan sinyal searah atau DC.

Jika )cos()(0 θ ω σ +=⇒= t V t v m merupakan sinyal sinusoidal murni.

Jika t meV t v σ σ ω =⇒>= )(0,0 merupakan sinyal eksponensial positif.



Rangkaian Listrik


204

Phasor Frekuensi KompleksPada bab sebelumnya mengenai notasi phasor untuk sinyal AC murni adalah sebagai

berikut :)cos()( φ ω += t V t v m

Notasi phasor :

φ ω φ

ω φ φ ω

∠==== +

m j

m

t j jm

t jm

V eV jV

eeV eV V

)(

ReRe )(

Jika konsep diatas diterapkan pada fungsi sinusoidal teredam maka :)cos()( φ ω σ += t eV t v t

m Notasi phasor :

φ φ

φ ω σ φ φ ω σ

∠==

=== ++

m j

m

st jm

t j jm

t jt m

V eV sV

eeV eeV eeV V

)(

ReReRe )()(

dimana : s = σ + j ω

Impedansi dan Admitansi Frekuensi Kompleks)()()( s I s Z sV =

dimana :Impedansi kompleks:

sC s Z

sLs Z

Rs Z

C

L

R

1)(

)(

)(

=

==

Admitansi kompleks :

sC sY sL

sY

G R

sY

C

L

R

=

=

==

)(

1)(

1)(

Contoh latihan :

1. Tentukan frekuensi kompleks dari sinyal dibawah ini :a. t eV t 2cos25 −=

b. t eV 43 −= Jawaban :

a. s = -1 + j2 b. s = -4



Rangkaian Listrik


205

2. Tentukan arus i yang mengalir dari rangkaian berikut :

Jawaban :

ot

T

L

R

t eV

ss Z

ssLs Z

s Z

js

0252cos25

25)(

2)(

5)(

21

∠==

+===

=+−=

−

At et i

jss Z sV

si

ot

ooo

T

)1,532cos(5)(

1,535)21(25

02525025

)()(

)(

−=

−∠=+−+

∠=+∠==

−

Fungsi Transfer Frekuensi KompleksPerbandingan antara output dengan input dalam frekuensi kompleks / H(s).H(s) bisa perbandingan tegangan terhadap arus, arus terhadap tegangan, teganganterhadap tegangan, atau arus terhadap arus.Misal :

)().()()()()( sV s H sV

sV sV s H io

i

o =→=

Contoh latihan :

1. Tentukan fungsi transfer I terhadap V pada rangkaian berikut :

Jawaban :



Rangkaian Listrik


206

133

)( 21 +++=

sss

s Z

)1)(3)(2(13

)(6116

13)(

133

3

1)()(

)(

2

23

2

2

+++++=

+++++=

+++++

==

sssss

s H sss

sss H

sss

ssV s I

s H

2. Tentukan output tegangan jika diberikan fungsi transfer :

54)5(4

)( 2 +++=ss

ss H

dimana input oi sV 02)( ∠= dan s = -2+j3

Jawaban :

)1353cos(23)(

13523)(

)1(302.5)32(4)32(

)532(402.

54)5(4

)().()( 22

ot o

oo

ooio

t et V

sV

j j j

jss

ssV s H sV

−=

−∠=

+−=∠++−++−

++−=∠++

+==

−



Rangkaian Listrik


207

Pole dan Zero

Jika fungsi transfer :)()(

)(sV sV

s H i

o= dinyatakan dengan persamaan :

ator deno

numerator

PsPsPsa

Z s Z s Z sbs H

nn

mm

min))........()((

))........()(()(

21

21 ⇒

−−−

−−−=

Yang dikatakan dengan zero adalah pembuat nilai nol pada fungsi transfer tersebut,dimana zero pada fungsi transfer diatas terdiri dari Z 1, Z2, …..Z m.Yang dikatakan dengan pole adalah pembuat nilai tak hingga pada fungsi transfertersebut, dimana pole pada fungsi transfer diatas terdiri dari P 1, P 2, ….P n.Diagram s-plane :

Pada diagram s-plane tersebut dapat ditentukan kestabilan, dimana BIBO ( Bounded Input Bounded Output ) stability terletak atau berada disebelah kiri pole-polenya.Macam-macam bentuk kestabilan :

Absolutely stabil : berada disebelah kiri j ω axis. Conditionally stabil : tidak ada disebelah kanan pole tapi pada j ω axis untuk orde >

1. Unstable stabil : berada disebelah kanan j ω axis.

Diagram Bode PlotGrafik penguatan fungsi transfer dalam desibel (dB) dan phasa dalam derajat terhadaplogaritmik frekuensi.

)1().........1)(1(

)1().........1)(1()(

))........()(())........()((

))........()(())........()((

)(

21

21

21

211

21

21

n

m

n

m

nn

mm

Ps

Ps

Ps

Z s

Z s

Z s

K s H

PsPsPs Z s Z s Z s

k PsPsPsa

Z s Z s Z sbs H

+++

+++=

++++++

=++++++

=

Jika : ω js =

)1().........1)(1(

)1().........1)(1()(

21

21

n

m

P j

P j

P j

Z j

Z j

Z j

K j H ω ω ω

ω

ω +++

+++=

dimana besaran magnitude dan phasanya terpisah, maka didapatkan :



Rangkaian Listrik


208

)1().........1()1(

)1().........1()1()(

1.........11

1.........11)(

21

21

21

21

n

m

n

m

P j

P j

P j

Z j

Z j

Z j

K j H

P j

P j

P j

Z j

Z j

Z j

K j H

ω ω ω

ω ω ω

ω

ω ω ω

ω ω ω

ω

+∠+∠+∠

+∠+∠+∠=∠

+++

+++=

Ada 4 jenis faktor yang dapat muncul pada diagram bode plot fungsi transfer, yaitu :1. Konstanta K2. Pole atau zero pada titik asal

3. Pole atau zero orde satu )1(1ω

ω j+

4. Pole atau zero faktor kuadratik 2

00

21 ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝ ⎛ +

ω ω

ω ξ j j

Maka diagram bode untuk masing-masing faktor tersebut :1. Logaritmik K K log20

Untuk nilai : K ≥ 1

Untuk nilai : 0 < K < 1



Rangkaian Listrik


209

2. Pole atau zero pada titik asal

Untuk pole : ω ω

log201

log20 −= j

Untuk zero : ω ω log20log20 = j

3. Pole atau zero orde satu.

Untuk pole :

11

1log20

ω ω j+

Asimtot :

11

1

log20

01log20

ω ω

ω ω

ω ω

−⇒>>

=⇒<< dB

Frekuensi cut off di 1ω ω =



Rangkaian Listrik


210

Untuk zero :1

1log20 ω ω j+

Asimtot :

11

1

log20

01log20

ω ω

ω ω

ω ω

⇒>>

=⇒<< dB


4. Pole atau zero faktor kuadratik

Untuk pole : 2

00

21

1log20

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

ω ω

ω ξ j j

Asimtot :

00

0

log40

01log20

ω ω

ω ω

ω ω

−⇒>>

=⇒<< dB




Rangkaian Listrik


211

Untuk zero :2

00

21log20 ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝ ⎛ +

ω ω

ω ξ j j

Asimtot :

00

0

log40

01log20

ω ω

ω ω

ω ω

⇒>>

=⇒<< dB


Contoh latihan :

1. Jika fungsi transfer dinyatakan dengan persamaan :sL R

Rs H +

=)(

Tentukan diagram bode plotnya ! Jawaban :

RsLsL R

Rs H

+=

+=

1

1)(

Jika ω js =



Rangkaian Listrik


212

L R

j R

L j j H

ω ω ω

+=

+=

1

1

1

1)(

Gambar diagram bode plot :

2. Jika suatu rangkaian seri RL diberikan tegangan AC sebagai inputnya (V in) danoutput pada komponen L, maka tentukan :a. Fungsi transfer dalam domain s

b. Diagram bode plot Jawaban :a. Jika output pada komponen L maka fungsi transfer :

RsLsL

s H +=)(

b. Diagram bode plot :

L R

s L

Rs

RsL

RsL

RsLsL

s H +

=+

=+

=11

)(

Jika ω js = , maka :

L R

j L

R j

j H ω

ω

ω +

=1

)(



Rangkaian Listrik


213

3. sL R R

sL Rs H ++

+=

21

2)( , tentukan diagram bode plot !

Jawaban :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +

=+++

+=

+++

=

L R R

s

L R

s

R R

R

R RsL R R

RsL R

sL R R

sL Rs H

)(1

1

))(1)((

)1()(

21

2

21

2

2121

22

21

2



Rangkaian Listrik


214

Soal – soal :


2. Tentukan fungsi transfer dari gambar berikut :

3. Gambarkan diagram bode pada soal nomor 2 diatas !






Rangkaian Listrik


215




10. Gambarkan diagram bode jika ( ) )8()1(32

++

= sss

s H


12. Gambarkan diagram bode jika ( )ss

s H 8323

++=

13. Gambarkan diagram bode jika ( )( ))5050

6,01)(5,01(

)1,01(52ssss

ss H

+++

+=

14. Gambarkan diagram bode jika ( ))10)(4(

)1(400+++=

sss

s H

15. Gambarkan diagram bode jika ( )164

162 ++

=sss

s H



Rangkaian Listrik


216


17. Gambarkan diagram bode untuk soal nomor 16 diatas !


19. Gambarkan diagram bode untuk soal nomor 18 diatas !



Rangkaian Listrik


217

BAB XRESPON FREKUENSI DAN RESONANSI

Respon frekuensi merupakan hubungan atau relasi frekuensi tak bebas pada kedua besaran magnitude dan phasa diantara input sinusoidal steady state dan output

sinusoidal steady state .Direpresentasikan sebagai perbandingan output respon ( )ω jY terhadap input sinusoidal

( )ω j X atau yang lebih dikenal dengan fungsi transfer dalam domain ω j :

( ) ( )( )ω

ω ω

j X jY

j H =

dimana :

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )ω ω ω ω

ω

ω

ω ω

j X jY j X jY

j H

j X

jY j H

∠−∠=∠

∠=∠

=

Misalkan :Input )cos()( 0 θ ω += t At vin maka output ( ) ( ))cos()( 0 ω θ ω ω j H t j H At vout ∠++=

Rangkaian RL Jika komponen R sebagai output tegangan :

Fungsi transfer dalam domain s :

RsLsL R

RsV sV

s H in

out

+=

+==

1

1)()(

)(

Jika ω js = , maka fungsi transfernya menjadi :

R L j

j H ω

ω +

=1

1)(

sehingga respon frekuensi :

( )⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=∠

+=

−

R L

j H

R L

j H

ω ω

ω ω

1

2

tan)(

1

1)(



Rangkaian Listrik


218

Gambar respon frekuensi magnitude :saat :

( )( )

( ) off cut frekuensi j H L R

j H

j H

....2

1

0

10

⇒=⇒=

=⇒∞==⇒=

ω ω

ω ω

ω ω

Gambar respon frekuensi phasa :saat :

( )( )


j H

j H

....45

90

00

⇒°−=∠⇒=

°−=∠⇒∞=°=∠⇒=

ω ω

ω ω

ω ω

Rangkaian RL diatas sebagai Low Pass Filter (LPF) .

Jika komponen L sebagai output :



Rangkaian Listrik


219


sL R RsL

sLsV sV

s H in

out

+=

+==

1

1)()(

)(


L jR

L j R

j H

ω ω ω

−=

+=

11

11)(


( )⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−=∠

+=

−

L R

j H

L R

j H

ω ω

ω

ω

1

2

tan)(

1

1)(


( )( )


j H

j H

....2

1

1

00

⇒=⇒=

=⇒∞==⇒=

ω ω

ω ω

ω ω


( )( )


j H

j H

....45

0

900

⇒°=∠⇒=

°=∠⇒∞=°=∠⇒=

ω ω

ω ω

ω ω



Rangkaian Listrik


220

Rangkaian RL diatas sebagai High Pass Filter (HPF) .

Rangkaian RC Jika komponen R sebagai output tegangan :


sCRsC R

RsV sV

s H in

out

11

11)(

)()(

+=

+==


CR j

CR j j H

ω ω ω

−=

+=

1

111

1)(


( )⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−=∠

+=

−

CR j H

CR

j H

ω ω

ω

ω

1tan)(

11

1)(

1

2


( )( )

( ) off cut frekuensi j H CR

j H

j H

....2

11

1

00

⇒=⇒=

=⇒∞==⇒=

ω ω

ω ω

ω ω



Rangkaian Listrik


221


( )( )


j H

j H

....451

0

900

⇒°=∠⇒=

°=∠⇒∞=°=∠⇒=

ω ω

ω ω

ω ω

Rangkaian RC diatas sebagai High Pass Filter (HPF) .

Jika komponen C sebagai output :


sCR RsC

sC sV sV

s H in

out

+=

+==

11

1

1

)()(

)(


CR j j H

ω ω +

=1

1)(



Rangkaian Listrik


222


( )( )CR j H

CR j H

ω ω

ω ω

1

2

tan)(

1

1)(

−−=∠

+=


( )( )


j H

j H

....2

11

0

10

⇒=⇒=

=⇒∞==⇒=

ω ω

ω ω

ω ω


( )( )


j H

j H

....451

90

00

⇒°−=∠⇒=

°−=∠⇒∞=°=∠⇒=

ω ω

ω ω

ω ω

Rangkaian RC diatas sebagai Low Pass Filter (LPF) .



Rangkaian Listrik


223

Rangkaian RLC Jika komponen R sebagai output tegangan :


sCR RsL

sC sL R

RsV sV

s H in

out

11

11)(

)()(

++=

++==


( ) R

C L j j H

ω ω ω

11

1)(

−+

=


⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

−=∠

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

=

−

RC L

j H

RC L

j H

ω ω

ω

ω ω ω

1

tan)(

11

1)(

1

2


( )( )

( )

( ) off cut frekuensi j H

L

C L R R

j H LC

j H

j H

....

2

1

2

4

11

0

00

2

⇒=⇒+±

=

=⇒=

=⇒∞==⇒=

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω



Rangkaian Listrik


224


( )( )

( )

( ) off cut frekuensi j H L

C L R R

j H LC

j H

j H

....452

4

01

90

900

2

⇒°±=∠⇒+±=

°=∠⇒=

°−=∠⇒∞=°=∠⇒=

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

Rangkaian RLC diatas sebagai Band Pass Filter (BPF) .

Jika komponen LC sebagai output tegangan :



Rangkaian Listrik


225


( )sC sL R

sC sL RsC sL

sV

sV s H

in

out

11

11

1

)()(

)(

++

=++

+==


( ) ( )C L

jR

C L j

R j H

ω ω ω ω

ω

11

1

11

1)(

−−

=

−+

=


⎟⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜⎜

⎝ ⎛

−−−=∠

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

=

−

C L R j H

C L

R

j H

ω ω ω

ω ω

ω

1tan)(

11

1)(

1

2


( )( )

( )

( ) off cut frekuensi j H LC

L R R

j H LC

j H

j H

....2

12

4

01

1

10

2

⇒=⇒

+±=

=⇒=

=⇒∞==⇒=

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

Gambar respon frekuensi phasa :

saat :( )( )

( ) °=∠⇒=

°=∠⇒∞=°=∠⇒=

901

0

00

ω ω

ω ω

ω ω

j H LC

j H

j H



Rangkaian Listrik


226

( ) off cut frekuensi j H L

C L R R

....452

42

⇒°±=∠⇒+±

= ω ω

Rangkaian RLC diatas sebagai Band Stop Filter (BSF) .

ResonansiSuatu rangkaian dikatakan beresonansi ketika tegangan terpasang V dan arus yangdihasilkan I dalam kondisi satu phasa.Misalkan :

°∠=°∠=

β

α

B I

AV

Dalam kondisi satu phasa : °=° β α , sehingga :

B A

B A

B A

B A

I V

Z =°∠=°−°∠=°∠

°∠== 0)( β α β α

Terlihat bahwa ketika V dan I satu phasa, impedansi yang dihasilkan seluruhnyakomponen riil atau impedansi kompleks hanya terdiri dari komponen resistor murni (R).Dengan kata lain konsep resonansi adalah menghilangkan komponen imaginer /reaktansi saling meniadakan.

Resonansi Seri

Impedansi total:

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+=

C L j Rtot

ω ω

1Z



Rangkaian Listrik


227

saat resonansi :

LC f

LC

C L

C L

o1

21

1

10

1

2

π

ω

ω ω

ω ω

=

=

=→=−

Pada saat resonansi impedansi Z minimum, sehingga arusnya maksimum.

Resonansi Paralel

Admitansi total :

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+=

+−=−++=

LC j

R

C j L j

RC

j L j R

tot

tot

ω ω

ω ω

ω ω

111

11111

Z

Z

saat resonansi :

LC f

LC

LC

LC

o1

21

1

10

1

2

π

ω

ω ω

ω ω

=

=

=→=−

Pada saat resonansi impedansi Z maksimum, sehingga arusnya minimum.

Gambar tersebut dapat diganti notasinya :

Admitansi total :



Rangkaian Listrik


228

)1

( L

C jGY

jB jBGY LC

ω ω −+=

−+=

saat resonansi :

LC f

LC

LC

LC

o1

21

1

101

2

π

ω

ω ω

ω ω

=

=

=→=−

Resonansi Paralel 2 Cabang

( )

( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

+⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

++

=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

++

+−=

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

+=

−+

+=

2222

22

22

22

22

1

1

1

1

1

1

111

111

L R

L

C R

C j

C R

R

L R

R

C R

C j

R

L R

L j R

C j R

C j

R

C j R L j R

L j R

L j R

C j

R L j R

LC C

C

L

L

tot

C

C

L

L

tot

C

C

C L

L

Ltot

C Ltot

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω ω

Z

Z

Z

Z

s aat resonansi:

( )0

1

1

2222

=+

−⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ + L R

L

C R

C L

C

ω ω

ω

ω



Rangkaian Listrik


229

( )

( )⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +=+

+=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

22222

2222

1

1

1

C R LC L R

L R

L

C R

C

C L

LC

ω ω ω

ω

ω

ω

ω

C L

RC

L R

LC f

C L

RC L

R LC

C L

R L LCR

C L

LCR L R

C

L

o

LC

LC

C L

−

−=

−=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

−=−

+=+

2

2

222

22222

22222

21

π

ω

ω ω

ω ω

Perlu diingat bahwa :

C L

R

C L

R

C

L

−

−

2

2

harus positif real sehingga syarat :

C L

R l >2 danC L

RC >2 atauC L

R L <2 danC L

RC <2

Ketika nilaiC L

R R C L == 22 , maka rangkaian beresonansi untuk semua frekuensi.

Resonansi Kombinasi 1

C j

L j R

ω

ω

12

1

=

+=

Z

Z



Rangkaian Listrik


230

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+−+

+=

+−+=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

++=

++

=++

=+=

222222

222

21

1

1

11

1111111

L R L

C j L R

R

L R L j R

C j

L j R

L j R

L j RC j

C j L j R

C j L j R

tot

tot

tot

tot

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

Z

Z

Z

ZZZ

saat resonansi : 222 L R L

C ω

ω ω

+= , sehingga :

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −=

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −=−=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=→−=→=+

2

2

0

2

2

2

22

22222222

12

1

1111

LC R

LC f

LC R

LC L R

LC R

C L

L R

C L

LC L

L R

π

ω ω ω


L j

C j

R L jC

j R

L j

C j

RC j

R

tot ω ω

ω ω

ω

ω ω

−−

=+−

=+=

=

−=+=

111111

1

21

2

1

ZZZ

Z

Z

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

++

+=

−++=−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

−=

LC

R

C j

C R

R

L j

C R

C

j

R L j

C j

R

C

j

R

C j

R

tot

tot

ω ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω

ω

ω

11

1

11

111

222

222

222

Z

Z



Rangkaian Listrik


231

saat resonansi : L

C R

C ω

ω

ω 11

1

222

=+

, sehingga :

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −

=

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −

=−

=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=→−=→−=→=+

LCR LC

f

LCR

LC RC LC

RC L

C RC LC RC

LC C

LC R

20

2222

22

2

2

2222222

2

1

1

2

1

1

11

1111

π

ω

ω ω ω ω


LC C j

R RC j

L j

R

C j L j

tot 2

21

2

1

111

11111

1

ω ω

ω ω

ω ω

−−=+

+=+=

=

+=

ZZZ

Z

Z

saat resonansi :

0

01 2

=

=−

fo LC

C ω ω



Rangkaian Listrik


232


L jC j

R

L j

C j R

C j R

C j R

tot ω ω

ω

ω ω

ω

++

=+=

=

+=→+=+=

11

111

1111

21

2

11

ZZZ

Z

ZZ

⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+

+

=

+

−+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

++=

22

2

22

2

222

11

1

1

1

1

1

11

C R

C L j

C R

R

C R

C j R L j

C j R

C j R

C j R

L j

tot

tot

ω

ω ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω ω

Z

Z

saat resonansi :22

2

1C

R

C L

ω

ω ω

+= , sehingga :

20

222222

22222

2

12

1

111111

11

CR L

LC f

CR L

LC RC LC R LC

C

R LC

C LC

C R

−=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=−=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=

−=→=+

π

ω

ω ω



Rangkaian Listrik


233


⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

++

+=−

+

+=

−⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

−=−

−=+=

−==

−=→−=+=

C L R

L j

L R

RC

j

L R

L j

R

C j

L j

R

L j

R

L j

RC

j

L j

R

C j

C j

L j

R L j

R L j R

tot

tot

ω ω

ω

ω ω

ω

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω ω

111

1

11

1

11

1

1

1

11

11

1

111111

222222222

21

2

11

Z

ZZZ

Z

ZZ

saat resonansi :

C L R

L

ω ω

ω 111

1

222

=

+ , sehingga :

2

0

222

2

2

22222222

1

1

2

1

1

11

1

111111

CR

L LC f

CR L

LC R L

C L

R LC

L R L

C L L

C L R

−=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

=

−=→−=→=+

π

ω

ω ω ω



Rangkaian Listrik


234


LC

L j R R

C j L j

R

C j L j

C j L j

C j L j

tot 2

21

2

11

11

1

111

1111

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

−+=+

+=+=

=

+=→+=+=

ZZZ

Z

ZZ

saat resonansi :

0

01 2

=

=−

fo LC

Lω ω

Resonansi Paralel 3 Cabang

C j R L j R

C j

R

L j R

Ltot

L

ω ω

ω

ω

11111111

1

321

3

2

1

+++

=++=

=

=+=

ZZZZ

Z

Z

Z



Rangkaian Listrik


236

3. Tentukan frekuensi resonansi pada gambat berikut :

Jawaban :

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+−+

+=

+−+=

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

−−

++=

222222

222

1

1

11

L R L

C j L R

R

L R L j R

C j

L j R L j R

L j RC j

tot

tot

tot

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω

Z

Z

Z

saat resonansi : 222 L R L

C ω

ω ω

+= , sehingga :

Hz L

C R

LC f

LC R

LC L R

LC R

C L

L R

C L

LC L

L R

2,15910

10.20.71

10.20.102

11

2

1

1111

3

62

632

2

0

2

2

2

22

22222222

=⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −=

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −=−=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=→−=→=+

−

−

−−π π

ω ω ω

Faktor Kualitas (Q)Definisi (dasar) dari Q :

ercycle”getaran/”pn tiapdisipasikayangenergidisimpanyangmaksimumenergi

2π =Q

Faktor kualitas merupakan ukuran selektivitas rangkaian resonator dimana rangkaianresonator merupakan rangkaian filter BPF dengan lebar pita/ bandwidth sempit. Semakin

besar nilai Q maka semakin sempit lebar pita/ bandwidth .

Pada Komponen RL

Misalkan : t I i m ω sin= Pada L :

( ) t L I dt di

Lt m L ω ω cos==V



Rangkaian Listrik


237

Energi :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) t L I tdt L I

dt t

L I tdt t L I t

dt t it dt t t

m

t m

t

m

t

m L

t

L

t

L L

ω ω ω ω

ω ω ω ω 22

0

2

0

2

0

2

00

sin2

12sin

22

2sincossin

.

====

==

∫∫∫

∫∫

W

VPW

Maksimum energi yang disimpan : 2

21

max m L LI =W

Pada R :Energi :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −==→⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=−=

−====

∫

∫∫∫∫

t t f

T t t RI

dt t RI

t

dt t

RI tdt RI dt t it dt t t

mt

m R

t

m

t

m

t

R

t

R R

ω ω

ω ω

ω

ω ω

2sin211

2sin21

22cos1

2

22cos1

sin

2

0

2

0

2

0

22

00

W

VPW

Energi yang didisipasikan per cycle : f

RI m1

21 2 , sehingga :

cycle”ergetaran/”pn tiapdisipasikayangenergidisimpanyangmaksimumenergi

2π = LQ

R L

R L

f RI

LI

f m

m L

ω π π === 22

122

1

22

1

Q

Jadi faktor kualitas untuk rangkaian seri RL :

R

L L

ω =Q

Pada Komponen RC

Misalkan : t mC ω sinVV = Pada C :

( ) t CV dt

dV C t i m

C c ω ω cos==

Energi :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) t C V tdt C V

dt t

C V tdt t C V t

dt t it V dt t t

m

t m

t

m

t

mC

t

C C

t

C C

ω ω ω ω

ω ω ω ω 22

0

2

0

2

0

2

00

sin21

2sin22

2sincossin ====

==

∫∫∫

∫∫

W

PW

Maksimum energi yang disimpan : 2

21

max mC CV =W



Rangkaian Listrik


238

Pada R :Energi :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) t t f

T t t CV Rdt t CV Rt

tdt CV Rtdt CV Rdt t Ridt t it V dt t t

mt

m R

t

m

t

m

t

C

t

C R

t

R R

−==→⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=−=

=====

∫

∫∫∫∫∫

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω ω ω

2sin2112sin

21

2212cos

coscos

2

0

2

0

22

0

22

0

2

00

W

PW

Energi yang didisipasikan per cycle : ( ) f

CV R m1

21 2ω , sehingga :

cycle”ergetaran/”pn tiapdisipasikayangenergidisimpanyangmaksimumenergi

2π =C Q

( ) RC RC f

CV R

CV

f m

mC ω ω

π ω

π 11

22 2122

1

22

1

===Q

Jadi faktor kualitas untuk rangkaian seri RC :

RC C ω 1=Q

Dapat diambil kesimpulan bahwa faktor kualitas (Q) untuk rangkaian seri :

s

ss R

X Q =

Untuk rangkain seri RL : R

LQ o

s

ω =

Untuk rangkaian seri RC :CR

Qo

s ω 1=

Pada Komponen RLC

Pada saat terjadi resonansi :

CR R

LC

L LC

o

o

ω

ω ω

ω ω

1

112

==

=→=

Q



Rangkaian Listrik


239

Faktor kualitas atau Q pada rangkaian paralel agak berbeda dengan Q pada rangkaian

seri. Untuk harga RLC yang sama,S

P QQ

1= atau p

p p X

RQ =

Pada Komponen RL

Untuk rangkaian paralel RL : L

RQ

oω =

Pada Komponen RC

Untuk rangkaian paralel RC : RC Q oω =

Pada Komponen RLC

RC L

Ro

o

ω ω

==Q



Rangkaian Listrik


240

Bandwidth (BW) 3dBLebar pita pada saat terjadi level dayanya adalah ½ dari daya maksimum

Perhatikan gambar rangkaian berikut :

Fungsi transfer rangkaian diatas adalah sebagai berikut :

( ) ( )⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+

=−

+=

−+=

CR R L

j R

C L jC L j R

R jV jV

in

out

ω ω

ω ω ω ω ω ω

11

11

1

11)(

)(

Jika rangkaian diatas mempunyai faktor kualitas rangkaian seri RLC dimana dinyatakan

dengan :

oo

o

o

QCRCR

Q

Q R L

R L

Q

ω ω

ω ω

=⇒=

=⇒=

11

maka fungsi transfer diatas dapat dinyatakan dengan persamaan :

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −+

=

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −+

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+

=

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

ω ω ω

o

oo

o

in

out

jQQQ

jCR R

L j

jV jV

1

1

11

11

1

1)()(

Respon frekuensi magnitudenya :

2

21

1)()(

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −+

=

ω ω

ω ω ω

ω

o

o

in

out

Q jV jV

saat level dayanya adalah setengah dari daya maksimum atau respon frekuensi

magnitudenya sebesar2

1 , maka :



Rangkaian Listrik


241

QQ

QQ

makaQQ

ana

QQQQQQ

ABC Rumus

Q

sehingga

Q

Q

Q jV jV

oo

oo

oo

oooo

o

oo

oo

o

o

o

o

o

o

in

out

221

1

221

1

:,22

11:dim

211

241

222

4

:..

0

:

1

1

2

1

1

1)()(

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2,1

22

2

2

2

2

ω ω ω

ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω

ω

ω ω ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω

+⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ +=

−⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ +=

>⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ +

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ +±=+±=

+±=

=−−

=−

=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −

=

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −+

=

Dari gambar respon frekuensi magnitude diatas didapat bahwa :

2

2

:

2

1

1212

BW

BW

atau

Q BW

BW

o

o

o

COCO

+=

−=

=

−=−=

ω ω

ω ω

ω

ω ω ω ω

Faktor kualitas dapat dinyatakan sebagai perbandingan frekuensi resonansi terhadap bandwidth.

BW f

f f f 0

12

0 =−

=Q

frekuensi resonansi 0 f adalah rata-rata geometri 1 f dan 2 f :

210 f f f =



Rangkaian Listrik


242

Konversi Faktor Kualitas Rangkaian Seri - Paralel

( )2

2

1

)1(

QQ

RQ

R X

Q R R

s p p

s p

+==

+=

S X

S RP X P R



Rangkaian Listrik


243

Soal – soal :

1. Rangkaian seri RLC dengan H L 5,0= mempunyai tegangan sesaat

)30500sin(7,70 ot v += V dan arus sesaat )500sin(5,1 t i = A. Tentukan nilai R dan C.Berapa frekuensi resonansinya ?

2. Suatu rangkaian seri mH L 25= dan F C µ 75= mempunyai sudut phasa lagging 25 o pada srad o /2000= . Berapa frekuensi sudut pada saat sudut phasa leading 25 o ?

3. Rangkaian seri RLC dengan Ω= 25 R dan H L 6,0= akan menghasilkan arusleading sebesar 60 o pada frekuensi 40 Hz. Tentukan frekuensi rangkaian serinya !

4. Jika oo Z Z V V 4012,3025,480 21 −∠=∠==

a. Tentukan nilai komponen reaktif X pada saat resonansi Hz f o 60= b. Tentukan nilai i pada saat resonansi

5. Tentukan komponen R L agar terjadi resonansi !

6. Suatu rangkaian seri RLC dengan F C H L R µ 20,05,0,50 ==Ω= terpasang pada

oV 0100∠= Volt dengan frekuensi variabel. Pada frekuensi berapa teganganinduktor mencapai maksimum ? Berapakah tegangan induktor tersebut ?



Rangkaian Listrik


244

7. Jika oo Z Z V V 4012,3025,480 21 −∠=∠== a. Tentukan nilai komponen reaktif X saat resonansi Hz f o 60=

b. Tentukan nilai I pada saat resonansi

8. Tentukan nilai komponen reaktif X saat terjadi resonansi

9. Pada rangakain seri RLC faktor kualitas rangkain tersebut adalah 2 π dengan nilaiinduktor 1 mH dan resistor 1 k Ω. Tentukan frekuensi resonansi dan berapa BW ?

10. Pada saat terjadi resonansi tegangan terpasang pada rangkaian seri RLC adalah)30500sin(7,70 ot v += menghasilkan arus sebesar )30500sin(83,2 ot i += .Jika

L=0,5H, tentukan nilai R dan C

11. Rangkaian seri RLC dengan R=25 dan L=0,6 H akan menghasilkan arus leaadingsebesar 60 pada frekuensi 40 Hz. Tentukan frekuensi resonansai rangkauan seritersebut.

12. Suatu rangkaian seri L = 25mH dan C = 75 µF mempunyai sudut phasa lagging 25 o pada srad o /2000=ω . Berapa frekuensi sudut pada saat sudut phasa leading 25 o

13. Rangkaian seri RLC dengan L = 0,5H mempunyai tegangan sesaat)30500sin(7,70 ot v += dan arus sesaat t i 500sin5,1= . Tentukan nilai R dan C.

Berapa frekuensi resonansinya



Rangkaian Listrik


245

14. Tentukan frekuensi resonansi pada gambar dibawah ini

15. Tentukan komponen RL agar terjadi resonansi

16. Rangkaian seri mH L R 20,5 =Ω= dan C variabel disuplai tegangan denganfrekuensi 1000 Hz. Tentukan C resonansi serinya

17. Rangkaian seri F C R µ 20,5 =Ω= dan L variabel diberikan ov 010∠= padasrad /1000=ω . L diatur-ature sampai teggangan pada R maksimum. Tentukan

tegangan pada masing-masing komponen

18. Rangkaian seri RLC F C H L R µ 40,5,0,100 ==Ω= . Hitung frekuensi resonansi,frekeunsi cut off bawah dan frekuensi cutt off atas

19. Tentukan frekeunsi resonansi untuk rangkaian berikut

20. Tentukan nilai C agar daya pada 10 ohm maksimum pada frekuensi 2000 Hz



Rangkaian Listrik


246

21. Tentukan daya pda resistor 10 ohm pada soal diatas

22. Rancang suatu folter LPF yang terdiri dari R dan L jika frekuensi resonasni 10kHz dan nilai resistor 1k Ω

23. Suatu rangkaian seri RLC dengan Q = 20 dan BW = 10 kHz. Tentukan frekuensiresonasni, cut off bawah dan atas. Jika L = 2mH. Tentukan nilai R dan C

24. Hitung harga L bila rangkaian beresonansi pada srad /5000=ω

25. Suatu rangkaian seri RLC dengan R = 20 ohm dan L = 5mH C = 5 nF terpasang pada sumber tegangan Va. Hitunglah frekuensi resonansinya

b. Saat resonansi tegangan di C = 2 V, berapakah tegangan sumber yang dipasang



Rangkaian Listrik


247

BAB XIRANGKAIAN KOPLING MAGNETIK

Ketika dua buah kumparan didekatkan atau digandengkan, maka akan timbul suatuinduksi, dengan kata lain kalau dua buah kumparan tersebut terpasang dalam masing-

masing loop, maka interaksi dua buah loop yang didalamnya terdapat kumparan yangdigandengkan maka akan timbul medan magnet induksi atau kopling magnet.

Induktansi SendiriTegangan yang melewati kumparan didefinisikan sebagai perubahan arus terhadapwaktu yang melewati kumparan tersebut.

dt di

LV L =

Atau dapat didefinisikan ketika terjadi perubahan arus, maka terjadi perubahan arus,maka terjadi perubahan fluks magnetik dikumpar tersebut yang menyebabkan tejadinya

perubahan induksi emf (tegangan kumparan).

φ φ

N Ldt d

N V i L =→=

N = jumlah lilitan kumparanφ = fluks magnet

sehingga :

dt d

N dt di

L φ =

did

N L φ = → Induktansi sendiri

Induktansi BersamaKetika terjadi perubahan arus i 1, maka fluks magnet di kumparan 1 berubah ( 11φ )

Bagian fluks magnetik yang hanya melingkupi kumparan 1 disebut fluks bocor( 1 Lφ )

Sisa fluks magnetik yang melingkupi kumparan 1 dan kumparan 2 disebut fluks bersama ( 21φ )

L

i

L

i



Rangkaian Listrik


248

Sehingga secara umum dikatakan bahwa fluks magnetik yang disebabkan oleh arus i 1 adalah : 2111 φ φ φ +=

L Tegangan induksi di kumparan 2 (Hukum Faraday ) :

2121221

22 M N dt

d N V =→= φ

φ

Sehingga :

dt

di M V 1

212 =

dt di M

dt d N 1

2121

2 =φ

→=1

212121 di

d N M φ

Induktansi bersama

Ketika terjadi perubahan arus i 2, maka fluks magnetik di kumparan 2 berubah ( 22φ ). Bagian fluks magnetik yang hanya melingkupi kumparan 2 disebut fluks bocor

( 2 Lφ ) Sisa fluks magnetik yang melingkupi kumparan 2 dan kumparan 1 disebut fluks

bersama( 12φ )

Sehingga secara umum dikatakan bahwa fluks magnetik yang disebabkan oleh arus i 2 adalah : 12222 φ φ φ +=

L

Tegangan induksi di kumparan 1 (Hukum Faraday ) :

21212112

11 i M N dt

d N V =→= φ

φ

Sehingga :

dt di

M V 2121

=

N1

i1

Ll

21

N2v1 v2

N 1

i2

L2

12

N 2v1 v2



Rangkaian Listrik


249

dt di

M dt

d N 2

1212

1 =φ

→=2

12112 dt

d N M φ

Induktansi bersama

Fluks magnetik yang diakibatkan oleh arus i 1 :1211121211 φ φ φ φ φ φ +=++=

L Tegangan dikumparan 1 :

dt d

N dt d

N dt d

N V 12

111

11

11

φ φ φ +==

dimana :11111 i L N =φ

212121 i M N =φ

sehingga :dt

di M

dt

di LV 2

121

11 +=

Fluks magnetik yang disebabkan oleh arus i 2 :2122211222 φ φ φ φ φ φ +=++=

L Tegangan di kumparan 2 :

dt

d N

dt

d N

dt

d N V 21

222

22

22φ φ φ +==

dimana :22222 i L N =φ

121212 i M N =φ

sehingga :dt di

M dt di

LV 121

222 +=

M M M ==1221

N1

i1 i2

N2V1 V2L1L2

21

12



Rangkaian Listrik


250

Aturan Tanda Dot (Titik)1. Ketika kedua arus diasumsikan masuk atau keluar dari pasangan kumparan

diterminal bertanda dot , maka tanda M akan sama dengan tanda L.

2. Jika salah satu arus masuk terminal dot dan arus yang lainnya keluar di terminal bertanda dot, maka tanda M akan berlawanan dengan tanda L.

Tanda Dot (Titik)Tanda dot dimaksudkan untuk memudahkan dalam penggambaran masing-masingkumparan. Tanda dot menentukan polaritas dari tegangan atau induksi bersamanya,sehingga dari pengertian ini muncul aturan tanda dot. Ketika arus masuk terminal dot dikumparan 1 dan arus lain masuk terminal dot lain di kumparan 2, maka induksi

bersamanya akan saling menguatkan dengan kata lain tanda dari induksi sendiri akansama dengan tanda induksi bersama .

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai tegangan pada masing-masing sisi :

Jawaban :

dt di

M dt di

LV dt

di M

dt

di LV

1222

211

−=

−=

i2

V1

i1

V2

M

L1 L2



Rangkaian Listrik


251


Jawaban :

dt di

M dt di

LV

dt di

M dt di

LV

1222

211

+−=

−=


Jawaban :

dt di

M dt di

LV

dt di

M dt di

LV

1222

211

−−=

+=


Jawaban :

dt di

M dt di

LV

dt di

M dt di

LV

1222

211

−−=

+=

i2

V1

i1

V2

M

L1 L2

i2

V1

i1

V2

M

L1 L2

i2

V1

i1

V2

M

L1 L2



Rangkaian Listrik


252


Jawaban :

dt di

M dt di

LV

dt di

M dt di

LV

1222

211

+−=

−=


Jawaban :

dt di

M dt di

LV

dt di

M dt di

LV

1222

211

−=

−=


Jawaban :

dt di

M dt di

LV

dt di

M dt di

LV

1222

211

+=

+=

i2

V1

i1

V2

M

L1

L2

i2

V1

i1

V2

M

L1 L2

i2

V1

i1

V2

M

L1 L2



Rangkaian Listrik


253

Koefisien Kopling (K)Koefisien kopling didefinisikan sebagai perbandingan antara fluks bersama dendan totalfluks magnetik di satu kumparan.

22

12

11

21

φ φ

φ φ ==K

Dari persamaan sebelumnya :

1

21221 i

N M φ = dan

2

12112 i

N M φ = dimana M M M ==

1221

sehingga: 21 L LK M =

21 L L

M K =

- Jika nilai k = 0 , berarti nilai M = 0 , artinya tidak ada kopling magnetik.- Jika nilai k = 1 , berarti 21 L L M = , atau 21121 φ φ φ +=

L yang berarti tidak ada fluks bocor atau semua fluks bersama melingkari kedua kumparan, unity coupled

transformator .

Analisa Rangkaian Kopling MagnetikSuatu inti besi yang masing-masing bagiannya dililiti suatu kawat kumparan dikatakansebagai suatu transformator atau disingkat trafo.Trafo aplikasinya digunakan untuk mengubah amplitudo tegangan denganmenaikkannya untuk memperoleh transmisi yang lebih ekonomis, ataupunmenurunkannyaTinjau rangkaian trafo secara umum :

INTI BESI

L1 L2

R 1 R 2

V1 V2i1 i2

Dengan tanda dot, rangkaian ekivalennya :

i2

V1

i1

V2

M

L1 L2

R 1 R 2

sehingga dapat dituliskan persamaannya :

dt di

M dt di

L RiV

dt di

M dt di

L RiV

121222

211111

−+=

−+=



Rangkaian Listrik


254

Asumsikan tegangan sumber adalah sinusoidal, maka keadaan mantap ( steady state ):( )

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡=⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+−

−+++−=

−+=

2

1

2

1

22

11

22212

21111

V

V

i

i

L j R M j

M j L j R

i L j R Mi jV

Mi ji L j RV

ω ω

ω ω

ω ω

ω

sehingga rangkaian penggantinya :

M j Z Z

L j R Z

L j R Z

ω

ω

ω

==+=+=

2112

2222

1111

Contoh latihan :

1. Tentukan nilai tegangan V !

Jawaban :

V2

R 2

V1

R 1

jωM

jω(L1-M) jω(L2-M)

i1 i2



Rangkaian Listrik


255

Metoda arus loop :Tinjau loop I 1 :

)1....(..........0602)84(

02)84(060

21

21

o

o

I j I j

I j I j

∠=++

=+++∠−

Tinjau loop I 2 :

)2....(..........0)41(2

02)41(

21

12

=++=++

I j I j

I j I j

substitusikan persamaan (1) & (2) :

)42(...........0)41(2

0602)84(

21

21

+−=++∠=++

j x I j I j

I j I j o

V t V maka

R I V sehingga

j I

I j

I j I j

I j I j

o

oo

o

o

oo

o

o

)13520cos(54,3:

13554,31.13554,3.:

13554,3135212

060)1212(

060

060)1212(

0)1412()84(

0602)84(

2

2

2

21

21

+=

∠=∠==

∠=−∠∠=

−−∠=

∠=−−

=+++∠=++

2. Tentukan arus yang mengalir !

Jawaban :



Rangkaian Listrik


256

oo

o

p j j

Z 6389,02724,2

9022

2. −∠=−∠

−∠=−

−=

Tinjau loop I 1 :02)42(020 21

=+++∠− I j I jo

Tinjau loop I 2 :0)6389,04(2 21

=−∠++ I j I j o Metoda Cramer :

At i I

maka

j j

j j j

j j

j j

j

j

I

I

I

j j

j j

o

o

oo

o

o

)1358sin(25,2

:

13525,2

6389,042

24240

6389,042

242

02

2042

0

0206389,042

242

2

2

2

1

+==

∠=

−∠++

−=

−∠++

+

=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ∠=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −∠+

+

3. Tentukan tegangan V pada rangkaian berikut !

Jawaban :

7,510.58,0

. 2121

21

j j j M j

L j L jk L Lk j M j

L Lk M

==

==

=

ω

ω ω ω ω



Rangkaian Listrik


257

Tinjau loop I 1 :

)1........(..........050)7,13()13(

0)7,543()453(050

21

21

o

o

I j I j

I j j I j j

∠=−−++

=+−−−++∠−

Tinjau loop I 1 :

)2........(....................0)68()7,13(0)7,543()51043(

21

12

=++−− =+−−++− I j I j

I j j I j j

Metoda Cramer :

o

o

I V

maka

j j

j j

j

j

I

I

I

j j

j j

251,435

:

2562,8

687,13

7,133

07,13

503

0

50

687,13

7,133

2

2

2

1

−∠==

−∠=

+−−−−+

−−+

=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +−−−−+

4. Tentukan rangkaian penggantinya :

Jawaban :

( ) M L L j R

M j L j L j R

M j L j M j L j R

2

2

211

211

211

−++=−++=

−+−+=

ω

ω ω ω

ω ω ω

Rangkaian Pengganti :

R 1

jω L1 jω L2 jω M

R 1 jωL1 jωL2

jωM

R 1 jω(L1+L2-2M)



Rangkaian Listrik


258

Transformator IdealTransformator ideal adalah tanpa terkopel dimana koefisisen kopling adalah hampir satudan kedua reaktansi induktif primer dan sekunder adalah luar biasa besarnyadibandingkan dengan impedansi yang diberikan pada terminal .Atau trafo ideal adalah pasangan trafo yang tidak ada rugi-rugi dimana induktansi

sendiri dari primer dan sekunder yang tidak terbatas tetapi perbandingan keduanyaterbatas. Perbandingan antara lilitan sekunder dan lilitan primer adalah :

1

2

N N

n =

secara umum diberikan :

)2.....(..........)(0

)1........(....................

2221

2111

i L j Z Mi j

Mi ji L jV

ω ω

ω ++−=

−=

122

2 i L j Z

M ji

ω ω +

=

substitusi :

122

22

122

1111 i

L j Z M

L j L j Z

Mi j M ji L J V ⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

++=

+−=

ω ω

ω ω

ω ω ω

22

22

11

11 L j Z

M L j

iV

Z ω

ω ω +

+==

Perbandingan tegangan 2V dengan 1V :

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ==

1

1

1

22

1

22

1

2

V i

ii

Z V

i Z V V

22221

2

22

22

122

21

2

)(1

M L j Z L j

M j Z

L j Z M

L J L J Z

M j Z

V

V

ω ω ω ω

ω ω

ω ω

ω ++

=

+++

=

Pada trafo ideal : 1111 i N α φ =

2222 i N α φ = Dimana α adalah konstanta yang tergantung dari siofat fisik transformator/ tiadak adafluks bocor untuk masing-masing identik.

22222

11111

φ

φ

N i L

N i L==

1111 i N α φ = 2222 i N α φ =

Vg V2

M

L1 L2

Zg R 2

i1

V1

Z2i2



Rangkaian Listrik


259

111

11 i N N

i Lα = 22

2

22 i N N

i Lα =

211 N L α = 2

22 N L α = Sehingga perbandingan 2 L dengan 1 L :

22

1

2

1

2 n N N

L L =

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ =

Trafo ideal, k = 1 : 21 L Lk M =

21 L L M =

( ) ( )

n L L

V V

L

L L L j Z

L L j Z

L L L L Z L j

L L j Z

V V

L L L j Z L j

L L j Z

M L j Z L j

M j Z V V

==

==+−

=

++=

++=

1

2

1

2

21

21

12

212

212

212

21

212

1

2

212

221

21222

221

2

1

2

ω

ω

ω ω ω

ω

ω ω ω

ω

ω ω ω ω

untuk trafo ideal nilai 1 L atau 2 L tak hingga, sehingga :

22

21

222

1

L j Z

L L j

L j Z M j

ii

ω

ω

ω ω

+=

+=

nii

n L Z

j

n j

j L Z

L L

j

L j Z

L L j

ii

L L L L

1

11

limlimlimlim

1

2

2

22,1

2

2

2

1

2,122

21

2,11

2

2,1

=

=+

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

=+

=+

=∞→∞→∞→∞→

ω

ω

ω

ω

ω

ω

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

n

Z

Z

n Z Z

n

n Z Z

ii

nV V

=

=

=

=

i2

V1

i1

V2L1 L2

1 : n



Rangkaian Listrik


260

Soal – soal :

1. Tentukan daya yang didisipasikan pada resistor 1 Ω !

2. Tentukan arus I 1 dan I 2 !




Rangkaian Listrik


261

4. Tentukan n sehingga terjadi transfer daya maksimum pada resistor 8k Ω !


6. Tentukan daya rata-rata pada resistor 8 Ω !

7. Tentukan impedansi totalnya :



Rangkaian Listrik


262

8. Tentukan impedansi totalnya :

9. Tentukan nilai induktor totalnya, jika nilai konstanta untuk semua induktor adalahk=0,5 !

10. Tentukan arus yang mengalir !



Rangkaian Listrik


263

11. Tentukan arus i 1 dan i 2 pada rangkaian berikut :


13. Tentukan arus i 2 yang mengalir :

14. Tentukan perbandingan V 2 terhadap V 1 ketika i 1=0 pada rangkaian berikut :



Rangkaian Listrik


264


16. Tentukan Leq :

17. Jika L 1 = 2H, L 2 = 8H, k=1. Tentukan Leq !

18. Tentukan Leq :



Rangkaian Listrik


265

19. Tentukan Leq :

20. Tentukan Zeq :

21. Tentukan tanda titik :

22. Jika Z 1=5+j9 , Z 2=3+j4, k=1, tentukan Zin :



Rangkaian Listrik


266

23. Tentukan V dimana srad /1=ω

24. Tentukan arus pada 3+j jika k=1 :

25. Tentukan arus di amperemeter :



Rangkaian Listrik


268

Pada komponen C :

dt t dV

C t i C )()( =

sehingga :

dt RC

t dV t V

t V dt

t dV RC

t V Rdt

t dV C

C C

C C

C C

1)(

)(1

)()(

0)()(

−=

−=

=+

Kedua ruas masing – masing diintegralkan :

RC t

V t V

RC t

V t V

dt RC

t dV t V

t V t V ana

dt RC

t dV t V

o

o

V

V

t

C

V

V

t

C C

−=

−=−

−=

=

−=

∫ ∫

∫ ∫

)(ln

ln)(ln

1)()(

1

)()(:dim

1)(

)(1

0

0

0

0

RC

t

o

RC

t

o

eV t V

eV

t V

−

−

=

=

)(

)(

Konstanta waktu : RC =τ

Daya pada resistor :

RC

t o

R e RV

Rt V

t P222 )(

)(−

==

Energi pada resistor :

W R (t) = dt e R

V dt t P RC

t o

R

2~

0

2~

0

)(−

∫∫ =

=

R

V o2

dt e RC t

∫ −~

0

2

= RC t

o e RC

R

V 22

2

−− ~

0[ ] C

V C

V oo

210

2

22

=−−=

W R (~) = 2

21

oCV



Rangkaian Listrik


269

Secara umum, jika t awal = t 0 , maka :

V(t) = RC t t

o eV )( 0−−

, t > t 0 Grafik waktu terhadap tegangan :

Rangkaian RL Bebas Sumber

Pada saat t = 0 kondisi saklar tertutup , jika rangakain tersebut dalam kondisi steadystate maka :

oo

L I R

V I ==

1)0(

Asumsi : induktor menyimpan arus I 0 di t = 0Energi di induktor :

2

21

)( o L LI oW =

Pada saat t > 0, kondisi switch berada seperti gambar diatas, maka :Analisis untuk menentukan i(t) pada t > 0 :

0)()( =+ t V Rt i L



Rangkaian Listrik


270

Pada komponen L :

dt t di

Lt V L)(

)( =

sehingga :

dt L R

t dit i

Rt idt

t di L

dt t di

L Rt i

−=

−=

=+

)()(

1

)()(

0)(

)(

Integralkan kedua ruas :

t L

R

o

t L

R

o

o

o

t t i

I

eit i

eit i

t L R

it i

t L

Rit i

dt L R

t dit i

−

−

=

=

−=

−=−

−=∫∫

)(

)(

)(ln

ln)(ln

)()(

1

0

)(

0

Konstanta waktu : R L=τ

Daya pada resistor :

Rei Rt it P t L

R

o R

222)()( −==

Energi pada resistor :

W R (t) = ∫∫ −=

~

0

22

~

0

)( dt e Ridt t Pt

L

R

o R

= L Rt

o e R

L Ri

22

2

−− [ ]2

102

22~

0

Li Li oo =−−=

W R (~) = 202

1 Li

Grafik hubungan waktu terhadap arus :



Rangkaian Listrik


271

Respon Fungsi Paksa Orde - 1 Rangkaian RC dengan Sumber

Menentukan nilai )(t C V pada saat switch diubah ( t > 0 )

Analisis keadaan steady state ( t = 0 ) :oC V V =

)0(

Analisis keadaan switch ditutup ( t > 0 ) :

Dengan metoda node ( simpul ) :

dt

dV C

R

V i t C t C o

)()( +=

dt RC

dV RiV

RiV dt

dV RC

dt

dV RC V Ri

t C ot C

ot C t C

t C t C o

11)(

)(

)()(

)()(

−=−

−=−

+=

Integralkan kedua ruas :

k RC

t RiV

dt RC

dV RiV

ot C

t C t C

+−=−

−=− ∫∫

)ln(

11

)(

)(0)(

Ri AeV

RieeV

e RiV

o RC

t

t C

o RC

t k

t C

k RC

t

ot C

+=

+=

=−

−

−

+−

)(

)(

)(



Rangkaian Listrik


272

dimana : RC t

Ae−

adalah respon alami Ri0 adalah respon paksa

Pada saat t = 0, maka oV Vc =0 sehingga :

( ) 0,...

:

)(

)(

>+−=

−=+=

+=

−

−

t Rie RiV V

sehingga

RiV A

Ri AV Ri AeV

o RC

t

oot C

oo

oo

o RC

t

t C

Grafik hubungan waktu terhadap tegangan :

Rangkaian RL dengan Sumber

Menentukan nilai )(t I L pada saat switch diubah ( t > 0 )Analisis keadaan steady state ( t = 0 ) :

oo

L I R

V I ==

1

)0(



Rangkaian Listrik


273

Analisis keadaan switch diubah ( t > 0 ) seperti gambar pada halaman sebelumnya, jikadianalisis sama halnya seperti pada rangkaian RC dengan sumber maka didapatkan

persamaan akhir :

LtR

oo

o L e

RV

I RV

t I −

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −+=)(

Kasus secara umum

QPydt dy =+

dimana : y = fungsi V atau iP,Q = konstanta

sehingga :

)( Pt yedt d

= Pt Pt Pyeedt dy + Pt e

= )( Pydt dy

e Pt +

)( Pt yedt d

= Qe Pt

kalikan kedua ruas dengan dt dan integralkan :

∫∫ = dt Qe yed Pt Pt )(

AQe ye Pt Pt += ∫

kalikan kedua ruas dengan Pt e− :Pt e y −= Pt Pt Aedt Qe −+∫

Pt e y −=PQ Pt Pt Aee −+

PQ Ae y Pt += −

dimana : Pt Ae − adalah respon alami

PQ

adalah respon paksa

Langkah-langkah praktis untuk menyelesaikan respon paksa orde 1 :1. Untuk respon natural cari responnya dengan sumber diganti tahanan dalamnya2. Untuk respon paksa cari dengan keadaan steady state3. Cari keadaan awalnya



Rangkaian Listrik


275

Pada saat t = 0 ( switch terbuka) dalam kondisi steady state :

V V C 48644630

30)0( =

++=

Pada saat t > 0 ( switch ditutup), maka :

Ω=+

+= 20306

30.615t R

2048

20)(

48482

)(

2401

20

)(

)(

t t C

t

t

t

t C

RC

t

ot C

eV t i

eeV

eV V

−

−

−

−

==

==

=



Rangkaian Listrik


276

t t

t

eei

ii

22 22048

3630

63030

−− ==

+=

3. Tentukan nilai i pada saat t > 0, jika t = 0 kondisi steady state pada rangkaian tersebut!

Jawaban :

Pada saat t = 0, kondisi mantap :

Ω=+

++=2

2762

6.239t R

Aii

Ai

t L

t

3486

266

)0(

42

2754

==+

=

==

Pada saat t > 0, maka :

Ω=++

= 4263

6.3t R



Rangkaian Listrik


277

Aeet i

eit i

t t

L

t L

R

o L

224

33)(

)(

−−

−

==

=

Rangkaian Transien Orde – 2Rangkaian yang di dalamnya terdapat dua komponen penyimpan energi ( baik Latau C )

Contoh kasus :

Loop 1i :

)1.(..........4122 211

gV iidt di =−+

Loop 2i :

)2...(....................4

1

044

221

221

dt

diii

dt di

ii

+=

=++−

dari persamaan (1) dan (2) :

g

g

g

g

V idt di

dt

id

V idt di

dt

id

V idt di

idt

id dt di

V idt di

idt di

idt d

21610

8521

431221

2

4)41

(12)41

(2

22

22

2

22

22

2

22

222

22

22

22

2

=++

=++

=−+++

=−+++

sehingga secara umum persamaan orde – 2 :)(12

2

t f xadt dx

adt

xd o

=++

dimana respon lengkap : f n x x x +=



Rangkaian Listrik


278

Respon alami ( n x )

Terjadi pada saat 0)( =t f , sehingga jika st n Ae x = :

t st snnn

t sn

t sn

o

o

ost

st o

st st

st no

e Ae A x x x

e A x

e A x

aaas

asas

asas Ae

Aease Aae As

Ae x xadt dx

adt

xd

21

2

1

2121

22

11

211

12

12

12

12

12

2

2

4

0

0)(

0

,0

+=+==

=

−±−=

=++=++

=++

==++

Tipe – tipe respon alami1. Akar – akar real : Overdamped

t st sn e Ae A x 21

21−− +=

2. Akar – akar kompleks : Underdamped β α +=

12s

n x = 1 A t jt j e Ae )(2

)( β α β α −+ +

= 1 A t eα t je β + 2 A t eα t je β −

= t eα ( 1 A t je β + 2 A t je β − )

= t eα ( 1 A cos β t + j 1 A sin β t + 2 A cos β t - 2 A sin β t)

=t

eα

( ( 1 A + 2 A )cos β t + j( 1 A - 2 A )sin β t )= t eα ( 1 B cos β t + 2 B sin β t )

3. Akar real sama : C ritical Damped 1s = 2s = k

n x = ( 1 A + 2 A t ) kt e



Rangkaian Listrik


279

Respon paksa ( f x )

Contoh kasus :

1. 2

2

dt xd

+ 10dt dx

+ 16x = 32

misalkan : f x = A16 A = 32A = 2

sehingga : )( t x = n x + f x = 1 A t e 2− + 2 A t e 8−

2. 2

2

dt xd

+ 10dt dx

+ 16x = 40cos4t

misalkan : f x = Acos4t + Bsin4t

dt dx

= -4Asin4t + 48Bcos4t

2

2

dt

xd = -16Acos4t – 16Bsin4t

-16Acos4t – 16Bsin4t – 40Asin4t + 40Bcos4t + 16Acos4t + 16Bsin4t = 40cos4tcos4t(-16A+40B+16A) + sin4t(-16B-40A+16B) = 40cos4t40Bcos4t – 40Asin4t = 40cos4tsehingga : 40Bcos4t = 40cos4t B=1

-40Asin4t = 0 A=0 f x = Acos4t + Bsin4t = sin4t

sehingga : )(t x = n x + f x = 1 A t e 2− + 2 A t e 8− + sin4t

Tabel Trial Respon Paksa ( f x )

No )(t f f x

1 k A

2 t At + B

3 2t A 2t + Bt +C

4 at e A at e

5 sinbt , cosbt Asinbt + Bcosbt

6 at e sinbt , at e cosbtat e (Asinbt + Bcosbt)

Respon LengkapGabungan antara respon alami dan respon paksa dengan initial kondisi ( kondisi awal )



Rangkaian Listrik


280

Contoh latihan :

Tentukan nilai V pada saat t > 0, jika t = 0 kondisi steady state !

Jawaban :Pada saat t = 0, kondisi steady state :

Ai

V V

L

C

248

)0(

0)0(

==

=

Pada saat t > 0, maka :

dt

t dV C t iana

t V t idt

t di

C L

C L L

)()(:dim

)()(4)(

8

=

++=

)(20)(

4)(

160

)()(

51)(

201

8

)()(

4)(

8

)()(4)(

8

2

2

2

2

2

2

t V dt

t dV

dt

t V d

t V dt

t dV

dt

t V d

t V dt

t dV

dt

t V d

t V t idt

t di

C C C

C C C

C C C

C L L

++=

++=

++=

++=



Rangkaian Listrik


281

Respon alami : st n AeV =

)4sin4cos(

42

42

016)2(

0)204(

0)(20)(

4)(

212

2

1

2

2

2

2

t At AeV

js

js

s

ss Ae

t V dt

t dV

dt

t V d

t n

st

nnn

+=−−=+−=

=++

=++

=++

−

Respon paksa : AV f =

820

160

16020

16020

==

==

A

A

V f

sehingga :

8)4sin4cos()(

)()()(

212 ++=

+=− t At Aet V

t V t V t V t

f n

Pada saat : 808)0( 11 −=→=+= A AV

Pada saat : 2)0( = Li

( ) ( ) ( ) ( ) 242

201

)0(

4cos44sin44sin4cos220

1)(

)(201)(

)(

21

21

2

21

2

=+−=

+−++−=

==

−−

A Ai

t At Aet At Aet i

dt t dV

dt t dV

C t i

L

t t

L

L

( ) ( )

8)4cos84sin6()(

:

64

2440416

8:dim,4042

2

22

121

+−=

==→=+

−==+−

− t t et V

sehingga

A A

Aana A A

t



Rangkaian Listrik


282

Soal – soal :

1. Tentukan nilai i pada saat t > 0, jika t = 0 kondisi steady state !

2. Tentukan nilai V(t) pada saat t > 0, jika t = 0-

kondisi rangkaian dalam keadaansteady state (mantap) !




Rangkaian Listrik


283


5. Tentukan V pada saat t > 0, jika V(0) = 6 dan i(0) = 2 !



Rangkaian Listrik


285

Jika port 2 open circuit (I 2 = 0), sehingga :

01

221

01

111

2

2

=

=

=

=

I

I

I V

Z

I V

Z

Jika port 1 open circuit (I 1 = 0), sehingga :

02

222

02

121

1

1

=

=

=

=

I

I

I V

Z

I V

Z

Impedansi yang dihasilkan sebagai impedansi open circuit atau parameter open circuit atau parameter Z.Z11 = impedansi port primer ketika port sekunder open circuit

Z22 = impedansi port sekunder ketika port primer open circuit Z12 = Z 21 = impedansi transfer dimana perbandingan tegangan disatu port dibandingkan

arus di port lainnya.

Contoh latihan :

1. Tentukan parameter Z !

Jawaban :

Ketika port 2 OC (I 2 = 0), maka :

31

2

311

1

Z I V

Z Z I V

=

+=

Ketika port 1 OC (I 1 = 0), maka :

32

1

322

2

Z I V

Z Z I V

=

+=



Rangkaian Listrik


286


Jawaban :

k Z

k Z k Z

k Z

maka

kI kI kI I k k V

kI kI kI I k k V

13

33

4

:

1333)310(

343)31(

22

21

12

11

21122

21211

===

=

+=++=+=++=


Jawaban :

46

48

4649

:

)46()48(

)46()46(2

)46()49(

)46()463(

22

21

12

11

212

1212

211

211

j Z

j Z

j Z j Z

maka

I j I jV

I j I j I V

I j I jV

I j I jV

+=+=+=+=

+++=++++=

+++=++++=



Rangkaian Listrik


287

Parameter Y

Misalkan :V1 dan V 2 adalah inputI1 dan I 2 adalah outputMaka :

2221212

2121111

V Y V Y I

V Y V Y I +=+=

Jika port 2 short circuit (V 2 = 0), sehingga :

01

221

01

111

2

2

=

=

=

=

V

V

V I

Y

V I

Y

Jika port 1 short circuit (V 1 = 0), sehingga :

02

222

02

121

1

1

=

=

=

=

V

V

V I

Y

V I

Y

Admitansi yang dihasilkan sebagai admitansi short circuit atau parameter short circuit atau parameter Y.

Contoh latihan :

1. Tentukan parameter Y !

Jawaban :



Rangkaian Listrik


288

Ketika port 2 SC (V 2 = 0), maka :

b

ba

Y V

I

Y Y V I

−=

+=

1

2

1

1

Ketika port 1 SC (V 1 = 0), maka :

cb

b

Y Y V I

Y V I

+=

−=

2

2

2

1

2. Tentukan parameter Y !

Jawaban :

18

8

8

14

:

188

814

22

21

12

11

212

211

=−=−=

=

+−=−=

Y

Y

Y

Y

maka

V V I

V V I

3. Tentukan parameter Y dalam domain ω j !

Jawaban :



Rangkaian Listrik


289

41

411

4

4

4101

41

101

2

222

2

121

1

212

1

111

ω

ω ω

ω

ω

ω

ω

ω

j j

j jV

I Y

jV I

Y

jV I

Y

j

jV I

Y

+=+==

−==

−==

+=+==

Parameter Hybrid (h) / Gabungan Parameter Z dan Y

2221212

2121111

V h I h I

V h I hV +=+=

dan

2221212

2121111

I gV gV

I gV g I +=+=

dimana :

02

222

01

221

02

112

01

111

1

2

1

2

=

=

=

=

=

=

=

=

I

V

I

V

V I

h

I I

h

V V

h

I V

h

dan



Rangkaian Listrik


290

02

222

01

221

02

112

01

111

1

2

1

2

=

=

=

=

=

=

=

=

V

I

V

I

I

V g

V

V g

I

I g

V

I g

Parameter Transmisi (Parameter ABCD)

221

221

BI AV I

BI AV V

−=

−=

parameter ini penting untuk engineering transmisi sebab disisi primer (pengirim) terdiridari variable V 1 dan I 1, sedangkan disisi sekunder (penerima) terdiri dari variabel V 2 dan I 2 (negatif I 2 karena arus masuk ke beban penerima).

02

1

02

1

2

2

=

=

−=

=

V

I

I

V B

V

V A

02

1

02

1

2

2

=

=

−=

=

V

I

V

I D

V

I C

A = perbandingan tegangan ketika sekunder open circuit B = transfer impedansi ketika sekunder short circuit C = transfer admitansi ketika sekunder open circuit D = perbandingan arus ketika sekunder short circuit



Rangkaian Listrik


291

Contoh latihan :

Tentukan parameter transmisi !

Jawaban :

Parameter transmisi :

221

221

DI CV I

BI AV V −=−=

Pada saat V 2 open circuit (I2 = 0) :

814

886

:dim

2

21

2

1

121

22

2

121

=+=+

==

+=

=→=

Z Z Z

V V

A

V Z Z

Z V

ana

V V

A AV V

811

:dim

22

1

122

2

121

===

=

=→=

Z V I

C

I Z V

anaV

I C CV I

Pada saat V 2 short circuit (V 2 = 0) :

2

121 I

V B BI V −=→−=



Rangkaian Listrik


292

8188)(

.

.

.

.

:dim

2

32321

2

1

231

32

321

32

32

23

1

32

321

32

32

23

23

=++

=−=

−=

++

+

−=+

+

+=

Z Z Z Z Z Z

I V

B

I Z V

Z Z Z Z

Z

Z Z Z Z

I Z V

V

Z Z

Z Z Z

Z Z Z Z

V

ana

Z

Z

2

121 I I

D DI I −=→−=

818

:dim

2

32

2

1

132

22

=+

=−=

+−=

Z Z Z

I I

D

I Z Z

Z I

ana

sehingga :

8188

814

=

=

B

A

81881

=

=

D

C



Rangkaian Listrik


293

Konversi Parameter Y ke Parameter Z

211

121211121

2221

1211

221

111

2

212

122212122

2221

1211

222

121

1

2

1

2

1

2221

1211

2221212

2121111

I Y

Y I

Y Y

Y I Y I Y

Y Y

Y Y I Y

I Y

V

I Y

Y I

Y Y

Y I Y I Y

Y Y

Y Y Y I

Y I

V

I

I

V

V

Y Y

Y Y

V Y V Y I

V Y V Y I

∆+

∆−=

∆+−==

∆−

∆=

∆−==

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

+=+=

sehingga :

Y Y

Z

Y Y

Z

∆−=

∆=

1212

2211

Y Y

Z

Y Y

Z

∆=

∆−=

1122

2121

Konversi Parameter Z ke Parameter Y

211

121211121

2221

1211

221

111

2

212

122212122

2221

1211

222

121

1

2

1

2

1

2221

1211

2221212

2121111

V Z

Z V

Z Z

Z V Z V Z

Z Z

Z Z V Z V Z

V

V Z

Z V

Z Z

Z V Z V Z

Z Z

Z Z Z V

Z V

I

V

V

I

I

Z Z

Z Z

I Z I Z V

I Z I Z V

∆+

∆−=

∆+−==

∆−

∆=

∆−==

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

+=+=

sehingga :



Rangkaian Listrik


294

Z Z

Y

Z Z

Y

∆−=

∆=

1212

2211

Z Z

Y

Z Z Y

∆=

∆−=

1122

2121

Tabel Konversi

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

2221

1211

Z Z

Z Z

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

∆∆−

∆−

∆

Y Y

Y Y

Y Y

Y Y

1121

1222

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎝

⎛ ∆

C D

C

C T

C A

1

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

∆

2222

21

22

12

22

1hh

hhh

hh

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

∆∆−

∆−

∆

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

1121

1222

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

2221

1211

Y Y

Y Y

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

∆−

B A

B

BT

B D

1

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

∆

−

1111

21

11

12

11

1

hh

hh

hh

h

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛ ∆

21

22

21

2121

11

1 Z Z

Z

Z Z

Z Z

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−∆−

−−

21

11

21

2121

22 1

Y Y

Y Y

Y Y Y

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ DC

B A

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−−

−∆−

2121

22

21

11

21

1hh

hhh

hh

⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

∆

2222

21

22

12

22

1 Z Z

Z Z

Z

Z

Z

⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

∆

−

1111

21

11

12

11

1

Y Y

Y Y Y

Y

Y ⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

∆

DC

D

D

T

D

B

1 ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

2221

1211

hhhh



Rangkaian Listrik


295

Interkoneksi Kutub Empat1. Koneksi paralel

bbbbb

bbbbb

aaaaa

aaaaa

V Y V Y I

V Y V Y I

V Y V Y I

V Y V Y I

2221212

2121111

2221212

2121111

+=+=+=+=

dimana :

ba

ba

ba

ba

I I I

I I I

V V V

V V V

222

111

222

111

+=+=====

maka :

22222121212

222222121121222121222121222

21212111111

212212111111212111212111111

)()(

)()(

V Y Y V Y Y I

V Y V Y V Y V Y V Y V Y V Y V Y I I I

V Y Y V Y Y I

V Y V Y V Y V Y V Y V Y V Y V Y I I I

baba

bbaabbaabbbbaaaaba

baba

bbaabbaabbbbaaaaba

+++=+++=+++=+=

+++=+++=+++=+=



Rangkaian Listrik


296

dengan demikian :

ba

ba

ba

ba

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

222222

212121

121212

111111

+=

+=+=+=

2. Koneksi seri

bbbbb

bbbbb

aaaaa

aaaaa

I Z I Z V

I Z I Z V

I Z I Z V

I Z I Z V

2221212

2121111

2221212

2121111

+=+=+=+=

dimana :

ba

ba

I I I

I I I

222

111

====



Rangkaian Listrik


297

maka :

22222121212

222222121121222121222121222

21212111111

212212111111212111212111111

)()(

)()(

I Z Z I Z Z V

I Z I Z I Z I Z I Z I Z I Z I Z V V V

I Z Z I Z Z V

I Z I Z I Z I Z I Z I Z I Z I Z V V V

baba

bbaabbaabbbbaaaaba

baba

bbaabbaabbbbaaaaba

+++=

+++=+++=+=+++=

+++=+++=+=

dengan demikian :

ba

ba

ba

ba

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

222222

212121

121212

111111

+=+=+=+=

3. Koneksi Kaskade

221

221

2222112211

)()(

)()(

)()(

I D D BC V C D AC I

I D B B AV C B A AV

I DV C B I BV A A I BV A I BV AV V

babababa

bbababbaba

bbbbabbbbababaaaaaa

+−+=+−+=

−+−=+=−==

dimana :

baba

baba

baba

baba

D D BC D

C D AC C D B B A B

C B A A A

+=+=+=+=



Rangkaian Listrik


298

Soal – soal :


2. Tentukan parameter Y dalam ω j !

3. Tentukan parameter Z dalam j !

4. Jika parameter g dituliskan sebagai berikut :I1 = g 11 V1 + g 12I2 V2 = g 21V1 + g 22I2

Tentukan g 11 , g12, g21, dan g 22 dari rangkaian disamping dalam domain ω j !



Rangkaian Listrik


299

5. Tentukan paraameter Z rangkain berikut :

6. Tentukan parameter Z rangkaian berikut :

7. Tentukan parameter Z rangkain berikut :

8. Tentukan parameter Y berikut dalam domain s :



Rangkaian Listrik


301

13. Jika parameter g dituliskan sebagai berikut :

2221212

2121111

igV gV

igV gi+=

+=

Tentukan masing-masing parameter g pada gambar rangkain berikut dalam domains

rangkaian dari listrik.pdf

Documents