resiprok kisi kristal

7/22/2019 Resiprok Kisi Kristal

1/214

FISIK Z T P D T

O l e h

DRS. P A R N O, M.Si

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN FISIKAPebruari 2006


2/214

i

Ralat fisika zat padat 2006

hal ralat

10 Gambar 1.9 CsCl

13 c/a = (2/3) akar 618 Baris ke-8 dalam table: . berikutnya

25 Pers (1.30) fkr,hkl27 KBR seharusnya adalah KBr

35 interaksi seharusnya Interaksi

41 Baris ke-2 dr bw: dobel +

42 03.b. primitip adalah; 06.

48 2.1 dan 2.3

57 Letak Pers 2.34


3/214

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Mahaesa atas segala rahmat-Nyasehingga penulisan buku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan.

Buku ini disusun atas dasar deskripsi matakuliah FIU 437 FISIKA ZAT

PADAT di Jurusan Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang dan dengan maksud

agar perkuliahan matakuliah tersebut dapat berlangsung lebih efektif dan efisien.

Disamping itu, buku ini diharapkan dapat melengkapi pilihan pustaka mahasiswa

dalam memahami konsep dan gejala mendasar dalam zat padat.

Isi buku ini dirancang untuk kuliah satu semester dengan tiga sampai empat

kredit pada semester kedua tahun ketiga. Dengan demikian mahasiswa diharapkan

sudah menempuh matakuliah prasyaratnya, yaitu FISIKA KUANTUM dan FISIKA

STATISTIK.

Dalam setiap bab buku ini disajikan urutan subbab sedemikian rupa sehingga

memahami subbab sebelumnya menjadi bekal yang cukup baik untuk memahami

subbab sesudahnya. Oleh karena itu dalam mempelajari setiap bab buku ini

mahasiswa diharapkan membaca dan memahaminya mulai dari awal sampai akhirsecara berturutan.

Diucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga

buku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan. Saran dan kritik membangun dari

para pembaca sangat diharapkan demi lebih sempurnanya buku ini.

Semoga buku ini berguna. Amin!

Malang, Pebruari 2006

Penyusun,


4/214

ii

DAFTAR ISI

halaman

B A B I STRUKTUR KRISTAL1.1SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL 2

1.1.1 Pengertian Pokok 2

1.1.1.1.Zat padat Kristal 21.1.1.2 Kisi Kristal 3

1.1.1.3 Vektor Basis 4

1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan Non-Primitip 41.1.1.5 Tiga Dimensi 5

1.1.2 Macam Dasar Kisi kristal 6

1.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana 91.1.3.1 Struktur NaCl 9

1.1.3.2 Struktur CsCl 101.1.3.3 Struktur Intan 11

1.1.3.4 Struktur ZnS 12

1.1.3.5 Struktur HCP 121.1.4 Geometri Kristal 13

1.1.4.1 Arah kristal 13

1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller 14

1.1.4.3 Jarak antar Bidang Sejajar 161.1.4.4 Fraksi Kepadatan 18

1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL 181.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal 191.2.1.1 Hukum Bragg 19

1.2.1.2 Teori Hamburan 20

1.2.1.3 Kisi Resiprok 231.2.1.4 Difraksi Sinar-X 24

1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL 28

1.3.1 Gaya Antaratom 281.3.2 Jenis Ikatan Kristal 30

1.3.2.1 Ikatan Ionik 30

1.3.2.2 Ikatan Kovalen 32

1.3.2.3 Ikatan Logam 341.3.2.4 Ikatan Van Der Walls 35

1.3.2.5 Ikatan Hidrogen 37

RINGKASAN 38

LATIHAN SOAL BAB I 41


5/214

iii

B A B II DINAMIKA KISI KRISTAL2.1. GETARAN DALAM ZAT PADAT 47

2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar 472.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat 52

2.1.2.1 Model Einstein tentang CvZat Padat 532.1.2.2 Model Debye tentang CvZat Padat 56

2.2 GETARAN DALAM KISI KRISTAL 58

2.2.1 Getaran dalam Kisi Linier 58

2.2.1.1 Kisi Monoatomik Satu Dimensi 58

2.2.1.2 Kisi Diatomik Satu Dimensi 632.2.1.3 Kisi Tiga Dimensi 66

RINGKASAN 66

LATIHAN SOAL BAB II 68

BAB III ELEKTRON DALAM LOGAM I(MODEL ELEKTRON BEBAS)

3.1 MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK 73

3.1.1 Teori Drude tentang Elektron dalam Logam 73

3.1.2 Model Elektron Bebas Klasik 76

3.2 MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI 78

3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga CV 803.2.2 Paramagnetik Pauli 82

3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam 83

3.3 PERILAKU ELEKTRON DALAM LOGAM 87

3.3.1 Hukum Matthiessen 873.3.2 Efek Hall 88

3.3.3 Resonansi Siklotron 90

3.3.4 Pancaran Termionik 91

3.4 KEBERATAN TERHADAP MODEL ELEKTRON BEBAS

TERKUANTISASI 93

RINGKASAN 94

LATIHAN SOAL BAB III 96

BAB IV LOGAM II (TEORI PITA ENERGI)

4.1 TEORI PITA ENERGI UNTUK ZAT PADAT 99

4.1.1 Teorema Bloch 100

4.1.2 Model Kronig-Penney 101

4.1.3 Pita Energi dan Energi Elektron dalam Atom 105

4.1.4 Refleksi Bragg dan Celah Energi 1084.1.5 Logam, Isolator dan Semikonduktor 110

4.1.6 Metode LCAO 115


6/214

iv

4.2 DINAMIKA ELEKTRON DALAM KRISTAL 119

4.2.1 Kecepatan Kelompok dan Massa Efektif Elektrondalam Kristal 119

4.2.2 Pengaruh Medan Listrik pada Kecepatan Elektron

dalam Kristal 1254.2.3 Konduktivitas listrik 1274.2.4 Dinamika Elektron dalam Medan Magnet 129

4.2.4.1 Efek Hall 129

4.2.4.2 Resonansi Siklotron 130

RINGKASAN 133

LATIHAN SOAL BAB IV 136

BAB V SEMIKONDUKTOR5.1 KLASIFIKASI SEMIKONDUKTOR 140

5.2 SEMIKONDUKTOR INTRINSIK 140

5.3 SEMIKONDUKTOR EKTRINSIK 1445.3.1 Ketidakmurnian Donor dan Akseptor 145

5.3.1.1 Donor 1455.3.1.2 Aseptor 147

5.4 PENGUKURAN CELAH ENERGI

DENGAN METODE OPTIK 149

RINGKASAN 150

LATIHAN SOAL BAB V 152

BAB VI BAHAN DIELEKTRIK

6.1 RUMUSAN DASAR POLARISASI BAHAN 1546.2 KONSTANTA DIELEKTRIK BAHAN

(PANDANGAN MAKROSKOPIS) 156

6.3 POLARISABILITAS BAHAN

(PANDANGAN MIKROSKOPIS) 157

6.3.1 Persamaan Clausius-Mosotti 157

6.3.2 Sumber Polarisabilitas 1616.3.2.1 Polarisabilitas Polar 163

6.3.2.1.1 Polarisabilitas Polar Statik 163

6.3.2.1.2 Polarisabilitas Polar Bolak-balik 164

6.3.2.2 Polarisabilitas Ionik 167

6.3.2.3 Polarisabilitas Elektronik 1706.3.2.3.1 Polarisabilitas Elektronik Statik 170

6.3.2.3.2 Polarisabilitas Elektronik Bolak-balik 171

6.4 GEJALA PIEZOELEKTRIK 172

6.5 GEJALA FERROELEKTRIK 173

RINGKASAN 173

LATIHAN SOAL BAB VI 178


7/214

v

BAB VII BAHAN MAGNETIK

7.1 SUSEPTIBILITAS MAGNETIK BAHAN 183

7.2 GEJALA DIAMAGNETIK LANGEVIN 184

7.3 GEJALA PARAMAGNET 186

7.4 GEJALA MAGNETIK DALAM LOGAM 1907.5 GEJALA FERROMAGNETIK 193

7.5.1 Gejala Ferromagnetik pada Isolator 1937.5.1.1 Teori Medan Molekuler 193

7.5.1.2 Magnetisasi Spontan dan Hukum Curie-Weiss 194

7.5.2 Gejala Ferromagnetik pada Logam 197

7.6 GEJALA ANTIFERROMAGNETIK

DAN FERRIMAGNETIK 198

RINGKASAN 199

LATIHAN SOAL BAB VII 201

DAFTAR RUJUKAN


8/214

B A B I

STRUKTUR KRISTAL

Zat padat, yang terlihat sebagai benda tegar padat, secara mikro terdiri dari

atom. Atom-atom zat padat tidaklah diam, melainkan bervibrasi dengan amplitudo

kecil di sekitar titik kesetimbangannya. Karena posisinya yang relatif tetap, maka

atom-atom tersebut cenderung membentuk struktur tertentu. Hal ini berbeda

dengan cairan atau gas, yang mana atom-atomnya bergerak pada jarak yang lebih

besar sehingga strukturnya tidak tertentu.

Distribusi setimbang atom-atom mendefinisikan struktur padatan, yang

terdiri dari tiga bagian besar, yaitu kristalin, amorf, dan polikristal. Dalam zat

padat kristal, atom tersebut terdistribusi teratur relatif terhadap yang lain.

Terdapat beberapa jenis struktur kristal yang bergantung pada geometri susunan

atom. Pemahaman tentang struktur kristal bahan adalah hal penting dalam fisika

zat padat, karena, umumnya, struktur kristal mempengaruhi sifat zat padat. Zat

padat polikristal dibentuk oleh sejumlah besar kristal-kristal kecil, yang disebut

kristalin. Atom-atom membentuk pola dalam suatu kristal, tetapi orientasinya

akan lenyap pada batas kristalin. Sedangkan dalam zat padat amorf, terjadidistribusi atom secara acak. Bahan-bahan zat padat dapat berbentuk kristalin,

polikristal atau amorf, bergantung pada bagaimana bahan tersebut dipreparasi.

Selanjutnya, dalam diktat ini hanya dibahas zat padat kristal saja.


9/214

I STRUKTUR KRISTAL

Fisika Zat Padat Parno Fisika FMIPA UM

2

Bagian awal bab ini menyajikan pengertian struktur kristal beserta

perluasannya melalui rumusan dasar matematika. Kemudian dibahas jenis struktur

yang mungkin, dan dikenalkan konsep indek Miller. Struktur kristal dapat

ditentukan dengan menggunakan difraksi sinar-X. Bab ini ditutup oleh bahasan

gaya antaratom yang menyebabkan terjadinya ikatan dalam kristal.

1.1 SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL

1.1.1 Pengertian Pokok

1.1.1.1 Zat Padat Kristal

Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya

(selanjutnya disebut atom saja) teratur dan periodik dalam rentang yang panjang

dalam ruang. Kristal sempurnamempunyai keperiodikan tak berhingga. Namun,

kenyataannya, tidak mungkin mempreparasi kristal sempurna karena berbagai

keterbatasan fisis, yaitu (a) adanya permukaan kristal, (b) cacat geometrik, (c)

ketakmurnian, dan (d) pada suhu T>0 K atom dalam kristal bergetar harmonik di

sekitar titik setimbangnya.

Gambar 1.1 berikut menyajikan geometri kristal dua dimensi.

Gambar 1.1 Zat padat kristal. Seluruh atom tersusun periodik.

Kedudukan dalam ruang dua dimensi di atas merupakan kedudukan atomnya.

Setiap titik di dalamnya terletak pada ujung vektor kisibnanR

21 += (1.1)

dengan (n1, n2) adalah pasangan bilangan bulat; dan bdana

adalah vektor basis.

R

a

b


10/214

I STRUKTUR KRISTAL


3

Bahan kristal memiliki simetri translasi, artinya seluruh kristal itu digeser

sejauh vektor R

di atas (yang menghubungkan dua buah atomnya), maka

keadaannya tetap sama. Dengan kata lain kristal bersifat invarian terhadap

translasi semacam itu.

1.1.1.2 Kisi Kristal

Dalam kristalografi (bahasan geometri kristal), setiap atom dalam kristal

dianggap sebagai suatu titik, tepat pada kedudukan setimbang tiap atom itu di

dalam ruang. Pola geometrik yang diperoleh dinamakan kisi kristal.

Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non-Bravais. Dalam kisi

Bravais, seluruh titik kisi adalah ekivalen, artinya kisi bersifat invarian terhadap

operasi simetri translasi. Dengan demikian semua atom dalam kristal haruslahsejenis. Sedangkan dalam kisi non-Bravais terdapat beberapa titik kisi yang tidak

ekivalen.

Gambar 1.2 berikut menyajikan kisi non-Bravais.

Gambar 1.2 Kisi non-Bravais dengan basis A dan A

Tempat kisi A, B dan C adalah ekivalen, begitu juga A, B dan C. Tetapi, dua

tempat kisi A dan A tidak ekivalen karena kisi tidak invarian terhadap translasi

sepanjang AA. Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatu

basis.Basis yang dimaksud adalah kumpulan atom yang ditempatkan di sekitar

titik kisi Bravais. Dalam Gambar 1.2 di atas basisnya adalah A dan A.

Kisi non-Bravais dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih

kisi Bravais yang saling menembus dengan orientasi tertentu.


11/214

I STRUKTUR KRISTAL


4

1.1.1.3 Vektor Basis

Lihat kembali Gambar 1.1. Posisi semua titik kisi dinyatakan oleh

persamaan (1.1), yakni bnanR

21

+= . Perhatikanlah bahwa bdana

, yang

dinamakan vektor basis, (a) bersifat tidak unik, dan (b) haruslah tidak kolinier.

1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan non-Primitip

Luas daerah jajaran genjang (paralelogram) yang sisinya dibatasi oleh

vektor basis disebut sel satuan, seperti luasan daerah bayang-bayang dalam

Gambar 1.3 berikut.

Gambar 1.3 Vektor bdana

membentuk sel satuan

Sel satuan merupakan dasar pola elementer karena berulang secara periodik dan

membentuk struktur kisi suatu kristal. Bila sel satuan tersebut dilakukan translasi

oleh vektor kisi R

di atas, maka seluruh kisi kristal tercakup olehnya. Luas daerah

paralelogram dengan sisi a

dan b

adalah ba

=ab sin , dimana adalah sudut

antara a

dan b

.

Perhatikanlah bahwa sel satuan itu (a) tidak unik, (b) setiap sel satuan

mempunyai luasan yang sama, dan (c) dalam contoh di atas sel satuan

mengandung satu titik kisi.

Yang dibicarakan di atas adalah sel primitip,yakni sel satuan yang hanya

mengandung satu titik kisi perselnya. Sedangkan sel non-primitipmemiliki lebihdari satu titik kisi perselnya. Vektor basis yang membentuk sel satuan primitip

disebut vektor basis primitip; dan sel satuan non-primitip disebut vektor basis

non-primitip. Gambar 1.4 berikut memperjelas perbedaan keduanya.

R

a

b


12/214

I STRUKTUR KRISTAL


5

Gambar 1.4 Sel primitip (3, 4 dan 5) dan

non-primitip (1 dan 2 dengan dua titik kisi persatuan sel)

Perhatikanlah bahwa jika sel satuannya adalah sel primitip, maka titik-titik

kisi hanya ada pada tiap-tiap pojok jajaran genjang, yaitu sebanyak 4 titik kisi.

Setiap titik kisi menjadi milik bersama antara 4 buah sel, sehingga jumlah total

titik kisi dalam sel satuan primitip sebanyak 4x=1. Hal demikian tidak terjadi

pada sel satuan nonprimitip.

Beberapa hal penting yang berkaitan dengan sel satuan adalah (a) sel non-

primitip menunjukkan simetri lebih besar, (b) luas sel non-primitip merupakan

kelipatan bulat dari luas sel primitip, dan (c) sel primitip dan non-primitip berkait

dengan pemilihan vektor basis dalam kisi Bravais.

1.1.1.5 Tiga Dimensi

Bahasan kristal dalam tiga dimensi sama dengan dalam dua dimensi,

hanya keadaannya ditambah dengan satu dimensi lagi. Disamping itu, hal yang

perlu diperhatikan adalah

(a) ungkapan vektor basis menjadi

cnbnanR

321 ++= (1.2)

dengan vektor basis ),,( cba

yang tidak koplanar,

(b) vektor basis membentuk sel satuan volume berbentuk paralelepipidum,

5

43

2

1


13/214

I STRUKTUR KRISTAL


6

(c) antarvektor basis satu sama lain membentuk sudut , dan seperti terlihat

pada Gambar 1.5 berikut.

(d) volume paralelepipidum dengan sisi

a

, b

dan c

adalah luas bagian

dasar berbentuk paralelogram ba

yang dikalikan dengan komponen c

sepanjang sumbu yang tegak lurus

terhadap bagian dasar tersebut, yaitu

bacV

= .

Gambar 1.5 Kisi tiga dimensi dengan

vektor basis ),,( cba

dan sudut , , antaranya

Perhatikanlah bahwa sel satuan pada Gambar 1.5 adalah sel satuan

primitip, yaitu titik-titik kisi berjumlah 8 hanya ada pada tiap pojok

paralelepipidum. Setiap titik kisi menjadi milik bersama sebanyak 8 sel satuan,

sehingga jumlah total titik kisi dalam sel satuan primitip tersebut sebanyak

8x 81 =1. Hal demikian tidak terjadi pada sel satuan nonprimitip.

1.1.2 Macam Dasar Kisi Kristal

Kondisi simetri translasi dalam kristal mempunyai konsekwensi terhadap

terbatasnya kemungkinan jenis kisi Bravais yang dapat terjadi, baik dalam kisi

kristal dua maupun tiga dimensi.

Dalam dua dimensi, kisi kristal yang mungkin sebanyak lima jenis, seperti

terlihat dalam Tabel 1.1 dan Gambar 1.6 berikut.

Tabel 1.1 Macam kisi dua dimensi

No Kisi Sel Satuan Sisi dan Sudut

1 Genjang Jajaran genjang a b 900

2 Persegi Bujur sangkar a = b = 9003 Heksagonal Belah ketupat a = b = 1200

4 Empat persegi panjang P Empat persegi panjang a b = 9005 Empat persegi panjang I Empat persegi panjang a b = 900


14/214

I STRUKTUR KRISTAL


7

Gambar 1.6 Lima jenis dasar kisi Bravais dua dimensi

Tampak bahwa hanya kisi empat persegi panjang I yang memiliki sel satuan

nonprimitip

Untuk kasus tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi Bravais yang

terlingkupi dalam 7 buah sistem kristal. Hal ini sebagai konsekuensi dari simetri

rotasi sebuah kristal, yakni rotasi-1, 2, 3, 4, dan 6, seperti disajikan dalam Tabel

1.2 dan Gambar 1.7 berikut.Tabel 1.2 Macam kisi tiga dimensi

NoSistemKristal

Kisi Bravais Geometri Kristal Simetri Khas

1 Triklinik P a b c Tidak ada2 Monoklinik P , C a b c = = 900900 Sebuah sumbu rotasi-2

3 Ortorombik P , C, I, F a b c = = = 900Tiga sumbu rotasi-2ortogonal

4 Tetragonal P , I a = b c = = = 900 Sebuah sumbu rotasi-4

5 Trigonal Ra = b = c = = < 1200

tetapi bukan 900Sebuah sumbu rotasi-3

6 Heksagonal P a = b c = = 900

= 1200

Sebuah sumbu rotasi-3

7 Kubik P , I , F a = b = c = = = 900Empat sumbu rotasi-3sepanjang diagonalkubus

Kisi Bravais P, C, I, F, dan R, masing-masing mengandung jumlah titik kisi persel

satuannya adalah 1, 2, 2, 4, dan 1.

a

aa

a

b

a

b

a

b

a


15/214

I STRUKTUR KRISTAL


8

Gambar 1.7 Empat belas kisi Bravais berdimensi tiga

dan distribusinya dalam 7 sistem kristal

P = primitip C = base centered

I = body Centered F = face centered

R = rombohedral primitip


16/214

I STRUKTUR KRISTAL


9

1.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana

1.1.3.1 Struktur Sodium Khlorida (NaCl)

Na Cl mempunyai struktur FCCdengan basis satu atom Na dan satu atomCl yang terpisah sepanjang setengah diagonal ruang kubus. Sepanjang ketiga arah

sumbu utama kubiknya terdapat alternasi atom Na dan Cl, seperti ditunjukkan

oleh Gambar 1.8 berikut.

Gambar 1.8 Struktur NaCl tiga dimensi

Setiap sel satuan memiliki 4 perangkat NaCl yang atomya berkedudukan di

Cl : 0 0 0 0 0 0 Na: 0 0 0 0 0 0

Jika sisi kubik adalah a, maka kedua atom dalam basis terpisah sejauh 3a, dan

setiap atom memiliki 6 atom tetangga terdekat yang berbeda jenis dengan jarak

pisah masing-masing a. Nilai konstanta a untuk NaCl berharga 5,63 .

NaCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri dari

dua subkisi FCC, masing-masing untuk Na dan Cl, yang saling menembus. Kedua

subkisi tersebut terpisah sejauh a satu sama lain.


17/214

I STRUKTUR KRISTAL


10

Beberapa kristal yang memiliki struktur NaCl adalah LiH, MgO, MnO,

AgBr, PbS, KCl, dan KBr dengan konstanta kisi masing-masing 4,08; 4,20; 4,43;

5,77; 5,92; 6,29; dan 6,59 .

1.1.3.2 Struktur Sesium Khlorida (CsCl)

CsCl memiliki struktur SC dengan basis satu atom Cs dan satu atom Cl.

Alternasi atom Cs dan Cl terdapat sepanjang diagonal ruang kubik, seperti terlihat

pada Gambar 1.9 berikut.

Gambar 1.9 Struktur CsCl

Setiap sel satuan mengandung satu molekul CsCl, dengan posisi atom

Cs : 0 0 0 Cl :

CsCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravaisyang terdiri dari

dua subkisi SC (kubik sederhana), yang masing-masing dibentuk oleh atom-atom

Cs dan Cl, yang keduanya terpisah sejauh 3a (setengah diagonal ruang).

Jumlah titik terdekat setiap atom adalah 8 atom yang berbeda jenis. CsCl memiliki

konstanta kisi 4,11 .

Beberapa kristal yang memiliki struktur CsCl adalah BeCu, AlNi, CuZn,

CuPd, AgMg, LiHg, NH4Cl, TlBr, dan TlI dengan konstanta kisi masing-masing

2,70; 2,88; 2,94; 2,99; 3,28; 3,29; 3,87; 3,97; dan 4,20 .


18/214

I STRUKTUR KRISTAL


11

1.1.3.3 Struktur Intan

Struktur intan dapat dilihat sebagai struktur yang sel satuannya adalah sel

FCC dengan suatu basis, yakni dua atom C yang posisinya

0 0 0 dan

seperti terlihat pada Gambar 1.10 dan 1.11 berikut.

Gambar 1.10 Struktur kristal intan dengan ikatan tetrahedralnya

Gambar 1.11 Proyeksi posisi atom dalam struktur intan sel kubik

pada salah satu sisi kubik. Bilangan pecahan menunjukkan

ketinggian di atas bidang dasar


19/214

I STRUKTUR KRISTAL


12

Dalam setiap sel satuan terdapat 8 atom C dan bilangan koordinasinya adalah 4.

Keempat atom terdekat membentuk suatu tetrahedral, dengan pusat atom yang

bersangkutan. Konfigurasi semacam itu sering dijumpai pada semikonduktor, dan

dinamakan ikatan tetrahedral. Struktur intan merupakan contoh ikatan kovalen

dalam unsur-unsur kolom IV tabel periodik.

Struktur intan dapat pula dipandang sebagai gabungan dari dua subkisi

FCCyang saling menembus dengan titik asal, masing-masing 000 dan .

Beberapa kristal yang memiliki struktur intan adalah Ge, Si, C, timah putih

dengan konstanta kisi masing-masing 5,65; 5,43; 3,56; dan 6,46 .

1.1.3.4 Struktur Seng Sulfida (ZnS)

Struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiri

dari dua atom berbeda, yakni Zn dan S. Setiap sel satuan memiliki 4 molekul ZnS

dengan posisi atom

Zn : 0 0 0 0 0 0S:

Setiap atom memiliki jarak yang sama terhadap keempat atom yang berbeda

terdekatnya yang menempati pojok-pojok tetrahedron regular. ZnS memiliki

konstanta kisi 5,41 .

Beberapa kristal yang memiliki struktur ZnS adalah CuF, SiC, CuCl, AlP,GaP, ZnSe, GaAs, AlAs, CdS, InSb, dan AgI dengan konstanta kisi masing-

masing 4,26; 4,35; 5,41; 5,45; 5,45; 5,65; 5,65; 5,66; 5,82; 6,46; dan 6,47 .

1.1.3.5 Struktur HCP (hexagonal close-packed structure)

Banyak cara untuk menyusun bola identik dengan jumlah tak berhingga

secara tertentu sehingga menghasilkan susunan teratur yang memiliki fraksi

kepadatan maksimum atau ruang kosong antarbola minimum. Gambar 1.12

berikut melukiskan susunan satu lapis bola identik dengan pusat titik A, yang

mana tiap bola bersinggungan dengan enam bola tetangga terdekatnya. Lapisan

kedua yang identik ditempatkan paralel di atasnya (lapisan pertama) dengan pusat

titik B. Penempatan lapisan ketiga memiliki dua kemungkinan, yakni


20/214

I STRUKTUR KRISTAL


13

Gambar 1.12 Lapisan bola terkemas rapat dengan pusat titik A

(a) dengan pusat titik A, sehingga terdapat urutan lapisan ABABAB, dan

menghasilkan struktur HCP, dan

(b) dengan pusat titik C, sehingga terdapat urutan ABCABC, dan menghasilkan

struktur FCC.

Lapisan pertama A merupakan bidang dasar untuk struktur HCP atau

bidang (111) untuk struktur FCC. Struktur HCP memiliki sel primitip kisi

heksagonal, tetapi dengan basis dua atom. Sedangkan sel primitip FCC berbasis

satu atom.

Baik HCP maupun FCC mempunyai perbandingan c/a= 63

2 =1,633 dan

jumlah tetangga terdekat 12 buah atom, serta energi ikatan yang hanya bergantung

pada jumlah ikatan tetangga terdekat peratom.

Beberapa kristal yang memiliki struktur HCP adalah He, Be, Mg, Ti, Zn,

Cd, Co, Y, Zr, Gd, dan Lu dengan nilai c/a masing-masing adalah 1,633; 1,581;

1,623; 1,586; 1,861; 1,886; 1,622; 1,570; 1,594; 1,592; dan 1,586.

1.1.4 Geometri Kristal

1.1.4.1 Arah KristalTelah dikemukakan bahwa arah tertentu dalam kisi dinyatakan oleh vektor

kisi (1.2), yaitu cnbnanR

321 ++= . Arah vektor R

dinyatakan dengan [n1n2

n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Semua arah yang


21/214

I STRUKTUR KRISTAL


14

sejajar memiliki indek yang sama. Perhatikanlah beberapa arah dalam kristal

ortorombik seperti Gambar 1.13 berikut.

Gambar 1.13 Indek arah satuan sel ortorombik

OA: [110] OB: [111] OC: [112] OD: [001]

Apabila sel satuan yang ditinjau mempunyai simetri rotasi, maka

seringkali ada arah nonparalel yang karena kesimetriannya merupakan arah yang

ekivalen. Arah [n1n2n3] yang ekivalen menggunakan notasi . Misalnya,

pada suatu kubik sumbu X, Y dan Z masing-masing memiliki arah [100], [010]

dan [001] yang ekivalen, dinotasikan dengan . Secara sepenuhnya

mencakup arah [100], [010], [001], [1 00], [0 1 0] dan [00 1 ] dimana makna dari

1 adalah 1; dan menunjukkan semua diagonal ruang suatu kubik.

Satu arah dengan indeks Miller besar, misalnya [157], memiliki jumlah

atom persatuan panjang yang lebih sedikit daripada indeks yang kecil, misalnya

[111].

1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller

Representasi suatu bidang datar dalam suatu kisi kristal diungkapkan oleh

indek Miller (hkl). Perhatikanlah Gambar 1.14 berikut.

a

DC

c

b

B

A

O


22/214

I STRUKTUR KRISTAL


15

Gambar 1.14 Bidang (233)

Bidang memotong sepanjang sumbu vektor basis cdanba

, masing-masing pada

x, y dan z. Didapatkan perangkat tiga bilangan

c

z

b

y

a

x. Lalu, diambil

kebalikannya, yaitu

z

c

y

b

x

a. Indek Miller didapatkan dengan menyatakan

perangkat tiga bilangan terakhir sebagai perbandingan bilangan bulat terkecil, dan

dinyatakan dengan notasi

( )

=

z

cm

y

bm

x

amlkh (1.3)

dengan m adalah bilangan bulat untuk mereduksi indek menjadi bilangan bulat

terkecil. Dengan demikian, kumpulan bidang paralel mempunyai representasi

indek Miller yang sama. Pada Gambar 1.14 di atas x=3a, y=2b dan z=2c, sehingga

jika dianggap a=b=c=1, maka bidang yang dimaksud memiliki indek Miller

(hkl)=(233). Pada kasus lain, misalnya x=2a, y=(3/2)b, dan z=c memiliki indeks

Miller (hkl)=(346).

Dalam satuan sel yang memiliki simetri rotasi, beberapa bidang nonparalel

(hkl) adalah ekivalen karena kesimetriannya, dan dinotasikan dengan {hkl}.

Misalnya dalam sistem kubik indek {100} menunjukkan enam bidang, yaitu

(100), (010), (001), ( 1 00), (01 0) dan (00 1 ).


23/214

I STRUKTUR KRISTAL


16

Berikut adalah beberapa contoh bidang (hkl) dalam sistem kubik.

Gambar 1.15 Bidang (100), (110), (111), (200) dan (1 00)dalam sistem kubik

Dalam koordinat Kartesis bidang (hkl) = (mnox mnoy mnoz) memberikan

vektor arah yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, yakni

knjninnozoyoxo

++=

.

1.1.4.3 Jarak Antarbidang Sejajar Miller

Bahasan ini dibatasi pada sistem dengan sumbu ortogonal, dengan abc.

Perhatikanlah Gambar 1.16 berikut.


24/214

I STRUKTUR KRISTAL


17

Gambar 1.16 Cara mendapatkan jarak antarbidang Miller

Jarak dari titik O ke titik potong P dinayatakan dengan dhkl. Jika x, y dan z

merupakan titik potong bidang (hkl) dengan sumbu a, b dan c maka dhkl=x cos

=y cos =z cos . Secara geometri, pada gambar di atas didapatkan hubungan

cos2+ cos2+ cos2=1 sehingga didapatkan

2/1

222

111

1

++

=

zyx

dhkl (1.4)

Harga x, y dan z berkaitan dengan bilangan h, k dan l melalui ungkapan

z

cml

y

bmk

x

amh === ;; (1.5)

sehingga jarak antarbidang (1.4) menjadi

2/1

2

2

2

2

2

2

++

=

c

l

b

k

a

h

mdhkl (1.6)

Misalnya, pada sistem kubik dengan sisi a didapatkan d111

=(1/3)

3a; d110

=

2a

dan d020=a. Pada umumnya bidang yang indek Millernya rendah memiliki jarak

antarbidang lebih besar, tetapi memiliki kerapatan atom persatuan luas yang lebih

besar.

Y

Garis normalz

Z

y

x

X


25/214

I STRUKTUR KRISTAL


18

1.1.4.4 Fraksi Kepadatan

Fraksi kepadatan,didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volume

yang ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkan

dalam bentuk rumusan

( )V

rNF

33/4 = (1.7)

dengan N= jumlah atom dalam sel satuan

r = jari-jari bola atom

V = volume sel satuan

Jarak kesetimbangan antara pusat dua atom berdekatan dapat dipandang sebagai

jumlah jari-jari kedua atom tersebut.

Tabel 1.3 berikut menunjukkan hubungan antara struktur kristal dengan

ukuran geometrik sel satuan.

Tabel 1.3 Ukuran geometrik dan struktur kristal

No Parameter SC BCC FCC Intan HCP1 Jari-jari atom a/2 a3/4 a2/4 a3/8 a/22 Atom persel satuan 1 2 4 8 63 Volume sel satuan a3 a3 a3 a3 3a32

4 Fraksi kepadatan/6

(=0,524)3/8

(=0,68)2/6

(=0,74)3/16(=0,34)

2/6(=0,74)

5 Jumlah tetanggaterdekat

6 8 12 4 12

6Jarak terhadaptetangga terdekat

a ()a3 ()a2 ()a3 a

7Jumlah tetanggaterdekat berikutnya

12 6 6 12 6

8Jarak terhadaptetangga terdekat

berikutnyaa2 a a ()a13 a3

Tampak bahwa intan memiliki struktur yang relatif kosong (hanya terisi 0,34) dan

FCC atau HCP relatif padat (terisi 0,74).

1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL

Struktur kristal dapat dipelajari melalui difraksi foton, netron dan elektron.

Panjang gelombang optik, misalnya 5000 , menghasilkan gelombang terhambur


26/214

I STRUKTUR KRISTAL


19

elastis dengan atom-atom kristal sehingga terjadi refraksi optik biasa. Tetapi, jika

panjang gelombang radiasi sebanding atau lebih kecil daripada konstanta kisi

(orde angstrom), maka didapatkan berkas difraksi yang arahnya sangat berbeda

dengan arah berkas datang.

1.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal

1.2.1.1 Hukum Bragg

W.L. Bragg menjelaskan gejala berkas difraksi kristal dengan model

sederhana. Jika sinar-X mengenai permukaan suatu kristal, maka terjadi refleksi.

Model disajikan pada Gambar 1.17, yakni kristal direpresentasikan oleh kumpulan

bidang paralel yang bersesuaian dengan bidang atom. Bidang tersebut berperan

sebagai cermin. Setiap bidang hanya merefleksikan 10-3sampai 10-5radiasi yang

datang sehingga diperlukan 103 sampai 105 bidang untuk menghasilkan berkas

refleksi Bragg yang sempurna. Hamburan ini dianggap elastik, yakni energi sinar-

X tidak mengalami perubahan sebelum dan sesudah refleksi.

(a) (b)Gambar 1.17 (a) Refleksi sinar-X dari suatu kristal. Sinar hampir paralel karena

posisi detektor jauh dari kristal.

(b) Intensitas refleksi kristal KBr. Pada gambar ditunjukkanbidang-bidang refleksi yang menghasilkan difraksi

Beda lintasan untuk kedua sinar refleksi adalah =AB + BC AC = 2 AB AC

karena AB=BC. Mengingat jarak antarbidang d, maka

AB = d/sin dan AC = AC cos = (2d/tg ) cos


27/214

I STRUKTUR KRISTAL


20

dimana adalah sudut pantul antara berkas datang dan bidang refleksi, sehingga

= 2 d sin . Interferensi maksimum (konstruktif) terjadi hanya jika

= n (1.8)

dimana n = 1, 2, 3, . (ordo refleksi) dan = panjang gelombang sinar-X,

sehingga diperoleh hukum Bragg untuk refleksi oleh bidang kristal (hkl)

n = 2 dhklsin (1.9)

Harga ditentukan secara bebas dan sin diukur secara langsung dari refleksi

eksperimen, sehingga jarak antarbidang dhkl dapat dihitung. Hal lain adalah

difraksi hanya mungkin terjadi jika


28/214

I STRUKTUR KRISTAL


21

( ) ( )tkDie

eD

AftD =,' (1.11)

dengan feadalah panjang hamburan elektron. Terlihat bahwa penurunan

amplitudo gelombang terhambur sebanding dengan 1/D.

Hamburan oleh sistem dua elektron, yang masing-masing berkedudukan di

P1dan P2disajikan pada Gambar 1.19 berikut.

Gambar 1.19 Hamburan oleh dua elektron. r

adalah vektor posisi elektron-1 terhadap

elektron-2

Gambar 1.20 Vektor hamburan s

.

Sudut 2adalah sudut hamburan

Didefinisikan vektor hamburan s

, seperti pada Gambar 1.20, yaitu

okks

= (1.12)

Karena hamburan bersifat elastik kkko ==

, maka terlihat dari Gambar 1.20

bahwa

sin2kss ==

(1.13)

Beda panjang lintasan sinar terhambur =P1M- P1N. Jika SdanSo

, masing-

masing merupakan vektor satuan dalam arah kdanko

, maka ( )srk

=

1. Beda

fasa antara gelombang terhambur dalam radial

srk

==

=

2 (1.14)

Superposisi dari dua gelombang terhambur dalam fungsi ruang

( )( ) ( )rsiikDeDikikDeT eeD

Afee

D

Af

+ +=+= 1 (1.15)

k s

ko

2


29/214

I STRUKTUR KRISTAL


22

Secara umum, bila vektor posisi 1r

untuk elektron-1 dan 2r

untuk elektron-2

relatif terhadap pusat tertentu, maka

( )21 rsirsiikD

eT eeeD

A

f

+= (1.16)

Bila yang ditinjau atom dengan l buah elektron, masing-masing dengan

vektor posisi lr

, dengan l = 1, 2, 3, , n, maka bentuk umum gelombang untuk

(1.16) dalam arah terhambur s

tertentu

ikD

T eD

Af= (1.17)

dengan

lrsin

l

e eff

== 1 (1.18)disebutpanjang hamburan total.

Intensitas parsial gelombang terhambur I sebanding dengan kuadrat

besarnya medan. Oleh karena itu

2

1

22 lrsin

l

e effI

== (1.19)

Jika atom dalam kristal, misalnya, terletak pada posisi lR

, makafaktor

hamburan kristal fkr

=

=N

l

Rsi

alkrleff

1

(1.20)

Ungkapan faktor hamburan kristal (1.20) di atas mengambil bentuk analogi dari

atom. Posisi atom dapat ditinjau dalam sel satuannya, yaitu jc

llRR += '

, dimana

c

lR '

adalah posisi sel satuan ke-l, dan jadalah posisi atom dalam sel satuan,

sehingga faktor hamburan kristal (1.20) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

faktorisasifkr= F S (1.21)

dengan ==j l

Rsisi

aj

clj eSdanefF

'

'

(1.22)


30/214

I STRUKTUR KRISTAL


23

F dan S, masing-masing mengungkapkanfaktor struktur geometri dankisi.Faktor

struktur kisi hanya bergantung pada sistem kristal. Sedangkan faktor struktur

geometri bergantung pada bentuk geometri dan isi sel satuan.

1.2.1.3 Kisi Resiprok

Setiap struktur kristal memiliki 2 kisi, yaitu kisi kristal dan resiprok. Saat

kristal dikenai sinar-X, akan dihasilkan pola difraksi yang merupakan peta kisi

resiprok kristal tersebut. Kedua kisi ini memiliki relasi sebagai berikut.

Andaikanlah vektor basis dalam kisi nyataadalah cdanba

, , maka dapat

didefinisikan vektor basis dalam kisi resiprok,yakni

bxac

bxac

axcb

axcb

cxba

cxba

===

222 (1.23)

Hal ini berarti vektor basis resiprok

a. memiliki satuan m-1, yang sama dengan angka gelombang,

b. bahwa a

tegak lurus terhadap bidang ( )cb , , dan demikian pula permutasi

siklisnya, dan

c. bahwa bxacaxcbcxba

== merepresentasikan volume sel satuan dengan

rusuk vektor cdanba

, .

Vektor basis resiprok mendefinisikan vektor kisi resiprok

++= cnbnanGn

321 (1.24)

dengan n1, n2dan n3adalah bilangan bulat.

Kisi resiprok memiliki hubungan dengan kisi nyata sebagai berikut.

a. 2=== ccbbaa

b.( ) === cxbaVdancxbaVdengan

VV oo

o

o

,

23

c. Setiap vektor dari kisi resiprok ++= clbkahGhkl

tegak lurus terhadap

bidang kisi (hkl) dalam ruang nyata.

d. Kisi nyata merupakan resiprok dari kisi resiprok.

e. Jarak antarbidang dhkldan hklG

direlasikan oleh


31/214

I STRUKTUR KRISTAL


24

2=hklhkl Gd

(1.25)

Perhatikanlah perbandingan kisi nyata dan resiproknya pada Gambar 1. 21

berikut.

Gambar 1.21 Perbandingan kisi nyata dan resiproknya

Dari Gambar 1.21 di atas jelaslah bahwa

a. a

tegak lurus terhadap b

; dan b

tegak lurus terhadap a

010100

222

db

daa

===

b. setiap titik (hkl) dalam ruang resiprok terkait dengan perangkat bidang (hkl)dalam ruang nyata, dan

c. simetri kelompok titik dalam ruang resiprok sama dengan simetri ruang nyata.

Dapat pula dibuktikan bahwa terdapat hubungan sebagai berikut.

a. Kisi resiprok kisi SC adalah kisi SC juga.

b. Kisi resiprok kisi BCC adalah kisi FCC; dan sebaliknya.

1.2.1.4 Difraksi Sinar-X

Kisi resiprok berguna dalam menentukan besarnya faktor struktur.

Ternyata

n

cl

GA

N

l

RAiNe

,1

' ==

(1.26)

120

010

100O

*b

*a

110G

O

b

a

d010

d100


32/214

I STRUKTUR KRISTAL


25

Dalam hal ini A

adalah vektor sebarang dan penjumlahan dilakukan sepanjang

vektor kisi nyata yang mengandung N buah total sel dan vektor kedudukan cl

R '

.

Dengan demikian faktor struktur kisi S (1.22) berharga nol untuk setiap nilaivektor hamburan s

, kecuali

hklGs

= (1.27)

Hal ini berarti s

harus tegak lurus terhadap bidang (hkl). Dengan menginat

bahwa k=2/, maka substitusi persamaan (1.13) dan (1.25) ke dalam persamaan

(1.27), dalam teori hamburan ini, menghasilkan bentuk hukum Bragg

2 dhklsin = (1.28)

Dapatlah dikatakan bahwa gambaran Bragg tentang difraksi yang terjadi karena

pemantulan oleh bidang kristal, secara konseptual lebih sederhana daripada

melihatnya sebagai interferensi konstruktif berkas terhambur oleh atom kristal

dari teori hamburan. Gambar 1.22 berikut menjelaskan syarat terpenuhinya hukum

Bragg menurut teori hamburan.

Gambar 1.22 Vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok

Saat kondisi Bragg (127) terpenuhi, maka faktor struktur kisi S0, tetapi

bernilai S=N, seperti tampak pada (1.26), sehingga

Shkl = N (1.29)

Substitusi (1.29) ke dalam (1.21) menghasilkan faktor hamburan kristal fkr

menjadi

fkr,hkl= N Fhkl (1.30)

dan intensitas I menjadi


33/214

I STRUKTUR KRISTAL


26

22

, hklhklkrhkl FfI (1.31)

Setiap berkas terdifraksi bersesuaian dengan suatu perangkat bidang (hkl).

Tetapi untuk suatu perangkat bidang (hkl) tertentu kadang intensitas berkasterdifraksi menjadi nol. Hal ini terjadi karena faktor struktur geometri Fhkl=0,

meskipun bidang (hkl) yang bersesuaian memenuhi kondisi Bragg.

Misalnya, semua atom identik, kedudukan atom ke-j dalam sel satuan

cwbvaujjjj

++=

dan kondisi Bragg terpenuhi

++== clbkahGshkl

maka

( ) ++=j

lwkvhui

ahkl

jjjefF 2

(1.32)

Contoh menghitung faktor struktur geometri Fhkl.

a. Sel satuan primitip (P). Atomnya terletak di 000 sehingga (1.32) menjadi

Fhkl= fa

b. Sel satuan base centered C. Atomnya terletak di 000 dan 0 sehingga

(1.32) menjadi

Fhkl= fa(1 + ei(h + k))

Dengan demikian Fhkl0 hanya jika h+k=2n dengan n=0, 1, 2,

c. Sel satuan body centered I. Atomnya terletak di 000 dan sehingga

(1.32) menjadi

Fhkl= fa(1 + ei(h + k+ l))

Dengan demikian Fhkl0 hanya jika h+k+l=2n dengan n=0, 1, 2,

d. Sel satuan face centered F. Atomnya terletak di 000, 0, 0 dan 0

sehingga (1.32) menjadi

Fhkl= fa(1 + ei(h + k)

+ ei(h + l)

+ ei(k + l)

)Dengan demikian Fhkl0 hanya jika h+k=2n dan k+l=2n dengan n=0, 1, 2,

Dengan kata lain Fhkl0 hanya jika semua indek genap atau semua indek

ganjil.


34/214

I STRUKTUR KRISTAL


27

Berikut ini diberikan contoh kurva intensitas refleksi sinar-X dan sudut

hamburan (I vs 2) hasil eksperimen difraksi sinar-X dari bubukan KCl dan KBr.

Gambar 1.23 Perbandingan refleksi sinar-X antara bubukan KCl dan KBr

KCl dan KBr, keduanya, memiliki struktur FCC. Dalam KCl, jumlah elektron

pada K+dan Cl-sama banyak sehingga faktor hamburan atom fakeduanya hampir

sama sehingga ia terlihat oleh sinar-X sebagai kristal SC monoatomik dengan

konstanta kisi a/2. Adanya refleksi indek-indek yang genap bulat menunjukkan

bahwa kristal tersebut adalah SC dengan konstanta kisi a. Sedangkan dalam KBr,


35/214

I STRUKTUR KRISTAL


28

faktor hamburan atomnya berbeda sehingga ia tetap terlihat sebagai struktur FCC

oleh difraksi sinar-X.

Kondisi Bragg (1.27) masih dapat ditulis dalam bentuk lain. Substitusi

(1.12) ke dalam (1.27) menghasilkan

Gkk o

= (1.33)

Mengalikan kedua ruas (1.33) dengan menghasilkan

Gkko

=

Persamaan ini dapat dipandang sebagai kekekalan momentum, dan difraksinya

sebagai proses tumbukan antara foton sinar-X dan kristal. Momentum sebelum

tumbukan hanya momentum linier foton yang datang oo kp

= , dan setelah

tumbukan adalah momentum linier foton terhambur kp = dan momentum linier

kristal G

. Dengan demikian perubahan momentum linier foton

Gppp o

==

Energi kinetik seluruh kristal Ek=(Ghkl)2/2M, dengan M adalah massa seluruh

kristal. Karena M sangat besar relatif terhadap massa atom, maka Eksangat kecil

dan diabaikan. Dengan demikian dalam proses hamburan foton sinar-X tidak ada

energi yang hilang

kkkckcEEooo

===

Jelaslah bahwa proses hamburan tersebut di atas bersifat elastik.

1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL

1.3.1 Gaya Antaratom

Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gaya

inti tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gaya

antaratom.Dalam kristal, gaya antaratom bersifat listrik.Energi kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Hal ini

menyebabkan kristal lebih stabil daripada atom-atom bebas penyusunnya.

Misalnya, kristal NaCl lebih stabil daripada kumpulan atom-atom Na dan Cl

bebas. Perbedaan energi ini, disebut energi ikat (energi kohesi), besarnya sama


36/214

I STRUKTUR KRISTAL


29

dengan energi yang diperlukan untuk memecah kristal tersebut menjadi atom

bebas bagiannya. Energi kohesi berkisar antara 0,02 eV peratom untuk ikatan

terlemah (ikatan Van der Walls) dan 10 eV peratom untuk ikatan terkuat (ikatan

kovalen). Ikatan logam terletak di antara dua harga ekstrim tersebut.

Molekul adalah sekelompok atom bermuatan listrik netral, terikat kuat

bersama dan berperilaku sebagai partikel tunggal. Suatu jenis molekul tertentu

memiliki komposisi dan struktur tertentu pula. Energi potensial yang

merepresentasikan interaksi antara dua atom dalam suatu molekul sebagai fungsi

jarak diperlihatkan pada Gambar 1.24 berikut.

Gambar 1.24 Energi potensial sebagai fungsi jarak dari ikatan dua atom

Posisi setimbang ditandai oleh energi terendah Vo, yang terjadi pada jarak Ro

yang berordo beberapa angstrom. Pada R>Ro, potensial naik secara bertahap

sehingga mencapai nol pada R (dua atom bebas). Sedangkan pada R0

untuk R


37/214

I STRUKTUR KRISTAL


30

1.3.2 Jenis Ikatan Kristal

1.3.2.1 Ikatan Ionik

Ikatan ini terjadi antara ion positip dan negatip sehingga sering disebutikatan heteropolar. Setelah terjadi perpindahan elektron, konfigurasi elektron ion

menyerupai gas mulia. Oleh karena itu sebaran muatan elektronnya mempunyai

simetri bola. Contohnya adalah ikatan yang terjadi pada alkalihalida.

Biasanya, ikatan ionik tidak menghasilkan pembentukan molekul yang

berpasangan, tetapi merupakan kumpulan ion positip dan negatip yang tersusun

dalam struktur tertentu. Misalnya, struktur FCC NaCl, dalam setiap bentuk dan

ukuran apapun selalu berisikan jumlah ion Na+dan ion Cl-yang sama banyak.

Apabila Uijadalah energi interaksi antara ion ke-i dan ke-j, maka energi

total ion ke-i adalah

=j

ijiUU (1.35)

dimana penjumlahan dilakukan untuk semua ion kecuali j=i. Energi Uij berasal

dari potensial tolak-menolak medan sentral empirik eksp (-rij/), dimana

(tetapan) dan (panjang karakteristik) merupakan parameter empirik; dan tarik-

menarik Coulomb q2/4orij. Dengan demikian

ijo

r

ijr

qeU ij

4

2/ = (1.36)

Potensial tolak-menolakterjadi karena penerapan prinsip eksklusi Pauli saat jarak

antarion berkurang (lebih kecil dari jarak kesetimbangan). Berkurangnya jarak

antarion menyebabkab orbit elektron tumpang-tindih. Hal ini melanggar prinsip

eksklusi Pauli karena sel terluar ion sudah komplit. Akibatnya elektron harus

menempati tingkat energi yang lebih tinggi sehingga energi potensial naik secara

tajam. Sedangkanpotensial Coulombterjadi antara ion sejenis (tanda +) atau tidak

sejenis (tanda -).

Energi kisi kristal total yang terdiri dari N buah molekul atau 2N buah ion

Utot= N Ui


38/214

I STRUKTUR KRISTAL


31

Ungkapan ini menunjukkan bahwa setiap pasangan atau setiap ikatan hanya

dihitung sekali. Andaikanlah r kita tulis sebagai rij=pijR, dengan R adalah jarak

terdekat antara dua atom terdekat dan interaksi tolak-menolak hanya terjadi

antartetangga terdekat saja, maka

=

)tan(4

1

)tan(4

2

2/

terdekatggatebukanR

q

p

terdekatggateR

qe

U

oij

o

R

ij

(1.37)

sehingga energi total

==

R

qezNNUU

o

R

itot

4

2/ (1.38)

dengan z = jumlah tetangga terdekat suatu ion

=j ijp

1 adalah konstanta Madelung (termasuk j=i)

Dalam menghitung konstanta Madelung, jika ion referensi bermuatan negatip,

maka tanda (+) digunakan untuk ion positip dan tanda (-) untuk ion negatip. Jika

diambil syarat bahwa 0== oRR

tot

dR

dU, maka diperoleh

zqeR

o

Ro

o

4

2

/2 = (1.39)

Dengan menggunakan (1.38) dan (1.39), maka energi kisi kristal total dengan 2N

buah ion pada jarak setimbang Ro

=

=ooo

RRtot RR

qNU

o

1

4

2

(1.40)

BentukooR

qN

4

2

disebut energi Madelung. Harga berorde 0,1Ro sehingga

interaksi tolak-menolak mempunyai rentang yang amat pendek dan sedikit sekali

pengaruhnya terhadap energi kisi.

Sebagai contoh disajikan data tentang energi permolekul dalam kristal

KCl, yaitu energi Madelung (energi Coulomb) sebesar (25,2)/R eV dan energi


39/214

I STRUKTUR KRISTAL


32

tolak menolak (2,4.104)exp(-R/0,30) eV dimana R berorde 10-8 cm. Harga

konstanta Madelung bergantung pada struktur kristal ionik, misalnya untuk

NaCl, CsCl dan ZnS, masing-masing berharga 1,747565 , 1,762675 dan 1,6381.

Ikatan ionik tergolong lebih kuat daripada ikatan lain, dengan energi rata-

rata 5 eV setiap pasangan atom. Oleh karena itu kristal ionik mempunyai titik

leleh yang tinggi. Misalnya titik leleh NaCl adalah 8010C, sedangkan untuk logam

Na dan K, masing-masing adalah 97,80C dan 630C.

1.3.2.2 Ikatan Kovalen

Andaikanlah ada dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak yang cukup

jauh satu sala lainnya sehingga tidak ada interaksi di antara elektronnya, maka

masing-masing atom memiliki orbit 1s. Jika kedua atom saling mendekat danmembentuk molekul H2, maka orbital molekulnya merupakan kombinasi linier

dari kedua orbital atom 1s. Orbital molekul tersebut mempunyai dua

kemungkinan, yaitu

2121 =+= ganjilgenap dan (1.41)

dimana 1 dan 2 merepresentasikan keadaan 1s pada dua proton. Orbital

molekular genapdan ganjil secara grafik diperlihatkan pada Gambar 1.25 berikut.

Gambar 1.25 Fungsi gelombang (a) genapdan (b) ganjil

Sedangkan distribusi muatan untuk kedua orbital tersebut adalah |genap|2 dan

|ganjil|2seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.26 berikut.

(a) (b)

Gambar 1.26 Propil distribusi muatan dan representasi kontur

a b


40/214

I STRUKTUR KRISTAL


33

(a) genapdan (b) ganjil

Tampak bahwa genap mengandung elektron terutama pada daerah antara dua

proton, sedangkan ganjilmengandung elektron di sekitar masing-masing proton

yang bersangkutan dan jauh dari daerah antara dua proton.

Kedua orbital molekul di atas mempunyai energi yang berbeda seperti

ditunjukkan oleh Gambar 1.27 berikut.

Gambar 1.27 Energi keadaan dasar dan eksitasi molekul hidrogen

sebagai fungsi jarak antarinti

Orbital genap berenergi lebih rendah daripada orbital ganjil. Bahkan orbital genapmempunyai energi negatip. Dengan demikian orbital genap merupakan orbital

stabil (orbital bonding) dan orbital ganjil merupakan orbital tidak stabil (orbital

antibonding). Pada gambar di atas tampak bahwa molekul hidrogen memiliki

keadaan setimbang pada 0,74 dan energi ikat 4,48 eV (relatif terhadap keadaan

dasar dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak tak terhingga). Sesuai dengan

prinsip eksklusi Pauli, kedua elektron dalam orbital bonding memiliki spin

antiparalel.

Keberadaan sepasang elektron di antara atom hidrogen di atas

menyebabkan terjadinya ikatan yang kuat dalam molekul hidrogen. Ikatan yang

terjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom untuk mencapai

konfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan kovalen. Hal ini


41/214

I STRUKTUR KRISTAL


34

merupakan bukti bahwa semua atom adalah identik sehingga transfer elektron dari

satu atom ke yang lain tidak menimbulkan akibat apapun.

Keadaan fisis ikatan kovalen dalam kristal sama dengan dalam molekul.

Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yang

menghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena interaksi

prinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron-proton lebih

dari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron-elektron ataupun

proton-proton.

Ikatan kovalen juga kuat, seperti ditunjukkan oleh intan yang tingkat

kekerasannya tinggi dan titik leleh di atas 30000C. Ikatan dua atom karbon dalam

struktur intan memiliki energi kohesi 7,3 eV peratom.

1.3.2.3 Ikatan Logam

Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan

suatu lautan elektron valensi ion tersebut yang dapat bergerak bebas di antara

susunan ion. Dengan demikian elektron valensi atom berubah menjadi elektron

konduksi logam. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara ion positip dan gas

elektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas tersebut. Gaya tolak

Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas elektron melingkupi

ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang netral.Atom logam bersatu sehingga terbentuk kristal logam yang stabil karena

energi sistem kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Dalam atom

bebas terisolasi, elektron dimodelkan sebagai sebuah partikel dalam kotak

potensial. Dengan demikian gerakan elektron dibatasi dalam volume yang kecil

sehingga, menurut prinsip ketidaktentuan Heisenberg, energi kinetiknya besar.

Dengan menggunakan persamaan Scrodinger, dimana potensial interaksi nol, dan

syarat batas periodik diperoleh energi kinetik elektron

E V-2/3 (1.42)

Dimana V adalah volume kotak tempat elektron bergerak. Sedangkan dalam

kristal, elektron secara bebas bergerak dalam keseluruhan volume kristal yang

sangat besar. Akibatnya, energi kinetik elektron turun secara tajam dan


42/214

I STRUKTUR KRISTAL


35

mengkontribusi pengurangan energi total sistem. Penurunan energi inilah yang

menjadi sumber ikatan logam.

Ikatan logam lebih lemah daripada ikatan kovalen dan ionik. Contohnya,

logam Na memiliki titik leleh pada 97,80C. Energi kinetik yang kecil

menyebabkan ikatannya lemah. Susunan kristal logam cenderung untuk memiliki

susunan dimana setiap atom atau ion memiliki banyak tetangga (struktur tersusun

padat), misalnya HCP (seng), FCC (tembaga), BCC (lithium dan natrium) dan

lain-lain.

1.3.2.4 Ikatan Van der Walls

Ikatan ionik, kovalen dan logam terjadi karena pengaturan elektron

valensi. Hal demikian tidak bisa terjadi pada gas muliayang sangat stabil karenasel terluarnya penuh. Distribusi elektronnya mempunyai simetri bola sehingga

potensial listrik berharga nol di luar jari-jari atom. Demikian juga momen

multipol listriknya. Jika hal ini benar, maka atom gas mulia tidak memiliki energi

kohesi dan tidak dapat terkondensasi menjadi cairan. Tetapi, terjadinya

kondensasi dan pembekuan pada suhu yang sangat rendah membuktikan bahwa

terdapat energi ikat yang lemah pada gas ini. Gaya yang lemah antaratom dalam

padatan gas mulia ditandai oleh titik lelehnya yang rendah, yaitu -272,20C, -

248,70C dan -189,20C, masing-masing untuk He, Ne dan Ar.Meskipun secara rata-rata semua momen multipol listriknya sama dengan

nol, tetapi di setiap suatu waktu momen dipol listrik tidak sama dengan nol

sebagai akibat adanya kelebihan elektron di bagian tertentu. Ketidaksimetrisan ini

tidak permanen, tetapi selalu berfluktuasi. Momen dipol listrik sesaat ini dapat

menginduksi atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antara

keduanya. Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikan

ikatan antara atom gas mulia.

Interaksi tarik-menarik dipol induksi antara dua dipol berjarak R telah

dirumuskan oleh Van der Walls London melalui energi

6R

AU = (1.43)


43/214

I STRUKTUR KRISTAL


36

Interaksi tolak-menolaknya bersumber dari interaksi prinsip eksklusi Pauli. Secara

empirik didapatkan potensial tolak-menolak

12R

BU= (1.44)

A dan B adalah parameter empirik. Sehingga, biasanya, energi potensial totaldua

atom berjarak R adalah

( )

=612

4RR

RU

(1.45)

dimana dan adalah parameter baru, dengan 46=A dan 412=B. Potensial

(1.45) di atas dikenal dengan namapotensial Lennard-Jones.

Gaya antara dua atom ditentukan melalui dU/dR. gaya ini sangat cepatberubah dengan jarak R sehingga atom dalam kristal cenderung untuk serapat

mungkin. Biasanya, struktur yang dimiliki oleh gas mulia adalah FCC (cubic

close-packed).

Energi kinetik atom gas mulia dapat diabaikan. Oleh karena itu energi

kohesi kristal gas mulia didapatkan dengan menjumlahkan potensial Lennard-

Jones (1.45) di atas terhadap semua pasangan atom dalam kristal. Jika terdapat N

buah atom dalam kristal, maka energi tersebut

( )

= j ijij

totRpRp

NU612

21 4

(1.46)

dimana pijR adalah jarak antara atom ke-i dan j. Faktor muncul karena hitungan

dilakukan dua kali pada setiap pasangan atom.

Untuk struktur FCC, dimana terdapat 12 tetangga terdekat, perhitungan

menghasilkan

== j j

ijijpp 45392,14;13188,12 612 (1.47)

Pada posisi setimbang Ro, energi total sistem berharga minimum sehingga

( )

==

=7

6

13

12

)45,14)(6()13,12(1220RR

NdR

dU

oRR

tot (1.48)

dan menghasilkan harga


44/214

I STRUKTUR KRISTAL


37

Ro/= 1,09 (1.49)

Nilai Ro/hasil pengamatan menunjukkan untuk Ne, Ar, Kr dan Xe adalah 1,14;

1,11; 1,1 dan 1,09 yang tidak berbeda jauh dengan (1.49). Dengan demikian

energi kohesi kristal gas mulia pada suhu nol mutlak dan tekanan nol diperoleh

dengan mensubstitusikan (1.47) dan (1.49) ke dalam (1.46). Hasilnya diperoleh

( )

=612

)45,14()13,12(2RR

NRUtot

(1.50)

dan pada posisi setimbang Ro

Utot(Ro) = - (2,15) (4N) (1.51)

Perhitungan energi kohesi ini berlaku jika atom-atom dalam keadaan diam. Jika

dilakukan koreksi mekanika kuantum, maka energi tersebut harus direduksisebesar 28; 10; 6 dan 4 %, masing-masing untuk Ne, Ar, Kr dan Xe.

1.3.2.5 Ikatan Hidrogen

Molekul air (H2O) terisolasi berikatan kovalen sehingga atom

penyusunnya terikat secara kuat. Tetapi, dalam kristal es, yang tersusun atas

molekul air, ikatannya jauh lebih lemah. Hal ini ditandai oleh adanya titik leleh air

pada 00C.

Sifat listrik sebuah molekul air terisolasi adalah netral. Tetapi, dalam

kristal es distribusi muatan internal sedemikian rupa sehingga menghasilkan

interaksi antarmolekul. Elektron lebih ditarik ke arah atom oksigen sehingga

bermuatan negatip; dan dalam waktu bersamaan atom hidrogen menjadi

bermuatan positip. Keadaan ini menghasilkan dipol listrik dalam molekul air.

Gaya tarik-menarik antardipol listrik inilah yang menghasilkan ikatan hidrogen

sehingga terbentuk kristal. Hal ini dijelaskan dalam Gambar 1.28 berikut.


45/214

I STRUKTUR KRISTAL


38

Gambar 1.28 (a) Molekul air; dan (b) Susunan molekul air

sebagai akibat adanya ikatan hidrogen

Tetapi, gaya antarmolekul ini jauh lebih lemah daripada gaya internal yang

mengikat molekul itu sehingga molekul tetap dapat mempertahankan identitasnyasalam kristal. Ikatan hidrogen mempunyai orde 0,1 eV.

RINGKASAN

01. Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya

teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang. Bahan kristal

memiliki simetri translasi, artinya bila seluruh kristal itu digeser sejauh vektor

translasi kisi bnanR

21 += , maka keadaannya tetap sama.

02. Pola geometrik dari kedudukan setimbang tiap atom sebagai suatu titik

dinamakan kisi kristal. Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non-

Bravais.Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatu basis

dan dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih kisi Bravais yang

saling menembus dengan orientasi tertentu.

03. Luas daerah jajaran genjang yang sisinya dibatasi oleh vektor basis disebut sel

satuan. Terdapat dua jenis sel satuan, yaitu sel primitip (satu titik kisi

perselnya)dan sel non-primitip (lebih dari satu titik kisi perselnya).Hubungan

antara keduanya adalah (a) sel non-primitip menunjukkan simetri lebih besar,

dan (b) luas sel non-primitip merupakan kelipatan bulat dari luas sel primitip.

04. Dalam dua dimensi, kisi kristal Bravais yang mungkin sebanyak lima jenis,

yaitu Genjang, Persegi, Heksagonal, Empat persegi panjang P, dan Empat

persegi panjang I. Sedangkan untuk tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi

Bravais yang terlingkupi dalam 7 buah sistem kristal, yaitu Triklinik (P),

Monoklinik (P, C), Ortorombik (P, C, I, F), Tetragonal (P, I), Trigonal (R),

Heksagonal (P), dan Kubik (P, I, F).

05. Beberapa kristal dengan struktur sederhana, di antaranya NaCl, CsCl, intan,ZnS dan HCP

06. Arah kristal, yakni vektor cnbnanR

321 ++= , dinyatakan dengan [n1n2

n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Sedangkan


46/214

I STRUKTUR KRISTAL


39

bidang kristal dinyatakan sebagai indek Miller (hkl). Jarak antarbidang Miller,

khusus untuk sumbu ortogonal dengan abc dinyatakan oleh persamaan

2/1

222

111

1

++

=

zyx

dhkl

07. Fraksi kepadatan,didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volume yang

ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkan

dalam bentuk rumusan

( )V

rNF

33/4 =

08. Menurut Bragg kristal direpresentasikan oleh kumpulan bidang paralel yang

bersesuaian dengan bidang atom, yang berperan sebagai cermin. Interferensi

maksimum (konstruktif) yang terjadi memenuhi hukum Bragg

n = 2 dhklsin

Dengan menggunakan hukum Bragg, secara eksperimen, jarak antarbidang

dhkldapat dihitung.

09. Fakta menunjukkan bahwa hamburan berkas sinar-X disebabkan oleh atom

diskrit kristal yang bersangkutan. Oleh karena itu bahasan berikut menelaah

hukum Bragg melalui proses hamburan elastik (hamburan Thomson) sinar-X

oleh elektron dalam setiap atom dalam kristal. Dalam teori ini ditemukan

bahwa intensitas parsial gelombang terhambur sebanding dengan kuadrat

faktor hamburan kristal, yaitu Fkr = F S, dimana S dan F, masing-masing

adalahfaktor struktur geometri dankisi.

10. Faktor struktur kisi S berharga tidak nol, yakni S=N, hanya untuk hklGs

= ,

yakni vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok (syarat Bragg). Dari

hubungan ini dapatlah diturunkan hukum Bragg2dhklsin = .

11. Jika syarat Bragg terpenuhi dan semua atom identik, maka untuk kedudukan

atom ke-j dalam sel satuan cwbvau jjjj

++= , didapatkan faktor struktur

kisi( ) ++=

j

lwkvhui

ahkl

jjjefF 2

.


47/214

I STRUKTUR KRISTAL


40

12. Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gaya inti

tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gaya

antaratom (bersifat listrik). Pada titik setimbang, energi potensial terendah dan

didominansi oleh energi tarik-menarik, serta resultan gaya nol. Pada jarak lebih

kecil dari titik setimbang, potensial naik secara tajam menuju tak berhingga

dan terjadi gaya tolak-menolak; sedangkan pada jarak yang lebih besar,

potensial naik secara bertahap sehingga mencapai nol pada jarak tak berhingga

dan terjadi gaya tarik-menarik.

13. Ikatan ion terjadi antara ion positip dan negatip karena terjadi perpindahan

elektron sehingga menyerupai kofigurasi gas mulia.Energi ikatan berasal dari

potensial tolak-menolak medan sentral empirikdan tarik-menarik Coulomb.Di

titik setimbang energi tersebut adalah

=

=ooo

RRtot RR

qNU

o

1

4

2

14. Ikatan yang terjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom

untuk mencapai konfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan

kovalen. Sepasang elektron tersebut lebih banyak terdistribusi di antara inti-

inti. Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yang

menghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena

interaksi prinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron-proton lebih dari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron-

elektron ataupun proton-proton.

15. Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan

suatu lautan elektron valensi (elektron konduksi) ion tersebut yang dapat

bergerak bebas di antara susunan ion. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara

ion positip dan gas elektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas

tersebut. Gaya tolak Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas

elektron melingkupi ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yangnetral.

16. Terdapat energi ikat yang lemah pada gas mulia. Meskipun secara rata-rata

semua momen multipol listriknya sama dengan nol, tetapi di setiap suatu waktu

momen dipol listrik terjadi secara fluktuatif sebagai akibat adanya kelebihan


48/214

I STRUKTUR KRISTAL


41

elektron di bagian tertentu. Momen dipol listrik sesaat ini dapat menginduksi

atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antara keduanya.

Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikan ikatan

antara atom gas mulia. Energi ikatan Van der Walls ini adalah

( )

=

j ijij

totRpRp

NU

612

21 4

17. Contoh ikatan hidrogen adalah kristal air. Sifat listrik sebuah molekul air

terisolasi adalah netral. Tetapi, dalam kristal es distribusi muatan internal

sedemikian rupa sehingga menghasilkan interaksi antarmolekul. Elektron lebih

ditarik ke arah atom oksigen sehingga bermuatan negatip; dan dalam waktu

bersamaan atom hidrogen menjadi bermuatan positip. Keadaan ini

menghasilkan dipol listrik dalam molekul air. Gaya tarik-menarik antardipol

listrikinilah yang menghasilkan ikatan hidrogensehingga terbentuk kristal.

LATIHAN SOAL BAB I

01. Diketahui vektor basis primitip suatu kisi adalah kccjbbiaa ,, ===

,

dengan kdanji , adalah tiga vektor satuan dalam koordinat Kartesian.

a. Gambarlah kisi tersebut!

b. Membentuk kisi Bravais jenis apakan vektor basis tersebut?

c. Berapakah volume sel satuan primitip tersebut?

02.a. Sama dengan soal 01), tetapi untuk vektor basis primitip

))(2/())(2/(),)(2/( ikacdankjabjiaa +=+=+=

!

b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan kdanji , sebagai kombinasi linier

dari vektor basis primitip ialah

cbajacbaia

+=+= , dan cbaka

++=

c. Posisi kedelapan pojok sel adalah 0, a i , a j , a k, a( ji + ), a( ki + ), a( kj + )

dan a( kji ++ ). Nyatakan posisi-posisi tersebut dalam a

, b

dan c

!


49/214

I STRUKTUR KRISTAL


42

d. Sama dengan (c), tetapi untuk 6 titik pada pusat muka, yaitu ()a( ki + ),

()a( kj + ), ()a( ji + ), ()a( kji 2 ++ ), ()a( kji 2 ++ ), dan

()a( kji 2 ++ ) ! (Nyatalah bahwa, berdasarkan (c) dan (d) semua posisiatom dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor kisi primitip

dengan koefisien bilangan bulat)

03.a. Sama dengan soal 02), tetapi untuk vektor basis primitip

))(2/())(2/(),)(2/( jikacdanikjabkjiaa +=+=+=

!

b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan kdanji , sebagai kombinasi linier

dari vektor basis primitip adalah bajacaia

+=+= , dan cbka

+= !

04. Sama dengan soal (1), tetapi untuk vektor basis primitip kcjia )( 21

21 + ,

kcjia )( 21

21 ++ , dan kcjia )( 2

121 + dimana a adalah sisi bujursangkar dan

c adalah sisi yang tegak lurus terhadap bujursangkar tersebut !

05. Kisi kristal dapat dipetakan ke dalam dirinya sendiri oleh simetri translasi kisi,

pencerminan dan rotasi di sekitar suatu sumbu. Kisi kristal memiliki simetri

rotasi derajat-1, 2, 3, 4 dan 6 atau 2; 2/2; 2/3; 2/4; dan 2/6. Tetapi,

misalnya, kisi kristal tidak memiliki simetri rotasi 2/5 karena tidak

memungkinkan untuk mengisi seluruh ruang secara periodik dengan bentukbangun pentagon. Tunjukkan bahwa kisi dua dimensi tidak mempunyai

simetri putar 2/5 !

06. Buktikan bahwa struktur HCP memiliki rasio sumbu c/a= 632 =1,633 !

07. Pada suhu 1190 K besi memiliki struktur FCC dengan parameter kisi a=3,647

; dan pada suhu 1670 K berstruktur BCC dengan a=2,932 . Jika berat atom

besi adalah 55,85 sma, maka tentukan kerapatan massa pada masing-masing

suhu tersebut!

08. Diketahui padatan Al berstruktur FCC dengan a=4,04 dan berat atom 26,98

sma. Hitunglah massa jenisnya!

09. Gambarlah bidang dan arah berikut dalam sel satuan kubik: (122), [122],

(11 2) dan [1 1 2]!


50/214

I STRUKTUR KRISTAL


43

10. Kristal Cu mempunyai struktur FCC dengan jari-jari atom 1,278 . Berapakah

kerapatan atom yang terdapat pada bidang (100)?

11. Sama dengan soal 08), tetapi untuk kristal Fe yang berstruktur BCC dengan

konstanta kisi 2,86 !

12. Buktikan bahwa dalam koordinat Kartesis bidang (hkl)=(mnox+mnoy+mnoz)

memberikan vektor arah yang tegak lurus bidang tersebut, yakni

knjninnozoyoxo

++=

!

13. Buktikan harga jari-jari atom dan fraksi kepadatan dari berbagai struktur

kristal dalam Tabel 5.1!

14. Suatu kristal kubik mempunyai konstanta kisi 2,62 . Berapakah sudut Bragg

yang sesuai untuk terjadi refleksi oleh bidang (100), (110), (111), (200), (210)dan (211), jika berkas sinar-X monokhromatik yang digunakan mempunyai

panjang gelombang 1,54 ?

15. Sudut Bragg untuk refleksi kristal besi BCC pada bidang (110) adalah 220,

dengan sinar-X yang panjang gelombangnya 1,54 .

a. Berapakah konstanta kisinya?

b. Jika berat atom Fe adalah 55,8 sma, maka berapakah kerapatan massanya?

16. Buktikan bahwa persamaan (1.21) dapat diturunkan dari persamaan (1.20),

dengan mengingat definisi (1.22)!17. Gambarkan kisi resiprok untuk kisi dua dimensi yang mana a=1,25 , b=2,50

dan =120o!

18.a. Buktikan bahwa vektor kisi resiprok 321 alakahG

++= tegak lurus

terhadap bidang (hkl) dalam kisi kristal!

b. Buktikan bahwa jarak antara dua bidang paralel berturutan dalam kisi adalah

dhkl=2/ G

!

19. Suatu sel satuan berukuran a=4 , b=6 , c=8 dan ==900, =1200.Tentukan

a. vektor basis a*, b* dan c* untuk kisi resiprok!

b. jarak antar bidang (210)!


51/214

I STRUKTUR KRISTAL


44

c. sudut Bragg untuk bidang (210), jika diketahui panjang gelombang sinar-X

yang dipakai 1,54 !

20. Buktikan bahwa

a. kisi resiprok suatu kisi SC adalah kisi SC juga!

b. kisi resiprok suatu kisi FCC adalah kisi BCC, dan sebaliknya!

21. Diketahui bahwa vektor basis primitip kisi ruang heksagonal adalah

zcayaxaayaxaa ,)()3(,)()3( 321

21

221

21

1 =+=+=

a. Tunjukkan bahwa volume sel primitipnya adalah (31/2/2)a2c!

b. Tunjukkan bahwa vektor basis primitip kisi resiproknya adalah

zc

bya

x

a

bya

x

a

b 2

,2

3

2,

2

3

2321

=

+

=

+

=

, sehingga kisi

merupakan resiprok dirinya sendiri, tetapi dengan merotasikan 30osumbu-

sumbunya terhadap sumbu a3!

22. Buktikan persamaan (1.26)!

23.a. Pada bidang yang mana dalam kisi BCC berikut yang tidak menimbulkan

refleksi Bragg: (100), (110), (111), (200), (210) dan (211)!

b. Sama dengan soal a), tetapi dalam kisi FCC!

24. Hitunglah faktor struktur geometri F100 untuk kristal CsCl yang berstruktur

BCC, jika diasumsikan bahwa fCs=3fCl!25. Teori ikatan kristal ionik model Born-Meyer menyebutkan bahwa energi

potensial total suatu sistem kristal ionik adalahR

qN

R

ANE

n

0

2

4

= , dengan

N adalah jumlah pasangan ion positip-negatip. Suku pertama

merepresentasikan potensial tolak-menolak, dengan A dan n adalah konstanta

yang ditentukan melalui eksperimen. Suku kedua merepresentasikan potensial

tarik-menarik Coulomb, dengan adalah konstanta Madelung yang hanya

bergantung pada struktur kristal.

a. Tunjukkan bahwa jarak kesetimbangan antarion adalah nq

AR n

2

010

4

= !

b. Tunjukkan bahwa energi ikatan pada titik kesetimbangan adalah


52/214

I STRUKTUR KRISTAL


45

=nR

NqE

11

4 00

2

0

!

c. Jika kristal NaCl mempunyai konstanta kisi 5,63 , energi ikat terukur 7,95

eV/molekul dan konstanta Madelung 1,75, maka tentukan konstanta n!

26. Berikut disajikan data eksperimen tentang pembentukan molekul NaCl

Na (gas) + 5,14 eV (energi ionisasi) Na+(gas) + e-(elektron)e-(elektron) + Cl (gas) Cl-(gas) + 3,61 eV (afinitas elektron)

Na+(gas) + Cl-(gas) NaCl (kristal) + 7,9 eV (energi kohesif)

Hitunglah energi permolekul kristal NaCl tersebut! (Energi permolekul ini

lebih kecil daripada energi kohesif/ikat permolekul (7,9 eV). Energi ikat

molekul adalah energi yang diperlukan untuk memecahkan molekul tersebutmenjadi ion-ion penyusunnya)

27. Dalam kristal NaCl didapatkan data eksperimen tentang harga jarak suatu ion

positip terhadap ion negatip terdekatnya adalah 2.81.10-8cm. Tentukan energi

tarik menarik Coulomb sebagai bagian dari energi potensial antara dua ion

tersebut! (Harga ini masih seorde dengan data eksperimen tentang energi ikat

7,9 eV/molekul)

29. Buktikan bahwa konstanta Madelung

a. berharga 2 ln 2 untuk kristal ionik alternasi satu dimensi!

b. berharga 1,747565 , 1, 762675 dan 1,6381 , masing-masing untuk kristal

NaCl, CsCl dan ZnS!

30. Untuk gas He, yang berstruktur FCC, hasil pengukuran menunjukkan bahwa

parameter Lennard-Jones =50.10-16 erg dan =2,96 . Hitunglah energi

kohesifnya dalam kJ/mol! (Nilai pengamatan energi kohesif 0,751 kJ/mol, jauh

lebih kecil daripada hasil perhitungan sehingga koreksi kuantum sangat

penting)

31. Dengan menggunakan potensial Lennard-Jones, hitunglah perbandingan

energi kohesi Ne dalam struktur BCC dan FCC! Diketahui bahwa untuk kisi

BCC harga == j

ij

j

ijpp 2533,12;11418,9 612 .


53/214

I STRUKTUR KRISTAL


46

32. Sama dengan soal 26), tetapi untuk struktur HCP dan FCC! Diketahui bahwa

untuk kisi HCP harga == j

ij

j

ijpp 45489,14;13229,12 612 .

33. Energi total untuk 2 atom argon adalah126

+

=

R

aB

R

aCE oo relatif

terhadap keadaan keduanya pada jarak tak terhingga. Harga B= 2,35.103 eV,

C= 1,69.108 eV dan ao adalah radius Bohr. Suku pertama merepresentasikan

energi tarik menarik antara elektron-elektron terluar; dan kedua adalah energi

tolak menolak antara ion-ion teras. Hitunglah

a. posisi setimbang !b. Buktikan bahwa di posisi setimbang energinya didominansi oleh energi

tarik menarik! (harga mutlak energi tarik menarik lebih besar daripada

energi tolak menolak, dan energi totalnya berharga negatip)


54/214

B A B II

DINAMIKA KISI KRISTAL

Bahasan struktur kristal pada bab lalu menganggap bahwa atom bersifat

statik pada masing-masing titik kisinya. Sebenarnya, atom tidaklah statik,

melainkan berosilasi di sekitar titik setimbangnya sebagai akibat energi termal.

Bab ini membahas vibrasi kisi secara agak rinci.

Bab ini mula-mula membahas vibrasi kristal dalam batasan panjang

gelombang elastik, yang mana kristal dapat dianggap medium kontinu. Kapasitas

panas bahan dikemukakan dalam beberapa model, dan yang sesuai dengan

eksperimen adalah hanya yang menggunakan konsep fisika kuantum. Akhirnya,

bab ini ditutup oleh bahasan vibrasi kisi kristal, yang dikaitkan dengan sifat diskrit

kisi.

2.1 GETARAN DALAM ZAT PADAT

2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda GetarPadatan terdiri dari atom diskrit. Atom tidaklah diam, tetapi berosilasi di

sekitar titik setimbangnya sebagai akibat adanya energi termal. Namun, saat

gelombang yang merambat mempunyaipanjang gelombang yang jauh lebih besar

daripada jarak antaratom, sifat atomik dapat diabaikan dan padatan dapat

dianggap sebagai medium kontinu. Dengan demikian persoalan fisisnya

menyangkut lingkup makro. Gelombang yang demikian disebut gelombang

elastik.

Misalnya, gelombang suara elastik longitudinal merambat dalam suatubatang isotropik, yang mempunyai penampang A, massa jenis dan modulus

Young Y, antara x dan (x+dx) menurut hukum Newton mempunyai persamaan

gerak


55/214

II DINAMIKA KISI KRISTAL


48

[ ]AxSdxxSt

udxA )()(

2

2

+=

(2.1)

dimana u adalah simpangan terhadap titik setimbang dan S adalah tekanan.

Regangan e=du/dx dan tekanan S dihubungkan oleh hukum Hooke

S = Y u (2.2)

Untuk bagian yang kecil sesungguhnya

S = S(x+dx) S(x) = (S/x) dx

sehingga persamaan gerak gelombang (2.1) di atas menjadi

02

2

2

2

=

t

u

Yx

u (2.3)

yang dikenal sebagai persamaan gelombang satu dimensi.

Diambil solusi berbentuk propagasi gelombang bidang, yaitu

u = Aoei(kx - t) (2.4)

Dimana Ao, k dan adalah amplitudo, bilangan gelombang dan frekuensi radial

gelombang. Substitusi solusi (2.4) ke dalam persamaan gelombang (2.3)

menghasilkan

= vsk (2.5)

dengan

vs= (Y/)1/2

(2.6)adalah kecepatan fasa gelombang. Hubungan (2.5) antara frekuensi dan bilangan

gelombang disebut relasi dispersi. Dalam hal ini hubungan tersebut adalah linier,

dengan kemiringan kecepatan fasa, seperti disajikan pada Gambar 2.1 berikut.

Gambar 2.1 Kurva dispersi gelombang elastik

k

=vsk

0


56/214



49

Relasi dispersi linier (dengan kecepatan suara vssebagai kemiringannya) dimiliki

oleh beberapa gelombang, antara lain gelombang optik dalam vakum, dan

gelombang suara dalam cairan dan gas.

Penyimpangan terhadap sifat linier di atas disebut dispersi. Ketidaklinieran

terjadi karena, khususnya, panjang gelombang yang relatif kecil jika dibandingkan

dengan jarak antar atom. Hal ini akan dipelajari pada getaran dalam kisi kristal.

Persamaan (2.6) dapat digunakan untuk menentukan modulus Young.

Misalnya, pengukuran menunjukkan untuk suatu padatan tertentu vs= 5.105cm/s

dan = 5 gr/cm3sehingga didapatkan nilai Y = 1,25.1012gr/cm s2.

Apabila gelombang elastik satu dimensi di atas hanya diperhatikan solusi

domain ruangnya saja, yakni

u = Aoeikx (2.7)

dan ujung batang sebelah kanan berosilasi sama dengan sebelah kiri sehingga

memiliki syarat batas periodik

u (x=0) = u (x=L) (2.8)

dengan L adalah panjang batang, maka substitusi (2.7) ke dalam (2.8)

menghasilkan kondisi

eikL= 1 (2.9)

sehingga

kn= (2/L) n, dimana n=0, 1, 2, (2.10)

Setiap nilai n di atas memberikan satu harga k sebagai representasi sebuah moda

getar.

Jika L besar sekali, maka knhampir kontinu (pandangan makro). Dalam

domain k, jarak antartitik adalah (2/L), sehingga jumlah moda getar antara k dan

(k+dk) sebesar

dN = (L/2) dk (2.11)Dalam domain frekuensi, dN di atas terletak antara dan (+d).Rapat keadaan

g() didefinisikan sedemikian sehingga bentuk g()dmemberikan jumlah moda

getar yang mempunyai frekuensi antara dan (+d) seperti di atas. Oleh karena

itu didapatkan


57/214



50

dkd

Lg

/

1

2)(

=

Ungkapan ini hanya berlaku untuk gerakan dalam satu arah positip saja. Dengan

demikian g() yang mencakup gelombang ke kiri dan ke kanan adalah

dkd

Lg

/

1)(

= (2.12)

Terlihat bahwa rapat keadaan g() bergantung pada relasi dispersi. Untuk

hubungan linier (2.5), dimana d/dk=vs, maka didapatkan

sv

Lg

1)(

= (2.13)

yang konstan tidak bergantung pada .

Bahasan tiga dimensi kubikdengan rusuk L memberikan syarat bahwa

( )1

) =++ LkLkLki zyxe

sehingga

(kx, ky, kz) = [ n (2/L) , m (2/L) , l (2/L) ] (2.14)

dimana n, m, l = 0, 1, 2, . Representasi dalam ruang k menunjukkan bahwa

sebuah titik mempunyai volume (2/L)3dan merepresentasikan satu moda getar,

seperti Gambar 2.2 berikut.

Gambar 2.2 Nilai diskrit k untuk gelombang yang merambat tiga dimensi

ky

kx

kontur (+d)kontur

k

d


58/214



51

Semua moda getar dengan k tertentu direpresentasikan oleh satu titik yang terletak

padapermukaan boladalam ruang k, dengan jari-jari k dan berpusat di (kx, ky,

kz) = (0,0,0).

Semua moda getar dengan vektor gelombang antara k dan (k+dk) terletak

dalam elemen volume4k2dk yang dibataskan oleh bola berjari-jari k dan (k+dk).

Dengan demikian, jumlah moda getar dalam selang vektor gelombang di atas

( )dk

kV

L

dkkdN

2

2

3

2

2/2

4

== (2.15)

dimana V=L3 adalah volume sampel. Rapat keadaan g() diperoleh dengan

menggunakan hubungan dispersi (k).

Apabila digunakan hubungan dispersi linier (2.5), maka didapatkan

3

2

22)(

sv

Vg

= (2.16)

yang dilukiskan dalam Gambar 2.3 berikut.

Gambar 2.3 Rapat keadaan dalam medium elastik

Ternyata bahwa bertambahnya g() berbanding lurus dengan 2, tidak seperti

dalam kasus satu dimensi dimana g() berharga konstan. Hal ini terjadi karena

kenaikan elemen volume permukaan bola yang berbanding lurus dengan k2; dan

karena itu berbanding lurus juga dengan 2karena sebanding dengan k.

Ungkapan g() di atas bersesuaian dengan moda tunggal untuk setiap nilai

k

. Sebenarnya, dalam tiga dimensi untuk setiap nilai k

mengandung tiga moda


59/214



52

berbeda, yaitu satu moda longitudinal dan dua moda transversal. Hubungan

dispersinya juga berbeda. Dengan demikian rapat keadaan (2.16) menjadi

+= 332

2 11

2)( TL vvVg

(2.17)

dimana vLdan vT, masing-masing merupakan kecepatan gelombang longitudinal

dan transversal. Jika vL=vT, maka ungkapan (2.17) menjadi

3

2

22

3)(

sv

Vg

= (2.18)

2.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat

Teori klasik kinetik gas menganggap bahwa energi dalam untuk suatu gas

tersimpan sebagai energi kinetik atom tersebut. Hukum ekipartisi menyatakan

bahwa besaran fisis energi yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarak

atau momentum, maka untuk setiap derajat kebebasan pada suhu T memiliki

energi sama, yaitu ()k0T, dengan k0adalah konstanta Boltzmann. Hal ini berarti

energi kinetik setiap atom gas memiliki energi ()k0T. Gas monoatomik memiliki

tiga derajat kebebasan, sehingga pada suhu T energi dalam untuk gas sebanyak 1

kilomol

U = NA(3/2) k0T = (3/2) RT (2.19)

Dengan demikian, kapasitas panaspada volume konstan

RT

UC

V

V2

3=

= (2.20)

Sesungguhnya, kapasitas panas permol didefinisikan sebagai panas Q yang

diperlukan tiap satu mol untuk menaikkan suhu T, yakni C=Q/T. Jika proses

berlangsung pada volume tetap, maka Q=U, dimana U adalah kenaikan

energi dalam sistem. Dalam hal persamaan di atas, NAadalah bilangan Avogadro

dan R adalah tetapan gas. Menurut (2.20) teori ini menghasilkan nilai CV=12,47

J/0K kmol. Harga ini sesuai untuk gas He dan Ar pada suhu kamar.

Setiap atom dalam kristal, disamping memiliki 3 derajat kebebasan untuk

geraknya di sekitar kedudukan setimbangnya (energi kinetik), juga memiliki

energi potensial atom dalam gerak harmoniknya. Pada gerak selaras sederhana,


60/214



53

energi kinetik rata-rata sama dengan energi potensial rata-rata, sehingga energi

total sistem atom dalam kristal menurut hukum ekipartisi

RTTkTkNU ooA 32

3

2

3

=

+= (2.21)

Ungkapan ini menunjukkan bahwa kapasitas panas kristal pada volume konstan

adalah

CV= (U/T)V= 3R (2.22)

Harga (2.22) sesuai dengan penemuan empirik Dulong-Petit(1819), yang berlaku

untuk hampir semua zat padat pada suhu ruang atau yang lebih tinggi.

Selanjutnya, eksperimen menunjukkan bahwa nilai CVmenurun apabila T

menurun, dan mendekati nol apabila T menuju 0 K. Disamping itu, terdapat

indikasi yang sangat kuat bahwa pada suhu yang sangat rendah mendekati nol

mutlak

CVT3

Penyempurnaan bahasan kapasitas panas ini, selanjutnya menggunakan teori

mekanika kuantum.

2.1.2.1 Model Einstein tentang CVZat Padat

Diilhami oleh keberhasilan Planck dalam men

resiprok kisi kristal

Documents