（付録） 「回転操作（軌道角運動量）」 1. スカラー関数の回転 2. 軌道角運動量 3. 行列表示 4. シュレーディンガー表示 5. 基底変換 6. 回転操作演算子 7. 計算例

暫定版 修正・加筆の可能性あり

付録（８０９、８１０）のアプローチ：角運動量 1. 位置ベクトル（三次元空間内の点）の回転（移動）はお馴染みの回転行列で表現できる。 2. 本付録ではスカラー関数の回転（移動）について考える。 3. ある座標位置に居る観測者が関数の反時計回り微小回転を経験すると、回転前後で関数の形が異なるように見える。但し、観測者

自身は移動しない。 4. 同じ現象を関数側から考えると、関数自身の形は変化しないで、観測者の座標位置が時計回りに微小回転しているように見える。 5. 関数を波動関数と考えて回転操作演算子と軌道角運動量の関係を明らかにする。 6. ｐ軌道基底で展開した量子状態ベクトルと位置ベクトルの類似性を回転操作の立場から比較する。

８０９－1

８０９－2

スカラー関数の回転（１）

とりあえず：スカラー関数の一軸移動

x

φ( )xφ

x

φ( )xφ α−

α

正方向：一軸移動

二軸の場合：二元関数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ,0, ,x y x y Uα βφ φ α β φ φ=→ − − → = −r r r r

注意：位置ベクトルの向きとスカラー関数の移動方向は真逆 • 関数の移動方向が であるとき（図中青矢印）、位置ベクトルは で関数の移動方向に対して真逆 に移動する（図中赤矢印）。 • 類推：位置ベクトルが時計回りに回転するとき関数は反時計回りに回転する。

( )0 ,α β=r

( ) ( ) 0, ,x y x yα β= → − − = −r r rx

y

0r

0−r0−r

お詫び：ベクトル関数は取り扱わない

スカラー関数の回転（２）

10

cos sin 1sin cos 1

x x x y yy y y x x

εε ε ε ε εε ε ε ε ε

− − − − → = → = +

r

スカラー関数の回転方向 回転行列（rotation matrix）：反時計回り微小回転ε

８０９－3

位置ベクトルの向きと関数の移動方向は真逆 位置ベクトルの向き：時計回り微小回転ε

( ) ( ) ( ), ,U x y x y y xε φ φ ε ε= + −

( ) ( )0, ,x y x y y xε ε= → − = + −r r r

関数の回転方向 回転行列（rotation matrix）：反時計回り微小回転ε

例：回転前

例：回転後

( ) ( ),x y x yφ φ= = −r

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

, ,

U

U x y x y y x

x y x y

ε φ φ

ε φ φ ε ε

ε

= −

= + −

= − + +

r r r

関数の移動方向

演算子的扱い：回転操作 実際に行う手続き

スカラー関数の回転（３）

時計回り微小回転ε：位置ベクトル 但し、座標軸（基底ベクトル）は回転しません！

x

y( ),x y

( ),x y y xε ε+ −

x

y

1ε

反時計回り微小回転ε ：関数の回転

ややこしいかな：関数の回転 • 記号Ｕは「関数の反時計回り微小回転」を意味する「演算

子」の役割を果たす。

回転操作 この括弧は本当は不要

• 位置ベクトルの時計回り微小回転 • 関数の反時計回り微小回転は位置ベクトルの時計回り微小

回転で対応する。（scalar値の場合） • お詫び：二次元位置ベクトルと三次元位置ベクトルが混在

しています。

８０９－4

( )( ) ( )1

,

,z

x y

R x y y xε ε ε−

=

→ = + −

r

r

( ) ( ) ( ) ( ),U x y Uε φ ε φ= r

( )cos sin 0sin cos 0

0 0 1zR

ε εε ε ε

− =

位置ベクトルに関する回転行列

( ) ( ) ( )( )1z zU Rε φ φ ε−=r r

スカラー関数の回転（４）

三次元：微小回転（ｚ軸反時計回り）

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , 1, , x y zz z zU x y z U Rε φ ε φ φ ε= −→ =r r r

関数の回転操作 反時計回り：ｚ軸

位置ベクトルに関する回転行列

( ) ( ) ( ) ( )1

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

Tz z z zR R R R

ε εε ε ε ε ε ε−

− = ↔ = = −

逆行列：inverse matrix 転置行列： transposed matrix

特徴：ユニタリー（unitary）性

位置ベクトルの回転操作 時計回り：ｚ軸

注目：関数φを波動関数（シュレーディンガー表示）と考えると量子状態の回転操作を担うユニタリー演算子が見えてくる！ 微小回転ε （反時計回り） 終状態 始状態

( ) ( ) ( )( )

' , , , ,

, , ' , ,z

z

x y z U x y z

x y z U x y z

φ ε φ

φ ε φ

=

= ( )ˆ' zUφ ε φ=

８０９－5

軌道角運動量（１）

波動関数の回転操作：シュレーディンガー表示

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

' , , , , , ,

, ,

, , , ,

zx y z U x y z x y y x z

x y z y xx y

ix y z x y x y zi y x

φ ε φ φ ε ε

φ φφ ε ε

εφ φ

= = + −

∂ ∂= + + −

∂ ∂

∂ ∂= − − ∂ ∂

計算例：一部のみ

( ) ˆˆ, , , , , ,

ˆ ˆ,

y

y

x x y z x x y z x y z xpi y i y

x x x x y p yi y

φ φ φ

φ φ φ φ

∂ ∂= = ∂ ∂

∂= =

∂

( ) ˆˆ ˆ ˆ' , , , , ' , , 1 y xix y z x y z x y z xp ypεφ φ φ = = − −

８０９－6

軌道角運動量（２）

量子状態：回転操作演算子

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ' , 1 ,z z z z y xiU U L L xp ypεφ ε φ ε= = − = −

軌道角運動量：orbital angular momentum

ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆizL x y

i i y z= ∇ ∂ ∂ = × → = × ∇ → = − ∂ ∂

pL r p L r

位置表示：シュレーディンガー表示 微小回転角ε→回転角θ

( ) ( )ˆ

1ˆ ˆ ˆ ˆ1 lim 1

zn Linz z z zn

i iU L U L en

θθ εε

ε θε θ−=

→∞

= − → = − =

回転操作演算子：反時計回り

( ) ( )ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , 'ii Ji i i ii x y z U e L J Uθθ φ θ φ−= → = = → =

８０９－7

軌道角運動量演算子の固有状態：方位量子数（azimuthal quantum number）ｊ＝１に限定

行列表示（１）

( )2ˆ ˆ1, 1, 0,1 , 1 , , , ,z z z z z z zj j j j j j j j J j j j j j= = − → = + =J

1 0 0, 1,1 0 , 1,0 1 , 1, 1 0

0 0 1zj j

=

=

= = −

基底状態：磁気量子数（magnetic quantum number）で区別する固有状態（青色）

量子状態：基底（固有）状態で展開

1,1 1,0 1, 1

'' ' 1,1 ' 1,0 ' 1, 1 '

'

αφ α β γ β

γ

αφ α β γ β

γ

= + + − =

= + + − =

始状態

終状態

こだわっています！ • あくまでも量子状態を「簡潔に」示す

手段としての三次元ベクトル表示であり、三次元空間内の「ある点」と原点を結ぶ位置ベクトルではない。

• 量子状態をベクトル表示するとき青括弧を使用する。

• 青括弧に遭遇したら量子状態であり、位置ベクトル（三次元空間のある点）ではない。強いて言えば「量子状態ベクトル」である。

８０９－8

軌道角運動量演算子の交換関係

行列表示（２）

2 2 2 2

0 1 0 0 0 1 0 01 1ˆ ˆ ˆ1 0 1 , 0 , 0 0 02 20 1 0 0 0 0 0 1

1 0 0ˆ 2 0 1 0

0 0 1

x y z

x y z

iJ J i i J

i

J J J

−= = − =

−

= +

+ =J

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,x y z y z x z x yJ J iJ J J iJ J J iJ = = =

一目瞭然： • 基底状態は行列表示 の固有ベクトル（三個）。

• 固有値は磁気量子数 に等しい。

• 以後、基底状態を「ｊｚ基底」と呼ぶ。

ˆzJ

1, 0,1zj = −

８０９－9

1 0 0, 1,1 0 , 1,0 1 , 1, 1 0

0 0 1zj j

=

=

= = −

確認：ｊｚ基底

シュレーディンガー表示（１）

球面調和関数（spherical harmonics）：ｊｚ基底のシュレーディンガー表示

( )

( )

cos1,0

sin cos1, 1 sin sin

3 3, , 1,0 cos4 4

3 3, , 1, 1 sin8 4

z r

x riy r

zYr

x iyY er

θ

θ φφθ φ

θ φ θ φ θπ π

θ φ θ φ θπ π

=

=±± =

= = →

±= ± = →

球面調和関数：参考文献 村上雅人「なるほど量子力学 II 」p.228、海鳴社

ｐ軌道：p orbital

( ) ( )

( ) ( )

( )

1,1 1, 1

1,1 1, 1

1,0

, , 3 3sin cos , 1, 04 42

, , 3 3sin sin , 1, 04 42

3 3, cos , 1, 04 4

x x

y y

z z

Y Y x l pr

Y Y y l prizY l pr

θ φ θ φθ φ θ φ

π πθ φ θ φ

θ φ θ φπ π

θ φ θ θ φπ π

−

−

−− = → = = =

+− = → = = =

= → = = =

群論でお馴染み：ｐ軌道の基底関数

８０９－10

シュレーディンガー表示（２）

再掲：ｐ軌道

( ) ( )

( ) ( )

( )

1,1 1, 1

1,1 1, 1

1,0

, , , 1,1 , 1, 12 2

, , , 1,1 , 1, 12 2

, , 1,0

x

y

z

Y Yp

Y Yp

i ip Y

θ φ θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φ

−

−

− − −= − = −

+ + −= − = −

= =

ｐ軌道基底：ｊｚ基底を利用して規格化

1 11,1 1, 1 1,1 1, 11 10 , 0

2 2 2 21 1

01,0 1

0

x y

z

p pi i

p

− −

− − + −= − = = − =

−

= =

８０９－11

基底変換（１）

再掲：ｊｚ基底

1 0 0, 1,1 0 , 1,0 1 , 1, 1 0

0 0 1zj j

=

=

= = −

ｐ軌道基底（赤色）：ｘ、ｙ、ｚ成分（三個）で構成

1 1 0 11,1 1, 1 1,1 1, 11 10 0 , 1 0

2 2 2 20 1 0 1

0 00 1,0 11 0

x y

z

p pi i

p

− −− − + −

= = − = = = − =−

=

=

=

８０９－12

基底変換（２）

基底交換前の量子状態：ｊｚ基底（青色）で展開

1 0 01,1 1,0 1, 1 0 1 0

0 0 1

αφ α β γ α β γ β

γ

= + + − = + =

+

1 0 0ˆ 0 1 0

0 0 1x y z

aT a p b p c p a b c b

cϕ φ

= = + + = + =

+

基底交換後の量子状態：ｐ軌道基底（赤色）で展開

T̂

８０９－13

こだわっています！ • あくまでも量子状態を示す三次元ベクトル表示であり、位置ベクトル（三次元空間内の点）ではない。 • 量子状態を「ｊｚ基底」でベクトル表示するとき青括弧を使用する。 • 量子状態を「ｐ軌道基底」でベクトル表示するとき赤括弧を使用する。 • 青括弧や赤括弧に遭遇したら量子状態を意味する「状態ベクトル」であり、「位置ベクトル」ではない。 • 方位量子数ｊ＝１であれば状態ベクトルは三次元ベクトルで表示できる。 • 説明省略：方位量子数ｊ＝2,3,4,…の場合、状態ベクトルは5,7,9次元で表現することになるが…

ややこしいかな：量子状態ベクトルの色の違い • 基底交換だけでは量子状態が変化しないから、基底交換前後の量子状態は等号で結ぶことができる？ • これは間違いです。もちろん も間違いです。

• 演算（上記の場合、減算）は同一色の行列、ベクトル間でのみ実施可能です。

• 量子状態に限らず、ベクトルでは基底が異なる場合、各成分間の比較は不可です。

• 基底交換演算子 の役割は「色の交換（基底交換）」です。

基底変換（３）

基底交換前の量子状態ベクトル ｊｚ基底（青色）で展開

αφ β

γ

=

ˆa

T bc

ϕ φ

=

=

基底交換後の量子状態ベクトル ｐ軌道基底（赤色）で展開

, ,a b cα β γ= = =

T̂

８０９－14

? 0a ab or bc c

α αφ ϕ β β

γ γ

= → = −

=

基底変換（４）

基底変換（ change of basis）：行列表示

1 102 2

1 1ˆ 02 20 1 0

Ti i

− =

基底変換：色の交換（赤色から青色へ）

1

1 1 02 2

ˆ ˆ 0 0 11 1 02 2

Ti

T T

i

−

− −

= = −

1 1 02 2

ˆ 0 0 11 1 02 2

T

a aiT b b

c ci

αβγ

− −

= = −

逆行列：ユニタリー演算子

８０９－15

回転操作演算子（１）

行列表示：ｙ軸反時計回り

基底変換演算子：Ｔ

基底交換前の始状態と終状態：ｊｚ基底（青色）で展開

( )ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' y y yi J i J i JT Te Te T T Te Tθ θ θφ φ φ− − −− −= = →

ˆ'

' , , ' ''

yi Je θ

α αφ φ φ β φ β

γ γ

−

=

= =

終状態 始状態

基底交換後の始状態と終状態：ｐ軌道基底（赤色）で展開

赤枠内：基底変換後の回転操作演算子

( )ˆ 1

' 'ˆ ˆ ˆ ˆ, ' ' '

' '

yi Ja a a a a

T b T b b Te T b bc c c c c

θφ φ − −

= = → = =

８０９－16

重要：ｐ軌道基底の行列表示（赤色）

回転操作演算子（２）

基底変換後の回転操作演算子：ｐ軌道基底の行列表示（赤色）

( ) ( )

( )

ˆ 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos sin

1 0 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 cos 1 0 0 0 sin0 0 1 0 0 1 0 0

cos 0 sin0 1 0

sin 0 cos

yi Jy yTe T T J T iT J T

ii

i

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

− − − −

= −

= + − −−

=

−

８０９－17

( )cos 0 sin

0 1 0sin 0 cos

yRθ θ

θθ θ

= −

位置ベクトルに関する回転行列：ｙ軸反時計回り

計算手順：付録809-20

回転操作演算子（３）

基底変換後の回転操作演算子：ｐ軌道基底の行列表示（赤色）

( )ˆ 1

cos sin 0 cos sin 0ˆ ˆ sin cos 0 sin cos 0

0 0 1 0 0 1

zi JzTe T Rθ

θ θ θ θθ θ θ θ θ− −

− − =

=

８０９－18

比較：位置ベクトルのための回転行列

( )ˆ 1

1 0 0 1 0 0ˆ ˆ 0 cos sin 0 cos sin

0 sin cos 0 sin cos

xi JxTe T Rθ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

− −

= − = −

( )ˆ 1

cos 0 sin cos 0 sinˆ ˆ 0 1 0 0 1 0

sin 0 cos sin 0 cos

yi JyTe T Rθ

θ θ θ θθ

θ θ θ θ

− −

= = − −

回転操作演算子（４）

再掲：基底変換後の回転操作演算子

８０９－19

なにがいいたいのかな： • 回転操作演算子（ｊｚ基底） 回転操作演算子（ｐ軌道基底）

• 量子状態ベクトルは、あくまでも量子状態を示す三次元ベクトル表示であり、位置ベクトル（三次元空間内の点）ではない。 • 「ｐ軌道基底で行列表示した回転操作演算子」と「位置ベクトルに関する回転行列」は同一表現である。 • 「量子状態ベクトル（ｐ軌道基底）」と「位置ベクトル（三次元空間内の点） 」は両者とも三次元。 注意 • 方位量子数ｊ＝１に限って量子状態ベクトルは三次元になる。位置ベクトル（三次元）との類似性が明瞭である。 • 方位量子数ｊ＝2,3,4,…の場合、量子状態ベクトルは5,7,9次元で表示できるが、 ややこしくなる。

( ) ˆˆ xi JxU e θθ −=

( )ˆ 1

1 0 0 1 0 0ˆ ˆ 0 cos sin 0 cos sin

0 sin cos 0 sin cos

xi JxTe T Rθ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

− −

= − = −

比較：位置ベクトルのための回転行列

( ) ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆxi JxTU T Te Tθθ −− −=

８０９－20

計算例（１）

基底変換：色の交換（青色から赤色へ）

( )

1

21

1 10 0 0 1 1 02 2 2 0 02 21 1ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 1 0 0 02 2 2 2 1 1 0 000 1 0 0 0 2 2

20 0 0 0 1 0 0

ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1

y

y

i

iii iTJ T

i i ii

i

i iTJ T

i i

−

−

− − − − − = =

− −

= =

− −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 3 51 1 1

2 4 61 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

y y y

y y y

TJ T TJ T TJ T

TJ T TJ T TJ T

− − −

− − −

= = =

= = =

８０９－21

計算例（２）

参照：809-17

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ˆ 1 1 1

2 31 1

2 31 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos sin

1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ12! 1! 3!

1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2! 1! 3!

1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 1

yi Jy y

y y y

y y y

Te T T J T iT J T

T J T iT J J T

TT TJ T i TJ T TJ T

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

− − − −

− −

− − − −

= −

= + + − + +

= + + − + +

= +

( )

2 3

0 01 1 10 0 02! 1! 3!

0 0

1 0 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 cos 1 0 0 0 sin0 0 1 0 0 1 0 0

cos 0 sin0 1 0

sin 0 cos

ii

i

ii

i

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

+ − + +

−

= + − −−

=−