algoritma dan bil.bulat

7/25/2019 Algoritma Dan Bil.bulat

1/111

Teknik Elektro 1

Algoritma dan BilanganBulat


2/111

Algoritma

Apa itu Algoritma ?

Algoritma adalah Urutan logis langkah-

langkah penyelesaian masalah yang disusunsecara sistematis.

Menulis algoritma bisa dengan menggunakan

kalimat deskriptif yang menjelaskan kejadiansecara runtut, dengan flowchart atau dengan

Pseudocode.

Teknik Elektro 2


3/111

Pseudocode

Ada bagian struktur suatu algoritma, yaitu !

".#agian $udul %header&'.#agian (eklarasi

.#agian Algoritma

Teknik Elektro 3


4/111

)truktur teks Agoritma !

P*+*AM namaprogram

penjelasan tentang algoritma yg beisi uraian

singkat mengenai masalah yg akan diselesaikan/

(012A*A)3

)emua nama yg dipakai, nama

tipe,konstanta,4ar,prosedur,dan fungsi diumumkan

disini/

A2+*35MA

)emua langkah6aksi algoritma dituliskan disini/

Teknik Elektro 4


5/111


6/111


7/111Teknik Elektro 7

Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat

Misalkan adan bbilangan bulat, a>.

a habis membagi b %a divides b& jika terdapatbilangan bulat c sedemikian sehingga b ac.

@otasi! a b jika b ac, cZdan a>.

Contoh 1! = "' karena "'= %bilangan bulat&atau "' = . 5etapi = " karena "= .' rC n.



Contoh #"%i& "D9:6D: '>, sisa =:!

"D9: D: '> B =:

%ii& E''6 E9, sisa '!

E'' %E9& B '

tetapi E'' %E:& E " salah

karena r E" %syarat > rC n)



Pembagi Bersama Terbesar PBB!

Misalkan adan bbilangan bulat tidak nol.

Pembagi bersama terbesar %P## E greatestcommon di$isor atau gcd& dari a dan b adalah

bilangan bulat terbesar dsedemikian hingga d a

dan d b.

(alam hal ini kita nyatakan bahwa P##%a, b& d.



Contoh %"

Faktor pembagi =

Faktor pembagi ;! ", ', , =, D, "', "9, ;GFaktor pembagi bersama =< dan ;! ", , D

P##%=



Teorema #" Misalkan m dan n bilangan bulat,

dengan syarat n8 > sedemikian sehingga

m nqB r , > rC n

maka P##%m, n& P##%n, r&

Contoh &! m ;>, n "9,

;> "9 B "'

maka P##%;>, "9& P##%"9, "'& ;



Algoritma Euclidean

5ujuan! algoritma untuk

mencari P## dari dua buah

bilangan bulat.

Penemu! 0uclides, seorang

matematikawan Hunani yang

menuliskan algoritmanyatersebut dalam buku,Element.



2ukisan 0uclides 4ersi lain


15/111


16/111



procedure Euclidean(input m, n : integer,

output PBB : integer)

{ Mencari PBB(m, n) dengan syarat m dan n bilangan tak-

negatif dan m n

Masukan: m dan n, m n dan m, n 0

Keluaran: PBB(m, n)

}

Kamus

r : integer

Algoritma:

while n 0 do

r m mod n

m n

n r

endwhile{ n = 0, maka PBB(m,n) = m }

PBB m



Contoh &" m? 9>, n? "' dan dipenuhi syarat mn

9"';9> +=

=9""' +=

>='9 +=

)isa pembagian terakhir sebelum > adalah =, maka P##%9>, "'& ?

=.



1ombinasi 2anjar

P##%a,b& dapat dinyatakan sebagai kombinasi lan'ar%linear combination& adan bdengan dengan koefisien-koefisennya.

Contoh (! P##%9>, "'& = ,

= %-"& 9> B : "'.

Teorema %" Misalkan a dan b bilangan bulat positif,maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikiansehingga P##%a, b& maB nb.



Contoh )! @yatakan P##%'", =



Contoh .:@yatakan P##%"', :>& sebagai kombinasi lanjar "' dan :>.

)olusi! 5erapkan algoritma 0uclidean untuk memperoleh P##%"', :>&!

"' = :> B ' %i&

:> ' ' B ; %ii& ' < ; B ' %iii&

; ' B > %i4&

)isa pembagian terakhir sebelum > adalah ', maka PBB%1#+ )/! , #

)usun pembagian nomor %iii& dan %ii& masing-masing menjadi

' ' E < ;%i4& ; :> E ' ' %4&

)ulihkan %4& ke dalam %i4& menjadi

' ' E E ''& "' E B ">' "" ' E < :> %4i&

)usun pembagian nomor %i& menjadi

' "' E =:> %4ii&

)ulihkan %4ii& ke dalam %4i& menjadi

' "" ' E < :> "" %"' E = :>& E < :> "" . "' E =D :>

$adi, P##%"', :>& ' "" "' E =D :>


22/111

Teknik Elektro 22

*elatif Prima

(ua buah bilangan bulat adan bdikatakan relati

primajika P##%a, b& ".

Contoh 0"

%i& '> dan relatif prima sebab P##%'>, & ".

%ii& : dan "" relatif prima karena P##%:, ""& ".

%iii& '> dan < tidak relatif prima sebab P##%'>,


23/111

Teknik Elektro 23

$ika adan brelatif prima, maka terdapat bilangan

bulat mdan nsedemikian sehingga

maB nb "

Contoh 1/"#ilangan '> dan adalah relatif prima

karena P##%'>, & ", atau dapat ditulis ' . '> B %E"& . " %m ', n E"&

5etapi '> dan < tidak relatif prima karena P##%'>,


24/111

Teknik Elektro 24

Aritmetika odulo

Misalkan adan mbilangan bulat %m8 >&. +perasi

amod m %dibaca Jamodulo mK&

memberikan sisa jika adibagi dengan m.

@otasi! amod m r sedemikian sehingga

a mqB r, dengan > rC m.

m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetikamodulo m terletak di dalam himpunan >, ", ', I, mE"/.


25/111

Teknik Elektro 25

Contoh 11" #eberapa hasil operasi denganoperator modulo!

%i& ' mod < %' < = B &%ii& ': mod > %': D B >&

%iii& ; mod 9 ; %; 9 > B ;&

%i4& > mod "' > %> "' > B >&

%4& E =" mod D = %E=" D %E&

!en"elasan untuk #v):1arena anegatif, bagi adengan mmendapatkan sisa rL. Maka amod mmE rL bila rL >. $adi E =" mod D


26/111

Teknik Elektro 26

Kongruen

Misalnya 9 mod < dan " mod < , makadikatakan 9 " %mod


27/111

Teknik Elektro 27

Contoh 1#"

": ' %mod & # % &abis membagi 1' ( 2 1*)

E: "< %mod ""&

#11 &abis membagi (' ( 1* (22)

"' 6 ' %mod :&

#' tidak &abis membagi 12 ( 2 1+ )

E: 6 "< %mod &

#% tidak &abis membagi (' ( 1* (22)


28/111

Teknik Elektro 28

ab%mod m& dalam bentuk Jsama denganK dapat

dituliskan sebagai

a bB km %kadalah bilangan bulat&

Contoh 1%"

": ' %mod & ": ' B <

E: "< %mod ""& E: "< B %E'&""


29/111

Teknik Elektro 29

amod m r dapat juga ditulis sebagai

a

r%mod m&

Contoh 1&"

%i& ' mod < ' %mod %mod &

%iii& ; mod 9 ; ; ; %mod 9&

%i4& > mod "' > > > %mod "'&

%4& E =" mod D = E=" = %mod D&

%4i& E D mod " > E D > %mod "&


30/111

Teknik Elektro 30

Teorema &" Misalkan madalah bilangan bulat

positif."&$ika a b %mod m& dan c adalah sembarang

bilangan bulat maka

%i& %aB c& %bB c& %mod m&

%ii& acbc %mod m&

%iii& apbp%mod m& ,pbilangan bulat tak-negatif

'& $ika ab%mod m& dan cd%mod m&, maka%i& %aB c& %bB d& %mod m&

%ii& acbd%mod m&


31/111

Teknik Elektro 31

ukti%hanya untuk "%ii& dan '%i& saja&!

"%ii& ab%mod m& berarti!

a bB kmaE b km

%aE b&c ckm

ac bcBKm

acbc%mod m&

'%i& ab%mod m& a bB k"m

cd%mod m& c dB k'm B

%aB c& %bB d& B %k"B k'&m %aB c& %bB d& B km % k k"B k'&

%aB c& %bB d& %mod m&


32/111

Teknik Elektro 32

Contoh 1*"

Misalkan ": ' %mod & dan "> = %mod &,

maka menurut 5eorema =,

": B < ' B < %mod & '' : %mod &

": . < < ' %mod & 9< "> %mod &

": B "> ' B = %mod & ': ; %mod &

": . "> ' = %mod & ":> 9 %mod &


33/111

Teknik Elektro 33

5eorema = tidak memasukkan operasi pembagian

pada aritmetika modulo karena jika kedua ruas

dibagi dengan bilangan bulat, maka kekongruenantidak selalu dipenuhi.

Contoh 1(!

"> = %mod & dapat dibagi dengan '

karena ">6' < dan =6' ', dan < ' %mod &

"= 9 %mod ;& tidak dapat dibagi dengan ', karena"=6' : dan 96' =, tetapi : 6 = %mod ;&.


34/111

Teknik Elektro 34

2atihan

$ika a b %mod m& dan c d %mod m& adalah

sembarang bilangan bulat maka buktikan bahwa

acbd %mod m&

.


35/111

Teknik Elektro 35

)olusi

ab%mod m& a b - k1m

cd%mod m& c d - k2m

makaac %b - k1md - k2m)

ac bd - bk2m - dk1m - k1k2m2

ac bd - Km denganK bk2- dk1- k1k2m

ac bd mod m! %terbukti&


36/111

Teknik Elektro 36

Balikan Modulo (modulo invers)

(i dalam aritmetika bilangan riil, in4ersi%inverse& dari perkalian adakah pembagian.

7ontoh! 3n4ersi = adalah "6=, sebab = "6= ".

(i dalam aritmetika modulo, masalahmenghitung in4ersi modulo lebih sukar.


37/111

Teknik Elektro 37

$ika adan mrelatif prima dan m8 ", maka

balikan %invers& dari amodulo mada.

#alikan dari a modulo m adalah bilangan

bulatsedemikian sehingga

a" %mod m&(alam notasi lainnya, aE"%mod m&


38/111

Teknik Elektro 38

#ukti! a dan m relatif prima, jadi P##%a, m& ", danterdapat bilangan bulatdan/sedemikian sehingga

aB/m "

yang mengimplikasikan bahwa

aB/m" %mod m&

1arena/m> %mod m&, maka

a" %mod m&

1ekongruenan yang terakhir ini berarti bahwa adalahbalikan dari amodulo m.


39/111

Teknik Elektro 39

Pembuktian di atas juga menceritakan

bahwa untuk mencari balikan dari amodulo

m, kita harus membuat kombinasi lanjardari adan msama dengan ".

1oefisien a dari kombinasi lanjar tersebutmerupakan balikan dari amodulo m.


40/111


41/111

Teknik Elektro 41

7atatan! setiap bilangan yang kongruen dengan

E' %modD&

juga adalah in4ersi dari =, misalnya :, E"", ";, dan

seterusnya, karena

: E' %modD& %D habis membagi : E %E'& D&

E"" E' %modD& %D habis membagi E"" E %E'& ED&

"; E' %modD& %D habis membagi "; E %E'& "9&


42/111

Teknik Elektro 42

%b& 1arena P##%":, :& ", maka balikan dari ": %mod :& ada. (arialgoritma 0uclidean diperoleh rangkaian pembagian berikut!

": ' : B %i&

: ' B " %ii& " B > %iii& %yang berarti! P##%":, :& "& &

)usun %ii& menjadi!

" : E ' %i4&

)usun %i& menjadi

": E ' : %4& )ulihkan %4& ke dalam %i4&!

" : E ' %": E ' :& " : E ' ": B = : < : E ' ":

atau

E' ": B < : "

(ari persamaan terakhir diperoleh E' adalah balikan dari ": %mod :&

E' ": " %mod :& %: habis membagi E' ": E " E


43/111

Teknik Elektro 43

%c& 1arena P##%"9, ">& ' ", maka balikan dari

"9 %mod ">& tidak ada.


44/111


45/111

Teknik Elektro 45

Contoh 1.! #alikan dari = %mod D& adalah sedemikiansehingga =" %mod D&

=" %mod D& = " B Dk %" B Dk&6=

Untuk k > tidak bulat k " tidak bulat

k ' tidak bulat

k %" B D . &6= :

k -" %" B D. E"&6= -'#alikan dari = %mod D& adalah : %mod D&,

-' %mod D&, dst


46/111

Teknik Elektro 46

2atihan

5entukan semua balikan dari D %mod ""&.


47/111

Teknik Elektro 47

)olusi!

Misalkan D-"%mod ""&

Maka D" %mod ""& atau D " B ""katau

%" B ""k&6D

(engan mencoba semua nilai kyang bulat %k >, -", -', ...,", ', ...& maka

diperoleh


48/111

Teknik Elektro 48

Kekongruenan Lanjar

1ekongruenan lanjar berbentuk!

ab%mod m&

%m8 >, adan bsembarang bilangan bulat, dan

adalah peubah bilangan bulat&.

Pemecahan! a bB km

%7obakan untuk k >, ", ', I dan k E", E', Iyang menghasilkansebagai bilangan bulat&

a

kmb

+=

Contoh 10


49/111

Teknik Elektro 49

Contoh 10"

5entukan solusi! = %mod D& dan ' %mod =&

Penyelesaian!

%i& = %mod D&

=D += k.

k > % B > D&6= 6= %bukan solusi&

k " % B " D&6=

k ' % B ' D&6= '"6= %bukan solusi&k , k = tidak menghasilkan solusi

k < % B < D&6= "'I

k E" % E " D&6= E;6= %bukan solusi&

k E' % E ' D&6= E"


50/111

Teknik Elektro 50

Cara lain menghitung solusi

ax bmod m!

)eperti dalam persamaan biasa,

= "' kalikan setiap ruas dengan "6= %yaituin4ers =&, maka "6= . = "' . "6=

= %mod D& kalikan setiap ruas dengan balikan dari

= %mod D& %dalam hal ini sudah kita hitung, yaitu E'&

%-'& . =%-'& . %mod D& -9-; %mod D&

1arena E9 " %mod D&, maka-; %mod D&. )emua blanganbulat yang kongruen dengan E; %mod D& adalah solusinya,yitu , "', I, dan E;, -"


51/111

Teknik Elektro 51

%ii& ' %mod =&

'

= +=

k

1arena =k genap dan ganjil maka penjumlahannya

menghasilkan ganjil, sehingga hasil penjumlahan tersebut jika

dibagi dengan ' tidak menghasilkan bilangan bulat. (engan

kata lain, tidak ada nilai-nilai yang memenuhi ' %mod


52/111

Teknik Elektro 52

2atihan

)ebuah bilangan bulat jika dibagi dengan

bersisa ' dan jika ia dibagi dengan < bersisa

. #erapakah bilangan bulat tersebut


53/111

Teknik Elektro 53

)olusi

Misal ! bilangan bulat mod ' ' %mod &

mod < %mod


54/111

Teknik Elektro 54

' B k"

' B %' B


55/111

Teknik Elektro 55

Chinese Remainder Problem

Pada abad pertama, seorang matematikawan 7hina yang bernama)un 5se mengajukan pertanyaan sebagai berikut!

0entukan sebua& bilangan bulat /ang bila dibagi dengan *

men/isakan %, bila dibagi ' men/isakan *, dan bila dibagi 11men/isakan '.

Misakan bilangan bulat tersebut . Formulasikan kedalam sistemkongruen lanjar!

%mod


56/111

Teknik Elektro 56

Teorema *" Chinese Remainder Theorem!Misalkan m", m', I, mn adalah bilangan bulat

positif sedemikian sehingga P##%mi, m"& " untuk

i". Maka sistem kongruen lanjar

ak%mod mk&

mempunyai sebuah solusi unik dalam modulo mm"m'I mn.


57/111

Teknik Elektro 57

Contoh 1*"5entukan solusi dari pertanyaan )un 5se di atas.

Penyelesaian!

%mod


58/111


59/111

Teknik Elektro 59

Bilangan Prima

#ilangan bulat positif p %p 8 "& disebut

bilangan prima jika pembaginya hanya "

danp.

7ontoh! ' adalah bilangan prima karena ia

hanya habis dibagi oleh " dan '.


60/111

Teknik Elektro 60

1arena bilangan prima harus lebih besar dari ", makabarisan bilangan prima dimulai dari ', yaitu ', , , selain " dan '>sendiri.


61/111

Teknik Elektro 61

Teorema (" The Fundamenal Theorem o!"rihmeic!" )etiap bilangan bulat positif yanglebih besar atau sama dengan ' dapat dinyatakan

sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

Contoh 1("

D

">> ' ' < ">

terdapat=


67/111

Teknik Elektro 67

Aplikasi 5eori #ilangan

3%nternational ook erial 3umber&

Fungsi &as&

1riptografiPembangkit bilangan acak-semu

dll


68/111

Teknik Elektro 68

3

1ode 3)#@ terdiri dari "> karakter, biasanyadikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya>E>"&&.


69/111

Teknik Elektro 69

1arakter uji dipilih sedemikian sehingga

=

">

"i ii.> %mod ""&

=

D

"i ii. mod "" ? karakter uji

7ontoh! 3)#@ > >"< =


70/111

Teknik Elektro 70

7ontoh! 3)#@ >E>" B ' B > B = " B < < B ; = B

: < B 9 ; B D " "


71/111

Teknik Elektro 71

7atatlah bahwa untuk kode 3)#@ ini,

=

">

"i i

i. ? =

D

"i i

i. B ">.">? " 9 ? '"dan '" mod "" ? > atau '" > %mod ""&.


72/111

Teknik Elektro 72

Fungsi4as&

5ujuan! pengalamatan di memori

#entuk! &%k& kmod m

5 m! jumlah lokasi memori yang tersedia

- k ! kunci %integer&

- &%k& !lokasi memori untuk recorddengan

kunci k

7 h "" i l l i dib i i d k >


73/111

Teknik Elektro 73

7ontoh! m "" mempunyai sel-sel memori yang diberi indeks >

sampai ">. Akan disimpan data record yang masing-masing

mempunyai kunci "

&%"'& "' mod "" >

&%">'& ">' mod ""

&%' "< <


74/111

Teknik Elektro 74

1olisi %collision& terjadi jika fungsi &as&menghasilkan nilai h yang sama untuk k yang

berbeda.

$ika terjadi kolisi, cek elemen berikutnya yangkosong.

Fungsi &as&juga digunakan untuk me-locateelemen yang dicari.


75/111

Teknik Elektro 75

1riptografi

Pesan! data atau informasi yang dapatdibaca dan dimengerti maknanya.

@ama lain! plainteks%plaintet&

Pesan dapat berupa! teks, gambar, audio,4ideo.

Pesan ada yang dikirim atau disimpan didalam media penyimpanan.


76/111

Teknik Elektro 76

Cipherteks%cip&ertet&! pesan yang telahdisandikan sehingga tidak memiliki maknalagi.

5ujuan! agar pesan tidak dapat dimengertimaknanya oleh pihak lain.

7ipherteks harus dapat diubah kembali keplainteks semula


77/111

Teknik Elektro 77

7ontoh!

Plainteks!culik anak itu jam 11 siang

7ipherteks!t^$g!i"#rewopd%&':puc*+


78/111

Teknik Elektro 78

Enkripsi%encr/ption&! proses menyandikan

plainteks menjadi ciphertek.

Dekripsi%decr/ption&! Proses

mengembalikan cipherteks menjadi

plainteksnya.


79/111

Teknik Elektro 79

plainteks chiperteks plainteks semulaenkripsi dekripsi

Gambar 1.1 Enkripsi dan dekripsi


80/111

Teknik Elektro 80

3riptografi cr#$ogra$h#!

(ari #ahasa Hunani yang artinya Jsecret6ritingK

(efinisi! kriptografi adalah ilmu dan seniuntuk menjaga keamanan pesan.


81/111


82/111

Teknik Elektro 82

)ejarah 1riptografi

)udah digunakan di Hunani =>> #7

Alat yang digunakan!sc/tale

Gambar 1.2 Scytale


83/111

Teknik Elektro 83

Aplikasi 1riptografi

". Pengiriman data melalui saluran

komunikasi

%data encr/ption on motion&.

'. Penyimpanan data di dalam disk storage

%data encr/ption at rest&


84/111

Teknik Elektro 84

(ata ditransmisikan dalam bentuk chiperteks. (i

tempat penerima chiperteks dikembalikan lagi

menjadi plainteks.

(ata di dalam media penyimpanan komputer

%seperti &ard disk& disimpan dalam bentuk

chiperteks. Untuk membacanya, hanya orang yang

berhak yang dapat mengembalikan chiperteks

menjadi plainteks.


85/111

Teknik Elektro 85

7ontoh enkripsi pada dokumenPlainteks %plaint*t&!

-etika sa.a /erjalanjalan di pantai,

sa.a menemukan /an.ak sekali kepiting

.ang merangkak menuju laut ereka

adalah anakanak kepiting .ang /aru

menetas dari dalam pasir 2alurimereka mengatakan /ahwa laut adalah

tempat kehidupan mereka

7ipherteks %ciphert*t&!

+t3*4p56p7p5&t8.p9p;.p9p5s*5 p3p*4p5&p7p456t4p9*54t *3* ?7p?5=t8p?4p45=t>.>59p>3@5 At8t4

ppsp9pw5pp4;pp454t *3*?57p

?5&p8>=tt3p65sp8*5sp9p=5 p6*8@5

p9>8*=tt84p5=t?p3p4p5&pwCp59p> 3

5psp9pw3t= p354tw*s> p5=t8t4p@


86/111

Teknik Elektro 86

Plainteks %lena/mp&! 7ipherteks %lenaD/mp&!


87/111

Teknik Elektro 87

Plainteks %siswad/&!

@3M @ama 5inggi #erat

000001 Elin amilah 1F0 G0

00000D ari4 H 1GI J#00000K auik Lida.at 1IF FG

00000J Miti 2urhali4a 1ID FI

00000G Nma Orama 1I1 F0

00000F 4i4 Burhan 1"1 GJ

00000I Manti 2ursanti 1FI G#

00000" Qut Ranti 1F# F1

00000# Ona Ma/arina 1I1 FD


88/111

Teknik Elektro 88

7ipherteks %siswaDd/&!

@3M @ama 5inggi #erat

000001 t8p?4p45=t>.>59>3 =>4p 6p7p

00000D =tt3p65sp8*5sp p6*8@ 4tw*s>

00000K 3t= p354tw*s> p5= 5=t8 sp8*5

00000J 6p7p5=tt=>4p5&p7p4 &p7p4 w*s>

00000G 6t4p9*54t *3*?7p p>35psp 6t4p9

00000F sp8*5sp9p=5 p6*8@5 *3*? tt84p5=

00000I +t3*4p56p7p5&t8.pp; >4p >.>59

00000" &pwCp59p>35psp9pw +tw*s *3*?

00000# t=>4p5&p7p456p9 &p7p >4p5&p

1eterangan! hanyaield@ama, #erat, dan 5inggi yang dienkripsi.


89/111

Teknik Elektro 89

@otasi Matematis

Misalkan!

7 chiperteks

! plainteks dilambangkan

Fungsi enkripsiEmemetakan!ke 7,

E%!& 7

Fungsi dekripsi8memetakan 7ke!, 8%7& !


90/111

Teknik Elektro 90

(engan menggunakan kunci K, maka fungsienkripsi dan dekripsi menjadi

EK%!& 7

8K%7& ! dan kedua fungsi ini memenuhi

8K%EK%!&& !


91/111

Teknik Elektro 91

K K

plainteks chiperteks plainteks semulaenkripsi dekripsi

Gambar 1.3 Enkripsi dan dekripsi dengan kunci


92/111

Teknik Elektro 92

$ika kunci enkripsi sama dengan kunci dekripsi, makasistem kriptografinya disebut sistem simetri atausistemkon$ensional.

Algoritma kriptografinya disebut algoritma simetri ataualgoritma kon4ensional .

7ontoh algoritma simetri!

-8E%8ata Enc/ption tandard&

- *ijndael


93/111

Teknik Elektro 93

)kema algoritma simetri

$ika kunci enkripsi tidak sama dengan kunci dekripsi, maka sistemk i t fi di b t i t i i t i % t i t &


94/111

Teknik Elektro 94

kriptografinya disebut sistemnirsimetri %as/mmetric s/stem&

@ama lain! sistemkriptografi kunci4publik

karena, kunci enkripsi bersifat publik %public ke/& sedangkan kunci dekripsibersifat rahasia %private ke/&.

Pengirim pesan menggunakan kunci publik si penerima pesan untukmengenkripsi pesan

Penerima pesan mendekripsi pesan dengan kunci pri4atnya sendiri.

7ontoh algoritmai!9


95/111

Teknik Elektro 95

Kunci publik Kunci privat

plainteks cipherteks plainteks asal

enkripsi dekripsi


96/111

Teknik Elektro 96

Caesar Ci$her

5iap huruf alfabet digeser huruf ke kanan

i: B Q S E T L O - ' 2 N P U H M ! V % W R +

ci : D E F G H I J K L M N O P Q R S T U ! " # $ A % &

7ontoh!Plainteks! %MO MEHOW S2 E22R NBE'OW

7ipherteks! D$DL D!HULA GDQ !HPDQQ%A REHOLA


97/111

Teknik Elektro 97

Misalkan >, ", I,; '


98/111

Teknik Elektro 98

p" AL > c"E%>& %> B & mod '; (L

p' L '' c'E%''& %'' B & mod '; '< QL

p AL > cE%>& %> B & mod '; (L

p= )L "9 c=E%"9& %"9 B & mod '; '" RL

dstI

Alternatif lain: gunakan tabel substitusi


99/111

Teknik Elektro 99

$ika pergeseran huruf sejauh k, maka!

0nkripsi! ciE%pi& %piB k& mod ';(ekripsi!pi8%ci& %ciE k& mod ';

k kunci rahasia


100/111

Teknik Elektro 100


101/111

Teknik Elektro 101

"lgorima R%"

(itemukan oleh tiga peneliti dariM0

%Massac&ussets nstitute o 0ec&nolog/&,

yaitu *on *i4est, Adi )hamir, dan 2en

Adleman, pada tahun "D:;.

5ermasuk algoritma kriptografi nirsimetri.


102/111

Teknik Elektro 102

)etiap pengguna mempunya sepasan kunci!

". 1unci publik! untuk enkripsi

'. 1unci pri4at! untuk dekripsi

1unci publik tidak rahasia %diktehui semua

orang&, kunci pri4at rahasia %hanyadiketahui pemilik kunci saja&


103/111

Teknik Elektro 103

Pembangkitan pasangan kunci

". Pilih dua bilangan prima, adan b %rahasia&

'. Situng n ab. #esaran ntidak perlu dirahasiakan.

. Situng m %aE "&%bE "&.=. Pilih sebuah bilangan bulat untuk kunci publik, sebut

namanya e, yang relatif prima terhadap m.


104/111

Teknik Elektro 104

Enkripsi

". @yatakan pesan menjadi blok-blok plainteks!p",p',

p, I %harus dipenuhi persyaratan bahwa nilaipi

harus terletak dalam himpunan nilai >, ", ', I, nE "

untuk menjamin hasil perhitungan tidak berada di

luar himpunan&

'. Situng blok cipherteks ciuntuk blok plaintekspi

dengan persamaan

cipiemodn

yang dalam hal ini, eadalah kunci publik.


105/111

Teknik Elektro 105

Dekripsi

Proses dekripsi dilakukan dengan menggunakan

persamaan

pi cidmodn,

yang dalam hal ini, dadalah kunci pri4at.


106/111

Teknik Elektro 106

Contoh #1" Misalkan a =: dan b :" %keduanyaprima&, maka dapat dihitung

n ab :

m %aE "&%bE "& ''>.

Pilih kunci publik e :D %yang relatif prima dengan''> karena pembagi bersama terbesarnya adalah "&.

@ilai edan ndapat dipublikasikan ke umum.


107/111

Teknik Elektro 107

)elanjutnya akan dihitung kunci dekripsi ddengankekongruenan!

ed" %mod m&

(engan mencoba nilai-nilai k ", ', , I,diperoleh nilai d yang bulat adalah ">"D. 3niadalah kunci dekripsi.

:D

&''>%" +=k

d


108/111

Teknik Elektro 108

Misalkan plainteks ! SA*3 3@3

atau dalam desimal A)733! :';


109/111

Teknik Elektro 109

c" :';:Dmod : '">

digit.

Menurut *i4est dan kawan-kawan, uasaha untukmencari faktor bilangan '>> digit membutuhkan

waktu komputasi selama = milyar tahunT %denganasumsi bahwa algoritma pemfaktoran yangdigunakan adalah algoritma yang tercepat saat inidan komputer yang dipakai mempunyai kecepatan

" milidetik&.

algoritma dan bil.bulat

Documents