pemodelan beam ok

7/23/2019 Pemodelan Beam OK

http://slidepdf.com/reader/full/pemodelan-beam-ok 1/12

Pemodelan Kasus Beam

Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT.

PEMODELAN LENTURAN/LENDUTAN

Dalam perencanaan suatu bagian mesin atau struktur selainperhitungan tegangan (stress) yang terjadi akibat beban yang bekerja,besarnya lenturan seringkali harus diperhitungkan. Hal ini disebabkanwalaupun tegangan yang terjadi masih lebih kecil daripada teganganyang diijinkan oleh kekuatan bahan, bisa terjadi besar lenturan akibatbeban yang bekerja melebihi batas yang diijinkan. Keadaan demikiandapat menyebabkan kerusakan yang serius pada bagian mesinseperti :

a. Keretakan pada bahanb. Bantalan pada poros yang berputar cepat rusak.c. Bidang kontak antara rodaroda gigi menjadi tidak sempurna.

Besarnya lenturan yang terjadi pada suatu bagian mesin terutamatergantung kepada beberapa !aktor sbb.

a. "i!at kekakuan bahan (modulus elastisitas)b. #osisi batang terhadap beban dan dimensi batang, yang

biasanya ditunjukkan dalam besaran momen inertia batang.c. Besarnya beban yang diterima

$enturan pada suatu batang dapat terjadi akibat adanya bebangaya geser atau momen lentur. $enturan akibat beban geser umumnyasangat kecil dibandingkan dengan lenturan akibat beban momen.$enturan akibat beban geser biasanya hanya diperhitungkan untukbatang yang sangat pendek, sehingga proporsi terhadap lenturan yangterjadi karena beban momen menjadi cukup berarti. #enyelesaian

kasus lenturan dapat digunakan dengan metode analitis,eksperimental maupun dengan metode numerik.

1. Metode Analitis dengan Metode Castigliano%etode ini merupakan metode yang paling banyak dipakai untuk

pemecahan masalah lenturan yang terjadi pada suatu struktur ataubatang. %etode ini dikembangkan oleh seorang insinyur &taliabernama 'lberto astigliano pada tahun *+. -eori dasar metode inidikembangkan berdasarkan perhitungan besar energi yang tersimpandidalam suatu batang akibat beban yang bekerja padanya.

#rinsip kekekalan energi dapat dipakai sebagai dasarpembahasan metode ini, yaitu energi input harus selalu sama dengan

output ditambah energi yang hilang dan lainlain. #ada suatu batangyang terbebani energi inputnya adalah kerja yang dilakukan olehbeban, sedang outputnya adalah energi yang tersimpan didalambatang karena batang tidak melakukan kerja.

-eori dasar dari metode astigliano, yang secara umum dapatdijabarkan sebagai : Apabila energi strain yang tersimpandidalam batang dapat dinyataan dalam !"ngsi gaya#gaya yangbeer$a padanya% t"r"nan partial !"ngsi tsb. ter&adap sala&sat" gaya adala& sama dengan lent"ran yang ter$adi pada titi beer$anya gaya terseb"t.Besar lenturan (yi) yang terjadi pada suatu titik dimana bekerja gaya #i

adalah :

1





yi /iP

U

δ

δ

/EI

) dx

P

MM

L

i

∫ 0

δ

δ 1111111111.. ()

'. Pemodelan as"s lend"tan dengan metode elemen &ingga

'.1 Elemen (eam$endutan batang dijelaskan dalam elemen beam sebagai !ungsi

perpindahan 2(3). 4ungsi di5erensial dari kesetimbangan elemenbeam dalam kondisi tidak mengalami pembebanan yaitu :

6

6

x

v

∂∂

/ 0

7ambar . %odel elemen beam 8 node

"olusi pendekatan yang dipilih adalah !ungsi polinomial cubic :2(3) / a 9 a8 3 9 a 38 9 a6 3 111111111.. (8)

konstanta a, a8, a dan a6 dapat dicari dengan meman!aatkanpersamaan kondisi batas yang ada pada node.

2 / 2 dan x

v

∂

∂ / θ pada 3 / 0

2 / 28 dan x

v

∂

∂ / θ8 pada 3 / $ 111111111.. ()

"ehingga didapatkan persamaan perpindahan titik node dengankonstanta yang akan dicari dalam bentuk matrik sebagai berikut :

8

8

)

)

θ

θ

v

v

/

8

,8

88)0

)

00)0

000)

LL

LLL

6

,

8

)

a

a

a

a

%atrik konstanta dapat dicari dengan in2ers yaitu :

6

,

8

)

a

a

a

a

/,

)

L

−

−−−LL

LLLL

L

L

88

,8,

000

000

88

,

,

8

8

)

)

θ

θ

v

v

2

y, v

Y1, v

1

L

x, u

Y2, v

2

M1, θ

1

M2, θ

2

E I21





dan dimasukkan kembali pada !ungsi polinomial cubic (8) sehingga :

2(3) / 2 9 3 θ 8

8

,L

x 2 L

x 8

8 θ 98

8

,L

x 28 L

x 8

θ8 9,

,

8L

x 2 98

,

L x θ

,

,8

L

x 28 9

8

,

L

x θ8

dibentuk menjadi rumusan akhir berikut :

2(3) / (3) 2 9 8(3) θ 9 (3) 28 9 6(3) θ8

dengan : (3) / ;

8

L

x 9 8

,

L

x

8(3) / 3 ; 8

L

x 8

9

8

,

L

x

(3) /

8

L

x 8

,

L

x

6(3) / ;

L

x 8

9

8

,

L

x 111111111.. (6)

(3), 8(3), (3) dan 6(3) adalah )&ape *"n+tion.#ersamaan sti5ness dari elemen beam didapat dengan menggunakanteorema astigliano yaitu :

4i /i

q

U

∂

∂ 1111111.. (<)

Dengan : 4i / nodal !orce = moment> / strain energy? / perpindahan = rotasi nodal do! i / jumlah do!

"train energy elemen beam dengan uni!orm cross section adalah :

> /8

IE 8

0

8

8

∫

∂∂L

x

v d3 1111111.. (@)

"ehingga dibutuhkan di5erensial terhadap shape !unction untukmemenuhi persamaan di atas.

8

8

x

v

∂∂

/ AA(3) 2 9 8

AA(3) θ 9 AA(3) 28 9 6

AA(3) θ8 111.. (+)

dengan : AA (3) /

8

@

L9 8

,L

x

8AA (3) /

L

69 @

8L

x

AA (3) /

8

@

L 8

,L

x

6AA (3) /

L

89 @

8L

x 111111111.. (*)

Dengan memasukkan persamaan (+) ke dalam teorema castigliano,maka diperoleh :

3





i /i

v

U

∂

∂ /

8

IE

∫

∂∂

∂∂

∂∂L

i x

v

v x

v

0

8

8

8

8

8 d3

/ C & ∫ L

0

( AA(3) 2 9 8

AA(3) θ 9 AA(3) 28 9 6

AA(3) θ8 ) AA(3) d3

/ k 2 9 k8 θ 9 k 28 9 k6 θ8

dengan : k / C & ∫ L

0

AA(3)

AA(3) k8 / C & ∫ L

0

AA(3) 8

AA(3)

k / C & ∫ L

0

AA(3)

AA(3) k6 / C & ∫ L

0

AA(3) 6

AA(3)

diambil contoh untuk menghitung k yaitu :

k / C & ∫ +L

L x

0

8

,8 )8

$@ d3 /

6LIE

L

L x

0

8

,8

6*$3+8,@3

+

/ 8,L

IE

Dengan prosedur yang sama maka dapat dirumuskan persamaansti5ness yaitu :

8

8

)

)

M

Y

M

Y

/ L

IE

−

−−−

−

−

6@

8@

@)8@)8

8@

6@

@)8@)8

88

88

LL

LLLL

LL

LLLL

8

8

)

)

θ

θ

v

v

atau dalam simbol : ,*- 0 ,2-

ontoh kasus : Hitung displacement di titik 8 pada kasus beam dibawah ini.

Model Elemen hingga dapat digambarkan sebagai berikut:

4

2L

EI2EI

PL P

L

Y1, v

1 Y

, v

M1, θ

1 M

, θ

2E I21 3

Y2, v

2

M2, θ

2

2LL

E I





Persamaan ,*- 0 ,2- didenisikan sesuai in!ormasi kasus,sehingga:

=

=

!"k#!"k

!"

21

2

2

1

1

assembly global K

M Y

M

Y

M

Y

2

2

1

1

θ

θ

θ

v

v

v

Masukkan harga pembebanan $Y2 % &P, M2 % PL dan M%'( dan harga

displa)ement kondisi batasnya $v1 %θ

1 % v % '(, sehingga:

5





==

−

!"k#!"k

!"

'

21

1

1

assembly global K

Y

PL

P M

Y

2

2

'

'

'

θ

θ

v

*ihitung "k! lokal masing&masing elemen "k!1 dan "k!2

2211 θ θ vv 22

θ θ vv

6





[ ] L

EI k =

1

−

−

−

+

,12

2,

+

,12,12

2

22

L L simetri

L

L L L L

2

2

1

1

θ

θ

v

v

[ ] L

EI k =

2

−

−

−

+

2+

2

22

L L simetri

L

L L L L

2

2

θ

θ

v

v

-ssembly "k!1 dan "k!2 men.adi elemen kekakuan global "/!0

2211 θ ν θ ν θ ν

[ ] L

EI K

G2

2=

−

−+

−+

−+

−

−

+

2

++

,12

''2,

+

''

,12,12

2

222

22

L L

L

L L L L L L

L

L L L L

*imasukkan ke persamaan ,*- 0 ,2- sehingga:

7

v1

θ 1

v2

θ 2

v3

θ 3





=

−

'

1

1

Y

PL

P

M

Y

L

EI

2

2

−

−+

−+

−+

−

−

+

2

++

,12

''2,

+

'',12,12

2

222

22

L L

L

L L L L L L

L

L L L L

2

2

'

'

'

θ

θ

v

=

−

'

PL

P

L

EI

2

2

−

+

2

1

2 L L L

2

2

θ

θ

v

2

2

θ

θ

v

% EI

L

23,

−

−

2

22

111

41

'12

L

L L

L L

−

'

PL

P

2

2

θ

θ

v

% EI

PL

23,

−

−

L

L

4

1'

34. Conto& 0as"s Per&it"ngan Lent"rana). Data Kasus :

• $ebar #lat / 80 mm

• #anjang dan -ebal #lat#lat : #anjang / @+ mm, dan -ebal / 6 mm#lat 8 : #anjang / @<0 mm, dan -ebal / mm

• Besar #embebanan

# / 800, 00, 600, <00, @00, +00, *00, E00, 000 dan 00 gr

• Farak pengukuran data / 0 mm pada tiaptiap lokasi

pengambilan data ('B, B, D, C4 dan sisa jarak pada 47)

• #osisi #embebanan yaitu di ujung batang

8





7ambar 8. %odel Kasus dan Farak $okasi #engambilan Data

b) Komparasi yang dilakukan adalah dengan :

. Ckperimental dengan cara mengukur lenturan8. %etode 'nalitis dengan %etode astigliano. %etode umerik dengan %etode Clemen Hingga

54. 6asil 0omparasia. Eperimental dengan +ara meng""r lent"ranData lendutan diukur dengan dial indicator dapat dilihat pada tabelberikut:

-abel . Data $endutan untuk plat ($ / @+ mm, t / 6 mm)

# (gr)$GK'"& #C7'%B&$' D'-' $CD>-' (mm)

' B D C 4 7

800 0,88 ,6 8,<< 6,8E @,8+ *,8 *,E00 0,< ,E< ,+6 @,68 E,@ 8,< 8,@

600 0,<E< 8,<E< 6,E@ *,6< ,E*< @ @,+8

<00 0,+6 ,E< @,E 0,<< 6,*E E,** 80,+6

@00 0,*< ,++< +,* 8,6@ +,*<< 8,*8 86,E*

+00 ,8< 6,6 *,<< 6,66 80,+* 8+,<*< 8E

*00 ,<< 6,E8 0,+@< @,*< 8,@< ,6E ,<

E00 ,@*< <,<+< *,6 8@,6 <,86E +,@

000 ,E @,E 8,+ 80,68< 8E,8 *,E@ 60,*

00 8,+ @,+@ ,6+< 88,@ 8, 68,<+ 66,E0<

-abel 8. Data $endutan untuk plat 8 ($ / @<0 mm, t / mm)b.

Metode Analitis dengan Metode Castigliano

# (gr)$GK'"& #C7'%B&$' D'-' $CD>-' (mm)

' B D C 4 7

800 0,E ,8< @,<8< 0,@8 <,< 80,0*< 88,0

00 ,< 6,@<< E,+<< <,<+< 88,8* 8E,< 8,8@

600 ,+* @,0< 8,* 80,+< 8*,E< *,E 68,6E

<00 8,8< +,6E< <,8 8<,8 @,*< 6*,< <8,<@

@00 8,@+ *,+< *,6 0,0< 6,8 <+,E @8,<@

+00 8,E@ 0 8, 6,E <0 @@,@ +8,<

*00 ,8 ,8+ 86,8 E,<E <@,E +<,@ *8,0*

E00 ,+ 8,@* 8+,0+ 66, @,+<< *6,88 E,<*

000 6,0< 6, 8E,<E< 6*,E+ +0,8< E8,<8 00,*

00 6,6@ <,6< 8,+< <,@<< +@,@6< 0,8 0E,*@

9

P

y

x

x

P L

x

56- * E 7 0

y





7ambar . %odel potongan untuk perhitungan metodeastigliano

"umbu koordinat diambil pada ujung bebas, sehingga momenyang bekerja pada jarak 3 adalah,

% / #3 -urunan partial !ungsi momen terhadap gaya # adalah

δ%=δ#/ 3

C&.y / ∫ L

0

(#38) d3 /,

,LP

"ehingga lenturan yang terjadi pada # adalah : y /EI

LP

,

,

Dengan memasukkan data 2ariasi pembebanan (#), %odulus

Clastisitas bahan (C / E,< 3 0

%#a) dan momen inersia (&), makadapat ditabulasikan hasil perhitungan lendutan pada ujung batang (dititik 7) sebagai berikut :

-abel Hasil perhitungan dengan metode astigliano

# (gr) $endutan #lat $endutan #lat 8

800 *,8*6< 80,*@68

00 8,68@+ ,8E@

600 @,<@*E 6,+8*6

<00 80,+ <8,@0<

@00 86,*<6 @8,<E8@+00 8*,EE<@ +,086+

*00 ,+* *,6<@*

E00 +,8*00 E,***E

000 6,688 06,80

00 6<,<@6< 6,+<

+. Metode Elemen 6ingga dengan bant"an Ansys.#emodelan dilakukan dengan menggunakan elemen beam, yaitu

elemen garis dengan 8 node dan masingmasing node memiliki 8 do! yaitu translasi (dalam bentuk lendutan) dan rotasi (dalam bentuk

slope). %eshing Kasus dibuat dengan cara manual, yaitu pada masing

10





masing lokasi pengukuran data dibuat node, sehingga total dipakaisejumlah + buah elemen dan * node.

7ambar 6. #emodelan metode elemen hingga

-abel 6. Hasil perhitungan dengan 'nsys untuk plat

# (gr)$GK'"& #CH&->7' D'-' $CD>-' (mm)

' B D C 4 7

8000.8E088 .0E@* 8.8@ .*+66 <.@<0 +.<@< *.8*6<

000.6<6 .@6<8 .6*< <.*< *.6+E@ .6< 8.68+

6000.<*06< 8.E@ 6.@6+ +.+6*+ .0@ <.8+ @.<@E

<000.+8<<@ 8.+680 <.*0*E E.@*<E 6. *.E0E 80.+

@000.*+0@+ .8E06 @.E+0+ .@8 @.E<E 88.@E0 86.*<

+00 .0<* .*** *.8< .<@0 E.+*@ [email protected]+8 8*.EE@

*00 .@0E 6.*+8 E.8E68 <.6E+ 88.@8 0.8<6 .*

E00 .0@0 6.E<@ 0.6<@ +.6< 8<.6E 6.0@ +.8*0

000 .6< <.6*60 .@* E.+8 8*.8@< +.*+ 6.688

00 .<E@8 @.086 8.+*0 8.0E .0E8 6.<EE 6<.<@6 -abel <. Hasil perhitungan dengan 'nsys untuk plat 8

# (gr)$GK'"& #CH&->7' D'-' $CD>-' (mm)

' B D C 4 7

8000.+08+< 8.@<E <.@60 E.680+ .++0 *.6@8 80.*@6

00 .0<6 .E**@ *.6@< 6. 80.@<< 8+.@E8 .8E@

600 .60<< <.* .8*8 *.*6 8+.<60 @.E8 6.+8*

<00 .+<@E @.@6++ 6.0 8.<<8 6.68< 6@.<6 <8.@0

@00 8.0* +.E++8 @.E8 8*.8@8 6. <<.*< @8.<E

+00 8.6<E@ E.0@+ E.+66 8.E+8 6*.E@ @6.@< +.08<

*00 8.*0 0.@@ 88.<@6 +.@* <<.0* +.*6@ *.6<+E00 .@86 .E@@ 8<.*< 68.E @.E@@ *.0++ E.**E

000 .<* .8E< 8*.80< 6+.06 @*.*< E8.0* 06.8

00 .*@< 6.@8< .08@ <.*6 +<.+@ 0.<6 6.+<

74. Pemba&asan"ecara umum hasil perhitungan dengan metode astigliano dan

metode elemen hingga mempunyai karakteristik data yang cukupdekat dengan data pengujian seperti tampak pada grak berikut.Dimana makin besar pembebanan semakin besar pula lendutan yangterjadi.

Hasil perhitungan dengan metode astigliano dan metodeelemen hingga mempunyai hasil yang sama, dikarenakan perumusan

11

21 + 3

Y1, v

1

M1, θ

1

Y2, v

2

M2, θ

2

Y, v

M, θ

Y+, v

+

M+, θ

+

Y, v

M, θ

Y, v

M, θ

Y3, v

3

M3, θ

3

Y, v

M, θ





elemen beam dikembangkan dari teorema astigliano. ang bedahanya sebatas pendekatan jumlah angka dibelakang koma, karena

metode elemen hingga merupakan metode numeric yang memilikihasil mendekati eksak.

7ambar <. Hasil pengukuran dan perhitungan lendutan

-api dari hasil yang didapatkan metode elemen hingga memilikikelebihan yaitu dapat memplot besar lendutan pada tiap node

sepanjang batang tergantung dari jumlah elemen yang dipakai."edangkan metode astigliano hanya dapat memplot hasil hargalendutan untuk setiap kali perhitungan. Dari hal tersebut telahdilakukan 2erikasi penggunaan metode elemen hingga untuk terapankasus lendutan dengan hasil yang cukup baik.

#erbedaan hasil pengukuran lendutan (eksperimen) denganperhitungan yakni metode astigliano (mewakili solusi denganmathematic modelling) dan metode elemen hingga (mewakili solusidengan numerical modelling) disebabkan halhal sebagai berikut :

. #ada solusi dengan mathematic dan numerical modellingmasih menggunakan asumsiasumsi sebagai berikut :

& Batang dianggap homogen dan isotropic.

& #embebanan dianggap murni statis.8. #ada waktu pengujian terjadi kemungkinan penyimpangan

dalam pengukuran data sebagai berikut :& #embebanan tidak dapat dijamin halus, sehingga

dapat muncul sedikit hentakan=bergoyang.& Kondisi batang yang sudah tidak lurus lagi.

12

pemodelan beam ok

Documents