ИОП №21

УМКД ОТСАР

Федоренко А.А Иванчура В.И. Суханов В.В.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

(Конспект лекций)

г. Красноярск 2007

2

Введение

Для автоматизации любого технологического процесса необходима сис-тема, состоящая из объекта управления (ОУ), который непосредственно этот процесс реализует, и воздействующего на ОУ управляющего устройства (регу-лятора). Назначение управляющего устройства обеспечить не только принципи-альную работоспособность (устойчивость) объекта, но и скорректировать его режим так, чтобы даже при действии помех технологический процесс шел в за-данном режиме и с нужными показателями.

Впервые с необходимостью автоматизации столкнулись, вероятно, созда-тели точных механизмов и машин с сильно изменяющейся нагрузкой. Так Гюй-генсом в 1657 году для механических часов предложен маятниковый регулятор хода. В средние века широко применялись регуляторы хода водяных мукомоль-ных мельниц с центробежными маятниковыми элементами. История свиде-тельствует, что еще на рубеже новой эры арабы применяли поплавковые регу-ляторы уровня жидкости в емкостях водяных часов. Хотя отдельные автомати-ческие устройства появлялись постоянно, они оставались любопытными для ис-тории техники эпизодами не обеспеченными никакими теоретическими обосно-ваниями.

Широкое применение автоматических регуляторов началось на рубеже 18-19 веков, в эпоху первой промышленной революции в Европе. В 1765 году Пол-зуновым предложен и использован поплавковый регулятор питания водой котла паровой машины. В 1784 году Дж Уатт так же для паровой машины создал цен-тробежный регулятор скорости. Паровая машина не случайно стала первым объектом автоматизации. Исходя из основных законов механики движение та-кой машины, в первом приближении, можно описать уравнением:

m )()( tct FFdt

dv ,

где )(tF - сила давления пара на поршни;

)(tcF - сила статического сопротивления движению машины;

m - масса движущихся частей; v - скорость движения машины;

dt

dv - производная скорости по времени (ускорение).

Решение уравнения движения:

v m

1 dtFF

t

c

tct )( )()( v о

3

свидетельствует, что при )(tF > )(tcF скорость v машины будет неограниченно

возрастать, приводя к ее саморазрушению. Стабилизировать ход паровой маши-ны можно, выполнив, при достижении заданной скорости, условие:

)(tF = )(tcF ,

что требует непрерывного регулирования количества пара подаваемого в ци-линдры. Сделать это в ручном режиме в промышленных условиях физически невозможно.

Однако, как показала практика, подключение к паровой машине регулято-ра Уатта не всегда приводило к желаемым результатам. Нередко в место стаби-лизации скорости на заданном уровне, в машине снабженной регулятором, воз-буждались возрастающие по амплитуде и приводящие к аварийным ситуациям колебания.

Все это, естественно, побуждало к проведению теоретических исследова-ний. Однако эти исследования до конца 1860 годов характеризовались, как сей-час бы сказали, отсутствием «системного подхода». Часть исследователей еще не видят, что в технике возникло новое направление. Они считают, что регуля-торы лишь некоторая разновидность, приборное исполнение «модераторов» (уравнителей хода, накопителей энергии), классическим примером которых яв-ляется маховик. Другие рассматривают регулятор отдельно от машины, либо совершенно не учитывают его динамических свойств. Наука об управлении ос-тавалась придатком прикладной механики, что не позволило получить ни стройной теории, ни качественных результатов.

Коренное изменение в подходе к проблеме внесли три фундаментальные теоретические работы представляющие по существу изложение основ новой науки – теории автоматического управления (ТАУ).

Это работа Д.К.Максвела «О регуляторах» - 1866г., работы И.А. Вышне-градского «Об общей теории регуляторов» - 1976г. и «О регуляторах прямого действия» -1977г. Авторы осуществили системный подход, рассмотрев регуля-тор и машину, как одно целое, что позволило получить часть важных теорети-ческих и практических результатов. Основоположником теории автоматическо-го управления (ТАУ), как науки считается И.А. Вышнеградский. Важность ра-боты Максвелла была оценена значительно позже. Благодаря трудам многих известных ученых к началу XX века теория ав-томатического регулирования предстала, как вполне сложившаяся техническая паука. В этой науке возникло и утвердилось важнейшее определяющее понятие – понятие системы регулирования (впоследствии системы управления), состоя-щей из взаимодействующих между собой объекта регулирования и регулятора. Простейшие дифференциальные уравнения и алгебраические методы анализа устойчивости стали на первых порах основным средством исследования систем

4

регулирования. С развитием техники, в частности электротехники и радиотех-ники, с ростом сложности объектов управления к середине 30-х годов XX века возникает необходимость в новых, более эффективных методах исследования. Такими методами становятся частотные методы исследования устойчивости, а впоследствии и качества процессов регулирования и управления в линейных системах. Вместе с тем необходимость учета нелинейных эффектов при разработке систем автоматического регулирования заставляет исследователей искать новые пути и обращаться к глубоким математическим теориям и методам. Труды А.М. Ляпунова по общей теории устойчивости оказывают решающее влияние на дальнейшее развитие нелинейной ТАУ. В 40-х и 50-х годах методы А.М.Ляпунова прочно входят в ТАУ. В это же время распространяются и ут-верждаются как эффективные средства исследования автоматических систем методы теории нелинейных колебаний, а также теории вероятностей и случай-ных процессов. На этом фундаменте, благодаря исследованиям многих выдающихся оте-чественных и зарубежных ученых формируются новые направления теории ав-томатического управления. Возникают и быстро развиваются методы синтеза систем, теории релейных, импульсных и дискретных систем, теории инвариант-ности и другие, отвечающие запросам быстро развивающейся техники и произ-водства. ТАУ становится высоко развитой научной дисциплиной, основанной на строгих и глубоких математических методах. Советская школа в области ав-томатики сыграла выдающуюся роль. Признанием этого явилось проведение первого конгресса международной федерации по управлению в 1960 г. в Моск-ве. Получившие применение в инженерной практике того времени методы были нацелены на оптимизацию процессов «в малом». Оптимальная программа технологического процесса в целом (программа движения объекта) считалась заданной и выражалась в задающих воздействиях или «уставках» регуляторов. «Оптимальные» значения задающих воздействий и «уставок» определя-лись с привлечением внешних относительно теории автоматического управле-ния областей знаний или практического опыта. Таким образом, задача управле-ния заключалась в выполнении заданной программы, т.е. стабилизации про-граммного движения. Движение системы на каждом этапе отработки програм-мы оптимизировалось по тем или иным критериям отдельно и только для малых отклонений от заданного. Влияние нелинейных факторов, которое проявляется при больших отклонениях либо не рассматривалось вовсе, либо, при необходи-мости, изучалось дополнительно. В большей части современной литературы эта теория автоматического управления именуется классической 1 .

5

В конце 50-х годов с развитием производства и сложных объектов техни-ки, энергетики, технологии, в особенности в авиации, ракетостроении и космо-навтике, возникают новые проблемы управления выходящие за рамки задач ре-шаемых классической теорией. Высокая степень сложности объектов управле-ния, многомерность, неопределенность условий функционирования, возрас-тающие требования к качеству управления, необходимость осуществления со-вершенных процессов обработки информации и другие особенности управления новой техникой порождают новые идеи, принципы управления, требующие раз-работки новых теорий и методов. Особое значение имеет возникновение в это время и бурное развитие теории оптимального управления (принцип максиму-ма Понтрягина, принцип динамического программирования Белмана и др.), ко-торая является математической основой современной теории автоматического управления. Понятие современной теории автоматического управления можно сформу-лировать, если положить в основу определения требования научно-технического прогресса, современной и перспективной автоматизации. Важнейшим из таких требований является оптимальное использование на каждом этапе или режиме функционирования системы всех располагаемых ре-сурсов (энергетических, информационных, вычислительных и др.) для достиже-ния главной для этого этапа цели при обеспечении множества ограничений. При этом современная ТАУ на каждом этапе функционирования системы должна указывать алгоритмы оптимального достижения более важной обобщенной ко-нечной цели. Таким образом, центральной проблемой (задачей) современной ТАУ является оптимизация в «большом», осуществляемая в реальном времени непосредственно в процессе управления. Эта фундаментальная проблема поро-ждает ряд крупных частных задач и методов их решения. Прежде всего, это получение, в той или иной форме, максимально полной математической модели объекта и использование ее не только на стадии проек-тирования, но и в процессе функционирования системы. Важное место занима-ют задачи оптимальной обработки сигналов и оптимальной идентификации па-раметров и структуры объекта, выполняемые в реальном масштабе времени не-посредственно в эксплуатационных режимах. Современная теория автоматического управления должна рассматривать задачи адаптации в условиях неполной априорной информации о состоянии объекта и действующих на него возмущений, а так же вопросы резервирования и структурной надежности, в частности, методы автоматической реконфигура-ции системы при отказах. Таким образом, современная ТАУ должна содержать теорию оптимального автоматического управления учитывающего различные

6

ситуации в процессе функционирования системы и изменение окружающих ус-ловий. Совмещение во времени процесса выработки алгоритма оптимального управления с непосредственным функционированием системы предопределяет широкое применение вычислительных устройств не только на этапе теоретиче-ских исследований, но и непосредственно в структуре САУ, как одного из важ-нейших ее элементов. Теория автоматического управления продолжает динамично развиваться. Число публикаций в мировой литературе в настоящее время исчисляется десят-ками тысяч и ежедневно возрастает на тысячи единиц. Современная ТАУ представляет собой весьма обширную область научных знаний, вобравшую многие разделы, идеи, методы и задачи технической кибер-нетики, и базируется на самых глубоких современных математических теориях. Авторы настоящего учебного пособия ставят весьма скромную задачу – изложить основные положения классической теории автоматического управле-ния для студентов специальностей, у которых данный курс не является про-фильным, подкрепляя их необходимыми для осознанного изучения соответст-вующих разделов математическими выкладками.

7

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Основные понятия, определения, термины.

Содержащийся в названии дисциплины термин управление на интуитив-ном уровне понятен каждом человеку. Так процесс произвольного скатывания с горы, не поставленного на тормоза автомобиля, да еще при отсутствии в нем водителя, каждый назовет неуправляемым. Процесс же целенаправленного пе-ремещения автомобиля водителем в нужном ему режиме и в нужное ему место воспринимается нами как управляемый. Попытаемся сформулировать определение термина управление на основе этих двух примеров. И в том, и в другом случае реализуется по сути один и тот же физический процесс, перемещение материального объекта из одного места в другое, сопровождаемый выполнением определенной работы. Однако в первом случае движение осуществляется бесцельно, работа выполняется хаотично, под действием внешних факторов, приводя к накоплению кинетической энергии, расходуемой либо бесполезно на движение по инерции, либо даже вредно, при-водя при встрече с препятствием к аварии и человеческим жертвам. Во втором случае работа обеспечивает достижение заданной цели за счет организации водителем ее выполнения (обеспечиваются определенные режимы работы двигателя, скорость, траектория движения и т.д.). Таким образом «управление» - это такая организация того или иного процесса, которая обеспечивает достижение поставленной цели. Очевидно, что управлять можно только чем-то конкретным: функциониро-ванием производственного механизма, ходом технологического процесса, раз-витием биологической субстанции, действиями социального сообщества и т.д. В теории автоматического управления все многообразие предметов применения управления, то есть предметов, функционирование которых организуется для обеспечения заданной цели, называют одним обобщающим термином – объект управления. Для реализации управления только объекта недостаточно. Необходим еще один элемент, непосредственно формирующий воздействие на объект управле-ния. Этот элемент называют управляющим устройством. Воздействие на объ-ект управляющее устройство (по старой терминологии - регулятор) вырабаты-вает на основе анализа поставленной цели и текущего состояния объекта. Объ-ект управления и управляющее устройство в совокупности образует систему управления.

8

В простейшем случае роль управляющего устройства выполняет человек. Пример с водителем, где водитель анализирует положение автомобиля на трас-се, формулирует план достижения цели поездки и, воздействуя на органы управления автомобилем, реализует этот план. Такое управление называется ручным, а системы, реализующие это управление – системами ручного управ-ления. Более высокий уровень управления обеспечивают автоматизированные системы управления. Здесь часть функций управления реализуется с помощью технических средств, а часть, и как правило наиболее важная, остается за чело-веком. Например, сбор, обработка и анализ информации о состоянии техноло-гического процесса и даже выработка вариантов алгоритмов, его коррекции в нужном направлении могут быть обеспечены различными техническими уст-ройствами, а выбор из предложенных конкретного (оптимального) алгоритма коррекции и его реализация осуществляются человеком. В системах автоматического управления (САУ) функция управления полностью возложена на технические средства. Роль человека здесь минималь-ная. Это либо оператор, подающий команду на начало процесса и наблюдаю-щий за его ходом, либо ремонтный персонал, проводящий текущие и плановые обслуживания и ремонт оборудования. Процесс управления характеризуется совокупностью различного рода опе-раций, которые могут быть сведены в три основные группы. Область классической теории автоматического управления – это операции по поддержанию заданного, или в современной постановке, оптимального (наи-лучшего по какому-то критерию), закона изменения физических переменных характеризующих состояние технологического процесса на отдельных его эта-пах. Операции начала, прекращения, перехода с одного этапа на другой изуча-ются в теории переключающих устройств и игровых автоматов, а так же в тео-рии расписания. Проблемы контроля переменных с целью выяснения допустимых границ (аварийных режимов) отнесены к теории автоматического контроля. Следует отметить, что современная теория автоматического управления ставит более общую задачу управления – оптимизацию процесса не на отдель-ных его этапах, а в целом по конечной основной цели. При такой постановке ТАУ вбирает в себя все перечисленные и многие другие теории 1 . Понятно, что в данной работе так вопрос не рассматривается. Как замечено выше, все многообразие существующих систем управления имеют различную физическую природу, функционируют согласно различным физическим законам, реализуют различные цели. Создать общую теорию мож-

9

но, опираясь только на то общее, что присуще всем системам. Таким общим яв-ляется математическое описание процессов протекающих в системах при их функционировании. Следовательно, ТАУ рассматривает реальные САУ на уровне их математических моделей. Система считается заданной, если извест-но ее математическое описание. Всякий технологический процесс характеризуется некоторой совокупно-стью определенных физических величин, которые могут поддерживаться посто-янными, либо изменяются по известным или неизвестным законам. В теории автоматического управления эти величины обозначают следующими термина-ми: показатели, координаты, переменные, сигналы. Часть координат с точки зрения управления, являются важными, значимыми, поскольку они, по сути, ха-рактеризуют достижение цели управления. Такие сигналы называют выходны-ми, а точки их наблюдения – выходами системы. Часть переменных формируется не внутри системы, а поступает на нее из вне. Такие сигналы называют входными. Точки приложения входных сигналов – это входы системы. Входные переменные выполняют различные функции. Некоторые из них формируются оператором или другой системой автоматиче-ского управления и задают требуемый режим работы. Это управляющие или задающие входные переменные (воздействия). Другие формируются окружаю-щей средой и стремятся сбить систему с заданного режима, и их называют воз-мущающими входными воздействиями. Для общего обозначения перемен-ной в математических моделях используется буква – x с цифровыми индексами. Что бы подчеркнуть, что эта переменная является выходной, ее обозначают бу-квой – y . Общее обозначение входных переменных – g . Для управляющих воз-действий используется буква – u , а для возмущающих используется буква – f .

САУ САУ

1u2u3u4u

1f 2f 3f

1y2y3y

)a )б

U

F

Y

Рис.1.1.1.

На рис. 1.1.1.а прямоугольником обозначена cистема автоматического управления стрелками – управляющие воздействия ( 4321 ,,, uuuu ), возмущающие воздействия ( 321 ,. fff ) и выходные переменные ( 321 ,, yyy ). Системы, у которых только один вход и один выход называют одномерными. Процессы в них часто

10

описывают скалярными уравнениями. Системы, у которых более одного входа или выхода называют многомерными. Их поведение описывают, как правило, уравнениями в векторно-матричной форме. При этом вводят понятия вектора управляющих величин U , вектора возмущающих величин F , вектора выход-ных переменных Y (cм. рис. 1.1.1б) и вектора внутренних переменных состоя-ния системы X .

Каждая конкретная система характеризуется совокупностью определен-ных, присущих только ей констант. В ТАУ все эти константы объединяют об-щим термином - параметры. Переменные yfu ,, в зависимости от природы процесса и с учетом прису-щих ему параметров можно связать различными математическими соотноше-ниями. Эти математические соотношения в совокупности образуют математи-ческую модель системы. Следует отметить, что математическая модель принципиально не может быть абсолютно точной, поскольку всегда можно выявить такие глубинные со-ставляющие процесса, которые не были учтены при математическом описании. Однако модель всегда должна быть адекватна поставленной задаче, иначе мы не получим требуемого результата. С другой стороны избыточная точность модели усложняет поиск нужного решения, а в ряде случаев и не позволяет его полу-чить в виду отсутствия методов. Следовательно, в распоряжении исследователя необходимо иметь набор моделей разного уровня точности представленных в различной математической форме. Совокупность математических операций связывающих выходные и вход-ные переменные иногда называют оператором системы. В простейшем случае это функциональные зависимости в виде )(ufFy , т.е. изменение u или f приводит к мгновенному изменению y . Такие процессы называют статиче-скими или безинерционными, а графическое изображение этих зависимостей называют статическими характеристиками процесса. В природе все реальные физические процессы инерционные или по-другому динамические. Переменные fuy ,, в таких процессах, в наиболее об-щем виде, связаны дифференциальными, интегральными или разностными уравнениями, в качестве независимой переменной в которых выступает время t . Графические зависимости y от времени при различных u и f называют вре-менными характеристиками системы.

11

1.2. Основные алгоритмы функционирования систем автоматического регулирования.

Изменение координат в желаемом (идеальном) процессе называется алго-ритмом функционирования системы. Алгоритм функционирования по существу определяет цель управления. По алгоритму функционирования системы можно объединить в несколько групп. Первую группу составляют:

1. Системы стабилизации. Задающее (управляющее) воздействие постоян-ная величина consttg )( .

2. Системы программного управления. Задающее воздействие изменяется во времени по известному закону )()( tftg .

3. Следящие системы. Задающее воздействие изменяется во времени по неизвестному закону.

Общим для этой группы систем является то, что управляющий сигнал по-ступает на них из вне. Автоматическое управляющее устройство, сравнивая те-кущие значения задающей величины )(tg и выходной координаты )(ty выраба-тывает такое воздействие на объект, что бы свести отклонения выходной пере-менной e( t )= )()( tytg к требуемому значению. Т.е. показателем качества та-

ких систем является заданная ошибка управления e( t ) в статических и дина-мических режимах. Параметры и структура автоматического управляющего уст-ройства, как правило, постоянны.

Вторая группа объединяет системы, в которых автоматическое управ-ляющее устройство вырабатывает воздействие на объект управления из условия обеспечения экстремального значения некоторого показателя качества. Сюда относят:

1. Экстремальные системы. Здесь роль показателя качества выполняет одна или несколько регулируемых координат системы, значения кото-рых необходимо поддерживать на максимальном или минимальном уровне.

2. Оптимальные системы. Они обеспечивают поддержание наивыгод-нейшего по некоторому критерию эксплуатационного режима, как пра-вило, в условиях ограничений положенных на энергетический ресурс и ряд регулируемых переменных.

К третьей группе относят: терминальные системы, в которых ставится задача достижения определенного состояния в конечный момент времени. До этого процесс может идти с оптимизацией, по каким либо другим показателям, например по расходу энергии.

12

Следует отметить, что практическое решение вопросов построения авто-матического управляющего устройства систем второй и в особенности треть-ей группы часто лежит в области адаптивных систем: - самонастраивающихся, у которых параметры подстраиваются с изме-нением внешних условий; - самоорганизующихся, у которых алгоритм работы преобразуется с из-менением внешних условий; - самообучающихся, на основе опыта работы совершенствующих свою структуру и способ управления, и т.д. В данном учебном пособии рассмотрены системы только первой группы.

1.3. Фундаментальные принципы управления.

Возмущающие воздействия, статические и динамические свойства системы приводят к отклонению реального алгоритма функционирования (изменения выходных координат) от идеального. По этому закон изменения входного воз-действия на объект управления, называемый алгоритмом управления, необхо-димо формировать как с учетом желаемого алгоритма функционирования, так и динамических и статических характеристик системы. Алгоритм управления реализуется автоматическим управляющим устрой-ством. В основе используемых в технике алгоритмов управления лежат некото-рые общие фундаментальные принципы определяющие, как осуществляется увязка алгоритма управления с заданным и фактическим функционированием. Выделяют три основных фундаментальных принципа управления: разомк-нутого управления; компенсации; обратной связи. Принцип разомкнутого управления иллюстрируется функциональной схе-мой рис.1.3.1. Блок управления БУ в соответствии с задающим воздействием вырабатывает необходимое «указание» )(1 tx исполнительному элементу ИЭ. Последний создает управляющее воздействие )(2 tx на объект управления ОУ. В результате регулируемая величина )(ty приближается с той или иной точно-стью к требуемому значению.

tg t1 t2 ty

Рис. 1.3.1.

13

Блок управления и исполнительный элемент образуют автоматическое управляющее устройство АУУ. При конструировании АУУ рассмотренной сис-темы необходимо знать все свойства объекта управления. Только при выполне-нии этого условия и отсутствии возмущений можно правильно предвидеть влияние задающего воздействия на регулируемую величину. Применение такой системы рассчитано на несложную ситуацию, поскольку неявно основывается на предположении, что влиянием всех возмущений можно пренебречь, а изме-нение управляющего воздействия на объект необходимо лишь тогда, когда должна измениться регулируемая переменная. При значительных возмущающих сигналах выходная величина будет су-щественно отличаться от заданной, т.е. задача управления не будет решена. Устранить влияние возмущающих воздействий или хотя бы основного из них

)(tf , можно построив систему, работающую по принципу регулирования по возмущению, или по другому, - по принципу компенсации (рис. 1. 3.2.).

tg t1 t2 ty

ИУ tf

Рис. 1.3.2.

Автоматическое управляющее устройство таких систем дополнительно содержит тракт измерения возмущения (измерительное устройство ИУ) дейст-вующий на блок управления. Функции и структура блока управления при этом так же усложняются. Он не только формирует сигнал )(1 tx , но и корректирует его значение так, что бы влияние на выходную координату возмущающего сиг-нала было минимально. Если полностью скомпенсировать инерционность звеньев расположенных между БУ и точкой приложения )(tf путем введения соответствующих форси-ровок в сигнал )(1 tx система приобретет свойства инвариантности к возму-щающему воздействию, в том смысле, что влияние )(tf на выходную перемен-ную )(ty отсутствует.

14

В рассмотренных системах характер сигналов )(2 tx действующих на объ-ект зависит от свойств объекта лишь в той степени, в которой это было учтено при конструировании автоматического управляющего устройства. Действи-тельное значение выходной переменной, даже если оно значительно отличается от желаемого, совершенно не влияет на работу системы. Поскольку в большин-стве случаев исчерпывающая и достоверная информация о свойствах объекта управления и характере возмущений отсутствует разомкнутые системы и сис-темы, реализующие принципы компенсации часто оказываются недостаточно эффективными. Тогда прибегают к созданию конструктивно более сложных, но и значительно более совершенных замкнутых систем автоматического управле-ния. В замкнутых системах использован принцип обратной связи, возможно, самый мощный принцип теории автоматического управления. Иногда его назы-вают: – принцип регулирования по отклонению; по рассогласованию; по ошиб-ке. Такая система в простейшем случае (рис.1.3.3.) так же состоит из объекта управления и автоматического управляющего устройства, которое кроме исполнительного элемента и блока управления еще имеет измерительное устройство и узел сравнения УС.

t t1 t2 ty

ИУ

tf

tg

ty0

Рис. 1.3.3. Блок управления часто называют регулятором. Измерительное устройство и узел сравнения реализуют главную отрицательную обратную связь по регули-руемой переменной. Сигнал )(0 ty пропорциональный выходной переменной y(t), сравнивается с сигналом задания )(tg . Сигнал рассогласования (ошибка, отклонение) e( t )= )()( 0 tytg поступает на вход регулятора. Регулятор фор-мирует такое воздействие через исполнительный элемент на объект управления, чтобы свести рассогласование к требуемому минимуму, независимо от того по какой причине это рассогласование возникло. Следовательно, принцип обрат-

15

ной связи позволяет решать задачу управления в условиях изменяющегося входного сигнала, при действии возмущений, и при некоторой неточности ма-тематических моделей элементов САУ используемых при проектировании ре-гулятора. В отличие от систем компенсации, которые формируют корректирующий сигнал в момент появления причины (возмущения), могущей привести к откло-нению регулируемой координаты от заданной, системы, построенные по прин-ципу обратной связи более инерционны, так как они реагируют на уже появив-шееся отклонение. Поэтому в системах управления по ошибке не всегда удается обеспечить требуемое качество. Тогда используют комбинированные сигналы, т.е. системы сочетающие принципы компенсации и принципы обратной связи. Канал ком-пенсации устраняет влияние основного возмущающего воздействия, обеспечи-вая «грубое» управление, а замкнутая часть корректирует его, компенсируя ошибки обусловленные неточностью измерения возмущения, влиянием менее существенных, не учтенных возмущений, отличием параметров элементов от расчетных и неточностью модели САУ положенной в основу проектирования. В основу теории автоматического управления положена структура замкну-той САУ работающей по принципу отклонения. Методология проектирования разомкнутых систем и систем компенсации опирается на рассмотренные в ТАУ общие методы математического моделирования, анализа и синтеза систем с об-ратной связью.

1.4. Классификация систем автоматического

управления.

Классифицировать системы автоматического управления можно по раз-личным признакам, и частично мы это уже сделали. Мы сказали, что есть сис-темы одномерные и многомерные, провели классификацию по алгоритмам функционирования и управления. Системы можно классифицировать по назна-чению, по их физической природе, по конструктивным особенностям и так да-лее до бесконечности. Однако все эти весьма существенные различия совер-шенно не имеют значения при исследовании систем методами теории автомати-ческого управления. Мы уже знаем, что теория автоматического управления рассматривает сис-темы на уровне их математических моделей. Система задана, если задано ее ма-тематическое описание. При этом большое значение приобретают особенности математического описания присущие конкретной системе, поскольку именно они определяют тот возможный набор математических методов и теорий, кото-

16

рые с той или иной эффективностью могут быть применены для ее проектиро-вания. Поэтому классификация систем по различным признакам их математиче-ского описания имеет важное практическое значение. По этим признакам все системы автоматического управления можно разделить на следующие классы:

1. Линейные и нелинейные системы. Линейные системы – это систе-мы, математическое описание которых содержит только линейные математиче-ские операции над переменными (сложение, вычитание, интегрирование, диф-ференцирование, умножение на константу). Если математическое описание включает хотя бы одну нелинейную математическую операцию, то такая систе-ма является нелинейной. Все существующие в природе системы нелинейные. Однако во многих случаях реальный диапазон изменения переменных таков, что влияние нелинейностей не проявляется, и такая система может быть рас-смотрена методами линейной теории автоматического управления. Например, статическая характеристика (рис.1.4.1.) усилителя сигналов нелинейная, но если всегда обеспечено условие UU .

вхu1вхu 2вхuвхнu

вхнu

выхu

ktg

Рис. 1.4.1.

Мы можем воспользоваться для его описания линейным уравнением

KUU Û , где K – коэффициент усиления. Кроме того, когда определяющим является режим малых отклонений переменных от установившихся значений, в ряде случаев реальная нелинейная математическая модель системы может быть задана приближенной линейной моделью. Исследование последней методами линейной ТАУ позволяет полу-чить интересную информацию о некоторых свойствах реальной системы.

2. Детерминированные и стохастические системы. Детерминиро-ванные системы – это системы, в которых связи между переменными однознач-но определены некоторыми функциональными зависимостями. В стохастиче-ских системах связи между переменными и сами переменные носят вероятност-

17

ный характер и их характеристики определяются такими понятиями теории ве-роятностей, как корреляционная функция, дисперсия и т.д.

3. Стационарные и нестационарные системы. У стационарных сис-тем все параметры постоянны. У нестационарных – по крайней мере, некоторые являются функциями времени. Следовательно, отклик стационарной системы на одно и то же входное воздействие, приложенное в различные моменты времени, будет одинаков. У нестационарных систем реакция на одинаковые воздействия, приложенные в разное время, может быть разной.

4. Системы с сосредоточенными и с распределенными параметра-ми. Системы с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, а с распределенными параметрами – урав-нениями в частных производных.

5. Непрерывные и дискретные системы. Все элементы непрерывной системы на непрерывный входной сигнал отвечают непрерывным выходным. В дискретных системах имеется хотя бы один элемент, который на непрерывный входной сигнал отвечает прерывистым выходным. В свою очередь дискретные системы можно разделить на:

- импульсные, когда дискретный элемент через равные промежутки вре-мени формирует на выходе импульсы, несущие информацию о входном сигнале (см. рис.1.4.2.) - элемент квантования по времени; - релейные, когда дискретный элемент изменяет свое состояние при дос-тижение входным сигналом определенного уровня (рис. 1.4.3.) - элемент кван-тования по уровню; - цифровые системы, которым присущи оба вида квантования.

y

t

yH

T T T TT

y

tyyyy

Рис. 1.4.2. Рис. 1.4.3.

В импульсных системах применяются три вида квантования сигнала по времени:

а) Амплитудно-импульсная модуляция - амплитуда импульса пропор-циональна входному сигналу (рис.1.4.2.) – линейная импульсная система;

18

б) Широтно-импульсная модуляция - ширина импульса пропорцио-нальна входному сигналу.

в) ?????? 6. Фазоимпульсная модуляция – фаза импульса пропорциональна

входному сигналу. Возможны и более сложные варианты импульсной модуляции, но во всех случаях период повторяемости импульсов остается постоянным. Ясно, что одна и та же система может классифицироваться одновременно по всем рассмотренным признакам. Так первая часть настоящей работы посвящена вопросам теории автомати-ческого управления линейными, детерминированными, стационарными, непре-рывными системами с сосредоточенными параметрами, в дальнейшем просто линейными системами. Важно отметить, что для линейных систем справедлив принцип суперпози-ции (наложения). Сущность его заключается в следующем. Представим вход-ную переменную линейной комбинации элементарных сигналов. Реакции сис-темы на эти элементарные сигналы сведем в одну той же линейной комбинаци-ей. В результате получим сигнал равный реакции системы на полное входное воздействие. Поясним это на примере усилителя, статическая характеристика которого изображена на рис. 1.4.1. Пусть UU 1 . Реакция усилителя на этот входной сигнал равна 1 KUU Û . Представим 1U следующей линейной комбина-цией 321 ,, UUU :

3211 2,03,05,0 UUUU . Реакции системы на сигналы 321 ,, UUU будут соответственно равны:

1(U1) KUU Û ,

2(U2) KUU Û ,

3(U3) KUU Û .

Сведем эти реакции в одну той же линейной комбинацией:

1321

321(U3)(U2)U1)(

)2,03,05,0(

2,03,05,02,03,05,0

KUUUUK

KUKUKUUUUU ÛÛÛÛ

Как видим, результат одинаков, принцип суперпозиции выполняется. Теперь пусть UU 2 . Реакция усилителя на этот входной сигнал со-гласно характеристике равна: KUU Û .

19

Линейная комбинация реакций усилителя на элементарные сигналы, при условии, что каждый из элементарных сигналов меньше U , равна

2 KUU . Очевидно, что принцип суперпозиции не выполняется ( UU Û ) сле-довательно, усилитель при входных сигналах изменяющихся в диапазоне, пре-вышающем U , является нелинейным элементом. Выполнение принципа суперпозиции для линейных систем имеет очень важные следствия: а). Свойства линейной системы, это ее внутренние свойства, определяемые ее математическим описанием, и не зависят ни от вида, ни от места приложения внешних воздействий. В то время, как свойства нелинейных систем определяются не только их внутренней структурой, но и конкретным видом и значениями входных вели-чин. б). В линейных системах каждая входная величина создает свою состав-ляющую выходной переменной, независимо как от наличия и характера изме-нения других входных величин, так и от начальных условий. В свою очередь начальные условия вызывают переходный процесс в системе, который не зави-сит от входных воздействий. Начальными условиями называют значения вы-ходной переменной и ее производных до ( n - 1)-ой включительно в начальный момент времени. Здесь n – порядок дифференциального уравнения, описываю-щего систему в целом. Эти свойства позволили создать к настоящему времени общую и стройную теорию линейных систем автоматического управления, которая в то же время продолжает непрерывно развиваться.

1.5. Основные элементы САУ.

Функциональные и структурные схемы.

Для образного представления систем автоматического управления, ТАУ использует графический язык схем. Различают функциональные и структурные схемы. Функциональные схемы поясняют принцип действия системы и показы-вают функциональное назначение и взаимодействие ее элементов. На функ-циональной схеме физические элементы изображены в виде некоторых геомет-рических фигур, с кратким пояснением их функционального назначения, либо непосредственно на схеме (в обозначении), либо в тексте описания системы, взаимосвязь между элементами показывается стрелками с обозначением над

20

ними символа соответствующей физической переменной характеризующей влияние одного элемента на другой. Элементы, чаще всего, изображают в виде прямоугольников. Исключение составляют узлы сравнения (вычитания и сум-мирования). Для них в литературе встречаются обозначения, приведенные на рис.1.5.1. а) и б) соответственно.

1x

2x

21 xx 1x

2x

21 xx

1x

2x 21 xx 1x

2x21 xx

а)

1x

2x

21 xx 1x

2x

21 xx

1x

2x21 xx 1x

2x21 xx

б)

Рис. 1.5.1.

С функциональными схемами мы столкнулись при рассмотрении фунда-ментальных принципов управления (см. рис. 1.3.1.- 1.3.3.). На рис. 1.5.2. приве-ден пример более детализированной функциональной схемы САУ.

tg

4КУ

t

1КУ

5КУ

6КУ

ИЭ

3КУ

У

ИВУ

ИО ОУ

tУn

2КУ

1x ty

f

Рис. 1.5.2.

Часть элементов, представленных на данной схеме являются функцио-нально необходимыми. Одну группу таких элементов составляют элементы, осуществляющие энергетическое обеспечение технологического процесса. К ним можно отнести объект управления ОУ, силовые исполнительные элементы и двигатели, преобразователи энергии, усилители мощности и т.д. Последние

21

объединены на функциональной схеме одним звеном – исполнительный орган ИО. Другую группу составляют элементы, реализующие принятые при проек-тировании фундаментальные принципы управления. Поскольку в примере рис.1.5.2. система построена по принципу комбинированного управления, то в эту группу входят измерительный элемент ИЭ – реализующий канал главной (технологической) отрицательной обратной связи, и измерительно-вычислительное устройство ИВУ, реализующее канал компенсации влияния возмущающего воздействия. Устройства ИЭ и ИАУ осуществляют измерение, преобразование и обработку сигналов, несущих информацию о значениях, соот-ветственно, выходной технологической переменной и возмущающего воздейст-вия, а так же передачу их на включенные последовательно в прямой тракт сис-темы автоматического управления узел сравнения и сумматор. Остальные элементы, не являясь функционально необходимыми, выпол-няют очень важную задачу коррекции свойств системы с целью обеспечения требуемого качества функционирования, а в ряде случаев и придания ей прин-ципиальной работоспособности (устойчивости). Поэтому в ТАУ их называют корректирующими устройствами или корректирующими фильтрами, иногда ре-гуляторами. Корректирующие устройства в САУ могут включаться различным образом: - в канал задающего воздействия – коррекция по заданию (КУ4); - в прямой тракт системы (КУ1), либо параллельно элементу включенному в прямой тракт (КУ2) – последовательная коррекция; - коррекция в цепи главной обратной связи (КУ5) и в цепи измерения воз-мущения (КУ6); - коррекция в виде местной (внутренней) обратной связи (КУ3) – параллель-ная коррекция. Местные обратные связи, в свою очередь, могут быть отрицательными (сигнал обратной связи вычитается из сигнала прямого тракта) и положитель-ными (сигналы суммируются), жесткими (действуют во всех режимах работы САУ) и гибкими (действуют только в переходных режимах). Структурная схема системы автоматического управления отличается от функциональной тем, что внутри фигур, обозначающих элементы системы, про-ставляется оператор, характеризующий в той или иной форме, математическую связь между входными и выходными переменными данного элемента. То есть, структурная схема это информационная математическая модель системы, ха-рактеризуемая некоторым набором соединенных между собой динамических звеньев однонаправленного действия.

22

Следует отметить, что выбор основных функционально необходимых эле-ментов САУ и схемы их соединения между собой осуществляется, как правило, методами сторонними к теории автоматического управления. Элементы рассчи-тывают и выбирают исходя из требований конкретного технологического про-цесса к их энергетическим характеристикам, из условий их энергетической, функциональной, параметрической и т.д. совместимости, а схему соединения выбирают исходя из целесообразности применения тех или иных фундамен-тальных принципов управления. Проектирование САУ методами классической теории автоматического управления включает уточнение информационной математической модели ис-ходной системы, оценку ее работоспособности, качества статических и динами-ческих процессов, а так же сопоставление его с требуемым по условиям техно-логии (задача анализа). Выбор количества, места включения, структуры и пара-метров корректирующих устройств (задача частичного синтеза). При необходи-мости повторную уточненную оценку качества функционирования скорректи-рованной системы, оценка чувствительности к изменению параметров и неуч-тенных при синтезе факторов.

2. ВИДЫ МАТЕМТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.

Описание систем во временной области.

Математическая модель системы автоматического управления в целом, либо ее элементов, может быть получена путем анализа физических законов природы, согласно которым данная система функционирует. При этом матема-тическое описание имеет вид, либо системы дифференциальных уравнений, ли-бо одного дифференциального уравнения связывающего в неявном виде выход-ную переменную системы с входной через их производные по времени. Для примера возьмем электрическую машину постоянного тока независи-мого возбуждения, принципиальная схема которой изображена на рис. 2.1

23

ОВИв

M

Ия

Rв

Rя

Lв

Lя E

вi

яi

Ив

Рис. 2.1. Рис. 2.2. Допустив, что параметры электрической машины постоянны, вихревые токи в полюсах отсутствуют, а реакция якоря идеально скомпенсирована, составим ее электрическую схему замещения (Рис. 2.2.). Согласно законам Кирхгофа для электромагнитных контуров, можно записать:

,

,

Ed

dLRiu

d

dLRiu

t

iяяяяя

t

iввввв

(2.1)

где вя uu , - напряжения подведенные, обмотком якоря и возбуждения; вя ii , - токи обмоток якоря и возбуждения; вявя LLRR ,,, - активные сопротивления и индуктивности соответст-вующих обмоток; E - эдс вращения двигателя.

Вращение вала двигателя определяется законами механики. Согласно за-конам Ньютона вращательного движения в простейшем случае имеем:

,cэмt

MMd

dJ

( 2.2)

где J - результирующий момент инерции приведенной к валу двигателя;

td

d - угловое ускорение вала двигателя;

- мгновенное значение скорости; cэм MM , - электромагнитный момент двигателя и момент статической нагрузки на валу двигателя. Уравнения, связывающие электрические и механические переменные со-гласно законам электромеханики имеют вид: ФСЕ е ,

24

ямэм iФСМ ,

где ме СС , - конструктивные постоянные электрической машины; Ô - магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения. Считаем, что магнитный поток связан с током возбуждения линейной зависимостью:

âiΚÔ ô (2.4)

Уравнения (2.1) – (2.4) с точностью сделанных допущений полностью оп-ределяют работу рассматриваемой машины, как в установившихся, так и в пе-реходных режимах. Даже при столь достаточно грубых допущениях математи-ческая модель нелинейная вследствие наличия перемежения двух переменных. Как объект управления электрическая машина многомерна и имеет три входа – по управляющим сигналам âÿ uu , и возмущающему воздействию .cM Обычно при анализе алгебраические уравнения из рассмотрения исключа-ют. Подставив (2.3), (2.4) в (2.1), (2.2) окончательно получим:

dtÊ

dÔ

Ê

LÔ

K

Ru

Ôôôâ ââ

(2.5)

,z ÔCdt

diLRiu e

ÿÿzÿ (2.6.)

ñì ÌÔCdt

dJ zi

, (2.7)

Если управление осуществляется только по якорной цепи (воздействие ÿu ) при постоянном токе Ô уравнение (2.5) из рассмотрения можно исключить и математическая модель двигателя становится линейной. Заменив в (2.6), (2.7)

ÔCå и ÔÑì коэффициентами åÊ и ìÊ запишем:

Ñÿ

zÿÿÿ Êdt

diLiRu , (2.8.)

ñÿì ÌiÊdt

dωJ . (2.9)

Когда указана конкретная выходная переменная, бывает целесообразно

перейти от системы дифференциальных уравнений к одному. Так приняв в

качестве переменной , разрешив уравнение (2.9) относительно тока

ì

ñ

ìÿ Ê

Ì

dt

dω

Ê

Ji ,

и подставив его значение в (2.8.) получаем:

25

dt

dω

Ê

JR

dt

ωd

Ê

JL

ì

ÿ

ì

ÿ 2

2

)ñì

zñ

ì

ÿzå Ì

Ê

R

dt

dÌ

Ê

L(uωÊ , (2.10)

Обычно выходную переменную и ее производные комплектуют в левой части уравнения, а выходные переменные и их производные в правой. Принцип суперпозиции позволяет разделить уравнения (2.10) на два, рассматривая по от-дельности реакцию системы на управляющее воздействие )0( ñÿ Ìu и возму-щающее воздействие )0u( ÿ ñÌ .

dt

dω

Ê

JR

dt

ωd

Ê

JL

ì

ÿ

ì

ÿ 2

2

ÿe uK (2.11)

dt

dω

Ê

JR

dt

ωd

Ê

JL

ì

ÿ

ì

ÿ 2

2

)ñì

zñ

ì

ÿå Ì

Ê

R

dt

dÌ

Ê

L-(ωÊ , (2.12)

При необходимости реакцию на оба воздействия можно получить, поло-жив друг на друга реакции от отдельных воздействий. С учетом изложенного в дальнейшем для компактности в правой части уравнения будем записывать только одно входное воздействие, принимая его по необходимости либо за управляющее, либо за возмущающее. В общем виде дифференциальное уравнение линейной непрерывной сис-темы выглядит так:

2

2

21

1

1

n

0

dn

n

n

n

n dt

yda

dt

yda

dt

yà … +

1

1

101 m

m

m

m

nnn dt

gdb

dt

gdbyaya

dt

dya … + mv b

dt

dgb 1 ,

( 2.13)

где y и g - выходная и входная переменные, соответственно; ia и ib - коэффициенты, включающие в себя реальные физические пара-метры системы; n и m - порядок производных в левой и правой части уравнения. По услови-ям физической реализуемости всегда nm . В теории автоматического управления используют понятие обобщенных параметров системы. Такими параметрами служат коэффициенты передачи K и постоянная времени t . Связь обобщенных параметров с коэффициентами урав-нения (2.13) имеет вид:

n

m

a

bK ;

n

iini a

aT или

m

jjmj b

b .

После подставки K , iT , j в (2.13.) получаем:

26

)...(... 11

11

1011

11

10 gdt

dg

dt

gd

dt

gdKy

dt

dyT

dt

ydT

dt

ydT mm

mm

m

mm

nn

nn

n

nn

(2.14)

Очевидно, что параметр K в момент времени однозначно отражает связь между входной и выходной переменными в установившемся режиме ( y и g величины

постоянные и соответственно i

i

dt

yd и j

j

dt

gd равны нулю). Уравнение (2.14) при

этом принимает вид: Kgy (2.15)

и называется уравнением статики. В переходных режимах производные в уравнении (2.14) не равен нулю и выходная переменная y является не только функцией g , но и функцией времени t . Решение ),( gtfy уравнения (2.14) отличается от решения )(gfy уравнения (2.15) тем более чем больший «вес» составляют в (2.14) производные, т.е. чем больше численные значения постоянных времени. Следовательно, постоянные времени, по сути, являются мерой динамических свойств системы. Так уравнения (2.11), (2.12) при замене в них физических параметров обобщенными и использовании обозначения переменных принятых в теории автоматического управления приобретут вид:

1122

22

1 gRydt

dyT

dt

ydT (2.16)

)( 222

22

12

22

1 gdt

dgKydt

dyT

dt

ydT , (2.17)

где y , 1g , 2g - выходная управляющая и возмущающая переменные соответст-венно;

eK

K1

1 - коэффициент передачи по управлению;

eì KK

RK 2 - коэффициент передачи по возмущению;

,, 12me

ÿ

me

ÿ

KK

JLT

KK

JRT

ÿ

ÿ

R

L - постоянные времени.

В большинстве случаев исходная математическая модель системы нели-нейная. Например, если управлять двигателем, изменяя напряжение âu , подво-димое к обмотке возбуждения, магнитное состояние машины будет изменяться. Это приводит к необходимости использовать при анализе процессов в ней не-линейную систему дифференциальных уравнений (2.5 - (2.7). Однако очень час-

27

то исходную математическую модель удается линеаризовать, т.е. заменить при-ближенной линейной. Для такой линеаризации широко используют метод ма-лых отклонений. Линеаризация возможна, если функциональная зависимость между переменными дифференцируема, непрерывна и однозначна по всем пе-ременным. Предполагается, что в процессе функционирования системы все пе-ременные получают только малые приращения относительно их установив-шихся постоянных значений. Сущность метода заключается в разложении функциональной зависимости в степенной ряд Тейлора в окрестностях точки установившегося режима по всем переменным. В дальнейшем из полученного разложения вычленяется уравнение установившегося режима, и отбрасываются все слагаемые выше первого порядка малости. В результате получаем линеари-зованное уравнение в приращениях. Приведем, поскольку она нам понадобится и в дальнейшем, формулу раз-ложения функции )(xF в ряд Тейлора в окрестностях точки 0x :

00 )()( xxx dx

dFFF ∆ (

2

102

2

xdx

Fdx ∆ (

!3

1)

03

32 x

dx

Fdx ∆

0!

1...)3

xk

k

dx

Fd

kx

( ∆ ...) kx , (2.18) где )( 0xF - значение функции при 0xx ;

∆ 0xxx - приращение аргумента функции относительно начально-го значения 0x ;

0xk

k

dx

Fd - k -тая, производная )(xF по x , при подстановке значения

0xx .

Здесь 0xdx

dF∆ x - слагаемое первого порядка малости.

Пусть исходное, нелинейное дифференцированное уравнение имеет вид:

0),,,,,( 32

.

21

.

1

..

1 xxxxxxF (2.19)

где 21

...

1321 ,,,, xxxxxx - аргументы функции F и их производные по времени. Следует отметить, что метод применим к уравнениям любого порядка с произ-вольным числом аргументов.

Не трудно заметить, что функция при начальных значениях переменных равна:

0),,0,,0,0( 03

02

01

0 xxxFF (2.20)

28

Разложив (2.19) в ряд Тейлора по всем переменным, по правилам взятых ча-стных, считая производные аргументов независимыми переменными, а так же отбросив, с учетом (2.20.) начальное значение функции и слагаемые высшего относительно первого порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнение:

030

32

0

2

.

20

.

2

10

1

.

10

.

1

..

10

..

1

x

x

Fx

x

Fx

x

Fx

x

Fx

x

Fx

x

F

(2.21) Теперь вернемся к уравнениям (2.5) - (2.7), записав каждое из них в виде (2.19):

0.

1 âô

â

ô

â uôK

RÔ

K

LF , (2.22)

.

ÿ iLF 2 0 ÿåÿ uÔciR , (2.23)

0.

3 cì MÔicJF . (2.24) Для определенности в последнем уравнении взят тормозящий момент статиче-ской нагрузки. Задавшись начальными значениями входных воздействий 0ââ uu , 0ÿÿ uu ,

0cc MM по уравнениям установившегося режима ( 0.Ô , 0

.i , 0

. ) вычис-

лим качественные значения остальных переменных:

00 ââ

ô uR

KÔ ,

00

01

ñe

ÌÔc

i ,

000 ÿÿÿ iRu Для уравнений (2.22) - (2.24) определим частные производные и вычислим их значения с учетом начальных значений переменных:

ô

â

Ê

L

Ô

F

0.1 ,

ô

â

Ê

R

Ô

F

01 , 101

âu

F ,

ÿ

ÿ

Li

F

0.2 , ÿR

i

F

02 , 0

02 åñÔ

F

, 002 Ôc

Få

,

.3

FJ0 , 0ì

03 iñÔ

F

, 003 Ôc

i

Fì

, 103

cM

F .

29

Согласно (2.21) запишем линеаризованную систему уравнениями:

0

âô

â

ô

uÔÊ

R

dt

Ôd

Ê

Lâ (2.25)

000

ÿååÿÿÿ

ÿ uÔñÔñiRdt

idL (2.26)

000

ñÿìì ÌiÔñÔicdt

dJ

(2.27)

Как видно, линейные операции при линеаризации изменений не претерпе-ли, только полные значения переменных заменены приращениями. Не изменил-ся так же и порядок системы дифференциальных уравнений.

Как отмечалось раньше, линейная система автоматического управления в общем виде может быть описана дифференциальным уравнением (2.13). При этом поведение системы характеризуется одной выходной переменной y . Из-вестно, что дифференциальное уравнение n го порядка всегда можно привес-ти к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка, в которых будут фигурировать n внутренних переменных. Совокупность этих переменных так же полностью характеризует поведение системы. Представив дифференци-альные уравнения первого порядка в нормальной форме Коши, можем записать их в компактной векторно-матричной форме. Такая форма получила название уравнений состояния системы;

G.

(2.28)

Систему дифференциальных уравнений состояния необходимо дополнить алгебраическим уравнением выхода системы (уравнением наблюдения).

Y = CX+DG (2.29)

Здесь X - вектор переменных состояний системы, Y - вектор выходных вели-чин, G - вектор входных воздействий (управляющих и возмущающих), А – собственная матрица параметров системы, В - входная матрица системы, С – выходная матрица системы, D – матрица обхода, чаще всего равна нулю. В раз-вернутом виде:

30

X =

nx

x

...1

, Y =

ny

y

...1

, G =

ng

g

...1

,

A =

11

111

...

............

...

nn

n

aa

aa

, B =

mmm

m

bb

bb

...

............

...

1

111

, C =

kkk

k

cc

cc

...

...........

...

1

111

.

Перейти от общего уравнения системы к уравнениям пространства состоя-ний можно различными способами. При этом можно получить бесконечно большое число форм представления уравнений состояния и наблюдения, а, сле-довательно, и бесконечное количество наборов переменных состояния. Следует отметить, что для всех форм собственные параметрические матрицы имеют раз-личный вид, но одни и те же собственные значения. Одной и той же остается связь между входными и выходными переменными.

В практических расчетах используют канонические формы представления уравнений состояния, то есть формы, для которых собственная параметрическая матрица содержит максимальное количество нулевых элементов. При этом стремятся в качестве переменных состояния использовать реальные физические переменные системы доступные измерению, хотя не исключено, что часть пе-ременных могут быть фиктивными или не измеряемыми.

Так одна из канонических форм уравнений состояния и выхода , исходя из общего уравнения системы, в развернутом виде при одном входном воздейст-вии выглядит так:

0

1

2

1

.

.

1

.

2

.

1

......

a

a

a

a

x

x

x

x

n

n

n

n

0

0

...

0

1

0

0

...

1

0

....

....

....

....

....

0

1

...

0

0

0

1

2

1

1

2

1

......

b

b

b

b

x

x

x

x

n

n

n

n

и

1xy ,

31

где переменные состояния: )(1 tyx

ubxaxx nn 111

.

12 ,

ubxaxx nn 212

.

23 ,

.........................................

ubxaxx nn 111

.

1 .

Математическая модель системы в виде уравнений состояния может быть получена и напрямую на уровне анализа физических закономерностей функ-ционирования системы, минуя этап записи дифференциального уравнения вы-сокого порядка. Так если преобразовать уравнения (2.5)-(2.7) к нормальной форме Коши и заменить обозначения переменных в развернутом виде получим:

11313212111

.

1 gbxaxaxax ,

22323222121

.

2 gbxaxaxax ,

33333232131

.

3 gbxaxaxax .

Здесь X =

3

2

1

x

x

x

=

i

Ô

, G =

3

2

1

g

g

g

=

ñ

ÿ

â

Ì

u

u

,

A =

31

21

11

a

a

a

32

22

12

a

a

a

33

23

13

a

a

a

=

J

iñ

L

ωñ

L

R

ì

ÿ

å

â

â

0

0

J

iñ

L

R

ì

ÿ

ÿ

0

0

0

0

0

ÿ

e

L

Ôc , B =

3

2

1

b

b

b

=

J

L

L

Ê

ÿ

â

ô

1

1.

32

Если принять за выходную переменную приращение скорости 3x уравнение наблюдения будет иметь вид:

3313212111 xxcxcxcy ,

где 0c 0 1

Таким образом, можно привести к стандартной векторно-матричной фор-ме (2.28), (2.29) уравнения состояния любой непрерывной, стационарной линеа-ризованной системы автоматического управления. Эти уравнения весьма удоб-ны для численного анализа процессов в САУ с использованием ЭВМ, кроме то-го, на их основе в настоящее время разработан ряд методов синтеза корректи-рующих цепей и фильтров .

Дифференциальные уравнения – это наиболее обща форма математическо-го описания системы, поскольку они дают связь между входными и выходными величинами при произвольных начальных значениях переменных и различных входных воздействиях. Однако эта связь представлена в них, как отмечалось ранее, в неявной форме. Поэтому непосредственное использование дифферен-циальных уравнений для анализа свойств системы автоматического управления мало эффективно. Прямое же интегрирование дифференциальных уравнений, это достаточно трудоемкая и громоздкая процедура. Решение этой задачи в аналитической форме косвенными методами предмет рассмотрения в после-дующих параграфах.

Совокупность решений для всех управляющих и возмущающих входных воздействий дифференциальных уравнений, описывающих процессы в системе, называется временными характеристиками. Временные характеристики дают зависимость переменных систем от времени в явном виде и непосредственно иллюстрируют реакцию системы на входные воздействия во всех режимах ее работы. Очевидно, что математическое описание в форме временных характе-ристик очень удобно и информативно для анализа свойств системы автоматиче-ского управления. Однако, в рассмотренной постановке такое математическое описание весьма неопределенно, поскольку реально совокупность входных (особенно возмущающих воздействий) неизвестна, а количество возможных временных характеристик неограниченно и, в принципе, стремится к бесконеч-ности.

Принцип суперпозиции 6.5 позволяет для линейных систем снять эту не-определенность, ограничив на практике понятие временных характеристик на-

33

бором реакций системы на стандартные типовые входные воздействия. Так для анализа качества динамических режимов рассматривают реакцию системы либо на единичное ступенчатое воздействие (единичный скачок, единичная функция,

функция Хевисайда) )(1 t

0

1

0 t ïðè

0tïðè

(2.30)

либо на единичный импульс ( - функция, функция Дирака)

)(t 0 tïðè 0

0 tïðè

(2.31)

Отметим, что 1( t ) и ( t ) = 1)(

dtt относятся к классу обобщенных функ-

ций распределений) 9 . Связь между ними согласно (2,30.) и (2.31.) определяет-ся выражением:

dt

tdt

)(1)( . (2.32)

Временную характеристику, представляющую собой реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях, называ-ют переходной функцией и обозначают )(th . Реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях называется импульсной переходной (весовой) функцией и обозначается )(tku или )(tw . Связь между переходной и весовой функциями с учетом (2.32) согласно принципу суперпозиции имеет вид:

dt

tdhtw

)()( . (2.33)

Для анализа качества (точности) работы системы, в установившихся (ра-бочих) режимах, на ряду с рассмотренными в качестве стандартных типовых, могут использоваться и другие входные воздействия, например: а) гармонические

,cos)( m tatg (2.34) где ma и - амплитуда и часть сигнала соответственно; б) степенные:

,)(1

in

ii tatg

(2.35)

где ia - постоянные множители, некоторые из них могут быть равны нулю; n - количество слагаемых, как правило, не более пяти;

34

i = 0,1,2,3,…, n - номер слагаемого; в) показательные:

tetg )( , (2.36) где - постоянный коэффициент больший или меньший нуля, а так же их комбинации. Конкретные временные характеристики можно наблюдать и фиксировать различного рода самописцами в ходе реального технологического процесса. Та-кие экспериментально снятые характеристики служат основой для анализа свойств исследуемого объекта, отнесение его к динамическому звену того или иного типа и определения его параметров. То есть экспериментальные характе-ристики позволяют получить при необходимости математическую модель ис-следуемого объекта в аналитической форме с определением численных значе-ний его обобщенных параметров.

Описание САУ в области изображений.

Математической моделью линейной системы автоматического управления в области изображений является передаточная функция. Передаточной функци-ей системы или ее элемента называют отношение изображения по Лапласу вы-ходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях. Изображением по Лапласу временной функции )(tx назы-вают функцию от переменной s связанную с )(tx интегралом:

0

.)()( dtetxsx st (2.37)

Говорят, что функция )(tx , называемая оригиналом и определенная во времен-ной области t , отображается в область переменной s . Таким образом, при вы-числении интеграла преобразования Лапласа (2.37) происходит простая замена независимой переменной t независимой переменной s . С другой стороны пре-образование Лапласа можно рассматривать как разложение некоторой функции

)(ty равной ctetx )( и заданной в области 0< t < в частный спектр согласно преобразованиям Фурье:

dtetyy tj

)(

2

1)( . (2.38)

35

Действительно, подставив в (2.38) выражение ctetxty )()( , заменив приделы

интегрирования на заданные и опустив масштабирующий множитель 21 , по-

лучим:

dtetxdtetxdteetxsx sttjctjct

0 0

)(

0

)()()()( .

Таким образом s - это комплексная переменная, у которой вещественная часть c есть произвольная положительная константа, а мнимая часть - переменная, имеющая размерность угловой частоты. Следовательно, интеграл преобразова-ния Лапласа отображает временную функцию )(tx на комплексную плоскость. Непосредственное взятие интеграла (2.37), как правило, весьма затрудни-тельно. Однако, указан ряд теорем 4 , опирающихся на свойства этого интеграла, кото-рые для большинства практических случаев позволяют достаточно просто осу-ществить, как прямое, так и обратное преобразование Лапласа, т.е. определить изображение )(sx для известного оригинала )(tx и наоборот, исключив непо-средственное интегрирование. Кроме того, составлены весьма обширные табли-цы соответствий 4 , обеспечивающие нахождение оригиналов и изображений без всяких вычислений. Здесь, для пояснения понятия передаточной функции и удобства дальней-шего изображения материала, приведем без доказательств основные теоремы преобразования Лапласа:

1. Теорема линейности: Если временная функция )(tx задана линейной комбинацией нескольких функций, т.е.

)(....)()()()( 332211 txtxtxtxtx nn , Изображения, которых )(),...,(),(),( 321 sxsxsxsx n известны, то изображение та-кой функции будет равно:

)(....)()()()( 332211 sxsxsxsxsx nn (2.39) Очевидно, что доказательство этой теоремы базируется на общих свойствах ин-тегралов: интеграл от суммы равен сумме интегралов, и постоянный множитель из-под знака интеграла можно выносить.

2. Теорема дифференцирования оригинала: Если оригиналу )(tx соответ-

ствует изображение ),(sx то изображением производной dt

tdx )( будет,

)0()(2 sxsxs , изображением второй производной 2

2 )(

dt

txd будет,

36

)0()0()( 12 xsxsxs и в общем случае, на основании метода индукции для

n

n

dt

txd )( имеем:

L )0()0(....)0()0( )()( 1121 nnnnn

n

n

xsxxsxssxsdt

txd

,

(2.40) где n - порядок производной, а x (0), )0(),0(),...0( 11 nn xxx - начальные зна-чения функции )(tx и ее производных; символ L - обозначает приложение к выражению в фигурных скобках преобразования Лапласа. Строго говоря, в вы-ражении (2.40) следует ставить (+0), т.е. используются предельные значения

)(tx и ее производных при стремлении t к нулю справа. Для практических це-лей эта теорема является одной из важнейших, так как выражает в высшей сте-пени примечательное обстоятельство: дифференцирование, которое представля-ет собой в пространстве оригиналов трансцендентный процесс, заменяется в пространстве изображений совершенно элементарным действием – умножением изображения на аргумент s в степени n с одновременным добавлением много-члена, коэффициентами которого являются «начальные значения» оригинала. При нулевых начальных значениях этот многочлен обращается в нуль.

3. Теорема интегрирования оригинала: Если оригиналу )(tx соответст-вует выражение )(sx , то

Ls

sxdttx

t )()(

0

(2.41) 4. Теорема изображения функции запаздывающей во времени: Если L ),()( sxtx то L ),()( sxtx s (2.42)

где

tx(t

ttx

åñëè )

åñëè 0)( .

5. Теорема смещения аргумента функции в области изображений: Если L ),()( sxtx то L ).()( sxtx t (2.43) 6. Теорема свертки двух временных функций: Сверткой двух времен-ных функций )( è )( 21 txtx обозначается - )()( 21 txtx либо )()( 12 txtx , назы-вают интеграл вида:

37

.)()(x ëèáî, )()( 1

t

022

01 dttxdtxx

t

Если L ),()( 11 sxtx а L ),()( 22 sxtx то L )()()()( 2121 sxsxtxtx .

(2.44) 7. Теорема подобия:

Если L ),()( sxtx то L ),(1

)( a

sx

aatx (2.45)

L ),()(a

1 asx

a

tx

(2.46) Теорема применима при 0a .

8. Теорема о начальном и конечном значении: Если начальные и конечные значения функции )(tx существуют, а L ),()( sxtx то )()()0( sxstxx imim (2.47) 0t s )()()( ssxtxx imim . (2.48) t 0s Воспользовавшись теоремами 1 и 2 легко отобразить уравнение (2.14) в область изображений. Приняв начальные значения переменных и их производ-ных равными нулю, получим следующее алгебраическое уравнение:

).()(....)(1)(

)()(....)(

111

0

111

10

sgssgsgssgsk

syssyTyssTsysT

mmmmm

nnnnn

(2.49)

Вынеся в (2.49.) )(sy и )(sg за скобки и записав, его в виде пропорции по-лучим общее выражение передаточной функции линейной системы:

,)(

)(

1....

)1....(

)(

)(

111

10

111

10)( sL

skN

sTsTsT

sssk

sq

syW

nnnnn

mmmmm

s

(2.50)

где )(sN - полином числителя степени ,m а )(sL - полином знаменателя сте-пени n передаточной функции системы. Следует напомнить, что по условиям физической реализуемости всегда выполняться условие .nm Корни полинома числителя называют нулями передаточной функции, а корни полинома знаменателя – полюсами. Если известны нули и полюса, то по-линомы числителя и знаменателя передаточной функции могут быть представ-лены произведением двучленов:

38

,)(

)(

1

1)(

j

n

j

i

m

is

s

sW

(2.51)

где ii -тый корень полинома числителя, jj -тый корень полинома зна-

менателя. Математическое описание системы в форме передаточной функции, в сравнении с дифференциальными уравнениями, является более «узким», так как характеризует процессы только при нулевых начальных условиях. Однако, это не умоляет общности использования передаточных функций для исследования линейных систем автоматического управления, поскольку для них справедлив принцип суперпозиции (наполнения) 6,5 . Важным следствием справедливости этого принципа является то, что свойства линейной системы, это ее внутренние свойства, они не зависят ни от начальных значений переменных, ни от вида и места приложения внешних воздействий. Поэтому систему, в принципе, доста-точно исследовать только в режимах с нулевыми начальными значениями пере-менных. Кроме того, отсюда следует, что именно полином знаменателя переда-точной функции (2.50) характеризует основные свойства системы, поскольку вид полинома числителя согласно (2.14) зависит от входного воздействия и его производных. Поэтому полином знаменателя )(sL передаточной функции )(sW

называют характеристическим полиномом, уравнение: 0)( sL (2.52)

характеристическим уравнением системы. Уравнение идентичное по внешнему виду (2.49) можно получить, введя в (2.14) для символа операции дифференцирования по времени обозначение

:pdt

d

nT0 )....(.... 111

10111

1 gpggpgpKypyTypTyp mmmm

nnnn

(2.53)

Уравнение (2.53) называют символической записью уравнения (2.14). здесь в отличии от (2.49) выносить за скобку è gy не допустимо, поскольку невозмож-но оторвать переменную от символа операции над ней. Однако это уравнение дает подсказку формальной процедуры применения преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению (2.14) в случае нулевых начальных условий. Чтобы перейти к уравнению в изображениях (2.49) в (2.14) достаточно заменить

символ dt

dпеременной s , а вместо gy è соответственно записать )(sy и )(sg .

39

Связь между входной и выходной переменной системы автоматического управ-ления с помощью передаточной функции (2.50) характеризуется алгебраиче-ским уравнением: )()()( sgsWsy , (2.54) которое называют уравнением системы в изображениях. Для примера определим передаточные функции двигателя постоянного то-ка независимого возбуждения при управлении только по якорной цепи. В урав-

нениях (2.16), (2.17) заменим dt

d переменной ,s а y и g на )(sy и )(sg . Выне-

сем )(sy и )(sg за скобки:

).()1 ()()1(

),()()1(

22222

1

11222

1

sgsksySTST

sgksySTST

Полученные выражения перепишем в виде пропорции, взяв отношение )(sy к

)(sg :

.1

)1 (

)(

)()(

,1)(

)()(

222

1

2

22

222

1

1

11

STST

sk

sg

sysW

STST

k

sg

sysW

(2.55),(2.56)

Здесь )(1 sW - передаточная функция двигателя по управлению, а )(2 sW - по возмущению. Знак минус в числителе показывает, что с увеличением тормозно-го момента на валу скорость двигателя уменьшается. Если математическое описание системы задано передаточной функцией, то можно найти изображение временной характеристики:

).()()( sgsWsy Для этого необходимо передаточную функцию умножить на изображение вход-ного сигнала )(tg . Изображения, приведенных ранее типовых сигналов доста-точно просто получить с помощью интеграла прямого преобразования Лапласа и его свойств 9 . Так, например, для воздействия типа «единичный скачок»

)(1)( ttg согласно интегралу преобразования Лапласа имеем:

0 0

)(1)(1)( dtdttssg stst .

Этот интеграл заменой переменно t на s

t

приводится к табличному инте-

гралу 10 значение, которого равно:

40

ss

sst 1

)(10

. (2.57)

Изображение - функции можно найти вспомнив, что она по определению

равна .)(1

)(dt

tdt тогда воспользовавшись теоремой дифференцирования ори-

гинала, для случая нулевых начальных условий, сразу можно записать:

.1)(1)( s

ssss (2.58)

Изображения некоторых наиболее часто встречающихся временных сигналов сведены в таблицу 1.1. Следует отметить, что в литературе известны существенно более обшир-ные таблицы соответствий оригиналов и изображений 10.9 ,которые дают сле-дующую важную для ряда практических случаев процедуру нахождения вре-менных характеристик:

1. По таблицам находится изображение известного, заданного, входного воздействия.

2. Полученное изображение помножается на передаточную функцию сис-темы, то есть находится изображение временной характеристики.

3. Для найденного изображения по тем же таблицам находится оригинал, который и будет искомой временной характеристикой.

Таблица 1.1.

Таблица соответствий оригиналов и изображений некоторых функций.

№ п/п

Название Оригинал Изображение

1 - функция (функция Дирака)

,0 при 0

0 при )(

t

tt

.1)( t

1

2 Единичное ступенчатое воздействие

(функция Хевисайда) 1

0 ïðè 0

0 ïðè 1)(

t

tt

s

1

3 Линейная функция времени (воздействие с постоянной скоро-

стью) constV

tV

2s

a

41

4 Параболическая функция времени (воздействие с постоянным ускоре-

нием)

2ta 3

!2

s

a

5 Степенная функция nta 1

!

ns

na

6 Показательная функция t s

1

7 Синусоидальная функция tSin 22 s

8 Косинусоидальная функция tCos 22 s

s

9 Запаздывающая функция

tïðè 0

0ïðè)( ttx )(sxs

Как следует из (2.57), (2.58) изображением весовой функции является не-посредственно передаточная функция системы

,)(

)()()(

sL

skNsWsku (5.59)

а изображением переходной функции, передаточная функция, помноженная на изображение единичного ступенчатого воздействия:

.)(

)(1)()(

sLs

sNk

ssWsh

(2.60)

Легко заметить (2.50), что передаточные функции линейных систем – это дроб-но-рациональные функции. Такой же вид имеют и изображения многих реаль-ных входных воздействий. Поэтому в большинстве практических случаев для нахождения оригинала временной характеристики по ее изображению очень удобно представить последнее в виде суммы элементарных дробей. Это позво-ляет формировать оригинал временной характеристики, как сумму оригиналов соответствующих элементарным дробям и практических затруднений не вызы-вает. Для разложения дробно-рациональной функции на элементарные дроби, необходимо знать ее полюса, или по-другому, корни полинома ее знаменателя. Современное программное обеспечение вычислительной техники позволяет без труда, с любой требуемой точностью находить корни алгебраических уравне-ний практически любого порядка. Вид разложения на элементарные дроби определяется видом корней зна-менателя. Так для случая простых (различных) корней имеем:

42

.)(

)()()()(

1 i

in

i s

d

sR

sMKsgsWsy

(2.61)

Здесь, R(s)M(s)K è - полиномы числителя и знаменателя временной функции соответственно, n - порядок (количество корней) полинома знаменателя, i - i - тый корень полинома знаменателя, id - коэффициент числителя i - той эле-ментарной дроби. Коэффициенты id можно определить, как вычет полюса i функции (2.61):

,)(

)()()(

)(lim

)(

)(lim

1i

i

i

is

i

αsi

R

MK

s

RsRsKM

sR

sd

ii

(2.62)

где )(1 sR - производная от )(sR по s . Для практических вычислений удобно использовать следующие формулы. Представив )(sR в виде произведения двучленов, согласно правилу дифферен-цирования произведений имеем:

....,))....()()((

))....()()(())....()(()(

421

431321

n

nn

ssss

ssssssssR

следовательно, ))....()(()(!

),)....()(()(

232122

1312111

n

n

R

R

(2.63) и так да-

лее. Таким образом, определение коэффициентов i сводится к определению произведений (2.63) с последующим делением на них соответствующих коэф-фициентов числителя ).( iMK Приведенные выше рассуждения (2.61), (2.63) и таблица 1.1. позволяют получить достаточно компактные формулы прямого определения весовой и пе-реходной функций по их изображениям. С учетом (2.59) и (2.60), имеем:

,)(

)()(

1)(

tn

i i

itu

i

L

NKtK

(2.64)

(2.65)

где i - корни характеристического полинома системы. Определим переходную функцию двигателя постоянного тока при отра-ботке возмущающего воздействия.

,)(

)(

)0(

)0()(

11

tn

i ii

i i

L

KN

L

KNth

43

Числитель переходной функции по возмущению (2.56) равен: ),1()( sKsNK соответственно KNK )0( .

Знаменатель: ,1)( 222

1 sTsTsL следовательно 1)0( L .

Производная знаменателя: 211 2)( TsTsL .

Корни характеристического полинома: ,2

42

1

21

222

1T

TTT

.2

42

1

21

222

2T

TTT

Подставив в (2.65) )0(NK , )0(L и )(1 sL при 1s и 2 получим:

.)2()2(

_)( 21

22122111

tt

TT

K

TT

KKth

В случае наличия кратных равных корней полинома знаменателя дробно-рациональной функции изображения, формула разложения ее на элементарные дроби становится более громоздкой. Существенно более сложной становится и процесс вычисления коэффициентов числителей элементарных дробей. В связи с малой вероятностью кратности полюсов передаточных функций реальных систем автоматического управления, эти вопросы здесь не рассмотрены. В слу-чае необходимости рекомендуем обратиться к 10.9 . В настоящее время при расчетах систем автоматического управления ши-роко используют средства цифровой вычислительной техники. Разработаны «мощные» пакеты прикладных математических программ, например - « MATLAB», « MATCAD», и т.д. Эти пакеты обеспечивают численное ин-тегрирование дифференциальных уравнений, описывающих процессы в САУ различными методами, при различных входных воздействиях и начальных ус-ловиях. Они позволяют получить различные временные характеристики, моде-лируя процессы при любых реальных режимах работы системы, на основе раз-личных форм ее математического описания.

Описание систем в частной области. Частные характеристики устанавливают связь между амплитудой и фазой выходного сигнала от частоты входного сигнала единичной амплитуды в уста-новившемся режиме. Они показывают, во сколько раз система усиливает вход-ной сигнал, и какой фазовый сдвиг вносит в выходной сигнал при данной часто-те. Следует отметить, что частотные характеристики позволяют оценить не

44

только установившийся режим работы, но и динамические свойства системы. Поскольку, здесь входная и выходная переменные даже в установившемся ре-жиме являются функциями времени, их функциональную зависимость между собой определяют не только они сами, но и их производные по времени. При чем вес производных, тем больше, чем больше численные значения постоянных времени. Математически формализовать понятие частных характеристик удобно, воспользовавшись операцией свертки двух временных функций:

.)()()(0

dtgtxtyt

Согласно, рассмотренной ранее под номером 6 теоремой преобразования Лапласа, изображением свертки )(ty двух временных функций является про-изведение их изображений. Установлено, что изображением весовой функции является передаточная функция системы, то есть:

.)( )(0

dttsW stt

(2.3.1)

Следовательно, произведение )()( sgsW в области оригиналов будет со-ответствовать операции:

t

dtgty0

.)()( )( (2.3.2)

Взяв, в качестве входного g гармонический сигнал ,)( tjtg и устремив в (2.3.2) верхний предел интегрирования к бесконечности, что соответствует ус-тановившемуся режиму, можно записать:

dtty tjóñò

0

)(. )( )( .

Вынесем из-под знака интеграла величины, которые не зависят от переменной :

.)()()()(

00

.

jjjóñò tgdtty

Как следует из данного выражения, чтобы получить, установившееся зна-чение выходной величины системы при подаче на вход гармонического сигна-ла, достаточно помножить последний на функцию:

.

0

dtjW j

(2.3.3)

45

Эта функция является комплексной функцией частоты и называется частот-ной передаточной функцией системы. Из сравнения выражений (2.3.1) и (2.3.3) видно, что для того чтобы получить частотную передаточную функцию систе-мы, достаточно в ее передаточной функции sW заменить переменную s на j :

jL

sNKsWjW js

. (2.3.4)

В расчетах выражение частотной передаточной функции в виде (2.3.4) ис-пользуют редко, обычно ее преобразуют с помощью правил выполнения опера-ций над комплексными функциями к стандартной алгебраической

, jPjW (2.3.5) или показательной jAjW . (2.3.6) форме При этом, , , , AP - соответственно называют веществен-ной, мнимой, амплитудной и фазовой частотными характеристиками. Все эти характеристики для минимально фазовых систем и звеньев (см. раздел 2.4) од-нозначно связаны между собой и каждая из них в полной мере определяет ста-тические и динамические свойства системы:

,22 PA (2.3.7)

Parñtg

. (2.3.8)

Для получения выражения вида (2.3.5) необходимо в (2.3.4) и числитель, и знаменатель помножить на комплексную функцию, сопряженную знаменателю, а затем путем по членного деления числителя на знаменатель выделить в полу-ченном выражении вещественную и мнимую часть. Для определения A и можно воспользоваться формулами (2.3.7), (2.3.8), но удобнее комплекс-

ные полиномы числителя и знаменателя выражения (2.3.4) сразу представить в показательной форме и поделив их сразу перейти к выражению вида (2.3.6). Например, для передаточной функции

1

1

Ts

ssW

,

Заменив s на j , получим передаточную функцию:

1

1

Tj

jjW . (2.3.9)

46

Помножим числитель и знаменатель на комплекс сопряженный знаменате-лю и выделим вещественную и мнимую части:

.

1

1

1

1

1

1 1

1 1 2222

2

22

2

T

Tj

T

T

T

TjT

jTjT

jTjjW

Здесь ,1

122

2

T

TP

,

1 22

T

T

Запишем и числитель, и знаменатель (2.3.9) в показательной форме (см. формулы (2.3.7), (2.3.8)):

arctgTarctgj

jarctgT TTjW

22

22

22

22

1

1

1

1

или

22

22

1

1

T

A

, (2.3.10)

arctg e Tarctg . На практике очень часто используется графическое представление частот-ных характеристик. Графики частотных характеристик могут быть построены, как по точкам на основе приведенных выше формул, так и сняты эксперимен-тально путем подачи на вход системы тестирующих гармонических символов различной частоты и наблюдения установившихся реакций системы на эти сиг-налы. Для графика, построенного согласно формуле (2.3.5) в координатах P , принято собственное название – амплитудно-фазовая частотная характе-

ристика (АФЧХ). Для графиков остальных характеристик сохранены те же на-звания, что и для аналитических выражений – вещественная частотная характе-ристика (ВЧХ), мнимая частотная характеристика (МЧХ) и фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Возможные графики частотных характеристик рассмот-ренного примера приведены на рис.2.3.1.

47

Q

P 1T

0

P1

T

A

T

Рис.2.3.1.

Необходимо отметить, что амплитудные частотные характеристики соот-ветствующие отдельным множителям произведения частотных передаточных функций перемножаются, а фазовые суммируются. Процедура графического перемножения отдельных характеристик существенно более громоздкая и тру-доемкая, чем процедура их графического сложения. Кроме того, область суще-ственного изменения частотных характеристик расположена в зоне малых и средних частот. Это предопределило широкое использование логарифмических амплитудных (ЛАЧХ) и фазовых (ЛФЧХ) частотных характеристик. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логариф-мическом масштабе. Это означает, что наносят отметки соответствующие lg , но около отметок указываются значения частоты. Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в десять раз, называют декадой, а отрезок, соответствующий изменению частоты в два раза, - октавой. По оси ординат ЛАЧХ откладывают в равномерном масштабе логарифми-ческую амплитуду

ÁAL lg20 . Необходимость масштабирующего коэффициента 20 обусловлена тем, что ЛАЧХ в отличие от просто амплитудной частотной характеристики , имеет раз-мерность – децибел, которая составляет 0,1 базовой, принятой в технике едини-це измерения мощности сигнала – Белл. (1Б – соответствует изменению мощно-сти сигнала в 100 раз). Мощность же сигнала связана с его амплитудой квадра-тичной зависимостью. Следовательно, чтобы сохранить размерность необходи-мо писать:

gÁAgÁAÁAL lg 20 lg 10 lg 22 .

48

Нуль логарифмической амплитуды соответствует 1A . Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, поскольку 0lg , поэтому ось ординат может пересекать ось абсцисс в любой точке. Эту точку выбирают так, чтобы график охватывал нужный диапазон частот. У ЛФЧХ такая же ось абсцисс, а по оси ординат в равномерном масштабе откладывают фазу в градусах или радианах. ЛФЧХ строят обычно под ЛАЧХ с тем, чтобы изменение фазы можно было составить с изменением ам-плитуды. Логарифмические частотные характеристики удобны тем, что небольшим графиком может быть охвачен широкий частотный диапазон. При этом одина-ково наглядное изменение частотных свойств, как на малых, так на средних и высших частотах. Небольшим графиком охватывается и широкий диапазон из-менения амплитуды с одинаковой наглядностью изменения больших и малых амплитуд, а операция графического перемножения заменяется более удобной операцией графического суммирования. Кроме того, оказывается, что значительные участки ЛАЧХ с большой точ-ностью могут быть заменены прямыми линиями – асимптотами. Они имеют на-клон кратный 20 дБ/дек, т.е. 20 K дБ/дек, где K =0,±1,±2,….,. В ряде случаев оказывается возможным пренебречь кривизной ЛАЧХ на от-дельных небольших участках частот. Тогда ЛАЧХ изображается отрезками прямых (асимптот) и называется асимптотической ЛАЧХ. Для ее построения необходимы весьма простые вычисления. Рассмотрим вид асимптотических ЛАЧХ для некоторых типичных амплитудных частотных характеристик: а) KA . В этом случае KL lg20 есть постоянная величина и ЛАЧХ представляет собой прямую параллельную оси абсцисс (рис.2.3.2а);

б) T

A1

. В этом случае TL lg201lg20 . При 1 имеем

TL lg20 ⁄ 0T и на протяжении одной декады (с увеличением в10 раз) L уменьшается (в) на 20дБ. ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном –

20дБ/дек пересекающую ось абсцисс при частоте T

1 (рис 2.3.2б).

в) TA . Здесь TL lg20 . График ЛАЧХ (рис2.3.2в) является зер-кальным отражением графика рис. 2.3.2б относительно оси абсцисс и также пе-

ресекает ее в точке T

1 .

49

г) 221

1

TA

. В этом случае 21lg20 TL . При малых часто-

тах 122 T имеем L ≈ 0. это низкочастотная асимптота, проходящая по оси

абсцисс. При больших частотах 1 22 T имеем L ≈ Tlg20 . Это высоко-качественная асимптота, которая уменьшается на 20дБ\дек. Следовательно, асимптотическая ЛАЧХ образуется двумя асимптотами, которые сопрягаются

при частоте T

1 (рис 2.3.2г), так как при этой частоте удовлетворяются урав-

нения обеих асимптот.

д) 221 TA . В этом случае .1lg20 22TL как и в предыду-щем асимптотическая ЛАЧХ составляется двумя асимптотами, которые сопря-

гаются при частоте ,1

T но высокочастотная асимптота имеет положитель-

ный наклон +20дБ/дек (рис.2.3.2д).

е) 222 21

1

TTA

, где 1 . В данном случае

2222 21lg20 TTL . На малых частотах - 01lg20 L ,

на высоких - 22lg20 TL . Низкочастотная асимптота проходит по оси абсцисс, а высокочастотная имеет отрицательный наклон и уменьшается на

40дБ/дек (2.3.2е). Точка сопряжения асимптот T

1 .

ж) 222 21 TTA , где 1 . В этом случае

2222 21lg20 TTL . Асимптотическая ЛАЧХ составляется

двумя асимптотами, которые сопрягаются на частоте T

1 . Низкочастотная

асимптота проходит по оси абсцисс, а высокочастотная – имеет положительный наклон +40 дБ/дек (рис. 2.3.2.ж).

50

)a )б )в )г

lg

klg20

L

L L

L L

L

L

L

lg

lg

lg

lg

lg lg

T

1

T

1

T

1

T

1

T

1

T

1

T

1

декдБ /20 декдБ /20

декдБ /20

декдБ /20

декдБ /20

декдБ /40

декдБ /40

lg

декдБ /20

)д )е )ж )з

Амплитудной частотной характеристике (2.3.10) соответствует ЛАЧХ

2222

22

22

1lg201lg201

1lg20

TT

L

.

График этой ЛАЧХ (рис. 2.3.2з) можно получить суммированием графиков рис. 2.3.2. (г, д). В литературе приводятся нормированные шаблоны графиков типичных фазных частотных характеристик - T , которые позволяют также, практиче-ски без расчетов, построить необходимые фазные частотные характеристики.

Структурные представления математических моделей САУ.

Как отмечалось ранее, в теории автоматического управления при описа-нии процессов в системе широко используется графический язык структурных схем. Структурные схемы – это графическая интерпретация математического описания системы. Если известна общая передаточная функция системы, на-пример (2.50), ей можно ввести в соответствие структурную схему рис.2.4.1. Здесь передаточная функция sW , по сути, оператор системы, определяющий преобразование системы входного сигнала в выходной.

51

SW sy sg

На рис 2.4.1. система автоматического управления представлена динами-

ческим звеном однонаправленного действия в виде прямоугольника с вписан-ной в него передаточной функцией, а изображения входной sg и выходной sy переменных показаны соответственно входящей и исходящей стрелками.

Если известны передаточные функции отдельных физических элементов, составляющих систему автоматического управления и схему их взаимодейст-вия, то математическая модель САУ в целом графически может быть представ-лена детализированной структурной схемой. Здесь каждому физическому эле-менту системы вводится в соответствие динамическое звено, а выходная пере-менная одного звена, согласно схеме взаимодействия, будет входной для друго-го.

Математическое описание реального физического элемента, полученное в виде системы дифференциальных и алгебраических уравнений, легко может быть преобразовано в систему уравнений в изображениях вида (2.52). Эти урав-нения позволяют характеризовать каждый элемент САУ, в свою очередь, раз-вернутой (детализированной) структурной схемой. Однако динамические звенья такой структурной схемы уже не соответствуют реальному элементу в целом, а только отображают математические связи между внутренними переменными этого устройства.

Например, уравнениям (2.8), (2.9) характеризующим процессы в двигателе постоянного тока независимого возбуждения, представленным в изображениях:

,1

1sKsu

sTRsi eÿ

ÿÿÿ

.1sMsiK

sJs cÿì

Соответствует структурная схема рис. 2.4.2.

52

sиЯ 1sTR

K

ЯЯ

M

sM C

eK

Js

1 s

Рис. 2.4.2.

Здесь ÿT - постоянная времени якорной цепи двигателя. Очевидно, что

детализация структурной схемы системы может быть доведена вплоть до звень-ев соответствующих элементарным линейным математическим операциям. Та-ких математических операций всего пять: сложение, вычитание, умножение на константу (масштабирование), интегрирование, дифференцирование. Этим опе-рациям соответствует пять, так называемых, элементарных динамических звеньев (см. таб. 2.4.1.).

Следовательно, структурную схему любой системы автоматического управления можно скомпоновать из наборов пяти, разным образом соединен-ных между собой элементарных звеньев. Однако, столь глубокая детализация применяется достаточно редко. Обычно, для представления САУ структурной схемой, используются более сложные динамические звенья, полиномы числите-ля и знаменателя передаточных функций, которые могут достигать второго по-рядка включительно, в различных сочетаниях. 6,5 . Такие динамические звенья получили название «типовых» и частично так же представлены в таблице 2.4.1. Особняком в этой таблице стоит звено транспортного запаздывания, которое лишь приближенно может быть представлено дробно-рациональной передаточ-ной функцией, но достаточно часто встречается в реальных системах автомати-ческого управления. Наличие такого звена в системе, вносит некоторые особен-ности в методику ее проектирования 7.6,5 .

Таблица 2.4.1.

Некоторые типовые динамические звенья.

№ п/п

Название

Графи-ческое изобра-жение

Передаточная функция

Уравнения в изображениях

Уравнения в оригиналах

Квали- фи-ка-ция

.

53

1

Сумматор

_____ sxsxsy 21

21 xxy

2

Узел

сравнения

_____ sxsxsy 21

21 xxy

3

Масштаб-щее, пропорцион-ое усилительное, безинерцион-е

K

sxKsy

xKy

4 Дифференци-

рующее s sxssy

dt

dxy

5 Интегрирующее

Ts

1

sxsysT x

dt

dyT

6 Форсирующее 1-го порядка

1s sxssy 1 1dt

dxy

7 Апериодическое

1Ts

K sxKsyTs 1 xKy

dt

dyT

Форсирующее 2-го порядка.

12

221 ss

sxsssy 11

221

xdt

dx

dt

xdy 22

221

8 Колебательное если корни функ

s -комплексн.

122

1 sTsT

K

sxKyssTT 12

21

Kydt

dyT

dt

ydT 22

22

1

9 Реальное диффе-

ренцир-е

1

sT

s

sxssysT 1

dt

dxy

dt

dyT

10 Реальное

форсирующее

1

1

Ts

s sxssysT 11 x

dt

dxy

dt

dyT

11

Пропорционально-интегрирующее

Ts

s 1

sxssyTs 1

x

dt

dx

dt

dyT

12 Чистого

запаздывания. s sxsy s txy

В таблице 2.4.1. по умолчанию принято, что звенья с дробно-

рациональными передаточными функциями имеют, либо отрицательные веще-ственные, либо комплексные с отрицательно вещественной частью нули и по-люса. Такие звенья называют минимально-фазовыми. Связь частотных характе-ристик между собой у таких звеньев однозначна. Звенья, у которых в любом со-четании нули и полюса имеют положительные вещественные значения или

54

комплексные значения с положительной вещественной частью называют не ми-нимально-фазовыми. Например, звено с передаточной функцией:

1

sT

KsW

Это не минимально-фазовое апериодическое звено. Фазовые частотные характеристики таких звеньев, рассчитанные непо-

средственно по частотным передаточным функциям, и по вещественной, и мнимой частотным характеристикам, с учетом знаков их значений, могут отли-чаться на угол кратный /2. Амплитудные частотные характеристики у одно-типных минимально-фазовых и не минимально-фазовых звеньев совпадают. Не минимально-фазовые звенья с отрицательным полюсом или с отрицательной вещественной частью комплексного полюса неустойчивы.

Часть типовых динамических звеньев не имеют физической реализации (например, звенья под номерами – 4,6,8 таблицы 2.4.1.), но их использование в математических исследованиях вполне правомерно, а просто необходимо.

Часто необходимо знать общую передаточную функцию системы. Для САУ заданной структурной схемой состоящей из участков последовательного (рис.2.4.3.а), параллельного (рис.2.4.3.б) соединения звеньев и соединения типа обратная связь (рис.2.4.3.в), общую передаточную функцию легко определить последовательным применением перечисленных ниже правил 7,6,5 :

sW1 sW2 sW3

sx1 sx2 sx3 sx4

)a

sW3

sW2

sW1

sx1

sx2

sx3

sx4

sx5

)б

sx1 sx2

sx3

sx4 sWП

sWO

)в

Рис. 2.4.3.

Правило 1. Общая передаточная функция последовательно соединенных

звеньев (рис.2.4.3.а) равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

sWsWsWsW 321 . (2.4.1) Запишем для структурной схемы рис. 2.4.3а уравнения в изображениях:

.

,

,

112

223

334

sxsWsx

sxsWsx

sxsWsx

Исключив промежуточные переменные, получим:

55

.113214 sxsWsxsWsWsWsx Аналогично доказываются и последующие два правила.

Правило 2. Общая передаточная функция параллельно соединенных звеньев (рис. 2.4.3.б) равна сумме передаточных функций отдельных звеньев с учетом знака суммирования:

sWsWsWsW 321 (2.4.2) Правило 3. Общая передаточная функция соединения типа «обратная

связь» (рис. 2.4.3.в) равна передаточной функции прямого тракта деленного на

единицу плюс (минус) произведение передаточных функций прямого тракта и канала обратной связи:

.1 0 sWsW

sWsW

n

n

Здесь знак « - » для положительной обратной связи, а знак « + » для отрица-тельной.

K Ts

1

)a

K 1

1

Ts

sx1sx2

sx2sx1

)б

sx1 sx2

1Ts

K

)в

Рис. 2.4.4.

Например, структурную схему (рис. 2.4.4.а), составленную из элементар-ных звеньев, последовательным применением правил 3 и 1(см. рис. 2.4.4.б,в) можно преобразовать к одному звену с общей передаточной функцией:

1

sT

KSW .

Такую передаточную функцию имеет типовое динамическое звено, называемое апериодическим.

Часто конфигурация исходной структурной схемы не позволяет непосред-ственно воспользоваться формулами (2.4.1 - 2.4.3) для получения общей переда-точной функции системы автоматического управления (см. например рис. 2.4.5.а). Тогда исходную структурную схему необходимо преобразовать к виду удобному для их применения. Основой такого преобразования является прин-цип эквивалентности, суть которого в том, что математические связи между входными и выходными переменными узла структурной схемы до преобразова-

56

ния и после должны оставаться прежними. Другими словами, исходная и пре-образованная структурные схемы, отличаясь количеством и схемой соединения звеньев, должны иметь одинаковые общие передаточные функции.

sy sx

sx

sW1 sW2

sy sx

sx

sW1 sW2

sW

1

)a )б

Рис. 2.4.5.

Так схема (рис.2.4.5.а) будет эквивалентна схеме (рис.2.4.5.б) только в том случае, если при переносе узла разветвления сигнала sx за звено с передаточ-ной функцией sW2 включить в канал ответвления, как это показано на рис.

2.4.5.б, звено с передаточной функцией 1/ sW2 . Действительно, на входе уз-

ла схемы до преобразования (пунктирный прямоугольник на рис. 2.4.5.а) и по-сле преобразования (пунктирный прямоугольник на рис. 2.4.5.б) один и тот же сигнал - sx . На выходе из узла канала верхней обратной связи в первом случае

имеем sx , во втором - sWsWsx

22

1 . На основном входе и выходе канала

нижней обратной связи в обоих случаях .2 sxWsy Преобразование схемы к виду рис. 2.4.?.б позволяет получить общую передаточную функцию системы, применив правило 3 к внутреннему контуру, затем правило 1 к последователь-ным звеньям прямого тракта, и наконец вновь правило 3 для внешнего контура. Основные правила эквивалентных структурных преобразований представлены в таблице 2.4.2. Более полно они представлены например в .

Таблица 2.4.2. Правила структурных преобразований.

№ п/п

Преобразование Исходная структурная

схема Эквивалентная структур-

ная схема

1

Перенос точки разветв-ления через звено по на-правлению передачи

сигналов.

sx1

sx1

sx2 sW1

sx1

sx1

sx2 sW1

sW1

1

57

2

Перенос точки разветв-ления через звено про-тив направления переда-

чи сигналов.

sx1

sx2

sx2 sW1

sx1

sx2

sx2 sW1

sW1

3 Перенос сумматора че-рез звено по направле-нию передачи сигналов

sx1 sx3

sx2

sW1 sx1

sx3

sx2

sW1

sW1

4

Перенос сумматора че-рез звено против на-правления передачи

сигналов.

sx1 sx3

sx2

sW1

sx1 sx3

sx2

sW1 sW1

1

5 Перестановка точек раз-

ветвления.

sx1 sx3

sx2

sW2

sx4

sW1

sW3

sx1 sx3

sx2

sW2

sx4

sW1

sW3

6 Перестановка суммато-

ров.

sx1

sx3 sx2

sx4

sx1

sx3 sx2

sx4

Путем рассмотренных выше эквивалентных преобразований, структурную схему любой системы можно привести к одноконтурной системе с единичной отрицательной обратной связью (рис.2.4.6). Здесь в качестве выходной пере-менной y рассматривается сигнал с датчика, измеряющего реальную техноло-гическую переменную, которая характеризует ход технологического процесса.

sx1

sx2

sW

sM

su s

sf

sy

58

Рис.2.4.6.

Структурная схема характеризует систему, как многомерную с двумя входными переменными управляющей u и возмущающей f . Однако принцип суперпозиции позволяет исследовать процессы в системе реально, поочередно полагая f или u равными нулю. При этом инженера интересуют передаточные функции разомкнутой системы sW , а так же общие передаточные функции замкнутой системы по управляющему sΦu и возмущающему sΦ f воздейст-

виям. Кроме того, бывает полезно знать передаточные функции по ошибке от управляющего воздействия sΦ u и возмущающего воздействия sΦ f .

Передаточной функцией разомкнутой системы называется общая переда-точная функция прямого тракта системы по каналу передачи управляющего воздействия при разомкнутой главной обратной связи, т.е.:

sL

sNKsW Ρ . (2.4.4)

где ΡK - коэффициент передачи разомкнутой системы, sN - полином числителя передаточной функции разомкнутой сис-темы в общем случае порядка m , sL - полином знаменателя передаточной функции разомкнутой системы в общем случае порядка mn .

Передаточную функцию замкнутой системы по управлению (главную пе-редаточную функцию замкнутой системы) можно получить, положив 0tf , тогда tx2 так же будет равно нулю.

sNKsL

sNK

sW

sW

su

sysΦu

1. (2.4.5)

Передаточную функцию замкнутой системы по возмущению можно по-лучить, положив .0tu Тогда схему рис. 2.4.6. можно представить в виде рис. 2.4.7. общая передаточная функция такой структуры равна:

sNKsL

sLsM

sWsM

sf

sysΦ f

1

1. (2.4.6.)

59

sW

sM sf sy

s su

sW

Для определения передаточной функции замкнутой системы по ошибке,

перерисуем схему рис.2.4.6., приняв за выходную переменную ошибку и по-ложив 0f . Общая передаточная функция в этом случае (см.рис.2.4.8.) равна:

.1

1 sNKsL

sL

sWsu

ssΦ u

(2.4.7)

Структурная схема для определения передаточной функции замкнутой

системы по ошибке от возмущения, когда 0u показана на рис.2.4.9.

sW

sM sf sy

1

s

Рис. 2.4.9.

Она свидетельствует, что передаточная функция по ошибке от возмуще-ния равна передаточной функции замкнутой системы по возмущению, взятой с обратным знаком, т.е.:

. sNKsL

sLsM

sf

ssΦsΦ ff

(2.4.8)

Сравнение передаточных функций замкнутой системы (2.4.5) – (2.4.8) по-казывает, что они отличаются только полиномами числителя. Характеристиче-ский полином замкнутой системы у всех передаточных функций одинаков и ра-вен сумме характеристического полинома и полинома числителя передаточной функции разомкнутой системы:

sNKsLsD . (2.4.9) Следовательно, оценку устойчивости и динамические свойства системы

можно осуществить, взяв за основу любую из рассмотренных передаточных

60

функций, поскольку эти характеристики системы определяются видом корней характеристического полинома (2.4.9). От полинома числителя зависят только численные значения коэффициентов при слагаемых в аналитических выражени-ях временных характеристик. Характеристический полином (2.4.9) замкнутой системы имеет тот же порядок, что и характеристический полином разомкнутой системы, поскольку порядок полинома sN не выше порядка полинома sL по условиям физической реализуемости. Однако коэффициенты слагаемых одного порядка в полиномах sD и sL имеют различные численные значения. По-этому свойства разомкнутой и замкнутой системы могут существенно разли-чаться.

3. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Определение понятия качества функционирования. Качество функционирования системы автоматического управления, как

уже отмечалось ранее, определяется совокупностью всех ее временных характе-ристик, а именно, их соответствием заданным значениям. Так, например, если в системе рассматривается, в качестве выходной, одна переменная и цель регули-рования – стабилизация этой переменной с заданной точностью, то для оценки качества функционирования системы удобно использовать ее переходную функцию (рис.3.1.1.).

t

nt

уст2 th

устh

Рис.3.1.1.

Причем значения переходной функции в каждый момент времени не дол-жен выходить из некоторого заданного диапазона. Таким образом, качество функционирования системы определяется ее точностью в установившемся ре-жиме (величиной установившейся ошибки ) и точностью в переходном (дина-мическом) режиме работы (время переходного процесса nt , перерегулирование , колебательность, предельные значения производных от переходной функции и т.д.). Однако, прежде чем приступить к оценке точности, необходимо быть уверенным в принципиальной работоспособности системы, другими словами, в ее устойчивости. Устойчивость гарантирует затухание во времени переходного

61

процесса. Поэтому критерий устойчивости – это еще один, причем важнейший, показатель качества функционирования системы.

Если для системы типичным является другой режим работы (программ-ный, следящий), то для анализа точности необходимо использовать соответст-вующие временные характеристики.

Временные характеристики – это решение дифференциальных уравнений описывающего, процессы в системе. Эти решения для выходной переменной имеют вид:

,ñîá tytyty âûí (3.1.1) где собственное движение tyñîá определяется общим решением одно-

родного дифференциального уравнения ( ) при заданных начальных услови-ях:

,0y 0,....0,0 1nyyy , (3.1.2.) а вынужденное движение tyâûí - частным решением уравнения, обу-

словленным заданной правой частью, т.е. задающим и возмущающим воздейст-виями и их производными.

Если все корни i характеристического полинома 0D замкнутой системы различны, первая часть решения (3.1.1) имеет вид:

tn

ii

iecty 1

ñîá . (3.1.3)

Постоянные ic определяются по начальным условиям (3.1.2). Эта часть решения представляет собой переходный процесс в замкнутой системе управ-ления. Значения ic определяются после добавления частного решения tyâûí , т.е. в полном решении (3.1.1). Другими словами, форма переходного процесса зависит не только от полюсов передаточной функции замкнутой системы, но и от ее нулей и конкретного вида входного воздействия.

Случай кратных корней в реальных системах маловероятен, поэтому здесь не рассматривается. При необходимости можно посмотреть в .

Вторая часть решения (3.1.1) tyâûí представляет собой установившуюся часть процесса в системе, на нее накладывается переходный процесс (3.1.3), ко-торый теоретически длится бесконечно, но его влияние становится практически ничтожным через конечное время nt (см. рис. 3.1.1.). на практике обычно счи-тают, что процесс установится, когда tycâîá станет меньше 0,05 tyâûí . Иногда это условие устанавливается более жестким и тогда оговаривается особою

62

Решение для установившегося режима можно записать в виде интеграла свертки, положив в нем верхний придел интегрирования равным бесконечно-сти:

tyâûí dktfdktg fg

00

. (3.1.4)

Таким образом, установившийся процесс (3,1,4) определяет точность сис-темы в рабочем режиме. При этом установившаяся ошибка системы равна:

tytgt âûíóñò . (3.1.5)

Динамическая ошибка – это: tytyt ñâîáâûíäèí , (3.1.6)

а полное значение ошибки: tytgt . (3.1.7) Для нахождения решения (3.1.1) уравнения (), описывающего процессы в

системе, возможны различные методы: а) классическое математическое решение; б) операционный метод;

в) приближенные численные и графические способы; г) численные методы с помощью ЭВМ; д) экспериментальные методы и методы физического моделирования.

Все эти способы решения дифференциальных уравнений – предмет рас-смотрения в соответствующих дисциплинах. Поэтому здесь они не излагаются. Во второй главе мы лишь кратко дали идеологию использования методов опе-рационного исчисления и привели формулы определения на их основе весовой и переходной функций. Здесь рассмотрим еще один способ определения пере-ходной функции иллюстрирующий связь временных и частотных характери-стик.

Изображение выходной переменной замкнутой системы при известном изображении входного воздействия согласно ( ) равно:

sgssy , (3.1.8) Для нахождения оригинала соответствующего изображению (3.1.8) можно

воспользоваться интегралом обратного преобразования Лапласа:

dssgsj

ty tsjc

jc

2

1

при 0t (3.1.9)

Если sy - дробно-рациональная функция, все полюсы которой располо-жены в левой полуплоскости, т.е. интегрирование можно осуществить вдоль мнимой оси j , положив, что jsc ;0 , тем самым, осуществив переход к

63

интегралу обратного преобразования Фурье, связывающему временные харак-теристики с их частотным отображением.

Полагая, что система устойчива, считаем, что все полюса передаточной функции замкнутой системы s заведомо расположены в левой полуплоско-сти. В данном случае входное воздействие ttg 1 и его изображение по Лап-

ласу s

sg1

имеет полюс первого порядка на мнимой оси 01 . Следова-

тельно, в формуле (3.1.9), переписанной для определения переходной функции, принять 0c нельзя:

ds

s

s

jth ts

jc

jc

2

1

. (3.1.10)

Для устранения указанного затруднения выделим из s

s ту часть, кото-

рая имеет нулевой полюс. Применив правило разложения дробно-рациональных функций на простые дроби, получим:

s

c

s

s

s

c

sDs

s

s

ssh 11 . (3.1.11)

Где ,0001

ss

s

sc 0 - значение вещественной частотной

характеристики при 0 , s

c1 - часть изображения, обусловленная одним по-

люсом на мнимой оси. Подставив (3.1.11) в (3.1.10) получим:

ds

sjds

s

s

jth st

jc

jc

stjc

jc

0

2

10

2

1

. (3.1.12)

Изображение

s

s 0 имеет полюсы только в левой полуплоскости,

поэтому в первом слагаемом (3.1.12) можно заменить переменную s на j . Второе слагаемое, это обратное преобразование Лапласа от константы, равное для 0t самой константе 0 , а для 0t - нулю.

АФЧХ замкнутой системы j может быть выражена через вещест-венную и мнимую Q частотные характеристики. Кроме того,

tjttj sin cos . Преобразовав, с учетом изложенного (3.1.12) и отбро-сив в полученном выражении мнимую часть, которая тождественно равна, по-скольку переходная функция – это функция вещественная, получим:

64

d

tdtdtth

sin

2

0 cos

Q

2

1 sin

2

1.

Последний интеграл – табличный, это интегральный синус, равный при данных приделах - . Кроме того функции 0 и t cos - четные а Q и

t sin - нечетные, следовательно подынтегральные функции первого и второго слагаемого четные и пределы интегрирования здесь можно заменить на приде-лы от 0 до + , одновременно введя перед интегралами масштабирующий ко-эффициент, равный – 2. Учитывая сказанное, можно записать:

00 2

0 cosQ1 sin1

dt

dt

th . (3.1.13)

По определению при .0 ,0 tht Поэтому подставив в (3.1.13) значение t со знаком минус имеем:

2

0 cosQ1 sin10

00

d

td

t. (3.1.14)

Складывая и вычитая выражения (3.1.13) и (3.1.14) приходим к формулам:

dt

th

dt

th

0

0

sin2

cosQ2

(3.1.15)

Последняя формула широко используется для частотных оценок качества переходного процесса.

Помня, что весовая функция tw связана с переходной функцией соотно-

шением: dt

tdhtw ,

можно так же получить формулу определения весовой функции по частотным характеристикам. Продифференцировав (3.1.15) по времени получим:

dttw

cos2

0

. (3.1.16)

Анализ устойчивости САУ.

Устойчивость системы можно установить, исследуя ее свободное движе-

ние, т.е. ее поведение под влиянием начальных условий.

65

Предположим, что на систему в течении некоторого промежутка времени, кроме задающего воздействия, влияет возмущение и в результате в момент

0tt состояние системы характеризуется значениями: 01000 ,....,, nyyyy , ре-гулируемой величины и ее производных. Предположим далее, что в момент времени 0t влияние возмущения прекращается. Следовательно, дальнейшее по-ведение системы определяется задающим воздействием и начальными условия-

ми: 01000 ,....,, nyyyy , причем на основании принципа суперпозиции эти два влияния в линейной системе независимы друг от друга.

В наиболее благоприятном случае, свободная составляющая регулируемой величины, которая создается начальными условиями, с течением времени стре-мится к нулю. Такую систему называют устойчивой (асимптотически устойчи-вой).

Возможно также, что свободная составляющая стремится к некоторому конечному значению или совершает гармонические колебания, амплитуда кото-рых стремится к некоторому конечному значению. Такие системы называют нейтральными (нейтрально-устойчивыми) или находящимися на границе устой-чивости.

Возможно, наконец, что свободная составляющая регулируемой величины неограниченно возрастает или совершает гармонические колебания с неограни-ченно возрастающей амплитудой. Такие системы называют неустойчивыми.

Итак, система является устойчивой, если после прекращения внешнего воздействия она по истечении некоторого времени возвращается к тому состоя-нию равновесия или вынужденного движения, в котором находилась до начала воздействия.

Поведение свободной составляющей, а следовательно и устойчивости системы согласно (3.1.3) определяется видом корней характеристического по-линома, которые в свою очередь зависят только от параметров системы. Так ес-ли все корни характеристического полинома вещественные и отрицательные, все слагаемые уравнения (3,1,3) при t будет стремиться к нулю. Система устойчива (асимптотически устойчива).

Если есть хотя бы пара комплексно сопряженных корней j , то в свободном движении будет присутствовать гармоническая составляющая:

tc tsin ,

где ,c - постоянные интегрирования; j - комплексно сопряженные корни характеристического поли-нома.

66

Очевидно, что слагаемое будет затухать, если вещественная часть па-ры комплексно сопряженных корней будет иметь отрицательное значение.

Таким образом, для устойчивости (асимптотической устойчивости) ли-нейной системы необходимо и достаточно, чтобы все вещественные корни ха-рактеристического полинома были отрицательны, а все комплексно сопряжен-ные корни имели отрицательную вещественную часть.

В случае, если хотя бы один вещественный корень будет положительным или хотя бы одна пара комплексных корней будет иметь положительную веще-ственную часть, соответствующее слагаемое в уравнении (3.1.3) будет неогра-ниченно возрастать. Будет неограниченно возрастать и вся сумма. следователь-но система неустойчива.

Среди корней характеристического полинома может быть корень равный нулю 0i , или пара чисто мнимых корней j . Если при этом все ос-тальные корни имеют отрицательные вещественные части, решение (3.1.3) бу-дет иметь соответственно постоянное слагаемое i или гармоническое слагае-

мое с постоянной амплитудой tc tsin . В этих случаях система ней-

тральна. Корни алгебраического уравнения, как и всякие комплексные числа,

удобно представлять в виде точек на комплексной плоскости. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристиче-ского уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости, т.е. в ле-вой полуплоскости.

Сформулированные выше условия устойчивости линейных систем спра-ведливы так же и для линеаризованных систем. Обоснование законности линеа-ризации нелинейных САУ и использование для их проектирования теории ли-нейных систем содержится в теориях А.М. Ляпунова. Поэтому такой подход к проектированию реальных систем получил название – первый метод А.М. Ля-пунова. Суть теорем заключается в следующем:

1. Если линеаризованная система устойчива, то устойчива и исходная не-линейная система.

2. Если линеаризованная система не устойчива, то неустойчива и исходная нелинейная система.

3. Если линеаризованная система находится на границе устойчивости, то об устойчивости исходной нелинейной системы ничего сказать нельзя. Необхо-димы исследования с учетом нелинейности ее математической модели.

Эти теоремы справедливы для исследования устойчивости САУ в «ма-лом», т.е. при малых отклонениях ее координат относительно точки линеариза-ции.

67

На практике для упрощения вычислений устойчивости систем определяют с помощью некоторых критериев без вычисления корней характеристического уравнения. Критерии устойчивости эквивалентны по содержанию сформулиро-ванным выше условиям устойчивости по сути это математическая формулиров-ка условий, которым должна удовлетворять математическая модель устойчиво-сти системы.

Рассмотрим необходимое условие устойчивости. Пусть характеристиче-ский полином замкнутой системы 0D в развернутой форме имеет вид:

0.... 11

10

nnnn aaaa (3,2,1)

Докажем, что необходимым условием устойчивости является положи-тельность всех коэффициентов характеристического уравнения (этому ус-ловию удовлетворяет и отрицательность всех коэффициентов, поскольку можно поменять знаки помножив и левую и правую часть на -1).

Для доказательства разложим левую часть уравнения (3.2.1) на множите-ли:

0....210 na Пусть все корни его имеют отрицательные вещественные части:

,11 nnj ,....223.2 .

Подставив их в уравнение, получим: 0....2210 njja

Поскольку средние два сомножителя равны:

222 ,

то видно, что после перемножения всех скобок получим в уравнении 0D только положительные коэффициенты. Что и требовалось доказать.

Положительность коэффициентов для систем первого и второго порядка явля-ется и достаточным условием устойчивости (это легко проверить). Для систем более высокого порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но недостаточным условием устойчивости. Если все коэффициенты уравнения положительные, то все вещественные корни отрицательные, но среди комплексных корней могут быть и корни с положи-тельной вещественной частью. Если хотя бы один из коэффициентов отрицате-лен, то система заведомо неустойчива. При равенстве нулю коэффициента na система находится на границе устойчивости. При равенстве нулю какого либо другого коэффициента система, либо на границе устойчивости, либо неустой-чива.

Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частные. Алгеб-раические критерии базируются на анализе характеристического уравнения

68

замкнутой системы алгебраическими методами, частные – на анализе частных характеристик системы. Различные формы алгебраических критериев рассмат-риваются в курсе высшей алгебры. В теории автоматического управления наи-большее применение из них получили критерий Рауса и критерий Гурвица. Рас-смотрим эти критерии без доказательств.

Критерии устойчивости Рауса. Считаем, что для характеристического уравнения (3.2.1) необходимое условие устойчивости выполняется. Применение критерия требует составления таблицы Рауса (таблица3.2.1.). Элементами ее первой строки являются четные коэффициенты уравнения (3.2.1.),начиная с 0a . Элементы второй строки – нечетные коэффициенты, начиная с 1a . Коэффици-енты третьей строки, рассчитываются через элементы первых двух строк, чет-вертой строки – через элементы второй и третьей строки и т.д. по следующей рекуррентной формуле:

1121, ,, ikiikik crcc .

Здесь k - номер столбца; i - номер строки; ikc , - коэффициент, располо-

женный в i -той строке k -того столбца таблицы;

1,1

2,1

i

ii c

cr - коэффициент, по-

стоянный для каждой строки. Всего в таблице заполняют 1n строк. Критерий формулируется следующим образом. Для выполнения условий

устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца были положительны. При наличии отрицательных элементов в первом столбце система не устойчива. Число корней с положительной вещественной частью равно числу таких элементов.

Если один из элементов первого столбца равен нулю, а остальные поло-жительны, то характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней – система на границе устойчивости. При равенстве нулю последнего 1n или последних элементов первого столбца – характеристическое уравнение имеет соответственно один или нулевых корней.

Таблица Рауса.

Таблица 3.2.1. значение № Номер столбца

r строк 1 2 3 …… - 1 0a 2a 4a ……

- 2 1a 3a 5a ……

1

03 a

ar 3 33213 arac 53423 arac

73633 arac ……

69

13

14 c

ar 4 234314 crac 334524 crac 434734 crac ……

14

135 c

cr 5 2452315 crcc 3453325 crcc 4454335 crcc ……

15

146 c

cr 6 …… …… …… ……

…… …… …… …… …… …… Критерий устойчивости Гурвица. При использовании критерия из ко-

эффициентов характеристического уравнения составляют матрицу (3.2.2.) по следующим правилам. По диагонали матрицы вписывают по порядку все коэф-фициенты, начиная с 1a и заканчивая na . Затем, каждый столбец таблицы до-полняют так, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличива-лись, а вниз уменьшались. В случае отсутствия в уравнении какого либо коэф-фициента и вместо коэффициентов с индексом меньше нуля и больше n , пишут ноль.

. . . . 0 0 0

0 . . . . 0 0 0

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

0 0 . . . . 0

0 0 . . . .

0 0 . . . .

2

1

31

420

531

nn

n

aa

a

aa

aaa

aaa

(3.2.2)

Критерий можно сформулировать так: для устойчивости системы необхо-димо и достаточно, чтобы были положительными n главных определений мат-рицы (3.2.2), т.е.

. . . . ,0

0

0,

,0

31

420

53 1

320

3 1211

aa

aaa

aaa

aa

aaa 0 1 nnn a (3.2.3)

При этом, естественно, необходимое условие устойчивости должно быть выполнено. Эти определители называют определителями Гурвица. Из формулы последнего определителя n следует, что его положительность при 0 1 n сводится к условию 0 na . Система находится на границе устойчивости, если

,0n а все предыдущие определители Гурвица положительны. При этом

70

0na дает апериодическую границу устойчивости, а 01 n дает колебатель-ную границу устойчивости.

Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов .,, 210 aaa для устойчивости систем третьего порядка должно выполняться неравенство:

3021 aaaa . Для систем четвертого порядка:

421

330321 aaaaaaa .

Для систем пятого порядка необходимо выполнение двух неравенств:

3021 aaaa ,

2504152433021 aaaaaaaaaaaa . Критерий Гурвица удобен для исследования устойчивости систем третье-

го и четвертого порядков, когда известны их параметры. Он позволяет получить аналитические выражения для границ области изменения, каких либо парамет-ров системы, при которых сохраняется устойчивость. Критерий Рауса предпоч-тительнее для исследования устойчивости систем более высокого порядка, по-скольку он удобен для численных расчетов с применением ЭВМ.

Использование алгебраических критериев предполагает большой объем вычислительной работы. Поэтому при достаточно высоком порядке характери-стического уравнения замкнутой системы, для анализа ее устойчивости в анали-тической форме удобнее использовать частотные критерии. К таким критериям относят критерий устойчивости Михайлова и критерий устойчивости Найкви-ста.

Критерий устойчивости Михайлова. Частотный критерий Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой или разомкнутой системы по го-дографу характеристического вектора (по годографу Михайлова). характери-стический вектор jD получается из характеристического полинома

nnnn asasasasD

11

10 .... путем подстановки js :

jajajajajD nn

nn1

110 .... (3.2.4)

где ...,66

44

22 nnnn aaaa

....77

55

331 nnnn aaaa .

Годограф Михайлова, это кривая, которую описывает конец вектора jD на комплексной плоскости при изменении от 0 до . Годограф начи-

нается при 0 на вещественной оси в точке na и при уходит в беско-

71

нечность в соответствующем квадрате. Угол поворота характеристического вектора определяется выражением:

2

n , (3.2.5)

где n - степень характеристического полинома, - число корней характеристи-ческого полинома с положительной вещественной частью.

Представим sD в виде разложения на линейные множители и выполним подстановку js :

nsjsjsjajD ....210 , где nsss ...., 21 - корни характеристического уравнения.

Рассмотрим основные возможные варианты корней: а). Пусть is - вещественный положительный корень. Тогда годограф

соответствующего линейного множителя j при изменении от 0 до повернется на отрицательный /2 по часовой стрелке (рис. 3.2.1.)

10

j

10

j

Рис. 3.2.1. Рис. 3.2.2.

б). Пусть is - вещественный отрицательный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя j при изменении от 0 до повернется на угол /2 в положительном направлении (рис.3.2.2.).

в). Пусть js ii 1, - комплексно сопряженные корни с положитель-

ной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных мно-жителей jjjj при изменении от 0 до повернутся по

часовой стрелке на углы: -

2 è

2 . Вектор, соответствующий произведе-

нию двух сомножителей, повернется на угол равный - (рис. 3.2.3.)

72

10

j

2

2

is

1is

10

j

2

2

Рис. 3.2.3. Рис. 3.2.4.

г). Пусть js ii 1, - комплексно сопряженные корни с отрицатель-

ной вещественной частью. Тогда годографы соответствующих линейных мно-жителей jjjj при изменении от 0 до повернутся на

углы: -

2 è

2 . Вектор, соответствующий произведению двух сомножи-

телей, повернется на угол равный + (рис. 3.2.3.). Таким образом, для устойчивой системы поворот характеристического

вектора составляет 2

n в положительном направлении. Каждый положитель-

ный корень уменьшает угол поворота на величину - ( ). Изложенное позволяет сформулировать критерий устойчивости Михайло-

ва следующим образом: «Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф Михайлова начинался на положительной вещественной полуоси и последовательно обходил в положи-тельном направлении (против часовой стрелки) столько квадратов, каков поря-док характеристического полинома, нигде не обращаясь в ноль».

X

Y1

2

3

4

5

0

Рис. 3.2.5.

73

На рис. 3.2.5. показаны годографы Михайлова устойчивых систем первого – пятого порядков с равным значением коэффициента na . Если система нахо-дится на границе устойчивости, то годограф Михайлова проходит через начало координат так, как после небольшой его деформации около начала координат критерий удовлетворяется.

Годографы Михайлова системы четвертого порядка, находящейся на гра-нице устойчивости показаны на рис. 3.2.6.а,б. В первом случае характеристиче-ский полином имеет пару чисто мнимых корней (колебательная граница устой-чивости), во втором – нулевой корень (апериодическая граница устойчивости).

X

Y

0

)a

Y

X0

)б

Рис.3.2.6.

У неустойчивых систем годографы Михайлова имеют самую разнообраз-ную форму. На рис. 3.2.7. показаны годографы неустойчивых систем четвертого порядка. Их характеристический полином имеет положительный корень (кривая - 1), два положительных вещественных корня (кривая - 2), два комплексных со-пряженных корня с положительной вещественной частью (кривая - 3), два чисто мнимых корня и положительный вещественный корень (кривая - 4).

Y

X0

12

3

4

Рис. 3.2.7.

74

Критерий устойчивости Найквиста. Частотный критерий Найквиста да-ет возможность определить устойчивость замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике sW разомкнутой системы.

Предварительно должна быть определена устойчивость исследуемой сис-темы в разомкнутом состоянии. Для неустойчивой разомкнутой системы нужно выяснить, какое число корней ее характеристического полинома имеет положи-тельные вещественные части.

В одноконтурной системе, составленной из последовательно соединенных типовых динамических звеньев оценка устойчивости и количества корней с по-ложительной вещественной частью разомкнутой системы затруднений не вызы-вает. Если система содержит любые обратные либо перекрестные связи, удобно воспользоваться критерием Рауса, либо Михайлова. Они позволяют определить число корней с положительной вещественной частью, если разомкнутая система окажется неустойчивой.

Различают три случая применения критерия Найквиста. 1). Разомкнутая система устойчива. Передаточная функция разомкнутой

цепи:

sL

sNKsW

.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию:

sL

sD

sL

sNKsL

sL

sNKsWsW

111 .

Здесь sL - характеристический полином разомкнутой системы, а sD - характеристический полином замкнутой системы. Подставив js , по-

лучим:

jL

jDjW 1 .

Так как полагается, что разомкнутая система устойчива, согласно крите-

рию Михайлова изменение аргумента jL при 0 равно 2

n . С другой

стороны, для того чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии, необ-ходимо потребовать, чтобы изменение аргумента jD при 0 так же

равнялось 2

n . Поскольку, как отмечалось ранее, порядок характеристических

полиномов разомкнутой и замкнутой системы одинаков. Отсюда следует, что:

0 arg argarg 1 jLjDjW .

75

Это значит, что годограф jW1 не должен охватывать начало координат (рис. 3.2.8.а,б.).

Q

P

1 k

0

0

Q

P

1 k

0 0

)a )б

Рис. 3.2.8.

11 k

j

12 3

4

Рис. 3.2.9.

Поскольку, jW1 представляет собой сдвинутую на 1 по вещественной

оси вправо амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой сис-темы, окончательно сформировать критерий устойчивости Найквиста можно так: «Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкну-той системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами 0,1 j ». На рис. 3.2.9. изображены возможные случаи.

При АФЧХ, показанных кривыми 1 и 2, замкнутая система устойчива, кривая 3 соответствует системе находящейся на колебательной границе устой-чивости, поскольку она проходит через точку 0,1 j . Кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчива.

2). Система в разомкнутом состоянии нейтральна. Характеристический полином такой разомкнутой системы имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественные части.

76

Если нулевых корней , то АФЧХ при 0 дугой бесконечно большого

радиуса перемещается от положительной вещественной полуоси на угол - 2

по часовой стрелке рис.3.2.10.а,б.

j

11

0

)a

j

11

)б Рис. 3.2.10.

Если есть пара чисто мнимых корней (в знаменателе частотной переда-

точной функции разомкнутой системы есть множитель 221 iT ), то АФЧХ

при частоте i

i T

1 дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол -

по часовой стрелке. Такая АФЧХ показана на рис. 3.2.11. В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы необходимо и дос-

таточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении от 0 до , дополненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывала точку с координатами 0,1 j .

Таким образом системы обладающие в разомкнутом состоянии АФЧХ рис. а,б. при замыкании будут устойчивы, а системы с АФЧХ согласно рис. при замыкании – неустойчива.

j

11

0

T

1

T

1

77

Рис. 3.2.11.

3). Разомкнутая система неустойчива. Характеристический полином та-

кой системы имеет корней с положительной вещественной частью. Тогда со-гласно формулы ( ) имеем:

2

arg njL .

Для устойчивости замкнутой системы приращение аргумента характери-стического вектора jD согласно критерию Михайлова должно быть:

2

arg njD .

Тогда:

22 arg arg arg 1 nnjLjDjW

В этом, наиболее общем, случае критерий Найквиста формулируется так: «Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении от 0 до вектор, начало которого находится в точке с координа-тами 0,1 j , а конец на амплитудно-фазовой частотной характеристике ра-зомкнутой системы, повернулся в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол ».

При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее применять формулировку критерия Найквиста, которая использует правило переходов. Пе-реход АФЧХ при увеличении через отрезок от -1 до сверху вниз считают положительным, а снизу вверх – отрицательным. АФЧХ может начинаться на этом отрезке 0 , или заканчиваться при . Тогда считается, что она со-вершает полперехода.

Критерий формулируют так: «Замкнутая система устойчива, если разность между числом отрицательных и положительных переходов амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через отрезок вещественной оси от -1 до

равен2

». Здесь - число корней с положительной вещественной частью ха-

рактеристического полинома разомкнутой системы. Например, если передаточ-ная функция разомкнутой цепи имеет 1 (один положительный полюс), то для устойчивости замкнутой системы АФЧХ разомкнутой системы должна иметь вид, примерно показанный на рис. 3.2.12.а или б, а в случае 3 - на рис. 3.2.12.в.

78

При наличии у характеристического полинома разомкнутой системы ну-левых и чисто мнимых корней АФЧХ на участках разрыва должна быть допол-нена дугой бесконечно большого радиуса.

Использование логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик для оценки устойчивости критерием Найквиста. Для опре-деления устойчивости по критерию Найквиста можно строить не АФЧХ, а ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Эту возможность используют весьма широко вследствие простоты построения таких характеристик и определения по ним запаса устойчивости.

При этом критерий формулируется так: «Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ че-

рез линию - составляло 2

». Здесь - число корней с положительной вещест-

венной частью характеристического полинома разомкнутой системы. Пересече-ние фазочастотной характеристикой линии - снизу вверх считается положи-тельным переходом, а сверху вниз – отрицательным.

Если разомкнутая система устойчива или имеет один нулевой полюс для устойчивости замкнутой системы общее число переходов фазочастотной харак-теристикой линии - при положительных значениях амплитудной частотной характеристики должно быть четным или равным нулю. На рис. 3.2.13. показано наиболее характерное расположение ЛФЧХ относительно логарифмической амплитудной частотной характеристики разомкнутой системы. Здесь ЛФЧХ 1,2 соответствуют устойчивой системе, ЛФЧХ 3 – система на границе устойчиво-сти, а 4 – неустойчивой при замыкании системе. Если характеристический по-лином разомкнутой системы имеет нулевых корней, то начальное значение

фазочастотной характеристики 2

0 . Для устойчивости замкнутой сис-

темы ЛАЧХ и ЛФЧХ должны располагаться согласно рис. 3.2.14., то есть в чис-ло отрицательных переходов здесь надо включить бесконечно удаленную влево точку 0 . На рис. 3.2.15. показан вариант определения устойчивости. Когда характеристический полином разомкнутой системы имеет два корня с положи-тельной вещественной частью 2 . На участке, когда 0 L фазочастотная характеристика делает два положительных перехода через линию - и один от-

79

рицательный. Их разность равна 2

, следовательно, система в замкнутом со-

стоянии будет устойчивой.