1224380491 buku
Post on 11-Feb-2018
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 1224380491 Buku
1/226
-
7/23/2019 1224380491 Buku
2/226
i
-
7/23/2019 1224380491 Buku
3/226
-
7/23/2019 1224380491 Buku
4/226
-
7/23/2019 1224380491 Buku
5/226
iv
Matematika merupakan ilmu yang sangat berkaitan dengan kehidupan.Sebagai ibu dari ilmu pengetahuan, matematika merupakan ilmu dasaryang dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam bidang ilmu yanglain. Misalnya, Fisika, Kimia, Biologi, Akuntansi, Ekonomi, Sosial, danAstronomi.
Melihat betapa pentingnya matematika maka perlu adanya peningkatankualitas pendidikan matematika di sekolah agar membentuk manusia yangmemiliki daya nalar dan data pikir yang kreatif dan cerdas dalam memecahkanmasalah, serta mampu mengomunikasikan gagasan-gagasannya. Pendidikanmatematika harus dapat membantu Anda menyongsong masa depan dengan
lebih baik.Atas dasar inilah, kami menerbitkan buku Aktif Menggunakan Matematika
ini ke hadapan Anda, khususnya para siswa sekolah menengah kejuruan.Buku ini menghadirkan aspek konstektual bagi Anda dengan menggunakanpemecahan masalah sebagai bagian dari pembelajaran untuk memberikankesempatan kepada Anda membangun pengetahuan dan mengembangkanpotensi diri.
Materi pelajaran matematika dalam buku ini bertujuan membekali Andadengan pengetahuan dan sejumlah kemampuan untuk memasuki jenjang yanglebih tinggi, serta mengembangkan ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu, menempatkan Aktif Menggunakan Matematika sebagaiteori dalam kelas akan membantu pencapaian tujuan pembelajaran.
Materi-materi bab di dalam buku ini disesuaikan dengan perkembanganilmu dan teknologi terkini. Buku ini juga diajikan dengan bahasa yang mudahdipahami dan komunikatif sehingga mempermudah siswa dalam mempelajaribuku ini.
Kami menyadari bahwa penerbitan buku ini tidak akan terlaksana denganbaik tanpa dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu, denganhati yang tulus, kami ucapkan terima kasih atas dukungan dan bantuan yangdiberikan. Semoga buku ini dapat memberi kontribusi bagi perkembangan dankemajuan pendidikan di Indonesia.
Tim Penyusun
Kata Pengantar
-
7/23/2019 1224380491 Buku
6/226
v
Kata Sambutan iii
Kata Pengantar iv
Bab 1 Logika Matematika ..................................................... 1
A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka ......................................... 3
B. Pernyataan Majemuk............................................................ 7
C. Invers, Konvers, dan Kontraposisi....................................... 25
D. Pernyataan Berkuantor ......................................................... 28
E. Pernyataan Majemuk Bersusun ............................................ 30
F. Penarikan Kesimpulan ......................................................... 34
Evaluasi Materi Bab 1.................................................................. 41
Bab 2 Relasi dan Fungsi ........................................................ 45
A. Pengertian Relasi dan Fungsi ............................................... 47
B. Fungsi Linear ....................................................................... 54
C. Fungsi Kuadrat ..................................................................... 61Evaluasi Materi Bab 2.................................................................. 76
Evaluasi Semester 1..................................................................... 81
Tugas Observasi Semester 1........................................................ 84
Bab 3 Barisan dan Deret Bilangan ....................................... 85
A. Pengertian Barisan dan Deret Bilangan ............................... 87
B. Barisan dan Deret Aritmetika ............................................... 95
C. Barisan dan Deret Geometri ................................................. 104
Evaluasi Materi Bab 3.................................................................. 117
Daftar Isi
-
7/23/2019 1224380491 Buku
7/226
vi
Bab 4 Geometri Dimensi Dua ............................................... 119
A. Sudut .................................................................................... 121
B. Bangun Datar ....................................................................... 131
Evaluasi Materi Bab 4.................................................................. 151
Bab 5 Transformasi Bidang Datar ..................................... 155
A. Translasi ............................................................................... 157
B. Refeksi................................................................................ 162C. Rotasi ................................................................................... 182
D. Dilatasi ................................................................................. 188
E. Komposisi Trasformasi ........................................................ 195
Evaluasi Materi Bab 5.................................................................. 200
Evaluasi Semester 2..................................................................... 203
Tugas Observasi Semester 2........................................................ 206
Evaluasi Akhir Tahun................................................................... 207
Kunci Jawaban ............................................................................. 211
Daftar Istilah ................................................................................ 212
Indeks ........................................................................................... 215
Daftar Simbol ............................................................................... 217
Daftar Pustaka .............................................................................. 218
-
7/23/2019 1224380491 Buku
8/226
1Logika Matematika
Logika Matematika
Bab 1
A. Pernyataan dan
Kalimat Terbuka
B. Pernyataan
Majemuk
C. Invers, Konvers,
dan Kontraposisi
D. Pernyataan
BerkuantorE. Pernyataan
Majemuk Bersusun
F. Penarikan
Kesimpulan
Pada bab ini, Anda akan diajak untuk memecahkan masalah yang ber -
hubungan dengan konsep Logika Matematika, di antaranya mendeskripsikan
pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka), mendeskripsikan ingkaran,
konjungsi, disjungsi, implikasi, biimpilkasi, dan ingkarannya, mendeskripsikan
invers, konvers, kontraposisi, menerapkan modus ponens, modus tollens,
prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan
Sumb
er:pk
ss.co
.id
Logika adalah ilmu yang mempelajari cara berpikir yang
logis. Cara berpikir ini dapat berupa cara menentukan benar
tidaknya suatu pernyataan. Misalnya, pernyataan "Air sungai
bermuara di danau dan di laut" merupakan pernyataan yang
benar karena tidak ada pertentangan di dalamnya. Bandingkan
dengan pernyataan "Air adalah zat cair dan zat padat" yang
merupakan pernyataan salah karena terkandung pertentangan
di dalamnya.Di dalam logika matematika, Anda akan mempelajari
membuat suatu ingkaran dengan benar dari suatu pernyataan.
Misalnya pernyataan "Semua kasir adalah perempuan",
ingkarannya adalah "Ada kasir bukan perempuan", bukan
"Semua kasir bukan perempuan", karena dengan cukup seorang
kasir laki-laki akan mengingkari pernyataan pertama.
Selain itu, pada bab ini Anda juga akan mempelajari cara
penarikan kesimpulan yang sah (valid), lebih jauhnya pelajarilah
materi pada bab ini dengan baik.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
9/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
2
Materi tentang Logika Matematika dapat digambarkan sebagai berikut.
Peta Konsep
Logika Matematika
Ingkaran disjungsi
~(p q) = ~p ~qIngkaran konjungsi
~(p q) = ~p ~q
Konjungsi
p q
Konvers
qfipKontraposisi
~qfi ~p
Tautologi Kontraposisi Kontingensi
Penarikan
Kesimpulan
Modus Ponens
pfi qq
\p
Silogisme
pfi qq fi r
\pfi r
Modus Tollens
pfi q~q
\~p
Pernyataan
Majemuk
Mejemuk Bersusun
Tunggal
Ingkaran
~p, ~q
p, q
contoh
mempunyai
berdasarkan nilai
kebenaran
Invers
~pfi ~q
Ingkaran biimplikasi
~(p q) = (p ~q)(q ~p)
Biimplikasi
p q
mempunyai mempunyai
Disjungsi
p q
Ingkaran Implikasi
~(pfi q) =p ~q
Impilkasi
pfi q
Soal Pramateri
1. Buatlah lima pernyataan yang bernilai
benar.
2. Buatlah lima pernyataan yang bernilai
salah.
3. Tentukan kebalikan dari kalimat berikut.
a. Semua dokter adalah laki-laki.
b. 2 + 5 = 7
4. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan
berikut.
a. Es batu terbuat dari air
b. = 5
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari soal-
soal berikut.
a. 2 + 3x= 4
b. padalah bilangan prima genap
Kerjakan soal-soal berikut, sebelum Anda mempelajari bab ini.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
10/226
3Logika Matematika
1. Pernyataan
Sebelum Anda mempelajari definisi pernyataan, perhatikanlah
beberapa contoh berikut.
Manusia adalah makhluk hidup
Air sungai mengalir dari hulu ke hilir
Indonesia terletak di kutub utara
2 + 2 = 5
4,5 adalah bilangan asli
Kalimat pertama dan kedua merupakan kalimat yangbernilai benar, sedangkan kalimat ketiga, keempat, dan kelima
bernilai salah.
Kalimat-kalimat dalam logika haruslah mengandung
nilai kebenaran, baik itu bernilai benarataupun salah. Jadi,
pernyataan dapat didefinisikan sebagai berikut.
A Pernyataan dan Kalimat
Terbuka
Suatu pernyataan (atau proposisi) adalah suatu kalimat yang
bernilai benar saja atau salah saja. Dengan kata lain, tidak
sekaligus kedua-duanya.
Dalam logika, suatu penyataan disimbolkan dengan
huruf kecil, seperti p, q, r, s, dan sebagainya, misalnya pada
pernyataan-pernyataan berikut.
p: Tiga puluh sembilan adalah bilangan prima
q: 39 8 > 20
Dari pernyataan-pernyataan tersebut diketahui bahwa
pernyataanpbernilai salah, sedangkan pernyataanqbernilai
benar. Nilai kebenaran pernyataan p dinotasikan dengan (p)
( dibaca: Taw). Demikian pula untuk pernyataan q, nilai
kebenarannya dinotasikan dengan (q). Dengan demikian,pernyataan tersebut dapat dinotasikan (p) = S (salah) dan (q) =B
(benar).
Contoh Soal 1.1
entu an n a e enaran ar pernyataan-pernyataan er ut.
a p: emua se ertar s a a a perempuan,
q: atu ar amanya am,
c r: an apat up arat,
s: a a a angan ras ona ,
e t: am antor a a a am,
Kata Kunci
pernyataan
kalimat terbuka
ingkaran
Gambar 1.1
"Semua sekertaris adalah
perempuan" adalah pernyataan
yang bernilai salah.
Sumber: www.pearsall.k12.tx.us
-
7/23/2019 1224380491 Buku
11/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
4
Tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Kalimat-
kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran, seperti kalimat
perintah, kalimat tanya, dan kalimat harapan bukan merupakan
pernyataan. Kalimat yang nilai kebenarannya relatif juga bukan
pernyataan.
Berikut ini adalah kalimat-kalimat yang bukan pernyataan.
1. Berapa nilai ulanganmu? (kalimat tanya)
2. Tolong buka pintunya! (kalimat perintah)
3. Mudah-mudahan besok hujan. (kalimat harapan)
4. Barang ini mahal.Kalimat ke-4 bukan merupakan pernyataan karena kalimat
ini memiliki nilai kebenarannya relatif, yaitu ukuran mahal
untuk setiap orang bisa berbeda. Menurut seseorang mahal,
bisa jadi menurut orang lain tidak mahal.
2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat terbuka selalu
mengandung peubah-peubah atau variabel-variabel.
Perhatikan beberapa kalimat berikut.
x+ 2 < 4,xbilangan real.
y= 2x+ 1,xdanybilangan real.
Bdijuluki kota hujan.
Kalimat-kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau
salahnya, sehingga kalimat-kalimat itu belum dapat dikatakan
sebagai pernyataan. Kalimat yang belum dapat ditentukan nilai
kebenarannya disebut Kalimat Terbuka. Ciri kalimat terbuka
adalah adanyapeubahatau variabel. Pada x+ 2 < 4, variabelnya adalah x. Untuk y= 2x+ 1
memiliki 2 variabel, yaitu xdany. Adapun untuk "Bdijuluki
kota hujan" variabelnya adalahB.
Kalimat terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan
jika peubah-peubah atau variabel-variabel dalam kalimat
tersebut diganti dengan suatu nilai (dapat berupa bilangan,
Jawab:
a. (p) = S d. (s) =B
b. (q) =B e. (t) = S
c. (r) = S
Jelajah
Matematika
Di Abad ke-19,
ahli matematikaberkebangsaan Inggris,
George Boole(1815-
1864) yang tidak pernah
menyelesaikan kuliahnya,
ternyata menjadi
profesor matematika.
Beliau menyelidiki
hukum dasar logika dan
menyatakannya dalam
istilah aljabar. Pada tahun
1854, ia menerbitkan
aljabar temuannya,yaitu suatu cara untuk
menggabungkan
lambang-lambang yang
menyatakan aturan-aturan
logika secara sempurna.
Sekarang, Anda mengenal
aljbar Boolean yang
dapat menjelaskan
logika matematika pada
komputer.
Sumber: Finite Mathematics and
Its Application, 2ndEdition, 1994
Sumber:Ensiklopedi Matematika
dan Peradaban Manusia, 2002
-
7/23/2019 1224380491 Buku
12/226
5Logika Matematika
nama kota, nama penyanyi dan sebagainya) sehingga kalimat
tersebut mempunyai nilai kebenaran. Kalimat terbuka pada
kalimat-kalimat tersebut dapat menjadi pernyataan yang benar
jika peubahnya berturut-turut diganti denganx= 1,x= 0 dan
y= 3, danB= Bogor.
Nilai-nilai untuk peubah pada kalimat terbuka yang mem-
buat kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar
disebut penyelesaian. Himpunan dari nilai-nilai ini disebut
himpunan penyelesaian.
Himpunan penyelesaianx+ 2 < 4 adalah {xx< 2,xR}.Himpunan penyelesaiany= 2x+ 1 adalah {(x,y)y= 2x+ 1,x,yR}. Himpunan penyelesaian dari "Bdijuluki kota hujan"adalah {Bogor}. Jika peubah dalam kalimat terbuka tidak
diganti dengan nilai-nilai pada himpunan penyelesaiannya,
kalimat terbuka tersebut akan menjadi pernyataan yang salah.Misalnya,
Kalimat "x+ 2 < 4,xbilangan real" akan menjadi pernyataan
salah jikaxdiganti dengan 3.
Kalimat "y= 2x+ 1,xdanybilangan real" akan menjadi
pernyataan salah jikaxdanyberturut-turut diganti dengan
0 dan 4.
Kalimat "Bdijuluki kota hujan" akan menjadi pernyataan
salah jikaBdiganti dengan Bali.
3. Ingkaran
Suatu pernyataan yang diperoleh dari pernyataan
sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan
dengan pernyataan sebelumnya disebut ingkaranatau negasi.
Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan
menambahkan kata "bukan" pada pernyataan tersebut. Berikut
adalah definisi ingkaran.
Ingkaran dari pernyataan p, dilambangkan dengan ~p
dan dibaca "bukan p", yaitu suatu pernyataan yang nilaikebenarannya berlawanan dengan nilai kebenaranp. Jikap
benar maka ~p salah dan jikapsalah maka ~p benar.
p ~p
B S
S B
"Jika nilai Matematika
Ani lebih dari 4 maka
Ani lulus ujian". Negasi
dari pernyataan tersebutadalah .
a. Jika nilai Matematika
Ani lebih dari 4 maka
Ani tidak lulus ujian
b. Jika nilai Matematika
Ani kurang dari 4 maka
Ani lulus ujian
c. Jika Ani lulus maka
nilai Matematikanya
lebih dari 4
d. Nilai Matematika Anilebih dari 4 dan Ani
tidak lulus ujian
e. Nilai Matematika Ani
kurang dari 4 atau Ani
lulus ujian
Jawab:
p : Nilai Matematika Ani
lebih dari 4
q : Ani lulus ujian
ImplikasipfiqIngkarannya adalah
~ (pfiq)p~q atau "NilaiMatematika Ani lebih dari 4
dan Ani tidak lulus ujian"
Jawaban: d
UNSMK, 2004
Solusi Cerdas
-
7/23/2019 1224380491 Buku
13/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
6
. entu an mana a ar a mat- a mat
er ut yang merupa an pernyataan an
mana yang u an pernyataan.
a. aya su a a untans .
arga pero e an sama engan arga
e .
c. pa yang ma su engan per-
nyataan
+ = .
. a a a angan rea .
. >
g. at - at a an.
. a a a a tor ar .
. aporan euangan arus uat t ap awa
u an.
j. Jika 4 < 5 maka 2 < 5
. ar ar x = a a a atau
. arta a a a utang tam a mo a .
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
Evaluasi Materi 1.1
Contoh Soal 1.2
entu an ng aran ar pernyataan er ut, emu an tentu an a
n a e enarannya.
a. u ota awa arat a a a ura aya.. ngu n u an urung.
c. + =
. emua angan caca a a a angan rea .
e. utang agang termasu pa a ewa an.
awa
a. u ota awa arat a a a ura aya.
~ u ota awa arat u an ura aya.
= , ~ =
ngu n u an urung. ~q ngu n a a a urung.
q = , ~q =
c. + =
~r: +
r = , ~r =
. emua angan caca a a a angan rea .
~ a angan caca yang u an angan rea .
= , ~ =
e. utang agang termasu pa a ewa an. ~ : surat-surat er arga termasu pa a ewa an.
= =
Gambar 1.2
Ingkaran "pinguin bukan burung"
adalah "pinguin adalah burung".
Sumber: upload.wikimedia.org
-
7/23/2019 1224380491 Buku
14/226
7Logika Matematika
2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-
pernyataan berikut.
a. Deposito termasuk aktiva lancar.
b. 8 merupakan bilangan komposit.
c. log 10 = 1
d. Perkalian bilangan bulat dengan
bilangan ganjil akan menghasilkan
bilangan ganjil.
e.
adalah matriks satuan.
f. 51 habis dibagi 3.
g. Garisy=xmelewati titik (0, 0).
h. 93 adalah bilangan prima.
i. Akar darix2= 4 adalah 4 atau 4.
j. Faktur adalah bukti pembelian ataupenjualan barang secara kredit.
k. 2 adalah bilangan irasional.
3. Gantilah variabel-variabel pada kalimat-
kalimat terbuka berikut sehingga kalimat
tersebut menjadi pernyataan yang benar.
a. x 3 = 4
b. 2x= 3
c. log 100 = 2x
d. pengorban an untuk memperoleh
penghasilan disebut A.
e. y=x+ 4
f. x2 4x+ 3 = 0
g. y< 2x h. x2< 4
i. xadalah salah satu bukti transaksi.
j. y+ 3x> 3
4. Buatlah ingkaran dari pernyataan-pernyataan
berikut.
a. Manusia adalah makhluk sosial.
b. Semua bilangan bulat adalah bilangan
real.
c. adalah bilangan rasional.
d. Di Kepulauan Seribu ada seribu pulau.e. 24= 2 + 2 + 2 + 2
f. Beberapa provinsi di Indonesia adalah
daerah istimewa.
g. log (ab) = log a+ log b
h. Semua penduduk Indonesia wajib
mempunyai KTP.
i. Beberapa negara tidak mempunyai
kepala pemerintahan.
j. Posting merupakan pemindahan bukuan
catatan jurnal ke buku besar.
B Pernyataan Majemuk
Pada bagian sebelumnya, pernyataan-pernyataan yang
Anda pelajari lebih banyak merupakan pernyataan-pernyataan
tunggal. Jika pernyataan-pernyataan tunggal ini digabungkan
menggunakan kata dan, atau, jika...maka..., atau ...jika dan
hanya jika...maka akan terbentuk suatupernyataan majemuk.
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut.
Pontianak adalah ibu kota provinsi Kalimantan Barat.
Pontianak dilalui garis khatulistiwa.
Kedua pernyataan tersebut adalah pernyataan tunggal. Kedua
pernyataan tunggal tersebut jika Anda gabung dengan kata
hubung "dan" akan menjadi kalimat majemuk, "Pontianak
adalah ibu kota provinsi Kalimatan Barat dan dilalui garis
khatulistiwa".
Gambar 1.3
"Pontianak adalah ibu kota Provinsi
Kalimantan Barat dan dilalui garis
khatulistiwa" merupakan pernyataan
majemuk.
Sumber: www.gemari.or.id
-
7/23/2019 1224380491 Buku
15/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
8
Terdapat empat bentuk pernyataan majemuk yang terbentuk
dari dua pernyataan, yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan
biimplikasi.
1. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk
dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata "dan".
Kata "dan" dilambangkan dengan "". Jikapdan qpernyataantunggal maka konjungsi daripdan qdinyatakan dengan
p q
Contoh Soal 1.3
entu an on ungs ar pernyataan-pernyataan er ut.a. : era u er ayar engan antuan mes n.
: era u er ayar engan antuan ang n.
: a pegawa termasu e an operas ona
: Harga pokok barang yang dijual termasuk beban operasional
c. : a a a angan ras ona
: a a a angan ras ona
awa
a. : pera u er ayar engan antuan mes n an ang n s : ga pegawa an arga po o arang yang ua termasu
e an operas ona .
c. u : adalah bilangan irasional dan5
adalah bilangan
ras o a
Misalkanpdan qadalah suatu pernyataan maka terdapat 4
kemungkinan komposisi nilai kebenaran daripdan qpada suatu
konjungsipq. Komposisi-komposisi tersebut di antaranya: pbenar dan qbenar pbenar dan qsalah
psalah dan qbenar
psalah dan qsalah
Konjungsi hanya bernilai benar jika kedua pernyataannya
bernilai benar. Selain dari itu bernilai salah. Pada Contoh Soal
1.3, keempat konjungsi bernilai benar.
Nilai-nilai kebenaran dari suatu konjungsi dapat ditunjukkan
dengan tabel nilai kebenaran sebagai berikut.
Gambar 1.4
"Perahu berlayar dengan mesin dan
angin" adalah pernyataan konjungsi.
Sumber: wolstenholme.com
-
7/23/2019 1224380491 Buku
16/226
9Logika Matematika
p q p q
B B B
B S S
S B S
S S S
Contoh Soal 1.4
a pernyataan ern a enar an ern a sa a , tentu an n a
e enaran ar on ungs - on ungs er ut.
. c. ~
. ~q . q
awa
. enar an qsa a ma a t p q =enar an ~ enar ma a ~ =
. ~ enar an enar ma a ~ =. salah danp enar ma a t qp =
Pada Contoh Soal 1.4 tampak nilai kebenaranpqsamadengan nilai kebenaran qpdan nilai kebenaranp~qsamadengan nilai kebenaran ~qp. Dengan demikian, dapat diujibahwa pada konjungsi berlaku hukum komutatif.
Jika p dan q adalah pernyataan maka berlaku hukumkomutatifpqqp.
Contoh Soal 1.5
entu an n a -n a x se ngga a mat- a mat er ut men a
on ungs yang enar.
. + = an + =
. 2+x = anx2= ,x
> anx2
+ = ,x awa
. ntu men a on ungs yang enar, e ua a mat pa a
+ = an + = arus ern a enar.
+ = a a a pernyataan enar.
x+ (2) = 5 akan menjadi pernyataan benar jikax gant engan .
engan em an, a mat + = an + = a an
en a on ungs enar a = .
. gar 2+x = anx = , ern a enar, arus cara xyang memenu e ua persamaan.
Jelajah
Matematika
George Boole (1815 -
1864), ahli matematika
Inggris adalah orang per-
tama yang menggantikan
nilai kebenaran "benar"
dengan "1" dan nilai
kebenaran "salah" dengan
"0". Sistem bilangan yang
hanya terdiri atas dua
macam bilangan terse-
but dinamakan sistem
biner. Temuan ini sangatberguna untuk menyusun
program komputer. Proses
pengubahan data ke da-
lam sistem bilangan biner
disebut konversi biner,
dan notasi yang dihasilkan
dari konvensi ini dinama-
kan kode biner.
Sumber:Ensiklopedi Matematika
dan Peradaban Manusia, 2002
Kode Biner dalam Program
Komputer
Sumber:Ensiklopedi Matematika
dan Peradaban Manusia, 2002
Notes
Pada konjungsi berlaku
hukum komutatif
pqqp
-
7/23/2019 1224380491 Buku
17/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
10
Perhatikan kembali Contoh Soal 1.5. Pada Contoh Soal 1.5(b), himpunan penyelesaian darix2+x 6 = 0 adalah P = {3, 2}
dan himpunan penyelesaian darix2= 4 adalah Q= {2, 2}.
Oleh karena itu,x= 2 adalah irisan dari Pdan Q, yaitu
P Q= {3, 2} {2, 2} = {2}.Diagram Vennnya adalah
S
3
P
2 2
Q
Untuk Contoh Soal 1.5 (c), misalkan himpunan penyelesaian
darix> 0 adalah P= {xx> 0,xR} dan himpunan penyelesaiandarix2 3x+ 2 = 0 adalah Q= {1, 2}.
Oleh karena itu,x= 1 ataux= 2 adalah irisan dari Pdan Q, yaitu
P Q= {xx,xR} {1, 2} = {1, 2}.Diagram Vennnya adalah
Pertama, harus dicari terlebih dahulu himpunan penyelesaian
dari masing-masing persamaan. Himpunan penyelesaian dari
x2+x 6 = 0 adalah {3, 2}.
Himpunan penyelesaian darix2= 4 adalah {2, 2}.
Kemudian, substitusikanx= 3,x= 2, danx= 2 padax2+x 6 = 0
danx2= 4 diperoleh: untukx= 3 : (3)2+ (3) 6 = 9 3 6 = 0
(3)2= 9 4
x = 3 tidak memenuhi persamaanx2= 4. Jadi,x= 3 bukan
penyelesaian untukx2+x 6 = 0 danx2= 4,x R. Untukx= 2 : (2)2+ (2) 6 = 4 2 6 = 4 0
(2)2= 4
x= 2 tidak memenuhi persamaanx2 +x 6 = 0. Jadi,x= 2
bukan penyelesaian untukx2 +x 6 = 0 danx2= 4,xR. Untukx= 2 : (2)2+ 2 6 = 4 + 2 6 = 0
22= 4
x= 2 memenuhi persamaanx2+x 6 = 0 danx2= 4. Jadi
x= 2 penyelesaian untukx2+x 6 = 0 danx2= 4,x R. Jadi, kalimatx2+x 6 = 0 danx2= 4,x Rakan menjadi
konjungsi yang benar jikax= 2.
c. Dengan cara yang sama dengan (b), diperoleh kalimat x > 0
danx2 3x+ 2 = 0,x Rakan menjadi konjungsi jikax= 1 ataux= 2. Jadi, kalimatx> 0 danx2 3x+ 2 = 0,xRmempunyaihimpunan penyelesaian {1, 2}.
Notes
Notasidibaca ekuivalen.Dua pernyataan
disebut equivalenjika
nilai kebenaran kedua
pernyataan tersebut
sama. Nilai kebenarannya
dapat ditunjukkan dengan
membuat tabel nilai
kebenaran.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
18/226
11Logika Matematika
S
P
1 2
Q
Dengan demikian, uraian di atas menggambarkan ketentuan
berikut. Jika P adalah himpunan penyelesaian untuk p(x)
dan Qadalah himpunan penyelesaian untuk q(x), himpunan
penyelesaian darip(x) q(x) adalah P Q.
Contoh Soal 1.6
eta ux
=
2
x
,q
=x2
+ = ,x
entu an mpunan penye esa an ar se ngga a mat
erse ut men a on ungs yang enar. emu an, gam ar an agram
ennnya.
awa
impunan penyelesaian darip x =x2 2 0 adalah
=
x ataux , .mpunan penye esa an ar q x =x2 + = a a a
= , .
mpunan penye esa an ar p x q a a a x ataux , , =agram ennnya:
S
P
33 1
Q
Kata Kunci
konjungsi
disjungsi
implikasi
biimplikasi
2. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari
dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata "atau".
Kata ataudilambangkan dengan "". Jikapdan qpernyataantunggal maka disjungsi daripdan qdinyatakan dengan
p q
-
7/23/2019 1224380491 Buku
19/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
12
Gambar 1.5
"Air adalah zat cair atau padat"
merupakan pernyataan disjungsi.
Sumber : upload.wikimedia.org
Perhatikan beberapa pernyataan disjungsi berikut.
1. Timor Leste terletak di Timur Tengah atau di Asia
Tenggara.
2. Air adalah zat cair ataupadat.
3. Akar darix2= 2 adalah 2 atau 2.
4. Kas adalah jumlah uang yang tersedia di tangan atau uang
perusahaan yang disimpan di bank.
Seperti juga konjungsi, terdapat 4 kemungkinan komposisi
daripdan qpada suatu disjungsip q, yaitu: pbenar dan qbenar
pbenar dan qsalah
psalah dan qbenar
psalah dan qsalah
Disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataannya
bernilai salah. Selain dari itu, disjungsi bernilai benar. Perhatikantabel nilai kebenaran berikut.
p q p q
B B B
B S B
S B B
S S S
1. "Timor Leste terletak di Timur Tengah" adalah pernyataan
salah dan "Timor Leste terletak di Asia Tenggara" adalah
pernyataan benar maka disjungsi bernilai benar.
2. "Air adalah zat cair" merupakan pernyataan benar dan
"air adalah zat padat" merupakan pernyataan salah maka
disjungsi bernilai benar.
3. "Akar darix2= 2 adalah 2" merupakan pernyataan benar
dan "akar darix2= 2 adalah 2" merupakan pernyataan benar
maka disjungsi bernilai benar.
4. "Kas adalah jumlah uang yang tersedia di tangan" adalah
pernyataan yang benar dan "Kas adalah uang perusahaan
yang disimpan di bank" adalah pernyataan yang benar makakonjungsi bernilai benar.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
20/226
13Logika Matematika
Pada Contoh Soal 1.7 tampak nilai kebenaranpqsama
dengan nilai kebenaran qp. Nilai kebenaran p~qsamadengan nilai kebenaran ~qp. Dengan demikian, pada disjungsiberlaku hukum komutatif, yaitu jikapdan qadalah pernyataan
maka berlaku
Contoh Soal 1.7
a pernyataan psa a an q enar, tentu an n a e enaran ar
s ungs - s ungs er ut.
. c. ~. p ~q . q
awa
. sa a an q enar, ma a =
. sa a an ~ sa a , ma a p ~ =
. ~qsa a an sa a , ma a ~q =
enar an sa a , ma a q =
pqqpHukum komutatif
Contoh Soal 1.8
entu an mpunan penye esa an ar a mat- a mat er ut
se ngga men a s ungs yang enar.. og = atau og = .
2 = atau + + = , 2 + < an = ,
awa
. og = a a a pernyataan enar.
e arena pernyataan pertama enar, n a apat memasu an
a -n a > pa a og = se ngga a mat og = atau
ogx= men a s ungs enar. a , mpunan penye esa an
untu og = atau og = a a a x
> , .. sa an x = x + = an q =x2+ + = .
garp x , ern a enar, cu up car n a xyangemenu sa a satu persamaan. e arena tu, penye esa an-
ya a a a ga ungan ar mpunan penye esa an mas ng-mas ng
persamaan.
mpunan penye esa an ar = 2 = a a a
= , .
mpunan penye esa an ar q =x2+ + = a a a
= , .
a , mpunan penye esa an ar x + = ataux + x+ =
, a a a = , , = , , .
Notes
Pada disjungsi berlaku
hukum komutatif
p q qp
-
7/23/2019 1224380491 Buku
21/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
14
Perhatikan kembali Contoh Soal 1.8.
Untuk Contoh Soal 1.8 (b), himpunan penyelesaian dari
p(x) =x2 2x+ 1 = 0 adalah P= {2, 1}. Himpunan penyelesaian
dari q(x) =x2+ 5x+ 6 = 0 adalah Q= {2, 3}.
Himpunan penyelesaian darix2+x 2 = 0 ataux2+ 5x+ 6 = 0,
xRadalah PQ= {2, 1} {2, 3} = {2, 3, 1}.Diagram Vennnya adalah
S
P
2
Q
1 3
Untuk Contoh Soal 1.8 (c), misalkan himpunan penyelesaian
darix2 3x+ 2 < 0 adalah P= {x1
-
7/23/2019 1224380491 Buku
22/226
15Logika Matematika
Contoh Soal 1.9
eta u p = 2 + = , q =x2 x+ = ,x . entu anmpunan penye esa an ar se ngga a mat terse ut men a
s ungs yang enar. emu an gam ar an agram ennnya.awa :
mpunan penye esa an ar = 2 x+ = a a a
= , .
mpunan penye esa an ar = 2 x+ = a a a
= , .
mpunan penye esa an ar q a a a
= , , = , ,agram ennnya a a a se aga er ut.
S
P
3311
Q
3. Ingkaran dari Konjungsi dan Disjungsi
a. Ingkaran dari Konjungsi
Ingkaran dari suatu konjungsi mempunyai nilai yang
berlawanan dari konjungsi sebelumnya.
Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan maka tabel
nilai kebenaran dari konjungsi dan ingkarannya adalah sebagai
berikut.
p q p q ~(p q)
B B B S
B S S B
S B S B
S S S B
Perhatikan contoh soal berikut agar Anda memahami
cara menarik ingkaran dari pernyataan yang mengandung
konjungsi.
Jelajah
Matematika
Russel(1872-1970)
Seorang filsuf dan ahlilogika asal inggris yang
memperoleh hadiah nobel
untuk bidang kesastraan
pada tahun 1950.
Kejeniusannya mulai
terlihat pada saat ia kuliah
di universitas Cambridas
Inggris, di mana ia
belajar matematika dan
filisofi. Ia berkeinginan
mengekpresikan
ilmu pengetahuandalam bentuk yang
disederhanakan, dan
menghubungkan logika
secara langsung dengan
matematika.
Sumber:Ensiklopedi Matematika
dan Peradaban Manusia, 2002
Sumber: media-2.web.
britannica.com
-
7/23/2019 1224380491 Buku
23/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
16
Contoh Soal 1.10
uat a ta e n a e enaran ar ~p ~q
awa
~~ ~~ ~~ ~~qq
Tampak pada Contoh Soal 1.10, nilai kebenaran ~p ~qsamadengan ~(pq). Dengan demikian, diperoleh
~(p q) ~p~q
Sifat ini dikenal dengan Hukum de Morgan.
Contoh Soal 1.11
entu an ng aran ar pernyataan " a a a angan genap an
angan pr ma".
awa
er asar an u um e organ, ng aran ar " a a a angan
enap an angan pr ma" a a a " u an angan genap atau
u an angan pr ma".
b. Ingkaran dari Disjungsi
Ingkaran dari suatu disjungsi mempunyai nilai yang
berlawanan dari disjungsi sebelumnya.
Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan, maka tabel
nilai kebenaran dari disjungsi dan ingkarannya adalah sebagai
berikut.
p q p q ~(p q)
B B B S
B S B S
S B B S
S S S B
-
7/23/2019 1224380491 Buku
24/226
17Logika Matematika
Contoh Soal 1.12
uat a ta e n a e enaran ar ~ ~
awa :
pp ~~ ~~qq ~~pp ~~qq
Tampak pada Contoh Soal 1.12, nilai kebenaran
~p ~qsama dengan ~(p q). Dengan demikian diperoleh
~(p q) ~p ~q
Sifat ini dikenal dengan Hukum de Morgan.
Contoh Soal 1.13
entu an ng aran ar pernyataan " a a a angan ras ona atau
angan ras ona ".
awa
er asar an u um e organ, ng aran ar " a a a anganras ona atau angan ras ona " a a a " u an angan ras ona
an u an angan ras ona ".
4. Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari
dua pernyataan yang dihubungkan dengan "jika maka ."
Implikasi dilambangkan dengan "fi". Jika p dan q adalah
pernyataan, maka implikasi "jika pmaka q" ditulis p fi q.Implikasi merupakan pernyataan sebab akibat. Pada implikasipfi q, makapdisebut sebabatau alasan, dan qdisebut akibatatau kesimpulan.
Berikut adalah pernyataan-pernyataan implikasi.
1. Jika tanggal di kalender merah maka hari libur.
2. Jika harga naik maka permintaan turun.
3. Jika a> 0 maka1
a> 0.
4. Jika 2 faktor dari 6 maka 6 bilangan genap.
Notes
Hukum de Morgan
~(p q) ~p ~q~ (p q) ~p~q
-
7/23/2019 1224380491 Buku
25/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
18
Sama seperti konjungsi dan disjungsi, terdapat empat
kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari pernyataan-
pernyataan pada suatu implikasi, yaitu sebagai berikut.
jikap(alasan) benar maka q(kesimpulan) benar
jikap(alasan) benar maka q(kesimpulan) salah
jikap(alasan) salah maka q(kesimpulan) benar
jikap(alasan) salah maka q(kesimpulan) salah
Implikasi hanya bernilai salah jika pernyataan yang
merupakan kesimpulannya bernilai salah. Perhatikan tabel nilai
kebenaran berikut.
p
(alasan)
q
(kesimpulan)(p fi q)
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh Soal 1.14
a pernyataan p enar an sa a , tentu an n a e enaran ar
s ungs - s ungs er ut.
. fi c. p fi ~q
. fi~q . q p fi q
awa. enar an qsa a , ma a fi =. enar an ~ enar, ma a t p fi~ =. ~q enar,p enar, an ~q p = , ma a t fi ~ =
sa a , enar, an t q = , ma a q fi ~q =
Pada contoh berikut, Anda akan mempelajari cara membuat
suatu implikasi yang bernilai benar.
Contoh Soal 1.15
entu an n a -n a x se ngga 2 + = fix = , x men a mp as yang enar.
awa :
sa anp : x2 + = an q x :x x =
garp fi x , ern a enar, arus car n a xyang mem-uat men a pernyataan enar atau n a yang mem uat
an q men a pernyataan sa a .
mpunan penye esa an ar : + = a a a = , .
mpunan penye esa an ar : = a a a = , .
-
7/23/2019 1224380491 Buku
26/226
19Logika Matematika
Substitusikanx= 2 padax2 5x+ 6 = 0 danx2 2x= 0, maka
22 5 2 + 6 = 0 fi02 2 0 = 0 B B
Diperoleh implikasi bernilai benar.
Substitusikanx= 3 padax2 5x+ 6 = 0 danx2 2x= 0, maka
32 5 3 + 6 = 0 fi32 2 3 = 3 0 B S
Diperoleh implikasi bernilai salah.
Substitusikanx= 0 padax2 5x+ 6 = 0 danx2 2x= 0, maka
02 5 0 + 6 = 6 0 fi02 0 0 = 0 S B
Diperoleh implikasi bernilai benar.
Selanjutnya, Anda cari nilai x yang membuat p(x) dan q(x)
menjadi pernyataan salah.
Ambil,x= 4. Substitusikanx= 4 ke persamaanx2
5x+ 6 = 0dan q(x) :x2 2x= 0, diperoleh
42 5 4 + 6 = 2 0 fi42 2 4 = 8 0 S S
Diperoleh implikasi bernilai benar.
Jadi,x2 5x+ 6 = 0 fix2 2x= 0, x Rhanya akan bernilaisalah untukx= 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya
adalah {xx 3,xR}.Diagram Vennnya adalah sebagai berikut.
S
P
2 13
Q
5. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk
dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata. Jika danhanya jika... Kata "Implikasi" dilambangkan dengan . Jikapdan qadalah pernyataan, maka biimplikasi "pjika dan hanya
jika q" dinyatakan denganpq.Misalkan:
1. Karyawan akan dapat bonus jika dan hanya jika ia tidak
pernah datang terlambat.
2. log b= cjika dan hanya jika 10c= b.
3. 2nbilangan genap jika dan hanya jika nbilangan bulat.
4. a+ b= 0 jika dan hanya jika b= a.
Gambar 1.6
Karyawan akan dapat bonus jika
dan hanya jika ia tidak pernah
datang terlambat.
Sumber: www.kanwilpajakkhusus.
depkeu.go.id
-
7/23/2019 1224380491 Buku
27/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
20
Biimplikasi bernilai benar jika kedua pernyataan yang menyu-
sunnya benar atau kedua pernyataan yang menyusunnya salah.
Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.
p q p q
B B B
B S S
S B S
S S B
Contoh Soal 1.16
u t an fi q q fip .
awa
u t an engan mem uat ta e n a e enaran fi q fi ,emu an n a an ng an as nya engan ta e n a e enaran
p .
fifi
Tampak nilai-nilai pada tabel nilai kebenaran (p fiq) (q fip) sama dengan nilai-nilai pada tabel nilai kebenaranp q.Dengan demikian, terbuktip q(pfiq) (q fip).
Contoh Soal 1.17
a pernyataan sa a an q enar, tentu an n a e enaran ar
pernyataan-pernyataan er ut.
. c. ~q p q
. ~q . q ~ q
awa
eta u sa a an enar.
. p q =
. p ~q =
~q = , ma a ~ ~ =~ = ma a ~ =
Tentukan nilai kebenaran
dari biimplikasi-biimplikasi
berikut.
a. 23= 8 = 2b. x2= 4 x= 2c. x2> 9 x< 3 atau
x> 3
Soal Pilihan
-
7/23/2019 1224380491 Buku
28/226
21Logika Matematika
Contoh Soal 1.18
entukan himpunan penyelesaiannya sehingga menjadi biimplikasiang enar.
x+ = x = , .
awa
sa an x : 2 x+ = an q : 2x= .
gar x q x , ern a enar, arus car n a yang mem-uat x an q men a pernyataan enar atau n a xyang
em uat x an q men a pernyataan sa a .
mpunan penye esa an ar p : 2 x+ = a a a = , .
mpunan penye esa an ar q x : x2 = a a a = , .
u st tus anx= pa ax + = an x= , ma a 2 + = 2 =
pero e mp as ern a enar.
u st tus anx= pa ax2 + = an 2x= , ma a
2 + = 2 =
pero e mp as ern a sa a .
u st tus anx= pa ax2 + = an 2 x= , ma a
2 + = 2 =
pero e mp as ern a sa a .
e an utnya, n a car n a yang mem uat an men a
ernyataan sa a .
m = . u st tus anx= e persamaanx2 x+ = an
= , pero e
2 + = 2 =
pero e mp as ern a enar.
a , 2 x+ = 2 x= , anya a an ern a sa antu x= an = . engan em an, mpunan penye esa annya
a a an ,
.agram ennnya a a a se aga er ut.
PP
11 0
QQ
Pada contoh soal berikut, Anda akan mempelajari cara
membuat suatu biimplikasi bernilai benar.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
29/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
22
6. Ingkaran dari Implikasi dan Biimplikasi
a. Ingkaran dari Implikasi
Ingkaran dari suatu implikasi mempunyai nilai yang
berlawanan dari implikasi sebelumnya.
Misalkanpdan qadalah suatu pernyataan yang berbeda,
maka tabel nilai kebenaran dari implikasi dan ingkarannya
adalah sebagai berikut.
p q p fiq ~(p fiq)
B B B S
B S S B
S B B S
S S B S
Contoh Soal 1.19
uat a ta e n a e enaran ar ~q.
awa :
~~ ~ ~
S SS
B S S
S B S
Tampak pada Contoh Soal 1.19 nilai kebenaran untuk
~(pfi q) sama denganp ~q. Dengan demikian, diperoleh
~(pfi q) p
~q
Dari hubungan tersebut, Anda peroleh hubungan implikasi
dengan disjungsi, yaitu
pfiq~(p ~q) ~p q
-
7/23/2019 1224380491 Buku
30/226
23Logika Matematika
Contoh Soal 1.20
entu an ng aran ar pernyataan:
a arga na ma a perm ntaan turun.
awasa an : arga na an perm ntaan turun, ma a pernyataan
tas men a fielah diketahui bahwa ~( fi q ~q ma a ng aran arernyataan " a arga na ma a perm ntaan turun" a a a " arga
a an perm ntaan t a turun".
b. Ingkaran dari Biimplikasi
Sebelumnya telah diketahui bahwa pernyataan berikut ekuivalen
p q(p fi q) (q fip) danp fiq~p q.maka diperoleh
~(p q) ~[(~p q) (~q p)] (p ~q) (q ~p)atau dapat ditulis
~(p q) (p ~q) (q ~p)Lebih jelasnya, pelajarilah Contoh Soal 1.21 berikut.
Contoh Soal 1.21
entu an ng aran ar pernyataan er ut " a a a seg empat aan anya axmempunya t t su ut".
awa :
sa an,
: a a a seg empat
q:xmempunya t t su ut, ma a pernyataan atas men a q.
eta u ~ q p ~ q~ .se an utnya pero e ng aran ar pernyataan "xa a a seg empat
a an anya a mempunya t t su ut" a a a " a a a seg -
empat an t a mempunya t t su ut atau mempunya t t
su ut an u an seg empat".
Tentukanlah ingkaran dari
< 4 jika dan hanya
jika sin 60 = 123 .
Soal Pilihan
-
7/23/2019 1224380491 Buku
31/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
24
. entu an n a e enaran on ungs - on ungser ut.
a. a arta an ua a umpur a a a ota
esar n ones a.
. n ones a ter r atas rov ns an
set ap rov ns n ones a mem
u ota.
c. a an an eranc s epa a o e
a a.
. a a a angan as an u at
e. an a a a matr s
ent tas.
. og = 5 og an og = 2 og
. a p enar an sa a , tentu an n a
e enaran ar on ungs - on ungs er ut.
a e. ~ ~
. ~ . ~ ~
c. ~q g. ~ ~q
. ~ q
. entu an n a se ngga a mat- a mat
er ut men a on ungs yang enar.
a. + = an + =
. 2= anx =
c. og = an og =
a p sa a an q enar, tentu an n a
e enaran ar s ungs - s ungs er ut.
a e. ~ ~ . ~ . ~ ~
c g. ~
. ~ p q
entu an n a e enaran s ungs - s ungs
er ut.
a u ota usa enggara mur a a a
ataram atau upang.
. us o am ang u oyono a a ares en e- atau e- .
Sumber ww.an ara v.com
. a a angan ras ona atau
r s ona .
. eraca atau aporan peru a an mo a
termasu aporan euangan.
. eta u = x + = an
x = = ,x . entu an mpunanpenye esa an ar an se ngga
a mat terse ut men a s ungs yang
benar dan gambarkan diagram Vennnya.
. entu an n a e enaran ar mp as -mp as er ut.
. a a arta a a a u ota n ones a,
a a a arta ter eta n ones a.
. a su u aya a a umatra ma a
su u aya a a n ones a.
. a 3 1
ma a 3 = .
. og = og og an og = og
. a sa a an enar, tentu an n a
e enaran ar mp as - mp as er ut.. fi q c. ~ ~p fi
. ~p fi . ~ fi q
. entu an n a e enaran mp as -
mp as er ut.
. a arta a a a u ota n ones a a
an anya a pusat pemer nta an
n ones a a a a arta.
. nggr s a a a era aan a an anya
a nggr s epa a o e seorang
ra a.
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
Evaluasi Materi 1.2
-
7/23/2019 1224380491 Buku
32/226
25Logika Matematika
C Invers, Konvers,
dan Kontraposisi
Perhatikan pernyataan implikasi berikut. "Jika Ira
seorang penyanyi, maka ia seorang artis" Pada pernyataan ini,
p: "Ira seorang penyanyi" sebagai hipotesis dan q: "Ia seorang
artis" sebagai konklusi. Anda dapat membentuk beberapa
pernyataan berhubungan dengan implikasipfiq, sepertiqfip : Jika Ira seorang artis, maka ia seorang penyanyi.~pfi ~q : Jika Ira bukan seorang penyanyi, maka ia bukan
seorang artis.
~pfi~p: Jika Ira bukan seorang artis, maka ia bukanpenyanyi.
Pernyataan qfipdisebut konvers, ~pfi~qdisebut invers,dan ~qfi~pdisebut kontraposisi. Dari uraian di atas dapat
disimpulkan sebagai berikut.
~p fi ~qdisebut invers darip fi q q fipdisebut konvers darip fi q ~q fi ~pdisebut kontraposisi darip fiq
Pelajarilah contoh berikut agar Anda memahami penggunaan
dari konvers, invers, dan kontraposisi.
c. adalah bilangan irasional jika dan
hanya jika bilangan irasional adalah
bilangan yang dapat ditulis dalam
bentuk pembagian dua bilangan bulat.
d. log 10 = 2 jika dan hanya jika log 100 = 3.
10. Jika p benar dan q salah, tentukan nilai
kebenaran dari biimplikasi-biimplikasi
berikut.
a. pq c. p ~q
b. ~(~p q) d. ~(p q)
Contoh Soal 1.22
eta up: a a a matr s ent tas or o
q:a
=c
yata an pernyataan-pernyataan er ut a am a mat yang enar.
a. fi q . fi. ~q fi~p . ~p fi q
awa :
a. a a a a matr s ent tas or o ma a
c
a
c
Kata Kunci
invers
konvers kontraposisi
-
7/23/2019 1224380491 Buku
33/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
26
Bagaimanakah hubungan antara implikasip fiqdengan invers,konvers, dan kontraposisinya? Perhatikan tabel nilai kebenaran
berikut.
p q ~p ~q p fi q ~q fi ~p q fip ~p fi ~q
B B S S B B B B
B S S B S S B B
S B B S B B S S
S S B B B B B B
Tampak dari tabel tersebut nilai kebenaran implikasi
pfi qsama dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~qfi ~p.Nilai kebenaran konvers suatu implikasi qfipsama dengan inversdari implikasinya ~pfi~q. Dengan demikian, diperoleh
pfi q~q fi ~p
qfip~pfi ~q
Pada Contoh Soal 1.22, pernyataan "JikaIadalah matriks
identitas ordo 2, makaa b
c d I=
b
d " ekuivalen dengan
"Jikab
c d
Ia b
d
makaIbukan matriks identitas ordo 2".
Pernyataan "Jikab
d
I=
a b
c d
makaIadalah matriks
identitas ordo 2" ekuivalen dengan "Jika I bukan matriks
identitas ordo 2 makaa b
c d
Ia b
d
".
Contoh Soal 1.23
entu an nvers, onvers, an ontrapos s ar mp as - mp as
er ut.
a. a t a a a pe a at orups ma a pem angunan er a an
ancar.
b. Jikaa
Ia
makaIbukan matriks identitas ordo 2.
c. Jikaa
cI=
cmakaIadalah matriks identitas ordo 2.
d. JikaIbukan matriks identitas ordo 2 makaa
Ia
.
Notes
Ingkaran dari implikasi
adalah
~(pfiq) p~q Ingkaran dari konvers:
qfipadalah~(pfip) q~p
Ingkaran dari invers:
~pfi~qadalah ~(~p fi~q) ~pq
q~p Ingkaran dari
kontraposisi:
~qfi~padalah~(~pfi~p) ~qpp~q
-
7/23/2019 1224380491 Buku
34/226
27Logika Matematika
b. Jika waktu istirahat tiba maka Rifki dan Rizky meninggalkan
ruangan.
Jawab:
a. Invers dari pernyataan "Jika tidak ada pejabat korupsi maka
pembangunan berjalan lancar" adalah "Jika ada pejabat korupsi
maka pembangunan tidak lancar".
Konversnya adalah "Jika pembangunan lancar maka tidak ada
pejabat korupsi".
Kontraposisinya adalah "Jika pembangunan tidak lancar maka
ada pejabat korupsi".
b. Invers dari pernyataan " Jika waktu istirahat tiba maka Rifki dan
Rizky meninggalkan ruangan".
Konversnya adalah "Jika Rifky dan Rizky meninggalkan ruangan
maka waktu istirahat tiba".
Kontraposisinya adalah "Jika Rifky dan Rizky tidak meninggalkan
ruangan maka waktu istirahat belum tiba".
. entu an nvers, onvers, an ontrapos s
ar implikasi berikut.
a a an ung u ota awa arat ma a
an ung ter eta awa arat.
a an su u awa ma a an orang
n ones a.
c a a anggota ma a a
anggota .
a angan u at ma a angan
rea .
e a og = ma a og =
. a angan ras ona ma a angan
rea .
g. a a a a angan pos t ma a
dalah bilangan negatif.
. a a =a
, a ma a 1=
. entu an nvers, onvers, an ontrapos s
mp as er ut.
. ~p fi~q
. ~ fi
. fi ~
. ~ ~
. ~q fi q
. fi~ ~q
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
Evaluasi Materi 1.3
Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikanlah ekuivalensi
berikut ini. Hasilnya diskusikan dengan teman-teman Anda.
1. ~(pfi q) ~ (~qfi ~p) p ~q2. ~(qfip) ~ (~pfi ~q) q ~p
TugasSiswa
-
7/23/2019 1224380491 Buku
35/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
28
D Pernyataan Berkuantor
Anda telah sedikit mempelajari di awal bab tentang
pernyataan-pernyataan berkuantor. Pada bagian ini, akan dibahaslebih lanjut tentang pernyataan-pernyataan berkuantor.
Pernyataan berkuantor terdiri atas kuantor universaldan
kuantor eksistensial.
Kuantor universal dilambangkan dengan """ (dibaca:untuk setiap) dan kuantor eksistensial dilambangkan dengan
"$" (dibaca: terdapat). Jadi, "xR,p(x) artinya untuk setiapxRberlakup(x)dan $xR,p(x) artinya terdapatxsehinggap(x). Ingkaran daripernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor
eksistensial dan sebaliknya. Misalnya, "x,yR,x+y=y+x,maka ingkarannya $x,yR,x+yy+x.Sekarang, perhatikanpernyataan berkuantor universal berikut.
"Semua bilangan bulat adalah bilangan real."
JikaZadalah himpunan bilangan bulat danRadalah himpunan
bilangan real maka pada pernyataan tersebut menyiratkanZR,sehingga pernyataan tersebut dapat ditulis
"xZfixR
Jika digambarkan dengan diagram Venn diperolehS
Z
R
X
Pernyataan berkuantor universal "Semua P adalah
Q"ekuivalen dengan implikasi "JikaxPmakax Q".
Contohnya pernyataan "Semua tumbuhan adalah makhlukhidup" ekuivalen dengan "Jika xtumbuhan maka xmakhluk
hidup".
Selanjutnya, perhatikan pernyataan berkuantor eksistensial
berikut.
"Ada mamalia yang hidup di air"
Pada pernyataan ini, tersirat sekurang-kurangnya ada satu
jenis mamalia yang hidup di air, misalnya ikan paus.
Gambar 1.7
"Ada mamalia yang hidup di air"
adalah pernyataan berkuantor
eksistensial.
Sumber : www.sharkattackphotos.
com
-
7/23/2019 1224380491 Buku
36/226
29Logika Matematika
JikaAadalah himpunan mamalia danBadalah himpunan
makhluk hidup yang hidup di air maka pada pernyataan tersebut
dapat ditulis
$x,xAdanxB
Jika digambarkan dengan diagram Venn, diperoleh
A B
S
x
Pernyataan berkuantor eksistensial "Terdapat Panggota
Q" ekuivalen dengan "Sekurang-kurangnya ada sebuahxPyang merupakanx Q". Contohnya pernyataan "Ada bilangan genap yang merupakan
bilangan prima" ekuivalen dengan "Sekurang-kurangnya ada
satu bilangan genap yang merupakan bilangan prima".
Contoh Soal 1.24
entu an ng aran set ap pernyataan er ut.
. emua orang menyu a atemat a.
. " angan as , .. a n a se ngga + = an untu set ap er a ux > .
awa
. " emua orang menyu a atemat a"
~p : " a set ap orang menyu a atemat a" atau apat uga
engan pernyataan " a e erapa orang t a menyu a
atemat a"
ng aran ar " a a a " " an ng aran ar " a a a ".
. sa an,
: a n a xse nggax+ =
~p : ntu set ap n a x er a u + : ntu set ap n a x er a u 2>
~q : a n a xse nggax
e arena ~ q ~p ~q, ng aran ar pernyataaner uantor terse ut a a a
ntu set ap n a er a ux+
tau
a n a xse nggax
~
Gambar 1.8
Implikasi "Semua orang menyukai
Matematika" adalah "Ada beberapa
orang tidak menyukai Matematika".
Sumber : urip.files.wordpress.com
-
7/23/2019 1224380491 Buku
37/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
30
Anda telah mempelajari pernyataan majemuk yang
dibentuk dari dua pernyataan yang berbeda, yaitupdan q, serta
ingkarannya. Pernyataan majemuk dapat juga disusun lebih dari
dua pernyataan yang berbeda, misalnyap, q, r, dan ingkarannya
ataup, q, r, s, dan ingkarannya. Bagaimanakah nilai kebenaran
dari pernyataan majemuk yang disusun dari tiga pernyataan ataulebih? Perhatikan contoh berikut.
Contoh Soal 1.25
ap , an a a a pernyataan tungga yang er e a, uat a ta e
n a e enaran ar q r.
awa :
a e n a e enaran ar q ra a a se aga er ut.
E Pernyataan Majemuk
Bersusun
. a a pernyataan er uantor un versaer ut e a am entu mp as .
a. emua ma u up memer u an
o s gen.
. emua negara mempunya epa a
pemer nta an.
c. emua an apat erenang.
. emua pernyataan mempunya n a
e enaran.
e. emua angan as a a a angan
caca .
. emua angan ompos t a a a
angan u at.
g. emua angan ras ona a a a angan
real.
. emua entu a ar a a a angan
ras ona .
. entu an n a e enaran ar pernyataaner ut.
a 2 + =. $ = , , , 2 + 5 = 0
c. "x , + + y, maka 2x< 2y"
Beberapa filsafat
memperhatikan
bagaimana manusia
berdebat. Ketika Anda
berdebat, tentu Anda akan
melakukannya dengan
baik dan masuk akal
(logis). Aristoteles, seorang
filsafat Yunani, menulis
tentang jenis argumen
yang disebut silogisme.
Semua jenis sapi berkaki
empat. Daisy adalah
seekor sapi maka Daisy
berkaki empat. Namunbagaimana dengan
pernyataan "Semua sapi
berkaki empat. Anjingnya,
si Rover, berkaki empat.
Jadi, "Rover adalah sapi".
Dapatkah Anda lihat, apa
yang salah dari argumen
ini?
Soal Pilihan
-
7/23/2019 1224380491 Buku
44/226
37Logika Matematika
Bentuk di atas dapat ditulis
[(pfi q)p] fiq
Argumen yang memenuhi modus ponens merupakan
argumen yang sah, hal ini dapat ditunjukkan dengan tabel nilaikebenaran untuk [(p fi q) p] fiqberikut.
p q pfi q (pfi q) p [(pfi q) p] fip
B B B B B
B B B B B
B S S S B
B S S S B
S B B B B
S B B B B
S S B B B
S S B B B
Tampak [(p fi q) p] fiqmerupakan tautologi.
Contoh Soal 1.30
ar a es mpu an ar prem s-prem s er ut se ngga ter entu
argumen yang sa .
a urung ma a apat ter ang. rem s
aga urung. rem s2 axbilangan asli makaxbilangan cacah. rem s
a a a a angan as . rem s
ax>yma a < y . rem s
> . rem s
awa :
. sa an :x urung an q x apat ter ang.
ma a pernyataan atas men a
p fi prem sp prem s
gar men a argumen yang sa , ma a es mpu an yang tararus memenu aturan ponens, ya tu
p fi q prem sp prem s
\ q es mpu an engan em an, es mpu annya a a a
" aga apat ter ang".
engan cara yang sama, pero e es mpu an
" a a a angan caca ".
engan cara yang sama, pero e es mpu an
" < ".
Search
Ketik: www.e-dukasi.net/
mapok/penarikan
kesimpulan
Website ini memuat materi
penarikan kesimpulan
pada logika matematika,
seperti modus ponens,
modus tollens, dan
silogisme. Selain itu,
memuat latihan dan
simulasi dengan animasiyang memungkinkan Anda
berlatih secara on-line.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
45/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
38
Contoh Soal 1.31
ar a es mpu an ar prem s-prem s er ut se ngga ter entu
rgumen yang sa .
. a u an atas aut ma a aut pasang prem s
aut t a pasang prem s
. a og > ma a prem s2 . prem s
3. ax> ma a < prem s
prem s
awa :
. sa an : u an atas aut an q aut pasang.
ma a pernyataan terse ut apat nyata an men a
fi prem s~q prem s
gar men a rgumen yang sa , ma a es mpu an yang tar
arus memenu aturan to ens, ya tu
fi prem s
~ prem s\ p es mpu an
3. Modus Tollens
Modus tollens adalah metode penarikan kesimpulan dengan
kaidah sebagai berikut. Misalkan pdan qadalah pernyataan
tunggal.
pfi q premis 1~q premis 2
\~p kesimpulan Bentuk tersebut dapat ditulis sebagai berikut
[(pfi q) ~q] fi~p
Argumen yang memenuhi modus tolles merupakan
argumen yang sah, ini dapat ditunjukkan dengan tabel nilai
kebenaran untuk [(pfi q) p] fiqsebagai berikut.
p q pfi q (pfi q) p [(pfi q) p] fip
B B B B B
B B B B B
B S S S B
B S S S B
S B B B B
S B B S B
S S B S B
S S B S B
Tampak [(pfi q) ~q] fi~pmerupakan tautologi.
Diketahui premis-premis:
P1 : Jika ia dermawan
maka ia disenangi
masyarakatP
2 : Ia tidak disenangi
masyarakat
Kesimpulan yang sah
untuk dua premis di atas
adalah .
a. Ia tidak dermawan
b. Ia dermawan tetapi
tidak disenangi
masyarakat
c. Ia tidak dermawan
dan tidak disenangimasyarakat
d. Ia dermawan
e. Ia tidak dermawan
tetapi tidak disenangi
masyarakat
Jawab:
Jika
p : Ia dermawan
q : Ia disenangi
masyarakatmaka sesuai dengan
modus tollens
P1 : pfiq
P2 : ~q
\~psehingga kesimpulan
adalah "Ia tidak
dermawan ".
Jawaban: a
UANSMK, 2003
Solusi Cerdas
-
7/23/2019 1224380491 Buku
46/226
39Logika Matematika
. entu an es mpu an ar prem s-prem s er -
ut se ngga men a argumen yang sa .
a. a ta ra n ero a raga ma a a an
ta se at. a a an ta se at ma a p ran ta
se at.
\. a ersu u un a ma a orang
awa arat.
a orang awa arat ma a
rang n ones a.
\c. a pemanasan g o a ter a ma a su u
ara na .
a su u u ara na ma a es utu
enca r.
\. a angan u at ma a angan
as ona .
a angan ras ona ma a angan
eal.
\e. a angan genap ma a angan
u at.
a angan u at ma a anganas ona .
\. er sa a sa atau t a argumen er ut.
a fi ~q~ fi\ fi
c fi q~q fi ~\ fi ~
. ~p fi q~ fi ~q\~ fi
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
Evaluasi Materi 1.6
3. Tentukan kesimpulan dari premis-premis beri-
kut sehingga menjadi argumen yang sah.
a. Jika kita rajin berolah raga maka badan
kita sehat.
Badan tidak sehat
\b. Jika x bersuku Asmat maka x orang
Papua.
Roni bukan orang Papua.
\c. Jika harga minyak dunia naik maka
harga bahan pokok naik.
Harga bahan pokok tidak naik.
\d. Jikaxbilangan prima makaxbilanganganjil
2 bukan bilangan ganjil
\e. Jika xbilangan bulat maka xbilangan
rasional.
bukan bilangan rasional.
\4. Periksalah sah atau tidak argumen berikut.
a. pfi~qq
\~p
c. pfiq~q\~q
b. ~pfiq~q
\~p
Dengan demikian, kesimpulannya adalah
"Bulan tidak di atas laut".
2. Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan
"3 adalah bilangan cacah".
3. Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan
"x 0".
-
7/23/2019 1224380491 Buku
47/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
40
Pernyataan(proposisi) adalah kalimat yang
bernilai benar saja atau salah saja, tetapi
tidak keduanya sekaligus.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang nilai
kebenarannya belum dapat ditentukan.
Ingkarandari pernyataan p, dilambangkan
dengan ~p dan dibaca "bukan p", jika
suatu pernyataan yang nilai kebenarannya
berlawanan dengan nilai kebenaranp. Jikap
benar maka ~p salah dan jikap salah maka ~p
benar.
Konjungsi p q (dibaca"p dan q") hanyabenar jikapdan q keduanya adalah benar.
Disjungsip q (dibaca "patau q") hanyasalah jikapdan qkeduanya salah
Implikasipfi q (dibaca "pjika dan hanyajika q") adalah benar jikapdan qkeduanya
adalah benar atau jika p dan q keduanya
adalah salah.
Tautologi adalah pernyataan majemuk dengan
semua nilai kebenarannya adalah benar.
Negasi dari tautologi adalah kontradiksi,
yaitu pernyataan majemuk dengan semua
nilai kebenarannya adalah salah. Adapun
kontingensi adalah pernyataan yang bukan
tautologi ataupun kontradiksi.
Jika terdapat implikasi:pfi
qmaka Konvers :qfip Invers : ~pfi ~q Kontraposisi : ~qfi ~p
Ada dua macam pernyataan berkuantor, yaitu
kuantor eksistensi dan kuantor universal.
Kuantor eksistensi dilambangkan dengan "$"(dibaca"ada beberapa"). Kuantor universal
dilambangkan dengan """(dibaca "untuksetiap" atau "untuk semua").
Argumenadalah penarikan kesimpulan dari
serangkaian premis. Argumen adalah sah
jika bentuk argumen merupakan tautologi.
Silogisme adalah suatu metode penarikan
kesimpulan yang sah dengan bentuk
Premis (1) :pfi qPremis (2) : qfi rKonklusi : \pfi r
Modus Ponens adalah suatu argumen yang
sah dengan bentuk
Premis (1) :pfi qPremis (2) : qKonklusi : \q
Modus Tollens adalah suatu argumen yang
sah dengan bentuk
Premis (1) :pfi qPremis (2) : ~q
Konklusi : \~p
Ringkasan
Kaji Diri
Setelah mempelajari materi tentang Logika Matematika, tuliskan bagian mana saja yang belum
Anda pahami. Selain itu, tuliskan juga materi yang Anda senangi beserta alasannya. Bacakan tulisan
Anda di depan kelas.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
48/226
41Logika Matematika
I. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.
Tuliskanlah jawabannya di buku latihan Anda.
. ar a mat- a mat awa n yang
merupa an pernyataan a a a .
a. +y an > .
a a a angan ras ona an -
angan rea .
. 2 og = an 2 og = .
. u ota awa enga a a a emarang
an ura aya.
. res en pertama a a a oe arno
an oe arto.
ernyataan er ut yang merupa an s-
ungs yang sa a a a a .
. ar ar a a a atau
a a angan ras ona atau rea
. sama engan atau -
. sama engan atau
.a a
a a
2
22
a a a matr s eror o
atau
a enar an sa a ma a pernyataan
er ut yang enar a a a .
a ~ p q . ~
c ~ q
. ~ q
e ~ ~
a sa a an enar ma a pernyataan
er ut yang sa a a a a .
a fi ~q
. ~ q fi
c ~ fi q
. ~q fip
e ~
ernyataan " a angan gan ma a x
angan u at" u va en engan .
. a angan u at ma a angan
an
Evaluasi Materi Bab 1
-
7/23/2019 1224380491 Buku
49/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
42
b. Jika x bukan bilangan ganjil maka x
bukan bilangan bulat
c. Jika x bukan bilangan ganjil maka x
bilangan genap
d. xbukan bilangan ganjil danxbilanganbulat
e. xbukan bilangan ganjil atauxbilangan
bulat.
9. Konvers dari pernyataan "Jika A bersuku
Sunda makaAorang Indonesia" adalah .
a. Jika A orang Indonesia maka A ber-
suku Sunda.
b. Jika A tidak bersuku Sunda maka A
bukan orang Indonesia.
c. JikaAbukan orang Indonesia makaA
tidak bersuku Sunda.
d. Jika A bersuku Sunda maka A orang
Jawa Barat.
e. Jika A tidak bersuku Sunda maka A
bersuku Jawa.
10. Jikapsalah, qbenar, dan rsalah, pernyataan
berikut yang benar adalah .
a. p
qb. (qfip) r
c. ~p (qr)
d. qfip
e. (p q) r
11. Diketahui pernyataan berikut.
Jikaxbilangan genap makaxbilangan bulat.
Jika x bilangan bulat maka x bilangan
rasional.
Kesimpulan dari pernyataan di atas agarterbentuk argumen yang sah adalah .
a. Jikaxbilangan genap makaxbilangan
rasional.
b. Jika x bukan bilangan genap maka x
bukan bilangan rasional.
c. Jikaxbilangan rasional makaxbilang-
an genap.
d. Jika x bilangan genap maka x bukan
bilangan bulat.
e. Jikaxbilangan bulat makaxbilangan
genap.
12. Pernyataan "Semua pelajar berseragam"ekuivalen dengan .
a. A pelajar jika dan hanya jika A ber-
seragam.
b. Apelajar dan berseragam.
c. JikaAberseragam maka A pelajar.
d. JikaAbukan pelajar makaAtidak ber-
seragam.
e. JikaApelajar makaAberseragam.
13. Argumen-argumen berikut sah, kecuali.
a. pfi qp
\q
b. pfi q~p
\~q
c. ~pfi ~q~p
\~q
d. ~pfi ~qp
\q
e. qfi ~pp
\~q
14. Argumen-argumen berikut adalah tidak sah,
kecuali. a. pfi q
q fi r\r
b. pfi q~p
\~q
c. ~pfi ~q~p
\~q
-
7/23/2019 1224380491 Buku
50/226
43Logika Matematika
d. ~pfi ~q~p fi r\ fi ~r
e. qfi ~p
~p\ q
15. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut.
Jika harga minyak dunia naik maka harga
bahan pokok naik.
Harga minyak dunia naik.
Kesimpulan dari pernyataan di atas agar
terbentuk argumen yang sah adalah .
a. Harga bahan pokok turun
b. Harga bahan pokok tidak naik
c. Harga bahan pokok naik d. Harga bahan pokok stabil
e. Harga bahan pokok naik turun
II. Kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut.
a. log = log a log b, a, b> 0, b 0
b. Bilangan rasional adalah bilangan yang
dapat dinyatakan dengan pembagian
dua bilangan bulat.
c. 8 adalah bilangan komposit dan bilangan
bulat
d. Akar darix2 2x+ 1 adalahx= 1 atau
x= 1
e. Jika 2 < 3 maka 2 > 3
f. adalah bilangan irasional jika dan
hanya jika = 3
2. Tentukan ingkaran dari pernyataan-pernyataan
berikut.
a. Semua burung dapat terbang.
b. Ada raja yang tidak berkuasa.
c. adalah matriks persegi dan
matriks identitas.
d. 23 24 = 27 atau
23 24= (2 + 2 + 2)(2 + 2 + 2 + 2)
e. Jika a> b, maka a< b
3. Diketahui pernyataan "Jikaxikan makax hidup di air"
"Kucing tidak hidup di air"
Tentukan kesimpulannya sehingga terbentuk
argumen yang sah.
4. Diketahui pernyataan
"Semua makhluk hidup dapat bernafas"
"Tumbuhan makhluk hidup"
Tentukan kesimpulannya sehingga terbentuk
argumen yang sah.
5. Diketahui pernyataan
"Jika 6 bilangan komposit maka 6 bilangan
bulat"
"Jika 6 bilangan bulat maka 6 bilangan ra-
sional"
Tentukan kesimpulannya sehingga terbentuk
argumen yang sah.
6. Diketahui suatu pernyataan "Jika devisa
negara bertambah maka pembangunan ber-
jalan lancar" Tentukan Invers, konvers, dan
kotraposisi dari pernyataan tersebut.
7. Diketahui premis-premis berikut.
P1 : Jikax22 2
Tariklah kesimpulan dari premis-premis
tersebut sehingga menjadi argumen yang
sah.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
51/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
44
8. Tunjukkan dengan tabel kebenaran singkat
bahwa pernyataan
[(p q)fi r][pfi(qfir)]
adalah tautologi.
9. Gambarkan diagram listrik dari pernyataanberikut.
[{(p q) r} {s(t ~q)}] [(~p ~q)]
10. JikaA= {2, 3, 5}, tentukan nilai kebenaran
dari:
a. ("xA), [(x+ 3)2=x2+ 9] b. ($xA), (x2x= 20)
Pilihan Karir
Dalam praktiknya, Pengacara atau Advokat dikenal juga dengan istilah Konsultan Hukum, yaitu
seseorang yang melakukan atau memberikan nasihat dan pembelaan mewakili orang lain. profesi inibiasanya berhubungan dengan penyelesaian suatu kasus hukum.
Istilah pengacara berkonotasi dengan jasa profesi hukum yang berperan dalam suatu sengketa
yang dapat diselesaikan di luar atau di dalam sidang pengadilan. Dalam profesi hukum, dikenal istilah
berita acara yang terkait dengan pengaturan hukum acara dalam Kitab Undang-Undang Hukum Acara
Pidana dan Kitab Undang-Undang Hukum Acara Perdata. Istilah pengacara dibedakan dengan istilah
Konsultan Hukum di mana kegiatannya lebih ke penyediaan jasa konsultasi hukum secara umum. Di
Indonesia, untuk dapat menjadi seorang pengacara, seorang sarjana yang berlatar belakang pendidikan
tinggi hukum harus mengikuti pendidikan khusus dan lulus ujian profesi yang dilaksanakan oleh suatu
organisasi pengacara.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
52/226
45Relasi dan Fungsi
Relasi dan Fungsi
Bab 2
A. Pengertian Relasi
dan Fungsi
B. Fungsi Linear
C. Fungsi Kuadrat
Pada bab ini, Anda akan diajak untuk memecahkan masalah yang ber-
hubungan dengan konsep Relasi dan Fungsi, di antaranya mendeskripsikan
perbedaan konsep antara relasi dan fungsi, menerapkan konsep fungsi linear,
menggambarkan fungsi kuadrat, dan menerapkan konsep fungsi kuadrat
Sumbe
r:www
.kupu
123.c
om
Di negara-negara berkembang, angka kriminalitas, angka
kematian bayi, dan jumlah pengangguran cenderung tinggi.
Adakah relasi antara tingkat perekonomian suatu negara
dengan angka kriminalitas, angka kematian bayi, dan jumlah
pengangguran. Apakah yang dimaksud dengan relasi?
Di Kelas VIII, Anda telah mempelajari konsep relasi dan
fungsi. Pada bab ini, konsep tersebut akan dipelajari kembali dan
dikembangkan sehingga dapat diaplikasikan dalam kehidupan
sehari-hari.
Contoh penggunaan relasi pada kehidupan sehari-hari
adalah sebagai berikut.
Sebuah Perusahaan taksi menetapkan aturan Rp4.500,00
untuk "tarif buka pintu". Selanjutnya, penumpang dibebankan
argo Rp3.500,00 setiap 1 km. Jika penumpang menempuh jarak
8 km, berapakah tarif taksi yang harus dibayar? Dengan konsep
relasi dan fungsi, Anda dapat memecahkan masalah tersebut
dengan lebih mudah.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
53/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
46
Soal Pramateri
Linear
Bentuk Umum: f(x) = ax+ b
Garis Lurus
Titik potong (x, 0)
dengan sumbu-x
Titik potong
dengan sumbu-y
(y, 0)
Sumbu simetri
xs=
--bb
Titik balik maksimum
atau minimum
x=--bb
y=--DD
aa
Kuadrat
Bentuk Umum: f(x) = ax2+ bx + c
Parabola
Relasi dan Fungsi
terdiri atas
grak berupa
grak berupa
Materi tentang Relasi dan Fungsi dapat digambarkan sebagai berikut.
Peta Konsep
Kerjakan soal-soal berikut, sebelum Anda mempelajari bab ini.
1. Tentukan nilaiyyang memenuhi persamaan
berikut.
a. y= 2x 1, untukx= 2
b. y= 2x2 3x 5, untukx= 3
c. y= x2 5x+ 2, untukx= 1
d. y= 3x2 4x+ 5, untukx= 3
2. Tentukan nilai x yang memenuhi persa-
maan berikut.
a. 3x+ 5 = x+ 7
b. 2x+ 5 = 9
c. y=x2+ 6x+ 8, untukx= 1
d. y= x2+ 2x+ 15
-
7/23/2019 1224380491 Buku
54/226
47Relasi dan Fungsi
Pada pembahasan kali ini, Anda akan mempelajari
perbedaan konsep relasi dan fungsi. Pelajarilah uraian berikut
dengan baik.
1. Relasi
Dalam kehidupan sehari-hari, Anda tentunya sering
mendengar kata "relasi". Relasi memiliki arti hubungan. Dalam
matematika, relasi diartikan sebagai hubungan antara dua
himpunan. Perhatikan himpunanAdanBberikut ini.
A= {Rupiah, Rupee, Baht, Ringgit}B= {Indonesia, India, Thailand, Malaysia}
Dapatkah Anda melihat relasi atau hubungan antara
himpunanAdanB? Anggota himpunanAterdiri atas nama-nama
mata uang dan anggota himpunan B terdiri atas nama-nama
negara. Jika Anda cermati maka Anda akan menemukan relasi
antara anggota himpunanAdanBadalah sebagai berikut:
Rupiah merupakan mata uang negara Indonesia
Rupee merupakan mata uang negara India
Baht merupakan mata uang negara Thailand
Ringgit merupakan mata uang negara Malaysia Jadi, relasi antara himpunanAdanB adalah "mata uang
negara". Contoh lain relasi antara dua himpunan dapat Anda
lihat dari dua pasang himpunan berikut ini.
C= {Jakarta, London, Cairo, Beijing}
D= {Indonesia, Inggris, Mesir, China}
E= {Indonesia, Brazil, Nigeria, Swiss}
F= {Asia, Amerika, Afrika, Eropa}
Anda telah mengetahui bahwa pada himpunan A dan
himpunan B tersebut dapat ditemukan relasi atau hubungan.
Dapatkah Anda menemukan relasi antara himpunan C dengan
D? Juga relasi antara himpunan E dengan F? Diskusikan
bersama teman Anda.
Untuk menyatakan relasi antara 2 himpunan, dapat
digunakan 3 cara, yaitu diagram panah, diagram Cartesius, dan
himpunan pasangan berurutan. HimpunanAdanBtersebut dapat
dinyatakan dengan ketiga cara tersebut. Untuk lebih jelasnya,
pelajari uraian berikut.
A Pengertian Relasi dan Fungsi
Kata Kunci
relasi
diagram panah
diagram cartesius
himpunan pasangan
berurutan
Relasi ''mata uang negara"
Gambar 2.1
Sumber : www.wisatathailand.
com, rebekahcoolbeans.
fles.wordpress.com, www.
heinzalbers.org.www.mir.com.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
55/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
48
a. Diagram Panah
Perhatikan diagram panah berikut. Rupiah Indonesiaberarti rupiah merupakan mata uang Indonesia. Demikian pula
untuk Rupee India, Baht Thailand, Ringgit Malaysia.
Pada diagram panah, relasi antara dua anggota himpunan daridua himpunan yang berbeda dinyatakan dengan anak panah.
Perhatikan gambar berikut.
Rupiah
Rupee
Baht
Ringgit
Indonesia
India
Thailand
Malaysia
Mata Uang NegaraA B
b. Diagram Cartesius
Perhatikan diagram Cartesius berikut.
Rupiah Rupee Ringgit
Indonesia
Thailand
Malaysia
India
Baht
Anggota himpunan Aberada pada sumbu mendatar dan
anggota himpunanBberada pada sumbu tegak. Setiap anggota
Ayang berelasi dengan anggotaBdinyatakan dengan tanda
noktah ( ).
c. Pasangan Berurutan
Relasi antara himpunanAdanBdapat dinyatakan sebagai
pasangan berurutan seperti berikut ini.
Rupiah, Indonesia Baht, Thailand
Rupee, India Ringgit, Malaysia
Artinya, rupiah merupakan mata uang negara Indonesia
dapat dinyatakan dengan (Rupiah, Indonesia), begitu pula
dengan (Rupee, India), (Baht, Thailand), (Ringgit, Malaysia).
Oleh karena itu, relasi antara himpunan A dan B dapat
Jelajah
Matematika
Rene Descartes
(1888199)
Seorang ahli matematika
berkebangsaan Perancis.
Ia menciptakan cara
menentukan letak suatu
titik terhadap perpotongan
dua sumbu, yaitu sumbu-x
dan sumbu-y yang dikenal
dengan sistem koordinat
Cartesius.
Sumber: Ensiklopedi
Matematika & Peradaban
Manusia, 2002
Sumber: www-history.mcs.
st-and.ac.uk
-
7/23/2019 1224380491 Buku
56/226
49Relasi dan Fungsi
dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan berikut
{(Rupiah, Indonesia), (Rupee, India), (Baht, Thailand), (Ringgit,
Malaysia)}
Untuk lebih memahami pengertian relasi, coba Anda
perhatikan contoh-contoh relasi berikut.
a
c
b
d
e
akar kuadrat dari
1
2
3
4
1
4
9
16
A B
A Bsetengah dari
1
3
5
2
6
10
A Bfaktor prima dari
2
3
5
7
4
9
35
A Blebih 1 dari
8
10
12
7
9
11
kurang dariA B
1
6
8
10
5
7
9
12
Uraian tersebut memperjelas pengertian relasi, yaitu sebagai
berikut.
Relasi antara dua himpunan adalah aturan yang memasangkan
anggota-anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan
yang lain.
Buatlah dua himpunan. Himpunan pertama adalah beberapaperistiwa, misalnya inasi, kenaikan BBM, bencana alam, dan lain
sebagainya. Himpunan yang kedua adalah akibat dari peristiwa
yang pertama seperti naiknya harga sembako dan hancurnya
rumah-rumah. Tugas ini dilakukan bersama teman sebangku Anda,
dan masing-masing membuat sebuah himpunan. Misalkan Anda
membuat himpunan peristiwa, sedangkan teman sebangku Anda
membuat akibatnya. Buatlah masing-masing minimal 10 anggota
himpunan. Setelah selesai, coba dipasangkan, adakah relasi yang
terbentuk? Ketika membuat tugas ini bersama teman sebangku
Anda, usahakan tidak saling melihat.
Tugas Siswa 2.1
-
7/23/2019 1224380491 Buku
57/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
50
2. Fungsi
Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah memahami
pengertian dari relasi. Pada pembahasan kali ini, Anda akan
mempelajari pengertian fungsi atau pemetaan. Fungsi atau
pemetaan merupakan relasi yang bersifat khusus. Dapat diartikan
juga bahwa setiap fungsi pasti merupakan relasi, tetapi tidak
semua relasi merupakan fungsi. Coba Anda perhatikan contoh
relasi (a), (b), (c), dan (d) pada pembahasan sebelumnya.
a
c
b
d
A Bsetengah dari
1
3
5
6
2
6
10
A Bfaktor prima dari
2
3
5
7
4
9
35
A Blebih 1 dari
8
10
12
7
9
11
13
kurang dariA B
1
6
8
10
5
7
9
12
Pada relasi (a), ada anggota himpunan A, yaitu 1, 6, dan
8, yang memiliki pasangan lebih dari satu di himpunan B.Relasi seperti ini bukan merupakan fungsi.
Pada relasi (b), ada anggota himpunanA, yaitu 6, yang tidak
memiliki pasangan di himpunanB. Relasi seperti ini bukan
merupakan fungsi.
Pada relasi (c) setiap anggota himpunanAmemiliki satu
pasangan di himpunan B dan ada anggota himpunan B,
yaitu 13, yang tidak memiliki pasangan di himpunan A,
relasi seperti ini disebutfungsi.
Pada relasi (d), setiap anggota himpunanAmemiliki satu
pasangan di himpunan Bdan ada anggota himpunan B,yaitu 35, yang memiliki pasangan lebih dari 1 di himpunan
A. Berarti relasi (d) merupakanfungsi.
Perhatikan kembali relasi (c):
A= {8, 10, 12} disebut daerah asalatau domain
B= {7, 9, 11, 13} disebut daerah kawanatau kodomain
{7, 9, 11} disebut daerah hasil atau range
7 merupakan bayangan dari 8 atau peta dari 8.
9 merupakan bayangan dari 8 atau peta dari 10.
11 merupakan bayangan dari 8 atau peta dari 12.
Notes
Setiap fungsi adalah
relasi, tetapi setiap relasi
belum tentu merupakan
fungsi.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
58/226
51Relasi dan Fungsi
Suatu fungsi dapat dinotasikan dengan huruf kecil seperti
f, g, atau h.
f : 8 7 dibaca "fungsifmemetakan 8 ke-7" g: 10 9 dibaca "fungsi gmemetakan 10 ke-9" h: 12 11 dibaca "fungsihmemetakan 12 ke-11"Pada relasi (d)
A= {2, 3, 5, 7} disebut daerah asal atau domain
B= {4, 9, 35} disebut daerah kawan atau kodomain
{4, 9, 35} disebut daerah hasil atau range
4 merupakan bayangan dari 2 atau peta dari 2
9 merupakan bayangan dari 3 atau peta dari 3
35 merupakan bayangan dari 5 atau peta dari 5, dan 7.
Uraian tersebut menggambarkan bahwa fungsi merupakan
relasi yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
1. Setiap anggota domain hanya memiliki 1 pasangan anggotadi daerah kodomain, tetapi anggota kodomain boleh
memiliki pasangan lebih dari 1 anggota domain.
2. Setiap anggota domain harus memiliki 1 pasangan anggota
di daerah kodomain. Jadi, tidak ada anggota domain yang
tidak memiliki pasangan, tetapi anggota kodomain boleh
tidak memiliki pasangan anggota di daerah domain.
Untuk lebih memahami konsep dari fungsi, perhatikanlah
contoh soal berikut.
Kata Kunci
fungsi
domain
kodomain range
peta
Ilustrasi Pemetaan
Gambar 2.2
Contoh Soal 2.1
entu an, apa a re as er ut merupa an ungs
a. P Q
AA
BB
CC
1010
11 11
12 12
c. R
AA
BB
CC
1010
11 11
12 12
. T U
AA
BB
CC
1010
11 11
12 12
. V W
AA
BB
CC
1010
11 11
12 12
awa :
a. ungs , arena set ap anggota mpunan oma n anya
mem pasangan anggota mpunan o oma n .
A
domain kodomain
range
B
F
-
7/23/2019 1224380491 Buku
59/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
52
. entu an re as antara mpunan aner ut.
a A B
22
33
55
44
9 9
2525
. A B
11
22
44
33
6 6
1212
c. A B
Indonesia RayaIndonesia Raya
KimigayoKimigayo
God Save TheGod Save The
QueenQueen
Indonesia Indonesia
JepangJepang
InggrisInggris
A B
BandungBandung
MedanMedan
PontianakPontianak
KalimantanKalimantanBaratBarat
Sumatra UtaraSumatra Utara
Jawa BaratJawa Barat
Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda.
Evaluasi Materi 2.1
Diskusikan bersama teman sebangku Anda. Tentukan, apakah relasi
berikut merupakan fungsi atau bukan dan jelaskan.
1. Nama-nama ibu kota negara-negara di dunia dengan negaranya.
2. Bendera negara-negara di dunia dengan negaranya.
3. Komoditas ekspor unggulan suatu negara dengan negaranya.4. Bentuk negara (republik, kerajaan) dengan negaranya.
Tugas Siswa 2.2
b. Bukan fungsi, karena ada anggota himpunan T, yaituB, memiliki
pasangan lebih dari satu anggota di himpunan Q.
c. Fungsi, karena setiap anggota himpunan R (domain) hanya
memiliki 1 pasangan anggota di himpunan Q (kodomain).
d. Bukan fungsi, karena ada anggota himpunan V, yaituA, memiliki
pasangan lebih dari satu anggota di himpunan W.
-
7/23/2019 1224380491 Buku
60/226
53Relasi dan Fungsi
2. Tentukan nilaixpada relasi berikut.
a. A B
0
4
8
2
2
x
b. A B
1
8
x
1
2
9
c.A B
6
x
10
12
18
20
d. A B
Tinggi
x
Kaya
Pendek
Untung
Miskin
3. Tentukan apakah relasi berikut merupakan
fungsi atau bukan, jelaskan.
a.
A B
2
1
0
1
2
1
0
3
b.A B
3
2
1
1
2
3
0
5
8
c. A B
0
1
2
3
5
2
1
d.
3
2
1
0
1
4
3
0
5
A B
4. Perhatikan relasi berikut.A B
Arab Saudi
Belanda
Thailand
Kuwait
Minyak
Bunga Tulip
Beras
a. Tentukan relasi yang tepat dari hubungan
dua himpunan tersebut.
b. Apakah relasi tersebut merupakan fungsi
atau bukan? Jelaskan.
c. Tentukan bayangan dari "Thailand".
-
7/23/2019 1224380491 Buku
61/226
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK
Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
54
Fungsi linear merupakan fungsi tak tentu yang paling
sederhana. Untuk memahami konsep fungsi linear, perhatikanlah
ilustrasi permasalahan berikut.
Pak Tono seorang pedagang jeruk. Ketika seseorang
membeli 2 kg jeruk, dan membayar Rp8.000,00, kemudian
pembeli lain membeli 3 kg jeruk, pembeli tersebut membayar
Rp12.000,00. Selanjutnya, ada pembeli yang membeli 4 kg
jeruk dan pak Tono mendapat Rp16.000,00. Berdasarkan uraian
tersebut, dapat dibuat 2 buah himpunan, yaitu banyak jeruk
terjual (kg) = {2, 3, 4} dan harga jeruk terjual (Rp) = {8.000,
12.000, 16.000}. Jika himpunan banyak jeru
top related