1

APLIKASI

INTEGRAL TENTU

2

Aplikasi Integral Tentu

థ Luas diantara 2 kurva

థ Volume benda dalam bidang

(dengan metode cakram dan cincin)

థ Volume benda putar

(dengan metode kulit tabung)

థ Luas permukaan benda putar

థ Momen dan pusat massa

3

1. LUAS DIANTARA 2 (DUA) KURVA

4

Cara menghitung :

1. Bagi luasan S menjadi n irisan dg lebar yang

sama besar kemudian tentukan irisan ke-i

dengan membuat persegi panjang beralas x

dan tinggi f(xi*)- g(xi*)

5

2. Jumlahkan semua persegi panjang yang

telah dibuat

3. Tentukan batas kurvanya lalu jumlahkan

6

Luas A yang dibatasi kurva

y=f(x), y=g(x) dan garis x=a,

x=b dengan f dan g kontinu

dan f(x) ≥ g(x) untuk semua

x pada selang [a,b] adalah

b

a

dx g(x)][f(x)A

Luas A dari S sebagai nilai

limit dari jumlah persegi

panjang

xxgxfAn

iii

n

Δ )()(1

**lim

7

Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh

parabola y = x2 dan y = 2x-x2

8

Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh

parabola y = x2 dan y = 2x-x2

* Cari titik potong batas atas dan bawah

y1 = y2

x2 = 2x-x2

2x2-2x

x (x-1) = 0

Jadi x = 0 atau x = 1

Titik potongnya = (0,0) dan (1,1)

y1= x2 dan y2 = 2x-x2

Luas persegi panjang khas :

(y2-y1)x = (2x-x2-x2)x

Daerah terletak diantara

x=0 dan x=1

9

Luas total

3

1

3

1

2

12

x3

1x

2

12

)dxx(x2)dx2x(2xA

1

0

32

1

0

1

0

22

10

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG

Volume benda padat yang luas penampangnya

A(x) dan berada antara x=a dan x=b adalah

bn*i

n i 1 a

V A(x )Δx A(x)dxlim

Langkah-langkah mencari :

1.Gambarkan daerah yang volumenya akan dicari

2.Carilah luas A(x)

3.Carilah batas-batas integrasi

4.Integralkan

11

METODE CAKRAM

1. Tentukan volume benda putar yang dibentuk

oleh daerah R yang dibatasi kurva y=x, sumbu

x dan garis x=4, bila R diputar mengelilingi

sumbu x.

Volume = A x h

= (x)2 . x

12

Bila volume tabung2 dijumlahkan lalu diintegralkan

13.2582

16

2

1

dxx

4

0

2

4

0

ππxπ

πV

13

METODE CINCIN

Bila sebuah benda putar kita potong-potong tegak

lurus pada sumbu putarnya kita akan

memperoleh sebuah cakram yang lubang bagian

tengahnya (disebut cincin)

V= (r22-r1

2)h

r1 = jari-jari dalam

r2 = jari-jari luar

h = tebal cincin

14

Contoh : Tentukan volume benda putar apabila

daerah yang dibatasi oleh parabola y=x2

dan y2=8x diputar mengelilingi sumbu x.

Titik potong (0,0) dan (2,4)

V [ (8x)2- (x2)2 ] x

15

30,165

482

05

5x

2

28x

dx )2

0

4x-(8x Volume

ππ

π

Titik potong (0,0) dan (2,4)

16

3. VOLUME BENDA PUTAR : KULIT TABUNG

Sebuah kulit tabung adalah benda yang dibatasi

oleh dua tabung lingkaran tegak yang sumbu

simetrinya berimpit.

V=(luas alas) . (tinggi)

= (r22- r1

2) h

= (r2 + r1) (r2 - r1) h

1212 rr h

2

rr2

π

17

sehingga

V= 2 * (rerata jejari) * tinggi * tebal

V= 2 r h r

18

Jika dibuat potongan jalur yang vertikal dan diputar

mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk benda

seperti kulit tabung.

19

Untuk memperoleh volume,

hitung V dari kulit tabung,

jumlahkan lalu tarik limit

jumlahnya shg menghasilkan

sebuah integral

b

a

dx f(x)x 2V

x f(x) x 2V

π

ΔπΔ

20

Contoh : Daerah yang dibatasi kurva y=1/x,

sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar

mengelilingi sumbu y.

Tentukan volume benda yang terbentuk

dengan metode kulit tabung

21

Contoh : Daerah yang dibatasi kurva y=1/x,

sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar

mengelilingi sumbu y.

Tentukan volume benda yang terbentuk

dengan metode kulit tabung

32,293

281.8.

3

22

x3

22

dx x2 dxx 2V

32

4

1

23

4

1

214

1 x

1

Jawab

b

a

dx f(x)x 2V

x f(x) x 2V

π

ΔπΔ

22

4. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR

Diketahui x=f(t) dan y=g(t), atb, adl pers kurva licin

pada bidang xy yang terbagi menjadi n bagian.

Bila kurva itu diputar mengelilingi sumbu x, ia akan

membentuk suatu permukaan dan bagian Si akan

membentuk permukaan bagian.

Luas bagian ini dpt didekati oleh luas kerucut

terpancung yakni 2yiSi

23

Kurva y=f(x) pada batas axb, diputar

mengelilingi sumbu x, maka luasnya adalah

dx (x)f 1 f(x)2yds2b

a

2 '**

* ππA

24

5. MOMEN DAN PUSAT MASSA

Hasilkali massa m dan jarak berarah dari suatu

titik disebut momen benda thd titik tersebut

Jumlah momen M suatu sistem yg terdiri dari n massa

sebesar m1, m2,…mn yg berada pd x1,x2,…xn, yaitu :

i

n

1iimx

M= x1m1 + x2m2+…+ xnmn =

x

m

M = x . m

25

Syarat keseimbangan M = 0

m1m2 m3

mn-1 mn

x1 x2 0 x3xn-1 xn

Dimanakah koordinat x titik seimbang itu?

(Misalnya titik seimbang = x), maka momen sistem

HARUS NOL

(x1-x)m1 + (x2-x)m2+…+ (xn –x)mn = 0

atau

x1m1 + x2m2+…+ xnmn = xm1+xm2 +…+xmn

26

sehingga

n

1ii

n

1iii

m

mx

m

Mx

x dinamakan pusat massa dan titik ini seimbang

27

Titik berat kawat yang berada pada suatu sistem

koordinat dimana kepadatannya sebesar (x) adalah

Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis

0 a b

x

x

b

a

dx δ(x)m

x δ(x)m ΔΔ

sehingga

b

a

b

a

dx (x)

dx (x)x

m

M x

δ

δ

28

Distribusi massa pada bidang

(x1,y1)

(xn,yn)

m1

mn

m2

m3

(x2,y2)

(x3,y3)

Jumlah momen

i

n

1iiy

i

n

1iix

mxM

myM

y,xKoordinat titik berat sistem tersebut :

n

1ii

n

1iii

y

m

mx

m

Mx

n

1ii

n

1iii

x

m

my

m

My

29

Contoh : Kepadatan (x) sepotong kawat disebuah

titik yg terletak x cm dari salah satu

ujungnya (x)= 3x2 gr/cm. Tentukan pusat

massa kawat antara x=0 dan x=10

Jawab :

10

0

10

0

dx x)(

dxx .x

x

δ

δ

cm 7,5

000.1

500.7

x

4

3x

dx3x

dx3x x.

10

0 3

10

0

4

10

0

2

10

0

2