persamaan integral fredholm jenis pertama

7/21/2019 Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama

1/197

Persamaan Integral Fredholm Jenis Pertama

October 28, 2013
http://find/


2/197

http://find/


3/197


Persamaan integral Fredholm jenis pertama secara umumberbentuk :

K(s, t)f(t)dt= g(s) (1)
http://find/


4/197



K(s, t)f(t)dt= g(s) (1)Keterangan :
http://find/


5/197




K(s, t): kernel, fungsi yang sudah diberikan
http://find/


6/197





g(s) : right hand side, fungsi yang sudah diketahui
http://find/


7/197






f(t) : fungsi yang akan dicari
http://find/


8/197






f(t) : fungsi yang akan dicariPersamaan integral Fredholm jenis pertama adalah salah satumasalah nilai invers.
http://find/


9/197

Masalah Nilai Invers
http://find/


10/197


Masalah nilai maju : Diberikan inputan f dan operator A,akanditentukan nilai g sehingga Af= g
http://find/


11/197


Masalah nilai maju : Diberikan inputan f dan operator A,akanditentukan nilai g sehingga Af= g

Masalah nilai invers : Diberikan operator A dan output g,akan ditentukan f sehingga Af= g
http://find/


12/197

Masalah Nilai Baart
http://find/


13/197

Masalah Nilai Baart

Baart dalam jurnal nya merumuskan Baart test problem :Persamaan integral Fredholm jenis pertama

exp(scos(t))f(t)dt=

2sinh s

s(2)
http://find/


14/197

Masalah Nilai Baart


exp(scos(t))f(t)dt=

2sinh s

s(2)

dengan 0 s /2 dan 0 t
http://find/


15/197

Masalah Nilai Baart


exp(scos(t))f(t)dt=

2sinh s

s(2)

dengan 0 s /2 dan 0 t Solusi yang dihasilkan adalah f(t) = sin t
http://find/


16/197

Masalah nilai Baart adalah masalah nilai Ill posed
http://find/


17/197


Hadamard mendefinisikan pada sekitar abad 20 well posedproblem bersifat :1. Ada solusi dari masalah yang diberikan (existence)2. Solusi masalah tersebut harus tunggal (uniqueness)3. Solusi tersebut stabil terhadap nilai awal (stability)
http://find/


18/197



Persamaan yang tidak memenuhi salah satu atau lebih darisyarat diatas disebut masalah ill posed.
http://find/


19/197




Perhatikan bahwa kernel dari Baart test problem sangat

smooth, dan memiliki determinan 0. Sehingga tidak memilikijawab tunggal.
http://find/http://goback/


20/197




Perhatikan bahwa kernel dari Baart test problem sangat

smooth, dan memiliki determinan 0. Sehingga tidak memilikijawab tunggal.

Masalah nilai Baart adalah salah satu masalah nilai ill posed.
http://find/


21/197


22/197

Masalah nilai Baart adalah masalah nilai ill posed
http://find/


23/197

Masalah nilai Baart adalah masalah nilai ill posed

Kita dapat memperoleh solusinya dengan mengubahpersamaan menjadi bentuk matriks dengan menggunakanproses diskritisasi
http://find/


24/197

Diskritisasi Metode Galerkin

Di k i i i M d G l ki
http://find/


25/197


Untuk mengubah persamaan Fredholm integral of the firstkind menjadi matriks Ax = b dengan menggunakandiskritisasi metode Galerkin dengan proses berikut :

Di k i i i M d G l ki
http://find/


26/197


Untuk mengubah persamaan Fredholm integral of the firstkind menjadi matriks Ax = b dengan menggunakandiskritisasi metode Galerkin dengan proses berikut :Misalkan A : X Y dengan X dan Y dilengkapi denganruang hasil kali dalam. Tulis

Kf= g (3)

Di k iti i M t d G l ki
http://find/


27/197



Kf= g (3)

Karena menggunakan fungsi kotak ortonormal, misalkan kotak ortonormal di x dan kotak ortonormal di y. Tulis

f(t) = ii(t) (4)

http://find/


28/197



Kf= g (3)


f(t) = ii(t) (4)Tulis

< K

i(i)(t) g, j >= 0 (5)

http://find/


29/197



Kf= g (3)



< K

i(i)(t) g, j >= 0 (5)

http://find/


30/197



Kf= g (3)



< K

i(i)(t) g, j >= 0 (5)

K(s,

) ii(t)

g(s)j(s)ds = 0 (6)
http://goforward/http://find/http://goback/


31/197


32/197

Selanjutnya,

K(s,)

ii(t)j(s)ds =

g(s)j(s)ds (7)
http://find/


33/197

Selanjutnya,

K(s,)

ii(t)j(s)ds =

g(s)j(s)ds (7)

j(s)[K(s,)ii(t)]ds= g(s)j(s)ds (8)


34/197

Selanjutnya,

K(s,)

ii(t)j(s)ds =

g(s)j(s)ds (7)


j(s)[

K(s, t)(ii(t))dt]ds=

g(s)jds (9)


35/197

Selanjutnya,

K(s,)

ii(t)j(s)ds =

g(s)j(s)ds (7)


j(s)[

K(s, t)(ii(t))dt]ds=

g(s)jds (9)

i

j(s)

K(s, t)i(t)dtds =

g(s)jds (10)
http://find/


36/197
http://find/


37/197

Karena menggunakan fungsi kotak ortonormal, maka nilai(

j)2 = (

i)

2 = 1. Misalkan h1 panjang partisi di s danh2 panjang partisi di t. Perhatikan bahwa

si

si12j = 1 (j)2(si si1) = 1 (11)

2j (h) = 1 2j =1

h1(12)

j =

1h1

(13)
http://find/


38/197
http://find/


39/197

Perhatikan pula bahwatiti1

2i = 1 (i)2(ti ti1) = 1 (14)

2i (h2) = 1

2i =

1

h2 (15)

i =

1

h2(16)


40/197

Perhatikan pula bahwatiti1

2i = 1 (i)2(ti ti1) = 1 (14)

2i (h2) = 1

2i =

1

h2 (15)

i =

1

h2(16)

Sehingga persamaan menjadi berbentuk:

i

K(s, t)

1h1

1h2

dtds=

g(s)

1h1

ds (17)

Teori Regularisasi SVD


41/197

g



42/197

g

Kita telah mengetahui persamaan diskrit nya, yaitu Ax = b

http://find/


43/197

g


Jika A memiliki invers, maka selesai, dan jawabnya tunggal.Tapi hampir dalam semua masalah Fredholm integral, A tidak

memiliki invers

http://find/


44/197



memiliki invers

http://find/


45/197



memiliki inversUntuk kasus dimana Ax = b tidak mempunyai jawab, makakewujudan jawab diambil sebagai minxAx b. Dan disebutsebagai jawab kuadrat terkecil



46/197




Misalkan A : X

Y dengan X dan Y dilengkapi ruang hasilkali dalam



47/197




Misalkan A : X

Y dengan X dan Y dilengkapi ruang hasilkali dalam

Definisikan pula At : Y X. Perhatikan bahwa AtA simetri.
http://find/


48/197
http://find/


49/197

Misalkan Ax = b tidak mempunyai jawab, artinya b di luarsub ruang dari {Ax : xX}. Maka kewujudan jawab diambilsebagai minxAx b. Dan misalkan jawab itu adalah x0.Artinya Ax0 = b<
http://find/


50/197


Jawab terkecil itu adalah x0 maka Ax0

b harus tegak lurus A

artinya Ax0 b,Ax = 0,xX (18)Tulis

At(Ax0 b), x = 0xX (19)
http://find/


51/197


Jawab terkecil itu adalah x0 maka Ax0

b harus tegak lurus A

artinya Ax0 b,Ax = 0,xX (18)Tulis

At(Ax0 b), x = 0xX (19)Sehingga diperoleh

At(Ax0 b) = 0 AtAx = Atb (20)

Persamaan AtAx = Atb disebut persamaan normal.
http://find/


52/197
http://find/


53/197

Perhatikan bahwa AtA merupakan operator simetri, maka

AtA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}.
http://find/


54/197


AtA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}.Perhatikan bahwa i 0, sebab AtAxi = ixi maka

Axi

2 =

Axi,Axi

(21)

Axi2 = AtAxi, xi (22)Axi2 = ixi, xi = i (23)
http://find/


55/197



Axi

2 =

Axi,Axi

(21)


Selanjutnya, tulis bii = Axi dan

bii

|2 = i maka

bi =1i

bii bii = bi

i (24)

mempunyai panjang 1, jika i = 0
http://find/


56/197



Axi

2 =

Axi,Axi

(21)


Selanjutnya, tulis bii = Axi dan

bii

|2 = i maka

bi =1i

bii bii = bi

i (24)

mempunyai panjang 1, jika i = 0

Jika i = 0, maka Axi = 0
http://find/


57/197
http://find/


58/197

Selanjutnya kita dapat memperluas b sehingga b1, b2, ..., bn

merupakan basis orthonormal di Y.
http://find/


59/197


merupakan basis orthonormal di Y.Untuk x =

x, xixi. Perhatikan bahwabii = Axi = bi

imaka

Ax=

n

i=1

x,xiAx

i =

n

i=1

x,xiibi (25)
http://find/


60/197




imaka

Ax=

n

i=1

x,xiAx

i =

n

i=1

x,xiibi (25)

Selanjutnya, untuk b=b, bibi,maka

Atb=m

i=1

b, biAtbi =

n

i=1

b, biixi (26)
http://find/


61/197




imaka

Ax=

n

i=1

x,xiAx

i =

n

i=1

x,xiibi (25)

Selanjutnya, untuk b=b, bibi,maka

Atb=m

i=1

b, biAtbi =

n

i=1

b, biixi (26)

Karena bi =1iAxi maka

Atbi =1iAtAxi =

1i

ixi =

ixi untuk i = 1, 2, ..., n dan

Atbi = 0 untuk

i=

n+ 1, ...,

m
http://find/


62/197
http://find/


63/197

Perhatikan bahwa AtA merupakan operator simetri, makaAtA mempunyai nilai eigen real 1, 2, 3,... dan dapat

didiagonalkan.
http://find/


64/197


didiagonalkan.x =

x, xixi dan Ax = ix, xixi
http://find/


65/197


didiagonalkan.x =

x, xixi dan Ax = ix, xixiMisalkan pula bahwa b=

b, bibi
http://find/


66/197


didiagonalkan.x =

x, xixi dan Ax = ix, xixiMisalkan pula bahwa b=

b, bibiAkan dicari x =

ixi sehingga memenuhi A

tAx = Atb
http://find/


67/197
http://find/


68/197

Tulis

iixi =b, biixi
http://find/


69/197

Tulis

iixi =b, biixi

Sehingga diperoleh

i =b, bii

(27)
http://find/


70/197

Tulis

iixi =b, biixi

Sehingga diperoleh

i =b, bii

(27)

Jadi jawab tersebut adalah

x =n

1

b, bii

xi (28)

Regularisasi Tikonov
http://find/


71/197

http://find/


72/197

Misalkan jawab regularisasi Tikonov di Ax = b adalah x.Artinya Ax = b dengan x adalah nilai dari x yang diberikan

regulator sebesar

http://find/


73/197

Misalkan jawab regularisasi Tikonov di Ax = b adalah x.Artinya Ax = b dengan x adalah nilai dari x yang diberikanregulator sebesar

Tulis b=n

i=1b, bibi

http://find/


74/197


Tulis b=n

i=1b, bibiTulis x =

ni=1 cixi

http://find/


75/197


Tulis b=n

i=1b, bibiTulis x =

ni=1 cixi

Misalkan A adalah suatu operator sehingga AA : x x.Perhatikan bahwa A

A simetri.
http://find/


76/197
http://find/


77/197

Perhatikan bahwa AA merupakan operator simetri, maka

AA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}
http://find/


78/197


AA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}Perhatikan bahwa i 0, sebab AAxi = ixi maka

Axi

2 =

Axi,Axi

(29)

Axi2 = AAxi, xi (30)Axi2 = ixi, xi = i (31)
http://find/


79/197


AA mempunyai nilai eigen 1, 2, 3,...,n dan basisortonormal{x1, x2, ...,xn}Perhatikan bahwa i 0, sebab AAxi = ixi maka

Axi

2 =

Axi,Axi

(29)

Axi2 = AAxi, xi (30)Axi2 = ixi, xi = i (31)

Selanjutnya, tulis bii = Axi danbii2 = i maka

bi =1i

bii (32)

mempunyai panjang 1, jika i

= 0
http://find/


80/197
http://find/


81/197


merupakan basis orthonormal di Y

S
http://find/


82/197


merupakan basis orthonormal di YSelanjutnya untuk x =

x, xixi, Perhatikan bahwabii = Axi = bi

i maka

Ax =n

i=1

x, xiAxi =

n

i=1

x, xi

ibi (33)

S l j ki d l b hi b b b
http://find/


83/197




i maka

Ax =n

i=1

x, xiAxi =

n

i=1

x, xi

ibi (33)

Selanjutnya, untuk b=b, bibi, maka

Ab=m

i=1

b, bi

Abi =

n

i=1

b, bi

ixi (34)

S l j ki d l b hi b b b
http://find/


84/197




i maka

Ax =n

i=1

x, xiAxi =

n

i=1

x, xi

ibi (33)

Selanjutnya, untuk b=b, bibi, maka

Ab=m

i=1

b, bi

Abi =

n

i=1

b, bi

ixi (34)

Karena bi =1iAxi maka

Abi =1iAAxi =

1i

ixi =

ixi untuk i = 1, 2, ..., n dan

Abi = 0 untuk i = n + 1, ...,m
http://find/


85/197

S hi
http://find/


86/197

Sehingga

S hi
http://find/


87/197

Sehingga

(AA + )n

i=1

cixi =n

i=1

b, bi

ixi (35)

S hi
http://find/


88/197

Sehingga

(AA + )n

i=1

cixi =n

i=1

b, bi

ixi (35)

ni=1

ciAAxi +

ni=1

cixi =

ni=1

b, biixi (36)

S hi
http://find/


89/197

Sehingga

(AA + )n

i=1

cixi =n

i=1

b, bi

ixi (35)

ni=1

ciAAxi +

ni=1

cixi =

ni=1

b, biixi (36)n

i=1

ciixi + n

i=1

cixi =n

i=1

b, biixi (37)

Sehingga
http://find/


90/197

Sehingga

(AA + )n

i=1

cixi =n

i=1

b, bi

ixi (35)

ni=1

ciAAxi +

ni=1

cixi =

ni=1

b, biixi (36)n

i=1

ciixi + n

i=1

cixi =n

i=1

b, biixi (37)n

i=1

ci(i + )xi =n

i=1

b, bi

ixi (38)


91/197
http://find/


92/197

Sehingga

ci =

i

i + b, bi (39)
http://find/


93/197

Sehingga

ci =

i

i + b, bi (39)

x =n

i=1

i

i + b, bixi (40)
http://find/


94/197
http://find/


95/197

Jawab terkecil dengan menggunakan teori regularisasi adalah

xreg =n

i=1

< b, bi >i

xi (41)
http://find/


96/197


xreg =n

i=1

< b, bi >i

xi (41)

Jawab terkecil dengan menggunakan teori tikhonov adalah

xtikh =n

i=1

i

+ (i)< b, bi > xi (42)
http://find/


97/197


xreg =n

i=1

< b, bi >i

xi (41)

Jawab terkecil dengan menggunakan teori tikhonov adalah

xtikh =n

i=1

i

+ (i)< b, bi > xi (42)

Dengan i adalah nilai singular (nilai eigen dari AtA), xivektor eigen AtA, bi =

1ixi dan adalah besarnya regulator

yang dipilih untuk menentukan solusi x terkecil.

Langkah-langkah penyelesaian
http://find/


98/197

http://find/


99/197

Cara menyelesaikan :
http://find/


100/197



101/197


Bentuk matriks A berukuran nxn dengan diskritisasi metode

galerkin dengan fungsi kotak ortonormal.

Bentuk matriks right hand side b berukuran n x 1

http://find/


102/197


Bentuk matriks A berukuran nxn dengan diskritisasi metode

galerkin dengan fungsi kotak ortonormal.Bentuk matriks right hand side b berukuran n x 1

Menentukan solusi f(t)

Diskritisasi persamaan


103/197

http://find/


104/197

Misalkan K(s, t) = exp(s(t))



105/197


Misalkan g(s) = 2 sinh(s)/s

http://find/


106/197


Misalkan g(s) = 2 sinh(s)/s

Persamaan integral Fredholm jenis pertama berbentukescos tf(t)dt=

2 sinh s

s(43)
http://find/


107/197

Dengan melakukan proses diskritisasi metode Galerkin kedalam persamaan integral Fredholm jenis pertama dengan
http://find/


108/197

dalam persamaan integral Fredholm jenis pertama denganfungsi kotak ortonormal, diperoleh :

http://find/


109/197

dalam persamaan integral Fredholm jenis pertama denganfungsi kotak ortonormal, diperoleh :

/20

K(s,)[

ii(t) g(s)]j(s)ds= 0 (44)

http://find/


110/197

dalam persamaan integral Fredholm jenis pertama dengan

fungsi kotak ortonormal, diperoleh :

/20

K(s,)[

ii(t) g(s)]j(s)ds= 0 (44)

0

/20

jK(s, t)[

ii(t)dtds] =

/20

g(s)j(s)ds

(45)

http://find/


111/197

dalam persamaan integral Fredholm jenis pertama dengan


/20

K(s,)[

ii(t) g(s)]j(s)ds= 0 (44)

0

/20

jK(s, t)[

ii(t)dtds] =

/20

g(s)j(s)ds

(45)

i

sisi1

titi1

escos t.1h1

.1h2

dsdt=

si1si

2sinh s

s.

1h1

ds

(46)

http://find/


112/197

p g j p g


/20

K(s,)[

ii(t) g(s)]j(s)ds= 0 (44)

0

/20

jK(s, t)[

ii(t)dtds] =

/20

g(s)j(s)ds

(45)

i

sisi1

titi1

escos t.1h1

.1h2

dsdt=

si1si

2sinh s

s.

1h1

ds

(46)

dengan 0 s /2 dan 0 t
http://find/


113/197
http://find/


114/197

i adalah nilai isi matriks x pada baris ke i. Merupakan solusi(nilai invers) dari persamaan Fredholm integral of first kind ini.
http://find/


115/197


K(s,t)yang diberikan adalahescos t

dan g(s) yang diberikanadalah 2 sinh ss
http://find/


116/197


K(s,t)yang diberikan adalahescos t

dan g(s) yang diberikanadalah 2 sinh ss

Untuk menghitung integral dari persamaan diatas, kita harusmenggunakan metode numerik

Menentukan matriks A
http://find/


117/197

http://find/


118/197

Untuk menghitung

escos tdsdt digunakan metode simpson1/3.

http://find/


119/197

Untuk menghitung


Untuk memperoleh isi matriks A11 dengan menghitung

s1s0 t1t0 escos tdsdt menggunakan metode simpson 1/3.

http://find/


120/197

Untuk menghitung



s1s0 t1t0 escos tdsdt menggunakan metode simpson 1/3.Untuk memperoleh isi matriks A12 dengan menghitungs1s0

t2t1

escos tds)dt digunakan metode simpson 1/3.

http://find/


121/197

Untuk menghitung




t2t1


Dengan cara yang sama dikerjakan hingga diperoleh isimatriks Ann dengan menghitung

snsn1

t

tn1nescos tdtds.

http://find/


122/197

Untuk menghitung




t2t1


Dengan cara yang sama dikerjakan hingga diperoleh isimatriks Ann dengan menghitung

snsn1

t

tn1nescos tdtds.

Kita telah memperoleh matriks A berukuran nxn

Menentukan matriks b
http://find/


123/197


U k k

2 i h d h d k
http://find/


124/197

Untuk menentukan

2 sinh ss dihitung dengan menggunakan

metode simpson 1/3


U k k

2 i h dihi d k
http://find/


125/197

Untuk menentukan


metode simpson 1/3

Untuk memperoleh isi matriks b11 dengan menghitung

s1s0

2 sinh ss

digunakan metode simpson 1/3


U k k

2 i h dihi d k
http://find/


126/197

Untuk menentukan


metode simpson 1/3


s1s0

2 sinh ss


Untuk memperoleh isi matriks b21dengan menghitungs2s1

2 sinh ss



U t k t k

2 i h s dihit d k
http://find/


127/197

Untuk menentukan


metode simpson 1/3


s1s0

2 sinh ss



2 sinh ss


Dengan cara yang sama dikerjakan hingga diperoleh isimatriks bn1 dengan menghitung

snsn1

2 sinh ss

menggunakan

metode simpson 1/3 dengan batassn1sampai

sn


U t k t k

2 sinh s dihit d k
http://find/


128/197

Untuk menentukan


metode simpson 1/3


s1s0

2 sinh ss



2 sinh ss


Dengan cara yang sama dikerjakan hingga diperoleh isimatriks bn1 dengan menghitung

snsn1

2 sinh ss

menggunakan

metode simpson 1/3 dengan batassn1sampai

sn

Kita telah memperoleh matriks b berukuran 1xn

Menentukan matriks x
http://find/


129/197

http://find/


130/197

Kita telah memperoleh matriks A dan b, akan dicari matriks xsehingga Ax = b

http://find/


131/197


Disini matriks x berisi 1 sampai dengan n

http://find/


132/197


Disini matriks x berisi 1 sampai dengan n

Jika A memiliki invers, maka selesai.
http://find/


133/197
http://find/


134/197

Kita telah memperoleh matrix A dan b sehingga Ax = b.Akan dicari nilai x.
http://find/


135/197


Jika A memiliki invers, maka selesai. Tapi hampir dalam

semua masalah Fredholm integral, A tidak memiliki invers.
http://find/


136/197


Jika A memiliki invers, maka selesai. Tapi hampir dalam

semua masalah Fredholm integral, A tidak memiliki invers.

Kita akan menentukan nilai x dengan menggunakan teoriregularisasi SVD dan tikhonov.

Hasil x analitik
http://find/


137/197

Hasil x analitik

Dengan diskritisasi matriks A100x100, dan diskritisasi matrikxb100x1

, diperoleh hasil analitik nilai x sebagai berikut
http://find/


138/197

Hasil x analitik

Dengan diskritisasi matriks A100x100, dan diskritisasi matrikxb100x1

, diperoleh hasil analitik nilai x sebagai berikut
http://find/


139/197

Regularisasi SVD
http://find/


140/197

Regularisasi SVD

Kita akan menentukan x analitik dengan menggunakanregularisasi SVD.


141/197

Regularisasi SVD

Kita akan menentukan x analitik dengan menggunakanregularisasi SVD.

Diperoleh hasil sebagai berikut
http://find/


142/197

p g

Plot x analitik dan x dengan menggunakan SVD
http://find/


143/197


Perhatikan perbandingan solusi x analitik dengan x yang

diperoleh dengan regularisasi svd berikut.
http://find/


144/197



http://find/


145/197



http://find/


146/197

Hasil yang diperoleh dengan SVD masih belum baik, karenamasih jauh dari solusi analitik. Kita akan mencari hasil yanglebih baik dengan pemotongan nilai singular

Pemotongan nilai singular
http://find/


147/197


Perhatikan picard nilai singular berikut
http://find/


148/197


Perhatikan picard nilai singular berikut
http://find/


149/197

Perhatikan nilai singular data ke 11 dan seterusnya sangatkecil. Sehingga nilai singular dipotong mulai data ke 11sampai 100.

Hasil regularisasi svd dengan pemotongan nilai singular
http://find/


150/197



dengan hasil berikut
http://find/


151/197



dengan hasil berikut
http://find/


152/197

Perhatikan bahwa hasil yang diperoleh sudah mendekati solusianalitik
http://find/


153/197

Hasil yang diperoleh menggunakan SVD dengan pemotongan
http://find/


154/197

Hasil yang diperoleh menggunakan SVD dengan pemotongannilai singular sudah menyerupai hasil analitik.

http://find/


155/197


Kita akan mencoba mencari x terbaik dengan menggunakan

metode lain.

http://find/


156/197


Kita akan mencoba mencari x terbaik dengan menggunakan

metode lain.Akan dicoba dengan menggunakan Tikonov denganmenggunakan berbagai nilai regulator () sehingga diperolehhasil terbaik

Solusi Menggunakan Regularisasi Tikhonov
http://find/


157/197


Sebelum mencari nilai x dengan regularisasi Tikonov, akanditentukan regulator terbaik, artinya nilai error minimal.
http://find/


158/197



Dalam hal ini, alpha dicari antara 0 dan 1 dengan membagi kedalam 100 partisi
http://find/


159/197

dalam 100 partisi



http://find/


160/197

dalam 100 partisi

Berikut adalah hasil error yang diperoleh



http://find/


161/197

dalam 100 partisi

Berikut adalah hasil error yang diperoleh

Maka, akan dicari mendekati 0 sebagai regulator terbaik.

Menggunakan regulator dengan melihat nilai error

minimum

Dari hasil error sebelumnya, diperoleh regulator terbaik alphamendekati 0. Maka dengan mencoba menentukan nilai x Tikhonov

dengan = 0.01, diperoleh hasil dengan plot berikut
http://find/


162/197


minimum
http://find/


163/197


minimum
http://find/


164/197

Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov 0.05


minimum
http://find/


165/197

Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov 0.05

Hasil yang di dapat sudah mendekati x analitik, tapi belumterlalu baik.

Menentukan regulator dengan memperhatikan L-Curve
http://find/


166/197


Kita akan menggunakan regularisasi Tikhonov denganmemperhatikan regulator terbaik menggunakan L-curve
http://find/


167/197


Kita akan menggunakan regularisasi Tikhonov denganmemperhatikan regulator terbaik menggunakan L-curve

Diperoleh grafik meminimalkan error sebagai berikut
http://find/


168/197

http://find/


169/197


Perhatikan grafik berikut
http://find/


170/197


http://find/


171/197


http://find/


172/197

Diperoleh error terkecil dengan regulator sebesar 0.0089653

Menggunakan regulator dengan memperhatikan L-Curve
http://find/


173/197


Dengan menggunakan regulator sebesar 0.0089653 diperlolehsolusi x Tikhonov. Maka plot x Tikhonov dengan x analitik

sebagai berikut
http://find/


174/197



sebagai berikut
http://find/


175/197



sebagai berikut
http://find/


176/197

Terlihat solusi yang diperoleh belum baik karena nilai errornya masih besar. Maka akan dicari kembali denganmenggerakkan nilai .

Regularisasi Tikonov dengan menggerakkan nilai
http://find/


177/197


Kita akan mencari solusi dengan regularisasi Tikonov denganmenggerakkan nolai
http://find/


178/197


Kita akan mencari solusi dengan regularisasi Tikonov denganmenggerakkan nolai

Dimulai dengan memilih = 1017
http://find/


179/197

Menggunakan regulator dengan menggerakkan nilai
http://find/


180/197

Figure: Plot x analitik dan x dengan menggunakan Tikhonov dengan = 1018

http://find/


181/197


http://find/


182/197


http://find/


183/197


http://find/


184/197


http://find/


185/197


http://find/


186/197


http://find/


187/197


http://find/


188/197


http://find/


189/197


Kesimpulan

Nilai x SVD yang paling mendekati dengan x analitik adalahdengan memotong nilai singular mulai data ke 11 dengan errorsebagai berikut
http://find/


190/197

Kesimpulan

Nilai x Tikhonov yang paling mendekati dengan x analitik adalahdengan menggunakan regulator = 1020 dengan error sebagaiberikut
http://find/


191/197

Kesimpulan
http://find/


192/197

Kesimpulan

Solusi yang diperoleh dengan menggunakan regularisasi SVD

yang terbaik diperoleh dengan pemotongan nilai singular yangsangat kecil.
http://find/


193/197

Kesimpulan



Solusi dengan regularisasi Tikhonov dengan besarnya yang
http://find/


194/197

g g g y y gdipilih dalam Baart test problem sebagai regulator terbaik

adalah = 1020

Kesimpulan





195/197

dipilih dalam Baart test problem sebagai regulator terbaik

adalah = 1020

Solusi keduanya sudah mendekati nilai solusi analitik. Tetapiakan dipilih solusi yang paling dekat dengan solusi analitik

Kesimpulan





196/197

dipilih dalam Baart test problem sebagai regulator terbaik

adalah = 1020

Solusi keduanya sudah mendekati nilai solusi analitik. Tetapiakan dipilih solusi yang paling dekat dengan solusi analitik

Dari hasil perhitungan dilihat bahwa solusi Tikhonovmenggunakan = 1020adalah hasil yang lebih baik daripadasolusi menggunakan regulasi svd.
http://find/


197/197

Terima Kasih
http://find/

persamaan integral fredholm jenis pertama

Documents