aplikasi statistic fermi dirac untuk menganalisis energi fermi pada bintang neutron

7/24/2019 Aplikasi Statistic Fermi Dirac Untuk Menganalisis Energi Fermi Pada Bintang Neutron

http://slidepdf.com/reader/full/aplikasi-statistic-fermi-dirac-untuk-menganalisis-energi-fermi-pada-bintang 1/17

1

Abstrak



2

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG PENULISAN

Dalam mekanika statistik, statistik Fermi-Dirac merupakan kasus tertentu

dalam statistik partikel yang dikembangkan oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac dalam

menentukan distribusi statistik keadaan energi fermion dari sistem kesetimbangan

termal. Dengan kata lain distribusi peluang tiap kemungkinan level-level energi yang

diduduki oleh suatu fermion.

Pada umumnya, statistik Fermi-Dirac membahas tentang fungsi gelombang

dari fermion yang antisimetris di bawah pengaruh pertukaran fermion. Fermion

merupakan partikel yang tak dapat dibedakan dan mengikuti asas larangan Pauli:

tidak boleh suatu partikel mepunyai bilangan kuantum yang sama dalam waktu yang

sama. Fermion mempunyai spin setengah.

umpulan dari fermion tanpa interaksi disebut dengan gas fermi. !tatistik

Fermi-Dirac diperkenalkan pada tahun "#$% oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac yang

diaplikasikan pada tahun yang sama oleh &alph Fawler dalam menggambarkan

kehancuran bintang kerdil putih. Pada tahun "#$' oleh (rnold !ommerfeld

digunakan untuk menggambarkan elektron dalam logam. )empela*ari statistik

Fermi-Dirac mengikuti aturan larangan pauli. +amun ketentuan dalam statistik

Fermi-Dirac ini lebih ketat dalam pengisian titik fase. )isalkan suatu kompartemen

bervolume h tidak boleh lebih dari dua titik fase. mplikasinya, prinsip larangan pauli

ini mempengaruhi susunan elektron di dalam atom yang sama yang mempunyai bilangan kuantum yang sama.

Penemuan neutron oleh ames /hadwick 0"1#" - "#'23 pada tahun "#$

mendorong para ahli 4sika memprediksi eksistensi dari bintang neutron. Perhitungan



3

secara teori dari bintang neutron pertama kali dilakukan oleh 5ppenheimer dan

6olkoff pada tahun "## yang mengasumsikan bahwa bintang neutron berada dalam

keadaan gas Fermi neutron yang diikat oleh gravitasi.

Pada tahun "#2, 7. 8aade dan F. 9wicky berpendapat bahwa bintang

neutron dibentuk dari sisa ledakan supernova, dimana sebagian besar energinya

dilepaskan oleh bintang dan intinya kolaps membentuk bintang neutron dengan massa

maksimum lebih besar dari limit massa /handrasekhar tersebut.

Perbedaan utama antara inti atom dan bintang neutron adalah bahwa inti atom

diikat hanya oleh gaya kuat nuklir, sedangkan bintang neutron *uga diikat oleh gaya

gravitasi. Energi ikat gravitasi dari bintang neutron adalah sekitar " ; dari massa

bintang neutron, sedangkan energi ikat inti oleh gaya kuat nuklir yang paling besar

dimiliki oleh inti atom <% Fe sebesar # )e6=nukleon atau setara dengan " ; dari

massa inti <%Fe. arena persentase energi ikat gravitasi dari bintang neutron besarnya

sekitar sepuluh kali dari energi ikat inti <% Fe, berarti komposisi dan keberadaan

partikel penyusun bintang neutron berbeda dengan komposisi dan keberadaan

partikel dalam inti <% Fe.

etika daur fusi bintang berakhir dengan terbentuknya unsur <% Fe dan massaakhir evolusi lebih besar dari limit /handrasekhar, maka gaya gravitasi akan mampu

mengatasi interaksi degenerasi yang disebabkan harus terpenuhinya asas larangan

Pauli untuk elektron. >al ini akan memaksa ter*adinya reaksi inversi beta, yaitu

sebuah proton menangkap sebuah elektron menghasilkan sebuah neutron dan

membebaskan sebuah neutrino. &eaksi inversi beta ini akan mengubah hampir semua

proton dan elektron dari produk akhir evolusi bintang dengan massa di atas limit

/handrasekhar men*adi neutron sehingga hasil akhir evolusi bintang tersebut dikenal

sebagai bintang neutron.

?ntuk menganalisis energi fermi pada bintang neutron digunakan statistik

fermi dirac. Dimana pada bintang neutron hampir semua proton dan elektron dari

produk akhir evolusi bintang dengan massa diatas limit chandrasekhar. !ehingga gaya



4

gravitasi akan mampu mengatasi interaksi degenerasi yang disebakan harus terpenuhi

asas larangan pauli untuk elektron.

B. TUJUAN PENULISAN

@u*uan dari penulisan makalah ini adalah :

". ?ntuk memahami !tatistik Fermi Dirac dan aplikasinya

$. ?ntuk memahami energi Fermi pada !tatistik Fermi Dirac

. ?ntuk mengetahui tentang evolusi bintang men*adi bintang +eutron2. ?ntuk menganalisis Energi Fermi pada 8intang +eutron dengan

menggunakan !tatistik Fermi Dirac

C. MANFAAT PENULISAN

" 8agi universitas khususnya F)P(, makalah ini secara teoritis dapat

menambah bahan bacaan tentang (plikasi !tatistik Fermi Dirac pada bintang

neutron$ 8agi pembaca, makalah ini dapat menambah khasanah ilmu pengetahuan

terutama tentang (plikasi !tatistik Fermi Dirac pada bintang neutron

3 8agi penulis, makalah ini dapat di*adikan informasi lebih lan*ut dalam

meningkatkan pengetahuan khususnya aplikasi fisika statistik



5

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Statistik Feri Dira!

!ebelum pengenalan statistik Fermi-Dirac pada tahun "#$%, pemahaman

beberapa aspek perilaku elektron sulit karena fenomena yang tampaknya

bertentangan. !ebagai contoh, elektronik kapasitas panas dari logam pada suhu kamar

tampak datang dari " kali lebih sedikit elektron daripada berada di arus listrik. ni

*uga sulit untuk memahami mengapa arus emisi , yang dihasilkan dengan menerapkan

medan listrik tinggi untuk logam pada suhu kamar, hampir tidak tergantung pada

suhu.

esulitan dihadapi oleh teori elektronik logam pada waktu itu adalah karena

mengingat bahwa elektron yang 0menurut statistik teori klasik3 setara semua. Dengan

kata lain, diyakini bahwa setiap elektron berkontribusi pada panas spesifik se*umlah

urutan konstanta 8oltAmann k. )asalah statistik yang tetap tak terpecahkan sampai

penemuan statistik Fermi-Dirac.

!tatistik Fermi-Dirac pertama kali diterbitkan pada tahun "#$% oleh Enrico

Fermi dan Paul Dirac . )enurut account, Pascual ordan dikembangkan pada tahun

"#$< statistik yang sama yang disebut Pauli statistik, tapi itu tidak dipublikasikan

pada waktu yang tepat . 8ahwa menurut Dirac, itu pertama kali dipela*ari oleh Fermi,

dan Dirac menyebutnya statistik Fermi dan partikel yang sesuai fermion.

!tatistik Fermi Dirac diterapkan pada tahun "#$% oleh Fowler untuk

menggambarkan runtuhnya sebuah bintang kerdil putih. Pada tahun "#$'

!ommerfeld diterapkan untuk elektron dalam logam dan pada tahun "#$1 Fowler dan

+ordheim diterapkan ke lapangan emisi elektron dari logam.



6

Elektron bebas mempunyai spin sB"=$, sehingga bilangan kuantum

magnetiknya ms B C"=$ dalam keadaan tidak ada medan magnet elektron memiliki $

keadaan yang berenergi sama 0degenerate3. adi giB$. Elektron dalam atom memiliki

fungsi keadaan yang ditandai dengan bilangan-bilangan kuantum: n, l, ml , s, dan ms.

?ntuk suatu harga ada 0$ "3 buah harga m sedangkan dengan s B "=$,

ada dua harga ms B "=$, -"=$. adi, tanpa medan magnet, ada $0$ "3 buah keadaan

yang degenerate. adi gi B $0$ "3. 8erdasarkan prinsip Pauli, untuk suatu pasangan

n, l, ml , s, ms hanya bisa ditempati oleh satu elektron. adi ni G gi.

ika tingkat energi, Ei, akan diisi dengan ni buah elektron, maka dengan

degenerasi gi, *umlah cara mengisikan partikel adalah: gi0gi-"3 0gi-$3HH.. 0gi-ni"3.

Energi eI adalah energi minimum yang diperlukan untuk melepaskan sebuah elektron

dari logam. Dalam kasus efek fotolistrik, elektron dilepaskan *ika foton hJKeI.

8esaran Iadalah potensial yang disebut fungsi ker*a dari logam. Pada suhu tinggi,

beberapa elektron menempati keadaan di atas energi EF 0lihat gambar 0b33. Pada suhu

yang cukup tinggi beberapa elektron memperoleh energi sebesar EBEFeI sehingga

lepas dari logam. Proses ini disebut emisi termionik, dan merupakan dasar bagi

tabung elektron.

B. E"er#i Feri

umlah total fermion dapat dihitung dengan integral

N =V ∫0

n ( E )dE

N =V ∫0

g ( E ) f ( E)dE



7

umlah fermion tersebut dapat dihitung dengan mudah pada suhu karena

fungsi distribusi Fermi-Dirac memiliki bentuk yang sederhana. ika perhitungan

dilakukan pada @ B maka

N =V ∫0

E F

g ( E ) f ( E )dE+V ∫ E F

g ( E ) f ( E )dE

N =V ∫0

E F

g ( E ) x1 x dE+V ∫ E F

g ( E ) x0 x dE

N =V ∫0

E F

g ( E )dE

?ngkapan untuk kerapatan keadaan per satuan volume yaitu

g ( E )= 1

h3 4 π √ 2m

3

2 E1

2

husus untuk electron, karena satu keadaan dapat ditempati dua fermion

dengan spin yang berlawanan, maka rapat keadaan untuk fermion sama dengan dua

kali persamaan di atas. Dengan demikian

N =V ∫0

E F

2 x 1

h3 4 π √ 2m

3

2 E

1

2 dE

N =V

h3 8π √ 2m

3

2∫0

E F

E

1

2dE

N =V

h3 8 π √ 2m

3

2 x 2

3 E F

3 /2



8

ita dapat menyederhanakan men*adi

3 N 8πV

=(2m

h2 E F )

3 /2

Dan akhirnya diperoleh ungkapan untuk energy Fermi pada suhu sebagai berikut

E F = h

2

2m ( 3 N 8 πV )2/3

!elan*utnya kita dapat mendefinisikan suhu Fermi melelui hubungan kT f = E F ,

maka diperoleh ungkapan untuk suhu Fermi pada suhu sebagai

T F = E F

k =

h2

2mk ( 3 N 8 πV )2 /3

C. Bi"ta"# Ne$tr%"

)ateri purba yang dihasilkan dari proses kelahiran *agat raya terdiri atas '<;

awan gas hidrogen dan $<; awan gas helium, sedangkan semua unsur kimia lainnya

akan terbentuk oleh berbagai reaksi inti pada bagian dalam bintang. arena pengaruh

gaya gravitasi, maka awan hidrogen dan helium menyusut sehingga energi

potensial gravitasi berkurang akibat *arak rata-rata antaratomnya berkurang. ?ntuk

mengimbangi agar energi totalnya kekal, maka energi kinetiknya harus bertambah, di

mana pertambahannya diikuti dengan kenaikan suhu.!ewaktu awan itu terus menyusut, suhu di sekitar pusatnya naik dengan cepat

sekali. eadaan akhirnya suhu dalam rentang "' tercapai dan energi kinetic

termal proton cukup besar untuk melampaui tolakan /oulomb antara mereka,



9

sehingga reaksi inti 0fusi3 antarproton men*adi helium mulai berlangsung, dan lahirlah

sebuah bintang. ni ter*adi setelah penyusutan berlangsung sekitar "% tahun.

8intang sekarang memasuki masa stabil dan penyusutan selan*utnya dihadang

oleh tekanan keluar radiasi 0foton3 yang men*alar dari pusat ke permukaan bintang.

8intang terus membangkitkan energi dalam reaksi fusi pada tingkat la*u reaksi yang

ditentukan oleh massanya. ?ntuk bintang seperti matahari, masa ini bertahan kurang

lebih selama "" tahun, sedangkan untuk bintang yang lebih besar massanya 0"

hingga " kali massa matahari3 pembakarannya hanya bertahan sekitar "' tahun.

etika semua hidrogen diubah men*adi helium dalam reaksi fusi, penyusutan

karena gravitasi kembali berlangsung dan suhu bintang naik dari sekitar "'

men*adi sekitar "

1

. Pada suhu ini, tersedia energi kinetik termal yang cukup untuk melawan tolakan /oulomb antara inti helium, dan memungkinkan fusi helium

mulai berlangsung.

8intang +eutron men*adi sesuatu yang menarik untuk diketahui karena sifat-

sifatnya yang sangat aneh. Dengan diameter sekitar $< km, seperti ukuran ibukota

negara dibumi ini, bintang neutron mempunyai massa yang sangat besar yaitu sekitar

",2 massa matahari. Dengan gambaran satu sendok teh bagian dari bintang neutron

bisa mempunyai massa miliaran ton. 8isa dikatakan bahwa bintang neutron sangat

padat. arena ukurannya yang kecil dan kepadatan yang tinggi, permukaan bintang

neutron memiliki medan gravitasi yang tinggi sekitar $L""" atau $ milyard medan

gravitasi bumi.

!edangkan medan magnet bintang neutron sekitar se*uta kali lebih kuat

daripada medan magnet yang ada dibumi. Dilihat dari kerapatan bintang neutron

mempunyai kerapatan sekitar "# dipermukaannya terus membesar men*adi ""'

disekitar pusat bintang hampir sama dengan kerapatan sebuah inti atom.

8intang +eutron adalah akhir dari suatu bintang, awalnya bintang ini

mempunyai massa 2 M 1 lebih besar dari massa matahari, bintang ini mempunyai dua

gaya yang seimbang. Nang pertama gaya gravitasi yang cenderung mengerutkan dan

yang kedua gaya nuklir yang cenderung mengembangkan, sesudah kehabisan

pembakaran pada bahan bakar nuklirnya, dan dilan*utkan dengan ter*adinya



10

supernova 0ledakan yang sangat besar dengan warna-warna yang terang3. !esudah

peristiwa supernova hanya ada gaya gravitasi maka bintang ini mengerut men*adi

kecil. Proton dan elektron didalamnya bergabung men*adi netron, oleh sebab itu

disebut bintang neutron.

!esudah peristiwa supernova tersebut, maka bintang-bintang yang masanya

beberapa kali lebih dari matahari akan men*adi lubang hitam 0black hole3, sedangkan

yang lebih ringan dari matahari akan men*adi kerdil putih 0white dwaft3. Oubang

hitam dimana tidak ada sesuatupun yang bisa lolos darinya termasuk cahaya. )enurut

teori relativitas umum adalah bagian dari angkasa, merupakan hasil deformasi dari

ruang waktu yang disebabkan oleh massa yang terlalu kompak. Disebut hitam karena

menyerap semua sinar yang datang padanya tanpa memantulkannnya.5bservatorium /handra -&ay +(!( menangkap supernova ini. 8intang

neutron adalah titik biru di pusat gambar berikut.

Qambar ". 8intang +eutron 0 sumber: Daily Mail 3

?ntuk pertama kalinya (stronom mengamati bayi bintang neutron, ledakan inti

super-padat dari sebuah bintang, menurut Daily )ail. ni adalah bintang termuda dari

bintang se*enis yang pernah ditemukan dengan diameter "$,2 mil, masa kelahiran

tahun yang lalu.

(stronom telah mengidentifikasi sumber sinar- kuat se*ak "###, telahmenyelimuti misteri yang bersumber dari bintang neutron "". tahun cahaya dari

8umi di pusat !upernova /assiopeia (. 8intang-bintang neutron super-padat, inti

dari bintang-bintang besar yang meledak di akhir hidup mereka.



11

Qambar $. Posisi bintang neutron di /assiopeia 0 sumber: Daily Mail 3

Dengan diameter "$,2 mil, telah berselimut misteri karena ini telah diidentifikasisebagai sumber sinar- kuat pada tahun "### 0Daily )ail3. @ekanan berat gravitasi,

mereka hampir seluruhnya terdiri dari neutron, partikel sub-atom yang tidak memiliki

muatan listrik yang membentuk atom-atom.

Dalam penyelidikan terbaru, bintang neutron memiliki atmosfer karbon yang

unik hanya setebal empat inci. (stronom pertama dari 8ritain &oyal, ohn Flamsteed,

diyakini telah mengamati supernova yang melahirkan bintang neutron ini di tahun

"%1. lmuwan tertarik dengan karbon atmosfer bintang yang tebalnya hanya " cm.

>al ini sebanding dengan atmosfer kita sendiri yang tebalnya " km 0Daily

)ail3.

(stronom mengamati supernova menggunakan sinar- /handra, teleskop

ruang angkasa yang diluncurkan oleh badan antariksa (merika +(!( pada tahun

"###. Para ilmuwan telah mengidentifikasi banyak bintang neutron lain yang rata-rata

*auh lebih tua. Elemen berat dilemparkan ke angkasa luar oleh supernova berakhir di

bebatuan dari planet seperti 8umi. 8ahkan tubuh manusia sebagian besar

terkomposisi dari debu bintang.

Profesor /raig >einke, dari ?niversitas (lberta di anada, menerbitkan hasil

penelitian terbarunya di *urnal +ature, mengatakan: RPenemuan ini membantu kita

memahami bagaimana kelahiran bintang-bintang neutron dalam ledakan supernova

yang dasyat. Relahiran bintang neutron disertai panas fusi nuklir yang ter*adi di



12

permukaannya, menghasilkan karbon atmosfer hanya setebal " cm.R 0Erabaru=Daily

)ail=art3

Qambar . 8intang +eutron yang ber*arak 2 tahun cahaya dari bumi

8intang neutron dapat berotasi hingga % putaran per detik. Dari informasi, energi

ikat nuklir diketahui bahwa reaksi fusi 0penggabungan3 yang ter*adi akan berhenti

*ika material bintang telah men*adi besi. Dengan demikian ter*adi penumpukan besi

hingga massa bintang neutron men*adi ",2 kali massa matahari.



13

BAB III

PEMBAHASAN

8intang +eutron adalah akhir dari suatu bintang , awalnya bintang ini

mempunyai massa 2 M 1 lebih besar dari massa matahari, bintang ini mempunyai dua

gaya yang seimbang. Nang pertama gaya gravitasi yang cenderung mengerutkan dan

yang kedua gaya nuklir yang cenderung mengembangkan, sesudah kehabisan

pembakaran pada bahan bakar nuklirnya, dan dilan*utkan dengan ter*adinya

supernova 0ledakan yang sangat besar dengan warna-warna yang terang3. !esudah

peristiwa supernova hanya ada gaya gravitasi maka bintang ini mengerut men*adi

kecil. Proton dan elektron didalamnya bergabung men*adi netron, oleh sebab itu


8intang +eutron memiliki diameter sekitar $< km dan massa yang sangat

besar yaitu sekitar ",2 massa matahari. 8isa dikatakan bahwa bintang neutron sangat

padat. arena ukurannya yang kecil dan kepadatan yang tinggi, permukaan bintang

neutron memiliki medan gravitasi yang tinggi sekitar $L""" atau $ milyard medan

gravitasi bumi. !edangkan medan magnet bintang neutron sekitar se*uta kali lebih

kuat daripada medan magnet yang ada dibumi. Dilihat dari kerapatan bintang neutron

mempunyai kerapatan sekitar "# dipermukaannya terus membesar men*adi ""'

disekitar pusat bintang hampir sama dengan kerapatan sebuah inti atom.

Perkiraan besaran-besaran fisis bintang neutron adalah

erapatan ≈109kg /m3

dipermukaan

erapatan ≈1017

kg/m3

disekitar pusat bintang

)assa≈

!uhu pusat ≈108



14

Pada suhu tersebut, berkaitan dengan energi sebesar k@ ≈1,3 x 10−16

J ≈103eV dan

semua atom helium terionisasi.

8erdasarkan data kerapatan bintang kita dapat memperkirakan *umlah atom

helium persatuan volume. )assa atom helium adalah 2 L 0",%' L "-$'kg3 ≈ % L "-

$'kg. umlah atom helium per satuan volume adalah

N He= ρ

6 x10−27

=1

6 x 10

37atom/m3

!atu atom helium menyumbang dua elektron. Dengan demikian, kerapatan elektron

adalah

n=2 N He=2( 1

6 x1037atom

m3 )=1

3 x10

37atom/m3

erapatan ini menghasilkan energi fermi sebesar

E F =( 2πħm )( 3√ π

4v )3/ 2

=( 2 πħm )(3n√ π

4 )3 /2

≈20 MeV



15

BAB I&

KESIMPULAN

". !tatistik Fermi-Dirac adalah statistik yang membahas tentang fungsi gelombang

dari fermion yang antisimetris di bawah pengaruh pertukaran fermion. Fermion

merupakan partikel yang tak dapat dibedakan dan mengikuti asas larangan

Pauli: tidak boleh suatu partikel mepunyai bilangan kuantum yang sama dalam

waktu yang sama. Fermion mempunyai spin setengah.

$. ?ngkapan untuk energy Fermi pada suhu sebagai berikut

E F = h

2

2m ( 3 N 8 πV )2/ 3

!uhu Fermi dapat didefinisikan melalui hubungankT f = E F , maka

diperoleh ungkapan untuk suhu Fermi pada suhu sebagai berikut:

T F = E F

k =

h2

2mk ( 3 N 8 πV )2 /3

. 8intang +eutron adalah akhir dari suatu bintang yang awalnya mempunyai

massa 2 M 1 lebih besar dari massa matahari dengan dua gaya seimbang. Naitu



16

gaya gravitasi yang cenderung mengerutkan dan gaya nuklir yang cenderung

mengembangkan. !esudah kehabisan pembakaran pada bahan bakar nuklirnya,

dan dilan*utkan dengan ter*adinya supernova 0ledakan yang sangat besar

dengan warna-warna yang terang3 maka bintang ini mengerut men*adi kecil.

Proton dan elektron didalamnya bergabung men*adi netron, oleh sebab itu




17

UCAPAN TERIMA KASIH

@erimakasih kepada pihak yang mendukung dalam penyusunan makalah ini, terutama

kepada dosen pembimbing yaitu 8apak Dr. >. (hmad FauAi, ). !i dan 8apak &enol

(friAon, !.Pd, ). Pd. @idak lupa terimakasih kepada Prof. /raig >einke, dari

?niversitas (lberta di anada yang menerbitkan hasil penelitian terbarunya di *urnal

+ature tahun $"" yang kami *adikan sebagai *urnal utama dalam penyusunan

makalah. !erta terimakasih kepada 8apak asmudin dari ?niversitas ndonesia,

8apak Nohannes !urya yang tulisannya kami *adikan sebagai referensi tambahan dan

terakhir kepada pihak urnalis +(!( untuk surat kabar Daily )ail.

DAFTAR PUSTAKA

aplikasi statistic fermi dirac untuk menganalisis energi fermi pada bintang neutron

Documents