metode energi revisi

7/24/2019 Metode Energi Revisi

1/20

BAB 1

METODE ENERGI

1. Dasar Teori

Konsep kerja dan energi merupakan aspek yang memegang peranan penting

dalam ilmu mekanika. Disini berlaku hukum konservasi energi, yaitu kerja luar (external)

dari beban yang diberikan secara perlahan-lahan sama dengan energi yang disimpan

dalam struktur.

Dalam mekanika, energi didefinisikan sebagai kapasitas untuk melakukan kerja,dan kerja adalah usaha yang dilakukan oleh suatu gaya di arah perpindahan. Dengan

demikian kerja didefinisikan sebagai perkalian antara gaya dengan komponen

perpindahan yang koresponden diarah gaya tersebut, misalnya gaya translasi dengan

perpindahan, momen dengan rotasi, tegangan dengan regangan dll.

Dalam benda padat yang berdeformasi (berubah bentuk), tegangan yang

dikalikan dengan luas yang bersangkutan adalah gaya, sedang deformasi adalah jarak.

asil kali kedua besaran ini merupakan kerja dalam (!nternal "ork) yang dilakukandalam sebuah benda oleh gaya terpakai luar. Kerja dalam ini disimpan dalam sebuah

benda sebagai energi deformasi elastis dalamatauenergi regangan elastis (elastic

strain energy).

#emecahan langsung soal-soal dengan menyamakan kerja luar dengan kerja

dalam terbatas pada kejadian dimana hanya satu gaya saja yang bekerja pada

sebuah batang.

Analisa Struktur Metode Energi - 1


2/20

Contoh sederhana tentang konsep kerja:

$atang aksial sepanjang % dibebani gaya luar (tarik) P. #embebanan ini disebut

pembebanan statis(static load), karena tidak ada efek-efek dinamika tau inersia yang

timbul karena gerak. Ketika batang ini dibebani, panjangnya bertambah secara

berangsur-angsur sehingga pada akhirnya tercapai suatu harga pemanjangan

maksimum upada saat beban mencapai harga keseluruhannya P. &ntuk menghitung

usaha yang dilakukan oleh beban ini, kita dapat menggunakan diagram lendutan-

beban. Kerja'usaha yang dilakukan oleh gaya # di arah perpindahan u didefinisikan

sebagai

* + # du (.a)

c * + u d# (.b)

Dimana (kerja) dan c (kerja komplementer) adalah luas daerah terarsir dalam

gambar (b).


ambar . Konsep Kerja


3/20

&ntuk kasus bahan yang linier elastis, diperoleh

W = Wc = P du

dimana # * k.u k * kekakuan dari sebuah batang yang dibebani secara

aksial didefinisikan sebagai gaya yang dibutuhkan

untuk menghasilkan suatu lendutan L

EAk=

W = k.u du = k u du = k.u= P.u (/)

0isalkan dalam kasus bahan linier elastic (gambar c) , gaya # bekerja dan

menimbulkan perpindahan u/pada titik /. Kemudian, pada titik / tersebut ditambahkan

gaya 1 yang menambah perpindahan aksial dengan u2. Kerja yang dilakukan oleh

kedua gaya menjadi

W = P.u! ".u#! P.u# (2)

3atatan suku ketiga dalam persamaan (2) adalah sebesar # u2, dan bukan sebesar 4

# u2, karena gaya # sudah ada dan bekerja pada saat gaya 1 dan u2dimulai.

Kerja yang didefinisikan dalam persamaan () adalah yang dilakukan oleh gaya luar,

sehingga dinamakan kerja $uar %external work). &ntuk benda yang elastis sempurna

tidak ada energi yang hilang, kerja yang dilakukan pada elemen disimpan sebagai

energi regangan dalam. 5leh karena itu berbarengan dengan kerja luar, gaya dalam

merespon beban luar yang diaplikasikan pada struktur serta deformasinya. aya dalam

mempunyai kapasitas untuk menghasilkan kerja dan menjaga struktur pada konfigurasiasalnya. aya luar akan menimbulkan deformasi dengan besaran pengukur regangan

6x, yang berpasangan dengan tegangan normal 7xyang timbul.



4/20

. &nergi 'egangan &$astis (ntuk Tegangan umbu Tungga$

8injaulah sebuah elemen kecil tak berhingga, seperti yang terlihat dalam ambar

(/.a) yang mendapat tegangan normal 7x. aya yang bekerja pada permukaan kanan

atau kiri dari elemen ini adalah 7xdy d9, dimana dy d9 adalah luas kecil tak berhinggadari elemen tersebut. Disebabkan oleh gaya ini, elemen tersebut bertambah panjang

sebesar 6xdx, dimana 6xadalah regangan dalam arah x. $ila elemen tersebut terbuat

dari suatu bahan yang elastis linier, maka tegangan sebanding dengan regangan,

seperti pada gambar /(b). Karena itu bila elemen tersebut semula bebas dari pengaruh

tegangan, maka gaya tersebut yang akhirnya bekerja pada elemen tersebut meningkat

secara linier dari nol sampai mencapai harga yang penuh. aya rata-rata yang bekerja

pada elemen ketika terjadi deformasi adalah 4 7 x dy d9. aya rata-rata ini yangdikalikan dengan jarak yang ditempuh selama bekerja merupakan kerja yang dilakukan

pada elemen tersebut.

Dengan demikian, dalam suatu sistem struktur dengan beban luar yang bekerja,

kerja yang dilakukan oleh gaya luar dibarengi dengan kerja yang dilakukan oleh gaya-

gaya dalam. Kerja dalam akan menimbulkan energi yang tertimbun dalam struktur yang

dinamakan energi regangan (strain energy).


ambar /. (a) :ebuah elemen dalam pengaruh tegangan tarik dan

(b) Diagram tegangan-regangan


5/20

;adi energi regangan elastis dalam (untuk sebuah elemen tidak berhingga

kecil yang mengalami tegangan sumbu tunggal (uniaksial) adalah

d& * 4 7x.dy.d9 < 6x.dx * 4 7x.6x.dx.dy.d9 * 4 7x.6xd= (>)

dimana d= adalah volume elemen

Dari persamaan (>) dapat diperoleh energi regangan yang disimpan dalam sebuah

benda elastis persatuan volume bahan, atau kerapatan energi regangannya %strain

energy density) (o

&o * d&'d= * 4 7x.6x (?)

@tau dapat ditafsirkan sebagai luas diba"ah garis miring pada digram tegangan-

regangan (gambar /(b)). %uas yang dibatasi oleh garis miring dan sumbu vertikal dari

diagram tersebut disebut energi komplementer.

& * + 7xA6xd= (B.a)

&c * + 6xA7xd= (B.b)

&ntuk bahan linier elastis, kedua luas adalah sama besar

( = (c = *+.,+d- (C)

3atatan #ersamaan-persamaan diatas berlaku pula untuk tegangan-tegangan normal

7ydan 79serta regangan-regangan yang bersangkutan 6ydan 69.

#ada daerah elastis berlaku hukum ooke, *+= &.,+, maka persamaan (C) dapat ditulis

dVE

U x2

21 = ()

Dari konservasi energi didapat W = ( (E)


gaya rata-rata jarak

kerja


6/20

&ntuk batang prismatis elastis yang dibebani beban P dan kekakuannya k, dan

mengakibatkan displacement sebesar u, maka energi elastisnya dapat diturunkan dari

persamaan (/)

U = P.u =L

EAu

EA

LP

k

P

222

222

== dimana # * k.u danEA

PLu= (F)

.1. &nergi 'egangan &$astis Da$am enturan /urni

&ntuk elemen yang mengalami lentur, dari persamaan () dapat diturunkan persamaan

sebagai berikut dAdxIyM

EdV

EU x ...1

2

21

2

21 == ()

dimanaI

yMx

.= dan d= * dx.d@

dengan dx adalah panjang elemen dan d@ adalah luas penampang, dan ! * + y / d@,

maka energi elastis untuk lentur dxEI

MdAydx

EI

MU Lluaspanjang

2

0212

2

2

21 . == (/)

.. &nergi 'egangan &$astis (ntuk Tegangan 0eser

@nalog dengan perhitungan yang dibuat untuk tegangan sumbu tunggal.

d&geser* 4 G.dx.d9 < H.dy * 4 G.H. dx.dy.d9 * 4 G .H d=(2)

dimana d= adalah volume elemen kecil tak berhingga, G adalah tegangan geser dan H

adalah regangan geser.

Dengan menggunakan hukum ooke untuk tegangan geser, G * .H , maka energi

elastis untuk geser dVG

dVUgeser

2

21

21

== (>)

Dimana adalah 0odulus elastisitas geser'modulus ketegaran (modulus of rigidity)


gaya rata-rata jarak

kerja


7/20

.. &nergi 'egangan &$astis (ntuk Torsi

dxGJ

Ugeser

2

21 = (?)

Dimana I adalah tegangan torsi dan ; adalah momen inersia polar penampang

terhadap sumbu x.

#. /etode 2erja 3yata

0etode kerja nyata yaitu metode untuk mendapatkan defleksi langsung dengan

menyamakan kerja luar dengan kerja dalam We= Wi (B)

. &nergi 'egangan Tota$

$ila lebih dari satu macam deformasi terjadi, maka total energi regangan adalah jumlah

dari energi regangan dari berbagai deformasi tersebut.



8/20

4. /etode 2erja /aya untuk 5na$isa De6$eksi

0etode kerja nyata yaitu metode untuk mendapatkan defleksi langsung dengan

menyamakan kerja luar dengan kerja dalam, mempunyai kerugian karena biasanya

yang kita peroleh itu hanyalah de6$eksi yang disebabkan o$eh satu gaya saja.

0etode kerja maya merupakan salah satu metode untuk mengatasi kesukaran ini

dengan berdasarkan prinsip kekekalan energi. #ada metode kerja maya selain defleksi

akibat beban luar, defleksi akibat pengaruh lainnya juga boleh digunakan.

:uatu sistem mekanis yang nyata atau suatu sistem struktur yang berada dalam

keseimbangan statis dapat kita pindahkan dengan sembarang asal sesuai dengan

syarat-syarat batasnya. :elama proses ini gaya rii$yang bekerja pada sistem tersebut

bergerak me$a$ui pergeseran khaya$ atau maya, dan gaya khaya$ atau maya dalam

keseimbangan dengan sistem yang diketahui tersebut, dapat kita berikan pergeseran

yang rii$dan diterima secara kinematis.

$ila gaya riil mengalami perpindahan maya, maka gaya ini akan bekerja dengan

harga konstan (tidak bertambah secara perlahan-lahan dari nol), maka faktor setengah

tidak ada dalam persamaan rumus di metode kerja maya (!ngat rumus-rumus

persamaan di metode kerja nyata)

@9as kekekalan energi berlaku untuk gaya dan pergeseran yang terjadi dengan

cara di atas. J#erubahan kerja luar mayaJ harus sama dengan Jperubahan kerja dalam

mayaJ dalam elemen-elemen sebuah benda 7We= 7Wi (C)

3atatan tanda digunakan untuk membedakan dengan d.

adalah perubahan kerja maya.

#ersamaan (C) menyatakan secara matematis a9as kerja maya.

#ada sistem benda kaku ruas kanan persamaan (C) akan menjadi nol, sedang untuk

sistem elastis ruas kanan akan sama dengan perubahan maya energi regangan dalam

&.



9/20

8injaulah sebuah benda seperti yang terlihat pada ambar (2). Kita akan

mencari defleksi suatu titik dari sebuah benda (misal titik @ dalam arah @$) yang

disebabkan oleh deformasi yang sembarang dalam benda tersebut.

(a) (b)

ambar 2. #enurunan rumus defleksi dengan kerja maya

0ula-mula, berikan$ah pada benda yang tidak dibebani suatu gaya khaya$

atau maya F yang bekerja dalam arah @-$. aya ini mengakibatkan terjadinya gaya

dalam (

f ) pada seluruh benda tersebut seperti terlihat pada gambar (2.a)

Dengan gaya maya yang tinggal pada benda, berikan$ah gaya yang

sesungguhnya atau nyataseperti terlihat pada gambar (2.b). al ini mengakibatkan

deformasi riil A% yang dapat dihitung. Karena deformasi ini, sistem kerja maya dapat

bekerja.


aya dalam elemen tertentu adalah

f

A

B

Deformasi dalam elemen yangdisebabkan oleh gaya riil adalah A%

A

B

P1

P

L

Kedudukan akhir @

#ergeseran titik @ dalam arah @$ adalah A


10/20

Kerja luar yang dilakukan oleh gaya mayaF yang bergerak sejauh A yang riil

dalam arah gaya ini sama dengan kerja total yang dilakukan pada elemen-elemen

dalam oleh gaya maya

f yang bergerak sejauh jarak A% masing-masing.

F .8 = 9

f . 8 ()

1 .8 = 9

f . 8 (E)

dimana A * defleksi riil sebuah titik dalam arah gaya satuan maya terpakai

f * gaya-gaya dalam yang disebabkan oleh gaya satuan maya

A% * Jdeformasi dalam riilJ dari sebuah benda

#rosedur penggunaan gaya satuan dalam hubungannya dengan kerja maya disebut

Metode Beban Buatan Satuan (Unit Dummy Load Method)

4.1. T'( %'53025 :5T530)

:uatu gaya satuan maya harus diberikan pada sebuah titik dalam arah defleksi

yang akan ditentukan. $ila deformasi riil adalah elastis linier dan disebabkan hanya oleh

deformasi aksial, makaAE

PLL= dan persamaan (E) menjadi

=

=

n

i ii

iii

EA

LPp

11(/F)

dimanai

p

* gaya aksial dalam sebuah batang yang disebabkan oleh gaya satuan

maya

#i * gaya aksial dalam sebuah batang yang disebabkan oleh beban riil.

3atatan Penjum$ahan me$iputi semua batang susunan rangka.


semu

riil


11/20

4.. :5;2

$ila defleksi sebuah titik pada sebuah balok elastis ditentukan dengan metode

kerja maya, maka pertama-tama gaya satuan maya haruslah diberikan dalam arah

defleksi yang akan dicari itu.

(a) 0omen lentur maya (b). 0omen lentur riil 0 dan perputaran irisanyang dihasilkan

ambar >. Llemen-elemen sebuah balok

aya maya ini akan mengadakan Jmomen-momen lentur dalam ( m )J pada berbagai

irisan balok seperti terlihat pada ambar (>.a).

:esudah gaya-gaya riil diberikan kepada balok, momen lentur Mmemutar Jirisan-irisan

bidangJ balok sebesar dxEI

Md = (radian), ;adi, kerja yang dilakukan pada elemen

sebuah balok oleh momen maya ( m ) adalah dx

EI

Mm

. Dengan mengintegrasikan

terhadap panjang balok didapat kerja luar pada elemen-elemen dalam. Dari persamaan

(E) didapat

=

L

dxEI

Mm

0

1 (/)


dxEI

M

dx

m

m 0 0

dx


12/20

&ntuk mendapatkan perputaran sudut irisan tertentu sebuah balok, bila

keterangan diatas memakai gaya satuan maya, maka disini suatu kopel satuan maya

diberikan kepada balok itu pada irisan yang ditinjau.

Kopel maya ini menghasilkan Jmomen-momen lentur dalam ( m )J di sepanjang

balok. :etelah gaya-gaya riil diberikan, mereka mengakibatkan perputaran dxEI

Md =

dari penampang. @nalog dengan keterangan diatas didapat

=

L

dxEI

Mm

0

1 (//)

dimanam * momen lentur yang disebabkan oleh pembebanan maya

M * momen lentur yang disebabkan oleh pembebanan riil

3atatan karenam dan Mbiasanya berubah


13/20

$ila struktur dalam kondisi setimbang oleh beban maya (Pi) yang menyebabkan

tegangan dan dikenai beban Pi yang menyebabkan displacemet ui di lokasi dan

searah dengan arah dari gaya maya tersebut, maka akan memberi persamaan

i

n

i

i

vol

e

PudV

WU

=

=

=

1


(/B)


14/20

Contoh 1.

itunglah defleksi vertikal titik $ dalam susunan rangka baja bersambung pasak yang

terlihat dalam gambar 3.. yang diakibatkan oleh sebab-sebab berikut

a. Deformasi elastis dari batang-batang

b. #erpendekan batang @$ 2 mm melalui suatu tekuk putar

c. :uhu yang turun sebesar BFF3 yang terjadi dalam batang $3. Koefisien muai

termis baja adalah F,FFFF/ meter-per-meter derajat 3elcius. @baikanlah

kemungkinan penekukan menyamping dari batang tekan tersebut. L *

/FFkM'mm/.

(a) Nangka baja (b). #embebanan maya (c). #embebanan nyata

ambar 3.. Nangka baja pada soal contoh .

Penye$esaian.

:udut O * arc tg (EFF'/FF) * 2B,BEEo

Kasus (a)

#ada gambar (3..b) aplikasi beban satuan di titik $ yang ditinjau. aya-gaya batang

(

p ) yang dihasilkan dihitung.#ada gambar (3..c) aya-gaya batang (#) akibat beban luar dihitung


/ kM

@ * EF mm/

% * ,? m

/FF mm

EFF mm

EFF mm

::

5

C:

@ * ?F mm/

% * ,? m

4 kM

-F,22 kM

PF,22 kM

kM

/'2 kM

/'2 kM 4 kM

::

5

C:

B kM

-F kM

PF kM

/ kM

kM

kM B kM

::

5

C:


15/20

BATANG

p (kN) P (kN) L (mm) A (mm2)

A

PLp

AB +0,8333 +10 1500 90 139

BC -0,8333 -10 1500 150 83

Jumlah = 222

mm

kmmEA

LPpn

i ii

iii

11,1

11,1200

2221

1

=

=== =

3atatan - 8itik $ berdefleksi ke ba"ah.

- aya tarik dalam batang diambil positif dan sebaliknya.

- Perhatikan benar


16/20

itunglah defleksi pada pertengahan bentangan sebuah balok kantilever yang dibebani

seperti terlihat di ambar (3./). L! dari balok adalah konstan.

ambar 3./. #embebanan soal contoh /.

Penye$esaian A

0omen dititikxQL

x!x

L

x!

"

xM o

3..

3

0 == (F R x R %)

m * F (F R x R %'/)

m * - (x S %'/) (%'/ R x R%)

mEI

L!

dxL

x!Lx

EIdx

L

x!

EI

dx

EI

Mm

o

L

L

o

L

o

L

!80,3

!9

2

1

)0(

1

1

!

2"

32"

0

3

0

=

++

=

=

mEI

L!o

!80,3

!9 !=

3ontoh 2.


M

5

x

Lx!o

"o

%'/ %'/

Diagram 0

Diagram

%a). Pembebanan 'ii$

%b). Pembebanan /aya


17/20

itunglah defleksi arah ke ba"ah ujung 3 yang disebabkan oleh gaya terpakai sebesar

/ kM dalam struktur yang terlihat pada ambar (3.2.a). @baikanlah defleksi yang

disebabkan oleh geser. (L * C.FCkM'm/)



18/20


4

3

D

A B

C

Batang A = 5 x 10-4

m2

P =

2kN

2 m 4 m

Balok A = 50 x 10-4

m2 I = = 6 x 10-5

m4

(a)

am!a" #$3$ %oal &onto' 3$

1

2

x

(-)

4 kN

3 kN4 kN

A B

C

D

kN1

(!)

Pembebanan Maya :

-4 kN 0 kN

5

kN

2 kN

4 kNm

1


19/20

Penye$esaian A

:uatu gaya maya satuan sebesar kM diberikan dalam arah vertikal pada titik 3. ayaini mengakibatkan suatu gaya aksial dalam batang D$ dan @$, dan menghasilakn pula

momen lentur dalam balom @3 (ambar 3.2.b). @nalog untuk gaya terpakai riil

(ambar 3.2.c). ;adi de6$eksi titik C tergantung pada de6ormasi yang disebabkan

o$eh gaya aksia$ dan momen $entur.

#ersamaan kerja maya

+=

L

dxEI

Mm

AE

PLp

0

1

BATANG

p (kN) P (kN) L (m) A (m2)

A

PLp

DB +5 +10 2,5 5 # 10-! +250.000

AB -! -8 2 50 # 10-! +12.800

Jumlah = +22.800

kmEA

LPpn

i ii

iii 3

$1

10$5,310$

800.22

=

+==


21

4

x

(-)

8 kN

6 kN8 kN

A B

C

D

2 kN

(&)

Pembebanan Riil :

-8 kN 0 kN

10 kN

4 kN

8 kNm

1


20/20

( ) ( )( ) kmdxxxEI

dxxxEI

dxEI

MmL

3

!

0

11

2

00

1025,1521

!)2(1

+=+=

;adi x A * (2,C? P ?,/?).F-2* E. F-2kMm

A * E. F-2

m * E mm (arah ba"ah)

3ontoh >.

itunglah rotasi di @ pada sebuah balok sederhana yang dibebani dengan beban

merata T sepanjang bentang %.

Penye$esaian A

ambar 3.>. #embebanan soal contoh >.

0omen dititikxQ ( )2. xLx"

#M = (F R x R %)

=

L

xLm (F R x R %)

( )

EI

#L

L

xxLx

EI

#

L

xxLx

EI

#dxxLx

#

L

xL

EIdx

EI

Mm

L

LLL

2!!3

2

22

222

).(1

3

0

!32

0

32

0

2

0

=+=

+===

3atatan di 8itik @ diberi Jmomen mayaJ sebesar unit momen (satuan).

= 1

1 (+)

B

1"8 % &2

(+)Diagram 0

%

Diagram m

x

Pembebanan 'ii$

Pembebanan /aya

metode energi revisi

Documents