cipher main ria

7/21/2019 Cipher Main Ria

http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 1/22

Tugasan 1

Cipher Main Ria (Playfair Chiper)

Cipher Main Ria (Playfair Cipher) dipopularkan oleh Lyon Playfair, tetapi ia

telah dicipta oleh Charles Wheatstone, salah satu perintis telegraf. Cipher ini

menggantikan setiap pasangan huruf dalam teks biasa dengan sepasang lagi surat, adi

ia adalah seenis cipher. !ebagai contoh, mari kita menyulitkan mese "#umpa saya di

#ambatan $ammersmith malam ini". Pertama, penghantar dan penerima mesti

bersetuu dengan kata kunci tersebut.

Cipher Main Ria ialah penggantian cipher digraf. %a menggunakan adual di

mana satu abad akan ditinggalkan dan huruf&huruf disusun dalam grid ''. engan

kata lain,Cipher ini menggunakan digram dalam teks biasa sebagai unit tunggal dan

mentranslasikan unit ini kepada digram dalam teks cipher.

!ebagai contoh yang diberikan oleh Lord Peter Wimsey dalam Dorothy

Sayer’s a!e is Car"ase. alam kes ini, kata kuncinya ialah M#$%RC&. Matriks

ini dibina dengan mengisi huruf kata kunci (tolak penyalinan) dari kiri ke kanan, dari

atas ke ba*ah dan kemudian mengisi baki matriks dengan baki huruf dalam urutan

abad. $uruf ' dan dikira sebagai satu huruf. $uruf teks biasa dinyah sulitkan



(encrypted) kepada dua huruf dalam satu masa mengikut peraturan&peraturan yang

telah ditetapkan.

Cipher Main Ria adalah kemauan bagi cipher +monoalphabetic. -agi satu

perkara, apabila terdapat / huruf, maka terdapat //0/1/ digram yang menadikan

pengenalan bagi indi2idu adalah angat sukar. Cipher Main Ria ini mengambil masa

yang lama untuk dipecahkan. Cipher ini pernah digunakan semasa Perang unia 3e&

oleh tentera 4merika !yarikat.



aedah Peng*odan

Matriks pengekodan (coding matri) adalah Matriks yang mengandungi

persilangan antara obek dengan kod yang perlu digunakan. 3amus

3omputerpengekodan(coding) Proses menulis senarai suruhan sebenar bagi sesuatu

atur cara dalam bahasa pengaturcaraan komputer. 3amus 3omputer pengekodan

automatik (automatic coding) Rutin bahasa mesin yang disediakan untuk menanakan

kod atur cara secara automatik.

3amus 3omputer pengekodan capaian minimum (minimal access&coding)

Pengekodan yang digunakan dalam pengaturcaraan untuk mencari kedudukan data

supaya masa capaian dan masa pemindahan data dapat dikurangkan. 3amus

3omputer peranti pengekodan (coding de2ice) Peranti yang digunakan untuk

mengekodkan data atau obek mengikut sistem kod. 3amus 3omputer skema

pengekodan(coding scheme) 3aedah kera dan bentuk kod yang digunakan bagi

sesuatu sistem kod. 3amus 3omputerpengekodan perbuatan (kera, proses) me&

ngekodkan atau mengkodifikasikan5

Penyah*odan



Penyahkod ialah satu litar gabungan yang mempunyai fungsi yang hampir

sama dengan pengekod tetapi terbalik6sonsang. Penyahkod menerima satu paras aktif

pada salah satu inputnya (sama ada asas 7, asas 89 atau asas 8/) dan menukar input

tersebut kepada output yang dikodkan (sama ada dalam asas atau -C). Proses

menukar dari nombor yang biasa digunakan ke format yang dikodkan dipanggil

+nyahkod (encode). Penyahkod mempunyai maksimum n talian input dan n talian

output, seperti yang ditunukkan dalam Raah /.88. %nput dan output penyahkod boleh

adi aktif&tinggi atau aktif&rendah.

Tugasan +



:eno telah meresahkan para ahli matematik seak lebih dari dua ribu tahun yang

dahulu. Pada abad ke&8; ahli matematik yang bernama Cauchi dapat menyelesaikan

paradoks :eno dengan memuaskan. Cauchi menemukan solusi dengan limit deret

tanpa batasan. %a mempunyai empat enis iaitu Paradoks ikotomi, Paradoks 4chilles

dan 3ura&kura, Paradoks 4nak Panah dan Paradoks !tadium. i <unani, terdapat satu

set teka&teki yang disebut Paradoks :eno. Paradoks ini pertama kali dilontarkan oleh

filsuf :eno dari =lea, kira&kira pada abad kelima !M. !ebuah paradoks adalah sebuah

pernyataan yang betul atau sekelompok pernyataan yang menuu ke sebuah situasi

yang berla*anan dengan institusi.

Parado*s Di*otomi,

Paradoks ikotomi memba*a maksud sebuah benda yang bergerak tidak akan

mencapai tuuan. Pada mulanya, benda harus menempuh bahagian setengah

peralanan. selepas itu, ia harus mele*ati banyak bahagian seperti satu perempat, satu

per lapan, satu per enam belas dan sebagainya. -erikutnya hingga umlah

peralanannya menadi tak&hingga.

%a disebabkan agak mustahil untu* mela*u*an per-alanan se.anya* yang mung*in

atau ta*/hingga, maka benda tidak akan sampai tuuan.

http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes

http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno_of_Elea

http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno_of_Elea

http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes



+, Parado*s %"hilles dan ura/*ura

Achilles dan Kura-kura melakukan lomba lari, meskipun begitu, kura-kura diizinkan start lebih

awal.

Agar dapat menyamai kura-kura, Achilles menetapkan sasaran ke tempat kura-kura saat iniberdiri .

Akan tetapi, tiap kali Achilles bergerak maju, kura-kura juga bergerak maju. Ketika Achilles

sampai di tempat kura-kura, kura-kura sudah berjalan sedikit ke depan.

Lalu Achilles mengejar posisi kura-kura yang sekarang . Akan tetapi setibanya di sana, kura-

kura juga sudah maju sedikit lagi.

Lalu Achilles mengejar posisi kura-kura yang sekarang . Akan tetapi setibanya di sana, kura-

kura juga sudah maju sedikit lagi. Demikian seterusnya ad infinitum.

adi kesimpulannya! mustahil bagi Achilles untuk bisa menyamai kura-kura dalam balapan.

>. Parado*s %nah panah,

"isalnya kita membagi waktu sebagai #deretan masa-kini$. Kemudian kita lepaskan anak

panah. Di setiap #masa-kini$ anak panah menduduki posisi tertentu di udara.

%leh karena itu anak panah dapat dikatakan diam sepanjang waktu.

0, Parado*s Stadium

&erdapat tiga buah barisan benda A, ', dan ( di lapangan tengah stadion.

'arisan A terletak diam di tengah lapangan. )ementara ' dan ( masing-masing terletak di

ujung kiri dan kanan A.

Kemudian ' dan ( bergerak saling mendekati dengan kecepatan yang sama *hendak bersejajar

dengan barisan A+.



Antara #)ebelum$ dan #)esudah$, titik ( paling kiri melewati dua buah ', tetapi cuma satu

buah A.

'erarti waktu ( untuk melewati ' setengah waktu untuk melewati A. adahal A dan ' adalah

unit yang identik

"ungkinkah setengah waktu satu waktu/

Alkisah, Achilles bertemu seekor kura-kura darat di jalan. Si kura-kura, yang akalnya lebih cepat daripada

kakinya, menantang sang pahlawan tangkas untuk berlomba. Dengan geli Achilles menerimanya. Si kura-kura

bertanya apa boleh start duluan, sebab dirinya jauh lebih lambat daripada sang setengah dewa. Achilles

mengiyakan dengan gembira, kura-kura pun mulai bergerak. Setelah mengambil sedikit waktu untuk

mengencangkan salah satu tali sandal di mata kakinya, Achiless meloncat dari garis start. Dalam waktu tak

lama, dia menempuh setengah jarak yang memisahkannya dari kura-kura. Sekejap berikutnya, dia sudah

menempuh tiga 3/4 jarak. Sejenak berikutnya dia menempuh /!, dan kemudian "#/"$. %api tak peduli

seberapa cepat pun dia berlari, selalu ada sisa sedikit jarak. &ahkan, rupanya sang pahlawan tak pernah

mampu menyusul kura-kura yang lambat dan berat itu.

Seandainya Achiless menghabiskan lebih banyak waktu mempelajari 'ilsa'at daripada berlatih di gimnasium,

dia akan tahu bahwa dirinya sedang memerankan contoh klasik yang biasa mengilustrasikan salah satu

paradoks (eno, yang menolak kemungkinan semua gerak. (eno merancang paradoks Achiless dan kura-kura,

dan teka-teki yang mengiringinya )nanti kita bahas lebih jauh*, untuk mendukung teori-teori 'ilsa'at gurunya,

+armenides.



eduanya adalah warga lea, koloni unani di talia selatan. ira-kira tahun 44# S0, +armenides dan (eno

bertemu Socrates di Athena untuk bertukar gagasan mengenai persoalan 'ilsa'at dasar. +eristiwa itu, salah satu

pertemuan intelektual terbesar dalam sejarah )jika betul-betul terjadi*, dikenang dalam dialog Parmenides

karya +lato. +armenides, seorang pemikir masyhur berusia hampir $# tahun, mengemukakan tesismengejutkan kepada Socrates belia1 2realitas adalah entitas tunggal yang tak berubah, kesatuannya tanpa

keliman. Dunia 'isik, argumennya, bersi'at monolitis. ebih rinci lagi, gerak adalah tak mungkin. 5alaupun

penolakan terhadap pluralitas dan perubahan terasa idiosinkratis, secara garis besar ini terbukti menarik bagi

banyak cendekiawan. 6ontoh, 2idealisme absolut 'ilsu' 78'ord 9.:. &radley )"!4$-";<4* punya kesamaan poin

dengan pandangan +armenidean.

=ambaran dunia ini bertentangan dengan pengalaman harian kita dan menurunkan persepsi paling

'undamental kita ke alam ilusi. >ntuk mendukung perkaranya, +armenides bersandar pada argumen kuat

(eno, yang kemudian direkam dalam tulisan Aristoteles. Selama dua setengah milenium, paradoks (eno telah

memancing perdebatan dan merangsang analisis. Akhirnya, menggunakan rumus kalkulus yang dikembangkan

dalam satu dekade belakangan ini, kita dapat memecahkan paradoks (eno. ?esolusinya tergantung pada

konsep in'initesimal, dikenal sejak @aman kuno tapi baru akhir-akhir ini dipandang oleh banyak pemikir

dengan skeptis.

isah Achiless dan kura-kura melukiskan salah satu paradoks (eno, biasanya diistilahkan sebagai 2%he

Dichotomy1 suatu jarak, misalnya antara kedua pesaing tersebut, yang harus dilintasi sebuah objek dapat

dibagi dua )"/<, "/4, "/!, dan seterusnya* ke dalam jumlah segmen ruang tak terhingga, masing-masing

melambangkan suatu jarak yang mesti ditempuh. Alhasil, (eno menyatakan gerak tak bisa diselesaikan sebab

selalu tersisa suatu jarak, tak peduli betapapun pendeknya. +enting untuk dicatat, dia tidak mengatakan bahwa

rentangan yang tak terhingga banyaknya menghasilkan jarak tak terhingga )mengingat geometri garis teriris

tak terhingga menunjukkan, tanpa kalkulasi rumit, bahwa jumlah irisan tak terhingga menghasilkan interal

terhingga*. eberatan (eno terhadap ide gerak lebih berasal dari keharusan menjelaskan bagaimana jumlah

aksi tak terhinggaBmelintasi satu interalBbisa diselesaikan secara bersambung.

(eno membuat serangan kedua terhadap 'ondasi konseptual gerak dengan memandang argumen pertama ini

dari perspekti' agak berbeda. +aradoks keduanya adalah sebagai berikut1 Sebelum objek, katakanlah anak

panah, mencapai tanda separuh jalan perjalanannya )capaian yang diakui dalam kasus sebelumnya*, ia harus



pertama-tama menempuh seperempat jarak. Sebagaimana dalam keberatan pertama (eno, argumentasi ini

bisa diteruskan tanpa batas untuk menghasilkan kemunduran tak terhingga, sehingga membawa pada

kekukuhannya bahwa gerak tak pernah bisa dimulai.

+aradoks ketiga (eno mengambil arah yang sama sekali berbeda. +aradoks ini menyatakan bahwa konsep

dasar gerak sama sekali kosong dari isi. (eno mengundang kita mempertimbangkan anak panah di satu jenak

penerbangannya. +ada titik waktu ini, anak panah menempati kawasan ruang yang setara dengan panjangnya,

dan tak ada gerak yang nyata. arena pengamatan ini benar di setiap jenak, maka anak panah tak pernah

bergerak. eberatan ini, secara historis, terbukti paling menyusahkan bagi para calon penjelas paradoks (eno.

&anyak 'ilsu' dan matematikawan melakukan berbagai upaya untuk menjawab keberatan (eno. +endekatan

paling langsung adalah menyangkal eksistensi masalah. 6ontoh, Cohann =ottlieb 5aldin, pro'esor 'ilsa'at

Cerman, menulis pada "!< bahwa (eno sang penganut aliran leatik, dalam berargumen menentang gerak,

berasumsi gerak itu eksis. Celas pro'esor hebat ini tidak mengetahui bentuk argumen yang dikenal sebagai

reductio ad absurdum1 menerima keadaan lalu membuktikan bahwa itu menimbulkan kesimpulan tak logis.

0eski demikian, cendekiawan lain membuat kemajuan dengan menggeluti bagaimana aksi berjumlah tak

terhingga dapat terjadi di dunia 'isik. +enjelasan mereka terus-menerus terjalin dengan ide in'initesimal,

interal ruang atau waktu yang memuat uintessence kekecilan )smallness*. Sebagian menduga kuantitas

in'initesimal sangat dekat dengan nol sehingga tunadaya )impotent * secara numerisE kuantitas semacam itu

akan mengelak dari semua pengukuran, tak peduli betapapun presisinya, seperti pasir menembus ayakan.

=ioanni &enedetti )"#3F-"#;F*, pendahulu =alileo, berpostulat bahwa ketika menurut (eno sebuah objek

tampak terbeku di udara, pada kenyataannya dia sedang melihat sebagian aksi, seolah menyaksikan slide show

ketimbang 'ilm. Di antara citra-citra statis yang dilihat (eno itu terdapat jenak-jenak waktu kecil in'initesimal

di mana objek bergerak sejauh jarak yang sama-sama kecil.

ang lain menghindari persoalan ini dengan berargumen bahwa interal-interal di dunia 'isik tak bisa dibagi

tak terhingga kali. 9riedrich Adol' %rendelenburg )"!F<-"!<* dari >niersitas &erlin membangun sistem

'ilsa'at yang menjelaskan persepsi manusia dari segi gerak. Dengan begitu, dia membebaskan diri dari

menjelaskan gerak itu sendiri.



Demikian halnya, di abad ini, 'ilsu' dan matematikawan nggris, Al'red Gorth 5hitehead )"!$"-";4*,

mengkonstruksi sistem meta'isik berlandaskan perubahan, di mana gerak adalah kasus khusus. 5hitehead

menanggapi keberatan (eno dengan bersikukuh bahwa peristiwa-peristiwa di dunia 'isik harus punya suatu

tingkatE yakni, mereka tak boleh seperti titik. &egitu pula, 'ilsu' Skotlandia, Daid :ume )"""-"$*, menulis,2Semua ide kuantitas yang menjadi landasan argumen para matematikawan tak lain adalah istimewa dan,

sebagaimana dikesankan oleh indera dan imajinasi, tidak bisa dibagi secara tak terhingga.

Bagaimanapun, subjek infnitesimal (entah eksis ataupun tidak) menghasilkan literatur panjang

dan sengitnya sendiri. Sampai akhir-akhir ini, kebanyakan matematikawan menganggapnya

gagasan tak masuk akal. Uskup Irlandia, Gerge Berkeley (!"#$-!%$&), dikenal terutama atas

teri idealistisnya, tapi dia juga bergelut dengan infnitesimal. 'ia peraya itu diknsepsikan

seara buruk leh matematikawan di masanya, termasuk ewtn. *Infnitesimal bukanlah

kuantitas terhingga, bukanlah kuantitas keil tak terhingga, dan bukan pula nihil. +idak blehkah

kita menyebutnya hantu almarhum kuantitas 'ia meninjau lebih jauh */papun yang dipikirkan

matematikawan tentang 0uksin 1laju perubahan2, atau kalkulus di3erensial, dan semaamnya,

sedikit renungan akan menunjukkan pada mereka bahwa, dalam bekerja dengan metde-metde

tersebut, mereka tidak mengknsepsikan atau membayangkan garis-garis atau permukaan-

permukaan selain dari apa yang bisa diindera.

4emang, matematikawan merasa bahwa infnitesimal sulit dihindari dalam rangkaian penemuan

mereka, tak peduli betapapun beni mereka menemukannya dalam teri. Beberapa sejarawan

peraya bahwa /rhimedes agung (sekitar 5#%-5!5 S4) menapai sebagian prestasi

matematikanya dengan meman3aatkan infnitesimal tapi memakai mde-mde yang lebih

kn6ensinal untuk penyajian ke publik. Infnitesimal meninggalkan bekas selama abad !% dan

!# serta dalam perkembangan kalkulus di3erensial dan integral. Buku-buku teks dasar sudah

lama meminta bantuan dari *inifnitesimal praktis untuk menyampaikan ide-ide tertentu dalam

kalkulus kepada pelajar.

7etika para analis berpikir untuk menjustifkasi eksistensi kuantitas-kuantitas keil ini, timbul

kesulitan yang tak terkira banyaknya. /khirnya, matematikawan abad !8 menemukan pengganti



teknis untuk infnitesimal dinamakan teri batas. 7eberhasilannya begitu sempurna sampai-

sampai beberapa matematikawan menyebut-nyebut sal *pembuangan infnitesimal dari disiplin

mereka. +api pada !8"9-an, tapak hantu infnitesimal di kridr-kridr matematika menjadi

sangat nyata sekali lagi, berkat penelitian ahli lgika /braham :binsn dari Uni6ersitas ;ale1lihat *nstandard /nalysis, tulisan 4artin 'a6is dan :euben <ersh, Sientif /merian, =uni

!8%52. Sejak saat itu, ditemukan beberapa metde peman3aatan infnitesimal selain pendekatan

:binsn.

Saat saya dan klega, Syl6ia 4iller, memulai penelitian kami mengenai paradks >en, kami

beruntung infnitesimal sudah dihrmati seara matematis. Seara intuiti3 kami tertarik leh

bjek-bjek ini sebab memberikan pandangan mikrskpis tentang detil-detil gerak. ?dward

elsn dari Uni6ersitas @rinetn meniptakan alat yang kami rasa sangat berguna dalam

serangan kami, sebuah merek analisis standar yang dilebih dikenal dengan nama membsankan,

internal set theory (IS+). 4etde elsn menghasilkan interpretasi mengejutkan atas struktur-

struktur matematis yang tampak 3amiliar. 'alam hal keanehan, hasilnya serupa dengan struktur-

struktur teri Auantum dan relati6itas umum dalam fsika. 7arena kedua teri ini diterima seara

luas nyaris sepanjang abad ini, kami kagum dengan daya imajinasi elsn.

elsn mengadpsi ara baru dalam mendefnisikan infnitesimal. 4atematikawan umumnya

memperluas sistem bilangan yang ada dengan menambahkan bjek-bjek yang memiliki atribut

diinginkan, mirip dengan peahan yang dibubuhkan di antara bilangan bulat. Bahkan, sistem

bilangan yang dipakai dalam matematika mdern, layaknya bukit karang, tumbuh seara

akumulati3 menjadi dasar penpang *+uhan meniptakan bilangan bulat, sisanya adalah karya

manusia, kata epld 7rneker (!#5&-!#8!). Cara IS+ justru adalah dengan *membelalak

keras pada sistem bilangan yang ada dan memperhatikan bahwa itu sudah memuat bilangan-

bilangan yang, memang wajar, bisa dianggap sebagai infnitesimal.

Seara teknis, elsn menemukan bilangan-bilangan nnstandar dalam deret riil dengan

menambah tiga kaidah, atau aksima, pada set !9 pernyataan penpang sistem-sistem paling

matematis. (+eri set >ermel-Draenkel adalah salah satu 3ndasi itu.) +ambahan-tambahan ini

memperkenalkan istilah baru, yakni standar, dan membantu kita menentukan mana di antara



teman-teman lama kita dalam sistem bilangan yang merupakan standar dan yang nnstandar.

+ak heran, infnitesimal jatuh dalam kategri nnstandar, bersama beberapa bilangan lain yang

akan saya bahas nanti.

elsn mendefnisikan infnetesimal sebagai bilangan yang terletak antara nl dan setiap

bilangan psiti3 standar. 4ulanya, ini mungkin terasa tidak menyampaikan gagasan kekeilan

tertentu, tapi bilangan-bilangan standar menakup setiap bilangan knkrit (dan segelintir lain)

yang bisa /nda tuliskan pada sehelai kertas atau /nda hasilkan dalam kmputer !9, pi, !E!999,

dan seterusnya. Fleh sebab itu, infnitesimal lebih besar daripada nl tapi lebih keil daripada

bilangan apapun yang dapat /nda tuliskan, berapapun keilnya. Bukan berarti infnitesimal-

infnitesimal semaam itu eksis, tapi 6aliditas knseptual IS+ telah didemnstrasikan hingga

derajat setara3 dengan keyakinan sah kita pada sistem matematis lain.

+etap saja infnitesimal adalah entitas yang sulit dipahami. 7esulitan ini bersandar pada 3akta

bahwa dua bilangan knkrityang memiliki isi numeristidak berselisih sebesar besaran

infnitesimal. Buktinya mudah, menurut reductio ad absurdum selisih aritmetis antara dua

bilangan knkrit harus knkrit (dan karenanya standar). =ika selisih ini infnitesimal, defnisi

infnitesimal sebagai 1bilangan2 yang lebih keil dari semua bilangan standar akan dilanggar.

7nsekuensi 3akta ini adalah, kedua titik ujung inter6al infnitesimal tidak bisa dilabeli

menggunakan bilangan knkrit. Fleh sebab itu, inter6al infnitesimal tak pernah bisa ditangkap

melalui pengukuranH infnitesimal tetap selamanya di luar jangkauan pengamatan.

antas bagaimana bilangan-bilangan siluman ini bisa dipakai untuk menyangkal paradks >en

'ari diskusi di atas, jelas bahwa titik-titik ruang atau waktu yang ditandai bilangan knkrit tak

lain adalah titik-titik terislir. +rayektri dan inter6al waktunya nyatanya dipadati kawasan-

kawasan infnitesimal. /lhasil, kita bisa menjawab keberatan ketiga >en ujung anak panah

terperangkap diam seara *stbskpik di titik-titik waktu yang dilabeli bilangan knkrit, tapi

sepanjang mayritas rentangan, suatu jenis gerak terjadi. Gerak ini kebal dari kritik >ennisme

sebab dipstulatkan terjadi di dalam segmen-segmen infnitesimal. Ine3abilitas mereka

menyediakan semaam kasa atau flter.



4ungkinkah prses gerak di dalam salah satu inter6al ini maju seragam sepanjang inter6al atau

lmpatan instan dari satu ujung ke ujung lain /tau mungkinkah gerak terdiri dari serentetan

langkah menengahEpengantara atau, kalau tidak, prses di luar waktu dan ruang sama sekali

7emungkinan-kemungkinannya tak terhingga, dan tak ada yang dapat di6erifkasi ataudikesampingkan sebab inter6al infnitesimal tak pernah bisa dimnitr. @enghargaan atas

bantahan ini layak dilayangkan pada Benedetti, +rendelenburg, dan hitehead berkat pandangan

awal mereka, yang kini dapat dirumuskan melalui IS+.

7ita bisa menjawab dua keberatan pertama >en lebih mudah daripada keberatan ketiga, tapi

kita perlu memakai satu 3akta matematis lain dari IS+. Setiap set bilangan tak terhingga memuat

bilangan nnstandar. Sebelum menarik implikasi >ennian dari pernyataan ini, kita perlu

membahas dua tipe bilangan nnstandar lain yang siap dihasilkan dari bilangan-bilangan

infnitesimal. @ertama, ambil semua bilangan infnitesimal, yang seara defnisi, terjepit di antara

nl dan semua bilangan psiti3 standar, lalu bubuhkan lambang minus di depan masing-

masingnya. ah kini terdapat pengelmpkan simetris bjek-bjek keil ini di sekitar nl. Untuk

meniptakan bilangan-bilangan nnstandar *ampuran, ambil suatu bilangan standar, misalnya

satu setengah, dan tambahkan padanya tiap-tiap infnitesimal nnstandar dalam kelmpk

sekitar nl. /ksi penambahan ini menggeser kelmpk infnintesimal asli ke psisi di tiap sisi

bilangan satu setengah. 'emikian pula, setiap bilangan standar dapat dipandang memiliki

kumpulan bilangan nnstandar sekitarnya sendiri-sendiri, masing-masing hanya berjarak

infnitesimal dari bilangan standar.

Bilangan riil terdiri dari bilangan bulat (bilangan bulat positif dan negatif), bilangan

rasional (bilangan yang dapat diekspresikan sebagai pecahan), dan bilangan irasional



(bilangan yang tak dapat diekspresikan sebagai pecahan). Bilangan riil dapat dilambangkan

sebagai titik di deret lurus yang dikenal sebagai deret riil (gambar atas).

Matematikawan Edward Nelson dari ni!ersitas Princeton melabeli tiga tipe bilangansebagai "bilangan# nonstandar dalam sistem bilangan standar ini. Bilangan$bilangan

infinetesimal nonstandar lebih kecil dari suatu bilangan positif standar tapi lebih besar dari

nol. Bilangan nonstandar campuran, diperlihatkan mengelompok sekitar angka %, dihasilkan

dari menambah dan mengurangi bilangan infinetesimal pada bilangan standar. Bahkan,

setiap bilangan standar dikelilingi oleh tetangga nonstandar campuran. Bilangan

nonstandar tak terbatas, dilambangkan sebagai N dan N&', merupakan balikan bilangan

infinitesimal nonstandar. etiap bilangan tak terbatas lebih besar dari setiap bilangan

standar tapi lebih kecil dari bilangan infinite riil. Bilangan riil nonstandar terbukti berguna

dalam memecahkan paradoks eno.

+ipe bilangan nnstandar ketiga adalah balikan infnitesimal (inverse of innitesimal). 7arena

infnitesimal sangat keil, balikannya akan sangat besar (di alam standar, balikan sepersejuta

adalah sejuta). +ipe bilangan nnstandar ini dinamakan bilangan tak terbatas (unlimited

number ). Bilangan tak terbatas, meski besar, adalah terhingga dan karenanya lebih keil

daripada bilangan tak terhingga yang terbentuk dalam matematika. Bilangan-bilangan tak

terbatas ini hidup di semaam Jna temaram antara bilangan standar 3amiliar, yang terhingga,

dan bilangan tak terhingga.

=ika, sebagaimana ditunjukkan dalam IS+, setiap set tak terhingga memuat bilangan nnstandar,

maka rentetan titik ek tak terhingga yang dipakai >en untuk mengukur gerak dalam argumen

pertamanya pasti memuat bilangan nnstandar ampuran. Bahkan, selagi rentetan bilangan tak

terhingga >en merangkak mendekati 1bilangan2 satu, anggta rentetan itu pada akhirnya akan

berada dalam jarak infnitesimal dari 1bilangan2 satu. @ada titik itu, semua anggta rentetan akan

menjadi anggta kelmpk nnstandar di sekitar satu, dan >en ataupun lainnya takkan bisa

memetakan kemajuan bjek bergerak di kawasan tak terakses ini.



/da unsur irni dalam penggunaan ketakterhinggaan, senjata >en, untuk mengempiskan klaim-

klaimnya. Untuk menyangkal paradks pertama >en, kita hanya perlu menyatakan prinsip

epistemlgis bahwa kita tak bertanggungjawab untuk menjelaskan situasi yang tak mampu kita

amati. :entetan titik ek tak terhingga milik >en memuat bilangan-bilangan nnstandar, yangtak punya makna numeris, sehingga kita menlak argumennya berdasarkan entitas-entitas ini.

7arena tak serang pun bisa, sekalipun seara prinsip, mengamati dmain utuh titik ek yang

diangkat dalam keberatannya, perilaku yang menjadi keberatannya dalam mempstulatkan

bjek bergerak dapat diperdebatkan. Banyak deskripsi gerak di alam mikr, selain yang memuat

rentetan utuh titik ek, bisa berlaku, dan karena skenari tertentu beliau menimbulkan persalan

knseptual, tak ada alasan untuk mengutuk ide gerak. /rgumen keduanya, yang berupaya

menunjukkan bahwa bjek bahkan tak bisa memulai gerak, menderita penyakit seperti yang

pertama, dan kita menlaknya atas dasar serupa.

7ita telah memeahkan paradks >en menggunakan beberapa hasil teknis dari IS+ dan prinsip

bahwa bilangan nnstandar tidak k untuk menggambarkan 3akta, baik yang teramati

ataupun terduga. +etap saja, masih banyak yang bisa dikatakan menyangkut persalan ini selain

jaminan bahwa keberatan >en tidak menghindarkan gerak. Bahkan, kita bisa mengknstruksi

teri gerak menggunakan hasil amat kuat dari IS+. +eri ini membuahkan hasil serupa

sebagaimana alat-alat kalkulus, tapi lebih mudah di6isualisasikan dan tidak menjadi sasaran

keberatan >en.

Sebuah terema yang terbukti dalam IS+ menyatakan bahwa terdapat set terhingga, sebut saja

D, yang memuat semua bilangan standarK 7nsekuensi wajar bahwa uma ada bilangan standar

terhingga memang terasa benar, tapi ternyata tidak. 'alam mengembangkan IS+, elsn perlu

menggunakan ara kn6ensinal matematikawan dalam membentuk bjek. @ernyataan dalam

IS+ disebut internal jika tidak memuat label *standar. =ika sebaliknya, pernyataan itu disebut

eksternal. 4atematikawan sering meniptakan subset dari set-set besar dengan mempredikatkan

sebuah kualitas yang menirikan tiap bjek dalam subsetbla yang merah atau bilangan bulat

yang genap. amun, dalam IS+ dilarang menggunakan predikat eksternal, semisal standar, untuk

mendefnisikan subsetH pembatasan ini dimasukkan guna menghindari kntradiksi. Cnth,

bayangkan set semua bilangan standar dalam D. Set ini akan terhingga sebab ia merupakan



subset dari set terhingga. Fleh sebab itu ia memiliki sedikitnya satu anggta, katakanlahr . +api

kemudian r L ! akan menjadi bilangan standar kurang dari r , di mana r dianggap sebagai

bilangan standar terkeil. =adi, kita tak bisa mengatakan bilangan standar berpanjang terhingga

atau tak terhingga, sebab kita tak bisa membentuk set mereka dan menghitung mereka.

amun demikian, set terhingga D, meski ara 6isualisasinya dibatasi, berguna untuk

mengknstruksi teri gerak kita. +eri ini dapat diekspresikan ukup sederhana sebagai 1langkah2

menempuh D, di mana setiap anggta D melambangkan mmen berbeda. Untuk mudahnya,

pikirkan saja bilangan-bilangan D yang berada di antara 9 dan !. /sumsikan waktu 9 sebagai

jenak ketika kita mulai mengikuti jejak bjek bergerak. =enak kedua ketika kita menba

mengamati bjek adalah waktu f !, di mana f ! adalah anggta terkeil D yang lebih besar dari 9.

aik menempuh D dengan ara ini, kita akhirnya menapai waktu f n, di mana f n merupakan

anggta terbesar D yang kurang dari !. 'alam satu langkah lagi, kita menapai ! itu sendiri,

destinasi dalam nth ini. 'alam rangka berjalan menempuh jarak nn-infnitesimal, semisal

rentangan dari 9 ke ! menggunakan langkah infnitesimal, subskrip n dari f n harus berupa

bilangan bulat tak terbatas. 'engan demikian prses gerak terbagi menjadi aksi-aksi n M !, dan

karena n M ! juga terhingga, bilangan aksi-aksi ini bisa diselesaikan seara sekuensial.

'i antara waktu-waktu pengamatan ptensial yang diidentifkasi di awal, kemajuan bjek hanya

bisa dilaprkan saat jenak-jenak tersebut, yang ekui6alen dengan bilangan standar tertentu

dalam D. (gmng-ngmng, f ! dan f n adalah nnstandar, sebab f ! seara infnitesimal dekat

dengan 9 sementara f n dekat dengan !.) Cnth, walaupun kita dapat mengeskpresikan bilangan

standar sampai suatu bilangan terhingga (tapi tidak tak terbatas) berkedudukan desimal dan

memakai penaksiran ini sebagai label pengukuran, kita tak dapat mengakses ekr perpanjangan

tak terbatas untuk mengubah digit dan menetapkan tetangga nnstandar yang dekat seara

infnitesimal. Bilangan standar knkrit saja yang e3ekti3 sebagai label pengukuranH kegunaan

tetangga nnstandar mereka untuk pengukuran adalah ilusi.

Kalkulus Memanfaatkan Infinitesimal



ntuk melihat relasi antarakalukulus infinitesimal dan diferensial, pertimbangkan kasus sederhana batu yang *atuh.

+arak yang ditempuh batu dalam satuan kaki bisa dihitung dari rumus s '-t , di mana t

sama dengan waktu yang dihabiskan dalam satuan detik. /ontoh, *ika batu *atuh selama dua

detik, maka ia sudah menempuh -0 kaki.

Namun bayangkan kita ingin menghitung kecepatan sesaat batu tersebut. 1ecepatan rata$

rata ob*ek bergerak sama dengan *arak tempuh dibagi total waktu. 2engan memakai rumus

ini pada perubahan infinitesimal total *arak dan waktu, kita dapat menghitung taksiran

kecepatan sesaat sebuah ob*ek.

3sumsikan dt melambangkan perubahan infinitesimal waktu dan ds perubahan inifintesimal

*arak. Maka perhitungan kecepatan batu setelah satu detik per*alanan adalah sebagai

berikut4 kerangka waktu yang dipertimbangkan berkisar dari t ' sampai t '&dt. Posisi

batu selama waktu tersebut berubah dari s '-(') ke s '-('&dt). 5otal perubahan *arak,

6dt&'-dt

, dibagi dt, sama dengan kecepatan rata$rata yang diinginkan, 6&'-dt.

1arena '-dt tak lain adalah bilangan infinitesimal, tak dapat dideteksi dengan cara apapun,

ia bisa dianggap sama dengan 7. +adi, setelah satu detik per*alanan, rumus ini menghasilkan

kecepatan sesaat batu 6 kaki8detik.



9ni tentu sa*a menyerupai manipulasi yang dipakai dalam kalkulus diferensial tradisional.

"2alam kalkulus diferensial#, sisa kecil '-dt tak bisa dicoret di akhir perhitungan: ia

merupakan kuantitas non$infinitesimal. ebaliknya, dalam kalkulus ini, ia harus dibuang

menggunakan teori batas. Pada hakikatnya, proses batas membuat inter!al pan*ang dtmen*adi cukup kecil sehingga kecepatan rata$ratanya mendekati 6. eperti sebelumnya,

kecepatan sesaat batu setelah satu detik per*alanan sama dengan 6 kaki8detik. 2emikian

halnya, penggunaan bi*ak kawasan$kawasan infinitesimal memfasilitasi perhitungan area

kawasan$kawasan rumit, yang merupakan masalah dasar kalkulus integral. ebagian

menganggap kalkulus baru ini lebih unggul secara pedagogi daripada kalkulus tanpa

infinitesimal. Meski begitu, kedua metode sama$sama teliti dan membuahkan hasil identik.

4asih banyak yang tak berguna dalam teri gerak ini, dan masih banyak yang belum disebutkan.

amun ini memadai dalam artian ia bisa dengan mudah diubah ke dalam ntasi simblis kalkulus

integral atau di3erensial, yang biasa dipakai untuk menggambarkan detil-detil gerak 1lihat boks di

atas2. ;ang lebih penting dalam knteks sekarang, keterhinggaan set D memungkinkan kita

melmpati lubang perangkap dalam dua paradks pertama >en. 7eberatan ketiganya terhindari

sebagaimana yang sudah-sudah gerakan dalam waktu riil adalah prses tak dikenal yang terjadi

dalam inter6al infnitesimal di antara titik-titik standar DH titik-titik nnstandar D tidak rele6an

mengingat mereka tak bisa diamati.



+he 4easurers, lukisan Belanda abad !% yang dikaitkan dengan <endrik 6an Balen,

mengilustrasikan perkataan penyair :mawi <rae */da ukuran dalam segala hal. amun, tak

peduli betapapun presisinya pengukuran, bilangan infnetesimal takkan pernah kita pahami,

sebab satuan ukuran berguna harus ekui6alen dengan bilangan standar.

Selama berabad-abad, lgika >en bertahan hampir utuh, membuktikan si3at keras kepala

argumennya. :eslusi dimungkinkan melalui dua ftur dasar IS+ pertama, kemampuan untuk

menyekat inter6al waktu atau ruang menjadi sejumlah infntesimal terhingga yang ine3abel dan,

kedua, 3akta bahwa titik-titik yang dilabeli standartitik-titik yang bisa dipakai untuk pengukuran

merupakan bjek terislir di deret riil. /pakah penelitian kami hanyalah slusi untuk teka-teki

kun 4ungkin saja, tapi ada beberapa arah lain yang bisa diperluas.

Selain nilai matematisnya, IS+ matang dengan impr epistemlgis, sebagaimana sudah

ditunjukkan leh analisis ini. Ia juga dapat dimdifkasi untuk memasukkan lgika epistemik

umum. Selain itu, inter6al infnitesimal, atau generalisasinya, menjanjikan sumberdaya teknis

untuk menampung apa yang dinamakan entitas aktual milik hitehead, atm generati3 sistem

flsa3atnya. +erakhir, teri gerak mutakhir dan prediksi fsika Auantum tidaklah berbeda dalam

artian keduanya membatasi pengamatan peristiwa-peristiwa tertentu hingga harga-harga

tersendiri. +entu saja, teri gerak ini bukanlah sebuah 6ersi mekanika Auantum (bukan pula teri



relati6itas). 7arena dihasilkan dari eksperimen pikiran terhadap syarat-syarat >en, teri ini tak

punya hubungan langsung dengan teri fsika sekarang. ebih jauh, kaidah spesifk yang diwarisi

dari IS+ barangkali bukan yang paling k untuk menggambarkan realitas. Disika mdern dapat

mengadaptasi pendekatan IS+ dengan memdifkasi sistem kaidahnya dan memperkenalkan*knstanta fsikal, barangkali dengan mengatributkan parameter pada set D.

+api mungkin juga tidak. +etap saja, kesederhanaan dan keanggunan eksperimen pikiran

semaam ini telah mengkatalisasi penelitian sepanjang Jaman. Cnth-nth mennjl meliputi

<einrih . 4. Flbers, yang mempertanyakan langit gelap di malam hari padahal bintang-

gemintang ada di segala arah, atau =ames 4aNwell, yang memanggil ampur-tangan setan

mikrskpis untuk mengkritik hukum termdinamika kedua seara habis-habisan. 'emikian

halnya, argumen-argumen >en telah merangsang pemeriksaan ide kita sal gerak, waktu, dan

ruang. =alan menuju reslusi mereka dipenuhi peristiwa luar biasa.

Penulis

illiam I. 4aughlin adalah manajer teknis astrfsika antariksa anggih di =et @rpulsin

abratry di pasadena, Cali3rnia, di mana dia telah bekerja sejak !8%!. 'ia berpartisipasi

dalam banyak pryek untuk prgram antariksa /S, termasuk prgram pendaratan /pll di

bulan, misi Oiking ke 4ars, pryek In3rared /strnmial Satellite (I:/S ) dan Oyager, yang dia

tuangkan dalam artikel Sientif /merian 6ember !8#". 'ia menerima gelar B.S. dalam

teknik listrik pada !8"& dan @h.'. dalam matematika pada !8"#, keduanya dari Uni6ersitas

Cali3rnia, Berkeley. Selain itu, 4aughlin melakukan penelitian dalam bidang epistemlgi.

Bacaan Lebih Jauh

• A History of Greek Philosophy , Ol. 5 The Presocratic Tradition from Parmenides to

Democritus. . 7. Guthrie. Cambridge Uni6ersity @ress, !8"$.

• Zeno of Elea. Gregry Olasts dalam The Encyclopedia of Philosophy . 'isunting leh @aul

?dwards. 4amillan @ublishing Cmpany, !8"%.



• Nonstandard Analysis. 4artin 'a6is dan :euben <ersh dalam Sientif /merian, Ol.

55", . ", hal. %#-#", =uni !8%5.

• nternal !et Thoery" A Ne# Approach to Nonstandard Analysis. ?dward elsn dalam

Bulletin 3 the /merian 4athematial Siety, Ol. #&, . ", hal. !!"$-!!8#, 6ember

!8%%.

• An Epistemolo$ical %se of Nonstandard Analysis to Ans#er Zeno&s 'b(ections a$ainst

)otion. illiam I. 4aughlin dan Syl6ia . 4iller dalam Synthese, Ol. 85, . &, hal. &%!-

&#P, September !885.

R22%$

1, https344sainstory,5ordpress,"om4+6174684+64meme"ah*an/parado*s/9eno4

+, A History of Greek Philosophy , ?ol. 5 The Presocratic Tradition from Parmenides to

Democritus. W. 3. @uthrie. Cambridge Ani2ersity Press, 8;/'.

https://sainstory.wordpress.com/2013/08/20/memecahkan-paradoks-zeno/

https://sainstory.wordpress.com/2013/08/20/memecahkan-paradoks-zeno/



3. Zeno of Elea. @regory ?lastos dalam The Encyclopedia of Philosophy . isunting oleh

Paul =d*ards. Macmillan Publishing Company, 8;/1.

4. Nonstandard Analysis. Martin a2is dan Reuben $ersh dalam !cientific 4merican,

?ol. /, Bo. /, hal. 17&7/, #uni 8;1.

. !nternal "et Thoery# A Ne$ Approach to Nonstandard Analysis. =d*ard Belson dalam

-ulletin of the 4merican Mathematical !ociety, ?ol. 7>, Bo. /, hal. 88/'&88;7,

Bo2ember 8;11.

%. An Epistemolo&ical 'se of Nonstandard Analysis to Ans$er Zeno(s )*+ections

a&ainst ,otion. William %. McLaughlin dan !yl2ia L. Miller dalam !ynthese, ?ol. ;, Bo.

>, hal. >18&>7, !eptember 8;;.

cipher main ria

Documents