fismat_integral lipat (pribadi).pdf
TRANSCRIPT
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 1/76
Matematika untuk Fisika 1
BAB IV
INTEGRAL LIPAT
Bab ini hanya menyajikan pengenalan singkat tentang integral
lipat. Akan dibahas tentang penggunaan integral lipat dalam fisika antara
lain untuk menghitung luas bidang, volume, massa, koordinat pusat-
massa dan momen inersia. Di samping itu, dibahas pula transformasi
koordinat pada variabel integrasi sebagai upaya untuk memudahkan
perhitungan integral lipat yaitu dengan memperkenalkan konsep
Jacobian.
4.1. Pengertian Integral Lipat Dua
Luas di bawah kurva pada Gambar 4.1 dapat didekati
dengan menjumlahkan persegi-persegi panjang yang panjangnya
f ( x) dan lebarnya x . Geometri menunjukkan bahwa dengan
membuat lebar ,0 x maka jumlah luas persegi-persegi panjang
tersebut akan cenderung sama dengan luas daerah di bawah kurva,
yang bentuk penjumlahan ini dinyatakan sebagai integral. Sehingga
luas daerah di bawah kurva )( x f y dinyatakan sebagai:
dx ydx x f x x f
b
a
b
a x
)()(limLuas
0 (4.1)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 2/76
2 Integral Lipat
Jadi integral dx x f
b
a
)( merupakan limit dari jumlah luas persegi-
persegi panjang pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Menghitung luas daerah di bawah kurva )( x f y
Uraian di atas dapat dikembangkan untuk menghitung
volume benda di bawah permukaan ),,( y x f z misal volume
silinder di bawah binang seperti tampak pada Gambar 4.2. Mula-
mula bidang xy dibagi menjadi beberapa luasan kecil sebesar
).)(( y x A Dari setiap luasan ini dibentuk kotak vertikal ke
atas sampai permukaan ).,( y x f z
Volume silinder ini dapatdidekati dengan menjumlahkan seluruh volume kotak. Jika volume
kotak diperkecil yaitu dengan membuat x dan ,0 y maka
y
y( x)
O a b x x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 3/76
Matematika untuk Fisika 3
secara geometris jumlah seluruh volume kotak akan cenderung
mendekati volume silinder. Integral lipat-dua dari ),( y x f meliputi
seluruh luasan A dalam bidang xy tidak lain merupakan pendekatan
dari jumlah luasan ).)(( y x A Hal ini dapat dinyatakan dengan
ungkapan
y x y x f
y x
),(limvolume
00
A
zdxdy
A
dxdy y x f ),( (4.2)
Pernyataan (4.2) inilah yang dikenal sebagai integral lipat dua dari
fungsi ),( y x f terhadap daerah A .
Pada integral lipat dua berlaku beberapa sifat sebagi berikut:
(i). Jika ),( y x f f dan ),( y xgg dua fungsi terdefinisi pada
daerah A, maka
A A A
gdxdy fdxdydxdyg f )( (4.3)
(ii). Jika c sebuah tetapan, maka
A A
fdxdycdxdycf )( (4.4)
(iii). Jika A merupakan gabungan dua daerah A1 dan A2, maka
A A A
fdxdy fdxdy fdxdy
21
(4.5)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 4/76
4 Integral Lipat
Gambar 4.2 Integral lipat-dua dari ),( y x f z
4.2. Integral Berulang
Integral lipat biasanya dihitung dengan menggunakan integral
berulang. Untuk memahami perhitungan ini perhatikan sketsa luas
A berikut ini. Untuk menghitung A
dxdy y x f ),( , dapat dilakukan
dengan menggabungkan segiempat kecil-kecil dxdy sehingga
membentuk pita tipis, kemudian menjumlahkan seluruh pita ini
untuk menghasilkan luas daerah yang diinginkan.
Luasan A yang ditunjukkan pada Gambar 4.4, seluruhnya
merupakan daerah yang normal terhadap sumbu- x artinya setiap
garis yang tegak lurus sumbu- x hanya memotong dua kurva pada
z
O y
x
y
z=f ( x,y)
x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 5/76
Matematika untuk Fisika 5
batas daerah A. Untuk mengintegralkan pada daerah yang normal
terhadap sumbu-x ini, maka pertama-tama mengintegralkan
terhadap y, baru selanjutnya terhadap x. Batas bawah dan atas
daerah A adalah kurva )(1
x y dan )(2
x y , sedangkan batas kiri dan
kanannya berupa konstanta yitu x = a dan x = b. Sehingga bentuk
integral berulang yang tepat untuk digunakan sebagai berikut:
.),(),(
)(
)(
2
1
dxdy y x f dxdy y x f
b
a x
x y
x y y A
(4.6)
Gambar 4.3 Menghitung integral lipat untuk daerah A yang normalterhadap sumbu- x
Luasan A yang ditunjukkan pada Gambar 4.5, seluruhnya
merupakan daerah yang normal terhadap sumbu- y artinya setiap
garis yang tegak lurus sumbu- y hanya memotong dua kurva pada
batas daerah A. Untuk mengintegralkan pada daerah yang normal
terhadap sumbu-y ini, maka pertama-tama mengintegralkan
terhadap x, baru selanjutnya terhadap y. Batas batas kiri dan
y y2( x)
y1( x)
O a b x
y
y2( x)
y1( x)
O a b x
y y2( x)
y1( x)
O a b x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 6/76
6 Integral Lipat
kanannya daerah A adalah kurva )(1 y x dan )(2 y x , sedangkan
bawah dan atasnya berupa konstanta yitu y = c dan y= d. Sehingga
bentuk integral berulang yang tepat untuk digunakan sebagai
berikut:
.),(),(
)(
)(
2
1
dydx y x f dxdy y x f
d
c y
y x
y x x A
(4.7)
Gambar 4.3 Menghitung integral lipat untuk daerah A yang normal
terhadap sumbu- y
Gambar 4.6, mengilustrasikan daerah A yang normalterhadap sumbu- x maupun sumbu- y, sehingga untuk menghitung
integral meliputi daerah tersebut dapat digunakan persamaan (4.6)ataupun (4.7), sebagai berikut:
b x
a x
x y
x y y A
dydx y x f dxdy y x f
)(
)(
2
1
),(),(
d x
c y
y x
y x x
dxdy y x f
)(
)(
2
1
),(
O x
y
d
c
x2( y) x1( y)
y
d
c
x2( y) x1( y)
O x
y
d
c x2( y) x1( y)
O x
y
d
c
O a b x
y
d
c
O a b x
y
d
c
O a b x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 7/76
Matematika untuk Fisika 7
Gambar 4.6 Menghitung integral lipat untuk daerah A yang normal
terhadap sumbu- y maupun sumbu- x
Jika ),( y x f dapat dinyatakan sebagai perkalian dua fungsi,
misalnya ),()(),( yh xg y x f maka
d
c
b
a
b
a x
d
c y A
dy yhdx xgdydx yh xgdxdy y x f )()()()(),( (4.8)
Contoh 4.1Dengan menggunakan integral, hitunglah nilai
R
dydx y x 32 dengan R merupakan daerah berarsir berikut!
y
0
1
2 x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 8/76
8 Integral Lipat
Penyelesaian:
Persamaan garis yang melalui titik (0,0) dan (2,1) adalah x y
2
1
2
1
2
1
0
3232 x
x
x y
y R
dydx y xdxdy y x
dx y xy x
x
2
0
2
1
0
2
2
32
2
0
332
0
22
838
3
x xdx x x
x
013
8
3
5
Contoh 4.2
Hitunglah R
dydx x dengan R luasan pada gambar berikut !
Penyelesaian:
Persamaan garis yang melalui titik (0,0) dan (4,4) adalah y x
6 O
)4,4( 4
y
x R
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 9/76
Matematika untuk Fisika 9
Persamaan garis yang melalui titik 4,4 dan 0,6
12
1
12
1
x x
x x
y y
y y
46
4
40
4
x y
122424 x y x y y x2
16
Maka,
2
2
164
0
24
0
2
16
dydx
x
dydx xdydx x
y
y
y
y
y
y
y x
y x R
22
6
4
0
22
21
dy y y
y
y
dy y y y
y
y
4
0
22
41
22
636
dy y ydy y
y y y
y
y
y
318 2
318 4
0
2
83
4
0
22
81
40
8
1
2
318
4
0
32
y y y
Contoh 4.3
Hitunglah nilai integral R
dydx x , dengan R merupakan daerah
berarsir pada gambar berikut!
y 2 x y
82 x y
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 10/76
10 Integral Lipat
Penyelesaian:
R
dydx x
4
2
82
x
4
2
82
2
2
x
x
x x
x
x y
x y
dx xydxdy x
4
2-
423
4
2
82
x
32
4
14
3
282 2
x x xdx x x x
x
x
x
423423 241242
324
41444
32
416
3
166464
3
128
36
123
144
4.3. Integral Lipat Tiga
Pada pembahasan sebelumnya telah ditunjukkan bagaimana
menghitung volume benda dengan menggunakan integral lipat dua,
yaitu dengan membagi-bagi seluruh volume dalam volume balok-
balok kecil setinggi z yang luas penampangnya y x (lihat Gambar
4.2). Seluruh volume juga dapat dibagi-bagi menjadi kubus-kubus
kecil dengan volume y y x , sehingga
2 O 4 x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 11/76
Matematika untuk Fisika 11
V z y x
dxdydz z y x
000
limvolume (4.9)
Pernyataan (4.9) ini dikenal sebagai integral lipat tiga. Sedangkan
bentuk umum integral lipat tiga adalah
V
dxdydz z y x f I ),,( (4.10)
4.4. Penerapan Integral Lipat Dalam Fisika
Luas
Telah dijelaskan di muka, bahwa luas dapat dihitung dengan rumus
integral (4.1). sedangkan untuk menghitung luas suatu daerah
menggunakan integral lipat, misalnya pada Gambar 4.1, maka
seluruh luasan dibagi-bagi menjadi elemen luasan persegi sangat
kecil y x kemudian menjumlahkannya (Gambar 4.70), sehingga
diperoleh
dxdy y x A y
x00
limluas (4.11)
y
y( x)
O a b x x
y
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 12/76
12 Integral Lipat
(Gambar 4.70). Elemen luas Sedangkan elemen panjang busur (Gambar 4.71), dapat
dinyatakan sebagai
(a)
Elemen panjang busur ds didefinisikan seperti ditunjukkan pada
Gambar 4.8, yaitu
222 dydxds (4.11)
atau
.1
1
2
2
22
dydy
dx
dxdx
dydydxds
(4.12)
y
ds dy
O x
dx
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 13/76
Matematika untuk Fisika 13
Gambar 4.71. Elemen Panjang Busur
Dengan demikian, panjang busur dari y = f ( x) antara a dan b,
yaitu
b
a
b
a
dydy
dx
dxdx
dys
1
1
2
2
(4.13)
Volume
Untuk menghitung volume suatu benda dapat digunakan persamaan
(4.2) atau persamaan (4.9), yaitu
A
zdxdyvolume atau V
dxdydzvolume
Massa
Secara umum massa suatu benda M dinyatakan sebagai dm M .
Massa elemen luasan M yang rapat massanya ( x, y) pada daerah R dalam bidang- xy, dinyatakan oleh
R
dxdy y x M (4.12) ),(
Massa benda ruang M yang kerapatannya ( x, y, z) pada daerah G
dalam ruang- xyz, dinyatakan oleh
(4.13) ),,(G
dxdydz z y x M
Pusat massa
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 14/76
14 Integral Lipat
Secara umum koordinat pusat massa benda bermassa M
dinyatakan sebagai
M xdm
dm xdm x
(4.14)
Koordinat pusat massa elemen luasan ),( y x rapat massanya
( x, y)
R
R
dxdy y x
dxdy y x x
x),(
),(
,
R
R
dxdy y x
dxdy y x y
y),(
),(
(4.15)
Koordinat pusat massa elemen luasan dengan kerapatan homogen
R
R
dxdy
xdxdy
x ,
R
R
dxdy
ydxdy
y
Koordinat pusat massa ),,( z y x elemen ruang yang kerapatannya
( x, y, z) adalah
G
G
dxdydz z y x
dxdydz z y x x
x),,(
),,(
,
G
G
dxdydz z y x
dxdydz z y x y
y),,(
),,(
,
G
G
dxdydz z y x
dxdydz z y x z
z),,(
),,(
(4.16)
Sedangkan Koordinat pusat massa elemen ruang homogen ),,( z y x
G
G
dxdydz
xdxdydz
x ,
G
G
dxdydz
ydxdydz
y ,
G
G
dxdydz
zdxdydz
z (4.17)
Momen inersia
Momen inersia suatu benda yang berjarak l dari sumbu putardinyatakan sebagai
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 15/76
Matematika untuk Fisika 15
dM l I 2 (4.18)
Sehingga momen inersia elemen luasan terhadap sumbu putar
sumbu- x dan sumbu- y dinyatakan sebagai
A
xdxdy y x ydM y I ),(22
A
ydxdy y x xdM x I ),(22 (4.19)
Terhadap sumbu-z elemen massa berjarak22
y x , sehingga
momen inersia terhadap sumbu putar sumbu-z adalah
A
ydxdy y x y xdM x I ),()( 222
y x z I I I (4.20)
Ungkapan (4.20) dinamakan teorema sumbu tegak lurus. Selain itu
juga berlaku teorema sumbu sejajar, yaitu momen inersia pada
sumbu sejajar I// yang berjarak d dari pusat massa dirumuskan
sebagai
2
// Md I I
cm (4.21)
Contoh 4.4
Dengan menggunakan integral lipat, hitunglah luas daerah berarsir
berikut!
y 2 x y
4
y
-2 O 2 x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 16/76
16 Integral Lipat
Penyelesaian:
Cara 1
dxdy A
dx ydy dxdy dx A x
x
x
y
x y
x
x
y
x y
x
x
4
2
2
42
2
42
2
2
2
12
2
12
2
1
3
883
883
144
2
2
32
2
2
2
1
x x-dx-x
x
x
luassatuan 3
32
3
1648
3
1616
Cara 2:
luassatuan 3
328.
3
40
3
42
3
4
3
422
-
23
23
23
21
4
0
4
0
4
0
4
0
4
0
4
0
ydy ydy y
dy y ydy xdydxdydx A
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y x
y x
y
y
(jika kerapatannya seragam tentukan: massa, pusat massa,
momen inersia terhadap sumbu Y, momen inersia terhadap sumbu
pada garis x=1)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 17/76
Matematika untuk Fisika 17
Contoh 4.5:
Dengan menggunakan integral lipat, hitunglah luas daerah berarsir
berikut !
Penyelesaian:
Persamaan garis melalui titik (6,0) dan (3,9)
3
181835493
3
9
663
09
6
0
y x x y x y
x
y
x
y
dy y y
dy x
dx A
y
y
y y
y
3
18
dy
9
0
3
18
y
9
0
O 3 6 x
2 x y
9
y
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 18/76
18 Integral Lipat
y y
ydy y y
y
y
9
0
23
2
21
9
03
2
66
36
luassatuan 2
4518
6
8154
093
2
6
996 2
32
(jika kerapatannya seragam tentukan: massa, pusat massa,
momen inersia terhadap sumbu y, momen inersia terhadap sumbu
pada garis x=1)
Contoh 4.6
Sebuah pelat panjangnya 20 cm dan lebarnya 8 cm dapat
digambarkan sebagai berikut.
Jika (rapat massa) berubah linear sepanjang sumbu x ( pada
2cm
gram20,0 x dan pada 2cm
gram60,cm20 x )
Tentukan :
a.) Massa pelat
b.) Pusat massa pelat
y
8 cm
20 cm
220cm
g 260cm
g
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 19/76
Matematika untuk Fisika 19
c.)
Momen inersia pelat, jika (i) diputar terhadap sisi ; (ii)
diputar terhadap sisi y; (iii) diputar terhadap sumbu putar
sejajar x melalui pusat massa; (iv) diputar terhadap sumbu
putar sejajar y melalui pusat massa.
Penyelesaian:
Pertama-tama ditentukan persamaan σ sebagai fungsi x:
(gr/cm2) x(cm)
20 0
60 20
2022
1
202060
020
20
0
x
x x
a.) Menentukan Massa ( m )
gram 6400800 800
20202,
8
0
8
0
8
0
20
02
8
0
20
0
ydy
dy x xdydx xdydx y xm
b). Menentukan pusat massa ( y x, )
6400
202
,
,8
0
20
0
dydx x x
dydx y x
dydx y x x
x
8
0
20
0
2
8
0
20
0
2026400
1 202
6400
1 dydx x xdydx x x
8
0
8
0
20
0
22
3
28000
6400
1
103
2
6400
1
dydy x x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 20/76
20 Integral Lipat
cm67,11
3
35
3
224
6400
1000
3
28
6400
1000
8
0
y
6400
202
,
,8
0
20
0
dydx x y
dydx y x
dydx y x y
y
8
0
20
0
8
0
20
0
202
6400
1 202
6400
1 dydx y xydydx y xy
80
2
8
0
8
0
20
0
2 4006400
1 800
6400
120
6400
1 ydy ydy xy y x
cm46400
256008400
6400
1 2
atau dengan menggunakan sifat simetri maka m 42
8c y
Jadi, pusat massa pelat adalah ( y x, )
4,
3
35cm
c). Menentukan Momen Inersia
(i). Momen inersia bila diputar terhadap sumbu x
dydx x ydydx y x y I x 202,8
0
20
0
22
dydx y xy 202 22
8
0
20
0
dydx y x y ,2
dydx y xydydx x y 20220222
8
0
20
0
8
0
20
0
2
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 21/76
Matematika untuk Fisika 21
dy ydy xy y x 80020
8
0
2
8
0
20
0
222
2
8
0
3gcm33,136533
3
409600
3
800
y
(ii). Momen Inersia bila diputar terhadap sumbu y
dydx x xdydx y x x I x 202,
8
0
20
0
22
dy x x
dydx x x 3
202
202
8
0
20
0
3423
8
0
20
0
8
0
8
03
400000
3
400000 ydy
2g.cm67,10666663
3200000
(iii). Momen Inersia bila diputar terhadap sumbu putar sejajar
melalui pusat massa
Dengan menggunakan teorema sumbu sejajar
2
22
//
md I I
md I I md I I
xcmx
cmx xcm
24640033,136533
cmx I
2g.cm3,34133
10240033,136533
(iv). Momen Inersia bila diputar terhadap sumbu putar sejajar y
melalui pusat massa
Dengan menggunakan teorema sumbu sejajar
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 22/76
22 Integral Lipat
2
22
//
md I I
md I I md I I
ycmy
cmy ycm
2
2
g.cm 195555,563
35640067,1066666
Contoh 4.7
Sebuah pelat persegi dengan sisi b mempunyai kerapatan
homogen σ , sehingga massanya . Jika pelat tersebut
diputar dengan sumbu putar salah satu diagonalnya, tentukan
momen inersia pelat dan nyatakan jawaban anda dalam m dan b.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sifat simetri benda, maka dapat
diselesaikan dengan menghitung seperempat bagian dari pelat
tersebut. Dengan menempatkan diagonal pada sumbu
koordinat, maka dalam bidang kartesian ¼ persegi dapat
digambarkan sebagai berikut:
Gambar di atas merupakan seperempat pelat, dengan
meletakkan diagonal pelat pada kedua sumbu koordinat. Untuk
menghitung momen inersia dengan sumbu putar salah satu
diagonal, maka dapat dihitung dari 4 kali momen inersia pelat
segitiga dengan sumbu putar sumbu y . Sehingga diperoleh:
y
x
221b
b
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 23/76
Matematika untuk Fisika 23
4.5. Transformasi Variabel dalam Integral
Pada perhitungan integral tunggal, sering kali dilakukan
substitusi variabel untuk mempermudah perhitungan. Demikian
pula untuk mempermudah perhitungan integral lipat, sering kali
perlu melakukam transformasi variabel atau mengubah variabel
integrasi x dan y.
Selain sistem koordinat kartesian, dalam matematika ada
bermacam-macam sistem koordinat yang dikenal. Untuk sistem
koordinat dua dimensi antara lain koordinat kutub (polar).
Sedangkan untuk sistem koordinat tiga dimensi antara lain
koordinat silinder dan koordinat bola. Pilihan sistem koordinat
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 24/76
24 Integral Lipat
yang digunakan bergantung pada persoalan yang dihadapi. Oleh
karena itu, perlu diketahui transformasi (alih bentuk) dari satu
sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain.
Untuk melakukan transformasi sistem koordinat, selain
secara geometris dapat pula digunakan cara determinan. Cara
determinan ini dikenal sebagai metode Jacobi. Metode ini ini
berkaitan dengan pengertian Jacobian. Misal variabel ( x, y) dapat
dinyatakan dalam variabel baru (u,v). Pengertian Jacobian ( x, y)terhadap (u,v) dinyatakan dalam ungkapan berikut:
v
y
u
yv
x
u
x
vu
y x
vu
y x J J
),(
),(
,
, (4.22)
vu y x J J ,, disebut faktor Jacobian. Ungkapan
u x
( dibaca ‘do x
do u’) menyatakan turunan parsial x terhadap u yang nilainya sama
dengan turunan x terhadap u untuk variabel v tetap.
Dengan menggunakan faktor Jacobian, elemen luas dA dalam
koordinat (u,v) adalah
dudvvu
y x J dxdydA
,
, (4.23)
Penggunaan Jacobian dapat dikembangkan untuk tiga
variabel. Misal variabel ( x, y,z) dapat dinyatakan dalam variabel
baru (u,v,w), faktor Jacobian ( x, y,z) terhadap (u,v,w) dinyatakan
dalam ungkapan berikut:
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 25/76
Matematika untuk Fisika 25
w
z
v
z
u
zw y
v y
u y
w
x
v
x
u
x
wvu z y x J
),,(
),,( (4.24)
Transformasi koordinat kartesian ( x, y) menjadi koordinat
polar ),(
Hubungan antara sistem koordinat kartesian ( x, y) dan polar
),( diberikan oleh persamaan
,cos x sin y (4.25)
Dengan mengunakan persamaan (4.22), diperoleh faktor Jacobian
( x, y) terhadap koordinat polar ),( ,
cossin
sincos
),(
),(
y y
x x
y x J (4.26)
Dengan demikian,
d d dA (4.27)
dan
R R R
d d dxdydA (4.28)
Secara geometris elemen luas pada koordinat polar disajikan pada
Gambar 4.60.
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 26/76
26 Integral Lipat
Gambar 4.60. Elemen Luas Pada Koordinat Polar
Sedangkan elemen panjang busur dapat dilihat pada Gambar 4.61.
y
O x
d ϕ
+d
d ϕ
d
d d ϕ
y
O x
d ϕ ϕ
dsd
d ϕ
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 27/76
Matematika untuk Fisika 27
Gambar 4.61.
Dengan melihat daerah yang diarsir pada Gambar 4.61, maka
panjang busur ds
d d
d
d d
d ds
d d ds
2
2
2
2222
1
,
(4.21)
Transformasi koordinat kartesian ( x, y,z) menjadi koordinat
silinder ),,( z
Sistem koordinat silinder merupakan perluasan sistem koordinat
polar. Gambar 4.16, menunjukkan koordinat titik ),,( zP .
),( merupakan koordinat polar proyeksi titik P pada bidang- xy,
sedangkan z adalah koordinat z titik P seperti pada sistem kartesian.
Hubungan antara koordinat kartesius ( x, y, z) dan koordinat silinder
),,( z , dapat dinyatakan sebagai
.,sin,cos z z y x (4.29)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 28/76
28 Integral Lipat
Gambar 4.16. Koordinat silinder
Dalam koordinat bola, bidang-bidang berikut mempunyai
pernyataan yang sederhana:
-
bidang datar sejajar dengan bidang xy: z = konstan
-
separo bidang datar yang dibatasi sumbu z: konstan
-
bidang (kulit) silinder dengan poros sumbu z: = konstan
Ketiga permukaan ini selalu ortogonal, dan perpotongannya
merupakan kedudukan titik P.
Dengan menggunakan persamaan (4.24), diperoleh faktor
Jacobian koordinat kartesian ( x, y,z) terhadap koordinat silinder
),,( z
P( ,ϕ,z )
y
x
z
ϕ x
y
z
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 29/76
Matematika untuk Fisika 29
100
0cossin
0sincos
),,(),,(
z
z z z
z y y y
z
x x x
z z y x J
(4.30)
Dengan demikian,
dzd d dV (4.31)
dan
V V V
dzd d dxdydzdV (4.32)
Transformasi koordinat kartesian ( x, y,z) menjadi koordinat
bola ),,( r
Gambar 4.17, menunjukkan sebuah titik yang dinyatakan dalam
koordinat kartesian P( x, y, z) dan dalam koordinat bola dinyatakan
sebagai P ),,( r . Koordinat r adalah panjang vektor posisi titik P,θ adalah sudut antara vektor posisi dengan sumbu z dan ϕ adalah
sudut yang dibentuk antara proyeksi vektor posisi pada bidang xy
dengan sumbu + x. Perhatikan bahwa sudut terbatas pada nilai
0 , sedangkan sudut ϕ nilainya 20 .
P(r,θ,ϕ)
y
x
z
r
x y
z
ϕ
θ
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 30/76
30 Integral Lipat
Gambar 4.17. Koordinat Bola
Hubungan antara koordinat kartesian ( x, y, z) dan koordinat
bola ),,( r dinyatakan sebagai
.cos,cossin,cossin r zr yr x (4.23)
Dalam koordinat bola, bidang-bidang berikut mempunyai
pernyataan yang sederhana:
- Separo bidang datar yang dibatasi sumbu z: konstan
- bidang (kulit) kerucut dengan poros sumbu z yang berpusat
di titik asal: konstan
-
bidang (kulit) bola berjari-jari R: r = R
Berdasarkan (4.24), diperoleh faktor Jacobian
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 31/76
Matematika untuk Fisika 31
sin
0sincos
cossinsincossinsin
sinsincoscoscossin
),,(),,(
2r
r
r r
r r
z z
r
z
y yr
y
x x
r
x
r z y x J
(4.32)
Dengan demikian, elemen volume dalam koordinat bola adalah
d d dr r dV sin2 (4.33)
dan
V V
dxdydzdV V
d d dr r sin2 (4.34)
Contoh 4.8
Sebuah benda berupa pelat tipis berbentuk seperempat lingkaran
dengan jari-jari a dan kerapatan massa serba sama sebesar c.
Dengan menggunakan integral lipat koordinat polar, tentukan:
(a)
Luas pelat
(b)
Massa pelat
(c) Pusat massa pelat
(d) Momen inersia pelat jika diputar menurut sumbu putar pada
sisi yang saling tegak lurus ( y I atau x
I )
(e) Momen inersia pelat jika diputar menurut sumbu putar melalui
O dan tegak lurus pelat ( z I )
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 32/76
32 Integral Lipat
(f)
Momen inersia pelat jika diputar menurut sumbu putar melalui
pusat massa dan tegak lurus pelat ( cmz I )
Penyelesaian:
(a)
Luasnya
4
22
2
20
22
0 0
22
0 0
aad d d A
aa
satuan luas
(b) Massanya
massasatuan
4
,
2
2
0 0
ac
d d cd d cd d m
a
(c)
Pusat Massanya y x , karena simetris dan seragam
y
a
O a x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 33/76
Matematika untuk Fisika 33
m
d d c
dm
dm x
x
cos
d d cac
d d cm
aa
cos
4
1 cos
1
2
0 0
2
2
2
0 0
2
0sin
2
sin
3
4sin
3
4 3
22
0
0
3
2
a
aac
ca
3
401
3
4 3
2
aa
a
3
4a x y
Jadi, pusat massanya adalah
3
4,3
4),(
aa y x
(d) Momen inersia jika diputar menurut sumbu putar pada sisi
yang saling tegak lurus
dm y I x 2
d d cd d , σ 2322 sinsin
d cd d c
aaπ a
0
2
0
42
0 0
23 sin4
sin
2
0
4
0
4
2sin
4
1
2
1
4
2cos
2
1
2
1
4
π a
ca
d ca
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 34/76
34 Integral Lipat
0sin
4
10sin
4
1
44
4
π π
ca
16
0004
4
44 acca
416
24maca
I I x y
(e)
Dengan menggunakan teorema sumbu tegak lurus, momen
inersia terhadap sumbu putar pada sumbu z
281616
2444macacaca
I I I y x z
(f) Dengan menggunakan teorema sumbu sejajar, cmz I
2
//
2
// d m I I d m I I cmcm
2
2
2
2
2
222222
9
32
9
16
9
16
3
4
3
4
aaaaa y xd
2
44
2
2242
9
8
89
32
48
cacaacacad m I I zcmz
,28039,09
8
8 4
2
4
caca
4 11,0 ca
Contoh 4.9
Dengan menggunakan integral lipat tiga dalam koordinat bola,
tunjukkan bahwa rumus volume bola yang berjari-jari a adalah
343V a .
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan (4.34) diperoleh,
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 35/76
Matematika untuk Fisika 35
2
0 0 0
2
1 sinV
a
V dV r dr d d
2
0 0 0
2
sin 1
a
r dr d d
3 3
0 00
2cos 0 1 1 2 0
3 3
ar a
sehingga diperoleh34
3V a
Contoh 4.10
Hitunglah momen inersia bola pada contoh 4.9, terhadap sumbu
putar melalui pusatnya, jika bola homogen dengan massa jenis .
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persaman (4.18), maka dengan memilih
sumbu putar z, diperoleh
dM l I 2
2
0 0 0
22222
sin)sin()(
R
r d drd r r dM y x
2
00
3
0
4 sin d d dr r
a
23
4
5
5
a
15
8
5a
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 36/76
36 Integral Lipat
Dengan subsitusi ,4
3
33
34 a
m
a
m
V
m
maka momen
inersia bola bermassa m dengan jari-jari a terhadap sumbu putar
melalui pusatnya adalah:
2
5
2 ma I
Contoh 4.11
Massa jenis sebuah benda sama dengan kebalikan dari jaraknya
dari titik asal, r r /1),,( . Dengan menggunakan koordinat
bola, tentukan massa dan massa jenis rata-rata untuk bola berjari- jari a.
Penyelesaian:
Massa:
2
0 0 0
2 1sin
V
am dV r dr d d
r
0 0 0
2
sin 1
a
r dr d d
2 2
0 00
2cos 0 1 1 2 0
2 2
ar a
22 a
Massa jenis rata-rata sama dengan massa total dibagi volumenya,
2
343
mass 2 3
volume 2
m a
V a a
a2
3
Contoh 4.12
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 37/76
Matematika untuk Fisika 37
Sebuah bola yang jari-jarinya 2cm dilubangi dengan menggunakan
mata bor yang jari-jarinya 1cm. Jika lubang menyinggung garistengah bola, tentukan volume bola yang tersisa.
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan permasalahan ini digunakan koordinatsilinder dengan memilih sumbu z melalui pusat bola sejajar dengan
sumbu lubang.Gambar dibawah ini, menunjukkan tampang lintang bola tegak
lurus dengan sumbu lubang.
Dari gambar dapat dilihat bahwa 2/cos r . Sehingga persamaan
lingkaran batas lubang dengan titik acuan pusat bola dalam
koordinat polar adalah
cos2r
Sudut untuk satu putaran melingkari lubang
2 2
Salah satu tampang lintang bola yang sejajar dengan sumbu lubang
digambarkan sebagai berikut,
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 38/76
38 Integral Lipat
Pada setiap nilai r , tinggi (jarak) titik pada permukaan lubang dari bidang ekuator ( z=0) adalah
2 22 z r
sehingga elemen volume lubang
22 2 4dV z dA r r dr d
Volume lubang
2
0
2cos/2
/2
2 4V r r dr d
Integral ini tidak dapat dipisahkan karena r sebagai fungsi θ , yaitur = 2 cos θ .
Lubang pada bola simetris terhadap bidang (θ = 0)
2
0 0
2cos/2
4 4V r r dr d
2 2cos3/ 2/ 2
00
32
44
2
r d
3 3
/2 / 2
0 0
4 328 8sin 1 sin
3 3d d
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 39/76
Matematika untuk Fisika 39
2
/2 /2
0 0
321 sin sin
3d d
2
/ 2 / 2
0 0
321 1 cos sin
3d d
Dengan substitusi variabel u = cos θ , maka du = – sin θ dθ , dan
batas integrasinya 02
, 10 uu
.
1
3
0
/ 2
0
32 32 20 0
3 3 3 2 3
uu
16 64
3 9
= 9,6508 cm
3
Volume bola secara keseluruhan3
3
cm5338,333
2.4
V .
Sehingga volume bola setelah dilubangi sama dengan volume bola
dikurangi volume lubang yaitu 23,873 cm3.
RANGKUMAN
1. Integral lipat-dua didefinisikan sebagai
,),( A
dxdy y x f
dengan A adalah luasan pada bidang xy.
2. Koordinat pusat massa ),,( z y x dapat dihitung berdasarkan
persamaan
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 40/76
40 Integral Lipat
.,, zdM dM z ydM dM y xdM dM x
3.
Momen inersia I benda bermassa m yang berjarak l dari sumbu putar didefinisikan sebagai .2ml I
4.
Transformasi koordinat antara sistem koordinat polar dan
sistem koordinat kartesius dapat dinyatakan dengan persamaan
cosr x dan .sin r y
5. Transformasi koordinat antara sistem koordinat kartesius dan
sistem koordinat silinder dapat dinyatakan dengan persamaan
,cos r x ,sin r y z = z.
6. Transformasi koordinat antara sistem koordinat kartesius dan
sistem koordinat bola dapat dinyatakan dengan persamaan
,cossin r x ,sinsin r y .cos r z
7.
Elemen volume untuk sistem koordinat kartesius, silinder, dan
bola berturut-turut dapat dinyatakan sebagai berikut:
,dxdydzdV
,dzd d dV
.sin2 d drd r dV
8.
Jacobian ( x, y) terhadap (s,t ) dinyatakan dalam ungkapan
berikut:
.),(
),(
,
,
t
y
s
yt
x
s
x
t s
y x
t s
y x J J
11. Jacobian (u, v, w) terhadap (r , s, t ) dinyatakan dalam ungkapan
berikut:
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 41/76
Matematika untuk Fisika 41
.),,(),,(
,,,,
t
w
s
w
r
wt v
sv
r v
t
u
s
u
r
u
t sr wvu
t sr wvu J J
SOAL-SOAL
1.
Hitunglah
a.
1
0
6
1
8 x y
xdydx
b.
1
2
8
1
26 y x
dxdy xy
c.
6
0 0
2
x
x
y
ydydx
d.
1 1
0 0( 2 ) x x ye dydx
2.
Hitunglah A
dxdy y x ,)6( dengan A adalah segitiga yang titik-
titik sudutnya (0,0), (6,4), dan (8,0)
3. Hitunglah dA y x
D
2216
, dengan D adalah keping
lingkaran 1622 y x , dengan pertama-tama mengidentifikasi
integral sebagai volume benda padatan.
4.
Tentukan 2 2
D
x y dA dengan D luasan yang dibatasi oleh
1, 2, 0, y y x and x y
5. Hitunglan integral dxdzdye z y
z
3
3
1
1
1
4
1
5
2
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 42/76
42 Integral Lipat
6.
Dengan menggunakan koordinat polar tentukan volume benda
padat di bawah paraboloida 22 y x z dandi atas bidang
lingkaran 4922 y x .
7.
Dengan menggunakan integral lipat, hitunglah volume kotak
dengan ukuran tinggi 6cm, panjang 4cm dan lebar 3cm.
8. Gunakan koordinat polar untuk menghitung volume bola yang
berjari-jari 8 cm.
9.
Sebuah bola yang jari-jarinnya 10 cm dilubangi dengan mata
bor berjari-jari 1 cm melewati pusatnya. Tentukan volume
cincin-bola yang tersisa.
10.
Tentukan luas bidang bagian bola 9222 z y x yang berada
di atas bidang z = 2.
11.
Tentukan pusat massa pelat tipis yang dalam bidang koordinat xy dibatasi oleh parabola 264 x y dan sumbu x, jika
kerapatannya .2),( y y x
12.
Dengan menggunakan koordinat polar hitunglah
2
2
2 2sin( ) y
y x y dxdy
13.
Tentukan momen inersia sebuah kubus terhadap sumbu putar
x, jika salah satu titik sudutnya berada pada pangkal koordinat
dan ketiga rusuknya berada pada sumbu koordinat.
14.
Find the area of the part of the sphere z z y x 4222 that lies
inside the paraboloid 22 y x z .
15.
Dengan menggunakan koordinat silinder hitunglah integral
lipat tiga dV y
E
, dengan E benda padat yang terletak antara
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 43/76
Matematika untuk Fisika 43
silinder 322 y x dan 722 y x di atas bidang xy dan di
bawah bidang 4 x z .
16.
Dengan menggunakan koordinat bola hitunglah integral lipat
tiga dV xe
z y x
E
2222
, dengan E benda padat yang terletak
antara bola 9222 z y x dan 16222 z y x pada oktan
pertama.
17.
Dengan menggunakan koordinat bola hitunglah volume benda
padat yang berada dalam bola 9222 z y x di atas bidang xy
dan di bawah kerucut 22 y x z .
18. Dengan menggunakan koordinat bola atau silinder, hitunglah
integral lipat tiga dV z
E
, dengan E benda padat di atas
paraboloida 22 y x z dan di bawah bidang y z 4 .
19. Tentukan faktor Jacobian untuk transformasi
vu
v y
vu
u x
84,
72
20.
Dengan menggunakan koordinat bola hitunglah volume di atas
kerucut 2 2 2 z x y dan di dalam bola 2 2 2 2 x y z az .
21.
Hitunglah volume daerah oktan pertama yang dibatasi oleh
bidang 2 z y dan silinder x y 4 2 .
22.
Dengan menggunakan integral lipat hitunglah volume benda
padat yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang
x y z 24
23.
Dari soal no.21, hitunglah massanya jika kerapatan benda yz z y x ),,( .
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 44/76
44 Integral Lipat
17
.
Use spherical coordinates to find the moment of inertia of thesolid homogeneous hemisphere of radius 3 and density 1 about a
diameter of its base.
Select the correct answer.
a. 203.58 b. 198.08 c. 205.13 d. 213.5 e.195.22
1. (how do you check your answer?)4.
Gambar 4.13 Elemen luas koordinat polar.
Demikian pula elemen panjang bususr ds diperlihatkan pada
Gambar 4.14, yaitu
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 45/76
Matematika untuk Fisika 45
Gambar 4.14 Elemen panjang busur koordinat polar.Oleh karena itu, menurut (4.27) elemen luas dalam koordinat polar
adalah . rdrd Ini merupakan hasil yang telah diperoleh hasil
sebelumnya [Persamaan (4.20)].
merupakan Jacobian u, v, w terhadap r , s, t , maka dalam variabel
baru integral lipat-tiga (4.29) dapat dituliskan sebagai
.),,( dudvdwwvu f
(4.31)
Tentu saja f dan J harus dinyatakan dalam variabel r , s, t dan batas
integralnya harus disesuaikan dengan variabel baru. Kita dapat
menggunakan (4.30) untuk membuktikan elemen volume dalam
sistem koordinat silinder dan bola [Persamaan (4.24)]. Sebagai
contoh, kita akan menentukan elemen volume untuk koordinat
bola.
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 46/76
46 Integral Lipat
Gambar 4.15 menunjukkan bahan tipis berbentuk setengah
lingkaran dengan jari-jari a dan kerapatan konstan . Hitunglah (a)
pusat massa bahan dan (b) momen inersia bahan terhadap sumbu
putar y.
Gambar 4.15 Bahan tipis setengah lingkaran dengan jari-jari a.
Penyelesaian(a)
Berdasarkan sifat simetri, .0 y Untuk menghitung x
digunakan rumus sebagai berikut:
. xdAdA x
Dengan mengubah x ke dalam koordinat polar serta mengingat
(4.20), diperoleh
.3
4
,3
2sin
32
,cos
32/
2/
32
0
2/
2/0
2/
2/
a x
aaa x
drdrd r rdrd x
a
r
a
r
(b)
Momen inersia terhadap sumbu putar y diberikan oleh
persamaan
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 47/76
Matematika untuk Fisika 47
.2dM x I y
Dalam koordinat polar , rdrd dAdM
dengan konstan. Dengan demikian,
.8
cos4
0
2/
2/
222 adrd r rdrd x I
a
r
y
Dengan mengingat ,2
2
0
2/
2/
adrd r rdrd M
a
r
maka
.48
2 24
2
Maa
a
M I y
Dalam fisika, persoalan tiga-dimensi yang berbentuk silinder
atau simetri bola sebenarnya dapat diselesaikan dengan sistem
koordinat kartesius. Tetapi, dalam banyak hal penyelesaiannya
menjadi terlalu rumit. Untuk mengatasi penyelesaian yang rumit ini
biasanya dilakukan transformasi sistem koordinat dari kartesius ke
silinder atau bola. Dengan alasan ini, di samping sistem koordinat
kartesius dibahas pula sistem koordinat silinder dan bola. Keduasistem koordinat ini bersama-sama dengan sistem koordinat
kartesius akan dibahas lebih mendalam untuk menjelaskan
kesamaan dan perbedaannya.
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 48/76
48 Integral Lipat
(a) (b)
(c)
Gambar 4.16 Tiga sistem koordinat: (a) kartesius, (b) silinder, dan(c) bola.
Gambar 4.16 menunjukkan titik P yang dinyatakan dalam
tiga sistem koordinat, ( x, y, z) dalam koordinat kartesius, ),,( zr
dalam koordinat silinder, dan ),,( r dalam koordinat bola.
Urutan penulisan koordinat ini penting dan harus diikuti dengan
konsisten. Sebagai contoh, sudut muncul pada sistem koordinat
silinder dan bola. Dalam koordinat silinder muncul pada urutan
kedua, sedangkan dalam koordinat bola muncul pada urutan
ketiga. Simbol r digunakan baik dalam koordinat silinder maupun
bola, tetapi menjelaskan dua hal yang berbeda. Dalam koordinat
silinder, r menyatakan jarak titik terhadap sumbu z, sedangkan
koordinat bola r menunjukkan jarak titik terhadap titik asal.
Dari Gambar 4.16 tampak bahwa kaitan antara koordinat
kartesius ( x, y, z) dan koordinat silinder ),,( zr adalah
.,sin,cos z zr yr x
(4.22)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 49/76
Matematika untuk Fisika 49
Demikian pula kaitan antara koordinat kartesius ( x, y, z) dan
koordinat bola ),,( r diberikan oleh persamaan
.cos,cossin,cossin r zr yr x
(4.23)
Sebuah titik merupakan perpotongan antara tiga permukaan
ortogonal (Gambar 4.17). Dalam koordinat kartesius, permukaan
ini berupa bidang datar takhingga untuk x = konstan, y = konstan,
dan z = konstan. Dalam koordinat silinder, z = konstan adalah
permukaan yang sama pada koordinat kartesius. Untuk
konstan berbentuk separo bidang datar yang dibatasi sumbu
z,sedangkan r = konstan berbentuk silinder tegak dengan
penampang lingkaran. Ketiga permukaan ini selalu ortogonal, dan
perpotongannya merupakan kedudukan titik P. Dalam koordinat
bola, konstan adalah (separo) bidang datar yang sama seperti
pada koordinat silinder, r = konstan adalah permukaan bola yang
berpusat di titik asal, dan konstan adalah suatu kerucut
lingkaran tegak dengan poros sumbu z dan berpuncak di titik asal.
Perhatikan bahwa sudut terbatas pada nilai .0
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 50/76
50 Integral Lipat
Gambar 4.17 Tiga permukaan ortogonal pada sistem koordinat
(a) kartesius, (b) silinder, dan (c) bola.
Jika koordinat titik P dikembangkan pada
),,( dz zdy ydx x atau ),,,( dz zd dr r atau
),,,( d d dr r akan terbentuk elemen volume dari
masing-masing sistem koordinat (Gambar 4.18). Elemen volume
masing-masing sistem koordinat berturut-turut adalah
dxdydzdV (kartesius)
(4.24a)
dzrdrd dV (silinder)
(4.24b)
d drd r dV sin2 (bola)
(4.24c)
Gambar 4.18 Elemen volume untuk sistem koordinat (a) kartesius,(b) silinder, dan (c) bola.
Untuk elemen panjang busur ds berturut-turut diberikan
oleh
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 51/76
Matematika untuk Fisika 51
2222 dzdydxds (kartesius)
(4.25a)
22222 dzd r dr ds (silinder)
(4.25b)
2222222 sin d r d r dr ds (bola)
(4.25c)
Sebuah benda berbentuk kerucut mempunyai tinggi h, jari-jari alas
r , dan kerapatan konstan (Gambar 4.19). Jika h = r , hitunglah
(a) pusat massa z dan (b) momen inersia kerucut terhadap sumbu
z.
Gambar 4.19 Kerucut dengan tinggi h, jari-jari alas r , dan
kerapatan konstan.
Penyelesaian
(a)
Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.19, persamaankerucut dalam koordinat silinder adalah r = z. Elemen massa
,dzrdrd dV dM dengan konstan. Dengan demikian,
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 52/76
52 Integral Lipat
.3
23
0
2
21
0 0
2
0
hdz zdzrdrd dV M
hh
z
z
r
Pusat massa dihitung dengan rumus berikut:
,4
24
0
3
21
0 0
2
0
hdz zdz zrdrd zdV dV z
hh
z
z
r
.4
3,
43
43 h z
hh z
(b)
Momen inersia terhadap sumbu z adalah
.10
25
0
4
41
0 0
2
0
2 hdz zdzrdrd r I
hh
z
z
r
Tetapi ,3/3h M sehingga
.10
3
10
3 25
3 Mh
h
h
M
I
(4.33)
Tentukan momen inersia bola pejal dengan jari-jari R terhadap
diameternya.
Penyelesaian
Dalam koordinat bola, persamaan bola adalah r = R. Jadi, massa
bola adalah
.34sin 3
2
0 0 0
2 Rd drd r dV M
R
r
(4.34)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 53/76
Matematika untuk Fisika 53
Momen inersia terhadap sumbu z adalah
,15
82
3
4
5
3
4)sin()(
55
3
2
0 0 0
22222
R R
Rd drd r r dM y x I
R
r
.
5
2 2 MR I
(4.35)
Tentukan momen inersia dari terhadap sumbu putar z dari
ellipsoida pejal
.12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Penyelesaian
CONTOH SOAL 4.10
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 54/76
54 Integral Lipat
Kita akan menghitung dxdydz M dan
,)(22
dxdydz y x I dengan integral lipat-tiga
meliputi seluruh volume elipsoida. Dengan melakukan
perubahan variabel ,',',' cz zby yax x maka
.1''' 222 z y x Dengan demikian, integral berubah
menjadi seluruh volume bola dengan jari-jari 1 satuan.
Dengan demikian,
abcdzdydxabc M ''' (volume benda dengan jari-
jari 1).
Dengan menggunakan Persamaan (4.34), diperoleh
.)1)((343
34 abcabc M Dengan cara yang sama,
.')''(2222
dV yb xaabc I
Disini integral lipat-tiga meliputi seluruh volume bola dengan
jari-jari satu satuan. Berdasarkan sifat simetri,
,''3
1'''''' 2222
dV r dV zdV ydV x
dengan .'''' 2222 z y xr Dengan menggunakan sistem koordinat
bola, diperoleh
.5
4''4''''sin'('''
2
0 0
1
0
4
1
0
222
dr r d d dr r r dV r
r
Dengan demikian,
),)()((''''5
431222222 baabcdV ybdV xaabc I
atau
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 55/76
Matematika untuk Fisika 55
).( 22
31 ba M I
(4.36)
Latihan
1.
Dengan menggunakan koordinat polar, hitunglah
.0 0
22
dxdye y x
2. Dengan mengganti variabel y xu dan , y xv hitunglah
.
1
0
1
0
))((dxedy
y
y x y x
KATA KUNCI
koordinat polar momen inersia
koordinat silinder pengertian titik berat
koordinat bola titik berat
transformasi koordinat
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 56/76
56 Integral Lipat
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 57/76
Pengantar Mekanika Analitik 69
1. Hitunglah integral lipat-dua berikut ini:
a.
, A
xdxdy dengan A adalah daerah yang dibatasi oleh
parabola 2 x y dan garis lurus .082 y x
b. dxdy meliputi daerah yang dibatasi oleh ,ln x y
,1 xe y dan sumbu x.
c.
0
.sin
y y x
dxdy x
x
2. Buktikan bahwa
.)2(4
2
sin
2
sin3
4
2
22
1
x x y x
x
x y
dydx y
xdydx
y
x
3.
Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh permukaan bola
4222 z y x dan paraboloida .322 z y x
4. Bahan tipis berbentuk segiempat mempunyai titik-titik sudut
(0,0), (0,2), (3,0), dan (3,2). Jika kerapatan bahan xy, hitunglah
(a) massa benda M , (b) koordinat pusat massa ),,( y x (c)
momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y, dan (d) momen
inersia terhadap sumbu yang melewati pusat massa dan sejajar
dengan sumbu z.
5. Nyatakan integral integral dyedx I
x
y x
2
221
0
1
0
sebagai integral
dalam koordinat polar, kemudian tentukan nilainya.
6. Tentukan Jacobian ),(/),( vu y x dari variabel ( x, y) ke
variabel (u,v) jika .),( 22
21 uv yvu x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 58/76
Pengantar Mekanika Analitik70
7.
Dengan menggunakan transformasi koordinat
,2,22 xyv y xu hitunglah integral berikut:
.)(1
2
0 0
222
22
dxdye y x
y x I
xy
8.
Jika ,sin,cos,2,22 r yr x xyv y xu buktikan
bahwa .4),(/),( 3r r vu
9. Tentukan (a) volume dan (b) pusat massa daerah A yang
dibatasi oleh silinder parabolik 24 x z dan bidang-bidang x
= 0, y = 0, y = 6, dan z = 0 jika kerapatannya konstan.
10. Hitunglah massa benda yang dibatasi oleh bidang koordinat dan
bidang ,1c
z
b
y
a
x jika massa jenis benda diberikan oleh
.kxyz
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 59/76
Pengantar Mekanika Analitik 71
Belum terpakaiPenyelesaian
Massa segiempat kecil dengan luas y x A adalah
.),( y x y x f Kita dapat menjumlahkan seluruh massa, yaitu
. xydxdydM Besaran dM ini disebut sebagai elemen massa.
Dengan demikian,
.1)1
0
2
0
2
0
1
0
dy y xdxdydx xy xydxdy M x y A
Integral lipat tiga dari ),,( z y x f meliputi seluruh volume V ditulissebagai
dxdydz z y x f V
),,(
didefinisikan pula sebagai limit jumlah dan dihitung dengan
integral berulang. Sebagai ilustrasi perhitungan volume, perhatikan
Contoh Soal 4.2.
Hitunglah volume benda pada Gambar 4.3 dengan menggunakan
integral lipat-tiga.
CONTOH SOAL 4.3
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 60/76
Pengantar Mekanika Analitik72
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan soal ini, bayangkan benda tersebut dipotong-
potong menjadi kotak kecil-kecil dengan volume z y x sehingga
diperoleh elemen volume dxdydz. Mula-mula jumlahkan volume
dari kotak kecil-kecil itu sehingga diperoleh volume kolom. Ini
berarti mengintegralkan terhadap z dari 0 ke 1 + y dengan x dan y
tetap. Selanjutnya, kita menjumlahkan semua volume kolom
tersebut untuk memperoleh lapisan volume. Akhirnya, kita
menjumlahkan seluruh lapisan volume ini untuk menghasilkan
volume benda yang diinginkan. Oleh karena itu,
1
0
22
0
1
0
22
0
1
0
,3
5)1(
x
x
y x
x
y
y
zV
dydx ydzdydxdxdydzV
sebagaimana hasil sebelumnya.
Hitunglah massa benda padat pada Gambar 4.3 jika kerapatannya
(massa per satuan volume) adalah x + z.
Penyelesaian
Elemen massa adalah ,)( dxdydz z xdM sehingga
.2])1()1([
)()(
1
0
22
0
2
21
1
0
22
0
1
0
1
0
22
0
2
2
1
1
0
dydx y y x
dydx z xzdzdydx z x M
x
x
y
x
x
y x
y
x
x
y
y
z
CONTOH SOAL 4.4
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 61/76
Pengantar Mekanika Analitik 73
1.
Hitunglah
a.
2
1
2
0 x
x
x y
x y
zdzdydx
b.
2
0
2 2
8 z z x x y
dydxdz
Diberikan kurva 2 x y dari x = 0 ke x = 1. Hitunglah (a) Luas di
bawah kurva, yaitu daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu- x, dan
garis x = 1 (Gambar 4.7). (b) Massa dari luas bidang pada jawaban
(a), jika kerapatannya (massa per satuan luas) adalah xy. (c)
Panjang kurva. (d) Dari jawaban (a), tentukan pusat massanya. (d)
Dari jawaban (c), tentukan pusat massanya. (f) Momen inersia
terhadap sumbu putar x, y, dan z.
Penyelesaian
(b)
Luas di bawah kurva diberikan oleh
.3
1
3
1
0
31
0
2
1
0
xdx x ydx A
x x
Sebagai alternatif, kita dapat menghitung luas di bawah kurva
dengan integral lipat-dua dari elemen luas dA = dxdy (Gambar
4.7). Diperoleh,
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 62/76
Pengantar Mekanika Analitik74
.3
1
3
1
0
31
0
2
1
0 0
2
xdx xdydx A
x x
x
y
Gambar 4.7 Kurva 2 x y yang dibatasi x = 0 dan x = 1.
(c)
Elemen luas, sebagaimana telah digunakan dalam jawaban (a)
adalah .dydxdA Karena kerapatan , xy sehingga elemen
massa . xydxdydM Dengan demikian,
.12
1)(
1
0
5
21
1
00
2
21
1
00
22
dx x y xdx xydydx M x
x x
y
Perhatikan bahwa kita tidak dapat menyelesaikan soal ini
dengan integral tunggal, sebab kerapatan bergantung pada x
dan y.
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 63/76
Pengantar Mekanika Analitik 75
Gambar 4.8 Menghitung panjang busur pada kurva .2 x y
Untuk kurva ,2 x y panjang busur antara x = 0 dan x = 1
adalah
.4
)52ln(524111
0
1
0
2
2
dx xdx
dxdys
Perhatikan bahwa dalam perhitungan ini telah digunakan
tabel integral, yaitu
.ln22
22222
22 xa xa xa x
dx xa
(d) Dalam fisika dasar, koordinat pusat massa ),,( z y x diberikan
oleh persamaan
, xdM dM x , ydM dM y , zdM dM z
(4.14)
dengan dM menyatakan elemen massa dan integral meliputi
seluruh benda. Meskipun rumus koordinat pusat massa
berbentuk integral tunggal, tetapi dalam kenyataannya dapat
berupa integral tunggal, lipat-dua, atau lipat-tiga, bergantung
pada persoalan yang dihadapi serta metode penyelesaiannya.
Mengingat z y x ,, konstan, kita dapat mengeluarkannya dari
tanda integral. Di samping itu, untuk kasus sederhana
Persamaan (4.14) dapat diselesaikan dengan mudah. Sebagai
contoh, untuk benda berupa bidang datar yang berada pada
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 64/76
Pengantar Mekanika Analitik76
bidang xy maka .0 z Elemen massa ,dxdydAdM
dengan menyatakan kerapatan (dalam hal ini massa per
satuan luas). Substitusi ke dalam ungkapan (4.14) dan
mengintegralkan kedua ruas akan menghasilkan koordinat
pusat massa. Untuk konstan, integral pertama Persamaan
(4.14) menjadi
dA xdA x atau . xdAdA x
Dengan cara yang sama, untuk konstan dapat dihilangkan
dari semua integral pada ungkapan (4.14). Pada contoh soal
ini, kita mempunyai
1
0 0
1
0 0
22
x
x
y x
x
y
dydx xdydx x atau
,4
11
0
4
41 x A x
1
0 0
1
0 0
22
x
x
y x
x
y
dydx ydydx y atau
.10
11
0
5
10
1 x A y
Tetapi A = 1/3, sehingga diperoleh 4/3 x dan .10/3 y
(e) Pusat massa panjang busur ),( y x dari kurva y = f ( x) diberikan
oleh persamaan
,ds xds x ,ds yds y
(4.15)
dengan adalah kerapatan (massa per satuan panjang). Jika
konstan, Persamaan (4.15) menjadi
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 65/76
Pengantar Mekanika Analitik 77
, xdsds x , ydsds y
dengan ds diberikan oleh ungkapan (4.12). Dalam soal ini kitamempunyai,
dx x xdx x x2
1
0
2
1
0
4141
.4141412
1
0
22
1
0
2
1
0
dx x xdx x ydx x y
Dengan menggunakan rumus integral
3
)( 2/32222 a xdxa x x
dan
,ln884
)( 2222222/322
222 xa xa xa xaa x x
dxa x x
hitunglah nilai .dan y x
(f)
Momen inersia I dari massa m yang berjarak l dari sumbu putar
dirumuskan sebagai .2ml I Untuk benda yang bukan terdiri
atas titik-titik massa diskret, melainkan memiliki sebaran massa
yang malar, rumus ini menjadi bentuk integral. Kita bayangkan
benda dibagi-bagi menjadi elemen-elemen massa kecil dM . Jika
jarak elemen massa ini ke sumbu putar adalah l, maka
.2dM l I
(4.16)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 66/76
Pengantar Mekanika Analitik78
Dalam contoh soal ini kerapatan , xy sehingga
. xydxdydM Jarak dM terhadap sumbu x dan sumbu y
berturut-turut adalah y dan x (Gambar 4.9). Jarak dM terhadap
sumbu z adalah 22 y x (sumbu z tegak lurus bidang
gambar). Oleh karena itu, diperoleh tiga momen inersia
terhadap sumbu koordinat, yaitu
Gambar 4.9 Menghitung momen inersia.
,40
11
0
9
41
1
0 0
2
2
dx x xydydx y I x
x
y
x
,
16
11
0
7
41
1
0 0
2
2
dx x xydydx x I
x
x
y
y
.80
7)(
1
0 0
22
2
y x
x
x
y
z I I xydydx y x I
Dengan menggunakan besaran massa M = 1/12 (jawaban (b)),
diperoleh
,103
4012 M M I x ,
43
1612 M M I y .
2021
8084 M M I z
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 67/76
Pengantar Mekanika Analitik 79
Putarlah daerah pada Contoh Soal 4.5 terhadap sumbu x sehingga
membentuk volume dan permukaan benda putar, kemudian
hitunglah (a) volume benda putar, (b) momen inersia benda
terhadap sumbu x jika kerapatannya konstan, (c) luas permukan
kurva, dan (d) pusat massa permukaan kurva.
Penyelesaian
(a)
Cara yang paling mudah untuk memperoleh volume benda
putar adalah mengambil elemen volume berbentuk lapisan tipis
sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.10. Lapisan ini
mempunyai ketebalan dx dan tampang lintang berbentuk
lingkaran dengan jari-jari y, sehingga elemen volume
.2dx ydV Dengan demikian,
.4
1
0
4
1
0
2 dx xdx yV
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 68/76
Pengantar Mekanika Analitik80
Gambar 4.10 Permukaan kurva 2 x y yang diputar
terhadap sumbu x.
Sebagai alternatif, soal ini dapat pula diselesaikan dengan
menggunakan integral lipat-tiga. Jika kurva )( x f y diputar
terhadap sumbu x, setiap titik pada kurva akan mengelilingi
lingkaran dengan jari-jari f ( x) yang sejajar dengan bidang xy.
Dengan demikian, diperoleh persamaan lingkaran
.)]([ 2222 x f r z y
(4.17)
Ini tidak lain merupakan persamaan permukaan kurva. Untuk
,)( 2 x x f kita mempunyai
.4222 xr z y
(4.18)
Gambar 4.11 Penampang permukaan kurva 2 x y yang
diputar terhadap sumbu x .
Seperti telah diuraikan di depan, dalam melakukan integral
lipat-tiga, lapisan tipis dx dipotong-potong menjadi kotak
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 69/76
Pengantar Mekanika Analitik 81
kecil-kecil sehingga diperoleh elemen volume dxdydz (Gambar
4.11). Dengan demikian,
,arcsin2
1.2.2
2
1
0
4
2
424
1
0
24
1
0
1
0
24
1
0
2
2
2
2
2
2
2
2
24
24
dx x x
z x z x zdxdz z xdx
dz z xdxdydzdxdydzV
x
x
x
x
x
x x
x
x z
z x
z x y
sebagaimana telah diperoleh sebelumnya.
(b) Untuk memperoleh momen inersia benda terhadap sumbu x,
kita melakukan integral dM l 2 ke sumbu x. Karena sumbu x
tegak lurus bidang gambar, maka 222 z yl (Gambar 4.11).
Mengingat kerapatan konstan sehingga besaran dapat ditulis
di luar integral. Dengan demikian,
1
0
22
2
2
24
24
.18
)( x
x
x z
z x
z x y
x dydzdx z y I
Dari jawaban (a) diperoleh ,5/ V sehingga
.5/ V M Dengan demikian.
.18
55
18 M M I
x
(c)
Elemen luas permukaan kurva ditunjukkan pada Gambar 4.12,
yaitu .2 ydsdA Dengan demikian,
.4122 2
1
0
2
1
0
dx x x ydy A x x
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 70/76
Pengantar Mekanika Analitik82
Gambar 4.12 Elemen luas permukaan kurva 2 x y yang
diputar terhadap sumbu x .
(d) Dengan sifat simetri dapat dipahami bahwa .0 z y Untuk
x dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:
, xdAdA x
Dengan mengingat ydxdA 2 dan luas total A dari jawaban
(c), diperoleh
.412)2(
1
0
22
1
0
dx x x xds ydy x A x
x
Volume Under A Surface- z = f ( x, y), R
dxdy y x f V ),(
Properties of Double Integrals and Figure 15.1.4 (P1016)
R R R
dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f
21
),(),(),(
15.1.3 Double Integrals Over a Rectangle and Figures 15.1.5,15.1.6 (P1018)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 71/76
Pengantar Mekanika Analitik 83
b
a
d
c
d
c
b
a
R
dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f ),(),(),(
15.2 Double Integrals Over Nonrectangular Regions
15.2.2 and Figure 15.2.1 (P1022)(a) If a region R is bounded by x=a, b and y=g1( x) and g2( x), then
b
a
xg
xg R
dydx y x f dxdy y x f )(2
)(1
),(),(
(b) If a region R is bounded by y=c, d and x=h1( y) and h2( y), then
d
c
yh
yh R
dxdy y x f dxdy y x f )(2
)(1
),(),(
Volume Calculated From Integration of Area and Figure 15.2.2
(P1022)
b
adx x AV )( ,
)(2
)(1
),()( xg
xgdy y x f x A
Area Calculated As A Double Integral and Figure 15.2.11 (P1026)
R
dxdy A
Example 7 and Figure 15.2.12 (P1026)
15.3 Double Integral In Polar Coordinates15.3.1 Simple Polar Regions (P1029) and Figure 15.3.1 (P1030)
A region enclosed by r =r 1( ), r 2( ) and = , ,
where , - 2 and 0 r 1( ) r 2( )
15.3.3 Polar Double Integrals (P1032) and Figures 15.3.5, 15.3.6(P1031)
If R is a simple region shown in Figure 15.3.6, then
)(2
)(1
),(),(r
r R
rdrd r f dAr f
Example 1 and Figure 15.3.8 (P1032), Example 2 andFigure 15.3.9 (P1033)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 72/76
Pengantar Mekanika Analitik84
Finding Area Using Polar Double Integrals (P1033)
)(2
)(1
r
r rdrd A
Example 3 and Figure 15.3.10 (P1033)
Double Integrals from Rectangular to Polar Coordinates (P1034)
R R
rdrd r r f dA y x f )sin,cos(),(
Example 4 and Figure 15.3.11 (P1034)
Exercise Set 15.3-9,11,13-17,27,31-33,36,37,39
15.5 Triple Integrals15.5.1 Triple Integrals Over Rectangular Boxes (P1049)
Let G be the rectangular box defined by a x b, c y d , k z l,then
b
a
d
c
l
k G
dzdydx z y x f dV z y x f ),,(),,(
Integral on the right can be evaluated by altering the order
of integration.
15.5.2 Triple Integrals Over General Regions and Figure 15.5.3(P1050)
Let G be a solid with lower surface z=g1( x, y) and uppersurface z=g2( x, y),
and let R be the projection of G on the xy-plane, then
R
y xg
y xgG
dAdz z y x f dV z y x f ),(2
),(1
),,(),,(
Example 2 and Figure 15.5.4 (P1050, 1051)
Volume Calculated as a Triple Integral (P1051) V =
R
dxdydz
Example 4 and Figure 15.5.6 (P1052)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 73/76
Pengantar Mekanika Analitik 85
Integration in Other Orders and Figure 15.5.7 (P1053)
R
z xg
z xgdAdy z y x f dV z y x f
),(2
),(1solid xz
),,(),,(
R
z yg
z ygdAdx z y x f dV z y x f
),(2
),(1solid yz
),,(),,(
Example 5 and Figure 15.5.8 (P1053)
Exercise Set 15.5-8,10,17,18,25,26,30
15.6 Centroid, Center Of Gravity, Theorem of Pappus
15.6.1 Mass of a Lamina and Figure 15.6.3 (P1056)
If a lamina with a density function ( x, y) on a region R in the xy-plane, then its total mass M is given by
R
dxdy y x M ),(
Center of Gravity ( _ _
, y x ) of a Lamina (P1059)
R
R
dxdy y x
dxdy y x x
x),(
),( _
,
R
R
dxdy y x
dxdy y x y
y),(
),( _
Centroid of a Region R (P1060)
R
R
dxdy
xdxdy
x
_
R
R
dxdy
ydxdy
y
_
Example 3 and Figure 15.6.9 (P1060)
Mass of a Solid G (P1061) G
dxdydz z y x M ),,( , ( x, y,
z): density function
Center of Gravity ( _ _ _
,, z y x ) of a Solid G (P1061)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 74/76
Pengantar Mekanika Analitik86
G
G
dxdydz z y x
dxdydz z y x x
x
),,(
),,( _
,
G
G
dxdydz z y x
dxdydz z y x y
y
),,(
),,( _
,
G
G
dxdydz z y x
dxdydz z y x z
z),,(
),,( _
Centroid of a Solid G (P1061)
G
G
dxdydz
xdxdydz
x _
,
G
G
dxdydz
ydxdydz
y _
,
G
G
dxdydz
zdxdydz
z _
Example 4 and Figure 15.6.11 (P1061)
15.6.3 Theorem of Pappus and Figure 15.6.12 (P1062)
Pappus of Alexandria (4th
centry A.D.)-Greek mathematician.
Pappus lived during the early Christian era. His main contributions
to mathematics survive only partially. Swiss mathematician, PaulGuldin (1577-1643), rediscovered it independently.
If R is a bounded plane region and L is a line on one side of R,then the volume formed by revolving R about L is
R
xdxdyV 2
Exercise Set 15.6-7,9,11,13,19,23,25,29,33,34
15.7 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coortdinates15.7.1 Triple Integrals in Cylindrical Coordinates and Figure 15.7.4
(P1067)
Let G be a solid with lower surface z=g1(r , ) and upper surface
z=g2(r , ), and if the projection of the solid on the xy-plane is
bounded by r =r 1( ), r 2( ) and = 1, 2, then
2
1
)(2
)(1
),(2
),(1
),,(),,(r
r
r g
r gG
rdzdrd zr f dV zr f
Example 2 and Figure 15.7.6 (P1068)
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 75/76
Pengantar Mekanika Analitik 87
15.7.2 Triple Integrals in Spherical Coordinates and Figure 15.7.9
(P1070)
2
0 0
0
0
2sin),,(),,( d d d f dV f
G
Ditinjau integral tunggal sebagai berikut
b
a
dx x f I )( (4.22)
Jika silakukan substitusi variabel
)(u x x atau )( xuu , (4.23a)
maka akan mengalihkan integral tunggal (4.22) dalam tiga hal
yaitu:
(i). Pengalihan interval (daerah) integrasi
Interval integrasi dalam x yaitu b xa D x
, teralihkan ke
interval integrasi yang baru yaitu )()( buuau Du
(ii). Pengalihan elemen diferensial dx , menjadi
du
df dx
Latihan1.
Sebuah batang homogen panjangnya l dan kerapatannya .
Hitunglah (a) M , (b) momen inersia terhadap sumbu yang tegak
lurus batang, dan (c) momen inersia terhadap sumbu yang tegak
lurus batang melalui salah satu ujung batang.
2.
Sebuah batang yang panjangnya 10 m mempunyai kerapatan
yang bervariasi dari ujung satu ke yang lain 4 kg/m ke 24 kg/m.
Hitunglah (a) M , (b) , x (c) momen inersia terhadap sumbu
7/25/2019 Fismat_Integral Lipat (pribadi).pdf
http://slidepdf.com/reader/full/fismatintegral-lipat-pribadipdf 76/76
yang tegak lurus batang; (d) momen inersia terhadap sumbu
yang tegak lurus batang melalui ujung batang yang lebih
ringan.