ganit (17) - परिशिष्ट २ - गणितीय निदर्शन का...

8/13/2019 Ganit (17) - -

1/19

362 xf.kr

File Name : C:\Computer Station\Math-IX (Hindi)\Appendix\Appendix-2.PM65

ifjf'k"V2

xf.krh; fun'kZu dk ifjp;

A2.1 Hkwfedk

vki izkjafHkd d{kkvksals gh] viusokLrfod txr ls tqM+h leL;k, gy djrsvk, gSaA mnkgj.kosQ fy,] vkiuslk/kj.k C;kt osQ iz'u lacaf/r lw=k dk iz;ksx djosQ gy fd, gSaA ;g lw=k(;k lehdj.k) C;kt vkSj bllslacaf/r vU; rhu jkf'k;ksavFkkZr~ ewy/u] C;kt&nj vkSj vof/

osQ chp dk ,d laca/ gSA ;g lw=kxf.krh; izfr:i;kfun'kZ(mathematical model)dk,d mnkgj.k gSAxf.krh; fun'kZ(izfr:i),d xf.krh; laca/ gksrk gS tks okLrfod thou lstqM+h fdlh fLFkfr dh O;k[;k djrk gSA

xf.krh; fun'kksdk iz;ksx okLrfod thou ls tqM+h vusd fLFkfr;ksadk gy Kkr djusesafd;k

tkrk gS] tSls mixzg NksM+ukA ekulwu osQ vkus dh izkxqfDr djukA okguksa lsgksusokysiznw"k.k dks fu;af=kr djukA cM+s'kgjksaesa VSfiQd tke dksde djukA

bl v;k; esa] ge vkidksxf.krh; fun'kZcukusosQ ize ls] ftlsxf.krh; izfr:i.k;kxf.krh; fun'kZu (mathematical modelling)dgk tkrk gS] ifjfpr djk,xsA xf.krh; fun'kZuesage okLrfod thou lstqM+h ,d leL;k ysrs gSa vkSj bls ,d rqY; xf.krh; leL;k osQ :i esafy[krsgSaA fiQj ge xf.krh; leL;k dk gy djrsgSavkSj blosQ gy dk fuoZpu (dh O;k[;k)

okLrfod thou lstqM+h leL;k osQ inksaesadjrs gSaA blosQ ckn] ge ns[krsgSafd ;g gy okLrfodthou lstqM+h leL;k osQ lanHkZesa] fdl lhek rd ekU; gSA vr%] xf.krh; fun'kZu esaykxw gksusokys pj.kgksrsgSa% lw=k.k(formulation ),gy(solution ),fuoZpu (O;k[;k) (interpretation )vkSj ekU;dj.k(validation )A
http://schools.aglasem.com/

8/13/2019 Ganit (17) - -

2/19

xf.krh; fun'kZu dk ifjp; 363


lclsigys ge ml ize dks ysaxs ftldk iz;ksx vki vuqPNsn A2.2esa'kCn&leL;kvksa dksgy djusesadjsaxsA ;gkge oqQN 'kCn&leL;kvksaij ppkZdjsaxstksvkiosQ }kjk fiNyh d{kkvksaesagy dh xbZ leL;kvksaosQ leku gSaA ckn esapydj vki ;g ns[ksaxsfd ftu pj.kksadk iz;ksx vkius'kCn&leL;kvksadksgy djus esafd;k gS] muesa lsoqQN pj.kksa dk iz;ksx xf.krh; fun'kZu esa Hkh fd;ktkrk gSA

vxysvuqPNsn vFkkZr~ A2.3esage oqQN ljy fun'kks (models)ij ppkZdjsaxsA

vuqPNsn A 2.4esage fun'kZu osQ lexzize (overall process)mlosQ ykHk vkSj mldh oqQNlhekvksa ij ppkZdjsaxsA

A2.2'kCn leL;kvksa dk iqufoZyksdubl vuqPNsn esa] ge oqQN 'kCn&leL;kvksaij ppkZ djsaxs tksmu leL;kvksaosQ leku gSaftUgsa vkifiNyh d{kkvksa esa gy dj pqosQ gSaA vkb, ge lcls igys vuqekuqikrh fopj.k lslacaf/r ,dleL;k ysaA

mnkgj.k1 :eSausviuh dkj ls432 kmdh nwjh r; dh vkSj blesa 48 yhVj isVksy yxkA eq>sviuh dkj ls ml LFkku rd tkuk gS tks 180 kmnwj gSA blosQ fy, eq>sfdrusisVksy dhvko';drk gksxh\

gy:;gkge bl leL;k dks gy djusesaiz;qDr pj.kksadk mYys[k djsaxsA

pj.k1 :lw=k.k:ge tkursgSa fd ge ftruh vf/d nwjh r; djsaxsmrus gh vf/d isVksy dh

vko';drk gksrh gS] vFkkZr~ isVksy dh ek=kk r; dh xbZnwjh osQ vuqekuqikrh gksxhA

432 kmdh nwjh r; djusosQ fy, vko';d isVksy dh ek=kk= 48yhVj

180 kmdh nwjh r; djusosQ fy, vko';d isVksy dh ek=kk= ?

xf.krh; o.kZu:eku yhft,x=esjs }kjk r; dh tkusokyh nwjhy=esjs fy, vko';d isVksy dh ek=kk

y,xosQ vuqekuqikrh gSAvr%] y= kx ,tgk k,d vpj gSA

eSa] 48 yhVj isVksy esa 432 kmdh nwjh r; dj ldrk gwAvr%] y= 48,x= 432

blfy,] k=4 8

4 3 2

y

x= =

8/13/2019 Ganit (17) - -

3/19

364 xf.kr


D;ksafd y= kxgS,

blfy, y=1

9x (1)

lehdj.k (;k lw=k) (1) vko';d isVksy dh ek=kk vkSj r; dh xbZ nwjh osQ chp dk laca/crkrh gSA

pj.k2 :gy:gesa 180 kmdh nwjh r; djus osQ fy, vko';d isVksy dh ek=kk Kkr djuhgSA vr% gesaydk eku Kkr djuk gS] tcfdx= 180gSA lehdj.k (1) esax= 180j[kusij] gesa;g izkIr gksrk gS%

y=

1 8 0

29 =

pj.k3 :fuoZpu (O;k[;k):D;ksafdy= 20gS,blfy, 180 kmdh nwjh r; djusosQ fy,gesa20 yhVj isVksy dh vko';drk gksxhA

D;k ;g ckr vkidh le> esavkbZ gS;k ughafd lHkh fLFkfr;ksa esalw=k (1) dks ykxw ughafd;k tk ldrk\ mnkgj.k osQ fy,] eku yhft, fd 432 kmokyk ekxZigkM+ksa esagksdj gSvkSj

180 kmokyk ekxZ lery eSnku esa gSA igkM+h ekxZls rks dkj esa isVksy dh [kir dqN rst nj lsgksxh] ijUrq 180 kmokysekxZ ls dkj esa isVksy dh [kir bl nj ls ughagksxh] vfirq/heh njlsgksxhA vr% ;g lw=k rHkh ykxwgksrk gS tcfd oslHkh fLFkfr;ktksml nj dksizHkkfor djrhgSa ftlls nksuksa;k=kkvksaesa isVksy dh [kir nj leku gksA ;k] ;fn fLFkfr;ksa esavarj gks] rksdkj osQ

fy, vko';d isVksy dh ek=kk ij bl varj dk izHkko cgqr de gksxkA osQoy ,slh fLFkfr esaghisVksy dh [kir r; dh xbZnwjh osQ vuqekuqikrh gksxhA leL;k gy djrs le;] ge bls eku djpyrsgSa] vFkkZr~blsge ifjdYifyr dj ysrsgSaA

mnkgj.k2 :eku yhft, lq/hj us 8%dh lk/kj.k ok"kd C;kt nj ls15000 # fuos'k fd, gSaAfuos'k lsmls tks/ujkf'k feyrh gSmlls og ,d ok'kx e'khu] ftldh dher 19000#gS][kjhnuk pkgrk gSA crkb, fd og fdruh vof/ osQ fy, 15000# fuos'k djsftllsfd ok'kxe'khu [kjhnus osQ fy, mls i;kZIr /ujkf'k izkIr gks tk,\

gy:pj.k1 :leL;k dk lw=k.k:;gk gesaewy/u vkSj C;kt&nj Kkr gSA C;kt og /ujkf'k gStksfd ok'kx e'khu [kjhnusosQ fy, vko';d 15000#lsvfrfjDr /ujkf'k gSA gesao"kks dh

la[;k Kkr djuh gSAxf.krh; o.kZu:lk/kj.k C;kt dk lw=k I =

P

1 0

ngS]

tgk P =ewy/u

8/13/2019 Ganit (17) - -

4/19



n=o"kks dh la[;kr % =C;kt&nj

I = vtr C;kt

;gk ewy/u= 15000#

lq/hj }kjk ok'kx e'khu [kjhnusosQ fy, vko';d /u= 19000#

vr%] vtr fd;k tkus okyk C;kt= 19000 15000#

= 4000#

o"kksdh og la[;k ftlesa 15000#dh jkf'k tek dh xbZ gS= n

8%dh nj ij no"kksesa 15000#ij C;kt= I

rc] I=1 5 0 0 0

1 0 0

n

vr%] I = 1200 n (1)

mijksDr lso"kks dh la[;k vkSj C;kt osQ chp dk laca/ izkIr gkstkrk gS] tcfd 8%dh ok"kdnj ij 15000#fuos'k fd, x, gksaA

gesa og vof/ Kkr djuk gSftlesavtr C;kt 4000#gSA lehdj.k (1) esaI = 4000 j[kusij] gesa ;g izkIr gksrk gS%

4000 = 1200 n (2)

pj.k2 :leL;k dk gy:lehdj.k (2) dk gy djus ij] gesa ;g izkIr gksrk gS%

n=4 0 0 0

31 2 0 0

=

pj.k3 :fuoZpu:D;ksafd n=1

33

vkSj ,d o"kZdk frgkbZ 4 eghusgksrs gSa] blfy, 3 o"kZvkSj

4 eghus ckn lq/hj ok'kx e'khu [kjhn ldrk gSA

D;k vki mu ifjdYiukvksa dk vuqeku yxk ldrs gSa] ftUgsavkidks ij osQ mnkgj.k esadjukgS\ ge ;gk;g eku ysrs gSafd ml vof/ esaHkh C;kt&nj ogh cuh jgsxh ftlesage C;kt

ifjdfyr djrsgSa] vU;Fkk lw=k I = P1 0

nykxw ughagksxkA geus ;g Hkh eku fy;k gS fd ml le;

rd ok'kx e'khu dh dher esa dksbZo`f ughagksrh] tc rd fd lq/hj vko';d /ujkf'k ,df=krugha dj ysrkA

8/13/2019 Ganit (17) - -

5/19

366 xf.kr


mnkgj.k3 :,d eksVj&cksV ,d unh esa oZizokg (upstream)tkdj] unh osQ fdukjsclsnksuxjksaosQ chp dh nwjh N% ?kaVs esa r; djrh gSA ;gh nwjh og vuqizokg (downstream)ikp ?kaVsesar;djrh gSA ;fn /kjk dh pky 2 km/hgks] rks 'kkar ty esa cksV dh pky Kkr dhft,A

gy:pj.k1 :lw=k.k:gesa unh dh /kjk dh pky vkSj nks LFkkuksa osQ chp dh nwjh r; djusdkle; Kkr gSA gesa 'kkar ty esacksV dh pky Kkr djuh gSA

xf.krh; o.kZu:eku yhft, cksV dh pkyx km/hgS] fy;k x;k le; t?kaVk gSvkSj r; dhnwjhy km/hgSA rc]

y= tx (1)

gSA eku yhft, nks LFkkuksaosQ chp dh nwjh d kmgSA

oZizokg tkus esacksV dh okLrfod pky =cksV dh pky /kjk dh pky]D;ksafd cksV unh osQ izokg osQ fo# tk jgh gSA

vr% oZizokg esa] cksV dh pky= (x 2) km/h

;fn ;g oZizokg nks uxjksa osQ chp dh nwjh r; djusesa 6 ?kaVsysrh gks] rks lehdj.k (1) lsgesa;g izkIr gksrk gS%

d= 6(x 2) (2)

vuqizokg tkrs le; cksV dh pky esaunh dh pky tksM+uh gksrh gSA

vr% vuqizokg esa] cksV dh pky= (x+ 2) km/h

vuqizokg blh nwjh dksr; djusesacksV 5 ?kaVk ysrh gSA

vr%] d= 5(x+ 2) (3)

(2) vkSj (3) ls] gesa;g izkIr gksrk gS%

5(x+ 2) = 6(x2 ) (4)

pj.k2 :gy Kkr djuk

lehdj.k (4)dksxesagy djusij] gesax= 22izkIr gksrk gSA

pj.k3 :fuoZpu

D;ksafdx= 22gS,blfy, 'kkar ty esaeksVj&cksV dh pky 22 km/hgksxhA

ij osQ mnkgj.k esa] ge tkurs gSa fd gj txg unh dh pky leku ughagksrhA fdukjs osQ fudV

;g /hjs izokfgr gksrh gSvkSj chp /kjk esa rst izokfgr gksrh gSA cksV fdukjs ls pyuk izkjaHk djrhgSvkSj unh dh chp /kjk dh vksj tkrh gSA tc ;g xarO; LFkku osQ fudV vk tkrh gS] rks bldhpky fdukjsdsfudV vkrs gq, de gksrh tkrh gSA vr% chp /kjk esacksV dh pky vkSj fdukjsij cksV dh pky esa FkksM+k varj gksrk gSA D;ksafd ;g fdukjsosQ fudV cgqr de le; rd jgrh

8/13/2019 Ganit (17) - -

6/19



gS] blfy, unh dh pky dk ;g varj osQoy FkksM+h vof/ osQ fy, gh izHkkfor djrk gSA vr% unhdh pky esa ge bl varj dh mis{kk dj ldrs gSaA cksV dh pky esa gq, FkksM+sifjorZu dh Hkh gemis{kk dj ldrsgSaA lkFk gh] unh dh pky osQ vfrfjDr ikuh (ty) vkSj cksV dh lrg osQ chpdk ?k"kZ.k Hkh cksV dh okLrfod pky dks izHkkfor djsxkA ;gkHkh ge ;g eku ysrs gSa fd ;g izHkkocgqr de gSA

vr% ;gkge ;g eku ysrsgSa fd%1.unh dh pky vkSj cksV dh pky iwjs le; vpj cuh jgrh gSA

2.cksV vkSj ikuh osQ chp dk ?k"kZ.k vkSj ok;qosQ dkj.k gks jgk ?k"kZ.k mis{k.kh; gSAij dh xbZifjdYiukvksaosQ vk/kj ij] geus'kkar ty esacksV dh pky Kkr dh gSA

tSlk fd ij nh xbZ'kCn&leL;kvksa easgeusns[kk gS fd ,d 'kCn&leL;k dk gy djusesarhu pj.k ykxwgksrs gSaA ;spj.k fuEufyf[kr gSa%1. lw=k.k :ge leL;k dk fo'ys"k.k djrsgSa vkSj ns[krs gSa fd leL;k osQ gy esa dkSu&dkSu

ls dkjdkssadk vf/d izHkko gSA ;slqlaxr dkjd (relevant factors)dgykrs gSaA gekjsigysmnkgj.k esa] lqlaxr dkjd r; dh xbZnwjh vkSj [kir fd;k x;k isVksy gSA geus ekxZdh voLFkk] pykusdh pky tSlsvU; dkjdksa dh mis{kk dj yh gSA vU;Fkk leL;k bruhdfBu gkstk,xh fd bls gy djuk vf/d dfBu gkstk,xkA ftu dkjdksa dh ge mis{kkdj nsrsgSa] mUgsavlaxr dkjd (irrelevant factors)dgk tkrk gSA

rc ge ,d ;k vf/d xf.krh; lehdj.kksa osQ :i esaleL;k dh xf.krh;r% O;k[;kdjrsgSaA

2. gy:oqQN mi;qDr fof/;ksa dh lgk;rk lspj.k 1 esa izkIr xf.krh; lehdj.kksa dks gydjosQ] ge leL;k dk gy Kkr djrs gSaA

3. fuoZpu:ge ns[krs gSa fd pj.k 2 esa izkIr gy dk vFkZewy 'kCn&leL;k osQ lanHkZesaD;k gSA

;gk vkiosQ fy, oqQN iz'u fn, tk jgs gSaA bu iz'uksaosQ fy, ij crk, x, rhu pj.kksa dksykxw djosQ 'kCn&leL;kvksa dks gy djusesaftu pj.kksa dk iz;ksx fd;k tkrk gS] mUgsa vkius le>kgS;k ughaA bldh tkp vki dj ldrs gSaA

iz'ukoyhA 2.1

uhpsnh xbZ izR;sd leL;k esaLi"V :i lscrkb, fd ij fn, x, pj.kksa 1] 2 vkSj 3 dks ykxwdjus esalqlaxr vkSj vlaxr dkSu&dkSu ls dkjd gSaA

1. eku yhft, ,d oaQiuh dks oqQN le; osQ fy, ,d oaQI;wVj dh vko';drk gSA oaQiuh;k rks 2000#izfr ekg dh nj lsoaQI;wVj fdjk, ij ys ldrh gS ;k 25000# esa,d

8/13/2019 Ganit (17) - -

7/19

368 xf.kr


oaQI;wVj [kjhn ldrh gSA ;fn oaQiuh dks yach vof/ rd oaQI;wVj dk iz;ksx djuk gS] rksoaQiuh dks bruk fdjk;k nsuk iM+sxk fd bllslLrk rks ;g gksxk fd og oaQI; wVj [kjhn ysAblosQ foijhr] ;fn oaQiuh dks FkksM+s le;] vFkkZr~osQoy ,d eghusosQ fy, gh oaQI;wVjdk iz;ksx djuk gS] rks,slh fLFkfr esafdjk, ij oaQI;wVj ysuk vf/d lLrk iM+sxkA mueghuksadh la[;k crkb, ftlosQ ckn oaQI;wVj dks[kjhnuk vf/d lLrk iM+sxkA

2. eku yhft, ,d dkj LFkkuAls pyuk izkjaHk djrh gSvkSj og ,d vU; LFkku Bdh vksj40 km/hdh pky ls tkrh gSA mlh le; ,d vU; dkj LFkku Bls pyuk izkjaHk djrhgSvkSj og Adh vksj 30 km/hdh pky ls tkrh gSA ;fn A vkSj BosQ chp dh nwjh100 kmgS] rkscrkb, fd fdrusle; ckn ,d dkj nwljh dkj ls feysxhA

3. i`Foh ls panzek yxHkx 384000 kmdh nwjh ij gSvkSj i`Foh osQ izfr ifjek djusdkiFk yxHkx o`kh; gSA ;g ekudj fd panzek i`Foh dh ifjek 24 ?kaVs esa iwjk djrk gS]crkb, fd fdl pky lspanzek i`Foh dh ifjek djsxkA (p= 3.14yhft,)

4. ,d ifjokj mu eghuksaesa] ftuesaog okVj ghVj dk iz;ksx ughadjrk] fctyh osQ fy,vkSlru 1000 # Hkqxrku djrk gSA ftu eghuksaesaog okVj ghVj dk iz;ksx djrk gS] mu

eghuksaesafctyh dk vkSlr fcy 1240 # vkrk gSA okVj ghVj dk iz;ksx djusdh ykxr8# izfr ?kaVk gSA ,d fnu esaokVj ghVj dk iz;ksx ftrusvkSlr ?kaVksaosQ fy, fd;k tkrk

gS mls Kkr dhft,A

A2.3oqQN xf.krh; fun'kZ

vHkh rd viuh ppkZesa geusdksbZubZckr ugha dgh gSA bl vuqPNsn esa] ge igyscrk, x, pj.kksaesa,d vkSj pj.k c

8/13/2019 Ganit (17) - -

8/19



gy:lw=k.k :bl leL;k dksgy djusosQ fy,] gesa dejs dk {ks=kiQy vkSj ,d Vkby dk{ks=kiQy ysuk gksrk gSA Vkby dh ,d Hkqtk dh yackbZ 0-3 ehVj gSA D;ksafd dejs dh yackbZ

6 ehVj gS] blfy, dejs dh yackbZdsvuqfn'k ,d iafDr esa6

0 .= 20VkbysayxkbZ tk ldrh

gaS (nsf[k, vkoQfr A2.1)A

vkoQfr A 2.1

D;ksafd dejsdh pkSM+kbZ5 ehVj gS] vkSj5

0 .= 16.67gS] vr%] ,d LraHk esa ge 16 Vkbysa

yxk ldrs gSaA D;ksafd 16 0.3 = 4.8gS,

blfy, pkSM+kbZdsvuqfn'k5 4.8 = 0.2

ehVj LFkkuij Vkbysa ugha yxh gksaxhA bl Hkkx esa ([kkyh LFkku esa) lkbt osQ vuqlkj Vkbyksadks dkVdj yxkukgksxkA Vkby ls fcuk

8/13/2019 Ganit (17) - -

9/19

370 xf.kr


ekU;dj.k:O;kogkfjd thou eas vkidk feL=kh vkilsoqQN vkSj Vkby ekax ldrk gS] D;ksafd lkbtosQ vuqlkj dkVrsle; VkbysaVwV&iwQV xbZ FkhaA vkidk feL=kh bl dke esafdruk oqQ'ky gSmlij gh Vkbyksadh la[;k fuHkZj djsxhA ijUrq] blosQ fy, lehdj.k (1) dk vkifjorZu djusdhvko';drk ughagSA bllsgesa ,d LFkwy vuqeku (rough estimate)fey tkrk gSfd fdruh Vkbyksa

dh vko';drk gksxhA vr%] ;gkge #d ldrsgSaA

vkb, vc ge ,d vU; fLFkfr ysaA

mnkgj.k5 :o"kZ2000 esa la;qDr jk"VosQ 191 lnL; ns'kksaus,d ?kks"k.kk ij gLrk{kj fd,A viuh?kks"k.kk esa;s lHkh ns'k] o"kZ2015 rd oqQN fodkl y{; izkIr djusij lger FksA bu y{;ksa dksfeysfu;e fodkl y{; dgk tkrk gSA buesa ls ,d y{; yx lekurk dks c

8/13/2019 Ganit (17) - -

10/19



bu vkadM+ksa dk iz;ksx djosQ] xf.krh; :i esa og nj crkb, ftl vuqikr ij izkFkfed fo|ky;ksaesaHkrhZdh xbZyM+fd;ksa dh la[;k c

8/13/2019 Ganit (17) - -

11/19

372 xf.kr


ukekadu esa gqbZo`f uhpslkj.kh esanh xbZ gS%

lkj.khA2.3

o"kZ ukekadu o`f(%esa)

0 41.9 0

1 42.6 0.7

2 42.7 0.1

3 42.9 0.2

4 43.1 0.2

5 43.2 0.1

6 43.5 0.3

7 43.5 0

8 43.6 0.1

9 43.7 0.1

10 44.1 0.4

1991 ls1992 rd dh ,d o"kZdh vof/ esaukekadu41.9%lsc

8/13/2019 Ganit (17) - -

12/19



vc] gesas o"kks dh og la[;k Hkh Kkr djuh gSftlesaukekadu 50%igqp tk,xkA vr% gesafuEufyf[kr lehdj.k lsndk eku Kkr djuk gS%

50 = 41.9 + 0.22n (2)

pj.k2 :gy: nosQ fy, (2) dks gy djusij] gesa ;g izkIr gksrk gS%

n=5 0 4 1 . 9 8 . 1

3 6 .0 . 2 2 0 . 2 2

= =

pj.k3 :fuoZpu:D;kasfd o"kksdh la[;k ,d iw.kkdh; eku gS] blfy, ge vxyk mPp iw.kkd37 ysaxsA vr%] 1991 + 37 = 2028esaukekadu izfr'kr 50%gks tk,xkA

'kCn&leL;k dks rks izk;% ge ;ghard gy djrsgSaA ysfdu] pwfd ge okLrfod thou ls

tqM+h fLFkfr ij v;;u dj jgsgSa] blfy, gesa ;g ns[kuk gksxk fd fdl lhek rd ;g ekuokLrfod fLFkfr ls esy [kkrk gSA

pj.k4 :ekU;dj.k :vkb, ge ;g ns[ksafd lw=k (2) okLrfodrk ls esy [kkrk gSfd ughaA vkb,ge lw=k (2) dk iz;ksx djosQ Kkr o"kks osQ eku Kkr djsavkSj varj Kkr djosQ] Kkr ekuksaosQ lkFkbudh rqyuk djsaA lkj.kh A2.4esa;s eku fn, x, gSaA

lkj.kh A2.4

o"kZ ukekadu (2) }kjk fn, x, eku varj(%esa) (%essa) (%esa)

0 41.9 41.90 01 42.6 42.12 0.48

2 42.7 42.34 0.36

3 42.9 42.56 0.34

4 43.1 42.78 0.32

5 43.2 43.00 0.20

6 43.5 43.22 0.28

7 43.5 43.44 0.06

8 43.6 43.66 0.06

9 43.7 43.88 0.18

10 44.1 44.10 0.00

tSlk fd vki ns[k ldrs gSafd lw=k (2) }kjk fn, x, oqQN eku okLrfod eku lsyxHkx0.3%ls0.5%rd de gSaA bllsyxHkx 3 ls5 o"kksdk varj vk ldrk gS] D;ksafd okLro esa

izfr o"kZo`f 1%ls2%rd gSA bruk varj Lohdk;Zgksldrk gSvkSj ge ;gha #d ldrs gSaAbl fLFkfr esa] gekjk xf.krh; fun'kZ(2) gSA

8/13/2019 Ganit (17) - -

13/19

374 xf.kr


eku yhft, fd ;g =kqfV dkiQh cM+h gSvkSj gesabl fun'kZesa lq/kj ykuk gSA rc gesapj.k 1 ij iqu% ykSVdj tkuk gksxk] iqu% lw=k.k djuk gksxk vkSj lehdj.k (1) dkscnyuk gksxkAvkb, ge blsdjsaaA

pj.k1 :iqu%lw=k.k:ge ;gkHkh ;g eku ysaxs fd ukekdau izfr'kr osQ ekuksa esavifjorhZ :i ls

0.22%dh o`f gksjgh gSA ijUrq;gkvc ge =kqfV dks de djus osQ fy, ,d la'kqf xq.kd

(correction factor)dk iz;ksx djsaxsA blosQ fy, ge lHkh =kqfV;ksadk ek; Kkr djrsgSaA ek;;g gS%

0 . 4 8 0 . 3 6 0 . 3 4 0 . 3 2 0 . 2 0 . 2 8 0 . 0 6 0 . 0 6 0 . 1

1 0

+ + + + + + +

= 0.18

ge =kqfV;ksa dk ek; ysrsgSavkSj bl eku lsvius =kqfV dksla'kq djrsgSaA

la'kksf/r xf.krh; o.kZu:vkb, vc ge (1) esafn, x, ukekadu izfr'kr osQ fy, vius lw=k esa=kqfV;ksadk ek; tksM+nsaA vr%] gekjk la'kksf/r lw=k ;g gks tk,xk%

nosa o"kZesa izfr'kr ukekadu= 41.9 + 0.22n+ 0.18 = 42.08 + 0.22n,tgkn>1 (3)

ge vius lehdj.k (2) esaHkh mi;qDr:i ls vkifjorZu djsaxsA nesagekjk u;k lehdj.k ;ggksxk%

50 = 42.08 + 0.22n (4 )

pj.k2 :ifjorr gy: nosQ fy, lehdj.k (4) dksgy djus ij] gesa;g izkIr gksrk gS%

n=5 0 4 2 . 0 8 7 . 9 2

30 . 2 2 0 . 2 2

= =

pj.k3 :fuoZpu :D;ksafd n= 36gS,blfy, o"kZ1991 + 36 = 2027esa izkFkfed fo|ky;ksaesa

yM+fd;ksa dk ukekadu 50%rd igqp tk,xkA

pj.k4 :ekU;dj.k :vkb, ge iqu% lw=k (4) dh lgk;rk lsizkIr ekuksadh rqyuk okLrfod

ekuksalsdjsaA lkj.kh A 2.5esaekuksadh ;g rqyuk nh xbZ gSA

8/13/2019 Ganit (17) - -

14/19



lkj.khA2.5

o"kZ ukekadu (2)}kjk ekuksa osQ (4) }kjk ekuksaosQ(%esa) fn, x, chp dk fn, x, chp dk

eku varj eku varj

0 41.9 41.90 0 41.9 0

1 42.6 42.12 0.48 42.3 0.3

2 42.7 42.34 0.36 42.52 0.18

3 42.9 42.56 0.34 42.74 0.16

4 43.1 42.78 0.32 42.96 0.145 43.2 43.00 0.2 43.18 0.02

6 43.5 43.22 0.28 43.4 0.1

7 43.5 43.44 0.06 43.62 0.12

8 43.6 43.66 0.06 43.84 0.24

9 43.7 43.88 0.18 44.06 0.36

10 44.1 44.10 0 44.28 0.18

tSlk fd vki ns[k ldrsgSafd (2) lsizkIr ekuksa dh rqyuk esa (4) lsizkIr vusd ekuokLrfod eku osQ vf/d fudV gSaA bl fLFkfr esa=kqfV;ksa dk ek; 0 gSA

ge viusize dks ;ghajksd nsaxsA vr%] lehdj.k (4) gekjk xf.krh; o.kZu gStks fd o"kksvkSj oqQy ukekadu esa yM+fd;ksaosQ izfr'kr ukekadu osQ chp dk xf.krh; laca/ LFkkfir djrk gSA

geus ,d xf.krh; fun'kZ dk fuekZ.k fd;k gS] tkso`f dh O;k[;k djrk gSA

og ize] ftldk geusij dh fLFkfr esa vuqlj.k fd;k gS] mlsxf.krh; fun'kZu(mathematical modelling)dgk tkrk gSA

geus miyC/ xf.krh; lk/uksals,d xf.krh; fun'kZ dk fuekZ.k djus dk iz;kl fd;k gSAmiyC/ vkadM+ksa lsizkxqfDr;kdjusosQ mke xf.krh; lk/u Hkh miyC/ gSaA ijUrq os bl ikB~;eosQ v;;u {ks=k ls ckgj gSaA bl fun'kZdkscukusdk gekjk ms'; vkidksfun'kZu ize ls ifjfpr

djkuk gS] u fd bl pj.k ij ifj'kq izkxqfDr;k(accurate predictions)djukAvki vHkh rd dh xbZppkZdks fdruk le> ik, gSablosQ fy, ge pkgsaxs fd vki okLrfodthou lstqM+h oqQN fLFkfr;ksa dk fun'kZu djsaA ;gk vkiosQ fy, ,d iz'ukoyh nh tk jgh gSA

8/13/2019 Ganit (17) - -

15/19

376 xf.kr


iz'ukoyhA2.2

1. vksyafid [ksyksa esa tcls 400 ehVj dh nkSM+ 'kq: gqbZgS rc lsLo.kZind ikusokyksadk le;uhpsdh lkj.kh esafn;k x;k gSA o"kksvkSj le;ksalslacaf/r ,d xf.krh; fun'kZcukb,A bldkiz;ksx vxysvksyafid esayxus okys le; dk vkdyu djusesa dhft,%

lkj.kh A 2.6

o"kZ le; (lsoaQMksa esa)

1964 52.01

1968 52.03

1972 51.08

1976 49.28

1980 48.88

1984 48.83

1988 48.65

1992 48.83

1996 48.25

2000 49.11

2004 49.41

A2.4fun'kZu ize] blosQ ykHk vkSj bldh lhek,

vkb, vc ge xf.krh; fun'kZu osQ mu igyqvksaij fopkj djrs gq,] ftUgsageus izLrqr mnkgj.kksa esa

fn[kk;k gS] viuh ppkZ;gha lekIr djsaA fiNys vuqPNsnksa dh i`"BHkwfe ls] vc ge bl fLFkfr esa

vk x, gSafd ge fun'kZu esaiz;qDr gksusokyspj.kksa dk ,d laf{kIr ifjn`'; ns losaQA

pj.k1 :lw=k.k: vuqPNsn A 2.2osQ mnkgj.k 1 osQ lw=k.k pj.k vkSj A 2.3esappr fun'kZosQ lw=k.k pj.k osQ chp osQ varj dh vksj vkiusvo'; ;ku fn;k gksxkA mnkgj.k 1 esalHkh lwpuk,rqjar mi;ksxh :i esagSaA ijUrqA 2.3esa fn, x, fun'kZ esa,slk ughagSA lkFk gh] ,d xf.krh; o.kZuizkIr djus esa oqQN le; Hkh yxk FkkA geusviusigys lw=k dh tkp dh gS] ftlesaik;k fd ;gmruk mke ughagS] ftruk fd nwljk FkkA O;kid :i esa] ;g izk;% lR; gksrk gSA vFkkZr~ml fLFkfresatcfd ge okLrfod thou lstqM+h fLFkfr;ksa dk fun'kZu djusdk iz;kl dj jgsgksrsgSa] blesaizk;% igys fun'kZdksla'kksf/r djus dh vko';drk gksrh gSA tc ge okLrfod thou lstqM+h

8/13/2019 Ganit (17) - -

16/19



leL;k gydj jgs gksrsgSa] rks lw=k.k djusesadkiQh le; yx ldrk gSA mnkgj.k osQ fy,] U;wVuosQ rhu xfr&fu;e] tksfd xfr osQ xf.krh; o.kZu gSa] osQ dFku ljyrk lsfn, tk ldrsgSaA ijUrqbu fu;eksard igqpus osQ fy, mlsdkiQh ek=kk esa vkadM+ksa dk v;;u djuk iM+k Fkk vkSj mu dk;ksdh vksj ;ku nsuk iM+k Fkk tks fd mlosQ iwoZ osQ oSKkfudksa usfd, FksAlw=k.k esafuEufyf[kr rhu pj.k ykxwdjusgksrs gSa%

(i) leL;k dk dFku:izk;% leL;k dk dFku LFkwy :i ls fn;k tkrk gSA mnkgj.k osQ fy,]gekjk LFkwy y{; rks ;g lqfuf'pr djuk gS fd yM+dksa vkSj yM+fd;ksaosQ ukekadu cjkcjgSaA bldk vFkZ ;g gks ldrk gS fd fo|ky; tkus okysvk;qosQ yM+dksadh oqQy la[;kdk 50% vkSj fo|ky; tkusokyh vk;qdh yM+fd;ksa dh oqQy la[;k dk50%ukekafdrgksuh pkfg,A ,d vU; fof/ ;g gSfd ;g lqfuf'pr fd;k tk; fd fo|ky; tkus okys

cPpksa esa ls50%yM+fd;k gSaA geus viuh leL;k esanwljs n`f"Vdks.k dksviuk;k gSA(ii)lqlaxr dkjdksa dks igpkuuk:igys ;g fu.kZ; yhft, fd gekjh leL;k esadkSu&dkSu

lh jkf'k;kvkSj laca/ egRoiw.kZ gSavkSj dkSu&dkSu egRoiw.kZ ughagSa] ftudh mis{kk dh tkldrh gSA mnkgj.k osQ fy,] izkFkfed fo|ky;ksaesa ukekadu laca/h gekjh leL;k esafiNyso"kZesaukekafdr yM+fd;ksa dk izfr'kr bl o"kZukekafdr yM+fd;ksadh la[;k dksizHkkfordj ldrk gSA ,slk blfy, gSfd fo|ky; esa tSls&tSls vkSj yM+fd;k ukekafdr gksrh tkrhgSa oSls&oSlsmuosQ ekrk&firk vuqHko djusyxsaxsfd os viuh yM+fd;ksadksHkh fo|ky;esaHkrhZdjk,aA ijUrq] geus bl dkjd dh mis{kk dj nh gS] D;ksafd ,d fuf'pr izfr'krlsvf/d ukekadu gkstkus osQ ckn gh ;g egRoiw.kZ gks ldrk gSA lkFk gh] bl dkjddksc

8/13/2019 Ganit (17) - -

17/19

378 xf.kr


ize osQ bl pj.k esa 'kCn&leL;kvksa dks gy djusvkSj xf.krh; fun'kZu osQ chp ,d cM+kvarj gksrk gSA fun'kZu esa ;g ,d vfr egRoiw.kZpj.k gStks fd 'kCn&leL;kvksa esaugha gksrk gSA

gk] ;g laHko gS fd okLrfod thou ls tqM+h fLFkfr;ksa esagesa viusmkj dk ekU;dj.k djus dhvko';drk ugha gksrh D;ksafd leL;k ljy gS vkSj gesa lh/s lgh gy izkIr gks tkrk gSA vuqPNsnA2.3esa fy, x, fun'kZesa ,slk gh FkkA

geusml e dk laf{kIr fooj.k fn;k gSftlesa uhpsnh xbZvko`Qfr A 2.2esa xf.krh; fun'kZuosQ pj.k ykxwfd, x, gSaA ekU;dj.k pj.k ls lw=k.k pj.k dh vksj tkus dksfcanqfdr rhjls fn[kk;kx;k gSA ,slk blfy, fd;k x;k gSfd gksldrk gS bl pj.k dksiqu% ykxwdjuk vko';d u HkhgksA

vkoQfrA 2.2

vc] D;ksafd vkiusxf.krh; fun'kZu lslacaf/r pj.kksadk v;;u dj fy;k gS] blfy, vkb,ge blosQ oqQN igyqvksaij ppkZ dj ysaA

xf.krh; fun'kZu dk ms'; okLrfod txr ls tqM+h leL;k osQ ckjsesa] mls xf.krh; leL;kesa:ikarfjr djosQ oqQN mi;ksxh lwpuk, izkIr djuk gSA ;g fo'ks"k :i lsrc mi;ksxh gksrk gStcfdlh/sizs{k.k djosQ ;k iz;ksx djustSls vU; lk/uksalslwpuk izkIr djuk ;k rks laHko u gks ;k cgqr[kphZyk gksA

vkidks ;g tkudj Hkh vk'p;Z gksldrk gS fd gesa xf.krh; fun'kZu dk iz;ksx D;ksa djukpkfg,\ vkb, ge fun'kZu osQ ykHk ij oqQN ppkZ djsaA eku yhft, ge rktegy ij eFkqjk fjiQkbujhosQ foltZu osQ la{kkjd izHkko ij v;;u djuk pkgrsgSaA ge rktegy ij lh/siz;ksx ugha djukpkgsaxs] D;ksafd ,slk djuk lqjf{kr ughagksxkA okLro esa] ge bl laca/ esarktegy dk ,d NksVkekWMy ys ldrs gSaA ijUrq blosQ fy, gesa fof'k"V lqfo/kvksadh vko';drk gks ldrh gS] tksfd

dkiQh [kphZyh gksldrh gSA ;gh og LFky gStgkxf.krh; fun'kZu dkiQh mi;ksxh fl gksldrkgSAeku yhft, ge ;g Kkr djuk pkgrs gSafd 5 lky ckn fdrus izkFkfed fo|ky;ksadh

vko';drk gksxhA rc ge ,d xf.krh; fun'kZ dk iz;ksx djosQ] ;g leL;k gy dj ldrsgSaA blhizdkj] osQoy fun'kZu djosQ oSKkfudksausvusd ifj?kVukvksa dh O;k[;k dh gSA

8/13/2019 Ganit (17) - -

18/19



vuqPNsn A2.4esa vkius;g ns[kk gS fd mke fof/;ksadks ykxwdjosQ nwljsmnkgj.k esa gemkj esa lq/kj ykusdk iz;kl dj ldrsFksA ysfdu ge ogha#d x,] D;ksafd gekjsikl dksbZxf.krh;lk/u miyC/ ughagSA ,slh fLFkfr okLrfod thou esaHkh gks ldrh gSA izk;% gesalfUudV mkjksalsgh larq"V gkstkuk iM+rk gS] D;ksafd xf.krh; lk/u miyC/ ugha gksrsgSaA mnkgj.k osQ fy,] ekSleosQ fun'kZu esaiz;qDr fun'kZlehdj.k brus tfVy gksrsgSa fd ;Fkk fLFkfr gy Kkr djusosQ xf.krh;lk/u miyC/ ughagSaA

vki vk'p;Z dj ldrsgSa fd fdl lhek rd gesavius fun'kZesa lq/kj ykuk pkfg,A blesalq/kj ykus osQ fy,] izk;% gesavU; dkjdkssadks Hkh ;ku esa j[kusdh vko';drk gksrh gSA tc ge,slk djrs gSa] rc ge viusxf.krh; lehdj.kksaesa vkSj pj c

8/13/2019 Ganit (17) - -

19/19

380 xf.kr


(ii) og nj ftlls pkj vyx&vyx lM+dksa ls vkus okys okgu pkSjkgs ij igqprs gSaA(iii)lkbfdy vkSj fjD'kk vkfn tSlh /heh xfr lspyus okysokguksavkSj dkj rFkk eksVj

lkbfdy tSlh rst xfr ls pyusokys okguksadk vuqikrA

A 2.5lkjka'k

bl ifjf'k"V esa] vkius fuEufyf[kr fcUnqvksa dk v;;u fd;k gS%

1. 'kCn&leL;kvksa dks gy djusesaiz;qDr pj.kksadk iqufoZyksdu djukA

2. oqQN xf.krh; fun'kksdk fuekZ.k djukA

3. xf.krh; fun'kZu esaiz;qDr uhps ckWDl esafn, x, pj.kksaij ppkZ%

1. lw=k.k%

(i) leL;k dk dFku fy[kuk

(ii)lqlaxr dkjdksa dksigpkuuk

(iii)xf.krh; o.kZu

2. gy Kkr djuk

3. okLrfod txr ls tqM+h leL;k osQ lanHkZ esa gy dk fuoZpu

4. ;g ns[kuk fd fdl lhek rd fun'kZv;;u dh tk jghleL;k dk ,d mke fu:i.k gSA

4. xf.krh; fun'kZu dk ms';] ykHk vkSj lhek,A

ganit (17) - परिशिष्ट २ - गणितीय निदर्शन का...

Documents