hitung nilai

7/23/2019 Hitung nilai

http://slidepdf.com/reader/full/hitung-nilai 1/19

Hitung nilai.

JAWAB :

Dengan menggunakan rumus berikut kita bisa menentukan nilai limit tersebut

Untuk , berlaku

Jika maka hasilnya ,

Jika maka hasilnya ,

JIka maka hasilnya

sehingga nilai limit diatas adalah:



1.

Penyelesaian

2

.

Penyelesaian



3.

Penyelaian



3. Limit Tak Hingga dan Limit Fungsi di Tak Hingga

Lambang ∞ (dibaa: tak hingga! digunakan untuk menyatakan nilai bilangan yang semakin

besar. Jadi, ∞ bukan meru"akan lambang bilangan dan tidak da"at di#"erasikan seara al$abar

sehingga tidak benar ∞ % ∞ & ' atau & 1.

mati )ungsi berikut.

*ungsi ) tidak terde)inisi di + & ' sebab "embagian bilangan satu hanya terde)inisi $ika

"embagi '. nda da"at menentukan ) (+! & "ada bebera"a nilai + yang

mendekati ' se"erti di"erlihatkan "ada -abel 3.

x

%','1 1'.'''

%',''1 1.'''.'''

%','''1 1''.'''.'''

%',''''1 1'.'''.'''.'''

'

',''''1 1'.'''.'''.'''

','''1 1''.'''.'''

',''1 1.'''.'''','1 1'.'''

mati tabel tersebut. Jika + menu$u ' maka nilai bernilai "#siti) yang semakin membesar

tan"a batas. Dalam lambang matematika ditulis .



/ambar 0. /ra)ik )(+! &

entuk gra)ik )ungsi se"erti ini di"erlihatkan "ada /ambar 0.

-abel 2. mem"erlihatkan nilai untuk nilai + yang men$adi sangat besar.

-abel 2.

+ 1 1' 1.''' 1'.''' 1''.'''

1 ','1 ','''''1 ','''''''1 ','''''''''1 '

matilah tabel tersebut, ternyata nilai menu$u ' $ika + men$adi sangat besar. Dalam

lambang matematika, ditulis .

Lain halnya dengan )ungsi ) (+! & +0. etika + men$adi sangat besar maka nilai +0 "un bernilai

semakin besar tan"a batas. Dalam lambang matematika, ditulis :

(mati kembali /ambar 0!

Untuk )ungsi g(+! & , ketika + men$adi sangat besar maka nilai "un

bernilai semakin besar tan"a batas. Dalam lambang matematika, ditulis

.

Untuk menyelesaikan limit )ungsi tak hingga nda da"at menggunakan -e#rema Limit Utama.

Pela$ari #nt#h4#nt#h berikut.



Perhatikan, ketika + semakin membesar tan"a batas, nilai menu$u 1, sedangkan

nilai menu$u n#l. kibatnya, nilai membesar tan"a batas.

Dengan demikian,

Dari uraian tersebut, da"atkah nda menduga bentuk umum limit 5#balah nyatakan bentuk

tersebut dengan kata4kata nda sendiri. #nse" limit yang telah nda "ela$ari tersebut

mem"er$elas ketentuan limit berikut.

Ingatlah :

Dari /ambar 0, $ika + men$adi sangat keil (+ 6 ∞! maka nilai menu$u '. Dalam lambang

matematika ditulis & '.

5#nt#h 7#al 8 : 7#al 7LU, 198

sama dengan ....



Penyelesaian :

Ingatlah :

Pada s#al a, "embilang dan "enyebut bentuk masing4masing dibagi dengan + karena

$ika disubstitusikan seara langsung di"er#leh bentuk . Dengan "enalaran yang sama,

"embilang dan "enyebut )ungsi "ada s#al b, , d, dan e masing4ma sing harus dibagi dengan

"angkat tertinggi dari "embilang

su"aya tidak di"er#leh bentuk .

7eara umum,

; , $ika "angkat tertinggi )(+! & "angkat tertinggi g(+!<

; & ', $ika "angkat tertinggi )(+! = "angkat tertinggi g(+!<

; , $ika "angkat tertinggi )(+! > "angkat tertinggi g(+!<

dengan )(+! dan g(+! keduanya meru"akan )ungsi "#lin#m.

5ara lain untuk mem"er#leh "enyelesaian limit )ungsi adalah mengalikan dengan )akt#r

seka?an. Pela$ari #nt#h4#nt#h berikut.



In)#rmasi untuk nda :

Lambang tak hingga yang digunakan sekarang (∞!, kali "ertama di"erkenalkan #leh J#hn

@allis (1A1A%1'3! "ada tahun 1ABB dalam $urnalnya yang ber$udul Cn 5#ni 7eti#ns.

(7umber: ???.Drath.#m!



3.6 Limit tak hingga

Jika kita lakukan pengamatan terhadap limx→c− f(x) dan limx→c+ f(x) mungkin akan

didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat

pada Gambar 3.5 berikut.

y

f(x) = x

− !

"

x



Gambar 3.5

x

f(x)

x

f(x)

!#

"

#$

%"

!#"

""

#$$

%""

!#""

."""

#$$$

%"""

!#"""

"."""

#$$$$

%""""

!#""""



""."""

#$$$$$

%"""""

!#"""""

."""."""

#$$$$$$

%""""""

&ari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik ! dari arah kanan maka

f(x) membesar tanpa batas (menu'u ∞). Sedangkan pada saat x mendekati ! dari arah

kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menu'u %∞). Selan'utnya dikatakan bahwa limit f(x)

untuk x mendekati ! dari arah kanan

adalah ∞ atau lim f(x) = ∞ # sedangkan limit f(x) untuk x mendekati ! dari arah x→!+

kiri adalah %∞ atau lim

f(x) = −∞ . arena limit kiri ≠ limit kanan maka

lim



x −

!

x→!−

x→!

tidak ada (lihat persamaan 3.).

*ntuk memecahkan limit tak hingga perhatikan te+rema berikut ,

-isal f(x) = a m

xm +

a m%

xm− +

...

+

a

x +

a " bnx

n + bn%x

n− + ... + bx + b"

Jika m n# maka /

0"

am + am%x−

+ ... + ax−m

+ a"x−m

bnxn−m

+ bn%xn−−m

+ ... + bx−m

+ b"x−m

lim

amxm + am%x

m− + ... + ax + a" = "

x→∞

b xn + b x

n−

+ ... + b x + b

n

n%

"

Jika m = n#

maka /

lim

amxm + am%

xm−

+ ... +

ax + a" =



am

x→∞

b xn + b x

n−

+ ... + b x

+ b

bn

n

n%

"

Jika m 1 n# maka /

lim

amxm + am%x

m− + ... + ax + a"

=

∞

x→∞

b xn + b x

n−

+ ... + b x

+ b

n

n%

"

2ukti /

f(x) = amxm

+ am%xm−

+ ... + ax + a" bnx

n + bn%x

n− + ... + bx + b"

Jika semua

suku dibagi

dengan xm

maka /

f(x) =

Jadi

lim

am + am%x−

+ ... + ax−m

+ a"x−m

x→∞ b xn−m

+ b

xn−−m

+ ... + b

x−m

+ b x−m

n

n%



"

Jika m n# maka /

lim

am + am%x−

+ ... + ax−m

+ a"x−m

=

x→∞ b xn−m

+ b

xn−−m + ...

+ b x−m

+ b x−m

n

n%

"

lim

am = "

(terbukti)

x→∞

∞

Jika m = n#

maka /



lim

am + am%x−

+ ... + ax−m

+ a"x−m

=

x→∞ b xn−m

+ b

xn−−m

+ ...

+ b x−m

+ b x−m

n

n%

"

lim

a m

+

"

= a m

(terbukti)

x→∞

bn + "

bn

Jika m 1 n#

maka /



lim

am

+ am%x−

+ ... + ax−m

+ a"x−m

=

xn−−m

+ ...

+ b x

−m

+ b x−m

x→∞ b xn−m

+ b

n

n%

"

lim

am +

" = ∞

(terbukti)

x→∞

"

Contoh

3.11



entukan lim !x + 3x

3 + x − 4

x→∞

5x + x %

enyelesaia

n /

( 3.!0 )

( 3.!$ )

( 3.3" )



am = ! 6 bn = 5 6 m = 6 n =

arena m = n # maka lim

!x) + 3x

3 + x − 4 =

am

=

!

x→∞

5x + x %

bn 5

hitung nilai

Documents