kalkulus satu teknik mesin

7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin

1/160

11/21/15

11

H W ARE YOU

TO DAY

Garuda dengan sayapmu kibarkan sang merahputih


2/160


3/160

UMI LEADERSHIP 2010 2014

RectorProf. Dr. Hj. Masrurah Mokhtar, MA

Vice Rector for AcademicAair

Prof. Dr. H. Syahnur Said, MSi


4/160


Vice Rector for Administrationand

Financial AairDr. Ir. H. Iskandar BP, MSc

Vice Rector for Student AairProf. Dr. H. Achmad Gani, SE, MSi


5/160



6/160

MENJADI

SARJANA TEKNIK MESIN DAN PERTAMBANGANUNIVERSITAS MUSLIM INDONESIA

MEMILIKI MOTIVASI & INOVASI BERKELANJUTAN


7/160

ANDA MEMULAI NYADARI

SINI ?


8/160

11/21/15

8

JUMLAH SKS = 151 SKS

BILA RERATA 20 SKS/ SEMISTER, MAKA

151/ 20= 7,5-8 SEMISTER (3,5 - 4 TAHUN)

ATAU IPK MENCAPAI 3-3,5 AN RERATA 22-24

SKS/ SEMISTER, MAKA

151/24= 7 SEMISTER (3,5-4 TAHUN)

!"#2 $%"!& $!'!!

APA *AN+ PERLU IMILIKI SEBA+AI

MAHASISA .

11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI

8


9/160

11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG

UMI9

JENIS MATA KULIA

1. CIRI K AS-MULOK

2. DASAR KEA LIAN

3. KEA LIAN

4. PILI AN KONSENTRASI/ BA

5. KP - KKN

TOTAL 151 SKS


10/160


UMI10

JENIS MATA KULIA

1. CIRI K AS-KEUMIAN

2. DASAR KEA LIAN

3. INTI/ KEA LIAN

4. PILI AN KONSENTRASI/ BA

5. KP - KKN

TOTAL 151 SKS


11/160

11/21/1511

UNTUK MATA KULIAH EN+AN1 BBT 1 SKS IPERLUKAN AKTU

TATAP MUKA I KELAS 1 JAM MATA

KULIAH = 50 MENIT2 BBT 2 SKS = 100 MENIT

3 BBT 3 SKS = 150 MENIT

4

BBT 4 SKS = 200 MENIT5!% #!!' "6 '%!& 66!

4 9 5 !/ &!'62!! %6!&

11/21/15MAHMUDDIN - TAMBANG UMI11

ALOKASI WAKTU


12/160

11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI12

CARA BELAJAR

11/21/1512

KELMPK : TERIRI 4-5 RAN+/ KLPKELAS : 40 R+ / 10-8 KELMPK

- IN;RMASI

- SALIN+ MEN+UNTUN+KAN- LEBIH MUAH - RIN+AN

- SALIN+ MEMTI


13/160


UMI13

INILAH YANG PERLU DIMILIKI MAHASISWA ?

- KNSENTRASI

- ;KUS

- PERHATIAN *AN+ TIN++I

- EIKASI

- BERPIKIR L+IS

- IN


14/160

S*ARAT KELULUSAN NB KEHADIRAN MINIMAL 75 !"GA# MANDIRI $5

"%IAN !ENGAH #EMI#!ER &"!#' I (5

"%IAN !ENGAH #EMI#!ER II (5

"%IAN #EMI#!ER &"#' )5

#IKA*+M,!I-A#I +.

Bila nilai UTS baik, bebas US

dengan nilai A

JURU

SAN

TEKNIK

MES

IN

UMIMAKASSAR


15/160


16/160

PERTEMUANAWAL


17/160

PENAHULUAN

*ertama mempe/a0ari KALKULUS I1 maka akan timbu/beberapa pertanyaan da/am benak kita diantaranya ada/ah2

$3 Apa yang dimaksud dengan ka/ku/us

(3 Mengapa kita harus mempe/a0arinya

)3 Mengapa kita ingin mempe/a0arinya

43 agaimana hubungan dengan i/mu+i/mu /ain yang pernahkita pe/a0ari maupun kaitannya dengan kenyataan+kenyataan yang ita hadapi sehari+hari

53 Apa man6aat mempe/a0arinya


18/160


19/160


20/160


21/160


22/160


23/160


24/160


25/160


26/160


P#'$!!! L6#!' "! P#'$!!!

L6#!' S6%!

P#'$!!! "! 6"#6!$ *ersamaan ada/ah pernyataan kasamaan antara dua ekspresi

a/0abar yang 8989k untuk bi/angan ni/ai :ariabe/ tertentu atau

:ariabe/ yang diketahui1 dan penye/esaian persamaan ada/ah

dengan pr9ses menentukan ni/ai tertentu ini33 %ika pernyataanpersamaan benar untuk semua ni/ai yang tidak diketahui1

pernyataan itu 6"#6!$

C&:

&;(

< y(

'=&; < y'&; . y' benar untuk semua ni/ai ; dan y danidentitas3

&a . )'(= a(. 4a . $7 ada/ah persamaan benar hanya 0ika a=4

&a . )'(= a(. >a . ? ada/ah identitas1 benar untuk semua ni/ai a3


27/160


P#'$!!! L6#!' (PL)*L men8akup hanya satu :ariabe/ yang tidak diketahui dengan

pangkat tidak /ebih tinggi daripada yang pertama3 *L 0ugadia8u sebagai persamaan sederhana3

S%$6 >#'$!!! $#"#&!!

+ *enyederhanaan persamaan pada masing+masing ruas

persamaan yang mengandung persamaan da/am bentuk1&a; . b' = &8; . d' menghasi/kan &a; < 8;' = &d < b' dan

sehingga diper9/eh ; = &d < b'@ &a < 8'

11/21/1528

9nt9h /ainada/ah:


28/160


UMI

29

*ersamaan yang dianggap bukan persamaan yangsederhana seringka/i dikembangkan men0adi persamaansederhana se/ama penyederhanaan3 Misa/nya ada/ah2

?= -1Dengan ;= +$ saudara men8ek hasi/ dengan

subtitusi harga ; ke persamaan yang dimaksud


29/160

Dengan 8ara yang sama se/esaikan persamaan ini2

Diperole:

Dengan persamaan sederhana men8akup pe8ahan

a/0abar1 /angkah pertama ada/ah untuk penge/iminasi

penyebut dengan menga/ikan semua dengan ke/ipatanKPK&persekutuan terke8i/ penyebut'

Co!o"#

KPK 2$ %$ 4

&' (

'&')'" 12


30/160

Perdengarkanlah !ara"! #$la #er#$$k ?

Lak!kan $n$ dengan %ara ang "a

KPK 'ene#!( adalah )*) + ,-*) + .-

Ker/akan dengan %ara a"a0


31/160

#eg$n$ %arana a ha ha ha ?

Tak k!angka d$a da(ang ?


32/160

P#'$!!! 6#!' $6%! "#@! "%! !%

*ersamaan /inear simu/tan ada/ah persamaan dengan dua:ariabe/ atau /ebih persamaan dengan bi/angan yang

sama ada/ah bi/angan :ariabe/ yang terhadap diper/ukan

untuk men8apai 0aBabannya3

Ada dua met9de penye/esaikan persamaan ini 2

$a'a'!n d$a ?

12 S3l!$ dengan!#($(!$ #e/esaikan persamaan berikut ini

$

(


33/160

Ak! (e(a' d$ ha($"! ha ha ha

%ika ;=4 disubtitusi ke

persamaan asa/ /ain1 misa/nya3

Dengan demikian kita mempunyai ;= 4 dan y= +)3

#ebagai 8ek bahBa ni/ai ; tersebut disubtitusi ke persamaan$ atau (3

Dan hasi/nya ada/ah 2

Maka1 ;= 4 dan y= +) ada/ah

s9/usi yang diper/ukan3

X=

X=!"


34/160

#9/usi ini /ebih sederhana1 yakni 0ika menga/ikan persamaan &$'dengan k9e6isien y dari persamaan &(' dan menga/ikan persamaan&(' dengan k9e6isien y dari persamaan &$'3 Atau dengan k9e6isiendari ;

Ker0akan dengan 8ara sama23

$

(

1. Solusi dengankoefisien persamaan

$

(


35/160

C!!! $:

ahBa 0ika suku y dan ; mempunyai tanda yang sama1 memang

kita dapat mengurangkan satu baris dari yang /ain untuk

menge/iminasi satu :ariabe/3

#,L"#INCA ADALAH1

43n(3h la$n$

(

#9/usinya ada/ah1

Ker0akan sepeti sebe/umnya


36/160

#9/usinya ada/ah1

Ker0akan sepeti sebe/umnya

P#'$!!! 6#!' $6%! "#@! 6@! !%

Dengan tiga anu1 maka diper/ukan tiga persamaan yangmengandung 0aBaban yang diper/ukan3 Met9de

penye/esaiannya ada/ah pengembangan dari penye/esaian

dengan dua anu33

#9/usinya ada/ah1

Co!o":


37/160

Lak!kan !/$(erhada'

'era"aan *1-5*6- a(a! *,-

3l!$na a'a ?


38/160

Co!o" )'*#

Jangan "eraa '$n(ar dan (ah! ?

P " &


39/160

P##"#'&!!! !!i/a ditemukan suatu persamaan seperti berikut1 makadisederhanakan ter/ebih dahu/u sehingga diper9/eh persamaan

yang /ebih sederhana3

"ntuk = 3 disubtitusi ke persamaan &)' atau &4' dan


40/160

"ntuk = 3 disubtitusi ke persamaan &)' atau &4' dan

diper9/eh = 5 #e/an0utnya 8ek dengan subtitusikan ni/ai ;

dan y dan hasi/nya bagaimana

C& #'6%

#@6@!!

#' !@6

K!K " 20

K!K 12


41/160

K!K " 12

De#$%# &e'o(e )*+'i'*)i

%'%* ,oei)ie#


42/160


43/160

Telah berlalu ?


44/160

LATIHAN SAL-SALSele)%i,%# per)%&%%# li#e%r +eri,*'

Sele)%i,%# per)%&%%#-per)%&%%# )i&*l'%#

+eri,*'

De#$%# )*+'i'*)i

De#$%# eli&i#%)i

Masih ingatkah ?

Selea$kan kel3"'3k ($ga 'era"aan dengan ($ga 7ar$a#el (ak


45/160

Selea$kan kel3"'3k ($ga 'era"aan dengan ($ga 7ar$a#el (akd$ke(ah!$

Sederhanakan dan elea$kankel3"'3k 'era"aan $"!l(an

#er$k!(2

Adakah dihatimu ?


46/160

Selea$kan 'era"aan #er$k!(2

Mestinya bisa ?


47/160


UMI.8

Lan/!(an2

Tak kusangka dia ?

Selea$an 'era"aan $"!l(an


48/160

Selea$an 'era"aan $"!l(an2

Selea$an 'aangan 'era"aan $n$2

Selea$an2

#ns$aAlla%

&'


49/160

11/21/15TEKNIK MESIN - !ETAMBANGAN B MAHMUDDIN50

PER TEMU

AN(E)UA bahasan :persamaan

parsialdilanjutkan limit,

diferensial


50/160

PECAHAN PARSIAL

"ntuk menyederhanakan persamaan

aritmatika yang terdiri bi/angan pe8ahan

pertama+tama kita k9n:ersi pe8ahan

masing+masing ke bentuk baru yangmempunyai penyebut persekutuan yang

ada/ah K*K penyebut indi:idu

MARI KITA SIMAK CNTH BERIKUT INI

6! 6&! 6%$'!$6 66


51/160

6! 6&! 6%$'!$6 66

ahBa pe8ahan a/0abar dapat dik9mbinasikan dengan

mengk9n:ersi ke penyebut baru yang ada/ah K*K penyebut

masing+masing3 9nt9h3

K*K penyebut ada/ah ; < )F; < $F

Da/am praktek1 pr9ses keba/ikan sering diper/ukan yaitu yang dinyatakan dengan

pe8ahan a/0abar yang ada1 kita per/u menun0ukkan sebagai bi/angan pe8ahan

k9mp9nen yang pa/ing sederhana3

dari 89nt9h sebe/ mn a 0e/as bah a pada kas s ini


52/160

dari 89nt9h sebe/umnya 0e/as bahBa1 pada kasus ini

&(;( + (; + 5'@ &;). );(< >; < ' = )@ &;.4' < 5@ &;


53/160

86

2883

86

4103

22

2

+

+=

+

xx

x

xx

xx

(3 Kemudian kita 6akt9rkan penyebut ke 6akt9r+6akt9r primanya3 Inipenting ketika 6akt9r yang dimi/iki menentukan bentuk pe8ahanparsia/

( ) ( )..............862 =+ xx

Lembar berikutnya simak /an0utan s9a/ ini

288 x

24183

410386

2

22

+

+

xx

xxxx

( )( )42862 =+ xxxx


54/160

#etiap 6akt9r /inear &a; . b' pada pe8ahan memberikan pe8ahanparsia/ bentuk A@ &a; . b'F1 dengan A k9nstan untuk ditentukan3

%adi3

#e/an0utnya1 ka/ikan kedua ruas dengan penyebutnya &; +('&; + 4' yang menghasi/kan 33

3

4286

288

2

+

=

+

x

B

x

A

xx

x

( )( )42

288

86

288

2

=

+

xx

x

xx

x

( )( )4286 + xxxx

PERHATIKAN # #!' #'6%!

!%! #!' $##%!


55/160

!%! #!' $##%!

P#'&!6! !%'! 2 "! 3


56/160

Ini ada/ah identitas dan benar untuk semua ni/ai ;3 #angat mudah memi/ih ni/ai ;

yang membuat sa/ahsatu kurung men0adi n9/3 #ebagai 89nt9h1 dengan

menerapkan ;= 4 memberikan 3 Lembar berikutnya

Dari persamaan ini1


57/160

ahBa untuk = 4,maka B= 2dan untuk = 2,maka A= 3

dengan demikian dapat ditu/iskan bahBa persamaan aBa/berubah men0adi2

SIMAK ATURAN PECAHAN

PARSIAL

( )( )42

2883

86

2883

86

4103

22

2

+=

+

+=

+

xx

x

xx

x

xx

xx

4

2

2

63

86

4103

2

2

+

+=

+

xxxx

xx

ATURAN PECAHAN PARSIAL


58/160

ATURAN PECAHAN PARSIAL

$3 *embi/ang 6ungsi yang duberikan harus berdera0at

/ebih rendah daripada penyebutnya3 %ika tidak kitakemudian membanginya dengan pembagian

pan0ang untuk mendapat p9/in9mia/ dan sisanya

dibagi penyebut yang dapat ditun0ukkan sebagai

pe8ahan parsia/3(3 akt9risasikan penyebut ke da/am 6akt9r prima3 Itu

menetukan bentuk pe8ahan parsia/ yang dipunyai3

)3 akt9r /inear (! )memberikan pe8ahan parsia/

berbentuk A/ (! )D

11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - !ETAMBANGAN59

43 "/angi 6akt9r &a; . b'(memberikan pe8ahan parsia/


59/160

A/ (! ) D B/ (! )2D

53 #erupa dengan di atas &a; . b')memberi

A/ (! ) D B/ (! )2D C/ (!

)3D

>3 #ebuah kuadrat irredu8ibe/ yaitu 6akt9r kuadratik yang tidak

dapat di6akt9rkan /ebih /an0ut ke 6akt9r /inear (!2

F) memberikan pe8ahan parsia/1 A B D / !2 F D

73 "/angi 6akt9r kuadratik tipe yang sama1 (!2 F)21

memberi pe8ahan parsia/1

A BD/ !2

F D C D/ !2

F D2

BEBERAPA CNTH LEMBAR BERIKUT :

Nyatakan da/am pe8ahan paersia/3

*ertimbangan pertama ada/ah pembi/ang


60/160

aturan $

/an0utkan

aturan (

dan )

$3 *embi/ang 6ungsi yang dIberikan harus berdera0at /ebihrendah daripada penyebutnya3 %ika tidak kita kemudian

membanginya dengan pembagian pan0ang untuk

mendapat p9/in9mia/ dan sisanya dibagi penyebut yang

dapat ditun0ukkan sebagai pe8ahan parsia/3

g p p g

dera0at yang /ebih rendah daripada penyebutnya

%adi1 kita harus membagi dengan pembangian pan0ang berikut3

(3 akt9risasikan penyebut ke da/am 6akt9r prima3 Itu

menetukan bentuk pe8ahan parsia/ yang dipunyai


61/160

menetukan bentuk pe8ahan parsia/ yang dipunyai3

)3 akt9r /inear (! ) memberikan pe8ahan parsia/

berbentuk A/ (! )D

sehingga penyebutnya (2 9 2 9 3) diuraikan

men0adi ( 1)( - 3),se/an0utnya diper9/eh3

/angkah se/an0utnya dibuat men0adi

dengan menyamakan

ruas kiri dan kanan1

ada/ah


62/160

sete/ah menyamakan ruas kiri dan kanan1 kumpu/kan

semua suku yang sama dan diper9/eh ni/ai A dan

seperti berikut3

subtitusi n/ai A dan ke

da/am persamaan akan

diper9/eh

diper9/eh penye/esaian


63/160

berikut ini

#9/usi dari pe8ahan parsia/ ada/ah

9nt9h /ain26@! #!62


64/160

6@! #!62*embi/ang 6ungsi yang diberikan harus

berdera0at /ebih rendah daripada penyebutnya3

%ika tidak kita kemudian membanginya dengan

pembagian pan0ang untuk mendapat p9/in9mia/

dan sisanya dibagi penyebut yang dapat

ditun0ukkan sebagai pe8ahan parsia/3

perhatikan aturan ( dan )

se/an0utnya penyebutnya diuraikan men0adi


65/160

se/an0utnya1 penyebutnya diuraikan men0adi

aturan ) ditu/iskan

penye/esaiannya


66/160


67/160

No+o, 4


68/160


69/160

No+o, -


70/160

Subtitusi harga

A dan B

No+o, (


71/160

S*+'i'*)i %r$%

A (%# B

No+o,


72/160

S*+'i'*)i %r$%

A (%# B ,e

./,'+'' '')

No+o, 3


73/160

S*+'i'*)i %r$%A (%# B ,e

./,'+'' '')

Selea$kan dala" 'e%ahan'ar$al #er$k!(5

No+o,


74/160

"ntuk kasus ini ada/ah pembi/ang berdera0at /ebih rendah daripada

penyebutnya 0adi1 pembagian mu/a+mu/a tidak diper/ukan3

Namun1 perhatikan bahBa penyebut mengandung 6akt9r kuadrat yang

tidak dapat di6akt9rkan /ebih /an0ut men0adi 6akt9r /inear u0i yang umum

mengk9n6irmasikan1 untuk yang tidak

kuadrat sempurna3 #eperti te/ah disebutkan da/am satuan sebe/umnya1

6akt9r kuadrat yang tidak teratur memberikan

pe8ahan parsia/

0adi

M%ri ,i'% +er)%&%-)%&%

&e)i&%, %r%#% 444


75/160

Ka/ikan semuanya

dengan penyebut

#e/an0utnya1 kumpu/kan semua suku diruas kanan menghasi/kan1


76/160

Ha/ ini ada/ah identitas1 0adi dapat menyamakan k9e6isien suku di

masing+masing ruas1

Suku konstan

D%ri per)%&%%#

16 (%# 26

S%6%$6 B "! C # >#'$!!! (3),

!! "6>#'#& &!'@! A G


77/160

#ubtitusi di da/am &$'

#ubtitusi di da/am &)'

8arga A9 :5 B9 ,dan 49+6"engha$lkan5

#e/esaikan da/am

bentuk pe8ahan parsia/

No+o, 11


78/160


#ekarang1 untuk 6akt9r

yang bukan kuadrat sempurna1 ada/ah tak teratur

*e8ahan parsia/ akan berbentuk

H'*)5' '&')'"$


79/160

Suku konstan

S%6%$6 # (1) "! (2) ##'6! B= 1 "! C= 4


80/160

11/21/15

harga A1 dan yang te/ah diper9/eh disubtitusi

ke persamaan aBa/ yaitu2

Kasus berikuk ada/ah dengan memakai kemba/i 6akt9r

penyebut yang dihitung1


81/160

memberikan pe8ahan parsia/

dan memberikan

C&: se/esaikan da/am bentuk pe8ahan

parsia/

Diubah da/am bentuk

Kemudian ka/ikan semuanya dengan penyebut as/i1

hasi/nya ada/ah2


82/160

#ekarang samakan k9e6isien dan A dan ditemukan1

Dengan 8ara sama se/esaikan dengan pe8ahan parsia/

H i/ i i


83/160

Hasi/nya ini

menyamakan

k9e6isien suku

sama1 dan diper9/eh

A1 dan

#ubtitusi harga A= 7dan = ?1 maka

Hasi/nya ini


84/160

Di sini1

E:a/uasik9e6isien

#ekarang samakan k9e6isien

dan A dan ditemukan

Dengan mensubtitusi harga A= ( dan = +) dan = 71 maka


85/160

#9/usinya ini

Dengan 8ara sama se/esaikan dengan pe8ahan parsia/

"ntuk ha/ berikut mempe/a0ari kasus dengan penyebut ada/ah

petrsamaan kubik dengan 6akt9r /inear yang berbeda3


86/160

!un0ukkan da/am pe8ahan parsia/1

Ka/ikan dan kumpu/kan suku se0enis1 dan 33

Suku konstan

menyamakan

k9e6isien


87/160

Menye/esaikan tiga persamaan simu/tan dan memberikan ni/ai A1 dan 3

&4'

&5'

Sekarang da'a( "enelea$kan *:- dan *.- !n(!k"enen(!kan A dan B dan ke"!d$an !#($(!$kanke *1- !n(!k "en%ar$ 45 akh$rna2


88/160


* - !n(! " n%ar 5 a h rna2

*erhatikan 8ara menye/esaikan peme8ahan parsia/ ini dan hasi/nya ada/ah1

9nt9h terakhir ini1 penyebut te/ah dise/esaikan denganbaik sebagai pr9duk tiga 6akt9r /inear3 Ini 0uga baik untukpersamaan kubik yang da/am kasus 6akt9risasi harus


89/160

p y gdise/esaikan menggunakan te9rima sisa sebe/um pr9gres

se/an0utnya dapat dibuat3 Di sini kemudian 89nt9h ini yangmembaBa ke pun8ak pr9gram ini3

!entukan pe8ahan parsia/

*ertama bahBa tidak ada pembagian aBa/ yang diper/ukankemudian harus 6akt9risasikan penyebut ke 6akt9r primanyaseperti pada 89nt9h sebe/umnya3

%adi1 menerapkan 6&;' = ;) < 4;( .; . >1 kita dapat

ditentukan tiga 6akt9r /inear 6&;' < 0ika ada3 %aBabannyaada/ah 33

bukan 6akt9r


90/160

6akt9r 6&;'


91/160

Dan ekarang $k!($ elan/!(na ;

Suku konstan

menyamakan

k9e6isien


92/160


93/160

hanya untuk mengingat contoh2penyelesaianlembar sebelumnya


94/160


95/160

Jangan $a+$akan har$#a$k"!

SOAL DI BAWAH INI UNTUK LATIHAN DI

RUMAH KOST ?

DAN INI PP-NYANYATAKAN DALAM


96/160

DAN INI PP NYANYATAKAN DALAM

BENTUK PP

berpikirlah secara sistematis


97/160

KERJAKAN

S0AL

-S0ALINIIRUMAH

N*ATAKAN

PE

CAHAN

PARSIAL

Se&o$% %#(% 'er+%i,


98/160

11/21/15TEKNIK MESIN - !ETAMBANGAN B MAHMUDDIN

PER TEMU

AN(E!ti*a

bahasan : limit,diferensialdilanjutkan

integral

Limit 6ungsi ada/ah bagian dari materi pengantar

LIMIT 6UNGSI


99/160


Limit 6ungsi ada/ah bagian dari materi pengantar

ka/ku/us terutama bahasan di6erensia/ dan integra/Dasar+dasar /imit dirumuskan 9/eh se9rang ah/i

matematika dari *eran8is1 Augustin+L9uis au8hy

&$7?+$57'3

*engertin /imit 6ungsi dengan /imit kiri dan /imit

kanan1 pengertian /imit 6ungsi untuk ;a dan;3

Di da/am bahasan ini men8akup2 &$' /imit 6ungsia/0abar &(' /imit 6ungsi trig9n9metri3

LIMIT ;UN+SI ALJABAR


100/160

*erhatikan beberapa ungkapan di baBah ini1

*emberantasan k9rupsi di Ind9nesia mendekati sepurna3

Ran8angan tentang re:isi "" K*K hampir sa0a disetu0ui

Ni/ai rata+rata ke/as M$+!$ untuk M! ka/ku/us satu hampir sa0a

sama ni/ai rata+rata ke/as !(3 *en8emaran udara di k9ta Makassar sedikit /agi ambang batas3

Hampir sa0a pernikahan ini bata/

dari kata+kata tersebut seperti sedikit /agi1 hampir sa0a1 mendekati1

hampir sama dapat diana/9gikan dengan pengertiIan L I M I Tda/am ka/ku/us3


Bila seorang raja menceritakan sesuatukepada rakyatnya adalah bijaksana bila untukbersikap ragu-ragu Tetapi juga dengan sikap

'erita pendek


101/160

bijksana pula untuk tidak menerimapernyataan raja sebelum memeriksanyaUntuk membuktikan sesuatu haruslah kitamemahami arti kata-kata yang digunakandengan sejelas-jelasnya Terutama yang

menyangkut limit, karena kalkulus semuanyaberstandar pada arti dari kata tersebut

Untuk menyatakan limit!!o f"!#$ % berarti

bah&a selisih antara f"!# dan % dapat dibuatsekecil mungkin dengan mensyaratkan bah&a

! cukup dekat tetapi tidak sama dengan !o


ahBa 6&;' berbeda dari M /ebih ke8i/ dari sama sa0a denganmengatakan

6&;' + MJ

M J 6&;' J M .


102/160

M + J 6&;' J M .

Limit : %engatakan bah&a lim!!o f"!# $ %berarti bah&a untuk setiap >( yang diberikan"betapapun kecilnya#, terdapat >( yangsedemikian sehingga f+,-.M asalkanbah&a / , . ,o , yakni


103/160

rea/3 Ka/au m mendekati ni/ai a1 maka pr9ses

pendekatan ke ni/ai a di/akukan dari dua arah1

yakni2

$3 m mendekati a dari arah kiri1 ditu/is ma+

a ;

(3 m mendekati a dari arah kanan1 ditu/is ma.

a ;

11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI10.

&%

&%-

)isimpulkan bah&a

Teorema limit utama Andaikan n bilangan bulat positif, kkonstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi, yakni f"!# dan


104/160

g"!# yang mempunyai limit di !o %aka,* +im !!o k $ k

+im !!o ! $ !o

+im !!o kf"!# $ k lim !!o f"!#

. +im !!o /f"!# 0g"!#1 $ lim !!o f"!# 0 lim !!o g"!#

2 +im !!o /f"!#-g"!#1 $ lim !!o f"!# - lim !!o g"!#

3 lim !!o /f"!#g"!#1 $ lim !!o "f!# lim !!o g"!#

4 +im !!o /f"!#5g"!#1 $ lim !!o f"!#5lim !!o g"!# asalkan lim

!!o g"!# (

6 lim !!o /f"!#1n $ /lim !!o f"!#1n

7 lim !!of"!# $ lim !!of"!# asalkan lim !!o f"!#>(bilamana n genap

11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN TAMBANlG UMI105

# #

0onto%#

* +imit!!.$ *3 "!$ subtitusi ke !#

'aranya $ lim ! /lim! !1. $ /18.$*3


105/160

'aranya, lim !/lim!!1. /1 . *3

+im!."!9 !#

lim!."!- !# $ lim!./!1 - lim!./!1

$ lim!./!1 - lim!. /!1 $ /lim!. !19 lim!./!1

$ /.1

9 /.1 $ .( lim!./!9 715 ! $

$ lim!. /!9 715! $ lim!./!9 715lim !. /!1

$ lim!./!9 715. $ ;lim!./!9 71(

$ lim!a/a 0 ! 9 !15/a 0 ! - .!1 /a 0 !0 !15


107/160

0 !15

/a0! 0 !1

$ lim!a/"a 9 !#5"a -!#1 /"a 0 ! 0 !#5

"a 0 ! 0 !#1

$*

5/.a5 a1 $1

2"

"


UMI108

=alkulus adalah+ogika, maka

belajarlah denganlogika boy 1/31

Mem4a*i den*an 5an*6at tertin**i

bila f"!#5g"!# dapat dihitung dengan caramembagi f"!# dan penyebut g"!# dengan !n,dengan n adalah pangkat tertinggi dari f"!#


108/160

dan g"!#0onto%7

>utunglah tiap limit fungsi berikut

* +im! ".!-*#5".! 0 .# $ +im!".!5! -*5!#5

".!5! -.5!# $ /. 9 *5!15/. -.5!1 $ *

lim!" !9 ! 0 #5"!0 4! 0 4#

$ lim!"!5!9 !5!0#5"!5!0 4!5!045!#

$ " 9 *5! 05!#5"* 0 45! 0 45!# $


+im!"!-2#5 "! 0 .#

. +im!"!0 ! 0 #5"!- *(#

2 +im!".!-.! 0#5" !9 ! 0#


109/160

3 +im!"!-! 0#5"!#

4 +im!"! 9 #5 "! 0 *#

6 +im!"! 9 *#5 "! 9 #"!0 ! 0 *#

7 +im!"! 0 .#5"!.#*( +im!"6!0 .!0 ! 0#5"*3!0 !0

4! 0 *#

** +im!"! 0 .#.5"!. 0 .#

* +im!"!0 ! 0 #5 "! 0 *#

* +im!"!0 !#5"!.0 .#


UMI110


110/160

+im!"*5!#5 /"* 0 5!#10 /"* 0 *5!#1

$ (5 /*0(1 0 /* 0


111/160

+im!/"!0!-.#1 9 /"!-!0#1

+im!/"!0!-.#1 9 /"!-!0#1 ! /"!0!-.#1 0/"!-!0#1 5

/!

0!-.1 0 /!

-!01+im!/.! 9 31 5 /"!0 ! 9 .#1 0 /"!- ! 0 #1

Selanjutnya akan dibagi dengan !, hasilnya adalah

+im!/. 9 35!1 5 /"* 0 5! - .5!#1 0 /"* 9 *5! 9 5!#1

Untuk !, akan diperoleh$ $


(1 $ (

+im!/"!- ! 0 *#1 9 /"!0 ! 9 *#1

+im!/"!- ! 0*#1 9 /"! 0 ! 9 *#1 ! ;/!- ! 0*1

0 /"!0 ! 9 *#15 /"!- ! 0*#1 0 /"!0 ! 9 *#1


112/160

+im!/!- .! 0 1 5 /"!- ! 0*#1 0 /"!

0 ! 9 *#1

Selanjutnya akan dibagi dengan !

+im!/* 9 .5! 0 5!15 /"5!9 *5!0 *5!.#1 0

/*5! 0 5!9 *5!.#1, subtitusi !

$ /* 9 ( 9 (15 /"(0(0(#1 0 /"( 0 ( 0 (#1, hasilnyaadalah:

$+tida6 ada limit-

'ontoh-contoh di atas membuka memori untuk penyelesaian soal selanjutnya



113/160

TURUNAN

+)ER#VAT#VE-

11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI11.

TURUNAN+)ER#VAT#VE-

Turunan Fun*si Al:a4ar

)e;nisi9 Bila y $f"!# adalah suatu fungsi


114/160


)e;nisi9 Bila y f"!# adalah suatu fungsi?ariabel !, dan bila,

d$2d, = lim

,

/ atau 4erarti

f3+,- = lim

,

/


115/160

grak pada y $ f"!# dan"!*,y*# titik yang lain juga

terletak pada y $ f"!#sedangkan hubungan antara @dan diberikan

,3 = ,/ ?

,> ma6a

, = ,3 !,/

$3 = $/ ? $> ma6a $ = $3 !

$/

! $ @C dan y $ C, berartidari @ ke , bila !(bertambah

!, maka y(juga bertambahy

" 6

1

o

@

P R

1

0

=oesien arah "slope# garis sekans yangmenghubungkan titik @ dan adalah

m =


116/160

= f+,/?

,- . f+,/-2

,Bila, @"!(,y(# titik tetap, sedangkan "!*,y*#

adalah titik yang berjalan sepanjang grakmenuju @, maka dalam keadaan limit,

berarti !( akan memberikan koesienarah garis selama berubah menjadikoesien arah garis singgung pada grakdi titik @ "mtg#

mt*= lim@P m = lim,/

$2

,= lim,

/


117/160

konstanta

%aka untuk ! $ !o

! $ !o0 !

>arga y adalah tetap sama dengan

c,

%aka y $ c

y 0 y $ c

)ibagi dengan !, maka

y5! $ ( dy5d! $ lim!(/y5!1$ (


"

1 o

y $ (

Teori +1-7Turunan y $ !nterhadap ! sama dengan n!"n-*#, dimana n bilangan bulat positif

Bukti: )engan rumus Binomial, maka

y 0 y $ "! 0 !#n

! 0 ! n $ *


118/160

!0 ! "!# 0 "!# n $

!0 !"!# 0 ! "!#0 "!# n $

!n0 n!n-*"!# 0 "suku-suku dalam ! dan ! "!# n >

(arena $ = ,n> ma6a

! n $ * ! "!# 0 "!# n $

!"!# 0 ! "!#0 "!# n $

n!n-*"!# 0 "suku-suku dalam ! dan !#"!#n >

00


y

)ibagi dengan !

* n $ *

! 0 ! n $


119/160

!0 !"!# 0 "!# n $

n!n-*0 "suku-suku dalam ! dan !#"!# n >

)engan pengertian +imit untuk !(, makadiperoleh turunan

* n $ *

! n $

!n $

n!n-* n >


dy5d!

y5!


120/160

)en*an demi6ian 4a%8a7 ila U = ,n>dan

y $ c!n, n adalah bilangan bulat

dy5d! $ cn!n-*


121/160

0onto%C $ = 3/,"> $ = ",? ,"? 1,1? ", ? D

$ = ",3/> $ = ,"? ",1? ",1? , ?


Dadi, bila y $ !n

, n bilangan bulatpositif, maka

dy5d!$ n!n-*, Sehingga dy5d! disebutturunan pertama dari y $ f"!#

terhadap !, besarnya juga diberisimbol y, d5d! f"!#, f"!# atau )y

* conto%9 $ = ,> $ = ,G>1

per a an> $ = a ?4-n


122/160

!(, maka diperoleh y5! $ dy5d! adalah: d$2d, = n,n!3

perhatikan grak sebelumn

ma cara n 9 TURUNAN

fun*si 4eri6ut9 B6! = 2, !!

y . y = &; . ;'(

( (


123/160

y . y = ; . (;3; . ; Karena y = ;(1 disubtitusi ke3331

diper9/eh y =(;3; .&;'(

/ = 2 ()

karena ;1

y@; = dy@d; = (;

bi/a1 y = ;( maka dy@d; = (;

"/" !"!!& @'!"6# @!'6$

$6@@%@ %'! = 2

$ = ,"

y 0 y $ "! 0 !#

y 0 y $ "!0 !! 0 ! !0

#

Bagaimana bila fungsi

yang diberikan, $ = ,"


124/160

!#

=arena, y $ !, maka diperoleh

y $ !! 0 ! !0 !, dan

y5! $ !0 ! ! 0 !5!

,

/> ma6a

$2

, = ",1>

$2

,= d$2d, =

!

ila $ =,"> ma6a d$2d, =",1


ila $= ,1? Misal6an> $ = a,1? 4 perhatikan grak sebelumnya

+

-n

4


125/160

$ ? $ = a +, ? ,- ? 4$ ? $ = a ma6a $2,- = an,+n!3-0 ( 0 ( 0 ( 0

$2,- = d$2d, = an,+n!3-


U%, = (42 7)

y . y = 4"! 0 !#0 4

y 0 y $ . /"!0!"-*#"!# 0 ./"-*#5E1

/ " #" #1 4


126/160

/ !"-#"!#1 0 4

dan y $ .!0 4

y $ . /!"-*#"!# 0 ./"-*#5E1/!"-#"!#1

y5! $ 6,0 65/ !(#"!#1untuk !(, diperoleh hasil

y5! $ 6,0 65/!( "!#1

Dadi, y5! $ dy5d! $ 6,ila $ = ,1? > d$2d, = D,


Teori7Turunan dari jumlah fungsi-fungsi yang dapatditurunkan sama dengan jumlah turunan dari

i i f i b ik t

Turunan den*an 5en:umla%an dan5en*uran*an fun*si


127/160

masing-masing fungsi berikutU ? U = f+, ? ,- dan

V ?

V = *+, ?

,- )an 4ila $ = U ? V>ma6a

$ ?

$ = +U ?

V- ? +V ?

V- dan

$ =

U ?

V

ila masin*!masin* ruas di4a*i den*an

,>ma6a di5erole%

$2

, =

U2

, ?

V2

,(eadaan limit untu6 ,/

limit

$2

, = lim

U2

, ? lim

V2

,11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI128

%aka menurut denisi, bah&a dy5d! $ dU5d! 0dF5d! Akibat dari persamaan ini, Bila U, F, G H masing-masing fungsi ! yang dapatditurunkan, dan bila

U V W I 6


128/160

$ = U ? V ? W ? &&&&&&&& I> a6andi5erole% turunan 5ertama dari fun*si iniadala%

d$2d, = dU 2d, ? dV2d, ? dW2d, ?

&&&&&&77 dI2d,%asing-masing diberikan, U$ !0 ! 02 dan F$ !0 .!0 .! 0 4, maka , dU5d! $ ! 0 dan dF5d! $!0 6! 0 ., dengan demikian akan diperoleh

d$2d, =


129/160

dI2d, = dU2d, ? dV2d,

0onto% lain9 sima6 5en$elesaiann$a & '

37 $ = +," ? 1,1? ,- ? +",1? , ? 3/-

17 $ = +,? ","! 1,1? 3/- ? + ,"! ",1? ,

! D-"7 $ = +,! ",? 1,"- ! + ","? ,1! ,-

7 $ = +,? ,"- ! + G,"! ,1-

7 $ = +1,? 1,"! ,1- ! 1+ 1,"! ,1?

,-G7 $ = 1+,"? ,1. ,- . "+,1? 1, ! -


4 y $ "!60 !4- .!3# - " !2- .!.# 0 "4! 0

! 0 !#


130/160

!0 !#6 y $ "!.0 !# 9 "!- .!# 0 "! 0 .#

7 y $ !.9 4!9 *!0 2

*( y $ 4! 0 *(

** y $ "*(!0 !# 0 "-*(!9 !#

* y $ "!9 ! 9 !# 9 "!9 .!-!#

* y $ "! 0 # 9 "! 0 # 9 "! 9 .# 0 "!0 .!

0 .#*. y $ "! 0 *#0 "! 0 ! 0 .# - "! 0 #


TUCUIAI JUIKSL CASLMIA+ Teori9 >asil ganda dari dua fungsi U dan F yang dapat

diturunkan adalah dapat diturunkan, dan berlaku

d"UF#5d! $ F "dU5d!# 0 U "dF5d!#


131/160

u6ti9 4ila y $ UF, maka

y 0 y $ "U 0 U# "F 0 F#

$ U F 0 F "U# 0 U "F# 0 "UF#

y $ F "U# 0 U "F# 0 "U F# akan dibagi!, diperoleh

y5! $ F "U5!# 0 U "F5!# 0 U "F5!#

Bila !(, maka juga U( dan F(

Dadi, lim y5! $ V lim U2, 0 U lim V2, 0 limUlim F5!


Jle% 6arena lim

U

/U lim

,

/ V2, = /

d$2d, = d +U7V-2d, = V dU2d, ? U dV2d,

)engan cara yang sama

Bila, U*, U, U, U. Un dan U

adalah masing masing fungsi ! atau U$ f"!# yang


132/160

adalah masing-masing fungsi ! atau U$ f"!# yangdapat diturunkan, dan bila

$ = U3 U1U"&&&&&&&&&&& Un

d$2d, = U1U"& UndU32d, ? U3U" & Un

dU12d, ? U3U1& UndU"2d, ? U3U1U"&

Un!3dUn2d,


Teori 9 ila U dan V adala% fun*si dari, $an* da5at diturun6an dan V

/>ma6a

Untuk turunan hasil bagi fungsi ! yang

dinyatakan sebagai berikut

Teori 9 ila U dan V adala% fun*si dari, $an* da5at diturun6an dan V />

ma6a


133/160

dinyatakan sebagai berikut$ = U2 V> den*an U dan V adala%fun*si ,> atau

U = f+,- dan V = *+,-

d2d, +U2V- =


134/160

Bila misalkan U dinyatakan dalam y $ U dan n $ p5N " pdan N bilangan bulat positif atau negatig dan N (#,

Ma6a> y $ Up5Ndan yN$ Up

bah&a ruas kaki masing-masing didiferensialkan terhadap

!, memberikanNyN-*dy5d! $ pUp-*dU5d!,

dy5d! $ /pUp-*dU5d!1 5 /NyN-*1 atau $ /"p5N#Up-*!y5yN!dU5d!1

>arga y $ Up5Ndan yN$ Updisubtitusi dan menghasilkan

dy5d!$ /p5N Up-* !"Up5N5Up# dU5d!1 $ /p5N U"p5N-*#dU5d!1, Dadi dUn2d, = n Un!3dU2d, danuntuk n bilangan bulat atau rasional posneg

0onto%* "!0 !# dengan tahapan adalah:

- dimisalkan bah&a U $ !0 !

- dituliskan kembali dalam y $ Un

- diferensialakn y terhadap U hasilnya


135/160

- diferensialakn y terhadap U, hasilnyady5dU$nUn-*

- diferensialkan U terhadap !,

Selan:utn$a>

dy5d! $


136/160

Teori9 Bila U adalah fungsi ! yang dapatditurunkan dan n bilangan rasional, maka

$ = Un :adi d$2d, = n Un!3


137/160


0onto%9

* y $ "! 0 !# dy5d! $"!0 7!0 7!#

y $ ".! 0 *#*5 dy5d! $ 3!5".!0 *#

y $ "! 0 #5".!0 # dy5d! $ -

"*!

- *3! 9 7#5".!

0 #

. y $ "!9 .!#5 "*3 9 !# dy5d! $ -"!. -..! 0 3.#5"*3 - !#

$ 9 $ -

* @ersamaan lintasan dari suatu partikel adalah s $ !0 t 0 2, s dalam cm dan t secondsBerapakah kecepatan rata-rata dari partikel dalaminter?al t$* dan t$2

@ersamaan lintasan dari suatu partikel adalah s $ t -


138/160

@ersamaan lintasan dari suatu partikel adalah s t 7t0 *2t -4 Tentukan harga s dan ? jika percepatan $(, dan untuk harga-harga t yang manakah ?


139/160

1.0

u * a d$2d da 37 ,1$ ? ,$1 = G> masing-masing suku didifrensialkan

terhadap !, akan memberikan

d5d!"!y# 0 d5d!"!y# - d5d!"3# $ (

!y 0 !dy5d!0 y0 !y dy5d! 9 ( $ (

kumpulkan suku yang mengandung d$2d,, danmenghasilkan

"!0 !y#dy5d!$ -"!y 0 y#

Dadi, dy5d! $ -/"!y 0 y#5"!0 !y#1O untuk ,1? 1,$

/

contoh berikutnya

17 $ = ,2 +,1? 3-"7 ,$ ? +, ? $ ? 3-1= /

> +", ? -F= 1$"

$" = +, . $-2 +, ? $-

#imak bersama+sama


140/160

7 $"= +, . $-2 +, ? $-

G7 +, ? $-"? +, . $-"= ,? $

11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI1.1

TURUNAN FUNKS# (JMPJS#T+COMPOSITE-

ila fun*si $ = F+,- ditulis dalam 4entu65ersamaan 5arameter dalam t> $a6ni , = f+t-dan $ = *+t-> ma6a

$ = F+,- = F


141/160

d$2d, =


142/160

Bila suatu fungsi dinyatakan dalam y $f"!# dan P $ g"!# atau

$ = F+,- = *


143/160

5 * >

dF2d,= dan dF2 d$

Misaln$a9

H$ !

0 y

, disini H merupakan fungsi dari ! dan y)engan demikian,

dI2d,> dapat dicari dengan mendiferensialkan Hterhadap !, dengan y konstan

dI2d$> juga dapat dicari mendiferensialkan Hterhadap y,,dengan ! konstan

0onto%9

* Untuk memperoleh du5d!, kita anggap ykonstan

)iferensialkan !terhadap ! adalah !)if i lk i l t h d d l h

u = ,1? ,$ ? $1


144/160

p)iferensialkan parsial !y terhadap ! adalah ydan "y adalah faktor konstan#

)iferensialkan parsial yterhadap ! adalah ( "y

adalah suku konstan#, jadi du2d,= 1, ? $ Untuk memperoleh du5dy, kita anggap !

konstan, diferensialkan parsial ! terhadap y$("! adalah suku konstan#

)iferensialkan parsial !y terhadap y$! "! adalahsuku konstan#

)iferensialkan parsial yterhadap y$ y,

%aka diperoleh du2d$= , ? 1$

Bila H adalah fungsi ! dan y atau H $ f"!,y#dinyatakan "!-y#"!0y#

Bentuk ini merupakan bentuk perkalian "ingat kuliahsebelumnya# Aturan perkalian yang biasa dapatditerapkan disini dengan mengingat bah&a untukmencari dH5d!, dan y konstan dan dalam mencari


145/160

dH5dy, dan ! konstan %aka,

dI2d, = +1,!$- ? 1+,?"$- = , ? $

dI2d$ = !+,?"$- ? "+1,!$- = , . G$

I = +,!1$-+",?$- dI2d, = 1, ? 3$

Sedangkan, dI2d$ = 3, . 1/$

H $ "!-y#5"!0y# tentukan dH5d! dan dH5dy =arena

bentuk ini adalah pembagian, maka

$

, ? 3= "$ +, ? $- dan

1, ? = !",2 +, ? $-

,2$ = +,"? ", ? $"! "O-

, ? $ = +,$ ? ,1$1! , ! $-

I = + , ? $-2 +, . $-

I = +,1? $1-2 +,1. $1-

I = +$1

? ,1

-2 +$1

. ,1

- I = +,1? $1-2+,1! $1-

678* I+.)**!


146/160

I =

+,1! $1-2

+,1? $1-

I = +, ? $-12 +, . $-1

4a%asan turunan funs*i tida6la% susa% dan sulit> 6ecuali6esulitan itu datan* dari 6ita sendiri

&77 o$

678* .',*')

I = +, ? $- den*an , = 1t ? dan $ = . 1t

I = 1,1 ? , ? $"!"$- den*an , = t1? t

dan $ = t . t"

SOAL9SOAL PENTING : ?


147/160

11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI1.8

$

I = +,"? ", ? $". "$- den*an , = 1t1dan $ = . 1t1

I = +,$ ? ,1

$1

! , ! $- den*an , ="t1? 1 dan $ = . "t1 ! 1

I = + , ? $-2 +, . $- den*an , =+1t ?3-1dan $ = +1t ! 3-1

W = +,1? $1? B1- den*an , = 1t . > $ =1t ? dan B = t1? 1t

$ = +,1? 1,-32"2 +,1. 1,-32"

" "

TA( (USANK(A )ATANKLAK# &7 '

onsu as an a e um

dimengertiboys (*


148/160

11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI1.9 WAAMU #)A)AR#(U& '

)#FERENS#AL PJL#NJM#AL

MENI;ERENSIALKAN %@$6 >66! !"!!&

#"6#'#$6!! !$6@-!$6@ $%%


149/160

TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI150


150/160

Notasi alternatif . (oe;sien diferensial

= 22 9 5 31 maka dy@d; = 4; < 53 ini ada/ah pernyataan

pada yang dapat ditu/is sebagi pernyataan tungga/ dengan

menempatkan y dan dy@d;1 yaitu "/" (22 9 5 3) dengan

8ara yang sama1 maka "/" (439 72 2 9 5)1229 14 2 Met9de I dan II

ada/ah pi/ihan

=emiringan grakgaris lurus

KEMIRINGAN GRA6IK GARIS LURUS


151/160

garis lurusdinyatakan

m = d$2d, = t*

Bila titik P+1>"- dan@+G>-, maka kemirinagngrak garis lurus adalahm= + . 1-2+G . 1- = />

dan dari titik koordinat @dan dapat dituliskan


152/160

ppersamaan garis lurusyang dinyatakan dalam

$ . = />-, makakemirinagn grak garislurus adalah

m = +3 . -2+ . "- =!3


153/160

dan dari titik koordinat @dan dapat dituliskanpersamaan garis lurus

yang dinyatakan dalam

$ . 3 = !3


154/160

Bagaimana m bisa diperoleh dan tuliskan persamaan garislurus yang menghubungkan titik koordinat @ dan


155/160


UMI15


156/160


157/160


UMI158


158/160


UMI159


159/160


UMI10

TUCUIAI JUIKSL KMILM%QTCL


160/160


UMI11

kalkulus satu teknik mesin

Documents