logicarazonderivatpsico_15 (2)

8/16/2019 LogicaRazonDerivatPsico_15 (2)

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Facultad de Humanidades LÓGICA Y Epistemología

J.D. 1

ESTRUCTURA Y VALIDEZ DEL RAZONAMIENTO(borrador)

Unidad Didáctica 3: Estructura y validez del razonamiento1. Validez de un argumento2. La prueba formal de validez3. Formas de razonamientos elementales4. El método derivativo5. La deducción natural6. La prueba de invalidez7. La demostración por el absurdo8. Estructura lógica de la reducción y de la falsación

Introducción

En el desarrollo de las argumentaciones científicas lasproposiciones aparecen dentro de razonamientos, y la conclusiónde un razonamiento suele ser el puntode partida, o primera premisa, delsiguiente. Así se van encadenando enunciaciones que describen o justifican un comportamiento del

mundo o del hombre.Veamos el siguiente ejemplo,

tomado del modelo simplificado de la economía:

Si las empresas producen bienes o servicios, entonces necesitanrecursos.

Es así que producen bienes o servicios.

Luego, las empresas necesitan recursos.

Si las empresas necesitan recursos, entonces las familias los producen.

Se da que las empresas necesitan recursos.

Por lo tanto, las familias los producen.

Si las familias producen recursos, los venden a las empresas.

Si los venden a las empresas, entonces ganarán dinero.

Entonces, si las familias producen recursos, entonces ganarán dinero.

En este ejemplo se puede ver que la conclusión de unrazonamiento, las empresas necesitan recursos, presente en latercera oración, es tomada para comenzar el razonamientosiguiente. Y así sucesivamente. Por cierto, nos interesa realizar demodo correcto cada razonamiento y encadenarlo a otros mediante

Bienes

PB

Familias

Empres

as

PR


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nexos adecuados. En este ejemplo los nexos son correctos.

Tomemos ahora la última proposición del ejemplo yprolonguémosla en un nuevo razonamiento, para completar todala argumentación:

Si las familias producen recursos, entonces ganarán dinero. p q

Las familias no producen recursos. ¬p

Luego, no ganarán dinero. / ¬q.

En este argumento, extensión del anterior, hemos cometido lafalacia de la negación del antecedente, que lo inválida. A la vezinvalida toda la argumentación, pues el último paso ha sido falaz.Pareciera que todo es correcto, pero no lo es. Quizás, las familias

podrían ganar dinero por otros caminos. Más adelante tendremosprocedimientos para demostrar que la estructura de laargumentación es inválida. Pero, por ahora, simplemente,tomemos la forma del razonamiento (que ha sido escrita a laderecha) y construyamos para la misma un segundo ejemplo:

Si José es italiano, entonces es europeo. p q

José no es italiano. ¬p

Luego, José no es europeo. / ¬q.

En este argumento se puede ver que la conclusión no es correcta.

Sin embargo tiene la misma forma lógica que el ejemplo que estámás arriba, donde el error no es tan perceptible. Por el principiode no contradicción, una forma lógica no puede ser correcta eincorrecta al mismo tiempo. Por eso, se impone la necesidad dehacer un estudio más profundo de las formas de losrazonamientos, y así fijar cuáles son válidas y cuáles no. ¡A latarea, pues!

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 1: (ELIGE EL ITEM QUE COMPLETA MEJOR):

La validez de un argumento califica

a. su forma.

b. su contenido.

c. su forma y su contenido.

Respuesta:

1. VALIDEZ DE UN ARGUMENTO.

En el lenguaje cotidiano hallamos argumentaciones, ya para

demostrar una verdad, ya para convencer a alguien de aquelloque se afirma. Nos interesa que se acepte una oración, cuando se


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sigue de algunas otras, que previamente habían sido aceptadas.En la unidad anterior trasladamos a un lenguaje formal,proposicional, las oraciones afirmativas del lenguaje natural.

Ahora intentaremos hacer lo mismo con los argumentos.Deberemos, al menos, poder justificar si la conclusión a que sellega, se deriva rigurosamente de sus premisas. Cuanto estoacontece, decimos que la argumentación (razonamiento) esválida.

1.1. El razonamiento

En un argumento se distinguen tres elementos: lasproposiciones de las que se parte, a las que denominamos premisas; la proposición a la que se arriba, a la que llamamosconclusión; y el tercer elemento, que señala la relación dedependencia de la conclusión respecto de las premisas, que sellama expresión derivativa. Usualmente, ésta suele decirse conpalabras o frases tales como luego, entonces, por lo tanto y enconsecuencia, antes de la conclusión colocada al final; o puestoque, dado que y siempre que, después de la conclusión puesta alprincipio y antes de las premisas.

Ejemplo con la conclusión al final :El precio es bajo o la mercadería es muy buena. (Premisa 1: φ1) El precio no es bajo. (Premisa 2: φ2)Luego la mercadería es muy buena. (Conclusión: ψ)

Caso con la conclusión al principio:Mañana lloverá, (Conclusión: ψ)si hay baja presión (Premisa 1: φ1)y el viento sopla del este. (Premisa 2: φ2)

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 2 (ELIGE EL ITEM QUE RESPONDE MEJOR):Sea el argumento:Los peces no muerden, dado que los peces muerden cuando lacarnada es buena y accesible, y la carnada no es buena yaccesible.¿Cuál es la conclusión?

a) Los peces no muerden.b) Los peces muerden.c) La carnada es buena y accesible.

Respuesta:


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Una forma (o esquema) de razonamiento se puede simbolizar:

φ1, …, φn / ψ (si phi 1, y [...] y phi n, entonces psi) Donde φ1 , … y φn simbolizan las premisas, y ψ indica laconclusión.

Cuando la aceptación de φ1 , …, φn nos constriñe a tomar ψ,decimos que el razonamiento es válido. Es decir:

Para la lógica proposicional se cumple que, el razonamiento φ1 ,…, φn / ψ es válido, en el caso que para toda evaluación deVM(φi)=1 se cumple que V M ( ψ)=1. ( En cada caso se cumple que laexpresión condicional, cuyo antecedente es la conjunción de laspremisas φ1 , …, φn, y el consecuente la conclusión ψ, es unatautología). La M se refiere a una interpretación del argumento,que por ahora ignoramos; por eso escribiremos simplementeV( φi )=1, y V( ψ)=1. Si aceptar φ1 , …, φn nos compromete aaceptar también ψ, se dice que el esquema de argumento esválido; se acepta que ψ es una consecuencia lógica de φ1 , …, φn.

Veremos la justificación de la validez de un razonamiento:primero, desde la perspectiva semántica, por tablas de verdad;

y luego, por vía sintáctica, mediante el método derivativo.EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 3 (ELIGE EL ITEM QUE RESPONDE MEJOR):Sea el razonamiento (que se representa con las premisas φ1, …, φ2 y la conclusión ψ):

María estudia contabilidad o administración.No estudia contabilidad.Luego, estudia administración.

¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a φ2?a) María estudia contabilidad.

b) María estudia administración.c) María no estudia contabilidad.

Respuesta:

Se dice que es semánticamente válido si para todo modelo Mque interprete todas las letras de predicado, constantes ycualquier símbolo de función que aparezca en φ1 , …, φn y ψ, detal modo que para los casos en que VM(φi )=1 se cumple queVM(ψi )=1. Aceptar la verdad de un φi , nos compromete a

aceptar la verdad de ψi .


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1.2. Validez de un argumento por tablas de verdad

En primer lugar, establecemos si una forma dada de

razonamiento es válida haciendo para él una tabla de verdadsegún se detalla a continuación. Dado el razonamiento,

establecemos primero todas las líneas de su tabla de verdad en

que V(φi)=1. Enseguida, en estas líneas, constatamos si V(ψ)=1.

Si esto se da en todas las líneas en que V(φi)=1, el argumento es

válido.

Ej.: Si aumentan los

precios, baja el consumo. p

q (premisa 1)

Aumentan los precios. p (premisa 2)

Luego, baja el consumo. q (conclusión)

La forma del este argumento es: p

q, p / q.

Hacemos su tabla de verdad, según se ha indicado, se obtiene:

p q p q / q

V1 1 1 1 * 1

V2 1 0 0

V3 0 1 1

V4 0 0 1

En la tabla sólo consideramos la valuación de la conclusión q enlos casos marcados con *, en los cuales todas las valuaciones delas premisas dan 1. Puesto que en todas ellas la conclusión qtambién vale 1, el argumento es válido.

Veamos un segundo ejemplo: p¬r, q¬r, pq / ¬r

p q r ¬r p¬r q¬r pq / ¬r

1 1 1 0 0 0 1

1 1 0 1 1 1 1 * 1

1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 1 1 1 * 1

0 1 1 0 1 0 1


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0 1 0 1 1 1 1 * 1

0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 1 1 0

En esta tabla se observa que en las líneas marcadas con * (dondeel valor de las tres premisas es 1), la conclusión q también vale 1.Por eso el argumento es válido.

Agreguemos ahora un contraejemplo para la fórmula(pq), (q¬r) / q¬r, en el cual la forma del argumentono es válida:

p q r p q ¬r q ¬r / q ¬r

1 1 1 1 0 0

1 1 0 1 1 1 * 1

1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 1

0 1 1 1 0 0

0 1 0 1 1 1 * 10 0 1 1 0 1 * 0

0 0 0 1 1 1 * 0

Se ve en esta tabla que en dos de las cuatro líneas marcadas con* la conclusión, q¬r, no vale 1. Por eso el argumento no esválido. Es decir, hemos hallado un contraejemplo para una formade razonamiento inválida.

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 4 (ELIGE EL ITEM QUE RESPONDE MEJOR):Sea la fórmula p(qr), (rq), q.Construye su tabla y determina si es válido o no, con elprocedimiento de las tablas de verdad que aplicamos más arriba.¿Es válido?

a) Sí.b) No.c) No se puede hacer.

Respuesta:


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1.3. El método del condicional asociado

También podemos mostrar la validez de un argumento

desarrollando la tabla de verdad de un condicional asociadoa aquél. Esto es, dado un razonamiento, podemos construirun condicional cuyo antecedente sea la conjunción de todassus premisas y el consecuente su conclusión. De este modo,asociamos un condicional a la forma de un razonamientodado. Luego, se desarrolla la tabla de verdad delcondicional. Si el condicional es tautológico, el razonamientoque le dio origen es válido; si es contingente o

contradictorio, es inválido.

Sea el siguiente ejemplo: Si Juan es bueno entonces essolidario. Pero, Juan no es solidario. Luego no es bueno.

Se puede simbolizar: p q, ¬q / ¬p.

Hacemos el condicional asociado: ((p q) ¬q) ¬p.

Luego, construimos la tabla de verdad compuesta (se han vistoen la unidad III):

p q pq ¬q (pq)¬q ¬p ((pq)¬q)¬p

V1 1 1 1 0 0 0 1

V2 1 0 0 1 0 0 1

V3 0 1 1 0 0 1 1

V4 0 0 1 1 1 1 1

Puesto que se da una tautología, el argumento es válido.

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 5 (ELIGE EL ITEM QUE RESPONDE MEJOR):Sea el argumento: Si las empresas pagan a las familias por losrecursos, entonces las familias pueden pagar a las empresas porlos bienes. Si las familias pueden pagar a las empresas por losbienes entonces se establece un flujo monetario. Pero, no seestablece un flujo monetario. Luego, las empresas no pagan a lasfamilias por los recursos.Construye la forma del razonamiento (con las fórmulas de las

premisas y la conclusión), elabora el condicional asociado,construye la tabla de verdad compuesta, determina si la forma es


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o no tautológica, y resuelve si la forma del razonamiento es o noválida.¿Es válida?

a) Sí.b) No.c) No se puede hacer.

Respuesta:

La interpretación (semántica) (Información complementaria)

- En un sistema de lógica proposicional, una interpretación es una

asignación de valores de verdad para cada variable proposicional,

vinculada a otras mediante alguno de los operadores lógicos (, ,

etc.). A cada variable proposicional se le asigna uno de dos posibles

valores de verdad: o bien 1 (verdadero) o bien 0 (falso). Para un

sistema con n variables proposicionales, el número de interpretaciones

distintas es de 2n.

- Si φ y ψ son fórmulas cualquiera de un lenguaje L, Γ (gamma) es un

conjunto de fórmulas de L, y M es una interpretación de L.

- Una fórmula φ es una tautología si y sólo si para toda interpretaciónM, M asigna el valor de verdad 1 a φ. ( : tautología)

- Una fórmula φ es una contradicción si y sólo si, para todainterpretación M, M asigna el valor de verdad 0 a φ. ( : contradicción)

- Una fórmula φ es consistente si y sólo si existe al menos una

interpretación M que asigne el valor de verdad 1 a φ.- Un conjunto de fórmulas Γ es consistente si y sólo si existe al menos

una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas en Γ.

- Una fórmula φ es una consecuencia semántica de un conjunto de

fórmulas Γ si y sólo si para toda fórmula ψ que pertenezca a Γ, no hay

ninguna interpretación en que ψ sea verdadera y φ falsa. Cuando φ esuna consecuencia semántica de Γ en un lenguaje L, se escribe: Г Lφ.


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- La fórmula φ es lógicamente válida si y sólo si φ es una consecuencia

semántica del conjunto vacío. Cuando φ es una fórmula lógicamente

válida de un lenguaje L, se escribe: Lφ

2. LA PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ

Las tablas de verdad permiten verificar en cada fórmula, ocondicional asociado a un argumento, si es una tautología. Pero lalógica como ciencia debe ser un conjunto de proposicionesvinculadas por un nexo demostrativo. Una ciencia no se limita aconstatar la verdad de ciertos enunciados sino que exige lademostración de ellos a partir de los axiomas de una teoría. Nosólo necesita un método para operar, sino un sistema científicoque permita deducir cada ley a partir de otras más elementales.Se impone emprender la sistematización axiomática de la teoríalógica. Aunque no es tarea de este curso, es urgente disponer lasdistintas expresiones lógicas verdaderas dentro de un sistemadeductivo, en el cual algunas expresiones simples son asumidascomo primitivas, para poder deducir desde ellas las restantes con

rigor.

3. FORMAS DE RAZONAMIENTOS ELEMENTALES

Dividiremos las expresiones lógicas elementales suficientes parala lógica proposicional en tres grupos: los tres principios clásicos,algunas formas deductivas primitivas y algunas fórmulasprimitivas de equivalencia.

3.1. Tres principios clásicos

Suelen destacarse en toda demostración la presencia de tres

principios básicos: de no contradicción, de tercero excluido y de

identidad .

El principio de no contradicción dice que no es posible una

fórmula afirme y niegue la misma proposición: ¬(Φ ¬Φ).

El principio de identidad afirma que cualquier proposición seimplica a sí misma: Φ Φ.


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El principio de tercero excluido enuncia que o bien se afirma

una proposición o bien se afirma su negación: Φ ¬Φ.

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 6 (ELIGE EL ÍTEM QUE RESPONDE MEJOR):

¿Es el principio de no contradicción equivalente a de identidad? Es decir,la expresión ¬(Φ ¬Φ) (Φ Φ) ¿es una tautología?

a)

No, es una contingencia.

b) No, es una contradicción.

c) Sí, es una tautología.

Respuesta:

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 7 (ELIGE EL ÍTEM QUE RESPONDE MEJOR):

¿Es el principio de no contradicción equivalente al del terceroexcluido? Es decir, la expresión ¬(Φ ¬Φ) (Φ ¬Φ) ¿es unatautología?

a) Si, es una tautología.

b) No, es una contradicción.

c) No, es una contingencia.

Respuesta:

3.2. Formas deductivas primitivas

Hay formas de razonamiento más simples, intuitivas yelementales que se emplean como leyes lógicas. Si a las mismasse le asignan valores mediante el método de tablas de verdad elresultado será tautológico; es decir, toda regla lógica es unatautología. He aquí las formas naturales elementales dededucción que emplearemos:

1. Modus ponendo ponens (MP) Φ Ψ, Φ / Ψ

2. Modus tollendo tollens (MT) Φ Ψ, ¬Ψ / ¬Φ

3. Silogismo disyuntivo (SD) Φ Ψ, ¬Φ / Ψ

Φ Ψ, ¬Ψ / Φ

4. Silogismo hipotético (SH) Φ Ψ, Ψ Χ / Φ Χ

5. Simplificación (Simp) Φ Ψ / Φ

Φ Ψ / Ψ


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6. Adición (Ad) Φ / Φ Ψ

7. Conjunción (Conj) Φ, Ψ / Φ Ψ

8. Dilema constructivo (DC) ΦΨ, ΧΩ, ΦΧ) / Ψ Ω

9. Dilema destructivo (DD) ΦΨ, ΧΩ, ¬Ψ¬Ω / ¬Φ¬ Χ

10. Absorción (Abs) Φ Ψ / Φ (Φ Ψ )

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 8 (ELIGE EL ÍTEM QUE CORRESPONDE ):

Sea la tabla de verdad compuesta de la adición (Ad):

Φ Ψ Φ Ψ Φ (Φ Ψ)

1 1 1 __ 1 0 1 __

0 1 1 __ 0 0 0 __

Completar la tabla e indicar la opción que tiene los valores de laúltima columna.

a) 1, 1, 1, 0b) 1, 0, 0, 0

c) 1, 1, 1, 1 Respuesta:


Sea la tabla de verdad compuesta de la simplificación (Simp):

Φ Ψ Φ Ψ (Φ Ψ) Φ

1 1 1 __ 1 0 0 __

0 1 0 __

0 0 0 __

Completar la tabla e indicar la línea que tiene los valores de laúltima columna.

a) 0, 1, 1, 1

b)

1, 1, 1, 1c)

1, 1, 1, 0


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Respuesta:

3.3. Equivalencias elementales

Asumimos una serie de equivalencias, que elegimos comobásicas, y que favorecen el cálculo, permitiendo el reemplazo deuna expresión por otra equivalente:

11) Doble negación (DN): ¬¬Φ Φ

12) Conmutación ( Conm ): (Φ Ψ) (Ψ Φ)

(Φ Ψ) (Ψ Φ)

(Φ Ψ) (Ψ Φ)

13) Asociación (Asoc): ((Φ · Ψ) · Χ) (Φ (ΨΧ)) ((Φ Ψ) Χ) (Φ (ΨΧ))

((ΦΨ)Χ) (Φ(ΨΧ))

14) Distribución (Dist): (Φ(ΨΧ)) ((ΦΨ)(ΦΧ))

(Φ(ΨΧ)) ((ΦΨ)(ΦΧ))

15) Def. de la implic. mat. (Def

): (Φ Ψ) (¬Φ Ψ)

16) Def, de la equiv. mat. (Def ): (Φ

Ψ) ((ΦΨ)(ΨΦ))

(Φ Ψ) ((ΦΨ)(¬Φ¬Ψ))17) Trasposición (Trasp); (Φ Ψ) (¬Ψ ¬Φ)

18) Exportación (Exp): ((ΦΨ) Χ) (Φ(ΨΧ))

19) Idempotencia (Idemp): Φ (Φ Φ)

Φ (Φ Φ)

20) Teorema de De Morgan (De M): ¬(Φ Ψ) (¬Φ ¬Ψ)

¬(Φ Ψ) (¬Φ ¬Ψ)

Nótese que a la derecha del nombre de cada equivalenciaresaltamos, entre paréntesis, la abreviatura o sigla con la queserá indicada. En este curso no haremos la Deducción natural para cada fórmula. Pero puede consultarse informacióncomplementaria en el apéndice correspondiente.


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Sea la tabla de verdad compuesta de la trasposición (Trasp):

Φ Ψ ΦΨ ¬Ψ ¬Φ (¬Ψ¬Φ) (ΦΨ) (¬Ψ¬Φ) 1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1 1

__ __ __ __ __ __ __

Completar la tabla e indicar la opción que tiene los valores de la últimafila:

a) 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1

b) 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1

c) 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0

Respuesta:


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4. EL MÉTODO DERIVATIVO

Nos interesa en lógica justificar y comprobar la validez de lasargumentaciones para establecer si una argumentación esconforme a una teoría sistematizada y si la conclusión alcanzadaen cada caso se infiere correctamente de sus premisas. A tal finvaliéndonos de las formas lógicas propuestas podemos inferir delas premisas dadas otras intermedias, hasta llegar a la conclusión.

Dada las fórmulas que constituyen las premisas delrazonamiento, podremos o bien inferir otras a partir de ellas

respetando un razonamiento primigenio, o bien reemplazar partesde las fórmulas compuestas por otras siguiendo la pauta de unaequivalencia. Todo ello para justificar que el razonamiento serealiza conforme a una teoría, y para obtener certeza sobre laconclusión alcanzada.

El método de la deducción, llamado también derivativo,permite, a través de transformaciones efectuadas siguiendo lapauta de alguna de las formas lógicas elementales, justificar lavalidez de un razonamiento. Para ello, una vez establecida laforma lógica de un argumento, es necesario, a partir de una omás premisas y aplicándoles las reglas lógicas ir deduciendopasos intermedios, que son nuevas proposiciones, hasta llegar aderivar la conclusión. Si se logra llegar a ésta, la forma derazonamiento dada es válida.

Explicamos el procedimiento a cumplir, mediante un ejemplo.Sea el siguiente argumento:

Bajan los precios, o si aumentan bajará la demanda. p(qr)

No bajan los precios, ni bajó la demanda. ¬p¬r Luego, no aumentan los precios. ¬q

a) Escribimos la forma lógica del argumento dado, poniendo unapremisa en cada línea.A la izquierda de cada línea escribimos su número de orden,seguido por un guión (o un punto).La conclusión se escribe a la derecha de la última premisa,separada por una barra de división:

1- p (q r)2- ¬p ¬r / ¬q


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b) Luego comenzamos con nuestra estrategia de demostración,hasta llegar a deducir la conclusión. No olvidamos que las variablesde los razonamientos elementales y las reglas de equivalencia,dados más arriba, son metavariables. En tal carácter puedenindicar cualquier expresión (una letra de una fórmula como unaparte de una fórmula) tratada. Así, cuando la expresión ΦΨ de laregla representa a la expresión ¬p¬r de nuestro ejercicio, la letraΦ representa a ¬p, y la Ψ a ¬r.

La regla nos permite eliminar un conjuntivo y quedarnos con elotro. En nuestro caso nos quedamos con ¬p. Se coloca en unalínea con el número siguiente al anterior. A la derecha de la

expresión se escribe la ley o regla aplicada, y la línea de la queproviene, separada por una coma (Simp, 2).

1- p (q r)

2- ¬p ¬r / ¬q

3. ¬p Simp, 2

Acto seguido, podemos eliminar la letra p aplicando en las líneas1 y 3 ( p (q r), ¬p) la ley del Silogismo disyuntivo (SD), y

resulta q r .

1- p (q r)

2- ¬p ¬r / ¬q

3. ¬p Simp, 2

4. q

r SD, 1, 3

A continuación, se impone hacer una segunda simplificación en

la línea 2, en ¬p¬r, para introducir ¬r.

1- p (q r)

2- ¬p ¬r / ¬q

3. ¬p Simp, 2

4. q r SD, 1, 3

5. ¬r Simp, 2

( Φ Ψ ) / Φ

(¬p ¬r) / ¬p

(Φ Ψ), ¬Φ / Ψ

(p(qr)), ¬p /


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Luego podemos derivar ¬q de las líneas 4 y 5 mediante Modus

tollens (MT). De este modo mediante derivaciones llegamos a laconclusión ¬q. Con ello se ha justificado que se deduce

rigurosamente de las premisas dadas.

1- p (q r)

2- ¬p ¬r / ¬q

3. ¬p Simp, 2

4. q

r SD, 1, 3

5. ¬r Simp, 2

6. ¬q MT, 4, 5

Otro ejemplo: 1. H (I C)

2. ¬C / H ¬I

3. H (¬I C) Def , 14. (H ¬I) C Asoc, 35. C (H ¬I) Conm, 4

6. H ¬I SD, 5, 2

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 11 (Elige en cada caso lo quecorresponde):

Sea la forma de razonamiento:

1. p q

2. (q r) s

3. ¬s / ¬p

4. .................. MT, 2, 3

Aplicando Modus tollens, en las línes 2 y 3, se obtiene, sustituyendo,sobre la línea 4 punteada, la siguiente expresión:

a)

q ¬s

b) ¬(q r)

c) ¬s (q r)

Respuesta:


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12: Seguimos con la forma de razonamiento anterior:

1. p q

2. (q r) s3. ¬s / ¬p

4. ¬(q r) MT, 2, 3

5. ................. De M, 4

Aplicando De Morgan, en la línea 4, se obtiene sobre la línea punteada 5,sustituyendo, la siguiente expresión:

a) ¬q ¬r

b)

¬q ¬rc) ¬(¬q ¬r)Respuesta:


1. p q

2. (q r) s

3. ¬s / ¬p

4. ¬(q r) MT, 2, 3

5. ¬q ¬r De M, 4

6. ................. Simp, 5

Aplicando Simplificación, en la línea 5, se obtiene sobre la línea punteada6, sustituyendo, la siguiente expresión:

a) ¬¬q

b) ¬q

c) rRespuesta:


1. p q

2. (q r) s

3. ¬s / ¬p

4. ¬(q r) MT, 2, 3


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5. ¬q ¬r De M, 4

6. ¬q Simp, 5

7. ................. MT, 1, 6Aplicando Modus tollens, en la línea 6, se obtiene sobre la línea punteada7, sustituyendo, la siguiente expresión:

a) ¬¬p

b) p

c) ¬p

Respuesta:

El ejercicio completo queda así:

1. p q

2. (q r) s

3. ¬s / ¬p

4. ¬(q r) MT, 2, 3

5. ¬q ¬r De M, 4

6. ¬q Simp, 5

7. ¬A MT, 1, 6


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sea equivalente a otra anterior (porque no se ha aplicado unaregla de equivalencia).

9. No se puede combinar una parte de una línea con una parte deotra.

10. Para poder aplicar la simplificación en una línea, el signoprincipal de ésta debe ser la conjunción. Por ello, no se puedesimplificar una conjunción que está dentro de un paréntesisnecesario.

11.

Por medio de la adición puedes agregar lo que quieras y seaútil para tu demostración. Recuerda que lo adicionado, si luego

tienes que eliminarlo, sólo podrás quitarlo mediante laaplicación de razonamientos elementales. No podrás quitarlogratuitamente.

12. Los razonamientos elementales siempre se aplican deizquierda a derecha. Esto es, se sustituyen las premisas queestán a la izquierda del signo que indica el derivativo, por laconclusión que está a la derecha.

13. Cuando no sepas qué hacer, procura ver el modo de cambiar

dos líneas que tienen una letra proposicional (o parte común),para someterlas a alguna regla que permita algunasubconclusión. O bien, intenta convertir una expresión en otramás simple o que se pueda simplificar. Las subconclusionesintermedias te proporcionarán un material que te brindará unamayor probabilidad de avanzar hacia la conclusión final. Detodos modos, procura no acumular líneas producidas sincriterio alguno, pues sólo prolongarán la resolución de tu

prueba formal. 14. A veces (especialmente cuando la conclusión es extensa) suele

ser conveniente partir de la conclusión e ir hacia atrás: haciaexpresiones más simples. Luego bajarás hacia éstas,comúnmente, desde las premisas. De este modo, se emplea latáctica de proceder desde las dos puntas.


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6. LA PRUEBA DE INVALIDEZ

Para establecer la invalidez de un argumento, basta hallar un contraejemplo, tal

como se vio en 4.1.2. Prácticamente, es suficiente para establecer la invalidez,

elaborar una línea de la tabla de verdad del condicional asociado (sin hacer toda la

tabla), en la que el valor de verdad resultante es Falso (0). Sabemos que este

procedimiento es conforme a los criterios de corrección establecidos para las

tablas: una sola línea falsa pone de manifiesto que la tabla es contingente. A tal

efecto, se debe lograr un caso en cual el antecedente del condicional asociado es

Verdadero y el consecuente Falso. Vemos el diagrama de aplicación para la forma

p→r, q

((p → r) (q r)) → (p r)

F F V F F F

V V

V F

F

La asignación de valores de verdad, escribiendo la misma prueba de un modo

más técnico, se suele hacer en una línea horizontal. Es conveniente iniciar por la

conclusión, que debe dar Falso (0). Por cierto, tal como se vio en las tablas, una vez

asignado un valor a una letra de la línea, será el mismo para todas las veces que se repite

la misma letra. Es un método que supone algún tanteo, pero suele resolverse con

facilidad, y proporciona un resultado incuestionable. Repetimos ahora el mismo caso

anterior, pero siguiendo una línea de desarrollo. Es suficiente con explicitar que el

consecuente es falso (0) y cada conjuntivo principal del condicional asociado es

verdadero (1). De este modo el valor de todo el antecedente será verdadero (1) y el del

consecuente falso (0). Entonces, el resultado final será falso (0): 1→0 da 0.

Sea nuevamente: ((p→r) (q → (p


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J.D. 22

2º 3º 1º

p q r p→ r q r p r

0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0

Analicemos nuestra prueba de invalidez. El consecuente p r tiene que dar falso (0). Para ello, los dos conjuntivos p y r tienenque ser falsos: 0

0 da 0 (falso). Acto seguido, aplicamos el valorde cada letra a las que están en la parte izquierda de la tabla(p=0 y r=0). Ahora evaluamos la expresión p r cuyas letras yatienen valores de verdad establecidos: 00 da 1 (verdadero).Luego pasamos a la expresión q

r que tiene que dar verdadero(1). Para que sea así, puesto que r es falso, q debe ser verdadero(1). Entonces, para q

r tenemos: 1

0 da 1 (verdadero).

Así logramos que cada conjuntivo (p

r, q

r) tenga el valor1. Dado que el resultado de unir conjuntivos con valor 1, siempreda 1, tenemos nuestro antecedente del condicional asociado convalor 1.

Al consecuente lo habíamos programado previamente con el valor0. Y así finalmente, logramos que toda la expresión condicional,10, dé 0 (falso). Por esto, la línea de valores de verdad nosdescubre que la forma del razonamiento dado es contingente.

Entonces, cuando logramos hacer que una línea de valores deverdad del condicional tenga el antecedente con valor 1 y elconsecuente con valor 0 (V(φi)=1 y V(ψ)=0), la forma analizadade razonamiento tiene estructura lógica contingente, y no es

válida.

Cada conjuntivo

principal del

antecedente del

condicional debe darverdadero (1).

Se asignan

valores de tal

modo que la

conclusiónsea falsa (0).


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J.D. 25

1. ¬(p q) (s ¬r)

2. q s

3. p ¬s / ¬s ¬r4. ¬(¬s ¬r) Supuesto por el absurdo

5. ¬¬s ¬¬r De M, 4

6. s q Conm, 2

7. ¬¬s q DN, 6

8. ¬s q Def , 7

9. p q SH, 3, 8

10. ¬¬( p q) DN, 9

11. s ¬r SD, 1, 10

12. ¬¬s Simp, 5

13. s DN, 12

14. ¬r …………………………….. …

Justificar la operación de la línea 14. ¿Cuál de los siguientes itemscontiene la operación correcta?

a) 14. ¬r Simp, 5b) 14. ¬r MT, 1, 13

c) 14. ¬r MP, 11, 13

Respuesta:

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 2C (Elige en cada caso lo quecorresponde):

Seguimos con el ejercicio anterior, donde encontramos ya resueltas laslíneas intermedias, y llegamos a la última línea de la demostración:

1. ¬(p q) (s ¬r)

2. q s

3. p ¬s / ¬s ¬r

4. ¬(¬s ¬r) Supuesto por el absurdo

5. ¬¬s ¬¬r De M, 4

6. s q Conm, 27. ¬¬s q DN, 6


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J.D. 26

8. ¬s q Def , 7

9. p q SH, 3, 8

10. ¬¬( p q) DN, 911. s ¬r SD, 1, 10

12. ¬¬s Simp, 5

13. s DN, 12

14. ¬r MP, 11, 13

15. ¬¬r Simp, 5

16. r DN, 15

17 ......................... .........................

Falta completar la línea 17. ¿Cuál de los siguientes items contienela expresión correcta?

a) 17. r ¬¬s Conj, 16, 12

b) 17. ¬r ¬s Adic, 14

c) 17. r ¬r Conj, 16, 14

Respuesta:

8. ESTRUCTURA LÓGICA DE LA REDUCCIÓN Y DE LAFALSACIÓN.

Brevemente, concluimos este módulo con dos observacionesútiles a la metodología científica: la primera sobre la ausencia deuna estructura lógica tautológica en la reducción, y la segundasobre la estructura legal de la falsación.

La reducción, que vimos en la unidad 2, se basa en la

estructura siguiente:p q

q / p

Hacemos su tabla de verdad, según se ha indicado:

p q p q / p

V1 1 1 1 * 1

V2 1 0 0

V3 0 1 1 * 0V4 0 0 1


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J.D. 27

En la tabla sólo consideramos la valuación de la conclusión p enlos casos marcados con *, en los cuales todas las valuaciones delas premisas dan 1. Puesto que en uno de ellos la conclusión p

vale 0, hallamos un contraejemplo y el argumento no es válido.Por ello la reducción no tiene fundamento en una fórmula de

argumentación válida; halla su base en el supuesto de la atadurafáctica de casos q con la hipótesis p, que remite a la creencia deque la naturaleza tiene un desarrollo constante y determinista. Lareducción permite novedad, y progreso en la ciencia, pero noaporta validez lógica.

Por su parte, el método falsacionista de Popper halla sufundamento en el Modus tollendo tollens:

p q

¬q / p

Dado que el Modus tollens es una fórmula válida, la base lógicadel falsacionismo de Popper es inobjetablemente correcta.Permite siempre validez lógica deductiva; pero, se resiste a lanovedad. Esto es, permite seguir deduciendo de lo ya aceptadoen la estructura teórica de la ciencia. Veamos la tabla del Modustollendo tollens:

p q p q ¬q / ¬p

V1 1 1 1 0

V2 1 0 0 1

V3 0 1 1 0

V4 0 0 1 1 * 1

En la tabla sólo consideramos la valuación de la conclusión p enlos casos marcados con *, en los cuales todas las valuaciones delas premisas dan 1. Puesto que donde las valuaciones de laspremisas dan 1 la conclusión también vale 1, el argumento dadoes válido.

Resumiendo, la reducción no tiene fundamento en una fórmulade argumentación válida; halla su base en el supuesto de laatadura fáctica entre la hipótesis p y el caso q, que remite a laconvicción de un comportamiento determinístico en la naturaleza.

Mientras que, el falsacionismo se basa en el Modus tollens yposee rigor lógico. Pero la metodología de la ciencia no sigue


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J.D. 28

siempre un criterio exclusivamente lógico, sino que realiza unacomposición entre corrección lógica y fidelidad a los objetos de laexperiencia sensible, tal como esta nos es dada y hasta donde

puede ser medida.Por su parte, la experiencia sensible es influida por la teoría

aceptada por la ciencia en cada momento, desde la cual se bajanlas hipótesis, y gracias a la cual los investigadores operan concierta seguridad, verosimilitud y posibilidad de predicción.

EJERCICIO DE AUTOEVALUACIÓN 3 (Elige la respuesta correcta):

Sea un ejemplo conocido de uso del método inductivo, que va de los casos

particulares al enunciado general (ley): Si el hierro se dilata por el calor, los trozos de hierro A, B y C se dilatarán por

el calor.

Los trozos de hierro A, B y C se dilatan por el calor.

Luego, el hierro se dilata por el calor.

El método inductivo ¿se basa en el Modus tollens o en el métodoreductivo?

a) Se basa en el Modus tollens.

b) Se basa en proceso reductivo.

c)

Se basa en ambos.

Respuesta:


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J.D. 29

Ejercicios suplementarios sobre condicional asociado:

EJERCICIO S1 Dados los siguientes razonamientos, simbolizarlos y demostrar

si son válidos o no mediante el método de condicional asociado.

1. Si se da un punto por debajo de las fronteras de producción,

entonces hay desperdicio de recursos. Se da tal punto. Luego hay

desperdicio de recursos.

2. La frontera de posibilidades de producción se trasladará o bien

aumentando los recursos, o bien por una mejora tecnológica. Noocurrirá por una mejora tecnológica. Por lo tanto, sucederá por un

aumento de recursos.

3. Un modelo económico es una representación simplificada de la

realidad o una teoría a priori. Si es una teoría a priori debe

corroborarse con hechos. Esta corroboración implica su

implementación antes de su legalidad. No se puede implementar

algo no legalizado. En consecuencia, un modelo económico es una

representación simplificada de la realidad.

4. Dado que el sistema económico es liberal, el gobierno no

puede decidir en asuntos de economía. Pero el gobierno decide en

asuntos de economía. Por ende, el sistema económico no es

liberal.

a. La función de demanda es la relación matemática entre el precio

de un bien y la cantidad que se demanda de él o es una función

indefinida. Sabemos que es la primera relación. Luego, se puederepresentar gráficamente.

b. Si el precio de un bien baja, es probable que el público consuma

más de él o deje de comprarlo por desconfiar de su calidad. No

se da lo segundo. Luego, el precio de un bien no baja.


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J.D. 30

Ejercicios suplementarios sobre el Método de la deducción:

EJERCICIO S2

Observar los siguientes ejercicios resueltos por el método de ladeducción o derivativo (trata de resolverlos, en un primer intento,tapando los desarrollos ya hechos, y haciéndolos por ti mismo).

1) q r ¬(r s p ¬p / ¬q

¬(r s) SD, 2, 3 ¬r ¬s De M, 4 ¬r Simp, 5

¬q MT, 1, 6 (t ¬u) q r)

¬(q r) ¬t

¬(t ¬u) MT, 1, 2 ¬t ¬¬u De M, 35. ¬t Simp, 4

s r q p s t r q

s t s r Dist, 2 s r Simp, 3 q p MP, 1, 4 q Simp, 5

¬p r ¬r s s

¬¬r s Def 2 r s DN, 3 r s ¬p Ad, 4 ¬p r s Conm, 5 ¬p r s Asoc, 6 p r s Def 7 s SD, 8, 1

p u r s ¬s r u

r s p u Conm, 1 ¬r s p u Def 3 ¬r s p ¬r s u Dist, 4 ¬r s u Simp, 5 s ¬r u Conm, 6


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J.D. 31

s ¬r u Asoc, 7 ¬r u s Conm, 8 ¬¬¬r u s DN, 9

¬¬r u s Def 10 ¬¬¬r u MT, 11, 2 ¬r u DN, 12 r u Def 13

q u p t s ¬p t s u ¬q u

t s t u Dist, 3 t s Simp, 4 ¬p MP, 2, 5 q u SD, 1, 6 ¬q u Def , 7

s t r ¬p r p s ¬t

¬s t r ¬p Def 1 r ¬p ¬s t Conm, 3 ¬¬r ¬p ¬s t DN, 4

¬r ¬p ¬s t Def 5 ¬¬¬r ¬p ¬s t DN, 6

¬¬r ¬p ¬s t Def 7 b.

¬¬r ¬¬p ¬s t De M, 8c. r ¬¬p ¬s t DN, 9d. r p ¬s t DN, 10e. ¬s t MP, 11, 2f. ¬s ¬t De M, 12 s ¬t Def 13

8) ¬s t u p ¬u s

¬u Simp, 2

¬u ¬p Ad, 3 ¬u p De M, 4

¬¬s t MT, 1, 5 ¬¬s ¬t De M, 6 ¬¬s Simp, 7 s DN, 8

s t


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J.D. 32

q t s q t

¬s t Def 1 ¬q t Def 2 ¬s t ¬q t Conj, 3, 4 ¬s ¬q t Dist, 57. ¬(s q t De M, 68. s q t Def 7

EJERCICIO S3

Construye una prueba formal de validez (por el método de la deducción, o

derivativo ) para cada una de las siguientes formas de razonamiento:h) ( p r) q

¬ ( s q ) / p r

i) ¬p ( ¬q r )

s ( r t)

p s

¬s / q t

j) ( s t ) p

( p q ) rq s

¬q / r

k) ¬( r ¬s)

s ( q p )

¬ ( r p ) / q

l) p q

q s

t ( ¬s r ) / p t

m) ( p q) r

¬( s ¬q)

¬( E r ) / ¬s

n) ( q r ) ( s t )

( s t ) p

q / p

o) ( p ¬q ) ( s r ) p


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J.D. 33

¬(t r ) / ¬s

p) ¬(p q )

¬p t

t r / r ¬q

q p q t r¬q ¬p ¬r

r) ¬p ¬q r ¬t¬p r

s) q s p rq p t ¬¬s ¬r

t) ¬p ¬q r ¬sp ¬q r ¬s r

EJERCICIO S4

Descubre la forma lógica y elabora una prueba formal devalidez para los siguientes argumentos:

a) Las variaciones patrimoniales son producto de los aportes yretiros de los propietarios, y del resultado del período. Si hayvariaciones del producto por retiro de los propietarios yvariaciones del resultado del período, entonces, o los propietariosestán contentos, o tienen muchas deudas o no invierten bien sudinero. Los propietarios no están contentos, pero las variaciones

patrimoniales no fueron producto de los resultados del período, ylos propietarios no tienen muchas deudas. Luego, no inviertenbien su dinero.

b) Si María ingresa, entonces la sociedad incrementará supatrimonio; si Pedro ingresa, entonces la sociedad tendrá un buenasesoramiento económico. O ingresa María o ingresa Pedro. Si lasociedad incrementa su patrimonio, entonces Pedro ingresará aella; y si la sociedad tiene un buen asesoramiento económico,

entonces ingresará Juan. Por lo tanto, o Pedro ingresará a lasociedad o Juan ingresará a la sociedad.


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J.D. 34

c) Si no ha habido ausencia entonces el salario bruto es igual asalario fijo. Pero si ha habido ausencias, salario bruto es igual asalario fijo menos los descuentos. Ahora bien, si las ausencias

fueron justificadas por un certificado médico, entonces eldescuento es proporcional a los días de ausencia. Si las ausenciasno fueron justificadas entonces, si la antigüedad es superior a unaño, se descontará además un 5% del bruto por cada día deausencia. Luego, si el salario bruto no es igual al salario fijo, y elsalario bruto no es igual al salario fijo menos los descuentosentonces, o la antigüedad no es superior a un año o sedescontará además un 5% del bruto por cada día de ausencia.

d) Si no ha habido ausencia entonces salario bruto es igual a

salario fijo. Pero si ha habido ausencias, salario bruto es igual asalario fijo menos los descuentos. Ahora bien, si las ausenciasfueron justificadas por un certificado médico, entonces eldescuento es proporcional a los días de ausencia. Si las ausenciasno fueron justificadas entonces, si la antigüedad es superior a unaño, se descontará además un 5% del bruto por cada día deausencia. Luego, si ha habido ausencias, y no fueron justificadas,y la antigüedad no es superior a un año entonces, el salario brutoes igual al salario fijo menos los descuentos, el descuento no será

proporcional a los días de ausencia, y no se descontará ademásun 5% del bruto por cada día de ausencia.

EJERCICIO S5

Dadas las siguientes pruebas por el absurdo, incompletas, justifica cada línea de demostración indicando la reglaaplicada y la proveniencia.

a) 1. (p q) ¬r

2. r ¬¬p ¬ p q3. ¬(¬p q) Supuesto por el absurdo

4. ¬(¬¬p q) Def 3 ...................................

5. ¬(p q) DN, 4 …………………………..

6. ¬r ………………………………….

7. ¬¬ p SD, 2, 6 .....................................

8. p ………..………………………...

9. ¬p ¬q De M, 5 .....................................

10. ¬p Simp, 9 ......................................


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J.D. 35

11. p ¬p

……………................................

b) 1. ¬(p q) ¬r

2. ¬s t

3. t r p

4. ¬p Supuesto por el absurdo

5. t Simp, 2 ......................................

6. r MP, 3, 5 ....................................

7. ¬¬r ...................................................

8. ¬¬(p q) ...................................................

9. p q ...................................................

10. p ...................................................

11. p ¬p ...................................................

c) 1. (p r) (t s)

2. p (q r) t r

3. ¬(t r) Supuesto por el absurdo

4. (p q) (p r) Dist, 2.........................................

5. p r ...................................................

6. t s ...................................................

7. ¬t ¬r De M, 3

.....................................

8. t ...................................................9. ¬t ...................................................

10. t ¬t ...................................................

d) 1. p (q r)

2. q

3. ¬(¬p s) r s

4. ¬(r s) Supuesto por el absurdo

5. ¬¬p ¬s De M, 3 .....................................


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J.D. 36

6. ¬¬p Simp, 5 ......................................

7. p ...................................................

8. q r ...................................................9. r ...................................................

10. ¬r ¬s De M, 4 .....................................

11. ¬r ...................................................

12. r ¬r ...................................................


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J.D. 37

Soluciones a los ejercicios de autovaluación:

Ejercicio 1: a.

Ejercicio 2: a.Ejercicio 3: c.

Ejercicio 4: b.

Ejercicio 5: a., [(((pq)(qr))¬r)¬p]

Ejercicio 6: c.

Ejercicio 7: a.

Ejercicio 8: c.

Ejercicio 9: b.

Ejercicio 10: a.

Ejercicio 11: b.

Ejercicio 12: a.

Ejercicio 13: b.

Ejercicio 14: c.

Ejercicio 1:

Respuesta: b

Prueba de invalidez de la expresión p

q, r

s y (¬r

s)

p / q

r

6º 4º

2

º 3º 5º 1º

p q r sp

q

r

s

¬

r ¬r

s (¬r

s)

p

q

r

0 0 0 1 1001 1

11

11

00

0 0 1 1 1 0

Respuesta: La forma de razonamiento es inválida.

Ejercicio 2

Respuestas: 2A: b

2B: c


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logicarazonderivatpsico_15 (2)

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