pisa 2012 matematica modulo 2[1]

7/28/2019 Pisa 2012 Matematica Modulo 2[1]

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ESTUDIO PISA 2012 - MATEMTICA - MDULO 2 - PROGRAMA DE CAPACITACIN Y SENSIBILIZACIN


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AUTORIDADES

Presidenta de la Nacin

Dra. CRISTINA FERNNDEZ DE KIRCHNER

Ministro de Educacin

Prof. ALBERTO ESTANISLAO SILEONI

Secretario de Educacin

LIC. JAIME PERCZYK

Subsecretaria de Planeamiento Educativo

PROF. MARISA DAZ

Directora Nacional de Inormacin

y Evaluacin de la Calidad Educativa

Dra. LILIANA PASCUAL

MATEMTICAPISAPrograma Internacional de

Evaluacin de Estudiantes

PROGRAMA DE CAPACITACIN Y SENSIBILIZACIN

MDULO 2


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DOCUMENTO ELABORADO POR EL DE-

PARTAMENTO DE EVALUACIN DE LADINIECE

DEPARTAMENTO DE EVALUACIN DE LACALIDAD EDUCATIVAMg. Mariela Leones

REA TCNICO-PEDAGGICALic. Patricia ScorzoProf. Jorge NovelloDra. Viviana Vega

REA DE MATEMTICAProf. Liliana Bronzina

Prof. Pilar VarelaLic. Nora BurelliProf. Andrea Novembre

REA DE LENGUAProf. Beba SalinasLic. Andrea BaronziniProf. Graciela PiantanidaLic. Carmen de la LindeProf. Graciela Fernndez

REA DE CIENCIAS SOCIALESProf. Amanda FranqueiroProf. Andrs NussbaumProf. Ana Lamberti

REA DE CIENCIAS NATURALESMg. Elizabeth LiendroProf. Norma MustacciuoliLic. Florencia CarballidoLic. Evangelina Indelicato

ASISTENCIA TCNICO-PEDAGGICAProf. Natalia Rivas

DISEO Y DIAGRAMACIN:Karina ActisJuan Pablo RodriguezCoralia Vignau


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NDICE

CARTA A DOCENTES .................................................................7

Introduccin ................................................................................9

I. Qu evala PISA en Matemtica? .....................................9

II. Acerca de la matematizacin de una situacin .................10

III. Ejemplos de tems ...........................................................11

Ejemplo 1: El Farol ..............................................................11

Ejemplo 2: Pizzas................................................................16

Ejemplo 3: Concierto de rock ...............................................17

Ejemplo 4: Exportaciones.....................................................19

Ejemplo 5: Disminucin de los niveles de CO2 ........................21


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Estimados/as Docentes:

En este Material de trabajo del rea de Matemtica se har hincapi en la resolucin pro-

blemtica, y en los procesos de matematizacin como parte del enfoque de trabajo que propone

el Estudio PISA.

Por tanto, en este Segundo Mdulo podr encontrar:

unasntesisdelmarcotericoespeccodeMatemticadelEstudioPISA.

unconjuntodetemsquepermitirprofundizarlasestrategiaspararesolverlas

dicultadespropiasdecadaunadelasreas.

loscriteriosdecorreccinquesonutilizados.

Conamos enqueestedocumentopuedaresultardeutilidadparael trabajoconjunto

entre docentes y estudiantes y, tanto como sea posible, que se pueda contar con el apoyo y cola-

boracin de las familias.

Auguramos que esta propuesta de trabajo pueda constituirse en un aporte que enriquezca

sus prcticas de enseanza, al tiempo que posibilite a los estudiantes transitar en mejores condi-

ciones la prxima evaluacin del Estudio PISA.

Finalmente agradecemos la participacin de todos los que estn comprometidos en esta tarea.


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INTRODUCCIN

En este mdulo jamos nuestra atencin en la capacidad cognitiva de resolucin de problemas y espec-

camente en las actividades o proceso de matematizacin que el Estudio PISA propone como parte de su

enoque de trabajo.

Desarrollaremos qu se entiende por proceso de matematizacin y proporcionaremos ejemplos de cmo se

pone en juego en la resolucin de algunos problemas que hemos seleccionado para tal n.

A continuacin mostramos varios ejemplos de actividades que han sido usadas en estudios PISA anteriores

y que ahora se han liberado1 para uso de los docentes y estudiantes.

Junto con las actividades propuestas podrn encontrar las respuestas. Estas respuestas se muestran de

acuerdo al modo en que se realiza la correccin, clasicndolas en respuesta correcta, respuesta parcialmen-

te correcta, respuesta incorrecta y respuesta omitida.

I. QU EVALA PISA EN MATEMTICA?PISA evala a alumnos de 15 aos en su capacidad para utilizar sus conocimientos y comprensin mate-

mtica para resolver cuestiones que los ciudadanos tienen que enrentar, tareas que involucran conceptos

matemticos de diversos tipos, cuantitativos, espaciales, de probabilidad y de cambio entre otros.

Los peridicos, revistas, televisin, internet, nos abruman con inormacin que dan en orma de tablas, gr-

cos, diagramas sobre el tiempo, economa, salud, poblacin, turismo, etc. De la misma manera la vida en

sociedad nos exige leer ormularios, interpretar horarios de mnibus, realizar operaciones bancarias, decidir

qu producto conviene ms, cul es la mejor oerta, etc.

Nuestro objetivo en este mdulo es comunicar un modo de trabajo posible que acilite la actividad de reso-

lucin de problemas ms o menos complejos.

1 Las pruebas y problemas Pisa constituyen un material condencial. Los problemas liberados son los que Pisa decidemostrar y por lo tanto no vuelve a usar- a docentes y alumnos con el objetivo de que conozcan la modalidad queadquiere esta evaluacin.


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II. ACERCA DE LA MATEMATIZACIN DE UNA SITUACINLa prueba PISA contiene situaciones problemticas en contextos reales.

El proceso a travs del cual los alumnos buscan y ensayan estrategias de resolucin para los problemas es

llamado matematizacin en el marco terico de PISA.

Qu involucra este proceso de matematizacin o modelizacin? Ciertamente se trata de una prctica que

no resulta natural a los alumnos y que, por lo tanto, requiere ser enseada.

En la enseanza de la resolucin de problemas no solo es importante ensear a los alumnos a encontrar

diferentes estrategias de resolucin, sino que tambin es esencial que adquieran prctica en la traduccin

matemtica de la situacin. No hablamos de la obtencin de una ecuacin porque no es una condicinnecesaria, pero siempre es preciso que los alumnos logren hacer algn tipo de traduccin que permita ma-

tematizar la situacin.

Dicho de manera esquemtica, se presenta una situacin a resolver a un alumno, quien intenta sistemati-

zarla segn sus conocimientos matemticos, es decir buscar dentro de sus conocimientos cules pueden

ser pertinentes para resolver el problema planteado. Esto permite transormar el problema real en uno

matemtico, que deber resolverse. Las soluciones halladas tendrn que ser interpretadas en uncin del

contexto para analizar su pertinencia.

La actividad de matematizar se representa en el siguiente grco

2 Recomendaciones Metodolgicas para la Enseanza, Matemtica, Educacin Secundaria, ONE 2010, DiNIECE, Minis-terio de Educacin, 2011.

Problema delmundo real

Problemamatemtico

Solucin realSolucin

matemtica

Si bien en el grco las fechas marcan relaciones en un solo sentido, en la prctica sucede que el proceso

de resolucin de problemas tiene idas y vueltas. No es raro hallar soluciones que, una vez contrastadas con

el contexto del problema se muestran incorrectas y llevan a revisar lo hecho.


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III. EJEMPLOS DE TEMSEn este apartado presentamos ejemplos de problemas y analizamos qu tipos de conocimientos se pueden

poner en juego al resolverlos.

Ejemplo 1: EL FAROL

EL FAROL

La Municipalidad ha decidido colocar un farol en una pequea plaza triangular para

que alumbre la plaza en su totalidad.

Dnde deber colocarse?

La modelizacin de este problema a travs de la matemtica precisa de conocimientos geomtricos.

Si se considera que la zona iluminada est representada por un crculo cuyo centro es la posicin del arol, el

problema consiste en hallar la posicin del centro y el radio de la circunerencia en cuestin.


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Si se busca la circunerencia de radio mnimo, se trata de hallar un punto que est a la misma distancia de

cada uno de los vrtices del tringulo. El conjunto de puntos que equidistan de otros dos constituyen lamediatriz del segmento ormado por los dos puntos dados. Luego, el centro de la circunerencia buscada

ser la interseccin de las tres mediatrices.

El radio es la distancia entre el centro y un vrtice del tringulo.


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A partir del anlisis hecho podramos decir que el arol debe ubicarse en el punto que corresponde a la

interseccin de las mediatrices de los lados del tringulo. La intensidad de la luz debe ser tal que la zona

iluminada pueda pensarse como un crculo de radio la distancia entre el centro y cualquiera de los vrtices.

Ahora bien, en nuestro desarrollo propusimos como gura de anlisis un tringulo acutngulo. Qu hubie-

ra sucedido si el tringulo hubiera sido obtusngulo o rectngulo? Es decir, podemos estar seguros de que

la solucin encontrada no diere al cambiar el tipo de tringulo considerado?

En el siguiente dibujo se muestra el caso de un tringulo obtusngulo:


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Aqu puede verse que el arol quedara ubicado uera de la plaza, lo cual no tiene sentido para el problema

planteado.

Cuando el tringulo considerado es rectngulo, el centro de la circunerencia es un punto de la hipotenusa.

Teniendo en cuenta el contexto del problema, esto signica que el arol estara sobre un lado de la plaza.


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En todos los casos hemos considerado la solucin mnima, es decir el radio de la circunerencia cuya me-

dida es la distancia entre el centro (posicin del arol) y uno de los vrtices del tringulo. Pero es claro que

cualquier otra circunerencia con el mismo centro y un radio mayor que esa distancia tambin sirve.

Otra cuestin sobre la que es importante prestar atencin es la infuencia que impone un contexto al ra-

zonamiento que se desarrolla. Muchos alumnos encuentran soluciones que provienen de la lgica de locotidiano en lugar de la lgica matemtica, pero que responden al problema. Por ejemplo, no sera raro que

un alumno responda que el arol puede ubicarse en cualquier lugar de la plaza y que hay que asegurarse de

conseguir una uente de luz lo sucientemente potente que permita que toda la plaza quede iluminada. Se

trata, claramente, de una solucin vlida al problema que no utiliza ningn concepto matemtico. Tambin

es posible que haya estudiantes que planteen que la plaza puede tener rboles que tapen la luz, con lo cual

solo puede resolverse el problema empricamente. O tambin pueden plantearse como un problema la altura

a la cual hay que poner el arol para que se logre iluminar la plaza. Para que la matemtica pueda responder

al problema es necesario plantear ciertas restricciones. En este caso, es necesario suponer que la plaza es

un tringulo no obtusngulo, que no tiene rboles que tapen la luz y que la altura del arol es la necesaria,

entre otras.

Creemos que no solo es interesante debatir en clase acerca de los modos matemticos de resolver un pro-

blema, sino tambin analizar las restricciones y condiciones que se plantean.


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Ejemplo 2: PIZZAS

Proponemos el anlisis de este segundo ejemplo.

Las pizzas pueden representarse a travs de crculos de 30 y 40 cm de dimetro. Es importante que los alum-

nos comprendan que al hacer esta suposicin, se eliminan las dierencias entre, por ejemplo, la densidad,

las imperecciones, etc.

PIZZAS

Una pizzera ofrece dos pizzas redondas del mismo grosor y de diferentes tamaos.

La pequea tiene un dimetro de 30 cm y cuesta 30 zeds. La ms grande tiene un

dimetro de 40 cm y cuesta 40 zeds.

Qu pizza es la mejor opcin en relacin con lo que cuesta? Justifc matemtica-

mente tu respuesta

Si bien hay una relacin de proporcionalidad directa entre el dimetro de la pizza y el precio

, no son estas las magnitudes a comparar para decidir cul pizza conviene comprar.

Como se espera que los alumnos consideren al dimetro y el precio para decidir, es necesario proponer un

debate en torno al criterio para determinar la conveniencia de una u otra pizza. Se trata de llegar a un pri-

mer acuerdo: es necesario comparar las reas con los precios correspondientes.

A partir de aqu surge un nuevo problema. Las magnitudes a considerar, son proporcionales?

Si bien es cierto que cuando una variable crece, la otra tambin, no se trata de magnitudes directamenteproporcionales.


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Cul sera entonces una posible orma de resolverlo?

Si suponemos que el precio vara en orma directamente proporcional al rea del crculo, el precio de la pizza

de 40 cm de dimetro debiera ser:

Es decir, si la relacin entre los precios y las reas ueran las mismas, entonces la pizza de 40 cm de dimetro

debera costar 53,33 zeds aproximadamente. Como su costo es de 40 zeds, conviene comprar sta.

Este problema pone a los alumnos en situacin de tener que tomar varias decisiones: acerca de las variables

a considerar, sobre la relacin que existe entre ellas, qu aspecto tener en cuenta para decidir cul de las

dos pizzas conviene comprar, etc.

zeds

CONCIERTO DE ROCK

Para un concierto de rock, se reserv un rea rectangular de 100 m x 50 m para el

pblico. Las entradas para el concierto se agotaron, y el sitio estaba lleno, con todos

los fans de pie.

Cul de las siguientes podra ser la mejor estimacin del nmero total de personas

asistentes al concierto?

A. 2.000

B. 5.000

C. 20.000

D. 50.000

E. 100.000

Ejemplo 3: CONCIERTO DE ROCK


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El terreno puede representarse a travs de un rectngulo de 100 m por 50 m.

50 m

100 m

Pero, a partir de los datos que proporciona el problema, no resulta simple darse cuenta si hay algn clculo

para hacer, si hay inormacin que se omiti.

Se trata de un problema de estimacin, pero cules son los conocimientos necesarios para poder estimar la

cantidad de personas que pueden entrar paradas en un terreno como el descripto en el problema?

Una orma de resolver problemas de opcin mltiple como este, consiste en analizar la actibilidad de cada

una de las opciones. Si se divide el rea de la zona destinada al pblico por la cantidad de personas, se ob-

tiene el rea que ocupa cada persona.

La opcin A (2.000 personas) implica que cada persona ocupa 5.000 m2/2.000 = 2,5 m2, que es una zona

demasiado amplia para una sola persona. De ser esta la respuesta, el terreno no estara lleno.

Para la opcin E resulta que cada persona ocupa un rea de 5.000 m2/100.000 personas = 0,05 m2. Si este

uera el caso, habra 20 personas por metro cuadrado, lo cual no resulta posible.

La opcin D se descarta por la misma razn, pues en este caso habra 5.000 m2/ 50.000 = 0,1 m2 por per-

sona o 10 personas por metro cuadrado.

En el caso de la opcin B, cada persona ocupa un rea de 1 metro cuadrado, mientras que para la opcin C

cada una ocupa un rea de 5.000 m2/20.000 = 0,25 m2, por lo cual habra 4 personas por metro cuadrado.

Es necesario volver a analizar la situacin que propone el problema para decidir en cul de los casos ante-

riores la respuesta es la ms acertada. Se trata de un caso en el que no solo son necesarios conocimientos

matemticos para responder sino que adems es preciso poner en juegos conocimientos prcticos, relativos

a determinar cuntas personas es razonable que entren en un metro cuadrado de un estadio lleno.

Si se pensara en resolver el problema en orma directa, resulta complejo para los alumnos entender que al

tratarse de una estimacin, hay datos que ellos mismos tienen que proponer. En este caso se trata de de-

terminar la cantidad de personas que entran en un metro cuadrado de estadio lleno, pero claramente no se

trata de un dato certero, absoluto, sino que puede haber dierentes respuestas.

Si los estudiantes comprenden esta alta de certeza, entonces no hay dudas de que cada posible respuestatiene que cotejarse con las opciones, que se trata solo de una manera de seleccionar la respuesta ms cer-

cana a la estimacin hallada.


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Ejemplo 4: EXPORTACIONES

Los siguientes grcos muestran inormacin acerca de las exportaciones procedentes de Zedlandia, pas

que usa el el zed como unidad monetaria.

Pregunta 1: EXPORTACIONES

Cul fue el valor total (en millones de zeds) de las exportaciones procedentes de

Zedlandia en 1998?


Cul fue el valor del jugo de frutas exportado por Zedlandia el ao 2000?

A 1,8 millones de zeds.

B 2,3 millones de zeds.

C 2,4 millones de zeds.

D 3,4 millones de zeds.

E 3,8 millones de zeds.


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La primera pregunta requiere de la lectura de inormacin que provee un grco de barras. El alumno podrubicar el ao en el eje horizontal, para luego leer el valor de las exportaciones en la parte superior de la

barra: 27 millones de zeds.

Se trata de una pregunta que sirve para que los alumnos necesiten explicitar qu datos estn representados

en el grco y de qu modo. Esta lectura es necesaria para responder las preguntas siguientes.

Pregunta 2: EXPORTACIONESComo parte de la actividad necesaria para responder esta pregunta, los alumnos necesitan decidir qu gr-

co utilizar como uente de inormacin.

El grco circular inorma que se export el 9% en jugos de ruta, pero no se trata ese del valor de las ex-

portaciones de jugo en el ao 2000. A partir del grco de barras es posible saber que en el ao 2000 se

exportaron 42,6 millones de zeds en Zedlandia. El valor exportado en jugo de rutas es, entonces:

9% de 42,6 millones = 0,09. 42,6 millones = 3,834 millones

La dicultad que plantea esta pregunta consiste en tener que combinar la inormacin proporcionada en

dos grcos dierentes para luego poder operar con ellas.


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Ejemplo 5: DISMINUCIN DE LOS NIVELES DE CO2

Muchos cientcos temen que el aumento del nivel de CO2

en nuestra atmsera sea la causa del

cambio climtico.

El siguiente diagrama muestra los niveles de emisin de CO2en 1990 (las barras blancas) para varios

pases (o regiones), los niveles de emisin de 1998 (las barras oscuras) y el porcentaje de cambio en

los niveles de emisin entre 1990 y 1998 (las fechas con porcentajes).


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Pregunta 1: DISMINUCIN DE NIVELES DE CO2

En el diagrama se puede leer que en EEUU, el aumento del nivel de emisin de CO2

desde 1990 a 1998 fue del 11%.

Mostr el clculo de cmo obtener el 11%.


Amanda analiz el diagrama y afrma que descubri un error en el porcentaje de

cambio de los niveles de emisin: El porcentaje de disminucin en Alemania (16%)

es mayor que el porcentaje de disminucin en toda la Unin Europea (Total UE, 4%).

Esto no es posible, porque Alemania es parte de la UE.

Ests de acuerdo con Amanda cuando dice que esto no es posible? Da una explica-

cin que justifque tu respuesta.


Amanda y Nicols conversaron sobre qu pas (o regin) tuvo el mayor aumento de

emisiones de CO2.

Cada uno de ellos lleg a una conclusin distinta basndose en el grfco.

Da dos posibles respuestas correctas a esta pregunta y explic cmo llegaste a cada

una de esas respuestas.


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PREGUNTA 1: DISMINUCIN DE LOS NIVELES DE CO2

El enunciado de esta pregunta le proporciona al alumno una lectura de datos que brinda el grco. Es decirque el aumento del nivel de emisin de CO

2desde 1990 a 1998 en EEUU ue del 11%. Pero tambin arma

que con los dems datos disponibles es posible calcular este porcentaje.

Ser tarea de los alumnos tomar las emisiones de CO2

dadas para este pas y buscar una manera de calcular

el porcentaje de aumento.

Por ejemplo:


Esta pregunta tiene por objetivo poner en discusin, por un lado, los datos que brinda el grco del proble-

ma y, por el otro, analizar la veracidad de la armacin dada.

Tal vez sea necesario poner en discusin la inormacin que porta el grco como parte de un espacio

colectivo. Es decir, en las cantidades de CO2

emitidas en toda la UE se considera la suma de las cantidades

emitidas en cada uno de los pases que la componen. El 4% de disminucin signica que la cantidad total

emitida en 1998 es un 4% menor que la emitida en 1990.

En el caso de Alemania, la cantidad emitida en 1998 es un 16% menor que la emitida en 1990.

A pesar de que un porcentaje es mucho mayor en valor absoluto que el otro, esto es posible debido a que

cuando se considera el total de toda la UE una gran disminucin en la emisin de CO2

para un pas, puede

ser mitigada por una disminucin no tan marcada en otro pas.Es muy importante que la clase sea un espacio donde pueda darse un debate acerca de cmo explicar si una

armacin es o no verdadera en base a argumentos matemticos. Pero adems, es central dar un espacio

para trabajar y discutir sobre las explicaciones, cules son ms comprensibles, cules ms completas, etc.


En esta pregunta se da una inormacin importante acerca del problema: hay dos casos correctos y dieren-

tes en que hay mayor aumento de emisiones de CO2.

No suele ser habitual que se presenten problemas que admiten dos soluciones correctas como en este caso,

que reeren a casos apoyados en lgicas dierentes. En un caso se trata de usar argumentos basados en

aumentos absolutos el caso en que la emisin de CO2

suri el mayor aumento-, mientras que en otro se

analiza el mayor porcentaje de aumento un aumento relativo-.Cuando se consideran los aumentos absolutos, la tarea consiste en encontrar la mayor dierencia entre las

emisiones en 1990 y 1998, lo cual se da para el caso de EEUU.

Al considerar aumentos relativos es necesario analizar los porcentajes de aumento de cada pas en relacin.

El de mayor aumento es Australia con +15%.


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