SI-4101 Sistem Rekayasa27 Agustus 2012

Dr. Dhemi Harlan

Percentage

Activity (hour/week)

Assessment/Penilaian

References/BibliographyKnowledge = 20 %Skill = 40 %Attitude = 40 %

Course = 3Tutorial = 3Mandiri = 3

UTS = 30 %UAS = 40 %Tugas = 30 %

Taha, H.A,Operations Research, an introduction, Prentice-Hall Int, IncOssenbruggen,P.J,System Analysis for Civil Engineers John WileyTempleman, A.B.,Civil Engineering Systems, The Macmillan Press Ltd.Wilkes, F.W.,Elements of Operational Research, McGraw-HillMarkland, R.E.,Topics in Management Science, John Wiley.

Rincian Kuliah

Mg 1 Pengantar optimasi

Mg 2-7 Linear programming

Mg 8 UTS

Variabel, objektif, kendala, dan solusi dlm masalah pengambilan keputusan, pemodelan, model matematik

Solusi grafisMetode simplexMetode simplex dua faseHubungan dual-primalTransportation modelAssignment model

Mg 9-11 Dynamic programming (Deterministik)

Mg 12 Pengantar inventory model

Mg 13 Inventory model (Deterministik)

Mg 14-15 Pengantar sistem antrian

Mg16 UAS

Prinsip optimalitas, dasar-dasar komputasi RekursifRekursi ke depan Rekursi ke belakang

Inventory model secara umum

Model dengan pola permintaan yang deterministik

Guna sistem antrianElemen-elemen model antrian

Pengertian Analisis SistemSistem dapat didefiniskan sebagai gabungan berbagai komponen struktural dan non-struktural yang saling terkait yang diorganisasikan untuk mencapai sejumlah output (tujuan) tertentu dengan cara mengatur input dari sistem (berupa sumber daya materi, energi dan informasi dll).

Analisis sistem merupakan suatu pendekatan yang menempatkan sumber daya yang ada dengan cara yang efisien. Sumber daya dimaksud bisa berupa tenaga buruh, uang, dan material. Ini berguna untuk proyek skala besarsistem pengatur udara : pengatur suhu, sistem penukar panas, sistem pipa distribusi udara dll (struktural), standar pengaturan suhu ruang, kebiasaan penghuni ruang dll (non struktural) Input dari sistem: udara dari ruangan outputnya: udara yang suhu dan kelembabannya sudah diatur untuk didistribusikan ke berbagai ruangan

Sistem irigasi: bendung, saluran pembawa, bangunan bagi, jaringan tersier dll (struktural), peraturan mengenai pengambilan air, pola tanam dll. (non struktural) Input dari sistem: air sungai outputnya : agar air dapat didistribusikan ke petakan sawah sesuai dgn kebutuhan.

Alat bantu bagi seorang system engineer adalah model matematik. Model matematik ini yang digunakan untuk menentukan suatu solusi yang optimum, sehingga dikenal juga dengan nama model optimisasi.

Optimisasi adalah suatu proses untuk mencari penyelesaian atau perencanaan terbaik dari suatu persoalan (A process of finding the "best" solution or design to a problem)

Dalam hal ini perlu dicatat beberapa hal berikut : 1. Solusi terbaik (the "best" solution) dapat dinilai dari segi biaya (cost), kinerja (performance), keindahan (aesthetic), lingkungan (environment), kesejahteraan (weel being) dll.

2. Solusi terbaik sangat tergantung dari persoalan serta siapa yang melakukan penilaian. Contoh penggunaan air di Bendungan jatiluhur - Untuk petani ikan jaring apung di reservoar Jatiluhur penggunaan air yang terbaik adalah untuk perikanan jaring apung.

- Untuk petani sawah di daerah Irigasi Jatiluhur (330.000 Ha) penggunaan air yang terbaik adalah untuk irigasi sawah - Untuk PDAM dan Daerah Industri di DKI penggunaan air yang terbaik adalah untuk Air Minum dan Industri (Gambar 11).

3. Dengan demikian perlu dicari suatu pola pemanfaatan air yang dapat memenuhi kebutuhan semua pihak, yaitu petani ikan jaring apung, petani sawah, PDAM dan Daerah Industri di DKI4. Pola pemanfaatan air yang dapat memenuhi kebutuhan semua pihak, harus mempertimbangkan batasan-batasan (Contraint) yang terkait dengan masing-masing pihak - Air yang masuk ke reservoar dan volume reservoar air yang masuk terbatas dan volume reservoar juga terbatas. - Kebutuhan Air perikanan jaring apung, irigasi sawah dan untuk PDAM dan Daerah Industri di DKI - Batasan tentang Prioritas penggunaan air 1) Air Minum, 2) Industri, 3) Irigasi dan 4) Perikanan.

5. Dengan demikian yang dimaksud optimisasi adalah Suatu proses untuk mencari mencari penyelesaian atau perencanaan terbaik dari suatu persoalan yang memiliki batasan-batasan tertentu (A process of finding the "best" solution or design to a constrained problem)

6. Tujuan analisa sistem adalah bagaimana mengatur input suatu sistim (yang pada umumnya terbatas) sedemikian rupa hingga diperoleh output yang optimum dan memenuhi batasan yang harus dipenuhi sistem.

Secara umum terdapat dua jenis Model Matematik untuk mencari solusi optimum, yang biasa digunakan dalam praktek.

1. Model Deterministik : Model Matematik dimana persoalan atau sistem yang perilakunya tidak mengandung unsur probabilitas atau ketidak pastian (uncertainty).

2. Model Stokastik : Model Matematik dimana persoalan atau sistem yang perilakunya mengandung unsur probabilitas atau ketidak pastian (uncertainty).

Kuliah Sistem Rekayasa (SI-4101) sebagian besar akan membahas Model Deterministik.

Model MatematikDalam Analisis sistem, model matematik merupakan unsur yang penting dalam proses membuat keputusan. Model matematik adalah pernyataan yang eksak dan jelas dari suatu tujuan yang dicapai. Sebagai tambahan model matematik terdiri dari satu set kondisi batas finansial, fisik, dan institusi yang harus dipenuhi. Solusi untuk sebuah masalah berupa solusi optimum, merupakan pernyataan bagaimana sumber daya digunakan dengan cara efisien dan efektif.

Pendekatan analisis sistem terdiri dari tahapan: 1. Tentukan tujuan/objektif, tetapkan ukuran efektifitas yang sesuai. 2. Tentukan batasan2 finansial, fisik, dan institusi, dan tetapkan satu set persamaan2 pembatas. 3. Tentukan solusi optimum

Tipikal model analisis sistem akan terdiri dari fungsi objektif tunggal dan satu set persamaan pembatas. Fungsi objektif diasumsikan sebagai fungsi satu set desain, keputusan, atau variabel kendali. Fungsi objektif bisa dinyatakan sebagai hubungan matematik

z=f ( x1, x2, , xn )

dimana x1 , x2 , , xn merupakan sejumlah n variabel kendali. Mewakili persamaan jumlah pekerja, jumlah uang, dan volume material, dimana semuanya nilai yang tidak negatif

Variabel kendali dalam model matematik dinyatakan sebagai x1 0 x2 0 . . xn 0Batasan finansial, fisik, dan institusi diwakili oleh satu set m persamaan pembatas g1(x1 , x2 , , xn) {= , , } b1 g2(x1 , x2 , , xn) {= , , } b2 . . gm(x1 , x2 , , xn) {= , , } bm

Fungsi f(x) dan set fungsi yang diwakili g(x) bisa berupa linier dan nonlinier

Solusi Grafis untuk Model Matematik Linier Konsep dasar untuk mendapatkan solusi optimum dapat diilustrasikan dengan model dan pengertian grafis. Model grafis terbatas untuk dua variabel kendali atau yang disebut model bivariate.

Model Matematik linier bivariate dapat ditulis z = c1x1 + c2x2 a11x1 + a12x2 { = , , } b1 a21x1 + a22x2 { = , , } b2 . . am1x1 + am2x2 { = , , } bm

Prosedur grafis terdiri dari tahapan 1. Tentukan wilayah fisibel dari set persamaan2 pembatas. 2. Asumsikan solusi z0 dan tetapkan kemiringan garis c1x1 + c2x2 = z0 3. Tentukan solusi optimum z* dengan menetapkan garis yang paralel terhadap z0 dan terletak pada batas wilayah fisibel

Misal, dalam perencanaan pembangunan 2 ruangan seperti pada gambar , kontrak menyatakan bahwa total luas lantai dari bangunan harus luas minimum dari 5000 ft2 dan masing-masing ruang bangunan harus mempunyai luas spesifik maksimum dari 5000 ft2 dan 3000 ft2. Dengan spesifikasi ini, dimungkinkan bahwa solusi optimum akan berupa ruang tunggal dari 5000 ft2. Misal variable kendali x1 dan x2 mewakili luas lantai ruang 1 dan 2. Asumsikan bahwa $50/ft2 dan $60/ft2 adalah unit penerimaan rutin untuk ruang 1 dan 2. Maksimum total penerimaan, R, adalah fungsi dari luas lantai x1 dan x2 yang dapat diwakili dengan fungsi objektif dan set persamaan pembatas berikut

Maximize R = $50 x1 + $60 x2

x1 + x2 5000 ( total luas lantai ) x1 5000 ( ruang 1 ) x2 3000 ( ruang 2 ) x1 0 x2 0

Model matematik diatas terdiri dari fungsi objektif linier dan satu set persamaan pembatas. Permasalahan dengan bentuk matematik ini disebut model matematik linier.Tentukan wilayah fisibel dan tidak fisibel, serta solusi optimum berdasarkan model matematik diatas !!

Langkah pertama: tentukan wilayah fisibel Misalkan kita tetapkan wilayah fisibel dengan memperhatikan masing2 pembatas secara terpisah, dan selanjutnya digabung untuk membangun wilayah fisibel dari seluruh persamaan pembatas. Pembatas x1 0 dan x2 0 membatasi wilayah fisibel pada semua titik dalam kuadran positif atau kuadran I

IIVIIIIIx2x1IVI

Pembatas x1 + x2 5000 , x1 5000 , dan x2 3000 ditunjukkan pada gambar dibawahx1x250005000Batas / boundaryTitik ekstrim21(a)(b)(c)(d)

Perpotongan bidang pada Gambar (a), (b), dan (c) diatas menghasilkan wilayah fisibel seperti ditunjukkan pada Gambar (d). Semua titik yang terletak didalam atau pada batas wilayah fisibel disebut solusi fisibel. Semua titik terletak diluar wilayah fisibel disebut solusi tidak fisibel. Titik 1 dan 2 adalah contoh solusi fisibel dan tidak fisibel.

Langkah kedua: fungsi objektif digambarkan untuk nilai asumsi z0. Karena fungsi objektif adalah fungsi linier, kita dapat dengan mudah menetapkan garis kontur atau locus dari titik2 yang memenuhi 50x1 + 60x2 = z0. Misalkan dipilih z0 sama dengan $150,000. Untuk memudahkan, kita tentukan titik (x1,0) dan (0,x2). Titik ini terletak pada sumbu x1 dan x2. Jadi

50x1 + 60 . 0 = 150,000 atau x1 = 3000 atau (3000,0) 50 . 0 + 60x2 = 150,000 atau x2 = 2500 atau (0,2500)

Garis z0 harus melewati titik (3000,0) dan (0,2500). Semua titik yang terletak pada z0 = $150,000 dan tidak berpotongan seperti ditunjukkan pada gambar dibawah disebut solusi tidak fisibel. Tidak satupun titik2 tsb dapat menjadi solusi optimum.

Langkah ketiga: solusi optimum dapat ditemukan dengan menggambarkan garis kontur paralel terhadap z0 yang terletak pada titik ekstrim wilayah fisibel. Arah pertambahan nilai z ditunjukkan pada gambar dibawah. Garis kontur baru z harus berpotongan solusi fisibel bisa dikatakan kandidat solusi optimum. Untuk model linier, titik ekstrim didefinisikan sebagai perpotongan dua atau lebih persamaan pembatas.

Titik ekstrim akan terletak pada batas wilayah fisibel, selanjutnya ini adalah solusi fisibel dan kandidat untuk solusi optimum. Garis kontur yang ditandai dengan z* adalah paralel terhadap z0 dan garis tsb akan melewati titik ekstrim x*. Lokasi solusi optimum untuk masalah maksimum ditunjukkan pada gambar dibawah.5000500030003000Pembatas tidak aktif x1 + x2 = 5000Pembatas aktif : x2 = 3000Pembatas aktif : x1 = 5000x1x2Z* = $430,000X*

Titik x* adalah unik karena z adalah maksimum dan memenuhi kondisi yang ditetapkan set pembatas dari masalah. Jadi, solusi optimum masalah ini adalah

x1* = 5000 ft2 dan x2* = 3000 ft2

dengan total penerimaan optimum atau maksimum sama dengan

z* = $50 . 5000 + $60 . 3000 = $430,000

Ini adalah pendekatan langsung untuk memecahkan model matematik linier. Dalam langkah ketiga, titik optimum z* bisa ditetapkan sebab kemiringan dari fungsi objektif selalu paralel terhadap garis kontur z0 berkenaan dengan nilai asumsi z0. Ini adalah karakter fungsi linier. Pendekatan ini dapat digunakan untuk model matematik linier yang dibatasi untuk dua variable kendali dengan suatu fungsi objektif minimum atau maksimum

TUGAS 1

Soal 1 Tinjau set pembatas:

x1 2x2 2 2x1 + x2 9 -3x1 + 2x2 3 x1 tidak ada batasan x2 0

(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas pada gambar untuk set pembatas diatas. (b) Tandai titik2 ekstrimnya. (c) Jika x1 0 digunakan, tunjukkan wilayah fisibel dan tandai titik2 ekstrimnya.

Soal 2 Dengan pendekatan grafis, tentukan lokasi solusi optimum

Maksimumkan z = 3x1 + 2x2 2x1 + 4x2 21 5x1 + 3x2 18 x1 0 x2 0

(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas. (b) Tentukan harga dan lokasi titik optimum. (c) Tandi pembatas aktif dan tidak aktif.

Soal 3 Minimalkan z = 3x1 + x2 2x1 + 2x2 9 2x1 4x2 = 6 x1 0 x2 0

(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas. (b) Dengan pendekatan grafis tentukan solusi optimum. (c) Jika batasan tidak negatif pada x2 (misal x2 0) dihilangkan, tentukan pengaruh pada nilai optimal z

Soal 4 Maksimumkan z = 2x2 x1 x2 (1) -x1 + 2x2 2 (2) 2x1 + 2x2 = 3 (3) x1 tidak ada batasan x2 0

(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas. (b) Tentukan harga titik optimum. (c) Tandai pembatas aktif dan tidak aktif. (d) Bagaimana titik optimum dipengaruhi jika pembatas (2) dihilangkan. Mengapa ?

Soal 5 Seorang kontraktor membeli material dari dua lokasi tanah dan kerikil yang berbeda. Unit harga material termasuk pengantaran dari lokasi 1 dan 2 adalah $5/yd3 dan $7/yd3. Kontraktor membutuhkan 100 yd3 dari campuran. Campuran harus mengandung minimum 30 persen tanah. Lokasi 1 mengandung 25 persen tanah, dan lokasi 2 mengandung 50 persen tanah. Tujuan adalah untuk meminimalkan biaya material. (a) Tentukan variabel kendali. (b) Formulasikan model matematiknya. (c) Gambarkan wilayah fisibel. (d) Tentukan solusi optimum dengan pendekatan grafis. (e) Tandai pembatas aktif dan tidak aktif.