09 bab 02 fem aljabar matrix

7/23/2019 09 Bab 02 Fem Aljabar Matrix

1/9

METODE ELEMEN HINGGA

Hence Michael Wuaten

3

CHAPTER 2

2.1 Definisi Matrix

Matrix merupakan hasil perkalian antara baris m dikalikan dengan kolom n. Sebagai contoh apabila

kita mempunyai sebuah persamaan linier simultan dalam bentuk :

2 x + 3 y + 2 z = 4

x + 2 y + 3 z = 5

3 x + 4 y + 5 z = 2

Maka koefisien dari persamaan simultan di atas, dapat ditulis dalam bentuk berikut :

543

321232

z

yx

=

2

54

Dalam bentuk matrix, persamaan simultan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

A . X = B

Jajaran bilangan di atas, baik yang diberi notasi A , X dan B dapat disebut sebagai matrix,

sehingga secara umum matrix A dapat dituliskan dalam bentuk :

mn5m4m3m2m1m

in5i4i3i2i1i

n4j4434241

n3j3333231

n2j2232221

n1j1131211

aaaaaa

......

aaaaaa

......

......

a.aaaa

a.aaaaa.aaaa

a.aaaa

Dalam matrix di atas m dan n adalah bilangan bulat, dimana m menyatakan banyaknya jumlah

baris dan n menyatakan banyaknya jumlah kolom. Sedangkan aij adalah komponen-komponen dari

matrix A .

2.2 Jenis-jenis Matrix

2.2.1 Matrix Bujur Sangkar

Matrix bujur sangkar adalah matrix yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom atau

m = n. Sebagai contoh matrix A di bawah ini merupakan matrix bujur sangkar.

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa


2/9



4

CHAPTER 2

Matrix bujur sangkar sendiri terbagi menjadi empat jenis antara lain :

1. Matrix Diagonal

Matrix diagonal adalah jenis matrix bujur sangkar yang elemennya bernilai nol, kecuali elemen

pada diagonal utama.

A =

33

22

11

a00

0a000a

A =

300

020001

2. Matrix satuan

Matrix satuan atau dikenal juga dengan nama matrix unit adalah matrix yang elemen pada

sumbu diagonal utamanya bernilai 1.

A =

100

010

001

3. Matrix simetris

Matrix simetris adalah matrix yang sisi bagian bawah diagonal utama bernilai sama dengan sisi

bagian atas diagonal utama atau sebaliknya.

A =

143

412

321

4. Matrix skew simetris

Matrix skew simetris adalah matrix yang sisi bagian bawah diagonal utama bernilai sama

dengan sisi bagian atas diagonal utama, hanya berbeda tanda atau sebaliknya.

A =

143

412

321

2.2.2 Matrix Baris

Matrix baris adalah matrix yang jumlah barisnya sama dengan 1 (m = 1).

A = 14131211 aaaa

A = 4321

2.2.3 Matrix Kolom

Matrix kolom adalah matrix yang jumlah kolomnya sama dengan 1 (n = 1).

A =

41

31

21

11

a

a

a

a

A =

4

3

2

1


3/9



5

CHAPTER 2

2.3 Operasi Matrix

Dalam matrix dapat dilakukan operasi matrix, baik untuk penjumlahan, perkalian dan invers matrix

itu sendiri.

2.3.1 Kesamaan MatrixDua buah matrix dikatakan memenuhi unsur kesamaan matrix, apabila mempunyai orde yang

sama atau aij = bij.

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

B =

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

A =

543

432

321

B =

878

765

432

2.3.2 Penjumlahan Matrix

Penjumlahan matrix dapat dilakukan terhadap dua matrix yang memenuhi unsur kesamaan matrix

atau mempunyai orde yang sama.

Contoh :

A =

543

432

321

B =

321

432

543

C = A + B

C =

543

432

321

+

321

432

543

C =

864

864

864

Dalam proses penjumlahan matrix terdapat sifat-sifat penjumlahan matrix yang perlu untuk

diperhatikan, antara lain :

A + B = B + A commutatif

A + B + C = CBA associatif

2.3.3 Perkalian Matrix Dengan Skalar

Matrix dapat dikalikan dengan skalar (k) yang kemudian menghasilkan sebuah matrix baru.

Contoh :

A =

543

432

321

k = 2


4/9



6

CHAPTER 2

D = A . k

D =

543

432

321

. 2

D =

1086

864

642

Dalam proses perkalian matrix dengan skalar, terdapat sifat-sifat yang perlu untuk diperhatikan,

antara lain :

k . A + B = k . B + k . A

k . A + B = BA . k

2.3.4 Perkalian Sesama MatrixMatrix dapat dikalikan dengan matrix lain, yang kemudian menghasilkan sebuah matrix baru.

Contoh :

A =

543

432

321

B =

321

432

543

C = A x B

C =

543

432

321

x

321

432

543

C =

)35()44()53()25()34()43()15()24()33(

)34()43()52()24()33()42()14()23()32(

)33()42()51()23()32()41()13()22()31(

C =

151615101212589

121210898466

985664343

C =

463422342516

221610

Dalam proses perkalian matrix dengan matrix lain, terdapat sifat-sifat yang perlu untuk

diperhatikan, antara lain :

A . CB = A . B + A . C distributif

BA . A = A . C + B . C distributif

A . CB = BA . C associatif

A . B B . A

A . B = A . C , belum tentu B = C


5/9



7

CHAPTER 2

2.3.5 Transpose Matrix

Apabila diketahui sebuah matrix A mxn, maka transpose matrix A = A T adalah matrix berorde n

x m, dengan baris dan kolom matrix A menjadi kolom dan baris matrix A T.

Contoh :

A =

321

432

543

A T =

345

234

123

Dalam proses transpose matrix, terdapat sifat-sifat yang perlu untuk diperhatikan, antara lain :

([A]T)T = [A]

(k [B])T = k . [B]T

([A] + [B])T = [A]T + [B]T

([A] [B])T = [B]T . [A]T

2.3.6 Determinan Matrix Bujur Sangkar

Apabila kita mempunyai matrix bujur sangkar, maka determinan dari matrix tersebut dapat

diperoleh dengan cara grafis atau minor deteminan.

Cara grafis :

[A]2 x 2 =

2221

1211

aa

aa IAI = a11 . a22 a12 . a21

[A]3 x 3 =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

IAI =

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

= (a11.a22.a33) + (a12.a23.a31) + (a13.a21.a32) (a13.a22.a31) (a11.a23.a32) (a12.a21.a33)

Contoh :

[A]2 x 2 =

54

32

IAI = 2 . 5 3 . 4

= -2

[A]3 x 3 =

543

432

321

IAI =

43

32

21

543

432

321

= (1.3.5) + (2.4.3) + (3.2.4) (3.3.3) (1.4.4) (2.2.5)

= 15 + 24 + 24 27 16 20

= 0


6/9



8

CHAPTER 2

Cara minor determinan untuk matrix dengan orde 3 x 3 :

[A]3 x 3 =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

IAI = a11 (a22 . a33 a23 . a32) a12 (a21 . a33 a23 . a31) + a13 (a21 . a32 a22 . a31)Contoh :

[A]3 x 3 =

543

432

321

IAI = 1 (3 . 5 4 . 4) 2 (2 . 5 4 . 3) + 3 (2 . 4 3 . 3)

= 1 (15 16) 2 (10 12) + 3 (8 9)

= 1 (-1) 2 (-2) + 3 (-1)

= -1 + 4 3

= 0

2.3.7 Invers Matrix

Dalam matrix tidak dapat dilakukan operasi pembagian atau dengan pengertian lain, bahwa matrix

tidak dapat dibagi dengan matrix lainnya. Sebagai analogi untuk memecahkan kondisi tersebut

digunakan invers matrix. Untuk mencari invers suatu matrix, dapat digunakan beberapa metode seperti

metode Gauss-Jordan, Cholesky dan lain sebagainya.

Contoh :

[A]3 x 3 =

543

432221

[A]-1 =

121

012

221

2.5 Matrix Orthogonal

Suatu matrix bujur sangkar [A] dapat disebut sebagai matrix orthogonal, apabila invers matrix [A]

sama dengan transpose matrix [A].

[A]-1 = [A] T

Sehingga :

[A] [A] T = [A] [A]-1 = [I]

Contoh :

[A] =

cossin

sincos

[A]T =

cossin

sincos; [A] -1 =

cossin

sincos

Karena [A]T = [A]-1 maka [A] = matrix orthogonal.


7/9



9

CHAPTER 2

Contoh :

Sebuah matrix transformasi pada masalah portal dua dimensi :

[T] =

100

0cossin

0sincos

[T]-1 =

100

0cossin

0sincos

; [T]T =

100

0cossin

0sincos

Karena [T]-1 = [T]T maka [T] = matrix orthogonal.

2.6 Partisi Matrix

Suatu matrix dapat dipartisi menjadi sub matrix dengan cara mengikutkan hanya beberapa baris

atau kolom dari matrix aslinya. Dalam proses partisi matrix, garis partisi harus memotong semua baris

dan kolom dari matrix aslinya.

[A] =

363534

262524

161514

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

[A] =

232221

131211

AAA

AAA

[A11] =

21

11

a

a

[A12] =

242322

141312

aaa

aaa

[A13] =

2625

1615

aa

aa

[A21] = 31a

[A22] = 343332 aaa

[A23] = 3635 aa

Contoh :

[A]3 x 3 =

543

432

321

=

543

432

321

=

222221

1211

AA

AA

[A11] =

32

21

[A12] =

4

3

[A21] = 43

[A22] = 5


8/9



10

CHAPTER 2

[B]3x2 =

43

32

21

=

43

32

21

=

1221

11

B

B

[B11] =

32

21

[B21] = 43

Apabila dilakukan operasi perkalian matrix terhadap [A] dan [B] yang telah dipartisi, akan

menghasilkan :

[A] . [B] =

222221

1211

AA

AA

.

1221

11

B

B

=

21221121

21121111

BABA

BABA

Untuk lebih memudahkan, maka dihitung terlebih dahulu hasil perkalian submatrix di atas.

[A11] . [B11] =

32

21.

32

21

=

)33()22()23()12(

)32()21()22()11(

=

138

85

[A12] . [B21] =

4

3. 43

=

)34()34(

)43()33(

=

1212

129

[A21] . [B11] = 43 .

32

21

= )34()23()24()13(

= 1811

[A22] . [B21] = 5 . 43

= )45()35(

= 2015

Selanjutnya, masukan nilai-nilai hasil perkalian sub matrix di atas ke dalam matrix perkalian utama

[A] . [B] =

21221121

21121111

BABA

BABA


9/9



11

CHAPTER 2

[A] . [B] =

20151811

1212

129

138

85

[A] . [B] =

233826

2520

2014

Sehingga dari hasil perkalian antara matrix [A]3 x 3 dengan matrix [B]3 x 2 menghasilkan matrix baru

[C]3 x 2.

09 bab 02 fem aljabar matrix

Documents