m1 _ buku siap osn matematika untuk sp - mts ( 2016 ) _ sample

7/23/2019 M1 _ Buku Siap OSN Matematika Untuk SP - MTs ( 2016 ) _ Sample

http://slidepdf.com/reader/full/m1-buku-siap-osn-matematika-untuk-sp-mts-2016-sample 1/23



SIAP OSN

MATEMATIKAUntuk SMP/MTs

Siap Kompetisi Regional, Nasional, dan Internasional



2

OPER SI LJ B R

(ALGEBRAIC OPERATION)

A. SUKU TUNGGAL DAN SUKU BANYAK

i. Bentuk aljabar 3a , –3ab2 disebut suku tunggal (monomial)

ii. Bentuk aljabar –2x + 3 y disebut suku dua (binomial)

iii. Bentuk aljabar mn – pq + 7, dan x2 – xy + y2 disebut suku tiga (trinomial)

iv. Bentuk aljabar dengan lebih dari 3 suku disebut suku banyak ( polinomial)

Contoh:

2a – 3b + 4c – 5, x3 – 2x2 + 3x + 5, dan x3 + 2x2 y + 3xy2 + 4xy + x + y + 2.

Perhatikan bentuk –2x2 y + 5, –2 dan 5 disebut koefisien (tetapi secara umum

“5” dianggap bilangan konstan sehingga disebut konstanta), x dan y disebut

variabel atau peubah, dan angka 2 pada x2 disebut pangkat atau derajat.

Pada bentuk –2x2 y; –2, x , x2 , dan y disebut faktor dari –2x2 y.

B. SIFAT-SIFAT OPERASI ALJABAR

Jika m , n , dan p adalah bilangan bulat, maka:

1. m + n = n + m. (sifat komutatif pada penjumlahan)

2. (m + n) + p = m + (n + p). (sifat asosiatif pada penjumlahan)

3. m (n + p) = m n + m p (sifat distributif)

4. m n = n m. (sifat komutatif pada perkalian)

5. (m n) p = m (n p). (sifat asosiatif pada perkalian)

6. m + 0 = m (elemen identitas pada penjumlahan)

7. m 1 = m (elemen identitas pada perkalian)

8. m + (–m) = 0 (invers penjumlahan)

9. 1

1m

m

= 1 (invers perkalian)

10.

Jika m n = m

p dan m 0, maka n = p (cancellation)



3

C. PEMANGKATAN BENTUK ALJABAR

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

(a + b)4 = (a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) = x4 + 4x3 + 6x2 y2 + 4xy3 + y3

(a – b)4 = (a – b)( a3 – 3a2b + 3ab2 + b3) = x4 – 4x3 + 6x2 y2 – 4xy3 + y3

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2 yz

D. BENTUK FAKTORISASI KHUSUS

1. Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar kuadrat.

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

2.

Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar kubik.

x3 + y3 = (x + y)(x2 – 2xy + y2)

x3 – y3 = (x – y)(x2 + 2xy + y2)

x3 + y3 = (x2 + y2)(x + y) – xy(x + y) = (x + y)3 – 3xy(x + y)

x3 – y3 = (x2 + y2)(x – y) – xy(x – y) = (x – y)3 + 3xy(x – y)

3.

Jumlah dan selisih dari dua bentuk aljabar berpangkat n.

xn + yn = (x + y)( xn – 1 – xn – 2 y1 + xn – 3 y2 + + yn – 1) → n ganjil

xn – yn = (x – y)( xn – 1 + xn – 2 y1 + xn – 3 y2 + + yn – 1) → n



12

5.

Misalkan m dan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi1 1 4

7m n

.

Nilai m2 + n2 adalah

Jawab:

1 1 4

7m n

→ m + n = 4x dan mn = 7x

Artinya bahwa m + n kelipatan 4 dan mn kelipatan 7, sehingga:

1 1 8

14m n →

1 1 1 7

14 14m n →

1 1 1 1

14 2m n

m2

+ n2

= 142

+ 22

= 196 + 4 = 200

Jadi, nilai m2 + n2 = 200

6. Diberikan dua buah bilangan:

x = 201520152015 2016201620162016

y = 201620162016 2015201520152015

Hitunglah nilai dari (x – y)2016.

Jawab:

x = 201520152015 2016201620162016

= 2015(100010001) 2016(1000100010001)

y = 201620162016 2015201520152015

= 2016(100010001) 2015(1000100010001)

Oleh karena x = y , maka diperoleh (x – y)2016 = ( y – y)2016 = 02016 = 0

Jadi, nilai dari (x – y)2016 = 0.

7. Diketahui1 20152016

1 20132014

1

1

a

b

c

de

.

dengan a , b , c , d , e bilangan bulat positif, maka tentukanlah a + b + c + d + e.



13

Perhatikan bahwa 10001

10066007

20152016 100760081

20132014 10066007 . Maka a = 1.

Setiap bagian pecahan dibalik 1

1

1

b

c

de

5001

10001

100660071006

10001 . Maka b = 1006.

Dengan cara yang sama, 5000

5001

100011

5001

. Maka c = 1.

Lakukan seperti cara di atas, 1

5000

50011

5000 . Maka d = 1, e = 5000.

Jadi, a + b + c + d + e = 1 + 1006 + 1 + 1 + 5000 = 6009.

8. Hitunglah:12

112

112

112

1

Jawab:

Misal12

112

112

112

1

x

x =12

1x

kedua ruas dikali x

x2 = x + 12

x2 – x – 12 = 0

(x – 4)(x + 3) = 0 → x = 4 atau x = –3

Jawab:



19

E.

FUNGSI KUADRAT (PERSAMAAN PARABOLA)

Bentuk umum fungsi kuadrat: f (x) = ax2 + bx + c , dengan a , b , c , a ≠ 0.

Grafik fungsi kuadrat disebut parabola, adapun sifat-sifatnya yaitu:

Titik ekstrim (nilai maksimum atau minimum)

2e

bx

a dan

4e

D y

a

Dengan ex : sumbu simetri

e y : nilai ekstrim (nilai stasioner, nilai maksimum, nilai minimum)

Cara menggambar grafik (kurva) fungsi kuadrat:

Tentukan titik potong dengan sumbu x = 0 dan y = 0.

Tentukan titik potong terhadap sumbu x = 0 dan y = 0.

Tentukan koordinat titik puncaknya.

Tentukan a > 0 atau a < 0 (berdasarkan sifat-sifat grafik fungsi kuardat)

x

y

a > 0 dan D > 0

x

y

a < 0 dan D > 0

x

y

a > 0 dan D = 0

x

y

a < 0 dan D = 0

x

y

a < 0 dan D < 0

(definit negatif)

x

y

a > 0 dan D < 0

(definit positif)



28

PERS M N LINE R

(LINEAR EQUATION )

A.

PENGERTIAN PERSAMAAN

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan berbentuk ax + b = 0

dengan a , b dan a 0, dan

x : variabel real

a : koefisien x

b : konstanta

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan berbentuk ax + by + c = 0

dengan a , b , c , dan a dan b tidak keduanya nol, dimanax : variabel real

a : koefisien x

b : konstanta

Sifat-sifat:

Misal l adalah persamaan linear, maka:

Penambahan dan pengurangan bilangan di kedua ruas persamaan l , tidak

mengubah solusi persamaan tersebut.

Perkalian bilangan tidak nol di kedua ruas pada persamaan l , tidak

mengubah solusi persamaan tersebut.

B.

SELESAIAN PLDV

Penentuan solusi (penyelesaian) PLDV dapat dilakukan dengan menerka

atau dengan melakukan operasi aljabar. Solusi PLDV dalam himpunan

bilangan bulat dikenal sebagai persamaan Diophantine.

Misalkan a , b , dan c bilangan real dan a , b keduanya tidak nol.

Himpunan penyelesaian persamaan linear ax + by = c adalah

himpunan semua pasangan (x , y) yang memenuhi persamaan

linear tersebut.



29

1.

Solve the equation

1 3 10 62

5 713 2 2

x xx x

x

Solution:

Since the given equation contains complex fractions in both sides, it is better

to simplify each side separately first. From

1 3

5 1 3 15 2 1 16 251 1

3 15 15 15

xx x x x x

10 6

2 14 10 6 10 137

2 2 2 14 14

xx x xx x x

It follows that

16 2 10 13

15 14

x x

14 16 2 15 10 13x x

224 – 28x = 150 – 195x

167x = –74

74

167x

2.

Andi dalam tiga hari berturut-turut membelanjakan uangnya untuk

membeli keperluan sekolah. Pada hari Minggu dia menghabiskan1

2 dari

uang yang dimilikinya. Pada hari Senin, dia menghabiskan uangnya Rp

4.000,00 lebih sedikit dari uang yang dibelanjakan hari Minggu. Sementara

uang yang dibelanjakan pada hari selasa hanya1

3 dari belanja hari Senin.

Sekarang dia masing memiliki uang sisa belanja sebanyak Rp 1.000,00.

Tentukan uang Andi sebelum dibelanjakan.

Problem solving



30

Jawab:

Diketahui:

Misal banyak uang Andi sebelum dibelanjakan = x rupiah, sehingga:

Belanja hari Minggu =1

2x

Belanja hari Senin =1

40002

x .

Belanja hari Selasa =1

40003 2

x

.

Untuk menyelesaiakan kasus ini, maka buat persamaan linearnya.

14.000 4.000 1.000

2 2 3 2

x x xx

(1)

4.0004.000 1.000

2 2 6 3

x x xx

6x = 3x + 3x –

24.000 + x –

8.000 + 6.000x = 26.000

Dengan demikian, uang Andi mula-mula adalah Rp 26.000,00

3.

Di sebuah desa, terdapat sepasang manula yang tinggal di rumah tua. Pada

saat sensus penduduk awal tahun 2013, kakek dan nenek tersebut belum

memiliki KTP. Untuk pembuatan KTP, kakek dan nenenk tersebut diminta

data tanggal lahir mereka, tetapi mereka tidak pernah mengetahui tahun

lahir mereka. Mereka hanya mengingat bahwa saat menikah, selisih umurmereka 3 tahun. Saat itu nenek berusia 20 tahun, yaitu 11 tahun setelah

proklamasi. Dapatkah kita ketahui tahun lahir mereka?

Jawab:

Misal: umur kakek = K tahun dan umur nenek = N tahun,

tahun lahir kakek = TK dan tahun lahir nenek = TN

K – N = 3



31

Nenek berusia 20 tahun, yaitu 11 tahun sesudah proklamasi 1945. Jika

sekarang awal tahun 2013 maka usia nenek adalah:

N = (20 – 11) + (2013 – 1945) atau N = 77 sehingga dengan K – N = 3 diperoleh

K = 80

Selanjutnya kita mendapatkan dugaan tahun lahir mereka dengan:

Tahun lahir + Usia = Tahun sekarang

Sehingga dugaan tahun lahir mereka adalah:

TN + 77 = 2013 dan TK + 80 = 2013

Bila persamaan (2) diselesaiakan maka TN = 1936 dan TK = 1933

Dengan demikian, tahun lahir nenek dan kakek adalah 1936 dan 1933.

4. Umur ayah 4 tahun yang lalu adalah 2/3 kali umur ayah pada c tahun yang

akan datang, (c adalah bilangan bulat positif). Sekarang, umur ayah adalah

27 tahun lebihnya dari 1/5 umurnya pada 7 tahun lalu. Tentukan nilai c.

Jawab:

Misalkan umur ayah sekarang adalah x tahun.

Berdasarkan informasi masalah di atas, dapat dituliskan:

2

43

x x c → x = 2c + 12

1

7 275

x x → 4x – 128 = 0

→ x = 32

Substitusikan x = 32 ke x = 2c + 12 diperoleh 32 = 2c + 12 atau c = 10

Jadi, umur ayah saat ini adalah 32 tahun.

5. Agung mempunyai satu bundel tiket piala Dunia untuk dijual. Pada hari

pertama terjual 10 lembar tiket, hari kedua terjual setengah dari tiket yang

tersisa dan pada hari ketiga terjual 5 lembar tiket. Bila tersisa 2 lembar tiket,

maka banyak tiket dalam satu bundel adalah …



32

Jawab:

Misal banyak tiket dalam satu bundel = a , maka:

1010 5 2

2

a

a

→

kedua ruas dikali 2

2 20 10 10 4a a

2 20 10 10 4a a

24a

Jadi, banyak tiket dalam satu bundel adalah 24 tiket.

6.

Tentukan nilai x yang memenuhi dari persamaan berikut:

a. 5 2 23 9

x x

b.

1

2 3 12

16

x

x

c. 42 3 132 128

x x

Jawab:

a.

5 2 23 9

x x

2

5 2 23 3

xx

5x – 2 = 2x + 4

3x = 6

x = 2

b.

1

2 3 12

16

x

x

1

2 3

4

12

2

x

x

1

2 3 42 2

xx

2x + 3 = –4x – 4

6x = –7

7

6x

c. 42 3 132 128

x x

2 3 1

5 742 2x x

410 15 7 72 2

x x

10 15 7 7

2 42 2

x x

10 15 7 7

2 4

x x

20x – 30 = 7x + 7

13x = 37

37

13x



166

SELEKSI TINGKAT KABUPATEN KOTA 2003

BAGIAN A: SOAL PILIHAN GANDA

1.

44 + 44 + 44 + 44 = …

a. 27 b. 210 c. 1034 d. 54 e. 512

2. Kelipatan persekutuan terkecil dari 210, 42, dan 70 adalah ...

a.

14 b. 210 c. 420 d. 7 e. 1260

3.

Joko tidur malam dari pukul 9.20 dan bangun pagi pukul 4.35. Ia tidur

selama …

a. 4 jam 45 menit

b. 5 jam 15 menit

c. 5 jam 45 menit

d. 7 jam 15 menit

e. 19 jam 15 menit

4.

Gabah hasil panen sawah mempunyai kadar air 25%. Setelah dijemur kadar

airnya menyusut sebanyak 80%. Kadar air gabah tersebut saat ini adalah …

a.

2,5% b. 5% c. 10% d. 15% e. 2%

5. Jika a dan b adalah bilangan bulat genap dengan a > b , maka banyaknya

bilangan bulat ganjil diantara a dan b adalah ...

a.

2

a b c.

2

2

a b e. Tidak dapat

b. a – b d. a – b + 1

6. Di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 4 cm dibuat persegi ABCD ,

sehingga titik sudut persegi tersebut berada pada lingkaran. Luas persegi

ABCD adalah …

a. 64 cm2 c. 16 cm2 e. 4 cm2

b.

32 cm2 d. 8 cm2



167

7. Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya

kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan

menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul

kendaraan A?

a. 2 jam c. 4 jam e. 6 jam

b. b. 3 jam d. 5 jam

8.

Pada gambar disamping, ABCD adalah persegi dan ABE adalah segitiga

sama sisi. Besar sudut DAE adalah ...

a. 15 c. 45 e. 75

b.

30 d. 60

9. Faktorisasi prima dari 5220 adalah ...

a. 22 ∙ 32 ∙ 145 c. 22 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 29 e. 22 ∙ 35 ∙ 5

b. 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 9 d. 24 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

10.

Harga sepotong kue turun dari Rp. 250,00. menjadi Rp.200,00 Dengan uang

Rp. 4.000,00, berapa potong kue lebih banyak yang dapat dibeli.

a.

4 b. 8 c. 20 d. 2 e. 6

BAGIAN B: SOAL ISIAN SINGKAT

1. Dengan menggunakan angka-angka 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 bilangan 8 angka

terbesar yang dapat dibentuk dengan syarat kedua angka 1 dipisahkan oleh

satu angka yang lain, kedua angka 2 dipisahkan oleh dua angka, keduaangka 3 dipisahkan oleh tiga angka, dan kedua angka 4 dipisahkan oleh

empat angka adalah ...

2.

Hasil suatu bilangan genap dan suatu bilangan ganjil adalah 840. Bilangan

ganjil yang terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah ...

3. Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut

nilainya akan paling besar jika salah satu bilangannya adalah ...

A B

D CE



168

4. Perhatikan gambar berikut.

Banyaknya bulatan hitam pada gambar kesepuluh nantinya adalah ...

5.

Banyaknya segitiga pada gambar berikut adalah ...

6. Gambar bangun berikut disusun oleh 5 persegi

yang kongruen. Kalau keliling bangun ini 72 cm,

maka luas bangun tersebut adalah ...

7.

Gambar bangun berikut, ABCD adalah

persegi dengan sisi 6 satuan. Titik E dan F

membagi diagonal AC menjadi tiga bagian

sama panjang. Luas segitiga DEF = ...

8. Diketahui sebuah bak berbentuk balok yang terisi penuh dengan air. Bak

tersebut akan dikosongkan dengan menggunakan pompa yang mampu

menyedot air 0,7 liter per detik. Dalam waktu 30 menit bak dapat

dikosongkan tanpa sisa. Jika luas alas bak adalah 10500 cm2 , maka tinggi bak

tersebut adalah ...

9.

Hasil operasi terbesar yang dapat diperoleh dari

penempatan angka-angka 4, 6, 7, dan 8 pada

kotak-kotak yang tersusun seperti di bawah ini

adalah ...

10. Pada sebuah peta dengan skala 1 : 100.000, luas tanah sebuah sekolah adalah

50 cm2. Luas tanah sekolah tersebut pada peta dengan skala 1 : 200.000

adalah ...

A B

C

D

E

F

+



304

SELEKSI TINGKAT NASIONAL 2 3

A. SOAL HARI PERTAMA

1.

Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD… berulang sampaitak terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke 2533?

2. Buktikan bahwa jika a > 2 dan b > 3, maka ab + 6 > 3d + 2b.

3. Diberikan persegipanjang ABCD dengan ukuran 16 cm 25 cm, EBFG

layang-layang, dan panjang AE = 5 cm. Tentukan panjang EF!

4. Perhatikan kumpulan pernyataan berurut berikut.

Diketahui bahwax = 1

Karena x = 1 maka x2 = 1

Sehingga x2 = x

Akibatnya, x2 – 1 = x – 1

(x – 1) (x + 1) = (x – 1) ∙ 1

Dengan aturan pencoretan, diperoleh x + 1 = 1

1 + 1 = 1

2 = 1

Pertanyaannya:

a.

Kalau 2 = 1, maka setiap bilangan asli pasti sama dengan 1. Tunjukkan!

b. Hasil 2 = 1 adalah sesuatu yang tidak mungkin. Tentu ada yang salah di

dalam argumen di atas? Dimanakah letak kesalahannya? Mengapa itu

kamu anggap salah?

B F C

G

D A

B

25cm

16 cm



305

5.

Untuk menghitung (1998)(1996)(1994)(1992) 16 .

seseorang melakukannya dengan cara sederhana sebagai berikut: 20002 – 2

5 2000 + 52 – 5? Apakah cara yang dilakukan orang itu dapat

dibenarkan? Mengapa?

6. Untuk menarik minat pelanggan, suatu restoran penjual makanan cepat saji

memberi kan kupon berhadiah kepada setiap orang yang membeli makanan

di restoran tersebut dengan nilai lebih dari Rp 25.000,-. Di balik setiap kupon

tersebut, tertera salah satu dari bilangan-bilangan berikut: 9, 12, 42, 57, 69,

21, 15, 75, 24 dan 81. Pembeli yang berhasil mengumpulkan kupon dengan

jumlah bilangan di balik kupon tersebut sama dengan 100 akan diberi

hadiah berupa TV 21". Kalau pemilik restoran tersebut menyediakansebanyak 10 buah TV 21", berapa banyak yang harus diserahkan kepada

para pelanggannya?

7. Diketahui bentuk gambar di bawah berikut ini.

Titik-titik pusat lingkaran B , C , D , dan E diletakkan pada garis tengah

lingkaran A dan garis tengah lingkaran B sama dengan jari-jari lingkaran A.

Lingkaran C , D , dan E sama besar dan sepasang-sepasang bersinggungan di

luar sehingga jumlah panjang garis tengah ketiga lingkaran tersebut sama

dengan jari-jari lingkaran A. Bagaimanakah perbandingan keliling lingkaran

A dengan jumlah keliling lingkaran B , C , D , dan E?

8. Diketahui a + b + c = 0. Tunjukkan bahwa a3 + b3 + c3 = 3abc!

B.

SOAL HARI KEDUA

1. Diketahui bahwa1

2a ,2

3a . Untuk k > 2 didefinisikan bahwa

2 1

1 1

2 3k k k

a a a

Tentukanlah jumlah tak hingga dari1 2 3

a a a

A

B

C

D

E



306

2. Bilangan terkali adalah bilangan asli dalam bentuk dua digit diikuti oleh

hasil kalinya. Sebagai contoh, 7 8 = 56, maka 7856 dan 8756 adalah bilangan

terkali. 2 3 = 6, maka 236 dan 326 adalah bilangan terkali. 2 0 = 0, maka

200 adalah bilangan terkali. Sebagai catatan, digit pertama bilangan terkali

tidak boleh 0.

a. Berapakah selisih antara bilangan terkali terbesar dan bilangan terkali

terkecil?

b.

Cari semua bilangan terkali terdiri dari tiga digit yang masing-masing

digitnya merupakan bilangan kuadrat.

c. Diberikan "kotak-kotak" berikut yang harus diisi dengan bilangan terkali.

7 8 5 6

Tentukan isi dari kotak yang diarsir. Apakah isi ini merupakan satu-satunya?

d. Lengkapi semua semua kotak kosong di atas dengan bilangan terkali

3. Perhatikan gambar susunan tiga persegi di bawah.

Buktikan bahwa BAX + CAX = 45°

4. Buktikan bahwa (n – 1)n ∙ (n3 + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua

bilangan asli n.

X A

B C



307

PEMBAHASAN

1.

Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD… berulang sampai

tak terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke 2533?

Jawab:

Perhatikan urutan setiap huruf berikut

A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D …

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

Dari pola urutan huruf-huruf tersebut ditemukan bahwa urutan huruf

tersebut berulang setiap 10 kali. Sehingga untuk urutan huruf ke 2533 = 253 ×

10 + 3. Dengan demikian, huruf pada urutan ke 2533 samadengan huruf

pada urutan ke- 3 yaitu B.

2. Diketahui a + b + c = 0. Tunjukkan bahwa a3 + b3 + c3 = 3abc!

Jawab:

a + b + c = 0, maka

a + b = –c ,

a + c = –b , dan

b + c = –a

Sehingga:

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3a2c + 3ac2 + 6abc

a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 – 3a2(b + c) – 3b2(a + c) – 3c2(a + b) – 6abc

a3 + b3 + c3 = 03 – 3a2(–a) – 3b2(–b) – 3c2(–c) – 6abc

a3 + b3 + c3 = 03 + 3a3 + 3b3 + 3c3 – 6abc

a3 + b3 + c3 – 3(a3 + b3 + c3) = 3(a3 + b3 + c3) – 6abc – 3(a3 + b3 + c3)

–2(a3 + b3 + c3) = –6abc (ruas kiri dan kanan dibagi –2)

a3 + b3 + c3 = 3abc (terbukti)



369

2 31x x = 2

1 2x x

31x = 1 2x

3

1x =2

1 4 4x x

3 24 4x x x = 0

24 4x x x = 0

2 2x x x = 0 → x = 0 atau x = 2

“check” nilai x = 0 atau x = 2 ke 2 31 1x x x .

Untuk x = 0 diperoleh 1 = 1 (memenuhi)

Untuk x = 2 diperoleh 2 4 9 2 7 1 (tidak memenuhi)

Jadi, hanya ada satu solusi yaitu x = 0.

5.

Pada gambar di samping, suatu lingkaran

berjari-jari x menyinggung ketiga sisi sebuah

segitiga siku-siku ABC (siku-siku di C) berturut-turut di titik X , Y , dan Z. Jika panjang AX = 8 dan

BY = 7. Tentukan luas segitiga ABC.

Jawab:

Perhatikan gambar di bawah, misalkan CZ = x. Dengan teorema pythagoras

diperoleh

(x + 8)2 + (x + 7)2 = 152

x2 + 16x + 64 + x2 + 14x + 49 = 225

x2 + 15x = 56 (1)

Luas segitiga ABC:

A = 1

7 82

x x

=

215 56

2

x x

x

x

7

7

8

8

Y

X

Z A

B

C



371

7. Tentukan bilangan asli terkecil n yang memenuhi sifat berikut (IMO 1962):

a. Satuan dari bentuk desimalnya adalah 6.

b. Jika enam digit terakhirnya dihapus dan diletakkan didepannya, maka

hasilnya suatu bilangan empat kali lebir besar dari bilangan asli n semula.

Jawab:

Ini jelas bahwa n bukanlah bilangan satu digit (angka). Misalkan n = 10x + 6,

di mana x adalah bilangan asli sebanyak m angka. Maka

6 10 4 10 6m x x , 39 6 10 24

mx , 13 2 10 8mx

Sehingga 13 2 10 8

m

untuk suatu m , yaitu sisa dari2 10

m

adalah 8 jikadibagi 13. Dengan pembagian panjang, ditemukan bahwa nilai minimum

dari m adalah 5. Jadi,

2 10 8 19999215384

13 13

m

x

, n = 153846

8. Tentukan hasil dari: (SMO/J 2006, disesuaikan)

2 1 1 12017 2016

1 2 2 3 2015 2016a a

a a a a a a

Jawab:

Dari bentuk asal (berdasarkan soal), diperoleh

1 1 1 1 1 1

1 20161 2 2 3 2015 2016

a aa a a a a a

1 1

1 20161 2016

a aa a

=

20151 2016

1 2016a a

a a

= 2015

Jadi,

1 1 11 2016 2015

1 2 2 3 2015 2016

a aa a a a a a

.



373

12. The diagram shows two identical squares, ABCD and PQRS , overlapping

each other in such a way that their edges are parallel, and a circle of radius

2 2 cm covered within these squares. Find the length of the square

ABCD.

Solution:

As the below shows, 2PY OP and

1

2YS OP PY . Thus

2 2 2 22 2 1

2 2PS PY YS OP

13. Misalkan akar-akar dari persamaan

2 2 2

1 1 20

10 29 10 45 10 69x x x x x x

adalah α dan β. Tentukan nilai dari α + β. (SMO/J 2006)

Jawab:

Misalkan y = x2 – 10x – 29. Maka x2 – 10x – 45 = y – 16, x2 – 10x – 69 = y – 40.

Jadi,1 1 2

016 40 y y y

. Dengan demikian y = 10. So y = x2 – 10x – 29 = 10.

Jadi, x2 – 10x – 39 = 0. Dengan demikian, α + β = 10.

14.

Suppose1x ,

2x ,

3x are roots of (11 – x)3 + (13 – x)3 = (24 – 2x)3. What is the

sum of1 2 3

x x x ? (SMO/J 2007)

Solution:

Let a = 11 – x and b = 13 – x. we have a3 + b3 = (a + b)3. Simplify: 3ab(a + b) = 0.

Replacing a , b back in terms of x , we found the three roots are 11, 12 and 13.

Thus 1 2 3x x x = 36.

A B

S

P

D C

Q

R

A

B

S

D C

Q

R

Y

Z O

P

X

m1 _ buku siap osn matematika untuk sp - mts ( 2016 ) _ sample

Documents