makalah up load
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 Makalah Up Load
1/25
A. SEJARAH
Meskipun sedikit yang diketahui tentang kehidupan awal dan kehidupan pribadi
Euclid, ia dikenal sebagai pelopor dari pengetahuan geometri dan memberikan
kontribusi yang besar dalam bidang matematika. Selain dikenal sebagai bapak
Geometri, Euclid dikenal mengajarkan matematika di Mesir Kuno selama pemerintahan
Ptolemeus I. ia terkenal, setelah menulis karya matematika paling permanen
sepanjang masa, yang dikenal sebagai !"he Elemen# yang terdiri dari $% bagian yang
berisi tentang teori geometris dan pengetahuan. &al ini yang membangkitkan
pengetahuan di dunia barat dan sebagian matematikawan di seluruh dunia selama lebih
dari '((( tahun untuk memecahkan semua batas)batas dan membuat de*inisi yang baru
di bidang Matematika. Euclid menggunakan +pendekatan sintetik+ untuk membuat
teorema, de*inisi dan aksioma dalam matematika. Selain menjadi guru di perpustakaan
le-andria, Euclid menciptakan dan menyusun berbagai elemen matematika, seperti
Porisms, sistem geometris, nilai)nilai in*inite, *aktorisasi, dan bentuk yang kongruen
pada Geometri Euclid. ntuk beberapa nama karya)karyanya sangat dipengaruhi oleh
Pythagoras, ristoteles, Eudo-us, dan "hales.
Masa Kanak-Kanak dan Kehidupan Awal
Euclid dari +le-andria+ lahir sekitar %%( SM, mungkin di le-andria. Penulis
rab tertentu menganggap bahwa Euclid adalah lahir dari keluarga kaya untuk
+/aucrates+. ikatakan bahwa Euclid adalah mungkin lahir di "irus dan menjalani sisa
hidupnya di amaskus. da dokumen)dokumen tertentu yang menunjukkan bahwa
Euclid belajar di sekolah kuno Plato di thena, di mana sekolah itu hanya untuk pelajar
kaya. ia kemudian bergeser ke le-andria di Mesir, di mana ia menemukan sebuah
di0isi terkenal matematika, dikenal sebagai +geometri+. Kehidupan Euclid dari Meguro
sering bingung dengan kehidupan Euclid dari le-andria, sehingga sulit untuk percaya
apapun in*ormasi yang dapat dipercaya berdasarkan pada kehidupan matematikawan.ia ditanamkan minat dalam bidang matematika dan mengambil subjek untuk tingkat
yang baru dengan jalan memecahkan penemuan dan teorema. le-andria dulunya
merupakan kota terbesar di dunia barat dan juga pusat perkembangan industri
papirus. i kota inilah di mana Euclid mengembangkan, menyampaikan, dan berbagi
pengetahuan tentang matematika dan geometri dengan seluruh dunia.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
2/25
Karier
Euclid dikenal sebagai !bapak geometri# karena suatu alasan. ia menemukan
sebuah persoalan dan memberikannya nilai, membuatnya menjadi salah satu bentuk
matematika yang paling kompleks pada saat itu. Setelah pindah ke le-andria, Euclid
menghabiskan sebagian besar waktunya di perpustakaan le-andria, seperti banyak
sarjana terkemuka lainnya yang menghabiskan waktu mereka di sana. Museum ini
dibangun oleh Ptolemeus, yang merupakan pusat sastra, seni dan ilmu pengetahuan. i
sini Euclid mulai mengembangkan ide)ide geometri, aritmatika, teori dan bilangan
irasional menjadi bagian yang disebut 1geometri1. ia mulai mengembangkan teorema
dan disusun menjadi risalah kolosal yang disebut +"he Element+. Selama perjalanan
karirnya samar)samar diketahui, ia mengembangkan $% edisi +"he Elemen+ yang
mencakup semua persoalan mulai dari aksioma dan pernyataan untuk geometri solid
dan konsep algoritma. Seiring dengan menyatakan berbagai teori, ia mulai mendukung
ide)ide dengan metode dan bukti logis yang akan menerima statement yang
diungkapkan oleh Euclid.
2isalah Euclid ini memuat lebih dari 345 proposisi untuk geometri sederhana dan
geometri solid, mengemukakan dan menyatakan saran dan persetujuan untuk teori)teori
yang berkaitan dengan ide)ide geometrisnya. da kasus tertentu dengan persamaan
Pythagoras untuk segitiga yang digunakan Euclid sebagai contoh saat menulis !"he
Elemen#. ia menyatakan bahwa !persamaan itu selalu benar untuk setiap masalah
pada segitiga siku)siku#. !"he Elemen# terjual lebih banyak daripada lkitab dan
digunakan oleh matematikawan serta dicetak berkali)kali oleh penerbi, bahkan sampai
abad ke)'(. "idak ada kata akhir untuk geometri Euclid, dan Euclid terus
mengembangkan teorema pada berbagai aspek matematika seperti +bilangan prima+ dan
yang lainnya, +aritmatika+ dasar. engan serangkaian langkah)langkah logis yang
dikembangkan oleh Euclid, ia percaya dalam membuat yang tidak diketahui menjadi
dikenal oleh dunia. Sistem yang dilanjutkan Euclid untuk menggambarkan !"he
Elemen# adalah umumnya dikenal sebagai satu)satunya bentuk geometri yang dapat
disaksikan dan dilihat sampai abad ke)$6. /amun, matematikawan dari era modern
mengembangkan teorema dan ide baru yang berkaitan dengan geometri dan membagi
subjek menjadi !Geometri Euclid# dan !Geometri /on)Euclid#.
ia menyebut ini +pendekatan sintetik+ yang tidak didasarkan pada logika trial and
error, tapi pada penyajian *akta dari teori. Pada saat pengetahuan terbatas, Euclid
bahkan telah mulai mengambil pengetahuan berdasarkan pencarian subjek yang
berkaitan dengan bidang yang berbeda seperti +aritmatika dan bilangan+. ia
-
7/23/2019 Makalah Up Load
3/25
menguraikan bahwa manusia tidak mungkin mengetahui +bilangan prima terbesar+. ia
memperkukuh hal ini dengan sebuah contoh yang menyatakan bahwa jika $
ditambahkan ke bilangan prima terbesar yang diketahui, hasilnya akan menyebabkan
bilangan prima yang lain. 7ontoh klasik ini adalah bukti kejelasan pemikiran dan
presisi Euclid saat itu.
Euclid menyatakan bahwa aksioma adalah pernyataan yang hanya diyakini benar,
tapi ia menyadari bahwa mengikuti pernyataandengan membabi buta, tidak akan ada
gunanya dalam merancang teori dan rumus matematika. ia bahkan menyadari bahwa
aksiomaharus didukung dengan bukti)bukti yang kuat. 8leh karena itu, ia mulai
mengembangkan bukti logis yang akan membuktikan aksioma dan teorema pada
geometri. alam rangka untuk lebih memahami aksioma ini, ia membagi menjadi dua
kelompok yang disebut !postulat#. Satu kelompok lain disebut !pengertian umum#
yang telah disepakati oleh Ilmuan . 9agian kedua postulat identik dengan
geometri. 9agian pertama gagasan disebutkan pernyataan seperti 1keseluruhan lebih
besar daripadasebagian1 dan 1&al)hal yang sama dengan hal yang sama juga akan sama
satu dengan yang lain 1. Ini hanya dua dari lima pernyataan yang ditulis oleh
Euclid. :ima pernyataan yang tersisa di postulat bagian kedua sedikit lebih spesi*ik
untuk Geometry dan teori seperti 1Semua sudut kanan adalah sama1 dan1Garis lurus
dapat ditarik diantara dua titik1.Karir Euclid berkembang sebagai matematikawan dan!"he Elemen# akhirnya
diterjemahkan dari bahasa ;unani ke bahasa rab dankemudian ke dalam bahasa
Inggris oleh
-
7/23/2019 Makalah Up Load
4/25
Pekerjaan tambahan
Seiring dengan perubahan wajah matematika secara permanen,Euclid juga
memiliki berbagai karya lain yang masih digunakandan disebut sampai saat ini. Karya)
karya ini adalah posisi murni yang didukungdengan bukti kuat dan mengikuti sepanjang
garis dan struktur !"he Elemen#. ia melanjutkan untuk belajar dan menemukan
+7atoptrics+yang pada dasarnya menyatakan *ungsi matematika dari cermin.8ptik, rasio,
data, dan conics adalah beberapa karya terkenal lainnyayang sekarang hilang seiring
dengan berjalannya waktu. Euclidberhasil menyelesaikan delapan edisi atau buku)buku
tentang teorematentang kerucut, yang gagal dipublikasikan waktu itu. ia
jugamembentuk hipotesis dan proposisi berdasarkan Mekanika dan:okus. Sebagian
besar karya)karya ini dikatakan telahmelengkapi satu sama lain, dan itu menyarankan
bahwateori yang dikembangkan benar)benar berasal dari karya terkenal !"he
Elemen#. Ia juga datang dengan satu set Konstruksi Euclid yang merupakan alat dasar
yang dibutuhkan untuk memproduksikonstruksi geometris.
Kehidupan Pribadi
iyakini bahwa Euclid mendirikan sebuah sekolah swasta diperpustakaan
le-andria untuk mengajar penggemar matematika sepertidirinya. da teori lain yang
menyatakan bahwa Euclid pergi untuk membantu para siswa menulis teori dan buku
mereka sendiridi kemudian hari. "idak banyak yang diketahui tentang penampilan
Euclid. Patung)patung atau lukisan yang dilihat saat ini adalah produk imajinasi
seniman belaka.
Kematian dan Lega!
"ahun dan alasan di balik kematian Euclid tidak diketahui. /amun, sudah ada
alokasi jelas menunjukkan bahwa ia mungkin telah meninggal sekitar '4( SM. >arisan
yang ditinggalkan setelah kematiannya jauh lebih mendalam dari pada yang ia ciptakan
saat dia masih hidup. 9uku)buku dan risalah yang dijual dan digunakan olehmasyarakat di seluruh dunia sampai pada abad ke)$6. >arisannya dijalankanpada '((
abad setelah kematiannya dan menginspirasi kepribadian sepanjang perjalanan hidup
seperti braham :incoln. ikatakan bahwa :incoln akan membawa !"he Elemen# ke
mana pun ia pergi,dan sering mengutip karya jenius Euclid dalampidatonya. 9ahkan
setelah kematian Euclid, matematikawan terusmenulis teorema dan karya)karya di
bawah namanya. alam semua arti sebenarnya, pada saat pengetahuan itu tidak dapat
diakses oleh mayoritas populasi dunia, dikembangkan *ormat Matematika kuno Euclid
yang logis dan ilmiah yang dikenal dunia sebagai !Geometri Euclid# sekarang.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
5/25
"he Elements terdiri atas tiga belas buku. 9uku $ menguraikan proposisi)
proposisi dasar dari geometri bidang datar, termasuk tiga kasus dalam hal
kekongruenan segitiga, macam)macam teorema tentang garis)garis sejajar, teorema
mengenai jumlah sudut)sudut dalam sebuah segitiga dan teorema Pythagoras. 9uku '
berkenaan dengan aljabar geometris, karena kebanyakan teoremanya tidak lebih tentang
pena*siran aljabar sederhana. 9uku % menyelidiki lingkaran dan si*at)si*atnya, dan
termasuk teorema tentang tangent dan sudut)sudut yang digambarkan. 9uku 3 terkait
segibanyak beraturan dan lingkaran)lingkaran yang mengelilinginya. 9uku =
mengembangkan teori aritmetika tentang perbandingan. 9uku 4 menerapkan teori
perbandingan kepada geometri bidang datar, dan memuat teorema)teorema bilangan
kembar. 9uku 5 menguraikan teori bilangan dasar? misalnya bilangan prima, *aktor
persekutuan terbesar, dan lain)lain. 9uku @ terkait dengan deret geometri. 9uku 6
memuat macam)macam aplikasi dari hasil dua buku sebelumnya, dan memuat teorema)
teorema ketakterhinggaan bilangan prima, maupun rumus jumlah deret geometri. 9uku
$( berusaha menggolongkan besaran yang tak dapat dibandingkan Adengan kata lain
irasionalB menggunakan apa yang disebut !metode keletihan#, suatu rintisan Euclid
Geometry integral kuno. 9uku $$ menghitung 0olume relati* dari kerucut, piramida,
tabung, dan bola menggunakan metode keletihan. an akhirnya, buku $% meneliti apa
yang biasa disebut bidang banyak beraturan dan memberikan kontruksi dari benda)
benda#platonic# atau benda)benda CcosmicD. 9enda)benda ini disebut benda !cosmic#
karena menurut teori Plato ada hubungan antara kubus dan tanah, bidang empat
AtetrahedronB dan api, bidang delapan AoctahedronB dan udara, bidang dua puluh
AtetrahedronB dan air, dan ada yang menambahkan bidang dua belas AdedecahedronB dan
ether. Euclides, dalam bukunya yang pertama mulai dengan '% de*inisi, = postulat, =
aksioma dan 3@ dalil. Euclides membedakan antara postulat dan aksioma, postulat
berlaku khusus untuk sains tertentu dan aksioma berlaku untuk umum.
". MA#ER$
%e&inisiadalah adalah ungkapan yang dibutuhkan untuk membatasi suatu konsep
dalam matematika atau untuk memperkenalkan nama sesuatu dalam pembicaraan
tentang geometri. alam Kamus 9esar 9ahasa Indonesia, aksioma adalah pernyataan
yang dapat diterima sebagai kebenaran tanpa pembuktian. Pengertian aksioma secara
matematika yaitu pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan dalil pemula,
sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi atau suatu pernyataan yang diterima
-
7/23/2019 Makalah Up Load
6/25
sebagai kebenaran dan bersi*at umum, tanpa memerlukan pembuktian. alam buku)I
Euclid terdapat '% de*inisi, yaitu sebagai berikut?
Definisi 1 : titik adalah sesuatu yang tidak memiliki bagian.
Definisi 2 : garis adalah sesuatu yang panjang tanpa memiliki lebar
Definisi 3 : ujung-ujung suatu garis adalah titik.
Definisi 4 : suatu garis lurus memuat titik-titik yang terletak di dalamnya secara
merata.
Definisi 5 : suatu bidang adalah sesuatu yang hanya memiliki panjang dan lebar.
Definisi 6 : ujung-ujung suatu bidang adalah garis
Definisi :sebuah bidang datar memuat garis-garis lurus yang terletak didalamnya
merata.
Definisi ! : sudut bidang adalah inklinasi "kemiringan# garis-garis terhadap satu
sama lain$ saat dua garis dalam bidang bertemu dan tidak terletak pada
satu garis lurus.
Definisi % :&etika garis yang memuat sudut tersebut adalah garis lurus$ maka sudut
tersebut disebut rectilinear "selanjutnya disebut sudut saja#.
Definisi1' : ketika garis lurus berdiri terhadap garis lurus lainnya dan membentuk
sudut-sudut yang bersisian "bersebelahan# yang sama besar satu sama
lain$ setiap sudut yang sama tersebut disebut sudut siku-siku$ dan garis
pertama disebut tegak lurus dengan garis yang lain.
Definisi11 : sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku.
Definisi12 : sudut lancip adalah sudut yang kurang dari sudut siku-siku.
Definisi13 : sisi adalah ujung-ujung dari sesuatu "k(nteks dari bidang datar#.
Definisi14 : sebuah bidang dimuat (leh beberapa sisi.
Definisi15 : lingkaran adalah bidang datar yang dimuat (leh sebuah garis "yang
disebut garis melingkar# dimana setiap garis lurus yang melalui suatu titik
tertentu yang terletak dalam bidang tersebut adalah sama besar.
Definisi16 : titik tersebut dinamakan pusat dari lingkaran.
Definisi1 : diameter lingkaran adalah semua garis lurus yang dilukiskan melalui titik
pusat$ dan berujung pada garis melingkar dikedua arahnya. Dan setiap
garis lurus yang mem(t(ng lingkaran menjadi setengahnya.
Definisi 1! :setengah lingkaran adalah bangun yang dirmuat (leh garis melingkar dan
dip(t(ng (leh diameter.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
7/25
Definisi 1% : bangun garis lurus adalah bangun-bangun yang dibatasi (leh garis-garis
lurus. )angun trilateral adalah bangun yang dibatasi (leh tiga garis lurus.
)angun *uadrilateral adalah bangun yang dibatasi (leh empat garis lurus.
)angun multilateral adalah bangun yang dibatasi (leh lebih dari empat
garis lurus.
Definisi 2' :dari bangun-bangun trilateral$ suatu segitiga samasisi adalah yang
mempunyai tiga sisi yang sama. +uatu segitiga samakaki adalah yang
mempunyai dua sisi yang sama. +uatu segitiga sembarang adalah yang
semua sisinya berbeda.
Definisi 21 : dari bangun-bangun segitiga$ suatu segitiga siku-siku adalah segitiga
yang mempunyai satu sudut siku-siku. +egitiga tumpul adalah segitiga yang
mempunyai satu sudut tumpul dan segitiga lancip adalah segitiga yang
ketiga sudutnya lancip.
Definisi 22 : dari bangun-bangun segiempat$ persegi adalah yang sama sisi dan
sudutnya siku-siku$ suatu persegi panjang adalah yang bersudut siku-siku$
tetapi tidak sama sisi$ belah ketupat adalah yang sama sisi tapi tidak siku-
siku dan suatu jajargenjang adalah sisi dan sudut-sudutnya yang
berla,ananberhadapan sama$ tetapi bangun segiempat yang lain dari
yang telah disebutkan disebut trapesium.
Definisi 23 : p(lig(n adalah bentuk bujursangkar yang dibatasi (leh lebih dari
empat sisi.
P'stulatadalah asumsi yang berhubungan langsung dengan geometri. alam
Kamus 9esar 9ahasa Indonesia, Postulat adalah anggapan dasar atau aksioma, dengan
kata lain postulat diartikan sebagai asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap
benar tanpa perlu membuktikannya. alam matematika, postulat berarti pernyataan
matematika yang disepakati benar tanpa pembuktian alam buku)I Euclid terdapat
lima postulat yaitu sebagai berikut?
(stulat 1: /elalui dua titik dapat dibuat satu garis
(stulat 2: sembarang ruas garis dapat diperpanjang menjadi garis lurus.
(stulat 3: sembarang lingkaran dapat dibuat dengan sembarang titik pusat dan
sembarang jari-jari.
(stulat 4: semua sudut siku-siku adalah sama satu sama lain.
(stulat 5: jika garis lurus mem(t(ng dua garis lurus dan memuat sudut-sudut dalam
-
7/23/2019 Makalah Up Load
8/25
sepihak kurang dari dua sudut siku-siku$ kedua garis itu jika diperpanjang
tak terbatas$ akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak
kurang dari dua sudut siku-siku.
Aksi'maadalah asumsi yang berkaitan dengan logika.
7ontoh?
$. 9enda)benda yang sama dengan benda yang sama, satu dengan yang lain adalah
sama.
'.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
9/25
panjang dengan dua segmen lainnya "yang diberikan dan
berp(t(ngan#$ tidak mungkin dibentuk dari titik yang berbeda pada
sisi yang sama$ tetapi ujung-ujung segmen yang sama bertemu di titik
yang sama pada segmen yang diberikan.
r(p(sisi ! : jika segitiga memiliki dua sisi yang sama besar pada segitiga yang
lainnya$ dan alas mereka juga sama$ maka sudut yang diapit (leh
sisi-sisi yang sama pada kedua segitiga juga sama besar.
r(p(sisi % : sebuah sudut dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama besar
r(p(sisi 1' : sebuah segmen dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama panjang
r(p(sisi 11 : diberikan sebuah segmen dan titik pada segmen$ maka dapat
dibentuk segmen lain yang mele,ati titik tersebut serta siku-siku
terhadap segmen yang diberikan
r(p(sisi 12 : diberikan sebuah garis dan titik diluar garis$ dapat dibentuk sebuah
segmen yang mele,ati titik tersebut serta siku-siku terhadap garis
yang diberikan
r(p(sisi 13 : jika sebuah segmen berdiri pada segmen lain dan membentuk sudut$
pasti membentuk dua sudut siku atau jumlah keduanya sama dengan
jumlah dua sudut siku
r(p(sisi 14 : jika dua segmen$ tidak terletak di sisi yang sama$ membentuk sudut
bersebelahan yang jumlahnya sama dengan dua sudut siku dengan
ruas garis lain pada suatu titik$ maka kedua sudut itu segaris
r(p(sisi 15 : jika dua garis saling berp(t(ngan$ maka besar sudut yang bert(lak
belakang adalah sama.
r(p(sisi 16 : untuk setiap segitiga$ ketika satu sisi diperpanjang$ sudut
eksternalnya lebih besar dari setiap sudut internal yang
berseberangan.
r(p(sisi 1 : untuk setiap segitiga$ jumlah dua sudut internal yang manapun
selalu kurang dari dua sudut siku-siku.
r(p(sisi 1! :dalam setiap segitiga$ sisi yang lebih besar berhadapan dengan sudut
lebih besar pula
r(p(sisi 1% : di setiap segitiga$ sudut yang lebih besar menghadap ke sisi yang
terpanjang.
r(p(sisi 2' : dalam setiap segitiga jumlah dari setiap dua sisi adalah lebih besar
-
7/23/2019 Makalah Up Load
10/25
dari sisi ketiga.
r(p(sisi 21 : jika dari titik-titik ujung suatu sisi suatu segitiga dik(nstruksikan dua
ruas garis dan bertemu di interi(r segitiga$ jumlah panjang ruas-ruas
garis yang baru dik(nstruksikan itu lebih kecil dari jumlah dua sisi
lain dari segitiga$ tetapi sisi-sisi yang baru dik(nstruksi itu membentuk
sudut yang lebih besar dari sudut yang dibentuk (leh dua sisi segitiga
tadi.
r(p(sisi 22 : mengk(nstruksi suatu segitiga terdiri dari tiga ruas garis yang sama
dengan tiga ruas garis yang diketahui: jadi syarat yang perlu adalah
bah,a jumlah dari dua ruas garis harus lebih besar dari panjang
ruas garis yang ketiga.
iberikan , 9, dan 7 tiga buah ruas garis, dimana AjumlahB dua gabungannyadengan sebarang AkemungkinanB selalu lebih besar dari sisanya. Maka, gabungan dan
9 lebih besar dari 7, dan 7 lebih besar dari 9, 9 dan 7 lebih dari .
-
7/23/2019 Makalah Up Load
11/25
sama dengan 9, maka ketiga garis berturut)turut K, G, dan GK sama besar dengan ,
9, dan 7.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
12/25
9ila 9 tidak sama dengan E, maka salah satunya lebih besar. Misal 9 lebih
besar, kemudian kita buat 9G sama besar dengan E Aprop $.%B, lalu hubungkan G7.
Karena 9G sama dengan E, dan 97 sama dengan E, maka sudut G97 sama besar
dengan sudut E.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
13/25
-
7/23/2019 Makalah Up Load
14/25
luar adalah sama dengan "jumlah dari# dua sudut dalam dan
berla,anan "sudut#$ dan "jumlah dari# tiga sudut internal segitiga
sama dengan dua sudut siku-siku.
r(p(sisi 33 : garis-garis yang menghubungkan dua garis yang sama besar dan
sejajar pada ujung yang sesisi juga sama dan sejajar. .
r(p(rsisi 34 : dalam bangun jajar genjang sisi dan sudut yang berla,anan sama
dengan satu sama lain$ dan diag(nanya mem(t(ng bangun tersebut
setengahnya.
r(p(rsisi 35 : 0ajar genjang yang berimpit pada alas yang sama$ dan diantara
garis sejajar yang sama$ saling sama besar "luasnya#.
r(p(rsisi 36 : jajar genjang yang alasnya sama besar dan diantara garis sejajar
yang sama saling sama besar
.
iberikan 97 dan EG& jajar genjang dimana alas 97 dan G sama dan
diantara garis sejajar yang sama & dan 9G. Maka saya katakan bahwa jajar genjang
tersebut saling sama besar.
ihubungkan ruas garis 9E dan 7&. 97 sama besar dengan G, padahal G
sama besar E& Aprop $.%3B. jadi 97 sama besar E&. Keduanya juga paralel, E9 dan &7
dihubungkan. Padahal, menghubungkan sisi yang sama besar dan sejajar di ujung yang
sesisi garis penghubung tersebut sama besar dan sejajar juga Aprop $.%%B. Maka E9 dan&7 juga sejajar, dan E97& adalah jajar genjang Aprop $.%3B, dan sama terhadap
97, karena mereka memiliki alas yang sama, 97 dan diantara garis sejajar yang
sama 97 dan & Aprop $.%=B. Maka untuk alasan yang sama EG& juga sama besar
dengan E97& Aprop $.%3B. Maka jajar genjang 97 sama besar EG&.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
15/25
saling sama besar.
r(p(rsisi 3! :segitiga yang alasnya sama besar dan diantara garis sejajar yang
sama saling sama.
iberikan 97 dan E segitiga dengan alas yang sama besar, 97 dan E, dan
diantara garis sejajar yang sama 9 dan . Saya katakan segitiga 97 sama dengan
segitiga E.
iberikan diperpanjang di kedua arah ke G dan &, lalu dibuat 9G melalui 9
sejajar 7, & melalui & jejajar E Aprop $.%$B. Maka, G97 dan E& keduanya
jajar genjang. an G97 sama besar dengan E&. Karena mereka berbagi alas yang
sama, 97 dan E, dan diantara garis sejajar yang sama, 9 dan G& Aprop $.%4B. dan
Segitiga 97 setengah dari sejajar G97, berdasarkan potongan oleh diagonal 9
Aprop. $.%3B, dengan proposisi yang sama untuk menunjukkan bahwa segitiga E
setengah dari E&.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
16/25
pada sebuah garis lurus dengan sudut tertentu.
r(p(sisi 45 : untuk mengk(nstruk jajargenjang sama besar dengan sebuah bangun
bersegi dengan sudut yang diberikan.
r(p(sisi 46 : untuk mendeskripsikan sebuah persegi pada garis tertentu.
r(p(sisi 4 : pada segitiga siku-siku$ persegi di sisi yang menghadap ke sudut
siku-siku sama besar dengan persegi di sisi-sisi yang membentuk
siku-siku.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
17/25
iberikan 97 segitiga siku)siku siku)siku di 97. Saya katakan bahwa persegi
di 97 sama besar dengan persegi di 9 dan 7.
Persegi 9E7 dideskripsikan di 97, dan persegi G9 dan &7 berturut)turut di 9
dan 7 Aprop $.34B. Kemudian : dilukis melalui sejajar dengan 9 atau 7E Aprop
$.%$B. an dan 7 dihubungkan. Karena 97 dan 9G masing)masing siku)siku,
maka dua garis 7 dan G, tidak berimpit, dan membuat sudut bersebelahan
berdasarkan 9, pada titik , dimana sama besar dua sudut siku)siku.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
18/25
lemma adalah teorema sederhana yang digunakan sebagai hasil antara dalam
pembuktian teorema lain.
('mm'n nati'nadalah? asumsi yang diterima semua ilmuwan atau semua
orang)orang cerdas. alam 9uku)I "he Elemens terdapat = common nation yaitu
sebagai berikut?
$. Sesuatu yang sama besar pada sesuatu yang sama adalah sama besar satu sama
lain.
'.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
19/25
kan terlihat bahwa hanya satu garis lurus yang melalui titik P, akan tetapi, garis
lurus tersebut bukan l, melainkan garis yang parallel dengan l.
&al ini jelas bahwa terdapat garis lurus yang melalui titik P bukan pada l, dan
garis tersebut sejajar dengan l.
ari titik P, kita dapat membuat ruas garis yang tegak lurus terhadap l dan
memotong l di titik F. lalu kita membuat garis m yang sejajar dengan l.
sumsikan bahwa terdapat garis lurus n yang melalui titik P, dan n m. sehingga,
akan menunjukkan bahwa n akan berpotongan dengan l.asumsikan bahwa sudut $
dan ' dibuat dari ruas garis n dan PF. Maka, sudut $ bukan merupakan sudut
siku)siku. Karena jika sudut $ adalah sudut siku)siku, maka pastilah m dan n
berimpit. &al ini jelas kontradiksi dengan asumsi awal.
engan demikian, sudut $ atau sudut ' merupakan sudut lancip. ndaikan bahwa
sudut $ adalah sudut lancip A7orollary '5.'B.
2ingkasan
Kedua garis l dan n dipotong oleh garis lurus trans0ersal PF sehingga
membangun sudut lancip $ dan sudut siku)siku. Kedua sudut adalah sepasang
sudut dalam sepihak PF. Karena jumlah sudut $ dan ' kurang dari $@( , maka
berdasarakan postulat kelima, garis l dan n pasti akan berpotongan. engan
demikian, m adalah satu)satunya garis yang melalui P bukan garis l, m sejajar
dengan l yang berarti bahwa kita telah menyimpulkan aksioma Play*air dari
postulat kelima.
,. Men!impulkan aksi'ma Pla!&air dari p'stulat Kelima
iberikan dua garis lurusldan mdipotong oleh garis trans0ersal di titik F,
P dan membentuk sepasang sudut dalam sepihak $ dan ' yang jumlahnya kurang
dari $@(. A:ihat Gambar. @B.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
20/25
l
m
R P
Q
E
2
1
emikian, kita mempunya B$.....A$@('$ +
-
7/23/2019 Makalah Up Load
21/25
(. APL$KAS$
$. 9eberapa detail permukaan gedung merupakan bentuk dari Geometr.i Euclid
'. alam membuat permukaan meja berbentuk persegi panjang, jendela, dan
bingkai *oto, untuk memastikan bahwa daerah tersebut adalah persegi panjang,
maka yang harus dilakukan adalah memastikan bahwa setiap sudut besarnya tepat
6((. /amun, dengan memahami tentang Geometri Euclid, maka kita dapat
menentukan keempat sisi persegi panjang tersebut tanpa mengukur panjang
masing)masing sisi dan juga besar keempat sudutnya.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
22/25
%. Sebuah menara air, kaleng, dan Piramida Mesir serta benda)benda yang
berbentuk kerucut, silinder, belahan, dan piramida. Mereka mewakili Geometri
Euclid dan 0olume benda)benda tersebut dapat dihitung dengan menggunakan
pemahaman Geometri Euclid.
3.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
23/25
=. iameter lingkaran digunakan sebagai dasar untuk membuat roda agar seimbang
"ballance#. "anpa pengetahuan Geometri Euclid, maka akan sangat sulit untuk
membuat roda kendaraan menjadi seimbang.
4. Segitiga sama kaki digunakan untuk membuat atap rumah.
5. 9idang datar sebagai dasar pembuatan lantai yang juga merupakan aplikasi dariEuclid.
@. Geometri Euclid juga digunakan dalam mencari ketinggian menara dan
pegunungan. alam hal ini menggunakan prinsip segitiga dan sudut yang
dibentuk. Ini akan sangat mudah dibandingkan dengan mengukur langsung tinggi
menara dan pegunungan tersebut.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
24/25
6. Geometri Euclid dapat digunakan untuk melakukan penaksiran lebar sungai
dengan menggunakan metode perbandingan segitiga.
-
7/23/2019 Makalah Up Load
25/25
REERES$
itHpatrick, 2ichard. A'((5B.uclids lements (f 7e(metry. Ingris