. 1

PRIRODHO-MATEMATI~KI FAKULTET U BEOGRADU

Miroslav Pavlovi6

GEOMETRIJA KOMPLEKSNIH BANACHOVIH PROSTORA

- -- .. L (doktorska disertacija) - - -

BEOGRAD. februara 1983.

UVOD . . . . i-ix

I. MODULI KOMPLEKSNE KONVEKSNOSTI . 1 1. Definicija i osnovne osobine (1). 2. Veza izmedu Miljmanovog i Clarksonovog modula (3). 3. Progirenja Ka- decove teoreme o bezuslo~oj konvergenciji (6). 4. Neke primene Clarksonovog modula (9). 5. Jedna generalizacija Schwarzove leme (11). 6. m e 1 1 ) 7. Ravnomerna c-konveksnost kvazinormiranih prostora (13). 8. Teorema o bezuslovnoj konvergenciji u kvazinormiranom prostoru (15). 9. Neke napomene o dualnim svojstvima (17).

11. MODULI C-KONVEKSNOSTI LEBESGUEOVIH PROSTOBA a . 18 1. SluEaj p= 1 (18). 2. SluEaj l<p<2 (20). 3. Dokaz teoreme 3 (22). 4. SluEaj O<p<l (24). 5. Primedbe i primeri (26).

111. RAVNOMERNA c-KONVEKSROS'J! ORLICZEVIH PROSTORA - . . 29 1. Definicija Orliczevih 'prostora (29). 2. Procena mo- dula c-konveksnosti (29). 3. Prostori sa megovitim nor- mama (32). 4. Kotip Orliczevih prostor'a (34). 5. 0 te- oremama 1 i 4 u sluEaju kad je funkcija M konveksna(36). 6. 0 drugim klasama prostora (39). 7. Primeri i primed- be (40).

IV. HARDY-ORLICZEVI I BERGMAN-ORLICZEVI PROSTORI . • 43 1. Definicije i neka svojstva (43). 2. Generalizacija Hardy-Littlewoodove teoreme (44). 3. Banachova obvojni- ca Hardy-Orliczevih prostora (46). 4. Obvojnica Bergman- Orliczevih prostora (48). 5. Primeri uz teoreme 1, 2, 3 (49). 6. Razlaganje Bergman-Orliczevih prostora (51). 7. Bezuslovni bazis u Bergman-Orliczevim prostorima (53).

i i

U V O D

Prvi rezultati o kvantitativnim karakteristikama jediniEne sfe- re Banachovog prostora pojavili su se 1936. k radu J. A.Clarksona "Uniformly convex spacesn[83. Razmatraju6i Radon-Nikodymov stav za vektorske mere, on je definisao modul konveksnosti -

sX(&) - inf (1- IlyIl : IlrllL1, 1911k1, l l x - , OgLd2.

Prostore koji zadovol javaju uslov Sx(t) > 0 (0 <tc2) Clarkson je nazvao ravnomerno konveksnim. On je dokazao da je LP ravnomerno konveksan ako je l<p <a, kao i da je

bp(9:=t? (e)= 1-(1-EP/2P) 2 p-1(e/2)P, p12. - LP

Tek dvadeset godina kasnije 0. ~anner[32] i M. 1.~adec[44] nasli su zadovoljavaju6u procenu u sluEaju p<2:

- -

U Kadecovom radu je dokazana slede6a teorema, u kojoj je prvi put povezano jedno Eisto geometrijsko svojstvo sfere sa konvergencijom redova.

Teorema Kadeca. Iz bezuslovne konvergencije red; zxn u normi- ranom prostoru X sledi konvergenci ja reda 2 Sx()lxnll).

Primenom te teoreme Kadec je izveo, i to u sluEaju p71, Orlic- zevu teoremu o besuslovno j konvergenci ji u [76].

Teorema Orlicza. Iz bezuslovne konvergencije reda >xn u pros-

toru LP , p 21, sledi konvergenci ja reda > l~x,\\~, r = max(2 ,p) . Mogu6nost primene Kadecove teoreme ograniEena je Einjenicom da

su ravnomerno konveksni Banachovi prostori refleksivni (V. D.Milj- man(7O'J). Osim toga, Orliczeva teorema vaii i kad je O<p<l, ata- da prostor LP, ako je beskonaEne dimenzije, nije ni lokalno kon- veksan. Te Einjenice su polazna taEka jednog dela ovog rada.

U prvoJ glavi se razmatraju numeriEke karakteristike (moduli c-konveksnosti) ravnomerne c-konveksnosti kompleksnog (kvazi)nor- miranog prostora i njihova primena. Pojam ravnomerne c-konveksno- sti uveo je J. Globevnik(271 pre osam godina. Ideja, mebutim, po- tiEe od E. Thorpa i B. Whitleya (102) , ko ji su 1967. uveli po jam stroge c-konveksnosti i ustanovili njegovu vezu sa principom stro- gog maksimuma modula vektorskih analitifkih funkcija.

Teorema Thorpa-Whitleya. Neka je X strogo c-konveksan Banachov prostor i D --eblast u kompleksnoj ravni. Ako analitiEka funkcija f :D--X zadovoljava uslov Ilf(b)ll = sup{llf(z)ll : z b ~ ) za neko zo ED,

i

onda je f6)= fb0) za svako z ED.

Definicija ravnomerne c-konveksnosti zadrfava smisao i u sluEa- ju kvazinormiranog prostora a moie se izraziti nejednakog6u -

A

sc(x;s):= inf sup I\x+hryll -1 > 0, €>O. llxll=11y1\=1 IXIS~

Glavni rezultat u prvoj glavi je teorema 5 (str. 15), koju formu- liKemo i na ovom mestu. 1

Teorema A. Iz bezuslovne konvergencije reda txn u kompleksnom A

kvazinormiranom prostoru X sledi konvergenci ja reda 2 SC(x; llxnll). Ova teorema je primpnljiva, za razliku od teoreme Kadeca, ne

1 samo na L nego i na jednu klasu prostora u kojoj je LP, p 41. U vedem delu prve glave razmatraju se normirani prostori (taE.

1-6). Osobine norme, naroEito fosmula IlxU = sup {1xW@1 : llx'll S 11, skraduju dokaze i obezbeduju dodatne informacije o modulima c-kon- veksnosti. Vekina rezultata iz taE. 2 predstavlja direktnu genera- lizaciju poznatih tvrdenja o modulu konveksnosti, 'ali su dokazi novi i manje zavise od nejednakosti trougla od postojekih. U taEki 3 daje se dokaz teoreme A pod pretpostavkom da je X normiran (teo- rema 1). Taj dokaz se malo razlikuje od Kadecovog i drugih dokaza teoreme Kadeca i u njemu se bitno koristi nejednakost trougla (le- ma 2). Osim toga, dokazuje se jedno proHirenje teoreme Gurarija i Markusa o strogo apsolutno konvergentnim redovima operatora (teo- rema 2). U ta~kama 4-6 razmatraju se neke druge primene. Daje se jedna kvantitativna verzija teoreme Thorpa-Whitleya i Schwarzove leme (teorema 4) i pokazuje kako se moie izvesti HinEinova nejed-

1 nakost u L (0,l) (primer 6.4). Na kraju se, u taEkarna 7 i8,daje dokaz teoreme A.

U dru~oj glavi su date taEne vrednosti modula c-konveksnosti Lebesgueovih prostora beskonaEne dimenzije. Thorp i Whitley [102J su dokazali da je strogo c-konveksan, Sto je pojaEao Globevnik

1 127')dokazavii da je L ravnomerno c-konveksan. Ramomerna c-kon- veksnost kvazinormiranih prostora do sada nije razmatrana. Ovde se

. . dokazuje da je L~ ravnomerno c-konveksan i kad je p<l.

Teorema B. Neka je O<p41 i dim(LP) = co. lada je

Osim toga, prostor L~ je "najravnomerni je" c-konveksan u klasi svih p-normiranih prostora koji su mu izomorfni. Preciznije, ako je X

- - - A A

iz te klase, onda je $(x;&) 5 Sc(~P;c) za svako EzO.

Mada se moie dati jedinstven dokaz jednakosti (+), koja vafi i

za pa 11, 21 (posledica 3), zasebno se tretiraju sluEajevi p = 1

(teorema 1) i p < l (teorema 5), jer je u prvom -- mogud - . . vrlo prost dokaz. Drugi deo teoreme B sledi iz jedne direktne generalizacije (propozicija 1, taE. 4) poznatog rezultata R. C. ~amesa D7: str. 971. (Napominjemo da je kvazinormirani prostor (X,llID p-normiran ako je

11x+y llP i\lxllP+ 11y11p, x,y 6 x. ) Osim teoreme B, n drugoj glavi se dokazuju neke generalizacije

(teoreme 3, 4) Hannerovih rezultata o uniformnoj konveksnosti pro- stora L', 1 cp<2 1321. Ide ja dokaza je ista kao kod Hannera (pri- mena Jensenove nejednakosti), ali je realizacija mnogo sloienija. Na kraju se daje nekoliko primera uz teoremu B. Jednim od njih se pokazuje da prostor BV[0,2%] (funkcija ograniEene varijacije) ima iste karakteristike kao ~ l , pri Eemu se koriste svo jstva harmonij- skih funkcija.

Tre6a glava je posvedena geometrijskim svojstvima Orliczevih prostora, snabdevenih Luxemburgovom (kvazi)normom, i nekih njiho- vih generalizacija. le prostore je 1932. uveo W. 0rlicz177, 781 i, po nekim mi51 jenjima (na primer, B. Turret [106]), oni su dug0 bili samo zanimljiva generalizacija Lebesgueovih prostora. Mebutim, u poslednje vreme porastao je interes za geometriju Orliczevih pro- stora, prvenstveno'zahvaljuju6i radovima J. Lindenstraussa i L. Tzafririja (videti 1573). Geometriju normiranih Orliczevih prosto- ra prouEava'lo je mnogo autora D, 28, 47, 63, 105 itdJ . U ovom ra- du se razmatra ravnomerna c-konveksnost i njena primena na kotip kvazinormiranih Orliczevih prostora. Rezultate is taEke 2 (teoreme 1 i 2) formuliHemo na ovom mestu u slededem obliku.

Teorema C. Neka je p bilo koji pozitivan broj i M -0rliczeva funkcija za koju je sup{~(2t)/M(t) : t 70) < oo (uslov A2). Vaie ova tvrbenja: '

(i) h.ostor LM je ravnomerno c-konveksan i $(L~;E)K L FM(E):=

inf{(~/$~~(vt)/~(t): ~ s v i l , t>~), O < E S ~ .

Ovde je K pozitivna konstanta koja ne zavisi od E,x, y. Ter- minom f'Orliczeva funkcija" oznaEena je funkcija M koja se moie na- pisati u obliku M(t) =p(tP) za neko p >O, gde je P Orliczeva u uo- biEajenom znaEenju (i nedegenerisana 157: str. 1371).

Drugi deo teorehe C moie se interpretirati u kontekstu nedavnih rezultata A. B. ~leksandrovan] i J. Peetrea [ll4]. Aleksandrov je

definisao lokalno holomorfne a Peetre lokalno (analitiEki) pseudo-

klase, koja sadrii lokalno konveksne prostore i neke od kvazinor- miranih (na primer, L~). Peetre je dokazao da j e jediniEna kugla prostora LM pseudokonveksna, gto se (po Aleksandrovu) moie izrazi-

Medutim, to je ekvivalentno tvrdenju da iz premise implikacije (n) sledi 1-llx\\ 20. Da bismo to tvrdenje uporedili sa teoremom C(n),

2 pretpostavimo da je funkcija M konkavna. Tada je PM(t)= & i zak-

1 juEak izgleda ovako: 1 - (lxll K 11,y112 . Dakle , teorema C(=) pokazu- je da je jediniEna kugla prostora LM"ravnomerno pseudokonveksnan, odnosno da je funkci ja 11.11~ "ravnomerno plurisubharmoni jskan . To se koristi u taEki 3 da bi se dokazala ravnomerna c-konveksnost pros- tora LM,N (koje je uveo A. C. Zaanen [l09]). Osim toga, teorema C(ii) moie posluiiti kao sredstvo da bi se progirili poznati rezultati o kotipu Orliczevih prostora. To je uEinjeno u taE. 4 (teorema 4).

Teorema D. Ako Orliczeva funkcija M zadovoljava uslov A2, onda je prostor LM (netrivijalnog) kotipa FM.

Pojam kotipa je u uskoj vezi sa skoro sigurnom konvergencijom sluEajnih redova[89, 1151. Naime, neka je (x,) niz u Banachovom prostoru X i neka 'je'x kotipa F. Ako red 2 Yn(t) xn, gde je vn(t) = sign ~in(2~l(t), konvergira za skoro sve te[O, 11, onda konvergira i red 1~(16~11). To sledi is teoreme J. -P. Kahanea [115: teorema 11.4 i definicije kotipa.

Ako je, za neko q < 1, funkcija ~ ( t ~ ) >konveksna, onda zakljuEak teoreme D sledi iz teoreme Maleeva-Trojanskog (taE. 2) i teoreme Figiela-~isiera[21] kojom se tvrdi da je normiran prostor X kotipa sX. Medutim, ako je q=l, teorema Figiela-Pisiera ne daje nikakve informacije jer prostor L mo'ie biti nerefleksivan. Neka slabija M tvrdenja (od teoreme D) o kotipu normiranih Orliczevih prostorado- bili su Z. G. Gorgadze i V. I. Tarieladzet281. Kotip u kvazinormira- nom sluEaju nije bio razmatran.

1 Dokaz teoreme D zasniva se na tome da je prostor LX (funkcijz integrabilnih po Bochneru) ravnomerno c-konveksan ako je X "ravno- merno pseudok0,nveksan" (propozicija 2). Strategija se sastoji u

1 tome da se oceni modul c-konveksnosti prostora LX pa da se primeni teorema A (odnosno propozicija 1.7, koja je, u suHtini,ekvivalent- teoremi A). Taj metod je primenljiv i na druge klase prostora. U taEki 6 je objasnjeno kako se moie modifikovati dokaz jedne teore- me T. Figiela da bi se dokazala teorema B. Maureya o kotipu Banac- hnne ~ . ~ Z o i - k ~ kni- ~ ~ , - l ~ ~ ~ l i ~ ~ - ~ l l ~ . . , ~ ~ n-bC+imn+o~~ .

Pelczynskog 157: teorema 2.a.11 o komplementiranim potprostorima

prostora tP. Medutim, primenom tog metoda tegko je ustanoviti -- - koje funkcije iz odgovaraju elementima kanonskog bazisa u tP. U radu 1663 takav problem je regen za jednu klasu prostora koja sadrii A ~ , l<pca,. Tamo je dokazano da je niz (w,) nzOl definisan preko pod-

-n niza W = 2 z (l-~~~)(l-z)-l, bezuslovni bazis u lip, l<p < a,. 2n

Pomo6u tog bazisa na prirodan naEin se definige izomorfizam izmedu gP i tP. U ovom radu se sistem (w,) koristi da bi se dokazala ova teorema (teorema 5):

Teorema F. Neka je lcpaqcm i neka je Q Orliczeva funkcija ta-

kva da ~(t)/t' raste i ~(t)/t~ opada na intervalu ]O,m[ . Tada je prostor A izomorfan prostoru L (N,P), pri Eemu je ~({n)) = (n+~)'~ Q Q (n = 0, 1, . . .). Vaii i vige: funkcija f@ =tF=o ;@wn($ pripada

prostoru A ako i samo ako je ( n + l ) - 2 ~ ~ ? ~ ~ < m. Q Izomorfnost prostora A i L9(B,p) ne moie se dokazati metodom Q

Lindenstraussa i Pelczynskog osim, moida, ako je Q minimalna Orli- czeva funkcija 07: problem 4.b.81. Ovde se postupa sliEno kao u

1663, ali je prelaz od dekompozicione teoreme (teorema 4) do teo- reme F komplikovaniji (videti primedbe na str. 55). S obzirom da

1 1 su A i medusobno izomorfni, prirodno je oEekivati da prvi deo teoreme F vaii i u sluzaju p = 1 (moida i za pcl). Medutim, to se pomo6u niza (Wn) ne moie dokazati.

Neki problemi. Jedno od najvainijih svo jstava funkci je . sX sa- 2 driano je u nejednakosti s,(e€) S K b,(F,)0 , 0 < 0 < 1, OCE < 2, ko-

ja vaii ako je dim(X)k 2 158s propozicija l.e.61. Bilo bi od inte- resa ispitati da li to avojstvo poseduje i funkcija

gde je S(x,y)= sup{llx+~yJl: lhlsl] i OgES1.

Problem 1. Neka je X (kvazi)normiran prostor beskonazne dimen- zije. PostoJi li pozitivan broj K takav da je

Ako bi odgovor bio pozitivan, lako bi se dokazalo ha se teoreme C i D ne mogu poboljLati (asimptotski) u.sluEaju ItM =LM(Olm). (Vi-

deti propoziciju 111.3, str. 37.) Cini se da centralno mesto u vezi sa ravnomernom c-konveksno56u

Problem 2. Da li je X kotipa \(x; .) ako je dim(X) = m ?

U sluEaju pozitivnog odgovora dobilo bi seaopstenje-i pobolj- ganje teoreme Figiela-Pisiera. Tako bi teorema D sledila iz teore- me C(2. Navedeni problem tesno je povezan sa sledebim.

Problem 3. Pod kojim je uslovima \(~;L)zK~(x;E) ?

1 Ovde LX oznaEava prostor integrabilnih (po Bochneru) funkcija

f : [o, 11 - K sa kvazinormom !If I\ = \k(t)ll dt . h l o je verovatno da ne jednakost s,(+;L) 2 K {(x;E) vaSi ako je X normiran prostor bes- konaEne dimenzije.

Regenje navedenih problema upotpunilo bi sliku odnosa izmedu ravnomerne konveksnosti i ravnomerne c-konveksnosti. Taj odnos, ka- ko se vidi iz rezultata ovog rada, pods.eda na odnos izmedu konvek- snosti i pseudokonveksnosti (u teoriji analitiEkih funkcija). Kao 9to pokazuje teorema B, ravnomerna c-konveksnost nije striktno ve- zana za normirane prostore. Kod nekih klasiEnih prostora situacija je verovatno sliEna kao kod Lebesgueovih. Na primer, sude6i po re- zultatima N. Tomczak-Jaegerman[103], moie se oEekivati da je S

P (prostor tragova) ravnomerno c-konveksan ako je O<p<l, kao i da

2 je %(sp;€) 1 K E , .. P

Nekoliko napomena o principu maksimuma modula. Interesantno je da pojam siroge konveksnosti, mada je mnogo stariji od pojma stro- ge c-konveksnosti, nije dovoden u vezu sa principom maksimuma mo- dula. Gledajudi teoremu Thorpa-Whitleya, nije tegko pretpostaviti da bi stroga konveksnost mogla biti poveeana sa harmonijskim funk- cijama. Vaii avo tvrdenje:

(9 Neka je X strogo konveksan Banachov prostor, D - oblast u 1Iln i f: D+X harmonijska funkcija. Ako je Ilf(t,)ll= sup{)lf(t)ll : t 6 ~ )

za neko ieD, onda je f(t)=f(to) za svako tGD.

Kao gto je poznato, bez pretpostavke o strogoj konveksnosti mo-

ie se jedino zakl juEiti da je (If = llf(g)l] . . Pvrdenje (7 je, u iz- vesnom smislu, karakteristiEno. Naime, ako X nije strogo konveksan, onda postoje x, yeX takvi da je Uxll=l, sf0 i Ilx+ tyU S 1 za sve t E 1-1, 13. Tada harmonijska funkcija f(t):=x+ ty, te]-1,1[, nije konstantna iako je Ilf (0)l) = sup I\f .

U sluEaju n = 2 tvrdenje (3 se moie precizirati na slededi na- Ein. .

Teorema G. Neka je X realan Banachov prostor. Ako harmonijska funkcija f :D*X zadovoljava uslov sup{uf@)s)\l: zan)) S 1, tada je

. -. . - Ova teorema se izvodi na sliEan naEin kao teorema I.%-% tim

Bto se umesto leme 1.5 primenjuje slede6a.

Lema. Za harmoni jsku funkciju h: D *[-I, 11 vaii ne jednakost - (l-lzll 1 h@ - h(0)I 5 I 1 - I GlD.

Dokaz. Stavimo u@ - h@) -1 ako je h@)kO a u@ = -h@-1 ako je

h(O) < 0. U oba sluEaja je u@ S 0 za zeD. Neka je p>O i neka je

g analitiEka funkcija za koju je Ig(3l=e zcD. Kako je lgb)/Sl,

to je, po lemi 1.5,

(1-lzl) 1Iidz)l -lg(O)Il s (1-121) - g(9i s 181 (1-lg@)12)-

Odavde sledi nejednakost

e p min (~(4 * U@))~JU(~ - u(o)~ < fi (1- e 2~ u@)) Dele6i ovu nejednakost sa p i dopisujudi lim , dolazimo do tra- ienog rezultata. I P+O

Teorema G vaii i pod pretpostavkom da je X kompleksan, jer se svaki kompleksan prostor moie tretirati i kao realan a da se to ne odrazi na definiciju harmonijske funkcije.(~apominjemo da je funk- cija f: D+X harmonijska ako je, za svako x'EX', skalarna funkci- ja x'f haqmonijska.) SluEaj kompleksnog prostora interesantan je zato Hto se tada pretpostavka teoreme G moie pojaEati tako dafunk- cija f bude analiti6ka. Dobi6e se bolja nejednakost (teorema 1.4)

(1-1z1) Uf O - f (0)1l S 2121 [l- $(x; IV(QII)] , z em. Iz ove nejednakosti sledi teorema Thorpa-Whitleya a iz teoreme G - tvrdenje (7 u sluEaju n=2. Bilo bi interesantno ispitati Hta 6e biti sa teoremom G ako se umesto diska ID uzme jediniEna kugla u prostoru X i 3 .

U ovom radu se ne razmatra stroga c-konveksnost kvazinormiranih prostora. Najprirodniji pristup iHao bi preko principa maksimuma modula, ali je neizvesno da li bi ravnomerna c-konveksnost impli- cirala strogu c-konveksnost. Ipak, neki klasiEni prostori (Lebes- gueovi, Lorentzovi(21, Orliczevi itd.) bili bi strogo c-konveksni i u tom smislu. Vaii, na primer, slede6e tvrdenje.

(3 Neka je (fn) nrl niz kompleksnih funkci ja ko je su holomorf ne u D ineprekidnen n. Ako je, zaneko p~'jO,ooL, '

onda ista nejednakost vaii za svako zdD. Ako je, pored toga,

ZCO \fn(dP = 1 za neko BED, onda su sve funkcije fn konstant- n= 1 ne. (Povodom sluEaja p = 1 videti primer 11.5.1, str. 26.)

Analogno tvrdenje o harmonijskim funkcijama vaii samo kad j e . p>l. I jedno i drugo tvrdenje posledica su stroge konveksnosti prostora. lP , p > 1, i principa maksimuma subharmoni jskih funkci ja.

Pomo6u tvrdenda (3 teorema Thorpa-Whitleya sq mofe preneti na prostore tP.

(1) Neka je D oblast u C i X= lP, O<p<ao. Ako analitiEka funkcija f: D+X nije konstantna, onda je Ilf bo)ll < Sup llf @I\ za svako Zb€D.

zcD Ovde se uzima da je f analitiEka ako se u okolini svake taEke

moie predstaviti kao suma ravnomerno konvergentnog stepenog reda. U vezi s tim napominjemo da se ekvivalentnost razliEitih definici- ja skalarnih analitiEkih funkcida gubi ako se tretiraju funkcije '

sa vrednostima u kvazinormiranom prostoru El].