transformasi laplace & penggunaan

7/23/2019 Transformasi Laplace & Penggunaan

1/9

T&EN$FOruESN

MPMCIE

D&N

Pffi@GUNEEN

Transforma

si

Laplace

men

.

u.lyk

,";#';:;J,frkan

klas

dari

transformasi

integrat

yang

dimanfaatkan

:

aljabar.

' --

'uK

persamaan

diferensial

biasa

menjadi

u.ro*-

ffiurnu,,

untuk

merubah

persamaan

diferensial

parsial

menjadi

persamaan

diferensial

biasa.

1.

Definisi

Milut

tirngri

flr)

terdefini

.

unitaterat

I

iar;

iii;

;ffi;1::l"yY

t

>0

Maka

ransrom

L((t))

=

j

e-'r

f(t)

dt..........

n

sebagai:

-*'-'-'-rasi Laplace

(satu

sisi

atau

o

........(1.1)

Inregral

(l.l)

merupakan

I

orgunakan

adatah

Fisr

=

,*ig:1,,0'jtry

pafaneter

s.

m?

rransrormasi

iru"rs-,

-

(rrt)).

seaar.r-

;;d.

;.,#i,,l"fr'i.Jrilolfi,itnoolr;

(t):

z-,(FG)).

Agar

rransformasi

Laplace

F/

*iaa",

ai".iriifi:fff'"'}|iffiia

integral

tak

waiar

(

r.

r)

haruslah

konvergen

daa

J,'l*'"={iryi

e"'(r(t)dt

""""'

..........(12)

BrIa

^kita

coba

untuk

beber

transformasi

r.pr*"

*,*

,iiiY,

IfB

bit-s*

bulat

n.

secara

indukrif

didaparkan

FG)=

+

C,o)...................

s

'

............(1.3)

Maka

didapatkan

transformasi

,r".r..

;

[ )=

f,

contoh:

(s/

(rt-l)l

Tentukan

transformasi

Laplace

dari

f(f

=

",t

.

Dengan

menggunakan

definisi

(I.l)

didapatkan,

i(t].

ti+/

ecs+a)'idt=

;|n-"'".''/

;

D1b*t,t

t

t

.+)

didapatkan

transformasi

invers,

z

I

_

l=e,r

\

s-

a,/

5-,

(s

>

a)

....i1.4;


2/9

Beberapa

sifat

:

Sifat

keberadaan

transformasi,

sifat

ketunggalan

dan

sifat

linear

dari

transfomasi

Laplace namun

sebelumrya,

perhatil"U"u.rrp"'i3n#.iiL

.:,t.

Fun-ssi

f(t)

drsebur

kontinu

bagian

demi

bdd;il;'i;;;r

[a,b]

bita

:

i.

Inrervat

[a,bl

dapat

dibagi

menjadi

.rb;;il;;;i'y;ng

berhingga

banyaknya

yang

,, lenyefa \an

f(t)

kontinu

pada

sub-sub

inre;"i;.;.il;;'

r.

Lrmrr

dan

t(r)

pada

sedap

ujung

sub

interval

bernilai

hingga.

Fungsi

f(t)

disebut

terbatas

elspone_nsial

pada

intewal

[a,b]

bila

terdapat

bilangan

real

M dan

r

sehingga

berlaku

I

f(1)l

0.

Sedang

dengan

menggunakan

transformasi

invers

didapatkan

:

--ri

-a'l.s)

I ;

L

l:l=

|

f(x)dx............

"\s/

C'-'

"".....(1.t6)

Contoh :

Tentukan

invers

dari

:

G(s):

j-

g2

+2s

Jawab

:

Menggunakan

sifat (

I

.

I

1

),

c(s)

dapat

dituliskan

sebagai

:

G(s;

:

4

s)

6"rr*

o'

F(s)

=;J

Invers

dari

F(s)

adalah

(r)

--

4e2'.

Oleh

karena

itu, invers

dari

G(s)

adalah

g():J

4er-dx =

2(e2t

-

l)

0

Berikut

diberikan

tabel

pasangan

transformasi

Laplace

untuk

beberapa

fungsi

yang

bisa

diselesaikan

menggunakan

mltode

yang

dibe.ituri."tet

_rryu.

Tabel

1.1

Transformasi

Laplace

f(t)

F(s):

L((t))

Domain

dari

F(s)

T'(ne

J-)

nt

.,+l

s

s>0

eut

I

s-a

S>a

Sin

bt

b

;;t

s>0

Cos

bt

s

7;i

s>0

Sinh

bt

b

Ti

sr

l4

:


5/9

4.

Pergeseran

Terhadap

Sumbu

S

Misal

fungsi

f1t)

memounyai

rransformasi

Laplace.

F(s)

= L

((r)).

Maka grafik

hasil

transformasi

Laplace

dari

g(il

= e"

rtit,

d.,rc#%;;

gratik

hasil

kansformasi

lf"lll,g,fllf II:l

seg,rry

a

saruaa

kea"rah

r-ii

irir"

D0)

atau

kea

rah

kiri

bila

a


6/9

5.

Pergeseran

terhadap

sumbu

t

Misal

F(s)

:

L((0)

ada dan

didefinisikan tungsi

tangga g (t)

:

{0r(,_,,

.::

dengan

a>0.

Untuk

mencari

transfonnasi

laplace

dari

firngsi

tangga

g(t)

yang

terdefinisi

untuk

t>0

dapat

disetesaikan

d"rgu,

...p".f"nri"i[,

ffigri

rangga

satuan

Fungsi

tangga

satuan

atau

fungsi

Heaviside

didefinisikan

sebagai

berikut

Dengan

a

>

0

Garafik

fungsi

tangga

satuan

(1,19)

ditunjukan

pada

gambar

1

.2

berikut

L(g(T)

:

L

(f(t-a)u(t-a)

I

-,-

=

Je

-

r(r_

du(t_a)dt

0

=

J"

"

t(y_

a'tu(y_

a)dy

0

=

Je

"'

t(y-

a)jdy+

0

Ie-"'

f(y-

a)dy

:

te-"'

f(y-

a)dy

:

le-"tA*rt

qr,,6,

I

_

"-"s

J

e-.,

1(r)

0

:

e-".

F

(s)

Sehingga

diperoleh

transformasi

laplace

untuk

g(t)

:

(t

_

a)

u

(

t

_

a)


7/9

L(g(t))

=

L(f(t

-

a)u(t

-

a))

=

s-as

pir;

Sedqngkan

transformasi

invers

L-,

G*'FG))

:

f(t

-

a)u(t

-

a)

:

e(t)

Misal

f(t

-

a)

:

1

maka

f(t)

:

1

fungsi

tangga

satuan

r[u(t

-

a)]:

e-"'

s

Dan

Transformasi

Invers

:

("-"

)

-

i I

-

I-

t-'(

"

,/-u(t-at

dan

F(s)

:

j

,

maka

didanatkan

transformasi

Laplace

dari

Contoh

:

I:-r.T1p""".-asi

Laplace

dari

tunssi gft)

=

t

u(t

_

2)

renyelesaran

:

Bila

kita padankan

dengan pasangan

transformasi

Laplace,

g(t)

= f(t

_

a)u(t

_

a)

++G(s)

=,.'^

tG).

maka

dimisalkan

f

(

t-)):

t.

oren

tarena'in,

ii,i=i

_

z

dan

F(s)

:

,

+:.Jadi

Transformasi

Laplace

dari

fungsi g(r)

adalah

G(s) =

e-2u.

F(s)

_

"*,

jr._:

Contoh

:

Tentukan

Iavers

dati

transformasi,

G(s)

=

e-11\

s'+4

Penyelesaian

:

Misal:Fis-1=

'1-

s'+4

Maka

invers

dari

F(s)

adalah

f( t)

=

*rirZt

Dengan

menggunakan

bentuk

1.21

maka didapatkan

invers dari G(s),

g(t):

sh2(t-

r)u(

-

n)


8/9

U

NIVERSITAS BHAYANGKARA

SURABAYA

Jl. A. Yani

114

Surabaya

Telp.

8285602

e&.1'tu1

/_?

tco)

=

-

s

Yco)

-Y'(o

o-l

?xi

.

l'a""t

-

s

Yco)

-Y'Co)

-

+

$

(s

-7)(l

tt)

f

C

Ct

-ct

AC9-9)(s

+t

"--et\

-2

D=-E

J>q-4

1=1,4-JAz


9/9

transformasi laplace & penggunaan

Documents