bab 6 transformasi laplace(1)

7/22/2019 Bab 6 Transformasi Laplace(1)

1/45

BAB VI

TRANSFORMASI LAPLACE

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat

memahami cara menentukan transformasi Laplace dan transformasi Laplace

invers suatu fungsi serta mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian

persamaan diferensial tingkat tinggi.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan

menggunakan metode langsung (integral tak wajar)

2. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan

menggunakan metode deret.

3. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan

menggunakan metode pecahan parsial.

4. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan

menggunakan rumus penguraian Heaviside.

5. Menentukan selesian persamaan diferensial tingkat tinggi dengan

menggunakan aplikasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace invres.

Bab III dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum

persamaan diferensial linear, (2) cara menentukan selesaian persamaan diferensial

linear yang meliputi: cara faktor integral, metode Lagrange, mengubah persamaan

diferensial linear menjadi persamaan diferensial eksak, dan persamaan Bernoulli.

6.1 Transformasi Laplace

Definisi

Misalkan )(tF suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)

dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:

Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 151


2/45

==`

0

)()()}({ sfdttFetFL st

Karena )}({ tFL adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( )maka

==`

0

)()()}({ sfdttFetFLst

=p

st

pdttFeLim

0

)(

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk

beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.

Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t),

G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf

kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} =

y(s) dan seterusnya.

Teorema

Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap

interval 0 t N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi

Laplace f(s) ada untuk setiap s >

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa

fungsi sederhana.

No. )(tF )}({ tFL

1. 10,

1>s

s

2. t0,

12

>ss

3. t 20,

23

>ss

4. t n

n = 0,1,2,3,.

0,!

1>

+s

s

nn

5.

ate 0,

1>

s

as



3/45

6. atsin0,

22>

+s

as

a

7. atcos0,

22>

+s

as

s

8. atsinhas

as

a >

,22

9. atcoshas

as

s >

,22

10. attcos222

2

)( as

as

+

11.

a

att

2

sin222 )( as

s

+

Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh

transformasi Laplace suatu fungsi.

Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:

1. 1)( =tF

==`

0

)(1)}({ sfetFLst

=

p

st

p dteLim 0

p

st

pes 0

1lim

=

+= 0

11lim

sesep

s

10 +=

s

1

=

)(sf=

2. ttF =)(

=`

0

)}({ dttetFL st



4/45

( )stp

pedst

=0

1.lim

dtetes

p

stst

p

= 0lim1

p

o

stst

pes

tes

+=

1lim

1

p

spsp

pes

ees

pes 0

00 101

lim1

+

+=

( )

++=

ss

1000

1

=

ss101

21

s=

3. atetF =)(

=`

0

)}({ dtetetFLatst

dtep

tas

p

=

0

)(lim

[ ]ptaspe

as0

)(lim1

=

= 0)()(11

lim)(

1asasp seas

as

=1

4. attF sin)( =

dtetFL st

=0

atsin)}({

= p

st

patd

aeLim

0

)(cos1



5/45

p

stst

p

eatda

eata

Lim

00

)(cos1

.cos1

+=

p

p

stst

p dteata

s

eataLim0

.cos.cos

1

+=

p

stst

patd

ae

a

seat

aLim

00

)(sin1..cos

1

=

pp

ststst

pedatate

a

seat

aLim

00

2)(.sinsin(.cos

1

=

pp

ststst

pseatate

a

seat

aLim

00

2).sinsin(.cos

1

=

pp

ststst

pseat

a

sate

a

seat

aLim

00

2

2

2).sinsin.cos

1

=

p

stst

peat

a

seat

asa

aLim

0222

2

.sin.cos1

+=

+=

stst ea

ats

ea

at

sa

a

.

sin.

.

cos222

2

( )

+= 0

10022

2

asa

a

+=

asa

a 122

2

22 sa

a

+=

5. attF cos)( =

dtetFL st =0

atcos)}({

=p

st

patd

aeLim

0

)(sin1

p

stst

peatd

aeat

aLim

00

)(sin1

.sin1

=



6/45

p

p

stst

pdteat

a

seat

aLim

0

.sin.sin1

+=

p

stst

p atdaea

s

eataLim00

)cos(

1

..sin

1

+=

pp

ststst

pedatate

a

seat

aLim

00

2)(.cos)cos((.sin

1

+=

pp

ststst

pdtseatate

a

seat

aLim

00

2).cos)cos(.sin

1

+=

pp

ststst

peat

a

sate

a

seat

aLim

00

2

2

2).cos)cos(.sin

1

=

p

stst

peat

a

seat

aas

aLim

0222

2

.cos.sin1

+

=

+=

stst ea

ats

ea

at

as

a

.

cos.

.

sin222

2

( )

+=

222

2

000a

s

as

a

+= 2222

as

asa

22 as

a

+=

Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada

Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang

berhingga 0 Nt dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi

Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .

Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup

untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi

Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.

6.2 Metode Transformasi Laplace



7/45

Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang

digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:

a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.

Metode ini berkaitan langsung dengan definisi

=0

)()}({ dttFetFL st

=p

st

pdttFeLim

0

)(

Contoh

=0

)()}({ dttFetFL st

=p

st

ptdte

0

lim

)(1

.lim

0

st

p

ped

st

=

dtetes

p

stst

p

=

0

lim1

p

stst

pes

tes 0

1lim

1

+=

=ss

10

1

2

1

s= )(sf=

b. Metode Deret

Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh

...)( 332

210 ++++= tatataatF



8/45

n

n

nta

=

=0

Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan

transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:

...}{}{}{}{)}({ 332

210 ++++= taLtaLtaLaLtFL

...!2

3

2

2

1 +++=s

a

s

a

s

ao

++

=0

1

!

nn

n

s

an, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s >

c. Metode Persamaan differensial

Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh

F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.

d. Menurunkan terhadap parameter

e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang

ada.

f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.

6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut

antara lain:

a) Sifat linear

Jika c1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan )(1 tF dan )(2 tF

adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-

masing )(1 sf dan )(2 sf , maka:

)()()}()({2112211sfcsfctFctFcL +=+

Bukti:

+=+0

2211221 )}()({)}()({ dttFctFcetFctFcLst



9/45

+=0

21

0

11 )()( dttFcedttFcestst

+=

0

2

0

211 )()( dttFecdttFecst

p

st

)()( 2211 sfcsfc +=

1. }3{}5{}35{}35{ LtLatLtL ==

}1{3}{5 LtL =

ss

13

15

2=

ss35

2 =

2. }2cos5{}2sin6{}2cos52sin6{ tLtLttL =

}2{cos5}2{sin6 tLtL =

45

4

26

22 +

+=

s

s

s

4

512

2 +

= ss

3. }12{})1{( 2422 ++=+ ttLtL

}1{}2{}{ 24 LtLtL ++=

}1{}{2}{ 24 LtLtL ++=

sss

1!22

!41214

+

+= ++

sss

142435

++=

4. }2cos24sin364{ 25 ttteL t ++

}2cos2{}4sin3{}6{}4{ 25 tLtLtLeL t ++=

{ } { } { } { }tLtLtLeL t 2cos24sin364 25 ++=



10/45

42

4

43

26

5

14

223 ++

++

=

s

s

sss

4

2

16

1212

5

4223

+

+

+

+

=s

s

sss

Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungs berikut.

1.tettF

+= 22)( t

2. tttF 2cos2sin6)( =

3. 2)cos(sin)( tttF =

4. tttF sinh2

13cosh)( =

5. 22)( += ttF 3

6. 2)3(sin)( = ttF

b) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika )()}({)()}({ 2 asftFeLmakasftFL t ==

Bukti

Karena

==`

0

)()()}({ sfdttFetFL st , maka

=`

0

)()}({ dttFeetFeL atstat

=0

)( )( dttFe tas

)( asf =

Contoh:

1. Tentukan )()}({)}({ 3 sftFLjikatFeL t =

Menurut sifat 2 di atas, )()}({ asftFeL at =

Maka ( ))3()}({ 3 = sftFeL t

)3( += sf

2. Tentukan

=a

sftFLjikatFeL t )}({)},({ 2



11/45

Menurut sifat 2 di atas, )()}({ asftFeL at =

Karena

=

=

a

sftFeLmaka

a

sftFL t

2)}({,)}({ 2

=

aa

sf

2

3. Tentukan4

}2{cos)}({2 +

=s

stLjikatFeL t

Karena4

}2{cos2 +

=s

stL maka menurut sifat translasi pertama

)1()}({ += sftFeL t

4)1(

1

)}({ 2 +++

=

s

s

tFeLt

52

12 ++

+=ss

s

4. Tentukan )}6sin56cos3({2

tteLt

Me6nurut sifat linear,

)}6sin5({)}6cos3({)}6sin56cos3({222 teLteLtteL ttt =

}6sin{5}6cos{3 22 teLtL tt = }

Karena36

6}6{sin

36}6{cos

22 +=

+=

stLdan

s

stL

maka menurut sifat translasi

)2(3}6cos{32 += sftL t

36)2(

)2(3

2 +++=

s

s,

dan

2(

65}6sin{5 2

+=

stL t

sehingga



12/45

L{e36)2(

65

36)2(

)2(3)}6sin56cos3({

22

2

++

+++=

ss

stteL t

404

2432 ++

= ss

s

Soal

Tentukan transformasi Laplace fungsi

1) tetF t 2sin)( =

2) 3)1()( ttetF+=

3) )2cosh52sinh3()( tttF t =

4) tettF 2)2()( +=

5) ( )ttetF t 3cosh2sinh)( 2 +=

6) )21()( tetF t +=

c. Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika )()}({ sftFL = dan

=

atuntuk

atuntukatFtG

,0

),()(

maka

)()}({ sfetGL as=

Bukti

dttGetGL st

=0

)()}({(

+=

a

a

stst

dttGedttGe0

)()(

+=a

a

stst dtatFedte0

)()0(

=a

st dtatFe )(

Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga



13/45

+

=0

)( )()( duuFedtatFe aus

a

st

=

0

)( duuFee suas

)(sfeas=

Contoh

Carilah )}({ tFL jika

=

3

2,0

3

2),

3

2cos(

)(

t

tt

tF

Menurut definisi transformasi Laplace

=0

)()}({ dttFetFL st

dttedtestst

)3/2cos()0(3/2

3/2

0

+=

+

= 0)3/2(

cosudueus

udueesuscos

0

3/2

=

1

2

3/2

+=

s

ses

d. Sifat pengubahan skala

Jika )()}({ sftFL = maka

=a

sfa

atFL1

)}({

Bukti

Karena

dttFetFL st

=0

)()}({



14/45

maka

dtatFeatFL st

=0

)()}({

Misaladudtsehinggaadtdumakaatu ===

Menurut definisi

=0

)()({ dtatFeatFL st

=0

)(a

duuFe a

su

= duuFea

ua

s

)(1

=a

sfa

1

Contoh:

1. Jika )(

)2(

6)}({

3sf

s

tFL =

+

=

maka )3

(3

1)}3({

sftFL =

3

23

3

6

+

=s

3)6(

9.6

+=s

Soal:

1. Hitunglah )}({ tFL jika

=

10,0

1,)1()(

2

t

tttF

2. Jika)1()12(

1)}({

2

2

++

=ss

sstFL , carilah )}2({ tFL



15/45

3. Jika ,)}({/1

s

etFL

s

= carilah )}3({ tFeL t

Jawab

Karena ),()}({/1

sfs

etFL

s

==

maka menurut sifat 4 diperoleh

=33

1)}3({

sftFL

Sehingga

3

3

1)}3({

3

s

etFL

s

=

ses

31

=

)(sf=

Berdasarkan sifat Jika )()}({ sftFL =

maka )()}({ asftFeL at = (sifat 2)

Maka )1()}3({ += sftFeL t

)1(3

)1(

1 +

+= Ses

e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan

Jika )()}({ sftFL = maka )0()()}('{ FssftFL =

Karena Karena )()()}({0

sfdttFetFL st ==

, maka

dttFetFL st

=0

)(')}('{

=0

)(tdFe st

p

stst edtFtFe

00

)()()(

=

+=0

)()0( dttFesF st

)0()( Fssf =



16/45

Jika )0()()}('{ FssftFL = maka )(')0()()}(''{ 2 sFsFsfstFL =

Bukti

=0

)(")}(''{ dttFetFLst

=0

))('( tFde st

=

0

)()(')('stst

edtFtFe

+=

0

)(')(' dtetFstFestst

( )))0()(()(' FssfstFe st += )0(')0()(2 FsFsfs =

Dengan cara yang sama diperoleh

dttFetFL st )(''')}('''{0

=

=0

))(''( tFde st

=

0

)()('')('' stst edtFtFe

+=

0

)('')('' dttFestFestst

+=

0

)()(')(')(''ststst

edtFtFestFe

)0('')0(')0()( 23 FsFFssfs =

Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa,

jika

)()}({ sftFL =

maka



17/45

)0()0(...)0(')0()()}({)1()2(21)( = nnnnn FsFFsFsssftFL

Contoh soal

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan,

tunjukkan bahwa

)(}{sin22

sfas

aatL =

+=

Misal attF sin)( = diperoleh atatFatatF sin)('',cos)(' 2==

sehingga )(''{1

}{sin2

tFLa

atL =

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan

diperoleh

( ) fFsFssfa

atL )0(')0()(1

}{sin2

=

+= as

as

as

a)0(

122

2

2

+= aasas

a 22

2

2

1

+

=

22

322

2

1

as

aasas

a

22 as

a

+=

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral

Jika )()}({ sftFL = makas

sfduuFL

t )()(

0

=

Bukti:

Misal =t

duuFtG0

)()( maka 0)0()()(' == GdantFtG

Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:



18/45

)}({)}('{ tFLtGL =

)(}0{)}({ sfGtGsL =

)()}({ sftGsL =

s

sftGL

)()}({ =

Jadi diperolehs

sfduuFL

t)(

)(0

=

Contoh

1. Carilah

t

duu

uL

0

sin

Misalt

ttF

sin)( =

Makas

tFL1

arctan)}({ =

Sehingga menurut sifat transformasi di atas

sss

sfdu

u

uL

t1

arctan1)(sin

0

==

2. Buktikanss

duuuL

t 1arctan1sin

0

=

Bukti:

Misal 0)0(sin

)(0

== Fmakaduuu

tF

t

t

ttF

sin)(' = dan tttF sin)(' =

Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian

1

1}{sin)}('{

2 +==s

tLttFL

1

1)(

2 +=s

ssfds

d

dss

ssf += 11

)(2



19/45

Csssf += arctan)(

Menurut teorema harga awal, 0)0()(lim)(0

===

FtFssfLimts

Sehingga diperoleh 2

=c .

Jadiss

ssf1

arctan1

)( =

3. Buktikan( )s

sdu

u

uL

t2

1lncos 2 +=

Bukti:

Misal duu

utF

t

= cos)( makat

ttF

cos)(' = atau ttFt cos)}('{ =

}cos{)}('{ tLttFL =

( ) ( )1

)(1

)0()(122 +

=

+=

s

sssf

ds

datau

s

sFssf

ds

d

+= dsss

ssf 1)( 2

( ) cs ++= 1ln2

1 2

Menurut teorema harga akhir,,0)(lim)(lim

00==

tFssf

ts sehingga c = 0.

Jadi ( ) 01ln2

1)( 2 ++= sssf atau

s

ssf

2

)1ln()(

2 +=

g. Perkalian dengan t n

Jika )()}({ sftFL = maka )()1()()1()({ )( sfsfds

dtFtL n

n

nnn ==

Bukti.



20/45

Karena dttFesfst

=

0

)()( maka menurut aturan Leibnitz untuk

menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:

==

0

)()(' dttFeds

dsf

ds

df st

dttFes

st)(

0

=

=0

)( dttFte st

=0

)}({ dtttFe st

)}({ ttFL=

Jadi )(')}({ sfds

dfttFL ==

Contoh

1. Tentukan }sin{ attL

Jawab

22}{sin

as

aatL

+

= , maka menurut sifat perkalian dari pangkat t n

diperoleh

( )n

nn

ds

sfdttFL

)(1)}({ = , sehingga

+=

22)1(}sin{

as

a

ds

dattL

222 )(

2

as

as

+=

2. Tentukan }cos{ 2 attL

Menurut sifat di atas,

+=

222

222 )1(}cos{

as

s

ds

dattL

+=

222

22

)( as

sa

ds

d



21/45


22/45

g. tttF 2sin)( =

2) Jika

>

=1,

10,2)(

tt

tttF

a. carilah )}({ tFL

b. carilah )}('{ tFL

c. apakah )0()()}('{ FssftFL = berlaku untuk kasus ini

4) Tunjukkan bahwa

=0

3

50

3sin tdtte t

5) Tunjukkan bahwa

}{1

)( 2

0

2 t

t

u ettLs

dueuuL +=

+=

6) Perlihatkan bahwa

a.asbs

teeLbtat

++=

ln

b. 22

22

ln2

1coscos

as

bs

t

btatL

++

=

=

7) Tunjukkan bahwa:

a.ss

duu

uL

u 11ln

111

0

+=

=

b. Jika )()}({ sftFL = maka 20 0

1)()(

1

ssfduuFdtL

t t

=

6.4 Transformasi Laplace Invers

Definisi



23/45

Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika

)()}({ sftFL = maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s).

Secara simbolis ditulis )}({)( 1 sfLtF = . 1L disebut operator transformasi

Laplace invers.

Contoh.

1. Karenate

sL 2

2

1=

maka { }

2

121

=s

eL t

2. Karena ets

sL 3cos

32=

+maka { }

33cos

2

1

+=s

stL

3. Karena

a

at

as

Lsinh1

22=

maka 22

1 1sinh

asa

atL

=

Ketunggalan Transformasi Laplace Invers

Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)}

Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi

Laplace yang sama.

Contoh

tetF

3

1 )(= dan

==

1

10)(

32 tuntuke

tuntuktF

t

Mengakibatkan3

1)}({)}({

2

1

1

1

+== s

tFLtFL

Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace

invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan

fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah

tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.

Teorema Lerch

Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagian-

sebagaian dalam setiap selang berhingga 0 Nt dan eksponensial berorde

untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu { } )()(1 tFsfL = ,



24/45

adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap

ketunggalan di atas.

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers

beberapa fungsi sederhana dibawah ini.

Nomor f(s) )()}({1 tFxfL =

1.

s

1 1

2.2

1

s

t

3.,...3,2,1,0,

11

=+n

sn

!n

tn

4.

as 1

at

e

5.22

1

as +a

atsin

6.22 as

s

+atcos

7.22

1

as aatsinh

8.22 as

s

atcosh

9.222

22

)( as

as

+ attcos

6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers

Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah:

1) Sifat Linear

Misal 1c dan 2c adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan )(1 sf dan

)(2 sf berturut-turut adalah transformasi Laplace dari )(1 tF dan )(2 tF ,

maka:

)}({)}({)}()({ 221

111

22111 tFcLtFcLtFctFcL +=+

)}({)}({ 221

11

1tFcLtFcL

+=



25/45

)}({)}({ 21

21

1

1 tFLctFLc +=

)()( 2211 sfcsfc +=

Contoh

+

+=

+

9

12

9

3

9

1232

1

2

1

2

1

sL

s

sL

s

sL

+

+=

9

112

93

2

1

2

1

sL

s

sL

3

3sin123cos3t

t=

2) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika )()}({1 tFsfL = maka )()}({1 tFeasfL at=

Contoh

t

t

sL

3sinh

9

12

1 =

maka

3

3sinh

9)2(

1

132(

1 22

1

2

1 tes

Lss

L t=

+=

+

3) Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika )()}({1 tFsfL = maka

=

atuntuk

atuntukatFsfeL

as

,0

),()}({

1

Contoh

tsL sin1

12

1

=

+

maka



26/45

=

3,0

3),

3sin(

92

31

tuntuk

tuntukt

s

eL

s

4) Sifat pengubahan skala

Jika )()}({1 tFsfL = maka

=k

tFk

ksfL1

)}({1

Contoh

Karena ts

sL cos

121 =

+

maka diperoleh

=

+

3cos

3

1

1)3(

32

1 t

s

sL

5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan

Jika )()}({1 tFsfL = maka )()1()()}({ 1)(1 tFtsfds

dLsfL nn

nn =

=

Contoh

Karena ts

L 2sin4

2

2

1 =

+

dan

222 )4(

4

4

2

+

=

+ s

s

sds

dmaka diperoleh

tttts

sL

sds

dL nn 2sin2sin)1(

)4(

4

4

222

1

2

1 ==

+

=

+

6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan

Jika )()}({1 tFsfL = makat

tFduufL

s

)()(

1 =

Contoh

Karenate

ssL

ssL =

+=

+ 31

3

1

1

11

3

1

)1(3

1 11maka



27/45

diperoleh `1

3

1

)1(3

1

3

1

0

1

=

+

te

duuu

Lt

7) Sifat perkalian dengan ns

Jika )()}({1 tFsfL = maka )(')}({1 tFssfL =

Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika

f(t) 0 , sehingga

)(')}0()({1 tFFssfL =

)()0()(')}({1 tFtFssfL = dengan )(t adalah fungsi delta Dirac

atau fungsi impuls satuan.Contoh

arena ts

L 5sin25

52

1 =

+

dan 05sin =t maka

ttdt

d

s

sL 5cos5)5(sin

25

52

1 ==

+

8) Sifat pembagian dengan s

Jika maka =

t

duuFs

sfL

0

1)(

)(

Jadi pembagian dengan s mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t.

Contoh

Karena ts

L 2sin4

22

1 =

+

maka diperoleh

( )12cos2

12cos

2

12sin

)4(

2

0 02

1 =

==

+ tuduu

ssL

t t

9) Sifat konvolusi

Jika )()}({1 tFsfL = dan )()}({1 tGsgL = maka



28/45

GFduutGuFsgsfL

t

*)()()}()({0

1 ==

F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan

teorema konvolusi atau sifat konvolusi.

Contoh

Karenate

sL 41

4

1 =

+dan

tes

L 21

2

1 =

maka diperolehttut

tu eeduee

ssL 42)(2

0

41

)2)(4(

1 +==

+

6.6 Metode Transformasi Laplace Invers

Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara,

sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat

digunakan, antara lain:

1) Metode pecahan parsial

Setiap fungsi rasional)(

)(

sQ

sP, dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak

(polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya)(

)(

sQ

sPdapat

ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai bentuk

,....3,2,1,)()( 2

=++

++

rseterusnyadancbsas

BAsatau

bas

Arr

Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka

dapat ditentukan

)(

)(1

sQ

sPL

Konstanta A, B, C, dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-

pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang

diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus.



29/45

Contoh

1. Tentukan

+

6

1632

1

ss

sL

Jawab

++

=

+

)3)(2(

163

6

163 12

1

ss

sL

ss

sL

32)3)(2(

163

+

+=

++

s

B

s

A

ss

s

6

)2()3(2

++=

ss

sBsA

6

)32()(2

++=

ss

ABsBA

atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)3A=16 sehingga didapat

A = -2 dan B = 5

+

+=

++

3

5

2

2

)3)(2(

163 11

ssL

ss

sL

+

+

=

3

5

2

2 11

s

L

s

L

tt ee 32 52 +=

2. Tentukan

+++

)22)(3(

12

1

sss

sL

Jawab

++

++

+

=

+++

)22(3)22)(3(

12

1

2

1

ss

CBs

s

AL

sss

sL

)22)(3(

)3)(()22(

223 2

2

2 ++++++++=

++++

+ ssssCBsssA

ss

CBs

s

A

)22)(3(

3)3(22`

2

22

+++++++++

=sss

CsCBBsAAsAs

Sehingga



30/45

+++++++++

=

+++

)22)(3(

)32()32()(

)22)(3(

12

2

2 sss

CAsCBAsBA

sss

s

Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1

Atau A =5

4 , B =

5

4, dan C =

5

1

Akhirnya diperoleh

++

++

+

=

+++

)22(

5

1

5

4

3

5

4

)22)(3(

12

1

2

1

ss

s

sL

sss

sL

+++

+

+=

++

++

+

1)1(

)1(

5

4

3

1

5

4

)22(

5

1

5

4

3

5

4

2

1

2

1

s

s

sL

ss

s

sL

tee tt cos5

4

5

4 3 +=

2) Metode Deret

Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan

oleh

...)(4

3

3

2

2

1 ++++=s

a

s

a

s

a

s

asf o

Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi

suku demi suku untuk memperoleh

...!3!2

)( 32

21 ++++=

tatataatF o

Contoh

Tentukan

s

eL

s

1

1

Jawab

++=

...

!3

1

!2

111

132

1

sssss

e s

=

++ ...

!3

1

!2

111432 ssss



31/45

Sehingga

++=

...!3

1

!2

111432

12

1

1

ssssL

s

eL

s

222

3

22

2

321211 ttt += + ...

3) Metode persamaan diferensial

4) Turunan terhadap statu parameter

5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema

6) Penggunaan tabel

7) Rumus inversi kompleks

8) Rumus Penguraian Heaviside

Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat

P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda

yaitu k , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka

=

=

n

k

t

k

k keQ

P

sQ

sPL

1

1

)('

)(

)(

)(

Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:

Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda 1 , 2 , 3 , ... , n

maka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh

n

n

k

k

s

A

s

A

s

A

s

A

sQ

sP

+

++

+

= ...

)(

)(

2

2

1

1.....(1)

Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s- )k dan mengambil s k

dengan menggunakan aturan LHospital diperoleh

== )(

)(lim)()(

)(lim

sQ

ssPs

sQ

sPA k

sk

sk

kk

= )(lim)(lim

sQ

ssP k

ss kk

= )(lim).(

sQ

sP k

sk

k



32/45

)('

1)(sQ

Pk

= ...

Sehingga (1) dapat ditulis sebagai

nn

n

kk

k

sQ

P

sQ

P

sQ

P

sQ

P

sQ

sP

+

++

+

= 1.

)('

)(1

)('

)(...1.)('

)(1.)('

)(

)(

)(

22

2

11

1

dengan demikian

++

++

+

=

nn

n

kk

k

sQ

P

sQ

P

sQ

P

sQ

PL

sQ

sPL

1.

)('

)(...

1.

)('

)(...

1.

)('

)(1.

)('

)(

)(

)(

22

2

11

111

++ ++ +

nn

n

kk

k

sQ

PL

sQ

PL

sQ

PL

sQ

PL

1.)('

)(...1.

('

(....1.

)('

(1.

)('

)(1

22

21

11

111

t

n

nt

k

ktt nk eQ

Pe

Q

Pe

Q

Pe

Q

P

.

)('

)(....

)('

)(....

)('

)(.

)('

)(21

2

2

1

1 +++++=

=

=n

k

t

k

k keQ

P

1 )('

)(

9) Fungsi Beta

Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai

B(m,n) = 1

0

11 )1( dunu nm a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat:

1.)(

)()(),(

nm

nmnmB

+

=

2.)(2

)()(),(

2

1cossin

2

0

1212

nm

nmnmBdmm

+==

Soal-soal

1. Tentukan,

a.

sL

4

121



33/45

b.

9

522

1

s

sL

c.

+

16

244

4

83

22

1

s

s

s

sL

d.

+

23

723

2

5

1

ss

sL

e.

+

3

1

)1(s

sL

f.

+

84

1432

1

ss

sL

g.

++

3212

2082

1

ss

sL

h.

+

23

1 1

s

sL

i.

++

843

252

1

ss

sL

j.

+

16244

)4(2

25

1

ss

ssL

k.

+++

22

1

)22(

1

ss

sL

l.

++

)4)(4(

12

1

ssL

m.

+

32

1

)1(

1

sL

2. Buktikan bahwa:

a.tt ee

ss

sL 22

2

1 256

163 =

+

b.tt ee

ss

sL

2

1

2

31

123

1 +=



34/45

c. 32

2

2

1

2

1

2

1

276

1 ttee

ss

sL

=

+++

d.t

tt

eeesss

s

L

+=

+

+22

3

5)1)(12)(2(

521122

21

e. )3cos(33)9)(4(

1227 42

1te

ss

sL

t =

++

f. )2sin()2cos()4sin(2

1

6420

241624

21 ttt

ss

ssL +=

++

g. ( )tett

sss

sL 3

2

1

5

4sin3cos4

5

1

)22)(3(

1 =

+++

3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa

a.

+

)3)(2(

1121

ss

sL

b.

+++

)3)(1)(2(

27191

sss

sL

c.

+

+

6116(

56223

21

sss

ssL

d.

+

)3)(2)(1(

2 21

sss

sL

6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial

a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu

persamaan diferensial dengan koefisien konstan.Misal ditentukan persamaan diferensial

)(2

xFqYdx

dYp

dx

Yd =++ atau )(''' xFqYpYY =++ dengan p,q adalah

konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan

Y(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan.



35/45

Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara

melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya

gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar

{ } )()( syxYL = .

Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi

Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan

diferensial tingkat tinggi.

Contoh

Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.

1) xYY =+'' dengan Y(0) = 0 dan Y(0)=-2

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan

diferensial diperoleh

{ } { } }{"}"{ xLYLYLYYL =+=+

Menurut sifat (5) transformasi Laplace

{ } ....)0(")0()}({)( 21)( = nnnn FsFstFLstFL, sehingga

)(}{)}0(')0(}{{ 2 xLYLYsYYLs ==

2

2 1)2(s

ysys =++

)2(1)1( 22 +=+ ss

ys

1

2

)1(

1222 +

++

=s

s

ssy

=1

2

11

112222 +

+

++

ss

s

ss

=1

3

1

1222 +

+

+ss

s

s



36/45

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

+

++=

1

3

1

1222

1

ss

s

sLY

+

+

=

1

3

1

12

1

2

1

2

1

sL

s

sL

sL

xxx sin3cos +=

Untuk pemeriksaan jawab di atas

xxY sin3cos1 +=

xxY cos3sin' =

xxY sin3cos'' +=

( ) ( ) xxxxxxYY =+++=+ sin3cossin3cos'' dan Y(0) = 1, Y(0)=-2

2) xeYYY 242'3'' =+ dengan Y(0) = -3 dan Y(0)=5

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial

diperoleh

{ }}4{2'3" 2xeLYYYL

=+Menurut sifat (5) transformasi Laplace{ } ....)0(")0()()( 21)( = nnnn FsFssfstFL

, sehingga

{ } }4{2'3" 2xeLYYYL =+{ } )4(}{2)0(}{3)}0(')0(}{{ 22 xeLYLYYsLYsYYLs =+=

2

42}3{3}53{ 2

=+++=s

ysysys

1432

4)23( 2 +

=+ ss

yss

23

143

)2)(23(

422 +

+

+=

ss

s

sssy



37/45

2

2

)2)(1(

24203

+

=ss

ss

2)2(

4

2

4

1

7

+

+

=

sss

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

+

+

=

2

1

)2(

4

2

4

1

7

sssLY

+

+

=

2

111

)2(

4

2

4

1

7

sL

sL

sL

xxx xeee 22 447 ++=

b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel

Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian

persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial

yang berbentuk )()( xYxnn

sehingga transformasi Laplace diperoleh

{ } { }

= )()1()( )()( xYLds

dxYxL n

m

mmnm

Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace

Jika )()}({ sftFL = maka ( ) ( ) )(1)(1)}({ )( sfsfds

dtFtL n

n

nnn ==

Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut

Tentukan selesaian persamaan diferensial

1) 0'2'' =++ xYYxY dengan Y(0) = 1 dan Y()= 0

Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan

diperoleh:

{ } { }0'2" LxYYxYL =++

{ } { } { } 0'2" =++ xYLYLxYL



38/45

{ } 0)()1())0((2)0(')0()1( 121 =++ yds

dYsyYsYys

ds

d

{ } 0)()1()1(211 12 =++ yds

dsysys

ds

d

0)1()1(2012 2 =++

+

ds

dysy

ds

dyssy

0'221'2 2 =++ ysyyssy

1')1( 2 =+ ys

)1(

1'

2 +=s

y

DiperolehCsds

sy +=

+=

arctan

)1(

1

2

Karena 0y bila s kita dapatkan2

=c , sehingga

ssy

1arctanarctan

2==

Akhirnya didapatt

t

sLY

sin1arctan =

= , hal ini memenuhi Y( ) =0

2) 1''' =+ YxYY , dengan Y(0) = 1 dan Y(0) = 2

Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan

diperoleh:

{ } { }1'" LYxYYL =+

{ } { } { }'" YLxYLYL +{ }s

yYsyds

dYsYys

1)}0({)1()0(')0( 12 =+

{ } 0)1(21.2 =++ ysyds

dsys

{ }s

ysyysys1

')'(22 =+++



39/45

ssyssy

12)1('

2 ++=++

Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu

derajat satu dan dapat diubah menjadi:

2

121

1'

ssy

ssy ++=

++

Faktor integral persamaan di atas adal22

2

1

2ln2

2

11sssdss

esee == +

+

Maka 22

22

1

2

22 12

1

ss

esss

yesds

d

++=

Sehingga dsesss

es

y

s

y

s

++=22

2

2

)121(1

222

2

21s

es

c

ss++=

Akhirnya diperoleh ty 21+=

Soal-soal

Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut:

1) 0'' =+ YxYY dengan Y(0) = 0 dan Y(0) = 1

2) 02')21('' =+ YYxxY dengan Y(0) = 1 dan Y(0) = 2

3) 0')1('' =+ YYxxY dengan Y(0) = 5 dan Y( ) = 04) 04''' =++ xYYY dengan Y(0) = 3 dan Y(0) = 0

5) 04'' =+ YY dengan Y(0)=0 dan Y(0)=7

6) xexYYY +=+ 12423'' dengan Y(0) = 0 dan Y(0)=-1

6.8 Persamaan Diferensial Simultan

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang menentukas selesaian persamaan

diferensial dengan rmenggunakan transformasi Laplace dan transformasi Laplace

invrers. Selanjutnya transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers dapat

dipergunakan untuk menentukan dua atau lebih persamaan diferensial biasa

simultan. Metode yang digunakan tidak berbeda dengan penjelasan sebelumnya.



40/45

Persamaan diferensial simultan adalah persamaan diferensial yang secara

bersama-sama sebagai unsur yang tidak dapat dipisahkan dan didalamnya terdapat

turunan-turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Di dalam

persamaan difersial simultan diberikan syarat awal yang tertentu dan diketahui

nilainya pada variabel yang saling bergantung.

Berikut ini diberikan beberapa contoh persamaan diferensial simultan.

1. 3)0(,8)0(,

2

32

==

=

=

YXpadabergantung

xydt

dY

yxdt

dX

2. 0)0(,2)0(',3)0(,

2

2===

=

=+

ZYYpadabergantung

eZdt

Yd

tdt

dZ

dt

dX

t

3. 0)0('',4)0(,2)0(',1)0(,sin'''

cos3''3''3====

==+ ZZYYpadabergantung

tZtY

tteZY t

Cara menentukan selesaiannya adalah dengan mengambil transformasi

Laplace pada masing-masing bagian persamaan diferensial , selanjutnya gunakan

metode substitusi atau eliminasi variabel persamaan dan dari proses eliminasi atau

substitusi akhirnya gunakan transformasi Laplace invers pada persamaan yang

diperoleh.

Contoh

Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini



41/45

1) 3)0(,8)0(,

2

32

==

=

=

YXpadabergantung

xydtdY

yxdt

dX

Jawab

Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu

gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:

)3()2( yLxLdt

dXL =

)2()( xLyLdt

dYL =

atau

83)2(32)0( =+= yxsyxXsx

32)1(2)0( =+= xysxyYsy

Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:

63)2(2)23()2(32)1( 2 =++=+ sxsysssxys

)4)(1(

223

)43(

322322)236(

2

2

+

=

==+

ss

s

ss

sysyss

Analog, untuk variabel y

)1(8)1(3)2)(1()1.(83)2( =+=+ sysxsssyxs

)4)(1(

1789)1(8)623( 2

+

==+ss

sxsxss

Sehingga


96)1(33.32)1( =+=+ xysxys

166)2(2)2(83)2( =+=+ yxsyxs


42/45

+=

+=

+==

4

2

1

5

4

2

1

5

)4)(1(

223)( 11111

sL

sL

ssL

ss

sLyLY

+

+=

+

+=

+

==

4

3

1

5

4

3

1

5

)4)(1(

178)( 11111

s

L

s

L

ss

L

ss

sLxLX

Atau

tt eeX 435 += dan tt eeY 425 = merupakan selesaian persamaan diferensial

simultan 3)0(,8)0(,

2

32

==

=

=

YXpadabergantung

xydt

dY

yx

dt

dX

2) 55)0(',27)0(,48)0(',35)0(,2sin1534''

153'''

===

=+

=++

YYXXdengantYXY

eXYX t

Jawab

Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu

gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:

( ) )15()3()'('' teLxLYLXL =++

( ) )2sin15()3()4('' tLYLXLYL =+

atau

1

153)0()0(')0(2

+=++s

xYsyXsXxs

4

303))0(((4)0(')0(

2

2

+=+s

yXsxYsYys

atau



43/45

1

1532748352

+=+++s

xsysxs

4

30314045527

2

2

+

=+++s

ysxsys

Atau

( )1

15213532

+==++s

ssyxs

( )4

301952743

2

2

++=+s

ssxys

Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:

( )( )1

152135)4()4(432

+

==++s

sssysxss

( )( ) ( ) ( )4

301952733433

2

2222

+++=+++s

ssxssyss

)9)(4)(1(

30

)9)(1)(1(

)3(15

)9)(1(

63300483522222

2

22

23

+++

++++

+++

+=

sss

s

sss

s

ss

sssx

4

2

1

3

9

45

1

30222 +

++

++

+

=s

s

sss

s

Analog, untuk variabel y

( )( ) ( ) ( ) }1

152135{3333 2222

+=+=++++s

sssysxss

( ) ( ) }4

3019527{)(43

2

2

++=+s

ssxssyss

( ) ( )( ) )9)(4)(1(

)3(30

911

60

)9)(1(

58535527222

2

2222

23

+++++

++++

++=

sss

s

sss

s

ss

sssy

)4

2

1

3

)1(

60

)9(

30222 +

++

+

++

=ssss

s

Sehingga

tettyLYt

2sin3sin603cos30)(1 +==

tettxLX t 2cos233sin15cos30)(1 ++==

merupakan selesaian persamaan diferensial simultan



44/45

55)0(',27)0(,48)0(',35)0(,2sin1534''

153'''

===

=+

=++

YYXXdengantYXY

eXYX t

Soal-soal

Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini:

1)

0)0()0(')0(,0'2''

sin22''===

=+

=+

ZYYdenganYZY

tZYZY

2) 0)0(')0()0(,12'

''2'===

=+

=+ YYXdengan

YXX

eYXt

3) 1)0(,1)0(,'

)1(''==

=

=++

ZYdenganeZY

ettZZtY

t

t

4) 1)0(,1)(',0)0(,0'2''

sin22''

===

=+

=+

ZYYdenganYZY

tZYZY



45/45

bab 6 transformasi laplace(1)

Documents