1469_mekanika fluida

7/21/2019 1469_Mekanika Fluida

http://slidepdf.com/reader/full/1469mekanika-fluida 1/216

MEKANIKAFLUIDA

480 soa berikut jawaban atau penyelesaian

lengkap

Mengajarkan mekanika fluida langkah demilangkah

Mencakup semua materi pokok kuliah -pelengkap buku

teksyang

idea

d eengantar Mekanika Fluida

M Statifa dan Mekanika Bahan

Gunakan untuk kuliah: M mefanika Fuida



MEmNIKAFLUIDA

MERLE C. POTTER, Ph.D.P rofe s s o r E m e r i t u s rt y:;

*tr ";;,:"i,;,;r;rifr

DAVID C. WIGGERT, Ph.D.Professor Emeritus of Civil Engineering

Michigan State Universitl;

sENERBIT ERLANGGA

Jl. H. Baping Raya No. 100

Ciracas, Jakarta 13740

http :/iwww.erlangga.co. id

(Anggota IKAPI)

,"' '" r .t

.--Fli- -,._ <.



MERLE C. POTTER memiliki gelar S1 dalam Teknik Mesin dari Michigan TechnologicalUniversity; gelar 52 dalam Teknik Penerbangan dan 53 dalam Mekanika Engineering diterimanyadari Universitas Michigan. Ia merupakan pengarang-bersama dai. Fluid Mechanics, The Mechanicsof Fluids, Thermo$,namics for Engineers, Thermal Sciences, Dffirential Equations dan Adyanced

Engineering Mathematics, dan berbagai buku latihan ujian. Ia merupakan profesor emeritus TeknikMesin di Michigan State University.

DAVID C. WIGGERT memperoleh gelar S 1, 32 dan 53 dari The University of Michigan. Ia merupakanpengarang-bersama dari The Mechanics of Fluids. Penelitiannya melibatkan transien-transien fluida,interaksi struktur fluida dan aliran air tanah dan perpindahan massa. Dr. Wiggert adalah seorangprofesor emeritus Teknik Sipil dan Lingkungan di Michigan State university

\

.,rlvi , ' '; j'r

i

troA*o t'"'PustakstnI

Yrcp:nsr a..' j- :1 ****"''

7 6;. 7z6l ePk lF/zotz

Schaum's Outline Mekanika FluidaMerle C. Potter, Ph.D. & David C. Wiggert, Ph. D.

Judul AsliSchaum's Outline of Fluid Mechanics

Merle C. Potter, Ph. D. & David C. Wiggerr, ph. D.

Copyright O 2008 by McGraw-Hill Companies

Translation copyright O 201 I by penerbit Erlangga. All rights reserved.This is an authorized translation from the English language edition published by The McGraw-Hill Companies

Hak terjemahan dalam bahasa Indonesia pada Penerbil Erlangga berdasarkanperjanjian resmi tanggal 22 Mei 2008

Alih Bahasa: Thombi Layukallo

Editor: Lemeda Simarmata, S.T.

Buku ini dilayout oleh Bagian Produksi Penerbit Erlangga denganApple Macintosh Mac Pro (Times 10 pt)

Dicetak oleh: PT Gelora Aksara Pratama

13 12 11 4321

Dilarang keras mengutip, menjiplak, memfotokopi, atau memperbanyak dalam bentuk apapun, baik sebagian ataukeseluruhan isi buku ini, serta memperjualbelikannya lanpa izin tertulis dari Penerbit Erlangga.

OHAK CIPTA DILINDUNGI OLEH UNDANG-UNDANG

P€F$ffieF$er$ ?{t}'3

e fdh: Il-e'i'?Cs

s g:flrftv 1$:Si

r lrl@{t



Buku ini dimaksudkan sebagai pelengkap buku teks yang digunakan dalam kuliah pengantar mekanika fluida

yang merupakan mata kuliah wajib di jurusan teknik mesin dan teknik sipil, dan juga beberapa jurusan

lainnya. Buku ini memaparkan materi secara ringkas sehingga para mahasiswa dapat lebih mudah memahami

bagian-bagian yang sulit. Jika pembahasan yang lebih mendalam tidak diperlukan, buku ini dapat digunakan

sebagai buku teks utama. Kami telah memasukkan semua derivasi dan berbagai aplikasi, sehingga buku ini

dapat digunakan tanpa materi-materi tambahan. Manual penyelesaian dapat diperoleh dari para pengarang

di [email protected]

Kami telah memasukkan derivasi untuk persamaan-persamaan Navier-Stokes dan beberapa aliran

dengan penyelesaiannya. Akan tetapi jika yang dipilih adalah pendekatan elemental, materi tersebut tidak

diperlukan. Metode yang manapun dapat digunakan untuk mempelajari aliran laminar di dalam pipa, di

antara silinder-silinder berotasi, dan aliran lapisan batas laminar.

Prinsip-prinsip dasar yang mendasari studi mekanika fluida diilustrasikan melalui berbagai contoh, soal-

soal dengan penyelesaian, dan soal-soal tambahan yang memungkinkan mahasiswa untuk mengembangkan

kemampuan mereka dalam pemecahan masalah. Semua jawaban untuk soal-soal tambahan diberikan di akhir

setiap bab. Semua contoh dan soal diberikan dalam satuan metrik SI. Satuan-satuan Inggris juga ditunjukkan

di seluruh buku dan dimasukkan di dalam Apendiks.

Pengetahuan matematika yang dibutuhkan adalah sama seperti dalam mata-mata kuliah teknik lainnya

kecuali dalam pembahasan persamaan-persamaan Navier-Stokes di mana persamaan-persamaan parsial

digunakan. Beberapa hubungan vektor digunakan, tapi pada tingkatan yang umum dalam kurikulum jurusan

teknik.Jika pembaca ingin memberikan komentar, saran, atau koreksi atau hanya sekedar menyampaikan

opini, silahkan mengirimkan email ke: [email protected] Tidak ada buku yang bebas kesalahan, tapi

seandainya ada kesalahan yang kami ketahui, kami dapat memperbaikinya dalam cetakan-cetakan selanjutnya.

Oleh karena itu, jika pembaca menemukan kesalahan kirimkanlah email kepada kami.

MEnlp C. Porren

Davro C. Wrccsnr

r,'. .. Y 1 : r., . \. ---., t- .i: -.

--rr.-.{'t+-*--.



ft*ffi P Analisis Dimensionat dan KeserupaanPendahuluan

Analisis Dimensional

Keserupaan

&9ffi

Aliran-aliran lnternal7.1 Pendahuluan

7.2 Aliran Jalan Masuk

7.3 Aliran Laminar di dalam Pipa

7.3.1 Pendekatan Elemen

7 .3.2 Mengaplikasikan Persamaan-persamaan Navier-Stokes

7.3.3 Kuantitas-kuantitas yang Diinginkan

7.4 Aliran Laminar di antara Pelat-pelat Paralel

7.4,1 Pendekatan Elemen

7 .4.2 Mengaplikasikan Persamaan-persamaan Navier-Stokes


7.5 Aliran Laminar di antara Silinder-silinder Berotasi

7.5.1 Pendekatan Elemen7.5.2 Mengaplikasikan Persamaan-persamaan Navier-Stokes


7.6 Aliran Turbulen di dalam Pipa

7.6.1 Profil Semi-Log

7.6.2 Profil Hukum Pangkat

7.6.3 Rugi-rugi di dalam Aliran Pipa

7.6.4 Rugi-rugi di dalam Saluran-saluran Tidak Bundar

7.6.5 Rugirugi Kecil

7.6.6 Garis-garis Tingkat Hidrolik dan Energi

7.7 Aliran Saluran Terbuka

Aliran-aliran Eksternal8.1 Pendahuluan

8.2 Aliran di sekitar Benda Tumpul

8.2.1 Koefisien Gaya Hambat

8.2.2 Pelepasan Vorteks

8.2.3 Kavitasi

8.2.4 Massa Tambahan

8.3 Aliran di sekitar Airfoil8.4 Aliran Potensial

8.4.1 Dasar-dasar

8.4.2 Beberapa Aliran Sederhana

8.4.3 Aliran-aliran Gabungan

8.5 Aliran Lapisan Batas8.5.1 Informasi Umum

8.5.2 Persamaan-persamaan Integral

8.5.3 lapisan Batas Laminar dan Turbulen

8.5.4 Persamaan Diferensial Lapisan Batas Laminar

Aliran Kompresibet9.1 Pendahuluan

9.2 Kecepatan Suara

9.3 Aliran Nozel Isentropik

9.4 Gelombang Kejut Normal

9.5 Gelombang Kejut Miring

9.6 Celombang Ekspansi

vl1

ffi&ffi ffi

6.1

6.2

6.3

8080

80

84

919l91

93

93

94

94

95

96

97

97

98

9899

100

r01

t02103

104

l0s

106

108

109

121t2t122

122

r24125

r27

127

r28128

130

131

134134

135

136

139

151151

152

153

157

160

163

fta& *



ffi"&ffi l * Aliran di dalam Pipa dan Pompal0.l Pendahuluan

10.2 Sistem Pipa Sederhana

10.2.1 Rugi-rugi

10.2"2 Hidrolika dari Sistem Pipa Sederhana

Pompa dalam Sistem Pipa

Jaringan Pipa

10.4.1 Persamaan-persamaan Jaringan

10.4.2 Metode Hardy Cross

10.4.3 Analisis Komputer untuk Sistem Jaringan

10.5 Aliran Tak Tunak

10.5.1 Aliran Inkompresibel

10.5.2 Aliran Kompresibel Cairan

,ahffiffiF{il}fid"5i ;& Satuan dan KonversiA.1 Satuan Inggris, Satuan SI, dan Faktor-faktor Konversinya4.2 Konversi Satuan-satuan

S,$,*ffif-{ffiiH"5 ffi Hubungan-hubungan Vektor

10.3

10.4

172172

172

112

113

171

180

180

181

184

184

184

186

195195

196

197

4tril$t*""3{h-t:;i {, Properti-properti Fluida 199C.l Properti-properti Air 199C.lE Properti-properti Air dalam'satuan Inggris l9gC.2 Properti-properli Udara pada Tekanan Atmosfer 1ggC.2E Properti-properti Udara pada Tekanan Atmosfer dalam Satuan Inggris lggC.3 Properti-properti Atmosfer Standar 200C.3E Properti-properti Atmosfer dalam Satuan Inggris 200C.4 Properti-properti Gas-gas Ideal pada 300 K (C,: Cp- k k: C,lC,1 201C.5 Properti-properti Cairan-cairan

Umumpada Tekanan

Atmosfer'dan Kira-kira 16 hingga21" C (60 hingga 70" F) 201Gambar C.l Mskositas sebagai fungsi dari temperatur 202Gambar C.2. Mskositas kinematik sebagai fungsi dari temperatur pada tekanan atmosfer 203

,si,ffS.iu{i"}ti,iS il"} Tabel Aliran Kompresibel untuk UdaraD.1 Aliran Isentropik

D2 Aliran Gelombang Kejut Normal

D.3 FungsiPrandtl-Meyer

207

204204

205

206

v1l1



lnformasi Dasar

lJ ENI}AHULUAN

Mekarlika fluida dijumpai dalam setiap aspek kehidupan nyata kita. Darah mengalir melalui pembuluh-pembuluh darah dan

Brftt'ura.t.nadi kita, kapal laut bergerak melalui air dan air bergerak di sungai, pesawat udara terbang di udara dan udara

bergerak,selewati mesin-mesin angin, udara dikompresikan dalam kompresor dan uap berekspansi melewati bilah-bilah

turbin.,bea&rngan menahan air, udara dipanaskan dan didinginkan di dalam rumah-rumah dan komputer membutuhkan

ud,ara:untuk mendinginkan komponen-komponennya. Semua bidang studi teknik membutuhkan kemahiran di bidang

rnekanike:fluida.' , Daldr*,buku ini akan dipaparkan elemen-elemen mekanika fluida yang memungkinkan kita untuk memecahkan

rnas*Iahlryrysalah yang melibatkan bentuk-bentuk dengan geometri yang relatif sederhana seperti misalnya aliran melaluipipa, dan saJuran dan aliran di sekitar bola dan silinder. Tetapi pertama-tama kita akan memulai dengan melakukan

psrhi,sliqgarl.perhitungan terhadap fluida pada kondisi diam, yang merupakan subjek dari statika fluida. Matematika yang

dipedukan *tamanya adalah kalkulus akan tetapi teori persamaan diferensial juga akan digunakan. Aliran-aliran yang

le-bih.ko eks yang biasanya disebabkan oleh geometri-geometri. yang lebih kompleks tidak akan dipaparkan di dalam

buku ini.

,.1.r:'Dala*lbab ini akan diberikan informasi dasar yang diperlukan dalam pembahasan kita nantinya. Sebagian informasiini,fetahditrrikan dalam mata-mata kuliah sebelumnya jadi yang diberikan di sini akan berupa tinjauan ulang. Walaupund gian akan merupakan informasi baru bagi Anda. Marilah kita mulai.

, ':'l'

Ii*.'P.It{.EIXSI, SATUAN, DAN KUANTITAS FISIK

MekanikiSuida, seperti juga bidang studi teknik lainnya, melibatkan kuantitas-kuantitas fisik. Kuantitas-kuantitas tersebut

ir liki,-4.i*ernsi dan satuan. Sembilan dimensi dasar adalah massa, panjang, waktu, temperatur, jumlah (amount) stattz*t..:arus tidtfik, intensitas cahaya, sudut bidang, dan sudut ruang. Semua kuantitas lainnya dapat diekspresikan dalam

dimeusi i nsi dasar ini, mis., gaya dapat diekspresikan dengan menggunakan hukum kedua Newton sebagai

' F=nta,:,,,,:::''':l"t: ;

l

trala*ll:ben*lk dimensi kita dapat menuliskan (perhatikan bahwa .F digunakan sebagai variabel maupun dimensi)

(1 .1)

(1.2)

(1.3)

F=MT'

fil,Aa.llA:E,nd-,,,tr dan Tadalah dimensi-dimensi gaya, massa, panjang, dan waktu. Kita lihat bahwa gaya dapat dituliskan

del ribe$,ilk,massa, panjang, dan waktu. Tentu saja kita dapat menuliskan

,=r+,,.:,Kita..daBat

memasukkan satuan-satuan ke dalam persamaan-persamaan di atas jika kita perhatikan bahwa dibutuhkan1,.$rlatgk-.m;mpercepat 1kg pada I m/s2 (dalam sistem Inggris dibutuhkan I lb (pon) untuk mempercepat I slug pada

t,. fitrsscz)|, ffi hiugg a,

N = kg'm/s2 lb = slug-ft/sec2 (1.4)

,, ,',,.Hub*fgqp.hubungan ini akan banyak digunakan dalam pembahasan kita mengenai fluida. Perhatikan bahwa kita

qldak *rsnggun*kan "1b1" karena satuan "lb" akan selalu diartikan sebagai satu pon gaya; slug merupakan satuan massa



INFORMASI DASAR [BAB 1

dalam sistem Inggris. Dalam sistem SI massa akan selalu dalam kilogram dan gaya akan selalu dalam newton. Karena

berat merupakan sebuah gaya, maka akan diukur dalam newton, tidak pernah dalam kilogram. Hubungan

W = mB (1.J)

digunakan untuk menghitung berat dalam newton jika diketahui massa dalam kilogram, di mana g = 9,81 m/s2 ldalamsatuan-satuan Inggris E = 32,2 ftlsec2). Gravitasi pada intinya adalah konstan di permukaan bumi dengan variasi antara

9,77 hingga 9,83 m/s2.Lima dari antara kesembilan dimensi dasar dan satuan-satuannya diberikan dalam Tabel 1.1 dan satuan-satuan turunan

yang digunakan dalam pembahasan kita mengenai mekanika fluida dalam Tabel 1.2. Awalan (pre{iks) umum digunakan

dalam sistem SI jadi berbagai awalan diberikan dalam Tabel 1.3. Perhatikan bahwa sistem SI adalah suatu sistem metrik

yang khusus; kita akan menggunakan satuan-satuan yang diberikan dalam tabel-tabel ini. Kita seringkali menggunakan

notasi ilmiah 3 x 10s N ketimbang 300 kN; kedua bentuk ini dapat digunakan.

Kita mengakhiri subbab ini dengan pembahasan mengenai angka signifikan (significant figure). Setiap perhitungan,

atau tepatnya, hampir setiap perhitungan, melibatkan suatu properti bahan. Properti-properti bahan jarang diketahui sampai

empat angka signifikan dan seringkali hanya sampai tiga. Jadi, tidaklah tepat menuliskan jawaban sampai lima atau enam

angka signiflkan. Ketepatan perhitungan-perhitungan yang kita lakukan hanyalah sebatas sampai bilangan yang paling

tidak akurat di dalam persamaan-persamaan yang digunakan. Sebagai contoh, kita memakai gravitasi sebesar 9,81 m/s2,

Tabel L,1 Dimensi-dimensi Dasar dan Satuan-satuannva

Kuantitas Dimensi SI Satuan Inggris Satuan

Panjang I L meter m kaki ft

Massa z M kilogram kg slug slug

Waktu t T detik S detik sec

Temperatur I o kelvin K Rankine "R

Sudut bidang radian rad radian rad

Tabel L.2 Dimensi-dimensi Thrunan dan Satuan-satuannya

Kuantitas Dimensi Satuan SI Satuan Inggris

Luas A L2 m2 ft2

Volume V I3 mr atau L iliter.l ft3

Kecepatan V LIT m/s ftlsec

Percepatan a UP m/s2 ftlsec2

Kecepatan sudut C) T1I

s -1s

Gaya F MI./72 kg.m/s2 atau N (newton) slug.ftlsec2 atau lb

Densitas p MIL3 kg/m3 slug/ft3

Berat spesifik y M/L2f N/m3 lb/fr3

Frekuensi I T-1 -t sec-l

Tekanan rr M/Lf N/m2 atau Pa (pascal) lbtft2

Tegangan r M/LT2 N/m2 atau Pa (pascal) lb/ft2Tegangan permukaan o M/11 N/m lb/ft

Usaha W ML2lP N.m atau J (oule) fr-lb

Enersi E ML2lP N.m atau J (toule) fr-lb

Laju kalor Q ML2/T3 J/s Btu/sec

Torque I ML2lf N.m ft-tb

Daya W ML2T3 J/s atau W (watt) ft.lb/sec

Fluks massa m M/T kg/s slug/sec

Laju aliran Q L3/T m3/s ft3/sec

Kalor spesifik c L2tP @ J/kg.k Btu/slug-'R

Viskositas p M/LT N.s/m2 lb.sec/ft2

Viskositas kinematik v L2/T m2ls ft2lsec



BAB 1I INFORMASI DASAR

Tabel I.3 Awalan-awalan SI

Faktor pengali Awalan Simbol

10r2 tera T

10e glga G

106 mega M

103 kilo k

o2 centi c

0-3 milli m

06 mlcro p

0e nano n

0-12 plco p

hanya tiga angka signifikan. Bisanya jawaban-jawaban dapat dituliskan dengan menggunakan empat angka signifikan, tapi

tidak lima atau enam. Kalkulator bahkan dapat memberikan delapan. Secara umum, insinyur tidak menggunakan lima

atau enam angka signifikan dalam pekerjaannya. Perhatikan bahwa jika bilangan pertama dalam suatu jawaban adalah

satu, bilangan tersebut tidak dihitung sebagai angka signifikan, jadi, 1248 memiliki tiga angka signifikan.

CONTOH 1,1 Hitunglah gaya yang dibutuhkan untuk memberikan percepatan awal ke atas sebesar 4A mls2 pada sebuah roket

seberat 0,4 kg.

Penyelesaian: Gaya-gaya yang bekerja pada roket dalam arah vertikaUsumbu y dijumlahkan sebagai berikut:

l:';r:hF - 0.4 x 9,81 0.4 x 40

.'. f = 19,92 N

Perhatikan bahwa kalkulator akan memberikan jawaban 19.924 N. yang memual empat angka signifikan (angka I di depan Lidak

dihitung). Karena percepatan gravitasi memuat tiga angka signifikan. maka angka 4 yang terakhir tidak dimasukkan.

1.3 GAS DAN CAIRAN

Zat yang akan digunakan dalam pembahasan kita mengenai

mekanika fluida adalah gas atau cairan. Kita membatasi

pembahasan kita pada cairan-cairan yang bergerak di bawah

pengaruh tegangan geser, sekecil apapun tegangan geser tersebut.

Semua gas bergerak di bawah pengaruh tegangan geser tapi ada

zat-zat tertentu, seperti kecap, yang tidak bergerak sampai gaya

gesernya menjadi cukup besar; zat-zat tersebut dibahas dalam

subjek reologi dan tidak diberikan dalam buku ini.

Suatu gaya yang bekerja pada suatu luas ditunjukkan dalamGbr. 1.1. Tegangan vektor adalah vektor gaya dibagi dengan

luas area tempatnya bekerja. Tegangan normal bekerja tegak

1urus terhadap area tersebut dan tegangan geser bekerja tangensial terhadap area tersebut. Tegangan geser inilah yang

menghasilkan pergerakan fluida. Gaya geser yang kecil saja dapat menyebabkan terjadinya pergerakan, sebagaimana suatu

perahu yang besar digerakkan oleh sebuah gaya yang kecil. Tegangan geser ini dihitung dengan

Gambar l.l Komponen-komponen normal dan tangensial dari

sebuah gaya.

t=limMr0

LF,

AA(1 6)

Setiap fluida yang digunakan dalam pembahasan kita terdistribusi secara kontinyu di seluruh daerah yang dimaksud,

artinya, setiap fluida merupakan suatu kontinum. Cairan jelas merupakan kontinum tapi kita juga akan mengasumsikan

gas sebagai kontinum; molekul-molekulnya terletak cukup berdekatan satu sama lain untuk membentuk suatu kontinum.

Untuk menentukan apakah molekul-molekulnya cukup berdekatan, kita menggunakan lintasan bebas rata-rata, jarak rata-



INFORMASI DASAR [BAB I

rata yang ditempuh sebuah molekul sebelum bertumbukan dengan molekul yang terdekat. Jika jalur bebas meannya kecildibandingkan dengan dimensi karakteristik dari suatu alat (mis. diameter sebuah roket), asumsi kontinum dapat diterima.Di dalam udara atmosfer pada permukaan laut, jalur bebas meannya adalah sekitar 6 x l0{ cm dan pada ketinggian100 km kira-kira 10 cm. Jadi pada elevasi yang tinggi, asumsi kontinum tidak dapat digunakan dan teori dinamika gas

rarefied perlu digunakan.

Jika suatu fluida berupa kontinum, densitasnya dapat didefinisikan sebagai

^-limLm Lv'-0 LV U,N

di mana Lm adalah massa yang sangat kecil (infinitesimal) dalam volume yang sangat kecil Air. Pada kenyataannya,volume yang sangat kecil ini tidak dapat dibiarkan menciut menjadi nol karena di dekat nol akan terdapat sedikitmolekul di dalam volume yang kecil tersebut; suatu volume kecil e perlu ditetapkan sebagai limit dalam Pers. (1.7)agar definisi yang dimaks.ud dapat diterima. Dalam kebanyakan aplikasi ini bukanlah merupakan suatu masalahkarena terdapat 2,7 x 7016 molekul dalam suatu milimeter kubik udara pada kondisi standar.

Jadi, dengan asumsi kontinum, kuantitas-kuantitas yang diinginkan diasumsikan terdefinisikan pada semua titik daridaerah yang dimaksud. Sebagai contoh, densitas merupakan fungsi kontinu dari x, y, z dan /, artinya, p = p(x,y,z,t).

1.4 TEKANAN DAN TEMPERATUR

Dalam pembahasan kita mengenai mekanika fluida, kitagaya kompresif yang bekerja pada suatu luas. Dalam Gbr.

menghasilkan tekanan, yang didefinisikan oleh

sering menjumpai tekanan. Tekanan adalah hasil dari gaya-

1.2 gaya inlinitesirnal AF, bekerja pada luas infinitesimal AA

(1.8)

Gambar 1.2 Gaya normal yang

menghasilkan tekanan.

P = lim,AF

n

AA

Satuan-satuan pada tekanan dihasilkan oleh gaya dibagi dengan luas, yaitu, N/m2, yang

adalah pascal, Pa. Tekanan sebesar 1 Pa merupakan tekanan yang sangat kecil, jaditekanan biasanya diekspresikan dalam kilopascal atau kPa. Dengan menggunakan satuan-

satuan Inggris, tekanan diekspresikan sebagai lblft2 atatt lb/in2 Qtound per square inch,psi). Tekanan atmosfer pada permukaan laut adalah 101,3 kPa, arau lebih sering 100

kPa (14,7 lb/in2) saja. Harus diperhatikan bahwa tekanan kadang-kadang diekspresikan

dalam milimeter air raksa, yang umum digunakan para ahli meteorologi, atau meter

air; kita dapat menggunakan p = pgh untuk mengkonversikan satuan-satuan, di mana padalah densitas fluida dengan tinggi /2.

Tekanan yang diukur relatif terhadap tekanan atmosfer disebut tekanan alat: ini adalah yang diukur oleh suatu alatjika alat tersebut memberikan pengukuran nol sebelum digunakan untuk mengukur tekanan. Tekanan absolut memilikinilai nol di dalam sebuah volume yang tidak berisi molekul, kondisi vakum ideal. Tekanan absolut berhubungan dengzrn

tekanan ukur melalui persamaan

Pabsolut = Pahtt Patmo.f". (1.9)

di mana patmosrer adalah tekanan atmosfer di lokasi di mana pengukuran tekanan dilakukan; tekanan atmosfer ini bervariasicukup banyak terhadap ketinggian dan nilainya diberikan dalam Tabel C.3 dalam Apendiks C. Sebagai contoh, di

puncak Pikes Peak di Colorado, nilainya kira-kira 60 kPa. Jika baik tekanan maupun ketinggian tidak diketahui, kitaakan mengasumsikan kondisi standar dan menggunok&fl put*orf., = 100 kPa. Gambar 1.3 menunjukkan deskripsi grafikhubungan antara tekanan absolut dan tekanan ukur. Beberapa representasi umum untuk atmosfer standar (pada 40. garislintang pada permukaan laut) diberikan dalam gambar tersebut.

Kita seringkali menyebut tekanan negatif, seperti pada B dalam Gbr. 1.3, sebagai vakum; ini adalah tekanan negatifatatt vakum. Suatu tekanan selalu diasumsikan sebagai tekanan ukur kecuali jika dinyatakan lainnya (dalam termodinamikatekanan selalu diasumsikan sebagai absolut). Tekanan sebesar -30 kPa dapat dinyatakan sebagai 70 kPa absolut atau

vakum sebesar 30 kPa, jika diasumsikan tekanan atmosfer sebesar 100 kPa (perhatikan bahwa selisih antara 101,3 kPadan 100 kPa hanyalah sebesar 1,3 kPa, kesalahan sebesar 1,37o, masih dalam toleransi teknik).

Kita tidak mendefinisikan temperatur (dibutuhkan teori molekular untuk memperoleh suatu definisi) tapi cukupmenyatakan bahwa kita menggunakan dua skala: skala Celcius dan skala Fahrenheit. Skala absolut pada saat menggunakantemperatur dalam derajat Celcius adalah skala kelvin (K) dan skala absolut pada saat menggunakan temperatur dalam

derajat Fahrenheit adalah skala Rankine. Kita menggunakan konversi-konversi berikut:



INFORMASI DASAR IBAB I

Gamhar 1.4 Fluida sedang mengalami pergeseran di antara dua silinder panjang.

Untuk mengukur viskositas, perhatikanlah sebuah silinder panjang yang berotasi di dalam suatu silinder kedua,

seperti ditunjukkan dalam Gbr. 1.4. Untuk memutar silinder dalam dengan kecepatan putar f), torque I harus diberikan.

Kecepatan dari silinder dalam adalah RQ dan kecepatan dari silinder luar adalah nol. Distribusi kecepatan di dalam celah

ft di antara kedua silinder pada intinya adalah suatu distribusi yang linier, sehingga

(t.14)

Kita dapat mengaitkan tegangan geser dengan torque yang diberikan sebagai berikut:

T = tegangan x luas x lengan momen

=rx2nRLxP.

-l1Rei

hx2nRLxR= (t.15)

di mana gaya geser yang bekerja di ujung-ujung silinder telah diabaikan. AIat yang digunakan untuk mengukur viskositas

adalah viskometer.

Di dalam buku pendahuluan ini, kita memusatkan perhatian kita pada/uida-fluida Newtonian, yaitu fluida-fluida yang

menunjukkan hubungan linier antara tegangan geser dan gradien kecepatan, seperti dalam Pers. (1.13) dan (1.14), yang

ditampilkan dalam Gbr. 1.5. Banyak fluida biasa, seperti udara, air dan minyak merupakan fluida Newtonian. Fluida-

fluida non-Newtonian diklasifikasikan sebagai dilatan, pseudoplastik dan plastik ideal dan juga ditampilkan.

Satu efek penting dari viskositas adalah menyebabkan fluida melekat ke permukaan, kondisi tak selip (no-slip). Iikasuatu permukaan bergerak sangat cepat, seperti satelit yang masuk kembali ke atmosfer, kondisi no-slip ini menghasilkan

tegangan geser yang sangat besar pada permukaan tersebut; ini menghasilkan panas yang sangat tinggi yang dapat

membakar satelit-satelit yang masuk. Kondisi no-slip juga menyebabkan terjadinya tegangan geser dinding di dalam

pipa sehingga menyebabkan penurunan tekanan yang mengharuskan digunakannya pipa-pipa pada jarak-jarak ter.tentu di

sepanjang jalur pipa yang mengalirkan minyak atau gas.

Viskositas sangat bergantung pada temperatur. Perhatikan bahwa dalam Gbr. C.l dalam Apendiks C, viskositas

cairan berkurang dengan naiknya temperatur tapi viskositas gas bertambah dengan naiknya temperatur. Di dalam cairan

viskositas disebabkan oleh gaya-gaya kohesif akan tetapi di dalam gas disebabkan oleh tumbukan molekul-molekul; kedua

fenomena ini tidak sensitif terhadap tekanan jadi kita lihat bahwa viskositas hanya bergantung pada temperatur baik di

dalam cairan maupun gas, artinya, [t = tt(T).Dalam banyak persamaan, viskositas seringkali dibagi dengan densitas, jadi kita telah mendefinisikan viskositas

kinematik sebagai

t= u4 =, R9'dr'h

.r* R3f)L1tztt

h

Gambar 1.5 Fluida-fluida Newtonian dan Non-Newtonian.



BAB I] INFORMASI DASAR 1

(1.16)

Satuannya adalah mzls 1f?/sec1. Dalam gas kita lihat bahwa viskositas kinematik bergantung pada tekanan karena densitas

bergantung pada temperatur dan juga tekanan.

Volume suatu gas diketahui bergantung pada tekanan dan temperatur. Dalam cairan, volume juga sedikit bergantung

pada tekanan. Jika perubahan volume (atau perubahan densitas) yang kecil tersebut tidak boleh diabaikan, kita gunakan

modulus bulk B:

up

Q.]n

Modulus bulk memiliki satuan yang sama dengan tekanan. Properti ini diberikan dalam Tabel C. I dalam ApendiksC. Untuk air pada 20"C, nilainya sekitar 2100 MPa. Untuk menyebabkan perubahan sebesar lTa dalam volume air,

dibutuhkan tekanan sebesar 21000 kPa. Jadi jelaslah mengapa kita menganggap air sebagai inkompresibel. Modulus bulkjuga digunakan untuk menentukan kecepatan suara di dalam air. Ini diberikan oleh

, = rlntp (1.78)

Ini menghasilkan sekitar c = l45O m/s untuk air pada 20'C.Properti lainnya yang kadang-kadang ingin diketahui di dalam pembahasan kita adalah tegangan permukaan o; int

dihasilkan oleh gaya-gaya antar molekul dan diberikan dalam Tabel C.1. Properti ini memungkinkan baja mengambang,butiran-butiran terbentuk dan butiran-butiran dan gelembung-gelembung kecil memiliki bentuk bulat. Perhatikan. diagrambenda bebas dari sebuah butiran dan gelembung bulat, sebagaimana ditunjukkan dalam Gbr. 1.6. Gaya tekanan di dalam

butiran mengimbangi gaya yang disebabkan oleh tegangan permukaan di sekeliling lingkaran:

pnr2 = 2firo

.-.p =+

Gambar 1.6 Diagram benda bebas dari (a) butiran dan (b) gelembung.

Perhatikan bahwa pada gelembung terdapat dua permukaan sehingga keseimbangan gaya memberikan

(1.20)

Jadi, jika yang diinginkan adalah tekanan internal, adalah penting untuk mengetahui apakah benda tersebut adalah butiranataukah gelembung.

Aplikasi lainnya di mana tegangan permukaan mengakibatkan hasil yang menarik adalah naiknya cairan di dalamtabung kapiler. Diagram benda bebas dari air di dalam tabung ini ditunjukkan dalam Gbr. 1.7. Dengan menjumlahkangaya-gaya pada kolom cairan ini diperoleh

oTtDcos F=Pg (1 .21)

B =v #1,= o#J,

di mana sisi sebelah kanan adalah berat W. Ini memberikan tinggi yang dicapai cairan di dalam tabung:

4o cos 6h=^/D

n-16rr

(1.19)

(1.22)

ffn

Properti terakhir yang akan diperkenalkan di dalam subbab ini adalah tekanan uap. Molekul-molekul keluar dan

masuk kembali ke dalam cairan yang bersentuhan dengan suatu gas, seperti misalnya air yang bersentuhan dengan udara.

Tekanan uap adalah tekanan di mana terjadi keseimbangan antara molekul-molekul yang keluar dan masuk kembali.

Jika tekanan tersebut di bawah tekanan uap, molekul-molekul akan meninggalkan cairan; ini disebut pendidihan ketlkaair dipanaskan ke temperatur di mana tekanan uapnya sama dengan tekanan atmosfer. Jika tekanan lokalnya dikurangi



INFORMASI DASAR IBAB I

Gambar 1.7 Naiknva cairan di dalam tabuns kecil.

hingga ke tekanan uap, penguapan juga terjadi. Ini <Iapat terjadi ketika aliran mengalir melalui katup-katup, siku-sikuatau bilah-bilah turbin, jika tekanan menjadi cukup rendah; ini disebut kavitasi. Tekanan uap diperoleh dalam Tabel C.1

dalam Apendiks C.

CONTOH 1,3 Sebuah pelat datar 0,5 m x 2 m ditarik pada 5 m/s di atas lapisan minyak pelumas SAE-30 setebal 2 mm pada38"C yang memisahltannya dari sebuah permukaan datar. Distribusi kecepatan di antara pelat dan permukaan diasumsikan linier.Berapakah gaya yang dibutuhkan jika pelat dan permukaan rersebur horizonral?

Penyelesaian: Gradien kecepatan dihirung sebesar

*=X= h?=25oom/(s.m)Gaya adalah tegangan dikatikan dengan luas:

^F:?x A = tt*xA = 0,1 x 2500 x 0,5 x 2 = 250 N

Periksalah satuan-satuannya untuk memastikan buf,'*u ,utoun untuk gaya adalah newton. Yiskositas dari minyak pelumas diperoleh

dalam Gbr. C. l.

CONTOH 1.4 Sebuah mesin menghasilkan gelembung-gelembung kecii berdiameter 0,5 mm dari air 20'C. Estimasikanlah tekananyang terjadi di dalam gelembung-gelembung tersebut.

Penyelesaian: Gelembung-gelembung memiliki dua permukaan yang menghasilkan estimasi tekanan berikut ini;

4o 4 x 0.0736n=- =589Pa r 0.0005

di mana tegangan pennukaannya diperoleh dari Gambar C.1.

1.6 PROPERTI-PROPERTI DAN HUBUNGAN-HUBUNGAN TERMODINAMIKA

Mata kuliah termodinamika dan/atau flsika biasanya mendahului mata kuliah mekanika fluida, Properti-properti dan

hubungan-hubungan yang diberikan dalam mata-mata kuliah tersebut yang digunakan dalam pembahasan kita mengenai

fluida dimasukkan di dalam subbab ini. Ini semua terutama berguna dalam pembahasan mengenai aliran-aliran kompresibel,

tapi juga digunakan untuk aliran=aliran cairan.Hukum gas ideal memiliki dua bentuk

pV=mRT atau p=pRT (1.23)

di mana tekanan p dan temperatur T harus berupa kuantitas-kuantitas absolut. Konstanta gas R diperoleh dalam Tabel

C.4 dalam Apendiks C.

Entalpi didefi nisikan sebagai

H=mi+pY atau h=[i+pv

Lh = ltrrlT dan Ail = lc,.dTdi mana c; dan ci. adalah kalor-kalor spesifik yang juga diperoleh

dalam Tabel C.4. Kalor-kalor spesifikdengan konstanta gas melalui

(1.24)

(1.2s)

berhubungan



BAB I] INFORMASI DASAR

C =C +Rr

Rasio dari kalor-kalor spesifik adalah

Untrk zat-zat cair dan padat, dan untuk kebanyakan gas dalam rentang perbedaan temperatur yang relatif kecil, kalor-

kalor spesifik pada intinya adalah konstan dan kita dapat menggunakan

Lh = cpLT dan Li = c,LT (1.28)

Untuk proses-proses adiobatik (tanpa perpindahan kalor) kuasi-kesetimbang,an (properti-properti konstan di seluruh

volume pada suatu saat), hubungan-hubungan benkut dapat digunakan untuk gas ideal dengan mengasumsikan kalor-kalor

spesifik konstan:T, _ (pr\rr-rtn * = (p\r e.2g)\

= \p,) p, = \,p,r

(Proses) adiabatik kuasi-kesetimbangan juga disebut proses isentropik.

Suatu gelombang tekanan kecil dengan frekuensi yang relatif rendah bergerak melalui sriatu gas dengan kecepatan

gelombang

, : tlknr(1.30)

Yang terakhir, hukum pertama termodinamiko akan digunakan dalam pembahasan kita; hukum ini menyatakan

bahwa jika suatu sistem, suatu himpunan tetap partikel-partikel fluida, rnengalami perubahan keadaan dari keadaan I ke

keadaan 2, energinya berubah dan E, menjadi E, ketika bertukar energi dengan lingkungannya dalam bentuk usaha W,_,

dan perpindahan kalor Qr_r. Ini diekspresikan sebagai

Qr-r- W, t= Ez- Er (1.31)

Untuk menghitung perpindahan kalor dari temperatur dan luas yang diketahui, diperlukan mata kuliah perpindahan kalor,jadi dalam termodinamika dan mekanika fluida kuantitas ini diberikan. Akan tetapi, usaha merupakan kuantitas yang dapat

dihitung; ini adalah gaya dikali dengan jarak dan seringkali diakibatkan oleh tekanan sehingga menghasilfan

W,,(1.32)

Energi E yang dimaksudkan di dalam mata kuliah fluida terdiri dari energi kinetik, energi potensial, dan energi

internal:

(1.33)

di mana kuantitas di dalam tanda kurung adalah energi spesilik e. (Kita menggunakan / untuk merepresentasikan energi

internal spesiflk karena a digunakan untuk komponen dari kecepatan). Jika properti-propertinya konstan di lokasi masuk

dan keluar aliran, dan tidak terdapat perpindahan kalor dan rugi-rugi. persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk

Pt+i+:r (1.31)

Persamaan ini tidak dapat diperoleh langsung dari Pers. (1.31); dibutuhkan sedikit usaha untuk menurunkan Pers. (1.34).

Ini dapat dilihat dari buku yang tepat, tapi kita akan menurunkan persamaan ini di bagian lain dari buku ini. Persamaan

ini diberikan di sini sebagai bagian dari pengulangan termodinamika.

Soal-soal dan Penyelesaiannya

1.1 Tunjukkan bahwa satuan-satuan dari viskositas yang diberikan dalam Tabel 1.1 adalah benar adanya dengan

menggunakan (a) satuan SI dan (b) satuan Inggris.

Viskositas berhubungan dengan tegangan melalui

(p

qK=

9

(1.26)

(t.2n

=1,', o,

= |,',pt o, = fi,' u o,

E=mlt, *rr*n)

v.2 Pt v,'

)o ' Y.' '2- )ol

dvu= T1'du



t0

1.2

INFORMASI DASAR [BAB I

Dalam satuan-satuannya ini adalah

rsr =\#=H kr =##=HJika gaya, panjang dan waktu dipilih sebagai dimensi-dimensi dasar (fundamental dimension), apakahdimensi untuk massa?

Kita menggunakan hukum kedua Newton, yang menyatakan bahwa

F=maDalam dimensi-dimensinya ini dituliskan sebagai

L=ML .'.M=FT'T2L

Lintasan bebas rata-rhta suatu gas adalah )" = O,225ml1pP1, ai marra d adalah diameter molekulnya, m adalahmassanya dan p adalah densitas dari gas tersebut. Hitunglah lintasan bebas rata-rata udara pada ketinggian l0000 m, ketinggian di mana pesawat-pesawat komersial menjelajah. Untuk molekul udara d = 3,i x l0-r0 m danm = 4,8 x 10-26 kg.

Dengan menggunakan formula yang diberikan, lintasan bebas rata-rata pada 10 000 m adalah

)" = 0.225.

,r#f#}}_rqz= 8,48 x l0-7 m atau 0,848 pm

di mana densitasnya diperoleh dari Tabel C.3,

Suatu vakum sebesar 25 kPa diukur pada suatu lokasi di mana ketinggiannya adalah 3000 m. Berapakah tekananabsolutnya dalam milimeter air raksa?

Tekanan absolut pada ketinggian yang dimaksud diperoleh dari Tabel C.3. Nilainya diinterpolasi sebesar

Pu1^= 79,84 - |Oe,e+ - 61,64) = 70,7 kPa

P = Pgage * Put. = -25 + 7O'7 = 45,7 kPa

Dalam milimeter air raksa ini adalah

h = P 457(n

" - o'rs=

G:,offi)Tfl= o'343 m atau 343 mm

1.5 Sebuah piringan datar berdiameter 30 cm berputar pada 800 rpm pada jarak 2 mm dari sebuah permukaan dataryang diam. Jika minyak pelumas SAE-30 pada 2O"C mengisi celah di antara piringan dan permukaan tersebur,estimasikanlah torque yang dibutuhkan untuk merotasi piringan tersebut.

Karena celah tersebut kecil, akan diasumsikan distribusi kecepatan yang linier. Besarnya tegangan geser yang bekerja pada

piringan adalah

, = u ^fr = pf = 0,38 x {%#4qA 15 eoor

di mana viskositasnya diperoleh dari Gbr. C.l dalam Apendiks C. Tegangan geser ini diinregralkan untuk memperoleh

torque:

7 =lorar =Jorrzn, dr = 2nioo'',r r*r, dr

=lys"

ry= 12,7 N.m

Catatan: Jawaban tidak diberikan dalam digit signifikan yang lebih banyak karena viskositas hanya diketahui sampai duaangka signifikan. Jawaban dengan digit yang lebih banyak akan menyesatkan.

1.6 Air biasanya diasumsikan inkompresibel. Tentukanlah persentase perubahan volume dalam l0 m3 air pada l5.Cjika diberikan tekanan 12 MPa dari tekanan atmosfer.

Perubahan volume dari cairan diperoleh dengan menggunakan modulus bulk elastisitas (lihat Gbr. (1.17)):

^v= -v+ = -ro x :#W = -0,0561 m3

Persentase perubahannya adalahtt1

'w

zo perubahan =v::fj x I00 - J#q x 100 = 4,561%iovl

Persentase perubahan yang kecil ini biasanya dapat diabaikan tanpa mempengaruhi hasilnya secara signifikan, jadi air padaintinya adalah inkompresibel.

dimensi-

1.3

1.4

Jadi tekanan absolutnya adalah



BAB I] INFORMASI DASAR

1.7 Air pada 30 'C dapat memanjat sebuah tabung gelas bersih berdiameter 0,2 milimeter karena adanya tegangan

permukaan. Sudut air-gelas adalah 0'C terhadap arah vertikal (0 = 0 dalam Gbr. 1.7). Seberapa tinggikah air dapat

memanjat tabung tersebut?

Ketinggian air memanjat diberikan oleh Pers. (1.22). Persamaan ini memberikan

' 4ocos B = gl'o]^tq "i9=^ 0.147 m arau r4,7 cm =yD'

=toeO * eSl; O-OOOZ "'

di mana properti-propeni dari air diperoleh dari Tabel C.l dalam Apendiks C.

1.8 Jelaskan mengapa dibutuhkan waktu lebih lama untuk memasak kentang dengan cara mendidihkannya di dalarn

sebuah panci yang terbuka dengan sebuah kompor di dalam sebuah kabin di pegunungan pada ketinggian3200 m.

Air mendidih ketika temperatur mencapai tekanan uap dari air: terjadi penguapan. Temperatur tetap konstan sampai semua

air telah habis menguap. Tekanan pada ketinggian yang diberikan diinterpolasi dalam Tabel C.3 sebesar 69 kPa. Tabel C.l

memberikan temperatur yang sedikit lebih rendah dari 90'C untuk tekanan uap sebesar 69 kPa, yaitu, temperatur di mana

air mendidih. Karena temperatur ini lebih rendah dari 100'C pada permukaan laut, proses memasak menjadi lebih lambat.

Sebuah pemasak bertekanan Qtressttre cooker) dapat digunakan karena menghasilkan temperatur yang lebih tinggi dengan

cara memberikan tekanan yang lebih tinggi di dalam pemasak tersebut.

1.9 Sebuah ban mobil dipompa di Ohio hingga 250 kPa ketika temperatur berada pada -15"C. Mobil tersebut dikendaraike Arizona di mana temperatur dari ban di atas aspal mencapai 65"C. Estimasikanlah tekanan di dalam ban di

Arizona dengan mengasumsikan tidak ada udara yang bocor dan bahwa volumenya tetap konstan.

Mengasumsikan bahwa volume tidak berubah, hukum gas ideal mengharuskan

p2-nRYI2 -

T2

Pr mRyrT, Tl

:. Pz = pr* = (250 + 100)" # = 574 kPa abs atau 474 kPa gage''tt 258

karena massanya juga tetap konstan. (Ini berarti 37 llblin2 di Ohio dan 70 lb/in2 di Arizona).

1.10 Seorang petani menyemprotkan nitrogen ke tanamannya dari tangki yang bertekanan 1000 kPa absolut pada

temperatur25"C.

Berapakahtemperatur minimum nitrogen

yang dapat diantisipasi jika dilepaske

atmosfer.

Temperatur keluar minimumnya terjadi dalam proses isentropik (lihat Pers. (1.2g)), yang adalah

ll

12 = r,l#)'r '\'r = 2sB. (+ffi)o*"'= 154 K arau -rle.C

Temperatur serendah ini dapat menyebabkan luka serius jika salurannya terputus dan nitrogen mengenai si petani.

Soal-soal Tambahan

1.11 Ada tiga hukum dasar di dalam pembahasan kita mengenai mekanika fluida: kekekalan massa, hukum kedua Newton dan

hukum pertama termodinamika. (a) Sebutkanlah suatu kuantitas integral untuk setiap hukum tersebut dan (b) sebutkanlah suatu

kuantitas yang didefinisikan pada suatu titik untuk setiap hukum tersebut.

Dimensi, Satuan dan Kuantitas Fisik

l.l2 Verifikasi satuan-satuan SI yang diberikan dalam Tabel 1.2 untuk yang berikut:

1.13 Verifikasi dimensi-dimensi yang diberikan dalam Tabel 1.2 untuk yang berikut:

(a) Gaya

(fl Torque

(a) Gaya

(@ Torque

(a) Gaya

(@ Torque

(b) Berat spesifik

(e) Viskositas

(b) Berat spesifik

(e) Viskositas

(b) Berat spesifik

(e) Viskositas

(c) Tegangan permukaan

(fl Usaha


Q) Usaha


(l) Usaha

l.l4 Pilihlah sistem dimensi G-P-W dan sebutkan dimensi-dimensi untuk yang berikut:



t2 INFORMASI DASAR IBAB I

1.15 Suatu persamaan yang memberikan laju aliran di dalam sebuah saluran terbuka diberikan oleh

Q= ,a.nisi

di mana k adalah suatu konstanta. A adalah luas dari saluran, R adalah radius dan S adalah kemiringan. Tentukanlah dimensi-

dimensi dan satuan-satuan SI untuk k.

1.16 Ekspresikan yang berikut dengan menggunakan pemangkatan ketimbang awalan (prefiks):

(a) 200 cm2 (D) 500 mm3 (c) 10 prm

@ 32 MPa (e) 400 kN (fl 5 nN

1.17 Ekspresikan yang berikut dengan menggunakan awalan ketimbang pemangkatan:

(a) 2x10-8m (D)5xl08m (c)Zx 10-5pa(d) 32 x 108 Pa (e) 4 x lO{N 1fl 8 x l0ri N

1.18 Kuantitas-kuantitas seringkali diberikan dalam satuan-satuan yang tidak sesuai dengan sistem satuan SI. Ubahlah setiap yang

berikut ini ke dalam satuan-satuan SI yang sesuai:

(a) 60 milh (b) 35 lblin2 (c) 2 gtcm3

(d) 22 sluelh (e) 20 ft3lmin 00 50 kw.h

1.19 Berapakah gaya yang dibutuhkan untuk mempercepat sebuah mobil 1500 kg sebesar 3 rnlsz

(a) di bidang horizontal? (b) di tanjakan dengan kemiringan 20'?

1,20 Seorang astronot memiliki berat 850 N di bumi. Hitunglah berat astronot tersebut di bulan, di mana g = 5,4 ftlsec2.

l.2l Estimasikanlah lintasan bebas rata-rata molekul-molekul udara, dengan menggunakan informasi dari Soal 1.3, pada

ketinggian

(a) 750 m (D) 40 000 m (c) 80 000 m

Tekanan dan Temperatur

1.22 Tekanan sebesar 28 kPa diukur pada ketinggian 2000 m. Berapakah tekanan absolutnya dalam

(a) kPa (b) lblin2 (c) mm Hg (d) ft air

1,23 Sebuah alat mengukur kondisi vakum 24 kPa. Berapakah tekanan absolutnya pada

(a) permukaan laut (b) 4000 m (c) 8000 m

1.24 Persamaan p(z) = prs-stRro merupakan aproksimasi yang baik untuk tekanan di atmosfer. Estimasikanlah tekanan pada z =6000 m dengan menggunakan persamaan ini dan hitunglah persentase error dengan menggunakan nilai yang lebih akurat dalam

Tabel C.3. Asumsikan po = 100 kPa dan Io = 15'C.

1.25 Tekanan sebesar 20 kPa dan tegangan geser sebesar 80 Pa bekerja pada sebuah permukaan dasar seluas 0,8 m2. Hitunglah gaya

normal d, gaya geser tangensial F, dan gaya total F yang bekerja pada permukaan tersebut. Selain itu, hitunglah besamya

sudut yang dibuat gaya total tersebut terhadap koordinat vertikal.

1.26 Temperatur sebesar 20 'C diukur pada suatu lokasi tertentu. Berapakah temperatur tersebut dalam

(a) kelvin (&) derajat Fahrenheit (c) derajat Rankine

Properti-properti Fluida

1.27 Sebuah massa fluida mengisi 2 m3. Hitunglah densitas, berat spesifik, dan gravitasi spesifik jika massa fluida tersebur adalah

@) 4kg(b) 8 kg

(c) 15 kg

1,28 Sebuah rumus yang memberikan estimasi yang baik untuk densitas dalam kg/m3 air adalah

pu,. = 1000 (*fl

di mana temperatur T diberikan dalam derajat Celcius. Gunakan rumus ini dan tentukanlah densitas air pada 80'C. Berapakah

kesalahannya?

1.29 Berat spesifik dari sebuah fluida adalah 11 200 N/m3. Hitunglah massa yang terdapat dalam 2 m3

(a) Dengan menggunakan gravitasi standar.

(D) Dengan menggunakan gravitasi maksimum pada permukaan bumi.

(c) Dengan menggunakan gravitasi minimum pada permukaan bumi.



BAB 1] INFORMASI DASAR

1.30 13,49l' 4,8Vo

1.31 0,1628 N.s/m2

1.32 (a) 2,5 N/m2 (D) 1,25 N/m2 (c) 0 N/m2

1.33 (a) 7,2 N.m, 0,2 hp (b) 2l N.m, l,8l hp (c) 43 N.m, 7,2 hp

1.34 088 N.m, 0,15

1.35 37,8 MPa

1.36 0,539 s

1.37 -0,0076 m3, 7,98 MPa

r38 (a) 3680 Pa, 7360 Pa (b) 36,8 Pa, 73,6Pa (c) 7,36Pa,14,'72Pa

1.39 1,175 m

1.40 -O,900 m

l.4l 2o > pnr2

1.42 Ya

1.43 nD(2o + "{*^*^rur2)

1.44 45 kPa, 0,5 kg/m3, 2 m3kg,4,905 N/m3

1.45 1,158, ya

1.46 156 kPa, 22,7 lblirf

1.47 609 kg, 5970 N

1.48 100 kN

1.49 44,34 mls, M,20 m/s, 44,29 mls

1.50 -69,6'C

1.51 6630 kPa, 705'C

1.52 1,48 MJ

1.53 261"C

1.54 (a) 331 m/s lb 349 rnls (c) 1278 m/s (d) 387 m/s (e) 342 mls

1.55 515 m

15



Stati ka Ftuida

2.I PENDAHULUAN

Dalam statika fluida, tidak terjadi pergerakan relatif di antara partikel-partikel fluida, jadi tidak terjadi tegangan gbser(gaya geser disebabkan oleh gradien kecepatan). Ini tidak berarti bahwa partikel-partikel fluida tidak berger*i$,,hlrnya

bahwa mereka tidak bergerak relatif satu terhadap yang lainnya; jika partikel-partikel tersebut bergerak, seperti misalnya

di dalam sekaleng air yang berputar di sumbunya, pergerakan tersebut terjadi sebagai sebuah benda padat. Satu-satunya

tegangan yang terjadi di dalam statika fluida adalah tegangan normal, yaitu tekanan. Tekanan yang bekerjarFa ,Ciiatripemukaanlah yang menyebabkan terjadinya gaya-gaya dalam soal-soal yang melibatkan statika fluida. Tiga jffi;*oal- yang

diberikan dalam bab ini adalah: (l) fluida diam, seperti dalam rancangan suatu bendungan; (2) fluida yan$:tng11*u1"*,

percepatan linier, seperti misalnya sebuah roket; dan (3) fluida yang berputar pada sumbunya.

2.2 PERUBAHAN TEKANAN

Tekanan adalah kuantitas yang bekerja pada sebuah titik. Akan tetapi, apakah besarnya sama ke semua ara?*,ps4,t*F

tersebut? Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan Gbr. 2.1. Sebuah tekanan p diasumsikan bekerja pada sisi miring

dan tekanan-tekanan p. dan p], yang berbeda di kedua sisi lain dari sebuah elemen inifinitesimal (sangat keCil) begi$$asiku-siku yang memiliki kedalaman yang seragam dz ke arah dalam kertas. Partikel fluida yang mengisi elemen fluida

ini mungkin sedang berakselerasi, jadi kita gunakan hukum kedua Newton ke dua arah r dan 1':

L F,= mar'. p, dy dz. - p ds dzsin B = pdL++ a, .,'

I { = ma,... p,cry clz.- p ds dzcos p- esd" 24 = rdL4} 7 o,.tt,

".dengan mengenali bahwa ay =

d -$ 1.Dari Gbr. 2.1, kita memiliki ',t,,

d.y = ds sin I dx = ds cos fr .', '

Dengan memasukkan ini ke dalam Pers. (2.1), kita memperoleh t.,.,,

p, a' tl:

Gambar 2.1 Tekanan beraksi pada semua elemen inflnitesimai

t6

{r.e)

dy'I

lor avI



BAB 2] STATIKA FLUIDA t]

(2.3)

kecil, dan

(2.4)

(2.s)

(2.6)

Q.n

-dr,-p=p 2o*dv

P:.-P=P-r(a,+g)

Di sini kita lihat bahwa kuantitas-kuantitas pada sisi-sisi sebelah kanan nilainya inflnitesimal, artinya, sangal

dapat diabaikan* sehingga

pr= pr- = p

Karena sudut B besarnya sembarang, ini berlaku untuk semua sudut. Kita dapat juga memilih menggunakan dimensi d;r

dan dz dari memperoleh p, = p, = p. Jadi, tekanan merupakan fungsi skalar yang bekerja merata ke semua arah pada

suatu titik dalam aplikasi statistika fluida kita.

Dalam diskusi sebelumnya, kita hanya membahas tekanan pada sebuah titik. Perubahan tekanan dari titik ke titikakan diteliti selanjutnya. Elemen fluida dengan kedalaman dy dalam Gbr. 2.2 dapat berakselerasi seperti di dalam sebuah

wadah yang berputar. Hukum kedua Newton memberikan

l)"\p dydz - l,

* ';rO-)d1'd1= pg dx dy dz a,

p dxdy- (o .* ")

dx dy

=-pc dx cty dz + pg dx dy dz a"

Jika elemen tersebut juga ditunjukkan ke arah y, persamaan komponen y akan menjadi

p dx dz - l, . X or) * dz = -.pB dx rty dz an

Persamaan (2.5) dan (2.6) berkurang menjadi

*=-po, 4=-po, =-pto-+stdx - dy .' oz

Akhirnya, diferensial tekanan dapat dituliskan sebagai

ar= a*+ ar*4a, dx dy' dz

(2.8)

Ini dapat diintegralkan untuk memberikan selisih tekanan yang diinginkan di antara titik-titik yang ditentukan di dalam

suatu fluida.

Di dalam fluida yang tidak bergerak, tidak terjadi percepatan sehingga perubahan tekanan dari Pers. (2.8) adalah

dp = -pg dz atau dp = 1 dz (2.e)

Gambar 2.2 Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah elemen

{|,,

l, **

ILIKart#F&tj ffiarr.'Av -+ u.

if {en i'..."." -.

,":.j_-

* Secara matematis, kita dapat menggunakan sebuah elemen dengan sisi-sisi Ar dan Ay dan



18 STATIKA FLUIDA [BAB 2

Ini menyiratkan bahwa dengan bertambahnya ketinggian z, tekanan berkurang, suatu fakta yang sudah kita sadari darialam; tekanan meningkat bersamaan dengan kedalaman laut dan berkurang dengan ketinggian di atmosfer.

Perhatikan perubahan tekanan di dalam cairan dengan y konstan. Persamaan (2.9) memungkinkan kita untukmenuliskan

Lp=-\Lz (2.10)

di mana Ap adalahperubahan

tekanan di sepanjang perubahan ketinggian Az. Jika kita menginginkan suatu ekspresi untuktekanan pada jarak /z di bawah suatu permukaan bebas di mana tekanan adalah nol, bentuknya adalah

p=yh (2.11)

di mana h = -Lz. Persamaan (2.11) digunakan untuk mengkonversikan tekanan menjadi ekuivalen dengan ketinggian

suatu cairan; tekanan atmosfer seringkali diekspresikan sebagai milimeter air raksa (tekanan di dasar sebuah kolom air

raksa 30 inci nilainya sama dengan tekanan di permukaan bumi yang disebabkan oleh seluruh atmosfer).

Jika perubahan tekanan di atmosfer ingin diketahui, maka Pers. (2.9) akan digunakan dengan hukum gas ideal p =pRZ untuk memberikan

(2.12)

di mana pl,adalah tekanan di 1= g. Jika temperatur dapat diasumsikan konstan di sepanjang perubahan ketinggian, maka

persamaan di atas dapat diintegralkan untuk memperoleh

P = prg-EzlRT (2.1 3)

ap = - [, s dz uru, fo"4; = .rol, of

Di troposfer (di antara permukaan bumi dan ketinggian sampai sekitar 10 km) di mana temperatur (dalam kelvin) adalah

T = 288 - 0,00652, Pers. (2.12) dapat diintegralkan untuk memberikan perubahan tekanan tersebut.

CONTOH 2.1 Konversikanlah 230 kPa menjadi milimeter air raksa, inci air raksa dan kaki (feet) air.

Penyelesaian: Persamaan (2.11) diterapkan dengan menggunakan berat spesifik air raksa, yang adalah 13,6 %i,,

p = yh 230 000 = (13,6 x 9800)/r

.'. h = 1,726 m atau 1726 mm air raksa

Ini ekuivalen-dengan 1, ./26 mx 3,281 $ xmenjadi lb/ff:

12+ = 68.0 inci air raksa. Kembali ke Pers. (2.11)pertama-tama konversikan kPa1t

lllC+t230 kPa x 20,89 tfii = 4805 psf 4805 = 62,4h

... h = 7i.0 kaki air

Kita dapat juga mengkonversikannya ke meter air air raksa dan kemudian mengalikannya dengan 13,6 untuk memperoleh kaki

air.

2.3 MANOMETER

Manometer adalah instrumen yang menggunakan suatu kolom cairan untuk mengukur tekanan, ketimbang menggunakan

alat pengukur tekanan. Marilah kita menganalisis manometer tabung-U biasa yang disambungkan ke sebuah pipa, sepertiditunjukkan dalam Gbr. 2.3, untuk mengilustrasikan bagaimana menginterpretasi manometer; yang ini menggunakan airdan air raksa. Terdapat beberapa cara untuk menganalisis manometer; ini salah satunya. Pilihlah dua titik yang memilikitekanan yang sama, ini artinya, yang berada pada ketinggian yang sama di dalam cairan yang sama, seperti misalnyatitik 2 dan 3. Kemudian kita dapat menuliskan

Pz=Pz

Pt* TuirT = P++ THeH

Karena titik 4 terlihat terbuka ke atmosfer, tekanan di situ adalah tekanan alat nol: p4 = 0. Jadi manometer

mengukur tekanan di dalam pipa sebesar

Pt= \neH - Tui,h

Perhatikan bahwa sebuah

titik ditempatkan disemua antar

muka(interface).

Setiap antar muka harus diidenti{ikasi dengansebuah titik ketika menganitisis manometer.

(2.14)

ini akan

(2.1s)



BAB 2]

Akhirnya,

STATIKA FLUIDA 19

Gambar 2.3 Sebuah manometer tabung-U

yang menggunakan air dan air raksa.

CONTOH 2.2 Sebuah manometer menghubungkan sebuah jalur pipa minyak dengan sebuah jalur pipa air sebagaimana ditunjukkan

dalam Cbr. 2.4. Tentukanlah perbedaan tekanan di antara keduajalur pipa tersebut dengan menggunakan penunjukan pada manometer.

Cunakan S.inyak = 0.86 dan Srre = 13,6.

Air raksa

T

L-;lY

t

r =lopdA=ylonae

-ysin oJoyiA=yyAsina

Penyelesaian; Titik-titik yang diinginkan telah ditempatkan pada manometer dalarn Gbr. ?.4. Tekanan pada titik 2 sama

besamya dengan tekanan pada titik 3.

D,= D,Z IJ

P"l, 4 Toi, x0'M = P4+ YHsx O'08

Perhatikaa bahwa semua ketinggian harus dalam meter, Tekanan pada titik 4 pada intinya sama besarnya dengan pada titik 5,

karena berat spesifik udara dap*ai diabaikan dibandingkan dengan minyak. Jadi.

pq= ps

P4 = Pminya* - Yminyar x 0,05

Pair-Pminyak = -Tui, x 0,04 +THg x 0,08 *Y61nr4 x 0,06

= -9800 x 0,04 + (13,6 x 98ffi) 0,08 * (0,86 x 9800) 0,06 = 10 780 Pa

2.4 GAYA-GAYA PADA PERMUKAAN-PERMUKAAN DATAR DAN MELENGKUNG

Dalam desain-desain teknik di mana suatu cairan dikelilingi oleh permukaan-pernukaan, seperti misalnya bendungan,

dinding kapal, tangki air atau tanggul, perlu dilakukan perhitungan terhadap gaya-gaya dan lokasi-lokasinya yang disebabkan

oleh cairan pada berbagai permukaan. Cairan yang dimaksud biasanya adalah air, tapi dapat juga berupa minyak atau

cairan lainnya. Kita akan menyusun persamaan-persamaan untuk gaya-gaya pada permukaan-perrnukaan datar, akan tetapi

gaya-gaya pada permukaan-permukaan melengkung dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan-persamaan yang

sama. Contoh-contoh akan diberikan sebagai ilustrasi.

Perhatikan permukaan umum yang ditunjukkan dalam Gbr. 2.5. Cairan bekerja pada luas bidang yang ditunjukkan

sebagai bagian dari dindingl gambar tampak atas memberikan detail tambahan dari geometri yang dimaksud. Gaya pada

permukaan datar disebabkan oleh tekanan p = yh yang bekerja di seluruh luas bidang tersebut, artinya,

Gambar 2.4

(2.16)



Permukaanbebasp=Q

Daerah

bidang miring(tampak atas)

t0 STATIKA FLUIDA [BAB 2

Gambar 2.5 Gaya pada sebuah area bidang miring.

di mana y adalah jarak ke sentroid dari luas bidang tersebut; sentroid diidentiflkasikan sebagai titik C. persamaan (2.16)dapat juga diekspresikan sebagai

f=yhA Q.1n

di mana h adalahjarak vertikal ke sentroid*. Karena y11 adalah tekanan di sentroid, kita lihat bahwa besarnya gaya adalahluas dikali dengan tekanan yang bekerja di sentroid dari luas tersebut. Ini tidak bergantung pada sudut kemiringan cx,.

Akan tetapi, secara umum gaya tidak bekerja di sentroid.

Kita akan mengasumsikan bahwa gaya bekerja pada suatu titik yang diseblt pusat tekanan, yang diidentifikasi dengantitik (xo, )r). Untuk menentukan di mana gaya bekerja, kita harus mengenali bahwa penjumlahan momen-momen darisemua gaya-gaya infinitesimal harus sama besarnya dengan momen dari gaya resultan, artinya,

= ynton a,+

yz dA = y1, sin cr

f*rF=ysinulorydA

= YIr, sin u'

lnqar bohwa yl= l^y

al.-- lngat bahwa momen kedua dari sebuah persegi di sekeliling sumbu sentroidnya adalah bh3/12

rrF =rlorroo=yrirolo

di mana t adalah momen kedua** dari luas di sekeliling sumbu x. Teorema transfer sumbu paralel menyatakan bahwa

I,=T + At2

(2.18)

(2.1e)

di mana 1 adalah momen dari luas di sekeliling sumbu sentroid. Jadi, dengan memasukkan Pers. (2.19) ke dalam pers.

(2.18) dan dengan menggunakan ekspresi untuk F dari Pers. (2.16) dihasilkan

v= (2.20)

Ini membantu kita untuk menentukan di mana gaya bekerja. Untuk permukaan horizontal, tekanan terdistribusi seragamdi seluruh area sehingga gaya tekanan bekerja di sentroid dari bidang tersebut. Secara umum, l, lebih besar daripada y.Sentroid-sentroid dan momen-momen kedua untuk berbagai bidang diberikan di dalam buku-buliu Statika atau KekuatanMaterial. Informasi ini akan diberikan di dalam soal-soal di dalam buku ini.

Jika bagian atas dari bidang miring dalam Gbr. 2.5 berada pada permukaan bebas, distribusi tekanan pada bidangtersebut akan berupa segitiga dan gaya F yang disebabkan oleh tekanan tersebut akan berkerja melalui sentroid daridistribusi segitiga tersebut, yang artinya, dua-per-tiga jarak dari atas bidang miring tersebut.

Untuk menemukan koordinat x xp dari pusat tekanan, kita menggunakan

v+ I-Ay

(2.21)



BAB 2]

di mana I, adalah produk inersia dari

lokasi x dari pusat tekanan adalah

STATIKA FLUIDA

Gambar 2.6 Gaya-gaya pada suatu permukaan melengkung: (a) gerbang, (b) air dan gerbang dan (c) gerbang saja.

bidang tersebut. Dengan menggunakan teorema transfer untuk produk inersia,

2t

(c)b)

x=I ,,,f+-:ZAY

(2.22)

Persamaan-persamaan di atas memungkinkan kita untuk menghitung gaya-gaya yang bekerja pada permukaan-

permukaan melengkung. Perhatikan gerbang melengkung yang ditunjukkan dalam Gbr. 2.6(a). Objektif dari soal ini

adalah menentukan gaya P dari gerbang pada dinding vertikal dan gaya-gaya pada engselnya. Dari diagram-diagram

benda bebas dalam Gbr. 2.6(b) dan 2.6(c), gaya-gaya yang diinginkan dapat dihitung jika gaya Fw, yang bekerja melalui

pusat gravitasi dari bidang tersebut, dapat ditentukan. Gaya-gaya F, dan F, dapat diperoleh dengan menggunakan Pers.

(2.17), Gaya-gaya F, dan F, adalah komponen-komponen horizontal dan vertikal dari gaya dari air yang bekerja pada

gerbang tersebut. Jika kita dapat mengidentifikasi diagram benda bebas dari air di atas gerbang saja, maka kita akan

melihat bahwa

Fu = Ft dan Fr= Fr+ F* 12.23)

Seringkali, gerbang terbuat dari seperempat lingkaran. Dalam kasus demikian, soal ini dapat disederhanakan dengan

mengenali bahwa gaya-gaya F, darr F* jrka dijumlahkan sebagai suatu vektor, harus bekerja melalui pusat dari seperempat

lingkaran tersebut, karena semua gaya-gaya infinitesimal yang disebabkan oleh tekanan air pada gerbang yang membentuk

Fo dan F, bekerja melalui pusat tersebut. Jadi, untuk gerbang yang memiliki bentuk bagian dari sebuah lingkaran,

komponen-komponen gaya F, dan F, dapat diletakkan di pusat busur melingkar. Suatu contoh akan mengilustrasikan

hal ini.

Aplikasi terakhir dari gaya pada permukaan melibatkat gaya aptng (buoyancy), yaitt, gaya pada benda terapung.

Prinsip Archimedes menyatakan bahwa terdapat gaya buoyancy pada objek yang terapung yang besarnya sama dengan

berat dari cairan yang dipindahkannya, dituliskan sebagai

D-^,w' B - I' cairan yang dipindahlan

(2.24)

Karena hanya terdapat dua gaya yang bekerja pada benda terapung, besarnya harus sama dan saling berlawanan dan bekerja

melalui pusat gravitasi dari benda (benda itu sendiri bisa saja memiliki variasi densitas) dan sentroid dari volume cairan.

Benda yang dimaksud akan memposisikan dirinya sedemikian rupa sehingga pusat gravitasi dan sentroidnya akan berada

pada satu garis vertikal. Akan muncul pertanyaan mengenai stabilitas (akankah benda tersebut cenderung mendongak?),

akan tetapi tidak akan dibahas di sini.

COHTOH 2.3 Sisi atas sebuah gerbang bujursangkar 60 cm berada 12 m di bawah permukaan air. Gerbang tersebut membentuk

sudut 45" dan sisi bawahnya bertumpu pada engsel sebagaimana ditunjukkan dalam Gbr. 2.7(a1. Benpakah besarnya gaya P yang

dibutuhlan untuk membuka gerbang tersebut?

Penyelesaian: Langkah pertama adalah membuat sketsa diagram benda bebas dari gerbang sehingga gaya-gaya dan jarak-jarak

dapat teridentifikasi dengan jelas. Ini dilakukan dalam Gbr. 2.7(b). Caya F dihitung sebesar

p =yhe= 98 l0 x (12 + 0.3 sin 45")(0,6 x 0,6) = 43 130 N

Kita akan mengambil momen di seputar engsel sehingga tidak perlu menghitungEaya-gaya

F, derrr F

r.Kita tentukan jarak d di

mana gaya f bekerja dari engsel:



22 STATIKA FLUIDA

Gamb*r 2.8

[BAB 2

(2.26)

-I =v+.:AY

F,

Gambar 2.?

i = - lr: - 12 + 0.3 li,la5" = g27 m" srn 4-)" stn 41"

_ 11 .1 , 0,6 x O,63tl2= t't,Z't * roffi,r, = 17.272 m

"'61=Y+0'3-)r=0'3m

Catatan: Jarak y,

-y nilainya sangat kecil dan dapat diabaikan karena tinggi 12 m relatif besar dibandingkan dengan dimensi 0,6

m. Jadi, gaya P dapat dihitung:- o.tFP=#=21940N

u.o

Perhatikan lagi bahwa semua dimensi dikonversikan ke dalam meter.

COTITOH 2.4 Anggaplah gerbang dalam Gbr. 2.8 memiliki bentuk seperempat lingkaran dengan radius 80 cm dan engsel I m dibahwa permukaan air. Jika gerbang ini memiliki lebar I m. berapakah besarnya gaya P yang dibutuhkan untuk menahan gerbangpada posisi yang ditunjukkan?

Penyelesaian: Kita akan memindahkan gaya Frdan F, dalam Gbr. 2.6(c) ke pusat dari

busur melingkar ini. sebagaimana ditunjukkkan dalam Gbr. 2.8. Ini dimungkinkan karena

semua komponen-komponen gaya yang membentuk gaya vektor resultan F, + F, melaluipusat busur. Diagram benda bebas dari gerbang terlihat dalam Gbr. 2.8. Jika momen-momen

diambil di seputar engsel. {. F, dan Fu^tidak menghasilkan momen. Jadi.p = Fu

yang merupakan hasil yang cukup sederhana jika dibandingkan dengan situasi jika kitamenggunakan Cbr. 2.6tc). Gaya P adalah

-F = yhA = 98 l0 x (8 - 0.4)(0.8 x l) r

= 93 2ffiN

di mana Fu = Ft dan F, adalah gaya pada area vertikal yang ditunjukkan dalam Gbr.

2.6tbt.

2.5 WADAH YANG BERAKSELERASITekanan di dalam sebuah wadah yang berakselerasi dengan komponen a, dan a. diperoleh dengan mengintegralkan Pers.(2.8) di antara titik-titik terpilih I dan 2 unruk memperoleh

Pz- Pr = -Pax(42- xr) - P(.a, + dk2- z) (2.2s)

Jika titik I dan 2 terletak pada garis tekanan konstan (berarti permukaan bebas) seperti misalnya p2 = p1, seperti dalamGbr.2.9, dan a, = 0, Gbr. (2.25) memungkinkan ekspresi untuk sudut o:

0 = -pax(xz- xr) - QSk2- zr)

Z'-2, A-tan a, = i== i

Jika a- bukan nol, nilainya akan dimasukkan saja. Persamaan-persamaan di atas memungkinkan kita untuk melakukanperhitungan terhadap wadah-wadah dengan percepatan linier. Cairan di dalamnya diasumsikan tidak bergunc ang (sloshing);

wadah bergerak sebagai benda kaku. Suatu contoh soal akan mengilustrasikan hal ini.



BAB 2] STATIKA FLUIDA

Gambar 2.9 Wadah dengan percepatan linier

(r* P or\,, + drtdod:drlVolume = r d0 dr dz

sin d0 = d0

Gambar 2.10 Wadah berputar dan tampak atas dari elemen infinitesimalnya.

Untuk menentukan tekanan di dalam wadah yang berputar, Pers. (2.8) tidak dapat digunakan. jadi kita perlu

menurunkan ekspresi untuk tekanan diferensial. Perhatikan elemen infrnitesimal dalam Gbr. 2.10. Tampak atas dari

elemen tersebut juga ditunjukkan. Hukum kedua Newton yang diaplikasikan di arah radial r memberikan, dengan

mengingat bahwa a,= r{22.

23

a,

Q.2n

Perluaslah suku kedua secara berhati-hati, gunakan sir, d0l2 = d0/2, abaikan suku-suku ordo tinggi dan sederhanakan

Pers. (2.27) menjadi

pr d0 dz- (,. *rr)Q + dr)dO dz + p dr dzsin** o dr dzsint= o, d0 dr ctz rQz

4 =ora2

dr(2.28)

lni memberikan perubahan tekanan ke arah radial dan sebagaimana biasanya dp = -pgdz memberikan perubahan tekanan

ke arah z. Dengan menjaga z tetap, perbedaan tekanan dari r, ke r, diperoleh dengan mengintegralkan Pers. (2.28):

oo2 .pz- pr=Hsj lri - r,2) (2.2e)

Jika titik 1 berada di pusat rotasi sehinggtrr= 0, maka p2= pl2r:12 Jikajarak dari titik 2 ke permukaan bebas

adalah h sebagaimana ditunjukkan dalam Gbr.2.l1, sehingga pz= PBh, kita lihat bahwa

C)2 r^2h= zfyang merupakan sebuah parabola. Permukaan bebasnya merupakan

mengilustrasikan bagaimana persamaan-persamaan di atas digunakan.

io\i-,

(2.30)

sebuah paraboloid putaran. Sebuah contoh akan

Gambar 2.11 Permukaan bebas dalam wadah berputar



24 STATIKA FLUIDA

x

Air 40 Udara80 cm &

120 cm

IBAB 2

coNToH 2'5 sebuah tangki dengan panjang 120 cm berisi 80 cm air dan 20 cm udara yang dijaga pada 60 kpa di aras air.

;I*rtil ?l.lebar60 cm tersebu'diueritan"p.t..pron-io rt;.-t'.,r.n

"*apaikeseimhangan. renrukanrah gaya yang bekerja

Penyelesaian: Pertama-tama. buatlah sketsa tang-ki dengan menggunakan informasi yang diberikan di dalam soal. lni diberikanalam cbr. 2.12. Jarak x dapar dihubungkan denfan.v d;r;r;;;;;s;;iiu, p.o. tzl;;l:- "'"*"'

20 cm

----'a

ran a=?=#=+ ... 1'= r,orex

Gambar 2.12

Persamakanlah luas udara sebelum dan sesudahnya untuk memperoleh , atau.y:

l20x2o=l-=1 19- 7^t - 2 r .'. x = 68.63 cm dan .v = 69,94 cm

[tJ#lT.H:.'il:iri,t"berubah di dalam udara di atas air karena volume udara ridak berubah. Tekanan di A dan B menjadi

pt = @000 + 1000 x l0 x (1.20_ 0,6863) + 9gl0 x t,0 m = 74 900 pa

l,s = 60 000 + 98 l0 x (1.00 _ 0.6994) = 62 900 pa

ff*i*rata-rala di dasar addah toA + 1tr)/2' Kalikan tekanan rara-rara dengan ruasnya unruk menenlukan gaya yang bekerja di

r = U| n 4 = 4JQg_r6L2Qg (1,2 x 0,61 = 4e 610 N

CONTOH 2.6 Silinder dalam Gbr. 2.13 dipurar di sepurar sumbupusatnya sebagaimana ditunjukkan. e.rupukrt i"".pr", pr"*;;;dibutuhkan sehingga air menyentuh ritik a. Selain itu. renrukan guyu ;,dasar silinder. - ---" o-J- vr

2 cm

Penyelesaian: vorume udara sebelum dan sesudahnya harus letap sama.Dengan mengenali bahwa volume suatu paraboloid putaran uaufun ,'.r.rgJdari volume sebuah silinder bulat dengan radius ian ti"ggi yang *u;a,tinggai dari paraboloid putaran diperolJ sebesar:

'-"oo' r$'rb uq,rqr

20 cm

nxa,16zxo,o2 = |n x0,rc2h ... h =o,o4mCunakan Pers. (2.30) untuk memperoleh e:

0,.- = a;i 3:*f e = 5.54 radls

Tekanan di dasar sebagai fungsi dari radius r adatah p(r),diberikan oreh

p*pr=p${}_r,r)

di mana po = 9810 x (0,20 - 0.04) = 1570 pa. Jadi.

1000 x 5.-5.12p =-_*

r + l5i0 = t5 346i + 1570

Tekanan diintegralkan di seluruh luas untuk memperoleh gaya sebesar

Gambar 2.13

p.l6I

Jo (15 3461 + 1570)2nr clr - t4l.t N



BAB 2] STATIKA FLUIDA25

't1

2.3

Soal-soal dan penyelesaiannya

2'l Turunkanlah suatu ekspresi untuk perubahan densitas di dalam cairan dengan mengasumsikan modulus bulk konstandan temperatur konstan.

Densitas belubah di dalam cairan sesuai dengan Pers. (1.13). B - p1^pl[plr. pada per.bedaan remperatur yang kecil, inidapat dituliskan sebagai, dengan menggunakan pers.(2.9),

,tp=idp=psdh arau '*u=*0,,

Dengan mengasumsikan nilai konstan untuk B. buatiah pengintegralan:

r'# = EI,',,0Dengan melakukan pengintegralan kenaikan densitas diperoleh

-L . i,= ' arau p =,_ i,n,,Ini akan digunakan dengan dp = ps rilr untuk memberikan perubahan tekanan di laut.

Sebuah manometer tabung u mengukur tekanan di dalam sebuah pipa udara sebesar

l0cn.r

air. Hitunglah tekanandi dalam pipa.

Lihatlah Cbr. 2.3. persamaan (2.15) memberikan jawabannya:

Pt= TuoH - -ynn-,^h = 98 l0 x 0.1 = 981 Pa

Kita telah mengabaikan suku yuo".rft k&rero yuda.o kecil dibandingkan dengan yr..

Tentukanlah gaya P yang dibutuhkan untuk menahan gerbang selebar 2 m dalam Gbr. 2.4 dalam posisi yangditunjukkan jika h = 1.2 m

Gambar 2.14

Caya dari air pada gerbang diberikan oleh pers. tl.l7t. delgun menggurrakan /r = 0.6 nr. schesar

p = yhs = etjl0 x 0.6 x (r,J ;r", z) = 15 5e0 r.,r

.Gaya F bekerja tegak lurus terhadap gerbang. Momen-momen pada elgsel nrernberikan

Fd, = p4, ls -5e0 -04: = r (ffi" . o,a) ... p = 4860 N

Kita telah menggunakan r/, sebagai jarak ke F dan d, sebagai jarak ke p.

2'4 Tentukanlah gaya P yang dibutuhkan untuk menahan gerbang selebar 3 m dalam posisi yang ditunjukkan dalamCbr.2.15(a)jikar=2m.

Seperempat lingkaranradius = r

(h)

Gambar 2.15

Engsel



26 STATIKA FLUIDA [BAB 2

Terdapat komponen gaya horizontal dan vertikal yang bekerja pada gerbang. Distribusi tekanan pada gerbang akan samajika air berada di atas dan di sebelah kanan gerbang. Jadi, hanya diagram benda besar dari air yang ditunjukkan dalam Gbr.2.15(b). Diagram benda bebas dari gerbang ditunjukkan dalam Gbr. 2.15(c). Gaya-gaya F r = Fa dan F* = Fy adalah

F, = F*= yy

=9810 " jo"22x3=92580N

Jarak d, dan d, (F,y bekerja melalui sentroid dari seperempat lingkaran) adalah

d,= x2=0.--- 41 4v)t J '667 m dr= 3i= T;o = 0.8488 m

(Gaya F, disebabkan oleh distribusi tekanan segitiga pada bidang persegi vertikal, jadi gaya tersebut pasti bekerja melaluisentroid dari distribusi tersebut: dua-per-tiga jarak dari permukaan, atau sepertiga jarak di atas engsel.) Momen-momen pada

engsel memberikan

2,6P=dfn+d2Fv =0,667 x58 860+0,8488 x92580 :. p - 45 300N

Kita dapat menyederhanakan perhitungannyajika kita memindahkan gaya-gaya F, dan Fu ke pusat busur melingkar (lihat lagiContoh 2.4). Maka, momen-momen pada engsel akan memberikan

2,6P = 2Fa .'. P - 45 300 N

2.5 Tangki dalam Contoh 2.5 diisi dengan air tapi memiliki lubang kecil di bagian paling kiri atas. Selanjutnya

tentukanlah gaya yang bekerja di dasar tangki. Semua kuantitas lainnya tetap sebagaimana diberikan di dalam

contoh tersebut.

Garis tekanan konstan dari tekanan alat nol melalui sudut kiri atas dan memanjang ke bawah B sejauh jarak z (buatlah sketsa

yang memiliki sebuah segitiga dengan sisi kiri setinggi (100 + z) cm dan dasarnya sepanjang 120 cm), di mana z diperolehdari

Fn = Ft= yhA

= 9810 x I x (2 x 3) = 53 369 Y

tana.=# =1%#

Titik B adalah 22,3 cm di atas garis tekanan nol sehingga tekanan di B adalah

pn = - yz = -9810 x 0,223 = -2190 Pa

Tekanan di A dan tekanan rata-rata di bidang dasar adalah

pa=9810x 1,0=9810pa dan prata-rata ='o*-" - 9810-2190=3810pa22

Jadi gaya di dasar adalah F = pruru_ruruA = 3810(0,6 x 1,2) = 2740 N

2.6 Sebuah tabung tes diletakkan di dalam sebuah alat yang beqputar yang perlahan-lahan memposisikan tabung tersebut

pada posisi horizontal ketika berputar dengan kecepatan yang cukup tinggi. Jika kecepatannya adalah 1000 rpm,

estimasikanlah tekanan di dasar dari tabung tes dengan diameter yang relatif kecil tersebut jika tabung itu berisi

air dan panjangnya 12 cm. Bagian atas dari tabung memiliki radius 4 cm dari sumbu rotasinya.

Paraboloid putarannya merupakan permukaan tekanan konstan. Yang melalui bagian atas dari tabung tes berputar tersebut

adalah permukanan tekanan nol. Jika kita meletakkan titik "1" di sumbu putaran dan "2" di dasar tabung tes, maka Pers.

(2.29) mengambil bentuk

pz- pt= ryer-rr) atau p2=L-

1000(1000 x 2n160)20.12 = 65 800 Pa

Soal-soal lhmbahan

Perubahan Tekanan

2.7 Konversikan yang berikut sebagaimana diminta:

(a) 2 m air ke cm air raksa

(b) 20 kPa ke mm air raksa

(c) 34 tt air ke kPa

(A 760 mm air raksa ke ft air

(e) 250 kPa ke psi

(fl 32 psi ke kPa

2.8 Hitunglah perbedaan tekanan dari puncak sebuah rumah ke tanah jika jaraknya

.'. z=22,3cm

10 m. Buatlah asumsi-asumsi yang tepat.




2.9 Seorang ahli cuaca menyatakan bahwa tekanan barometer adalah 29 in air raksa. Konversikan tekanan ini menjadi (a) kPa,

(e) psi, (c) kaki air dan (lS bar.

2.10 Tentukanlah kedalaman suatu cairan yang dibutuhkan irntuk menghasilkan perbedaan tekanan sebesar 225 kPa jika cairannya

adalah (a) air, (b) udara pada kondisi standar, (c) air raksa dan (A minyak pelumas dengan S = 0,86.

2.ll Gravitasi spesifik suatu cairan adalah 0,75. Berapakah ketinggian cairan tersebut yang dibutuhkan untuk memberikan perbedaan

tekanan sebesar 200 kPa?

2.12 Asumsikan tekanan sebesar 100 kPa absolut pada permukaan tanah. Berapakah tekanan di puncak sebuah dinding setinggi 3

m yang berada di luar di mana temperaturnya -20'C dan di dalam sebuah rumah di mana temperaturnya 22 "C? (Perbedaan

ini mengakibatkan infiltrasi sekalipun tidak ada angin.)

2.13 Tentukanlah ekspresi untuk perubahan tekanan di lautan dengan mengasumsikan Po = 1030 kgim3 untuk air laut dengan

menggunakan modulus bulk sebesar 2100 MPa (lihat penyelesaian untuk Soal 2.1). Estimasikanlah tekanan pada 2000 m dengan

menggunakan (a) ekspresi yang diperoleh dan (b) densitas konstan sebesar 1030 kg/m3. (c) Hitunglah persentase kesalahan

dalam (b) dengan mengasumsikan bahwa (a) adalah nilainya yang akurat.

2.14 Dari kira-kira 12 hingga 20 km, temperatur di stratosfer adalah konstan pada 217 K. Dengan mengasumsikan tekanan pada

12 km sebesar 19,4 kPa, gunakan Pers. (2.13) untuk memperkirakan tekanan pada 20 km. Hitunglah kesalahannya dengan

menggunakan Tabel C.3 dalam Apendiks C untuk memperoleh nilai yang lebih akurat.

2.15 Asumsikan distribusi temperatur T =288 - 0,00652 K dan integralkan untuk menentukan tekanan di l0 km di atmosfer dengan

mengasumsikan p = 101,3 kPa di z = 0. Hitunglah kesalahannya.

Manometer '

2,16 Dalam Gbr. 2.3, hitunglah tekanan di dalam pipa air jika:

2'I

(a)h=10cmdanH=20cm(c)h=20cmdan11=30cm

(b)h=15cmdanH=25cm(d)h=lTcmdanH=32cm

2.17 Tekanan di bagian hidung sebuah pesawat terbang kecil diberikan oleh p = \ pV', ai mana p adalah densitas udara. Sebuah

manometer tabung U mengukur l0 cm air. Tentukanlah kecepatan pesawat t6rbang tersebut jika menjelajah pada ketinggian:

(a) l0 m (b) 4000 m (c) 6000 m

2.18 Hitunglah perbedaan tekanan di antara pipa udara dan pipa air dalam Gbr. 2.16 jika H adalah:

(a) 5 cm (b) 8 cm (c) 10 cm

IIHt-lJ CMI

v

f-Air raksa

Gambar 2.16

2.19 Gantikan udara di antara titik 4 dan 5 dalam Gbr. 2.16 dengan minyak yang memiliki S.inyuk = 0,86 dan jadikan za - z, = 6

cm. Hitunglah perbedaan tekanan di antara pipa udara dan pipa air jika I/ adalah:

(.7) 5 cm (b) 8 cm (c) 10 cm

2.20 Jika puncak manometer dalam Gbr. 2.17 terbuka, maka level air raksa adalah l0 cm di bawah pipa udara tidak bertekanan.

Puncak manometer ditutup rapat dan pipa udara diberikan tekanan. Estimasikanlah penunjukan untuk H untuk tekanan sebesar

200 kPa di dalam pipa air. Asumsikan proses isotermal untuk udara di atas air raksa.

Puncak manometer

Gambar 2.17

Air raksa



28 STATIKA FLUIDA IBAB 2

Gaya-gaya di Permukaan-permukaan Datar dan Melengkung

2.21 Sebuah kapal Selam memiliki jendela pengamatan berdiameter 60 cm. Tentukanlah gaya tekanan dari air pada jendela jikatitik tengah jendela berada 30 cm di bawah permukaan dan jendela tersebut (a) horizontal, (b) vertikal aan 1c; memiliki sudut45".

2.22 Sebuah septik tank beton memiliki ukuran 2 m x 80 cm x 120 cm dan memiliki dinding yang tebalnya 8 cm. Tangki tersebutterkubur sama rata dengan permukaan tanah. Jika kosong, seberapa tinggikah air yang memenuhi tanah harus nait di bagian

luar tangki untuk menyebabkan tangki tersebut tersembul keluar dari tanah? Asumsikan ,S*,o, = 2,4.

2.23 Dalam Soal 2.3, hitunglah gaya P jika D adalah:(a) 80 cm (b)2m (c) 2,4 m

2,24 Sisi atas dari sebuah gerbang vertikal berdiameter 2 m terletak 4 m di bawah permukaan air. Bagian paling bawahnya bertumpupada engsel. Berapakah gaya, yan9 bekerja di bagian atas gerbang, yang dibutuhkan untuk tetap menjaga gerbang tersebuttertutup?

2.25 Gunakan Pers. (2.20) dan tunjukkan bahwa gaya pada suatu permukaan persegi yang rata pada sudut B terhadap horizontalbekerja sepertiga di atas dasarnya jika bagian atas dari persegi tersebut berada pada permukaan air.

2.26 Pada ketinggian 11 berapakah gerbang dalam Gbr. 2.18 akan terbuka jika ft adalah:(a) 1,0 m (b) 1,2 m (c) 1,4 m (d) 1,6 m

Gambar 2.18 Gambar 2.19 Gambar 2.20

2.27 Gerbang yang ditunjukkan dalam Gbr.2.19 akan terbuka secara otomatis ketika level air mencapai suatu ketinggian tertentukdi atas engsel. Tentukanlah ketinggian rersebut jika b:

(a) r,2 m (b) t.6 m (c) 2,0 m

2.28 Suatu distribusi tekanan terbentuk di bawah sebuah bendungan beton (S = 2,4), sebagaimana digambarkan dalam Gbr. 2.20.Apakah bendungan tersebut akan memiliki kecenderungan te{ungkal (umlahkan momen-momen pada sudut kanan bawah)jika:

(a)H=30m, h=4m (b)H=40m, h=6m (c)H= 50m, ft=8m

2.29 Dalam soal 2.4, hitunglah gaya P jika r adalah:

(a) 1,6 m (b) 2,4 m (c)3m

2,30 Anggaplah gerbang dalam Gbr. 2.21 sebagai seperempat lingkaran dengan radius 80 cm. Tentukanlah gaya p yang dibutuhkanuntuk membuka gerbang selebar I m ini jika engselnya:(a) 2 m di bawah permukaan. (b) 3 m di bawah permukaan. (c) 4 m di bawah permukaan.

2.31 Hitunglah gayayang bekerja pada engsel dalam (c) Soal 2.30a, (D) Soal 2.30b dan (c) Soal 2.30c.

2.32 Tentukanlah gaya P yang dibutuhkan untuk membuka gerbang parabola selebar 2 m dalam Gbr.2.22 jika engselnya beradadi posisi y berikut dalam bidang ry:

(a)2m (D)8m

Air

l,Engsel Engse

fiZm

Gambar 2.21

J=Lx2




2.33 Sebuah benda memiliki berat 200 N di udara dan 125 N jika direndam di air.

Hitunglah berat spesifiknya.

2.34 Sebuah benda dengan volume 1200 cm3 memiliki beratl} N. Akan menjadi berapakah

beratnya jika direndam di air?

2.35 Sebuah benda yang lebih ringan daripada air membutuhkan gaya 20 N untuk

menahannya di dalam air. Jika beratnya 75 N di udara, berapakah densitas dan

gravitasi spesifiknya?

2.36 Silinder yang ditunjukkan dalam Gbr. 2.23 menarik keluar sebuah penyumbat jika

kedalaman air mencapai suatu tinggi tertentu H. Penyumbat bulat dan silinder

sepanjang 2 m tersebut memiliki berat 2000 N. Tentukanlah 11 jika R adalah:

(a) 20 cm

(b) 40 cm

(c) 60 cm

Wadah yang Berakselerasi

2.46 Tentukanlah gaya di dasar silinder dalam

(a) Soal 2.45a,

(b) Soal 2.45b dan

(c) Soal 2.45c.

29

2.37 Tangki yang ditunjukkan dalam Gbr. 2.24 diisi dengan air dan diberikan

percepatan dengan dua komponen yang ditunjukkan.

Hitunglah tekanan di A dan B jika:

(a) a,= 6 m/s2, ar= 0 dan h = 1,4 m

(b)a*=0,a,=6 m/s2dan h=2,4mA

(c) a, = 6 m/s2, a.= 6 mls2 dan h = 2 m

(A a, = 6 m/s2' a, = 2 m/s2 dan h = 1,4 m

2.38 Tentukanlah gayayang bekerjadi dasar tangki selebar 2 m dalam (a,) Soal 2.37a, (b) Soal 2.37b, (c) Soal 2.3'lc dan (d) Soal

2.37d.

2.39 Tentukanlah gaya y^tg bekerja di sisi kiri tangki selebar 2 m dalam (a) Soal 2.37a, (b) Soal 2.3'lb, (c) Soal 2.31c dan (fiSoal 2.3'7d.

2.40 Tangki dalam Soal 2.37a diberikan percepatan ke arah kiri, dan bukan ke kanan. Hitunglah tekanan di A dan gaya di dasar

dari tangki selebar 2 m tersebut.

2.41 Tentukanlah tekanan di titik A dan B di dalam air di dalam

tabung U dalam Gbr. 2.25 jtka:. A

(a) L = 40 cm dan a, = 6 m/s2

(b) L = 60 cm dan a, = -lO mls2

(c) L = 50 cm dan a, = 4 mls2

2.42 Tabung U dalam Soal 2.41 diputar pada kaki kanannya pada 100 rpm.

Hitunglah tekanan di A dan B di dalam air jika L: BX

(a) 40 cm (D) 50 cm (c) 60 cm Gambar 2.25

2.43 Tabung U dalam Soal 2.41 diputar pada kaki kirinya pada 100 rpm.

Hitunglah tekanan di A dan B di dalam air jika L:

(a) 40 cm (b) 50 cm (c) 60 cm

2.44 Tabung U dalam Soal 2.41 diputar di tengah-tengah bagian horizontalnya

pada 100 rpm. Hitunglah tekanan di A dan B di dalam air jika L:

(a) 40 cm (D) 50 cm (c) 60 cm

Tentukanlah tekanan di titik A di dalam silinder dalam Gbr. 2.26

jika Q = 100 rpm dan R adalah:

(a) 40 cm (b) 60 cm

2.45

Gambar 2.23

Gambar 2,24

--J Ir.,"

-Tefiuka

(c) 80 cm

Gambar 2.26



30 STATIKA ITLUIDA

Jawaban-jawaban untuk Soal-soal Thmbahan

2.7 (a) 4,'7 cm (b) 150 mm (c) 101,7 kPa

(d) 33,9 ft (e) 36,25 psi (f1 22t kPa

2.8 120 Pa

2.9 (a) 15,23 kPa (b) 2.21 psi (c) 5,09 ft(d) 0,1523 bars

2.10 (a) 22,9 m (D) 18 650 m (c) 1,686 m

(d) 26,7 m

2.11 27,2 m

2.12 99 959 Pa,99 965 Pa

2.13 (a) 20,3 MPa (b) 20,2t MPa (c) -0,44Va

2.14 5,50 kPa, 45l%o

2.15 26,3 YJa.,4,757o

2.16 (a) 25,7 kPa(b)

31,9 kPa(c) 38,1 kPa

td) 41.0 kPa

2.17 (a) 40,1 m/s (b) 49,1 rn{s (c) 54,5 m/s

2.18 (a) 6,18 kPa (b) 10,2 kPa (c) 12,8 kPa

2.19 (a) 5,6'7 kPa (&) 9,68 kPa (c) 12,34 kPa

2.20 30,7 cm

2.21 (a) 83,2 kN (b) 83,2 kN (c) 83,2 kN

2.22 54,2 cm

2.23 (a) 1212 N (b) 10,6 kN (c) 15.96 kN

2.24 24,4 kN

2.25 Jawaban ada dalam soal

2.26 (a) 1.8 m (b) 0,667 m (c) 0,244 m

(4om

2.27 (a) 2,08 m (b) 2.77 m (c) 3,46 m

2.28 (a) Akan terjungkal (b) Akan terjungkal (c) Tidak akan terjungkal

2.29 (a) 17,1 kN (b) 28,2 kN (c) 36,8 kN

2.30 (a) 6500 N (b) 1290 N (c) 8070 N

2.3r (a) 4710 N (b) s490 N (c) 6280 N

2.32 31,9 kN (r) 91,4 kN

2.33 2,67, 0,00764 m3

2.34 8,23 N

2.35 789 kg/m3. 0,789

2.36 (a) 2,39 m (b) z,l9 m

2.37 la) 13,.73 kPa, -l 1,47 kPa (b) 3'7,9 kPa, 37,9 kPa (c) 31,6 kPa. -4,38 kPa

(A rc,53 kPa, -8,67 kPa

2.3s (a) 9,49 kN (b) 546 kN (c) 327 kN (4 66 kN

2.39 (a) 19,22 kN (b) 53,1 kN (c) 44,3 kN (d) 23,1 kN

2.40 13,73 kPa, 221 kN

2.41 (a) 240 kPa, 3,92

kPa(b) 6.00 kPa, 3,92 kPa (c) 2,00 kPa. 3,92 kPa

[BAB 2

+



Pergerakan Fluida

3.I PENDAHUI,T,A\

Bab ini memperkenalkan subjek pergerakan aliran fluida secara umum. Pergerakan-pergerakan ini cukup kornplets dinmembutuhkan pengetahuan matematika yang cukup dalam untuk menjelaskannya jika semua detail ingin diketahui. Melaiuipengalaman kita dapat membuat asumsi-asumsi yang menyederhanakan proses matematika yang diperlukan, walaupundemikian sekalipun soal-soalnya secara matematis dapat menjadi cukup rumit. Untuk mendeskripsikan pergerakan udaradi seputar airfoil, air di sekeliling kapal. tornado, angin topan, gerakan agitasi di dalam mesin cuci atau bahkan air yang

melalui katup, matematikanya menjadi sangat rumit dan berada di luar cakupan suatu mata kuliah pendahuluan. Walaupundemikian, kita akan menurunkan persamaan-persamaan yang diperlukan untuk mendeskripsikan pergerakan-pergerakan

tersebut tapi akan membuat asumsi-asumsi yang menyederhanakan yang memungkinkan banyak soal dapat diselesaikan.Soal-soal ini termasuk aliran di dalam pipa, melalui saluran. di sekeliling silinder-silinder yang berputar dan di da*lrnlapisan batas di dekat dinding yang datar. Aliran-aliran kompresibel yang melibatkan geometri-geomerri sedothilpajugatermasuk di dalamnya.

Asumsi-asumsi yang akan kita ambil termasuk yang menyangkul geometrinya: pipa dan saluran biasanya lurus dan

halus, dan dinding biasanya datar. Semua fluida bersifat kental(viskositas

menyebabkan fluida melekat ke permukaan)akan tetapi seringkali kita mengabaikan efek-eick kekentalan tersebut: walaupun demikian. jika efek-etek kekenulanharus dimasukkan kita dapat memaksakan bahwa sifatnya linier, suatu asumsi yang baik untuk air dan udara. EJek-efekkompresibilitas juga dapat diabaikan untuk kecepatan rendah seperti misalnya yang dijumpai dalam pergerakan angin(termasuk angin topan) dan aliran di sekitar airfoil pada kecepatan di bawah kira-kira 100 m/s t22O rnilljarn) ketikasedang terbang di dekat tanah.

Dalam Subbab 3.2, kita akan mendeskripsikan pergerakan fluida secara umum, yang diikuti oleh klasffikasi berbagaitipe flurda dan kemudian memperkenalkan persamaan Bernoulli yang terkenal itu bersamaan dengan berbagai asumsiyang membuatnya dapat diterapkan hanya dalam beberapa situasi saja.

3.2 PERGERAKAN FLUIDA

3.2.1 Deskripsi Lagrangian dan Euleria . :r: .i::,,. :, :

Pergerakan sekelompok partikel dapat dibayangkan dalam dua cara dasar: fokusnya dapat pada satu partikel individu,sepefii mengikuti suatu mobil tertentu di jalan bebas hambatan yang disesaki oleh mobil (sebuah mobil patroli polisimungkin melakukan hal ini sambil bergerak mengikuti lalu lintas), atau dapat pada suatu lokasi tertentu iem,E_ ,4qUit

mobil bergerak lewat (sebuah mobil patroli yang berjaga-jaga di sepanjang jalan bebas hambatan mungkin metatukpnini). Jika dianalisis secara tepat, penyelesaian terhadap suatu soal akan memberikan jawaban yang sama dengqn carayangmanapun (ika Anda melaju terlalu cepat, Anda akan mendapatkan tilang dari mobil patroli yang manapun).

Ketika menyelesaikan suatu soal yang melibatkan suatu objek tunggal, seperti dalam mata kuliah diua ,,f*ktrsnyaselalu pada objek yang dimaksud. Jika terdapat beberapa objek, kita akan menentukan posisi r(xe. )o- ra. 0, kgc.epatan

V(x,,,l'6, zo, r) dan percepatan a(xs, )0, zo, /) dari objek yang menempati posisi (xo, )s,26, /) di waktu:aw.alry1,ra-,Pesisi

(ro, )o,zn, /) adalah "nama" dari objek yang sedang diperhatikan. Ini adalah deskripsi pergerakon Lagrangian. Deskripsiini sulit untuk digunakan di dalam aliran fluida di mana terdapat banyak partikel. Kira akan melihar cara kedua untuk

mendeskripsikan pergerakan fl uida.

32



34 PERGERAKAN FLUIDA

di mana dV ditunjukkan di dalam gambar. Dari hukum rantai kalkulus, kita tahu bahwa

IBAB 3

(3.4)

(3.5)

(3.e)

(3.10)

*a, **a,dz dt

v = frax

dV dY dx aV d) . dY dz. dY

,lr = d, dt* av at*E dt* dt

dx-.. dY-.. dz-.';;= u dr=t' dt=t''

AV AV AV AVa=II-:-+l'--*lt'-* -dx dl dz. dt

**ar*dy

karena V = V(x, y, z, t). Ini memberikan percepatan

,r/Partikel fluida

pada waktu t

(:::: uu,//u.*,pada waktu r + dt Segitiga kecepatan

Gambar 3.2 Kecepatan suatu partikel fluida.

Selanjutnya, karena V adalah kecepatan partikel di ("x, y, a), kita jadikan

Y=ui+vj+wk (3.6)

di mana (u, v, tu) adalah komponen-komponen kecepatan dari partikel masing-masing ke arah x, y dan z dan i, j dan k

adalah vektor-vektor unit. Untuk partikel di titik yang ingin diketahui, kita memiliki

G.n

sehingga percepatan dapat diekspresikan sebagai

(3.8)

Derivatif waktu dari kecepatan merepresentasikan percepatan lokal dan ketiga suku lainnya merepresentasikan

percepatan konvektif. Di dalam sebuah pipa, percepatan lokal terjadi jika kecepatan berubah terhadap waktu sementara

percepatan konvektif terjadi jika kecepatan berubah terhadap posisi (seperti yang terjadi di belokan atau katup).

Penting untuk diperhatikan bahwa ekspresi-ekspresi untuk percepatan telah menggunakan bingkai referensi inersial,

yang artinya, bingkai referensi itu sendiri tidak mengalami percepatan. Suatu bingkai referensi yang diasumsikan terpaku

ke tanah memiliki percepatan yang dapat diabaikan untuk soal-soal di dalam buku ini. Jika suatu bingkai referensi terpaku

pada, katakanlah, lengan penyemprot sebuah mesin pencuci piring, komponen-komponen percepatan tambahan akan masuk

ke dalam ekspresi-ekspresi untuk vektor percepatan.

Persamaan vektor (3.8) dapat dituliskan sebagai tiga persamaan skalar

u*= '4 +'+ * '$ *$dx d;' dz dl

Dv 3v 3v Dvor.= uai + r,fu + *E " A

o, = ,fud** ,%- . ,'# . %+

Kita biasanya menuliskan Pers. (3.9) (dan Pers. (3.8)) sebagai

"=#di mana DiDr disebut derivatif material, atau derivatif substansial, karena kita telah mengikuti suatu partikel material,

atav zat, pada suatu instan. Dalam koordinat-koordinate kartesian, derivatif material adalah

Derivatif ini dapat digunakan untuk kuantitas-kuantitas lainnya yang diinginkan,

merepresentasikan laju perubahan tekanan partikel fluida pada suatu titik (a y, z).

(3 .1 1)

seperti misalnya tekanan: Dp/Dt

Derivatif material dan komponen-komponenpercepatan untuk koordinat silindris dan sferis dalam Tabel 3.1 di akhir

dari subbab ini.

P-=u.d*19*r9*9Dt dx dy dz dt



du,ll )r

-O|v

d1t

v

udx

BAB 3] PERGERAKAN FLUIDA

Gambar 3.3 Permukaan persegi dari sebuah elemen fluida.

3.2.4 Kecepatan Sudut dan Vortisitas

Bayangkanlah sebuah aliran fluida sebagai pergerakan dari sekelompok partikel fluida yang terdeformaii dan berotasi

sambil bergerak. .Pada suatu instan waktu, kita dapat membayangkan semua partikel yang membentuk aliran tersebut

sebagai kubus-kubus kecil. Jika kubus-kubus tersebut hanya terdeformasi dan tidak berotasi, kita menyebut aliran tersebut,

atau bagian dari aliran tersebut, sebagai aliran irotasional. Aliran-aliran demikian terutama ingin kita ketahui dalam

pembahasan kita mengenai fluida; aliran-aliran ini eksis di dalam tornado yang jauh dari "mata"nya dan di dalam aliran

yang jauh dari permukaan airfoil dan mobil. Jika kubus-kubus tersebut tidak berotasi, kubus-kubus itu memiliki vortisitas.Kita akan menurunkan persamaan-persamaan yang memungkinkan kita untuk menentukan apakah suatu aliran irotasional

atau apakah memiliki vortisitas.

Perhatikan permukaan persegi dari suatu volume infinitesimal yang ditunjukkan dalam Gbr. 3.3. Kecepatan sudut

Q. di seputar sumbu z adalah kecepatan sudut rata-rata dari segmen AB dan AC, di mana arah yang berlawanan dengan

jarum jam diambil sebagai arah positif:

3s

., -Qou * Qo.

- f lrj ] - -(ur- uoll":- 2 -2L dx dy l

a* **dx oY

drc -dy

Jika kita memilih permukaan-permukaan lainnya, kita akan memperoleh

f), Qr=

Komponen-komponen vortisitas dalam koordinat-koordinat silindris diberikan dalam Tabel 3.1

vortisitas dan kecepatan sudut untuk aliran irotasional adalah 0; partikel-partikel fluidaterdeformasi.

1 /Eu Ea\=Z\ar-a)/

1 ldu Dw\z l;t - a;/

(3.12)

(3.1 3)

(3.14)

Komponen-komponen

tidak berotasi, hanya

Ketiga komponen dari komponen-komponen kecepatan sudut ini merepresentasikan laju rotasi partikel fluida pada setiap

sumbu koordinat. Ekspresi untuk C), memberikan prediksi laju rotasi sebuah sumbat pada bidang "ry dari aliran air di

dalam sebuah saluran.

Vektor vortisiras co didefinisikan sebagai dua kali vektor kecepatan sudut: a = 2eL Komponen-komponen vortisitasnya

adalah

,- 3v du(l)- =-

--'dxdy

1 ldw 3v\2\Dy 0./

,= ?ry- ,=9tL_ dy*x Dv 0z *) dz dx

Tabel 3.1 Derivatif Material, Percepatan dan Vortisitas di dalam Koordinat-koordinat Kartesian, Silindris dan Sferis

Derivatif material

Kartesian

2=r4*r9*r'Dt dx dv

SilindrisD _,, d

-

Ya 3-Dt- ",dr' r A0'

aa-*-z. dt

,?*9 dz. dt



Lanjutan Tabel 3.1

Sferis

D d YeD va a a

Dt = t',ir" V Ae* rrin0 ap*

a,

Percepatan

Kartesian

du du du du Dv Dv Dv Dv dw Dw dw dwa=u-+v_+]4r+-a=u-+y-+w-+-a=u+y-+'dxd.vdzdtrdrdydzdr'dxdydzdt

Silindris

dr, vrdv, dv. ,l Dr. Dr, vrdv, dro v,vo dr,o,='rar*n ae*',ar. - r* at ou='rar*, ae*'rar.* , *a,

Dr., vo dv, Du, Ey.-

ar=v,Ar*,ag

*'.a.*a,

Sferis

' Or, vuOv, v, dr, vj+v2r.dr, dv, . vr}v, vq dr, v,v,-v2^cot0 dr,o,=',,a,*,ae+rSinoao_,*a,ae=',,-a,*,ae+.,in,oao*.fr*;,

3v, . r'g Eup vE drq vrvd)+ vrvrcol.0 Droaa=t'' a/* , ag

*..ineao

* -? *a,

Vortisitas

Kartesian

dw Dr' ,. du 0w -. dv 0u0)=--- ())=--- u)=---'dldz'dzdx-dxdy

Silindris

_- |Dr,

Er, _. dr,Dr.

_. 1 d(rv; Idr,

''=, ab-}. ''= a. -E ''=, a, - r 66

36 PERGERAKAN FLUIDA IBAB 3

Tegangan intemal di dalam aliran disebabkan oleh deformasi dari partikel-partikel fluida. Pembahasan mengenai deformasi

partikel-partikel fluida mengarah ke komponen-komponen laju regangan dan, dengan menggunakan persamaan-persamaan

konstitutif yang memasukkan viskositas, ke ekspresi-ekspresi untuk tegangan normal dan geser. Jika hukum kedua Newton

kemudian diaplikasikan pada suatu partikel, akan dihasilkan persamaan Navier-Stokes yang terkenal itu (lihat Bab 5). Kitamemberikan persamaan-persamaan ini, bersama-sama dengan persamaan kontinuitas (yang akan diturunkan nanti), dalam

Tabel 3.2 untuk melengkapi pembahasan di sini dan akan membahas aplikasi-aplikasinya dalam bab-bab selanjutnya.

Tabel 3.2 Persamaan Konstitutif, Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Navier-Stokes

untuk Aliran Inkompresibel Dalam Koordinat Kartesian,

Persamaan konstitutif

o,,=-p+Ztt*ox

o,,, = -p * 2tt *: oy

o-,=-p*Ztt*"- oz.

Persamaan kontinuitas

Du*Dv*04=o

dx dvDz

='(#. *')

=,(*. #)

x,, = ru= r(* . *)r, = xV



Persamaan Navier-Stokes

pH=-3,*r,.

pDd=-?r* rr,

Puo, = - , * ,r,

9*r *r3*-dt dx dv dz.

1) 1f 1)

d' d'd'

-)+- )+-rdr dy' dz'

D_Dt-

v2=

+ Ltyzu dimana

+ p72v dimana

+ Pv2'


Lanjutan Tabel 3.2

37




nol di permukaan airfoil, disebut kondisi tak-selip. Karena aliran tak-kental lebih mudah dikerjakan dibandingkan ahran

kental, dengan mengenali bahwa viskositas dapat diabaikan di dalam aliran yang berada jauh dari permukaan di dalam

banyak aliran akan diperoleh penyelesaian yang lebih sederhana. Ini akan ditunjukkan dalam Bab 8.

3.3.3 Aliran-aliran Laminar dan Turbulen

Suatu aliran kental dapat berupa aliran laminar atau aliran turbulen. Di dalam aliran turbuler terjadi penyampuran

partikel-partikel fluida sehingga pergerakan suatu partikel tertentu terjadi secara acak dan sangat tidak teratur; perata-rataan

statistika dipakai untuk menetapkan kecepatan, tekanan dan kuantitas-kuantitas iainnya yang ingin diketahui. Perata-rataan

yang demikian dapat bersifat "tunak" yang berarti independen terhadap waktu, atau dapat juga tak-tunak dan bergantung

pada waktu. Gambar 3.7 menunjukkan aliran-aliran turbulen tunak dan tak-tunak. Perhatikan aliran turbulen yang berisikyang keluar dari keran pada saat kita mengambil air.

Di dalam aliran laminar tidak terjadi pencampuran partikel-partikel yang signifikan; pergerakannya halus dan tenang,

seperti aliran air yang mengalir pelan dari sebuah keran. Jika zat pewarna dimasukkan ke dalam aliran laminar, zat

tersebut akan tetap terlihat jelas untuk jangka waktu yang lama. Zat tersebut akan cepat tersebar jika alirannya turbulen.

Gambar 3.8 menunjukkan aliran laminar tunak dan tak-tunak. Aliran laminar dapat dibuat terlihat menjadi turbulen dengan

secara acak mengontrol katup di dalam suatu aliran madu di dalam pipa sehingga kecepatannya tampak seperti dalam

Gbr. 3.7. Walaupun demikian, alirannya tetap laminar karena tidak terjadi pencampuran partikel-partikel fluida. Jadi, kita

tidak dapat menentukan apakah suatu aliran tertentu adalah turbulen atau laminar hanya dari tampilan V(r) saja. Untuk

menjadi turbulen, pergerakannya harus acak, seperti dalam Gbr. 3.7,tapijuga harus terjadi pencampuran partikel-partikel

fluida.

Ketika suatu aliran mulai bergerak, seperti misalnya di dalam sebuah pipa, awalnya aliran tersebut bersifat laminar,

akan tetapi dengan meningkat kecepatan rata-ratanya, aliran laminar tersebut menjadi tidak stabil dan terjadilah aliranturbulen. Dalam beberapa kasus, seperti misalnya dalam aliran di antara silinder-silinder yang berputar, aliran laminar

yang tidak stabil berubah menjadi aliran vorteks-vorteks laminar sekunder dan kemudian menjadi aliran laminar ketiga

dan akhirnya aliran turbulen pada kecepatan yang lebih tinggi.

Terdapat suatu kuantitas, yang disebut bilangan Reynolds, yang digunakan untuk menentukan apakah sebuah aliran

adalah laminar ataukah turbulen. Bilangan tersebut adalah

(3.1 s)

di mana V adalah suatu kecepatan karakteristik (kecepatan rata-rata di dalam pipa atau kecepatan airfoil), I adalah

suatu kecepatan karakteristik (diameter pipa atau jarak dari ujung depan pelat datar) dan u adalah viskositas kinematik.

Jika bilangan Reynoldsnya lebih besar dari suatu bilangan Reynolds kritis, aliran menjadi turbulen; jika lebih kecil dari

bilangan Reynolds kritis, alirannya laminar. Untuk aliran di dalam sebuah pipa, dengan asumsi bahwa dinding pipa

biasanya kasar, bilangan Reynolds kritis biasanya ditetapkan sebesar 2000; jika dindingnya halus dan bebas getaran, danaliran yang masuk bebas dari gangguao, bilangan Reynolds kritisnya dapat mencapai 40.000. Bilangan Reynolds kritis

memiliki nilai yang berbeda untuk geometri yang berbeda. Untuk aliran di antara pelat paralel, nilainya ditetapkan 1500

dengan menggunakan kecepatan tata-rata dan jarak di antara pelat. Untuk lapisan batas di permukaan pelat datar dengan

gradien tekanan nol, nilainya berkisar di antara 3 x 105 dan 106, dengan menggunakan jarak dari ujung depan pelat.

39

VLve=

Gambar 3.6 Aliran di sekitar airfoil.

Gambar 3.7 Aliran di sekitar airfoil. Gambar 3.8 Aliran laminar tunak dan tak tunak.




Gambar 3.9 Aliran lapisan batas di pelat datar.

Untuk aliran tak-kental, kita tidak menggunakan istilah laminar atau turbulen. Dalam sebuah aliran eksternal, alirantak-kental disebut aliran arus-bebas (free-streaz). Suatu arus bebas memiliki gangguan-gangguan akan tetapi gangguan-

gangguan tersebut tidak diikuti oleh tegangan geser, yang merupakan persyaratan lainnya untuk aliran laminar dan turbulen;ini akan dibahas dalam bab yang lain. Arus bebas juga dapat bersif-at irotasional atau dapat juga memiliki vortisitas.

Lapisan batas adalah sebuah lapisan fluida yang tipis yang terbentuk pada sebuah benda karena adanya viskositas

yang menyebabkan fluida melekat ke permukaan (batas); ini menyebabkan kecepatan menjadi nol di permukaan tersebut.

Efek-efek viskositas di dalam lapisan tersebut pada kenyataannya bahkan dapat membakar satelit ketika masuk kembali.Gambar 3.9 menunjukkan permukaan batas yang biasanya terdapat pada sebuah pelat datar. Lapisan tersebut bersifatlaminar di dekat ujung depan dan mengalami transisi ke aliran turbulen pada jarak yang mencukupi. Untuk sebuah pelat

kaku yang halus dengan tingkatfluktuasi arus bebas

yangrendah, lapisan laminar dapat terjadi hingga Re = 106, di manaRe = VLlv, di mana L adalah jarak di sepanjang pelat: untuk pelat kasar, atau pelat yang bergetar, atau fluktuasi arus

bebas yang tinggi, aliran laminar terjadi hingga Re : 3 x l0).

3.3.4 Aliran-aliran Inkompresibel dan Kompresibel

Aliran cairan diasumsikan bersifat inkompresibel dalam kebanyakan kasus (kecuali palu air). Dalam aliran inkompresibeldensitas partikel fluida yang bergerak diasumsikan konstan, artinya,

(3.16)

Persamaan ini tidak mengharuskan bahwa semua partikel fluida memiliki densitas yang sama. Sebagai contoh, garam

dapat ditambahkan ke aliran di suatu lokasi di dalam pipa sehingga di belakang lokasi tersebut densitasnya akan lebihbesar dibandingkan dengan lokasi

didepannya.

Udara atmosferpada

kecepatan rendah bersifat inkompresibel akan tetapidensitasnya berkurang dengan bertambahnya ketinggian, artinya, p = pk), di mana z adalah jarak vertikal. Kita biasanya

mengasumsikan fluida memiliki densitas konstan ketika kita menggunakan asumsi inkompresibilitas, yang berarti

Do

Dr=0

P=o Ydy dz?4=odt

m={

P=odx

-0 G.1n

Aliran udara dapat diasumsikan inkompresibel jika kecepatannya cukup rendah. Aliran udara di dalam saluran, disekitar mobil dan pesawat udara kecil, dan lepas-landas dan pendaratan pesawat komersial merupakan contoh-contohaliran udara inkompresibel. Bilangan Mach di mana

(J.18)

digunakan untuk menentukan apakah suatu aliran bersifat kompresibel; V adalah kecepatan karakteristik dan c = "IkRT

adalah kecepatan suara. Jika M <0,3, kita mengasumsikan aliran bersifat inkompresibel. Untuk udara di dekat permukaanlaut ini adalah sekitar 100 m/s (300 ftlsec) jadi kebanyakan aliran udara dapat diasumsikan inkompresibel. Efek-efekkompresibilitas akan dibahas secara rinci dalam Bab 9.

CONTOH 3.3 Sebuah sungai yang mengalir melalui kampus tampak cukup tenang. Sehelai daun terapung di permukaannya dan

kita memperkirakan kecepatan rata-ratanya sekitar 0.2 m/s. Kedalaman sungai hanya 0.6 m. Apakah'alirannya laminar aiaukahturbulen?

Penyelesaian: Kita memperkirakan bilangan Reynoldsnya sebesar. dengan mengasumsikan I = 20'C (lihat Tabel C.l),

Re = 4 =o_,2-" '6

= I2o ooo' 100

Aliran ini sangal turbulen pada bilangan Reynolds ini. bertentangan dengan pengamatan kita bahwa alirannya renang. Kebanyakanaliran internal bersifat turbulen. seperti yang teramati ketika kita minum dari keran air. Aliran-aliran laminar tidak tertalu menarik

bagi insiyur ji}a dibandingkan dengan aliran rurbulen; kecuali dalam soal yang menyangkut lubrikasi.

Aliran tak-kental

Aliran turhulen




3.4 PERSAMAAN BERNOULLI

Persamaan Bernoulli mungkin merupakan persamaan yang paling sering digunakan dalam mekanika fluida akan tetapi juga

yang paling sering disalahgunakan dalam mekanika fluida. Dalam subbab ini, persamaan yang terkenal ini adakan diturunkan

dan pembatasan-pembatasan yang disyaratkan dalam penurunannya akan digarisbawahi sehingga penyalahgunaannya

dapat diminimalkan. Sebelum persamaan tersebut diturunkan kita akan memberikan lima asumsi yang diperlukan: efek

kekentalan dapat diabaikan, densitas konstan, aliran tunak, aliran di sepanjang sebuah streamline dan dalam bingkai

referensi inersial. Selanjutnya kita akan menurunkan persamaan tersebut.

(,. ^)oo

Gambar 3.10 Sebuah partikel yang bergerak di sepanjang sebuah streamline'

Kita menerapkan hukum kedua Newton pada partikel silinder yang bergerak pada sebuah streamline, seperti ditunjukkan

dalam Gbr. 3.10. Peniumlahan gaya-gaya infinitesimal (sangat kecil) yang bekerja pada partikel tersebut adalah

4l

(3.le)

di mana a, adalah komponen s dari vektor percepatan.

x adalah searah dengan s sehingga u = V

Ini diberikan oleh Pers. (3.9a) di mana kita membayangkan arah

Qr= (3.20)

di mana 0V/Et = 0 dengan mengasumsikan aliran tunak. (Ini akan menghasilkan ekspresi untuk percepatan yang sama

dengan yang diberikan dalam pelajaran fisika atau dinamika di mana a, = Vdv/dx. dalam bingkai referensi inersial di

mana tidak terdapat komponen Coriolis ataupun percepatan lainnya.) Selanjutnya, kita perhatikan bahwa

p d.A -(,. * o,)^

-pB d.s dA coso - p ds dA a,

dh=ds.or0=4d,ds

cos o =*

(3.19) dengan ds dA dan gunakan ekspresi-ekspresi di atas untuk

*(#*ir*') =o

v4*4ds dt

* prff= pva,N

yang menghasilkan

Selanjutnya, bagilah Pers.

ulang. Diperoleh hasil

(3.23)

Jika kita asumsikan bahwa densitas 0 adalah konstan (ini lebih ketat daripada inkompresibilitas seperti akan kita lihat

nanti) sehingga dapat dikeluarkan dari derivatif parsial, dan kita mengenali bahwa VdVlds = a(V212)Ds, kita dapat

menuliskan persamaan kita sebagai

(3.21)

(3.22)

c, dan cos 0 dan susun

(3.24)

Ini berarti bahwa di sepanjang sebuah streamline kuantitas yang berada di dalam tanda kurung adalah konstan, artinya,

*.#r+ft=konstan (3.2s)




di mana nilai konstannya dapat berubah dari satu streamline ke yang berikutnya; di sepanjang suatu streamline tertentupenjumlahan ketiga sukunya adalah konstan. Ini seringkali dituliskan dengan mengacu kepada dua titik pada streamlineyang sama sebagai

v1). ***r,=:i+ 2+h,p8'28p8

\.'; * gh,=$ *pt * gn,

G.2A

G.2n

Bentuk yang manapun di atas adalah persamaan Bernoulli yang terkenal itu yang digunakan dalam banyak aplikasi.Kita sekali lagi akan memberikan penekanan pada asumsi-asumsi yang digunakan karena persamaan ini seringkalidisalahgunakan:

o Aliran tak-kental (tidak ada tegangan geser)

o Densitas konstan

o Aliran tunakr Di sepanjang suatu streamlineo Diaplikasikan di dalam bingkai referensi inersial

Tiga yang pertama merupakanyang utama yang biasanya diperhatikan, akan tetapi terdapat aplikasi-aplikasi tertentudi mana dua yang terakhir harus diperhitungkan; aplikasi-aplikasi khusus tersebut tidak akan dibahas dalam buku ini.

Selain itu, kita akan menyebut aliran densitas konstan sebagai aliran inkompresibel walaupun densitas konstan lebih ketat(lihatlah komentar setelah Pers. (3.16)); ini karena kita biasanya tidak menerapkannya pada aliran inkompresibel di manadensitasnya berubah dari satu streamline ke yang berikutnya, seperti misalnya dalam aliran-aliran atmosfer.

Perhatikan bahwa satuan-satuan pada semua suku dalam Pers. (3.26) adalah meter (feet jika menggunakan satuanInggris). Oleh karena itu,V2/2g disebut head kecepatan, plpg adalah head tekanan dan /z adalah neaa siii. penjumlahan

ketiga suku ini seringkali disebut sebagai total head. Tekanan p adalah tekanan statik d,an penjumlahan p + pV212 adalahtekanan total atat tekanan stagnasi karena merupakan tekanan di titik stagnasi, suatu titik di sepanjang streamline tertentudi mana aliran dibuat berhenti.

Perbedaan di antara tekanan-tekanan ini dapat dilihat dengan memperhatikan alat-alat pengukur yang digambarkandalam Gbr. 3.11. Alat dalam Gbr. 3.ll(a) adalah piezometer; alat ini mengukur tekanan statik, atau untuk mudahnya,tekanan di titik 1. Tabung pitot dalam Gbr. 3.11(b) mengukur tekanan total, tekanan di suatu titik di mana kecepatannya

nol, seperti di titik 2. Dan, tabung pitot-statik, yang memiliki suatu lubang kecil di bagian sisi alat seperti ditunjukkandalam Gbr. 3.11(c), digunakan untuk mengukur selisih antara tekanan total dan tekanan statik, yang berarti, pv2/2t iridigunakan untuk mengukur kecepatan. Ekspresi untuk kecepatan adalah

v=Fp@r-pr) (3.28)

di mana titik 2 pasti adalah titik stagnasi di mana Vz = 0. Jadi, jika hanya kecepatan yang ingin diketahui, kita hanyamenggunakan alat pitot-statik yang digambarkan dalam Gbr. 3.ll(c).

pr(tekanan statik) pr(tekanan total)

-.---'---}_- lubang tekanan statik

Gambar 3.11 Alat-alat tekanan: (a) piezometer, (b) tabung pitot dan (c) tabung pitorstatik.

Persamaan Bernoulli digunakan dalam berbagai aliran fluida. Persamaan ini dapat digunakan dalam aliran internaldengan jarak pendek jika efek-efek kekentalan dapat diabaikan; seperti misalnya dalam mulut pipa yang dibulatkan (lihatGbr. 3.12) atau dalam kontraksi yang cukup tajam di dalam pipa. Kecepatan aliran untuk mulut pipa yang demikiandiaproksimasikan oleh persamaan Bernoulli sebagai




Penampung

,,;o

Pt

Gambar 3.12 Aliran dari sebuah penampung melalui sebuah pipa.

vr=,{3@t-Pz) (3.29)

Penerapan lainnya dari persamaan Bernoulli adalah dari arus bebas ke bagian muka dari sebuah benda bundar seperti

misalnya sebuah bola atau silinder atau airfoil. Ini lebih mudah dijelaskan dengan sebuah sketsa seperti ditunjukkan dalam

Gbr. 3.13. Untuk kebanyakan situasi aliran, aliran terlepas dari permukaan, sehingga menghasilkan aliran separasi, seperti

digambarkan. Jika aliran yang mendekati benda bersifat seragam, konstanta dalam Gbr.(3.25) akan menjadi sama untuk

semua streamline dan persamaan Bernoulli dapat diaplikasikan dari arus bebas sampai ke titik stagnasi di bagian muka

benda dan ke titik-titik di sepanjang permukaan benda sampai ke awal daerah separasi.

Gambar 3.13 Aliran disekitar sebuah bola atau silinder paniang.

Kita seringkali harus menyelesaikan soal-soal yang melibatkan sebuah pipa yang ke luar ke atmosfer. Untuk situasi

demikian tekanan di bagian dalam keluaran pipa besarnya sama dengan tekanan atmosfer di bagian luar pipa karena

streamline yang keluar dari pipa bentuknya lurus di dekat keluaran (lihat Gbr. 3.12). Ini situasi yang sangat berbeda dari

aliran masuk dalam Gbr. 3.12 di mana streamline di dekat lubang masuk bentuknya sangat melengkung.

Untuk mengaproksimasi variasi tekanan yang tegak lurus terhadap streamline yang melengkung, anggaplah partikel

dalam Gbr. 3.10 berbentuk pipa paralel dengan ketebalan ke arah tegak lurus terhadap streamline sebesar dn dengan area

dA, dan dengan panjang sisi ds. Gunakan 2F,= rna,,'.

43

(3.30)

di rnana kita telah menggunakan percepatan V2lR, R adalah radius lengkungan dalam aliran yang diasumsikan datar.

Jika kita asumsikan bahwa efek gravitasi kecil jika dibandingkan dengan suku percepatan, persamaan ini disederhanakan

menjadi-y = of (3.31)dn 'R

Karena kita akan menggunakan persamaan ini untuk melakukan estimasi perubahan tekanan ke arah tegak lurus terhadap

streamline, kita mengaproksimasikan aplan = AplAn dan memperoleh hubungan

(3.32)

Jadi, kita lihat bahwa tekanan mengalami penurunan ke arah pusat dari streamline yang melengkung; ini dijumpai di

dalam sebuah tornado di mana tekanan dapat menjadi sangat rendah di "mata" tornado. Tekanan yang menurun ini juga

digunakan untuk mengukur intensitas angin topan; artinya, makin berkurang tekanan di pusat angin topan, makin besarkecepatan di sisi luarnya.

p dA, - (, . * an) a,t,- pe dn dA" - r dn dA,$.

ap _ ^v2Ln rR

hr= h,

-\separasl




CONTOH $.4 Kecepatan suatu errgin topan mencapai 200 km/jam. Fstimasikanlah gaya dari angin pada sebuah jendela yan_g

manghadap arrgin pada sebuah gedung tinggi jlka jendrlanya berlrkuran I m x 2 m. Guaakan densitas udara sebesar 1,2 lq8/m3.

Penyelesaiant Gunakan persaauan Eernoulli untuk mengestirrrasi tekanan pada jendela

y2 (2@ x 1000/3600)2P = Pf = l.z x

---z

-=

1852N/mz

di.mana ke.qepatan harus memiiiki satuan ilt/s, Untuk memeriksa satuannya, gunakan kg = (N's2)/m.

A,sumsikrn bahwa besarnya tekana$ pada intinya koastan di seluruh jendela sehingga gay*nya adalah

F o pA = 1852 x 1x2 = 3704 N atau 833 1b

Gaya ini cukup besar untuk memeeahkan benyak jendel4 terutarna.jika tidak dirancang dengan baik,

$OHTOH 3;i $eUuah piezometer digunakan uutuk mengukur tekaflan di dalam sebuah pipa sebesar 20 em ak. Sebuah tabung

pitot menguftur tekana$ tolal sebpsar 33 cm air di sekitar'lokasi yang sarna. Estirnasikanlah ke€epatar air di dalam pipa.

Penyelesaian,: Dengan menggunakan Pers. (3.27) kecepatannya diperoleh setresar

v = ffO* 0,, = "l8&r h)= rE x 931 x (033 - 020) = 1.50 m/s

di mana kita telah mengguuakan hubungan p = p$h- , l


3.1 Medan kecepatan dalam sebuah aliran datar diberikan oleh V =2yti+ xj m/s, seperti dalam Contoh 3.1. Tentukanlah

percepatan, kecepatan sudut, vektor vortisitas di titik (4 m, 2 m) pada / = 3 s. (Perhatikan: satuan pada konstanta-

konstanta adalah sehingga kecepatan memiliki satuan m/s.)

Percepatan diberikan oleh

. =* *, ** r4v * ,* =2yi+2yt(j+ x(2i)=Z(xt + y)i+2yti-dtdxdy0zDi titik (4, 2) dan t = 3 s percepatannya adalah

a = 2(4 x 3 + 2)i + 2 x 2 x 3tj = 28i + 12j m/s2

Kecepatan sudut adalah

o =(W-#\i * @ -Ql) i * I I?' -P\r. = kt - 2rrt" - 1\fu - /,)' ' z\P' /x )' ' 2\dx aY /-- 2''

Pada, = 3 s, besarnya adalah

O.=i,1-2x:y =-fradls

Vektor vortisitas adalah dua kali vektor kecepatan sudut sehingga

o = -5k radls

3.2 Tentukanlah laju perubahan densitas di dalam aliran berstrata di mana P = 1000 11 _ 0,22) dan kecepatan adalah

V=10(z-22\i.Kecepatannya hanya ke arah x saja dan densitas bervariasi terhadap z (biasanya arah vertikal). Derivatif material memberikan

jawaban

o*='#*'a{*wa*.'#='

Jadi, tidak terdapat variasi kecepatan dari suatu partikel tertentu ketika bergerak melalui medan aliran.

3.3 Medan kecepatan diberikan dalam koordinat silindris sebagai

v, = (z - 8r) .o, e w, ,r= -(z + 8,) sin o nvs ,. = o

;.Berapakah.percep4gllnya di titik (3m, 90')?




Persamaan (3.32) memberikan hubungan antara kenaikan tekanan dan radius lengkungan

-o* = o# -# =,ooo ' ffi .'. Ap = 200 000 Pa atau 200 kPa

Perbedaan tekanan yang tinggi ini dapat menggerakkan air yang bergerak pelan di dekat dinding pipa (air melekat ke dinding

karena viskositas) dari bagian luar ke bagian dalam belokan sehingga menyebabkan aliran sekunder ketika air meninggalkan

belokan. Aliran sekunder ini pada akhirnya menghilang dan menjadi sumber rugi yang cukup besar yang terjadi di belokan.

Soal-soal Tambahan

Pergerakan Fluida

3.8 Lalu lintas di sebuah kota besar ingin dipelajari. Jelaskanlah bagaimana ini akan dilakukan dengan menggunakan (a) pendekatan

Lagrangian dan (D) pendekatan Eulerian.

3,9 Sebuah lampu dan baterai disambungkan ke sejumlah besar batang sabun yang mengapung. Jelaskanlah bagaimana pathline

dan streakline dapat diambil gambarnya dalam arus.

3.10 Cahaya dari sebuah mobil difoto dari sebuah posisi yang baik dengan time exposure. Garis apakah yang terobservasi di dalam

foto? Dalam selang waktu yang lama sejumlah besar lampu mobil yang melintas di jalan yang sama difoto bersamaan dari

titik yang sama. Apakah hubungan di antara kedua foto tersebut? Jelaskanlah kemiripan dan perbedaannya.

3.11 Distribusi kecepatan parabola di dalam sebuah saluran diberikan oleh r.r(1') = 0,2(1 - y2) fi/s di mana y diukur dalam sentimeter.

Berapakah percepatan suatu partikel fluida di garis tengah di mana y = 0? Di lokasi di mana ) = 0,5 cm?

3.12 Hitunglah kecepatan dan percepatan suatu partikel fluida di titik (2, 1, -3) ketika r = 2 detikjika medan kecepatannya diberikan

oleh (arak diberikan dalam meter dan konstanta-konstanta memiliki satuan-satuan yang diperlukan):

(a) V = 2xyi + y2tj + yzk m/s

(b)V =2(xr--22)i +xyrj +r.rkrn/s

3.13 Tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus terhadap streamline di titik (2, -1) ketika r = 2 detik jika medan kecepatannya

diberikan oleh:

(a)V=2xyi+y2tjrnls(D) V = 2y(x - y)i + xyrj m/s

3.14 Bagaimanakah persamaan untuk streamline yang melalui titik (2, -1) ketika t = 2 jika medan kecepatannya diberikan oleh:

(a)V=2xyi+1,2t rnls(b) V = 2y'2i +.ry'rj m/s

3.15 Tentukanlah percepatan (vektor dan besarnya) dari partikel fluida yang menempati titik (-2, 1, 1) m ketika / = 2 s jika medan

kecepatannya diberikan oleh:

(a)V=2ryi+xzj+yzkm/s(b) Y = 2y2i + (x - 2t)j + z2k m/s

(c) V = 2yzi + (x2 - 2y')i + z2rk m/s

3.16 . Tentukanlah kecepatan sudut dari vektor-vektor vortisitas di titik (1, 2, 3) ketika t = 3 s untuk medan kecepatan: dalam:

(a) Soal. 3.13a (c) Soal. 3.14a

(b) Soal.3.13b (d) Soal. 3.14b

3.17 Medan kecepatan di dalam sebuah aliran fluida diberikan oleh Y = 2yi + xj + rk. Tentukanlah besarnya percepatan, kecepatan

sudut dan vortisitas di titik (2, i, *1) pada , = 4 s.

3.18 Medan temperatur sebuah aliran di mana V = 2yi +;rj + tk diberikan oleh I(x, y; l) = 20ry"C. Tentukanlah laju perubahan

temperatur sebuah partikel fluida di dalam aliran di titik (2, 1, -2) pada t = 2 s.

3.f9 Suatu medan kecepatan diberikan dalam koordinat silindris sebagai

,,= (4 - {') sin 0 n/s ,r= -(+ + f,') cos e nvr. y. = 0' \ rJ " \ tl

(a) Berapakah percepatannya di titik (0,6m, 90')?

(b) Berapakah vortisitasnya di titik (0,6m, 90")?

3.20 Suatu medan kecepatan diberikan dalam koordinat silindris sebagai

,-= (a - l,'l cos g m/s ,o= -(8 * {'l ,in e u, r.a= 0' \ ll " \ r'l a

Berapakah percepatannya di titik (0,6m, 90'X




Klasifikasi Aliran-aliran Fluida

3,21 Pilihlah kata: seragam, satu dimensi, dua dimensi atau tiga dimensi, yang paling tepat menjelaskan setiap aliran berikut:

(a) Aliran terbentuk di dalam pipa(b) Aliran air di weir panjang

(c) Aliran di kanal yang panjang dan lurus

(d) Aliran gas-gas buang yang keluar dari roket

(e) Aliran darah di dalam arteri

(fl Aliran udara di sekitar peluru

(g) Aliran darah di dalam nadi

(ft) Aliran udari di dalam angin topan

3,22 Pilihlah aliran dalam Soal 3.21 yang dapat dimodelkan sebagai aliran datar.

3.23 Pilihlah aliran dalam Soal 3.21 yang dapat dimodelkan sebagai aliran tak-tunak.

3.24 Pilihlah aliran dalam Soal 3.21 yang memiliki titik stagnasi.

3.25 Aliran manakah dalam Soal 3.21 yang dapat dimodelkan sebagai aliran tak-kental?

3.26 Aliran manakah dalam Soal 3.21 yang berupa aliran eksternal?

3.27 Aliran manakah dalam Soal 3.21 yang berupa aliran kompresibel?

3.28 Aliran manakah dalam Soal 3.21 yang memiliki lapisan batas?

3.29 Aliran manakah dalam Soal 3.21 yang pastinya dapat dimodelkan sebagai aliran turbulen?

3.30 Air keluar dari sebuah keran berdiameter 1 cm. Estimasikan kecepatan maksimum yang akan menghasilkan aliran laminar jika' temperatur aimya adalah (a) 20"C, (b) 50'C dan (c) l00oC. Asumsikan Re = 2000.

3.31 Udara mengalir melalui dan paralel terhadap sebuah pelat datar pada 2 m/s. Berapa panjangkah bagian laminar dari lapisan

batasannya jika temperatur udara adalah (a) 30'C, (b)70'C dan (c) 200'C? Asumsikan tingkat fluktuasi yang tinggi pada pelat

yang kaku dan halus.

3.32 Tentukanlah apakah yang berikut dapat dimodelkan sebagai aliran inkompesibel ataukah aliran kompresibel:

(a) lepasJandas dan pendaratan pesawat terbang komersial

(b) aliran udara di sekitar mobil(c) aliran udara di dalam angin topan

(d) aliran udara di sekitar bola basket yang dilemparkan pada 100 mil/jam

3.33 Tuliskanlah semua suku-suku bukan nol dari DplDt lunlrtk aliran berstrata di mana:

(a) p = p(z) dan Y = 7(2 - z)i(b) p = p(z) dan y

= f(x, z)i + g(x, eI

Persamaan Bernoulli

3.34 Sebuah tabung pitot-statik mengukur tekanan total pr dan tekanan lokal p dalam aliran seragam di dalam pipa air berdiameter

4 cm. Hitunglah laju alirannya jika:

(a) pr = 1500 mm air raksa dan p = 150 kPa

(b) pr = 250 kPa dan p - 800 mm air raksa

(c) pr= 900 mm air raksa danp = 110 kPa

(il Pr = l0 inci air dan P = 30 1b/ft2

Tentukanlah ekspresi untuk distribusi tekanan di sepanjang sumbu horizontal

negatif x jika diberikan medan kecepatan dalam Soal 3.3 dan

p(--, 180') = p-. Efek-efek kekentalan diasumsikan dapat diabaikan.

Tentukanlah v dari kecepatan V di dalam pipa jika fltrida

di dalam pipa dalam Gbr. 3.15 adalah:

(a) Udara atmosfer dan h = 10 cm air

(b) Air dan h = l0 cm air raksa

(c) Minyak tanah dan h = 20 cm air raksa

(d) Bensin dan h = 40 cm air

Tentukanlah kecepatan V di datam pipa jika fluida di dalam

pipa dalam Gbr. 3.16 adalah

(a) Udara atmosfer dan h = 40 cm air

(b) Air dan h = 20 cm air raksa

(c)Minyak tanah dan h = 30 cm air raksa

1d) Bensin dan h = 80 cm air

4'7

3.35

3.36

Gambar 3.15

Gambar 3.16

3.37



PERGERAKAN FLUIDA

Jawaban-jawaban untuk Soal-soal Tambahan

3.8 Mengendarai mobil. Berdiri di sudut jalan.

3.9 Time exposure. Gambar instan.

3.10 Pathline. Streakline.

3.11 0, 0

3.t2 (a) 5,385 m/s, 10i + 9j - 3k m/s2 (b) 12,81 m/s, -156i - 10j + 30k m/s2

3.13 (a) (i - zilt"li (b) (-2i + 3j)/{B

3.14 (a)x=-7y @) f -y2=33.15 (a) -2i - 3i (b) -24i + 2k (c) -4i - 8j + 9k

3.16 (a)6i-k, lzi-zk (b) -3i/2-6k, -3i-l2k (c) 6i-k, lzi-2k (d) -+-4k,-3i-8k23,17 4,583 rn/sz - 0,5 rad/s - 1,0 rad/s

3.18 120"C/s

3,lg (a) a,= 11,31 m/s2, ae = O (b) 0

3.20 336,8 m/s:

3.21 (a) I-D (b) 2-D G) 2-D (d) 3-D (e) l-D $t Z-O (s) l-D (&) 3-D

3.22 (b)

3.23 (e)

3.24 A3.2s (b) (h)

3.26 (,0

3.27 @) A3.28 t')3.2e (c) (A

3.30 (a) 0,201 m/s (b) 0,111 m/s (b) 0,0592 m/s

3.31 (a) 5,58 m (&) 6,15 m (b) 7,'71 m

3.32 (a) inkompresibel (D) inkompresibel (c) inkompresibel (d) inkompresibel

3.33 (a) tidak ada (D) tidak ada

3.34 (a) 10,01 m/s (b) 16,93 rn/s (c) 4,49 mls (d) 1,451 m/s

3.3s zo(r+q-16\'\ x' xul

3.36 (a) 39,9 m/s (b) 4,97 mls (c) 7,88 m/s (d) 1,925 mls

3.37 (a) 79,8 rnls (b) 7,03 m/s (c) 9,65 m/s (d) 2,'72 mls

[BAB 3



Persamaan-persamaan

lntegralHULUAN

$iirida Ai.iumpai hampir dalam setiap aspek kehidupan fisik kita. Banyak, bahkan mungkin harnpir semua, kuantitas-

iy*ng diinginkan merupakan kuantitas-kuantitas integral; nilainya diperoleh dengan cara mengintegralkan suatu

F..ffii diinginkan di seluruh area atau volume. Seringkali properti yang dimaksud pada intinya konstan sehinga

$iijLapat dilakukan dengan mudah. Akan tetapi dalam kasus-kasus lainnya, propertinya bervariasi di dalam area

i'{{ffii#$r{ffi yang dimaksud dan pengintegralkan yang diwajibkan dapat menjadi cukup sulit.

;i 3iiii:L@li$dlis-kuantitas integral apa sajakah yang diinginkan? Di antaranya adalah laju aliran melalui pipa, gaya pada

.brtikal bendungan, energi kinetik di dalam angin yang menerpa mesin angin, daya yang dihasilkan oleh bilah

fffinil #Atipada bilah alat pembersih salju dan gaya hambat pada airfoil. Terdapat kuantitas-kuantitas yang sifatnya

ffiiffi, seperti misalnya tekanan minimum pada benda atau titik separasi di airfoil; kuantitas-kuantitas semacam

ffi ,##$as dalam Bab 5.

:iliiiii,rq lakukan pengintegralan pada suatu luas atau volume, integrannya harus sudah diketahui. Integrannya harus

Hf,ffi ::,f,q$ffi1informasinya sudah tersedia sehingga dapat diaproksimasikan dengan tingkat akurasi yang cukup tinggi.

gai integran yang aproksimasinya tidak dapat diaproksimasikan sehingga.penyelesaiannya perlu menggunakan

ffiffiWgsamaan diferensial untuk memberikan hubungan yang diinginkan; perhitungan-perhitungan aliran eksternai,

a gaya angkat dan gaya hambat pada airfoil, biasanya berada dalam kategori ini. Beberapa integral relatif

iffi$g memerlukan penyelesaian terhadap persamaan-persamaan diferensial akan dimasukkan dalam Bab 5.ffi i,ffi$g memerlukan penyelesaian terhadap persamaan-persamaan diferensial akan dimasukkan dalam Bab 5.

-tr i.,,, yang akan diberikan hanya soal-soal yang melibatkan kuantitas-kuantitas integral yang integrannya sudah

#idapat diaproksimasikan.

I SISTEM-KE-VOLUME.KONTROL

dasar yang berkaitan dengan mekanika fluida seringkali disebut sebagai kekekalan massa, energi dan

yang terakhir lebih spesifik lagi disebut hukum pertama termodinamika dan hukum kedua Newton.

diekspresikan dengan menggunakan deskripsi pergerakan Lagrangian; hukum-hukum ini berlaku untuk

da tertentu. Hukum-hukum ini dinyatakan sebagai berikut:

lffiiffitsa suatu sistem tetap konstan.

, perpindahan kalor ke suatu sistem dikurangi dengan usaha yang dilakukan oleh suatu sistem adalah

laju perubahan energi E dari sistem tersebut.

+ffiffi Gaya resultan yang bekerja pada suatu sistem sama dengan laju perubahan momentum dari sistem

ffi .,,

lanjutnya akan diekpsresikan secara matematis dengan mengenali bahwa laju perubahan berlaku untuk

fluida dan kenyataan bahwa densitas, energi spesifik dan kecepatan dapat berubah dari titik ke titik

ang dimaksud. Ini memerlukan derivatif material dan pengintegralan pada volume

o = DDtlu,p oo

O-w =#[r. epd't

(massa)

(energi)

(1.1)

(4.2)

49



50 PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL [BAB 4

(4.3)

@.4

(momentum)

di mana tanda titik di atas Q dan W menunjukkan laju waktu dan e adalah energi spesifik yang berada di dalam tanda

kurung dalam Pers. (I.29). Sangatlah sulit untuk menerapkan Pers. (4.1) hingga (4.3) secara langsung ke sekumpulan

pafiikel fluida ketika fluida bergerak di dalam suatu aliran pipa sederhana ataukah aliran melalui turbin yang lebih

kompleks. Jadi, kita akan mengkonversikan integral-integral yang diekspresikan dengan desksripsi Lagrangian ini keintegral-integral yang diekspresikan dengan deskripsi Eulerian (lihat Subbab 3.2.1). Ini merupakan penurunan yang

merepotkan tapi sangat penling.

Dalam penurunan ini kita perlu melakukan pembedaan terhadap dua volume: volume kontrol yang merupakan volume

tetap dalam ruang dan sistem yang merupakan gabungan partikel-partikel fluida. Gambar 4.1 mengilustrasikan perbedaan di

antara kedua volume ini. Gambar ini merepresentasikan suatu volume tetap umum dalam ruang yang dilewati suatu fluida

yang rnengalir; kedua volume ditunjukkan pada waktu r dan sedikit sesudahnya t + Lt. Kita akan memilih menggunakan

energi E = Jry. ep dY untuk menunjukkan derivatif material; huruf kecil e menandakan energi spesifik. Kemudian kita

menuliskan, dengan mengasumsikan Ar sebagai kuantitas yang kecil

DE^..

Dt=Er.{r + A/) - Er.(0

Lt

Er(t + Lt) + Er(t + A/) - Elt) - E2(t)Lt

Er(t + At) + Er(t + Lt) - Ez(t) - Et(t) 4(t+Lt)-Et(t+Lt)Lt

(4.4)Lt

dYz

Sistem pada

Sistem pada

+---wakfit+Lt

Volume tetap

mengisi@dan@

Sistem pada waktu I

mengisi@dan@

Sistem pada waktu I + At

mengisi@dan@

waktu t

Gambar 4.1 Sistem dan volume kontrol tetap.

di mana kita telah menambahkan dan mengurangkan E{t + Lt) pada baris terakhir. Perhatikan bahwa rasio pertama pada

baris terakhir di atas merujuk pada volume kontrol sehingga

Er(t + Lt) + Et(t + Lt) - Er(t) - Et(t)(4.s)

di mana derivatif biasa digunakan karena kita tidak lagi sedang mengikuti suatu massa fluida tertentu. Selain itu, kita

telah menggunakan "cv" untuk menandakan volume kontrol (control volume). Rasio terakhir dalam Pers. (4.4) dihasilkan

dari fluida yang mengalir ke dalam volume 3 dan keluar dari volume 1. Perhatikan volume-volume diferensial yang

ditunjukkan dalam Gbr. 4.1 dan ditunjukkan secara lebih rinci dalam Gbr. 4.2. Perhatikan bahwa luas A, + A, sepenuhnya

mengelilingi volume kontrol sehingga

Er(t + Lt) - Er(t + A/) = Jo.rpff.YA,tclAr* Io, ,p ff. LtdA,

= I", ,pfi .YL,tdA

di mana "cs" adalah permukaan kontrol (control surface) yang mengelilingi volume kontrol. Memasukkan Pers. (4.5)

dan (4.6) ke dalam Pers. (4.4) menghasilkan teorema perpindahan Reynolds, yang merupakan suatu transformasi sistem-

ke-volume-kontrol.

Lr=*J,,.rrro

=dE"u

dt't

DE"i'1, = l, L,ro oo + l,,epfit.vdA @.n



BAB 4]

Jika aliran yang dicari dapat

persamaannya disederhanakan

PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL 51

oo,JJo'n'

(1 v1--;.vLtdAl

Gambar 4.2 Elemen-elemen volume diferensial dari Gbr. u[.1

di mana, secara umum, e merepresentasikan properti spesifik dari E. Perhatikan bahwa kita dapat mengambil limit A/ -+ 0

untuk membuat penurunan ini lebih ketat secara matematis.

Jika kita kembali ke persamaan energi Pers. (4.2), kita sekarang dapat menuliskannya

0 - w = *l,,no dv + l,.epi . va,+

Jika kita jadikan e = 1 dalam Pers. (4.7) [lihat Pers. (4.1)], maka diperoleh kekekalan massa. Ini adalah

o'= * 1,"p dv + j., pff . va+ (4.e)

Dan akhirnya, jika kita menggantikan e dalam Pers. (4.7) dengan vektor V [ihat Pers. (4.3)], diperoleh hukum kedua

Newton:

L, = * 1,, oY av * j.. vpi . vae (4.10)

Ketiga pefsamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk yang sedikit berbeda dengan mengenali bahwa kita mengasumsikan

volume kontrol tetap. Ini berarti bahwa limit dari integral pertama di sisi sebelah kanan dari setiap persamaan bersifat

independen terhadap waktu. Jadi, derivatif waktu dapat dipindahkan ke dalam tanda integral jika diinginkan; perhatikan

bahwa jika derivatif waktu dipindahkan ke dalam integral maka derivatif tersebut akan dituliskan sebagai derivatif parsial

karena integrannya secara umum bergantung pada x, _rt : dan /. Persamaan momentum akan mengambil bentuk

I"

= J.,* (pY) dy * J., vpi .vaa (1.1 1)

Tiga subbab selanjutnya akan mengaplikasikan bentuk-bentuk integral dari hukum-hukum dasar ini pada soal-soal

di mana integran-integrannya diberikan atau dapat diasumsikan.

4.3 KEKEKALAN MASSA

Hubungan yang paling umum untuk kekekalan massa dengan deskripsi Eulerian yang berfokus pada volume tetap telah

disusun dalam Subbab 4.2 dan adalah

o = *1,,p dv +J..

pff .vaa

Karena limit-limit pada integral volume tidak bergantung pada waktu, ini dapat dituliskan

o=[ 4ao*l oi.vaeJcv a_1 Jcs'

oo,J-io,

d v1= - i'V1rda,

diasumsikan sebagai aliran tunak sehingga

menjadi

O = J., pi-.Val

(4.8)

(4.12)

(4.13)

(4.13),

(4.14)

waktu tidak masuk ke dalam Pers.

Aliran-aliran di mana densitasnya seragam di suatu area adalah jenis aliran yang terutama ingin diketahui dalam pembahasan

mengenai fluida. Selain itu, kebanyakan aplikasi memiliki satu jalur masuk dan satu jalur keluar. Untuk soal demikian,

Pers. (4.14) dapat dituliskan

PrAri, = P,A,i, (4.1 s)

Di mana tanda garis atas menandakan suatu rata-rata di suatu area, artinya, i e = lV dA. Perhatikan juga bahwa di suatu

jalur masuk, kita menggunakan i . Vr = -Vt karena vektor satuan mengarah keluar dari volume dan arah kecepatan adalah

ke dalam volume, akan tetapi dijalur keluar i Yz= Vz karena kedua vektor memiliki arah yang sama.

Untuk aliran-aliran inkompresibel di mana densitas tidak berubah* di antara jalur masuk dan jalur keluar dan

kecepatannya adalah seragam di setiap area, kekekalan massa disederhanakan menjadi:

* Tidak semua aliran inkompresibel memiliki densitas konstan. Misainya aliran atmosfer dan lautan dan juga air asin yang mengalir di kanal yangjuga dialiri air tawar.



52 PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL

ArV. = ArV,

Setiap persamaan di atas kita sebut sebagat persamaan kontinuitas. Yang diberikan dalam Pers. (4.16) akan seringdigunakan. Persamaan-persamaan ini paling sering digunakan untuk menghubungkan berbagai kecepatan di bagian-bagianyang berbeda.

Kuantitas pVA adalahflul<s massa dan memiliki satuan kg/s (slug/sec). Kuantitas VA adal*t laju aliran (atau pembuangan)

dan memiliki satuan m2ls 1ft3/sec atau cfs). Fluks massa biasanya digunakan dalam aliran gas dan pembuangan dalamaliran cairan. Definisinva adalah

,;7 = pAV

Q=AVdi mana V adalah kecepatan rata-rata di suatu bagian aliran.

@.1n

IBAB 4

@.14

COI{TOH 4.1 Air mengalir di dalam sebuah pipa berdiameter 6 cm dengan }aju aliran 0,06 m3ls. Diameter pipaditurunkan menjadi 2.8 cm. Hirunglah kecepatan maksimum di dalam pipa. Hitung juga fluks massanya. Asumsikan profiialiran yang seragam.

Penyelesaian: Kecepatan maksimum di dalam pipa berada di mana diameternya paling kecil. Di bagian berdiameter 2,8cm kita memiliki

Q=AV0,02=nx0,014?% :. Va * 32,5 mls

Fluks massanya adalah

' ti, = 98 = 1000 x 0,02 = 20 kg/s

CONTOH 4.2 Air mengalir kr dalam suatu volume yang berisi spons dengan laju aliran 0,02 m3/s. Air keluar dari volumetersehut melalui dua tahung, safu berdiameter 2. cm dan yang lainnya dengan fluki massa 10 kg/s. Jika kecepatan keluar daritabung berdiameter 2 cm ,iutut ts rnls, tenrukanlarr ralu peiuuJ;;;;#;i fi;; ;;;;#;;"Penyelesaian: Persamaan kontinuitas (4.12) digunakan. Ini dituliskan dalam bentuk

^ d*,^,0 = ---l:t + m^ + oA^V' * PQ'd.t D

dimana m,ut=Jpd+dankeduajalurkeluardan jalurmasukberkontribusipadaketigasukulainnya.Denganmenuliskansukuderivatifnya dengan rtno, persamaan kontinuitas menjadiol yero@rac4l svuf[lull@J rrr9rtJ4Bl

-= ifi; {; li{:itrx n x o,o1? x 15 = 5 2e ke,s

Spons menyerap air dengan laju 5.29 kg/s.

4.4 PERSAMAAN ENERGI

Hukum pertama termodinamika, atau singkatnya, persamaan energi, memiliki kegunaan pada saat perpindahan kalor atauusaha ingin diketahui. Jika pada intinya tidak terjadi perpindahan kalor dan tidak ada usaha eksternal dari pompa atau alatlainnya, persamaan energi memungkinkan kita menghubungkan tekanan, kecepatan dan ketinggian. Kita lihat bagaimana

persamaan ini disusun. Kita mulai dengan persamaan energi (4.8) daiam bentuk umumnya

O - w = * 1," ep drt * 1,, np i .Y dA \4.t8)

Kebanyakan aplikasi memungkinkan kita untuk menyederhanakan persamaan ini dengan mengasumsikan aliran tunakyang seragam dengan satu jalur masuk dan satu jalur keluar. Persamaan energi disederhanakan menjadi

Q - W = ezpz VrA, - ept VtAt G.lg)

di mana kita telah menggunakan i.V = -yl di jalur masuk. Dengan menggunakan persamaan kontinuitas (4.15), inidituliskan

O-W=fi(e2-e) (.20)

Suku laju usaha dihasilkan oleh gaya yang bergerak dengan suatu kecepatun, iV = F .V Gaya ini dapat berupa tekanan

atau gaya geser yang dikalikan dengan suatu iuas. Jika alirannya berada di dalam sebuah pipa atau saluran, dinding-dindingnya tidak bergerak jadi tidak terdapat usaha yang dilakukan oleh dinding-dinding. Jika terdapat sebuah sabuk



B.\B 4] PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL

bergerak, bisa terjadi masukan usaha yang disebabkan oleh gaya geser di antara sabuk dan fluida. Suku-suku laju usaha

l ang paling umum dijumpai dihasilkan oleh gaya-gaya tekanan di jalur masuk dan keluar (tekanan diasumsikan seragam

pada setiap area) dan oleh setiap alat yang diletakkan di antara jalur rnasuk dan keluar. Suku laju usaha diekspresikan

sebagai

lU = prArV2- prArVr+ W, (4.21)

di mana keluaran daya dianggap positif dan I{, adalah keluaran daya poros dari volume kontrol (pompa merupakan daya

negatif dan turbin memberikan keluaran daya positifl. Dengan menggunakan ekspresi untuk e yang diberikan dalam Pers.

(1.29), Pers. (4.20) menjadi

53

(4.22)

Suku perpindahan kalor dan suku-suku energi internal membentuk rugi-rugi dalam aliran (efek-efek kekentalan menyebabkan

perpindahan kalor dan/atau kenaikan energi internal). Bagilah Pers. (4.22) dengan rhg dar sederhanakan*

Q - n2Arvr+ p,A,v,-fur=^

(+ + sz2+ ilr-+- szr- r')

tt2

h,=Kl- )o

-Ws \pWp

'mgmg

W" W-LI_J_1llT-T--

' mg m84r

lvj aed.=

-V'A

I olv'ae = | ou v3t

l,ir. vi pt v| pt---l=A2;*a,*--rY ' '+h,

mg -zg - Yz*r28 dl

Tt

di mana kita telah memasukkan suku rugi sebagai hr,lan1 disebut rugi head; suku ini adalah hr= (Tr.2-ir)ls +Ql itg.

Aliran inkompresibel terjadi dalam banyak aplikasilehing1a Tt = yr. Kita ingat bahwa yuntuk air adalah 9810 N/m3162.41b/ft31.

Suku rugi head seringkali diekspresikan dalam bentuk koefisien rugi K

(4.23)

(4.24)

(4.26)

di mana V adalah suatu kecepatan"karakteristik di dalam aliran; jika kecepatan ini tidak dapat diketahui dengan jelas

definisinya akan diberikan. Beberapa koefisien rugi diberikan dalam Tabel 7.2; di dalam bab ini nilainya akan diberikan

saja.

Suku ft. disebut rugi head karena memiliki dimensi panjang. Kita juga menyebut V2/2g sebagai head kecepatan

(velocity head), ply sebagai head tekanan (pressure heafl dan z sebagai head. Penjumlahan ketiga suku ini adalah total

head.

Suku usaha poros dalam Pers. (4.23) biasanya diperoleh dari pompa atau turbin. Jika dari pompa, kita mendeflnisikan

head pompa 11" sebagai

(4.2s)

di mana W, adalah masukan usaha ke pompa dar, t1, adalah efisiensi pompa. Untuk turbin, head turbin H, adalah

Di mana Wradalahkeluaran daya dari turbin dan tlTadalah efisiensi turbin. Daya memiliki satuan watt [(ft'1b)/sec] atau

daya kuda.

Jika alirannya tidak seragam di jalur masuk dan keluar, pengintegralan harus dilakukan untuk memperoleh energi

kinetik. Laju energi kinetik melintasi suatu luas adalah flihat Pers. (4.18) dan (1.29))

Laju energi kinetik = I+ pv dA = llOv' aeg.2n

Jika distribusi

sebagai

kecepatannya diketahui, pengintegralan ini dapat dilakukan. Faktor koreksi energi kinetift cr didefinisikan

Suku energi kinetik dapat dituliskan

(4.28)

(4.29)

Sehingga, untuk aliran-aliran tak-seragam, persamaan energi mengambil bentuk

* Kita menggunakantil= pzAzVz= prArVr

(4.30)



54 PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL [BAB 4

CONTOH 4.3 Air mengalir dari sebuah penampung dengan ketinggian 30 m melalui sebual pipa berdiameter 5 cm yang memilikinozel berdiameter 2 cm yang terpasang di ujung pipa. scpeni ditunjukkan dalam Cbr. 4.3. Koefisien rugi untuk keseluruhan pipadiberikan sebesar K = 1.2. Estimasikanlah laju aliran air melalui pipa. Selain itu. perkirakanlah tekanan repar di depan nozeltrugi-rugi melalui nozel dapat diabaikan). Nozel berada pada ketinggian l0 m.

Persamaan energi memberikan

Penyelesaian; Persamaan energi dituliskan dalam bentuk

di mana tekanan adalah 0 di permukaan 1 dan di jalur keluar 2, kecepatan adalah 0 di permukaan dan tidak terdapat usaha

poros (tidak terdapat pompa atau turbin.l. Koefisien rugi didasarkan pada kecepatan karakteristik V di dalam pipa dan tidak pada

kecepatan keluar 7.. Cunakan persam:um kontinuitas untuk menghubungkan kedua kecepatan:

A"dlAV= irr= OiVr= *V,

wl

-frdi mana area 2 berada di jalur keluar dan p dan V berada di depan nozel. Persamaan energi memberikan

o=#fl* - 9I1- -= -- I ...p = r85 3@ pa arau 185,3 kpa2x9,8 98 l0 t' "

, =\+ + ro - 3o + r.2 &Y * .-. vz= re,5 m/s

Tekanar tepat sebelum nozel diperoleh dengan mengaplikasikan persamaan energi melintasi nozel dengan mengasumsikan tidakterjadi rugi-rugi (persamaan Bemoulli juga dapat digunakant. Bentuknya adalah

vlplv2p,-

- +-E-LI_-_ - _1

- )o l/ ' *2 )o y f-6r-6

. ?.l,-t*)'

CONTOH 4.4 Sepasang suami-istri yang sadar lingkungan memutuskan untuk membendung parit yang mengalir di samping

rumah mereka dan memperkirakan bahwa mereka dapat menghasilkan head 4 m di atas lubang keluar tuibin yang baru mereka

beli. Parit diasumsikan memiliki laju aliran 0.8 mr/s. Berapakah keluaran daya maksimum dari turbin jika diasumsikan ridakterjadi rugi-rugi dan kecepatan di keluaran turbin adalah 3,6 rn/s?

Penyelesaian: Persamaan energi diaplikasikan sebagai berikut:

W. v1 pt V pl- ;;=':,:r. "l * /'-'/e- V - z' + ftDaya dihasilkan hanya oleh head di atas air: kecepatan yang keluar mengurangi daya. Diperoleh, dengan menggunakan ri =Po = l@o x o'8 = 8oo kg/s'

,i, ,.vlWr = 'its\- **t

,"2= 800 x 9.8I x 4 * 8@ x''|- = rU200 Jis arau 26,2 kW

Kitaakan menunjukkan bahwa satuan padaritgz,adalahJ/s. Satuan pada itgz,adalah$rq r* = IE''" [ =l $ =175r s s, s, s 5

di mana. dari F = ma.kita lihat bahwa N = kg.m/s2. Jika satuan-satuan yang benar dimasukkan ke dalampersamaan-persamaan

yang kita gunakan. satuan-satuannya akan menjadi sebagaimana diharapkan. artinya, satuan pada liza haruslah J/s.

Gamhar 4.3



BAB 4] PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL

di mana V, dan V, masing-masing adalah kecepatan rata-rata di bagian 1 dan 2. Persamaan (4.30) digunakan jika adiketahui; untuk profil parabolik, a = 2 di dalam pipa dan a = 1,5 di antara pelat-pelat paralel. Untuk aliran turbulen

(kebanyakan aliran dalam aplikasi teknik), ct = l.

4.5 PERSAMAAN MOMENTUM

Jika perhitungan melibatkan gaya, seringkali kita perlu menerapkan hukum kedua Newton, atau sederhananya, persamaan

momentum, ke soal yang dihadapi. Untuk suatu volume umum, dengan menggunakan deskripsi pergerakan Eulerian,persamaan momentum telah diberikan dalam Pers. (4.10) dalam bentuk yang paling umum untuk sebuah volume kontrol

tetap sebagai

55

l, =* 1", pY d,r * j.. vpa . vaa (4.31)

Ketika mengaplikasikan persamaan ini pada sebuah volume kontrol, kita harus berhati-hati untuk memasukkan semua gaya

yang bekerja pada volume kontrol tersebut, jadi sangatlah penting untuk membuat sketsa volume kontrol dan menunjukkan

gaya-gaya pada sketsa tersebut. (Volume kontrol menggantikan diagram benda bebas yang digunakan dalam mata-mata

kuliah statika, dinamika dan solid).

Dalam kebanyakan kasus kita menjumpai aliran-aliran tunak yang seragam dengan satu jalur masuk dan satu jalur

keluar. Untuk aliran-aliran demikian, Pers. (4.31) tereduksi menjadi

ll = prlrVrYr- prArVrY,

Dengan menggunakan kontinuitas h = prArV, = prArV' persamaan momentum disederhanakan menjadi

Lt=*(%-vr)Ini adalah bentuk yang paling sering digunakan dalam perhitungan yang melibatkan gaya. Ini merupakan persamaan

vektor yang terdiri dari tiga persamaan skalar dalam sistem koordinat kartesian

I r, = i"t(v2,- v1*)

I F, = til(Vz,-- Vb)

I r,=,h(v2-- vy)

(4.34)

Jika profil di jalur masuk dan keluar tidak seragam, Pers. (4.31) harus digunakan dan pengintegralan dilakukan ataumenggunakan faktor koreksi momentum B, jika diketahui. Faktor ini diperoleh dari

lov'ae = Bi2e

Jadi persamaan momentum untuk aliran tunak dengan satu jalur masuk dan satu jalur keluar menjadi

Lt=a(p2yz-Btyt)di mana V, dan V, merepresentasikan vektor-vektor kecepatan rata-rata di kedua area tersebut.

Untuk profil-profll parabolik, B = 1,33 untuk pipa dan p = 1,2 untuk pelat-pelat paralel. Untuk aliran turbulen

(kebanyakan aliran dalam aplikasi teknik), B = 1.

Suatu aplikasi penting dari persamaan momentum adalah pada deflektor (atau bilah) pompa, turbin atau kompresor.

Aplikasinya melibatkan baik deflektor stasioner maupun deflektor bergerak. Asumsi-asumsi berikut berlaku untuk

keduanya:

o Gaya gesekan di antara fluida dan deflektor dapat diabaikan.r Tekanan diasumsikan konstan ketika fluida bergerak melalui deflektor.o Gaya benda diasumsikan dapat diabaikan.o Efek penyebaran arus aliran ke arah samping diabaikan.

Sketsa dari sebuah deflektor stasioner ditunjukkan dalam Gbr. 4.4. Persamaan Bernoulli memprediksi bahwa kecepatan

fluida tidak akan berubah (Vr= V1) ketika fluida bergerak melalui deflektor karena tekanannya tidak berubah, tidak terdapat

gesekan, alirannya tunak dan gaya-gaya benda dapat diabaikan. Persamaan-persamaan momentum komponen adalah:

-Rr= rir(Vrcos 0- V,) = mV,(cos a- 1)

Rr= ritvrsin o = itvrsin a

Jika informasi yang diperlukan diberikan, komponen-komponen gayaflya dapat dihitung.

(4.32)

(4.33)

(4.35)

(4.36)

(4.31)



56

* Jika deJlektor diamoti dari sebuah jet ydng tetap,

deJlektor.

PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL

v1

o^\ ,/,t/

Posisi rata-rata

waktu dari jet

yang keluar

Gambar 4.6 Suatu rangkaian bilah

defiektor bergerak menjauhi jet dan alirannya tidak tunak.

[BAB 4

V,r=Vr-Vu

v,r=Vr-vu

Gambar 4.4 Deflektor stasioner

Gamtrar 4.5 Suatu Deflektor yang bergerak

Analisis terhadap suatu deflektor bergerak lebih rumit. Apakah suatu deflektor tunggal (sebuah sekop air untuk

memperlambat laju kereta cepat) ataukan suatu rangkaian deflektor seperti dalam turbin? Pertama-tama. kita akan membahas

sebuah deflektor yang bergerak dengan kecepatan Vr, seperti ditunjukkan dalam Gbr.4.5. Bingkai referensinya melekat ke

deflektor sehingga alirannya menjadi tunak terhadap bingkai referensi tersebutx. Deflektor melihat kecepatan dari fluida

yang datang sebagaikecepatan relatif y,r dan kecepatan relatif inilah yang diprediksi oleh persamaan Bernoulli akan

tetap konstan di sepanjang deflektor, artinya, V,z = V,r.Kecepatan dari fluida yang keluar dari nozel yang tetap adalah

V,. Jadi persamaan momentum memberikan

-R,= h,(v, - vr)(cos a - 1) (4.38)

Rr= h,(vr_vr) srn a

Di mana ri adalah bagian dari fluida yang keluar yang momentumnya telah berubah. Dengan bergeraknya deflektor

menjauhi nozel, fluida yang direpresentasikan oleh panjang VrAr tidak mengalami perubahan momentum. Fluks massa

dari fluida yang mengalami perubahan momentum adalah

m,= pA(V, - Vu)

jadi ini adalah fluks massa yang digunakan dalam ekspresi-ekspresi untuk komponen-komponen gaya.

(4.3e)

Untuk suatu rangkaian bilah-bilah, nozel-nozel biasanya diarahkan sedemikian rupa sehingga fluida memasuki bilah-bilah dari samping dengan suatu sudut B, dan keluar dari bilah-bilah dengan sudut B2, seperti ditunjukkan dalam Gbr.

4.6. Bilah-bilah dirancang sehingga kecepatan masuk relatif V,, memasuki bilah-bilah dengan arah tangensial terhadap

bilah (kecepatan relatif selalu keluar dengan arah tangensial terhadap bilah) seperti ditunjukkan dalam Gbr. 4.7. Kecepatan

relatiflah yang besarnya tetap konstan ketika fluida bergerak melalui bilah, artinya, V ^ = V,,. Kita juga perhatikan bahwa

Jet tetap

",4i

VB vrt

Fluida ini tidakmengubah momentum

Aliran menjadi tunak jika diamati dari



vrl

d1


Gambar 4.7 (a) Posisi rata-rata dari jet, (D) poligon kecepatan masuk dan (c) poligon kecepatan keluar.

semua fluida yang keluar dari jet yang bergerak memiliki momentum yang telah berubah. Jadi, ekspresi untuk menentukan

komponen x dai' gaya adalah

*R, = it(vr,- vr,) (4.40)

Komponen x dali gaya inilah yang memungkinkan daya untuk dihitung; komponen y tidak melakukan usaha sehingga

tidak memberikan kontribusi pada daya. Daya diperoleh dari

Ii = NRrVe @.41)

di mana N adalah jumlah jet di dalam alat dan kita telah mengamati bahwa gaya & bergerak dengan kecepatan Vr.

CONTOH 4.5 Sebuah selang berdiameter l0 cm dijaga pada tekanan 1600 kPa untuk menyiram api dari sebuah tanker. Di ujung

selang terdapat sebuah. nozel berdiameter 2.5 cm. Estimasikanlah gaya yang diberikan oleh air pada nozel tersebut. Di dalam

nozel yang peadek rugi-nrgi dapat diabaikan

Penyelesaian: Sketsa dari air yang berada di dalam nozel sangat penting sehingga volume kontrolnya dapat diidentifikasi

dengan benar. Sketsa ini ditunjukkan dalam Gbr. 4.8. Perhatikan bahwa p, = 0 dan kita memperkirakan gaya f'rr dari nozel pada

air bekerja ke arah kiri. Kecepatan di depan nozel dan di keluaran nozel perlu diketahui. Kontinuitas memberikan

= lo1 y, = t6y,rV, = ArV, .'. V22.5,

Gambar 4.8

Persamaan energi mengharuskan

+. *+

g,=4.'o' + g,+

ltdan to'uzi 'T.

'tffi*-. Vt - 3,54 m/s dan Vz = 56'68 m/s

Maka persamaan momentum memberikan

p,A, * F* = ri{Vz* y1) = pArvrlvr- v,; = l5p Arv

1600000x rcx 0,052 -Fa = 15 x 10@ xrx0$52x 3,543 ;.Ftq- 12400N

L -.^-- L--t^-,,--^- l^---Gaya dari air pada nozel besamya sama dengan arah yang berlawanan dengan Fr.

51

a2



58 PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL IBAB {

CONTOH 4.6 Sebuah turbin.uap merniliki delapan noz.el berdiameter 4 cm yang masing-masing menyemburkan uap pada

200 m/s seperti d;itunjukkan dalam Gb,r. 4.9. Bilah-bilah tu*innya bergerak pada 80 m/s dan densitas uapnya adalah 2,2 kg/m'.

Hitunglah keluaran daya maksimumnya jika diasumsikan ridak terjadi rugi-rugi.

---_ Jet tetap

Bb=s5 "rA

$Gambar 4.9

Penyelesaian: Sudut al ditentukan dari poligon kecepetan dalam Gbr. 4.7(b). Untuk komponen-komponen.x dan y, deugan

menggunakan Vr = ?00 m/s dan 7a = 80 rnls' kita memiliki

200 sin 30' - V,, sin c,lffi cos 30" = B0 + V,, cos a,

Terdapat dua variabel yang tidak diketahui dalam kedua persamaaR di atas; V,, dan a,- Penyelesaian secara simultan

menghasilkanv,, * L36,7 nis dan ar.= 47,n'

Dengan mengatraikan rugi-rugi dapat diperolehVu=V,t= 136,7 m/s sehingga poligon kecepatan di jatur keluar [Gbr' 4.?(c)]

memberikanV, sin B, = 136,7 rin 30o

V, cos Br= 80 * 136'7 cos 30o

Kedua persarnaan ini diselesaikan untuk memberikaa

Vz = 78.39 rnls dan F: = I 19.3'

Amati bahwa poligon keceparan keluar tampak seperti dalam Cbr. 4.10.

Gambar 4.10

Gaya yang bekerja pada bilah-bilah yang disebabkan oleh satu nozel adaleh

-r = rh(yx* V*)

=2,2xwxO,A22 x200(-?8,39 cos 60,7o - 200 cos 30o) .'. F = 1I,7N

Jadi keluaran dayanya adalah

V[= N x F x V, = 8 x 11,7 x 80 = 7488 W atau 10,04 hp

CONTOH 4.7 Aliran air yang lumayan deras di dalam rebuah saluran persegi horizcntal dapat secara tibatitra "melompat'' ke

tingkat yang lebih tiaggi (yang mungkiu disebabkan oleh suatu pengh*lang di bagian hilir). Ini disebut sebagai lompatan hidrolik.

Untuk sinrasi yang ditunjukkan dalam Gb,r.4.11, hinrnglah kedalaman di bagian hilir. Asurnsikan aliran seragam.

v2

-.----------.>

Gambar 4.11



BAB 4] PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL 59

Penyelesaian: Untuk saluran yang pendek, gaya gesekan pada dinding dapat diabaikan Gaya-gaya yang tekerja pada air

adalah F, yang bekerja ke arah kanan dan F2 yang bekerja ke arah kiri; besarnya adalah (asumsikan lebar w)

Fr= yhrAr= 98 l0 x 0.20 x 0'40w = 785w dan Fr= yhrAr= yyj x yrw

Dengan melerapkan persamaan momentum ot*;t:

: ,r, rr \ ^ r rrtt F* - rit(Vz - V) = pA{{V2 - Vr)

785w - 4905 x wy| = 1000 x 0,4p x 4{Vr- 4)

Lebar w dapat dikeluarkan dari persarnaan ini, akan tetapi terdapat dua variabel yang tidak diketahui, y, dan Vr. Persamaan

kontinuitas menghubungkan kedua vmiabel ,nUrU, = OrU,

_ 1.61ulzVz =w xO,4 x 4

"'.Vz = f

Masukkan ini ke dalam persamaan ffomentum

Tr':xr? = 1600 (f ,)

Ini adalah persamaan kubik, akan tetapi deugan sedikit kecerdasan dapat menjadi kuadrat. Jika kita faktorkan:

1214

-l0yr)(4 + l0yr.t =

$0tt.6 - 4v2) =

*:,:(4 - l0)2)

Faktor (4 - l0e) terbagi habis sehingga diperoleh persamaan kuadrat

' )l+0,4y,-1.306=0

Persamaan ini mer,niliki dua'akar. Satu yang diinginkan adalah

Y2= 2'12 m

Efek yang cukup menarik ini mirip dengan getaran kejul tshock wave) yang terbentuk dalam atiran gas supersonik. Ini merupakan

cara alam untu( menggerakkan sesuatu yang bergerak cukup cepat ke sesuatu yang bergerak jauh lebih lambat sambil i:,rjig.,kontinuitas dan momentum. Sejumlah besar energi terbuang ketika terjadi perubahan mendadak melalui lompatan hidrolik inil

besarnya dapat diketahui melatui persamaan energi.


4.1 Sebuah balon diisi dengan air di saat diameternya 50 cm. Jika laju aliran ke dalam balon adaah 200 galon/menit,

berapakah laju pertambahan diameternya?

Laju pertambahan volume balon adalah

#=*(1"o') =4rR2#=to'#

Konversikan galon per menit menjadi m3/s

200 galonx 0.003785 Tt , I r9 r = 0,01262 mr/s

menit gaton 6u oetlK

Kedua persamaan di atas harus setara jika massa ingin dikonservasi (dalam kasus ini, volume terkonservasi karena air

bersifat inkompresibel). Ini memberikan

I x o.so:"

oi= o.ot262 .'. ff = o.otzr m/s

4.2 Udara pada 40"C dan 250 kPa mengalir di dalam sebuah pipa berdiameter 32 cm pada 10 m/s. Diameter pipa

berubah menjadi 20 cm dan densitas udara berubah menjadi 3,5 kg/m3. Hitunglah kecepatan di dalam pipa dengan

diameter yang lebih kecil.

Persamaan kontinuitas (4. 15) digunakan

p,A,v, = prArv, ii - r, = prodil ,. :. v2=or'rir.T,

,,

Masukhan inlormasi yang diberikan ke dalam persamaan ini dan

v^ =oi.r,_

,. =0.32i x

3.so x lo = 28,5 m/s'= - p.d1 RT, 'r - 3.5 x 0.202 x 0.287 x 313



60 PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL IBAB 4

Perhatikan: Tekanan yang diberikan diasumsikan berupa tekanan alat ukur, sehingga 100 kPa harus ditambahkan untukmengkonversikannya menjadi tekanan absolut. Tekanan dinyatakan datam kPa karena konstanta gas memiliki satuan kJ/(ke'K).

Suatu cairan mengalir sebagai aliran seragam di dalam sebuah saluran persegi 2 cmx 4 cm. Aliran keluar melaluisebuah pipa berdiameter 2 cm dengan profil parabola. Jika kecepatan maksimum di dalam pipa adalah 4 m/s,

berapakah kecepatan di dalam saluran persegi tersebut?

Persamaandariparabolauntuku(r)harusmemberikankecepatan4m/sdir=0dan0m/sdir=0,01 m.Profilkecepatanyang memberikan ini adalah

u(r) 40 000(0,012 - r2)

Persamaan kontinuitas dari aliran inkompresibel (fluidanya berupa cairan) memiliki bentuk

Arv, = Io,u(r)2xr o, = Ioo'40 000(0.012 - r2t2ttr dr

di mana 2nr di dalam integral adalah luas diferensial yang dilewati aliran fluida. Persamaan di atas memberikan

v = 49-000-z2r [p ^, u . . 0.0 12 0.0 14 \, o,o2 x o,o4 tJ.ol'

x T - 7)= 0.785 m/s

Sebuah turbin dirancang untuk mengambil energi dari sebuah sumber air yang mengalir melalui sebuah pipa

berdiameter 10 cm pada tekanan 800 kPa dengan kecepatan rata-rata 10 m/s. Jika turbin tersebut 907o efisien,berapa energi yang dapat dihasilkan jika air dibuang ke atmosfer melaiui sebuah pipa berdiameter 20 cm?

Laju aliran dan kecepatan di lubang keluar adalah

Q = ArVr=nx 0,052 x l0=0,0854m3/s Vz=Vt* = r|t g=2,5 m/s'di 2oz

Tekanan di lubang keluar diasumsikan atmosfer, artinya, pz = 0. Persamaan energi diaptikasikan di antara lubang masuk

dan keluar dari turbin

4.3

4.4

% v1 pl I Pt v'?, / ./-*s=4. rt*f - vi-E-/*7,

di mana suku rugi head dihilangkan dan dimasukkan sebagai tingkat efisiensi dari turbin. Dengan memasukkan informasiyang tepat akan diperoleh

Ws 2,52 _ to2 8oo ooo

- iO6dx 0p8---'r--54 =

'T"'

w

s =72 300 w

Ini adalah daya yang diambil dari air. Daya yang dihasilkan akan lebih kecil daripada ini dikarenakan adanya rugi-rugimelalui turbin yang diukur melalui tingkat efisiensi, jadi

fu, = 7rlV, = 09 x72,3 = 65,1 kW

Periksalah satuan-satuan pada persamaan-persamaan di atas untuk memastikan konsistensinya

4.5 Laju aliran di dalam suatu pipa ditentukan dengan menggunakan meter Ventttri yang ditunjukkan dalam Gbr. 4.12.Dengan menggunakan informasi yang diberikan di dalam gambar dan h = 4 cm, hitunglah laju aliran dengan

mengasumsikan aliran seragam dan tidak terjadi rugi-rugi (asumsi-asumsi ini dapat diterima untuk aliran yang

sangat turbulen).

Gambar 4.I2

Manometer ini memungkin tekanan-tekanan (yang diukur di garis tengah pipa) untuk saling dihubungkan melalui

p1 + 9810 x z + 0,04 x 9810 - p2+9870 x z+0,04 x 13,6 x 9810 :.pt-pz= 4944Pa

di mana z diukur dari puncak air raksa ke garis tengah. Persamaan kontinuitas menghubungkan Vrke V,

s2

vz= v,\ = 4 v, = 2,ii8 vl,d: 6' ,

6cm




Persamaan energi kemudian digunakan untuk memperoleh

v2, . Pz . _1 Pt v? t t 2J7s2V1- v1 _ p42r * i *

/,= r' *zE

*ft

+ft

ata,, ---zrjFr = 9810

6t

:. V, = 1,213 mls

Laju alirannya adalah

Q = ArVr= n x 0,052 x 1,213 = 0,00953 m3/s

4.6 Sebuah bendungan diusulkan untuk suatu aliran yang memiliki kedalaman 25 cm dan lebar 350 cm dengan kecepatan rata-

rata 2,2 m/s. Jika bendungan tersebut dapat dibangun sehingga permukaan bebas berada 10 m di atas turbin, estimasikanlah

keluaran daya maksimum yang dihasilkan turbin dengan efisiensi 88 persen.

Laju aliran dari air yang mengalir melalui turbin adalah

Q = ArVt = 0,25 x 3,5 x 2,2 = 1,925 m3ls

Persamaan energi diaplikasikan di antara permukaan penampung di belakang bendungan, di mana pt = 0, Vr = 0 dan

zr = l0 m dan keluaran dari turbin di mana kita asumsikan, untuk menghasilkan keluaran daya maksimum, bahwa V, =

0, pz= 0 dan 4, = g

. .fr, = ,itgzt = (1000 x 1,925) x 9,81 x 10 = 189 000 WRugi-rugi turbin sudah termasuk di dalam tingkat efisiensi. Keluaran maksimum turbin adalah

W, =47Ws = 0,88 x 189 = 166 kW

4.7 Sebuah pompa digunakan untuk memompa air dari sebuah penampung ke tangki air seperti ditunjukkan dalam Gbr.

4.13. Kebanyakan pompa memiliki kurva pompa yang menghubungkan kebutuhan daya pompa dengan laju aliran,

seperti yang diberikan dalam gambar tersebut. Estimasikanlah laju aliran yang dihasilkan oleh pompa. Koefisien

rugi secara keseluruhan adalah K = 4.

H, (m)

25

20

1510

Gambar 4.13

Koeflsien ruginya adalah berdasarkan kecepatan rata-rata di dalam pipa. Persamaan energi yang diaplikasikan di antara

. kedua permukaan air memiliki bentuk

Wp v/ p/ pl vl _,1__ v2 Q'

fu = #* f * =r-t' - fr-

Z1i hr= z2- zt + K b = ls +47r xfr5,"z g

Maka persamaan energinya adalah flihat Pers. (4.25)]

Hp=15+26Q2

Persamaan energi ini dan persamaan yang direpresentasikan oleh kurva pompa di dalam gambar diselesaikan secara simultan

sebagai berikut:

Coba Q = 0,1 : (Hp)",*^= 24m dan (Hp)"n"rgi = 15,3 m

Coba Q = 0,2 : (Ilp)"u*u = 17m dan (Hp)"n"rei = 16 m

Jadi estimasinya adalah Q = 0,21 m3ls.

4.8 Integralkanlah profil kecepatan yang tepat dan hitunglah energi kinetik yang dipindahkan oleh suatu aliran air

yang memiliki profil parabola di dalam sebuah pipa berdiameter 4 cm jika laju alirannya adalah 0,005 m3/s.

Profil parabola yangmemillkiu= 0 di

dindingdi

mana

r=0,02m dan z

=umaks di garis tengah adalah u(r)

=z*"*,

(1 - r2lO,O22'1. Laju alirannya adalah

h=*.#./,-'t # z,+hL



62 PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL

O =l.utrtdAA

0.00s = nm"k.i.,'(,j;;1) 2nr dr = 2tre."r,(ry'- o'?") .. &mak. = 8 m./s

Laju energi kinetik diferensial yang mengalir melalui luas diferensial 2nr dr adalah | ;v2 = )tp2ttr dr x vtv2. lai

diintegralkan untuk menghasilkanI l

ro'ol

*E = J. )rp:-o,,1r x t'tv: = 1000n l, t'( to:.,#)' , o,

= ry x 83 x roooz0 - lto,o22)4]i"= so lr,

Ini dapat dicek dengan menggunakan cr = 2, sebagaimana disebutkan setelah Pers. (4.30.)

I a,iri' = lx 2$,005 x 1000) x 42 = 80 J/s

di mana kita telah menggunakan kecepatan rata-rata sebesar setengah dari kecepatan maksimum untuk profil parabola di

dalam pipa.

4.9 Sebuah nozel dipasang pada sebuah selang berdiameter 6 cm akan tetapi nozel horizontal tersebut membelokkan

air melalui sudut 90o. Lubang keluar nozel berdiameter 3 cm dan laju alirannya adalah 500 L/menit. Tentukanlahkomponen-komponen gaya dari air pada nozel dan besamya gaya resultan yang dihasilkan. Tekanan di dalam

selang adalah 400 kPa dan air keluar ke atmosfer.

PrAr

V\

Gambar 4.14

Pertama-tama, kita harus membuat sketsa volume kontrolnya karena di dalam soal tidak diberikan. Sketsa ini ditunjukkan

dalam Gbr.4.l4. Volume kontrol menunjukkan air dengan komponen-komponen gaya dari nozel pada air. Kecepatan-

kecepatannya dihitung sebesar

v. =q- 0'50/60

= 2.95 m/s'I At nx0,032Vz=4xVr=11,79nls

Tekanan p, diperoleh dengan menggunakan persamaan energi. Rugi-rugi yang terjadi di dalam aliran yang dipercepat akan

diabaikan:

+.f */"='jt*'r'*

rl' fr =1000 (rrn')-2ss

)=u'''o'uPersamaan momentum memberikan komponen-komponen gaya [lihat Pers. (4.34)]

PtAt - Fx = lr?(\- YlJ

65 150 x nx 0,032-Fx = -(0,50/60) x 1000 x 2,95".F,=

20SN

f -Y.A, = ntV, -K.)t;:=,o.so)oor ),ooo x ll.7e = e8.2 N

Besarnya gaya resultan yang dihasilkan adalah

a = /"i + Fl, = ,[2092 + 98.22 = 231 N

Gaya dari air pada nozel harus memiliki besar yang sama dan arah yang berlawanan dengan F, dan F_".

4.10 Aliran mengalir melalui sebuah ekspansi tajam seperti ditunjukkan dalam Gbr.4.15. Tekanan sebelum dan sesudah

ekspansi masing-masing adalah p1 dan p2. Tentukanlah ekspresi untuk rugi head yang disebabkan oleh ekspansi

IBAB 4



E

BAB 4] PERSAMAAN.PERSAMAAN INTEGRAL 63

Vt- Control volumePzAz

-Gambar 4.15

tersebut jika alirannya diasumsikan seragam. Catatan: Soal ini perlu menggunakan persamaan momentum. energi

dan kontinuitas.

Volume kontrolnya ditunjukkan dari ekspansi ke area di bagian hilir di mana aliran memenuhi area tersebut dan kecepatannya

menjadi seragam lagi di seluruh luas Ar. Perhatikan bahwa tekanan adalah p, di seluruh area tepat di belakang ekspansi

karena aliran berseparasi dengan streamline-streamline paralel dan kemudian berekspansi untuk memenuhi area tersebut.

(Rugi head disebabkan oleh energi yang dibutuhkan untuk mempertahankan aliran di daerah separasi.) Persamaan momentum

memberikan

Irt r, = tix(v2, - vh) p1A2- p\z= pArvr(vr - v1) er?= vrlv- - v1)

Persamaan energi yang memasukkan rugi head hL, yang diaplikasikan di antara potongan 1 dan 2, adalah

V,' Pt vl p,. t-

Pz- Pt V', - Vi

Zi* y +8ir =:S* y=*8.2+hL :'ht= T 7g

Dengan memasukkan selisih tekanan yang diperoleh dari persamaan momentum akan diperoleh

n,=2\;v)-'+=q;1Persamaan kontinuitas mengharuskan Vz = VtAtlAt.Masukkan ini ke dalam persamaan di atas dan didapatkan ekspresi

untuk rugi head

Koefisien rugi dalam Pers. (4.24'S adalah r( = (I - AtlA)2 berdasarkan kecepatan masuk V,.

4.ll Bilah pada sebuah pembersih salju menyekop salju basah melaluisudut 120' tapi miring ke satu sisi pada 30'. Jika

salju memiliki densitas 500 kg/m3, berapakah daya yang dibutuhkan untuk menggerakkan bilah pada 40 milijam

jika menyekop lapisan salju dengan tebal 15 cm dan lebar 3 m?

Persamaan momentum (4.37) dituliskan untuk memperhitungkan komponen yang disebabkan oleh sudut samping (bilahnya

stasioner dan salju bergerak ke arah bilah)

R,= -rit(Vrcos Gl cos e -V) = pAVi (cos a, cos 0 - 1)

= -500(0,15 x 3)(40 x 0,447)2(cos 120o cos 30'- 1) = 31 150 N

di mana 0,447 mengkonversikan mil/jam menjadi m/s. Kita telah mengabaikan gesekan yang disebabkan oleh salju yang

bergerak di atas bilah, yang nilainya kecil jika dibandingkan dengan gaya di atas, sehingga kecepatan salju relatif terhadap

bilah tetap konstan, artinya, V, = Vr. Maka dayanya adalah

31 150(40 x 0,447) = 557 000 W atau 746 hp

Soal-soal Tambahan

4.12 Asumsi-asumsi apa saja yang diperlukan pada suatu aliran sehingga Pers. (4.3) dapat disederhanakan menjadi EF = ma?

4.13 Buatlah sketsa ketiga volume #r, iz dan #3 lang ditunjukkan secara umum dalam Gbr. 4.1, dengan mengasumsikan kenaikan

waktu singkat Ar untuk volume kontrol tetap dari

(a) Sebuah nozel di ujung sebuah selang.

(D) Sebuah balon yang sedang diisi udara (volume tetapnya adalah balon pada waktu r)

(c) Sebuah balon yang sedang membuang udara (volume tetapnya adalah balon pada waktu t)

(d) Sebuah sambungan 7 di dalam jalur pipa.

4.14 Buatlah sketsa vektor kecepatan V dan vektor satuan normal ff pada setiap area.

(a) Area permukaan bebas pada sebuah tangki air yang sedang dikuras.(D) Area masuk dari sebuah turbin.

h,=('\ LfE




(a) V, = 5 nrls, Q, = 0,002 m3/s dan rh3 = 2,5 kgls.

, (b) Vr= 10 m/s, iz= 1,5 kg/s dan 0: = 0,003 m3/s.

G) if = 9,5 kg/s, Qz= 0,003 m3/s dan Vt = 12 nt/s.

4.2g Sebuah spons berada di dalam sebuah volume yang memiliki satu jalur masuk berdiameter 4 cm. Aryangdimasuki aliran air

dan dua jalur keluar berdiameter 2 cm, A, dan A,. Jlka dm/dt dari spons tersebut = 0,

(c) Tentukanlah V, jika Qz = O,OO2 m3/s dan ht = 2,5 kg/s.(b) Tentukanlah rit, jika Vr = 10 m/s dan O: = 0,003 m3/s.

(c) Tentukanlah Q, jrka hr = 4.5 kg/s dan V: = 4 m/s.

Gambar 4.17

4.30 Udara atmosfer mengalir di atas sebuah pelat datar seperti ditunjukkan dalam Gbr. 4.17.Viskositas membuat udara melekat ke

permukaan sehingga.rnembentuk suatu lapisan batas tipis. Estimasikanlah fluks massa h dat'tudara yang melintasi permukaan

yang terletak 10 cm di atas pelat selebar 120 cm tersebut jika u(r) = 800).

4.31 Jika sebuah streamline berada 5 cm di atas pelat datar dalam Gbr. 4.17 di bagian ujung depannya, berapa jauhkah jaraknya

dari pelat tersebut di lokasi di mana z(y) = 800y?

Persamaan Energi

4.32 Air memasuki sebuah nozel horizontal dengan diameter d, dan drpada 10 m/s dan keluar ke atmosfer. Estimasikanlah tekanan

di depan nozel tersebut jika(a)dr= Scmdan dz=6cm(b) dt= 8 cm dan dz= 4 cm

(c) dr - 10 cm dan dz= 6 cm

(Adr=12cmdandz=5cm

4.33 Air tersimpan di dalam sebuah menara besar yang memasok suatu kota. Jika puncak menara berada 30 m di atas lubang

keluar di dasar menara, berapakah kecepatan maksimum yang dapat diharapkan di lubang keluar (ke atmosfer)? Bagaimanakah

kecepatan maksimum ini jika dibandingan dengan sebuah batu yang dijatuhkan dari ketinggian yang sama?

4.34 Sebuah jet kecepatan tinggi digunakan untuk memotong bahan-bahan padat. Estimasikanlah tekanan maksimum yang terbentuk

pada bahan jika kecepatan yang keluar dari jet air adalah (d) 100 m/s, (b) 120 mls dan (c) 120 m/s.

4.35 UlangiSoal 4.5dengan(a)h= 5cm, (b) h=6cm, dan(c) ft=8cm

4.36 Integralkan prolil kecepatan yang tepat dan hitunglah laju energi kinetik yang dipindahkan oleh suatu aliran air yang memiliki

profil parabola di dalam sebuah saluran berukuran 2 cm x 1 5 cm jika laju alirannya adalah 0,01 2 m3/s. Periksalah perhitunganmu

dengan menggunakan Pers. (4.30) dengan a = 1,5.

4.37 Koefisien rugi dalam Contoh 4.3 dinaikkan menjadi (a) 2,0, (b) 3,2 dan (c) 6,0. Ulangi soal tersebut. (Koefisien rugi bergantung

terutama pada bahan pipa, misalnya plastik, tembaga, besi tempa, jadi nilainya dapat bervariasi cukup jauh).

4.38 Air dipindahkan dari penampung dengan ketinggian permukaan 135 m ke penampung yang lebih rendah dengan ketinggianpermukaan 25 m melalui sebuah pipa berdiameter 24 cm. Estimasikanlah laju aliran dan fluks massa yang melewati pipa jika

koefisien di antara kedua permukaan adalah (a) 20, (b) 30, dan (c) 40

4.39 Asumsikan aliran seragam di dalam pipa dalam Soal 4.18 dan hitunglah kecepatan di dalam pipa yang lebih besar jika

penunjukkan manometer adalah h dan (a) 30 cm, (D) 25 cm, dan (c) 20 cm.

Air

65

u(Y)

diameter l0 cm

Gambar 4.18



66 PERSAMAAN-PERSAMAAN INTEGRAL JBAB 4

4.40 Sebuah pompa yang 85 persen efisien digunakan untuk menaikkan tekanan air di dalam sebuah pipa 10 cm dari 120 menjadi

800 kPa. Berapakah kebutuhan daya kuda dari pompa untuk laju aliran (a) 0,015 m3/s, (b) 20Lls dan (c) 4000 galon/jam?

4.41 Sebuah turbin yang 90 persen efisien menerima air pada 400 kPa di dalam sebuah pipa berdiameter 16 cm. Berapakah keluaran

daya maksimum jika laju alirannya adalah (a) 0,08 m3/s, (bt) 0,06 *3/s dun (c) 0,04 m3/s?

4.42 Udara memasuki sebuah kompresor pada25"C dan 10 kPa dengan kecepatan yang dapat diabaikan. Udara keluar melalui sebuah

pipa berdiameter 2 cm pada 400 kPa dan 160'C dengan kecepatan 200 m/s. Tentukanlah besarnya perpindahan kalornya jikakebutuhan dayanya adalah 18 kW.

4.43 Ulangi Soal 4.7 jlka koeflsien rugi keseluruhan K adalah (a) 2, (b) 8, dan (c) 12.

Persamaan Momentum

4.44 Suatu angin kuat pada 30 m/s bertiup langsung pada sebuah jendela 120 cm x 300 cm pada sebuah gedung yang besar.

Estimasikanlah gaya angin pada jendela tersebut.

4.45 Sebuah selang berdiameter 10 cm menghantarkan 0,04 m3/s air melalui sebuah nozel berdiameter 4 cm. Berapakah besarnya

gaya dari air pada nozel tersebut?

4.46 Sebuah nozel 90o dengan diameter keluaran d dipasangkan ke sebuah selang berdiameter 3d dengan tekanan p. Nozel tersebut

mengubah arah aliran air dari selang melalui sudut 90o. Hitunglah besarnya gaya dari air pada nozel jika

(a') p = 200 kPa, d = 7 cm

(b)p= 400kPa, d=6mm(c)p=300kPa,d=1,2cm(AP= 500kPa, d=2,2cm

4,47 Suatu lompatan hidrolik, yang digambarkan dalam Gbr. 4.19, dapat terjadi di dalam sebuah saluran tanpa adanya sebab yang

jelas, seperli misalnya pada saat arus kencang mengalir dari gunung ke dataran rendah. (Ini beranalogi dengan suatu gelombang

kejut yang terjadi di dalam aliran gas). Persamaan momentum memungkinkan kita untuk menghitung ketinggian di bagian hilirjika ketinggian di bagian hulu dan kecepatannya diketahui. Abaikan gaya gesekan di dasar dan dinding-dinding samping dan

tentukanlah ]2 di dalam saluran segiempat tersebut jika

(a) Vr= l0 m/s dan )r = 50 cm

(b) Vt = 8 m/s dan )r = 60 cm

(.c'1 V, = 12 m/s dan )r = 40 cm

(A Vr = 16 m/s dan -)r = 40 cm

vl

4.48 Tentukanlah daya yang hilang di dalam lompatan hidrolik jika salurannya memiliki lebar 8 m di dalam

(a) Soal 4.47(b)

ib.; Soal 4.47rdt

4.49 Ingin dibuat sebuah lompatan hidrolik, seperti dalam Gbr. 4.19, di dalam sebuah saluran segiempat dengan lebar 6 m sehingga

V.= i

V, Hitunglah V, dan daya yang hilang jika

(a) )r = 60 cm(b) )'r = 40 cm

4.50 Sebuah pipa yang menyalurkan air mengalami ekspansi mendadak (Gbr. 4.15). Jika tekanan di hulu adalah 200 kPa dan fluks

massanya adalah 40 kg/s, tentukanlah tekanan di hilir, di mana alirannya diasumsikan seragam dan rugi head yang disebabkan

oleh ekspansi. Gunakan dimensi-dimensi berikut:

h) d, = 4 cm dan dz= lO cm

(b) dt = 4 cm dan dz= 8 cm

(c) dr= 6cmdan dz=12cm

4.51 Sebuah jet air horizontal berdiameter 6 cm yang stasioner dan memiliki kecepatan 40 m/s menghantam sebuah pelat vertikal.

Tentukanlah gaya yang dibutuhkan untuk menahan pelat tersebut jika pelat

(a) stasioner

(&) bergerak menjauhi jet pada 20 m/s

(c) bergerak mendekati jet pada 20 m/s

Gambar 4.19




4.52 Sebuah jet air horizontal berdiameter 4 cm yang stasioner dan memiliki kecepatan 50 m/s menghantam sebuah kerucut dengan

.sudut dalam di puncaknya sebesar 60'. Air keluar dari kerucut secara simetris. Tentukanlah gaya yang dibutuhkan untuk

menahan kerucut tersebut jika kerucut

(a) stasioner

(b) hergerak menjauhi jet pada 20 m/s


4.53 Sebuah perahu yang melaju pada 12 m/s mengambil 0,08 m3/s air dan membuangnya pada 24 m/s lebih cepat dari kecepatan

perahu tersebut. Estimasikanlah gaya dorong yang dihasilkan dan daya yang dibutuhkan.

4.54 Deflektor dalam Gbr. 4.4 mengubah arah dari sebuah lapisan air 60 mm x 24 cm dengan Vr = 30 m/s sehingga a = 60o.

Hitunglah komponen-komponen gaya dari air pada deflektor jika deflektor

. (a) stasioner

(D) bergerak menjauhi jet pada 20 m/s


4'55 Bilah-bilah dalam Gbr' 4'6 mendefinisikan 10 jet air berdiameter 2 cm yang masing-masing memiliki vt = 40 m/s' Tentukanlah

sudut bilah cr, dan keluaran dayanya dengan mengasumsikan tidak terjadi rugi-rugi jika

(a) h = 30o, ur= 45" dan vt = 20 ntls

(b) h = 20",ar= 50" dan Vr = 15 m/s

(c) h = 20", ur= 40o dan Va = 20 nJs

(A h = 40"' ar= 35' dan VB = 20 r:t/s

4,56 Sebuah jet segiempat menghantam sebuah pelat stasioner seperti ditunjukkan dalam Gbr. 4.20. Hitunglah gaya F dan kedua

fluks massa jika kecepatan V, yang keluar dari jet adalah (a) 20 n/s, (b) 40 m/s dan (c) 60 m/s. Abaikan semua gaya gesekan

dan penyebaran arus.

m2

2cmx24cm Vl

.-.--.--.....----------..*

Gambar 4.20

4.57 Estimasikan gaya hambat pada pelat dalam Soal 4.30 sampai ke posisi di mana profil kecepatannya adalah sebagaimana

ditunjukl<an.


4.12 p = konstan, V = V(t), kerangka referensi inersia

4.16 cv tetap

4.17 pr ArVt=Pz

AzVz+P,

ArV,

4.18 0,0251 m3/s, 25,1 kg/s, 8,89 m/s

4,19 1,182 m3/s, 1182 kg/s

4.20 0,314 m3/s, 1,25 kg/s

4.21 81,6 m/s, 61,7 m/s

4.22 0.236 m3/s. 0.585 kg/s. 0.075 m/s

4.23 0,01513 m3/s

4.24 0,25 m/s, 0,625 m/s

4.25 35.7 kg/s. 554 kPa

4.26 (a) 0,0754 m31s,75,4 kg/s, 6,67 m/s (b) 0,1369 m3/s, 1369 kg/s, 12,1 m/s

(c) 0. I l3l m3/s. I l3l kg/s. l0 m/s

61



Persamaan Diferensial

: ::,:::it: ;i ji iii .1 :i:

,:ffiii#ffiHULUAN,'1,f*f.ry -persamaan diferensial yang diperkenalkan dalam bab ini seringkali diabaikan dalam mata kuliah pendahuluan.

,ip_4i4g*m persamaan yang diturunkan dalam bab-bab selanjutnya tidak membutuhkan persamaan-persamaan diferensial

,ffiffiil1ian diberikan dua metode untuk menurunkannya: satu dengan menggunakan persamaan-persamaan diferensial

,iA*: ngan menggunakan elemen-elemen diferensial. Dengan demikian bab ini dapat diabaikan tanpa mempengaruhi

,ll Pembelajaran kita.

i:,il i:1ffifl# Bab 4, soal-soal diselesaikan dengan menggunakan integral-integral di mana integran-integrannya telah

:i ,-l ,filhtaudapat diaproksimasikan. Persamaan-persamaan diferensial parsial dibutuhkan untuk menyelesaikan

,i, *&antitas dalam integran-integran yang tidak diketahui, seperti misalnya distribusi kecepatan di dalam pipa

.,llffi..$.i*Sbrsi tekanan pada airfoil. Persamaan-persamaan diferensial parsial juga dapat mengandung informasi yang

i::'dil # :seperti misalnya titik separasi fluida dari suatu permukaan.

li ;,;i;;:{J..#,,il .menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial untuk suatu variabel dependen, kondisi-kondisi tertentu

"i :yang berarti, variabel independennya harus ditentukan pada nilai-nilai tertentu dari independen-independen

,l#,,ffiti.F,& variabel-variabel independennya berupa koordinat-koordinat ruang (sepefti misalnya kecepatan di dinding

.'6$$r i-kondisinya disebut kondisi-kondisi batas. Jika variabei independennya adalah waktu, kondisi-kondisinya

::,#.ffiiffiisi-kondisi awal. Soalnya sendiri secara umum disebut sebagai soal nilai batas.

;:,;*li;',$$$.kondisi

batas biasanya muncul dari satu atau lebih dari yang berikut:

.t;iii,ii:r$iill,,ffirrdisi tak-selip dalam aliran kental. Viskositas menyebabkan fluida apapun, baik gas maupun cairan, melekat

,;iiitrliiili.ilffierbatasan sehingga kecepatan fluida di perbatasan mengikuti kecepatan dari perbatasan tersebut. Dalam

fii;t1r,;111;11*,.a,nyakankasus perbatasan tersebut tidak bergerak.

,i:;:lii:ittiiitl$gprponen kecepatan ke tegak lurus dalam aliran tak-kental. Dalam aliran tak-kental di mana viskositas diabaikan,

. .. r .vektor.kecepatan memiliki arah tangensial terhadap perbatasan di perbatasan tersebut, jika perbatasannya tidak

oerDorl.: i : : 1 1 p I : :1 : r :: : ; i; r: :i lJ rr :l

iii;iiir::'iii:iiilElnan di permukaan bebas. Untuk soal-soal yang melibatkan permukaan bebas, kondisi tekanan di permukaan

;iiill;illl,:llt**rs tersebut diketahui. Ini berlaku untuk aliran separasi, di mana terjadi kavitasi dan dalam gerakan

: : .''gslombang

tliiiil::,I#1g#14 fuan tak-tunak, kondisi-kondisi awal perlu diketahui, misalnya, kecepatan awal pada suatu waktu harus

;1 ii:r{5-}uifunyapada / = 0. Untuk kebanyakan aliran tak-tunak yang ingin diketahui, sangat sulit untuk menentukan

.i,,k hgfdl n kecepatannya pada r = 0. Jadi, soal-soal yang memerlukan penyelesaian persamaan-persamaan diferensial

ijp-gffiif.ffi;illturunkan dalam bab ini adalah soal-soal yang membutuhkan kondisi-kondisi batas.

,ltiiri::i fi;i{-persamaan diferensial dalam bab ini akan diturunkan dengan menggunakan koordinat-koordinat kartesian.

,i. fl$i#trmudah untuk menyelesaikan soal-soal tertentu dengan menggunakan koordinat silindris atau sferis;

:i.p*f. bmaan diferensial dalam kedua sistem koordinat tersebut diberikan dalam Tabel 5.1.

:::''li:ii$,# energi diferensial tidak akan diberikan dalam buku ini. Persamaan ini diperlukan jika terdapat perbedaan

rltetii ':ji-j$h perbatasan atau jika efek-efek kekentalan sedemikian besar sehingga terbentuk gradien temperatur di

iiffi3 i5fek-efek semacam itu dibahas dalam mata kuliah perpindahan kalor.

69



10 PERSAMAAN DIFERENSIAL [BAB 5

5.2 PERSAMAAN KONTINUITAS DIFERENSIAL

Untuk menurunkan persamaan kontinuitas diferensial kita menggunakan elemen infinitesimal dalam Gbr. 5.1. Elemen ini

adalah volume kontrol yang kecil di mana aliran fluida masuk dan keluar. Elemen ini ditunjukkan pada bidang xy dengan

kedalaman dz.Kita akan mengasumsikan bahwa alirannya hanya pada bidang xy sehingga tidak terjadi aliran fluida ke

arah z. Karena massa dapat berubah di dalam elemen tersebut, massa yang mengalir ke dalam elemen dikurangi dengan

yang keluar harus sama denganperubahan massa

didalam elemen tersebut. Ini diekspresikan sebagai

(s.1)

di mana p diijinkan untuk berubah* di sepanjang elemen tersebut. Jika persamaan di atas disederhanakan, dengan

menganggap bahwa volume kontrol elemental tersebut tidak bergerak, diperoleh

pu dy dz - lr, * '* *) dy dz + pv dx dz- (0, *'g ,t dx crz = @a* a, ae

dtpul, D{pvl_ ap-_f

---:

dx dt, dt

(o, * ot?tay\ d, d,U d) ')

(0".'* a*) at a,

,o ,* o(*.* . *)= o

pu dy dz

pv dr d:.

Gambar 5.1 Volume kontrol inflnitesimal.

Diferensiasikan produk-produknya dan masukan variasi ke arah z. Maka persamaan kontinuitas diferensialnya dapat

dituliskan dalam bentuk

ls.2)

(5.4)

o.n

(5.3)

Keempat suku pertama membentuk derivatif material [lihat Per. (3.11)] sehingga Pers. (5.3) menjadi

oJ,*rl*.X.*) =o

yang merupakan bentuk paling umum daripersamao, kortinuitos dife)ensialdalam koordinat kartesian.

Persamaan kontinuitas diferensial ini seringkali dituliskan dengan menggunakan operator vektor

v=9i* -i*3r.dx df dz,(5.5)

(s.6)

Sehingga Pers. (5.4) mengambil bentuk

D,DJ* pV'V = o

di mana vektor kecepatannya adalah V = ai + vj + wk. Skalar V.V disebut divergens dari vektor kecepatan.

Untuk aliran inkompresibel, densitas partikel fluida tetap konstan, artinya,

D =dP*ud *ro **oP=oDt 0r'-'dx 'dv

dz

jadi densitas tidak harus konstan. Jika densitasnya memang konstan, seperti yang seringkali dijumpai, maka setiap suku

dalam Pers. (5.7) adalah 0. Untuk aliran inkompresibel, Pers. (5.4) dan (5.6) juga mengharuskan

- P."d,rk p, drp", trga dimasukkan sebagai (p *-d4

ar) (, * 4 ar) ai ,lri sebelah kanan elemen, tapi yang diberikan di atas adalah sebanding'\' dr /\ dt I

d * ud *,0 *r)t dx d\)



d *0^' *4=o atau v.v=odx dy dz

Persamaan kontinuitas diferensial untuk aliran inkompresibel dalam koordinat silindris dan

Tabel 5.1.

coNToH 5.1

Udara mengalir dengan kecepatan seragam di dalam sebuah pipa dengan kecepatan yang diukur di sepanjang garis tengah padainterval 4O cm reperti ditunjukkan dalam *trr. 5.2. Jika densitas di titik 2 adalah 1,2 kg{m3, estimasikanlah gradien densitas dititik 2.

Gambar 5.2

Penyele*aiafll Persamaan kontinuitas (5.3) digunakan kmena densitasnya berubah. Persamaan ini disederhanakan sebagai

berikut:

#

*

'ofr*'#.-li. o(*.

#t.#)=o '*=-P*

Selisih tengah* (central dffirencel digunakan unruk mengaproksimasi gradien kecepatan dudx di titik 2 karena informasi diberikan

di tiga titik yang adalah sebagai berikut:

4=M= 52= -Y =-t5m/(s.m)dx- Lx - 0.80

Estimasi terbaik dari gradien densitas, dengan menggunakan informasi yang diberikan. adalah

AL = -l q= -*(-rs) = 0,3 kg(m4)0x u dx- 60' '"'

5.3 PERSAMAAN MOMENTUM DIFERENSIAL

Persamaan diferensial yang diturunkan dalam Subbab 5.2 memiliki tiga komponen kecepatan sebagai variabel-variabel

dependen untuk aliran inkompresibel. Jika ada aliran di mana medan kecepatan dan medan tekanannya tidak diketahui,seperti misalnya di sekitar bilah turbin atau melintasi weir, persamaan momentum diferensial memberikan tiga persamaan

tambahan karena merupakan persamaan kecepatan yang memiliki tiga komponen. Keempat variabel yang dicari adalah

u, v, w dan p jika menggunakan sistem koordinat kartesian. Keempat persamaan memberikan kita persamaan-persamaan

yang diperlukan dan selanjutnya kondisi-kondisi awal dan batas memungkinkan penyelesaian soal. Soal-soal mengenai

bilah turbin dan weir cukup sulit untuk diselesaikan dan penyelesaiannya tidak akan dilakukan dalam buku ini, akan

tetapi soal-soal dengan geometri-geometri yang' sederhana akan dibahas.

Selanjutnya kita akan mulai menurunkan persamaan-persamaan momentum diferensial, yang merupakan tugas yang

cukup menantang. Pertama-tama, tegangan eksis di permukaan-permukaan suatu elemen fluida infinitesimal berbentuk

persegi, seperti ditunjukkan dalam Gbr. 5.3 untuk bidang .r7. Kompenen-komponen tegangan yang sama juga bekerja ke

arah z. Tegangan normal dilambangkan dengan o dan tegangan geser dengan r. Ada sembilan komponen tegangan: orr,oty o., x*y Tyt x*2, Tz.r T,*r, dar, r., Jika kita mengambil momen terhadap sumbu x, sumbu y dan sumbu z, masing-

masing akan menunjukkan

BAB 5] PERSAMAAN DIFERENSIAL 1t

(5.8)

sferis diberikan dalam

lrx - lyr'3 - trz L_L:) t'a

(s.e)

Jadi ada enam komponen tegangan yang harus dihubungkan dengan tekanan dan komponen-komponen kecepatan.

Hubungan-hubungan tersebut disebut sebagai persamaan-persamaan konstitutif; ini adalah persamaan-persamaan yang

tidak diturunkan akan tetapi diperoleh melalui pengamatan di laboratorium.Selanjutnya, aplikasikan hukum kedua Newton pada elemen dalam Gbr. 5.3, dengan mengasumsikan tidak ada

tegangan geser yang bekerja ke arah z (kita akan menambahkannya belakangan) dan bahwa gravitasi bekerja hanya ke

arah z:

(5.10;

* Selisih depan (forward difference) akan menghasilkan Dlld.r. = (52 - 60)/0,40 = -20. Selisih belakang (backward difference) akan menghasilkan6u1tr, = (60 - 64)10,40 = -10. Selisih tengah memberikan aproksimasi terbaik.

64 m/s

-a+{l )

52 m/s

(1)\--l

60 m/s

-H6

(o- * * r,) dy dz - o,*dy dz* (r,, **

rl dxctz- r,, dxdz = pdxdy dz H



72 PERSAMAAN DIFERENSIAL

0r*T + --A-Y^] dx

d**do

-ax)x

[BAB 5

(5.1 1)

(s.12)

(5.1J)

do",o +-a\"' d),

dr..t + -Ldt''" dy

Gambar 5.3 Komponen-komponen tegangan yang saling tegak lurus

pada sebuah elemen cairan.

I

lo *\"

Ini disederhanakan menjadi

orrdx dz* (r,,, * - t* dydz = pdxdy dzDvDt

do

-*x

Jo..-=L +dy

Jika komponenen-komponen arah z dimasukkan, persamaan-persamaan diferensialnya menjadi

0o_. dr^ dr"#*"#*"#= pH

do,, a;-, dt

u* x.*= pDd

0o, dr* dr* Dw

a;* a**6-p8= Pp,

Dengan mengasumsikan bahwa suku gravitasi, pg dx dy dz, bekerja ke arah negatif z.

balam banyak aliran, efek-efek kekentalan yang menimbulkan tegangan geser dapat diabaikan dan tegangan normal

merupakan negatif dari tekanan. Untuk aliran-aliran tak-kental semacam itu, Pers. (5.12) mengambil bentuk

^Du - APYDr- 0x

^D' - -aPDt Ay

pD;i = -*- or

Dalam bentuk vektor [lihat Pers. (5.5)], ini menjadi persamaan Euler yang terkenal itu

Ps#=-vP-P{k (s.14)

yang berlaku untuk aliran-aliran tak-kental.Untuk aliran tunak dengan densitas konstan, Pers. (5.14) dapat diintegralkan

di sepanjang suatu streamline untuk menghasilkan persamaan Bernoulli [Pers' (3.25)].

5 ,r'l dx dz -dyl

ufi *),,"

a:,_

0y-dr,,

_a;-

pDi#

p?;i



BAB 5] PERSAMAAN DIFERENSIAL

Jika kekentalan memiliki efek yang signifikan pada aliran, Pers. (5.12) harus digunakan. Persamaan-persamaan

konstitutif* menghubungkan tegangan dengan medan kecepatan dan tekanan; persamaan-persamaan tersebut tidak diturunkan

akan tetapi dirumuskan melalui pengamatan-pengamatan di laboratorium. Untuk suatu fluida Newtoniant isotropik{.

t7

perumusannya adalah

o,,=-p*zp*+rrv.v

o,, = -p * ztt4 + iv.v.'' d\.

o- = -p * zlr P + iv.v" d7

'.,= u(*. *)

,.,= ,(*,_ *)

,r,= u(,*. #)

Untuk kebanyakan gas, hipotesis Stokes dapat digunakan sehingga )" = -2N3. Jika tegangan-tegangan

dijumlahkan, dihasilkan

(5'Isl

normal di atas

Ip = -i (o* + 9,r + o.. ) (5.16)

yang menunjukkan bahwa tekanan merupakan rata-rata negatif dari ketiga tegangan normal dalam kebanyakan gas.

termasuk udara, dan di semua cairan di mana V.V = 0.

Jika Pers. (5.15) dimasukkan ke dalam Pers. (5.12) dengan menggunakan )'= -21il3, diperoleh hasil

p oi,= - *., (* . uu:; .'r'],. \ 3-(*. * . y)

di mana gravitasi bekerja ke arah negatif z dan fluida diasumsikan homogen** sehingga, sebagai contoh, d;ldx = 0.

Akhirnya, jika aliran diasumsikan inkompresibel sehingga V.V

= 0, diperoleh persamaan-persamaqn Nayier-Stokes

p H = - *.,(#. #. #). \ *(*. *. *)

p D;i= -u , . u ("; . # .

urd'). \ i; l** # * *) - o'

d'u d'u\i.-*-.ldy- dz'l

r)'v d'v \f-:;f ...ldy' dz')

1) 1) \

+ {4 +-d:Y-l

- psdy' dz'I

vr=4*4*4dX dy" dz'

o.]n

(5.18)

p D#= -*. ,l#

pH=-X.r(#

pyi=-*.r(*di mana arah z adalah vertikal.

Jika kita memperkenalkan operator skalar yang disebut Laplacian, yang didefinisikan

\s. t9)

dan mengulangi langkah-langkah yang menghasilkan Pers. (5.13) sampai Pers. (5.14), persamaan-persamaan Navier-Stokes

dapat dituliskan dalam bentuk vektor sebagai

p#=-Yp+trtYzv+pg

Persamaan-persamaan Navier-Stokes dalam koordinat silindris dan sferis diberikan dalam Tabel 5.1

*Persamaan-persamaan konstitutif untuk koordinat silindris dan sferis ditunjukkan dalam Tabel 5.1.i Suatu fluida Newtonian memiliki hubungan laju tegangan-regangan yang linier.

i Suatu fluida isotropik memiliki properti-properti yang indepenrlen terhadap arah di suatu titik.-.Fluida homogen memiliki properti-properti yang independen terhadap posisi

(s.20)




Tabel 5,1 Persamaan Kontinuitas, Persamaan Momentum dan Tegangan untukAliran Inkompresibel dalam Koordinat Silindris dan Sferis

Tegangan

[BAB 5

Kontinuitas

Silindris

Lflr*)* fuae**=o

Sferis

i*V,,). t,u* $ (v, sinel . -h" ft = o

Momentum

Silindris

p * -': = -y, + ps, +r(v'u.-i; - ibrl

,o* . + = -+4r, * rr,* p(v',, -3.3 *)Dv, do

P#=-#*rt,+,trv2u,

D-,,a-Y_ea-,,4-aDr- "Ar' r dg' '.,d2 ' dr

v'=4*19*1"4*aidl r dr r' d0' dz'

Sferis

Dv, ,l + ,$ dnP p-P , =-,*Ps,

*r(v',. ? i# '*f" ,=,,r*)

pD;

- p"" * ulcor o= -', fuag * pr,

I " Dv vo 2cosgDvo\+ fv'v, * i-at- l.i', e- =*;u"r, a-o/

pH - i4:+r:Y: = - -t, *r* ,r,

*r(v',, - .r5"u, o* r r:rr r* .irff+#)\ r. srn'0

D-.. a, ue d , v5 a a

Dt-',ar- V ae- rsi, e aO -0r

,,,=r(r' #.+ *)9;3 .+) t* = tt(*. +'#l

r)v Jv tt,,=tt\d;.fr)

Silindris

Duo""= -p + 2u, oy

tloee= -p + 2tt \V

dv-o,,= -p + 2tt :oz

Sferis

O,,= -p * 2y*

oee= -p. zp (, r*-e * .+)ooQ= -p. 4,, (,,h, fi .+.

"T*),,,=ul,*.(+) .+*lrea= tt [''r'

,* (J%) .r,**,o ]

.,,=,,,[*o * ., #(?)]

o'=)*. ("*) . ;* '*('* '#) .

ra,I sin 0 dQz




Penyelesaian: Persamaan kontinuitas disederhanakan, untuk air yang inkompresibel, menjadi

Dengan mengingat bahwa

streamline

Gambar 5.5

Penyelesaian: Perrama-tama. buatlah sketsa suatu streamline umum dan tunjukkan koordinat-koordinat yang tegak lurus

dan tangensial rerhadap streamline tersebut sehingga vektor kecepaunnya dapat dituliskan sebagai 14. seperti yang kita lakukan

dataml Cbr. 3.10. Perrama-tama kita akan mengekspresikan DY/DI daltm koordinat-koordinat ini.

15

CONTOH 5.2 Air mengalir dari sebuah penampung di antara dua pefat yang disusun. sangat berdekatan, seperti ditunjukkan

dalam Gbr. 5.4. Tuliskanlah persamaan-persamaan yang telah disederhanakan yang diperlukan untuk menentukan kecapatan

keadaan runak dan distribusi tekanan di antara kedua pelat. Abaikanlah variasi z dalam distribusinya dan efek-elek gravitasi.

Jangan abaikan v(x. )).

?,*?'+U=odx dy dz

B,=,, r*,$ *,/.. "f,persamaan-persamaan momentum disederhanakan sebagai berikut:

P l'* * 'q''l = - {z * '(*. *. *\ \ dx dt/ dx \dr, d), dz. I

p(.*.,+\ = -* *,(*.*.*\, \.dx 'a)/ - *il, - "\a] -

atr,-

{r,ldengan mengabaikan variasi tekanan ke arah y karena pelat-pelat diasumsikan sangat rapat. Jadi, tiga persamaan yang tiga variabel

u,vrJanpadalah

*** =o3x d"v

^1

p (ulu + y+l = -P * r,/^a1 * ?'l)1"Dx 'ay/- Dx '1al a"/.

"f, / \u' uf l.

p(,*.,#) = r(#. #)Untuk menentukan penyelesaian terhadap persamaan-persamaan dengan tiga variabel ini, kita perlu menggunakan kondisi tak-

selip pada kedua pelat dan mengasumsikan kondisi-kondisi batas di iubang masuk, termasuk 410, y) dan v(0, -l). Bahkan untuk

g"o."t i y*g"uiup

sederhanalini, penyelesaian terhadap soal aliran di iubang masuk ini tanipak, dan memang, cukup sulit.

Harus dilakukan penyelesaian secara numerik.

CONTOH 5,3 tntegralkanlah Persamaan Euler (5.14) di sepanjang streamline yang ditunjukkan dalam Gbr. 5.5 untuk aliran tunak

dengan densitas konstan dan tunjukkan bahwa yang dihasilkan adalah persamaan Bemoulli (3.25).

V=Vs

n

ft= sir e

1t;,: sin o

Gambar 5.4

0



76 PERSAMAAN DIFERENSIAL IBAB 5

,# =#. r* . f.*= vs ff. ui*

di mana J3/?s adalah bukan nol karena 3 dapat berubah arah dari satu titik ke titik lainnya pada streamline: ini merupakan kuanritas

vektor ke arah il. Pengaplikasian p€rsamaan Euler di sepanjang sueamline (ke arah s) memungkinkan kita untuk menuliskan

pvNa,=_*_*#

Di mana kita mengacu ke Gbr. 5.5 untuk menuiiskan (ft), = a./a, Derivatif-derivatif parsial diperlukan karenakuantiras-kuantitas

dapat berubah ke arah tegak lurus. Persamaan di atas dapat dituliskan

*(4.0*Pr')=ojika densitas p adalah konstan. Ini berarti bahwa di sepanjang streamline.

\r I nyr- *up + ge = konstan

Ini adalah persiunaan Bernoulli yang membutuhkan kondisi-kondisi yang sama seperti ketika dihrrunkan dalarn Bab 3.

Tiga persamaan Navier-Stokes skalar dan persamaan kontinuitas membentuk empat persamaan yang dapat digunakan

untuk menentukan empat variabel u, v, w dan p, jika diberikan kondisi-kondisi awal dan batas yang tepat. Persamaan-

persamaan ini tidak linier yang disebabkan oleh suku-suku percepatannya, seperti misalnya udvld,- di sisi kiri, oleh

karena itu, penyelesaian untuk persamaan-persamaan ini mungkin tidak unik, artinya, penyelesaian yang ditentukan dari

persamaan-persamaan di atas mungkin bukanlah yang teramati di laboratorium. Sebagai contoh, aliran di antara dua

silinder yang berotasi dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan-persamaan Navier-Stokes sehingga hasilnya

berupa aliran yang relatif sederhana dengan streamline-streamline yang melingkar; penyelesaiannya dapat juga menjadi

aliran dengan streamline-streamline yang menyerupai pegas ulir yang dililitkan pada silinder seperti sebuah torus, dan

ada banyak lagi aliran-aliran kompleks yang juga merupakan solusi dari persamaan-persamaan Navier-Stokes. semuanya

memenuhi kondisi-kondisi batas yang sama.

Persamaan-persama'an momentum diferensial (persamaan-persamaan Navier-stokes) dapat diselesaikan dengan cukup

mudah untuk beberapa geometri sederhana. Akan tetapi persamaan-persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan untuk

aliran turbulen yang paling sederhana sekalipun; aliran turbulen bersifat sangat tidak tunak dan tiga dirnensi sehingga

memerlukan ketiga komponen kecepatannya ditetapkan di semua titik di daerah yang diinginkan pada suatu waktu awal,misalnya / = 0. Informasi yang demikian hampir tidak mungkin diperoleh, bahkan untuk geometri yang paling sederhana.

Oleh karena itu, penyelesaian terhadap aliran-aliran turbulen diperoleh melalui eksperinren dan tidak dengan menggunakan

persamaan-persamaan.

5.4 PERSAMAAN ENERGI DIFERENSIAL

Kebanyakan soal yang diberikan dalam mata kuliah mekanika fluida pendahuluan melibatkan aliran-aliran fluida isotermal di

mana tidak terdapat gradien temperatur. Jadi, persamaan energi diferensial tidak diperlukan. Pembahasan mengenai aliran-

aliran di mana terdapat gradien temperatur diberikan dalam mata kuliah mengenai perpindahan kalor. Untuk melengkapi,

persamaan energi diferensial akan diberikan di sini tanpa pembuktian. Secara umum, persamaan tersebut adalah

Po*=rv'zr+ffdi mana K adalah konduktivitas termal. Untuk aliran gas ideal inkompresibel, ini menjadi

Pro

dan untuk aliran cairan bentuknya menjadi

K = ov'r

di mana a adalah difusivitas termal yang dideflnisikan a = Klpcn

H=u"'

(s.21)

(s.22)

(s.23)





5.1 Komponen x dari kecepatan dalam sebuah aliran datar tertentu. bergantung hanya pada y melalui hubunganu(y) = Ay. Tentukanlah komponen y v(r, y) dari kecepatan jika v(x, 0) = 0.

Persamaan kontinuitas untuk aliran datar ini (dalam aliran datar terdapat hanya dua komponen kecepatan yang bergantung

pada dua variabel ruang) mengharuskan

Ou - -dv d,= -d, = -dLql') = ne;--d, A--a*-- a* -"

Penyelesaian untuk Dr,/Dy = 0 adalah v(x, y) =flx). Akan tetapi v(x,0) = 0, sebagaimana diberikan, sehinggaflx) = 0 dan

v(x, 1,) = 0. Cara satu-satunya untuk r,(x, y) menjadi bukan nol adalah jika u(x, 0) adalah bukan nol.

5.2 Apakah medan kecepatan

r'-=4ll--1,\cos0 vo=--4i t+-1.) sine v-=0\t')"\l)z

merepresentasikan aliran kompresibel yang dimungkinkan?

Koordinat-koordinat (r 0 e) adalah koordinat-koordinat silindris. Jadi, Tabel 5.1 memberikan persamaan kontinuitas yang

digunakan:

f,fiv',t.+*.uf=oMasukkan komponen-komponen kecepatan ke dalam persamaan ini dan peroleh

4cos0 (,-1) *J /r*11 j,.irer *af.-1s drv rt ' r \, ,l/ ae.- -.lz_

Diferensiasikan dan peroleh

t'gTi (, . i) -X (, .)).* e= o

Kontinuitas terpenuhi, jadi medan kecepatan ini merupakan aliran inkompresibel yang dimungkinkan.

5.3 Gunakan persamaan-persamaan momentum diferensial untuk aliran seragam inkompresibel yang bergerak ke

arah suatu pelat datar, misalnya, angin yang menerpa dinding vertikal, dan tentukanlah ekspresi untuk tekanan

gradiennya. Asumsikan aliran datar di mana hanya komponen-komponen x dan y saja yang bukan nol dan efek-efek kekentalan dan gravitasi diabaikan.

Pers. (5.18) disederhanakan sebagai berikut:

o\#.,*.*."#

=-*.,| xrffi)./r,

=-X.,1*r:p4;.,p,Ini menghasilkan gradien tekanan yang dihubungkan ke medan kecepatan melalui

h' li= - [ua: * ,a:\i- /,P. 4).iP=a*'* d)' \ d* d)) \ o, qvl

5,4 Tunjukkan bahwa DulDt dapat dituliskan sebagai V.Vu untuk aliran tunak. Kemudian tuliskan ekspresi untuk

DV/Dt.

Ekspansikan'-x*""=Vl,l;.;-Jl

,u =(, *,g *, g) , =y yuDt pt dx dy dz \ dx dy dzl

di mana kita telah menggunakan

v.v - {ai+ rj+wk)./.a, * 9.i * Pk) =, 3 * rP *, P

Akhirnya. kita perhatikan bahwa\ dx oy oz I dx d)' dz

'# =D;i * D;:. a;*= v vui + v.vrj + V.vwk

=V.V(ui+uj+wk)= (v.v)Y

,(#."*.,***#




Soal-soal Thmbahan

[BAB 5

Persamaan Kontinuitas Diferensial

5.5 Lihatlah catatan kaki yang pertama dan masukkan (, **Urrr)(" * $ar)a"ri sisi sebelah kanan elemen aun (n - Hrr)f', *

*a1) aari area atas elemen dan tunjukkan bahwa yang diperoleh adalah Pers. (5.2).

\ d.\' )

5.6 Teorema divergens, juga disebut teorema Gaass, dituliskan dalam bentuk vektor sebagai

Jn iae = Jv n.rv

di mana B merepresentasikan vektor .unupuJ dan area ,"LrUuun A mengelilingi volume v. epttasikan teorema ini ke

persamaan kontinuitas integral dalam Pers. (4.13) untuk aliran tunak dan turunkan Pers. (5.6).

5.7 Di dalam suatu jalur pipa terjadi aliran kompresibel sebuah gas. Asumsikan aliran seragam dengan arah -r di sepanjang sumbu

pipa dan nyatakan persamaan kontinuitas yang teiah disederhanakan.

5.8 Aliran tunak inkompresibel sebuah fluida. seperti misalnya aliran berstrata air asin (seperti di dalam isthmus di antara sekelompok

air tawar dan sekompok air asin). mengalir di dalam sebuah saluran di mana terdapat perubahan mendadak pada ketinggian

dasar saluran (ini memungkinkan terjadinya u dan 1, yang bukan nol). Asumsikan tidak terjadi variasi ke arah z dan tuliskanlzLh

kedua persamaan yang dihasilkan dari persamaan kontinuitas. (Eksperimen menunjukkan bahwa daerah stagnan dari fluidaterjadi di depan suatu kenaikan ketinggian yang mendadak di dasar sebuah saluran di dalam aliran berstrata. Fenomena ini

mengakibatkan penumpukan smctg dt Los Angeles pada saat angin berhembus ke arah kota, akan tetapi di kota New York yang

populasinya lebih padat tidak terdapat penumpukan smog yang substansial. Di arah timur Los Angeles terdapat pegunungan

sedangkan di bagian barat New York tidak ada.)

5.9 Suatu aliran isotermal terjadi di dalam.sebuah saluran. Tunjukkanlah bahwa persamaan kontinuitas dapat dituliskan sebagai

Dp = pY.V untuk gas ideal.

5.10 Suatu fluida inkompresibel mengalir secara radial (tidak ada komponen 0 atau @) ke dalam sebuah saluran pembuangan air

yang kecil dan berbentuk bulat. Bagaimanakah komponen radial dari kecepatan harus bervariasi terhadap radius sebagaimana

ditentukan oleh kontinuitas?

5.11 Jika komponen x dari vektor kecepatan adalah konstan dalam sebuah aliran datar, bagaimanakah komponen y dari vektor

kecepatan tersebut?

5.12 Hitunglahgradien densitas dalam Contoh 5.1 jika (a) selisih depan digunakan dan (D) selisih belakang digunakan. Berapapkah

persentase kesalahan untuk masing-masing, jika diasumsikan bahwa jawaban dalam Contoh 5.1 adalah benar?

5.13 Komponen x dari vektor kecepatan diukur pada tiga lokasi yang telpisah 8 mm pada garis tengah sebuah kontraksi yang

simetris. Pada titikA, B dan C, pengukuran menghasilkan masing-masing 8,2,9,4 dan l1,l m./s. Estimasikanlah komponen _y

dari kecepatan 2 mm di atas titik B di dalam aliran tunak, datar dan inkompresibel ini.

5.14 Jika, di dalam suatu aliran datar. kedua komponen kecepatannya diberikan oleh

u(x' Y) = 8('r2 + 1'2; v(;r' -r') = $aY

Berapakah DplDt di (1,2) m jika di titik tersebut p = 2 kglm3l

5.15 Medan kecepatan untuk suatu aliran datar tertentu (n. = 0) dari udara diberikan oleh

u(-r, -i'.1 = 1l', u(r,-r'.1 = -+u,

x- +

-)'-.r- + _'r'"

Tuniukkanlah bahwa ini adaiah aliran inkompresibel.

5.16 Jika a(x, )) = 4 + 2xl(-i + 1'21 di dalam suatu aliran datar inkompresibel, bagaimanakah v(x, y) jika r:(x, 0) = 0?

5.17 Jika y(x, .y) = 8 + 4y1(l + .y2) di dalam suatu aliran datar inkompresibel, bagaimanakah u(x, y) jika a(0, .y) = 0?

5.18 Komponen kecepatan vu= -(25 + l/l)cos 0. di dalam sebuah aliran datar inkompresibel. Tentukanlah r,,(r, 0) jika r,,(r, 0) = 0.

5.19 Komponen kecepatan v0= -25(1 + 1/l)sin 0 + 5Oli di dalam sebuah aliran datar inkompresibel. Tentukanlah u,.(r, 0) jika

u,(r, 90') = 0.

Persamaan Momentum Diferensial

5.20 Gambarkanlah sebuah elemen persegiempat yang serupa dengan dalam Gbr. 5.3 pada bidang x:. Asumsikan tidak ada tegangan

geser yang bekerja ke arah -r,dan bahwa gravitasi bekerja ke arah :. Aplikasikan hukum kedua Newton kepada elemen tersebut

ke arah: dan tuilskanlah persamaan yang serupa dengan Pers. (5.11).



BAB 5I PERSAMAAN DIFERENSIAL

5.21 Jika suatu aliran tunak fluida terjadi di sekitar sebuah silinder panjang, tiga persamaan apa sajakah yang dibutuhkan untuk

menentukan medan kecepatan dan tekanannya jika efek-efek kekentalannya signifikan akan tetapi efek-efek gravitasinya tidak

signifikan? Kondisi-kondisi batas apa sajakah yang akan terdapat pada silinder? Ekspresikan persamaan-persamaan tersebut

dalam koordinat silindris. Mengaculah ke Tabel 5.1.

5.22 Jika suatu aliran tunak fluida terjadi di sekitar sebuah bola, tiga persamaan apa sajakah yang dibutuhkan untuk menentukan

medan kecepatan dan tekanannya jika efek-efek kekentalannya signifikan akan tetapi efek-efek gravitasinya tidak signiflkan?

Kondisi-kondisi batas apa sajakah yang akan lerdapat pada silinder? Ekspresikan persamaan-persamaan tersebut dalam koordinat

silindris. Mengaculah ke Tabel 5.1.

5.23 Verifikasikan bahwa ff = (V.V)V dengan menggunakan koordinat kartesian dengan mengasumsikan aliran tunak.

5.24 Tentukanlah gradien tekanan Vp untuk aliran inkompresibel dalam Soal 5.15, dengan mengasumsikan aliran tak-kental dengan

efek-efek gravitasi yang dapat diabaikan.

5.25 Tentukanlah gradien tekanan Vp untuk aliran inkompresibel dalam Soal 5.2, dengan mengasumsikan aliran tak-kental dengan

efek-efek gravitasi yang dapat diabaikan.

5.26 Sederhanakanlah persamaan Navier-Stokes yang tepat untuk aliran di antara pelat-pelat paralel dengan mengasumsikan a =

z$) dan gavitasi ke arah e. Streamline-streamline diasumsikan paralel terhadap pelat-pelat sehingga v = w = 0.

5.27 Sederhanakanlah persamaan Navier-Stokes yang tepat untuk aliran di dalam pipa dengan mengasumsikan v" = vz(r) dan gavitasi

ke arah z. Streamline-streamline diasumsikan paralel terhadap pipa sehingga vu = ].,, = 0.

5.28 Silinder dalam dari dua silinder konsentrik berotasi sehingga ye = vs(r) dan r. = 0. Persamaan-persamaan apa sajakah yang

dibutuhkan untuk menentukan profil kecepatannya dengan mengasumsikan silinder-silinder tersebut vertikal?

5.29 Masukkanlah persamaan-persamaan konstitutif (5.15) ke dalam persamaan-persamaan momentum (5.12) dan tunjukkanlah bahwa

yang diperoleh adalah persamaan-persamaan Navier-Stokes (5.18), dengan mengasumsikan fluida inkompresibel homogen.

5.30 Asumsikan bahwa suatu aliran tidak homogen, artinya, terjadi gradien temperatur di dalam aliran sehingga viskositasnya

tidak konstan. dan tuliskanlah persamaan-persamaan momentum diferensial komponen x untuk aliran inkompresibel dengan

menggunakan persamaan-persamaan konstitutif (5. 15).

5.31 Gunakanlahp untuk melambangkan rata-rata negatif dari ketiga tegangan normal di dalam sebuah aliran gas di mana hipotesis

Stokes tidak berlaku. Tentukanlah ekspresi untuk (p - p ).


79

5.5 Lihatlah soal yang diberikan


s.7 ,4*& =odx 'dx


5.10 v,= C

5.11 v,= f(x)

5.12 0.4 kglm4,33,3Ea

5.13 0.36 m/s.

5.14 -32 kg/(m3.s)

s.ts P*P=odxdv

5.16 -2y/(x2 + y2)

5,17 4yl(x2 + y2)

5.18 -(25 - 12) sin o

5.19 (25 - 12) cos 0

s.8 uo =-rd 4=-dx Dv Dx dv

0o5.20 -11dx

**=,ff dun*.*-y=pH5.23 Lihatlah soal yang diberikan

5.24 -. ,16 ,-r (xi + yi)P\x' + Y-S

s.26 P = u*X rrv'

dp d2u. 1 0v.5,27 :

az=P8,+11 as*+i

s.28 +x=,(#.+*-s.31 -Q, + 2N3) Y .Y

vo

12



Analisis Dimensionaldan keserupaan

6.1 PENDAHULUAN

Banyak soal yang ingin diselesaikan dalam mekanika fluida tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan pcrqamaah:

persamaan integral darlatau diferensial. Pergerakan angin di sekitar stadion sepakbola, aliran air melalui hidrstu$$,:raksasa, aliran udara di sekitar deflektor pada sebuah truk, pergerakan gelombang di sekitar dermaga atau kaptl_dan

aliran udara di sekitar pesawat terbang merupakan contoh-contoh soal yang diteliti di laboratorium dengan * ,model-model. Akan tetapi, penelitian laboratorium dengan menggunakan model membutuhkan biaya safig,ti#ulsehingga untuk menurunkan biaya digunakan parameter-parameter non-dimensi. Parameter-parameter de ill.sddigunakan dalam studi-studi numerik dengan alasan yang sama. . .

Parameter-parameter non-dimensi diperoleh dengan menggunakan metode yang disebut analisis dimensiona*,

yang akan diberikan dalam Subbab 6.2. Metode ini didasarkan pada konsep kehomogenan dimensional; $.qIeEAfl tl

di dalam suatu persamaan harus memiliki dimensi-dimensi yang sama. Hanya dengan menggunakan ide iniia}*f-.4' at

meminimalkan jumlah parameter-parameter yang diperlukan dalam eksperimen ataupun analisis analitik, {ffi:y ng'

akan ditunjukkan. Persamaan manapun dapat diekspresikan dalam parameter-parameter non-dimensi dengal*. qp;l

setiap sukunya dengan salah satu suku lainnya. Sebagai contoh, perhatikan persamaan Bemoulli,r,,i.iiii;ii,i.

i.;+?zz= z +j+st:iitii'il+i,'J6itl1i":::

Sekarang bagilah kedua sisinya dengan gzr. Maka persamaan tersebut dapat dituliskan,'1::.;i.;11jii,.tii',

v) . p:* r= I ^u7 *t * t\1, \.6,.2;2nr* 72, *

'= \ZsZ,*n:, l-2

Perhatikan parameter-parameter non-dimensi, Vzlgz dan ptyz. ,lltf;:i'iit::.,", .,

Setelah suatu analisis diiakukan pada sebuah model di dalam laboratorium dan semua kuantitas yurg @il{* 1$uitelah diukur, perlu dilakukan prediksi terhadap kuantitas-kuantitas yang sama pada prototipenya, seperti &l : *yayang dihasilkan oleh sebuah kincir angin dari pengukuran-pengukuran yang diperoleh dari model ya*$ {ffi#eeil,::Keserupaan adalah studi yang memungkinkan kita untuk melakukan prediksi terhadap kuantitas-kuantitas yrddi$;€i41*$$14i$il,

pada sebuah prototipe melalui pengukuran-pengukuran pada sebuah model. Ini akan dilakukan setelah Sftffi &as ,

analisis dimensional yang memberikan panduan bagi studi terhadap model.. ..: .. .

6.2 ANALISIS DIMENSIONAL

Suatu contoh akan digunakan untuk mendemonstrasikan kegunaan clari analisis dimensional. Misalkan ti.p,io i"mengetahui gaya hambat FD dari suatu benda yang bagian depannya berbentuk bola seperti yang ditli ffimGbr.6.1. Kita dapat melakukan suatu studi dengan mengukur gaya hambat suatu radius R dan panjang::e. Lflil

dalam suatu fluida dengan kecepatan V, viskositas p dan deirsitas p. Gravitasi diperkirakan tidak mer*ilik{;ffi$$atrh,

pada gaya. Ketergantungan gaya hambat pada variabel-variabel lain dapat dituliskan . 't ,

80



BAB 6] ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESERUPAAN

Gambar 6.1 Aliran di sekitar objek.

Fo = f(R, L,V tt, p) (6.J)

Untuk menampilkan hasil-hasil dari suatu studi eksperimental, gaya hambat dapat diplot sebagai fungsi dari Y untuk

berbagai nilai radius R dengan menjaga variabel-variabel lainnya tetap. Kemudian plot kedua dapat menunjukkan gaya

hambat untuk berbagai nilai L dengan menjaga variabel-variabel lainnya tetap, demikian seterusnya. Plorplot tersebut

dapat berbentuk seperti dalam Gbr. 6.2. Untuk memvariasikan viskositas dengan menjaga densitas tetap dan kemudian

densitas dengan menjaga viskositas tetap memerlukan berbagai jenis fluida sehingga menjadi suatu studi yang sangat

kompleks, bahkan mungkin tidak mungkin.

Gambar 6.2 Gaya hambat versus kecepatan. (a) L, tt, p tetap dan (b) R, lt, p tetap.

Hubungan aktual yang menghubungkan gaya hambat dengan variabel-variabel lainnya dapat diekspresikan sebagai

suatu set parameter-parameter non-dimensi, seperti dalam Gbr. 6.2, sebagai

8l

V.-..._>

FD

Fp- ilPVR R\

pvz nz-r\ Lt 'L) (6.4)

(Prosedur untuk melakukan ini akan diberikan selanjutnya). Hasil-hasil dari suatu studi yang menggunakan hubungan

di atas biasanya lebih terorganisir dibandingkan dengan studi yang dicontohkan oleh kurva-kurva dalam Gbr. 6.2. Studi

eksperimental membutuhkan hanya beberapa model berbeda, masing-masing dengan rasio R/l yang berbeda-beda, dan

hanya satu fluida, apakah udara ataukan air. Mengubah-ubah kecepatan dari fluida yang mendekati model, suatu hal yang

mudah dilakukan, dapat mengubah kedua parameter non-dimensi lainnya. Plot dari f o\pV2n\ versus pVRlpr untuk

beberapa nilai dari RIL akan memberikan hasil-hasil dari studi tersebut.

Sebelum kita masuk ke dalam detail pembentukan parameter-parameter non-dimensi dari Pers. i6.4.1. kita akan

meninjau ulang dimensi-dimensi pada kuantitas-kuantitas yang diinginkan dalam mekanika fluida. Banyak kuantitas

memiliki dimensi-dimensi yang jelas, akan tetapi beberapa dimensi lainnya tidak terlalu jelas. Han.va terdapat tigadimensi dasar karena hukum kedua Newton dapat digunakan untuk menghubungkan dimensi-dimensi dasar tersebut.

Dengan menggunakan F, M, L danT sebagai dimensi untuk gaya, massa, panjang dan waktu, kita lihat bahwa F = ma

mengharuskan dimensi-dimensi tersebut saling berhubungan melalui

F= (.6.s)

F dengan M, L dan L Jika

keadaan, misalnya

Kita memilih menggunakan sistem M - L - 7} dan Pers. (6.5) untuk menghubungkan

temperatur diperlukan, seperti halnya dalam aliran suatu gas kompesibel, suatu persamaan

p=pRTdapat diekspresikan secara dimensional sebagai

M+T'

aSistemF-L-Tdapatjugadigunakan.MenggunakansistentM-L-Thanyalahsuatupilihansaja.

(6.6)



82 ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESERUPAAN IBAB 6

rRZr= rplpt=##=ryf #=#6.n

di mana tanda kurung berarti "dimensi dari". Produk RZ tidak memasukkan dimensi-dimensi tambahan.

Tabel 6.1 diberikan untuk membantu memilih dimensi-dimensi yang tepat untuk kuantitas-kuantitas yang diinginkan.Ini akan menyederhanakan pembentukan parameter-parameter non-dimensi. Dimensi-dimensi yang ditampilkan hanya untuk

sistem M - L - T, karena sistem inilah yang akan digunakkan dalam menyelesaikan soal-soal dalam bab ini. Hasil-hasilyang sama akan diperoleh melalui sistem F - L - T, jika memang ingin digunakan.

Teorema Buckingham n digunakan untuk membentuk parameter-parameter non-dimensi, jika diketahui suatu hubungan

fungsional seperti misalnya Pers. (6.3). Tuliskanlah variabel utama yang diinginkan sebagai suatu fungsi umum, seperti

misalnya

xt = f({2, x1, x4, ..., xil) (6.8)

di mana m adalah jumlah total variabel. Jlka m adalah jumlah dimensi-dimensi dasar, biasanya 3, teorema Buckinghamz mengharuskan (n - m) kelompok-kelompok variabel non-dimensi, suku-suku ru, berhubungan melalui

tt, = fr(tc2, 7h,..., |Tn*n) (6.e)

dimana z, dipilih untuk menyimpan variabel dependennya [ini adalah F, dalam Pers. (6.3)] dan suku-suku n lainnya

menyimpan variabel-variabel independen. Harus diperhatikan bahwa suatu hubungan fungsional tidak dapat menyimpansuatu dimensi tertentu hanya dalam satu variabel; misalnya, dalam hubungan v = f(d, /, p), densitas p tidak dapat terjadikarena merupakan satu-satunya variabel yang menyimpan dimensi M, jadi M tidak memiliki kemungkinan dicoret untukmembentuk suatu suku zr non-dimensi.

Langkah-langkah yang diikuti ketika mengaplikasikan teorema Buckingham n adalah:

1. Tuliskanlah variabel dependen sebagai suatu fungsi dari (n - 1) variabel independen. Langkah ini memerlukanpengetahuan mengenai fenomena yang sedang diamati. Semua variabel yang mempengaruhi variabel dependen

harus dimasukkan dan semua variabel yang tidak mempengaruhi variabel dependen tidak boleh dimasukkan.

Dalam kebanyakan soal, hubungan ini akan diberikan.

Tabel 6.1 Simbol-simbol dan Dimensi-dimensi dariKuantitas-kuantitas yang diinginkan Dalam Sistem

M-L-TKuantitas Simhol Simbol

Lanjang

Massa M

Waktu

Kecepatan LlT

ur"-_-_.',T'

Percepatan

Kecepatan sudut O

Gaya

Gravitasi LIP

Laju aliran o L3IT

Fluks massa MITTekanan MILT2

MILT,

MIL,

ML'IT'

Stress

Densitas

Berat spesifik

Usaha w MIL2T2

Viskositas MILT

Lr/riskositas kinematik

Daya w

o

ML2IT3

Fluks kalor ML2/73

Mlr'M/LT"

Tegangan permukaan

Modulus bulk



BAB 6]

Langkah 3 dilakukan melalui pengamatan ataukah prosedur aljabar. Metode pengamatan

contoh. Untuk mendemonstrasikan prosedur aljabar, kita akan membentuk suku z dari

dituliskan sebagai

tr = v"Rb p' l-Ld

Dalam suku-suku dimensi. ini adalah

Mo Lo ro = (+)" t' (y| e*YDengan mencocokkan pangkat pada setiap dimensi dasar diperoleh sistem persamaan

.M: 0=c+dL : 0=a+b-3c-dT: 0=-a-d

Solusinya adalah

c=-d a=-d b=-d

lu\dn-lt I" - \vnpl

ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESERUPAAN

2. Kenalilah m yariabel, variabel-variabel berulang yang dikombinasikan dengan variabel-variabel lainnya untuk

membentuk suku-suku tt. m variabel ini harus memiliki dimensi=dimensi dasar yang ada di dalam n variabel dari

hubungan fungsional yang dimaksud, akan tetapi tidak boleh membentuk suku n non-dimensi secara terpisah.

Perhatikan bahwa sudut adalah non-dimensi, jadi bukan merupakan kandidat sebagai variabel berulang.

3. Gabungkan setiap dari (n - m') variabel dengan variabel-variabel berulang untuk membentuk suku-suku z.

4. Tuliskanlah suku z yang menyimpan variabel dependen sebagai suatu fungsi dari suku-suku r lainnya.

83

Maka suku fi dituliskan sebagai

Suku zr ini adalah non-dimensi terlepas dari nilai dari d. Jika kita menginginkan V di dalam penyebut, gunakan d = lijikakitamenginginkanVdidalampembilang,gunakand=-l.Gunakand=-lsehingga

Bilangan Euler

Bilangan Froude

Bilangan Reynolds

Bilangan Mach

Bilangan Weber

Bilangan Strouhal

akan digunakan dalam sebuah

variabel U R,, p dan p. Ini

(6.10)

(6.1 1)

(6.12)

(6.13)

(6.r4)

(6.1s)

Misalkan hanya ada satu suku fi yang dihasilkan dari analisis. Suku n tersebut hkan sama dengan suatu konstantayang akan ditentukan melalui eksperimen.

Akhirnya, perhatikan suatu hubungan fungsional yang sangat umum antara perubahan tekanan Ap, panjang /, kecepatan

V, gravitasi g, viskositas tr1, densitas p, kecepatan suara c, tegangan permukaan o dan kecepatan sudut f2. Semua variabel

ini mungkin tidak mempengaruhi suatu soal, akan tetapi menarik untuk mengamati hubungan terakhir dari suku-suku

non-dimensi. Analisis dimensional dengan menggunakan V, I dan p sebeagai variabel-variabel berulang memberikan

hubungan

VRo

Lt

Lp "lv2 PVI vpV2 '\/g' 11 c

(6.16)

Setiap suku yang muncul di dalam hubungan ini merupakan parameter yang penting dalam situasi-situasi aliran tertentu.

Suku non-dimensi dengan nama umumnya diurutkan sebagai berikut:

plv2 an \o'Vl

Lppv2

v\,8

Plltvc

uv'o

o/

V

=Eu

=Fr

=Re

-M

=We

=St

(6.1D



E4 ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESE,RLTPAAN IBAB 6

Tidak semua bilangan di atas ingin diketahui dalam suatu aliran tertentu; hampir tidak mungkin bahwa efek-efek

kompresibilitas dan tegangan permukaan akan mempengaruhi aliran yang sama. Walaupun demikian, bilangan-bilangan

ini adalah parameter-parameter non-dimensi utama di dalam studi mekanika fluida. Bilangan Euler ingin diketahui dalam

kebanyakan aliran, bilangan Froude dalam aliran-aliran yang memiliki permukaan bebas di mana gravitasi signifikan

(misalnya, pergerakan gelombang), bilangan Reynolds di daiam aliran-aliran di mana efek-efek kekentalan menjadi

penting, bilangan Mach di dalam aliran-aliran kompresibel, bilangan Weber di dalam aliran-aliran yang dipengaruhi oleh

tegangan permukaan (misalnya, semprotan yang mengandung butiran-butiran) dan bilangan Strouhal di dalam aliran-alirandi mana rotasi atau pergerakan periodik memegang peranan. Setiap biiangan ini, dengan pengecualian bilangan Weber

(efek-efek tegangan permukaan tidak memiliki aplikasi teknik yang penting), akan muncul di dalam aliran-aliran yang

dipelajari dalam bab-bab selanjutnya. Catatan: bilangan Froude seringkali didefinisikan V2llg; ini tidak akan mempengaruhi

penyelesaian soal-soal.

nan tekanan Ap di sepanjang sebuah pipa dengan panjang L diasumsikan bergantung pada kecepatan rata-ONTOH 6.1 Penuru

rata V. diameter pipa D. ketinggian rata-rata e dari elemen-elemen kekasaran pada dinding pipa. densitas uida p dan viskositas

uida trr. Tuliskanlah suatu hubungan antara penurunan tekanan clan variabel-variabel lainnya.

Penyelesaian: Peflama-tama. pilihlah variabel-variahel berulangnya. Jangan nremilih lp karena merupakan variabel

dependennya. Pilihlah salah satu saja dari antara D, L dan e karena semuanya sama-sama memiliki dimensi panjang. Pilihlah

valiabel-variabel yang dianggap+ paling mempengaruhi penurunan tekanan: V. D d,an p. Selanjutnya. ruliskanlah dimensi pada

setiap variabel tTabel 6.1):

wt=ffi v:=L tn=+ tD)=L Lef=L tel=# til={,

Pertama-tama, gabungkan Lp, V D dan p ke dalam subuah suku n Karena hanya Ap dan p yang rnemiliki dimensi M, keduanya

harus muncul sebagai sebuah rasio \plp. lni menempatkan f di dalam penyebut sehingga V'harus berada di dalam pembilang jadi fdapat dicoret. Akhimya. periksalah L: ada L dj dalam pembilang.jadi D harus berada di dalam penyebut sehingga memberikan

Anft, =

pa_vro,

Suku n yang kedua diperoleh dengan menggabungkan I dengan ketiga variabel berulang V D dan p. Karena baik I maupun D

memiliki dimensi panjang. suku z kedua adalah

* _L7t" = _"^

"z-DSuku n yang ketiga tlihasilkan dari menggabungkan e dengan variabel-variabel berulang. e memiliki dimensi panjang jadi suku

n ketiga adalah

- _e"l-D

Suku n yang terakhir dipcroleh dengan menggabungkan m dengan V. D dan p. lt dan p dua-duanya memiliki dimensi M sehingga

harus membentuk rasio pl1t. lni menempatkan I di dalam pembilang sehingga mengharuskan V berada di dalam pembilang. lni

menempatan L di dalam penyebut sehingga D harus muncul di dalam pembilang. Jadi suku p yang terakhir aclalah

tr' =gVD

"uEkspresi yang terakhir menghubungan suku-suku zr sebagai

x, = flttr, nr. ro)

atau dengan menggunakan variabel-variabel

Lp .tL e p\rDypV)If ' \D' D' p I

Jika t dipilih sebagai variabel berulang, hanya akan menggantikan D karena memiliki dimensi yang sama.

6.3 KESERUPAAN (SIMILITUDE)

Setelah parameter-parameter non-dimensi telah teridentifikasi dan penelitian pada sebuah model telah dilakukan di

laboratorium, keserupaan (similitude') memungkinkan kita melakukan prediksi terhadap perilaku suatu prototipe berdasarkan

pengukuran-pengukuran yang dilakukan pada model. Pengukuran-pengukuran pada model sebuah kapal di dalam bak

pengujian atau pada model sebuah pesawat terbang di dalam terowongan angin digunakan untuk memprediksi kinerja

dari kapal ataupun pesawat tersebut.

* hti sering diperdebatkan. Baik D nruupun L dapat dipilih. tergantttng mana 1,ang lebih berpengaruh



BAB 6l ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESERUPAAN

Aplikasi dari keserupaan didasarkan pada tiga tipe similaritas. Peftama-tama, suatu model harus berbentuk serupa

dengan prototipenya, artinya, rasio panjang harus konstan titik-titik yang bersesuaian pada model dan prototipe. Sebagai

contoh, jika rasio panjang dari model dan prototipenya adalah ,t, maka setiap rasio panjang yang lain adalah ), juga. Jadi

rasio areanya menjadi t dan rasio volumenya adalah i3. Ini adalah similaritas geometrik.

Yang kedua adalah similaritas dinamik: semua rasio gaya yang bekerja pada elemer.r-elemen massanya masing-masing

didalam

aliranmodel dan prototipenya adalah sama.

Inidihasilkan dengan menyamakan bilangan-bilangan non-dimensi

yang tepat dari Pers. {6.\7). Jika efek-efek kekentalan berpengaruh, bilangan-bilangan Machnya disamakan; jika gravitasi

mempengaruhi aliran, bilangan-bilangan Froudenya disamakan; jika kecepatan sudut mempengaruhi aliran, bilangan-bilangan

Strouhalnya disamakan dan jika tegangan permukaan mempengaruhi aliran, bilangan-bilangan Webernya disamakan.

Semua bilangan ini dapat ditunjukkan sebagai rasio gaya-gaya, jadi menyamakan bilangan-bilangan ini di dalam suatu

aliran tertentu sama saja dengan menyamakan rasio-rasio gaya di dalam aliran tersebut.

Tipe similaritas yang ketiga adalah similaritas kinematik; rasio kecepatannya adalah sama antara tidk-titik yang

bersesuaian di dalam aliran di sekitar model dan prototipe. ini dapat ditunjukkan dengan memperhatikan rasio gaya-gaya

inersial, dengan menggunakan gaya inersial sebagai

Fr=mv* =,nYj = pl Y = pl2vz (6.18)dsl'l

di mana percepatan a+'= V clVlcls telah digunakan. Jadi rasio gaya-gaya antara rnodel dan prototipenya adalah

85

yang menunjukkan bahwa rasio kecepatan adalah konstan antara titik-titik yang bersesuaian jika rasio panjangnya adalah

konstan, artinya, jika terdapat similaritas geometrik (kita asumsikan rasio densitas p*lprkonstan antara titik-titik yang

bersesuaian di dalam kedua aliran).

Mengasumsikan terdapat similaritas menyeluruh antara model dan prototipe, kuantitas-kuantitas yang dicari sekarang

dapat diprediksi. Sebagai contoh, jika gaya hambat diukur pada aliran di sekitar sebuah benda di mana efek-et-ek kekentalan

memainkan peranan penting, rasio gaya-gayanya [lihat Pers. (6.18)] adalah

(F). * p*v'*l; _tFnt, pfll-

Rasio kecepatan akan diperoleh dengan menyamakan bilangan-bilangan Reynoldsnya.

(6.21 )

Jika rasio panjang, skalanya, diberikan dan fluida yang sama digunakan untuk pada model dan prototipenya. gaya yang

bekerja pada prototipe dapat diperoleh. Gaya tersebut adalah

(F o)p = (Fo),n (6.22)

yang menunjukkan bahwa, jika bilangan Reynolds mengatur studi model dan fluida yang sama digunakan pada model

dan prototipenya, gaya pada model adalah sama dengan gaya pada prototipe. Perhatikan bahwa kecepatan di dalam

studi modei adalah kecepatan di dalam prototipe dikalikan dengan rasio panjangnya sehingga kecepatan modelnya dapat

menjadi sangat besar.

Jika bilangan Froude yang mengatur studi, kita akan memiliki

(F,) v2 12:ttt - 11=konslan

tt t)P v;t;

v2 v:Fr.= Fr, = , 'o' = , "n

.mbm ,p6p

Jadi gaya hambat pada prototipe, dengan g,, = gp, akan menjadi

Re = Re P'nv* u'=

P'.l/'"-r p^ l1p

= (Fo),,|?rfeY

=(Fo)*ef VI

(F,t, = (Fil,(',;fef = (F,)*lJ(if = ,F,,,,,(I)'

\6.19t

(6.20)

(6.23)

+ Ingat Iagi a = clV/dt dan V = dslr sehingga a = V dV/ris

6.24)



86 ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESERUPAAN [BAB 6

Ini adalah situasi untuk studi model sebuah kapal. Bilangan Reynolds tidak digunakan walaupun gaya hambat kental yang

bekerja pada kapal tidak dapat diabaikan. Kita tidak dapat memenuhi bilangan Reynolds dan bilangan Froude sekaligus

di dalam suatu studi jika fluida yang sama digunakan dalam studi model seperti yang digunakan pada aliran prototipenya;

studi model kapal selalu menggunakan air sebagai fluidanya. Untuk memperhitungkan gaya hambat kentalnya, hasil-hasil

dari studi model yang berdasarkan bilangan Froude disesuaikan dengan menggunakan pengubah-pengubah Qnodifier)

industrial yang tidak dibahas dalam buku ini.

CONTOH 6.2 Sebuah desain cerdas bagian depan sebuah kapal akan diuji di dalam bak air. Gaya hambat sebesar 12.2 N

terukur pada model berskala l:20 jika ditarik pada kecepatan 3,6 m/s. Tentukanlah kecepatan yang sesuai dari kapal prototipenya

dan gayi hambat yang diantisipasi.

Penyelesaian: Bilangan Froude mengatur studi model kapal karena efek-efek gravitasi (pergerakan-pergerakan gelombangl

jauh lebih signifikan dibandingkan efek-efek viskositas. Oleh karena iru.

Fr. = Fr., utuuvo

= *.p ..* ".-",ltfi,

^[.g,Karena gravilasi tidak bervariasi secara signifikan pada bumi. diperoleh hasil

'lr

vn= v' tr',' = l'a x \,Eo = 16'l m/s

Untuk menentukan gaya hambat pada prototipenya, rasio gaya hambat disamakan dengan rasio gaya gravitasi (rasio gaya inersial

dapar digunakan tapi rasio gaya kental tidak karena gaya-Eaya kental telah diabaikan).

lrrL =Povzrti

(Fr),,, p,nvzo,l:.'.'(Fp)r= (Fi*#= D,z x+#x 202= 41 000 N

di mana kita menggunakm rr go=

p/z karena air laut dan air tawar memiliki densitas yang hampir sama. Hasil-hasil di atas dapat

dimodifikasi berdasarkan faktor-faktor yang telah dilembangkan untuk memperhitungkan gaya hambat kental pada kapal.

CONTOH 6.3 Sebuah pompa besar yang menghantarkan 1,2 m3/s air dengan kenaikan tekanan 400 kPa diperlukan untuk

sebuah pembangkit daya hidroelektrik. Perubahan desain yang diusulkan diuji pada sebuah pompa lebih kecil yang berskala l:4.Estimasikaniah laju aliran dan kenaikan tekanan yang diharapkan dalam studi model tersebut, Jika daya yang dibutuh-kan untuk

mengoperasikan model pompa terukur sebesar 8000 kW. berapakah besarnya daya yang dapat diantisipasi unruk mengoperasikan

pompa prototipenya?

Penyelesaian: Untuk soal aliran intemal ini. bilangan Reynoldsnya akan disamakan

Reo= Re, ,, ry =W ,** +^=Zdengan mengasumsikan u, = u. untuk air dalam model dan prototipe. Rasio [aju alirannya adalah

Q, A,vn liv,,2

ff= i,ii^= f:u-=42 * i= 4

% = P,vi|ovo

w* P^Y2^12*v,

Ini adalah hasil yang tidak diperkirakan. Ketika menggunakan bilangan Reynolds untuk mengarah suatu studi model, daya yang

terukur pada model melebihi daya yang dibutuhkan untuk mengoperasikan prototipenya karena tekanan-tekanan pada model jauh lebih

besar. Perhatikan bahwa dalam contoh ini bilangan Euler akan digunakan untuk memberikan kenaikan tekanan model sebesar

Lpp _ pnv=o lrt"\=*.---.:. =

-:. Ap,o= Ap, l* I = AUC

* ='ilf,f i' L'P''= *'\;)= 4oo x 4? = 64oo kPa

Untuk alasan ini dan pengamatan bahwa kecepatan pada model jauh lebih besar. studi-studi model tidak umum dilakukan unluk

situasi-situasi (misalnya, aliran di sekitar mobit) di mana bilangan Reynolds merupakan parameter pengarahnya.

Rasio dayanya diperoleh dengan menggunakan daya sebagai gaya dikalikan dengan kecepatan; ini memberikan

=ry =5ookw'. tu,= *^(4;\' (*\";\ pt \"mt t,

x Fluida homogen memiliki propeni-properti yang independen terhadap posisi



BAB 6l ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESERUPAAN 87

CONTOH 6,4 Kenaikan tekanan dari arus bebas ke suatu lokasi tertentu di permukaan sebuah model roket terukur sebesar

22kPa pada keeepatan angiil 1200 kmljam. Terowongan angin dijaga pada 90 kPa absolut dan 15"C. Berapakah keceparan dankenaikan tekanan.pada prototipe roket pada ketinggian 15 km?

Penyelesaian: Bilangan Mach mengatur studi model ini. Jadi.

M^= M v' -v' v^ -vo

, {^=5 "roFn=,,Jt,nr,

Dengan menggunakan temperatur dari Tabel B-3, kecepatannya adalah

vo= v.lfi= ,r*W = ro4r km/jam

Gaya tekanan adalah LpA = Lpl2 iadi rasio terhadap gaya inersial dalam Pers. (6.18) adalah bilangan Euler, LplpV2.Dengan menyamakan bilangan-bilangan Eulernya kenaikan tekanan diperoleh sebesar

Lp.v'^ ,_{,,yi"

= 22 x 12,3 , 288 r lMl2.=3.01 kpap= LP.

p_,e ="

*o,rru, go x 216,l , l2o.,


6.1 Tuliskanlah dimensi-dimensi dari suku energi kinetik f,mvz dalam sistem satuan F - L - T.

Dimensi-dimensi pada mV2 adalah

[mv21=M4=rT*=rrTZ LT'di mana M = FT2IL diperoleh dari hukum kedua Newton yang dituliskan m = F/a. Satuan-satuan pada FL dalam sistem

51 adalah N'm, sebagaimana diharapkan. Dengan menggunakan sistem satuan M - L - Z adalah (kg.m2)/s2, yang setara

dengan N.m.

6.2 Kecepatan V dari sebuah beban ketika menyentuh lantai diasumsikan bergantung pada gravitasi g, ketinggian /z

dari tempatnya dijatuhkan dan densitas p dari beban tersebut. Gunakan analisis dimensional dan tuliskan hubungan

antara variabel-variabelnya.

Dimensi-dimensi dari setiap variabel dituliskan sebagai

tv=+ [d=fi [h]=L tet=yKarena M muncul hanya di dalam satu variabel, variabel p tersebut tidak dapat dimasukkan ke dalam hubungan yang

diinginkan. Ketiga suku lainnya digabungkan untuk membentuk suku lt tunggal; ini dibentuk dengan mengamati bahwaI muncul hanya di dalam dua variabel, jadi V2 berada di dalam pembilang dan g di dalam penyebut. Dimensi panjang

kemudian dicoret dengan menempatkan fu di dalam penyebut. Suku n tunggal tersebut adalah

trl -

Karena suku a ini bergantung pada semua suku a lainnya dan yang lainnya tersebut tidak ada, maka suku ini pasti merupakan

suatu konstanta. Jadi, kita menyimpulkan bahwa

v = C^[ii

Suatu eksperimen sederhana akan menunjukkan bahwa C = "12 Kita lihat bahwa analisis dimensional menyingkirkankemungkinan bahwa kecepatan terjun bebas, dengan mengabaikan efek-efek kekentalan (artinya, gaya hambat), bergantungpada densitas dari bahan (atau beban).

6.3 Sebuah desain mobil baru diusulkan. Proposal tersebut mengusulkan dilakukannya studi pada model l:5 untukmengkaji desain tersebut pada kecepatan 90 kmijam. Berapakah kecepatan yang harus dipilih untuk studi model dan

berapakah gaya hambat yang dapat diharapkan pada prototipenya jika gaya sebesar 80 N terukur pada model?

Bilangan Reynolds akan menjadi parameter pengaturnya. Bilangan ini mengharuskan

v2

sh

v^1,-\4lo . \/ - I

i^ = -rr ' "'vm =vrlk= 9o x 5 = 450 km/jam

Kecepatan yang tinggi ini akan menyebabkan munculnya efek-efek kompresibilitas. Jadi, apakahsuatu model

yanglebihbesar harus dipilih ataukah prototipe harus dibatasi pada kecepatan yang lebih rendah.



88 ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESERUPAAN

Untuk kecepatan yang dihitung di atas, gaya hambatnya akan diperoleh dengan menggunakan Pers. (6.22)

IBAB 6

(FD)p= (r;.,({,)' (i:)' = @;-l?)'lH' =(F,). = se y

Harus diperhatikan bahwa untuk aliran-aliran dengan bilangan Reynolds tinggi, aliran di sekitar benda-benda tumpul

seringkali menjadi independen terhadap bilangan Reynolds, seperti terlihat dalam Gbr. 8.2 untuk aliran di sekitar sebuahbola untuk Re > 4 x 105. Ini mungkin kasus yang sama untuk aliran di sekitar sebuah mobil. Selama 1Re). > 5 x 105

keceparan berapapun dapat dipilih untuk studi model. Jika modelnya memiiiki lebar 40 cm, maka kecepatan 100 km/jam

dapat dipilih; pada kecepatan tersebut, bilangan Reynoldsnya, yang bergantung pada lebar, adalah Re = V.l^lvo, - (100

000/3600) x0,111,6 x 10 5= 7 x 105. Ini jelas merupakan kecepatan yang dapat diterima. Jelaslah bahwa pengetahuan dan

pengalaman diperlukan untuk studi-studi semacam ini.

Soal-soal Thmbahan

6.4 Bagiiah Pers. (6.1) dengan Vf sehingga dengan demikian mengekspresikan persamaan Bernoulli (6.1) sebagai sekelompok

suku-suku non-dimensi. Identifikasikanlah parameter-parameter non-dimensi yang masuk di dalamnya.

6.5 Jika sistern F - L - I digunakan, pilihtah dimensi-dimensi pada setiap yang berikut: (tz) fluks massa, (&) tekanan, (c) densitas,

(rf viskositas dan (e) daya.

Analisis Dimensional

6.6 Gabungkanlah setiap kelompok variabel-variabel berikut ke dalam satu kelompok non-dimensi tunggal, suku n.

(a) Kecepatan V, panjang l, gravitasi g dan densitas p

(&) Kecepatan V, diameter D, densitas p dan viskositas ,u

(c) Kecepatan % densitas p, diameter D dan viskositas kinematik v

(@ Kecepatan sudut f), percepatan gravitasi g, diameter d, dan viskositas pt

(e) Kecepatan sudut Q, viskositas p, jarak b dan densitas p

(fl Daya IV, diameter d, kecepatan V dan kenaikan tekanan Ap

6.7 Variabel apakah yang tidak dapat mempengaruhi kecepatan jika diajukan bahwa kecepatan bergantung pada diameter, panjang,

gravitasi kecepatan rotasi dan viskositas?

6.8 Sebuah benda jatuh dengan bebas di dalam suatu aliran kental. Hubungkanlah kecepatan terminal V dengan lebarnya w,

panjangnya 1, gravitasi 6 dan densitas fluida p dan viskositas p. Hubungkanlah kecepatan terminal dengan variabel-variabel

yang lain. Pilihlah (a) w, g dan p sebagai variabel-variabel berulang dan (b) l, g dan p sebagai variabel-variabel berulang.

Tunjukkanlah bahwa hubungan untuk (a) adalah setara dengan untuk (b)'

6.9 Diajukan bahwa kecepatan V yang keluar dari sebuah lubang di sisi sebuah tangki terbuka bergantung pada densitas p dari

fluida, jarak 11 dari permukaan dan gravitasi g. Ekspresi seperti apakah yang menghubungkan variabel-variabel tersebut?

6.10 Masukkanlah viskositas p ke dalam daftar variabel dalam Soal 6.9. Tentukanlah ekspresi yang menghubungkan variabel-variabel

tersebut.

6.ll Masukkanlah diameter lubang d dan viskositas p ke dalam daftar variabel dalam Soal 6.9. Tentukanlah ekspresi yang

menghubungkan variabel-variabel tersebut.

6.12 Penurunan tekanan Lp pada suatu potongan horizontal dari suatu pipa berdiameter d bergantung pada kecepatan rata-rata,

viskositas, densitas fluida, tinggi rata-rata dari elemen-elemen kekasaran permukaan dan panjang dari potongan pipa tersebut.

Tuliskanlah ekspresi yang menghubungkan penumnan tekanan dengan variabel-variabel lainnya.

6.L3 Asumsikan sebuah pipa vertikal dan masukkan gravitasi ke dalam daftar variabel dalam Soal 6.12 dan tentukanlah ekspresi

untuk penurunan tekanan.

6.14 Gaya hambat pada sebuah bola bergantung dari diameter dan kecepatan bola, viskositas dan densitas aliran dan gravitasi.

Tentukanlah ekspresi untuk gaya hambat tersebut.

6.15 Gaya hambat pada sebuah silinder diteiiti di terowongan angin. Jika efek-efek dinding dapat diabaikan, hubungkanlah gaya

hambat dengan kecepatan, densitas dan viskositas kinematik angin dan diameter dan panjang silinder.

6.16 Jarak ierbang sebuah bola golf diasumsikan bergantung pada kecepatan awal bola, sudut bola dari pemukul, viskositas dan

densitas udara, jumlah lekukan pada permukaan bola dan diametemya dan gravitasi. Tuliskan ekspresi untuk jarak terbang ini.

Bagaimanakahtemperatur udara mempengaruhi jarak terbang?



BAB 6] ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESERUPAAN

6,17 Laju aliran p dari air di dalam sebuah saluran terbuka diasumsikan bergantug pada ketinggian ft dari air dan lebar w dan

kemiringan S dari saluran, tinggi kekasaran dinding e dan gravitasi g. Hubungkanlah laju aliran dengan variabel-variabel

lainnya.

6.18 Gaya angkat Frpada sebuah airfoil berhubungan dengan kecepatanrrya V, panjangnya L, panjangchordnya c. sudut serangnya

o dan densitas p dari udara. Efek-efek kekentalan diasumsikan dapat diabaikan. Hubungkanlah gaya angkat dengan variabel-

variabel lainnya.

6.19 Gaya hambat F, pada sebuah airfoil berhubungan dengan kecepatannya y, panjangnya L, panjang chordnya r, sudut serangnya

cr dan densitas p dan viskositas p dari udala. Efek-efek kekentalan diasumsikan dapat diabaikan. Hubungkanlah gaya angkat

dengan variabel-variabel lainnya.

6.20 Tentukanlah ekpsresi untuk torque yang dibutuhkan untuk memutar sebuah piringan berdiameter d, pada jarak r dari sebuah

pelat datar pada kecepatan rota.si C). suatu cairan mengisi ruang di antara piringan dan pelat.

6.21 Daya Wn yang dibutuhkan untuk memompa bergantung pada kecepatan rotasi impeler f). diameter impeler r/, jumlah N tlari

bilah-bilah impeler, viskositas dan densitas fluida dan perbedaan tekanan Ap. Ekspresi bagaimanakah yang men-Ehubungkan

daya dengan variabel-variabel lainnya?

Fluida

89

6.22

6.2i

Gambar 6.3 Keserupaan.

Tuliskanlah ekspresi untuk torque yang dibutuhkan untuk memutar silinder yang dikelilingi oleh suatu fluida seperti ditunjukkan

dalam Gbr. 6.3. (a) Abaikan efek-efek dari /r. (b) Masukkan efek-efek dari ft.

Setelah dilakukan studi pada model, kuantitas-kuantitas yang dicari seringkali diprediksi untuk prototipenya. Dengan menggunakan

kecepatan rata-rata 7, dimensi karakteristik I dan densitas fluida p, tuliskanlah rasio dari prototipe terhadap model dari (a)

gaya hambat FD, (b) laju aliran Q, (c) penurunan tekanan Ap dan (fl torque I.

Sebuah model bola goll'akan diteliti untuk rnenentukan efek-efek dari lekukan-lekukannya. Sebuah bola yang l0 kali lebihbesar dari bola golf aktual digunakan dalam studi terowongan angin. Berapakah kecepatan yang harus dipilih untuk model

untuk mensimulasikan kecepatan protoripe 50 m/s.,

Sebuah usulan desain dermaga diteliti di saluran air untuk mensimulasikan gaya-gaya yang disebabkan oleh angin topan. Dengan

menggunakan model skala l:10, berapakah kecepatan yang harus dipilih dalam studi model untuk mensimulasikan kecepatan

air 12 n/s?

Sebuah studi rnodei yang diusulkan untuk sebuah pesawat terbang kecepatan rendah akan dilakukan dengan menggunakan

model skala 1:10. Jika prototipenya akan melaju pada 25 m/s, berapakah kecepatan yang harus dipilih untuk model terowongan

angin? Apakah tes ini. layak dilakukan? Apakah akan lebih baik melakukan pengujian pada model skala 40:l di dalam saluran

air?

Gaya tarik sebesar 15 N terukur pada sebuah model kapal skala 1:40 di dalarn saluran air. Berapakah kecepatan yang harus

digunakan untuk mensimulasi kecepalan prototipe l0 m/s? Berapakah gaya yang diprediksikan terjadi pada kapal pada kecepatan

tersebut?

Sebuah model pesawat terbang sekala i:20 diteliti di dalam sebuah terowongan angin supersonik 20'C pada permukaan laut.

Jika gaya angkat sebesar 20 N pada kecepatan 250 m/s terukur di terowongan angin, berapakah kecepatan dan gaya angkat

yang disimulasikan untuk prototipenya? Asumsikan bahwa prototipe berada pada ketinggian (a) permukaan laut, (b) 3000 m

dan (c) 10 000 m.

Gaya pada sebuah weir ingin diprediksi dengan meneliti aliran air pada sebuah model skala l:10. Jika 1,8 m3/s diantisipasi

terjadi pada weir tersebut, berapakah laju aliran yang harus digunakan dalarn studi model? Berapakah besarnya gaya yang

diperkirakan terjadi pada weir.jika 20 N terukur pada model?

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29



90 ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESERUPAAN

Jawaban-jawaban Untuk Soal-soal Tambahan

IBAB 6

6.4 Y dan 4^v' pv'

6.s (a) FT/L (b) FII]

6.6 (a) V2/s (b) VpDlp

6.7 Viskositas

(c) FT2|L4 (d) FTILZ

(c) VDlv @) A2dls

(e) LFIT

(e) tlpb2/pt (f) WLpV2d

6.8 (d #=t(t,'*f)*' 4 =r(+'*ff)

6.9 y=C,lgH

6.10 *=lP..fsn'\'t th "\ p I

6.rl ,h=A*'Y)6.12

#,=t(fr ,*l)

6.13 #,=t(:,*,##)

u.,o ffrv=4r# E)

6.rs :+,=r(Y i)

6.16 ', = ,{"l#, r,#)

6.17 & =r(#'.2)

u.rr fu=r(L")6.ts fu=fG,",rI)6.20

f*,=r(1.r7')

6.2t ;:r=,(ry' -,:,+,)

6.22 {,r,=t(+ frf ry)6.23 *, ?r_= &o^,r*r^ ,, Z= # (c)

6.24 5 m/s

6.25 3,79 m/s

6.26 500 m/s, 133 m/s. Studi model tidak layak

6.27 1,58 m/s, 60 kN

6.28 (a) 250 m/s, 8000 N (b) 258 m/s, 6350 N

6.29 56,9 m/s. 20 kN

Lpo p,V', .. To Orv'zrt3,ldI

Lp. p.v'- '"' T^ - p-v'-t'-

(c) 283 m/s, 3460 N



92 ALIRAN-ALIRAN INTERNAL IBAB 7

panjang pembentukan profil

Gambar 7.1 Daerah jalur masuk aliran laminar di dalam pipa atau di antara pelat-pelat paralel.

40 000 di dalam aliran-aliran yang sangat terkontrol di dalam pipa-pipa halus di dalam gedung yang tahan getaran; untukpipa konvensional dengan dinding yang kasar, kita menggunakan 2000 sebagai limit dari aliran laminar.

Untuk aliran di antara pelat-pelat paralel yang lebar dengan profil seragam di jalur masuk,

it(y)

(7.3)

di mana h adalah jarak di antara pelat dan V adalah kecepatan rata-rata. Aliran laminar tidak dapat terjadi untukRe > 7700; nilai 1500 digunakan sebagai limit untuk aliran konvensional.

Daerah jalur masuk untuk aliran turbulen terbentuk ditunjukkan dalam Gbr. 7.2.Profil kecepatannya terbentuk padapanjang Lo, akan tetapi karakteristik-karakteristik dari turbulensi di dalam aliran memerlukan panjang tambahan. Untukbilangan-bilangan Reynolds besar yang melebihi 105 di dalam pipa, kita menggunakan

(7.4)

Untuk aliran dengan Re = 4000, panjang pembentukannya barangkali lima kali dari yang ada dalam Pers. (7.4) karena

pembentukan laminar awalnya diikuti oleh pembentukan turbulensi. (Belum ada riset yang dilakukan untuk aliran dimana Re < 105).

Variasi tekanannya digambarkan dalam Gbr. 7.3. Transisi awal menuju turbulensi dari dinding pipa ditunjukkandalam gambar tersebut. Variasi tekanan dari aliran laminar lebih tinggi di daerah jalur masuk daripada di daerah yang

terbentuk penuh karena tegangan geser dinding yang lebih besar dan fluks momentum yang meningkat.

L,

L, Panjang pembentukan profi II

Ali

Lapisan dinding

---iA uv'Yt

->\--)

lnti tak-kental I \

masuk)

Aliran turbllensi

Terbentuk

Ls (panjang jalana(v) = n,* athiun Lo > n 5

Gambar 7.2 Daerah jalan masuk aliran turbulensi di dalam pipa.

L, L, L.5=10 ,j=ao fi=t20

lu (panjang jalan masuk)

Transisi dekat titik awal

(untuk Re > 300 000)

Transisi dekat Lo

(untuk Re sekitar 10 000)

Gambar 7.3 Variasi tekanan di dalam pipa untuk aliran-aliran laminar dan turbulen



BAB 7] ALIRAN-ALIRAN INTERNAL

7.3 ALIRAN LAMINAR DI DALAM PIPA

Aliran laminar tunak dan terbentuk di dalam pipa akan diturunkan dengan mengaplikasikan hukum kedua Newton pada

elemen dalam Gbr. 7.4 dalam Subbab 7.3.1 atat dengan menggunakan persamaan Navier-Stokes yang tepat dari Bab 5

dalam Subbab 7.3.2. Cara yang manapun dapat digunakan karena kita akan memperoleh persamaan yang sama melalui

kedua pendekatan tersebut.


Elemen fluida yang ditunjukkan dalam Gbr. 7.4 dapat dianggap sebagai volume kontrol tempat fluida mengalir masuk dan

keluar atau dapat dianggap sebagai massa fluida pada suatu momen tertentu. Jika dianggap sebagai massa fluida instan

yang tidak memiliki percepatan di dalam aliran tunak terbentuk ini, hukum kedua Newton menjadi

LF* = 0 atau pTEr2- Qt + dp)nrz- r2nr dx + ynl dx sin 0 = 0 (7.s)

di mana r adalah tegangan geser pada dinding elemen dan 7 adalah berat spesiflk dari fluida. Persamaan di atas

disederhanakan menjadi

(7.6)

dengan menggunakan dh = -sin 0 dx di mana h diukur ke arah vertikal. Perhatikan bahwa persamaan ini dapat diaplikasikan

baik pada aliran laminar maupun turbulen. Untuk aliran laminar, tegangan geser ? berhubungan dengan gradien kecepatan*menurut Per. (1.9):

93

t=-;f;{r+rnl

'-la*,ft/v--

,"u1 /" +dp)xi

\4 ,-:a,t2nrdx

Gambar 7.4 Aliran tunak terbentuk di dalam pipa.

-p*=-;*@+vh) Q.n

Karena kita mengasumsikan aliran terbentuk (tidak terjadi perubahan profil kecepatan ke arah aliran), sisi sebelah kirimerupakan fungsi dari r saja sehingga d(p + yh)ldx harus berupa sebuah konstanta (tidak dapat bergantung pada rkarena tidak terdapat percepatan radial dan kita mengasumsikan bahwa pipanya relatif kecil, tidak terjadi variasi tekanan

terhadap r); jadi, kita dapat menuliskan

Jau=lfih@+yh)drIni diintegralkan untuk memberikan profil kecepatan terbentuk

"@=fr*@+yh)+cDi mana konstanta pengintegralan C dapat diperoleh dengan menggunakan u(rs) = 0 sehingga

ug1=9 - 2i 4o + yn)47t dxn t

Untuk pipa horizontal di mana dhldx = 0, profil kecepatannya menjadi

(7.8)

(7.e)

(7.10)

(7.11)

Profil kecepatan di atas merupakan profil parabola; aliran ini kadang-kadang disebut sebagai aliran Poiseuille.

Hasil yang sama dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan-persamaan Navier-Stokes yang tepat; jika tidak

berminat, silahkan melanjutkan langsung ke Subbab 7.3.3.

u(,)=iffG-*;

'Tanda minus diperlukan karena tegangan merupakan kuantitas positif dan duldr adalah negatif di dekat dinding bawah



94 ALIRAN-ALIRAN INTERNAL [BAB 7

7.3.2 Mengaplikasikan Persamaan-persamaan Navier-Stokes

Persamaan momentum diferensial komponen z dalam koordinat silindris dari Tabel 5.1 diaplikasikan pada aliran tunakterbentuk di dalam pipa bulat. Untuk kali ini, kita ingin menyebutkan koordinat ke arah aliran sebagai x dan komponenkecepatan ke arah x sebagai u(x): jadi. kita akan menggantikan z dengan x dan y dengan u. Maka, persamaan diferensialnyamenjadi

(7.12)

(7.14)

(7.1 5)

(7.16)

(7.18)


Kuantitas pertama yang ingin dicari di dalam aliran di dalam pipa adalah kecepatan rata-rata V. Jika kita mengekspresikangradien tekanan yang konstan sebagai dpldx = -LplL, di mana Ap adalah penurunan tekanan (bilangan positif) di seluruhpanjang pipa L, akan diperoleh

o(t,*. *%* ,,{r. X)= -*+ ps,+ r(#.+*.iY*.#)tidak ada tidak ada aliran aliran aliran aliran

kecepatan radial olakan terbentuk tunak simetrik terbentuk

(7.t 3)

di mana dua suku pertama di dalam tanda kurung di sisi sebelah kanan dari Pers. (7.12) telah digabungkan, berarti,

d)u 1a,, I atAut

aitT

dr= , arV ar)Sekarang, kita dapat melihat bahwa sisi kiri pers. (17.13) merupakan fungsi dari x dan sisi kanan merupakan fungsi darir. Ini berarti bahwa kedua sisi hampir selalu konstan, karena x dan r dapat bervariasi secara independen satu sama lain,Maka kita dapat menulis kembali persamaan tersebut sebagai:

Perhatikan bahwa sisi sebelah kirinya adalah nol, arlinya, partikel-paftikel fluida tidak memiliki percepatan. Denganmenggunakan pg." = )zsin

g = - ydhldr persamaan di atas disederhanakan menjadi

tr**+yh)=+*(,*)

Ini diintegralkan untuk memberikan

,fr=tl+eKalikan dengan drlr dan integralkan lagi. Kita memiliki

u(r)=)uT*Olnr+BMerujukkeGbr.T.4: keduakondisibatasnyaadalahrzterhingga(finite1 padar=0danu=0padar=r(t.Jadi,A=0d,an b = -lfit+. Karena )" adalah sisi sebelah kiri dari Pers. (7.13), kita dapat menuliskan Pers. (7.16) sebigai

**. ynl Q - r'zo) v.tn

Ini adalah distribusi kecepatan parabola dari aliran laminar di dalam pipa, kadang-kadang disebut aliran poiseuille. Untukpipa horizontal, dh/dx = 0 dan

I dP. ) ).utr)=4u *tr-rn)

^= + *(,*) au,, d(,X \ = ).r dr

u@)=fi

u =ilu(rt2trr

tlr

2x Lpt'., - ri\p= -;A +prt )" \r - ri"'d'= tt,,

Kecepatan maksimum terjadi pada r = 0 dan adalah

,] Lo&makr= ffi =2V

Penurunan tekanan, dengan menyusun ulang Pers. (1.19), adalah

^ SuLVifp= .,ro'

(7.19)

(7.20)

(7.21)



BAB 7l ALIRAN-ALIRAN INTERNAL

Tegangan geser di dinding dapat diperoleh dengan mengasumsikan volume kontrol dengan panjang I di dalam pipa.

Untuk pipa horizontal, gaya tekanan mengimbangi gaya geser sehingga volume kontrol menghasilkan

95

oinP = ZnroLro :' xo-ryKadang-kadang tegangan geser non-dimensi. yang disebut faktor gesekanl, digunakan. Ini didefinisikan sebagai

"To

' *pv'

(7.22)

(7.23)

Kita juga menggunakan rugi head hryan1 didefinisikan sebagai Lply. Dengan menggabungkan persamaan-persamaan di

atas, rugi head dapat diekspresikan sebagai

(7.24)

Ini kadang-kadang disebut sebagai persamaan Darcy-Weisbach; persamaan ini berlaku untuk aliran laminar dan turbulen

di dalam pipa. Dalam bentuk bilangan Reynolds, faktor gesekan untuk aliran laminar adalah (gabungkan Pers. (7'21)

dan (7.24))

(7.2s)

di mana Re=

VDlv. Jika ini dimasukkan ke dalam Pers. (7.24), kita lihat bahwa rugi head proporsional secara langsung

terhadap kecepatan rata-rata di dalam aliran laminar, suatu fakta yang juga diaplikasikan pada aliran laminar di dalam

saluran dengan bentuk potongan-lintang apapun.

COI.ITOH 7.1 Penrimaar tekanan di sepanjaag pipa horizontal berdianroter 1 cm dengan paqiary 30 m yangrmengalirkan air

pada11 "C diasumsikan sebesar 2 kPa. Diasum$ikan aliran bersifat laminx. Tentukenleh (a) kecepatan maksimam di dalam pipa"

(b) bilaagan Reynotds, {c) tcgangaa geser dinding dan (d faktor gesekaa

Penyeteeaian: (a) Kecepatan maksimum diperoleh uebesar

4ttL 4xl0ix30Catatan: Tekanan harus dalam pascal agar satuan-satu&naya €ocnk, Disamnkm untuk melakBkan pengecekan terhadap satuan-sat$an

jika meaggunakan persamaan-persamaan untuk perta*a kaltnya, Satusa"sstuafl di ata$dicek sebagai berikut:

m2 x N/m?= ttr/s

(N'#rnz) x rn

n,=* =f B*

"64Re

{b) Bllang*n Reynoldsnya, yang merukan kua*itas non-dinroasi, *dalah

Re=-IP - (0'4167?)0'01=4l{i7 lo{

Ini rnelebihi 20ff) akan tetgpi aliran laminar tetap dapat tfrjadi pad* bilangaa-bitangan Reynotds yang tinggi jika kite ffiengguuaksn

pipa halus dan berhati-hati untuk menghasilkan aliran yang kbas gangguan. Akan tetapi, perhatfkan bagaimana rendahnya kecepalan

OiC*tu* pipa yang relatif kecil ini. A1iraa laminar jarang dijmpai dal4m apiikasi*aplikasi tekrfk k€cuali jika alira*nya sangat

kental atau dimensi-dlmensiuya cukup kecil.

(c) Teg*ngan geser dinding yang disebabkan oleh efek-efek viskositas diperoleh sebesar

"o='# = Y*# = 0,1667 Pa

Jika kita menggunakan tekanan dalam kPa tegangm akan.meluiliki setuatr kPa

(4 Al*rirnya faltor gesekarr, yang merupakan krrantitas non-dimensi, *dalah

r = f,o ^= ----0'1667 ---__--."-.-- = o,oo77" *pV' 0,5 x 1ffi0 x [0,416712)"

7.4 ALIRAN LAMINAR DI ANTARA PELAT-PELAT PARALEI,

Aliran laminar tunak terbentuk di antara pelat-pelat paralel (satu pelat bergerak dengan kecepatan {,ll akan diturunkan

dalam Subbab 7 .4.1dengan mengaplikasikan hukum kedua Newton pada elemen dalam Gbr. 7.5 atau dengan menggunakan

persamaan Navier-Stokes yang tepat dari Bab 5 dalam Subbab 7.4.2. Cara yang manapun dapatdigunakan karena kita

akan memperoleh persamaan yang sama melalui kedua pendekatan tersebut.



96 AI-IR AN-AI-IRAN INTERNAI, [BAB 7

Gambar 7.5 Aliran tunak terbentuk di antara pelat-pelat paralel


Elemen fluida yang ditunjukkan dalam Gbr. 7.5 dapat dianggap sebagai volume kontrol di mana fluida mengalir masuk

dan keluar atau dapat dianggap sebagai massa fluida pada suatu momen tertentu. Jika dianggap sebagai suatu massa fluida

instan yang tidak memiliki percepatan di dalam aliran tunak terbentuk ini, hukum kedua Newton menjadi

Ir. = 0 atau pdy-(p + dp)d1t + rdx-(r + dr'1dx + ydxdy sin g=0 (7.26)

di mana r adalah tegangan geser di dinding elemen dan g adalah berat spesifik dari fluida. Kita telah mengasumsikan

panjang satuan ke arah kertas (ke arah r). Untuk menyederhanakannya, bagilah dengan dx dy dan gunakan dh = -sin9dr di mana ft diukur ke arah vertikal:

Sisi sebelah kiri merupakan fungsi dari y saja untuk aliran terbentuk ini (kita mengasumsikan saluran yang lebar dengan

rasio aspek lebih dari 8) dan sisi sebelah kanan adalah fungsi dari x saja. Jadi, kita dapat mengintegralkan dua kali

terhadap y untuk memperoleht d(o + vhl

"(v) =.-2lt ff y' + Ay + B. (7.29)

Dengan menggunakan kondisi-kondisi batas z(0) = O dan u(b) = U, konstanta-konstanta pengintegralannya ditentukan

dan diperoleh profil parabola:

Untuk aliran laminar ini, tegangan geser

(7.27) menjadi

41=d tn+vh1dt'- dx

U".trUungu, dengan gradien kecepatan melalui

u4= 4 r.p + yh)'di dx"

Q.2n

x = 1t du/dy sehingga Pers.

(7.28)

(7.30)u) = +a@ *Ynt 02 - byt *'o r.

Jika pelat-pelatnya horizontal dan U = O, profll kecepatannya disederhanakan menjadi

"$=Y2pL@y-yz)

, (* ." *. / r4. / *)

= -*+ vsin,. u (# .

(7.31)

di mana kita telah menjadikan d(p + yh)ldx = - LplL untuk pelat-pelat horizontal di mana Lp adalah penurunan tekanan,

yang merupakan kuantitas positif.

Jika aliran disebabkan hanya oleh pelat atas yang bergerak, tanpa ada gradien tekanan, ini disebut aliran Couette

sehingga u(y) = Uylb. Jika kedua pelat tidak bergerak dan aliran disebabkan hanya oleh gradien tekanan, ini adalah aliran

Poiseuille.

Hasil yang sama dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan-persamaan Navier-Stokes yang tepat; jika tidak

berminat, silahkan melanjutkan langsung ke Subbab 7.4.3.

7,4.2 Mengaplikasikan Persamaan-persamaan Navier-Stokes

Persamaan momentum diferensial komponen x dalam koordinat kartesian (lihat Pers. (5.18)) dipilih untuk aliran tunak

terbentuk ini yang memiliki streamline-streamline yang paralel terhadap dinding-dinding di dalam sebuah saluran yang

lebar (paling sedikit rasio aspek 8:l):

#.#)kanal lebarunak terbentuk streamlineparalel

ke dinding

ydx dy

terbentuk

(7.32)



BAB 7] ALIRAN.ALIRAN INTERNAL

di mana saluran membentuk sudut 0 dengan horizontal. Dengan menggunakan dh = - dx sin 0, persamaan diferensial

parsial di atas disederhanakan menjadi

(7.33)

di mana derivatif-derivatif parsial telah digantikan dengan derivatif-derivatif biasa karena r.r bergantung pada y saja dan

p merupakan fungsi dari x saja.

Karena sisi sebelah kiri merupakan fungsi dari y dan sisi sebelah kanan merupakan fungsi dari x, di mana keduanya

dapat saling diubah-ubah secara independen, kedua sisi tersebut paling tinggi hanya dapat berupa suatu konstanta,

katakanlah i., sehingga

Mengintegralkannya dua kali akan memberikan

ugl=|),y2+Ay+n.

Merujuk ke Gbr 7.5: kondisi-kondisi batasnya adalah u(0) = 0 dan u(b) = U jika

Jadi profil kecepatannya adalah o-u-tb _B=o^- h-/t,

uluy =d?J-PAt tv2 - bt + Y t'zu b'

di mana )" telah digunakan sebagai sisi sebelah kanan dari Pers. (7.33).

Di dalam saluran horizontal, kita dapat menuliskan d (p + fh)/dx = -Lp/L Iika U = 0, profil kecepatannya adalah

,o) = #. @v - v2) (7.38)

Ini adalah aliran Poiseuille. Jika gradien tekanannya adalah nol dan pergerakan dari pelat atas menyebabkan terjadinya

aliran, ini adalah aliran Couette dengan u0)=

Uylb.


Kita akan memperhatikan beberapa kuantitas yang diinginkan untuk kasus dua pelat tidak bergerak dengan U = O.

Kuantitas pertama yang diinginkan di dalam aliran adalah kecepatan rata-tata V. Kecepatan rata-ratanya adalah, dengan

mengasumsikan lebar satuan dari pelat-pelat,

llt/ - rt,.' J

u(y)dy

= 2;{,LJi,u, - v2tdr - i{rrlo + ql= o,'l[,

Kecepatan maksimum terjadi pada = b/2 dan adalah

u^.,.=#tg q)=*H =1u

Penurunan tekanan, dengan menyusun ulang Pers. (7.39), untuk saluran horizontal* ini adalah,

ry =t2l

b'

Tegangan geser di tiap dinding dapat diperoleh dengan memperhatikan suatu benda bebas

dalam saluran. Untuk saluran horizontal, gaya tekanan mengimbangi gaya geser:

(b x 1) Lp = 2(L x l)to '. ,o =HDalam bentuk faktor gesekanl, yang dideflnisikan

97

# =if;o * rnt

d'u-ldy'

(7.34)

(7.3s)

(7.36)

Q3n

(7.3e)

t7.40)

(7.41)

dengan panjang Z di

x Untuk saluran dengan kemiringan gantikan saja p dengan (p + yh)

(7.42)




(7.43)

(7.44)

(7.46)

Rugi head untuk saluran horizontal adalah

Beberapa di antara persamaan-persamaan di atas dapat digabungkan untuk memperoleh

"48=-,RC (7.4s)

di mana Re = bVlv. Jika ini dimasukkan ke dalam Pers. (7.44), kita lihat bahwa rugi head proporsional secara langsung

terhadap kecepatan rata-rata di dalam aliran laminar.

Persamaan-persamaan di atas diturunkan untuk saluran dengan rasio aspek > 8. Untuk saluran-saluran dengan rasio

aspek yang lebih rendah, dinding-dindingnya akan memerlukan suku-suku tambahan karena tegangan geser yang bekerja

pada dinding-dinding samping akan memengaruhi bagian tengah aliran.

Jika yang diinginkan adalah aliran saluran horizontal di mana pelat atasnya bergerak dan tidak terjadi gradien

tekanan, maka profil kecepatannya akan berupa profil linier

ufi\= v" b"

f -TO

' *Pv'

'r=1 = f hY;

CONTOH 7.2 Hujan gerimis pada 20 "C turuu di sebu*h areal pmkir dengan kedalaman yang relatif korrstan sebesar 4 mm.

Areal tersebut memiliki lebar 40 m dengan kemiringan 8 cm sepanjang 60 m. Estimasikan (a) laju aliran; (&) t€gangan ge$er

di permukaan, (r) bilangan Reynolds dan kecepatan di permukaan.

Penyelesaian: fa) Profil kecepatan dapat diasumsikan setengah dari profil yang ditunjukkan dalam Gbr. 7.5. dengan

mengasumsikan aliran laminar. Kecepatan rata-rata teiap sama seperti yang diberikan oleh Pers. 17.39)" yaitu,

u-wdi mana {p telah digantikan dengan yft. Laju alirannya adalah

o =AV = o* tv =0.(1n4 *a6 0'00a'"2 19-Ii'0= 2.80x 103m,/s' tzuL 12 x l0-r x 60

(b) Tegangan geser bekeqja hanya pada dinding pejal, jadi Pers. (7.42) akan memberikan

,^ =o4

=o.@4_I i 1el0.99

= 0.0523 pa 0- L - 60

(c) BiJangan Reynoldsnya adalah

t^I/ 0.004 0.0042 x 9810 x 0,08 - Urye = "_v, = ;;; * ffii* oo

Bilangan Reynolds ini di bawah 1500. jadi asumsi aliran laminar dapat diterima.

7.5 ALIRAN LAMINAR DI ANTARA SILINDER-SILINDER BEROTASI

Aliran tunak di antara silinder-silinder konsentrik, seperti digambarkan dalam Gbr. 7.6, adalah contoh sederhana lainnya

dari aliran laminar yang dapat diselesaikan secara analitik.Aliran semacam ini terjadi di bawah bilangan Reynoldsx 1700.

Di atas 1700, aliran dapat menjadi aliran laminar yang berbeda atau aliran turbulen. Aliran ini memiliki aplikasi dalam

lubrikasi di mana poros luarnya stasioner. Kita akan menyelesaikan soal ini sekali lagi dengan menggunakan elemen

fluida dalam Subbab 7.5.1 dan menggunakan persamaan Navier-Stokes yang tepat dalam Subbab 7.5.2: metode yang

manapun dapat digunakan.


Dua silinder konsentrik berotasi ditunjukkan dalam Gbr. 7 .6. Kita akan mengasumsikan silinder-silinder vertikal, sehingga

gaya-gaya benda akan bekerja tegak lurus terhadap aliran melingkar ke arah I dengan satu-satunya komponen kecepatan

bukan nol ur.

Elemen fluida yang dipilih, yang ditunjukkan dalam Gbr. 7.6, tidak memiliki percepatan sudut di dalam kondisi

aliran tunak ini. Oleh karena itu, penjumlahan torque-torque yang bekerja pada elemen adalah nol:

r x ZnrL x r - (r + dr) x 2n(r + dr) L x (r + dr) = 0

* Bilangan Reynoldsnya didefinisikan sebagai Re = @rrt6lv, dimana 6 = .rt- tt

Q.4n



Fluida di antara

silinder-silinder

BAB 7I ALIRAN-ALIRAN INTERNAL

Elemen fluida di

antara silinder-silinder

Gambar 7.6 Aliran di antara silinder-silinder konsentrik

di mana r(r) adalah tegangan geser dan l, adalah panjang silinder-silinder, yang harus lebih besar jika dibandingkandengan lebar celah 5 = rz - rl. Persamaan (1.41) disederhanakan menjadi

r2r dr + I dt + 2r dr dr + dr (dr)2 = g (7.48)

Kedua suku terakhir dari Pers. (7.47) merupakansuku-suku ordo-tinggi yang dapat diabaikan

jikadibandingkan dengandua suku yang pertama, jadi persamaan yang telah disederhanakan adalah

99

,**2r=oSekarang kita harus mengenali bahwa r dalam Pers. (7.47) adalah* -r,, dalam Tabel 5.1 dengan entri di bawah judul"Tegangan". Untuk aplikasi yang telah disederhanakan ini, tegangan geser berhubungan dengan gradien kecepatan

melalui

rro= ltr'"#

(7.49)

(7.s0)

(7.s 1)

(7.52)

(7.s3)

(7.54)

- rr. konstanta-konstantanya

lni memungkinkan kita untuk menuliskan Pers. (1 .49), dengan menuliskan derivatif-derivatif parsial sebagai derivatif-derivatif biasa karena u, bergantung hanya pada r, sebagai

,p lr rrY

+ zu,

dtro-o\

= o

Kalikan dengan dr, bagi dengan ytr, dan integralkan:

,ry+ 2vf = A

Atau, karena rd(vrlr)ldr = dveldr - vrlr, ini dapat dituliskan sebagai

#*'f=Aarau lo';ir=oSelanjutnya integralkan lagi dan peroleh

vr(rt=tr*9

Dengan menggunakan kondisi-kondisi batas re= rlC.l, pada r, dan ve= 12@2pada r,diperoleh sebagai

2 arrl - @,r2,(7.s5)

'22-'1Hasil yang sama dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Navier-stokes yang tepat; jika tidak berminat, silahkanmelanjutkan langsung ke Subbab 7.5.3.

7.5.2 Mengaplikasikan Persamaan-persamaan Navier-Stokes

Persamaan momentum diferensial komponen 0 dalam Tabel 5.1

dan vz = 0:

dipilih untuk pergerakan melingkar ini dengan vr = 0

.Tandaminus adalah karena tegangan geser dalam Gbr.':-.6 bekerja pada permukaan negatifke arah positif, yang merupakan tanda standar untuk

komponen tegangan.

^ rl rj {a, - rr,r)D=

-;-ri



100 ALIRAN-ALIRAN INTERNAL

simetris

-fr *'+W*,.

.,(**1%*\dt' rdr

/dr/ vtt/, I dp-1 +/--_:+pz /r pr ae

i ufu.*:-'u*tN

br',2

6e

2 qn,\

Tael

[BAB 7

(7.56)

Q.sn

(7.s8)

(7.59)

(7.60)

(7.61)

(7.62)

(7.63)

(7.64)

(7.6s)

simetriso*orJi,ljfr,*,*

Gantikan derivatif-derivatif umum dengan derivatif-derivatif parsial karena v, bergantung hanya pada 0 dan persamaantersebut menjadi

yang dapat dituliskan dalam bentuk

Kalikan dengan dr dan integralkan:

Integralkan sekali lagi:

vs(r)=*r* u"

Kondisi-kondisi batas vr(r) = rroordan vr(r2) = r(02 memungkinkan

o=d"-, * t- u-Yudlrdr12

4 dr, _ d(vrlr)dr dr -- dr

d,e

-_re

dr- r +A ataul *=o


Banyak aplikasi silinder-silinder berotasi melibatkan silinder luar yang diam, artinya, @z= 0. Distribusi kecepatan, yangdiperoleh dalam dua subbab sebelumnya, dengan A dan B yang telah disederhanakan, menjadi

o _ -,arr'r 1 , _ ,1r2rtat,- ta.r)

^-a---)D------,- r, - 11 r;-ri

a,r? lrz\

vs(r)=# \7-,)1-11

Tegangan geser ?r (r,rdat', Tabel 5.1) bekerja pada silinder dalam. Besarnya adalah

I ,, d(vrlr) I = 'tr'= -ll'' --a;-), = ,, = ,3 - ,i

Torque T yang diperlukan untuk memutar silinder dalam adalah

2ur? at. 4tctrtrz, rlLa,T = rro',=

4-ri 'n"Lx r,=

fir,I

Jadi daya W yang diperlukan untuk memutar silinder dalam dengan kecepatan rotasi at, adalah

w=Tat=4oPt-'314r;- ri

CONTOH 7.3 Viskositas ingin diukur dengan memutar sebuah sitinder dengan panjarrg 30 cm dan diameter 6 cm di d*lam sebuahsitrinder berdiameter 5,2 cm, Torque*yt terukur sebesar 0,22 N.m dan keeepetan rotasirya terukur sebesar 30ff) rpm. 6.u*akanPen. (7.62) dan (7.66) uutuk mengestimasi viskositas. Asumsikan S = 0.86.

Penyelesaian: Torque diperoleh dari Pers. (?.64) berdasarkan distritrusi kecepatan dalam Pers. (7.62)l

_ _4trprlrlLaL _4npx 0.032x 0;03 l2 x0,3 x (3@0 x 2zl())= r,r,

Dengnn menggunakan Pers. (7.66), torquenya diperoleh sebesar




r,(D,T=T,Ar,=U +2lCr,Lxr,"1.,,I-|.6-,,.1"..'l

n n, - lt 0:03(3000 tP*Zrr x 0,032 x 0,3 ... .ir = 0,0138 tN,stm2}

0,031 - 0

Tingkat kesalahan yang ditimbulkan dengan mengasumsikan profil Linier adalah 5,3 perseo.

Bilargan Reynoldsnya *dalah, dengan v= Np,

o. = 9,t9= (3(ffi * 2ffi) * o.()3*0.001= rrqt - o,ol3t(loooxo,86) UrVIJ IIl IVW A

Asumsi aliran laminar dapat diterima karena Re < 1700.

Daya ini, yang diperlukan karena efek-efek viskositas di antara kedua silinder, memanaskan fluida di dalam bantalan

(bearing) dan seringkali membutuhkan pendinginan untuk mengontrol temperaturnya.

Untuk celah kecil 6di antara silinder, seperti di dalam soal-soal lubrikasi, distribusi kecepatan boleh diaproksimasikan

sebagai profil linier, suatu aliran Couette. Dengan menggunakan variabel y dalam Gbr. 7.6 distribusi kecepatannya

adalah

t0l

\7.66)

di mana y diukur dari silinder luar ke arah pusat.

7.6 ALIRAN TURBULEN DI DALAM PIPA

Bilangan Reynolds untuk kebanyakan aliran di dalam saluran melebihi batas aliran laminar. Jika aliran dimulai dari

kondisi diam, aliran tersebut akan dengan cukup cepat mengalami transisi menjadi aliran turbulen. Tujuan dari subbab

ini adalah untuk mengekspresikan distribusi kecepatan di dalam aliran turbulen di dalam pipa dan untuk menentukan

kuantitas-kuantitas yang berkaitan dengan aliran demikian.

Aliran turbulen adalah aliran di mana ketiga komponen kecepatannya bukan nol dan menunjukkan sifat acak.

Selain itu,harus terdapat sebuah korelasi di antara keacakan dari paling sedikit dua komponen kecepatannya; jika tidak

ada korelasinya, aliran tersebut hanyalah aliran berfluktuasi. Sebagai contoh, lapisan batas turbulen biasanya terjadi di

dekat permukan sebuah airfoil akan tetapi aliran di luar lapisan batas tersebut tidak disebut "turbulen" walaupun terjadi

fluktuasi di dalam aliran; aliran tersebut adalah arus bebas.Kita akan menunjukkan satu cara untuk mendeskripsikan aliran turbulen. Ketiga komponen kecepatannya pada suatu

titik dituliskan

u=i+u'

r,a,vs\r) = -51

v =i + v' w =i, + w'

di mana a melambangkan bagian rata-rata waktu dari kecepatan komponen x dan u' melambangkan bagian acak yang

berfluktuasi. Rata-rata waktu dari u adalahT

_It, = i)u(t) dr

0

di mana 7 nilainya cukup besar jika dibandingkan dengan waktu fluktuasinya. Untuk aliran turbulen terbentuk di dalam

pipa, ketiga komponen kecepatan akan terlihat seperti dalam Gbr. 7.7. Satu-satunya komponen rata-rata waktu adalah 7

ke arah aliran. Walaupun demikian harus terdapat korelasi antara paling sedikit dua di antara fluktuasi-fluktuasi kecepatan

acak, misalnya, i-v'+ 0; korelasi-korelasi kecepatanyang

demikian menghasilkangaya geser turbulen.

komponen ,r

Gambar 7.7 Ketiga komponensehinggai=w=0danu+O

(7.6n

(7.68)

komponen r komponen 0

kecepatan di dalam aliran turbulen di suatu titik di mana aliran terjadi ke arah x



lapisan dinding kental

(a) dinding halus

t02 ALIRAN-ALIRAN INTERNAL [BAB 7

Gambar 7.8 Dinding halus dan dinding kasar

Kita dapat menurunkarl suatu persamaan yang menghubungkan i7' dan komponen kecepatan rata-rata waktu , kearah aliran dari suatu aliran turbulen, akan tetapi kita tidak dapat menyelesaikan persamaannya bahkan untuk kasus alirantunak* di dalam pipa yang paling sederhana sekalipun.

Pertama-tama, kita akan menjelaskan apa yang dimaksudkan dengan dinding "halus". Sketsa dalam Gbr. 7.8 adalahsebuah dinding "halus" dan sebuah dinding "kasar". Lapisan dinding kental adalah suatu aliran tipis di dekat dinding pipadi mana efek-efek viskosistasnya signifikan. Jika lapisan kental ini menutupi elemen-elemen kekasaran pipa, dindingnyadisebut "halus", seperti dalam Gbr. 1.8(a); jika elemen-elemen kekasarannya menyembul keluar dari lapisan kentaltersebut. dindingnya disebut "kasar", seperti dalam Gbr. 7.8(b).

Terdapat dua metode yang biasanya digunakan untuk mendesktripsikan profil kecepatan aliran di dalam pipa. Inidiberikan dalam subbab-subbab berikut.

7.6.1 Profil Semi-Log

Profil kecepatan rata-rata waktu di dalam pipa diberikan untuk pipa halus sebagai plot semi-log dalam Gbr. 7.9 denganhubungan-hubungan empiris di dekat dinding dan garis tengah yang memberikan 7(0) = 0. dan duldy = 0 pada = ro.

Di daerah dinding, kecepatan karakteristiknya adalah kecepatan geser** ,r= {h/p dan panjang karakteristiknya adalahpanjang kental vlur; profil-profilnya adalah

+ = \ o < 1l)' < s (lapisan dinding kental)ur v " - y

= 2,44 h ff + a,9 30 .\ ,+< 0,15 (daerah turbulen)

Interval 5 1 ,, ylv < 30 adalah zona penyangga di mana data eksperimental tidak pas dengan kurva yang manapun. Sisi

luar dari daerah dinding dapat serendah ury/v = 3000 untuk aliran dengan bilangan Reynolds rendah.Lapisan dinding kental tidak memainkan peran apapun untuk pipa kasar. Panjang karakteristiknya adalah ketinggian

kekasaran rata-rata e dan daerah dindingnya direpresentasikan oleh

;= z,++ ln ) + 8,5 { . O,rS (daerah dinding, pipa kasar) (7.71)

Daerah luar independen terhadap efek-efek dindingjadi dinormalisasikan untuk dinding halus dan kasar dengan menggunakanradius sebagai panjang karakteristiknya dan diberikan oleh

=-2,44 h {+0,8-y

ro < 0,15 (daerah luar) (7.72)

Hubungan empiris tambahan hQlr,,,) dibutuhkan untuk melengkapi profil untuk y > 0,l5ro. Kebanyakanmemenuhi duldy = 0 pada ) = ro dapat digunakan.

hubungan yang

Daerah dindingdalam Gbr. 1.9(a) dan daerah luar dalam Gbr.7.9(b) saling bertumpuk seperti ditunjukkan dalamGbr. 7.9(a). Untuk pipa halus dan kasar

e = 2,441n\3 * 5,7 (pipahatus)

T = 2,aah + 9,3 (pipa kasar)

Seringkali kita tidak ingin mengetahui kecepatan pada suatu lokasi tertentu, tapi jika diinginkan, sebelum a_uu, dapatdiperoleh zrharus diketahui. Untuk mencari urkita harus mengetahui ro. Uirtuk mencari ro kita dapat menggrnutiun ltitrutPers. (7.6))

rnLP% = 'cF{ arau to = lrOVr-t.

uil,

(7.6e)

(7.70)

(7.73)

(7.74)

(7.75)

u^uk"- ilu_

L

+Aliran turbulen tunak berarti kuantitas-kuantitas rata-rata waktunya independen terhadap waktu.

x Kecepatan geser adalah suatu kecepatan fiktif yang memungkinkan data eksperimen diberikan dalam bentuk non-dimensi yang berlaku untuk semuaaliran pipa turbulen. Panjang kental juga merupakan suatu panjang fiktif.

(&) dinding kasar



BAB 7] ALIRAN-ALIRAN INTERNAL 103

uut

25

25

20

15

10

5

membesar

t0 30 100

u)lN

(a) Daerah dinding

1000 10 000uJf

u^rr- ituI

0,01 0.1 0.15 1,0

t_/ro

(b) Daerah luar

Gambar 7.9Data eksperimen untuk dinding halus dalam aliran terbentuk di dalam pipa.

Faktor gesekan f dapat diestimasi dengan menggunakan profil hukum pangkat (power law) yang diberikan berikut jikapenurunan tekanan tidak diketahui.

7.6.2 Profil Hukum Pangkat

Suatu pendekatan lainnya, walaupun tidak terlalu akurat, melibatkan penggunaan profil hukum pangkat yang diberikanoleh

i-1Y1tr',*-, = (roJ (7.76)

di mana n adalah antara 5 dan 10, biasanya dalam bentuk integer (bilangan bulat). Ini dapat diintegralkan untukmenghasilkan kecepatan rata-rata

8

6

4

2

, = l-'"

ag1zo, ar = , *fin+ 1 ilmars

Niiai dari n dalam Pers. (7.76) berhubungan dengan/secara empiris melalui

' n - J--tt2

Untuk pipa halus, n berhubungan dengan bilangan Reynolds sebagaimana ditunjukkan dalam Tabel 7.1.

Tabel 7.1 Pangkat r untuk Pipa Halus

Re = VDlv 4x103 105 106 >2x106n 6 7 9 10

Profil hukum pangkat tidak dapat digunakan untuk mengestimasi tegangan geser dinding karena memiliki kemiringantak terhingga di dinding untuk semua nilai n. Profil tersebut juga tidak memiliki kemiringan nol di garis tengah pipa,jadi tidak berlaku di dekat garis tengah. Profit ini digunakan untuk mengestimasi fluks energi dan fluks momentum darialiran pipa.

Akhirnya, harus diperhatikan bahwa faktor koreksi energi kinetik adalah 1,03 untuk n ='7; jadi, biasanya dipakainilai satu untuk aliran-aliran turbulen.

Q.7n

(7.78)

l_

Idaerah luar



ALIRAN-ALIRAN INTERNAL

dipilih dan dari Pers' (7.?8)

f = L= -L = o,o216" n' 6.8'

CONTOH 7.4 Ak pada 20.C mengalir di dalam sebuah pipa berdiameter 4 cm dengan laju aliran 0'(02 m3/s' Estimasikan (a)

tegangangeserdinding,(D)kecepatanmaksimum,(c)penurunantekanansepanjang20m,td)ketebalanlapisankentaldan(e)tentukan apakah dindingnya halus ataukah ta** d"rrgan mengasumsikan elemen-elemen kekasarannya memiliki ketinggian 0'0015

mm. Gunakan Profil hukum Pangkat'

Penyetesaian:Pedama-tarua,kecepatanfila-ratildanbilanganReynoldsnyaadalah

v =9^ = P1, = 1.4&t m/s R" =vP=

ry#* = 5,85 x loa' A rc0.02'

(a) Untuk mencari tega1gan geser dinding, perrama-tama kita akan mencarj faktor gesekannya' Dar'i Tabel ?'1' nilai a = 6'8

r04[BAB 7

(7.80)

kekasaran. Analisis

(7.81)

Tegangan geser dindingnya adalah, lihat Pers' (7'75)'

4 = lOv2f=j x 1000 x 1,4642 x 0'0216 = 23'2 Pa

(b) Kecepatan maksimumnya diperoleh dengan menggunakan Pers' (?'7?):

, . =(n+ lx24 + l)

v =7,8-*1.4*

1.464 = 1.80 m/s'maks- 2n2 2x6,8'

(c) Penunman tekanannYa adalah

(d) KecePatao gesekannYa adalah

dan ketebalan lapisan kentalnya adalah

6 , = il=st'#

= 3,29 x l0-s m atau 0'0329 mm

(e) Ketinggian dari elemen-elemen kekasarannya diberikan sebesar 0,0015 mm (drawn tubiag)' yang tebih kecil daripada ketebalan

l*pisan kentalnya. Jadi, dinding ini halus. catatan: Jika ketinggian dari elemen-elemen dindingnya ad*lah 0'046 mm (tresi

tempa), dindingnya akan dikategorikan kasar'

. 2Lt, ? x 20 x 232= 46 400 Pa atau 46,4 kPaLp= r, = -O0- =tuauvra

""=ff = ffi= o,r5z m/s

f = f(p, pr, V D, e)

di mana ketinggian kekasaran e memperhitungkan turbulensi yang dihasilkan oleh elemen-elemen

dimensional meLungkinkan Pers. (7'80) untuk dituliskan sebagai

t = tl"oY)

7.6.3 Rugi-rugi di dalam Aliran Pipa

RugiheadmerupakanparameteryangSangatingindiketahuididalamaliranpipa.ParameterinidiberikandalamPers.(7.24) dan (4.23) dan adalah

hr=f Bf; "^",'=+

Jadi, setelah faktor gesekan diketahui, rugi head dan penurunan

pada sejumlah properti dari fluida dan pipa:

+ zz - zt Q'79)

tekanan dapat ditentukan. Faktor gesekan bergantung

di mana e/D disebut kekasaran relatif'

Data eksperimen telah dikumpulkan dan dipresentasikan dalam bentuk diagram Moody, yang ditunjukkan dalam Gbr'

7.10 untuk aliran terbentuk dalam pipa konvensional. Ketinggian-ketingian kekasaran juga ditunjukkan dalam diagram

tersebut. Ada beberapa fitur dari Oiagiam ini yang harus ditekankan' Fitur-fitur tersebut adalah:

o Aliran laminar terjadi hingga Re = 2000 dan setelah itu terdapat zona kritis di mana aliran mengalami transisi ke

aliran turbulen. Ir'i duput ii"tibutkun aliran transisi yang berganti-ganti antara aliran laminar dan turbulen'

o Faktorgesekan di dalam zona transisi, yang dimulai dari sekitar Re = 4000 dan makin mengecil dengan naiknya

bilangan Reynolds, menjadi konstan di akhii dari zona tersebut seperti ditunjukkan dengan garis putus-putus dalam

Gbr. 7.10.



BAB 7] ALIRAN.ALIRAN INTERNAL r05

0,1

0,09

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,o25

o,o2

0.015

0,05

0,04

0,03

0,02

0.015

=Itr

d

o

$lQ

0,01

0,008

0,006

0,004

0,002

0,001

0,00080,0006

0,0004

0,0002

0,0001

0,00005

0,00001

z 3 456',7 2 345679 2 345679 2 345679105 106 lo7

Bilangan Reynolds Re

Gambar 7.10 Diagram Moody*.

. Faktor gesekan di dalam zona yang sepenuhnya turbulen memiliki nilai konstan dan bergantung pada kekasaran

relatif, elD. Efek-efek viskositas, dan dengan begitu bilangan Reynolds, tidak memengaruhi faktor gesekan.

. Ketinggian e dari elemen-elemen kekasaran dalam diagram Moody adalah untuk pipa yang masih baru. Pipa-pipa

yang sudah dimakan usia dipenuhi kotoran yang mengubah e dan diameter D sehingga mengakibatkan faktor gesekan

yang lebih besar. Desain sistem-sistem pipa harus memperhitungkan efek-efek penuaan tersebut.

Sebagai alternatif dari diagram Moody dapat juga digunakan rumus-rumus yang dikembangkan oleh Swamee dan

Jain untuk aliran pipa; rumus yang dipilih bergantung pada informasi yang diberikan. Rumus-rumus untuk menentukan

kuantitas-kuantitas untuk aliran terbentuk di dalam pipa yang panjang (rumus-rumus tersebut tidak digunakan untuk jarak

pendek atau di dalam pipa yang memiliki berbagai fitting dan perubahan geometri) adalah sebagai berikut:

9

l04

79l0l

D = 0,66

(7.82)

(7.83)

(7.84)

Baik satuan SI maupun Inggris dapat digunakan dalam persamaan-persamaan di atas. Perhatikan juga bahwa diagram

Moody dan persamaan-persamaan di atas memiliki akurasi hingga 5 persen, cukup akurat untuk kebanyakan aplikasi

teknik.

7.6.4 Rugi-rugi di dalam Saluran-saluran Tidak Bundar

Untuk menentukan rugi head di dalam sebuah saluran tidak bundar yang relatif "terbuka", kita menggunakan radius

hidrolik R, yang didefinisikan

R_

' Catatan: lika elD = 0,01 dan Re = 104, titik menunjukkan lokasi/= 0,043.

Sumber: Dari L.F. Moody, Trans. ASME, v. 66, 1944.

h,= t,o, #l^l*+ 4,62(8[']] ' ffi:AJlI,,0,

e = -0,e65 W ^|fi, . (W)"1 2ooo < Re

,r,r (h)',,]ooo l3r.:eJ.,l-, ,*l, * l*ra)^,' .

AP

(7.8s)




hr=fh

IBAB 7

(7.86)

Q3n

(7.88)

(7.8e)

CONTOH 7.5 Penurunan tekanan sebesar 500 kPa terukur di sepanjang 200 rn jarak horizontal dari sebuah pipa beei corberdiameter 8 cm yang mengalirkan air pada ?0 oC. Estimasikanlah laju aliran dengan menggunakarr ia) diagram Moody dan(&) persamaan alteruatif,

Penyeleaaian: {a) Kekasaral relatifaya (carilah e dalam Gbr. 7.10) adalah

f=9#=o,oo3?5Dengan mengasurasikan aliran turbulen penuh, faktor gesekan dari Gbr. 7.10 adalah/= 0,026. Rugi head-nya adalah

Lp 5oo otx)hL=- = -:::-::='=.rt nl

Kecepatan rata-ratanya, dari Pers. (7.79), adalahy 9800

v=w* = 3,92 m/s

Kita harus memeriksa bilangao Reynoldsaya untuk meyakinkan bahwa aliran benar-benar turbulen penuh, dan nilainya adalah

Re =-L2 * 3,92 lo.o8 = _?,1-4 x ro5' 100

Nilai ini dapat diterima dan tidak memerlukan iterasi untuk memperbaiki faktor gesekannya. Jadi, laju alirannya adalah

Q = N = nx 0.042x 3.92 * 0.019? m3/s

(b) Gunakan porcamaan alternatif yang menghutlungkan -2 deagan kuaniitas-kuantitas lainuya" berarti, Pers. (?.83). Kita gunakanrugi head dari bagian (a):

Q = 4,965 , I 0,26 ll.tt " ro-r? x 2oo

'n Ifz;ro.l;s *pgr. ,

Persamaan ini lebih mud*h untuk digunakaa dan memberikan hasil yang cukup baik.

di mana A adalah area potongan-lintangnya dan P adalah keliling basah,yaitu keliling dari saluran yang bersentuhandengan fluida. Bilangan Reynolds, kekasaran relatif dan rugi head masing-masing adalah

)]= o,o,r: *'r,

kekasaran relatif = 49R

nr= K*

,r=uYi=f*X;

R" =4YR v2

)o

Sebuah area segiempat harus memiliki rasio aspek < 4. Metode ini tidak boleh digunakan untuk bentuk-bentuk sepertidonat (annulus).

7.6.5 Rugi-rugi Kecil

Rugi-rugi yang di bahas sebelum ini adalah untuk aliran terbentuk di dalam saluran-saluran yang panjang. Akan tetapi,kebanyakan sistem pipa memiliki perubahan-perubahan mendadak seperti misalnya belokan, katup, lubang masuk, dsb,.yang mengakibatkan rugi-rugi tambahan terhadap sistem.

Rugi-rugi ini disebut rugi-rugi kecil yang pada kenyataannya dapat menumpuk sehingga melebihi rugi head yangdiperoleh dalam subbab-subbab sebelumnya. Rugi-rugi kecil ini diekspresikan dalam bentuk koefisien rugi K, yang untukkebanyakan alat didefinisikan sebagai

Beberapa koefisien-koefisien rugi diberikan dalam Tabel 1 .2. Perhatikan bahwa koeflsien-koefisien rugi yang relatif rendahdiasosiasikan dengan kontraksi-kontraksi landai, sedangkan koefisien-koefisien yang relatif besar diasosiasikan denganpembesaran-pembesaran. Ini disebabkan oleh aliran-aliran separasi yang ter-iadi di dalam pembesaran-pembesaran. Aliran-aliran separasi dan sekunderjuga terjadi di dalam siku-siku yang menyebabkan koefisien-koeflsien rugi yang relatif besar.Bilah-bilah yang mengeliminasi aliran-aliran separasi dan sekunder semacam itu dapat sangat membantu mengurangirugi-rugi, seperti ditunjukkan di dalam tabel.

Kita seringkali menyetarakan rugi-rugi di dalam suatu alat dengan panjang ekuivalen dari pipa, artinya,

=K?Ini memberikan hubungan

L"



"Iabel 7.2 Koefisien Rugi K Kecil untuk Alat-alat Tertentu*

Diameter 2.5cm 5cm 10cm 5cm l0cm 20cm

Katup globe (terbuka penuh)

(setengah terbuka)

(seperempat terbuka)

Katup sudut (terbuka penuh)

Katup swing check (terbuka penuh)

Katup gerbang (terbuka penuh)

Belokan memutar

T cabang

T jalur

Siku standar

Siku long sweep

Siku 45o

Lubang sudut patah ]*

Lubang reeiltrant ;:]i:t*

Lubans sudut bulat 1 -"I

Pipa pembuangan

Kontraksi patah------t_

.:i-

R)

20

57

4,7

)q

0,24

1,5

1,8

0,9

l5

0.72

0,32

6,9

17

48

2.0

2,1

0,r6

0,95

1,4

0,9

0,95

0,41

0,30

5,7

l4

40

1,0

2,0

0,11

0,64

1,1

oq

0,64

0,23

0,290,5

0,8

0,03

1,0

0,25

0,41

0,46

0,85

8,5

2t

60

2,4

2,0

0,35

0,35

0,80

0,19

0,39

0,30

6,0 5.8

15 t4

42 41

2,0 2,0

2,0 2,0

0,16 0,07

0,30 0,25

0.e,4 0,58

0,14 0,10

0,30 4,26

0,19 0,r5

Pelat berlubangffi''f:lp r +

Rasio area

2:1

5:1

10:1

Rasio area A/Ao1,5:1

2:l

4:l

>6:1

3,4

29

,,i8 (h- o,u)'

A. \?-i)embesaran patah f -=i;*

Sudut miter 90' (tanpa bilah)

(dengan bilah)

Kontraksi umum

(,

r----_.]-tlT-- -sl

---li

1,1

4,2

(sudut dalam 30o)

(sudut dalam 70')

0.02

0,07

BAB 7] ALIRAN.ALIRAN INTERNAL ' 107

Jenis fitting Dibaut Dijepit

Perlu diberikan catatan terakhir mengenai rugi-rugi kecil: jika pipanya cukup panjang, >1000 ukuran diamaternya,

rugi-rugi kecil biasanya diabaikan. Untuk panjang sampai 100 diamater, rugi-rugi kecil biasanya melebihi rugi-rugigesekan. Untuk panjang menengah, rugi-rugi kecil harus diperhitungkan.

-Nilai-nilaiuntuk geometri lainnya dapat diperoleh dalamTechnical Paper 410. The Crane Company, 1957

1

Berdasarkan kecepatan keluar V2.t Berdasarkan kecepatan masuk V1.




(7.90)

CONTOH 7.0 Sebuah pipa plastik dengaa diameter 1,5 cm dan panjailg ?0 m mengalirkan air dari sebuah tangki beeekanan400 kPa keluar ke daerah tertraka yarrg terlefak 3 m di atas pennukaan air G dalam tangki. Terdapat tiga siku di dalarn jalur airdan sebuah lubang masuk sudut patah dari tangki. Estimasikan laju alirannya.

Penyelesaian: Persamaan energi diaplikasikan di antara tangki dan k*ualan keran:

o =v+ifr + zr- z,+ h,

di mana

nr= (th+ 3Kr** + Eru, *,*) #AsumsikanbahwapipamemilikielD-OdanRe+2xldsehinggadiagramMoodymemberikanf=0.ffit6.Persamaanenergimemberikan

o = #*- ffi# +: + (o,oro " #i5 + 3 + 1,6 * 0,5)z*F ... y= 5,18 nrs

Jadi b'ilangan Reynoldsnya adalah &e = 5,18 x0,15/10*6= 1,8 x td. Cobalah.f = 0,018. Maka

o = &-qgd;08 + : + (o,orr. # + 3 x 1,6. 0,5) #-$ .'. v= 4,e5 q/s

Jadi Re = 4,95 x 0,15/10'6 = 7,4 x 104. hi cukup dekat jadi guqaken Y = 5,0 m/s. Laju alirarmya adalah

7.6.6 Garis-garis Tingkat Hidrolik dan Energi

Persamaan energi sering sekali dituliskan sedemikian rupa sehingga setiap sukunya memiliki dimensi panjang, yaitu,

w, -v'r-v1 Pz-Pr . ,= ----^ I --. - Lr r il,mgzgy"

Dalam sistem-sistem pipa, secara konvensional kita sering menyebutkan garis tingkat hidrolik (hydraulic grade line - HGL)dan garis tingkat energi (energi grade line -EGL). HGL, garis putus-putus dalam Gbr. 7.11, adalah locus titik-titik yang

terletak pada jarak plydi atas garis tengah pipa. EGL, garis padat dalam Gbr. 7.11, adalah locus titik-titik yang terlerakpada jarak Y2n di atas HGL. Pengamatan-pengamatan berikut menghubungkan HGL dengan EGL.

o EGL mendekati HGL ketika kecepatan menuju nol. Keduanya menjadi identik di permukaan penampung.

o EGL dan HGL dua-duanya miring ke bawah ke arah aliran yang disebabkan oleh rugi-rugi di dalam pipa. Makinbesar ruginya, makin besar kemiringannya.

o Penurunan mendadak yang terjadi pada EGL dan HGL besarnya sama dengan rugi yang disebabkan oleh perubahangeometri yang mendadak, seperti misalnya lubang masuk, pembesaran atau katup.

r Pada EGL dan HGL terjadi lompatan yang disebabkan oleh pompa dan penurunan yang disebabkan oleh turbin.o Jika HGL berada di bawah pipa, terjadi vakum di dalam pipa, suatu kondisi yang seringkali dihindari dalam desain

sistem pipa karena terdapat kemungkinan kontaminasi.

(frr)trunng .orut

I v2/,28 (h.\.L',eKspansl

IPenampung

Hr = wrlmg

jftr)u,un

fftr)touunct"tu.

-+VPenampung

Datum

Gambar 7.11 Garis tingkat hidrolik (HGL) dan garis tingkat energi (EGL) untuk sistem pipa.




7.7 ALIRAN SALURAN TERBUKA

Perhatikanlah aliran turbulen terbentuk di dalam sebuah saluran terbuka, digambarkan dalam Gbr. 7 .12. Air mengalir pada

kedalaman y dan saluran memiliki kemiringan S, yang diasumsikan kecil sehingga sin 0 = S. Potongan lintangnya dapat

berupa jajaran-genjang, seperti ditunjukkan, atau dapat berbentuk bulat, segiempat atau segitiga. Kita akan mengaplikasikan

persamaan energi di antara kedua perpotongan:

^ v1 _ v2, pt_ ptO=-2- +:r-:,*h,

Rugi headnya adalah perubahan ketinggian, atau,

I^ _-ttL - 11 - a2

=lsin 0=LS

Di mana L adalahjarak di antara kedua perpotongan yang dipilih. Dengan

oleh Pers. (7.86), kita memiliki

109

(7.e1)

(7.e2)

menggunakan rugi head yang diekspresikan

(7.93)

Gambar 7.12 Aliran di dalam saluran terbuka

Bilangan Reynolds dari aliran di dalam sebuah saluran terbuka bervariasi sangat besar dan saluran itu sendiri kasar sehingga

faktor gesekan merupakan suatu konstanta yang independen terhadap kecepatan (lihat diagram Moody dalam Gbr.7.l0)untuk suatu saluran tertentu. Oleh karena itu, kecepatan berhubungan dengan kemiringan dan radius hidrolik melalui

v=crlRS (7.94)

di mana C adalah suatu konstanta dimensional yang disebut koefisien CheTy; koefisien ini secara eksperimental telah

dihubungkan dengan kekasaran saluran dan radius hidrolik melalui

c=+R,u (7.g5)

Konstanta tak berdimensi n adalah suatu ukuran kekasaran dinding dan disebut n Manning. Nilai-nilai untuk berbagai

bahan dinding diberikan dalam Tabel 7.3.

Laju aliran di dalam sebuah saluran terbuka diperoleh dari Q = AV dan adalah

O=+trplt35t/z (7.e6)

Ini disebut sebagai persamaan Chezy-Manning. Persamaan ini dapat diaplikasikan dengan menggunakan satuan-satuanInggris dengan menggantikan "1" di dalam pembilangnya dengan

*1,49".

Tabel 7.3 Nilai-nilai* dari z Manning

Bahan dinding z Manning

Bata 0.016

Besi cor atau tempa 0.015

Pipa beton 0.015

Logam bergelombang 0.025

* Nilai-nilai di dalam tabel ini menghasilkan laju aliran yang terlalu besar untuk R > 3 m. n Manning harus dinaikkan l0 sampai 15 persen untuksaluran-saluran yang besar.

hL= f k *= ts arau v'z=ff ns




Tabel 7.3 Nilai-nilai dari z Manning (lanjutan)

Bahan dinding dari n Manning j

Tanah 0,022

Tanah dengan batu dan rumPut 2,035

Beton halus 0.012

Aiiran pegunungan c,05

Kayu diserut 0,012

Pipa sot 0,013

Baia berivet 0,017

Puing 0,03

Beton kasar 0.014

Kayu kasar 0,013

[BAB 7

Jika permukaan salurannya halus, misalnya, kaca atau plastik, Pers. (7.96) tidak boleh digunakan karena persamaan

tersebut mengasumsikan permukaan kasar. Untuk saluran-saluran dengan permukaan halus, persamaan Darcy-Weisbach,

Pers. (7.86), bersama dengan diagram Moody harus digunakan.

CONTOII 7.? Air pada 20 t mengalir di dala.m sebuah saluraa bata be$entuk segiempat fungan lebar 2 rn pad,a kedalaman

120 em. Kemiringannya adalah 0,00i2. Estimasikanleh laju alirannya deagan menggunakaa (a) persamaan Chezy*Manning dan

{6) persamaan Darcy'Weirbach.

Penyelesaian; Pefiama-tama, hitunglah radius hidroliknya

R=f = *h**iyln =0,545m

g = * 4P2t351t2

(r) Untuk menggurrakari persamaan Darcy-\rysfu5ach, kita harus lnencari faktor gesekan/ Diagfam Moody memtrutuhkan suatu

nilai e. Gunakan nitai yang relatif besar sepgrti misalnya untuk beton yang kasar, jadi e = I mm. Karena radius hidrolikR 7 Dla un*k lingkaran, kita menggunakan

*= #= *ffi = o,ooo46

,erikan.f=

0,0165. Persamaan O*cy-Wel*fuch mengambil bentuk Pers. (7.93):Diagram Moody mernberikan / = 0,0165. Persannaan Darcy*Weisbach mengambil beutuk Pers. (7.93):

o=#'rq - 1,76 m/s

Jadi laiu alirannya adalah

Periksa bilangan Reynoldsnya

Q * AV - 2 x 1,2 x 1,16 -4,23 m3/s

n, =# = ?]ftp{{ =3,8 x 1od n/s

Niiai ini cukup tinggi sehinggafdapat diGrima. Perhatikan bahwa Q dalam bagian (a) sekitar 18 persen }ebih rendah dibandingkan

dalam bagian (&), dan bahwa bagian (b) dianggap lebih akurat.

Soal-soal dan PenYelesaiannYa

7.1 Sebuah pipa horizontal dengan panjang 40 m dan diameter 4 mm dipasang ke sebuah penampung yang berisi air

Z0 "C. Permukaan air di dalam penampung berada 4 m di atas pipa pembuangan. Asumsikan aliran laminar dan

estimasikan keceparan rata-rata di dalam pipa. Selain itu, hitunglah panjang dari daerah jalur masuk.

Dengan menggunakan Pers. (7'21), kecepatan rata-rata di dalam pipa adalah

, = i\l = o,o€ tJ29oo '-+) = o,4e m/s8ttL 8xt0-3x40

x 0,545 x 0;0012 :



BAB 7] ALIRAN.ALIRAN. INTERNAL 111

di mana tekanan di tubang masuk pipa adalah p = yh = 9800 x 4 N/m2, tlengan mengabaikan head kecepatan V2l2g di

jalur masuk. Periksalah bilangan Reynoldsnya; nilainya adalah

Re= E =aP'o-o = 196o' lo{

Ini cukup baik untuk mendukung terjadinya aliran laminar. Kita telah mengasumsikan bahwa head kecepatan di jalur masuk

adalah kecil; nilainya adalah

X=#*' =o'ro2m

Ini cukup kecii dibandingkan dengan head tekanan sebesar 4 m. Jadi, perhitungan-perhitungan ini cukup baik selama daerah

jalur masuk tidak terlalu panjang.

Kita telah mengabaikan efek-efek profil kecepatan bukan parabola (lihat Gbr. 7.1) di daerah jalur masuk. Panjang daerah

jalur masuk adalah

Lr = 0,065 x Re x D = 0,065 x 1960 x 0,004 = 0,51 m

jadi efek daerah jalur masuk dapat diabaikan.

7.2 Suatu aliran laminar tunak terbentuk terjadi di antara pipa-pipa konsentrik. Aliran mengalir searah dengan sumbu

pipa-pipa. Turunkanlah persamaan-persamaan diferensialnya dan perolehlah prohl kecepatannya.

' Elemen yang dipilih, di mana gaya-gaya bekerja. memiliki bentuk selongsong siiinder yang kosong (visualisasinya akan

tebih mudah dengan menggunakan sebuah sketsa), yang terlihat seperti sebuah cincin jika dilihat dari ujungnya, dengan

panjang dx. Cincin tersebut akan memiliki radius dalam r dan radius luar r + dr. Gaya tekanan netto yang bekerja padakedua ujungnya adalah

rzr (,. t )0, - (p + rtp) ur (, + t )o, - -2ttr dr dp

Gaya-gaya tegangan geser pada silinder dalam dan luar dijumlahkan sebagai berikut (tegangan geser diasumsikan berlarvanan

dengan arah aliran):

-r2xr dx + (r + dr)2r(.r + dr) dx = 2tt dr dx + 2nr dr dx

Untuk aliran tunak, gaya-gaya tekanan dan tegangan geser harus saling mengimbangi. Ini rnemberikan

-2ttr dr dp = zxt tlr d.r + 2nr dr dx .'.4 = -: - +dYrdrMasukkan persamaan konstitutif t = - l.t duldr (lihat catatan kaki untuk Pers. (7.7) dengan mengasumsikan bahwa elertten

berada di dekat pipa luar) dan perolehlah

ofi =' lt' *: .'n',':) = + i, {'Y,)

Selanjutnya ini dapat diintegralkan untuk menghasilkan

t-d =rd *A arau _ -41 --dy*421t d.r tlr '' 21t dr dr r'

Integralkan sekali lagi untuk memperoleh profil kecepatannya sebagai

ut,t=lr*--ern,nsKonstanta A dan B dapat ditentukan dengan menggunakan u(r,) = 0 dan a(r") = (-).

7.3 Gradien tekanan yang bagaimanakah yang akan memberikan tegangan geser nol pada pelat bawah yang stasioner

dalam Gbr. 7.5 jrka diasurnsikan bahwa pelat-pelatnya horizontal di mana pelat atas bergerak ke kanan dengan

kecepatan U.Tegangan gesernya adalah r = -p duldy jadi kondisi-kondisi batasnya adalah duldy- (0) = 0, a(0) = 0 dan u(.b) = U. ln\diaplikasikan pada Pers. (7.29) untuk rnemberikan yang berikut:

4.uigt=1*o+A=o ...A=ody Lt dx

,/(o) =^l-dlo*B=o .'.8=o dant dtt

/.ltu^ J=0""B=u

dan u5'tiui*l'

Sekarang, u(b) - U, menghasilkan

t Jp ,. ,lp 2ltuu=2rixb' arau *=-r,Ini adalah gradien tekanan positif, jadi tekanan meningkat searah dengan U.

7.4 Tunjukkan bahwa distribusi kecepatan yang diberikan oleh Pers. (7.62) mengaproksimasikan sebuah garis lurusjika celah di antara kedua silinder kecil relatif terhadap radius silinder.



tt2 ALIRAN-ALIRAN INTERNAL [BAB 7

Karena celahnya kecil relatif terhadap kedua radius, kita dapat menjadikan R = r, = rr. Selain itu, jadikan 6 - r, - r, dan

= rz - r (lihat Pers' 7.6) dalam distribusi kecepatan dari Pers. (7.62). Distribusi kecepatan mengambil bentuk

a,,l (ri _\ _ @(l \r2- r\(r2+ r)t'.(r)=-=1-|-.--t r--,i - ,f t ' ' (rz- rt)(rr+ rr) r

=#,.rg+=gul.di mana kita telah menggunakan aproksimasi

2R-y =)R-y

karena y nilainya kecil dibandingkan dengan R dan 2R. Distribusi kecepatan di atas adalah distribusi garis lurus dengankemiringan ar,R/6

7.5 Air pada 15'C dialirkan di dalam sebuah pipa besi tempa dengan diameter 6 cm pada laju aliran 0,004 m3/s.Estimasikan penurunan tekanan di sepanjang pipa horizontal 300 m tersebut dengan menggunakan (a) diagramMoody dan (b) persamaan alternatif.

Kecepatan rata-rata dan bilangan Reynoldsnya adalah

u=o= o'004.=1.415m/sA a x 0.03'

n. =-YP= ',0]? '9:09 = 7,44 x toa' l.l4 x lo{

(a) Nilai e diperoleh dari diagram Moody sehingga

fr=W=o'ooo77Faktor gesekan diperoleh dari diagram Moody sebesar

I = 0.022s

Jadi penuruhan tekanannya adalah

Lp = vh, = pf B$ = rcoo x 0,0225 ffiAy = 113 000 Pa atau 113 kPa

(b) Dengan menggunakan Pers. (7.82), penurunan tekanannya adalah

Lp = Th, = r.07 x 1s660.091'fro

{', [-*r + 4.62(r'14x-13#4 0.06

).'3]]-'? 0,c

= 111000 Pa atau 111 kpa

Kedua hasil ini memiliki selisih di bawah 2 persen dan pada intinya adalah sama.

7.6 Penurunan tekanan sebesar 200 kPa terukur di sepanjang pipa besi cor berdiameter 8 cm dengan panjang 400 myang mengalirkan air 20"C. Tentukanlah laju alirannya dengan menggunakan (a) diagram Moody dan (b) persamaanalternatif.

Kekasaran relatifnva adalah

;=W= o'00325

dan rugi head-nya adalah

hL=M=3$#=20,41m

(a) Dengan mengasumsikan aliran turbulen penuh, diagram Moody memberikan

f = 0'026Kecepatan tata-rata di dalam pipa diperoleh, dengan menggunakan pers. (7.79), sebesar

= 1,76 rils

menghasilkan bilangan Reynolds

n"=P - l'76:qq= r.4x rosl0*

Pada bilangan Reynolds ini dan elD = 0,0325, diagram Moody memberikan f =O,026,jadi faktor gesekannya tidak perludisesuaikan. Maka laju alirannya diperkirakan sebesar

Q = AV = n x 0,042 x 1,76 =0,0088 m3/s

(b) Karena rugi head dihitung dengan menggunakan penurunan tekanan, Pers. (7.83) dapat digunakan untuk menentukanlaju alirannya:

,t.i.i):



BAB 7] ALIRAN-ALIRAN INTERNAL 113

Kedua hasil ini memiliki selisih di bawah 3 persen dan keduanya dapat diterima.

7.7 Seorang petani perlu menyediakan air 2OoC sebanyak 500 L setiap menit dari sebuah danau melalui sebuah pipa

besi tempa sejauh 800 m ke ladang yang berada 4 m di bawah permukaan danau tersebut. Tentukanlah diameter

pipa yang harus dipilih. Gunakan (a) diagram Moody dan (b) persamaan alternatif.

(a) Kecepatan rata-ratanya berhubungan dengan diameter D yang tidak diketahui melalui

,,_Q _ 0,5/60 _0.0106" -A- 1tD2l4

- -F

Rugi head-nya adalah 4 m (persamaan energi dari permukaan danau ke pembuangan pipa memberikan nilai ini. Kita

asumsikan bahwa VlLg dapat diabaikan di pembuangan pipa), sehingga

u, = f B* 4 = fry "*

*@E,.D5 =o,oo1r4/

.Bilangan Reynolds dan kekasaran relatifnya adalah

Re = @ = lqqqqr,

" ,.- lo-Eoo

b =ryIni memerlukan penyelesaian secara coba-coba. Kita dapat memilih suatu nilai untuk / dan memeriksanya untuk melihat

apakah persamaan-persamaan dan diagram Moody sesuai dengan pilihan tersebut. Pilihlah f = 0,02. Jadi, persamaan-

persamaan di atas memberikan

D = (0,00114 x 0,02)0,2= 0,118,m, R" =+ffi = e0000, 6=T#= 0,00039

Hasil di atas cocok dengan diagram Moody. Biasanya diperlukan satu pilihan lagi untuk/dan perhitungan ulang terhadap

diameter, bilangan Reynolds dan kekasaran relatifnya.

(b) Karena diameternya tidak diketahu, Pers. (7.84) digunakan yang memberikan

D = 0-66[o.oooo+o'*lgq+p)o'"

* ,o-o(Hr'(#]-)"] 0'e=0,12 -t \ e'81

Kedua hasil ini memiliki selisih di bawah 2 persen, jadi pada intinya adalah sama.

7.8 Sebuah saluran segiempat yang halus berukuran 10 x 20 cm mengalirkan 0,4 m3/s udara pada kondisi-kondisi

standar ke arah horizontal sejauh 200 m. Estimasikanlah penurunan tekanan di dalam saluran tersebut.

Radius hidroliknya adalah

R=f=#*t3r=0,0333m

Kecepatan rata-rata dan bilangan Reynolds di dalam saluran adalah

v=*=##r=2onr./s Re=4$=ti4r#P=l,8xlo5' 1,5 x l0-

Q = -0,965

Diagram Moody memberikan/= 0,016. Jadi penurunan tekanannya adalah

,,[ryf .( '#i+h*#,)"'] =o,oo855m3/s

Ap = Thr= ,f h* = 1,23 x 9,81 x 0,016 4"ffi,, " z-L,,at= 5900pa

.

7.9 Buatlah sketsa garis tingkat hidrolik untuk sistem

pipa dalam Contoh 7.6 jika ketiga sikunya diletakkan

pada jarak yang sama di antara tangki bertekanan

dan lubang keluar pipa.

Garis tingkat hidrolik berada pada jarak ply di atas

permukaan air di dalam tangki di pangkal pipa. Garis

tingkat hidroliknya digambarkan dalam Gbr. 7.13.

7.10 Sebuah pipa got berdiameter 80 cm (beton halus)

dipilih untuk mengalirkan air pada laju aliran 0,24 m3l

s padakemiringan 0,0012.

Estimasikanlah kedalaman

di mana air akan mengalir.

2(hr)",n + (hl)po,org-

uf

--l,r.,,,*, * (h1)po,ong"n

nt

HGL {rz.);au, -u.ur

Gambar 7.13




Gambar 7.14

Asumsikan air mengalir dengan pipa setengah penuh. Laju alirannya adalah

g = an rsl/2= #,, *y (ffi)- x0.0ot2,,2 = 0,22e m3ts

Dengan demikian, pipa tersebut lebih dari setengah penuh. Sketsa areanya ditunjukkan dalam Gbr.7.l4. Untuk pipa inikita memiliki

o,z4 = o#j AR2t3 o,0oL21t2 .-. AR2t3 = 0,09

dengan

A = o,8tc 1 S# + (v - 0,4)0,4 sin a ft =0,8ft ulmg

Penyelesaian dilakukan secara coba-coba.

Coba y = 0,46 m: Maka A = 0,299 R = 0,21-l

Cobay =0,44 m: MakaA = 0,283 R=0,271

Jadi, -y - 0,42 m adalah hasil yang cukup baik.

AR'3 = 0,108

AR2/3 = 0,100

Soal-soal Thmbahan

Aliran Laminar atau Turbulen

7.ll Hitunglah kecepatan rata-rata maksimum di dalam sebuah pipa berdiameter 2 cm untuk aliran laminar dengan menggunakanbilangan Reynolds kritis sebesar 2000 jika fluidanya (a) air pada 20"C, (b) air pada 80'C, (c) oli SAE-30 pada 80oC dan (4udara atmosfer pada 20oC.

7,12 Sungai Cedar N{erah mengalir dengan tenang melalui kampus MSU pada kedalaman 80 cm. Sebuah daun teramati bergerak sejauh1 m dalam 4 detik. Tentukan apakah aliran tersebut laminar ataukah turbulen. Buatlah asumsi-asumsi yang diperlukan

7.13 Sebuah keran minum memiliki bukaan berdiameter 4 mm. Air memancar setinggi 20 cm di udara. Apakah alirannya laminarataukah turbulen ketika keluar dari keran? Buatlah asumsi-asumsi yang diperlukan.

7.14 Oli SAE-30 pada 80'C mengisi ruang di antara dua silinder, berdiameter 2 dan 2,2 cm. Silinder luamya tidak bergerak dansilinder dalamnya berotasi pada 100 rpm. Apakah oli berada dalam kondisi laminar ataukah turbulen jika Re*, = 1700?Gunakan Re = rr;r,6iv, di mana 6 = rz - rr

Aliran Jalur Masuk (Entrance)

7.15 Air mengalir di dalam sebuah pipa berdiameter 2 cm dengan laju aliran 0,0002 m3/s. Untuk jalur masuk yang memberikanprofil kecepatan seragam, estimasikanlah panjang inti tak-kental dan panjang jalur masuknya jika temperatur air adalah (a) 20,(b') 40, (c) 60 dan (@ 80'C.

7,16 Suatu profll kecepatan parabola diinginkan di ujung dari sebuah selang dengan panjang 10 m dan diameter 8 mm yang terpasangpada sebuah tangki yang diisi dengan air 20oC. Sebuah eksperimen dilakukan di mana 60 L terkumpul dalam 90 menit. Apakahasumsi aliran laminar layak? Jika demikan, apakah selang tersebut cukup panjang?

7,17 Sebuah profil parabola diinginkan di dalam udara 20"C ketika melewati dua pelat paralel yang berjarali 80 mm di dalam suatulaboratorium universitas. Jika bilangan Reynoldsnya adalah Vh/v = 1500, berapa panjangkah saluran yang dibutuhkan untukmengamati aliran yang terbentuk penuh, yang berarti, profil kecepatan parabola? Berapakah kecepatan rata-ratanya?




7.18 Aliran air 20'C di dalam sebuah pipa berdiameter 2 cm berubah-ubah di antara kondisi laminar dan turbulen ketika mengalir

melalui pipa dari sebuah penampung. Estimasikanlah panjang inti tak-kentai dan panjang jalur masuknya (a) jika aiirannya

laminar dan kecepatan rata-ratanya adalah 0,1-5 m/s dan (b) jika alirannya turbulen dan kecepatan rata-ratanya adalah 0,6 m/s(gunakan hasil-hasil dari Pers. (7.4)).

7.19 Berikanlah argumentasi bahwa gradien tekanan LplLx di daerah jalur masuk nilainya lebih besar daripada gradien tekanan di

daerah aliran terbentuk dari sebuah pipa. Gunakan kenaikan fluida dengan panjang Ar dan luas potongan-lintang zrrfr di daerah

jaiur masuk dan di daerah aliran terbentu.

7 .20 Jelaskanlah mengapa distribusi tekanan di daerah jahir masuk sebuah pipa untuk aliran tur'oulen dengan bilangan Reynolds yang

relatif rendah (Re = 10 000) berada di bawah distribusi garis lurus perpanjangan dari alii'an terbentuknya. Lihat Gbr 7.3.

Aliran Laminar di dalam Pipa

7.21 Tunjukkan bahwa sisi sebelah kanan dari Pers. (7.19) memang merupakan hasii dari pengintegralan.

7.22 Tunjukkan bahwa/= 64lRe untuk. aliran laminar dt dalam pipa.

7.23 Tunjukkan bahwa rugi head dalam aliran lan.rinar di dalam pipa nilainya proporsionai secara iangsung dengan kecepatan rata-

rata di dalam pipa.

7.24 Penutunan tekanan di sepanjang pipa horizontal dengan pan-iang 15 m cian diameter 8 mm yang mengalirkan air 40'C terukur

sebesar i200 Pa. Alirannya diasumsikan laminai. Tentukanlah (a) kecepatan maksimum di dalam pipa,0) bilangan Reynolds,

(c) tegangan geser dinding dan (fl faktor gesekannya.

7.25 Suatu cairan mengalir melaiui sebuah pipa berdiameter 2 cm pada laju 20 L setiap menit. Asumsikan aliran laminar dan

estimasikanlah penurunan tekanan di sepanjang pipa horizontal dengan panjang 20 m tersebut untuk (a) air pada 40"C, (b) oliSAE-10 pada 20"C dan (c) gliserin pada 40"C. Tentukanlah apakah asumsi aliran laminar memang layak.

7.26 Air pada 20'C mengalir melalui sbbuah pipa berdiameter i2 mm pada sebuah lereng menurun sehingga Re = 2000. Sudut

berapakah yang akan menghasiikan penurunan tekanan noi?

7.27 Air pada 40"C mengalir di dalam sebuah pipa vertikal berdiameter 8 mm pada 2 Llmenit. Dengan mengasumsikan aliran

laminar, hitunglah penurunan tekanan sepanjang jrak 20 m jika alirannya (a) ke arah atas dan (b) ke arah bawah.

7.28 Udara atmosfer pada 25oC mengalir di dalam sebuah pipa horizontal berdiameter 2 cm pada Re = 1600. Hitunglah tegangan

geser dinding. faktor gesekan, rugi head dan penurunan tekanan di sepanjang pipa 20 m tersebut.

7.2g Suatu cairan n.rengalir di dalam pipa berdiameter 4 cm. Pada radius berapakah kecepatannya menjadi sama dengan kecepatan

tata-ratanya jika alirannya laminar? Pada radius berapakah tegangan gesemya menjadi sama dengan setengahdari

tegangan

geser dinding?

7 .30 Tentukanlah ekspresi untuk sudut 0 yang diperlukan oleh suatu jalur pipa sehingga tekanannya konstan jika alirannya laminar?

Kemudian, tentukan sudut dari sebuah pipa berdiameter 10 mm yang mengalirkan air 20"C pada Re = 2000 sehingga terjaditekanan konstan.

7.31 Carilah konstanta A dan B dalam Soal 7.2 dengan mengasumsikan radius silinder rt = 4 cm dan r, = 5 cm dengan

mengasumsikan bahwa air 20'C memiliki penurunan tekanan 40 Pa sepanjang i0 m. Tentukan juga laju alirannya. Asumsikan

aliran laminar.

7.32 Oili SAE-10 pada 20"C mengalir di antara dua silinder konsentrik ke arah yang paralel terhadap sumbu-sumbu silinder-silinder

horizontal tersebut yang memiliki radius 2 dan 4 cm. Penurunan tekanannya adalah 60 Pa sepanjang 20 m. Asumsikan aliran

laminar. Berapakah tegangan geser pada silinder dalamnya?

Aliran Laminar di antara Pelat-pelat Paralel

7.33 Gradien tekanan sebesar apakah yang memberikan tegangan geser nol pada pelat bawah yang stasioner dalam Gbr. 7.5 untuk

pelat-pelat horizontal di mana pelat atasnya bergerak ke kanan dengan kecepatan [-,? Asumsikan aliran laminar.

7.34 Gradien tekanan sebesar apakah yang dibutuhkan sehingga laju aliran menjadi nol untuk aliran laminar di antara pelat-pelat

horizontal paralel jika pelat bawahnya stasioner dan peiat atasnya bergerak dengan kecepatan U? Llhat Gbr. 7.5.

7.35 Fluida rnengaiir di dalam sebuah saluran horizontal berukuran 1 x 40 cm. Jika Re = 1500, hitunglah laju aliran dan penurunan

tekanan sepanjang 10 m jika fluidanya adalah (c) air pada 2A"C, (b) udara pada 25'C dan (c) oli SAE-10 pada 40"C. Asumsikanaliran laminar.

7,36 Air pada 20oC mengalir menutuni sebuah areal parkir dengan tebar 80 m pada kedalanian konstan 5 mm. Kemiringan dariareal parkir adaiah 0,0002. Estimasikanlah laju aliran dan tegangan geser maksimumnya. Apakah asumsi aliran laminar memanglayak?

7.37 Air pada 20'C mengalir di antara dua pelat horizontal paralel yang dipisahkan jarak 8 mm. Pelat bawahnya stasioner dan pelat

atasnya bergerak pada 4 m/s ke kanan (lihat Gbr. 7.5). Dengan mengasumsikan aliran laminar, berapakah gradien rekanan yangdibutuhkan sehingga:

lt5




(a)Tegangan geser di pelat atas menjadi nol(b)Tegangan geser di pelat bawah menjadi nol(c)Laju aliran menjadi no1

(@Kecepatan pada y = 4 mm menjadi 4 m/s

7.38 Udara atmosfer pada 40oC mengalir di antara dua pelat horizontal paralel yang dipisahkan jarak 6 mm. Pelat bawahnyastasioner dan gradien tekanannya adalah -3 Pa.im. Dengan mengasumsikan aliran laminar, berapakah kecepatan pelat atas yang

dibutuhkan sehingga:(a) Tegangan geser di pelat atas menjadi nol

(b) Tegangan geser di pleat bawah menjadi nol

(c) Laju aliran menjadi nol

(d) Kecepatan pada ,y = 4 mm menjadi 2 mls

7.39 Oli SAE-30 pada 40oC mengisi celah di antara pelat stasioner dan pelat berdiameter 20 cm yang berputar yang ditunjukkandalam Gbr.7.15. Estimasikanlah torque yang dibutuhkan dengan mengasumsikan profil kecepatan linierjika Q = 100 rad/s.

2mm

_t+Gbr. 7.15 |

7.40 Oli SAE-10 pada 20oC mengisi celah di antara silinder sepanjang 120 cm yang bergerak dan permukaan luar yang diam.Dengan mengasumsikan gradien tekanan nol, estimasikanlah gaya yang dibutuhkan untuk menggerakkan silinder pada 10 m/s.Asumsikan aliran laminar.

Gbr. 7.16

Aliran Laminar di antara Silinder-silinder Berotasi

7.41 Dengan mengasumsikan aliran Couette di antara silinder yang diam dan yang berotasi, tentukanlah ekspresi untuk daya yang

dibutuhkan untuk memutar silinder dalam yang berotasi. Lihat Gbr. 7.6.

7.42 Oli SAE-10 pada2O'C mengisi celah di antara silinder yang berotasi dan silinder luar yang diam yang ditunjukkan dalam Gbr.7.17. Estimasikanlah torque yang dibutuhkan untuk memutar silinder sepanjang 20 cm pada 40 rad,/s (a) dengan menggunakanprofil dalam Pers. (7.62) dan (b) dengan mengasumsikan aliran Couette.

0,4 mm1

]L-T0,4 mm

(

,P7* r*4u=odx dy dz

-]

- Gbr. 7.17

7 .43 Sebuah silinder berdiameter 3 cm berotasi di dalam sebuah silinder berdiameter 4 cm di mana oli SAE-30 40oC mengisi ruangdi antara silinder-silinder konsentrik sepanjang 30 cm tersebut. Tuliskanlah profil kecepatannya dan hitunglah torque dan dayayang dibutuhkan untuk memutar silinder dalam pada 2000 rpm dengan mengasumsikan aliran laminar.

7.44 Tentukanlah ekspresi untuk torque dan daya yang dibutuhkan untuk memutar silinder luar jika silinder dalam pada Gbr. i.6tidak bergerak. Asumsikan aliran laminar.

Aliran Turbulen di dalam Pipa

7.45 Ambillah rata-rata waktu dari persamaan kontinuitas diferensial untuk aliran inkompresibel dan buktikan bahwa dua persamaan

kontinuitas menghasilkan:

V*V+44= 66n,dx dv dz

7,46 Sebuah pipa berdiameter 12 cm mengalirkan air pada 25'C di dalam sebuah pipa dengan elemen-elemen kekasaran yang

memiliki ketinggian rata-rata 0,26 mm. Tentukan apakah pipa tersebut halus ataukah kasar jika laju alirannya adalah (a) 0,0004,(b) 0,004 dan (c) 0,04 m3/s.




7.47 Estimasikanlah kecepatan maksimum di dalam pipa pada (a) Soal 7.46a, (b) Soal 7.46b dan (c) Soal 7.46c.

7.48 Gambarlah sebuah volume kontrol silinder dengan panjang I dan radius r di dalam sebuah potongan pipa horizontal dan

tunjukkan bahwa tegangan gesernya bervariasi secara linier terhadap r, afirnya, t = r Lpl(2L). Tegangan geser dindingnya

diberikan oleh ro = ro Lpl(2L) (lihat Pers. (7.75)).

7.49 Estimasikanlah gradien kecepatan di dinding, penurunan tekanan dan rugi head di sepanjang 20 m dari aliran air dalam (a) Soal

7.46a, (b) Soal 7.46b d?n (.) Soal 7.46c. Catatan: Karena turbulensi harus menjadi nol di dinding, tegangan geser dindingnyadiberikan oleh p )il)yl,=o

7.50 Air pada 20oC mengalir di dalam sebuah pipa horizontal halus berdiameter l0 cm dengan laju 0,004 m3/s. Estimasikanlah

kecepatan maksimum di dalam pipa dan rugi head di sepanjang 40 m. Gunakanlah distribusi kecepatan hukum pangkat.

7.51 Oli SAE-30 pada 20oC dialirkan di dalam sebuah pipa halus berdiameter 40 cm dengan kecepatan rata-rata 10 m/s. Dengan

menggunakan profil kecepatan hukum pangkat, estimasikanlah (a) faktor gesekan, (D) penurunan tekanan di sepanjang 100 m

pipa, (c) kecepatan maksimum dan (d) ketebalan lapisan dinding kentalnya.

7.52 Ulangi Soal 7.51 dengan menggunakan profil kecepatan semi-log.

7.53 Jika pipa dalam Soal 7.51 adalah pipa besi cor, ulangi soal tersebut dengan menggunakan profil kecepatan semi-log.

Rugi-rugi dalam Aliran Pipa

7.54 Air pada 20oC mengalir pada 0,02 m3/s di dalam sebuah pipa besi galvanisir berdiameter 8 cm. Hitunglah rugi head di sepanjangpipa 40 m dengan menggunakan (a) diagram Moody dan (b) persamaan alternatif.

7.55 Ulangi Soal 7.54 dengan menggunakan (c) oli SAE-10 pada 80 'C, (D) gliserin pada 70oC dan (c) oli SAE-30 pada 40oC.

7.56 Air pada 30oC mengalir menuruni kemiringan 30" di dalam sebuah pipa berdiameter 6 cm dengan laju aliran 0,006 m3/s.

Tentukanlah penurunan tekanan dan rugi head di sepanjang 80 m pipa.

7.57 Jika penurunan tekanan di dalam sebuah potongan pipa besi galvanisir sepanjang 100 m dengan diameter 10 cm adalah 200

kPa, estimasikanlah laju alirannya jika fluida yang mengalir adalah (a) air pada 20"C, (b) oli SAE-10 pada 80'C, (c) gliserin

pada 70'C dan (d7 oli SAE-30 pada 20oC. Karena diagram Moody memerlukan penyelesaian secara coba-coba, disarankan

untuk memakai salah satu persamaan altematif.

7.58 Udara pada 40"C dan 200 kPa memasuki sebuah potongan pipa besi galvanisir sepanjang 300 m dengan diameter l0 cm.

Jika penurunan tekanan sebesar 200 Pa terukur di sepanjang potongan tersebut, estimasikanlah fluks massa dan laju alirannya.

Karena diagram Moody memerlukan penyelesaian secara coba-coba, disarankan untuk memakai salah satu persamaan alternatif.

Asumsikan udara bersifat inkompresibel.

7.59 Penurunan tekanan sebesar 100 kPa diinginkan di dalam sebuah pipa halus sepanjang 80 m yang mengalirkan air 20'C dengan

laju aliran 0,0016 m3/s. Berapakah diameter pipa yang harus digunakan? Karena diagram Moody memerlukan penyelesaian

secara coba-coba, disarankan untuk memakai salah satu persamaan alternatif.

7.60 Ulangi Soal 7.59 dengan menggunakan (a) oli SAE-10 pada 80'C, (b) gliserin pada 70 'C dan (c) oli SAE-30 pada 20'C.

7.61 Seorang petani ingin mengalirkan air 20oC dari sebuah danau, yang permukaannya terletak 4 m di atas sebuah selang

pembuangan dari plastik. Jika jarak totalnya adalah 400 m dan diinginkan 300 L air per menit, berapakah ukuran selang

yang harus dipilih? Karena diagram Moody memerlukan penyelesaian secara coba-coba, disarankan untuk memakai salah satu

persamaan alternatif.

7.62 Udara pada 35"C dan l2O kPa memasuki sebuah saluran berukuran 20 x 50 cm yang terbuat dari pelat logam dengan laju 6

m3/s. Berapakah penurunan tekanan yang diperkirakan terjadi di sepanjang l2O m?

7.63 Penurunan tekanan sebesar 6000 Pa terukur di sepanjang 20 m ketika air 30oC mengalir melalui sebuah saluran halus berukuran

2 x 6 cm. Estimasikanlah laju alirannya.

Rugi-rugi Kecil

7.64 Koefisien rugi dari siku standar yang tertera dalam Tabel 7.2 terllhat besar dibandingkan dengan beberapa koefisen rugi lainnya.

Jelaskanlah mengapa siku tersebut memiliki koefisien rugi yang relatif besar dengan mempertimbangkan aliran sekunder yang

terjadi setelah belokan. Mengaculah ke Pers. (3.31).

7,65 Air pada 20oC mengalir keluar dari sebuah penampung melalui sebuah pipa besi galvanisir dengan panjang 100 m dan

diameter 4 cm ke atmosfer. Pembuangannya 20 m di bawah permukaan penampung. Berapakah kecepatan keluarnya (a) dengan

mengasumsikan tidak terjadi rugi-rugi di dalam pipa dan (b) dengan memperhitungkan rugi-rugi? Jalur masuknya memiliki

sudut tajam. Buatlah sketsa EGL dan HGL untuk (a) dan (b).

7.66 Tambahkanlah sebuah nozel dengan lubang keluar 2 cmpadapipa dalam Soal 7.65. Hitunglah kecepatan keluarnya.

7.67 Pipa horizontal dalam Soal 7.65 dipasangi tiga siku berulir standar yang diletakkan pada jarak yang sama. Hitunglah alirannyadengan memperhitungkan semua rugi-rugi. Buatah sketsa HGL-nya.

rt7




7.68 Sebuah pipa besi cor berdiameter 4 cm menghubungkan dua penampung di mana permukaan dari satu penampung berada10 m di bawah permukaan yang lainnya. Terdapat dua siku beruiir standar dan satu katup sudut terbuka lebar di dalam pipasepanjang 50 m tersebut. Dengan mengasumsikan jalur masuk sudut taja,rn, estimasikanlah laju aiiran di antara kedua penainpungtersehut. Asumsikan temperatur 20"C.

7.69 Sebuah pompa dengan efisiensi 88% digunakan untuk mengalirkan air 30oC dari sebuah penampung rendah melalui sebuah pipabesi galvanisir berdiameter 8 cm ke sebuzLh penampung yang lebih tinggi yang perrnukaannya terletak 40 m di atas permukaan

penamp-ung yang lebih rendah. Pipa terse'out memiliki panjang total 200 m. Estimasikanlah kebutuhan daya untuk laju aliran0.04 m3/s. Berapakah jarak maksimum dari penampung yang rendah di mana pompa dapat diletakkan jika pipa horizontaltersebut berada 10 m di bawah permukaan penampung yang rendah'?

7,70 Sebuah turbin dengan efisiensi 90% beroperasi di antara dua penampung yang dihubungkan dengan sebuah pipa besi cordengan panjang 200 m dan diameter 40 cm yang mengalirkan 0.8 m3/s air 20"C. Estimasikanlah keluaran daya dari turbinjika perbedaan ketinggian di antara kedua permukaan penampung adalah 40 m.

7.71 Kurva karakteristik pompa, yang ditunjuk-lian dalam Gbr.7.18, menghubungkan efisiensi dan head pompa (lihar Pers. (4.25))

untuk pompa di dalam soai ini dengan laju alirannya. Jika pompa digunakan untuk memindahkan air 20'C dari sebuah

penampung rendah pada ketinggian 20 m ke sebuah penampung tinggi pada ketinggian 60 m melalui sebuah pipa besi cordengan panjang 200 m dan diameter l6 cm, estimasikanlah laju aliran dan kebutuhan dayanya.

75

H, (m)

50

25

0,1 0,2 0,3

g (m3/s)

Gambar 7.18

Aliran Saluran Terbuka7,72 Air mengalir pada kedalaman 80 cm di dalam sebuah saluran terbuka pada kemiringan 0,0012. Tentukanlah tegangan geser

rata-rata yang bekerja pada dinding-dinding saluran jika potongan-lintang saluran adalah (a) segiempat dengan lebar 140 cmdan (D) lingkaran berdiameter 3,2 m. (Gambarlah sebuah volume kontrol dan jumlahkan gaya-gayanya).

7.73 Air mengalir di dalam sebuah saluran segiempat dengan lebar 2 m yang terbuat dari beton halus dengan kemiringan 0,001pada kedalaman 80 cm. Estimasikanlah laju alirannya dengan menggunakan (a) persamaan Chezy-Manning dan (b) diagramMoody.

7.74 Air tidak boleh melebihi kedalaman 120 cm di dalam sebuah saluran beton halus segiempat dengan lebar 2 m pada kemiringan0,001. Berapakah laju alirannya pada kedalaman tersebut? (rz) Gunakan persamaan Chezy*Manning dan (D) diagram Moody.

7.75 Estimasikanlah laju aliran di dalam saluran yang ditunjukkan dalam Gbr. 7.19 jlka kemiringannya adalah 0,0014. Sisi-sisinyamemiliki kemiringan 45o. (a) Gunakan persamaan Chezy-Manning dan (&) persamaan Darcy-Weisbach. (c) Seiain itu, hitunglahtegangan geser rata-rata pada dinding-dindingnya.

7.76 Air mengalir di dalam got (beton halus) berdiameter 2 m dengan S = 0.0016. Estimasikanlah laju alirannya jika kedalamannyaadalah (a) 50, (b) 100, (c) 150, dan (c) 199 cm.

7.17 Air mengalir di dalam got (beton halus) berdiameter 120 cm dengan S = 0,001 dengan laju aliran 0,4 m3/s. Berapakah perkiraankedalaman alirannya?

\r

100

f<

50

25

100

140 cm

Gambar 7.19




Jawaban-jawaban untuk Aliran-aliran Tambahan

7.ll (a) 0,1007 m/s (b) 0,0367 m/s (c) 1,8 m/s (4 1,51 m/s

7.12Sangat turbulen

7.13 Turbulen

7.14 Laminar

7.15 (a) 16,4 m, 8,2 m (b) 25,1 m, 12,5 m (c) 34,7 m, 17,4 m (d) 45,1 m,22'6 m

7.16 Ya. ya.

7.17 4,8 m, 0,283 m/s.

7.18 (a) 1,94 m, 3,87 m (b) 0,2 m, 2,4 m

7.19 Lihat soal yang diberikan



7.22 Lihat soal yang diberikan7.23 Lihat soal yang diberikan

7.24 (a) 0,448 mls (b) 2950 (9) 0,16 Pa (d) o'02t7

7,25 (a) 1114 Pa, bukan laminar (b) 153 kPa, laminar (c) 594 kPa, laminar

7.26 (a) 0,219" ke arah bawah

7.27 (a) 200,6 kPa (D) -191.8 kPa

7.28 0,0091 Pa, 0,04, 3,13 m, 36,4 Pa

7.29 1,414 cm, I cm

7.30 sina lzltvtyr2o), 0,376

7.31 4,1, r4,8,0,0117 m3/s

7.32 0,035 N/m2

7.33 2Ub2

7.34 6yUlb2

7.35 (a) 0,0006 m3/s, 180 Pa (b) 0,0093 m3/s,51,5 Pa (c) 0,0024 m3/s,264kPa

7.36 0,000653 m3/s, 0,00098 N/m2

7.37 (a) -125 Palm (b) 125 Patm (c) 375 Pa/m (A 4,25 Palm

7.38 (a) 2,83 m/s (&) -2,83 m/s (c) 4,942 rnls (A L37 rrls

7.39 12,6 N.m

7.40 565 N

7.41 2tt1tr3ra2Ll6

7.42 (a) 0,346 N'm (b) 0.339 N:m

7.43 539(0,0016/r - r), 0,325 N'm, 136 W

7.44 r = 4rcpr?rirorlQ| -rl)7.45 Lihat soal yang diberikan

7.46 (a) halus (D) kasar (c) kasar

7.47 (a) 0,047 m/s (b) 0,474 mls (c) 4,6 m/s


7.4g (a) 7,3 s*r,4,4 Pa, 0,00045 m (b) 4go s-1,290 Pa,0,03 m (c) 45,200 s-1, 27 Wa,2,7 m

7.50 0,63 m/s, 0.125 m

7.51 (a) 0,024 (b) 275 kPa (c) l2,4 trls (fl 1'82 mm

7.52 (a) 0,0255 (b) 292kPa (c) 11,9 m/s (A l'7'7 mm

119



I2OALIRAN-ALIRAN INTERNAL

IBAB 7

7.53 (a) 0,0275 (b) 315 kpa (c) 12,5 rn/s @) t,7t mm.54 (a) 9,7 m (b) 9,55 m7.55 (a) tt,3 m, tl,t m (b) 15,1 m, 15,2m (c) t6,t m, 16,5m7.56 -343 kpa, 4,98 m

7'57 (a) 0,033 m3/s (b) 0,032 m3ts k) 0,022 m3/s (a 0,022m3ts.58 0,0093 m3/s, 0,031 kg/s

7.59 5,6 cm

7.60 (a) 3,5 cm @) 3,9 cm7.61 8,4 cm

\u/ J'7 ettt (c) 3'9 cm

7.62 18,8 kPa

7.63 0,00063, m3ls


7.65 (a) 19.8 m/s (b) 2,Ot m/s

7.66 0,995 m/s

7.67 1,56 m/s

7.68 1,725 rn/s

7.69 138 hp, 6,7 m

7.70 173 hp

7.71 0.3 m3/s. 290 hp

7.72 (a) 4,39 pa@) 4,92 pa

7.73 (a) 2,45 m3/s (b) Z.5j m3ts7.74 (a) 0,422 m3/s (b) 0,435 m3/s

7.75 (a) 1,99 m3/s 1b) 2,09 m3/s @) 5,32 pa7.76 (a) 0,747 m3ts (b) 3,30 m3/s

7.77 0,45 m\u., J,JU ru /s (c) 6,27 m3ls (d) 6,59 m3/s



Ati ran -ali ran Eksternal

,,r$I$FAHULLTAN

.r$gfujqk,*liran eksternal melibatkan aliran-aliran bilangan Reynolds rendah maupun tinggi. Aliran bilangan Reynolds

.rendpt+:ti4,q.k terlalu diminati dalam kebanyakan aplikasi teknik dan tidak akan dibahas dalam buku ini; aliran di sekitar

r.b*tiianlbu.tlran semprotan, sedimentasi sungai, filamen-filamen dan sel-sel darah merah adalah contoh-contoh yang akani'diSpf4hk3q.saja kepada ahli-ahlinya. Aliran bilangan Reynolds tinggi sangat diminati oleh para insinyur dan mencakup di

srr1ar*n3*,atiran di sekitar airfoil, kendaraan, gedung, kabel jembatan, stadion, bilah-bilah turbin dan rambu-rambu.

:,,.:, h*eAm atran di bagian eksternal dari sebuah benda sangat sulit untuk dipecahkan, bahkan untuk benda-benda yang

.paling,s ana sekalipun seperti sebuah silinder yang panjang atau sebuah bola. Akan tetapi, kita dapat menyusun

,peig@ed:rersamaanyang memungkinkan kita untuk mengestimasi pertumbuhan dari lapisan kental tipis, lapisan batas,

ryang,I{r{-{rblth pada sebuah pelat datar atau hidung bulat sebuah kendaraan. Selain itu, tersedia koefisien-koefisien yang

,:teiak;Oip$roleh melalui eksperimen yang memungkinkan gaya hambat dan gaya angkat untuk diteliti.

,,,,r r, ir$n,di sekitar benda tumpul melibatkan daerah separasi, suatu daerah di mana aliran terlepas dari benria

trden,r&qr,nkiltuk sebuah daerah resirkulasi di bagian hilir, seperti digambarkan dalam Gbr. 8.1. Wake, daerah yang

,#pggg*ru:viskositas, juga terbentuk; ini adalah daerah difusif yang terus membesar (sampai jarak tertentu ke bagian

,,**t*r,,'* e 1_annya lebih rendah daripada kecepatan arus bebas V). Lapisan batas laminar terbentuk di dekat bagian

:de,,paa'.dar,i'benda yang diikuti oleh lapisan batas turbulen seperti ditunjukkan dalam Gbr. 8.1. Aliran tak-kenta1, yang

1*idng ii,*i*ebut arus bebas, terjadi di bagian depan benda dan di iuar lapisan batas, daerah separasi dan wake. Aliran

,d. ,henda ramping (streamline) memiliki semua komponen yang sama seperli dalam Gbr. 8.1 kecuali daerah

,seearas,iffi..{idak signifikan dan wake-nya jauh lebih kecil.

Titik stagnasi

Titik seParasi Daerah seParasi

Gambar 8.1 Detail dari aliran di sekitar benda tumpul

t2t



r22 ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAL [BAB 8

Aliran arus bebas tak-kental biasanya irotasional walaupun dapat juga berupa aliran rotasional dengan vortisitas,misalnya, aliran udara di dekat batang pohon atau air di dekat tanah di sekitar sebuah tiang di dalam sungai; aliranmenggali sebuah lekukan di dalam pasir di depan tiang dan udara menggali lekukan yang serupa di dalam salju di depanpohon, suatu pengamatan yang cukup menarik. Vortisitas di dalam udara atau air yang mendekat menyebabkan terjadinyafenomena yang teramati tersebut.

Harus diperhatikan bahwa batas dari daerah separasi yang ditunjukkan adalah lokasi rata-ratanya. Daerah separasi itu

sendiri sangat tak-tunak dan dapat secara perlahan-lahan saling bertukar massa dengan arus bebas walaupun streamline-streamline rata-rata-waktunya tetap berada di luar daerah separasi. Selain itu, daerah separasi selalu berada di dalamwake.

Hal yang paling ingin diketahui dari aliran di sekitar benda tumpul adalah gaya hambatnya, gaya yang diberikanoleh aliran pada benda ke arah aliran*. Gar-a angkat adalah gayayang diberikan ke arah tegak lurus terhadap aliran daningin diketahui pada airfoil dan benda-benda streamline. Gaya gambat Frdan gaya angkat,F, masing-masing diberikandalam bentuk koefisien goya hambat C, dan koefisien gaya angkat Cr_, oleh

F, = i,pAv2CL (8,1 )

di mana, untuk benda tumpul, luas A adalah luas proyeksi pada bidang yang tegak lurus terhadap arah aliran dan untukluas airfoil A adalah chord Qarak dari hidung ke tepi belakang) dikalikan dengan panjang.

Gaya yang disebabkan oleh tekanan rendah di daerah separasi mendominasi gaya hambat pada benda tumpul, yangmerupakan subjek dari Subbab 8.2. Tegangan kental yang bekerja pada dan paralel terhadap setiap elemen batas dapatdiabaikan sehingga lapisan batas pada permukaan benda tumpul tidak diperhatikan. Hal yang berlawanan terjadi padaairfoil, yang merupakan subjek dari Subbab 8.3; gaya hambat utamanya disebabkan oleh tegangan kental yang bekerjapada elemen-elemen batas. Dengan demikian, lapisan batas yang terbentuk pada benda streamline sangat ingin diketahui.Keinginan inilah yang memotivasi banyak studi mengenai lapisan batas. Dasar-dasar teori lapisan batas akan diberikandalam Subbab 8.5. Akan tetapi terlebih dahulu kita harus mengetahui aliran tak-kental di luar lapisan batas (Gbr. 8.1).Oleh karena itu, teori aliran tak-kental akan diberikan dalam Subbab 8.4. Ketika menyelesaikan aliran tak-kental, lapisanbatas dapat diabaikan karena sangat tipis. Solusi aliran tak-kental memberikan gaya angkat, yang tidak terpengaruhsecara signifikan oleh lapisan batas yang kental, dan distribusi tekanan pada permukaan benda dan juga kecepatan padapermukaan tersebut (karena penyelesaian tak-kental mengabaikan efek-efek viskositas, fluida tidak melekat ke perbatasandan selip melewatinya). Tekanan dan kecepatan di permukaan diperlukan dalam penyelesaian lapisan batas.

8.2 ALIRAN DI SEKITAR BENDA TUMPUL

8.2.1 Koefisien Gaya Hambat

Parameter aliran utama yang mempengaruhi gaya hambat di sekitar benda tumpul adalah bilangan Reynolds. Jika tidakterdapat permukaan bebas, koefisien gaya hambat untuk silinder panjang dan bola baik yang halus maupun yang kasardiberikan dalam Gbr. 8.2; nilai-nilai untuk silinder dan bola streamline juga diberikan.

Separasi selalu terjadi di dalam aliran fluida di sekitar benda tumpul jika bilangan Reynoldsnya cukup tinggi. Akantetapi, pada bilangan Reynolds yang rendah (disebut aliran Stokes jika Re < 5), tidak terjadi separasi dan koefisien gayahambatnya, untuk bola, diberikan oleh

24'D - Re

Fo=l pAV2C, dan

Re<l (8 2)

Separasi terjadi untuk Re > 10 yang dimulai dari area kecil di bagian belakang bola sampai daerah separasi mencapaimaksimum pada Re = 1000. Koe{isien gaya hambatnya kemudian menjadi relatif konstan sampai terjadi penurunan tajamdi sekitar Re = 2 x 105. Penurunan tajam ini disebabkan oleh transisi dari lapisan batas tepat sebelum separasi mengalamitransisi dari aliran laminar menjadi aliran turbulen. Lapisan batas turbulen menyimpan jauh lebih banyak momentum dandapat memindahkan daerah separasi lebih ke belakang; lihat perbandingannya dalam Gbr. 8.3. Penurunan tajam padagaya hambat dapat mencapai sebanyak 807o. Permukaan dari suatu benda dapat dikasarkan untuk menyebabkan lapisanbatasnya mengalami transisi lebih dini; lekukan-lekukan pada bola golf dapat melakukan hal ini dan menambah jarakterbang sampai sebanyak 100 persen jika dibandingkan dengan jarak terbang bola yang halus.

Setelah penurunan tajam ini, koefisien gaya hambat meningkat lagi dengan naiknya bilangan Reynolds. Data eksperimentidak menyediakan koefisien gaya hambat baik untuk bola maupun silinder untuk bilangan Reynolds yang tinggi. Nilai

* Sebenarnya, benda bergerak melalui fluida yang diam. Untuk menciptakan aliran tunak, fluida tligerakkan melalui benda yang dam, seperti di dalam

laboratorium; tekanan dan gayanya tetap sama. Untuk memperoleh kecepatan aktualnya, kecepatan aliran dikurangkan dari kecepatan pada setiaptitik.



I

\ Silinder bulat halus

S jlinder karsar'nJu;

-nrrJ,

----+

\*=-:tJOla KaSar

;J,stream I i ne

Gi\IG

-s\:

BAB 8] ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAL

CD 0.2

0.1

a 16 8101 2 .1 68101 2 .1 6 8101 2

Re = VDlv

4 6 810s 10h 4 6 8t07

Gambar 8.2 Koefisien gaya hambat untuk aliran di sekitar bola dan silinder panjang

Tepi lapisan batas

Gambar 8.3 Profil kecepatan laminar dan turbuien untuk lapisan batas dengan ketebalan yang sama

0,2 untuk bola yang halus dan 0,4 untuk silinder panjang yang halus biasanya digunakan untuk bilangan Reynolds yang

melebihi 106.Perampingan (streamlining,) dapat sangat menurunkan koefisien gaya hambat pada benda tumpul. Koelisien gaya

hambat untuk silinder dan bola streamline ditunjukkan dalam Gbr. 8.2. Sudut dalam pada ujung belakangnya tidak boleh

melebihi 20' jika daerah separasinya ingin diminimalkan. Gaya hambat yang disebabkan oleh tegangall geser yang bekerja

pada permukaan yang sudah diperluas tentu saja akan meningkat pada benda streamline, akan tetapi gaya hambat yang

disebabkan oleh tekanan rendah akan menjadi berkurang lebih banyak sehingga gaya hambat totalnya akan menjadi lebih

kecil. Selain itu, streamlining juga mengeliminasi getaran yang sering terjadi ketika vorteks-vofteks dilepaskan dari sebuah

benda tumpul.

Untuk silinder dengan panjang terhingga (finite) yang memiliki ujung-ujung lepas, koelisien gaya hambatnya harus

dikurangi dengan menggunakan data dalam Tabel. 8.1. Jika silinder dengan panjang terhingga memiliki satu ujung yang

tertanam pada sebuah permukaan padat, panjang dari silinder tersebut menjadi dua kali lipat. Perhatikan bahwa LID dati

silinder dengan ujung-ujung lepas harus menjadi sangat besar sebelum efek-efek ujungnya menjadi tidak signifikan.

Tabel 8.1 Koefisien Gaya Hambat untuk Silinder Bulatdengan Panjang Terhingga (Finite)* dan Ujung'ujung Lepast.

I-ID cDlcD_

123

)r)

1,0

0.80.6

0.06

0.04

0,02

*Cr- adalah koefisien gaya hambat dari Gbr. 8.2.

iJika satu ujung ditanamkan ke permukaan padat.

,10

20

10

5

-)

2

I

1

0,82

0,76

0.68

0,62

0,62

0,57

0,53

panjang silinder menjadi dua kali lipat



124 ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAL IBAB 8

Koefisien gaya hambat untuk sejumlah bentuk-bentuk umum yang tidak sensitif terhadap bilangan Reynolcls diberikandalam Tabel 8.2.

Tabel 8.2 Koefisien Gaya Hambat untuk Berbagai Benda Tumpul.

Benda CDe

Silinder bujursangkar dengan lebar w

Pelat persegiempat

Piringan bulat

Parasut

Mobil Penumpang rnodern

Bus kecil

t* > lOaLln'=lr >ro4

I- > 103

lzo , ro'ttw=15>1ol

I t rto'

>103

>107

>105

>10s

2,01,1

2,4

1,5

1,2

1,1

1,1

t,4

0,29

0,42

1,1oq

o5

0,96

0;76

0.70

Sepeda

Truk kecil

Ipengendara tegakI pengendara menunduk

Idi b.takang kendaraan lain

standar

dengan deflektor streamline

dengan deflektor dan penutup celah

CONTOH 8.{ setruah tiang setinggi 6 m berdiameter 5 cm yang ditanam di dalam beton menyangga *ebuah tanda berbentukbulat deagat diameter 4 m. Estimasikan msme{ maksimum yang harus ditahan oleh beton unfirk kecepatan angin 30 m/s.

Penyeleeaian: Untuk memperoleh momen maksimum, angin diasumsikan mene{pa tegak lurus pada tanda. Dari Tabel g.2,koefrsien gaya hambat untuk piringan adalah 1,1. Mornen yaag

diakibatkan oleh gaya hambatnya, yang bekerja di titik tengahtanda tersebut. adalah

Mt= Fprx Ll = *pArV2Crrx Lt=+x l,ZZ x nx 22x 302x 1,1 x g= 60 700 N.m

di mana densitas pada ketinggian 0 dari permukaan laut digunakan karena data keringgian tidak d.iberikan. Momen yang disebabkauoleh tiang adalah

r ..) l --z= Fozx Lr=$pArI?Corx Lr* lx 1,22x 0,05 x 6x 3d x 0,7 x 3 = 346 N.m

dengan menggunakan bilangan Reynolds Re = 3O x 0,05/1,5 x 10-s = l0-s dan meugasumsikan tingkat fluktuasi yang tinggr didatam aliran udara, artinya, silinder kasar. Faktor pengali dari Tabel 8.1 tidak digunakan karena ridak ada ujung yurg l"p"r.

Momen yang harus ditahan oleh dasar beton adalah

'M = Mt * Mre 60 ?00 + 346 = 61 046 N.m

8.2.2 Pelepasan Vorteks

Benda-benda yang berbentuk silinder panjang yang terekspos pada aliran fluida dapat menunjukkan fenomena pelepasanvorteks pada bilangan Reynolds yang relatif rendah. Vorteks-vorteks dilepaskan dari kabel listrik, jembatan, menara dankabel komunikasi bawah air dan pada kenyataannya dapat menyebabkan kerusakan. Kita akan melihat vorteks-vorteksyang dilepaskan dari sebuah silinder bulat yang panjang. Pelepasan terjadi secara bergantian dari setiap sisi silinder,seperti digambarkan dalam Gbr. 8.4. Frekuensi pelepasan f, Hz, dlberikan oleh bilangan Strouhal,

-fDst =? (S.J)

Jika frekuensi pelepasan ini sama dengan atau merupakan kelipatan dari frekuensi struktur, maka terdapat kemungkinanterjadinya kerusakan yang disebabkan oleh resonansi.



Arus bebas

BAB 8] ALIRAN.ALIRAN EKSTERNAL

Vorteks yang sedang dilepas

125

(8.4)

Voneks yang

sudah dilepas

(./-\ f) ^,ro))

=-t fi-l:_

L, \'D

1-

f$= a,x sehingsa

\^.t/o))\\7

',71 r- ) - 91* .,^-"u.-,^.-\ Voneks yang --,'sudah dilepaf

Gambar 8.4 Vorteks-vorteks yang dilepaskan dari sebuah silinder.

n)o

0,18

St

0,16

0.14

r00 400 1000

Re = VDht

10 000

Gambar 8.5 Biiangan Strouhal untuk pelepasan vorteks dari sebuah silinder.

Bilangan Strouhal tidak dapat dihitung melalui persamaan; nilainya ditentukan melalui eksperimen dan ditunjukkan

dalam Gbr. 8.5. Perhatikan bahwa pelepasan vorteks dimulai pada Re = 40 dan untuk Re 2 300 bilangan Strouhal pada

intinya menjadi independen terhadap bilangan Reynolds dan sama dengan kira-kira 0,21. Fenomena pelepasan vorteksmenghilang untuk Re > 104.

CONTOH 8.2 Sebuah silinder berdiameter 6 cm digunakan untuk mengukur kecepatan arus udara yang bergerak pelan, Dua

iubang tekanaa digunakan untuk menentukan bahwa vorteks-vorteks dilepaskan dengan frekuensi 4 Hz. Tentukanlah kecepatan

dari arus udara tersebut.

Penyelesaian: Asumsikan bilangan Strouhalnya berada di dalam rentang 300 < Re < l0 000' Maka

n = q# = 1,14. m/s

Pengukuran kecepatan arus angin serendah ini sangat sulit dilakukan. Pengukuran terhadap vorteks-vorteks yang dilepaskan

merupakar satu cara untuk melakukanny4.

8.2.3 Kavitasi

Ketika fluida mengalir dari daerah bertekanan relatif tinggi ke daerah bertekanan rendah, kavitctsi dapat terjadi, yang

berarti, tekanan menjadi sangat rendah sehingga fluida menguap. Ini dapat terjadi di dalam aliran pipa di mana terdapat

kontraksi dan ekspansi, pada bilah-bilah pompa sentrifugal, di dekat ujung baling.baling, pada hidrofoil dan torpedo.

Kavitasi pada kenyatannya dapat merusakkan baling-baling dan poros besi (yang disebabkan oleh getaran) pada kapal

dan menyebabkan pompa berhenti berfungsi dengan baik. Walaupun demikian, kavitasi dapat menjadi berguna dalam

penghancuran batu ginjal, alat pembersih ultrasonik dan dalam memperbaiki kinerja torpedo.

Kavitasi teriadi jika bilangan kavitasi o, yang didefinisikan

p- - p,,()=-iPv'

nilainya lebih kecil daripada bilangan kavitasi kritis ou,,,, yang bergantung pada geometri dan bilangan Reynolds.Dalam

Pers. (8.4) p- adalah tekanan absolut di dalam arus bebas dan p, adalah tekanan uap dari cairan.

Y\

Sebaran

data

,/

/

/



126 ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAL

Koeflsien gaya hambat dari sebuah benda yang mengalami kavitasi diberikan oleh

IBAB 8

Cu(.o)= Cr(0)(1 +o) (8.5)

di rnana Co(0) diberikan dalam Tabel 8.3 untuk beberapa bencla untuk Re = 105.

Hidrofoil, suatu bentuk sejenis airfoil yang digunakan untuk mengangkat kendaraan air di atas permukaan air, sama

sekali tidak dapat beroperasi tanpa kavitasi. Luas dan bilangan Reynoldsnya didasarkan pada panjang chord. Gaya hambat

dan gaya angkat bersama-sama dengan bilangan kavitasi kritisnnya diberikan dalam Tabel 8.4.

Tabel 8.3 Koefisien Gaya Hambat untuk

Bilangan Kavitasi -\ol pada Re = 105.

Geometri Sudut cD(o)

Bola

Piringan (bundar)

Silinder bundar

Pelat datar (segiempat)

Baji dua dimensi

Kerucut (aksi-simetrik)

rl20

lqo

1aolrotl20

l,uI60[,0

0,30

0,8

0.50

0,88

0,74

0,64

0,49

0,28

0,6.1

0.52

0,38

0.20

Tabel 8.4 Koefisien Gaya Hambat dan Gaya Angkat dan

Bilangan Kavitasi Kritis untuk Hidrofoil untuk 10s < Re < 106.

Sudut (') Koefisien

gaya angkat

Koefisien Bilangan

gaya hambat kavitasi kritis

.)

0

2

4

6

8

l0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,95

1,10

r,22

0,014

0,014

0,015

0,018

0,022

0,03

0,04

o5

0,6

0,'7

0,8

t,2

1,8

)5

CONTOH 8,3 Sebuah hidrofoil dengan panjang 2 m dan chord 40 cm beropera^si 30 cm di bawah permukaan air dengan sudut

serang 6o. Untuk kecepatan 16 m/s tentukanlah gaya hambat dan gaya angkatnya dan tentukanlah apakah te4adi kavitasi pada

hidroloit.Penyelesaian: Tekanan p- hzLrus memiliki nilai absolut. Nilainya adalah

p*= yh * P",-= 9800 x 0,3 + 100 000 = 102 900 Pa atrs

Dengan mengasumsikan temperatur air sekitar 15oC, tekanan uapnya adalah 1600 Pa (Tabel C.1) dan bilangan kavitasinya

adalah

o =P-- p:

= lo2 9oo - l7o5- - 6.70

P"- o'5xlooox16r

Ini lebih kecil daripada bilangan kavitasi kritis 1,2 yang diberikan dalam Tabel 8.4.dan berarti terjadi kavitas:i. Perhatikan bahwa

kita dapat juga menggunakan p" = 0, seperti yang sering dilakukan, dengan akurasi yang cukup baik.

Gaya hambat dan gaya angkatnya adalah

F, = + pv2 ACr= ] x t000 x 162x 2x0.4 x0.022= 2250 N

l.

F, = * pv2 ACr= ] x 1000 x 162x 2 x0,4x 0.95 = 97 300N




8.2.4 Massa Tambahan

Ketika sebuah benda dipercepat di dalam fluida, sebagian dari fluida yang mengelilinginya juga dipercepat. Ini memerlukan

gaya yang lebih besar daripada yang diperlukan untuk mempercepat bendanya saja. Untuk memperhitungkan kenaikan

massa yang harus diberikan percepatan, massa tambahan mo ditambahkan saja ke benda untuk menghitung gayanya.

Untuk pergerakan pada bidang horizontal, gaya yang diperlukan untuk mempercepat suatu benda diberikan oleh

F-Fr-(m+*,)Nd, (8.6)

di mana FD adalah gaya hambat. Jika benda dipercepat dari kondisi diam, gaya hambat ini adalah nol.

Massa tambahan berhubungan dengan massa fluida mf yafig dipindahkan oleh benda. Hubungan

mo = km, G'n

memberikan massa tambahan jika faktor k diketahui. Untuk sebuah bola, k = O,5i untuk elips yang sumbu panjangnya

dua kali lipat dari sumbu pendeknya dan bergerak ke arah sumbu panjangnya, k = 0,2; dan untuk silinder panjang yang

bergerak tegak lurus terhadap sumbunya, ft = 1.0. Nilai-nilai ini adalah untuk aliran tak-kental jadi digunakan ketika

diawali dari kondisi diam atau pada kecepatan rendah.

Untuk benda padat yang dipercepat di udara massa tambahan dapat diabaikan, akan tetapi untuk benda yang dipercepat

di dalam cairan, massa tambahan harus dimasukkan.

CONTOH 8.4 Sebuah bola dengan gravitasi spesifik 3 dilepaskan dari kondisi diam di dalam sekumpulan air. Tentukanlah

percepatan awalnya.

Penyelesaian: Aplikasikan hukum kedua Newton dengan memasukkan gaya apung:

W-Fu=(m+*''#

(S%,, - 16)#66I

{SP,i. + O,5P6r)+6ot^ff

'# =t}ff=5'6m/s2maka kita telah mengunakan I - pg.

8.3 ALIRAN DI SEKITAR AIRFOIL

Airfoil memiliki bentuk streamline sehingga separasi tidak terjadi. Airfoil yang didesain untuk beroperasi pada kecepatan

subsonik memiliki ujung depan yang bulat sedangkan yang didesain untuk kecepatan supersonik bisa memiliki ujung

depan yang runcing. Gaya hambat pada airfoil terutama disebabkan oleh tegangan geser yang bekerja di permukaannya;

terdapat sedikit gaya hambat yang disebabkan oleh distribusi tekanan. Lapisan batas, yang membatasi semua tegangan

geser, yang terbentuk pada airfoil sangat tipis (lihat sketsa dalam Gbr. 8.6) dan dapat diabaikan ketika menyelesaikan

aliran tak-kental di sekitar airfoil. Distribusi tekanan yang ditentukan dari solusi aliran tak-kental dipengaruhi sedikit sekali

oleh kehadiran lapisan batas. Oleh karena itu, gaya angkat pada airfoil diestimasi dengan mengabaikan lapisan batas dan

mengintegralkan distribusi tekanan dari aliran tak-kental. Solusi aliran tak-kental juga memberikan kecepatan di tepi luar

lapisan batas yang tipis, yang merupakan suatu kondisi batas yang dibutuhkan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan

lapisan batas; solusi dari persamaan-persamaan lapisan batas akan diberikan dalam Subbab 8.5.

Gaya angkat dangaya hambat pada airfoil tidak akan dihitung dari kondisi aliran akan tetapi dari nilai-nilai grafis

koefisien gaya angkat dan gaya hambat. Nilai-nilai ini ditunjukkan dalam Gbr. 8.7 untuk airfoil konvensional dengan

Re = 9 x 106. Koefisien gaya angkat dan gaya hambat dideflnisikan

121

F,/-_Ll.-_'I-- r ..,)

1 PCLV.

FD(8.8)

L p'tv'

Lapisan batas

Gambar 8.6 Aliran di sekitar airfoil pada sudut serang u



128 AI,IRAN-ALIRAN EKSTERNAL [BAB 8

CL

t.2

0,8

0.4

0 4 8 12 16 20

c{

Gambar 8.7 Koefisien gaya angkat dan gaya hambat untuk airfoil konvensional pada Re = 9 x 106.

Airfoil konvensional memiliki bentuk tidak simetris dan didesain untuk memberikan gaya angkat positif pada sudut serang

nol, seperti ditunjukkan dalam Gbr. 8.7. Gaya angkat memiliki proporsi langsung dengan sudut serang hingga sebelum

teriadi stall. Koefisiengaya hambat juga

memilikiproporsi

langsung dengan sudut serang hingga kira-kira 5'. Kondisijelajah berada pada sudut serang kira-kira 5'di mana gaya hambatnya minimum pada C, = 0,3 seperti ditunjukkan.Gaya angkat utamanya dipasok oleh sayap pada pesawat terbang akan tetapi panjang efektifnya adalah jarak dari ujungke ujung, yang merupakan rentang sayapnya, karena badan pesawat juga memberikan sedikit gaya angkat.

Koefisien gaya hambat pada intinya memiliki nilai konstan sampai bilangan Mach sekitar 0,75. Nilainya kemudianmeningkat l0 kalinya sampai bilangan Mach I tercapai dan kemudian berkurang secara perlahan. Jadi bilangan Machjelajah di antara 0,75 dan 1,5 dihindari untuk menghindari koefisien gaya hambat yang tinggi. Airfoil swept-back digunakan

karena yang digunakan untuk menghitung bilangan Mach adalah komponen kecepatan nonnal, sehingga memungkinkandicapainya kecepatdn pesawat yang lebih tinggi sebelum mencapai koeflsien gaya hambat yang tinggi.

Flap-flap bercelah juga digunakan untuk memberikan gaya angkat yang lebih besar selama lepas landas dan pendaratan.

Udara mengalir dari daerah bertekanan tinggi di bagian bawah airifoil melalui sebuah celah untuk memberikan energi pada

udara yang mengalir pelan di dalam lapisan batas di sisi atas airfoil sehingga mengurangi tendensi untuk terlepas dan

mengalami stall. Koelisien gaya angkat dapat mencapai 2,5 dengan flap celah tunggal dan 3,2 dengan celah ganda.

CONTOH 8.5 Tentukanlah kecepatan lepas landas untuk sebuah pesawat lerbang yang berbobot l5 000 N termasuk muaranxyajika rentang sayapnya adalah 15 m dengan chord 2 m. Asumsikan sudut lepas landas 8o.

Penyelesaian: Asumsikan airfoil konvensional dan gunakan koefisien gaya angkat dari Gambar 8.7 sekitar 0.g5. Kecepatannya

diperoleh dari persamaan untuk koefisien gaya angkat

C,=.FL ^' \ pcLV"

0.004 0.008 0,012 0,0 t 6

0,95 = .'.V=30m/s

Jawabannya dibulatkan ke dua digit signifikan karena koefisien gaya angkat 0,95 dibaca dari gambar.

8.4 ALIRAN POTENSIAL

8.4.1 Dasar-dasar

Ketika sebuah benda bergerak di dalam suatu fluida yang tadinya diam, tidak terdapat vortisitas di dalam fluida yang

belum terganggu. Untuk menciptakan aliran tunak, aliran seragam dengan kecepatan dari benda digabungkan dengan medan

aliran sehingga aliran yang bebas vortisitas bergerak melewati benda yang diam, seperti di dalam terowongan angin.Satu-satunya cara vortisitas masuk ke dalam aliran adalah melalui efek-efek viskositas. Untuk aliran bilangan Reynoldstinggi, efek-efek viskositas terkonsentrasi di dalam lapisan batas dan wake (termasuk daerah separasi). Untuk benda

streamline dan pada permukaan depan dari benda tumpul, aiiran di luar lapisan batas terbebas dari efek-efek viskositas

dan vortisitas jadi merupakan aliran tak-kental. Solusi dari soal aiiran tak-kental memberikan medan kecepatan dan medan

tekanan di seputar benda. Tekanan tidak terpengaruh secara signifikan oleh lapisan batas sehingga menghasilkan gaya

angkat jika diintegralkan di seluruh permukaan benda. Kecepatan di perbatasan benda* yang diberikan oleh solusi alirantak-kental alaq menjadi,..lecepatan di tepi luar dari lapisan batas yang tipis, yang dibutuhkan dalam solusi lapisan batas

{. i r - '.j*

i- lifla"f.t-"f.t

ii;f"H#,tEFU;r,OOun, O,r,Ou tidak melekat ke perbatasan tapi dapat selip.

1,2x2x



BAB 8] AI-IRAN-ALIRAN EKSTERNAL

(akan diberikan dalam Subbab 8.5). Jadi, sebelum lapisan batas pada suatu benda dapat dianalisis, aliran tak-kentalnya

harus diketahui.

Aliran potensial (atau aliran irotasional) adaiah aliran di mana medan alirannya dapat diekspresikan sebagai gradien

dari sebuah fungsi skalar, yang berarti,

129

V=V0

di mana @ adalah potensial kecepatan. Untuk aliran potensial, vortisitasnya nol

al-VxV=0Ini dapat ditunjukkan benar dengan cara melakukan ekspansi dalam koordinat kartesian dan menggunakan Pers. (8.9;.

Untuk memahami mengapa aliran irotasional tidak dapat menghasilkan vortisitas perhatikan ketiga tipe gaya yang

bekerja pada sebuah elemen fluida berbentuk kubus; gaya tekanan dan gaya benda bekerja melalui pusat elemen dan

dengan demikian tidak dapat mengakibatkan gerakan berputar ke elemen tersebut. Hanya gaya-gaya geser kental yang dapat

memberikan gerakan berputar ke partikel-partikel fluida. Jadi, jika efek-efek viskositas tidak ada, vortisitas tidak dapat

masuk ke dalam aliran potensial. Hal ini juga dapat diamati dengan cara mengambll cttrl dari persamaan Navier-Stokes

(5.20).

Jika kecepatan diberikan oleh Pers. (8.9), persamaan kontinuitas (5.8) untuk aliran inkompresibel memberikan

(8.e)

(8. to)

(8.11)

(8.12)

(8.1J)

(.8.14)

(8./5)

(8.16t

V'VO = V2O = 0

yang adalah persamaan Lapiace yang,terkenal itu. Dalam koordinat kartesian ini dituliskan

aL*oi *o'g=t)dx' dy' dz'

,=N- dan ,=-dL" dr' 0r

Dengan menggunakan kondisi-kondisi batas yang diperlukan, persamaan ini dapat diselesaikan. Akan tetapi, ketimbang

mencoba menyelesaikan secara langsung soal nilai batas yang dihasilkan, kita akan membatasi minat kita pada aliran-

aliran datar, seperti misalnya airfoil dan benda-benda silinder, mengidentifikasi beberapa aliran sederhana yang memenuhi

persamaan Laplace dan kemudian menumpang-tindihkan aliran-aliran sederhana tersebut untuk membentuk aliran-aliran

yang lebih kompleks. Karena persamaah Laplace bersifat linier, aliran-aliran yang digabungkan juga akan memenuhi

persamaan Laplace.

Pertama-tama, kita akan mendefinisikan suatu fungsi skalar lagi yang akan.sangat berguna dalam studi kita. Untuk

aliran datar yang diinginkan, fungsi arus \r, didefinisikan sebagai

sehingga persamaan kontinuitas (5.8) dengan dwldz = 0 (untuk aliran datar) terpenuhi untuk semua aliran datar. Vortisitas,

Pers. (8.10) dan (3.14), selanjutnya memberikan

, =ludx _ ?, = _tV _ 3_',2-= o

dY dr" d)*

ty * D'y-=oal Er''

sehingga

Fungsi arus juga memenuhi persamaan Laplace. Jadi, dari persamaan-persamaan di atas kita memiliki

Ab dw

-" Dx Dl dan v= P=-Udv dx

Persamaan-persamaan di antara Q dan ty dalam Pers. (8.16) membentuk persamaan-persamaan Cauchy-Riemann dan A

dan y disebut sebagai fungsi-fungsi harmonik. Fungsi Q + iV adalah potensial kecepatan kompleks. Jadi teori variabel

kompleks yang sangat berguna dalam matematika dapat diaplikasikan pada subkelompok aliran fluida ini: aliran datar

tunak inkompresibel.

Tiga hal yang menarik di dalam persamaan-persamaan di atas adalah:

o Fungsi arus memiliki nilai konstan di sepanjang streamline.

o Streamline dan garis potential konstan berpotongan pada sudut siku-siku.

o Selisih fungsi-fungsi arus di antara dua streamline adalah laju aliran q per satuan kedalaman di antara kedua streamline,

berarti. Q = Vz- Vy

Kebenaran dari ketiga hal di atas akan ditunjukkan melalui contoh-contoh dan soal- MTLITLfc Pcrpmt*kaas

daa F{earsipan

Fropinsi Jawa ?jn*y




-0

-0

IBAB 8

G.1n

(8.18)

(8.1e)

(8.20)

(8.21)

(8.22)

(8.23)

(8.2s)

(8.26)

CONTOH 8.6 Tunjukkanlah bahwa yr memiliki nilai konstan di sepanjang streamline.

Penyelesaian: Suatu streamline adalah garis yang arahnya tangensial terhadap vektor kecepatan. lni diekspresikan dalam bentuk

vektorsebagaiYxdr=0,dimana,untukalirandatar(tidakadavariasi;),denganmenggunakandr=dxi+dyJmengambilbentuk a dy - v dx = 0. Dengan menggunakan Pers. (8.13). ini menjadi

d*a"**dr=oAx *-

Ini adalah definisi dai, dry dai- kalkulus. jadi dry = 0 di sepanjang streamline. atau, dalam kata lain, rg adalah konstan di sepanjang

streamline.

8.4.2 Beberapa Aliran Sederhana

Beberapa aliran sederhana yang akan diberikan di sini jauh lebih mudah dipahami dengan menggunakan koordinat polar

(silindris). Persamaan Laplace, persamaan kontinuitas dan ekspresi-ekspresi untuk komponen-komponen kecepatan untuk

aliran datar (Tabel 5.1) adalah

drV

dg'Y'v =

1r

+ *ly). i*r*,,. +#

,,= *= +# dan ,e= f, * = -uAt,

di mana ekspresi-ekspresi yang menghubungkan komponen-komponen kecepatan dengan fungsi arus telah dipilihsedemikian rupa sehingga persamaan kontinuitas selalu terpenuhi. Sekarang kita mendeflnisikan empat aliran sederhana

yang memenuhi persamaan Laplace.

Aliran seragam : V= U*y

Sumber garis '. V = {.oe

Vorteks : ttt =

\ln,

Doublet : \r=-P#i

Q- U*x

a= hr' 21t

o= e

lltq = - l -99f-3

Aliran-aliran datar sederhana ini digambarkan dalam Gbr. 8.8. Jika komponen y diinginkan untuk aliran uniform, hanya

tinggal menambahkan suku yang sesuai. Kekuatan sumber 4 di dalam sumber garis adalah laju aliran per satuan kedalaman;

dengan menambahkan tanda minus akan diperoleh sebuah sink. Kekuatan vorteks f adalah sirkulasi di sekeliling titikawal (origin), yang didefinisikan

p = $v.a. @.24)J

di mana t adalah kurva tertutup, biasanya sebuah tingt a.anl yang mengelilingi titik awal dengan arah jarum jam sebagai

arah positif. Tanda panah tebal ke arah negatif x merepresentasikan kekuatan doublet p dalam Gbr. 8.8(d). (Doublet

dapat dibayangkan sebagai sebuah sumber dan sebuah sink yang memiliki kekuatan yang sama yang dipisahkan oleh

jarak yang sangat kecil)

Komponen-komponen kecepatan cukup sering digunakan untuk aliran-aliran sederhana yang diberikan di sini. Untuk

koordinat-koordinat polar dan kartesian:

Aliran seragam :

Sumber garis : r, =

u=

Vorteks :

u =U*Y. = U-cos 0

q

2nrqx2tt xz + y2

v=0ve = -U*sin 0

Yo=0

,,- q y

LtL x- + y-

T,e - -2x,

,=Lzn

vr=0

"=-* f*v' l*v'

G.2n



@ = konstan


V = konstan

-/r

(d) Doublet

Empat aliran potensial bidang sederhana.

131

(c) Voneks

Gambar 8.8

Doublet

Keempat aliran sederhana ini dapat digabungkan untuk menciptakan aliran-aliran lebih kompleks yang diinginkan.

.'.0(r 0)=Alnr + f(0)

Selaniutnya, gunakan persamarm kedua dalam Pers' 8.19:

f , =

u=

aL =Lat{- =4lr ra0 r'

_ l.r cos 0)r;1

it

-l-l-(r' + )'')-

usin 0'0 - )r-

2nv=-p )(r + )-)"

(8.28)

CONTOH 8.7 Jika fungsi arus dari sebuah aliran diberikan sebagai tlr - A0, tentukanlah fungsi potensial @.

Penyelesaian: Kita gunakan Pers. (8.19) untuk menghubungkan fungsi arus dengan lungsi potensial dengan mengasumsikan

koordinat polar karena adanya @:

Karena kita hanya menginginkan derivatif-derivatif dari

tekanan, kita buat saja konstantanya menjadi 0 sehiagga

){yang berimplikasi ff =O sehingga/=konstan,

fungsi-fungsi potensial untuk memberikan medan kecepatan dan medan

A(r0)=41n'Jadi, kira lihat bahwa fungsi potensial dapat diperoleh jika fungsi arusnya diketahui. Selain itu, fungsi arus dapat diperoleh jika

fungsi potensialnya diketahui.

tat t df 0v; fij = i de = -T= o

8.4.3 Aliran-aliran Gabungan

Dengan menggabungkan aliran-aliran sederhana yang diperkenalkan dalam Subbab 8.4.2 kita dapat menciptakan aliran-

aliran datar yang paling kompleks sekalipun. Bagilah suatu permukaan, misalnya sebuah airfoil, menjadi sejumlah besar

segmen dan letakkan sumber-sumber atau sink-sink atau doublet-doublet di tengah dari setiap segmen; selain itu, tambahkan

aliran seragam dan vorteks. Selanjutnya, sesuaikan berbagai kekuatan yang ada sehingga komponen kecepatan normal pada

setiap segmen menjadi nol dan titik stagnasi belakangnya terletak di ujung belakang. Tentu saja untuk menciptakan aliran

di sekitar airfoil dibutuhkan program komputer. Kita tidak akan melakukannya di dalam buku ini tapi akan menunjukkanbagaimana aliran di sekitar silinder bulat dapat dibuat.




Gabungkan fungsi arus dari aliran seragam dan doublet

V0 0) = (./- - -ILd 0

Komponen kecepatan v, adalah (adikan ) = r sin e)

IBAB 8

(8.2e)

(8.J0)

(8.3 t)

U-cos0-{cosOr-

Sebuah silinder bulat terbentuk jika terdapat sebuah lingkaran yang tidak memiliki komponen kecepatan radial, artinya,

v, = 0 di r = r.. Jadikan yr = 0 dalam Pers. (8.30) dan peroleh

U cos e-+cos0=0 sehingg& r,=

" )v| ",ino- tlno=o .'._2u-sing=o"-- ili,-.,--'- rt

Pada radius ini u, = 0 untuk semua 0 jadi r = r. adalah sebuah streamline dan hasiinya adalah aliran di sekitar silinder.Titik stagnasi terjadi di mana kecepatannya 0; jika r - r, irri berarti di mana v6 = 0, artinya,

^liu

.,_1dy",-T ao

(8.32)

Jadi, dua titik stagnasi terjadi di I = 0" dan 180'. Pola streamline-nya akan menjadi seperti yang tampak pada sketsa

dalam Gbr. 8.9. Streamline yang buiat merepresentasikan silinder, yang biasanya padat, jadi yang kita inginkan acialah

aliran di bagian luar lingkaran. Untuk aliran nyata, akan terjadi daerah separasi di bagian belakang silinder akan tetapi

aliran di bagian depan (barangkali di seluruh paruh depan, tergantung dari bilangan Reynoldsnya) dapat diaproksirnasi

oleh aliran potensial yang ditunjukkan pada sketsa tersebut. Kecepatan yang terjadi di luar lapisan batas yang tipis yang

akan terbentuk pada silinder sebenarnya akan diaproksimasi sebagai kecepatan di permukaan silinder di dalam aliranpotensial ini, artinya, diberikan oleh

ve = -2U- sin 0 (8.J3)

Gambar 8.9 Aliran potensial di sekitar silinder bulat. (Garis putus-putus adalah garis @ konstan).

V

(b) f > 4nU_r,

Gambar 8.10 Aliran di sekitar silinder yang berotasi.



t34 ALIRAN.ALIRAN EKSTERNAL IBAB 8

8.5 ALIRAN LAPISAN BATAS

8.5.1 Informasi Umum

Tidak diragukan bahwa identifikasi terhadap lapisan batas diawali dari minat terhadap airfoil. Teori lapisan batas diawalidari pengamatan bahwa untuk aliran dengan bilangan Reynolds tinggi semua efek viskositas dapat dibatasi di dalam sebuah

lapisan tipis fluida di dekat permukaan. Di luar lapisan batas fluida bekerja sebagai fluida tak-kental karena efek-efek

viskositas dapat diabaikan. Jadi, teori aliran potensial yang diberikan dalam subbab sebelumnya memberikan informasikecepatan tepat di luar lapisan batas dan informasi tekanan di permukaan. Dalam subbab ini, kita akan memberikan

persamaan-persamaan diferensial maupun integral yang dibutuhkan untuk menyelesaikan distribusi kecepatan. Akan

tetapi, karena persamaan-persamaan tersebut sangat sulit diselesaikan untuk permukaan-permukaan melengkung, kita akan

membatasi pembahasan pada aliran di atas pelat datar dengan gradien tekanan nol.

Tepi luar dari lapisan batas tidak dapat dilihat jadi secara acak kita mendefinisikan ketebalannya 6(x), sebagaimana

ditunjukkan dalam Gbr. 8.11, sebagai locus titik-titik di mana kecepatannya memiliki nllai 99Vo dari kecepatan arus

bebas U(x) (kecepatan di permukaan yang diperoleh dari solusi aliran tak-kental). Ingatlah kembali bahwa tekanan di

permukaan tidak dipengaruhi oleh adanya lapisan batas yang tipis jadi tekanan di permukaan ini adalah tekanan dari

aliran tak-kental. Perhatikan bahwa sistem koordinat-xy- diorientasikan sedemikian rupa sehingga koordinat x terletakdi sepanjang permukaan; ini dilakukan untuk persamaan-persamaan lapisan batas dan dapat dilakukan karena lapisan

batasnya sangat tipis sehingga tidak terdapat suku-suku lengkungan yang muncul di dalam persamaan-persamaan yang

mendeskripsikannya.

Suatu lapisan batas bersifat laminar di dekat tepi depan atau di dekat titik stagnasi. Lapisan ini mengalami transisi

pada x. menjadi aliran turbulen jika memiliki panjang yang cukup, seperti ditunjukkan dalam Gbr. 8.12. Transisi initerjadi pada bilangan Reynolds kritis [J*xr/v = 5 x 105 pada pelat datar kaku yang halus di dalam aliran dengan gradien

tekanan nol yang memiliki intensitas fluktuasi arus bebas* dan U*xrlv = 3 x 105 untuk aliran pada pelat datar yang

kasar atau yang memiliki intensitas fluktuasi arus bebas yang tinggi (intensitasnya paling tidak 0,1). Daerah transisi darialiran laminar menjadi turbulen ini relatif pendek dan biasanya diabaikan jadi aliran turbulen diasumsikan terjadi di lokasiterjadinya ledakan pertama.

Terjadi Laju ledakan

Aliran laminar ledakan pertama konstan

Gambar 8.12 Lapisan batas yang mengalami transisi.

Ketebalan lapisan batas turbulen menebal lebih cepat dari pada lapisan batas laminar dan menyimpan lebih banyak

momentum (pada ketebalan yang sama), seperti terlihat pada sketsa profil kecepatan dalam Gbr. 8.13. Lapisan turbulenmemiliki kemiringan yang jauh lebih besar di dinding sehingga menghasilkan tegangan geser dinding yang jauh lebihbesar. Lapisan batas turbulen pada suatu instan bervariasi secara acak terhadap waktu dan posisi dan dapat menjadi 20

persen lebih tebal atau 60 persen lebih tipis pada posisi manapun di suatu waktu tertentu atau pada waktu manapun disuatu posisi tertentu. Jadi, biasanya kita menggambarkan ketebalan lapisan batas yang dirata-rata terhadap waktu. Lapisan

dinding yang kental dengan ketebalan 5, di mana efek-efek viskositas di dalam suatu lapisan batas turbulen dianggap

u*

tl

H

Distribusi kecepatan

Distribusi kecepatan4 aliran tak-kental

Ketebalan laliisan dindingyang kental 6,(:r)

* Intensitas Fluktuasinya adalah tl u'2 I U- [ihat Pers. (7.67)]



BAB 8I ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAL

terkonsentrasi, ketebalannya sangat tipis jika dibandingkan dengan ketebalan lapisan batasnya sendiri, seperti ditunjukkan

dalam gambar.

Harus selalu diingat bahwa lapisan batas turbulen memiliki ketebalan yang sangat tipis dalam kebanyakan aplikasi.

Pada pelat datar dengan U * = 5 m,/s ketebalan lapisan batasnya adalah sekitar 7 cm pada jarak 4 m. Jika ini digambarkan

sesuai skala, akan tampak jelas bahwa lapisan batas ini sangat tipis. Karena lapisan batas sangat tipis dan kecepatannya

bervariasi dari 0 di dinding menjadi U(x) di tepi lapisan batas, profil kecepatan di dalam lapisan batas dapat diaproksimasikan

dengan mengasumsikan profll parabola atau kubik untuk lapisan laminar dan profil hukum pangkat untuk lapisan turbulen.

Dengan asumsi profil kecepatan ini, persamaan-persamaan integral, yang diberikan selanjutnya, akan memberikan kuantitas-

kuantitas yang diinginkan.

8.5.2 Persamaan-persamaan Integral

Volume kontrol infinitesimal dengan ketebalan dx ditunjukkan dalam Gbr. 8.14 dengan fluks massa dalam (D) dan fluk

momentum dalam (d). Persamaan kontinuitas memberikan fluks massa mrorlan1 melintas ke dalam volume kontrol dari

sisi atas; yaitu

mtop= mout- ffiin=

Persamaan momentum komponen x (hukum kedua Newton)

(8.40)

L F* = momou, - momrn- momroo

135

yang menjadi

dituliskan sebagai

* (i*' *)* -

(8.41)

(8.42)-trdx-6dp=

(a) Volume kontrol

u@)*l[* *1*

ffitop

6

m,,=lou dlJ-

o

6

lo" dt-6

+ ;loudt a^

0

16

*f; [ ou'ata*0

(p+dil6+d6)<--

(b) Fluks massa

momt6 6

momoDt= lo"'atmomrn=

ro"'at

<_-rofu

(c) Gaya

Gambar 8.14 Volume kontrol

(d) Fluks momentum

infinitesimal untuk lapisan batas.

Gambar 8.13 Profil lapisan batas laminar dan turbulen.

u(x)



136 ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAL IBAB 8

di mana kita telah mengabaikan* p d6 dan dp d6 karena ordonya lebih kecil daripada suku-suku yang lainnya; kita juga

menggunakan mombp = U(.x)h,,o.Bagilah dengan (-dx) dan peroleh persamaan integral von Karman'.

t8.43;

Kita telah menggunakan derivatif-derivatif biasa karena setelah pengintegralan hanya fungsi x saja yang masih ada

ro + 6 4 = pL/txt *i, o, - p l- lr ,,,

(6 merupakan fungsi dari x). Selain itu, densitas p diasumsikan konstan di seluruh lapisan batas.

Untuk aliran pada pelat datar dengan gradien tekanan nol, artinya, U(x) = U- dan dpldx = 0 Pers.

ditrrliskan dalam bentuk yang lebih sederhana, ?

ro= P# = )u\U* - u\ dy

0

Jika profil kecepatan u(x, y) diasumsikan untuk suatu aliran tertentu, Pers. (8.44) bersama dengan t, =memungkinkan &x) dan ro@) dua-duanya untuk ditentukan.

Dua panjang tambahan digunakan dalam studi mengenai lapisan batas. Kedua panjang ini adalah ketebalan perpindahan

6, dan ketebalan monlentum 0 yang dideflnisikan

(8.4s)

G.4n

Ketebalan perpindahan adalahjarak dipindahkannya streamline di luar lapisan batas oleh karena fluida yang bergerak lebih

lambat di dalam lapisan batas. Ketebalan momentum adalah ketebalan Iapisan fluida dengan kecepatan U yang memiliki

momentum yang hilang yang disebabkan oleh efek-efek viskositas; ketebalan ini seringkali digunakan sebagai panjang

karakteristik untuk studi mengenai lapisan batas turbulen. Perhatikan bahwa Pers. (8.44) dapat dituliskan

6n=blw-,;a,

6

g= l lutU-utdt,u'l)

(8.43) dapat

(8.44)

pdul)ylr=o

(8.48)

(8.s2)

(8.5J)

ro= p tlj dedx

8.5.3 Lapisan Batas Laminar dan T[rbulen

Kondisi-kondisi batas yang harus dipenuhi untuk profil kecepatan di dalam lapisan batas pada pelat datar dengan gradien

tekanan nol adalah

u=0 paday-0

u=U- paday-6 (8.49)

ady

-0 paday=S

Lapisan batas laminar

Untuk lapisan batas laminar, kita dapat menyelesaikan komponen x dari persamaan Navier-Stokes atau kita dapat

mengasumsikan suatu profil seperti misalnya parabola. Karena lapisan batas sangat tipis, profil asumsi memberikan hasil

yang cukup baik. Kita akan mengasumsikan profil parabola

(8.50)

Ketiga kondisi batas di atas membutuhkan

0=Al=A+86+C620=B+2C5

(8.51)

yang solusinya adalah

A=0

yang menghasilkan profil kecepatan aliran laminar

- - =A+Bv+Cv2ti

B- ? c=_ 1."6.-52

u aY Y2

u* -65z

p d6 kectl karena kita mengasumsikan 5 kecil dan dengan demikian dd satu ordo lebih kecil



BAB 8] ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAL t37

(8.s4)

(8.55)

(8.56)

(8.58)

(8.59 )

(8.60)

asumsi profil

Masukkan profil ini ke dalam persamaan integral (8.44) dan integralkan:

,,= fli,u:(A 5) (,-? .;1 ) dv= kpu:H

Tegangan geser dinding juga diberikanxr= LL*|,,=0.= t'u-?

Persamakan kedua ekspresi untuk zo di atas untuk memperoleh

6d6=fra-

lntegralkan persamaan di atas dengan 6 = 0 pada x = 0 dan peroleh ekspresi untuk 6(x)

61x; = 5,48 \-t G.sn

Ini sekitar 10 persen lebih tinggi daripada solusi yang lebih akuran sebesar S^tiiU* yang diperoleh dengan menyelesaikan

persamaan Navier-stokes di dalamSubbab 8.5.4 berikutnya'

Tegangan geser dinding diperoleh dengan memasukkan Pers. (8.57) ke dalam Pers. (8.55) dan adalah

?o (x) = 0.36s pu:lxL-

Koefisien gesekan kulit lokal c, seringkali ingin diketahui dan adalah

,J,*,= #, = 0.730 i Y

1PU; \xu-

Koefisien gesekan kulit C, adalah gaya hambat non-dimensi dan adalah

- [- s-

', = ffir='fpu:r=r,46 fiJ

Koefisien-koefisien yang lebih akurat untuk to, crdan Crberturut-turut adalah 0,332,0,664 dan 1,33, jadi

kecepatan parabola untuk aliran lapisan batas memiliki tingkat kesalahan sekitar l0 persen.

Lapisan batas turbulen

Untuk lapisan batas turbulen kita seringkali mengasumsikan profll kecepatan* hukum pangkat seperti yang kita lakukan

untuk aliran di dalam pipa. Ini adalah

7 Re<1078 107 < Re, < 108

9 108 < Re, < 10e

di mana Re, =memperoleh

dengan n = 7 ke dalam Pers.

to= #. Pu3 * t8.62)

Profil kecepatan hukum pangkat memberikan r, = 1td u I Oy = * pada y = 0 jadi tidak dapat digunakan di dinding. Eksprest

kedua untuk ro dibutuhkan; kita memilih formula Blasius, yang diberikan oleh

i -lv\tt'u_-\6 ) ,,-

U-xlv.Masukkan profll kecepatan ini

(8.61)

(8.44) dan integralkan untuk

(8.63)t

'tll4

cr= 0'046 (tu) " memberikan ro = 0'023 p u:\W)

Gabungkan Pers. (8.62) dan (8.63) dan didapatkan

6tt4 dA = 0.n7(i\''o o* (s.64)\ €/

Asumsikan aliran turbulen dari tepi depan (bagian laminar biasanya sangat pendek) dan integralkan dari 0 sampai x:

d = 0,38x (;*)''' Re, < 107 (8.65)



138 ALIRAN.ALIRAN EKSTERNAL [BAB 8

(8.66)

G.6n

(8.6e)

Masukkan ini ke dalam rumus Blasius dan peroleh koefisien gesekan kulit lokal sebesar

? = 0,oss (.b)'^ Re, < r07

Koefisien geseken kulit menjadi

Cr = o.oi3 (;j)''' Re* < Io7

Rumus-rumus di atas benar dapat dipakai sampai Re = 108 tanpa kesalahan yang berarti.

Jika terdapat bagian lapisan batas laminar yang signifikan, bagian tersebut harus dimasukkan. Jika transisi terjadipada Re*, = 5 x 10s, maka koefisien gesekan kulit harus dimodifikasi menjadi

Cr = 0,073 (fr)" - tzoo fr Re, < loi (8.68)

Untuk pelat kasar, Re*,, = 3 x lOs dan konstanta 1700 harus digantikan dengan 1060.

Ketebalan perpindahan dan momentum dapat dihitung dengan menggunakan profil kecepatan hukum pangkat

sebesar

5a = o'048x (;o)Re < ro7

o = o,o37x (7i),"Terdapat kuantitas-kuantitas tambahan yang sering digunakan dalam studi mengenai lapisan batas turbulen. Kita akan

memperkenalkan dua kuantitas di sini. Yang satu adalah kecepatan geser ux, yang didefinisikan

u"= ff (8.70)

Ini adalah kecepatan fiktif dan sering muncul dalam hubungan-hubungan lapisan batas turbulen. Yang satu lagi adalah

ketebalan 6, dari lapisan dinding kental yang sangat fluktuatif, yang ditampilkan dalam Gbr. 8.12 dan 8.13. Di dalamlapisan

yang sangat tipis inilah diperkirakan munculnya ledakan-ledakan turbulen. Ketebalan ini telah dihubungkan dengan

kecepatan geser melalui pengamatan-pengamatan di dalam eksperimen melalui

6r=* (8.71)

COI{TOH 8.9 Udara atmosfer pada 20"C meugalir pada I0 nrls di sepanjang sebuah petat datar yang kaku:deagan panjang 4 ru

dan lebar 2 m yaig searah dengan aliran. Berapa panjangkah bagian laminar dari lapisan b*tasny*? Prediksikan gaya hambat dibagian laminar pada satu sisi dari pelat.

Fenfelesaian: Dengan mengasumsikan udara terbebas dari gangguan-gangguan intensitas ringgi, gunakan bilangan Reyroldssebesar 5 x 105, artinya.

,{,=5 x 105

sehingga

rr = 5 x lo5x l,5l x 1trs/10 = 0,755 m

Gaya hambat, dengan menggunakan Pers. (8.60) dan koefisien 1,33 ketimbarg 1,46 ftoefisien 1,33 lebih akuat sebagaimana

telah disebutkan), adalah

11? ^ r-

ro = i" pui tw tl7f,

ffi*#,=0,01?Nyang merupakan nilai yang termasuk kecil.

CONTOT{ 8,10 Air pada 20"C mengalir di sepanjang sebuah pelat datar yang memiliki panjang 2 rn dan lebar 3 m p*da 12

m./s. Estimasikan kecepatan geser, ketebalan lapisan dinding kentel dan ketebalan lapisau batas di ujung pelat (asulusika& Iapis4n

turbulen dari tepi depan). Selain itu, prediksikan gaya h4mbat di satn sisi pelat.

Penyelesaian:BilarganReynoldsnyaadalahRe=U*xlv=12x2ll}a=2,4xl07.Jadi,dengann-7Pers.(8.66)memberikan

= 0.665 x 1,2 x 102 x 0.755 x 2 x

to = Y pu:(;*)''' = 0.02e5 x 10co x tzz x{#)* = t42pa



BAB 8]

Jadi kecepatan gesernya adalah

Ketebalan tapisan dinding kentalnya adalah

ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAL 139

6,=#=+#=r.33xlosm

Ketebalan lapisan batasnya adalah, dengan mengasumsikan lapisan turbulen dari tepi depan

/ rn+ \0,26= 0.38x(rb)"'= o,rt x z x [ffi,l = o.ozs+ m

Gaya hambat di satu sisi pelat adalah

Fo =Y pui Lw (1.)"'- \v6u I

/ | ^-{ \0'2

=0.0365 x 1000 x 122x2 x3 x {+-U- l = 1050 N\21 x zl

8.5.4 Persamaan Diferensial Lapisan Batas Laminar

Solusi aliran laminar yang diberikan dalam Subbab 8.5.3 merupakan solusi aproksimasi. Dalam subbab kali ini, kita akanmemberikan solusi yang lebih akurat dengan menggunakan komponen x dari persamaan Navier-Stokes. Persamaan ini,

untuk aliran datar horizontal (tidak ada variasi z)

rT" fIryur=\ p =11000- =0,377 mls

,a{*,3; = -b'#,. , (3/ .3r1 )

(8.72)

Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dan memperoleh suatu solusi. Pertama-tama, ingatlah kembali bahwa lapisan

batas sangat tipis sehingga tidak terjadi variasi tekanan ke arah tegak lurus terhadap lapisan batas, artinya, tekanan

bergantung hanya pada ;r dan merupakan tekanan di dinding dari solusi aliran potensial. Karena tekanan diasumsikan

diketahui, yang tidak diketahui dalam Pers. (8.72) adalah u dan v. Persamaan kontinuitas

(8.73)

juga menghubungkan u dan v. Jadi, kita memiliki dua persamaan dan dua variabel yang ingin diketahui. Perhatikan Gbr.

8.12 dan 8.13; u berubah dari 0 ke U- dalam jarak 6 yang sangat kecil sehingga menghasilkan gradien yang sangat

besar ke arah y, sedangkan u berubah sangat perlahan ke arah x (pada .y yang sama). Oleh karena itu, kita menyimpulkan

bahwa

t8.74)

?q*Qr=oD.t dt'

du du 1dP,a*

* t':a, = -'p i;* ,, d2u

dy'

Kedua suku percepatan di sisi kiri tetap dipertahankan karena v mungkin saja kecil akan tetapi gradien Jul8y cukup besar

sehingga hasil kali keduanya dipertahankan. Persamaan (8.75) adalah persamaan lapisan batas Prandtl.

Untuk aliran pada pelat datar dengan dpldx = 0, dan dalam bentuk fungsi arus r7 (ingat bahwa u = d\r/dy dan v =-dtyldx), Pers. (8.75) mengambil bentuk

tl ,, d+Dy- dx'

Maka persamaan diferensial (8.72) dapat dituliskan

dy d'v _|Vr 0'v _.,3'v;t AtAt - a, al - 'ay3

Jika kita jadikan (transformasi ini diperoleh melalui prosedur coba-coba dan pengalaman)

1=* dan n=y'{ vx

Pers. (8.76) menjadi*

-r-/3,r)'.0 d'u--asTC- \a4/ -A4 aga-n -

a<

(8.75)

(8.76)

@.7n

(8 78)fu

=,,a:Y =\Edn' '3nt IYg

* p.rh*ii.un uut*u 9Y = aJ a^T * ay al =av ^@1 dndy dEdy d4 rvr



140 ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAL [BAB 8

Persamaan ini kelihatan lebih sulit daripada Pers. (8.76), tapi jika kita jadikan

vG,D = tW*rErOi

dan masukkan ini ke dalam Pers. (8.78), diperoleh hasil

,d'F ,rd'F =n dn'

'd\'

Persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan secara numerik dengan kondisi-kondisi batas yang tepat

tersebut adatah

F=F' =0 pada4=0 dan F'=l pada4besar

yang diperoleh dari komponen-komponen kecepatan

, = ?#= u*F'(rl)

, = -*= +W(nF' - F)

Solusi numerik untuk soal nilai batas diberikan dalam Tabel 8.5. Dua kolom terakhir masing-masing memungkinkan

perhitungan v dan to. Kita mendefinisikan ketebalan lapisan batas sebagai ketebalan di mana u=0.99U* dan kita amati

bahwa ini teriadi pada 11 = 5, jadi, dari solusi numerik ini

(8.7e)

(8.80)

Kondisi-kondisi

(8.81)

(8.82)

(8.8-r)

(8.81)

(8.85)

(8.86)

G.8n

tni6= str U_

Juga

jadi tegangan geser dinding untuk lapisan batas ini dengan dpldx = 0 adalah

,u=P*,l,-o=0.332 PU-PKoefisien-koefi sien gesekannya adalah

,r=o.664fuj c = r.33ffidan ketebalan perpindahan dan momentumnya adalah (ini membutuhkan ntegralan secara numerik)

lvx6a= 1.12\U_ 0=0.644

Tabel 8.5 Solusi Lapisan Batas Laminar dengan dpldx = 0

4 = y\U-lvx F 7= ulU* lor'- P) F,,

0 0 0 0 0,3321

0,1656 0.3298 0,0821 0.3230

2 0.6500 o.6298 0.3005 0.2668

3 r.397 0,8461 0,5708 0.16 144 2,306 0,9555 0.7581 0.0642

5 3.283 0.9916 0.8379 0.0159

6 4,280 0,9990 0.8572 0,0024

7 s ,70 0.9999 0,8604 0.0002

8 6.219 1,000 0.8605 0"0000

pengl

vxU

CONTOH 8.11 Udara pada 30'C mengalir di sepanjang pelat datar sepanjang 4 m dan selebar 2 m dengan kecepatan 2 m/s dan

dp{dx - 0. Di ujung belakang pelat, estrmasikanlah (a) tegangan geser dinding, (&) nilai maksimum v di dalam lapisan batas dan

(c) laju aliran melalui lapisan batas. Asumsikan aliran laminar di seluruh panjang pelat.

Penyelesaian:BilanganReynoldsnyaad*lahRe-lJ*Llv=2x417,6xlfs=5xl05jadiatiranlaminardapatditerima.

{a) Tegangan geser dinding (ini rnembutuhkan F" di dinding) di x = 4 m adalatr




r--:;_*fnT^i1.6

x 10-5 x 2?o = 0.332 pu*\i= 0.332 x l,164r' * {t'e

x tgrx z=0.00219 Pa

(b) Nilai maksimum v memedukan penggunaan Of - F). Nilai maksimumnya terjadi di tepi luar lapisan batas dan adalah 0,860.

Nilai maksimum v adalah

r FU- r {11.6x105x2 ^

r = r1'-f t\r'-F)= i. Y'-j_:- x 0.860=0.0012 m/s

Perhatikan nilai. v yang kecil dibandingkan dengan {J* = 2 mls.

(c) Untuk memperoleh laju aliran melalui lapisan batas, integralkan a(-vl di x = 4 m

t4l


8.1 Sebuah bola berdiameter 20 cm dengan gravitasi spesilik S = 1,06 dijatuhkan ke dalam air 2O'C. Estimasikanlah

kecepatan terminalnya jika bola tersebut (a) halus dan (b) kasar.

Pada kecepatan terminalnya bola tidak akan mengalami percepatan lagi. Jadi gaya-gayanya. termasuk gaya apung [Pers.

(2.24)), dijumlah sebagai berikut

W = Fo+ FB

I5u1, X volume = CDx l, or' * Tuu xvolume

Dengan menggunakan yr.r, = Sh.r, y,,, diperoleh hasil

,r"\i x nRz x V2 = rS - ltT";,x lxn]

Jika niiai-nilai yang diketahui dimasukkan akan diperoleh

,= ("(a1]6)"'=( _'eulM:l,1 x 9.81\r/2 0,396

) ,lcD

(a)Untukbolahalus,Gbr.8.2menunjukkanbahwauntuk2xlOa<Re<2xl05kitamengasumsikanCr=0,6.Maka

,= ffi =0,511 m/s dan n"=?- 0's1.1-10'2=1.02 x 105

Jadi, kecepatan terminal sebesar 0,511 m/s diperkirakan terjadi.

(b) Untuk bola kasar, Gbr. 8.2 menunjukkan bahwa untuk Re = 105 kita mengasumsikan Cr= 0,3. Maka

u =o'P

= 0.72.r m/s dan R. = UrD -0'723x-0'2

= 1.4 x t05

JoJ '10n

Ini cukup dengan dengan C, = 0,3 jadi merupakan aproksimasi untuk kecepatannya, hampir 50 persen lebih besar daripada

kecepatan untuk bola halus. Sebuah bola golf diberikan kekasaran untuk tujuan ini: kecepatan yang lebih tinggi di sepanjang

trayektorinya menghasilkan jarak terbang yang lebih jauh.

E.2 Hitunglah kebutuhan daya untuk menggerakkan sebuah silinder bulat yang memiliki diameter 10 cm dan panjang

10 m yang menonjol ke arah vertikal dari dek sebuah kapal pada kecepatan 30 knot (15,4 m/s). Selanjutnya

streamlining-kan silinder tersebut dan hitung lagi dayanya.

Pertama-tama, carilah bilangan Reynoldsnya. Nilainya adalah

ne=I9 - 15'4 x o'1=9.6 x loa

' 1,6 x 10'

Koefisien gaya hambat diperoleh dengan menggunakan Gbr. 8.2 dan Tabel 8.1 sebesar

9:I l' lvxQ =

),u x 2dy =

),u*-rnx 2 x U* an

r.281

Cc= 1.2 x 0,85 = 1.02




w = Fox v = | copv3Aproyek,i

= |x t,OZ x 1,2 x 15,43 x n x O,lx 10 = 7020 W

da=Yar* dr'=o'drdy

dy_ )Qldx _ u

ar---aqtay --,

IBAB 8

8.3

Jadi dayanya adalah

Untuk silinder steamline, koefisien gaya hambat berkurang menjadi

Cr=0,06 x 0,85 = 0,051

dan dayanya menjadi

fu _ ro", = +copv3 Ap,uy"k.i

= j x 0,051 x 7,2 x 75,43 x nx 0,1 x 10 = 350 W

Efek dari streamlining adalah pengurangan koelisien gaya hambat secara signifikan.

Estimasikanlah kebutuhan daya bagi airfoil konvensional dalam Contoh 8.2 untuk terbang pada kecepatan 150

knot.

Dikonversikan ke m/s, kecepatannya adalah V = 150 x 1,688/3,281 = 77,2 nt/s.Daya adalah gaya hambat dikali dengankecepatan. Koefisien gaya hambat dari Gbr. 8.7 adalah Co= 0,3147,6 = 0,0063. Jadi dayanya adalah

W =FoxV=LpcLVzCoxV

= )" tZ x 2 x 15 x77,23 x 0,0063 = 52 000 W atau 70 hp

Tunjukkanlah bahwa streamline dan garis potensial dari aliran tak-kental berpotongan dengan sudut siku-siku.

Jika streamline dan garis potensial berpotongan dengan sudut siku-siku, dari kalkulus diketahui bahwa streamline akanmemiliki kemiringan yang negatif terbalik terhadap garis potensial. Kita tahu bahwa vektor kecepatan V memiliki arahtangensial terhadap streamline sehingga kemiringan dari streamline diberikan oleh (Gbr. 8.15)

v-dYu- dx

Kerniringan dari garis potensial diperoleh dari V = konstan

8.4

jadi untuk garis potensial

Gambar 8.15

Dengan demikian, kita lihat bahwa kemiringan dari garis potensial adalah negatif terbalik dengan

kemiringan dari streamline. Jadi, garis potensial memotong streamline dengan sudut siku-siku.

8.5 Sebuah angin topan diaproksimasi sebagai sebuah vorteks irotasional (kecuali di dekat "mata"nya di mana topantersebut berputar sebagai benda kaku), Estimasikanlah gaya yang dapat mengangkat atap datar 5 m x 10 m darisebuah gedung (tekanan di dalam gedung diasumsikan atmosfer, artinya, 0) jika tekanan pada atap diaproksimasikanoleh tekanan di r = 4 m. Kecepatan pada jarak 60 m dari tengah gedung diamati sebesar 8 m/s.

Sirkulasi diperoleh dari Pers. (8.27) sebesar

I- = -2ltrve= -2x x60 x 8 = -3320 m2lsJadi kecepatan di r = 4 m adalah

,r'=-* =-#2=r32nls

Melalui persamaan Bernoulli, tekanannya diperoleh sebesar. dengan mengasumsikan

V_=0danp_=0,

y2 f2 rrr2t, t'2 =l-+f O=o ,. p =-';: x 1.2=-10500Pa

Jadi gaya angkatnya adalah

F = pA= 10500 x 5 x 10 = 520000 N.

8.6Sebuah

silinder berdiameter 40 cm berputarsearah jarum jam

pada 800 rpm di dalam arus udara atmosfer yangmengalir pada 8 m./s. Temukanlah titik-titik stagnasinya dan tentukanlah tekanan minimumnya.




Periksa bilangan Reynoldsnya: Re = l0 x 4ll,5l x 10-5 = 2,65 x lOb ..' oK

(b) Pertama-tama, sketsa lapisan-lapisan batas dengan jarak-jaraknya ditunjukkan dalam Gbr. 8.16. Panjang lapisan batas

laminar diperoleh dengan menggunakan Rek.i, = 5 x 10-s:

Rexv 5x105x1,51 x10-su_ 10

I-h laminar

Gambar 8.16

Ketebalan lapisan batas laminar di .r. adalah, Pers. (8.57),

t43

8.7

Sirkulasi t = f.V.ds adalah kecepatan r"Q dikali dengan 2nr, karena kecepatan konstan V memiliki arah tangensial

terhadap permukaan silinder. Sirkulasinya dihitung sebesar

I = 2nrl Q = 2tr x 0,22 x (800 x 2nl60) = 2l,l m2ls

Ini sedikit lebih besar daripada ttr,U-= 20,1 m2lsjadi titik stagnasi tunggal terlepas dari silinder pada 0 = -90' [Gbr.

8. I 0(b) l.

Minimum tekanan terjadi pada titik paling atas dari silinder (Gbr. 8.10), jadi kita akan menerapkan persamaan Bernoulli(Pers. (8.38)) di antara arus bebas di mana p = 0 dan titik paling atas di mana 0 = 90o:

p, = l-. rui -,'; (z.in e . +r-)'= o + t.2,. *j

[,- (z ,i, es'*-

]-lJ--)']= -uo, t.

dengan menggunakan P = 1,2 kg/mi dan mengasumsikan udara atmosfer.

Pindahkan U(x) ke dalam tanda integral dan tuliskan ulang persamaan integral von Karman (8.43).

Kita mendiferensiasikan suatu produk: (f S)' = fS'+ gf '. Untuk persamaan kali ini, kita jadikan gir) = J,i'''p, dy (dependensi

) terintegralkan keluar) sehingga

6 6 16

' i 'Jtxt 4-i nu a,* [f r,' '"1autr'*L utrt ) oudt=t dr i, td,rr)""ir'Kita dapat rnemindahkan U(x) di bawah tanda integral karena merupakan fungsi dari x sedangkan integralnya terhadap y

sehingga Pers. (8.43) mengambil bentuk6 16 1 I

rs(x) = -u?r* l;rutlo,at-[Jr, ,')#:-*rlo*r,66

= -6* * p*j,*, - ut dy - o'oY I, o,

Ini merupakan bentuk ekuivalen dari persamaan nl"g.uf von Karman. ,"rrorr,u, p diasumsikan konstan di dalam lapisan

batas.

Estimasikan gaya hambat di satu sisi pelat datar dalam Contoh 8.9: (a) Dengan mengasumsikan aliran turbulen

dari tepi depan. (b) Memasukkan bagian laminar dari lapisan batas.

(a) Dengan mengasumsikan aliran turbulen dari tepi depan, ketebalan lapisan batas setelah jarak 4 m diberikan oleh Pers.

(8.65) dan adalah

d = 0,38x (;*)"= 0,38 x * . ('l##)o'' = o,orrn ,,

Jadi gaya hambat di satu sisi adalah

lc,ou|r* =o'ol' (%:P)''' * t.2x 10r x 4 x 2 = 1,82 N

8.8

aL=

I-h turbulen

= 0,755 m

fn1u=5 - .,lo,zss, rsr " ror

= S \"ff = 0.0053'l m



Lokasi titik awal fiktif dari lapisan batas diperolah dengan menghitung i dalam Gbr. 8.16. Ini diperoleh dengan menggunakanPers. (8.65)

,,.,, = ^6^^(r-*)" =

0.90_5j4 / t0 _1,', ... x, = 0,205 m0.38'Y' 0.38 \t.sr ,tos/

Jadijarakx.adalahxr=L-xrtx'=4-0,755+0,205=3,45mKetebalanlapisanbatasdiujungpelat

adalah

6 = 0,38x (,h),,, = 0,38 x 3,45, (S*H)"'= n,oro ,,

Gaya hambat diperoleh melalui Pers, (8.69) sebesar

Ic,ou|Lw = [.,r, 1;r1"'-17oo frf , r:r*

=[o'qal l+r-105'lo.:- tg l.5l x l0'l* r.2x r0: x4x2=r,5r Nt 2 \ lox4 I z lox4-lGaya hambat dalam (a) sekitar 20 persen terlalu tinggi. Bagian laminar yang memiliki tegangan geser yang lebih kecilmengurangi gaya hambat keseluruhan untuk jarak-jarak yang pendek.

8.9 Verifikasi bahwa komponen-komponen kecepatan memang diberikan oleh Pers. (8.82) ketika menyelesaikankomponen x dari persamaan Navier-Stokes untuk aliran lapisan batas laminar.

Komponen x dari kecepatan diberikan oleh (gunakan Pers. (8.77) dan (8.79))

u =a = all% *a+4 =tu vL r,,r. ut= ;{il d\ dY ',l) " 1- = u*F'tnt

Komponen y dari kecepatan adalah (gunakan Pers. (8.77) dan (8.79))

' = -* = '#'* Hu* = -)t"-- Fttlt - tu*vx'''n'(- )r-" 'l',-)

= -i1+ Ftnt + ){u-ux1-'| ,/* o',4, = +'y= (nF'- F)

di mana kita telah menggunakan x dan ( secara bergantian karena kedua sebanding, sebagaimana didelinisikan.

8.f0 Dengan menggunakan komponen x dari persamaan Navier-Stokes (8.72), tentukan kondisi batas tambahan untukaliran laminar di sepanjang pelat datar tanpa gradien tekanan.

Didindingu=y=0sehinggasisikiridariPers.(8.72)adalah0untuk)=0.selanjutnya,didinding,karenau=0,makaau'ax=Odandu/N=0,sehinggadidinding,dimana)=0,pers.(8.72)menghasilkan

t44 ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAL [BAB 8

,d *,a1 =- 4*,(4*a'y\ arau o=d2udx dy Pdx \al ayrl -ay2

Dengan demikian, selain kondisi-kondisi dalam Pers. (8.49), kita memiliki kondisi di dinding yang diberikan di atas. Kondisiini tidak dapat dipenuhi dengan profil parabola dalam Subbab 8.5.3, tapi jika kita mengasumsikan profil kubik, kondisi iniakan diperlukan. Jika kita mengasumsikan profil garis lurus, yang merupakan asumsi yang buruk, hanya dua kondisi pertama

dalam Pers. (8.49) yang akan digunakan.

Soal-soal Thmbahan

Aliran di sekitar Benda Tirmpul

8.11 Angin bertiup paralel terhadap sisi panjang sebuah gedung besar yang memiliki atap datar. Buatlah sketsa aliran yang terlihatjikamemandang ke gedung dari atas dan dari samping. Tunjukkan daerah-daerah separasi dan titik-titik lekatkembali (reattachment)yang diperkirakan terjadi.

8.12 Sebuah truk memiliki sebuah deflektor angin di atas traktomya dan sebuah lagi tidak. Buatlah sketsa tampak samping dari aliranudara untuk kedua truk tersebut dengan menunjukkan daerah-daerah separasi, lapisan-lapisan batas, titik-titik reattachment danwake yang diperkirakan terjadi.

8.13 Buatlah sketsa aliran yang diperkirakan terjadidi

sekitar bola jika (a) Re= 4,

(D)Re = 4000 dan (c) 40 000. Identifikasikandaerah separasi, wake, lapisan-lapisan batas laminar dan turbulen dan arus bebas.



BAB 8] ALTRAN-ALIRAN EKSTERNAL

8.14 Deskripsikanlah aliran yang diperkirakan terjadi di sekitar yang berikut ini dan estimasikanlah gaya hambatnya.

(a) Udara pada 10"C mengalir di sekitar bola golf berdiameter 4,1 cm yang melaju pada 35 m/s.

(b) Sebuah bola es berdiameter 2 mm yang bergerak melalui udara pada -10'C pada kecepatan 5 m/s.

(c) Sebutir pasir berdiameter I mm yang jatuh di air diam 20'C pada 1 m/s.

(A Udara pada 20"C yang mengalir di sekeliling bola berdiameter 8 cm pada kecepatan 1 m/s.

(e) Udara pada 0'C yang mengalir melewati sebuah tiang yang memiliki tinggi 4 m dan diameter 10 cm pada 2 m/s.

8.15 Sebuah bola berdiameter 2 cm bergerak pada Re = 10 (separasi baru saja terjadi). Berapakah kecepatannya jika bola tersebut

dicelupkan di (a) air pada 10'C, (D) udara pada 40"C dan 400 kPa dan (c) air pada 90"C.

8.16 Udara pada 10'C mengalir melalui sebuah kawat berdiameter 2 mm dengan kecepatan 2 m/s. Buatlah sketsa aliran yang

diperkirakan terjadi dengan menunjukkan daerah separasi, wake, lapisan batas dan arus bebas, jika memang terjadi.

8.17 Suatu fluida mengalir melalui sebuah piringan bundar datar dengan kecepatan V ke arah tegak lurus terhadap piringan pada

Re > 103. Estimasikanlah koefisien gaya hambatnya jika (a) tekanan diasumsikan konstan di seluruh permukaan piringan dan

(b) jika terjadi profil tekanan parabola di depan permukaan piringan. Asumsikan tekanan 0 di sisi belakangnya. Jelaskan hasil-

hasilnya dalam kaitannya dengan koefisien gaya hambat yang diperoleh dari Tabel 8.1.

8.18 Udara atmosfer pada 20'C mengalir pada 10 m/s. Hitunglah gaya hambat pada (a) bola halus berdiameter 10 cm, (b) silinder

halus dengan diameter 10 cm dan panjang 80 cm yang ujung-ujungnya terlepas, (c) piringan berdiameter 10 cm dan (d) pelat

segiempat dengan lebar 10 cm dan panjang 20 cm. Vektor kecepatannya tegak lurus terhadap semua objek.

8.19 Sebuah tanda bujursangkar 220 cm diterpa tegak lurus oleh angin 50 m/s 10'C. Estimasikan gaya pada tanda tersebut. Jika.tanda tersebut ditopang oleh sebuah tiang setinggi 3 m yang ditanam di dalam beton, berapakah besarnya momen yang terjadi

di dasar tiang?

8.20 Sebuah bola halus berdiameter 20 cm dipasangi sebuah strain gauge (alat pengukur regangan) yang dikalibrasi untuk mengukur

gaya pada bola. Estimasikanlah kecepatan angin dalam udara 20'C jika alat mengukur (a) 4 N dan (b) 0,5 N.

8.21 Sebuah mobil melaju di bagian horizontal dari sebuah jalan bebas hambatan pada permukaan laut di mana temperatur adalah

20'C. Estimasikanlah dayakuda yang dibutuhkan untuk kecepatan 100 km/jam. Buatlah asumsi-asumsi yang diperlukan.

8.22 Estimasikanlah penghematan bahan bakar selama setahun pada truk yang menempuh perjalanan 300 000 mil jika biaya bahan

bakar $2,50/ga1on jika truk tersebut memasang deflektor dan penutup celah. Tanpa deflektor dan penutup celah truk tersebut

menempuh rata-rata 4 mil/galon. Jika pemiliknya ingin kembali modal dalam 3 tahun, berapakah yang harus dibayarnya untuk

membeli deflektor dan penutup?

8.23 Seorang pengendara sepeda mengeluarkan sejumlah energi untuk melaju 12 nVs dalam posisi tegak. Berapa cepatkah pengendara

melaju dengan jumlah pengeluaran energi yang sama jika ia memilih posisi membungkuk? Asumsikan bahwa luas proyeksi

dari si pengendara berkurang 25 persen dalam posisi membungkuk.

8.24 Estimasikanlah kecepatan jatuh dari seseorang yang memiliki tinggi 6 ft dengan tangan dan kakinya pada posisi terbentang.

Buatlah asumsi-asumsi yang layak. Sekarang berikan parasut berdiameter 6 m kepada orang tersebut dan hitunglah kecepatan

turunnya, sekali lagi dengan membuat asumsi-asumsi yang layak.

8.25 Sebatang pohon pinus biru memiliki bentuk segitiga pada ketinggian 15 cm dari tanah. Segitiganya memiliki diameter maksimum

6 m dan tingginya l0 m. Estiinasikanlah gaya hambat pada pohon tersebut jika terekspos ke angin 25 m/s. Gunakan Co=0,4dalam perhitungan-perhitunganmu.

Pelepasan Vorteks, Kavitasi dan Massa Thmbahan

8.26 Vorteks-vorteks terlihat terjadi di belakang sebuah silinder berdiameter 2 cm dalam udara atmosfer 20oC. Pada kecepatan 5

m/s seberapa jauhkah jarak di antara vorteks-vorteks tersebut di belakang silinder?

8.27 Sebuah sensor diletakkan tidak jauh di belakang sebuah silinder berdiameter 4 cm dalam aliran udara atmosfer 20"C. Sensor

tersebut mengukur pelepasan vorteks pada frekuensi 0,16 Hz. Estimasikanlah kecepatan udaranya.

8.28 Angin l0'C bertiup meialui kawat-kawat bertegangan tinggi berdiameter 6 mm. Tentukanlah rentang kecepatan di mana

pelepasan vorteks terjadi. Apakah pelepasan vorteks ini dapat didengar? Manusia dengan pendengaran yang baik dapat mendengar

frekuensi antara20 dan 20 000 Hz. (Pelepasan vorteks yang terjadi pada saat kawat diselimuti es dapat menyebabkan terjadinya

"lonjakan" di mana kawat benar-benar berosilasi dari catenary yang biasa ke catenary terbalik sehingga mengakibatkan terjadi nya

kerusakan kawat).

8.29 Berapakah gaya hambat yang bekerja pada sebuah bola berdiameter 76 cm yang ditarik 2 m di bawah permukaan air pada 20

m/s?

8.30 Sebuah hidrofoil sepanjang 2,2 m dengan panjang chord 50 cm beroperasi 40 cm di bawah permukaan air dengan sudut serang

4o. Untuk kecepatan 15 m,/s tentukanlah gaya hambat dan gaya angkatnya dan tentukan apakah kavitasi terjadi pada hidrofoil

tersebut.



146 ALIRAN-ALIRAN EKSTERNAI- [BAB 8

8.31 Sebuah bola berdiameter 40 cm dilepaskan dari kondisi diam di dalam air. Jika beratnya adalah 380 N di udara, berapakahpercepatan awalnya di bawah air jika massa tambahan diabaikan? Jika massa tambahan diperhitungkan?

8,32 Sebuah silinder horizontal dengan diameter 20 cm dan panjang 4 m dilepaskan dari kondisi diam di bawah air. Jika beratnya 1500 N

di udara, berapakah percepatan awalnya di bawah air jika massa tambahan diabaikan? Jika massa tambahan diperhitungkan?

Gaya Angkat dan Gaya Hambat pada Airfoil8.33 Buatlah sketsa medan aliran di sekitar airfoil yang telah stall. Tunjukkan bahwa lapisan-lapisan batas. daerah separasi dan

wake.

8.34 Estimasikanlah kecepatan lepas landas untuk sebuah pesawat terbang dengan airfoil konvensionaljika pesawat dengan muatannya

memiliki berat 120 000 N dan luas sayap efektifnya adalah 20 m2 dengan mengasumsikan temperatur (a) 30"C, (b) l0'C dan

(c) -20'C. Diinginkan sudut serang sebesar 8o pada saat lepas landas.

8.35 Ulangi Soal 8.34 akan tetapi asumsikan temperatur 20oC pada tekanan (a) 100 kPa, (b) 80 kPa dan (c) 60 kPa.

8.36 Sebuah pesawat terbang 2000 kg dirancang untuk mengangkut 4000 N muatan pada saat menjelajah di dekat permukaan laut.Untuk airfoil konvensional dengan luas sayap efektif 25 m2, estimasikanlah kecepatan lepas landas untuk sudut serang 10o,

kecepatan stall dan daya yang dibutuhkan (airfoil memiliki kontribusi 40Vo dat'r gaya hambat) untuk kecepatan jelajah 80 m/spada ketinggian 2000 m.

8.37 Jika pesawat terbang dalam Soal 8.36 terbang pada 10 km, berapakah daya yang dibutuhkan?

8.38 Pesawat dalam Soal 8.36 akan mendarat dengan airfoilnya pada sudut serang dekat sta1l. Estimasikanlah kecepatan mendaratminimum untuk flap tanpa celah, flap dengan satu celah dan flap dengan dua celah. Asumsikan luas sayap efektif yang sama

besar untuk ketiga situasi tersebut.

Aliran Potensial

8.39 Tunjukkan bahwa selisih dari fungsi-fungsi arus di antara dua streamline adalah taju aliran q per satuan kedalaman di antarakedua streamline. arlinya. Q = \lL - Vy

8.40 Tunjukkan bahwa setiap yang berikut ini merepresentasikan aliran datar inkompresibel dan carilah fungsi arus atau fungsipotensial yang berhubungan.

(a) Q = 10v

(b) rlr = 20x.r"

(c) Q = 100 (koordinat silindris)

(A r{ = (20lr) sin 0 (koordinat silindris)8.41 Apakah medan keiepatan V = (ri + 1j)/(x2 + .y2) merepresentasikan aliran inkompresibel? Jika demikian, carilah potensial

kecepalan @ dan fungsi arus V/.

8.42 Tunjukkan bahwa aliran yang direpresentasikan oleh ryr = 10 1n(x2 + y2; m2ls merupakan aliran inkompresibel. Selain itu,(a) Carilah potensial kecepatan @.

(b) Carilah tekanan di sepanjang sumbu -r negatif jika udara atmosfer mengalir dan p = 0 di x = --.(c) Carilah komponen x dari percepatan di (*4, 0).

8.43 Tunjukkan bahwa aliran yang direpresentasikan oleh @ - 20\n r m2ls merupakan aliian inkompresibel. Selain itu,(a) Carilah lungsi arus ty.

(b) Carilah tekanan di sepanjang sumbu x negatif jika air mengalir dan p = 40 kPa di a = +.(c) Carilah percepatan di koordinat kartesian (-2, 0).

8.44 Tunjukkan bahwa aliran yang direpresentasikan oleh @ = 10r cos 0 + 40 ln r mzls merupakan aliran inkompresibel. Selain

itu.ta) Carilah lungsi arus y.

(b) Carilah tekanan di sepanjang sumbu x negatif jika air mengalir dan p = 100 kPa di x = --.(c) Carilah percepatan di koordinat kartesian (-2, 0).

(d) Temukanlah titik-titik stagnasinya.

8'45 Gabungkanlah suatu aliran seragam yang paralel terhadap sumbu x sebesar 10 m/s dengan suatu sumber di titik nol dengankekuatan q=7Onm2ls(a) Tuliskan potensial kecepatan @ dan fungsi arus r1/.

(&) Temukanlah titik-titik stagnasinya.

(c) Buatlah sketsa benda yang terbentuk oleh streamline yang memisahkan aliran sumber dari aliran seragam.(@ Temukanlah perpotongan y positif dari benda dalam (c).

(e) Tentukanlah ketebalan dari benda dalam (c) di x = --.8.46 Suatu aliran seragam V = 20i m/s digabungkan dengan suatu sumber dengan kekuatan 2Ox m2ls dan suatu sink dengan

kekuatan yang sama yang masing-masing terletak di (2 m,0) dan (-2 m, 0). Benda yang terbentuk oleh streamline yang tepatadalah oval Rankine. Tentukanlah panjang dan ketebalan oval tersebut. Carilah kecepatannya di (0, 0).




8.47 Sebuah sumber di dekat dinding diciptakan melalui metode citra'. gabwgkan dua sumber dengan kekuatan yang sama sebesar 4n

m2ls masing-masing di (2 m, 0) dan (-2 m, 0). Buatlah sketsa aliran yang menunjukkan dinding tersebut dan carilah distribusi

tekanan di sepanjang dinding.

8.48 Gabungkanlah kecepatan V = 20i m/s pada aliran dalam Soal 8.47. Temukanlah titik-tilik stagnasinya.

8.49 Suatu aliran seragam Y = 10i m/s digabungkan dengan suatu doublet dengan kekuatan 40 m3/s. Carilah:

(a) Radius darisilinder

yang terbentuk

(b) Distribusi kecepatan ur(0) pada silinder.

(c) Lokasi titik-titik stagnasinya.

(d) Tekanan minimum pada silinder jika tekanan di titik stagnasinya adalah 200 kPa. Alirannya adalah air.

8.50 Gabungkanlah suatu aliran seragam Y = lOi m,/s, suatu doublet p = 40 m3/s dan suatu vorteks. Temukanlah titik{itik stagnasinya

dan carilah tekanan minimum pada silinder jika tekanan udara atmosfer standar adalah nol pada jarak yang jauh dari silinder.

Kekuatan dari vorteks adalah (a) I = 4On m2ls, (b) f = 80r m2ls dan (c) f = l20n m2/s.

8.51 Asumsikan suatu aliran aktual dapat dimodelkan dengan aliran dalam Soal 8.49 pada paruh depan dari silinder dan bahwa

tekanan di paruh belakangnya sama dengan tekanan minimum pada silinder (aliian diasumsikan mengalami separasi dari silinder

di paruh belakang). Hitunglah koefisien gaya hambat yang dihasilkan.

Lapisan Batas

8.52Sebuah lapisan batas turbulen diteliti dalam suatu aliran gradien tekanan nol pada sebuah pelat datar di laboratorium. Udara

atmosfer pada 20oC mengalir di sepanjang pelat pada 10 m/s. Seberapa jauhkah dari tepi depan turbulensi dapat diperkirakan

terjadi (a) jika intensitas fluktuasi arus bebasnya rendah? (b) Jika intensitas fluktuasi arus bebasnya tinggi?

8.53 Jawablah Soal 8.52 jika fluidanya adalah air 20'C.

8.54 Sebuah lapisan batas laminar akan diteliti di laboratorium. Untuk memperoleh lapisan yarig cukup tebal, diinginkan bagian

laminar sepanjang 2 m. Berapakah kecepatan yang harus digunakanjika yang digunakan adalah (a) saluran air? (b) terowongan

angin? Diasumsikan bahwa intensitas fluktuasinya dapat dikontrol pada tingkat yang cukup rendah.

8.55 Jika suatu persamaan diferensial dari lapisan batas akan diselesaikan pada paruh depan sebuah silinder, kecepatan U di tepi

luar dari lapisan batas tersebut perlu diketahui sebagaimana juga tekanan p di dalam lapisan batas. Sebutkanlah U dan p untuk

silinder bulat dalam Soal 8.49.

8.56 Dalam Gbr. 8.13 diberikan sketsa profil kecepatan laminar dan turbulen untuk ketebalan lapisan batas yang sama. Hitunglah

persentase kenaikan fluks momentum untuk lapisan turbulen dengan mengasumsikan profil hukum pangkat ulU* = b)li)tfidibandingkan dengan lapisan laminar dengan mengasumsikan profil parabola u/u*- Zyl6 - (s;t5)2.

8.57 Tunjukkan bahwa Pers. (8.43) diperoleh dari Pers. (8.41).

8.58 Tunjukkan bahwa persamaan integral von Karman dalam Soal 8.7 dapat dituliskan dalam bentuk ketebalan momentum dan

perpindahan sebagai

\= p *@th + p|ou#

di mana kita telah mendiferensiasikan persamaan Bemoulli untuk memperoleh

8.59 Asumsikan profil kecepatan linier di dalam lapisan batas laminar pada pelat datar dengan gradien tekanan nol. Carilah:

(a) 6(x). Bandingkan dengan solusi yang lebih eksak dan hitunglah persentase error-nya.

(b) ro (r)

(c) vdi)=6danx=2m.(d) Gaya hambat jika pelat memiliki lebar 2 m dan panjang 4m.

8.60 Asumsikan profil kecepatan sinusoidal di dalam lapisan batas laminar pada pelat datar dengan gradien tekanan nol dengan

menggunakan air 20oC dengan U- = 1 m/s. Carilah:

(c) 6(x). Bandingkan dengan solusi yang lebih eksak dan hitunglah persentase error-nya.

(D) ro (.r)

(c) Gaya hambat jika pelat memiliki lebar 2 m dan panjang 4m.

8.6f Asumsikan profil kecepatan sinusoidal di dalam lapisan batas laminar pada pelat datar dengan gradien tekanan nol. Gunakan

02ully2lr=o = 0 sebagai kondisi batas tambahan (Pers. (8.75)). Carilah:

(a) 6(x). Bandingkan dengan solusi yang lebih eksak dan hitunglah persentase etor-nya.

1b) to (.r)

(c) Gaya hambat jika pelat memiliki lebar 2 m dan panjang 4m.

8,62 Buatlah sketsa sesuai skala suatu lapisan batas laminar yang tebal sepanjang 10 m untuk aliran air 20"C pada pelat dasar

dengan gradien tekanan nol untuk U* = 7 m,/s. Gunakan 15 cm untuk merepresentasikan panjang pelat 10 m. Asumsikan

lapisan laminar di keseluruhan panjang 10 m tersebut.

t47

.6dp -,,du p du Ifr = -pufr = -lfr )u

a,-0



BAB 8] AI-TR AN-ALIRAN EKSTERNAL


(a 0,4

(c) 1,32 N

t49

8.1 I Lihat soal.

8.12 Lihat soal.

8.13 Lihat soal.

8.14 (a) 0,25 (b) 0,55 (c) 0,,16

8.15 (a) 0.000654 mls (b) 0,00214 m/s (c) 0,000164 m/s

8.16 Re = 3060

8.17 (a) 1,0 (b) 0,5

8.18 (a) 0,26 N (b) 4,0 N - (c) 0,52 N

8.19 8300 N. 34 000 N.m

8.20 (a) 32,6 tnls (b) 6,9 rnls

8.21 11,3 hp

8.22 $ r52,700

8.23 l4,l m/s

8.24 73 rn/s 5.8 m/s

8.25 4500 N

8.26 4.25 cm

8.27 0.04 m/s

8.28 0,012 m/s sampai 29,3 m/s Ya, untuk V > 0,57 m/s

8.29 43.5 kN

8.30 99 kN. 2,23 kN. Tidak

8.31 1,32 rn/s2, 0,883 m/s2

8.32 1,"71 ntls2,0,870 m/s2

8.33 Lihat soal.

8.34 (a) 102 n/s (b) 98 m/s (c) 93 m/s

8.35 (a) 100 m/s (b) 112 rrls (c) 130 m/s

8.36 36,2 rrrls, 33,3 m/s, 129 hp

8.37 53 hp

8.38 33,3 m/s, 25,1 m/s, 22,2 rnls

8.39 Lihat soal.

8.40 (c) -10x (b) 10(12 + y2) (c) -10 ln r

(e) |,11

(e) ,r m

(d) 20 r cos 0

8.41 in x2 + y2, tan Ix/-v

8.42 (a) -20 tan I y/x (b) -2401x2 (c) -6,25 nls2

8.43 (a) -ty = g (b) 40 - 2OOl,:' kPa (c) -50 m/s2

8.44 ta) l0r sin 0 + 400 rbr 100 (, . I -"1)

oo, rcr 200 m/s2 tdt t4.O\

8.45 tat l0r cos 0 + 5 ln r dan l0r sin 0 + 50 (r) t-0.5. 0) \il x/4 m

8.46 4,9 m by 2,1 m8.47 4;/g,,2 + 41 m/s

8.48 1,902 m, - 2,102 m

8.49 (a) 2 m (b) 20 sin 0 m/s (c) (2 m,0"), (2 m, 180") (A 200(1

8.s0 (a') (2, - 30'), (2,150'), - 488 Pa (b) (2, -90"), - 915 Pa (c) (2,270"), - 1464 Pa

8.51 2.67

8.52 (a) 90,5 cm (b) 54,3 cm

8.53 (c) 5 cm (b) 3 cm

8.54 (rz) 0,25 m/s (b) 4,52 nls

8.55 2U- sin g dan po - pU2* sin2 0

8.56 45.8 Vo

8.57 Lihat soal.

- sin2 o) kPa




8.58 Lihat soal.

8.59 (a) 3,46{wxtU*, -3tEa (b) o,289prJ2*Re,tt2 (c) 0,025662{ifi {d\ 2.3tpU*.,[O*v

8.60 (a) 0,00419G, - 4,27o (b) 0,328x-tD (c) 2,62

8.61 (a) 4,65TvxlU-, -1V, (b) 0,323pu2*{v/Uj (c) t,29pU2*^,6/U_

8.62 Lihat soal.

8.63 460

8.64 2,8 mm

8.65 Lihat soal.

8.66 Lihat soal.

8.67 (a) 5,92cm (b) 0,47 Pa (c) 3,49 N (A 7,47 mm,5,76 mm (e) 0,626tt/s, 0,145 mm

8.68 (a) 4,64 cm (b; 10,8 Pa (c) 80,1 N (4 5,85 mm, 4,51 mm (e) 0,104 mis, 0,048 mm

8.69 (a) 5,28 cm (b) 2,90 N

8.70 (a) 4,45 cm (r) 75 N

8,71 53 m.

8.72 800 hp

8.73 Lihat soal.

8.74 Lihat soal.

8.75 (a) 2,61 cm (b) 0,000277 Pa (c) 0,003 m/s (d) 0,0333 Pa (e) 3,36 mm, (fl 0,068 m3/s

8.76 (a) 9,7 mm (b) 0,0137 Pa (c) 0,00044 m/s (4 1,65 N (e) 1,25 mm, (fl 0,0102 m3/s

[BAB 8



Ati ran Kompresibel

HULUAN

digunakan flihat Pers. (1.20) da (4.23)]. Jika gasnya dapat diaproksimasikan sebagai gas

menjadi salah satu di antara dua bentuk yang berikut:

+ cr(7, - T)

m=prArVr=PzAzVz

ll =* 1V, - V,)

g*='1 :vj + n,+ h,

mZ

Pr\-,,)

hubungan-hubungan termodinamikac_

L,h = r'r,LT cr,= c,.+ R k = {,

e-ws _v?-v1)

m

b-w, v1 -vl * tp,m 2 '. k-l\p,

(e.1)

(e.2)

(e.3)

(e.4)

(e.5)

(e.6)

e.n

bentuk yang paling sering digunakan adalah

p=pRT

151

#l#ffipi h=i+p/pffi*k#: .ibrsamaan e nergi



152 ALIRAN KOMPRESIBEL[BAB 9

Kita juga dapat menentukan perubahan entropi atau mengasumsikan proses isentropik (As = 0). Maka, salah satu di antarapersamaan-persamaan berikut dapat digunakan:

A.s = c, ln (e.8)

(e.e)

(e.10)

(e.11)

Gelombang

bergerak

->('Gelombang

diam

p+dpT+dT

p+dp

(c)

Gambar 9.1 (a) Gelornbang suara bergerak melalui gas, (&) gas bergerak melalui gelombang dan(c) volume kontrol mengelitingi _eelombang dalam (D).

Persamaan momentum ke arah aliran dituliskan

pA - (p + dp) A - pAc(c + dV - c)

yang disederhanakan menjadi

dp * -pc dV.

Penggabunan persamaan kontinuitas dan momentum menghasilkan

T) lPt\tt-tYt

Tt \Pt)

T. D^

i-R.",rtoz

-lPz r r, _ /p2 \rr-rr

nt-\p1 1 7-\r,r)Ingat kembali bahwa temperatur dan tekanan harus selalu berupa kuantitas-kuantitas absolut pada saat menggunakanbeberapa persamaan di atas, oleh karena itu, lebih baik selalu menggunakan temperatur dan tetanan absolut ilau ,uutmengerjakan soal-soal yang melibatkan aliran kompresibel.

9.2 KECEPATAN SUARA

Sebuah gelombang tekanan dengan amplitudo kecil disebut sebagai gelombtmg sueLra dan gelombang ini bergerak rnela-lui gas dengan kecepatctn suaro,yang dilambangkan den-san c. Perhatikan geLmbang ampiitudo kecit yang ditunjukkandalam Gbr.9.l yang bergerak melalui sebuah saluran. Dalam Gbr. g.l(a) gelombaig bergerak sehinggaleorurg p"r-gamat yang tidak bergerak melihat suatu pergerakan tak tunak, dalam Gbr. 9.1(D) si penglmat bergerak bersama-samadengan

-eelombang sehingga gelornbang terlihat diam dan suatu aliran tunak reramati. dan Gur. g.t1c;menunjukkanvolume kontrol mengelilingi gelombang. Gelombang diasumsikan menciptakan sebuah perubahan diferensial yani kecil

pada tekananp. temperatur r, densitas p dan kecepatanv di dalam gas. Persamaan kontinuitas yang diaplikasikan padavolume kontrol memberikan

pAc = 1p + dp) A(c + dV)

yang disederhanakan menjadi. dengan mengabaikan suku ordo tinggi dp dv

pdV = -c dp

p+dpT+LlT 4\

p+dp

p

V=O T

p

p

*l- T

p

c+dV<-

, * uu 'j-l--i,+-i--l <l-

tn+afiei )'PA(b)a)

,=rw

(e.12)

(9.1 3)

(9. t4)

(e.1s)

untuk gelombang suara amplitudo kecil.Gelombang suara frekuensi kecil (kurang dari 18 000 Hz) bergerak secara isentropik sehingga plpk = konstan yang,

jika dideferensiasikan, memberikan

dp ,pdp ''P

Jadi kecepatan suara untuk gelombang suara demikian adalah

^@Yp-

=

.1/k RZ(e.16)



BAB 9] ALIRAN KOMPRESIBEL

Gelombang frekuensi tinggi bergerak secara isotermal sehingga menghasilkan kecepatan suara

c =.v?a o.]n

Untuk gelombang amplitudo kecil yang bergerak melalui cairan atau benda padat, digunakan modulus bulk [lihat

Pers. (1.13)ll ini adalah sama dengan p dp/clp dan memiliki nilai 2100 MPa untuk air pada 20"C. Ini memberikan nilai

kira-kira1450 m/s

untukgelombang amplitudo kecil yang bergerak melalui air.

Bilangan Mach, yang diperkenalkan dalam Bab 3, digunakan untuk gangguan-gangguan yang bergerak di dalam gas.

Ini adalah

M = y e.ts)

Jika M < 1 alirannya subsonikdanjika M > I alirannya superionik Perhatikan sumber gangguan stasioner yang ditunjukkan

dalam Gbr. 9.2(a); kecepatan suara ditunjukkan setelah tiga tambahan waktu. Dalam Gbr. 9.2(b) sumber bergerak pada

kecepatan subsonik, yang lebih lambat daripada kecepatan suara, jadi sumber tersebut "rnengumumkan" kedatangannya

ke seorang pengamat di sebelah kanan. Dalam Gbr. 9.2(c) sumber bergerak pada kecepatan supersonik, yang lebih cepat

daripada kecepatan suara, jadi seorang pengamat tidak menyadari kedatangan sumber tersebut jika si pengamat berada

di dalam zona sunyi, yang terletak di luar kerucut Mach yang ditunjukkan. Dari gambar yang ditunjukkan, kerucut Mach

memiliki sudut Mach yang diberikan oleh

A= t9.19)

Gelombang amplitudo kecil yang dibahas di atas disebut sebagai gelombang Mach. Gelombang ini dihasilkan oleh sumber

suara dan proyektil berhidung tajam dan airfoil supersonik dengan tepi depan yang tajam. Gelombang amplitudo besar,

yang disebut gelombang kejut, yang telpancar dari tepi depan airfoil berhidung tumpul, juga membentuk zona sunyi

akan tetapi sudutnya lebih besar daripada yang diciptakan oleh gelombang Mach. Gelombang kejut akan dibahas dalam

Subbab 9.4 dan 9.5.

Gambar 9.2 Propagasi gelombang suara dari sebuah sumber: (a) sumber stasioner, (b) sumber bergerak dengan

M < 1 dan (c) sumber bergerak dengan M > 1.

153

sin-lf = ,ir-' #

CONTOH 9.1 Sebuah alat elektronik ditetakkan di puncak bukit dan mendengar sebuah proyektil supersonik yang menghasilkan

gelombang Mach setelah proyektil tersebut melewati posisi alat sejauh.5OO m. Jika diketahui bahwa proyektil terlrang pada 850

m/s, estimasikan seberapa tinggi posisinya dari alat tersebut.

Penyelesaian: BiJangan Machnya adalah

* 2,5

{iRrdi mana telah diasumsikan temperatur standar 288 K karena temperatur tidak diberikan. Hubungan sudut Mach memungkinkan

kita untuk menuliskan^:- ^. r h - lsind=M=ffi6: =zs

di mana ft adalah tinggi di atas alat [lihat Gbr. 9.2tq]. Persamaan ini dapat diselesaikan untuk memberikan & = 218 m.

9.3 ALIRAN NOZEL ISENTROPIK

Ada berbagai aplikasi di mana aliran isentropik yang seragam dan tunak dapat dijadikan aproksimasi untuk aliran di

dalam saluran. Ini termasuk aliran melalui mesin jet, melalui nozel roket, dari pipa gas yang patah, dan yang melewatibilah-bilah turbin. Untuk memodelkan situasi-situasi demikian, perhatikan volume kontrol di dalam aliran di dalam suatu

850M=T=

2cL.t



t54 ALIRAN KOMPRESIBEL [BAB 9

]- l.-i0+doin+an

V+dViT+dT

ip+dp

Gambar 9.3 Aliran isentropik tunak dan seragam melalui sebuah saluran.

saluran yang memiliki luas penampang yang berubah dalam Gbr. 9.3. Persamaan kontinuitas di antara dua seksi yangdipisahkan suatu jarak infinitesimal dx adalah

pAV = (p + dp)(A + dA)(V + dV)

Jika kita hanya mempertahankan suku-suku ordo pertama dari setiap kuantitas diferensial, kontinuitasbentuk

4*d4+&=oVAPPersamaan energi (9.5) dengan b. = W, = 0 adalah

V2 , k p _(V+dn2 k p+dp2-k-lP- 2 'kJ p-+dp

Dengan mengabaikan suku-suku ordo tinggi, ini disederhanakan menjadi

vdv+ i-k -,PdP-ldP =oA-r p'

Dengan mengasumsikan aliran isentropik, Pers. (9.15) memungkinkan persamaan energi mengambil bentuk

VdV+kP,dp=gp'

Masukkan dari persamaan kontinuitas (9.21) untuk memperoleh

av lp ' - '\ - uv \ kp ')- A

# r*'- D =*

(e.20)

mengambil

(e.21)

(e.22)

(e.23)

(e.24)

(e.2s)

(e.24

atau, dalam bentuk bilangan Mach

Persamaan ini berlaku untuk alian isentropik tunak dan seragam.

Terdapat beberapa hal yang dapat diamati dari analisis terhadap Pers. (9.26). Hal-hal tersebut adalah:

o Untuk aliran subsonik di dalam saluran yang membesar (M < 1 dan dA > 0), aliran diperlambat (dV < 0).o Untuk aliran subsonik di dalam saluran yang konvergen (M < I dan dA < 0), aliran dipercepat (dV > O).

oUntuk aliran supersonik di dalam saluran yang membesar (M > 1 dan dA > 0), aliran dipercepat (dV > O).r Untuk aliran supersonik di dalam saluran yang konvergen (M > I dan dA < 0), aliran diperlambat (dV < O).

. Di tenggorokan di manadA = 0, M = I ataukah dV=0 (aliran dapatdipercepat melewati M = l atau dapatmencapaisuatu kecepatan sehingga dV = 0).

Perhatikan bahwa nozel untuk aliran supersonik harus memiliki luas penampang yang membesar ke arah alirandan difuser harus memiliki luas penampang yang mengecil, berlawanan dengan nozel dan difuser untuk aliran subsonik.Jadi, untuk menciptakan aliran supersonik dari sebuah penampung di mana kecepatannya adalah 0, aliran subsonik harusterlebih dahulu dipercepat melalui luas penampang yang konvergen sampai ke tenggorokan dan percepatan dilanjutkanmelalui luas penampang yang membesar. Nozel-nozel pada roket yang dirancang untuk membawa satelit ke orbit dibangundengan menggunakan geometri konvergen-divergen yang demikian, seb.agaimana ditunjukkan dalam Gbr. 9.4.

Persamaan energi dan kontinuitas dapat dituliskan dalam bentuk-bentuk yang lebih bermanfaat untuk aliran isentropiktunak dan seragam melalui nozel dalam Gbr. 9.4. Aplikasikan persamaan

energi(9.4)

dengan Q = Ws= 0 di antarapenampung dan suatu lokasi di dalam nozel untuk memperoleh



dA<0dv>0M<l

BAB 9] ALIRAN KOMPRESIBEL 155

Bagian

konvergen

Bagian

divergen

dA>o M>1dv>0

Penampung

To

Po

vo= o

Tenggorokan

M=t

Gambar 9.4 Sebuah nozel supersonik.

crTr= | + coT

Jika persamaan-persamaan di atas diaplikasikan ke tenggorokan di

asteriks (*), persamaan energi mengambil bentuk

Vo",uo,

(e.21)

Setiap kuantitas yang menggunakan subskdp 0 mengacu ke titik stagnasi di mana kecepatannya adalah 0, seperti misalnya

di dalam penampung. Dengan menggunakan beberapa hubungan termodinamika, Pers. (9.6), (9.9), (9.16) dan (9.18), Pers.

(9.27) dapat dituliskan dalam bentuk

=, +k-)Mz '; =(,.+uz)r'{rrr Po

Tmana

(9.29)

Area kritis seringkali tetap dijadikan referensi sekalipun tidak terdapat tenggorokan, seperti dalam Tabel D.1. Untuk udara

dengan k = 1.4, Pers. (9.29) memberikan

T* = 0,833370 px = 0,5283p0

Fluks massa melalui nozel ingin diketahui dan diberikan oleh

1.n = pAV = lr, AM fiR} = n[S evt

Dengan menggunakan Pers. (9.28) dan sedikit aljabar, fluks massa dapat diekspresikan sebagai

m = Pol\,te ffi(t .,. 5' M2){(*r/2{r-(rU\

Jika area kritis dipilih di mana M = 1, ini menjadi

* = poA*ffit1 + k

--l)rr*vza-p

yang, jika digabungkan dengan Pers. (9.32), memberikan

A _ | lz+6-l)M2 l{k+r)/2rr-l)

a--l,t t k+l l

T* 2 p* t 2 \Mklr E t 2 \t^(-t)t;=*+t Po=\k+tJ P, =tr*t/

= (ta lt-l M''1"'* " (g.28)\'2 I

M = 1, area kritis ditandai dengan superskrip

p* = O,634Opo (e.30)

(e.31)

(e.32)

(e.33)

(.e.34)

Rasio ini dimasukkan ke dalam aliran isentropik (Tabel D.1) untuk udara. Tabel ini dapat digunakan untuk menggantikan

persamaan-persamaan di atas.

Selanjutnya kita akan mendiskusikan beberapa fitur dari persamaan-persamaan di atas. Perhatikan sebuah nozel

konvergen yang menghubungkan sebuah penampung dengan sebuah pembuangan (receiver), seperti ditunjukkan dalam Gbr.

9.5. Jika tekanan penampung dijaga konstan dan tekanan pembuangan diturunkan, bilangan Mach di lubang keluar nozel

akan bertambah hingga mencapai M" = 1, yang ditunjukkan oleh kurva di sebelah kiri dalam gambar tersebut. Setelah M"

= 1 tercapai di lubang keluar nozel untukp, =0,5283p0, terjadi kondisi aliran tercekik dan kecepatan di seluruh nozel

tidak dapat berubah walaupun p, diturunkan lebih jauh. Ini disebabkan oleh fakta bahwa perubahan-perubahan tekanan

yang terjadi di belakang lubang keluar tidak dapat merambat ke depan untuk mengakibatkan perubahan-perubahan padakondisi aliran.



BAB 9] AI-IRAN KOMPRESIBEL t57

menghindari separasi dalam nozel-nozel subsonik, sudut ekspansi tidak boleh melebihi 10'. Untuk sudut-sudut yang lebih

besar, digunakan bilah-bilah pembelok sehingga sudut di antara bilah-bilah tidak melebihi 10".

CONTOH 9.2 Udara mengalir dari sebuah penampurg yang dijaga pada 300 kPa absolut dan 20 "C ke dalam sebuah pembuangan

yang dijaga pada 200 kPa absolut melalui sebuah nozel konvergen dengan diameter lubang keluar 4 cm. Hitunglah fluks massa

me'lalui nozel. Gunakan (a) persamaan-persaman dan (b) tabel aliran isentropik'

Penyelesaian: (a) rekana'**o,r:*::1a3 memueritT:: ,::lrlo*t

keluar nozel adalah

p, = 0,5283 kPa po= 0$283 x 300 = 158,5 kPa *bsolut

Tekanan pembuangannya lebih tinggi dari ini. jadi M"< I. Persamaan kedua dalam Pers. (9.28) dapatdituliskan dalam bentuk

k - | ,nz - 1Poltkt'tk -L atau 0,2M? = (i33)o'0"'n-t

2 tYt =lPl

Ini memberikan M = 0,784. Fluks massa diperoleh dari Pers. (9.32) sebesar

0.6821 - A,ffi67 (0.8 * 0,76) + A,76 = O,7&4"=0.6821 - 0,6560

Untuk menemukan fluks massanya, kecepatan harus diketahui yang membutuhkan temperatur karena V = Mdtfif Temperatur

diinterpolasi (sama seperti interpolasi terhadap bilangan Mach) dari Tabel D,l sebesm T. = 0,8906 x 293 = 261 K. Iadi kecepatan

dan densitasnya adalahy = M{k Rr = 0,7g4 rTo* ,g? x ,6 r = 254 mrs

P

=#= #-* ru,= 2'67 ks/m3

Fluks massanya diperoleh sebesar

m - pAV * 2,67 x nx 0,022 x 254 =0,852 kgls

9.4 GELOMBANG KEJUT NORMAL

Gelombang kejut adalah gelombang amplitudo besar yang terdapat di dalam gas. Gelombang ini terpancar dari sayap

pesawat terbang supersonik, dari ledakan yang keras, dari mesin jet dan di depan proyektil dari laras senapan. Gelombang

ini dapat berbentuk gelombang miring atau gelombang normal. Pertama-tama, kita akan mambahas gelombang kejut

normal, yang ditunjukkan dalam Gbr. 9.7. Dalam gambar ini, gelombangnya diam -iadi alirannya tunak. Jika di sebelah

kiri ditambahkan kecepatan V,, gelombang kejut ini bergerak dalam udara diam dengan kecepatan Yr dan kecepatan

terinduksi di belakang gelombang kejut adalah (V1-V) Gelombang kejut sangat tipis, pada ordo -10-o rnttt, dan dalam

jarak yang sangat pendek tersebut terjacli perubahan tekanan yang besar sehingga mengakibatkan terjadinya disipasi energiyang besar. Persamaan kontinuitas dengan At = Az adalah

prV, = pzVz

Persamaan energi dengan b = Ws = 0 mengambil bentuk

(e.J5)

m = poM^ {#. (,. ? M2)rr+r/2(r-()

=3@000x0,784xnx0,022

Agm satuan-satuannya konsisten, tekanan harus dalam Pa dan R dalam J{kg'K)'

(b) Selanjutnya gunakan Tabel D.1. Untuk rasio tekanan plpo= 20Ol3O0 =0,6667, bilangan Mach diperoleh melalui interpolasi

sebesar

L-r' i . J, \ r',- #)=o(e.36)

Gaya-gaya yang terdapat di dalam persamaan momentum hanyalah gaya-gaya tekanan, jadi

di mana areanya rerah habis dibagi karena or:'or';;;jr';:hr::sikan bahwa ketiga kuantiras p| p, danr,or?,

belum dilewati gelombang kejut telah diketahui, ketiga persamaan di atas memungkinkan untuk menyelesaikan ketigaparameter pz, pz dan V, yang belum diketahui karena, untuk gas yang diketahui, ft diketahui.



158 ALIRAN KOMPRESIBEL IBAB 9

Gambar 9.7 Gelombang kejut diam.

Ketimbang menyelesaikan Pers. (9.35) hingga (9.37) secara simultan, kita menuliskannya dalam bentuk bilanganMach M, dan M, dan meletakkannya dalam bentuk-bentuk yang lebih memudahkan. Pertama, persamaan momentum(9.37), dengan menggunakan Pers. (9.35) dan V2 = M2pklp, dapat dituliskan

Pz-l+kMr2Pr* ] * tw]

Dengan cara yang sama, persamaan energi (9.36), dengan p = pRT dan V2 - M2knf, dapat dituliskan

.r 1at 1y.z'2 2 t

rt r+\Lwr2Persamaan kontinuitas (9.35) dengan p = p/RT dan V = M tfrkRTmenjadi

n^ M^ lT\ z I tl r _ 1

P, N4, liz, -'

(e.38)

(e.3e)

(9.41)

(e.42)

(e.43)

(e.40)

Jika rasio tekanan dan temperatur dari Pers. (9.38) dan (9.39) dimasukkan ke dalam Pers. (9.40), bilangan Mach di bagianhilir berhubungan dengan bilangan Mach di bagian hulu melalui (aljabar yang dipakai tidak ditunjukkan di sini)

^ Mi*AM.'= ^'----n.-_r

#Mi_rIni memungkinkan persamaan momentum (9.38) untuk dituliskan sebagai

dan persamaan energi (9.39) sebagai

T2

T1

M,2+5lM12 - 1

Untuk udara, persamaan-persamaan di atas disederhanakan menjadi

Pz_ 2k v2 t __LPr-k+1"'l k+l

('.**;)(*ru,'-r)

ff_, ,*:

_lMt2 - |-6zD,tlMl=

Beberapa hal dapat diamati dari ketiga persamaan ini:

o Jika Mr = l, maka M, = 1 dan tidak terjadi gelombang kejut.

o Jika M, > 1,maka M, < 1. Aliran supersonik selalu dikonversikan menjadi aliran subsonik pada saat melewatigelombang kejut normal.

o Jika M, . l, maka M, > I dan kelihatannya aliran subsonik dikonversikan menjadi aliran supersonik. Ini tidakmungkin terjadi karena akan menghasilkan produksi entropi positif, yang merupakan pelanggaran terhadap hukumkedua termodinamika; pelanggaran ini tidak akan dibuktikan di sini.

Beberapa hubungan aliran gelombang kejut untuk udara

tabel tersebut kita dapat menghindari pemakaian Pers. (9.44).belakang gelombang kejut juga diberikan.

12 *(M? + 5)(7Mr2- l)\ - 36Ml- (e.44)

telah diberikan dalam Tabel D.2. Dengan menggunakan

Selain itu, rasio prrlpn, dari titik stagnasi di depan dan di



Posisi gelombang

kejut untuk pJpo = a


.E4-

a]-*.,-.,..:1

,E-I*

Gambar 9.8 Aliran dengan gelombang kejut di dalam nozel.

Kembali ke nozel konvergen-divergen dan pusatkan perhatian pada aliran di bawah kurva C dalam Gbr. 9.6. Jik:tekanan pembuangan dikurangi menjadi p/po= a dalam Gbr. 9.8, gelornbang kejut normal akan terjadi di suatu lokasi di

dalam nozel, sebagaimana ditunjukkan. Jika tekanan pembuangan dikurangi lebih jauh lagi, akan terdapat suatu rasio p- p

= b yang akan menyebabkan posisi gelombang kejut berada di bidang lubang keluar nozel. Rasio tekanan c dan d akan

menghasilkan pola gelombang kejut yang menyimpang serupa dengan yang ditunjukkan. Rasio tekanan e diasosiasikan

dengan aliran isentropik di seluruh nozel dan tekanan rasio / akan memberikan tekanan keluar yang lebih besar danpada

tekanan pembuangan sehingga mengakibatkan terjadinya penggelembungan aliran yang keluar, sebagaimana yang dapat

dilihat pada roket yang mengirimkan satelit ke angkasa luar.

O&l?Olt .S. S;buah gelombang kejut normal bergerak pada 6ff) m/s melalui udara stagnan 20"C. Estimasikanlah.kecepatan

tedaduksi di bol1kang gelombaag kejut, {a} Gunakan persamaan-persamaen dan (}) gunakan tabel aliran gelombang kejut normal

{T4be1 D,3}. Lihat Gb-r. 9.7.

PenyelOsaian: Tambahkanlah kecepatan 6([ m1s sehingga gelombang kejutnya menjadi stasioner dan V' = 600 m/s, sepeni

ditunjukkan dalam Gbr, 9.?- Bilangan Maeh di bagi*n hulu adalah

M'=:===_=j00-=l'75., _{rRr_{VimnB\r'(l \t'+ ^

Lot A L7r

,{a}.fleugan,rrenggunakan per$amaan-persamaan ini, bilangan Mach di bagian hitir dan temperataraya masiag-masing adalah

l_<9

1,0

plPo

Tzo

*, = ( H{u, )''= ( ##,)'" = 0.u,,

=@=438K36 x 1.75'

*r* W# {odz57 * 0,6355} + 0,6355 = a,6zBZ

Jdi kecepatau di belakang gelombarg kejut adalah

vz*M?firr, = 0,628 fi3;Jl?;738 = 263 rr,ts

Jika lr, ditambahkan ke sebsleh kiri dalam Gbr. 9.7, kecepataa terinduksinya adalah

yaag akan bekerja ke arah ktr , ks arah pergera*an gelombaag kejut.

(b) Tabel D.2 diinterpolasi pada Mr = 1.75 untuk memperoleh

Tr*T1 ffi(1,502 - 1,473j + i,473 - t,Ags. .'. 12 = 438 K



160

Jadi kecep*tan V, adalah

Vz= Mzr,FRr, = o,oZA rlt 4 x 2871 438 = 263 m/s

dan kecepatan terinduksi yang disebabkan oleh gelombang ke.iut adalah

Ttunduksi = Vt - Vz = 600 - 263 = 337 mls

Dari Tabel D.2

CONTOH 9.4 Udara mengalir dari sebuah penampung yang dijaga pada 20"C dan 200 kPa absolut melalui sebuah nozelkonvergen-divergen yang memiliki diameter tlnggorokan 0.rn O-r, diamerer lubang keluar l2 cm kc sebuah pembuangan.

Berapakah besarnya tekanan pembuangan yang diperlukan sehingga gelombang kejut berada di lokasi di marla diameteiryaadalah 10 cm? Lihat Gbr. 9.8.

Penyelesaian: Kita akan menggunakan tabel aliran isentropik tTabel D. l) dan gelombang kejut (Tabel D.2). Untuk aliransupersonik ini di tenggorokan M,= l. Bilangan Mach lepat sebelum gelombang kejut diperoleh melalui interpolasi dalam TabelD. I di mana ArlA* = lo2162 = 2.778 sebesar

ALIRAN KOMPRESIBEL IBAB 9

sehingga

Poz = O,47'78 x 200 = 95,55 kPa

Karena tekanan stagnasi di dalam aliran isentropik tidak berubah sebelum terjadi gelombang kejut sehingga por = 200 kPa.

Setelah gelombang kejut sampai ke lutrang keluar, terjadi aliran isentropik lagi sehingga dari Tabel O.l paOa iliz = 0,502S

A'42x = 1'321 '

Kila telah memasukkan tenggorokan imaginer di antara gelombang kejut dan lubang keluar nozel. Luas keluaran A. dimasukkan

Mr = 2'556

M: = 0,5078

P;= o.uta

A A- A rt2

F = lr x j = t'327 x ra= l'91 I

pada rasio luas ini (pastikan bahwa yang digunakan adalah bagian subsonik dari tabel), kiLa

sebagai

Dengan menggunakan Tabel D.lmemperoleh

M" 0.322j dan e^= O.llOs

Sehingga

P" = 0'9305 x 95'55 = 88,9 kPa

dengan menggunakan po" - ps2 untuk aliran isentropik di belakang gelombang kejut. Untuk aliran subsonik isenrropik ini besamya

tekanan keluar sama degan tekanan pembuangan.

9.5 GELOMBANG KEJUT MIRING

Gelombang kejut miring terbentuk di ujung depan sebuah airfoil berujung tajam atau sebuah sudut, sebagaimana ditunjukkandalam Gbr. 9.9. Aliran datar tunak dan seragam terjadi sebelum dan sesudah gelombang kejut. Gelombang kejut juga

terjadi pada proyektil yang simetris terhadap sumbunya (aksi-simetris).

(b)

miring (a) aiiran pada baji dan (b) aliran di sudut.

Gelombang miring

Gambar 9.9 Gelombang kejut




Gelombang miring

Volume kontrol,.

,rfi\ v.,

vl

Gamtlar 9.10 Volume kontrol gelombang kejut miring.

Gelombang kejut miring membelokkan aliran sehingga V, menjadi paralel terhadap permukaan bidang. Sebuah

variabel lain, yaitu sudut beiok aliran akan diperkenalkan akan tetapi penyelesaiannya memerlukan tambahan persamaan

momentum tangensial. Perhatikan volume kontrol Gbr. 9.10 yang mengelilingi gelombang kejut miring. Vektor kecepatan V,

diasumsikan ke arah x dan gelombang kejut miring membelokkan aliran melalui sudut baji atau sttdut defleksi 0 sehingga

V, menjadi paralel terhadap dinding. Gelombang kejut miring membentuk sudut B dengan V,. Komponen-komponen

dari vektor-vektor kecepatan diperlihatkan tegak lurus dan tangensial terhadap gelombang miring. Komponen-komponen

tangensial dari vektor-vektor kecepatan tidak mengakibatkan fluida mengalir masuk atau keluar dari volume kontrol, jadi

kontinuitas memberikanptVtn = pzVz, e.15)

Gaya-gaya tekanan bekerja tegak lurus terhadap volume kontrol dan tidak menghasilkan gaya netto yang tangensial

terhadap gelombang kejut. Ini memungkinkan persamaan momentum tangensial mengambil bentuk

'j,h*o-,<-'-l v.,7

mrvr, = m.vr,

Kontinuitas mengharuskan h, - m, sehingga

vr, = vr,

Persamaan momentum yang tegak lurus terhadap gelombang kejut miring adalah

persamaanenergi, dengan menggunaka , r' =1, i'r:o* * *,:i,:*, datam bentuk

(9.16)

e.4n

(e.48)

(e.s0)

(e.51)

(e.4e)

karena suku-suku kecepatan tangensial saling menghilangkan.

Perhatikan bahwa komponen-komponen kecepatan tangensial tidak masuk ke dalam Pers. (9.45), (9.48) dan (9.49).

Ini adalah tiga persamaan yang sama yang digunakan untuk menyelesaikan soal gelombang kejut normal. Oleh karena

itu, komponen-komponen Vr,,danVr,dapat digantikan dengan V, dan Vrdari soal gelombang kejut normal dan solusinya

diperoleh. Tabel D.2 juga dapat digunakan. Kita juga menggantikan M,, dan Mr,, dengan M, dan M, di dalam persamaan-

persamaan dan tabel.

Seringkali demi menyederhanakan penyelesaian, kita menghubungkan sudut gelombang kejut miring B dengan sudut

defleksi 0. Ini dilakukan dengan menggunakan Pers. (9.45) untuk memperoleh

v,i,**rPt-vr; k-r P:

-+--

=2- k p,- 2- k h

Pz -vt, - vr,tanl - tanBpr= V;: vrSan $ - e4 - tan (B - 0)

Dengan menggunakan Pers. (9.42) dan (9.43), rasio densitas ini dapat dituliskan

Pz-PzTt -

tk+ 1tM,2,

Pt PrTz (k -l)Mr2, + 2

Dengan menggunakan rasio densitas ini dalam Pers. t9.50) kita dapat menuliskan

tan(B- q=H (t-r."f-*) (9.s2)

Dengan hubungan ini, sudut gelombang kejut miring B dapat ditemukan untuk bilangan Mach sudut baji 0 yang diketahui.

Plot dari Pers. (9.52) berguna untuk menghindari penyelesaian melalui prosedur coba-coba. Ini diberikan dalam Gbr.9.11. Tiga hal dapat diamati dari gambar tersebut.



t62 ALIRAN KOMPRESIBEL IBAB 9

flclr :^{,

\(

M,<1

\ ( ,,=, I (

Y o.u)ng t"*\t I

\\\\ 0=30.

Mz>1---6=35.

\\\\0=25'

0=20'_----..

9= 15'

0= 10'--6=5'

0=0'15

.5.0.5 MI

Gambar 9.11 Sudut gelombang kejut miring B yang berhubungan dengan sudut baji 0 dan

bilangan Mach M, untuk udara.

Mrrl Mr>l(a) (b)

Gambar 9.12 Gelombang kejut lepas di sekitar (a) benda tumpul datar dan (b) baji.

. Untuk bilangan Mach M, dan sudut baji 0 yang diketahui terdapat dua kemungkinan sudut gelombang kejut miring

B. Yang besar adalah gelombang kejut miring "kuat" sedangkan yang lebih kecil adalah gelombang kejut miring"lemah".

o Untuk sudut baji 0yatg diketahui, terdapat suatu bilangan Mach minimum yang memiliki hanya satu sudut gelombang

miring B.

o Jika bilangan Mach lebih kecil daripada nilai minimum untuk suatu 0 tertentu, akan tetapi lebih besar dari satu,

gelombang kejut menjadi terlepas seperti yang ditunjukkan dalam Gbr. 9.12. Selain itu, untuk suatu M,, terdapat

suatu 0 yang cukup besaryang

akan menghasilkangelombang

kejutlepas.

Kebutuhan kenaikan tekanan akan menentukan apakah yang terjadi adalah gelomb4ng kuat ataukah lemah. Kenaikan

tenakan ditentukan oleh kondisi-kondisi alirannya.

Untuk gelombang kejut lepas di sekitar benda tumpul atau baji, gelombang kejut normal terjadi di streamline

stagnasi; gelombang kejut normal ini diikuti oleh gelombang kejut miring kuat, kemudian gelombang kejut miring lemah

dan akhirnya gelombang Mach, sebagaimana ditunjukkan dalam Gbr.9.12. Gelombang kejut selalu terlepas dari benda

tumpul.

rede 30oC mengalir di sekitar sebuah baji dengan sudut dalam 60' [Gbr. 9.9(a)]. Sebuah gelombang miringOIIITO}I 9.5 Udara 1

terpancar dari baji dengan sudut 50o. Tentukanlah kecepatan datang dari udara. Carilah juga M, dan Tr.

Penyelesaian: Dari Cbr. 9.1 I. pada 0 = 30" dan B = 50o, bilangan Machnya adalah

Gelombang lemah Gelombang lemah

Jadi kecepatannya adalah

Mr = 3,1



BAB 9]

V, = V cos fr = (V + dI4 cos(Ll + d0)

Dengan mengabaikan suku-suku ordo tinggi, ini dapat dituliskan menjadi*

ALIRAN KOMPRESIBEL

v, - Mr {kar = :,r rllTl E? x 30: = 1082 mls

t63

Jika Pers. {9-52) digunakan untuk lebih akurat, kita memiliki

tan(50'- 30') =-tanl0" lt,q - t + ^f ^ i. .'. M, = 3,20. r.4+l I Mjsinr50"i

Kecepatannya menjadi Vr = lllT rn/s.Untuk menemukaa Mr, kecepatan normal dan bilangan Mach yang datang adalah

856V,,=V,sinB=ll17=sin50.=856rn,/s...M'=---e-=2,453'' .1 1,4 x 287 x 303

Dari Tabel D.2 interpolasi memberikan Mzn = 0,5176 sehingga

M, =,*#1:o.i = H*g = r.5r3

Temperatur di belakang gelombang miring diinterpolasi sebesar

Tz = Tr x 2,092 = 303 x 2,092 = 634 K

9.6 GELOMBANG EKSPANSI

Aliran supersonik keluar dari sebuah nozel, seperti pada rasio tekanan / dalam Gbr. 9.8, dan menggelembung menjadisebuah gelembung pembuangan yang besar. Selain itu, aliran supersonik tidak mengalami separasi dari dinding nozel

yang berekspansi dengan cepat, seperti ditunjukkan melalui sketsa dalam Gbr. 9.8. Bagaimanakah ini bisa terjadi?

Pikirkanlah kemungkinan bahwa suatu gelombang hingga (finite wave), seperti misalnya suatu gelombang kejut miring.

dapat membelokkan aliran memutari sebuah sudut konveks, sebagaimana ditunjukkan dalalm Gbr.9.l2(a). Dari persamaan

momentum tangensial, komponen kecepatan tangensial harus tetap sama di kedua sisi gelombang hingga tersebut. Agar

ini dapat terjadi, V, > V, sebagaimana dapat dilihat dengan jelas dari sketsa sederhana tersebut. Seperti sebelumnya,

kenaikan kecepatan ini ketika fluida mengalir melalui sebuah gelombang finit mengharuskan terjadinya kenaikan entropi.

yang merupakan pelanggaran terhadap hukum kedua termodinamika, sehingga menjadikan gelombang hingga tidak

mungkin terjadi.

Kemungkinan kedua adalah membiarkan terjadinya kipas tak-hingga yang terdiri dari gelombang-gelombang Mach,

yang disebut kipas ekspansi, yang terpancar dari sudut, sebagaimana ditunjukkan dalam Gbr. 9.13(b). Ini adalah proses

isentropik ideal jadi hukum kedua tidak dilanggar proses yang demikian dapat didekati dalam aplikasi nyata. Kita akan

memperhatikan suatu gelombang Mach infinitesimal yang ditunjukkan dalam Gbr. g.l4,.mengaplikasikan hukum-hukum

fundamental dan kemudian melakukan pengintegralan memutari sudut. Karena komponen-komponen kecepatan tangen-

sialnya sama besar, segitiga kecepatan menghasilkan

(9.s3)

Kipas ekspansi

(a) Gelombang hingga tunggat (b) Gelombang-gelombang Mach

Gambar 9.L3 Aliran supersonik memutari sudut konveks. (a) Gelombang hingga tunggal.

(D) Gelombang-gelombang Mach berjumlah takhingga.

Gambar 9.14Sebuah gelombang Mach di dalam kipas ekspansi.

Gelombang hingga

* Ingat bahwa cos (p + d0) = cos 1t cos d0 - sin p sin d0 karena cos d0 = 1 dan sin d0 = d0.



164 ALIRAN KOMPRESIBEL

V d0 sin P = cos l-t dV

Pers. (9.19)l dan cos p = \ML l/M, untuk memperoleh

d0=lMr _f{Diferensialkan persamaan V = M fin7dan tuliskan dalam bentuk

dv_dM_ldTY_M,27Persamaan energiV212 + kRTllk - 1) = konsran juga dapat didiferensialkan untuk menghasilkan

dv= I dL=oV-Ur-t)M2 T-

Gabungkan Pers. (9.56) dan (9.57) untuk memperoleh

dv__ 2_ dyrv - 2 i it - r4a' rrl

Masukkan ini ke dalam Pers. (9.55) untuk memperoleh hubungan antara 0 dan M

do=

u{vr-t-. dV

2+i[-l;M2 M

Inidiintegralkandari0=0danM=lkesuatusudutumumgyangdisebutfungsiPrandtl-Meyer,danbilanganMachM [ini adalah M, dalam Gbr. 9.12(b)] untuk memperoleh

e =(+= )"' ,u,-' tfiJ 1u, - r)]"'-tan-r (M2 - 1)1t2 (9.60)

Solusi untuk hubungan ini diberikan dalam Tabel D.3 untuk udara sehingga penyelesaian secara coba-coba terhadapM dapat dihindari jika sudut 0 sudah diketahui. Jika tekanan atau temperatur ingin diketahui, tabel aliran isentropikdapat digunakan. Gelombang-gelombang Mach yang memungkinkan gas untuk memutari sudut kadang-kadang disebutgelombang-gelombang ekspansi.

Perhatikan dari Tabel D.3 bahwa kipas ekspansi yang membelokkan gas melalui sudut 0 menghasilkan M = I di depankipas dan aliran supersonik di belakang kipas. Gas bertambah cepat ketika memutari sudut dan tidak mengalami separasi.

Aliran subsonik yang lebih lambat akan mengalami separasi dari sudut dan akan melambat. Jika M = - dimasukkan kedalam Pers. (9.60), 0 = 130.5', yang merupakan sudut maksimum bagi aliran untuk membelok. Ini menunjukkan bahwasudut putar yang lebih besar dari 90o dapat terjadi, suatu hasil yang cukup mengejutkan.

CONTOH 9.6 Udara pada 150 kPa dan 140"C mengalir pada M = 2 dan memutari sebuah sudut konveks sebesar 30". Estimasikanlahbilangan Mach, tekanan, temperatur dan Lecepatan setelah nrelewati sudut.

IBAB 9

(e.s4)

(e.ss)

(e.s6)

(e.s1)

(9.58)

(9.5e)

Masukkan sin p - l/M flihat

Penyelesaian: Tabel D.3 mengasumsikan udara awalnya pada M = l. Jadi, asumsikan aliran berasal dari M = I danmemutari sudut menjadi Mr = 2 dan kemudian sudut kedua menjadi Mr, sebagaimana ditunjukkan dalam Gbr.9. I5. Dari TabelD.3, diperlukan sudut sebesar 26,4o untuk mempercepat aliran dari M = 1 menjadi M = 2. Tambahkan 30 ke 26,4. dan pada 0= 56.4" kita menemukan bahwa

M' = 3'37

Dengan menggunakan tabel.aliran isentropik (Tabel D.l), entri-entri dari penampung ke keadaan I dan juga keadaan 2 dapatdigunakan untuk memperoleh

P^ n"' P2=

'"#l=150 x 0., , * 0'01s80 = 18'54 kPa

T, = T,*k = 43 x J----. x 0.3058 = 227 K arau -46'C.' ' T, To 0.5556

Jadi kecepatan sete'lah melewati sudut adalah

Gambar 9.15

y: = N,r;ftRr: = 3.37 J Gr 2ur 227 = l0t8 m/s





9.1 Dua anak laki-laki memutuskan untuk mengestimasi lebar sebuah danau. Seorang anak membenturkan dua batu

di dalam air di satu sisi danau dan yang seorang lagi mengestimasi bahwa benturan memerlukan 0,4 detik untuk

mencapai sisi danau yang lainnya. Berapakah jarak melintasi danau tersebut?

Dengan menggunakan modulus bulk sebesar 2110 x 106 Pa, kecepatan suara di dalam air adalah

, =l# = r/# (,#) =

Pada kecepatan ini, jaraknya adalah

d = tL.r = ll53 x 0.4 = 581 m

Tunjukkan bahwa Pers. (9.26) diperoleh dari Pers. (9.22).

Sisi sebelah kanan dari Pers. (9.22'1 diekspansi sehingga

VI: VFn-nr

o-2vLtv * o] ,?n.r ,*,{0,oo,)=vdv.

*,lkrde-Pde)

dengan menggunakan P dp = kp dp untuk proses isentropik llihat Pers. (9.15)]. Maka ini menjadi

o = v JV + kf d \= v dv + kP=l-dY - dA\

\p')-'"' "Pl v Aljrka dplp dimasukkan dari Pers. (9.21). Ini dapat dituliskan sebagai

dA -lvll ,\ a,A-\kp 'l v

Dengan menggunakan c2 = kplp dan M = Vlc, ini dituliskan dalam bentuk

* = '*'- rt dl

g.3 Sebuah nozel konvergen dengan lubang keluar berdiameter 6 cm dipasang pada sebuah penampung yang dijaga

pada 30"C dan 150 kPa absolut. Tentukanlah fluks massa udara yang mengalir melalui nozel jika pembuangannya

terbuka ke atmosfer. (a) Gunakan persamaan-persamaan dan (D) gunakan tabel yang tepat.

Apakah aliran ini tercekik?

0,5283 x 150 = 79,2 kPa. .'. p, ) 0,5283 pn

dan aliran ini tidak tercekik dan M, < 1. (Tekanan pembuangan, yaitu tekanan atmosfer, diasumsikan sebesar 100 kPa).

(a) Dengan menggunakan persamaan-persamaan, kita memiliki energi dan hubungan isentropik yang memberikan

165

i a# ; zno ,. rou = 1453 m/s

9.2

k r+dt)*A'--1 p*ap

ln+Jt r\\p*ap- P)

yr k p _ V)+2VdV+tdVt2T-k-t p - 2

t'ft-1

v'2, rn2 -

v"t

- .+ 100000 100 - r P, 1r.,r

$ + tooo x 303 = i * tl;. i;o = { r.i:s)'

po = O--l5Lr*, = 1,125 .'. p" = 1,291 kg/m3 dan V" = 253 m/s

di mana

Fiuks massanya diperoleh:

.'.m=p"A"V"=

(b) Gunakan Tabel D-l dan peroleh

1,291 x tr x 0.032 x 253 = 0,925 kg/s

ft=]S =0,666i.

Interpolasi memberikan M, = 0,781 dan I = 0,8906 x 303 = 270 K. Jadi

o" = 61ffiU = 1,290 kg/m3 v" = 0,784^11,4

, 28i ; 210 = 258 m/s

.'. m = p"A"V" = 1,290 x zrx 0,032x 258 = 0,941 kg/s



t66 ALIRAN KOMPRESIBEL IBAB 9

9.4 Aliran mengalir melalui sebuah nozel konvergen-divergen, dengan diameter tenggorokan 10 cm dan diameter

lubang keluar 20 cm, dari sebuah penampung yang dijaga pada 2O"C dan 300 kPa absolut. Estimasikanlah kedua

tekanan pembuangan yang memberikan aliran isentropik di seluruh nozel (kurva C dan D dalam Gbr. 9.6). Selain

itu, tentukanlah bilangan-bilangan Mach yang keluar untuk masing-masing kurva.

Kita akan menggunakan Tabel D.l ketimbang persamaan-persamaan. Rasio luas A/A* = 4. Di dalam Tabel D.1 terdapat

dua rasio tekanan yang merujuk ke rasio luas ini. Nilai-nilai ini diinterpolasi menjadi

(h),= Y'*,-,*uQ'e823 - 0'ee0) + 0'ee0 = 0'e88

lo_1a)L

\;Jr= q.iiCff)q (0.028e1 - 0.03071) + 0.03071 = 0.02e8

Kedua tekanannya adalah

p. = 0,988 x 300 = 296,4 kPa dan p, = 0,0298 x 300 = 8,94 kPa

Kedua bilangan Mach diinterpolasi dalam Tabel D.1 menjadi

M" = 0,149 dan 2,94

9.5 Aliran-aliran gas dapat dianggap inkompresibel jika bilangan Machnya kurang dari 0.3. Estimasikanlah kesalahan

dalam tekanan stagnasi udara jika M=

0,3.

Tekanan stagnasi diperoleh dengan mengaplikasikan persamaan energi di antara arus bebas dan titik stagnasi dimana Vo = 0. Dengan mengasumsikan aliran inkompresibel, Pers. (9.3) dengan Q = ws = O dan i, = ,t (tidak ada

rugi-rugi) memberikan

tt2Po= P + P'2

Untuk aliran isentropik dengan k = 1,4, persamaan energi (9.28) dapat dituliskan dalam bentuk

po= p(l + 0,2M213's

Ini dapat diekspansi dengan menggunakan teorema binomial (l + x)' = I + nx + n(n - l)*12 +... dengan menjadikan

x = 0,2M2. Maka kita memiliki

po=p(l + 0,7M2 + 0,l75Ma+...) arau po- p = pM2(0,7 + 0,175M2+...)

Dengan menggunakan Pers. (9.16) dan (9.18), ini mengambil bentuk

po- p = oS o + 0,25M2 + ...)

Jadikan M = 0.3 sehinggart2

Po- P = p'2 (l + 0.0225 +...)

Bandingkan ini dengan persamaan aliran inkompresibel di atas dan kita melihat bahwa kesalahannya adalah

sekitat 2,25 persen. Jadi, jika M < 0,3 (sekitar 100 m/s untuk udara pada kondisi-kondisi standar), aliran gas dianggap

inkompresibel.

9.6 Sebuah alat pitot (Gbr.3.1l) digunakan untuk mengukur tekanan stagnasi di dalam aliran supersonik. Tekanan

stagnasi terukur sebesar 360 kPa absolut di dalam aliran udara di mana tekanannya adalah 90 kPa absolut dan

temperatumya adalah 15oC. Tentukanlah kecepatan arus bebas V,. (Sebuah gelombang kejut akan terjadi di depan

alat tersebut. Pilihlah keadaan 2 di lokasi tepat di belakang gelombang dan p, tekanan stagnasidi

lubang alat.)

Rasio tekanan melintasi gelombang diberikan oleh Pers. (9.42)

Pz__2k ts2 k-ln'-*+ t lvrt - 1-.. 1

Bilangan-bilangan Mach saling berhubungan melalui Pers. (9.41)

,,' =(L-l)M''1l

Aliran isentropik di belakang gelombang ,;", -"':Ti il;.lmemberikan rasio tekanan [lihat pers. (9.28)

Lt =(t * k =l y: frr*- tr

Pz \' 2 '-'21

Ketiga persamaan di atas dapat digabungkan untuk mengeliminasi p2 dan M, untuk menghasilkan runus tabung pitotRaleigh untuk aliran supersonik, yaitu




(k tJ vlrz)rr<*-tt

G-n. ,*l- o&-J* , )'ro-''

Dengan menggunakan k = 1,4, pr = 90 kPa dan pz = 350 kPa, persamaan di atas menjadi

(1,2M,2)3s

eo e,t67M? _ o,t66T2,s

Penyelesaian secara coba-coba memberikan

Mr = I'65

Jadi kecepatan arus bebas adalah

vr = MrfrRrr = ' .,65^h,4 x 287 i 288 = 561

9.7 Udara mengalir dengan Mt = 2 sehingga sebuah gelombang kejut miring pada B, = 40o rerpantul dari sebuah

dinding datar, seperti ditunjukkan dalam Gbr.9.l6. Estimasikanlah M, dan Br. (Perhatikan V, harus paralel rerhadapdinding.).

Gambar 9.16

Gambar 9.16 menunjukkan berbagai sudut. Dari Gbr. 9.ll dengan F = 4Oo dan M = 2, kita lihat bahwa 0 = ll.. Gelom-bang kejut normal memiliki besar

Mr,=2sin40'=1,28

Dari tabel gelombang kejut (Tabel D.2),kita memperoleh Mr, dan kemudian M, sebesar

Mrn = Q,l$$f = Mz sin(40' - 11'). ;.Mz= 1,64

Jadi gelombang yang terpantul harus membelokkan aliran melalui l1'sehingga menjadi paralel terhadap dinding sehingga0, jtga 11". Dengan menggunakan Gbr. 9.11 sekali lagi di M2 = 1,64,kita peroleh Fz= 50o. Jadi, Mr, relatif terhadapgelombang yang terpantul adalah

Mz,= 1,64 sin 50o = 1,26.

Dari tabel gelombang kejut, kita peroleh Mr, dan kemudian M, sebesar

M:, = 0,807 = M: sin(50o - 11'). .'. M: = 1,28

Karena B, + 11" = 50o, kita lihat bahwa Fz = 39o.

Soal-soal Thmbahan

9.8 Tunjukkan bahwa c, = Rl(k - l).

9.9 Dengan menggunakan saruan-saruan Inggris, cp= 0,24 Btu/(lbm-"R). Tunjukkan bahwa ini ekuivalen dengan 1,0 kJ/(kg.K).

9.10 Tunjukkan bahwa Pers. (9.8) memberikan Pers. (9.9) jika As = 0.

9.11. Tunjukkan bahwa persamaan energi (9.5) diperoleh dari pers. (9.3).

9,12 Diferensialkan pd = konstan dan tunjukkan bahwa Pers. (9.15) diperoleh.

Kecepatan Gangguan Kecil

9.13 Tunjukkan bahwa persamaan energi menghubungan kenaikan temperatur dengan perubahan kecepatan untuk sebuah gangguanadiabatik kecil yang bergerak di dalam suatu gas oleh coA? = - cLV.

161

PtPt

3,60=



168 ALIRAN KOMPRESIBEL [BAB 9

9.14 Tunjukkan bahwa sebuah gangguan kecil bergerak di air pada kira-kira 1450 m/s dan di udara pada kondisi standar pada kira-kira 340 m/s.

9.15 Dua batu saling dibenturkan oleh seorang teman di satu sisi danau. Sebuah alat pendengar menerima gelombang yang dihasilkan0,75 detik kemudian. Seberapa jauhkah jarak menyeberangi danau tersebut?

9.16 Seekor binatang air menghasilkan sinyal yang bergerak melalui air sampai menerpa sebuah benda dan kemudian menggema

kembali ke binatang tersebut 0,46 detik kemudian. Seberapa jauhkah binatang tersebut dari benda tadi?

9.17 Estimasikanlah bilangan Mach untuk sebuah proyektil yang terbang pada:

(a) 1000 m pada 100 m/s (c) 30 000 m pada 300 m/s

(1r) 10 000 m pada 200 m/s (4 10 000 m pada 250 m/s

9.18 Sebuah petir menerangi langit dan 1.5 detik kemudian terdengar guntur. Seberapajauhkah tempat terjadinya petir tersebut'l

9.19 Sebuah pesawat terbang supersonik lewat 200 m di atas pada suatu hari ketika temperatur berada pada 26'C.Estimasikanle*r waktu yang diperlukan untuk mendengar suara pesawat tersebut setelah lewat di atas dan jarak pesawat tersebut

dari posisi Anda jika bilangan Machnya adalah

l.o) 1.68

tb) 2.02

(ct 3.4q

9.20 Sebuah gelombang amplitudo kecil merambat melalui atmosf-er sehingga menyebabkan kenaikan tekanan 5 Pa. Estimasikanlahkenaikan temperatur lintas gelombang dan kecepatan terinduksi di belakang gelombang.

Aliran Nozel Isentropik

9,21 Tunjukkan bahwa

(a) Pers. (9.21) diperoleh dari Pers. (9.20) (d) Pers. (9.33) diperoleh dari Pers. (9.31)

(&) Pers. (9.24) diperoleh dari Pers. (9.22) (e) Pers. (9.34) diperoleh dari Pers. (9.33)

(c) Pers. (9.26) diperoleh dari Pers. (9.24)

g.22 Sebuah alat pitot digunakan untuk mengukur kecepatan sebuah kendaraan darat di gurun Salt Lake. Alat tersebut mengukur3400 Pa dalam udara 28'C. Estimasikanlah kecepatannya dengan mengasumsikan:

(a) Proses isentropik

(b) Udara bersifat inkompresibel

9.23 Ulangi Contoh 9.2 akan tetapi asumsikan tekanan pembuangan sebesar 100 kPa absolut. Gunakan

(a) Persamaan-persamaan

(D) Tabel D.l

9.24 Sebuah nozel konvergen dengan luas keluaran 10 cm2 dipasang ke sebuah penampung yang dijaga pada 250 kPa absolut dan

20'C. Dengan menggunakan persamaan-persamaan saja, hitunglah fluks massanya jika tekanan penampung dijaga pada:

(a) 150 kPa absolut

(b) 100 kPa absolut

(c) 50 kPa absolut

9.25 Selesaikan Soal 9.24b dengan menggunakan Tabel D.1

9.26 Sebuah nozel konvergen dengan luas keluaran 10 cm2 dipasang ke sebuah penampung yang dijaga pada 350 kPa absolut dan

20"C. Tentukanlah tekanan pembuangan yang akan memberikan M. = I dan fluks massa dari nozel untuk tekanan pembuangan

tersebut. Gunakan (a) persamaan-persamaan dan (b) Tabel D.l

9.27 Sebuah nozel konvergen dengan luas keluaran 5 cm2 dipasang ke sebuah penampung yang dijaga pada 20"C dan pembuangannya

mengarah langsung ke atmosfer. Tentukanlah tekanan penampung yang akan memberikan M. = 1 dan fluks massa untuk tekanantersebut. Gunakan (a) persamaan-persamaan dan (D) Tabel D.1.

9.28 Gandakan tekanan penampung dalam Soal 9.27 dan hitunglah fluks massa yang meningkat. Gunakan persamaan-persamaan

atau Tabel D.l.

9.29 Sebuah jalur udara 25'C besar yang diberikan tekanan hingga 600 kPa absolut tiba-tiba meledak. Udara keluar dari sebuah

lubang berukuran 20 cm2. Dengan mengasumsikan bahwa tekanan jalur udara tersebut tetap konstan, estimasikanlah meter

kubik udara yang hilang ke atmosfer selama 30 detik pe(ama. (Analisis yang sama dapat digunakan untuk jalur gas yang

meledak L

9.30 Jika penampung dalam Soal 9.27 berisi hidrogen, hitunglah fluks massa untuk kondisi dalam soal tersebut. Persamaan-persamaan

harus digunakan.

9.31 Sebuah tabung \bnturl, yang ditunjukkan dalam Gbr. 9.17, digunakan untuk mengukur fluks massa udara melalui pipa dengan

cara mengukur tekanan di depan bagian yang menyempit dan di luas penampang minimumnya. Jika temperatur di depan bagian

yang menyempit adalah 30'C, tentukanlah fluks massanya.




Diameter 12 cmGambar 9.17

9.32 Udara mengalir melalui sebuah nozel konvergen-divergen yang terpasang dari sebuah penampung yang dijaga pada 400 kPa

absolut dan 20'C menuju ke pembuangan. Jika diameter tengorokan dan lubang keluarnya masing-masing adalah 10 dan 24

cm, berapakah nilai dari dua tekanan pembuangan yang akan menghasilkan aliran isentropik di selurirh nozel sehingga M = I

di tenggorokan? Gunakan (a) persamaan-persamaan saja dan (&) Tabel D.1

9.33 Udara mengalir dari sebuah nozel konvergen-divergen dari sebuah penampung yang dijaga pada 400 kPa absolut dan 20 C

melalui sebuah tenggorokan berdiameter 12 cm. Pada diameter berapakah di bagian yang divergen akan terjadi M = 2? Gunakan

persamaan-persamaan atau tabel-tabel.

9.34 Hitunglah kecepatan kelueLr dan fluks massa untuk kedua tekanan dalam Soal 9.32.

9.35 Udara memasuki sebuah difuser pada 50 kPa absolut dan 120"C dengan M = 2,4 dan fluks massa 8,5 kg/s. Buatlah sketsa

bentuk umum dari difuser dan kemudian tentukan diameter tenggorokan dan tekanan keluarnya dengan mengasumsikan aliran

isentropik di seluruh nozel. Abaikan energi kinetik keluarnya.

Gelombang Kejut Normal

9.36 Temperatur, tekanan dan kecepatan di depan sebuah gelombang kejut normal masing-masing adalah 20'C, 100 kPa absolut

dan 600 m./s. Tentukanlah temperatur, tekanan, kecepatan dan bilangan Mach di belakang gelombang kejut. Asumsikan udara

dan gunakan (rz) persamaan-persamaan dasar (9.35) - (9.37), (D) persamaan-persamaan khusus dan (c) tabel gelombang kejut

normal.

9.37 Udara mengalir melalui sebuah gelombang kejut. Jika diberikan kuantitas-kuantitas di dalam tanda kurung yang pertama di

depan gelombang dan kuantitas-kuantitas di dalam tanda kurung yang kedua di belakang gelombang, tentukanlah kuantitas-

kuantitas yang diinginkan. (Tekanan dalan nilai absolut).(a) (.20'C,400 kPa, 480 m/s, Mr) (r2, p2,M2, V2)

(b) (20'C,400 kPa, Yl, Ml) (Tz, p2,0,5, Y2)

(c) (20"C, 400 kPa, yl, Ml) (72, 125 kPa M, Vr)

9.38 Suatu ledakan yang besar terjadi di permukaan bumi sehingga menimbulkan sebuah gelombang kejut yang bergerak secara radial

ke arah luar. Pada suatu lokasi tertentu, bilangan Mach dari gelombang tersebut adalah 2.0. Tentukanlah kecepatan terinduksi

di belakang gelombang kejut tersebut. Asumsikan kondisi-kondisi standar.

9.39 Sebuah alat pitot digunakan untuk mengukur tekanan di dalam aliran pipa supersonik (lihat lagi Soal 9.6). Jika tekanan di

dalam pipa adalah 120 kPa absolut, temperatur 30oC dan bilaagan Mach 2,0, berapakah besarnya tekanan yang terukkur oleh

alat pitot tersebut?

9.40 Udara mengalir dari sebuah penampung yang dijaga pada 400 kPa absolut dan 20'C keluar dari sebuah nozel yang memiliki

tenggorokan berdiameter 10 cm dan lubang keluar berdiameter 20 cm ke sebuah pembuangan. Estimasikanlah tekanan

pembuangan yang diperlukan untuk terjadinya gelombang kejut pada lokasi diameter 16 cm Selain itu, tentukanlah fluks massadan kecepatan tepat di depan gelombang ke.jut tersebut.

g.4l Udara mengalir dari sebuah penampung melalui sebuah nozel ke pembuangan. Penampung dijaga pada 400 kPa absolut dan

20"C. Nozel memiliki tenggorokan berdiameter l0 cm dan lubang keluar berdiameter 20 cm. Tentukanlah tekanan pembuangan

yang diperlukan untuk terjadinya gelombang kejut di lubang keluar. Untuk tekanan tersebut, hitunglah fluks massa dan kecepatan

tepat di depan gelombang kejut tersebut.

Gelombang Kejut Miring

9.42 Suatu aliran udara supersonik mengubah arah 20o karena adanya sebuah sudut tajam [Gbr. 9.9(b)]. Jika I, = 40'C, p, = SQ

kPa absolut dan V, = 900 m/s, hitunglah M2, pr dan V, dengan mengasumsikan (a) gelombang kejut lemdh dan (b) gelombang

kejut kuat.

9.43 Suatu aliran udara pada 25'C dan 50 kPa absolut dengan kecepatan 900 m/s dibelokkan oleh sebuah sudut tajam 25' oleh

sebuah gelombang kejut lemah. Estimasikanlah tekanan, kecepatan dan bilangan Mach di belakang gelombang tersebut.

V



170 ALIRAN KOMPRESIBEL IBAB 9

9,44 Sebuah gelombang kejut lemah terpantul dari sebuah dinding datar (Gbr.9.15). Jika Mr = 3 dan B, = 35o, rentukanlah sudutdari gelombang miring yang terpantul dan Mr.

9.45 Jika 7, = 10oC, tentukanlah V. untuk gelombang kejut yang terpantul dalam Soal 9.44.

9.46 Sebuah gelombang kejut kuat terpantul dari sebuah sudut. Jika bilangan Mach yang datang adalah 2,5 dan aliran berbelokmelalui sudut 25", tentukanlah sudut tumpul di antara gelombang dan dinding dan bilangan Mach di belakang.

9.47 Jika 7, = l0oC dalam Soal 9.46, hitunglah kecepatan di belakang.

Gelombang Ekspansi

9.48 Suatu aliran udara dengan bilangan Mach 2,4 memutari sebuah sudut cembung 40'. Jika temperatur dan tekanannya masing-masing adalah 5 oC dan 60 kPa, tentukanlah bilangan Mach, tekanan dan kecepatan setelah melewati sudut.

9.49 Suatu aliran udara dengan M = 3,6 ingin dicapai dengan cara membelokkan aliran supersonik 20'C dengan bilangan Mach 1,8

memutari sebuah sudut cembung. Jika tekanan di depan adalah 40 kPa absolut, berapakah besamya sudut tersebut? Berapakahkecepatan setelah melewati sudut?

9.50 Sebuah pelat datar, yang didesain untuk terbang dengan sudut 6o, digunakan sebagai airfoil dalam aliran supersonik. Buatlahsketsa pola aliran yang diperkirakan terjadi di sekitar airfoil tersebut.

9.51 Airfoil dalam Soal 9.50 harus terbang pada M = 2,4 pada ketinggian 16 000 m. Tentukanlah (a) besarnya tekanan-rekanan

di permukaan atas dan bawah dari airfoil, (&) bilangan-bilangan Mach (di bagian atas dan bawah) di belakang pelat denganmengasumsikan aliran memiliki arah paralel terhadap arah awalnya dan (c) koefisien gaya angkat, yang didefinisikan oleh

c. = gaya r"gtr/(jo,via)


9.8 Lihat soa[.

9.9 Lihat soal.

9.10 Lihat soal.

9.ll Lihat soal.

9.12 Lihat soal.

9.13 Lihat soal.

9.14 Lihat soal.

9.15 1087 m

9.16 333 m

9.17 (a) 0,297 (b) 0,668 (c) 0,996 (d) 0,835

9.18 510 m

9.19 (a) 336 m. 0,463 s (b) 404 m. 0,501 s (c) 672 m. 0,552 s

9.20 0,00406' C. l,l9 x l0 5 m/s

9.21 Lihat soal.

9.22 ta) 75.6 rn/s \b) 76.2 mls

9.23 (a) 0,890 kg/s (b) 0,890 kg/s

9.24 (a) 0,584 kg/s (b) 0,590 kg/s (c) 0,590 kg/s

9.25 0.590 kg/s

9.26 (a) 0,826 kg/s (b) 0,826 kg/s

9.27 (a) 0,226 kgls (b) 0,226 kgls



BAB 9I ALIRAN KOMPRESIBEL

9.28 0,452 kgls

9.29 44.5 m3

9.30 0.00187 kg/s

9.3I 0.792 kgis

9.32 (a) 388 dan 6,69 kPa (b) 397 dan 6,79 kPa

9.33 15.59 cm

9.34 34,8 m/s dan7,4l kg/s, 632 m/s dan 1,42kgls

9.35 9,23 cm,73i kPa absolut

9.36 (a) 145"C, 340 kPa, 264 mls, 0,629

9.37 (a) 1,4.95"C, 848 kPa, 0,628, 264 rnls, (b) 906 rr/s,2,64,395'C, 319 kPa, 259 m/s

(c) 583 m/s, 1,7, 154'C 0,640, 265 mls

9.38 425 mls

9.39 677 kPa

g.40 192 kPa, 7,41 kgls, 569 m/s

9.41 118,2 kPa, 7,41 kgls, 611 m/s

9.42 (a) 1.71, 192 kPa, 733 n/s, (b) 0,585, 431 kPa, 304 m/s

9.43 124 kPa absolut, 602 m/s, 1,51

9.44 41" 1,39

9.45 66'7 nt/s

9.46 tO4', 0,67

9,47 324 rnls

9.48 4,98, 1,69"1 kPa, 998 m/s

9.49 39,4', 835 m/s

9.51 (a) 6,9t5 kPa, 14,52 kPa (b) 2,33,2,46 (c) 0,182

1',71



Ali ran di dalamPipa dan Pompa

IO.I PENDAHTILU.{N

Aliran-aliran di dalam pipa dan saluran terjadi di seluruh dunia. Aliran-aliran ini digunakan untuk mengalirkan air.minum,air drainase. minyak mentah, bahan-bahan kimia dan banyak cairan-cairan lainnya. Ukurannya bermacam-macam mulaidari jalur pipa besar - mis. jalur pipa Alaska * hingga saluran-saluran medium dalam sistem pemanas dan AC hinggar

tabung-tabung kecil di dalam sistem pembuluh darah dan pernapasan. Dalam bab ini kita akan memulai dengln analisls.,

hidrolik dalam pipa tunggal, diikuti dengan pengenalan singkat mengenai pompa, karena pompa biasanya merupakan

bagian yang terintegrasi dalam jalur-jalur pipa. Kemudian kita akan memusatkan perhatian pada analisis aliran tunakdi dalam sistem-sistem yang lebih kompleks yang paling baik dikerjakan melalui teknik iteratif yang disebut rnetode

Hardy Cross. Kita akan mengakhiri dengan pembahasan singkat mengenai aliran tak-tunak di dalam jalur.jatur,pipa.

10.2 STSTEM PIPA SEDERHANA

10.2.1 Rugi-rugi

Dalam Subbab 7.6.3 sampai 7.6.5 kita merepresentasikan rugi-rugiuntuk memperhitungkan gesekan dan Pers. (7.86) untuk menangani

diulangi di sini untuk mempermudah:

,^ ,L V2,rt__ I D k

pipa dalam hubungan Darcy-Weisbach, ?er$;,{7.78}rugi-rugi kecil. Persamaan-persamaan tersebut akan

t7,78)

:

{v.79}

Karena konsep-konsep ini akan digunakan, pembaca disarankan melihat lagi subbab-subbab tersebut secara,keseh*rlihan

sebelum melanjutkan. Gambar 7.10 dapat digunakan untuk menentukan faktor gesekan. Selain rumus Dmcy-Weisbach;rumus Hazen-Wrlliams juga banyak digunakan dalam praktek. Rumus tersebut adalah

t,=KY /O

nr=ffie'.r' It0,t't

Dimana Q= buangan

L - panjang elemen pipa

C - koehsien yang dependen terhadap kekasaran pipa

Kr= 10,59 (untuk satuan SI) dan4.l2 (untuk satuan Inggris); perhatikan bahwa 1(, bergantung pada sistem

satuan.

112



BAB 101

Nilai-nilai untuk

dibandingkan dengan

ALIRAN DI DALAM PIPA DAN POMPA

C diberikan dalam Tabel 10. l. Rumus rugi Hazen-Williams

hubungan Darcy-Weisbach; jadi Pers. (7.78) lebih dianjurkan

Tabel 10.1 Nilai-nilai Koefisien Hazen - Williams.

Tipe pipa . C

Sangat halus; semen berserat I 140

Besi cor baru atau halus: beton 130

Baja las baru 120

Besi cor rata-rata; baja rivet baru; tanah liat vitrified It0

Besi cor atau baja rivet setelah digunakan beftahun-tahun 95- 100

Pipa-pipa tua rusak 60-80

173

bersifat empiris dan kurang akurat

CONTOH 10.1 Sebuah pipa besi cor (P = 400 m. D = 156 mm) menghantarkan 0.05 m3/s air pada 15"C. Bandingkan

yang disebabkan oleh g.r.kun dengan menggunakan rumus-rumus Darcy-Weisbach dan Hazen-Williams.

Penyelesaian: Penama tentukanlah laktor gesekan dan temukan koefisien Hazen-Williams:

fugr

o 0,0sv=.= ^ =2.83m,/sA n , O.15tl4r' = 1,141 x 10{ m2ls Re=$ =3,'l2xl05

f;=W= 0'00173 dan dari Gbr.7.10; J'=A,Ola'dan dari Tabel 10'1: C = 100'

Dengan menggunakan hubungan Darcy-Weisbach, Pers. 17.78):

hL = a,oz|* ffi , rUL*u = 26,2 m

Dengan rumus Hazen-Williams. Pers. (10. l)

, 1R5,. = . ^'.:,'::. j99, -, x o.o5, 8s

= 34. r mLl00r.6r x 0. 15..0,

Hubungan Darcy-Weisbach memberikan hasil yang lebih akurat.

10.2.2 Hidrolika dari Sistem Pipa Sederhana

Aliran di dalam jalur pipa tunggal dikaji dalam Subbab 7.6.3 samtriai 7.6.5. Pembaca harus memberikan perhatian khusus

pada penggunaan diagram Moody (Gbr. 7.10) dan pada ketiga kategori soal-soal pipa yang diberikan oleh Pers. (7.81) sampai

(7.83). Contoh 1.6 dan 7.7 mengilustrasikan bagaimana analisis dilakukan. Dalam subbab ini, kita mempelajari aliran di

dalam tiga sistem pipa yang relatif simpel; serial, paralel dan bercabang. Teknik-teknik penyelesaian disederhanakan karena

pompa-pompa tidak dimasukkan dan sistem pemipaannya tidak kompleks; teknik-teknik tersebut cocok untuk kalkulator,

algoritma spreadsheet dan piranti lunak komputasi. Prinsip dasar dalam pendekatan ad-hoc ini adalah mengidentifikasi

variabel-variabel yang tidak diketahui dan menuliskan persamaan-persamaan independen dengan jumlah yang sama yang

harus diselesaikan. Simpliflkasi selanjutnya melalui eliminasi sebanyak mungkin variabel menghasilkan suatu seri soal-

soal pipa tunggal yang harus diselesaikan secara simultan; soal-soal ini dapat diselesaikan melalui prosedur coba-coba

atau dengan menggunakan solver sistem persamaan.

Persamaan-persamaan energi dan kontinuitas digunakan untuk menganalisis sistem-sistem pipa. Biasanya, parameter-

parameter yang diprediksi adalah buangan Q dan head piezometrik H = ply + :. Di seluruh bab ini kita mengasumsikan

bahwa suku energi kinetik dapat diabaikan dibandingkan dengan besamya garis tingkat hidrolik (hydraulic grade line),

artinya, lPl2g << ply + z. Mengacu ke Gbr. 10.1(a), persamaan energi untuk satu bentang pipa adalah

Ho - Hu = lh, =Vb ,r' o,

*,;Kor)o'

( 10.2)

Di sini persamaan Darcy-Weisbach digunakan untuk merepresentasikan rugi-rugi gesekan dan -IK adalah jumlah koeflsren-

koeflsien rugi kecil di sepanjang bentangan. Secara lebih sederhana, jika kita merepresentasikan gesekan dan suku-suku

rugi kecil dengan sebuah koefisien resistan, atau rugi R, yang didehnisikan

* = ,rt o' Vb .'r) (10.-tt



174 ALIRAN DI DALAM PIPA DAN POMPA IBAB l0

(a) Elemen tunggal

o^

(c) Dua elemen paralel

Gambar 10.1 Sistem pipa sederhana

maka Pers. (10.2) menjadi

Ho- H, - RQ2 (10.4)

Hubungan yang telah disederhanakan ini menyimpan semua informasi yang diperlukan untuk menyelesaikan soal pipa

sederhana yang menggunakan hubungan Darcy-Weisbach untuk gesekan pipa. Kita hanya akan menggunakan hubungantersebut dalam pembahasan di seluruh bab ini.

CONTOH 't0.2 Hitunglah besarnya buangan dengan menggunakan data pipa dalam Contoh l0.l jika perbedaan dalam headpiezometrik adalah 20 m. Asumsikan penjumlahaa koefision-koefisien rugi kecil sebesar XK - 2,5 dan f = fl,925.

Penyelesaian: Pertama hitunglah koefisien resistansi dengan Perc, (10.3):

*=;fu ff *:ri=2rrs1(r?0J5?4y (0,025 xffi.r.r) = r.13 x 104s21m5

Kemudian tentukan buangannya dengan menggunakan Fers, (10.4):

(D) Tiga elemen serial

(persimpangan) j

(A Tiga elemen cabang

q

=1ry= o,o4? m3/s



176 ALIRAN DI DALAM PIPA DAN POMPA

Akfiirnya, aliran di dalam kedua pipa paralel dihitung dengan menggunakan Pers. (10.7):

H.-H^= 8' -- 0.042A 6 1 1 I i' 1 I I \

\.fn,*

./*, J t.,n 1sso*

,ffis2 j

^@o - uu .1;;604= 1, = 0.0253 mJ/sI R, I 4082

= 2,6M m

IBAB 10

(10.8)

(10.e)(10.10)

(10.1 1)

Qr=

Qt=

Penyeimbangan kontinuitas di lokasi D adalah

Sebuah contoh pemipaan bercabang diilustrasikan dalam Gbr. 10.1(d); pemipaan ini terdiri dari tiga elemen yangdihubungkan ke suatu persimpangan. Biasanya, head piezometrik di lokasi A sampai C dianggap telah diketahui danyang tidak diketahui adalah buangan Q, Qrdan Q, di setiap jalur dan head piezometrik di lokasi D. Analisis dilakukandengan mengasumsikan arah aliran dan menuliskan penyeimbangan energi di setiap elemen:

Ho-Ho=RtQ?

Ho-Hu=R2Q;Ho-Hr=\Q|

O,-O.-O.=0

Perhatikan bahwa arah aliran di setiap pipa hanya diasumsikan. Satu metode penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

l. Asumsikan Ho di persimpangan.

2. Hitung Q' Qrdan Q, di ketiga cabang dengan menggunakan Pers. (10.8) hingga (10.10).

3. Masukkan Qr, Qz dan Q, ke dalam Pers. (10. 11) untuk memeriksa penyeimbangan kontinuitas. Umumnya,ketidakseimbangan aliran LQ = Qr - Q2 * 03 menjadi tidak nol di persimpangan.

1. Sesuaikan head H, dan ulangi langkah 2 dan 3 sampai AQ masuk ke dalam batas yang diinginkan. Mungkin perluuntuk memperbaiki tanda di satu atau lebih persamaan jika selama iterasi I1D bergerak dari atas atau bawah salahsatu penampung atau sebaliknya.

Metode penyelesaian alternatif adalah menggabungkan persamaan-persamaan dan mengeliminasi semua variabelkecuali satu (biasanya Ho) dan menerapkan teknik penyelesaian numerik. Contoh 10.5 merepresentasikan tingkat kerumitanyang merepresentasikan batas penyelesaian dengan menggunakan kalkulator. Untuk sistem-sistem yang lebih rumit yangmelibatkan pompa, penampung tambahan atau elemen-elemen pipa, disarankan untuk memakai analisis jaringan yangdijelaskan dalam Subbab 10.4.

CONTOH 10.5 Tentukanlah laju aliran dan head piezometrik di persimpangan sistem trercabang dalam Gtrr. 10.lid). A,sumsikanflaktor-faktorgesekankonstan.He=12m.Hr= t5m.H.=5m..fr=Iz=h=0.02,Lt=ZOOm,D,=l00mm.tt=l5O*, ,1= ,OO. .*l L, = 7-50 m. D, = 150 mm.

Penyelesaian: Gunakan prosedur empat langkah yang digariskan di atas. Pertama-tama hitunglah koefisien-koefisien

resistansi dengan menggunakan Pers. (10.3); hasilnya adalah Rr = 33890 s2lms, Rt= 2j 280s2/ms dan R, = 16570 s2/m5. Kitamengasumsikan bahwa ,[1, lebih rendah daripada Ho dan Hr. tapi tebih tinggi daii Hr. Oleh karena itu, arah-arah aliran yangdihasilkan adalah pr dari A ke D. Q2darl Bke D Oan g, Oari D ie C. Sotusi iteratif diiunjukkan dalam tabel yang tertera. Iierasldihentikan ketika I AO | < 0,001 satuan.

lteration

2

HD

{perkiraan)

8t(Eq, 10,8)

Qz(Eq. 10,10)

o.(Eq. 10,9)

Qr+ Qr* Qt(Eq. 10,11)

I 12 0 0.01049 0,02055 -0,010062 11 0,s0543 0,01211 0.01903 -0.t$149

10 0,00768 0,01354 0,01137 +0,00385

4 t0.74 0,00610 0.01250 0.01861 *0,0ffi02

Maka solusi yang diperoleh adalah 11, = 10,7 m. Or = 0,0061 m31r, g, = 0,0125 m3/s, dan O: = 0,0186 m3/s



BAB l0l ALIRAN DI DALAM PIPA DAN POMPA 1--

10.3 POMPA DALAM SISTEM PIPA

Sampai di sini kita telah melihat sistem-sistem yang tidak melibatkan pompa. Jika di dalam sistem pipa terdapat pL)nrt;

dan laju alirannya diberikan, penyelesaiannya dapat langsung dikerjakan dengan menggunakan metode-metode r ans tel;i.kita bahas. Di sisi lain, jika buangannya tidak diketahui, yang memang biasanya terjadi, diperlukan penlelesairn sec"r:

coba-coba. Alasannya adalah karena head H, bergantung pada buangan, seperti yang ditunjukkan oleh kurra kantktert'::..pompa, kurva tebal dalam Gbr. 10.2. Kurva karakteristik diberikan oleh pembuat pompa. Gambar 10.-l menunlukru:,

sekumpulan kurva lengkap untuk sebuah pompa sentrifugal hasil manufaktur; termasuk di antaranya adalah kunrpul"i-kumpulan kurva head versus buangan untuk berbagai ukuran impeler. demikian juga kurva-kurva efisiensi dan d"r"Kebutuhan daya untuk suatu pompa diberikan oleh ekspresi (lihat Pers. (4.25))

HD

Hu- Ho

Gambar 10.2 Kurva permintaan pompa dan sistem

Q(ga1/min)

1000

250

300

100

80

60

Hu@l 50

l/r(ku,t 50

t0

0100

200

H, tfr t

150

100

50

0

I

lI

0

t210

8

6

42

205))n ";) -7',

-)7-t>.'

260

---f'_--240

30

20 ,\'psH (fr)

l0

0

NPSH (m)

100 r50 200 250 300 350 ,+0{l

O(mrh)

Gambar 10.3 Pompa sentrifugal dan kurva-kurva kinerja untuk empat impeler berbeda.

Cairan yang dipompa adalah air 20 'C. (Seiiin Sulzer Pumps Ltd).

Hu- Ho + RQ2

260 40 50 60 15np (vo)

fl40

75

220 _lZUJ

_L \ ./-I\ I

Diameter luar

impeler'

II

70

.\

-1220

260. 240

-1 -=lv)



178 ALIRAN DI DALAM PIPA DAN POMPA IBAB l0

(10.12)QHp

Untuk menentukan buangan di dalam sebuah jalur berpompa memerlukan suatu hubungan tambahan, yaitu kurvapermintaan, yang diperoleh dengan menuliskan penyeimbangan energi di seluruh sistem untuk berbagai nilai buangan.Mengacu ke sistem pompa-pipa dalam Gbr. 10.2, persamaan energi (lihat Pers. (10.4)) untuk pipa berpompa bersifatkuadrat terhadap Q:

Hr= (HB- Ho) + RQ2 (10.1 3)

Kurva permintaan diilustrasikan dalam Gbr. 10.2 oleh garis putus-putus (lihat Gbr. (10.13)). Suku pertama di sisikanan dari Pers. (10.13) adalah head statik dan suku kedua memperhitungkan rugi-rugi dalam sistem. Keterjalan kurvapermintaan bergantung pada rugi-rugi di dalam pipa; dengan meningkatnya rugi-rugi, head pemompaan yang dibutuhkanjuga meningkat dan demikian sebaliknya. Pemipaan dapat mengalami perubahan-perubahan jangka pendek pada kurvapermintaannya seperti misalnya katup-katup, dan dalam jangka panjang, pipa-pipa yang sudah tua dapat meningkatkanpermintaan secara permanen. Perpotongan kurva karakteristik pompa dan kurva permintaannya akan memberikan head

desain 11r, dan buangan Qo dalam Gbr. 10.2. Kita menginginkan solusi pada atau dekat dengan titik efisiensi pompayang terbaik.

Sebagai ganti dari kurva pompa aktual. kadang-kadang digunakan aproksimasi head-buangan pompa yangdirepresentasi kan oleh:

Hp (8) = ao + arQ + arQ) (10.1 4)

wP=

di mana koefisien arr, ardan a, diasumsikan telah diketahui; nilai-nilainya dapat diperoleh dengan memasukkan tiga titikdata dari suatu kurva pompa yang diberikan ke dalam Pers. (10, 14) dan menyelesaikan ketiga persamaan yang dihasilkansecara simultan.

CONTOH 10.6 Estimasikan buangan dalam sistem pipa yang ditunjukkan datam Cbr. 10.2 dan tentukan kebutuhan daya pompa.Untuk pipa. L=700 m, d= 300 mm.,f - 0.02 dan Hu- Ho = 30 m. Gunakan kurva 240 mm dalam Gbr. I0.3 sebagai hubunganhead-buangan pompa.

Penyelesaian: Perlama-rama tenrukanlah R dari Pers. (10.3):

R=

g m3/iam Q, m3/s I1r, m (Per. (10.13)) /1", m (Gbr. (10.3)

150 4,042 70.8 74

250 0.069 7?7 61

200 0,056 71,5 72

2x9,81(nx0.302/4) ,(0.0,

" #) =476 sztnts.

Penyelesaian coba-coba digunakan untuk menentukan head dan buangan pompa. Prosedumya adalah sebagai berikut: il) tebaklahsuatu nilaj buanganl (2) hitunglah Hrdengan Pers. (10.13): dan (3t bandingkan nilai tersebut dengan nilai dari kurva 240 mm dalam

Gbr. 10.3. Teruskan mengestimasi nilai Q sampai kedua head pompa sudah sama. Penyelesaian ini ditunjukkan dalam rabel.

Jadi. solusi aproksimasinya adalah Q = 200 m3/jam dan Hp= 72 m. Dari Gbr. 10.3. efisiensinya kira-kira 759c. jadi kebutuhan

dayanya adalahw, =TeHp

9g00 x=0#6 x 72= 5z7n \r/ o+a, 1nA

^r \= 52700 W aiau 706 hP

Dalam beberapa kasus, instalasi pompa bisa memerlukan berbagai ragam head atau buangan, jadi satu pompa saja tidak cukupuntuk memenuhi rentang permintaan yang diminta. Dalam situasi demikian, pompa-pompa dapat dipasang trertingkat secaraserial atau paralel sehingga memberikan operasi yang lebih efisien. Ketika te4adi variasi yang iebar dalam permintaan aliran.dua atau lebih pompa dapat diletakkan secara paralel, seperti dalam Gbr. 10.4(a). Kurva karakteristik gabungannya ditentukandengan mengamati bahwa kedua pompa memiliki head I/" yang identik dan buangan total melalui sistem IQ adalah penjurnlahanbuangan yang melewati setiap pompa untuk head yang dlberikan. Untuk permintaan yang memburuhkan head yang lebii tinggi.pompa-pompa dapat diletakkan secara serial untuk memberikan head yang lebih besar daripada secara individuat (Clr, f$.+t$i.Karena setiap pompa seria[ memiliki buangan yang sama. kurva karakteristik gabungannya iiperoleh dengan menjumlahlan head

LH, dari setiap pompa untuk buangan yang diberikan.



BAB 101 ALIRAN DI DALAM PIPA DAN POMPA 1?a

Qt Qs Qo=tQ

(fl) Pemompaan paralel.

Buangan

Gabungan AdanBompa

/

Ho = ZHp

Pompa B

Pompa A

Pemintaan sistem

Qo BuanganQs

(bl PemomPaan serial

Gambar 10.4 Sistem Pompa jamak.

CONTOH 10.7 Air dipompa di antara dua penampung di d:ilam pipa turggal dengan nilai R = 85 szlms. Untuk kurva karakteristik

pompa, gunakan H p -- 22.i + 10,7 Q .* t t I Q2. ffiiunglah buangan Q dan head pompa Hp untuk:

(a) Hs - Ho = 15 m dengan satu pompa beroperasi

io;",

- r^ = ,t * a.r,*gun ouu io*iu identik beroperasi paralel

(c) FIr - He = 25 m dengan dua pompa peroperasi serial

Penyelesaian: Karcna kurva pompa diberikan dalam bentuk kuadrat, Pers. (10.13) dan (i0.14) dapat digabungkan untuk

mengeliminasi l{" dan menyelesaikan Q. Penyelesaian-penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

(a) Samakan kurva permintaan sistem dengan kurva.karakteristik pompa dan selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan:

15 + 85Q2 = 22,9 + |OJQ * lllQz

LgsQz*rc,7Q*7,9=O

GaLrungan Pompa A dan B

Pompa B

Head



r80

(b)

IBAB 10

15 + B5d - 22,9 + 5,350 * 27,75e2

fi2,892 - 5,3sQ.- 7.9 = 0

o = r*O.*(s,:s * .6itl 4 " 11t8, ?p) = 0,2e *its

Hp= 15 + 85 x 0,292 = 22,2 m

(c) Dengan dua pompa serial, kurva karakteristiknya menjqdi

Hp = 2(22,9 + 5,35C - ],]lQ\= 45,8 + Zt,4g - ZZZ72

Samakan ini dengan kurva permintaan sistem dan selesaikan e:

25 + S5S * 45,8 + 2L,48 * 222Q2-_LY

30?d*2r'48*20'8=0

O = ,+3oi(zr.+ *,ElE + 4 " 3oi " 20.8) = 0,30 m3/s

ilp = 25 + 85 x 0,30?= 32,5 m

10.4 JARINGAN PIPA

10.4.1 Persamaan-persamaan Jaringan

Teknik-teknik penyelesaian sistem pipa sederhana, yang digariskan di atas, memiliki keterbatasandalam ukuran dankompleksitas sistem pemipaan yang dapat dianalisis. Akan lebih menguntungkan jika kita mencari suatu metode yang

lebih umum yang dapat menangani suatu sistem, yang disebut jaringan, yang terdin dari beberapa elemen pipa, satu ataulebih pompa dan mungkin beberapa penampung. Ada beberapa solusi jaringan pipa yang tersedia dan hampir semuanyamerupakan solusi secara coba-coba. Satu teknik yang kita gunakan di sini disebut metode Hardy Cross; metode ini dapatdengan mudah diadaptasikan untuk algoritma berbasis komputer; akan tetapi sebagai alternatifnya kita akan menggunakanpiranti lunak spreadsheet.

Perhatikan pemipaan dalam Gbr. 10.5(a); sistem ini lebih rumit daripada yang dianalisis dalam Subbab 10.2 dan10'3, jadi akan sulit diselesaikan melalui metode ad-hoc. Setiap sistem pemipaan yang telah kita pelajari sebelumnyadalam bab ini dapat diselesaikan melalui teknik Hardlt Cross, akan tetapi terlebih dahulu kita harus merumuskan soalnyasecara konsisten dan sistematis.

Jaringan pemipaan seperti yang ditunjukkan dalam Gbr. I 0.5(c) dapat dilihat terdiri dari noda-noda internal, loop-loopinternal dan jalur-jalur yang menghubungkan dua noda tingkat tetap (kadang-kadang jalur-jalur ini disebut pseudiloop).

Suatu noda internal adalah suatu lokasi di mana dua atau lebih pipa saling berhubungan dan head-nya tidak diketahui,dan noda-noda tingkat tetap adalah penampung-penampung dan lokasi-lokasi dengan rekanan konstan. Gambar 10.5(D)menunjukkan noda-noda dan loop-loop untuk sistem pemipaan dalam Gbr. 10.5(a). Noda A dan E adalah noda-nodatingkat tetap, dan noda B, C dan D adalah noda-noda internal. Loop I adalah loop internal dan loop II adalah pseudol.op.Untuk sistem pipa ini maupun yang lainnya, persamaan-persamaan jaringan umufi]nya adalah sebagai berikut:o Penyeimbangan energi ke arah positif jarum jam mengelilingi loop internal atau di sepanjang suatu jalur unik atau

pseudoloop yang menghubungkan noda-noda tingkat tetap:

I tt),ln,el - (H)il + Arl = o ( 10.1s)

di mana i = elemen pipa yang membentuk loop atau jalur(Hp)i = head melintasi pompa yang mungkin eksis di dalam pipa r

AH = selisih besarnya kedua noda tingkat tetap di dalam jalur dengan urutan searah jarum jam melewatisuatu pipa imaginer (garis purus-putus dalam Gbr. 10.5(b))


;=-T:.,:.;;TT*)= 0.23 m3/s

Untuk dua pompa paralel, kurva karakteristiknya adalah

Hp= 22.s + r0.?

(9) - n (g)' =22.e +s,350

- 2i,7sd.

Kurva permintaan $istem disamakan dengan hasil ini dao diselesaikan p:



BAB 101 ALIRAN DI DALAM PIPA DAN POMPA

Gambar 10.5 Contoh jaringan PiPa.

Untuk suatu loop internal , LH - 0, dan jika tidak ada pompa di dalam jalur atau loop, (11")-= 0. Tanda plus atau

minus menunjukkan arah aliran yang diasumsikan di dalam setiap pompa relatif terhadap arah positif jarum jam.

Kontinuitas di suatu noda internal:

Ir*t o,-O =0 I-t(.10.16)

di mana subskrip j mengacu ke semua pipa yang tersambung ke noda j dan Q, adalah permintaan eksternal. Tanda

plus atau minusmenunjukkan arah aliran yang diasumsikan (positif untuk aliran menuju noda dan negatif untuk

aliran keluar).

Untuk menentukan apakah jaringannya telah terepresentasikan dengan baik, kita dapat menggunakan aturan berikut. Jadi

F sebagai jumlah noda tingkat tetap, P jumlah elemen pipa, "/jumlah noda internal dan L jumlah loop internal. Maka,

iika iaringan telah terepresentasikan dengan baik hubungan berikut ini akan berlaku:

181

P=J+L+F-1

DalamGbr. 10.4, J=3,F=2danP=5, sehinggaL= 1.

(10.1n

(10. t8)

(10.1e)

loop atau jalur (Pers.

10.4.2 Metode Hardy Cross

Solusi Hardy Cross merupakan suatu teknik coba-coba dan mengharuskan persamaan-persamaan jaringannya bersifat

linier. Persamaan (10.15) merupakan suatu hubungan umum yang dapat diaplikasikan padajalur

maupun looptertutup

yang manapun di dalam suatu jaringan; seperti telah disebutkan sebelumnya, jika tidak ada pompa (Hp)i-- 0 dan untuk

loop internal A.F1 = 0. Anggaplah variabel buangan Q merupakan estimasi yang sebelumnya dan Q adalah estimasi yang

baru. Maka suku-suku non-linier dalam Pers. (10.15) dilinearisasi dengan cara berikut:

RQz=nO'*ryQ-A)+...

= RA' + zn0O -0;

Hp(e) = Hp(O\ . W e -O)+ ...

= ao* orA + arAz + (ar+ 2arAXg -Al

Ketika mengembangkan Pers. (10.19), kita telah menggunakan Pers. (10.14). Hubungan energit 10.l5)t menjadi

(a) Sistem secara fisik

(&) Loop dan noda



1tt2 ALIRAN DI DALAM PIPA DAN POMPA

I e);n,Q? - (ar+ o,Q, + ".A)l+ ltz R,A, - 6, + 2a.A)l (ei - A,) * tu = s

Perhatikan bahwa suku kedua tidak memiliki tanda plus atau minus. Jika kita definisikan Ae =penyesuaian aliran untuk suatu loop atau jalur dan memasukkannya ke dalam Pers. (10.20) dan

memperoleh

aQ= -ZJ=tllQi*o+ o,A, + orA)) - ta(10.21)

22Rpi -(ar+2a,arQi)l

Dalam metode Hardy Cross, diasumsikan bahwa penyesuaian aliran AQ diaplikasikan secara independen ke semua pipadi dalam suatu loop. Q harus memiliki tanda positif ke arah pengoperasian pompa normal; jika tidak, kurva pompa tidakterepresentasikan dengan benar dan Pers. (10.21) tidak akan berlaku. Selain itu, adalah sangat penting bahwa buanganmelalui pompa tetap di dalam batasan data yang digunakan untuk membentuk kurva pompa. Untuk loop terbuka yangtidak memiliki pompa atau noda tingkat tetap, Pers. (10.21) disederhanakan menjadi

IBAB r0

(10.20)

O - 0, sebagai suatu

menghitung AQ, kita

(10.22)

(10.24)

- Let, n,6.2LC) = -- :::- Lzn,g

Dalarn solusi Hardy Cross, kontinuitas (Pers. (10.16)) pada awalnya dipenuhi dengan aliran-aliran asumsi yang ditetapkandan tetap tetpenuhi di seluruh proses solusi. Metode ini dirangkum dalam langkah-langkah berikut:

l. Asumsikan distribusi aliran awal di dalam jaringan yang memenuhi Pers. (10.16). Makin dekat estimasi awal dengannilai sebenarnya, lebih sedikit iterasi yang dibutuhkan untuk mencapai konvergensi. Satu aturan yang harus diikutiadalah mengenali bahwa dengan makin meningkatnya R untuk suatu elemen pipa, Q akan menurun.

2. Tentukan AQ di dalam setiap jalur atau loop dengan menggunakan Pers. (10.21) ataukah (10.22) sesuai keperluan.Pembilang-pembiiangnya akan mendekati nol jika jalur-jalur atau loop-ioopnya menjadi seimbang.

3. Sesuaikan aliran di dalam setiap elemen pipa di semua loop dan jalur dengan menggunakan hubungan

o=6+Iao. (t0.23)

Di sini suku I AQ digunakan sebagai suatu koreksi karena suatu pipa bisa rnenjadi bagian dari lebih dari satu loop

atau jalur. Sebagai hasilnya, koreksi ini merupakan penjumlahan dari koreksi dari semua loop yang menggunakanelemen pipa tersebut.

4. Ulangi langkah 2 dan 3 sampai tingkat akurasi yang diinginkan sudah tercapai. Satu kriteria konvergensiadalah

LIA,- a) . ^

-:a

IOI

Di mana e adalah sebuah bilangan sembarang, katakanlah 0,001 < e < 0,005. Satu kriteria lainnya adalah meneruskaniterasi sampai setiap LQ dari setiap loop mencapai suatu nilai sembarang yang sangat kecil.

CONTOH 10.8 Tentukanlah distribusi aliran dan head piezometrik di simpangan-simpangan dengan menggunakan metode Hardy

cross untukjaringan

yang dirunjukkan datam cu'. ro.irri i^ --q5

*.'r;:0. a" :O:;;.i;ri;.'-- - -- "-'*r

Penyelesaian: Terdapattiga simpangan (J= 3). lima pipa (P = 5) dan dua noda tingkat tetap (F = 2), karena L= 5 -3 -2+ I = I loop internal. Selain itu. ada satu pseudoloop. Kedua loop dan arah aliran yang diasumsikan (positif arah jarum jam;

ditunjukkan dalam Gbr. 10.5(b). Persamaan (10.21t diaplikasi pada loop I dan Pers. (10.21) pada loop II:

Pipa L,m D. mm f sr-

I I00 r00 0.02

') 75 100 0,02 0

3 120 150 0,o2 0

4 80 t50 o.a2 0

5 2A 300 0^02



BAB 101

Rumus-rumus spreadsheet

Solusi spreadsheet

bDt 2

Ho- ilu

Pipa t 1?350

Pipa i 2611

PiN 4 tl41

P;rc 5 24


- t RzQzl q rl + \Q tl Q^l

t R rQ olQ^l

-

2t R tlQ tl + RzlQzl + Rrl 031)

183

L0,n= -(^,0, | 0,1+ n, A;O.I+ noAo rQol+ arO, tArl) *

@o - Hu)

i6,lArl+ Brl0,1+ nolfiil +R,lO5l)

perhatikanbahwasuku-sukutRpr.danRQtelahdigantikandengan n0 l0l O*ftlOldidalampersamaan-persamaansehingga

tanda yang benar akan diperhitungkan secara otomatis. Nilai-nilai 0 memiliki tanda positif atau negatif tergantung dari arah aliran

yang jiasumsikan, relatif terhadaf arah jarum jam positif untuk setiap loop. Penyelesaian melatui spreadsheet diilustrasikan dalam

kedua tabel yang diberikan, yurg .u.ini-masing menunjukkan rumus-firmus spieadsheet dan solusi-solusi numeriknya' Nilai-nilai

R dihitung dengan data yangdiberikan dengan *nggorr"ukun Pers. (10.3) dan iimasukkan ke dalam kolom B' Estimasi awal untuk

A;ib-rik.; Jiaar* t"i"* c dan nilai-iilai yanftehh diperbaharui ditunlukkan dl d*l fd:i f^rtL dan o.untul :Tti'

iterasi. Kriteriakonvergensi yang digunakan ai sniaOatatr menghentikan iterasi setelah nilai absolut AQ berada,di bawah 0,001'

perhatikan bahwa e. *.ngoirti"*t, dalam iterasi terakhir. Nilai-nilai buangan setelah iterasi keiempat ditunjukkan dalam Gbr'

10.6. Head piezometrik diiimpangan B, C dan D adilah

Ha = He- R'Q: = 45 - 24 x 0'0725r = 44'9 m

Hc = Ha* RoSl

Hn - HE- Rtgl

-0.o2*0.015

0.ot

-0.$45

= M,9 - 1741 x 0,0502 = 40,5 m

= 0 + 17 350 x 0,04752 = 39.2 m

ROI ol

=86+C6*ABS{C6}

=87*c?*ABs(c7)

=B8EC8*AlS(C8)

=SUM(D6;D8)

lnop 2

Hn- H,Pipa I 17350

Pipa 2 26llPipa 3 t14l

Pipa 4 24

=2*86*ABS{C6} {6+El2

=2x87*ABS{Cl) =C1rEl2-821

=2*88*ABS(C8) =C8+E.ll-[22

=SUM{86:E8)

45

=BI5*(15'ABS\CI5r=)'ts15'ABSrCl5r dl5rE22

=Bl:*Cl5'ABSrCl6F2*Bl6*ABSr(lbr =Clb+E22 El2

=817*C1?*ABS(Cl?)=2*BI7*ABS(C17) =cl7+E22-EI2

=Bl8*Cr8*ABS(C 18)=2*B t8*ABS(CL8) { 18+E22

=SUM(D14:D18i =SLM(EI5:E18}

=tsI6'CI5'ABS(( l6l

,0.035 -r-s.178 867,300 -{,01S1

-0.015 ,,587 78,-130 qU84

o,01 0,174 34,810 0,fi3{

-t5,59I 980.45{

45-(XXl

,0.1)2 -3.940

-0,015 0,58?

-0.01 -0,1?4

,0.045 -{l,Ms

-4,519 ,,13.:48 -0,0303

6,11t :5?,643 0,0198

9,3]5 255.511 0,0441J

10.967 91il.402

^o = r l2Er,2

5it2-3{X -O.02:5

130.533 {,(r50

l?4.0ti9 {1.0500

-r'1.04?i

-{},0:-i0

{.05ry)

J)07?5

886,88

s 68E+

45.000

-0,048J --{o.804 1682,80,1

-0,0250 -1,fi11 110.533

t,0500 +-352 111.08q

io?3t -0.130 ljx

1990,954

g.6iF )4

ROlAl 2RlOl

hda*1il I

1,598fr2

2qt8l :Rl 8l

19.692 285d094

AP.=I,74E-{):

8Ql0l :Rlol

ltetation 3

-r 1.155 750.165 -$-0235

1,()?3 103.368 0jl7s0

t,4q3 l5-s.975 0,0500

6.835 rilE,5Q8

,6.83u

A0, = 6,77E-n]

EAIoI 2RjOl

hetetiofl I

1,631

4.152

45.{n0

6r4.t00 o0o'5 lq.mo 2r4l.Jn, ll.(}<nl

-r.1r0 -u.rtrxl 4.lll 252.6+r o.0lqR

34,{20 r},0714 9.175 255.51 1 11.0448

2.r6il -0.0925 -0.205 ,r,{19 -l}.0?-51

45.000

41.493 l?l?.349

,1.011 103.368

3.493 t5-5,C15

-0.115 3.603

-3.rs 20t8.295

dQ,

=r,5?E 03

38,425 809,:110

LQ,,-1,13E42



184 ALIRAN DI DALAM PIPA DAN POMPA IBAB 10

Gambar 10.6 Aliran setelah empat iterasi,

10.4.3 Analisis Komputer untuk Sistem Jaringan

Analisis Hardy Cross merupakan versi modifikasi dari metode aproksimasi berurutan yang digunakan untuk menyelesaikansuatu himpunan persamaan-persamaan linier. Karena metode ini tidak membutuhkan inversi matriks, metoda Hardy Cross

dapat digunakan untuk menyelesaikan jaringan-jaringan yang relatif kecil dengan menggunakan kalkulator atau piranti

Iunak spreadsheet. Akan tetapi, untuk jaringan-jaringan yang lebih besar yang memiliki loop-loop dan cabang-cabangjamak, pemrograman komputer menyita waktu yang sangat banyak dan menjadi sangat rumit. Saat ini tersedia pirantilunak untuk solusi jaringan pipa umum yang memiliki solusi-solusi yang handal dan memberikan skema input dan outputyang memudahkan. Misalnya, source code dan buku petunjuk penggunaan untuk program analisis jaringan gratis EPANETdapat diperoleh dari website Badan Pengawasan Lingkungan Amerika Serikat (www.epa.gov). EPANET merupakansebuah program komprehensif yang menyimulasikan kualitas aliran dan air di dalam jaringan-jaringan pipa bertekanan.Untuk analisis hidrolika, piranti lunak ini memanfaatkan argoritma hibrida noda-loop yang disebut metode gradien. Selainpemipaan, sistem-sistem yang dapat dianalisis termasuk pompa, katup, penampung dan tangki penyimpanan air. Rugi-rugikarena gesekan pipa direpresentasikan melalui rumus-rumus Darcy*Weisbach, Hazen-Williams atau Chezy-Manning.

10.5 ALIRAN TAK TUNAK

Walaupun dahulu banyak aliran-aliran transien, atau tak tunak, terfokus pada soal-soal yang berhubungan dengan sistem-sistem daya hidro dan jalur-jalur air dan minyak, saat ini rentang aplikasinya termasuk operasi sistem kontrol dan pemipaan

untuk pembangkit daya nuklir dan termal. Eksitasi yang menyebabkan timbulnya transien dapat disebabkan oleh banyaksumber, tapi biasanya katup yang terbuka atau tertutup dengan cepat, kebocoran dan ledakan pipa, operasi pompa atau

turbin atau fenomena kavitasi. Dalam subbab ini kita memberikan fokus pada pipa horizontal tunggal dan mengamatidua tipe aliran fundamental: (l) aliran tak tunak inkompresibel dan tak-elastis, yang disebut surging, dan (2) aliran taktunak yang sedikit kompresibel dan elastis, yang disebut palu air (water hammer).

10.5.1 Aliran Inkompresibel

Kita perhatikan suatu pipa horizontal dengan panjang L dan diameter konstan D, yang ilitunjukkan dalam Gbr. 10.6. Ujungbagian hulu dari pipa tersambung dengan sebuah penampung dengan head 11, dan di ujung bagian hilir terdapat sebuah

katup yang keluar ke sebuah penampung dengan head 11,. Baik Il, maupun 11. tidak berubah terhadap waktu. Awalnya,

di dalam pipa terdapat kecepatan tunak Vo dan katup terbuka sebagian. Kemudian katup dibuka ke posisi baru, sehinggamengakibatkan terjadinya kecepatan tunak yang baru yang lebih tinggi. Untuk situasi-situasi di mana katup ditutup, baiksebagian maupun sepenuhnya, harus diperhatikan kemungkinan terjadinya palu air (lihat Subbab 10.5.2).

Dalam Gbr. 10.7, lokasi 2 berada di depan katup dan lokasi 1 tepat di dalam pipa. Dengan mengaplikasikan persamaan

momentum linier ke air di antara kedua lokasi tersebut, kita memiliki

A(pr- p2) - rorDL = p etffdi mana ,{ = potongan lintang pipa

V = kecepatan yang bervariasi dengan waktu

?o = tegangan geser dinding

(10.2s)

Cukup masuk akal jika kita mengasumsikan kondisi aliran kuasi-tunak melintasi katup sehingga

t t2P:=Pt*K+. (10.26)




di mana K adalah koefisien rugi katup. Kita juga mengasumsikan bahwa faktor gesekan Darcy-Weisbach / berdasarkanaliran kondisi tunak dapat digunakan tanpa mengakibatkan terjadinya kesalahan yang besar, dan selain itu bahwa koefisientersebut adalah konstan. Tegangan geser-nya adalah (lihat Pers. (1.j4)):

185

II

I

,rlI

Gamtrar 10.7 Aliran tak tunak dalam pipa horizontal.

G0.2nJika Pers. (10.26) dan (10.27) dimasukkan ke dalam Pers. (10.25), dan melakukan pembagian massa kolom cairan pALdan mengenali bahwa pt- pz= pg(Ht -]'4), setelah penyusunan ulang kita memiliki

- pfvzlo=

g

#.(L.f)';-r',';" =o

Hubungan untuk aliran inkompresibel ini memiliki kondisi awal V = Vo pada saat / = 0. Setelah katup dibuka lebih lanjutdengan mengubah koeflsien K, kecepatan dipercepat menjadi kecepatan kondisi tunak akhir Vrr. Karena pada kondisitwak dV/dt, kita dapat menentukan V* dengan membuat derivatif dalam Pers. (10.28) menjadi nol dan menyelesaikantl

-tl .

' - '.s-s'

i2s(H, - H-t

"'=]ffiQo'29)

Jika Pers. (10.29) dimasukkan ke dalam Pers. (10.28), kita dapat memisahkan variabel-variabelnya dan mengekspresikanhasilnya dalam bentuk integral:

It v?"t lv dv)oo'= rw=lt,l, , - r, tto'3ot

Setelah pengintegralan, hasilnya memberikan suatu hubungan antara kecepatan dan waktu setelah terjadinya eksitasikatup:

v,,L ,_ (V", a Vl(V,,- Vo)

' 2g(H; H3t "' {v-Jr11 v,,* yn,

(10.28)

(10.31)

Menurut hasil ini, dibutuhkan waktu tak terhingga untuk mencapai kecepatan kondisi tunak Vrr. Dalam kenyatannya,kecepatan tersebut akan tercapai lebih cepat karena kita belum memperhitungkan secara menyeluruh rugi-ruginya.

Walaupun demikian, untuk tujuan teknik praktis kita dapat rhenyatakan bahwa waktu yang dibutuhkan untuk mencapaisuatu persentasi dari V' dapat diperoleh dengan cukup baik melalui persamaan tersebut. Perhatikan bahwa Vo clapatsama dengan nol, artinya, awalnya fluida tidak bergerak. Ingat bahwa Pers. (10.31) didasarkan pada asumsi bahwa cairanbersifat inkompresibel dan pipanya bersifat tak elastis; Subbab 10.5.3 membahas situasi di mana asumsi-asumsi tersebuttidak berlaku

CONTOH 10.9 Sebuah pipa horizontal ( L = 500 m, D = 250 mm, Vo= 0,35m/s) riba-tiba dihadapkan pada suatu perbedaan

1*1yAg baru f{, - E: = 15 m kerika sebuah katup yang terletak di bigian hilir dibuka lebm secara mendadak dan koefisiennya

berubah menjadi K = 0,2. Ji*a faktor gesekannya adalahf= 0,02, rcnarkanlah keceparan kondisi tunak akhirnya dan wakru yangdibut*hkaa untuk mencapai kecepatzrn aktual 99Yo dari dlai tersetlut.

Fenyelesaian: Kecep*tan kondisi tunat< akhir ditentukan dengan memasukkan data yang diberikan ke dalam pers. (10.29):

V=JS 2x9,8lx150,02x 500i0,250 + 0,2 = 2.705 m/s




Dengan mengembangkan Pers. (10.32) dan (10.33) dan menghilangkan suku-suku yang berisi A2

kecil daripada yang lainnya, kita memperoleh hasil

pALV + (.V + a'y @LP + PM) = 0

-ALp=pA(V+a)LV

Dalam hampir semua situasi aliran industrial, V << a, sehingga Pers. (10.35) direduksi menjadi

187

dan A3 karena lebih

(.10.34)

( 10.35)

(10.36)p = -pALV

Persamaan (10.36) disebut persamaan Jouko*-sl1'; persamaan ini menghubungkan perubahan tekanan dengan densitas,

kecepatan gelombang akustik dan perubahan kecepatan. Terlihat jelas bahwa pengurangan kecepatan (AV negatif)

menghasilkan kenaikan tekanan (Ap positif) dan kenaikan kecepatan menghasilkan penurunan tekanan. Gelombang, yang

melewativolumekontrol,mengakibatkanperubahankondisip+Lp,V+LV,A+A,Adanp+Ap.Kondisi-kondisiini akan bertahan di dalam pipa sampai saatnya gelombang terpantul dari pembatas di hilir dan kembali ke posisinya;

pergerakan gelombang ini akan dibahas kemudian.

Untuk menentukan besaran kecepatan gelombang akustik, kita gabungkan Pers. (10.34) dan (10.35) dan mengeliminasi

AV, sekali lagi dengan mengamati V << a'.

( 10.37)

Perubahan relatif dalam densitas terhubung dengan perubahan tekanan melalui hubungan Ap/p = LplB, di mana B adalahmodulus bulk elastisitas untuk cairan. Selain itu, perubahan relatif dalam area pipa terhubung dengan perubahan tekanan

melalui MIA = Lp(DleE). Dalam hubungan yang terakhir ini kita telah mengasumsikan respons elastis seketika dari

pipa bulat berdinding tipis terhadap perubahan tekanan, di mana E adalah modulus elastis dari bahan dinding pipa dan

e adalah ketebalan pipa. Dengan memasukkan kedua hubungan ini ke dalam Pers. (10.37) dan melakukan penyusunan

ulang, kita memperoleh ekspresi untuk kecepatan gelombang pulsa tekanan:

Ap ap tlpa2PA

^ _^i Btp-

" -\t+\Dle)\BlE) (t 0.38)

Dapat ditihat bahwa a bergantung pada properti-properti cairan yang berada di dalam pipa (p dan B) dan properti-

properti dinding pipa (D, e dan E'). Jika pipanya sangat kaku, maka penyebut dalam Pers. (10.38) mendekati nilai satu

dan persamaan tersebut menjadi o = lUp yang adalah kecepatan suara di dalam cairan tak berbatas. Perhatikan bahwa

efek dari elastisitas pipa adalah mengurangi besaran dari gelombang tekanan.Selain menggunakan Pers. (10.36) dan (10.38) untuk memperkirakan kenaikan tekanan dan kecepatan gelombang

pulsa tekanan, kita juga perlu memahami sifat periodik dari palu air di dalam pipa dengan panjang L. Perhatikan kasus

di mana katup di hilir ditutup tiba-tiba di dalam sebuah pipa horizontal tanpa gesekan yang memiliki penampung terbuka

di ujung hilirnya. Satu siklus pergerakan diilustrasikan dalam Gbr. 10.9 dan dideskripsikan sebagai berikut:

r Kecepatan kondisi tunak Vo eksis di seluruh sistem, garis tingkat hidroliknya horizontal dan katup ditutup tiba-tiba

pada waktu nol.

. Gelombang merambat ke arah hilir dengan kecepatan a, mengikuti penutupan katup, dan di belakang gelombang

kecepatannya adalah nol, tekanan meningkat sebanyak Lp, cairan terkompresi dan pipa sedikit berekspansi.

. Gelombang mencapai penampung pada waktu Lla, dan terjadi suatu ketidakseimbangan gaya di lubang masuk pipa.

Di lokasi tersebut, tekanan pipa menurun menjadi tekanan penampung dan kecepatan berubah arah.

. Gelombang merambah ke arah hilir menuju katup.

. Gelombang mencapai katup pada waktu 2Lla dan kecepatan memiliki besaran - y0 di seluruh pipa.

o Kecepatan berkurang menjadi nol dan tekanan berkurang sebanyak Ap, di dekat katup yang tertutup. Di belakang

gelombang, cairan berekspansi dan dinding pipa berkontraksi. (Jika tekanan di belakang gelombang berkurang

menjadi tekanan uap, akan terjadi kavitasi yang mengakibatkan cairan menguap, sebuah kondisi yang disebut separasi

kolom)

. Gelombang tekanan mencapai penampung pada waktu 3L/a, di mana sekali iagi terjadi ketidakseimbangan kondisi

dan dengan besaran yang berlawanan dengan pada waktu L/a.

. Gaya-gaya saling menyeimbangkan dan sebuah gelombang merambat ke arah hilir dengan kenaikan tekanan Ap dan

kecepatan caiian +Vo di belakang gelombang.

. Gelombang mencapai katup pada waktu 4Lla dengan kondisi-kondisi tunak awal yang sekali lagi terjadi di seluruh

pipa.

Proses ini berulang setiap 4Lla detik dan untuk runtutan ideal tanpa gesekan yang dipaparkan di sini pergerakan ini menjadi

siklus. Bentuk gelombang tekanan di katup dan di titik tengah pipa, dan kecepatan di lubang masuk pipa ditunjukkan




6p = paVo

Pr = YHr

0

6p = paVu

P, = lH,0

Gambar 10.9 Gelombang-gelombang tekanan di katup (pz)

dan titik tengah pipa (pJ, dan keceparan di garis tengah pipa (V,).

dalam Gbr. 10.9. Di dalam pipa aktual, bekerjanya gesekan cairan, gerakan pipa dan sifat tak elastis dari bahan pipapada akhirnya akan menyebabkan osilasi palu air ini terdisipasi.

Kenaikan tekanan Lp yang diprediksi oleh Pers. (10.36) didasarkan pada asumsi bahwa katup menutup seketika, tapidapat juga digunakan untuk memperkirakan kenaikan tekanan maksimum untuk penutupan katup dalam waktu kurangdari 2Lla, waktu yang dibutuhkan gelombang tekanan untuk bergerak dari katup menuju penampung dan kembali lagi.Untuk waktu penutupan katup yang lebih besar dari 2Lla, dan untuk sistem pipa yang lebih rumit yang mungkin terdiri

dari elemen pipa jamak, penambahan gesekan dan kondisi-kondisi batas yang lebih rumit seperti misalnya adanya pompadan alat penekan surge, diperlukan analisis berbasis komputer.

CONTOH .]0Sebuatrpipabaja(E=22Ax106kPa,Lz230Am,D=500mm,e=l0mmlmeagalirkanairdeagankecepatanawal Vo = 0,75 m/s. Sebuah katup di ujung hilir dari pipa horizontal ini ditutup tiba-tiba sehingga eksitasnya diqr,rggap terjadiseketika, mengurangi kecepatan menjadi nol; Tentukanlah ia) kecepatan gelombang palsa tekanan di dala6 pipa (&)-kecepitansuara di dalam medium air tak berbatas, (c) kenaikan tekanen di katup yang tertutup, (d) waktu yang dipe{ukan b*gi getombanguntukbergerakkepenampurrgdan.kemba1ikekafipdan(e)periodeosilasipa1uaif'

Penyelesaian: Karena temperatur air tidak diberikan, asumdikan bahrrya B = 210 x 107 Pa dan p = 1000 kg/m3.(a)Kecepatange1omtrangdihitungdenganmenggunakanPers'(t0.38):

=1190 rr/s

(b) Kecepatan suara di dalam medium tak bertatas adalah

az 1450 m/s

Perhatikan bahwa kecepatan $uara di dalam medium air sekitar 23Vo lebih finggi dibandingtan dengan kecepatan gelo*bang didalam pipa.

(c) poru**n (10.36) digunakan untuk memperoleh kenaikan tekanaa, dengan mempertratfan bahwa peourunan keceparannyaadalahAV=-Vol

& = -Iffi x 1190 (-0,?5) = 8"92 x 105 pa *tau 892 kpa

(d) Waktu yadg diperlukan gelombang untuk bergerak srjauh dua kali panjang pipa adalah 2IJa = 2 x 2300/1190 = 3,8? s.

(e) Periode orilasinya adalah 4lla = 4 x 2300/1190 = ?,?3 s.

r , 500 .- 210 x 10'1T-x

-

Itl ,rn - rn

B-p

210 x 10'

1000




r-)xL=)r8oo=l,2o3,4--"13-30-Pertama-tama hitungiah perubahan kecepatannya dan kemudian gunakan Pers. (10.36) untuk menghitung perubahan tekanan

(asumsikan terjadi palu air):

^v-Q -

o'05.=r.592m/s^'-arq-o.zss+,o.z-

Lp =-paLV = -1000 x 1,330 x 1,592=-2,12 x 106Pa atau - 2120kPa

Perhatikan penurunan tekanan yang besar yang disebabkan oleh efek palu air. Tekanan awal di kkatup harus cukup besar

sehingga tidak terjadi kavitasi. Kavitasi di katup dapat dihindari dengan membuka katup secara perlahan.

Perubahan kecepatan dan kenaikan tekanannya adalah

AV= 0'05/2.=-0,796mls

0.7854 x 0.2-

Ap = -t000 x 1330(-O,796) = 1,06 x 106 Pa

Jadi kenaikan tekanannya sebesar 1060 kPa.

Soal-soal Thmbahan

10.6 Sebuah pompa terletak di antara dua ujung perpipaan horizontal. Kondisi-kondisi di bagian hulu pompa adalah D, = 75 mm

dan p, = 450 kPa dan di bagian hilir pompa Dz = 100 mm dan h = 900 kPa. Untuk buangan sebesar g = 100 l/menit dan

rugi lintas pompa sebesar h, = 7 m, berapakah daya masukan yang dibutuhkan untuk pipa jika efisiensinya adalah 78Vcl

10J Dua pipa serial memiliki propeni-properti berikut: Lt = 200 m, D, = 400 mm, Kt = 2, Lz = 650 n, Dz .= 350 mm, Kz= 3.

Head piezomi:trik di bagian hulu adalah He = 200 m dan di bagian hilir Ha = 57 m. Untuk kedua pipa, faktor gesekannya

adalah / = 0,025. Estimasikanlah buangan yang mengalir di dalam kedua pipa.

10.8 Air mengalir di dalam sistem yang ditunjukkan. Kurva pompanya diaproksimasikan oleh Hp= 150 - 5Q?, di mana 11" adalah

dalam m dan Q dalam m3/s. Carilah (a) distribusi aliran. (D) Jika efisiensi pompa adalah T5Vo,berapakah daya pompa yan-e

diperlukan? Gunakan Ri = 400 s2/m5, R, = 1000 s2lm5, R, = 1500 s2lms, Ho = 10 m, dan H, = 40 m.

Sebuah jalur pipa minyak (S = 0,86) memiliki tiga segmen seperti ditunjukkan, dengan menggunakan pompa booster untuk

setiap segmen untuk mengatasi gesekan pipa. Penampung A dan B berada pada ketinggian yang sama. Carilah besarnya buangan

untuk kondisi-kondisi berikut:

Pipa R, s2/ms wP, kw \,701 40 000 200 80

2 30 000 200 80

J 200 000 250 70

10.10 Minyak (S = 0,92) dipompa dari sebuah tangki penyimpanan dan disalurkan ke dalam sebuah penampung melalui sebua:.

--J a'F *c' --*{n8i+

..:/ / .-; 2 .--l-:a L-

pipa dengan panjang L = 550 m dan diameter D = 350 mm. Elisiensi pompa adalah tl = SOVa dan keluaran dayanya adalah

Wr= lO kW. Tentukanlah buangan p jika ketinggian di dalam tangki adalah ze=24 m, tekanan tangki adalahpe = 110 kPa

dan ketinggian penampung bawah adalah ir = 18 m. Penjumlahan rugi-rugi kecil di dalam pipa adalah EK = 4,5 dan faktor'

gesekannya adalah/= 0,015.

10.11 Tentukanlah buangan total dan aliran-aliran individu di dalam keempat pipa paralel yang ditunjukkan. Selisih garis tingkat

hidrolik antara A dan B adalah Ho- H, = 60 m. Data berikut berlaku:

r91

(a)

(.b)

(c)

10.9



10.12 Berapakah head yang diperlukan dan besamya buangan yang harus ditangani oleh pompa untuk sistem bercabang ini? Alirandidalampipa3-adalahQr= 0Zskearahyangditunjukkan?Gunakan}Io,=3rl,Ha=ll,5nt,Hr=12m, Ho=10m,Rr = 1400 s2lm5, R, = 2000 s2lm5, dan R: = 1500 s2lm5, dan R+ = 1000 s2lm5.

192 ALIRAN DI DALAM PIPA DAN POMPA IBAB r0

Pipa L,M D, mm f 2KI 650 850 0,02 1

2 1000 1000 0,025 J

3 500 750 0,015 0

4 750 1000 0,03 2

10.13 Sebuah sistem irigasi terletak pada bidang horizontal, yang memiliki sebuah pipa berdiameter besar yang mengalirkan airmelalui sebuah jalur tunggal ke tiga cabang. Pipa pengirim memiliki tekanan internal po = 200 kPa dan cukup besar sehingga

suku-suku energi kinetikinternalnya dapat diabaikan. Hitunglah distribusi aliran di dalam keempat pipa irigasi ini jika R, =1,6 x 104, Rz= 5,3 x 10s, R, = 6,0 x 105, R4 = 8,1 x 105, (semua dalam satuan s2lm5).

10.14 Dalam desain dan pembuatan pipa biasanya digunakan koefisien-koefisien non-dimensi yang menghubungkan daya pompa

lzp, kenaikan tekanan Lp dan buangan Q. Variabel-variabel lainnya termasuk densitas p, diameter impeler pompa D dan

kecepatan rotasi impeler rrr. Gunakan p, D dan o.l sebagai variabel-variabel berulang, hitunglah ketiga koefisien non-dimensiyang berhubungan dengan daya, kenaikan tekanan dan buangan.

10.15 Hitunglah distribusi aliran air di dalam sistem bercabang ini dengan menggunakan metode coba-coba. Asumsikan f = 0,02

untuk semua pipa. Kurva pompanya direpresentasikan oleh hubungan Hp = l2O - 0,5Q2 (head dalam m, buangan dalam m3/s),

Ht=20m, Hs= 50 m, Hc = 100 m, danH, = 40 m. Abaikan rugi-rugi kecil.

10.16 Hitunglah distribusi aliran dengan menggunakan metode_Hardy Cross. Data yang diberikan adalah Qr= 30 L/s, dan Qr= 39

L/s, R, = 30 s2lm5, Rz = 50 s2lms, dan R: = 20 s2lms.




. Jawaban-jawaban untuk Soal-soal Tambahan

10.6 1109 W

10.7 0,669 m3/s

10.8 (a) 0,413 m3ls, 0,227 m3/s, 0,185 m3/s, 1b; 1070 hp

10.9 0,0601 m3/s

10.10 0,365 m3/s

10.11 4,82 m3ls, 5,10, m3/s, 4,79, m3ls, 5,44, m3ls,

10.12 0,144 m3/s, 40,4 m

10.13 0,0154 m3/s, 0,0056 m3/s, 0,00526 m3/s, 0,00453 m3/s,

lo.l4 wrlpa'Dt, Lpl po2D2, QlaD3,

10.15 1,063 m3ls, 0,433 m3/s, 0,170 m3/s, 0,459 m3

10.16 33,75 Lls dalam B, 26,25 Lls dalam C,3,'75 L/s dalam C

10.17 0,106 m3/s

10.18 0,198 m3/s keluar dari A, 0,138 m3/s ke dalam B, 0,060 m3/s ke dalam C

l0.lg 0,0749 m3/s ke dalam D, 0,0249 m3ls ke dalam B,0,050 m3/s ke dalam C,0,0250 m3/s ke dalam B,O,o4gg m3/s ke dalam

A

10.20 27,7 Us, l1,OLls, 10,7 L/s, 5,0 L/s, 10,7 L/s, 20 m, 11 m, 10,9 m, 9,35 m

10.21 200 mm, 240 mm

10.22 270 m3/jam dengan dua pompa, 186 hp.

10.23 (a) 250 m3/jam, 63 hp (b') 450 m3/jam, 120 hp

10.24 58,4 s

10.25 73Va- 16 s



Satuan dan KonversiTabel A.l Satuan Inggris, Satuan SI dan Faktor-faktor Konversinya

Kuantitas Satuan Inggris Sistem Intelnasionala SI Faktor Konversi

Panjang inch

foot

mil

Luas square inch

square foot

Yolume cubic inch

.' cubic fbot

' gallon

Massa pound mass

slug

Densitasslug per cubic foot

Gaya pound force

Ifsaha,/torque foot pound

Tekanan pound per sqirare inch

pound per square foot

Temperatur derajat Fahrenheit

derajat Rankine

British thermal unit

kalori

fbot pound

Daya horsepower

lbot pound per second

Kecepatan fbot per second

A}t€lerasi fbot per second kuadrat

millimeter

nreter

kilometer

square centimeter

square meter

ctrbic cenlimeter

cubic meter

kilogram

kilogram per cubic meter

newton

newton meter

newton per square meter

(pascal)

derajat Celsius

derajat kelvinjoule

watt

meter per second

meter per second kuadrathertz

newton second per squeLre

meter

I in = 25.4 mm

1 fr = 0.3048 m

I mi = 1.609 km

1 in2 = 6.452 cm:

I ft2 = 0.09290 mlI in3 = 16.39 cm3

I fi3 = 0.02832 m-r

I gal = 0,0003789 m3

I lb = 0,4536 kg3

I slug = i4,59 kg

I slug/ft3=

515,4 kg/m3

I lb = 4.448 N

I frlb = 1.356 N.m

I lb/in2 = 6895 Pa

I 1b/ti2 = 47-,88 Pa

'F=9/5"C+32"R=9/5KI Btu = 1055 J

I cal = 4,186 J

I fr-lb = 1,356 J

I hp = 745,7 Y7

I ft-lb/second = 1,356 W

I ft/sec = 0.3048 rrVs

I ft/sec2 = 0,3048 mls2I c/sec = 1.000 Hz.rekuensi cycle per second

Vi+kositas pound second per

' , squzLre lbot

1 lb-sec/ft2 = 47,88 N.s/m2

i : :: I

ncis dari orgtrnisasi tersebut: Systdme InternalionalSingkataa resmi ini berasal dali bentuk bahasa Pera

195



Tahel A.2 Konversi Satuan-satuan\oo\

a

rlez

zX

zln

a

frjz

Xa

I-uas Caya Massa Kecepatan

cm = 0,3937 in

m = 3,281 ft

km = 0,6214 mi

in = 2,54 cm

ft = 0,3048 m

mi = 1.609 km

mi = 5280 ft

mi = 1760 yd

I lb = 0,4536 kg

I lb = 0,4448 x 106 clyn

l lb = 32,1'7 pdl

I kg 2,205 lb

I N=0,2248 lb

ldyn=2,248xrc6\bI lb = 4,448 N

oz = 28,35 g

lb = 0,4536 kg

slug = 32,17 11,

slug = 14,59 L*

kg = 2,205 lb

kg = 0,06852 slug

I mph = 1,467 ftls

1 mph = 0,8684 kn

1 ft/sec = 0,3048 m/s

I m/s = 3,281 ft/s

I krn/h = 0.2'78 mls

Usaha, energi, dan daya Tekanan Volume Laju aliran Viskositas

Btu = 778.2 frlb

tJ=107ergs

lJ=0.7376ft-lb

t cal = 3,088 ft-lb

t cal = 0,003968 Btu

I kWh = 3413 Btu

I Btu = 1,055 kJ

L frlb = 1,356 J

t hp = 550 frlb/sec

hp = 0,7067 Btuis

hp = 0,7455 kw

W=lJlslW=1,0x107dyn.cm)/s

erg = l0-7 j

Quad = 10ls Btu

therm = 10s Btu

lblin2 = 2,039 in Hg

lb/in2 = 21 ,7 in HrO

4,7 lb/in2 = 22,92 in Hg

4,7 lblin2 = 33,93 ft H2O

4,7 lblin2 = 1,0332 kg/cm2

4,7 lbfin2 = 1,0133 bar

kglcm2 = 14,22 1b/in2

in Hg = 0,4912 lblin2

ft H2O = 0,4331 lblin2lblin2 = 6895 Pa

lblft2 = 47.88 Pa

0sPa=lbar

kPa = 0,145 lb/in2

I ft3 = 28,32 L

I ft3 = 7,481 gal (U.S.)

I gal (U.S.) = 231 in3

I gal (Brit.) = 1,2 gal (U.S.)

lm3=1000L

I ft3 = 0,02832 m3

I m3 = 35,31 ft3

ft3/min = 4,719 x l0r m3/s

ft3/sec = 0,02832 m3ls

m3/s = 35,31 ft3/sec

gallmin = 0,002228 ft3ls

ft3/sec = 448,9 gallmin

I stoke = 10-a m2ls

1P=0,1 (N.s)/m2

I (lb-sec)/ft' = 4'7,88 (N.s)/m2

I ft2lsec = 0,0929 m2ls



Hubungan-

hubungan VektorA.B=A,8,+AP, +AF,

L x B = (ArB" Al)i + (A, B, - A, B,)i + @py- Ap)k

operaror gradien : v =ji * 9.i * 9uox oy oz

divergens dari V = V. V = *,'i r y

curr dari v= v ,. "=(3; 3:)'. (#

Persamaan Laplace's : V2@ = 0

Medan vektor irotasional : V x V = 0

- *), . (* #)-

197



APENDIKS C] PROPERTI FLUIDA

Tabel C.2 Properti-properti Udara pada Tekanan Atmosfer

t99

Temperatur

T("C)

Densitas

p (kg/m3)

Viskositas

p [(N.s)im2]

Viskositas

kinematik, v (m2ls)

Kecepatan

suara (m/s)

-s0-30

-20

-100

10

20

30

40

50

60

7080

90

100

200

300

1,582

1,452

r,394

1,342

1,292

1,247

t,204

1,164

1,127

1,092

1,060

1,0301,000

0,973

0,946

0,'146

0,616

1,46 x l0-s

1,56

1,61

1,67

t;72

1,76

1,81

1,86

1,91

1,95

2,00

2,052,09

2,t3

2,17

", <-7

2.93 x l}-s

0,921 x lfrs1,08

1,16

1,24

1,33

1,42

1,51

1,60

1,69

1,79

1,89

1,992,09

2,t9

2,30

3,45

4,75 x lO-5

299

312

3t9325

331

337

343

349

355

360

366

37t377

382

387

436

480

Tabel C.2E Properti-properti Udara pada Tekanan Atmosfer dalam Satuan Inggris

Temperatur

('F)Densitas

(slug/ft3)

Viskositas,

[(1b . det/fr2]

Viskositas

kinematik (ft2lsec)

Kecepatan

suara (ft/sec)

-200

20

40

60

68

80

100

120

160

200

300

400

r000

0,00280

0,00268

0,00257

0,00247

0,00237

0,00233

0.00228

0,00220

0,00213

0,00199

0,00187

0,00162

0,00144

0,000844

3,34 x 10-1

3,38

3,s0

3,62

3,'74

3,81

3,85

3,96

4,01

4,23

4,50

4,98

5,26'7,87 x l0-7

1,9 x 10-s

2,6

3,6

4,6

5,8

6,0

6,9

8,0

8,9

ll,3,.4,1

\0,7

\6,7

)3.2 x l0-5

028

051

074

096

tt7125

138

159

180

220

258

348

431

839



200 PROPERTI FLUIDA

Tabel C.3 Properti-properti Atmosfer Standar

Tabel C.3E Properti-properti Atmosfer dalam Satuan Inggris

APENDIKS C]

Ketinggian,

(m)Suhu

(K)Tekanan

(kPa)

Densitas

(kg/m3)Kecepatan

suara (m,/s)

0

s001000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

3000040000

50000

60000

70000

80000

288,2

284,9281,7

)"1\ )

262,2

249,2

236,2

))\ 7

216,7

216,7

216,7

216,7

216,7

226,5250,4

270,7

255,8

2r9,7

180,7

101,3

95,4389,85

79,48

61,64

4'7,21

35,65

26,49

19,40

14,17

10,35

7,563

5,528

1,1960,287

0,0798

0,0225

0,00551

0,00103

1,225

1,167

t,tt2l,007

0,8194

0,6602

0,5258

0,4136

0,31 19

0,2278

0, r 665

0,1216

0,0889

0,01844,00 x 10-3

1,03 x l0-3

3,06 x l0r8,75 x l0-5

2,00 x lO-s

340

338

336

JJJ

325

316

308

390

295

295

295

295

295

302317

330

321

29'7

269

Ketinggian,

(f0

Suhu

('F)

Tekanan

0bfie)

Densitas

(slug/ft3)

Kecepatan

suara (ftlsec)

0

1000

2000

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

36000

40000

50000

100000

59,0

55,4

51,9

41,2

23,4

5,54

-12,3

-30, l-48,0

-6s,8

-67,6

-67,6

-6'.7,6

-51,4

2tt62014

1968

1760

1455

tt94973

785

628

498

475

392

242

)1 )

0,00237

0,00231

0,00224

0,00205

0,00176

0,00150

0,00t27

0,00107

0,000890

0.000737

0,000709

0,000586

0,000362

3,31 x l0*5

tt7ll3109

098

078

058

037

016

995

973

971

97r

971

971



APENDIKS C] PROPERTI FLUIDA

Tabel C.4 Properti-properti Gas-gas ldeal pada 300 K (c,:",

k k: cnlc,)

Gas Rumus Kimiawi Massa Molar R p k

(ft-1b)/slug-'R kJ/(kg.K) t ft-lbt/slug-'R 1 kJ/{kg.Kr

Udara

Argon

Karbon

dioksida

Karbon

monoksidi

Etana

Helium

Hidrogen

Methane

Nitrogen

OksigenPropana

Uap

Ar

CO,

CO

crHu

He

H2

cH.N2

o2c,HtHr0

28,9'7

39,94

44,01

28,01

30,07

4,003

2,016

t6,04

28,02

32,0044,10

18,02

t7 t6

t244

tt29

l't't5

1653

12420

24660

3100

1774

1553t127

2'759

0,287

0,2081

0, I 889

0,2968

0,2765

2,077

4,124

0,5184

0,2968

0,25980, I 886

0,4615

6Ot2 I 1,004

3139 0,5203

5085 0,8418

6238 1,041

roToo ] r,ruu

31 310 I s.ro:85930 | 14.21

13330 | z,zs+

6213 t.042

5486 0.921610200 t.679

l r 150 t.872

1,40

1,66"t

1,287

1,40

I,184

|,667

1,40

1,30

t,40

t,394l,t21,33

Tabel C.5 Properti-properti Cairan-cairan Umum pada Tekanan Atmosfer dan Kira-kira 16 hingga 21" C (60 hingga 70" F)

CairanBerat spesifik Densitas Tegangan permukaan Tekanan uap,

lb/ftr N/m3 slug/ft3 kg/m3 1b/ft N/m Ib/inr abs kPa ahs

Etil alkohol

BenzenaKarbon

tetraklorida

Gliserin

Korosin

Merkuriu

oli sAE l0oli sAE 30

Air

49,3

56,299,5

78,6

50,5

845,5

57,4

57,4

62,4

7744

882815629

12346

7933

132800

90r6

9016

98 l0

1,53

1,753,09

2,44

1,57

26,29

1,78

1,78

r.94

789

9021593

r258

809

13550

917

9t7

1000

0,0015

0,00200,0018

0,0043

0,0017

0,032

0,0025

0,0024

0.0050

0,022

0,0290,026

0,063

0,025

0,46'7

0,036

o o15

0.073

i,50t2,50

2x106

2,31 x lO-s

0,34

10,386,2

1,59 xl0r

2,34

l0-5,4

a Ketika kontak dengan udara.



202 PROPERTI FLUIDA

Temperatur ('F)

100 140 180

APENDIKS C]

2200

2,0

1,08

6

4

\ \\

I'fliserin

\ Oli Kastbr

I

I

oli sAE 30

,/l

oli s,

ol

\E-low

i SAE{ W

S\

\

\<Merk n

Ker

Lostn

Ka

\.trklorida.

-N-

Air

Oktana'

\

Heo

=-

He um Ka ron diok ida L Lara

Metana

\E idrogen

I x 10-2

8

6

4

oo

-o

63

I x 10-3

8

6

4

2

1 x 10-a

8

6

4

id

2

1x 10 1

8

6

4

2

1 x 10-2

86

4

2

1 x l0-38

6

4

2

I x 10-a8

6

4

2

I x l0-58

2

1 x 10-s

8

6

4

2

1 x 10-6

86

4

2 x l0-1

0204060

Temperatur ('C)

Gambar C.l Viskositas sebagai fungsi dari temperatur. (Dari R. W. Fox dan T. A. McDonald,Introduction to Fluid Mechanics, edisi ke 2, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1978.)

t2000



APENDIKS C] PROPERTI FLUIDA 203

E

.\z

E

-rz

1 x 10-2

8

6

4

2

1 x 10-3

8

6

4

2

I x 10-a

8

6

4

2

1 x 10-68

6

4

2

1 x 10-7

8

1 x 10-5

8

6

4

2

.:0)

o

c€

.V

8

6

4

2

I x 1048

6

4

2

I x lO-s

8

6

4

2

I x 10-6

Gambar C.2. Viskositas kinematik sebagai fungsi dari temperatur pada tekanan atmosfer. (Dad R. W. Fox dan

T. A. McDonald, Introduction to Fluid Mechanics, edisi ke 2, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1978.)

M



Aliran Kompresibeluntuk Udara

1,76

1,80

1,84

1,88

1.90

I q)

1,96

2,00

)fia

2,08

2,12

2,162,20

) )t) ,e

2,36

2.40

)ta

2,48

) s,

2,56

2,60

2,64

2,68

) 1)

2,76

2,802.84

2,88) o,

2,96

3.00

3.04

3,08

3,12

3,16

t)o1 )t

3,28

^ .;3,1/

3,36

3,40

3.44

Tabel D.l Aliran Isentropik

I 1q7

1,439

1,48,t

1,531

1,555

1,580

I,633

r,688

1,745

1,806

1,869

1,935

2,005

2,O78

2,t54) )11

2,316

2,403) tat

2,588

2,686

2,789

2,896

3,007

3,123

3.241

3,370

3.s003,636

3,717

3,924

4,076

4'15

4,399

4,5'10

4,147

4,930

5, t21

5,319

5 5)1

5,736

5 q56

6,1 84

6,420

3,,18

1S)

3,56

3,60

3,64

3,68

3,72

3,76

3,80

3,84

3,88

10)3,96

4,00

4.01

4,08

t1)

4,16

1,20

4,24

4,28

41)

4,36

4.40

1,44

4.48

t<)

4,544,58

4,62

4,66

4,70

4,74

4.78

4,82

4,86

4,90

4.94

4,98

6,00

8,00

10,00

0,1349

0.1274

0,1204

0,1 1 38

0,1076

0,1018

0,9633

0,91 16

0,8629

0,8171

0,7739

0.7332

0,6948

0.6586

0,6245

0,5923

0,5619

o s111

0,s062

0,4806

0,,+565

0,1337

0,4121

0,3918

0,3725

0,3543

0,3370

0,3288

0,3129

0,2918

0,2836

0.2701

0,2573

0,2452

0,2338

o )))o0.2126

0,2028

0,1935

0,0633

0,0102

0,0236

0

:fi.::::

, o'++r,'$:OS::

:tt12:i.Srffi,

:{fifi;; tl":-+.,

$2*:'$132 l

iStI1.5:

,o,*0:,

,.0" .

,s,4*:

'O,rF.?::;.

:S,S.s;

r**ffi:l

$'6't::

4#8r:$;?t,

.fl16i:0;*.Ql

,0,s4...

,s,*8:,fl,sl:.

,0;9-.6:;

:1;0fr,

r1-&.,a.' :' :.4':

:iL$8:::tr.f,?r l

, ,i$,,jl'3&r.

t,?4

:t"*t

.;3-21;36

r1.40':;.1,4

I'f3rt,5?:IJ6.L60

.1;

1.dE,1:?21

:rl;W, srs$9

r9,9955,rll;9,.

:si98?31

;,q,*+,1S.

:.oiryqq,,B4Ll1:

:€;93. +5'.:i&;9:1{3::

1*,gXC,

rl018;55:i

1o$s1i 11

:CI,$-3.{,i?:.

;.S;Effi?:

rs;?@,:

,s-7f9 :1

,il"?l -*,,,s;?,$sil,

,0",9fi1,,:O;65ffi.:

ie;gm1:,r0;ffi1,1,

1,P,9,e5':

r$",5s-3i.,

4sx1,,.,i$;5$39,;.

,[email protected]$6$.;

.0s.'+r,;

'ml**;r;$iPfir2.;:

,1fi3fl8:,,

,ffif?-:'ll *',r',Bi?Lf?:r,

6;rffe;il*,ffiCI4i:

,0;{i546.

,ntr24., :,"

;9#$s .j;?2t?iiii

**pax.,

.0;*966r: :

1,0000

0,9997

0,9987

0,997 t

0,9949

0.9921

0,9886

0,9846

09799

0,9147

0,9690

0,96270,9560

0,9487

0,9410

0,9328

0,9243

0,9153

0,9061

0,8964

0.8865

0,8763

0,8659

0,8552

0,84.14

0,8333

o Rrr)

0,8 I 080,7994

0,7879

0,7764

0,7648

0,1532

0,7416

0,7300

0,7184

0,7069

0,6954

0,6840

0,6726

0,6614

0,6502

o 61q)

0,6283

0

14,48 15

7,2616

4,8643

2,9635

2,4956

2,1656

1,9219

1,735 8

I,5901

1,17401,380 I

1,3034

1,2403

1,1882

1.1152

1,1097

1,0806

1,0570

1,0382

|,0237

1,0129

1,0056

1,001,1

1,000

1,001

1,0051,011

1,020

1,030

1,043

1,058

t,075

1,094

1,1 l5

1,138

1,163

1,190

1,219

1,250

I,284

1,319

1,357

0,1850

0,1 740

0.1637

0. I 539

0.1192

0,t447

0,1360

0,1278

0, I 201

0,1 128

0,1 060

0,99560,9352

0,8785

0,8251

0,77 51

0,7281

0,6840

0,6426

0,6038

0,5674

0,5332

0,5012

0,4711

0,4429

0.4165

0,3917

0,36850.316't

0,3263

0,3071

0,2891

i )1))

0.2s64

0,21t6

0,2216

o.2146

o rn)?

0.1908

0,t799

0,1698

0,1602

0, l5 l2

0.1.128

0,6175

0,6068

0,5963

0.58s9

0,5807

0,5756

0.5655

0,5556

0.5458

0,536 l0.5266

0,51730,508 l0,4991

0,4903

0,4816

0.4731

0.4647

0,4565

0,4484

0,4405

0,4328

0,4252

0,4177

0,4104

0,4033

0,3963

0,38940,38?1

0,3761

0,3696

0,3633

0,357 l0,351 I

0,3452

0.3393

0,3337

0,328 Io tr)60,3 I 73

0,3121

0,3069

0,3019

0,2970

-l-l

1

-lI

-lI

-1

-1

-1I

-l1

-1

-1

-lI

-1

Tabel

0,2922

0,2875

0,2829

0.2784

0,2740

0,2697

0,2654

0,2613

0,2572

o )s1)

0,2493

0,2455

0,2418

0,238 I

0,2345

0,2310

n ))1a

0,224?

0,2208

0,2176

0,2144

0,2113

0,2083

0,2053

n ?or1

0,\994

0,1966

0, l 952

0,1925

0,1898

0,t872

0,1 846

0, I 820

0,t795

0,177 t

0,1747

0,1724

0, I 700

0,1678

0,1219

0,0725

0,0476

0

6,664

6,917

1,179

7.450

7,730

8,020

8,320

8,630

8,951

9,282

9,624

9.977

10,34

10.77

11,11

11,51

11,92

12,35

t) ?o

r ? )s

13,72

14,20

14,70

15,21

15,74

16,28

16,84

t7,1_3

17,72

18,32

18,94

r 9,58

20,24

20,92

21,61

?, ?1

23,01

23.82

24.60

-53,19

r09,1 1

51S q4

204



M1 M2, PzlP t T2/Tl PozlPot

l,00 1.000

r.04 036201.08 | 0.e217

r.r2 I 0.8966

r,000

r,09s

t,194

|,297

1,000

1,026

r,052

1,078

1,000

o,9999

0,9994

0,9982

APENDIKS D] TABEL ALIRAN KOMPRESIBEL UNTUK UDARA

Tabel D.2 Aliran Gelombang Kejut Normal

205

1,16

t,20

t,24

1,28

1,30

1,32

t,36

1,40

t,44

1,48

t,521,56

1,60

t,64

1,68

1,72

1,76

1,80

1,84

1,88

1,92

t,96

2,OO

2,04

2,08

2,12

2,t6

2,20))a) )9,

7?O

) 7,)

2,36

2,40

2,44

2,48

)\))552,60

2,64

2,68a 11

2,76

2,80

2,84

2,88

)9)2,96

3,00

3,043.08

0,8682

0,8422

0,8183

0,7963

0,7860

0,7760

0,7572

0,7397

0,7235

0,7083

0,6941

0,6809

0,6684

0,6568

0,64s8

0,6355

0,6257

0,6165

0,6078

0,5996

0,5918

0,5844

0,57'74

0,5707

0,s643

0,5583

0,5525

0,5471

0,5418

0,5368

0,5344

0,532t

0,5275

0,5231

0,5189

0,5149

0,5111

0,5074

0,5039

0,5005

o 4q7)

0,4941

0,4911

0,4882

0,4854

0,4827

0,480r

0,4776

0,4752

o.47290.r'06

1,403

1 ,513

t,627

t,745

i,805

1,866

1,991

2,120

) )\12,389

) \)92,673

2,820

2,97 t3,t26

3,285

3,447

3,613

3,783

1 q57

4,134

4,3r5

4,500

4,6894,881

5,077\ )7'7

5,480

5,687

5,898

6,00s

6,1 l36,33t

6,5s3

6,179

7,009

1 )4)7,479

7,720

7,965

8,213

8,46s

8,721

8,980

9,243

9,510

9,781

r0,06

r0,33

1o,62to-co

1,103

t,t281,153

1,178

1,191

t,204

1,229

1,255

1 ,281

1,307

1,334

1,361

1,388

1,416

1,444

t,473

I,502

1,532

t,562

t,592

t,624

1,655

r,688

t,720r,"t54

r,787

1,822

1,857

r,892

1,929

1,947

1,965

2,002

2,040

2,079

2,1 18

2,t572,198

2,238

2,280) 1))

2,364

2,407

2,45t

2,496

2.540

2,s86

2,632

2,679

2-726

0,9961

0,9928

0,9884

0,9827

0,9794

0,9758

0,9676

0,9582

0,9476

0,9360

0,9233

0,9097

0,8952

0,8'799

0,8640

0,8474

0,8302

0,8127

0,7948

0,7765

0,7581

0,7395

o Troq

0,70220,6835

0,6649

0,6464

0,6281

0,6100

0,5921

0,5833

0,5745

o \5'7)

0,s401

0,5234

0,5071

0,49910,4754

0,4601

0,4452

0,4307

0,4166

0,4028

0,3895

0,3765

0,3639

0,35 i70,3398

0,3283

0.3t72oif5_i

3,28

110

3,36

3,40

3,44

3,48

3,52

3,56

3,60

3,643,68

3,16

3,80

3,84

3,88

tq,3,96

4,00

4,04

4.08

4,12

4,t64,20L'.)/,

4,28

4,32

4,36

4,40

4,44

4,48

4\)4,56

4,60

4,64

4,68l't)

4,76

4,80

4,84

4,88

4q)

4,96

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10.00

0,4605

0,4596

0,4587

0,4s69

0,4552

0,4535

0,45t9

0,4504

0,4489

0,4474

0,44600,4446

0,4433

0,4420

0,4407

0,4395

0,4383

0,4372

0,4360

0,4350

0,4339

0,4329

0,4319

0,43090,4299

0,4290

0,4281

0,4272

0,4264

0,425s

0,4247

o,4239

0,4232

0,4224

0,4217

0,4210

0,42030,4196

0,4189

0,4183

0,4t76

0,41'70

0,4164

0,4158

0,4t52

0,4042

0,39't4

0,3929

0,3898

0.38750._1?80

12,38

12,54

12,69

13,00

13,32

13,64

13,96

t4,29

t1,62

14,95

t5,2915,63

15,98

16,33

16,68

t7,04

17,40

t7,76

18,13

18,50

18,88

19,25

19,64

)o o)20,41

20,81

21,20

2t,6t22,0ra1 ta

22,83

)7 )5

23,67

24,09

)4 5)

24,95

?5 lq25,82

26,27

26,71

27,16

27,62

28,07

28,54

?q no

41,83

57,00

74,50

94,33

116.50

1 071

3,049I O75

3,t27

3,1 80

3,234

3,288

3,398

3,454

3,5103,568

3,625

3,684

3;/43

3,802

3,863

1qrl3,985

4,047

4,1 10

4,t73

1,23'7

4,3014,367

+,+)z

4,499

4,566

4,633

4,702

4,77 t4,840

4,910

4,981

5,052

5,t24

5,1975,270

5,344

5,418

5,494

5,569

5,646<

"r1

5,800

7,941

t0,469

13,387

t6,693

20.388

0,2577

0,2533

0,2489

o,2404

0,2322

0,2243

0,2t67

0,2093

o )o))0,1953

0,1 8870,1 823

0,t'76t

0,1702

0,1 645

0,1589

0,1536

0,1485

0,1435

0,1 388

0,1342

0,1297

0,1254

0,12130,1173

0,1 135

0,1098

0,1062

0,1028

0,9948-1

0,9628-l

0,9320-l

0,9022-l

0,8735 I

0,8459-l

0,8 192-'

o,'7934-l0,768s-r

0,7445-1

0,72t4-l

0,699 1-1

0,6775"1

0,6567 |

0,6366-l

o,6t'72-l

0,2965-l

0,1535 '0,0849 I

0,0496-1

0.0304-10

Mr M2 PzlPt T2/71 Po2lPol

3,r2

3,16

3,20

3,24

0,4685

0,4664

0,4643

0,4624

I l,19

tl,48I 1,78

12,08

2.823

2,872) o))) q71

0,2960

0,28600,2762

0,2668

r-



206 TABEL ALIRAN KOMPRESIBEL UNTUK UDARA

Tabel D.3 Fungsi Prandtl-Meyer

APENDIKS D]

iM1.00

1,041,08

1,12

1, l61,20

1,24

1,28

1,32

1,36

1,40

1,44

1,48

t.52

1,561,60

1,64

1,68

1,72

1,76

1,80

1,84

1,88

t,92

1,96

2,00

2,04

2,08)t)2,16

2,20

))L

2,28

)7)2,36

2,40

2,44

2,48

)\)2,56

2,602.64

2,68

)'l'.)

2,76

2,80

2,84

2,88

)a)2.96

3,00

0

0,35100,9680

t,'735

2,607

3,-558

4,569

5,627

6,721

7,844

8,987

10,t46

11,317

t2,495

13,67714,861

t6.44311 )1)

18,397

19,565

20,725

21,877

23,019

24,151

25,27t

26,380

27,4't6

28,s6029,63r

30,689

31,732

32,763

33,780

34,783

35,771

36,746

37;108

38,655

lq 5Rq

40,s09

41,41542.307

43,187

44,053

44,906

45,746

46,573

47,388

48,1 90

48,980

49.757

90.00

74,0667,81

63,23

59,55

56.44

53.75

51,38

49,25

47.33

45,58

43,98

42,51

41,14

39,8738,68

37,5't

36,53

15 5s

34,62

33,75

1? q)

32,13

3 1,39

30.68

30,00

29,35

28,7428,14

27,58

27,04

26,51

26,0t?5 51

25,07

24,62

24,t9

23,78

23,38

22,99

22,62)) 76

21,91

21,57

2t,24

20,92

20,62

20,32

20,03

19,75

19,47

50 5?1

<1 11152,020

52,751

53,470

54,179

54.877

55,564

56,24t

56,907

57,564

58,210

58,847

59,474

60,09160,700

61,299

61,899

62.471

63,044

63,608

64.164

64,713

65,253

65,785

66,309

66,826

67,33667,838

68,333

68,821

69,302

69,777

70,245

70,706

71,161

71,6t0

72,052

72,489

72,919

73,34473,763-74,176

'74.584

74,986

75,383

75,775

76,162

76,544

76,920

19,20

18,95

18,69

18,45

t8,21

17,98

17,75

t7.53

17,31

17,r0

16,90

t6,70

16,51

16,31

16.1 3

15,95

15,77

15,59

15,42

15,26

15,10

t4,94

14,78

11,63

t4,48

t4,33

14,19

14,0513,91

t3,77

13,64

13,51

13,38

13,26

t3,t4t3,02

12,90

t2,78

12,67

t2,56

t2,4512.34

12,23

12,13

12,03

tl,921 1,83

1l,73

I 1,63

11,54

3,04

3,083,t2

3,16

3,20

3,24

3,28

1 17

3,36

3,40

3.44

3,48

15?

156

3,603,64

3,68

\7)3,76

3,80

3,84

3,88

3,92

3,96

4,00

4,04

4,08

4,124,16

4,20

4,24

4,28

41)

4,36

4,40

4,44

4,48

4,52

4,56

4,60

4,644,68

4,72

4,76

4,80

4,84

4,88

4,92

4,96

5,00



Aaliran arus-bebas 40

aliran Couette 96

aliran datar 38

aliran di sekitar airfoil 127

aliran di sekitar benda tumpul 122

aliran dua dimensi 38

aliran eksternal 38. 121

aliran inkompresibel 40

aliran intemal 91

aliran irotasional 35

aliran kental 38

aliran kompresibel 151

aliran kompresibel cairan 186

aliran laminar 93

aliran laminar 39

aliran lapisan batas 134

aliran nozel isentropik 153aliran poiseuille 93

aliran potensial 128

aliran saluran terbuka 109

aliran satu dimensi 38

aliran seragam 38

aliran stokes 122

aliran tak-kental 38

aliran terbentuk 38. 91

aliran tercekik 155

aliran tiga dimensi 38

aliran turbulen 101

aliran turbulen 39

analisis dimensional 80

arus bebas 121

awalan SI 3

Bberat spesifik 5

bilangan Euler 83

bilangan Froude 83

bilangan kavitasi 125

bilangan mach 40, 83, 128, 153

bilangan Reynolds 39, 83

bilangan Reynolds kritis 134

bilangan Strouhal 83. 125

bilangan Weber 83

Ccairan 3

D

daerah separasi 121

derivatif material 34

deskripsi aliran Eulerian 33

deskripsi Eulerian 33, 51

deskripsi Lagrangian 32

diagram benda bebas 7

diagram Moody 104

difusivitas termal 76

dilatan, pseudoplastik 6

dimensi dasar dan satuan 2

dimensi turunan dan satuan 2

divergens 70

Eefisiensi pompa 53

efisiensi turbin 53

energi internal spesifik 8

entalpi 8

Ffaktor gesekan 95

faktor koreksi energi kinetik 53

faktor koreksi momentum 55

fluida non-Newtonian 6

fluida Newtonian 6

fluks massa 52

lbrmula Blasius 137

fungsi harmonik 129

Ggaris tingkat energi 108

garis tingkat hidrolik 108

gas 3

gaya angkat 122

gaya apung (buot'anc.y), 27

gaya hambat 80, 122

gelombang ekspansi 163

gelombang kejut 153, 157

gelombang kejut miring 160

gelombang kejut normal 157

gelombang suara 152

gradien kecepatan 5

gravitasi spesifik 5

Hhidrofoil 126

hukum gas ideal 8

hukum kedua Newton 16,49,93

hukum pertama termodinamika 9, 49

Jjaringan pipa 180

Kkalor"spesi{ik 8

kavitasi 8. 125

kecepatan arus bebas 134

kecepatan geser 138

kecepatan suara 152

kehomogenan dimensional 80

kekasaran relatif 104

kekekalan massa 51

kekuatan doublet 130

kekuatan sumber 130

kekuatan vorteks 130

kerucut Mach 153

keserupaan 84

ketebalan momentum 136

ketebalan perpindahan 136

koefisien Chezy' 109

koefisien gaya angkat 122

koefisien gaya hambat 122

koefisien gesekan kulit 137

koeflsien gesekan kulit lokal 137

koefisien rugi 106

kondisi no-slip 6

konduktivitas termal 76

kontinum 3

kurva karakteristik 177



t08

Llaju aliran 52

lapisan batas 38

Laplacran 73

lintasan bebas rata-rata 3

Mmanometer 18

massa 1

massa tambahan 127

medan aliran 33

medan kecepatan 33

metode Hardy Cross 172, 180

modulus bulk 7

persamaan integral von Karman 136

persamaan Joukowsky 187

persamaan konstitutif, persamaan

kontinuitas 36

persamaan kontinuitas 52, 135

persamaan kontinuitas diferensial 70

persamaan lapisan batas Prandtl 139

persamaan Laplace 129

persamaan momentum 55

persamaan momentum diferensial 71

persamaan Navier-Stokes 36, 73, 93

plastik ideal 6

profil hukum pangkat 103

profil semi-log 102

properti fluida 5

streakline 33

streamline 33

streamtube 33

sudut Mach 153

Ttegangan 3

tegangan geser 3

tegangan normal 3

tegangan permukaan 7

tegangan vektor 3

tekanan 4, 16

tekanan stagnasi 42

tekanan statik 42

tekanan uap 7

INDEKS

1469_mekanika fluida

Documents