pengujian vektor rataan-part2
Post on 21-Feb-2018
246 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
1/90
PengujianHipotesistentangVektor Rata-rata (Part 2)Nusar HajarismanDepartment of Statistics, Universitas IslamBandung
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
2/90
Pengujianpada Variabel IndividuKetika H0 Ditolak
Apabila hipotesis ditolak, makaimplikasinya adalah bahwa ada satu yangmemenuhi untukj= 1, 2, , p.
Akan tetapi tidak ada jaminan bahwa H0:akan ditolak untuk beberapajmelalui uji univariat.
Namun demikian, apabila kita perhatikan suatukombinasi linear dari variabel, z= a y, kemudian
setidaknya ada satu vektor koefisienayang mana
0 1 2:H =
1 2j j
1 2j j
1 2
2
1 2
( )1 / 1 / )
z zt
n n s
=
+a
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
3/90
Pengujian pada Variabel IndividuKetika H0 Ditolak
akan menolak hipotesis yang bersesuaian
atau
Diketahui bahwa dan ,
serta penaksir varians adalah penaksirgabungan a Sgaba. Jadi Persamaan (5.20) dapatditulis sebagai
0 1 2: z zH = 0 1 2: ' 'H =a a
1 1`z = a y 2 2`z =a y
2s
( )
1 2
1 2 1 2 gab
` `
( ) / `t n n n n
= +
a y a y
a a S a
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
4/90
Pengujian pada Variabel IndividuKetika H0 Ditolak
Oleh karena t(a) dapat bernilai negatif, maka nantiakan bekerja t2(a).
Fungsi linear z= a ymerupakan proyeksi dari y
pada suatu garis melalui titik pusat. Kita akan mencari suatu garis (arah) sedemikian
rupa sehingga selisih akan dimaksimumkanketika diproyeksikan.
1 2y y
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
5/90
Pengujian pada Variabel IndividuKetika H0 Ditolak
Selisih yang diproyeksikan [dibakukanoleh a Sgabadalam(5.21)] akan lebih kecil dalamsembarang arah dibandingkan dengan garisparalel yang menggabungkan dan .
Nilai ayang memproyeksikan pada garis ini akanmemaksimumkant2(a) dalamPersamaan (5.21)melalui
( )1 2` a y y
1
y 2
y
( )1gab 1 2= a S y y
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
6/90
Pengujian pada Variabel IndividuKetika H0 Ditolak
Oleh karenaadalam(5.22) memproyeksikanpada garis paralel pada suatu garis yangmenggabungkan dan , maka dalamhal ini
t2
(a) =T2
Ketika , maka z= a ydisebutsebagai fungsi diskriminan.
Kadang-kadang vektora itu sendiri dirujuk sebagai
fungsi diskriminan.
1 2y y
1y 2y
( )1gab 1 2= a S y y
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
7/90
Pengujian pada Variabel IndividuKetika H0 Ditolak
Apabila ditolak melalui statistik-T2 dalamPersamaan (5.9), maka fungsi diskriminana yakanmembawa pada penolakan denganmenggunakan (5.21), dimana .
Kemudian kita dapat menentukan masing-masing ajdi dalamauntuk melihat mana yang memberikankontribusi penting terhadap terjadinya penolakanH
0
tersebut.
Prosedur ini hanya dapat dilakukan pada saathipotesis ditolak melalui statistik-T2.
0 1 2:H =
0 1 2: ' 'H =a a
( )
1
gab 1 2
= a S y y
0 1 2:H =
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
8/90
Contoh 5.4
Untuk data hasil psiko-test dalamTabel 5.1, telah diperolehbeberapa besaran yang diperlukan, yaitu vektor rata-ratadan matriks kovarians gabungan dari kedua sampel tersebutsebagaimana yang diberikan pada Contoh 5.3.
Vektor koefisien fungsi diskriminan diperoleh melaluiPersamaan (5.22) sebagai
( )1gab 1 2
0.5104
0.2033
0.46600.3097
= =
a S y y
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
9/90
Contoh 5.4
Jadi kombinasi linear yang terbaik dalammemisahkan kedua kelompok tersebut adalah
a y= 0.5104y1 0.2033y2 + 0.4660y3 0.3097y4
sehingga terlihat bahwa variabel y1 dan y3memberikan kontribusi relatif lebih besar untuk
membedakan kedua kelompok tersebut.
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
10/90
Perbandingan Berpasangan(Univariat)
Misalkan dua buah sampel adalah tidak salingbebas sebab di sana terjadi pemasangan alamiahantara observasi ke-i yi pada sampel pertamadengan observasi ke-i x
i
dalamsampel kedua untukseluruh i.
Sebagai contoh misalnya suatu perlakuan diberikansebanyak dua kali pada individu yang atau padasaat subjek dipasangkan menurut kriteria yangsama, misalnya umur, IQ, atau latar belakangkeluarga.
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
11/90
Perbandingan Berpasangan(Univariat) Dengan melakukan pemasangan seperti itu, sampel yang
diperoleh seringkali dirujuk sebagai data berpasangan(paired observations) atau pasangan yang dipasangkan(matched pairs).
Tentu saja kedua sampel tersebut berkorelasi, sehinggastatistik uji yang diberikan dalamPersamaan (5.9) menjadikurang tepat karena sampel harus saling bebas agar supaya(5.9) mempunyai distribusi-t.
Oleh karena itu kedua sampel akan direduksi menjadi satu
sampel dengan jalan menghitung selisih antara data yangberpasangan
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
12/90
Perbandingan Berpasangan(Univariat)
Untuk memperoleh uji-t, maka tidak cukup untukmengasumsikan normalitas saja untuk setiapvariabel ydan x.
Untuk memperhitungkan kovarians antara ydan x,maka kita asumsi tambahan bahwa ydan xmengikuti distribusi normal bivariat dimana
2 2
2 2,
y y yx
yx xx
= = !
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
13/90
Perbandingan Berpasangan(Univariat)
Diketahui bahwadi =yi xi akan mengikutidistribusi
dimana:
Dari d1, d2, , dn akan dihitung
( )2,x dN
2 2 22d y yx x = +
=
=n
i
idn
d1
1
= =n
i
id ddn
s1
22 )(1
1
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
14/90
Perbandingan Berpasangan(Univariat)
Untuk menguji hipotesis H0: y =x atau samadengan H0: d = 0, akan digunakan statistik satu-sampel:
yang akan mengikuti distribusi tn 1 pada saat H0benar. Hipotesis H0 akan ditolak apabila | t| >t/ 2,n 1.
Dalamhal ini tidak perlu diasumsikan bahwakarena tidak ada pembatasan pada.
/d
dt
s n
=
2 2
x =
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
15/90
Perbandingan Berpasangan(Univariat)
Pengujian ini hanya mempunyai derajat bebasn 1dibandingkan dengan 2(n 1) uji-tuntuk duasampel yang saling bebas dalamPersamaan (5.8).
Secara umum, proses pemasangan observasi inimereduksi keragaman dalamsampelsd sehinggamampu meningkatkan kuasa ujinya.
Apabila kita keliru dalammemperlakukan kedua
sampel itu saling bebas dan menggunakan statistikdalam(5.8) dengan n1 =n2 =n, maka kita akanmempunyai:
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
16/90
Perbandingan Berpasangan(Univariat)
Akan tetapi,
sedangkan
2gab gab
2 / 2 /
x y xt
s n s n
= =
( )2 2 2 2
2
gab
( 1) ( 1)2 2
( 2)
x y xn s n sE s E
n n n n
+ += = +
2 2var( ) ( 2 ) /y x yxy x n = +
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
17/90
Perbandingan Berpasangan(Univariat)
Jadi, jika statistik uji untuk sampel saling bebasdalam(5.8) digunakan untuk data berpasangan,maka statistik tersebut tidak akan mengikutidistribusi-t,
serta akan mempunyai suatu penaksir yang bersifatunderestimatedari nilai-tsesungguhnya karena
yxxyxy 22222 +>+
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
18/90
Perbandingan Berpasangan(Univariat)
Dengan demikian kita dapat menggunakan
Tetapi
dalamPersamaan (5.23) lebih sederhana untukdigunakan.
nsss
xyt
yxxy /2( 22 +
=
/ dt nd s=
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
19/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat) Suatupengukuransering dicatat di bawahsejumlahkondisi
percobaanyang berbeda untukmelihat apakahresponsberbeda secara nyata menurutkondisi percobaantersebut.
Suatupendekatanyang masukakal untukmembandingkandua buahperlakuan, atauada tidaknya suatuperlakuantunggal, adalahdenganmenetapkankedua perlakuantersebutpada unit yang sama atauidentik.
Responsberpasangankemudiandapat dianalisisdenganmenghitung perbedaannya itu. Prosedur perbandinganpada kasusdata multivariat untukprespons, 2 perlakuan,
dannunit percobaandapat disusunsebagai berikut:
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
20/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
X11j = variabel 1 dibawahperlakuan1
X12j = variabel 2 dibawahperlakuan1
X1pj = variabelpdi bawahperlakuan1
X21j = variabel 1 dibawahperlakuan2
X22j = variabel 2 dibawahperlakuan2
X2pj = variabelpdi bawahperlakuan2
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
21/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
Untukpbuah variabel acak untuk perbedaan atauselisih secara berpasangan diberikan oleh:
D1j
= X11j
X21j
D2j= X12j X22j
Dpj= X1pj X2pj
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
22/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
Misalkan
Diasumsikan, untukj= 1, 2, , n, bahwa
( )
1
2
j
p
E
= =
DM
( )cov j d=D !
'
1 2, , ...,j j j p jD D D = D
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
23/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
Perlu diketahui bahwaD1,D
2, ,D
nadalah vektor acak Np(,) yang saling bebas,
sehingga inferensi tentang vektor rata-rata perbedaandapat didasarkan pada statistikT2yang diberikan oleh:
( ) ( )2 `T n= -1dD " S D "
1
1 n
j
jn == D D
( ) ( )1
1`
1
n
d j j
jn ==
S D D D D
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
24/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
Untuk menguji hipotesis bahwa H0: =0melawan H1: 0untuk populasi Np(,d) akan menolak H0jika:
2,
( 1) ( )( )
p n pn pT n Fn p
= > -1dD`S D
dimana Fn,n p() merupakan batas atas persentil
ke-(100) dari distribusi F dengan derajat bebaspdan np.
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
25/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
100(1 )% interval kepercayaan simultan untukrata-rata perbedaan individu diberikan oleh:
2
,( 1 ): ( )( )
d
i i p n pSn pd F
n p n
dimana id adalah unsur ke-idari vektor D
dan2
idS adalah unsur diagonal ke-idariSd.
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
26/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)Contoh 1:Gugus data berikut ini diberikan untuk mengujihipotesis mengenai ada tidaknya perbedaan yangdiberikan oleh dua buah laboratoriumdalam
pemeriksaan sifat-sifat kimia dari polusi sungai. Adadua sifat kimia yang akan diamati (x1 danx2) dengansampel berukurann= 11.
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
27/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
Sampelj
Laboratorium1 Laboratorium2X11j X12j X21j X22j
1
2
34
5
6
7
89
10
11
6
6
188
11
34
28
7143
33
20
27
23
6444
30
75
26
12454
30
14
25
28
3635
15
44
42
5434
29
39
15
13
2229
31
64
30
6456
20
21
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
28/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
Statistik T2 untuk menguji hipotesisH0: = [1, 2] = [0, 0]
dapat dibentuk dari selisih data berpasangansebagai berikut:
d1j -19 -22 -18 -27 -4 -10 -14 17 9 4 -19
d2j 12 10 42 15 -1 11 -4 60 -2 1- -7
b di
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
29/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
Dari hasil perhitungan diperoleh informasi bahwa
1
2
9 . 3 6
1 3 . 2 7
d
d
= =
d
199.26 88.38
88.38 418.61d
=
S
Dan nilai statistikT2 sebagai berikut:
[ ]
2 0.0055 0.0012 9.36
11 9.36 13.27 13.60.0012 0.0026 13.27
T
= =
P b di B
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
30/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat) Dengan mengambil = 0.05, maka diketahui bahwa:
( ) ( ) ( )
[ ] ( )
,
2,9
1 / 0.05
2(10) / 9 0.05 9.47
p n pp n n p F
F
= =
Oleh karenaT2 = 13.6 > 9.47, makadisimpulkan bahwa H0 ditolak.
Artinya bahwa hasil pengukuran dari kedualaboratoriumitu adalah berbeda
P b di B
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
31/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat) 95% selang kepercayaan untuk selisih rata-rata 1 dan 2
diberikan oleh:
( )
( )
2
1 1 ,
( 1):
( )199.26
9.36 9.4711
22.46; 3.74
id
p n p
Sn pd F
n p n
=
= ( )
( )
2
2 2 ,
( 1):
( )
418.6113.27 9.4711
5.71; 32.25
id
p n p
Sn pd F
n p n
=
=
P b di B
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
32/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
95% selang kerpercayaan simultan di ataskeduanya mencakup nilai nol. Artinya bahwahipotesis H0: = 0 belumsepenuhnya bisa ditolak.
Bagaimana kesimpulan akhirnya???
Analisis data untuk perbandingan berpasangan inimengasumsikan bahwa Dj mengikuti distribusinormal multivariat.
Faktanya bahwa dalamgugus data di atasmengandung satu (atau dua) data pencilan.
P b di B
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
33/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
Cara untuk mengatasi masalah tersebut adalah
Membuang data pencilan dari gugus data;
Mentransformasikan data ke dalambentuk
logaritma; Melakukan kembali proses percobaan terutama
pada proses pengacakannya.
Menghitung kembali nilai statistikT2 dengan
cara sebagai berikut:
P b di B
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
34/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
StatistikT2 dihitung dari besaran sampel penuh,artinya bukan menghitung dari d danSd tetapidari data asal x dan Sx
Dalamhal ini x adalah vektor 2p x 1 dari rata-rata sampel untukpbuah variabel pada duaperlakuan yang diberikan oleh:
x
d
x
11 12 1 21 22 2` , , ..., , , , ...,p px x x x x x = x
Perbandingan Berpasangan
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
35/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
DanSadalah matriksberukuran 2px 2pdarivarians dan kovarianssampel yang diberikan
oleh:
11 12( ) ( )
21 22
( ) ( )
p p p
p p p
=
S S
SS S
S11 = matriks varkov sampel untukpbuah variabel padaperlakuan 1
S22 = matriks varkov sampel untukpbuah variabel pada
perlakuan 2S12 =S21 = matriks kovarians sampel yang dihitung dariobservasi pada pasangan dari perlakuan 1 dan 2
Perbandingan Berpasangan
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
36/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
Didefinisikan suatu matriks:
( )2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
p p
=
C
L L
L L
M M O M M M O M
L L
Perbandingan Berpasangan
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
37/90
Perbandingan Berpasangan(Multivariat)
Dapat ditunjukkan bahwa:
, 1, 2,...
`
j j
d
n= =
==
d Cx
d Cx
S CSC
( ) 12 ` ` `T n
= x C CSC Cx
Sehingga nilai statistikT2 dapat dihitung melalui:
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
38/90
Profile Analysis
Analisis profil digunakan pada suatu keadaandimana sejumlahpperlakuan dicatat pada duaatau lebih kelompok subjek.
Seluruh respons harus dinyatakan dalamunit yangsama.
Diasumsikan bahwa respons untuk kelompok yangberbeda adalah saling bebas.
Pada umumnya kita fokus pada suatu pertanyaanbahwa apakah vektor rata-rata populasi itu samaatau tidak?
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
39/90
Profile Analysis
Dalamanalisis profil, pertanyaan mengenaikesamaan vektor rata-rata dibagi ke dalambeberapa kemungkinan yang spesifik.
Misalkan
dan
adalah rata-rata respons pada pperlakuan untukpopulasi 1 dan 2.
1 1 1 2 1, , , = `1 K
2 21 22 2, , , p = `
K
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
40/90
Profile Analysis
Hipotesis H0:1 =2 mempunyaipengertian bahwa perlakuanmempunyai efek rata-rata yang sama
pada kedua populasi tersebut.Dalambentuk profil populasi, dapat
diformulasikan pertanyaan kesamaantersebut dalampola yang bertahap,
yaitu:
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
41/90
Profile Analysis
Tahap 1:
Apakah profil tersebut paralel? Artinya samadengan menguji hipotesis
H01
:1i
1i 1
=2i
2i 1
,
untuk i= 2, 3, , p, dapat diterima?
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
42/90
Profile Analysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
43/90
Profile Analysis
Tahap 2:
Diasumsikan bahwa profil paralel, kemudianapakah profil tersebut berimpit?
Artinya apakah hipotesis
H02:1i =2i, untuk i= 1, 2, , p, dapat diterima?
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
44/90
Profile Analysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
45/90
Profile Analysis
Tahap 3:
Diasumsikan bahwa profil berimpit, kemudianapakah profil tersebut sebanding? Artinyaapakah seluruh rata-ratanya mempunyai nilai
yang sama?
Dengan kata lain, apakah hipotesis
H03: 1l = = 1p =21 = = 2p dapat diterima?
fil l i
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
46/90
Profile Analysis
P fil A l i
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
47/90
Profile Analysis
Yang perlu diperhatikan bahwa ketiga hipotesisitu berurutan. J ika pada tahap pertama (H01)terjadi penolakan, maka tahap berikutnya tidakbisa dilanjutkan. Jadi sebelummelangkah ke
tahapan selanjutnya, harus dipastikan bahwatahapan sebelumnya didukung.
P fil A l i
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
48/90
Profile Analysis
Hipotesis nol pada tahapan 1 dapat ditulis sebagaiH01:C1 =C2, dimanaCmerupakan matrikskontras
(( 1) )
1 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1
p p
=
C
K
K
M M M M O M M
K
P fil A l i
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
49/90
Profile Analysis
Untuk sampel bebas berukurann1 dan n2 dari duabuah populasi, hipotesis nol dapat diuji denganmembentuk amatan yang ditransformasi dalambentuk:
Cx1j untukj= 1, 2, , n1 dan
Cx2j, danj= 1, 2, , n2.
Kemudian, diberikan vektor rata-rata sampeldan serta matriks kovarians gabunganCSgabC .1
Cx
2Cx
P fil A l i
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
50/90
Profile Analysis
Oleh karena dua gugus amatan yangditransformasi tersebut mempunyai distribusi
Np 1(C1, CC )
dan
Np 1(C2, CC ),
maka pengujian untuk profil paralel digambarkansebagai berikut:
Tolak H01:C1 =C2 (profil paralel) pada taraf jika:
P fil A l i
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
51/90
Profile Analysis
( ) ( ) ( )1 2
12 21 1
gab` ` n nT c
= + > 1 2 1 2x x C CS C` C x x
( ) ( )1 2
1 22
1,
1 2
2 1 ( )p n n pn n pc Fn n p
+ + = +
1 1 2 2
1 2
( 1) ( 1)
2gab
n n
n n
+
= +
S SS
ProfileAnal sis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
52/90
Profile Analysis
Pada saat profil itu paralel, yang pertama di atasyang kedua (1i >2i) untuk semua i, atausebaliknya. Di bawah kondisi seperti ini, profil akanberimpit hanya jika tinggi total dari
11 +12 + + 1p =11 dan
21 +22 + + 2p =12
adalah sama.
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
53/90
Profile Analysis
Dengan demikian hipotesis pada tahapan 2 dapatditulis dalambentuk H02: 11 =12.
Kita dapat menguji H02 dengan menggunakanstatistik-tdua-sampel untuk data univariat 1 x1j,
untukj= 1, 2, , n1, dan 1 x2j, untukj= 1, 2, ,n2.
Bentuk pengujian hipotesosnya menjadi tolak H02:11 =12 (profil berimpit) pada taraf jika
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
54/90
Profile Analysis
Untuk profil berimpit,
dan
merupakan data yang seluruhnya berasal daripopulasi normal yang sama.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 2
1 2 1 2
1 2
12 1 1gab
2
2
2 1, 21 1
gab
1/ 2 ( )
n n
n n n n
n n
T
t F
+ +
= +
= > =
+
1 2 1 2
1 2
1` x x 1`S 1 1` x x
x x
1`S 1
111 12 1, , , nx x xK 221 22 2, , , nx x xK
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
55/90
Profile Analysis
Tahapan berikutnya adalah untuk melihat apakahseluruh variabel mempunyai rata-rata yang sama,sehingga profil menjadi sebanding. Pada saat H01dan H02 dapat diterima, vektor rata-rata dapat
ditaksir dengan menggunakan seluruhn1 +n2,yaitu:
1 2
1 2
1 1 1 2
1 21 2 1 2 1 2
n n
j j
j j n n
n n n n n n
= =
+
= = ++ + +
x xx x x
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
56/90
Profile Analysis
Apabila profil sebanding, 1 =2 = = p, makahipotesis nol pada tahapan 3 dapat ditulis sebagaiH03:C =0, dimanaCsebagaimana yangdiberikan dalamkontras untuk tahap 1.
Dengan kriteria uji untuk menguji H03:C =0adalah tolak hipotesis nol pada taraf jika:
( )1 2
1
1 2 1,
( )gab p n n p
n n F
+
+ > x C` CS C` Cx
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
57/90
Profile Analysis
Contoh 3: Suatu sampel dari suami dan isteri dimintai jawaban
atas pertanyaan-pertanyaan berikut: Bagaimana taraf perasaan cinta yang anda
rasakan terhadap pasangannya? Bagaimana taraf perasaan cinta yang dirasakan
oleh pasangan terhadap diri anda? Bagaimana taraf kecocokan yang anda rasakan
terhadap pasangannya?
Bagaimana taraf kecocokan yang dirasakan olehpasangan terhadap diri anda?
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
58/90
Profile Analysis
Jawaban dari tiap responden dicatat pada skala-5. Tigapuluh suami dan tigapuluh isteri memberikan
jawaban, dimana
y1 = jawaban untuk pertanyaan 1,
y2 = jawaban untuk pertanyaan 2,
y3 = jawaban untuk pertanyaan 3, dan
y4 = jawaban untuk pertanyaan 4.
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
59/90
Profile Analysis
Diperoleh informasi sebagai berikut:
1 2
gab
3.900 3.833
3.967 4.100,
4.333 6.333
4.400 4.533
0.532
0.179 0.511
0.032 0.010 0.339
0.071 0.021 0.308 0.356
= =
=
y y
S
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
60/90
Profile Analysis
Untuk menguji apakah profil kelompok 1 (laki-laki)dan kelompok 2 (wanita) adalah paralel, atau
H01:C1 =C2 Di sini akan menggunakan matriks kontras:
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
61/90
Profile Analysis
Kemudian akan dihitung beberapa besaran yangdiperlukan untuk menghitung T2 sebagai berikut:
gab
0.685 0.310 0.029
` 0.310 0.870 0.020
0.029 0.020 0.079
=
CS C
( )1 2
0.0671 1 0 0 0.200
0.1330 1 1 0 0.167
0.300
0 0 1 1 0.1670.133
= =
C y y
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
62/90
Profile Analysis
Dengan menggunakan persamaan di atas,diperoleh statistikT2 = 8.106
Untuk = 0.05, diperoleh
Oleh karenaT2 = 8.106 < 8.7, maka dapatdisimpulkan bahwa hipotesis bahwa keduakelompok (pria dan wanita) itu paralel adalahditerima.
2
3.11 2.8 8.7c = =
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
63/90
Profile Analysis
Diasumsikan bahwa profil kedua kelompok ituadalah paralel, berikutnya adalah mengujiapakah kedua kelompok itu berimpit (coincidentprofiles). Untuk menguji hipotesis:
H0: 11 =12 Diperlukan besaran sbb:
( )1 2
gab
` 0.500
` 2.447
=
=
1 x x
1 S 1
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
64/90
Profile Analysis
Sehingga diperoleh nilai T2 untuk menguji hipotesisH02 sbb:
Dengan = 0.05, diperoleh F1;58(0.05) = 4.0,sehingga diketahuiT2 = 1.533 < 4.0.
Artinya bahwa kedua kelompok tsb mempunyaiprofil yang berimpit.
( )
2
2
1 130 30
0.3671.533
4.027
T = =
+
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
65/90
Profile Analysis
Lebih jauh lagi dapat dikatakan bahwa responsdari kelompok pria dan wanita terhadap empatbuah pertanyaan yang diberikan adalah sama.
Kemudian untuk menguji apakah kedua kelompok
tsb mempunyai profil yang sebanding, maka: 3.867
4.033
4.483
4.467
=
y
ProfileAnalysis
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
66/90
Profile Analysis
Sehingga diperoleh nilai T2 yang dihitung melaluiPersamaan (6.59) sebesarT2 = 25.442.
Pada taraf signifikansi = 0.05 diperoleh nilaiF3;56(0.05) = 2.7, sehingga dapat dikatakan
bahwa kedua populasi tersebut bukan merupakandua buah populasi yang sebanding.
Kesimpulan: profil kedua kedua kelompok (priadan wanita) adalah sama.
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
67/90
Pengujian Matriks Kovarians
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
68/90
e guja a s o a a s
J ika 1 =2 = =k tidak terpenuhi, makaperbedaan yang besar di dalamS1,S2, , Skmungkin akan membawa pada penolakan hipotesis
H0:1 =2 = =k.
Akan tetapi statistik-T2 (dan MANOVA) cukup tegar(robust) terhadap keheterogenan matriks kovarianssepanjang ukuran sampelnya besar dan sama.
Oleh karena itu diperlukan suatu pengujian untuk
kesamaan beberapa matriks kovarians.
Kasus Univariat:
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
69/90
Hipotesis univariat dua-sampelMelawan
diuji dengan menggunakan statistik-Fberikut:
dimana dan adalah varians dari dua sampelyang saling bebas.
J ika H0 (dan asumsi normalitas terpenuhi), maka F
akan berdistribusi , dengan derajat bebasv1 =n1 1 danv2 =n2 1.
2 2
0 1 2:H =
2 2
1 1 2:H
2 2
1 2s s
= 21s
2
2s
Kasus Univariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
70/90
Untuk kasus beberapa sampel, beberbagi prosedurtelah banyak diusulkan. Namun di sini akan dibahasmengenai uji Bartlett untuk menguji homogenitasvarians karena uji ini dapat diperluas untuk kasus
multivariat. Untuk menguji
Perlu dihitung beberapa besaran sebagai berikut:
2 2 2
0 1 2: ... kH = = =
11
1 1 113( 1)
k
ki i ii
ck v v=
=
= +
Kasus Univariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
71/90
dimana adalah varians sampel yangsaling bebas dengan masing-masing mempunyaiderajat bebas v1, v2, , vk. Kemudian
hipotesis H0 akan ditolak jika
22 1
1
ki ii
k
ii
v ss
v
=
=
=
2 2
1 1
ln lnk k
i i i
i i
m v s v s= =
=
2 2 2
1 2, , ..., ks s s
2
1k
m
c
2
, 1/ km c >
Kasus Univariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
72/90
Untuk statistik pendekatan-F, akan digunakan cdanm, serta menghitung beberapa besaran sebagaiberikut:
1
2 2
2
2
1,
1,
( 1)
2 2 /
a k
ka
c
ab
c a
=
+=
= +
Kasus Univariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
73/90
Diketahui bahwa
Dengan kriteria bahwa tolak H0jika F> .
Perlu dicatat asumsi bahwa antarapada pengujian sebelumnya harus terpenuhi dan iniakan terpenuhi pada sampel acak dari kbuahpopulasi yang berbeda.
Dengan demikian pengujian ini menjadi kurangtepat untuk membandingkan s11, s22, , spp daridiagonal matriksS, karena sjj berkorelasi.
1 22 ,
1( )
a a
a mF F
a b m=
1 2, ,a aF
2 2 2
1 2
, , ...,k
s s s
Kasus Multivariat:
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
74/90
Untukkpopulasi multivariat, hipotesis tentangkesamaan matriks kovarians adalah:
Pengujian hipotesis
untuk dua kelompok diperlakukan sebagai kasuskhusus dimana k= 2.
Diasumsikan bahwa sampel yang saling bebasyang berukurann1, n2, , nk berasal dari distribusinormal multivariat.
0 1 2: ... kH = = =! ! !
0 1 2:H =! !
Kasus Multivariat:
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
75/90
Untuk melakukan pengujian, akan dihitung:
dimana vi =ni 1, Si adalah matriks kovarians darisampel ke-i, danSgab adalah matriks kovarianssampel gabungan, yang dihitung sebagai
1 2/ 2 / 2 / 2
1 2
/ 2
gab
... k
ii
v v v
k
vM =
S S S
S
1gab
1
k
i iik
ii
v
v=
=
=S
S
Kasus Multivariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
76/90
Jelas bahwa harus terpenuhi ketentuanvi >p,sebaliknya | Si| = 0 untuk beberapa i, danMakanbernilai nol.
Batas atas eksak dari
Untuk kasus khusus dari v1 =v2 = = vk =vdiberikan pada Tabel A14 untuk p= 2, 3, 4, 5
serta k= 2, 3, , 10.
( )2 ln ln lnab iiM v k = S S
Kasus Multivariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
77/90
StatistikMmerupakan modifikasi dari rasiokemungkinan dan nilai berada diantara 0 dan 1.
Nilai dari statistikMyang mendekati 1 cenderungakan mendukung atau menerima H0, sedangkan
yang nilainya mendekati 0 akan membawa padapenolakan terhadap H0.
StatistikMdapat dinyatakan sebagai:
1 2/2 / 2 /2
1 2
gab gab gab
...
kv v v
kM = S S S
S S S
Kasus Multivariat:
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
78/90
J ika S1 =S2 = =Sk =Sgab, makaM= 1.Kemudian apabila terjadi perbedaan yang terlalu
jauh diantara S1, S2, , Sk, maka nilaiMakanmendekati nol.
Untuk melihat hal tersebut, perlu dicatat bahwadeterminan dari matriks kovarians gabungan,| Sgab| , akan berada ditengah-tengan nilai dari| Si|
Kasus Multivariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
79/90
Apabila segugus variabel z1, z2, , zn meningkatpenyebarannya, maka mereduksi perkalianlebih banyak daripada meningkatnya ,dimana
dan masing-masing merupakan nilai minimumdan
maksimum.
(1)/z z
( )/nz z
(1)/z z
( ) /nz z
Kasus Multivariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
80/90
Pernyataan ini akan diilustrasikan dengan duagugus bilangan {4, 5, 6}dan {1, 5, 9}yangmempunyai rata-rata yang sama tetapi keragamanyang berbeda.
Apabila kita asumsikan bahwa v1 =v2 =v3 =v,maka untuk gugus data yang pertama diperoleh
[ ]/ 2
/2 / 2
1
4 5 6(0.8)(1.0)(1.2) (0.96)
5 5 5
v
v vM
= = =
Kasus Multivariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
81/90
dan untuk gugus data yang kedua diperoleh
dalamM2, nilai yang terkecil, besaran 0.2mereduksi perkalian secara proporsional lebih daribesaran 1.8.
[ ]/ 2
/ 2 / 2
2
1 5 9(0.2)(1.0)(1.8) (0.36)
5 5 5
v
v vM = = =
Kasus Multivariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
82/90
Box [1949, 1950, dalamRencher (2002)]memberikan statistik pendekatan2 danFuntukdistribusi dariM.
Kedua uji pendekatan tersebut dirujuk sebagai uji-
MBox. Untuk pendekatan2 dihitung
2
1
11
1 1 2 3 1
6( 1)( 1)
k
ki i ii
p pc
v p kv= =
+ = +
Kasus Multivariat:
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
83/90
Kemudian,
akan mendekati distribusi
dimanaMdidefinisikan sebagaimana dalamPersamaan (5.35), serta
( )12 1 lnu c M=
[ ]2 12( 1) ( 1)k p p +
( ) ( )2
11 2 3 1
6 ( 1)k p pc
kv p+ + =
+
Kasus Multivariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
84/90
Untuk pendekatan-F, akan digunakan c1 yang adadalam(5.40), serta menghitung beberapa besaranyang diperlukan, yaitu
( )2 22
1
1
( 1)( 2) 1 1
6( 1)
k
ki i
ii
p p
c k vv=
=
+
=
11 2 2
2 1
21( 1) ( 1),
2
aa k p p a
c c
+= + =
1 1 2 1 21 2
1 2
1 / 1 2 /,c a a c ab ba a
= =
Kasus Multivariat
-
7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2
85/90
J ika , maka
Jika , maka
Dalamkedua kasus di atas, maka hipotesis H0 akan
ditolak Jika F>F
2
2 1c c>
1 21 ,2 ln a aF b M F=
2
2 1c c = 0.00481,maka akan digunakan (5.42) untuk memperoleh
Dari hasil-hasil ketiga statistik uji di atas, baik yangeksak maupun pendekatan, memberikan hasilpengujian yang non signifikan, yang berarti bahwaketiga penguian tersebut meneriman H0.
2
1c
1 0.05,10,2 ln 1.354 1.83F b M F = = < =
top related