pengujian vektor rataan-part2

7/24/2019 Pengujian Vektor Rataan-Part2

1/90

PengujianHipotesistentangVektor Rata-rata (Part 2)Nusar HajarismanDepartment of Statistics, Universitas IslamBandung


2/90

Pengujianpada Variabel IndividuKetika H0 Ditolak

Apabila hipotesis ditolak, makaimplikasinya adalah bahwa ada satu yangmemenuhi untukj= 1, 2, , p.

Akan tetapi tidak ada jaminan bahwa H0:akan ditolak untuk beberapajmelalui uji univariat.

Namun demikian, apabila kita perhatikan suatukombinasi linear dari variabel, z= a y, kemudian

setidaknya ada satu vektor koefisienayang mana

0 1 2:H =

1 2j j

1 2j j

1 2

2

1 2

( )1 / 1 / )

z zt

n n s

=

+a


3/90

Pengujian pada Variabel IndividuKetika H0 Ditolak

akan menolak hipotesis yang bersesuaian

atau

Diketahui bahwa dan ,

serta penaksir varians adalah penaksirgabungan a Sgaba. Jadi Persamaan (5.20) dapatditulis sebagai

0 1 2: z zH = 0 1 2: ' 'H =a a

1 1`z = a y 2 2`z =a y

2s

( )

1 2

1 2 1 2 gab

` `

( ) / `t n n n n

= +

a y a y

a a S a


4/90


Oleh karena t(a) dapat bernilai negatif, maka nantiakan bekerja t2(a).

Fungsi linear z= a ymerupakan proyeksi dari y

pada suatu garis melalui titik pusat. Kita akan mencari suatu garis (arah) sedemikian

rupa sehingga selisih akan dimaksimumkanketika diproyeksikan.

1 2y y


5/90


Selisih yang diproyeksikan [dibakukanoleh a Sgabadalam(5.21)] akan lebih kecil dalamsembarang arah dibandingkan dengan garisparalel yang menggabungkan dan .

Nilai ayang memproyeksikan pada garis ini akanmemaksimumkant2(a) dalamPersamaan (5.21)melalui

( )1 2` a y y

1

y 2

y

( )1gab 1 2= a S y y


6/90


Oleh karenaadalam(5.22) memproyeksikanpada garis paralel pada suatu garis yangmenggabungkan dan , maka dalamhal ini

t2

(a) =T2

Ketika , maka z= a ydisebutsebagai fungsi diskriminan.

Kadang-kadang vektora itu sendiri dirujuk sebagai

fungsi diskriminan.

1 2y y

1y 2y

( )1gab 1 2= a S y y


7/90


Apabila ditolak melalui statistik-T2 dalamPersamaan (5.9), maka fungsi diskriminana yakanmembawa pada penolakan denganmenggunakan (5.21), dimana .

Kemudian kita dapat menentukan masing-masing ajdi dalamauntuk melihat mana yang memberikankontribusi penting terhadap terjadinya penolakanH

0

tersebut.

Prosedur ini hanya dapat dilakukan pada saathipotesis ditolak melalui statistik-T2.

0 1 2:H =

0 1 2: ' 'H =a a

( )

1

gab 1 2

= a S y y

0 1 2:H =


8/90

Contoh 5.4

Untuk data hasil psiko-test dalamTabel 5.1, telah diperolehbeberapa besaran yang diperlukan, yaitu vektor rata-ratadan matriks kovarians gabungan dari kedua sampel tersebutsebagaimana yang diberikan pada Contoh 5.3.

Vektor koefisien fungsi diskriminan diperoleh melaluiPersamaan (5.22) sebagai

( )1gab 1 2

0.5104

0.2033

0.46600.3097

= =

a S y y


9/90

Contoh 5.4

Jadi kombinasi linear yang terbaik dalammemisahkan kedua kelompok tersebut adalah

a y= 0.5104y1 0.2033y2 + 0.4660y3 0.3097y4

sehingga terlihat bahwa variabel y1 dan y3memberikan kontribusi relatif lebih besar untuk

membedakan kedua kelompok tersebut.


10/90

Perbandingan Berpasangan(Univariat)

Misalkan dua buah sampel adalah tidak salingbebas sebab di sana terjadi pemasangan alamiahantara observasi ke-i yi pada sampel pertamadengan observasi ke-i x

i

dalamsampel kedua untukseluruh i.

Sebagai contoh misalnya suatu perlakuan diberikansebanyak dua kali pada individu yang atau padasaat subjek dipasangkan menurut kriteria yangsama, misalnya umur, IQ, atau latar belakangkeluarga.


11/90

Perbandingan Berpasangan(Univariat) Dengan melakukan pemasangan seperti itu, sampel yang

diperoleh seringkali dirujuk sebagai data berpasangan(paired observations) atau pasangan yang dipasangkan(matched pairs).

Tentu saja kedua sampel tersebut berkorelasi, sehinggastatistik uji yang diberikan dalamPersamaan (5.9) menjadikurang tepat karena sampel harus saling bebas agar supaya(5.9) mempunyai distribusi-t.

Oleh karena itu kedua sampel akan direduksi menjadi satu

sampel dengan jalan menghitung selisih antara data yangberpasangan


12/90


Untuk memperoleh uji-t, maka tidak cukup untukmengasumsikan normalitas saja untuk setiapvariabel ydan x.

Untuk memperhitungkan kovarians antara ydan x,maka kita asumsi tambahan bahwa ydan xmengikuti distribusi normal bivariat dimana

2 2

2 2,

y y yx

yx xx

= = !


13/90


Diketahui bahwadi =yi xi akan mengikutidistribusi

dimana:

Dari d1, d2, , dn akan dihitung

( )2,x dN

2 2 22d y yx x = +

=

=n

i

idn

d1

1

= =n

i

id ddn

s1

22 )(1

1


14/90


Untuk menguji hipotesis H0: y =x atau samadengan H0: d = 0, akan digunakan statistik satu-sampel:

yang akan mengikuti distribusi tn 1 pada saat H0benar. Hipotesis H0 akan ditolak apabila | t| >t/ 2,n 1.

Dalamhal ini tidak perlu diasumsikan bahwakarena tidak ada pembatasan pada.

/d

dt

s n

=

2 2

x =


15/90


Pengujian ini hanya mempunyai derajat bebasn 1dibandingkan dengan 2(n 1) uji-tuntuk duasampel yang saling bebas dalamPersamaan (5.8).

Secara umum, proses pemasangan observasi inimereduksi keragaman dalamsampelsd sehinggamampu meningkatkan kuasa ujinya.

Apabila kita keliru dalammemperlakukan kedua

sampel itu saling bebas dan menggunakan statistikdalam(5.8) dengan n1 =n2 =n, maka kita akanmempunyai:


16/90


Akan tetapi,

sedangkan

2gab gab

2 / 2 /

x y xt

s n s n

= =

( )2 2 2 2

2

gab

( 1) ( 1)2 2

( 2)

x y xn s n sE s E

n n n n

+ += = +

2 2var( ) ( 2 ) /y x yxy x n = +


17/90


Jadi, jika statistik uji untuk sampel saling bebasdalam(5.8) digunakan untuk data berpasangan,maka statistik tersebut tidak akan mengikutidistribusi-t,

serta akan mempunyai suatu penaksir yang bersifatunderestimatedari nilai-tsesungguhnya karena

yxxyxy 22222 +>+


18/90


Dengan demikian kita dapat menggunakan

Tetapi

dalamPersamaan (5.23) lebih sederhana untukdigunakan.

nsss

xyt

yxxy /2( 22 +

=

/ dt nd s=


19/90

Perbandingan Berpasangan(Multivariat) Suatupengukuransering dicatat di bawahsejumlahkondisi

percobaanyang berbeda untukmelihat apakahresponsberbeda secara nyata menurutkondisi percobaantersebut.

Suatupendekatanyang masukakal untukmembandingkandua buahperlakuan, atauada tidaknya suatuperlakuantunggal, adalahdenganmenetapkankedua perlakuantersebutpada unit yang sama atauidentik.

Responsberpasangankemudiandapat dianalisisdenganmenghitung perbedaannya itu. Prosedur perbandinganpada kasusdata multivariat untukprespons, 2 perlakuan,

dannunit percobaandapat disusunsebagai berikut:


20/90

Perbandingan Berpasangan(Multivariat)

X11j = variabel 1 dibawahperlakuan1


X1pj = variabelpdi bawahperlakuan1



X2pj = variabelpdi bawahperlakuan2


21/90


Untukpbuah variabel acak untuk perbedaan atauselisih secara berpasangan diberikan oleh:

D1j

= X11j

X21j

D2j= X12j X22j

Dpj= X1pj X2pj


22/90


Misalkan

Diasumsikan, untukj= 1, 2, , n, bahwa

( )

1

2

j

p

E

= =

DM

( )cov j d=D !

'

1 2, , ...,j j j p jD D D = D


23/90


Perlu diketahui bahwaD1,D

2, ,D

nadalah vektor acak Np(,) yang saling bebas,

sehingga inferensi tentang vektor rata-rata perbedaandapat didasarkan pada statistikT2yang diberikan oleh:

( ) ( )2 `T n= -1dD " S D "

1

1 n

j

jn == D D

( ) ( )1

1`

1

n

d j j

jn ==

S D D D D


24/90


Untuk menguji hipotesis bahwa H0: =0melawan H1: 0untuk populasi Np(,d) akan menolak H0jika:

2,

( 1) ( )( )

p n pn pT n Fn p

= > -1dD`S D

dimana Fn,n p() merupakan batas atas persentil

ke-(100) dari distribusi F dengan derajat bebaspdan np.


25/90


100(1 )% interval kepercayaan simultan untukrata-rata perbedaan individu diberikan oleh:

2

,( 1 ): ( )( )

d

i i p n pSn pd F

n p n

dimana id adalah unsur ke-idari vektor D

dan2

idS adalah unsur diagonal ke-idariSd.


26/90

Perbandingan Berpasangan(Multivariat)Contoh 1:Gugus data berikut ini diberikan untuk mengujihipotesis mengenai ada tidaknya perbedaan yangdiberikan oleh dua buah laboratoriumdalam

pemeriksaan sifat-sifat kimia dari polusi sungai. Adadua sifat kimia yang akan diamati (x1 danx2) dengansampel berukurann= 11.


27/90


Sampelj

Laboratorium1 Laboratorium2X11j X12j X21j X22j

1

2

34

5

6

7

89

10

11

6

6

188

11

34

28

7143

33

20

27

23

6444

30

75

26

12454

30

14

25

28

3635

15

44

42

5434

29

39

15

13

2229

31

64

30

6456

20

21


28/90


Statistik T2 untuk menguji hipotesisH0: = [1, 2] = [0, 0]

dapat dibentuk dari selisih data berpasangansebagai berikut:

d1j -19 -22 -18 -27 -4 -10 -14 17 9 4 -19

d2j 12 10 42 15 -1 11 -4 60 -2 1- -7

b di


29/90


Dari hasil perhitungan diperoleh informasi bahwa

1

2

9 . 3 6

1 3 . 2 7

d

d

= =

d

199.26 88.38

88.38 418.61d

=

S

Dan nilai statistikT2 sebagai berikut:

[ ]

2 0.0055 0.0012 9.36

11 9.36 13.27 13.60.0012 0.0026 13.27

T

= =

P b di B


30/90

Perbandingan Berpasangan(Multivariat) Dengan mengambil = 0.05, maka diketahui bahwa:

( ) ( ) ( )

[ ] ( )

,

2,9

1 / 0.05

2(10) / 9 0.05 9.47

p n pp n n p F

F

= =

Oleh karenaT2 = 13.6 > 9.47, makadisimpulkan bahwa H0 ditolak.

Artinya bahwa hasil pengukuran dari kedualaboratoriumitu adalah berbeda

P b di B


31/90

Perbandingan Berpasangan(Multivariat) 95% selang kepercayaan untuk selisih rata-rata 1 dan 2

diberikan oleh:

( )

( )

2

1 1 ,

( 1):

( )199.26

9.36 9.4711

22.46; 3.74

id

p n p

Sn pd F

n p n

=

= ( )

( )

2

2 2 ,

( 1):

( )

418.6113.27 9.4711

5.71; 32.25

id

p n p

Sn pd F

n p n

=

=

P b di B


32/90


95% selang kerpercayaan simultan di ataskeduanya mencakup nilai nol. Artinya bahwahipotesis H0: = 0 belumsepenuhnya bisa ditolak.

Bagaimana kesimpulan akhirnya???

Analisis data untuk perbandingan berpasangan inimengasumsikan bahwa Dj mengikuti distribusinormal multivariat.

Faktanya bahwa dalamgugus data di atasmengandung satu (atau dua) data pencilan.

P b di B


33/90


Cara untuk mengatasi masalah tersebut adalah

Membuang data pencilan dari gugus data;

Mentransformasikan data ke dalambentuk

logaritma; Melakukan kembali proses percobaan terutama

pada proses pengacakannya.

Menghitung kembali nilai statistikT2 dengan

cara sebagai berikut:

P b di B


34/90


StatistikT2 dihitung dari besaran sampel penuh,artinya bukan menghitung dari d danSd tetapidari data asal x dan Sx

Dalamhal ini x adalah vektor 2p x 1 dari rata-rata sampel untukpbuah variabel pada duaperlakuan yang diberikan oleh:

x

d

x

11 12 1 21 22 2` , , ..., , , , ...,p px x x x x x = x

Perbandingan Berpasangan


35/90


DanSadalah matriksberukuran 2px 2pdarivarians dan kovarianssampel yang diberikan

oleh:

11 12( ) ( )

21 22

( ) ( )

p p p

p p p

=

S S

SS S

S11 = matriks varkov sampel untukpbuah variabel padaperlakuan 1

S22 = matriks varkov sampel untukpbuah variabel pada

perlakuan 2S12 =S21 = matriks kovarians sampel yang dihitung dariobservasi pada pasangan dari perlakuan 1 dan 2



36/90


Didefinisikan suatu matriks:

( )2

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

p p

=

C

L L

L L

M M O M M M O M

L L



37/90


Dapat ditunjukkan bahwa:

, 1, 2,...

`

j j

d

n= =

==

d Cx

d Cx

S CSC

( ) 12 ` ` `T n

= x C CSC Cx

Sehingga nilai statistikT2 dapat dihitung melalui:


38/90

Profile Analysis

Analisis profil digunakan pada suatu keadaandimana sejumlahpperlakuan dicatat pada duaatau lebih kelompok subjek.

Seluruh respons harus dinyatakan dalamunit yangsama.

Diasumsikan bahwa respons untuk kelompok yangberbeda adalah saling bebas.

Pada umumnya kita fokus pada suatu pertanyaanbahwa apakah vektor rata-rata populasi itu samaatau tidak?


39/90

Profile Analysis

Dalamanalisis profil, pertanyaan mengenaikesamaan vektor rata-rata dibagi ke dalambeberapa kemungkinan yang spesifik.

Misalkan

dan

adalah rata-rata respons pada pperlakuan untukpopulasi 1 dan 2.

1 1 1 2 1, , , = `1 K

2 21 22 2, , , p = `

K


40/90

Profile Analysis

Hipotesis H0:1 =2 mempunyaipengertian bahwa perlakuanmempunyai efek rata-rata yang sama

pada kedua populasi tersebut.Dalambentuk profil populasi, dapat

diformulasikan pertanyaan kesamaantersebut dalampola yang bertahap,

yaitu:


41/90

Profile Analysis

Tahap 1:

Apakah profil tersebut paralel? Artinya samadengan menguji hipotesis

H01

:1i

1i 1

=2i

2i 1

,

untuk i= 2, 3, , p, dapat diterima?


42/90

Profile Analysis


43/90

Profile Analysis

Tahap 2:

Diasumsikan bahwa profil paralel, kemudianapakah profil tersebut berimpit?

Artinya apakah hipotesis

H02:1i =2i, untuk i= 1, 2, , p, dapat diterima?


44/90

Profile Analysis


45/90

Profile Analysis

Tahap 3:

Diasumsikan bahwa profil berimpit, kemudianapakah profil tersebut sebanding? Artinyaapakah seluruh rata-ratanya mempunyai nilai

yang sama?

Dengan kata lain, apakah hipotesis

H03: 1l = = 1p =21 = = 2p dapat diterima?

fil l i


46/90

Profile Analysis

P fil A l i


47/90

Profile Analysis

Yang perlu diperhatikan bahwa ketiga hipotesisitu berurutan. J ika pada tahap pertama (H01)terjadi penolakan, maka tahap berikutnya tidakbisa dilanjutkan. Jadi sebelummelangkah ke

tahapan selanjutnya, harus dipastikan bahwatahapan sebelumnya didukung.

P fil A l i


48/90

Profile Analysis

Hipotesis nol pada tahapan 1 dapat ditulis sebagaiH01:C1 =C2, dimanaCmerupakan matrikskontras

(( 1) )

1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1

p p

=

C

K

K

M M M M O M M

K

P fil A l i


49/90

Profile Analysis

Untuk sampel bebas berukurann1 dan n2 dari duabuah populasi, hipotesis nol dapat diuji denganmembentuk amatan yang ditransformasi dalambentuk:

Cx1j untukj= 1, 2, , n1 dan

Cx2j, danj= 1, 2, , n2.

Kemudian, diberikan vektor rata-rata sampeldan serta matriks kovarians gabunganCSgabC .1

Cx

2Cx

P fil A l i


50/90

Profile Analysis

Oleh karena dua gugus amatan yangditransformasi tersebut mempunyai distribusi

Np 1(C1, CC )

dan

Np 1(C2, CC ),

maka pengujian untuk profil paralel digambarkansebagai berikut:

Tolak H01:C1 =C2 (profil paralel) pada taraf jika:

P fil A l i


51/90

Profile Analysis

( ) ( ) ( )1 2

12 21 1

gab` ` n nT c

= + > 1 2 1 2x x C CS C` C x x

( ) ( )1 2

1 22

1,

1 2

2 1 ( )p n n pn n pc Fn n p

+ + = +

1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)

2gab

n n

n n

+

= +

S SS

ProfileAnal sis


52/90

Profile Analysis

Pada saat profil itu paralel, yang pertama di atasyang kedua (1i >2i) untuk semua i, atausebaliknya. Di bawah kondisi seperti ini, profil akanberimpit hanya jika tinggi total dari

11 +12 + + 1p =11 dan

21 +22 + + 2p =12

adalah sama.

ProfileAnalysis


53/90

Profile Analysis

Dengan demikian hipotesis pada tahapan 2 dapatditulis dalambentuk H02: 11 =12.

Kita dapat menguji H02 dengan menggunakanstatistik-tdua-sampel untuk data univariat 1 x1j,

untukj= 1, 2, , n1, dan 1 x2j, untukj= 1, 2, ,n2.

Bentuk pengujian hipotesosnya menjadi tolak H02:11 =12 (profil berimpit) pada taraf jika

ProfileAnalysis


54/90

Profile Analysis

Untuk profil berimpit,

dan

merupakan data yang seluruhnya berasal daripopulasi normal yang sama.

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

1 2

1 2 1 2

1 2

12 1 1gab

2

2

2 1, 21 1

gab

1/ 2 ( )

n n

n n n n

n n

T

t F

+ +

= +

= > =

+

1 2 1 2

1 2

1` x x 1`S 1 1` x x

x x

1`S 1

111 12 1, , , nx x xK 221 22 2, , , nx x xK

ProfileAnalysis


55/90

Profile Analysis

Tahapan berikutnya adalah untuk melihat apakahseluruh variabel mempunyai rata-rata yang sama,sehingga profil menjadi sebanding. Pada saat H01dan H02 dapat diterima, vektor rata-rata dapat

ditaksir dengan menggunakan seluruhn1 +n2,yaitu:

1 2

1 2

1 1 1 2

1 21 2 1 2 1 2

n n

j j

j j n n

n n n n n n

= =

+

= = ++ + +

x xx x x

ProfileAnalysis


56/90

Profile Analysis

Apabila profil sebanding, 1 =2 = = p, makahipotesis nol pada tahapan 3 dapat ditulis sebagaiH03:C =0, dimanaCsebagaimana yangdiberikan dalamkontras untuk tahap 1.

Dengan kriteria uji untuk menguji H03:C =0adalah tolak hipotesis nol pada taraf jika:

( )1 2

1

1 2 1,

( )gab p n n p

n n F

+

+ > x C` CS C` Cx

ProfileAnalysis


57/90

Profile Analysis

Contoh 3: Suatu sampel dari suami dan isteri dimintai jawaban

atas pertanyaan-pertanyaan berikut: Bagaimana taraf perasaan cinta yang anda

rasakan terhadap pasangannya? Bagaimana taraf perasaan cinta yang dirasakan

oleh pasangan terhadap diri anda? Bagaimana taraf kecocokan yang anda rasakan

terhadap pasangannya?

Bagaimana taraf kecocokan yang dirasakan olehpasangan terhadap diri anda?

ProfileAnalysis


58/90

Profile Analysis

Jawaban dari tiap responden dicatat pada skala-5. Tigapuluh suami dan tigapuluh isteri memberikan

jawaban, dimana

y1 = jawaban untuk pertanyaan 1,

y2 = jawaban untuk pertanyaan 2,

y3 = jawaban untuk pertanyaan 3, dan

y4 = jawaban untuk pertanyaan 4.

ProfileAnalysis


59/90

Profile Analysis

Diperoleh informasi sebagai berikut:

1 2

gab

3.900 3.833

3.967 4.100,

4.333 6.333

4.400 4.533

0.532

0.179 0.511

0.032 0.010 0.339

0.071 0.021 0.308 0.356

= =

=

y y

S

ProfileAnalysis


60/90

Profile Analysis

Untuk menguji apakah profil kelompok 1 (laki-laki)dan kelompok 2 (wanita) adalah paralel, atau

H01:C1 =C2 Di sini akan menggunakan matriks kontras:

ProfileAnalysis


61/90

Profile Analysis

Kemudian akan dihitung beberapa besaran yangdiperlukan untuk menghitung T2 sebagai berikut:

gab

0.685 0.310 0.029

` 0.310 0.870 0.020

0.029 0.020 0.079

=

CS C

( )1 2

0.0671 1 0 0 0.200

0.1330 1 1 0 0.167

0.300

0 0 1 1 0.1670.133

= =

C y y

ProfileAnalysis


62/90

Profile Analysis

Dengan menggunakan persamaan di atas,diperoleh statistikT2 = 8.106

Untuk = 0.05, diperoleh

Oleh karenaT2 = 8.106 < 8.7, maka dapatdisimpulkan bahwa hipotesis bahwa keduakelompok (pria dan wanita) itu paralel adalahditerima.

2

3.11 2.8 8.7c = =

ProfileAnalysis


63/90

Profile Analysis

Diasumsikan bahwa profil kedua kelompok ituadalah paralel, berikutnya adalah mengujiapakah kedua kelompok itu berimpit (coincidentprofiles). Untuk menguji hipotesis:

H0: 11 =12 Diperlukan besaran sbb:

( )1 2

gab

` 0.500

` 2.447

=

=

1 x x

1 S 1

ProfileAnalysis


64/90

Profile Analysis

Sehingga diperoleh nilai T2 untuk menguji hipotesisH02 sbb:

Dengan = 0.05, diperoleh F1;58(0.05) = 4.0,sehingga diketahuiT2 = 1.533 < 4.0.

Artinya bahwa kedua kelompok tsb mempunyaiprofil yang berimpit.

( )

2

2

1 130 30

0.3671.533

4.027

T = =

+

ProfileAnalysis


65/90

Profile Analysis

Lebih jauh lagi dapat dikatakan bahwa responsdari kelompok pria dan wanita terhadap empatbuah pertanyaan yang diberikan adalah sama.

Kemudian untuk menguji apakah kedua kelompok

tsb mempunyai profil yang sebanding, maka: 3.867

4.033

4.483

4.467

=

y

ProfileAnalysis


66/90

Profile Analysis

Sehingga diperoleh nilai T2 yang dihitung melaluiPersamaan (6.59) sebesarT2 = 25.442.

Pada taraf signifikansi = 0.05 diperoleh nilaiF3;56(0.05) = 2.7, sehingga dapat dikatakan

bahwa kedua populasi tersebut bukan merupakandua buah populasi yang sebanding.

Kesimpulan: profil kedua kedua kelompok (priadan wanita) adalah sama.


67/90

Pengujian Matriks Kovarians


68/90

e guja a s o a a s

J ika 1 =2 = =k tidak terpenuhi, makaperbedaan yang besar di dalamS1,S2, , Skmungkin akan membawa pada penolakan hipotesis

H0:1 =2 = =k.

Akan tetapi statistik-T2 (dan MANOVA) cukup tegar(robust) terhadap keheterogenan matriks kovarianssepanjang ukuran sampelnya besar dan sama.

Oleh karena itu diperlukan suatu pengujian untuk

kesamaan beberapa matriks kovarians.

Kasus Univariat:


69/90

Hipotesis univariat dua-sampelMelawan

diuji dengan menggunakan statistik-Fberikut:

dimana dan adalah varians dari dua sampelyang saling bebas.

J ika H0 (dan asumsi normalitas terpenuhi), maka F

akan berdistribusi , dengan derajat bebasv1 =n1 1 danv2 =n2 1.

2 2

0 1 2:H =

2 2

1 1 2:H

2 2

1 2s s

= 21s

2

2s

Kasus Univariat


70/90

Untuk kasus beberapa sampel, beberbagi prosedurtelah banyak diusulkan. Namun di sini akan dibahasmengenai uji Bartlett untuk menguji homogenitasvarians karena uji ini dapat diperluas untuk kasus

multivariat. Untuk menguji

Perlu dihitung beberapa besaran sebagai berikut:

2 2 2

0 1 2: ... kH = = =

11

1 1 113( 1)

k

ki i ii

ck v v=

=

= +

Kasus Univariat


71/90

dimana adalah varians sampel yangsaling bebas dengan masing-masing mempunyaiderajat bebas v1, v2, , vk. Kemudian

hipotesis H0 akan ditolak jika

22 1

1

ki ii

k

ii

v ss

v

=

=

=

2 2

1 1

ln lnk k

i i i

i i

m v s v s= =

=

2 2 2

1 2, , ..., ks s s

2

1k

m

c

2

, 1/ km c >

Kasus Univariat


72/90

Untuk statistik pendekatan-F, akan digunakan cdanm, serta menghitung beberapa besaran sebagaiberikut:

1

2 2

2

2

1,

1,

( 1)

2 2 /

a k

ka

c

ab

c a

=

+=

= +

Kasus Univariat


73/90

Diketahui bahwa

Dengan kriteria bahwa tolak H0jika F> .

Perlu dicatat asumsi bahwa antarapada pengujian sebelumnya harus terpenuhi dan iniakan terpenuhi pada sampel acak dari kbuahpopulasi yang berbeda.

Dengan demikian pengujian ini menjadi kurangtepat untuk membandingkan s11, s22, , spp daridiagonal matriksS, karena sjj berkorelasi.

1 22 ,

1( )

a a

a mF F

a b m=

1 2, ,a aF

2 2 2

1 2

, , ...,k

s s s

Kasus Multivariat:


74/90

Untukkpopulasi multivariat, hipotesis tentangkesamaan matriks kovarians adalah:

Pengujian hipotesis

untuk dua kelompok diperlakukan sebagai kasuskhusus dimana k= 2.

Diasumsikan bahwa sampel yang saling bebasyang berukurann1, n2, , nk berasal dari distribusinormal multivariat.

0 1 2: ... kH = = =! ! !

0 1 2:H =! !

Kasus Multivariat:


75/90

Untuk melakukan pengujian, akan dihitung:

dimana vi =ni 1, Si adalah matriks kovarians darisampel ke-i, danSgab adalah matriks kovarianssampel gabungan, yang dihitung sebagai

1 2/ 2 / 2 / 2

1 2

/ 2

gab

... k

ii

v v v

k

vM =

S S S

S

1gab

1

k

i iik

ii

v

v=

=

=S

S

Kasus Multivariat


76/90

Jelas bahwa harus terpenuhi ketentuanvi >p,sebaliknya | Si| = 0 untuk beberapa i, danMakanbernilai nol.

Batas atas eksak dari

Untuk kasus khusus dari v1 =v2 = = vk =vdiberikan pada Tabel A14 untuk p= 2, 3, 4, 5

serta k= 2, 3, , 10.

( )2 ln ln lnab iiM v k = S S

Kasus Multivariat


77/90

StatistikMmerupakan modifikasi dari rasiokemungkinan dan nilai berada diantara 0 dan 1.

Nilai dari statistikMyang mendekati 1 cenderungakan mendukung atau menerima H0, sedangkan

yang nilainya mendekati 0 akan membawa padapenolakan terhadap H0.

StatistikMdapat dinyatakan sebagai:

1 2/2 / 2 /2

1 2

gab gab gab

...

kv v v

kM = S S S

S S S

Kasus Multivariat:


78/90

J ika S1 =S2 = =Sk =Sgab, makaM= 1.Kemudian apabila terjadi perbedaan yang terlalu

jauh diantara S1, S2, , Sk, maka nilaiMakanmendekati nol.

Untuk melihat hal tersebut, perlu dicatat bahwadeterminan dari matriks kovarians gabungan,| Sgab| , akan berada ditengah-tengan nilai dari| Si|

Kasus Multivariat


79/90

Apabila segugus variabel z1, z2, , zn meningkatpenyebarannya, maka mereduksi perkalianlebih banyak daripada meningkatnya ,dimana

dan masing-masing merupakan nilai minimumdan

maksimum.

(1)/z z

( )/nz z

(1)/z z

( ) /nz z

Kasus Multivariat


80/90

Pernyataan ini akan diilustrasikan dengan duagugus bilangan {4, 5, 6}dan {1, 5, 9}yangmempunyai rata-rata yang sama tetapi keragamanyang berbeda.

Apabila kita asumsikan bahwa v1 =v2 =v3 =v,maka untuk gugus data yang pertama diperoleh

[ ]/ 2

/2 / 2

1

4 5 6(0.8)(1.0)(1.2) (0.96)

5 5 5

v

v vM

= = =

Kasus Multivariat


81/90

dan untuk gugus data yang kedua diperoleh

dalamM2, nilai yang terkecil, besaran 0.2mereduksi perkalian secara proporsional lebih daribesaran 1.8.

[ ]/ 2

/ 2 / 2

2

1 5 9(0.2)(1.0)(1.8) (0.36)

5 5 5

v

v vM = = =

Kasus Multivariat


82/90

Box [1949, 1950, dalamRencher (2002)]memberikan statistik pendekatan2 danFuntukdistribusi dariM.

Kedua uji pendekatan tersebut dirujuk sebagai uji-

MBox. Untuk pendekatan2 dihitung

2

1

11

1 1 2 3 1

6( 1)( 1)

k

ki i ii

p pc

v p kv= =

+ = +

Kasus Multivariat:


83/90

Kemudian,

akan mendekati distribusi

dimanaMdidefinisikan sebagaimana dalamPersamaan (5.35), serta

( )12 1 lnu c M=

[ ]2 12( 1) ( 1)k p p +

( ) ( )2

11 2 3 1

6 ( 1)k p pc

kv p+ + =

+

Kasus Multivariat


84/90

Untuk pendekatan-F, akan digunakan c1 yang adadalam(5.40), serta menghitung beberapa besaranyang diperlukan, yaitu

( )2 22

1

1

( 1)( 2) 1 1

6( 1)

k

ki i

ii

p p

c k vv=

=

+

=

11 2 2

2 1

21( 1) ( 1),

2

aa k p p a

c c

+= + =

1 1 2 1 21 2

1 2

1 / 1 2 /,c a a c ab ba a

= =

Kasus Multivariat


85/90

J ika , maka

Jika , maka

Dalamkedua kasus di atas, maka hipotesis H0 akan

ditolak Jika F>F

2

2 1c c>

1 21 ,2 ln a aF b M F=

2

2 1c c = 0.00481,maka akan digunakan (5.42) untuk memperoleh

Dari hasil-hasil ketiga statistik uji di atas, baik yangeksak maupun pendekatan, memberikan hasilpengujian yang non signifikan, yang berarti bahwaketiga penguian tersebut meneriman H0.

2

1c

1 0.05,10,2 ln 1.354 1.83F b M F = = < =

pengujian vektor rataan-part2

Documents