bahan ajar riset operasi

7/22/2019 Bahan Ajar Riset Operasi

1/105

1

TINJAUAN MATA KULIAH

I.1. Deskripsi Singkat Mata Kuliah

Berdasarkan GBPP(Garis-Garis Besar Program Pengajaran) dan kurikulum

revisi (2004) jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknik Universitas Malikussaleh

Tahun 2004, pada mata kuliah penelitian operasional II ini akan dibahas

mengenai: pengertian singkat dan menyeluruh dari penelitian operasional II,

analisis jaringan, perencanaan & pengendalian proyek dengan CPM PERT,

programa dinamis, teori permainan, rantai Markov dan teori Antrian pada suatu

perusahaan industri.

I.2. Kegunaan Mata kuliah Bagi Mahasiswa

Mata kuliah penelitian operasional II ini memiliki beberapa kegunaan bagi

mahasiswa nantinya, antara lain sebagai berikut:

1. Pada suatu perusahaan dapat diketahui bagaimana analisis jaringan,

perencanaan & pengendalian proyek suatu kegiatan produksi yang nantinya

akan dibutuhkan pada suatu perusahaan terutama dalam menghasilkan suatu

produk yang efektif dan efisien.

2. Mahasiswa dapat mengerti dan memahami konsep penelitian operasional II

secara menyeluruh dan bagaimana penerapannya pada suatu perusahaan

industri.

3. Dalam kehidupan sehari-hari mahasiswa nantinya mampu menilai,

mengevaluasi segmentasi pasar dan perkembangan produk dengan

menggunakan suatu sistem yang terdapat pada penelitian operasional II, yang

nantinya sangat berguna untuk pengembangan suatu perusahaan.

4. Mahasiswa mampu memahami bagaimana cara mengambil keputusan industri,

baik itu melalui suatu pendekatan tertentu ataupun langsung dengan

menggunakan sumber daya yang ada.

5. Dalam suatu perusahaan industri, mahasiswa nantinya mampu melihat dan

menilai berhasil tidaknya suatu perusahaan dalam mengambil keputusan

berkaitan dengan kinerja, sumber daya dan kompetensi suatu perusahaan.


2/105

2

I.3. Tujuan Instruksional Umum (TIK)

Tujuan Instruksional Umum (TIK) penelitian operasional II yang terdapat

dalam GBPP jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknik Universitas Malikussaleh

Tahun 2004 menjelaskan bahwa dengan mempelajari mata kuliah penelitian

operasional II ini diharapkan mahasiswa mampu memahami mengenai berbagai

model optimasi dan pengambilan keputusan serta mampu menerapkan disiplin

ilmu dalam penelitian operasional II tersebut dalam kehidupan sehari-hari.

I.4. Susunan (Urutan) Bahan Ajar

Adapun susunan (urutan) bahan ajar dari perkuliahan pertama sampai

dengan perkuliahan terakhir adalah sebagai berikut:

PERKULIAHAN KE 1:

1. Pengantar Penelitian operasional II

1.1. Sejarah singkat perkembangan penelitian operasional

1.2. Komponen-komponen utama persoalan keputusan.

1.3. Model-model dalam penelitian operasional.

1.4. Metodologi penelitian operasional.

PERKULIAHAN KE 2 DAN 3:

2. Analisis Jaringan

2.1. Pengantar Analisis Jaringan

2.2. Konsep Dan Definisi

2.3. Algoritma Path

2.4. Tree Problem.

2.5. Flow Problem.


3. Perencanaan & Pengendalian Proyek dgn CPMPERT.

3.1. Simbol-simbol yang digunakan.

3.2. Penentuan Waktu.


3/105

3

3.3. Perhitungan maju & Perhitungan mundur.

3.4. Perhitungan kelonggaran waktu.

3.5. Pembuatan peta waktu & Pengaturan sumber daya.

3.6. Perkiraan waktu penyelesaian suatu aktifitas.

3.7. Penentuan ongkos dalam penjadwalan proyek.


4. Programa Dinamis

4.1. Pengantar Programa Dinamis

4.2 Teknik penyelesaian persoalan dengan Programa Dinamis

PERKULIAHAN KE 8:

5.Ujian midsemester.

PERKULIAHAN KE 9, 10 DAN 11:

6.Teori Permainan6.1.

Pengantar Teori Permainan.

6.2. Two person, Zero-Sum Game.

6.3. Pure-Strategy Game

6.4. Mixed-Strategy Game.

6.5. Solusi Grafis dari permainan (2xn) dan (mx2).

6.6. Solusi permaianan (mxn) dgn programa linier.


7. Proses Keputusan Markov

7.1. Pengantar proses keputusan Markov.

7.2. Ilustrasi Persoalan Keputusan Markov

7.3. Membangun Matriks Probabilitas Transisi

7.4. Model Program Dinamis dengan Stage Terbatas

7. 5. Model dengan Stage tidak Terbatas


4/105

4


8. Teori Antrian

8.1. Pengantar Teori antrian

8.2. Contoh Sistem Antrian

PERKULIAHAN KE 16:

9. Ujian semester.

I.5. Petunjuk Bagi Mahasiswa

Dalam mempelajari materi dalam setiap bab tersebut diharapkan mahasiswa

memiliki literature atau bahan pegangan baik berupa text book, jurnal maupun

ringkasan materi dari buku-buku yang berkaitan denngan mata kuliah penelitian

operasional II, hal ini sangat berguna bagi kelangsungan proses belajar mengajar

pada mata kuliah penelitian operasional II ini.


5/105

5

PERKULIAHAN KE 1: PENGANTAR PENELITIAN OPERASIONAL II

SESI/PERKULIAHAN KE: 1

TIK : Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:1. Menjelaskan pengertian penelitian operasional.

2. Mengetahui komponen-komponen yang diperlukan dalampengambilan keputusan.

Pokok Bahasan : Pengantar Penelitian operasional II

Deskripsi singkat :

Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari beberapa pengertian yang berkaitandengan penelitian operasional, memahami dan mengetahui Komponen-komponenutama persoalan keputusan, model-model dalam penelitian operasional dan

metodologi penelitian operasional yang nantinya dapat diterapkan dalammeyelesaikan persoalan pengambilan keputusan.

I. Bahan Bacaan:1. Don T.Philips, et.al., Operation Research: Principle and Practice, 2

nd

edition, John Wiley and Sons, 1987.2. Hillierand Lieberman, Introduction to Mathematical Programming, 1st

edition, McGraw-Hill, 1991.3. Taha, Hamdy, Operation Research : An Introduction, Newyork : The

MacMillan Co, 1985.

II. Bahan Tambahan:1.

Dimyati,Tjutju Tarliah, Ahmad Operations Research, PT. Sinar Baru

Algensindo Bandung, 1999.2. Wagner, H.M. Principle of Operation Research, Englewood Cliffs, N.J :

Prenntice-hall Inc, 1969.3. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. Introduction to Operation

Research , San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977.4. Wayne L.Winston, Operation Research: Application and Algorithms, 3

rd

edition, Duxbury Press, 1994.

III. Pertanyaan Kunci/Tugas:Ketika anda membaca bahan bacaan berikut, gunakanlah pertanyaan-pertanyaan

sebagai berikut:1. Apa yang dimaksud dengan penelitian operasional?2. Apa kegunaan mempelajari penelitian operasional?

IV. Tugas:1. Definisikan pengertian penelitian operasional menurut literatur yang anda

baca dan jelaskan pengertian tersebut sesuai dengan pendapat anda!2. Carilah contoh kasus persoalan keputusan yang berkaitan dengan penelitian

operasional II!3. Jelaskan langkah-langkah dalam memecahkan suatu persoalan keputusan

dalam suatu organisasi!


6/105

6

1.1. PENDAHULUANDalam perkuliahan pengantar penelitian operasional II ini akan dibahas

mengenai sejarah singkat perkembangan penelitian operasional, komponen-

komponen utama persoalan keputusan, model-model dalam penelitian operasional

dan metodologi penelitian operasional. Materi yang disampaikan sangat berkaitan

antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan suatu

keputusan yang optimal dalam menyelesaikan suatu persoalan keputusan.

1.2. PENYAJIANPENGANTAR PENELITIAN OPERASIONAL II

1.1. Sejarah Singkat Perkembangan Penelitian Operasional

Pada masa Perang Dunia II, angkatan perang inggris membentuk suatu

team yang terdiri atas para ilmuwan untuk mempelajari persoalan-persoalan

strategis dan taktik sehubungan dengan serangan-serangan yang dilancarkan

musuh terhadap negaranya.

Tujuannya adalah untuk menentukan penggunaan sumber-sumber

kemiliteran yang terbatas seperti radar dan bomber, dengan cara yang paling

efektif. Karena tim melakukan research (penelitian) terhadap operasi-operasi

militer, maka muncullah nama Military Operation Research (penelitian

operasional kemiliteran), yang sejak awal telah ditandai dengan digunakannya

pengetahuan ilmiah dalam usaha menentukan penggunaan sumber-sumber daya

yang terbatas.

Hal yang serupa dilakukan oleh angkatan perang Amerika untuk

membentuk tim yang mereka sebut team Operation Research. Mereka berhasil

dalam memecahkan persoalan-persoalan logistik, suply barang-barang keperluan

perang dan menentukan pola-pola dasar jaringan bagi operasi alat-alat elektronik.

Setelah Perang Dunia II berakhir, Operation Research yang lahir di

Inggris ini kemudian berkembang pesat di Amerika karena keberhasilan yang

dicapai oleh team Operation Research tersebut, yang akhirnya menarik perhatian


7/105

7

orang-orang di perindustrian. Sedemikian pesat perkembanganya kini maka

Penelitian Operasional telah digunakan hampir pada seluruh kegiatan, baik

diperguruan tinggi, konsultan, rumah sakit, perencanaan kota dll.

1.2. Komponen-Komponen Utama Persoalan Keputusan.

Munculnya persoalan-persoalan keputusan adalah karena seorang pengambil

keputusan sering dihadapkan pada beberapa pilihan tindakan yang harus

dilakukan. Dalam menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan pengambilan

keputusan ini harus diidentifikasikan terlebih dahulu 2 (dua) komponen utamanya,

yaitu:

1. Objective (tujuan).

2. Variabel-variabel.

Tujuan (objective) adalah hasil akhir yang hendak dicapai dengan cara

memilih suatu tindakan yang paling tepat untuk sistem yang dipelajari. Dalam

bidang-bidang usaha, tujuan diartikan sebagai memaksimumkan profit atau

meminimumkan ongkos yang dikeluarkan. Akan tetapi dalam bidang-bidang

lain yang sifatnya non-profit (tidak mencari keuntungan), tujuan dapat berupa

pemberian kualitas pelayanan kepada para konsumen.

Apabila tujuan telah didefinisikan, maka selanjutnya harus dilakukan

pemilihan tindakan terbaik yang dapat mencapai tujuan tersebut. Dalam hal ini,

kualitas pemilihan akan sangat bergantung kepada tahu atau tidaknya si

pengambil keputusan dalam mencapai alternatif yang diharapkan tersebut.

Untuk dapat menentukan tindakan-tindakan yang mungkin dilakukan itu

maka haruslah diidentifikasikan variabel-variabel sistem yang dapat dikendalikan

oleh pengambil keputusan, yang keberhasilannya dalam mengidentifikasikan

variabel-variabel inipun akan sangat bergantung pada bias dan pelatihan si

pengambil keputusan.


8/105

8

1.3.Model-Model dalam Penelitian Operasional.

Model adalah gambaran ideal dari suatu situasi (dunia) nyata sehingga

sifatya yang kompleks dapat disederhanakan. Ada beberapa jenis model yang

biasa digunakan, diantaranya ialah:

a. Model-model fisik/ ikonis

Yaitu Penggambaran fisik dari suatu sistem, baik dalm bentuk ideal maupun

dalam skala yang berbeda.

Contoh: Peta, foto, blueprint, globe.

b. Model-model Analogi/ diagramatis

Model-model ini dapat menggambarkan situasi-situasi yang dinamis dan lebih

banyak digunakan dari pada model-model ikonis karena sifatnya yang dapat

dijadikan analogi bagi karakteristik sesuatu yang sedang dipelajari.

Contoh: Kurva distribusi frekuensi pada statistik, kurva supply demand, flow

chart.

c. Model-model Simbolis/ Matematis

Yaitu Penggambaran dunia nyata melalui simbol-simbol matematis.

Pada awalnya Model-model Simbolis/ Matematis ini berupa model-model

abstrak yang dibentuk di dalam pikiran seseorang yang kemudian disusun

menjadi model-model simbolis, seperti gambar, simbol atau rumus matematis.

Model matematis yang paling banyak digunakan dalam penelitian operasional

adalah model matematis berupa perasamaan atau ketidak samaan.

d. Model-model simulasiYaitu Model-model yang meniru tingkah laku sistem dengan mempelajari

interaksi komponen-komponennya. Dalam hal ini tidak diperlukan fungsi-

fungsi matematis secara eksplisit untuk merelasikan variabel-variabel sistem,

Model-model simulasi ini dapat digunakan untuk memecahkan sistem

kompleks yang tidak dapat memberikan solusi yang benar-benar optimum.

Dimana jawaban yang dapat diperoleh ialah jawaban yang suboptimum, yaitu

jawaban optimum dari alternatif-alternatif yang diuji/ dites.


9/105

9

e. Model-model heuristikKadang-kadang formulasi matematis bersifat sangat kompleks untuk dapat

memberikan suatu solusi yang pasti. Atau mungkin solusi optimum dapat

diperoleh, tetapi memerlukan proses perhitungan yang sangat panjang dan

tidak pratktis. Heuristic yaitu suatu metode pencarian yang didasarkan atas

aturan-aturan tertentu untuk memperoleh solusi yang lebih baik daripada

solusi yang telah dicapai sebelumnya.

Dalam penelitian operasional, model yang paling banyak digunakan adalah

model matematis/ simbolis. Disamping itu, digunakan juga model-model simulasi

dan heuristic.

1.4.Metodologi Penelitian Operasional

Jika Penelitian operasional akan digunakan untuk memecahkan suatu

persoalan di suatu organisasi, maka harus dilakukan 5 (lima) langkah sebagai

berikut:

Langkah 1:

Memformulasikan Persoalan, mendefinisikan persoalan lengkap dengan

spesifikasi tujuan organisasi dan bagian-bagian organisasi atau sistem yang

bersangkutan. Hal ini mutlak harus dipelajari sebelum persoalannya dapat

dipecahkan.

Langkah 2:

Mengobservasikan Sistem, kumpulkan data untuk mengestimasi besaran

parameter yang berpengaruh terhadap persoalan yang dihadapi. Estimasi ini

digunakan untuk membangun dan mengevaluasi model matematis dari

persoalannya.

Langkah 3:

Memformulasikan model matematis dari persoalan yang dihadapi. Dalam

memformulasikan persoalan ini biasanya digunakan model analitik, yaitu model

matematis yang menghasilkan persamaan. Jika pada suatu situasi yang sangat


10/105

10

rumit tidak diperoleh model analitik, maka perlu dikembangkan suatu model

simulasi.

Langkah 4:

Mengevaluasi model dan menggunakannya untuk prediksi. Pada langkah ini,

tentukan apakah model matematis yang dibangun pada langkah 3 telah

menggambarkan keadaan yang nyata secara akurat. Jika belum buatlah model

yang baru.

Langkah 5:

Mengimplementasikan hasil studi, Pada langkah in kita harus menterjemahkan

hasil studi atau hasil perhitungan kedalam bahasa sehari-hari yang mudah di

mengerti.

1.3. PENUTUPPada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar

mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan

juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.

Tugas/latihan untuk pengantar penelitian operasional II adalah sebagai berikut:

1. Definisikan pengertian penelitian operasional menurut literatur yang anda

baca dan jelaskan pengertian tersebut sesuai dengan pendapat anda!

2. Carilah contoh kasus persoalan keputusan yang berkaitan dengan penelitian

operasional II!

3. Jelaskan langkah-langkah dalam memecahkan suatu persoalan keputusan

dalam suatu organisasi!


11/105

11

PERKULIAHAN KE 2 DAN 3: ANALISIS JARINGAN

SESI/PERKULIAHAN KE: 2 DAN 3

TIK : Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:1.Menjelaskan pengertian jaringan dalam persoalan keputusan.

2.Menyelesaikan persoalan keputusan mengenai analisis jaringan.

Pokok Bahasan : Analisis Jaringan

Deskripsi singkat :

Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari beberapa pengertian yangberkaitan dengan analisis jaringan, memahami dan mengetahui persoalanalgoritma path, tree problem, flow problem termasuk persoalan rute terpendek,persoalan rentang pohon minimum dan persoalan aliran maksimum pada suatujaringan kerja.

I. Bahan Bacaan:1. Hillier and Lieberman, Introduction to Mathematical Programming, 1stedition, McGraw-Hill, 1991.

2. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. Introduction to OperationResearch , San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977.

3. Taha, Hamdy, Operation Research : An Introduction, Newyork :

The MacMillan Co, 1985.

II. Bahan Tambahan:1.Don T.Philips, et.al., Operation Research: Principle and Practice, 2

nd

edition, John Wiley and Sons, 1987.2.Wayne L.Winston, Operation Research: Application and Algorithms, 3

rd


III. Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut,gunakanlah pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:

1. Apa yang dimaksud dengan jaringan?2. Sebutkan contoh-contoh jaringan kerja!

IV. Tugas:1. Seorang pemuda mengendarai mobil dari kota asalnya menuju kota yang lain. Dia

mempunyai beberapa pilihan rute yang melalui kota-kota antara, jarak suatu kota

dengan kota yang lain dalam suatu rute adalah seperti terlihat dalam networkberikut.

Rute manakah yang harus dilalui agar jarak yang ditempuh oleh orang tersebut

minimum?

2. Carilah Jumlah unit maksimum suatu path dari s ke t dimana seluruh arc daripath itu

termasuk di dalamsei I(Increasable path)!

i(s,1)=5 i(1,2)=3 i(2,t)=2

Kota TujuanS

C

D

B

5

3

3

3

2

A3

T

7

Kota

JarakKota Antara

13

S 1 2 t


12/105

12

II.1. PENDAHULUAN

Dalam perkuliahan mengenai Analisis Jaringan ini akan dibahas

mengenai pengertian dan konsep analisis jaringan, memahami dan mengetahui

persoalan rute terpendek, persoalan rentang pohon minimum dan persoalan aliran

maksimum pada suatu jaringan kerja. Materi yang disampaikan sangat berkaitan

antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan keputusan

yang optimal dalam menyelesaikan persoalan keputusan dalam suatu jaringan

kerja.

II.2. PENYAJIAN

ANALISIS JARINGAN

2.1. Pendahuluan

Network theory (Teori Analisis Jaringan) adalah cabang-cabang matematik

yang digunakan secara luas dalam bidang praktek. Banyak problema yang timbul

dalam berbagai bidang seperti psikologi, kimia, teknik listrik, transportasi,

manajemen, pemasaran, dan pendidikan dapat digambarkan didalam bentuk

problema dari Network Theory. Oleh karena itu Network Theory tidak hanya

dikenal dan dikembangkan oleh kalangan sendiri, tetapi juga diikembangkan dari

bidang-bidang lain.

Network Theory tumbuh dan berkembang pesat pada awal abad ke 20 (dua

puluh) dengan dimotivasi oleh perkembangan dari teori molekul dan teori listrik.

Kini perkembangan analisis jaingan ini makin cepat lagi setelah ditemukannya

alat komputer.

Pengertian atau definisi-definisi yang umum dijumpai dalam analisisjaringan ini akan di bahas secara mendetail termasuk didalamnya berbagai model

dan uraian singkat mengenai analisis jaringan seperti persoalan Shortest Path

Problem (S.P.P), Spanning Tree Problem ( S.T.P), Flow Problem (F.P), yang

dilengkapi dengan algoritma penyelesaian optimum.

Graph G adalah suatu bangun (struktur) yang terdiri satu set elemen N yang

disebut node dan satu set elemen A yang disebut Arc. Secara Umum suatugraph

dituliskan dengan notasi G (N,A), dimana:


13/105

13

N = Setdari node (1,2,3,..n)

A = SetdariArc (a,b,c,.....n)

yang masing-masing menghubungkan suatu node dengan node yang lain.

Sebagai contoh, susunan dari satu set node N (1,2,3,4) dan satu set arc

(a,b,c,d,e,f,g) membentuk suatu graph yang salah satu diantaranya adalah dapat

dilihat pada Gambar 2.1. berikut.

Gambar 2.1. susunan dari satu set nodeN dan satu set arcmembentukgraph

Network (jaringan) adalah suatu graph dimana elemen-elemen A pada

graph tersebut merupakan suatu aliran .

Contoh dari suatu networkadalah sistem jaringan jalan raya yang menghubungkan

kota-kota yang ada pada suatu daerah. Sebagai node dalam jaringan tersebut

adalah setiap kota yang ada dalam jaringan tersebut dan sebagai arc adalah jalan

raya yang menghubungkan satu kota dengan kota yang lain. Bobot dariArc adalah

dapat berupa jarak, ongkos angkut ataupun lamanya perjalanan dari satu kota ke

kota yang lain.

2.2. Konsep Dan Definisi

Suatu arc yang mempunyai node yang sama untuk kedua ujung dan

pangkalnya disebut loop.

C adalahLoop.

Node

Arc

1

2 4

3

a

b

c

d

f

3 2 c3


14/105

14

Sebuah node dan sebuah arc disebut incedentsatu sama lain, jika node

tersebut adalah merupakan ujung ataupun pangkal dari arc yang

bersangkutan.

Dua buah arc dikatakan incedentsatu sama lain, jika keduanya incedent

kepada node yang sama.

Dua buah node disebut adjacent satu sama lain, jika ada sebuah arc

menghubungkan keduanya.

Chain adalah beberapa arc yang berurutan di dalam satu graph atau

network.

Panjang suatu chain adalah sama dengan banyaknya arc dalam chain

tersebut.

Path adalah suatu chain yang dibentuk oleh beberapa arc yang searah.

a1 2 3

b rc a dan node 2 adalah

incedentsatu sama lainnya.

rc a dan b adalah incedentsatu

sama lainnya karena keduanya

incedentkepada node 2.

ode 2 dan 3 adalah adjacentsatu

sama lainnya karena ada satu arc

yaitu arc b menghubungkan

keduanya.

a1 2 3

b

rc a, e, h dan i adalah chain.a

1

3

b

5

4 6

72i

c

e

d

h

gf

rc a, d, g dan i adalah

sebuah path yang arahnya

dari node 6 ke node 1.

ode 6 disebut node awal

dan node 1 disebut node

akhir.

a

1

3

b

5

4 6

72i

c

e

d

h

gf

a1 2 3

b


15/105

15

Cycle adalah suatu chain yang mempunyai node awal dan node akhir

yang identik atau dengan kata lain, cycle adalah suatu chain yang

tertutup.

Circuit adalah suatu path yang mempunyai node awal dan node akhir

yang identik, atau merupakan suatu path yang tertutup. Dalam gambar

di atas arc a, b dan c membentuk suatu circuit. Panjang suatu cycle dan

circuit di dalam graph adalah banyaknya arc yang membentuk cycle

atau circuittersebut.

Suatu graph disebut connectedjika terdapat sedikitnya satu chain dari

suatu node kepada setiap node yang lain di dalamgraph tersebut.

Arc c, e, h dan i membentuk

suatu cycle.a

1

3

b

5

4 6

72i

c

e

d

h

gf

Dari setiap node terdapat

sedikitnya satu chain kepada

setiap node yang lain.a

1

3

b

5

4 6

7

2 i

c

e

d

h

g

f

e1

5

4

7

6

a

c

i

f

g

b

Sub-graph 2

Sub-graph 1

2


16/105

16

- Graph ini tidak connected, karena tidak semua node mempunyai chain

kepada setiap node yang lain. Misalnya antara node 2 dengan node 4 tidak

terdapat chain. Graph tersebut terdiri dari 2 sub-graph dan disebut un-

connected graph.

- Suatu sub graph dari G(N,A), adalah suatu graph G yang terdapat terdiri

dari seluruh arc dari set A yang menghubungkan node di dalam sub set

tersebut.

- Suatu partial graph dari G(N,A) adalah suatu graph yang terdiri dari

semua node N dan satusub-set arc A.

- Suatugraph G(N,A) dengan arc yang arahnya ditetapkan disebut directed

graph. Bila arah dari arc tidak ditetapkan, maka disebut undirected graph.

7

6

5

42

1

a

3

d

b

e

h

i

g

c

f

j2

4

5

3

1

ac

b

e

f

d

2 4

53

1

ac

e

b

d6

7

f

7

6

5

42

1

a

3

d

b

e

h

i

g

c

f

j

7

6

5

42

1

a

3

c

b

d

f

h

g

e

i


17/105

17

- Tree dari suatu connected graph G(N,A) adalah suatu connected partial

sub-graph. Tree terdiri dari satu sub-set dari node dan satusub-setdari arc

yang menghubungkansub-set node dan tidak membentukcycle.

-

Spanning Tree dari suatu connected graph adalah setiap tree yang

terbentuk dari arc dan seluruh node darigraph tersebut.

- Arborescence adalah suatu tree dimana tidak terdapat 2 arc atau lebih

yang berujung pada node yang sama.

7

6

4a

3

d

b

e

h

i

g

c

f

j

5

2

1

Tree

Node (1,2,3,4 dan 5) dengan

Arc (a,c,d dan e) membentuk

tree.

Bukan Tree

Graph yang dibentuk oleh

Node (1,2,3,4 dan 5) dengan

Arc (a,b,c,d dan e) bukan tree

karena terdapat cycle.

6

4

1

a

3

c

b

d

f

h

g

e

i

2

57

7

6

4a

3

d

b

e

h

i

g

c

f

j

5

2

1

Spanning Tree

Graph yang dibentuk oleh Node

(1,2,3,4,5,6 dan 7) dengan Arc

(a,c,d,e,f dan i).

1

42

6

53

a

b

c

d

e


18/105

18

- Spanning arborescence adalah arborescence darispanning tree.

2.2.1. Matrix darigraph

Setiapgraph dapat juga digambarkan dalam bentuk matriks. Ada beberapa

macam matriks yang dapat dibuat untuk menggambarkan suatu matriks dimana

cara penggambaran tiap matriks ditentukan oleh penggunanya.

Dalam bagian ini hanya di uraikan dua macam penggambaran saja yaitu yang

disebut incedence matrix dan adjaccency matrix.

a. Incidence matrixIncidence matrix E dari suatugraph G dibentuk dengan cara berikut.

Kolom dari matriks adalah merupakan setiap arc dan baris matriks adalah

node. Elemen-elemen dari matriks disebut eij ditentukan dengan cara berikut.

Matrix dari undirected graph

Elemen-elemen dari matriks untukundirected graph adalah:

- eij = 1, jika node i adalah salah satu ujung dari arc.

- eij = 0, jika node i tidak merupakan salah satu ujung dari arc j.

Contoh:

a b c d e f G

1 1 1 0 0 0 0 0

2 1 0 1 1 0 0 0

3 0 1 1 0 1 1 0

4 0 0 0 1 0 1 1

5 0 0 0 0 1 0 1

Graph G (N,A)

E =1

4

5

3

a

b

c

d

e f

2

g

1

4

6

53

a

b

c

d

e

7

f

2


19/105

19

Dari matriks E ini terlihat bahwa banyaknya baris matriks adalah sama

dengan banyaknya node (n) pada graph 6 (N,A) dan banyaknya kolom. Sama

dengan banyaknya arc (a) darigraph tersebut, sehingga matriks terbentuk adalah

matriks E (n x a).

- Matriks dari directed graph.

Elemen-elemen eij dari matriks untukindirected graph adalah:

- eij =1, jika arc j adalah incidentdengan node i dan arahnya menuju node i

tersebut.

- eij = -1, jika arc j adalah incidentdengan node i dan arahnya tidak menuju

node i tersebut.

- eij=0, jika arcj adalah tidak incident dengan node i.

Contoh:

a b c d E f g

1 -1 1 0 0 0 0 0

2 1 0 1 -1 0 0 0

3 0 -1 -1 0 -1 1 04 0 0 0 1 0 -1 1

5 0 0 0 0 1 0 -1

b. Adjacency matrix- Adjacency matriks E dari suatu graph G dibentuk dengan cara berikut. Baris

dan kolom matriks adlah merupakan selutuh node darigraph.

Sama halnya dengan incidence matrix, elemen-elemen dari adjcency matrix

(eij) untukundirected graph berbeda dengan elemen-elemen matriks untuk

directed graph.(1). Undirect adjacency matrix.

Elemen-elemen dari undirect adjacency eij, didefinisikan sebagai

berikut:

- eij =1, jika arc yang menghubungkan node i dengan node j.

- eij = 0, jika tidak ada arc yang menghubungkan node i dengan node j.

E =1

4

5

3

a

b

c

d

e f

2

g


20/105

20

Contoh:

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 1 1 0

3 1 1 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

(2).Direct adjacency matrix.

Elemen-elemen dari undirect adjacency eij, didefinisikan sebagai

berikut:

- eij =1, jika ada sebuah arc yang berasal dari node i menuju nodej.

- eij = 0, yaitu:

-jika ada sebuah arc yang berasal dari node j menuju node i.

-Jika tidak ada sebuah eij yang menghubungkan node i dan

node j.

Disini terlihat bahwa baik undirect adjacency matrix, maupun direct

adjacency matrix keduanya marupakan matriks bujur sangkar E (n x n) karenamasing-masing dibentuk dari hubungan antara node dengan node pada suatu

graph.

Salah satu tujuan utama dari penggambaran graph dan network kedalam

bentuk matriks adalah untuk komputerisasi darigraph dan networktersebut.

Penggambaran graph dan networkdalam bentuk diagram ditujukan hanya untuk

memperlihatkan hubungan antara keadaan sistem nyata dengan node diagramnya.

Dengan penggambaran demikian akan ditemukan kesulitan didalam manipulasi

graph dan network. Untuk tujuan optimisasi karena peranan komputer tidak dapat

dimanfaatkan semaksimal mungkin. Komputer dapat menyimpan dan

memanipulasi angka-angka dengan mudah, tetapi tidak dapat menyimpan secara

langsung inforamasi yang berbentuk gambar atau diagram

E =

1

4

5

3

a

b

c

d

e f

2

g


21/105

21

2.2.2Matrix dari network.

Pada uraian sebelumnya sudah dijelaskan bahwa network adalah suatu

graph dengan arc yang mempunyai aliran.

Networkditulis dengan notasi W (N,A,d), dimana:

N =setdari node(1,2,,n)

A = setdari arc (a,b,....................)

di = bobot dari arc i.

Suatu networkdisebut non negatifjika di>0 untuk seluruh eijE.

Adjacency matrix dari network adalah identik dengan adjacency matrix

darigraph hanya saja elemen-elemen matriks ditentukan oleh arah dari setiap arc

dari networktersebut.

Contoh dari sebuah networkadalah seperti terlihat dalam gambar berikut.

Network ini adalah merupakan suatu jaringan jalan raya disuatu daerah

Node (1, 2, 3, 4, 5) adalah kota-kota yang dilintasi oleh jalan raya tersebut.

Arc (1-2) adalah jarak antar kota 1 dengan kota 2 dan seterusnya.

Sama halnya dengan graph pada network juga ditemukan bentukundirecteddan

directed network.

2.3. Algori tma Path

Dalam bagian ini akan diuraikan beberapa algoritma untuk mencari path

yang mempunyai sifat-sifat optimum tertentu.

- Pertama adalah algoritma untuk mencari path yang terpendek (shortes path)

antara dua node didalam suatu network,

- Kedua adalah algoritma untuk mencari path yang terpendek diantara setiap

pasang node didalam network.

1

4

5

3

3

2

4

1

6 2

2

3


22/105

22

2.3.1. Algoritma Terpendek Antara Dua Node Tertentu.

Contoh-contoh problema dan mencari arc yang terpendek adalah:

Contoh 1.

Seorang supir sedang bepergian dengan mengendarai mobil dari kota

asalnya menuju kota yang lain. Untuk mencapai kota tujuan tersebut, dia

mempunyai beberapa pilihan rute yang melalui kota-kota antara, jarak suatu kota

dengan kota yang lain dalam suatu rute adalah seperti terlihat dalam network

berikut. Rute manakah yang harus dilalui agar jarak yang ditempuh oleh orang

tersebut minimum?

Contoh 2.

Seorang pengusaha ingin menanamkan uangnya secara optimal pada salah

satu atau beberapa bidang usaha, yaitu membeli saham dipasar uang dan modal,

membeli bond atau mendepositokan di bank, dia hanya ingin menanamkan

uangnya pada satu jenis usaha, pada tiap kali mengadakan investasi. sesuai dengan

peraturan yang berlaku saat ini, bahwa pengusaha tersebut hanya dibenarkan

untuk investasi atau menarik mdalnya pada hari pertama tiap kwartal. Besarnya

keuntungan yang diharapkan tiap bulan selama satu tahun dinyatakan sebagai

panjang dari arc.

Kota Tujuan

s

4

3

2

Awal

Kwartal 4

Akhir4

3

2

4

3

2

t

Kwartal 3Kwartal 2Kwartal 1

s

3

4

2

4

3

4

3

3

2

12

t

7

2

Kota Asal

JarakKota Antara


23/105

23

Dari kedua contoh problema tersebut, terlihat bahwa sebagai penyelesaian

optimum adalah lintasan (path) yang memberikan jarak terpendek dari s ke t.

Hanya saja pada contoh dua, panjang tiap path harus dinyatakan sebagai harga

negatif dari keuntungan yang diharapkan pada tiap kwartal. Ada beberapa

algoritma untuk mencari penyelesaian optimum di problemapath yang terpendek

(shortes path problem). Yang paling banyak digunakan adalah algoritma dikstra

(1959), Karena algritma ini sangat efisien. Tetapii penggunaannya terbatas hanya

untuk non negatif network. Untuk negatif network dapat digunakan algoritma

chimbel dan gellman atau algoritma ford. Ide dari algoritma dikstra adalah sebagai

berikut:

Misalkan diketahui bahwa dalam network, m node s dan juga pada m buah node

tersebut, kemudian node ke (m+1) yang terpendek ke node s di cari sebagai

berikut:

Untuk setiap node, bentuklah sebuah path dari node s ke node y dengan

menghubungkanpath terpendek dri s ke t dengan arc (x, y) untuk semua node x.

Pilihlah path yang terpendek dari n buah path ini, anggap bahwa untuk

sementara, path yang dipilih ini merupakan path yang terpendek dari s ke t.

Sekarang, node yang manakah yang merupakan node ke ( m+1), yang terdekat ke

s adalah node yang belum diberi warna yang merupakanpath terpendek sementara

dari s seperti telah dihitung di atas. Hal ini adalah benar karena path yang

terpendek dari s kepada node yang ke (m+1) yang jaraknya terpendek ke node s,

harus menggunakan node yang telah berwarna sebagai node antara.

Oleh karena itu , jika ke m buah node yang terdekat kepada node s

diketahui, maka node ke (m+1) dapat dicari, seperti yang diuraikan di atas mulai

dengan m = 0, dan proses tersebut dilakukan berulang-ulang sehingga path yag

terpendek dari s ke t telah diperoleh.


24/105

24

Untuk jelasnya algoritma dikstra ini dapat dijelaskan sebagai berikut:

Langkah 1 :

Untuk semua node dan arc yang belum diwarnai. Beri angka d(x)

kepada setiap node x untuk menunjukkan panjang dari path yang

terpendek dari s ke t yang hanya menggunakan node yang berwarna

sebagai node antara. Beri pula d(s) = 0 dan d (x) = ~ untuk semua x

s. misalkanya adalah node pertama yang akan diberi warna. Beri warna

pada s dan misalkan y = s.

Langkah 2:Untuk setiap node x yang belum berwarna, tentukan d(x) dengan cara

sebagai berikut: d(x) = Min { d(x), d(y) + a(y,x)}

Jika d(x) = ~, untuk semua x yang tidak berwarna, maka iterasi

dihentikan karena tidak ada path dari s kepada setiap node yang belum

berwarna tersebut. Jika d(x) ~ , beri warna node x yang belum

berwarna yang mempunyai harga d(x) terkecil. Juga beri warna pada

arc yang langsung menuju node x dari node berwarna dimana harga

d(x) yang minimum tadi ditemukan. Misalkan y = x.

Langkah 3:

Jika node t sudah diberi warna, maka iterasi dihentikan, karena sebuah

path yang terpendek dari s ke t sudah ditemukan. Jika node t belum

berwarna, kembali ke langkah 2.

Bila algoritma dikstara ini digunakan untuk contoh soal 1 di atas maka

penyelesaian optimum yang diperoleh adalah sebagai berikut.

s

2

4

3

4

3

4

3

3

2

12

t

7

2


25/105

25

Langkah 1: Beri warna pada node s, d(s) = 0 dan d(x)= ~ untuk seluruh x s.

Langkah 2: y = s

d(1) = Min { d(1), d(s) + a(s,1)} = Min {~, (0+4)} = 4

d(2) = Min { d(2), d(s) + a(s,2)} = Min {~, (0+7)} = 7

d(3) = Min { d(3), d(s) + a(s,3)} = Min {~, (0+3)} = 3

d(4) = Min { d(4), d(s) + a(s,4)} = Min {~, (0+~)} = ~

d(t) = Min { d(5), d(s) + a(s,5)} = Min {~, (0+~)} = ~

Karena d(3) = 3 adalah Min {d(1), d(2), d(3), d(4), d(t)}, maka node 3 dan arc

(s,3) diberi warna.Path yang terpendek sementara adalah dari node s ke node 3.

Langkah 3: Node t belum berwarna, maka kembali kepada langkah 2.

Langkah 2: y = s

d(1) = Min { d(1), d(3) + a(3,1)} = Min {4, (3 + 4)} = 4

d(2) = Min { d(2), d(3) + a(3,2)} = Min {7, (3 + ~)} = 7

d(4) = Min { d(4), d(3) + a(3,4)} = Min {~, (3 + 3)} = 6

d(t) = Min { d(t), d(3) + a(3,t)} = Min {~, (3 + ~)} = ~

Karena d(1) = 4 adalah Min {d(1), d(2), d(4), d(t)}, maka node 1 dan arc (s,1)

diberi warna.Path arborescence terpendek adalah arc (s,3) dan (s,1).


Langkah 2: y = 1

d(2) = Min { d(2), d(1) + a(1,2)} = Min {7, (4+3)} = 7

d(4) = Min { d(4), d(1) + a(1,4)} = Min {4, (4+2)} = 6

d(t) = Min { d(t), d(1) + a(1,t)} = Min {~, (4+~)} = ~

Karena d(4) = 4 adalah Min {d(2), d(4), d(t)}, maka node 4 diberi warna.

s3

3

s

3

3

14


26/105

26

Salah satu dari arc (3,4) dan arc (1,4) juga diberi warna. Misalkan dipilih arc

(3,4) makapath arborecence terpendek adalah:


Langkah 2: y = d

d(2) = Min { d(2), d(4) + a(4,2)} = Min {7, (6+~)} = 7

d(t) = Min { d(t), d(4) + a(4,t)} = Min {~, (6+2)} = 8

Karena d(2) = 7 adalah Min {d(2), d(t)}, maka node 2 dan arc (s,2) diberi warna.

Salah satu dari arc (3,4) dan arc (1,4) juga diberi warna. Path arborecence

terpendek adalah sebagai berikut.

Langkah 3:Node t belum berwarna, maka kembali kepada langkah 2.

Langkah 2: y =2

d(t) = Min { d(t), d(2) + a(2,t)} = Min {8, (7+2)} = 8

Beri warna pada node t dan arc (4,t) makapath arborecence terpendek adalah:

2

s

3

3

1

4

43

7

2

2

s

3

3

14

43

5

s

3

3

14

43


27/105

27

Dari path arborecence ini terlihat bahwa path yang terpendek dari s ke t

terdiri dari arc (s,3), (3,4), dan (4,5) dengan jarak 3 + 3 + 2 = 8.

Karena algoritma dikstra untuk mencari path yang terpendek dalam

prosesnya membentuk arborescence maka algoritma ini juga dapat digunakan

untuk mencari minimum spanning arborescence dari suatu graph atau network.

2.3.2. Shortest Path antara seluruh Node.

Problem pada uraian terdahulu adalah mencari suatu shortest path

(lintasan terpendek) diantara 2 (dua) node tertentu di dalam graph. Bagian ini

akan mempelajari shortest path antatra tiap pasang node di dalam graph.

Misalnya, suatu graph terdiri dari set elemen N (1,2,3,4 dan 5) dan satu set

elemen A {(1,2), (2,3), (3,1), (3,6), (5,4), (4,6), (1,4),(6,5)} seperti terlihat pada

gambar berikut.

Problema adalah mencari lintasan yang terpendek dari suatu node ke

seluruh node yang lain, misalnya antara node 1 dengan node 3, antara node 2

dengan node 6 dan seterusnya. Sudah barang tentu, problema ini akan dapat

diselesaikan dengan menggunakan algoritma dikstra seperti yang telah diuraikan

sebelumnya secara berulang-ulang. Tetapi penyelesaian dengan cara ini sangat

tidak efisien karena membutuhkan perhitungan yang sangat banyak dan sangat

dipengaruhi oleh banyaknya node yang terdapat di dalamgraph.

Untuk problema yang demikian, akan dapat diselesaikan dengan lebih

mudah dan lebih singkat dengan menggunakan algoritma Shimbel and Bellman

(1954), algoritma Floyd (1962) dan algoritma wantzig (1967). Pada bagian ini

31

4

3

24

52

6

2

5

3

2

Bobot arc menyatakan

jarak antara tiap

pasang node


28/105

28

hanya algoritma Floyd saja yang akan di uraikan sedangkan algoritma lainnya

dapat dibaca pada buku Optimization Algoritma for networks and Graphs.

Contoh.

Suatu perusahaan penerbangan domestik harus menyinggahi sejumlah kota

setiap hari. Untuk menghemat penggunaan bahan bakar dan waktu penerbangan

maka, perusahaan tersebut ingin untuk meminimumkan total jarak yang harus

ditempuhnya. Suatu hal yang sangat membantu untuk mencapai tujuan ini adalah

dengan mendapatkan rute yang terpendek antara setiap kota yang harus disinggahi

oleh pesawat.

Dalam algoritma Floyd ini digunakan beberapa notasi yaitu: nomor dari

node adalah 1,2,3,...................,N. Path yang terpendek dari node i dan j, dimana

hanya m buah node yang pertama diizinkan sebagai node antara dinyatakan

sebagai dm

ij = ~ . berdasarkan definisi ini, maka do

ij adalah panjang dari path

terpendek dari i ke j (path yang tidak mempunyai path antara) dan dI

ij adalah

panjang dari path tersebut hanya terdapat satu node antara. Pengertian ini dapat

dijelaskan dengangraph berikut.

Path dari 1 ke 4

do

ij = 3, denganpath terpendek (1,4)

dI

ij = ~, tidak adapath dari node 1 ke 4 yang mempunyai 1 node antara.

d2

ij = 11,denganpath terpendek (1,2), (2,5), (5,4)

d3

ij = ~, tidak adapath dari node 1 ke 4 yang mempunyai 3 node antara.

d4

ij = 13,denganpath terpendek (1,2), (2,3), (3,6), (6,5), (5,4).

3

1

4

3

24

52

6

2

5

3

2

7

4


29/105

29

Sehingga jelas bahwa do

ij = 0, untuk semua i. Misalkan Dm adalah matriks

N x N yang mempunyai elemen (i,j) adalah d mij , jika panjang setiap arc dalam

graph diketahui maka matriks D0 dapat dicari. Sebagai tujuan adalah mencari DN

yaitu matriks N x N dimana elemen (i,j) adalah dN

ij , yang merupakan panjang

daripath terpendek antara node i dengan nodej.

Algoritma Floyd dimulai dari D0 dan D1 dihitung berdasarkan D0

berikutnya, algoritma menghitung D2 dan D1 dan seterusnya.

Jika hal-hal dibawah ini telah diketahui maka Ide dari perhitungan-

perhitungan tersebut adalah sebagai berikut:

a) Shortest path dari node i ke node m yang hanya melalui (m-1) buah node

antara.

b) Shortest path dari node m ke node j yang hanya melalui (m-1) buah node

antara.

c) Shortest path dari node i ke node j yang hanya melalui (m-1) buah node

antara. Karena dalam path ini tidak terdapat circuit ataupun arc yang

panjangnya negatif, makapath yang lebih pendek diantara (4) dan (5) berikut

ini adalah merupakan shortest path dari i ke j, yang hanya melalui m buah

node antara.

d) Path yang dibentuk dari sambunganpathpada (1) danpath pada (2).

e) Path pada (3). Sehingga: dm

ij = Min { (d1m

im + d1m

mj ), d1m

ij }

Dari persamaan tersebut terlihat bahwa hanya elemen-elemen dari matriks Dm-1

yang diperlukan untuk menghitung elemen-elemen dari matriks Dm.

Algoritma Floyd untukshortest path ini adalah:

Langkah 1 : Beri nomor pada node darigraph yaitu 1,2,3,........,N.

Carilah matriks DO , yaitu suatu matriks yang elemen (i,j) sama

dengan panjang dari arc yang terpendek dari node i ke node j. Jika

arc ini tidak ada, beri do

ij = ~ . Misalkan do

ij = 0 untuk seluruh i


30/105

30

Langkah 2: Untuk m = 1,2,3,........,N, secara berturut-turut cari elemen elemen

dari matriks Dm dari elemen-elemen Dm-1 dengan menggunakan

formula berikut.

dm

ij = Min { (d1m

im + d1m

mj ), d1m

ij }

Bila setiap elemen sudah ditentukan, catatlah path yang bersangkutan.

Elemen-elemen dari matriks DN adalah merupakan panjang darishortest path dari

node i ke nodej.

2.4. Tree Problem

Salah satu variasi darishortest path problem adalah minimum spanning tree

problem. Dalam penyelesaian padashortest path problem,setdari node dan jarak

antara tiap pasang node tersebut terlebih dahulu telah diketahui. Pada shortest

path problem ini yang dicari adalah lintasan yang memberikan jarak terpendek

dari suatu tempat asal (source) ke suatu tempat tujuan (terminal) melalui beberapa

alternatif daerah antara.Beda halnya dengan shortest path problem minimum spanning tree

problem, menyangkut pemilihan arc dari graph sedemikian rupa sehingga

terdapat satu rute antara suatu node dengan node yang lain, tetapi total jarak harus

sekecil mungkin. Dalam hal ini, arc yang terpilih haruslah membentuk suatu

spanning tree ( tree yang menghubungkan seluruh node yang ada di dalam

graph). Dengan kata lain, problema adalah mencari spanning tree dengan total

bobot arc yang sekecil-kecilnya.

Uraian berikut ini mempelajari algoritma untuk penyelesaian problem

spanning tree (pembentukan tree) didalamgraph. Yang pertama adalah algoritma

untuk penyelesaian problemaspanning tree pada graph dan berikutnya adalah

algoritma untuk penyelesaian minimum/ maksimum spanning tree problem.


31/105

31

2.4.1. Algoritma untuk Spanning Tree

Pada bagian ini akan dipelajari 2 (dua) macam algoritma yaitu yang

pertama adalah algoritma untuk membentuktree (tree algoritm) Pada suatugraph,

dan yang kedua adalah algoritma untuk membentuk minimum spanning tree

(minimum spanning tree algoritm) yaitu spanning tree dari suatu graph yang

mempunyai total bobot minimum diantara seluruh spanning tree yang mungkin

dibentuk darigraph tersebut.

Didalam penyelesaianproblema spanning tree didalam suatugraph (N,A)

dimisalkan bahwa bobot dari arc (x,y) adalah a(x,y), total bobot dari sebuah tree

adalah jumlah bobot dari seluruh arc yang terbentuk dari tree tersebut.

Contoh problema darispanning tree adalah:

Departemen pekerjaan umum menginginkan pembangunan jalan baru

secukupnya untuk menghubungkan 5 (lima) buah kota disuatu daerah yang baru

dibuka. Biaya untuk pembangunan 2 buah kota tertentu diketahui seperti terlihat

pada Tabel 2.1. berikut.

Tabel 2.1.

Biaya untuk pembangunan 2 buah kota1 2 3 4 5

1 0 5 30 80 90

2 5 0 70 60 50

3 50 70 0 8 20

4 80 60 8 0 10

5 90 50 20 10 0

Bagaimanakah caranya pembangunan jalan tersebut dilakukan sehingga

total biaya yang dikeluarkan oleh departemen pekerjaan umum tersebut adalah

minimum?

Kota 1 Kota 2

Kota 4Kota 3

Kota 5

KeDari


32/105

32

Problema ini dapat diformulasikan ke dalam bentukgraph dimana setiap

kota dinyatakan sebagai node dan setiap kemungkinan jalan yang dapat dibangun

untuk membangun 2 kota dinyatakan sebagai arc. Bobot dari tiap arc adalah

besarnya biaya yang dibutuhkan untuk pembangunan jalan antara setiap 2 kota,

seperti pada gambar berikut.

Algoritma dapat diringkaskan sebagai berikut, pertaman-tama seluruh arc

adalah tidak berwarna dan semua bucketadalak kosong.

Langkah 1: Pilihlah salah satu arc yang bukan merupakan loop. Beri warna biru

pada arc ini dan tempatkanlah kedua node ujung dan node

pangkalnya kedalam suatu bucket (bucket1) dan bucketyang disebut

bucket2.

Langkah 2: Pilih arc lain yang belum berwarna yang juga bukan loop.

Jika tidak ada lagi arc yang demikian, algoritma dihentikan. Berarti

graph tersebut tidak mempunyaispanning tree. Bila arc tersebut masih

ada maka, pada setiap pemerikasa arc, salah satu dari keempat keadaan

ini mesti ditemui yaitu:

1. Kedua node ujung atau pangkal dari arc yang sedang diperiksa,

sudah ada didalam salah satu bucket. Bila hal ini terjadi, maka arc

tersebut diberi warna orange dan kembali ke langkah 2.

2. Salah satu dari node ujung atau node pangkal dari arc tersebut

berada dalam salah satu bucket, dan node ujung yang lain tidak

berada dalam bucket. Bila hal ini terjadi, beri warna biru pada arc

tersebut dan pindahkanlah node yang belum berada dalam bucket

kedalam bucket dimana node ujung atau node pangkal tadi

terdapat.

1

60

3

5070

80

5

8

10

20

502

4

5

70


33/105

33

3. Tidak ada satupun dari node ujung ataupun nodepangkal dari arc

berada dalam salah satu dari ke 2 bucket. Bila hal ini terjadi, beri

warna biru pada arc ini dan kedua node ujung dan node

pangkalnya dimasukkan kedalam bucket2.

4. masing-masing node ujung dan node pangkal dalam arc berada

dalam bucketberbeda. Bila hal ini terjadi maka beri warna biru

pada arc tersebut dan isi dari kedua bucket ini digabung di dalam

bucket1. bucket 2 menjadi kosong kembali.

Langkah 3: Jika seluruh node dari graph sudah berada dalam bucket 1,

makaalgoritma dihentikan, karena arc yang berwarna biru sudah

membentuk suatu spanning tree, jika belum amaka kembali ke

langkah 2.

Jika algoritma tidak dapat dihentikan karena persyaratan diatas tidak

terpenuhi secara terus-menerus, maka pada graph tidak dapat dibentukspanning

tree. Algoritma ini mempunyai sifat-sifat bahwa masing-masing arc diperiksa satu

persatu. Bila suatu arc sudah diberi warna (biru / orange) maka arc tersebut tidak

akan diperhatikan lagi.

2.4.2.Algoritma untuk Minimum/ Maksimum Spanning Tree.

Pada penyelesaian problema spanning tree pada suatu graph yang seluruh

arcnya mempunyai bobot algoritma di atas masih dapat digunakan. Hanya saja

diperlukan penyesuaian. Bila problema adalah membentukspanning tree pada

graph dengan bobot dari arc membentuknya sekecil mungkin, maka disebut

sebagai minimum spanning tree problem. Sebaliknya jika jumlah bobot tersebut

sebesar-besarnya, maka disebut maksimum spanning tree problem.

Algoritma untuk penyelesaian minimum spanning tree problem adalah sama

dengan algoritma penyelesaian spanning tree, tetepi disini pemilihan arc

dilakukan mulai dari bobot terkecil dari suatu arc yang akan diperiksa. Oleh

karena itu pertama-tama yang harus dilakukan adalah membuat list dari arc

menurutAscending order(yang terkecil pertama dan terbesar pada bagian akhir).


34/105

34

Jika graph mempunyai beberapa arc yang bobotnya sama maka pemilihan

salah satu dari arc ini dapat dilakukan secara arbitrary. Pada penyelesaian

maksimum spanning tree problem, list dari arc disusun menurut discending order

(yang terbesar pertama dan terkecil pada bagian yang terakhir).

Contoh:

Selesaikanlah problema tentang pembangunan jalan raya seperti yang telah

diperlihatkan dalam contoh sebelumnya.

Penyelesaian:

Pertama-tama dilakukan penyusunan list dari arc menurut ascending order,

kemudian algoritma di atas digunakan. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel 2.2.

berikut.

Jadi minimum spanning tree darigraph tersebut adalahspanning tree yang

dibentuk oleh node {1, 2, 3, 4,5 } dan arc {(1,2), (3,4), (4,5), (2,5)}.

Tabel 2.2.

Penyusunan listdari arcmenurut ascending orderArc Bobot Warna Bucket 1 Bucket 2

- - - Kosong Kosong

Langkah 1: (1,2) 5 Biru 1,2 Kosong

Langkah 2: (3,4)

(4,5)

(3,5)

(2,5)

8

10

20

50

Biru

Biru

Orange

Biru

1,2

1,2

1,2

1,2,3,4,5

3,4

3,4,5

3,4,5

Kosong

Langkah 3: Stop(1,3)

(2,4)

(2,3)

(1,4)

(1,5)

50

60

70

80

90

Banyaknya arc yang

berwarna biru sama

dengan banyaknya

node dikurangi satu.

Semua node

telah berada

dalam satu

bucket.

1

60

3

5070

80

5

8

10

20

502

4

5

90

1

3

2

4

5

5

10

50

8


35/105

35

Berdasarkan penyelesaian ini diperoleh bahwa untuk memberi biaya

pembangunan jalan raya ini sekecil mungkin, maka jalan-jalan yang harus

dibangun adalah:

- Dari kota 1 ke kota 2, dengan biaya = 5




Jumlah biaya = 73

2.5. Flow Problem

Aliran (flow) didefenisikan sebagai suatu cara untuk pengiriman benda-benda dari suatu tempat ke tempat yang lain. Misalnya pengiriman bahan jadi dari

suatu pabrik kepada suatu distribusi, keberangkatan pegawai dari rumah masing-

masing ke tempat kerja ataupun pengiriman surat drai kantor pos ke alamat yang

ditujukan dapat dipandang sebagai aliran.

Berikut ini adalah merupakan uraian tentang aliran yang dijelaskan dalam

bentuk graph dengan berbagai problemnya dan algoritma penyelesaian dari

problem tersebut.

2.5.1. Flow argumentation problem

Flow argumentation problem adalah mencari jumlah unit maksimum yang

dapat ditambahkan ke dalam aliran yang telah ada di dalam suatu path. Problem

ini timbul sebagai akibat dari adanya perbedaan kapasitas maksimum dari setiap

arc yang membentukpath tersebut.

Logika yang mendasari algoritma untuk penyelesaian problem penambahan

jumlah unit pada aliran adalah: misalkan bahwa graph untuk problem ini telah

digambarkan. Misalkan pula bahwa jumlah unit yang melintas melalui arc (x,y)

dinyatakan dengan f (x,y) dan kapasitas yang dibenarkan mengalir dalam arc (x,y)

dengan c (x,y), sesuai persamaan: 0 f(x,y) f(x,y)

Seluruh arc darigraph dapat dibagi atas 3 (tiga) kategori, yaitu N, I, R,


36/105

36

Dimana:

N (Non increasable path) = Setdari arc yang tidak memungkinkan pertambahan

atau pengurangan jumlah unit yang mengalir melalui

arc bersangkutan.

I (Increasable path) = Set dari arc yang jumlah unit oada alirannya masih

dapat ditambahkan.

R (Reducable path) = Set yang arc yang jumlah unit pada alirannya masih

dapat dikurangi.

Misalkan i(x,y) dinyatakan sebagai jumlah unit yang maksimum masih bisa

ditambahkan ke dalam arc (x,y) dan r (x,y) sebagai jumlah unit maksimum yang

dapat dikurangi dari arc (x,y). Maka: i(x,y) = c(x,y)f(x,y) dan r(x,y) = f(x,y)

Contoh:

Carilah suatupath dari s ke t dimana seluruh arc daripath itu termasuk di

dalamset I(Increasable path).

i(s,1)=3 i(1,2)=2 i(2,t)=1

Jumlah unit maksimum yang dapat ditambahkan melalui path dari s ke t ini

adalah: I = Min {(s,1),i(1,2),i(2,t)} = Min {3,2,1} =1.

Contoh:

Carilah suatupath dari t ke s dimana seluruh arc daripath itu termasuk di

dalamset R (Reducable path).

r(1,s)=1 r(2,1)=2 r(t,2)=1

Jumlah unit maksimum yang dapat dikurangi melalui path dari t ke s ini adalah:

R=Min {(1,s),i(2,1),i(t,2)}= Min {1,2,1} =1.

S 1 2 t

S 1 2 t


37/105

37

Contoh :

Carilah flow augmenting chain dari s ke t dalam network seperti terlihat

dibawah ini.

Keterangan:

N =Non increasable path

I =Increasable pathR =Reducable path

Makaflow augmenting chain dari networktersebut adalah: (s,1), (1,3), (2,3), (2,t)

dan jumlah maksimum unit tambahan yang dapat dikirim dari s ke t:

Min{i(s,1), i(1,3), r(2,3), i(2,t)} = Min {4,3,2,2} = 2

Arc maju (s,1), (1,3) dan (2,t) dapat ditambahkan sebanyak 2 unit,

sedangkan arc mundur (2,3) dapat dikurangi alirannya sebanyak 2 unit. Ini berarti,

bahwa 2 unit yang sebelumnya mengalir melalui arc (2,3) dapat dipindahkan ke

arc (2,t) dan kemudian digantikan pada node 3 oleh 2 unit tambahan yang datang

dari s melalui arc (s,1) dan arc (1,3).

2.5.2. Maximum flow problem

Maximum flow problem didefinisikan sebagai problem untuk mencari suatu

cara terbaik untuk memaksimumkan jumlah unit yang dapat dikirim dari s ke t

didalam suatu networkyang mempunyai arc dengan kapasitas terbatas.

Contoh: Carilah aliran maksimum pada network berikut:

1

s

3

2

4

t

IRR

R

I

IR

N

R

I

N

R

2

2s 1 2 t

4

3

1

2

3

i (s,1) = 4 r(s,1) = 6

i (1,3) = 3 r(s,3) = 1

i (2,t) = 2 r(1,2) = 7

i (3,4) = 5 r(2,3) = 2

r(2,4) = 3

r(3,4) = 2


38/105

38

Penyelesaian:

- Untuk permulaan dipilihflow augmenting chain : (s,1), (1,2), (2,t)

Besarnya aliran maksimum yang masih ditambahkan ke dalam chain ini

adalah = Min {i(s,1), i(1,2), i(2,t)} = Min {2,3,2} = 2

Jadi jumlah unit yang dapat ditambahkan pada setiap arc didalam chain ini

adalah 2 unit, yaitu f(s,1)=2 ; f(1,2)=2 ; f(2,t) = 2.

- Untukflow augmentingyang kedua dipilih: (s,2), (1,2), (1,3), (3,t)

Besarnya aliran maksimum yang masih ditambahkan ke dalam chain ini

adalah = Min {i(s,2), i(1,2), i(1,3), i(3,t)} = Min {3,2,4,1}= 1

Jadi 1unit tambahan dapat dikirimkan sepanjang chain dari s ke t. Aliran

pada setiap arc maju yaitu arc (s,2), arc(1,3), arc (3,t) dalam chain ini akan

ditambahkan masing-masing sebesar 1 unit, dan aliran pada arc mundur yaitu

arc (1,2) dalam chain dikurangi 1 unit. Dengan demikian, aliran sekarang

menjadi: f(s,1)=2 ; f(1,2)=1 ;f(2,t)=2 ;f(s,2)=1 ;f(1,3)=1 ;f(3,t)=1

Jumlah unit yang dapat dialirkan melalui rute berikut ini adalah sebagai

berikut:

- 2 unit dialirkan dari s ke t melalui (s,1), (1,2), (2,t)

- 1 unit dialirkan dari s ke t melalui (s,2), (2,t)

- 1 unit dialirkan dari s ke t melalui (s,1), (1,3), (3,t)

II.3. PENUTUP

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar

mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikanjuga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.


39/105

39

Tugas/latihan untuk materi analisis jaringan adalah sebagai berikut:

1. Seorang pemuda mengendarai mobil dari kota asalnya menuju kota yang lain.

Dia mempunyai beberapa pilihan rute yang melalui kota-kota antara, jarak

suatu kota dengan kota yang lain dalam suatu rute adalah seperti terlihat dalam

networkberikut. Rute manakah yang harus dilalui agar jarak yang ditempuh

oleh orang tersebut minimum?

2. Carilah Jumlah unit maksimum suatupath dari s ke t dimana seluruh arc dari

path itu termasuk di dalamsei I(Increasable path)!

i(s,1)=5 i(1,2)=3 i(2,t)=2

Kota TujuanS

C

D

B

5

3

3

3

2

A3

T

7

Kota

JarakKota Antara

13

S 1 2 t


40/105

40


PERENCANAAN & PENGENDALIAN PROYEK DGN CPMPERT.SESI/PERKULIAHAN KE: 4 DAN 5

TIK : Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:1.Menjelaskan pengertian dan langkah-langkah penyelesaian

masalah keputusan dengan menggunakan CPMPERT.2.Menerapkan teknik pemecahan masalah dengan menggunakan

CPMPERT tersebut.

Pokok Bahasan : Perencanaan & Pengendalian Proyek Dgn CPMPERT.

Deskripsi singkat :

Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari beberapa pengertian yangberkaitan dengan perencanaan & pengendalian proyek dgn CPM PERT,termasuk simbol-simbol yang digunakan, penentuan waktu, perhitungan maju,perhitungan mundur, perhitungan kelonggaran waktu dan penentuan ongkosdalam penjadwalan proyek.

I.

Bahan Bacaan:1.Don T.Philips, et.al., Operation Research: Principle and Practice, 2nd

edition, John Wiley and Sons, 1987.

2.Hillier and Lieberman, Introduction to Mathematical Programming, 1st

edition, McGraw-Hill, 1991.3.Taha, Hamdy, Operation Research : An Introduction, Newyork : The

MacMillan Co, 1985.

II. Bahan Tambahan:1.Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. Introduction to Operation

Research , San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977.

2.Wagner, H.M. Principle of Operation Research, Englewood Cliffs, N.J :

Prenntice-hall Inc, 1969.

III.Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut,gunakanlah pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:1.Apa yang dimaksud dengan perencanaan?2.Apa yang dimaksud dengan pengendalian?3.Apa yang dimaksud dengan proyek?

IV. Tugas:1.Apa yang dimaksud dengan total Float, jelaskan!

2.Dari suatu proyek diperoleh data:Aktivitas Aktivitas yang telah dilalui (predecessor) Waktu penyelesaiana (duration)

A

B

-

-

6

4


41/105

41

C

D

E

FG

HI

J

A

A

B

D,ED,E

C,D,EC,D,E

I,F

4

6

4

64

1014

12

Buatlah diagram networknya dan tentukan lintasan kritis serta waktu penyelesaianproyek tersebut!

III.1. PENDAHULUAN

Dalam perkuliahan mengenai perencanaan & pengendalian proyek dgn

CPMPERT ini akan dibahas mengenai pengertian perencanaan & pengendalian

proyek dgn CPM PERT, termasuk simbol-simbol yang digunakan, penentuan

waktu, perhitungan maju & perhitungan mundur, perhitungan kelonggaran waktu,

pembuatan peta waktu & pengaturan sumber daya, perkiraan waktu penyelesaian

suatu aktifitas dan penentuan ongkos dalam penjadwalan proyek. Materi yang

disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna

dalam menghasilkan keputusan yang optimal dalam menyelesaikan persoalan

keputusan dalam perencanaan dan pengendalian suatu proyek.

III.2. PENYAJIAN

PERENCANAAN DAN PENGENDALIAN PROYEK

DENGAN PERT-CPM

Pengelolaan proyek-proyek berskala besar yang berhasil memerlukan

perencanaan, penjadwalan dan pengorganisasian yang terjaga dari berbagai

aktivitas yang saring berkaitan. Untuk itu, maka pada tahun 1950 telah

dikembangkan prosedur-prosedur formal yang didasarkan atas penggunaan

network( jaringan ) dan teknik-teknik network. Prosedur yang paling utama dari

prosedur-prosedur ini dikenal sebagai PERT (Program Evaluation and Review

Technique) dan CPM (Critical Path Method), yang keduanya terdapat beberapa

perbedaan penting. Namun, kecenderungan pada dewasa ini adalah

menggabungkan kedua pendekatan tersebut menjadi apa yang biasa dikenal

sebagai PERT-type system.


42/105

42

Tujuan PERT-type Sistem adalah :

1. Untuk menentukan probabilitas tercapainya batas waktu proyek.

2. Untuk menetapkan kegiatan mana yang merupakan bottlenecks (menentukan

waktu penyelesaian seluruh proyek) sehingga dapat diketahui pada kegiatan

mana kita harus bekerja keras agar jadwal dapat terpenuhi

3. Untuk mengevaluasi akibat dari perubahan-perubahan program, PERT-type

sistem ini juga dapat mengevaluasi akibat dari terjadinya penyimpangan pada

jadwal proyek.

3.1. Simbol-Simbol yang Digunakan.

Dalam menggambarkan suatu networkdigunakan tiga buah simbol sebagai

berikut:

1. Anak Panah = arrow, menyatakan sebuah kegiatan atau aktivitas.

2. O Lingkaran Kecil = node, menyatakan kegiatan atau peristiwa atau event.

3. --- Anak Panah terputus-putus, menyatakan kegiatan semu atau dummy.

Dummy disini berguna untuk membatasi mulainya kegiatan.

Simbol-simbol ini digunakan dengan mengikuti aturan-aturan sebagai

berikut :

1. Di antara dua eventyang sama, hanya boleh digambarkan satu anak panah.

2. Nama suatu aktivitas dinyatakan dengan huruf atau dengan nomorevent.

3. Aktivitas harus mengalir dari event bernomor rendah ke event bernomor

tinggi.

4.

Diagram hanya memiliki sebuah initial event dan sebuah terminal event.

Logika ketergantungan kegiatan-kegiatan itu dinyatakan sebagai berikut :

1. Jika kegiatan A harus diselesaikan dahulu sebelum kegiatan B dapat dimulai,

maka hubungan antara kedua kegiatan tersebut dapat digambarkan sebagai

1 2 3A B


43/105

43

2. Kegiatan C, D, dan E harus selesai sebelum kegiatan F dapat dimulai, maka :

3. Jika kegiatan G dan H harus selesai sebelum kegiatan I dan J, maka :

4. Jika kegiatan K dan L harus selesai sebelum kegiatan M dapat dimulai, tetapi

kegiatan N sudah boleh dimulai bila kegiatan L sudah selesai, maka:

5. Jika kegiatan P, Q, dan R mulai dan selesai pada lingkaran kejadian yang

sama, maka :

5

4

3

1

D

C

E

F

6

5

4

3

2G

H

I

J

2

37

6

4

5

K

L

M

N

31 34

33

32

PQ

R

Atau

31 34

33

32

P

Q

R


44/105

44

3.2. Penentuan Waktu

Dalam mengestimasi dan menganalisis waktu ini, akan kita dapatkan satu

atau beberapa lintasan tertentu dari kegiatan kegiatan pada networktersebut yang

menentukan jangka waktu penyelesaian seluruh proyek. Lintasan ini disebut

lintasan kritis (criticalpath). Di samping lintasan kritis ini terdapat lintasan-

lintasan lain yang mempunyai jangka waktu yang lebih pendek daripada lintasan

kritis. Dengan demikian, maka lintasan yang tidak kritis ini mempunyai waktu

untuk bisa terlambat, yang dinamakanfloat.

3.2.1. Notasi yang Digunakan.

Untuk memudahkan perhitungan penentuan waktu ini digunakan notasi-

notasi sebagai berikut :

TE = earliest event occurence time, yaitu saat tercepat terjadinya event.

TL = latest event occurence time, yaitu saat paling lambat terjadinya event.

ES = earliest activitiy start time, yaitu saat tercepat dimulainya aktivitas.

EF = earliest activity finish time, yaitu saat tercepat diselesaikannya aktivitas.

LS = latest activity start time, yaitu saat paling lambat di mulainya aktivitas.

LF = latest activity finish time, yaitu saat paling lambat diselesaikannya

aktivitas.

t = activity duration time, yaitu waktu yang diperlukan untuk suatu aktivitas

(biasa dinyatakan dalam hari).

S = total slack / total float.

SF =free slack / free float.

3.3. Perhitungan Maju

Ada tiga langkah yang dilakukan pada perhitungan maju, yaitu :


45/105

45

1. Saat tercepat terjadinya initial event ditentukan pada hari ke nol sehingga

untuk initial eventberlaku TE = O. (Asumsi ini tidak benar untuk proyek

yang berhubungan dengan proyek-proyek lain.

2. Kalau initial eventterjadi pada hari yang ke nol, maka:

ES (i,j) = TE(0) = 0

EF(i,j) = ES(i,j) + t(i,j)

=TE(t)+ t(i,j)

3. Eventyang menggabungkan beberapa aktivitas (merge event). (i1,j)

Contoh

3.4. Perhitungan Mundur

Pada perhitungan mundur ini pun terdapat tiga langkah, yaitu :

t

ji (i,j)

EF(i1,j)

EF(i1,j)

EF(i1,j)

j

1

4

2

8

3

7

6

20

5

20

4

19

8

36

0

0

A

B

C

E

D

F

GH

I

J

K5

10

3

11

7

31

12

154

8

9

7

8


46/105

46

1. Pada terminal eventberlaku TL = TE.

2. Saat paling lambat untuk memulai suatu aktivitas sama dengan saat paling

lambat untuk menyelesaikan aktivitas itu dikurangi dengan duration aktivitas

tersebut.

LS = LF- t

LF(i,j) = TL dimana TL = TE

Maka: LS(i,j) = TL(i) - t (i,j)

3. Eventyang "mengeluarkan" beberapa aktivitas (burst event).

Contoh:

3.5. Perhitungan Kelonggaran Waktu (F loat Atau Slack)

i j

TE TL

(i,j)

LS(i1,j1)

LS(i,j2)

LS(i,j3)

j

36

31

20

2011

33

0

18

8

1

4

2

8

3

7

6

20

5

20

4

19

8

36

0

0

A

B

C

E

D

F

GH

I

J

K5

10

3

11

7

31

12

154

8

9

7

8


47/105

47

Kelonggaran waktu (float/slack) dari aktivitas (i. j). yang terdiri atas total

float dan free float.

Total float adalah jumlah waktu di mana waktu penyelesaian suatu aktivitas

dapat diundur tanpa mempengaruhi saat paling cepat dari penyelesaian proyek

secara keseluruhan. Karena itu, total floatini dihitung dengan cara mencari selisih

antara saat paling lambat dimulainya aktivitas dengan saat paling cepat di

mulainya aktivitas (LS - ES), atau bisa juga dengan mencari selisih antara saat

paling lambat diselesaikannya aktivitas dengan saat paling cepat diselesaikannya

aktivitas (LF - EF).

free float adalah jumlah waktu di mana penyelesaian suatu aktivitas dapat

diukur tanpa mempengaruhi saat paling cepat dari dimulainya aktivitas yang lain

atau saat paling cepat terjadinya event lain pada network.

Free float aktivitas (i, j) dihitung dengan cara mencari selisih antara saat

tercepat terjadinya event di ujung aktivitas dengan saat tercepat diselesaikannya

aktivitas (i, j) tersebut. Atau :

SF (i,,j) - TE (j) - EF(i,,j)

Dari perhitungan maju didapat EF (i,,j) = TE (i) + t (i,,j), maka :

SF(i,,j) = TE(,j) - TE(i,) - t(i,,j)


48/105

48

Contoh:

Perhitungan untuk menentukan lintasan kritis ini dapat di rangkum dan

dapat dilihat pada Tabel 3.1. berikut, yang memuat seluruh informasi yang

diperlukan untuk membuat peta waktu (time_chart) pelaksanaan proyek.

Tabel 3.1.

Perhitungan menentukan lintasan kritis

Aktifitas Duration Paling cepat Paling lambat Total Free

(i,j) t(i,j) Mulai Selesai Mulai Selesai Float Float

(ES) (EF) (LS) (LF) S SF

(0,1)

(0,2)

(0,3)

(1,4)

(2,4)

(2,5)

(3,6)(4,8)

(5,6)

(5,8)

(6,7)

(7,8)

4

8

7

15

6

12

93

0

10

11

5

0

0

0

4

8

8

719

20

20

20

31

4

8

7

19

19

20

2036

20

36

31

36

0

0

0

18

8

8

1133

20

20

20

31

18

8

11

33

33

20

2036

20

36

31

36

14

0

4

14

19

0

414

0

6

0

0

0

0*)

0

0

5

0*)

414

0*)

6

0*)

0*)

3.6. Penentuan Ongkos Dalam Penjadwalan Proyek

36

31

20

2011

33

0

18

8

1

4

2

8

37

620

5

20

4

19

8

36

0

0

A

B

C

E

D

F

G H

I

J

K

5

10

3

11

731

12

154

8

9

7

8


49/105

49

Dalam penjadwalan proyek, aspek ongkos diperhitungkan dengan

membuat hubungan ongkos dengan duration untuk -setiap aktivitas pada proyek

itu. Yang dimaksud dengan ongkos di sini ialah ongkos langsung saja, tidak

termasuk ongkos-ongkos administrasi, supervisi dan lain-lain.

Kebanyakan proyek menggambarkan hubungan ongkos dengan duration ini

sebagai garis lurus yang dapat dilihatpada Gambar 3.1. berikut.

Gambar 3.1. Hubungan ongkos dengan duration

Titik (Dn, Cn) menyatakan hubungan duration Dn dengan ongkosnya Cn,

jika aktivitas diselesaikan dalam kondisi normal. Duration Dn ini dapat

dipersingkat dengan cara meningkatkan pengalokasian sumber yang dengan

sendirinya berarti meningkatkan ongkos langsung.

Contoh:

Titik percepatan

Titik normal

duration

Ongkos

DnDc

Cc

Cn


50/105

50

Sebagai langkah pertama prosedur perhitungannya ialah mengasumsikan

bahwa seluruh aktivitas terjadi pada waktu (duration) normal. Dari network& di

atas dapat dilihat bahwa perhitungan lintasan kritisnya adalah berdasarkan kondisi

normal dengan aktivitas (1, 2) dan (2, 5) sebagai aktivitas-aktivitas yang

membentuk lintasan kritis. Waktu penyelesaian proyek ini adalah 18 dengan

ongkos 580.

Karena aktivitas (1, 2) mempunyai kemiringan yang lebih kecil, maka

aktivitas ini dipilih sebagai aktivitas yang akan ditekan waktu penyelesaiannya.

Berdasarkan tabel hubungan ongkos dengan waktu di atas, aktivitas (1, 2) ini

dapat ditekan sebanyak 2 satuan waktu, suatu batas yang ditentukan oleh titik

percepatannya (oleh sebab itu disebut sebagai batas percepatan atau crash limit).

salah satu cara untuk memprediksi apakah lintasan kritis yang baru itu akan terjadi

sebelum mencapai titik percepatan ataukah tidak, ialah dengan memperhatikan

free float dari aktivitas-aktivitas yang tidak kritis. seperti telah dijelaskan, free

float ini bersifat independen terhadap saat dimulainya aktivitas-aktivitas yang lain.

Maka, apabila pada saat dilakukan penekanan terhadap aktivitas kritis terjadi

pengurangan harga free float dari positif menjadi nol, aktivitas kritis itu tidak

boleh ditekan tanpa melakukan pemeriksaan lebih lanjut, karena ada kemungkinan

bahwa aktivitas dengan free float nol ini menjadi aktivitas kritis. Dengan

demikian, selain crash limitkita juga harus memperhatikanfree float limit.

untuk menentukan free float limit ini, pertama-tama kurangilah duration

dari aktivitas kritis terpirih (terdasarkan slope-nya) sebanyak satu satuan waktu.

Maka, dengan menghitunt ulang nilai-nilai dari seluruh aktivitas yang tidak kritis,

akan dapat dilihat aktivitas-aktivitas mana yang free float-nya telah berkurang

sebanyak satu satuan waktu juga. Nilai free float terkecil (sebelum dilakukan

pengurangan) dari seluruh aktivitas semacam itulah yang dimaksud sebagai free

float limit.

Perhatikan sekarang bahwa dengan mengurangi duration dari aktivitas (1,

2) sebanyak satu satuan waktu akan menurunkan SF dari aktivitas (3, 4) dari

semula berharga 1 menjadi nol. SF dari aktivitas (4, 5) tetap berharga 5. Dengan

demikian, maka SF limit= 1. Karena crash limitdari (1, 2) adalah 2, maka batas


51/105

51

penekanannya (compression limit) sama dengan nilai minimum crash limit

dengan SF limitnya, yaitu min (2, 1) = 1.

-duration dari proyek keseluruhan = 17

- Ongkos baru = ongkos pada penjadwalan sebelumnya + ongkos penekanan

waktu.

= 580 + (18-17) 50

= 630

- Lintasan kritis tetap, yaitu (1, 2, 5)

Karena aktivitas (1,2) ini masih merupakan aktivitas kritis terpilih untuk

dipercepat, maka lakukanlah lagi perhitungan crash limit dan SF limit-nya,

sehingga diperoleh penjadwalan baru sebagai berikut :

- Duration dari proyek keseluruhan = 16

- Ongkos = 630 + (17-16) 50 = 680

- Lintasan kritis tetap, yaitu (1, 2, 5)

Sekarang, aktivitas (1, 2) sudah tidak dapat dipercepat lagi karena telah

mencapai crash limit-nya. Karena lintasan kritisnya tetap, yaitu (1, 2, 5), maka


52/105

52

tinggallah aktivitas (2, 5) yang harus dipercepat. Aktivitas (2, 5) ini mempunyai

crash limit= 10 - 5 = 5. Dari penjadwalan yang terakhir kita lihat bahwa pada saat

aktivitas (1, 2) ditekan sebanyak 1 satuan waktu,maka hanya ada satu aktivitas

tidak kritis yang SF-nya berharga positif dan bekurang sebanyak 1 satuan waktu.

Aktivitas tersebut adalah (4, 5), di mana SF-nya berkurang dari 5 menjadi 4. Maka

tidak ada pilihan lain kecuali menetapkan bahwa SF limitnya adalah 4. Dengan

demikian, compression limituntuk aktivitas (2, 5) adalah min (5, 4) = 4, dengan

hasil penjadwalan baru sebagai berikut:

- duration dari proyek keseluruhan = 12

- Ongkos = 680 + (16-12) 60 = 920

- Lintasan kritis ada dua, yaitu (1, 2, 5) dan (1, 3, 4, 5)

Karena pada persoalan di atas crash limit-nya sama dengan 1, maka SF-

limitnya dengan sendirinya tidak perlu dihitung.

Penjadwalan baru dari hitungan ini adalah :

- duration dari proyek = 11

- Ongkos = 920 + (12-11) (60+10)

= 990 Slope (2, 5), slope (4, 5)

- Lintasan kritis tetap, yaitu (1, 2, 5) dan (1, 3, 4, 5)

III.3. PENUTUP


53/105

53

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar

mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan

juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.

Tugas/latihan untuk materi Perencanaan & Pengendalian Proyek Dgn CPM PERT

adalah sebagai berikut:

1.Apa yang dimaksud dengan total Float, jelaskan!

2.Dari suatu proyek diperoleh data:

Aktivitas Aktivitas yang telah dilalui

(predecessor)

Waktu penyelesaiana

(duration)

AB

C

D

E

F

G

H

I

J

--

A

A

B

D,E

D,E

C,D,E

C,D,E

I,F

64

4

6

4

6

4

10

14

12

Buatlah diagram networknya dan tentukan lintasan kritis serta waktu

penyelesaian proyek tersebut!

PERKULIAHAN KE 6 DAN 7: PROGRAMA DINAMIS.

SESI/PERKULIAHAN KE: 6 DAN 7

TIK : Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:1.

Menjelaskan pengertian dan ide dasar programa dinamis.

2. Menerapkan teknik pemecahan masalah dengan menggunakanprograma dinamis.

Pokok Bahasan : Programa Dinamis

Deskripsi singkat :

Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari persoalan keputusan denganmenggunakan programa dinamis termasuk pengantar dan karakteristik persoalanprograma dinamis, programa dinamis deterministik serta bagaimana caramenyelesaikan persoalan keputusan dengan menggunakan programa dinamistersebut.

I. Bahan Bacaan:1.

Dimyati,Tjutju Tarliah, Ahmad Operations Research, PT. Sinar Baru


54/105

54

Algensindo Bandung, 1999.2.Hillier and Lieberman, Introduction to Mathematical Programming, 1

st

edition, McGraw-Hill, 1991.3.Taha, Hamdy, Operation Research : An Introduction, Newyork : The

MacMillan Co, 1985.

II. Bahan Tambahan.1.Wagner, H.M. Principle of Operation Research, Englewood Cliffs, N.J :

Prenntice-hall Inc, 1969.2.Wayne L.Winston, Operation Research: Application and Algorithms, 3rd


III. Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut,gunakanlah pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:

1.

Apa yang dimaksud dengan programa dinamis?2. Carilah contoh persoalan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan

programa dinamis.

IV. Tugas:1. Kapan metode programa dinamis dapat dilaksanakan? Dan berikan contohnya!

2. 5 (Lima) orang perawat dalam 1 (satu) team kesehatan dari puskesmas Rindina harus

ditempatkan di tiga balai pengobatan di kota Bandar jaya, dalam rangkamenyempurnakan pelayanan kesehatan, pendidikan kesehatan, dan programa latihan.

Tabel berikut ini adalah taksiran pertambahan umur (tahun orang) dalam satuan ribu

untuk tiap balai pengobatan dan tiap alokasi team yang mungkin dilakukan. Berikut

ukuran dari keefektifan ini ialah pertambahan umur (yaitu berapa tahun umur orang

akan bertambah dengan adanya team tersebut).Jumlah tim yangdialokasikan

Pertumbuhan umur (ribuan tahun-orang)Balai pengobatan

1 2 3

0

1

23

4

5

0

45

3570

90

120

0

21

2045

75

102

0

24

5070

120

130

Berapa team yang harus ditempatkan di tiap-tiap balai pengobatan, sehingga keefektifan

total dari lima team itu dapat dimaksimumkan?

IV.1. PENDAHULUAN

Dalam perkuliahan mengenai programa dinamis ini akan dibahas

mengenai pengantar dan karakteristik persoalan programa dinamis, programa

dinamis deterministik, dan programa dinamis probabilistik serta bagaimana cara

menyelesaikan persoalan keputusan dengan menggunakan programa dinamis

tersebut. Materi yang disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang

lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan keputusan yang optimal dalam

menyelesaikan persoalan keputusan suatu perusahaan.


55/105

55

IV.2. PENYAJIAN

PROGRAMA DINAMIS

Programa dinamis adalah suatu teknik matematis yang biasanya digunakan

untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling

berkaitan. Tujuan utama model ini ialah untuk mempermudah penyelesaian

persoalan optimasi yang mempunyai karakteristik tertentu.

Ide dasar programa dinamis ini ialah membagi persoalan menjadi beberapa bagian

yang lebih kecil sehingga memudahkan penyelesaiannya.

4.1. Pengantar Programa Dinamis

Seorangsalesman harus berangkat dari satu kota ke kota lainnya. Di antara

kota asal dan kota tujuan itu terdapat beberapa kota lain yang dapat digunakan

sebagai tempat persinggahan sementara. Kota-kota yang dapat dilewati itu dapat

digambarkan sebagai berikut :

Data ongkos yang harus dibayar jika salesman itu meninggalkan kota i dan

menuju ke kota j (cij) adalah sebagai berikut :

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 4 3 2 7 4 6 5 1 4 8 3

3 3 2 4 6 6 3 9 4

4 4 1 5 7 3 3

Rute manakah yang dapat menimbulkan ongkos terkecil ?

4 tahap (stage) yang harus di jalani untuk melakukan perjalanan dari kota (state)

asal di 1 ke tujuan di 10.


56/105

56

Tetapkan variabel-variabel keputusan xn sebagai tempat-tempat

persinggahan pada stage n (n = l, 2, 3, 4). Maka rute yang dijalani adalah

1x1x2x3x4, di mana x4 adalah kota (state) 10 atau x4 = 10. Selanjutnya

tetapkan pula variabel-variabel berikut :

1. fn (s, xn) = ongkos total yang harus dibayar jikasalesman itu berada di kota s

dan memilih xn sebagai tempat persinggahan berikutnya.

2. Untuk s dan n tertentu, xn adalah nilai xn yang meminimumkan fn (s. xn).

3. fn (S) = nilai minimum dari fn (s, xn) sehingga fn (s) = fn(S, Xn ).

Tujuannya adalah untuk mendapatkan f1*(1) dengan cara mencari f4

* (s),

f3* (s), dan f2

* (s), terlebih dahulu. Jadi, programa dinamis menyelesaikan suatu

persoalan dengan melakukan perhitungan mundur walaupun untuk persoalan

tertentu bisa dengan perhitungan maju.

Solusi persoalan dengan satustage ini adalah:

S F4*(S) X4*

8

9

3

4

10

10

Hasil keseluruhan dari persoalan dengan duastage ini adalah :

x3 f3 (s,x2) = csx3 + f4* (x3) f3* (s) x3*

s 8 9

56

7

49

6

87

7

47

6

89

8

Hasil selengkapnya dari persoalan dengan tiga stage ini adalah :

x2 f1 (s,x2) = csx2 + f3* (x2) f1* (s) X2*

S 5 6 7

2

3

4

11

7

8

11

9

8

11 11 3 atau 4


57/105

57

Persoalan dengan 4 stage, ongkosnya adalah ongkos pada stage pertama

ditambah dengan ongkos minimum berikutnya yaitu :

x2 f1 (s,x2) = csx2 + f3* (x2) f1* (s) x1*

s 2 3 4

1 13 11 11 11 3 atau 4

Dengan demikian, maka salah satu rute optimalnva adalah

135810. Apabila salesman itu memilih x1 = 4, maka didapat dua rute

optimum yang lain, yaitu 145810 dan146910. semuanya itu

memberikan ongkos totat yang sama, yaitu f1*(1) = 11.

4.2. KARAKTERISTIK PERSOALAN PROGRAMA DINAMIS.

Salah satu cara untuk mengenal situasi yang dapat diformulasikan sebagai

persoalan programa dinamis ini ialah dengan memperhatikan bahwa struktur dasar

persoalan programa dinamis ini merupakan analogi dari persoalan salesman diatas.

Berikut ini diberikan beberapa gambaran dasar yang menandai (menjadi ciri)

persoalan programa dinamis :

1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage, yang pada rnasing-

masingstage diperlukan adanya satu keputusan.

2. Masing-masing stage terdiri atas sejumlah stage yang berhubungan dengan

stage yang bersangkutan.

3. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap stage ditransformasikan dari

state yang bersangkutan kestate berikutnya padastage yang berikutnya pula.

4. Keputusan terbaik pada suatu stage bersifat independen terhadap keputusan

yang dilakukan padastage sebelumnya.

5. Prosedur pemecahan persoalan dimulai dengan mendapatkan cara (keputusan)

terbaik untuk setiapstate daristage terakhir.

7/22/2019 Ba

bahan ajar riset operasi

Documents