limit dan turunan fungsi.doc

7/22/2019 limit dan turunan fungsi.doc

1/19

LIMIT FUNGSI

1 Teorema

1. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flim axaxax +=+ 4. [ ] )x(glim).x(flim)x(g).x(flim axaxax

=

2. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flim axaxax = 5. )x(g

axlim

)x(fax

lim

)x(g

)x(f

axlim

=

dengan

0)x(glimax

3. )x(flim.c)x(f.clim axax = , c= konstanta 6. [ ]

n

ax

n

ax)x(flim)x(flim

=

2 Bentuk Tak Tentu

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :

1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu, misalnya :63

4

, .

2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mem!unyai nilai, misalnya :5

3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya : 1, , ,

"enting : "ersoalan limit adala# menguba# bentuk tak tentukmen$adi bentuk tertentu.

3 Limit Fungsi Aljabar

%ika diketa#ui &ungsif(') dan nilaif(a) terde&inisi, maka lim ( ) ( )x a

f x f a

=

onto# : 1. lim( ) ( ( ))x

x x

+ = + = + =3

2 22 3 2 3 6 15

2. lim ( )x

x xx

++

++= = =

5 *

5 *

*

2 2

Berikut ini akan diba#as limit +imit ungsi -l$abarBentuk Tak Tentuyaitu : ( ) 1, , dan .

3.1 Bentuk ( )

+imit ini da!at diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang danpenyebutnya, kemudian

mencoret&aktor yang sama, lalusubstitusikan nilai' = a.

atatan :

1


2/19

1. arena 'a, maka ('a) se#ingga !embilang dan !enyebut bole# dibagi dengan ('

a)

2. /ilai limitnya ada dengan syarat : 0(a)

3. %ika !embilang atau !enyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum di&aktorkan

dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

onto# :

1. lim lim lim( )( )

( )( )x

x x

x x

x x

x xx

xx

+

+

+

+= = = =

3

5 6

3

3 2

3 33

2

3

3 2

3 3

1

6

2

2

2. lim lim( )

( ) ( )x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

+ +

+ +

+ +

+ +

= = = =

5

4 2

5

4 2

5

4 2

5

4 2

52

3 2

3 2

2

2

2

2

2

2

3.

( )lim lim lim ( ) ( )( )xx x

x x x

x x

x

x x

x x x

x x

x x x

+

+

+ +

+ +

+

+ +

= = =

1

3 5 1

1

3 5 1

1

3 5 1

3 5 1 1

3 5 1

1 3 5 1

2

2

2

2

2

2

2

2 2

lim lim lim( )

( )( )

( )( )

( )

( )x

x x

x x x x

x x

x x x x x

x

x x x

+

+ +

+ + +

+ + +

= =

1

5 4

1 3 5 1 1

1 4

1 1 3 5 1 1

4

1 3 5 1

2

2 2 2 2

( )1 4

1 1 4 4

32 2 2

3

3

+ +

+

= = = ( ) ( )

3.2 Limit Bentuk ( )

+imit ini da!at diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel

pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : limx

ax

= .

onto# :

1.2

1

12

6

0012

006

12

6

limlimx8x7x12

x5x2x6lim

2x

8

x

7

2x

5

x

2

x

3x

x8

3x

2x7

3x

3x12

3x

x5

3x

2x2

3x

3x6

x23

23

x

==+

+=

+

+

=

+

++

+

+

2. 02

0

002

000

2limlim

x4xx2

x3x7x6lim

2x

4

x

1

3x

3

2x

7

x

6

x

4x

2x4

4x

3x

4x

4x2

4x

x3

4x

2x7

4x

3x6

x234

23

x

==+

+=

+

+

=

+

+

=+

+

3. ==+

+=

+

+

=

+

+

=+

+

0

5

000

0055

limlim7x4x2

2x3x5lim

4x

7

2x

4

x

2

4x

2

2x

3

x

4x

7

4x

2x4

4x

3x2

4x

2

4x

2x3

4x

4x5

x23

24

x

esim!ulan:

%ika f x a x a x an n

n( ) .....= + + +

1

1

2


3/19

g x b x b x bm m m( ) .....= + + +

1

1

maka: 1. lim( )

( )x

f x

g x

a

b

=

untuk n= m

2. lim( )

( )x

f x

g x= untuk n m

3. lim ( )( )x

f xg x

= atau untuk n m

4. limx

x x x

x x x

+ +

= =2 *6 2

26

13

5 4 3

5 3 2 (kesim!ulan (1))

5. limx

x x x

x x x

++ +

=1 *12 5 22 312 (kesim!ulan (2))

6. limx

x x

x x x

+ +

= 3 6 22 *

* 4

6 4 3 (kesim!ulan (3))

3.3 Limit Bentuk ( )

+imit ini umumnya memuat bentuk akar:

ara "enyelesaian :

1. alikan dengan bentuk sekaannya

)x(g)x(f

)x(g)x(f

x)x(g)x(f

)x(g)x(f

x

lim)x(g)x(flim

+

+

+

=

2. Bentuknya beruba# men$adi ( )

3. 7elesaikan se!erti !ada (2.4.2)

onto#:

1. =+++

1x4x2x6xlim 22

x

=

+++

++++++++

1x42x2x62x1x4

2x2x6

2x22

x1x4x2x6xlim

==++++

++++

+++

1x42x2x62x

1x10

x1x42x2x62x

)1x42x()2x62x(

xlimlim

5lim210

11

10

1x42xx2x2

1x10

x===

++

2. =

+=+

++

++

x32xx2x2

x32xx2x2222

x

22

xx3xxx2limx3xxx2lim

3

pangkat tertinggi pembilang 1,

pangkat tertinggi penyebut 1,

ebab xx2 =


4/19

==++

++

+

x32xx2x2

x42x

xx32xx2x2

)x32x)(x2x2(

xlimlim

Seara umum:

=++++

r!xpxcbxaxlim 22

x

1) b q

a

2$ika a=p

2) $ika ap

3) $ika ap

3. 21

42

42

)5(322

x2x5x41x3x4lim ===+

4. =++

8xx31x7x4lim 22x

5. =++

7x4x53x2x4lim 22

x

3.! Limit Bentuk ( )1

8e&inisi :( )

alibilangann

.....718281,2e1lim n

n1

n==+

8ari de&inisi da!at dibuktikan teorema berikut :

1. ( ) ( ) ( ) e1lim1lim1limx

x1

x

x

x1

x

x

x1

x==+=+

2. ( ) ( ) ex1limx1lim x1

0xx1

0x==+

onto# :

1. ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 441

4

114 4

4

4

44

1lim1lim1lim1lim =+=

+=+=+

x

x

x

xxxx

x

x

x

xx

2. ( ) ( ) ( ) 21

21

x21

x

21

x2

x21

x

x

x21

xe1lim1lim1lim =

+=

+=+

3. ( ) ( ) ( ) 33

x31

0x

3

x31

0xx1

0xex31limx31limx31lim

=

=

=

!. Limit Fungsi Trigonometri

9eorema :

4

pangkat tertinggi pembilang 2,

pangkat tertinggi penyebut 1.

x bilangan real


5/19

1. lim limsin

sinx

xx

x

xx

= =

1

2. lim limtan

tanx

xx

x

xx

= =

1

ntuk ke!erluan !raktis teorema tersebut da!at dikembangkan men$adi:

b

a

bxin

axtan

0xbxtan

axin

0xbxtan

axtan

0xbxtan

ax

0xbx

axtan

0xbxin

ax

0xbx

axin

0x

limlimlimlimlimlimlim =======

7e!erti !ada &ungsi al$abar, maka !ada &ungsi trigonometri $uga berlaku ba#a $ikaf(a) terde&inisi,

maka: lim ( ) ( )x a

f x f a

=

onto# :

1. ( )lim sin cos sin cosx

x x

+ = + = + =

2 1 1

2. 21

0201

21c"3

21in2

21c"21in

xc"3xin2xc"xin

21x

lim ===+

+

+

Berikut ini akan diba#as limit ungsi 9rigonometri bentuk tak tentu yaitu : ( ) , , . .

!.1 Limit Bentuk ( )

1. 43

x4tan

x3in

0xlim =

2.3

2

3

2

xin

xin

x3

in2

0xxinx3

x2in2

0xxin.x3

)x2in21(1

0xxin.x3

x2c"1

0x

)1.(.limlimlimlim =====

3.)ax(

)ax(21in

21

axax

)ax(21in).ax(

21c"2

axaxainxin

ax).ax(c"2limlimlim

+

+=

ac").aa(c"2 21

21 =+=

!.2 Limit Bentuk

+imit bentuk( ) da!at diselesaikan dengan menguba#nya ke bentuk ( ) .

onto# :

)x2

in(

xin.2

in

2x

xc"xin1

2x

xc"xin

xc"1

2x

2x

limlim)(lim)xtanx(eclim

===

( ))x

2in(

)x2

(21in

221

2x)x2

in(

)x2

(21in)x

2(

21c"2

2x

.xc"2limlim

+

+==

( ) 0c"#.$c"221

21

2221 ==+=

!.3 Limit Bentuk ( ).

5


6/19

+imit bentuk( ). da!at diselesaikan dengan menguba#nya ke bentuk ( ) .

onto# :

( )=

===

xinlimlimlimxtan).1x(lim

21

)x1(21in

)1x(

1x)x21

21in(

x21in)1x(

1xx21c"

21)(in1(

1x21

1x

( ) ==

2

211

21

211 in

" Limit #eret $on%ergen

#e&inisi :8eret ;eometri on ,6 > ..... 32

&6

&,0

6,0

1,01

6,0

r1a =====

b) ,242424 ..... = ,24 > ,24 > ,24 > 338

&&

24

&&,0

24,0

01,01

24,0

r1

a ====

6


7/19

4. %umla# semua suku deret geometri tak #ingga adala# 12, $umla# sukusuku bernomor gena!

adala# 4. 9entukan rasio dan suku !ertama deret itu

%aab : S ar= =12 121 ...... (1)

2> 4> 6> ... = 4

ar > ar3

> ar5

> ... = 4

( ) ( )arr

a

r

r

r1 1 12 4 4 += = ...... (2)

( )

21

r1r12

r1r

r4r8

r44r124412'(2)an(1)ari

==

+===++

"ersamaan (1) :ar

a a1 1

12 12 612

= = =

?asio =12 dan suku !ertama = 6

5. 8iketa#ui sebua# bu$ursangkar dengan sisi 1 cm. 9itik tenga# keem!at sisinya di#ubungkan

se#ingga terbentuk bu$ursangkar kedua. 9itik tenga# keem!at sisibu$ursangkar kedua

di#ubungkan lagi se#ingga terbentuk bu$ursangkar ketiga, demikian seterusnya. itungla#

$umla# luas semua bu$ursangkar itu

%aab :

'. $ontinuitas (an #iskontinuitas Fungsi

#e&inisi: ungsif(') dikatakan kontinu (sinambung) di ' = a $ika dan #anya $ika lim ( ) ( )x a

f x f a

=

.

8ari de&inisi terli#at ada tiga syarat &ungsif(') kontinu di ' = a, yaitu :1. f(a) terde&inisi (ada)

2. lim ( )x a

f x terde&inisi ada

3. lim ( ) ( )x a

f x f a

=

-!abila satu di antara ketiga syarat itu tidak di!enu#i, maka &ungsi f(') diskontinu (tak sinambung)

di ' =a.

"er#atikan gambar berikut :

*

RD C

S Q

52

52

55 P BA

+uas bu$ursangkar @ = -B ' -8 = 1 ' 1 = 1 cm2.

+uas bu$ursangkar @@ = "0 ' "7 = 52 ' 52 = 5 cm2.

?asio luas =

5

1

1

2=%umla# semua bu$ursangkar =

a1 5

15

1 12

2 = = cm2

y

f(a)f(x)

xa

f(x) kontinu di x = a,sebab

1.


8/19

onto# :

1. 9un$ukkan ba#a &ungsi 3)( 2 += xxxf kontinu dix= 1

%aab : 1) f( )1 1 1 3 12= + = f(1) terde&inisi

2) ( ) 13113xxlim)x(flim 221x1x

=+=+=

lim ( )x

f x1 terde&inisi

3) lim ( ) ( )x

f x f

=1

1 %adi &ungsi f x x x( )= + 2 3kontinu di ' =1.

2. 7elidiki a!aka# &ungsi f x xx

( )= 2

3kontinu di ' = 3

%aab : 1) f( )3 3 3 3 2

= = (tidak terde&inisi)arenaf(3) tak terde&inisi, makaf(') diskontinu di ' = 3

y

f(a)

f(x)

xa

f(x) diskontinu di x = a,

sebab tidak ada

2.

f(x) diskontinu di x = a,

sebab f(a)

y

f(a)f(x)

xa

3.


9/19

3. 7elidiki a!aka# &ungsi

=

=

2untuk,4

2untuk,)( 2

42

x

xxf x

x

kontinu di ' = 2

%aab : 1) f(1) = 4 (terde&inisi)

2) ( ) 31111xxlimlimlim)x(flim 221x1x

)1x2x)(1x(

1x1x13x

1x1x=++=++===

++

(terde&inisi)

3) )1()(lim1

fxfx

, berartif(') diskontinu di ' = 1


10/19

TU)UNAN FUNGSI

1. *engertian (an Si&at Turunan

"ada gambar di atas, garisLmenyinggung kur


11/19

%ika kita mem!er#atikan gambar dengan cermat, maka kita akan da!atkan ba#a gra&ik &ungsi nilai mutlak di

atas beru!a garis lurus, yang sebela# kanan sumbu y adala# beru!a garis y " xsedangkan yang sebela# kiri

sumbuyberu!a garisy " #x. ;aris di kanan dan kiri sumbuymem!unyai gradien yang berbeda, se#ingga !atut

dicurigai ba#a &ungsi xxf =)( tidak mem!unyai turunan di !er!otongan kur


12/19

[ ] )()()()( xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d+=+

3. Aturan selisi,.

%ikaf dang keduanya da!at diturunkan, maka

[ ] )()()()( xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d=

!. Aturan ,asil kali.

%ika f dangkeduanya da!at diturunkan, maka

[ ] )()()()()()( xfdx

dxgxg

dx

dxfxgxf

dx

d+=

". Aturan ,asil bagi.

%ikaf dangkeduanya da!at diturunkan, maka

[ ]2)(

)()()()(

)(

)(

xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d

=

Bukti-

1. Aturan /erkalian (engan konstanta.

%ika c konstanta danf &ungsi yang da!at diturunkan, maka

[ ]

[ ])()()(

lim

))()((lim

)()(lim)(

xfdx

dc

!

xf!xfc

!

xf!xfc

!

xcf!xcfxcf

dx

d

!

!!

=+

=

+=

+=

2. Aturan jumla,.

%ikaf dang keduanya da!at diturunkan, maka

[ ] [ ]

[ ]

)()(

)F()(Glim

)F()(Glim

)()()F()(Glim

)()()F()(Glim)()(

xgdx

d

xfdx

d

!

xg!xg

!

xf!xf

!

xg!xgxf!xf

!

xgxf!xg!xfxgxf

dx

d

!!

!

!

+=

+++=

+++=

++++=+

3. Aturan selisi,.

ntuk lati#an

!. Aturan ,asil kali.

%ika f dangkeduanya da!at diturunkan, maka

12


13/19

[ ]

)()()()(

)F()(Glim)()F()(Glim)(lim

)F()()G(lim

)F()()G(lim

)F()()G()F()()G(lim

)()()()(lim)()(

xfdx

dxgxg

dx

dxf

!xf!xfxg

!xg!xg!xf

!

xf!xfxg

!

xg!xg!xf

!

xf!xfxgxg!xg!xf

!

xgxf!xg!xfxgxf

dx

d

!!!

!!

!

!

+=

++++=

++

++=

++++=

++=

". Aturan ,asil bagi.

ntuk lati#an.

7elan$utnya di baa# ini diberikan bebera!a rumus dasar turunan.

Nomor Fungsi Turunan &ungsi

1 y " k$ kkonstanta yA =

2 y " xn y% "nxn1

3 y = lnx y%=x1

Bukti-

1. lim)()(

limC

=

=+

== !

kk

!

xf!xfyky

!!

2.!

x!x

!

xf!xfyxy

nn

!!

n +=+

==

)(lim

)()(limC

1

12

2

)1(1

12

2

)1(1

22

2

)1(1

F...Glim

F...Glim

...

lim

=

+++=

+++=

++++=

n

nnnnn

!

nnnnn

!

nnnnnnn

!

nx

!!xnx

!

!!xnx!

!

x!!x!nxx

s

3.!

x!x

!

xf!xfyxy

!!

ln)ln(lim

)()(limCln

+=

+==

xe

!

x

!

!

x!x

x

x!x

!

x

!

!

x

!

!!

!

1ln

F)1G(limln

)1ln(lim

F1lnG

lim

lnlim

1

1

1

==

+=

+=+

=

+=

+onto,-

1. %ika !(x) =xg(x) dang(3) = 5 dangA(3) = 2, carila# !A(3).

2. arila# turunan &ungsi:

13


14/19

a. 561412 345 +++= xxxxxy

b. y=6

2

3

2

+

+

x

xx

*enelesaian-

1. &x'(xg&x'g)*&x'(!&x'xg&x'! += = !erkalianaturan

**&+'(g+&+'g&+'(! =+=

2.

a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )561412C 345dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dy +++=

= 63166 234* ++ xxxx

b.

23

223

2

32!embagianaturan

3

2

)6(

3).2()6)(12(CCC

6,2,C6

2

+

+++=

=

+=+== +

+=

x

xxxxx

v

uvvuy

xvxxuv

uy

x

xxy

( )23234

6

61262C

+

+++=x

xxxxy

2. Aturan )antai.

%ikafdangkeduanya mem!unyai turunan, dan ! " f o g adala# &ungsi kom!osisi yang dide&inisikan ole# !'x& "

f'g'x&&$maka !mem!unyai turunan, yaitu !A yang dinyatakan ole# ! A'x& " fA'g'x&&) g A'x&

8alam notasi +eibniH, $ika y " f'u& danu " g'x&keduanya &ungsi yang mem!unyai turunan, maka

dx

du

du

dy

dx

dy = .

Bukti-

)(C))((C

)()(lim.

))(())((lim

)()(lim.

)()(

))(())((lim

)()(.

)()(

))(())((lim

))(())((lim

)()(lim)(C

xgxgf

t

xgtxg

p

xgfpxgft

xgtxg

xgtxg

xgftxgf

t

xgtxg

xgtxg

xgftxgf

t

xgftxgf

t

t!tx!x!

tp

tt

t

tt

=

++=

+

+

+=

+++

=

+=

+=

8engan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus sebelumnya kita akan da!atkan rumus

rumus di baa# ini.

Nomor Fungsi Turunan &ungsi

1 y= ex y% " ex

2 y " ax$ a1 y% " axln a

3 y " alogx, a, a1 yA =alnx

*

14


15/19

Bukti-

1. xx eyyy

yyxey === == CC.11ln rantaiaturan

2. ntuk lati#an

3. ntuk lati#an

3. Turunan Fungsi Im/lisit (an Fungsi *arametrik

8alam !emba#asan sebelumnya, kita tela# memba#as turunan &ungsi eks!lisit. kali ini kita akanm memba#as

turunan &ungsi im!lisit dan &ungsi !arametrik. Ietode yang digunakan seru!a dengan turunan &ungsi eks!lisit.

+onto, -

a. %ikax, y,= 25, carila#dx

dy

b. %ika x " 2t>1

y " t,

t

tentukandx

dy.

*enelesaian:

a. %ika kita turunkan kedua ruas !ersamaanx, y,= 25 ter#ada!x, maka akan kita !erole#:

( ) ( )2522dx

dyx

dx

d=+

( ) ( ) 22 =+ ydx

dx

dx

d

Iengingatyadala# &ungsi darixdan dengan menggunakan aturan rantai, di!erole#

( ) ( )dx

dyy

dx

dyy

dy

dy

dx

d222 ==

Ele# karena itu 2' > 2ydx

dy= , se#ingga

y

x

dx

dy=

b. %ika


16/19

2 y= cosx yA = sinx

Bukti-

1.!

x!x

!

xf!xfyxy

!!

sin)sin(lim

)()(limCsin

+=

+==

x

x!

!

!x

!

!!x

!!

!

cos

2

1.1.cos2

2

1.

2

2sin

lim2

2coslim2

2sin

22cos2

lim

=

=+

=

+=

2.!

x!x

!

xf!xfyxy

!!

cos)cos(lim

)()(limCcos

+=

+==

x

x!

!

!x

!

!!x

!!

!

sin

2

1.1.sin2

2

1.

2

2sin

lim2

2sinlim2

2sin

2

2sin2

lim

=

=+

=

+

=

+onto,-


a. xy tan=

b. xy cot=

c. xy sec=

d. xy csc=

e. xy arcsin=

&. xy arctan=

g. xarcy sec=


a. )ln(sin 4 xey x +=

b. )1(sin 22 += xey x

*enelesaian-

1.

a. xx

xxxxy

x

xxy 2

2

!embagianaturansec

cos

)sin.(sincoscosC

cos

sintan =

= ==

b. xx

xxxxyxxxy 2

2!embagianaturan csc

sin).(coscos)(sinsinC

sincoscot == ==

16


17/19

c. xxx

xxy

xxy tansec

cos

)sin.(1).(cosC

cos

1sec

2

!embagianaturan =

= ==

d. xxx

xxy

xxy cotcsc

sin

).(cos1).(sinC

sin

1csc

2

!embagianaturan =

= ==

e.2

rantaiaturan

1

1

cos

1CcosC1sinarcsin

xy

yyyyxxy

=== ==

&. 222rantaiaturan

1

1cosCsecC1tanarctan

xyyyyyxxy

+=== ==

g. yyyyxxarcy tansecC1secsec rantaiaturan = ==

1

1cotcosC

2 ==

xx

yyy

2.

a. xevvuxeuuyxey xxx ln,sin),lnsin(,)ln(sin 4rantaiaturan4 +==+== +=

)ln(sin)lncos()1

(4)lncos()1

(4.C

)lncos()1

(cosC)(sin,1

334

xexe

x

exe

x

eu

dx

du

du

duy

xex

evvdx

dvv

dv

d

dx

du

xe

dx

dv

xxxxx

xxx

+++=++==

++===+=

b.

)1(2sin2)1(sin

)1cos()1sin(2.2)1(sin

2).1cos().1sin(2.)1(sin

)1(sin)1(sinC

)1(sin

222

2222

2222

2222

!erkaliandanrantaiaturan22

+++=

++++=

++++=

+++=

+=

xxexe

xxxexe

xxxexe

dx

xdex

dx

dey

xey

xx

xx

xx

xx

x

a. Turunan Tingkat Tinggi

%ikaf &ungsi yang da!at diturunkan, maka turunannya (f A) $uga beru!a &ungsi. %ika f J mem!unyai

turunan, maka turunanf% kita notasikan denganf AA. /otasi lain untuk turunan kedua dariy=f(x) adala#

)(2

2

2

xf-dx

yd

dx

dy

dx

d==

.

mumnya turunan kendariy=f(x) dinyatakan dengan

( ) )()( xf-

dx

ydy

n

n

nn == .

+onto,:

1*

y

x1

21 x

y

x

1

21 x+

y

x

1

12 x


18/19

1. arila#2

2

dx

yddari :

a. x, y,= 25

b. y= ln t,x= et

c. y " t2te + $ x = ln (et>1)

2. arila# turunan ke ndari &ungsi di baa# ini:

a. kxey=

b. xy ln=

*enelesaian -

1. 8ari conto# sub bab sebelumnya tela# di!erole#dx

dydari x2>y2= 25, yaitu

y

x

dx

dy= .

arena

=

=

y

x

dx

d

dx

dy

dx

d

dx

yd

2

2

8an mengingatyadala# &ungsi darix, dengan aturan !embagian dan aturan rantai, di!erole#

3

22

22

..1...

y

xy

y

yxxy

y

dxdy

xdx

dxy

y

x

dx

d +=

=

=

%adi3

22

2

2 .

y

xy

dx

yd +=

2.a) y= ln t,x " et

dtdx

dtdy

dx

dt

dt

dy

dx

dy == . =te

t1 = tte

1

dtdx

dtdx

dyd

dx

dt

dt

dxdy

d

dx

dy

dx

d

dx

yd

=

=

= .

2

2=

Ele# karena tt

tt

tet

tet

teetedt

ddxdydtd 222 11 +=+==

dan tedtdx = maka

tt

t

et

t

e

et

t

dx

yd22

2

2

2 1

1

+=

+

= .

b. y " tte +2

, ' = ln (et>1)

dtdx

dtdy

dx

dy= =

)1e(e

e)1t2(

t

t

t2

t

+

+ +=

2tte)1e)(1t2( ++

dtd'

dtd'

dyd

d'

d'dy

d

d'

yd

2

2

==

1


19/19

=

)1te(

t

2ttt

2t

2tt

e

e)1e)(1t2(t2e)1t2(e)1e(2

+

+ ++++++

= t2t2t2ttt2t2t e)1e)(1t2(t2e)1e)(1t2(e)1e(2 +++++++

3. a. kxnnkxkxkxkx ekyekyekykeyey ===== )(32 ...CCCCCC

b.n

nn

xny

xxy

xy

xyxy

)1(

)1(...

2

)1(

2.1

)1(CCC

1)1(CC

1Cln

1)(

3

2

3

2

2

=

=

====

limit dan turunan fungsi.doc

Documents