09/09/2014

1

Persamaan Nirlanjar

Metode Terbuka:Metode Terbuka: Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant.

Iterasi Sederhana (satu titik)Metode iterasi sederhana adalah metode yangmemisahkan x dengan sebagian x yang lain sehinggadiperoleh : x = g(x).dikenal juga sebagai metode x = g(x)Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk

x(n+1)=g(xn)dimana n=0,1,2,3,....

09/09/2014

2

Gunakan metode iterasi satu titik untukmendapatkan akar dari

Langkah: menyusun ke bentuk x=g(x)

09/09/2014

3

???

Newton-Raphsonmetode pendekatan yang menggunakan satu titik awal danmendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien padatitik tersebut

09/09/2014

4

09/09/2014

5

09/09/2014

6

Newton-RaphsonSelesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0

f(x) = x - e-x f(x)=1+e-xf(x0) = 0 - e-0 = -1f(x0) = 1 + e-0 = 2

5,02

100

10

01 xfxf

xx f(x1) = -0,106631 ; f1(x1) = 1,60653

566311,060653,1

106531,05,01

11

12 xfxf

xx

f(x2) = -0,00130451 ; f1(x2) = 1,56762 567143,056762,1

00130451,0566311,02

12

23 xfxf

xx

f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.Sehingga akar persamaan x = 0,567143.

Contoh : x + e-x cos x -2 = 0 x0=1 f(x) = x + e-x cos x - 2 f(x) = 1 e-x cos x e-x sin x

09/09/2014

7

Permasalahan pada pemakaian metode newtonraphson

Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada padatitik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 sehingganilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagaiberikut:

Bila titik pendekatan beradapada titik puncak, maka titikselanjutnya akan berada ditak berhingga.

xFxF

1

Permasalahan pada pemakaian metode newtonraphson

Metode ini menjadi sulit ataulama mendapatkanpenyelesaian ketika titikpendekatannya berada diantara dua titik stasioner.

Bila titik pendekatan beradapada dua tiitik puncak akandapat mengakibatkanhilangnya penyelesaian(divergensi). Hal inidisebabkan titik selanjutnyaberada pada salah satu titikpuncak atau arahpendekatannya berbeda.

09/09/2014

8

Metode Secant Metode Newton Raphson memerlukanperhitungan turunan fungsi f(x).

Tidak semua fungsi mudah dicari turunannyaterutama fungsi yang bentuknya rumit.

Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan caramenggantinya dengan bentuk lain yangekivalen

Modifikasi metode Newton Raphsondinamakan metode Secant.

09/09/2014

9

09/09/2014

10

KECEPATAN KONVERGENSI

09/09/2014

11

09/09/2014

12

Soal (1)Tahun 1225 Leonardo da Pisa mencari akar persamaan

F(x) = x3 + 2x2 + 10x 20 = 0Dan menemukan x = 1.368808107.Tidak seorangpun yang mengetahui cara Leonardo menemukan

nilai ini. Sekarang rahasia ini dapat dipecahkan denganmetode iterasi sederhana.

Carilah salah satu dari kemungkinan x = g(x). Lalu denganmemberikan sembarang input awal, tentukan x=g(x) yangmana yang menghasilkan akar persamaan yang ditemukanLeonardo itu.

Tentukan nilai puncak pada kurva y = x2 + e-2xsin(x) pada rangex=[0,10]

Dengan metode newthon raphson

Soal (2)

SUMBER: Metode Numerik oleh Imam Fachrudin, DeptFisika Universitas Indonesia

Numerical Methods in Engineering by JaanKiusalaas, Pennsylvania State University