modul ppk i m. jamhuri, m.si

7/23/2019 Modul PPK I M. Jamhuri, M.si

1/59


2/59

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah S.W.T karena atas anugerah dankaruniaNya penulis dapat menyelesaikan buku petunjuk

praktikum PROGRAM KOMPUTER I MATLAB. Buku ini

dibuat untuk membantu mahasiswa mengimplementasikan

algoritma yang ditemui dalam beberapa mata kuliah Pengantar Ilmu

komputer, Analisis Numerik, Persamaan Diferensial Biasa,

Persamaan Diferensial Parsial, Statistika, dan mata kuliah lain

kedalam suatu bahasa program.

Dalam buku ini dijelaskan bagaimana proses

pengimplementasian itu dilakukan dalam Matlab. Dengan beberapa

fungsi-fungsi khusus yang sudah build in dalam Matlab Library,

mahasiswa diharapkan dapat dengan mudah membuat program

dalam bahasa nonprosedural yang bersifat singkat dan lugas namun

dapat mengatasi semua masalah-masalah komplek dalam

Matematika.

Selanjutnya dalam kesempatan ini penulis menyampaikan

banyak terima kasih kepada yang terhormat:

1. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri

Maulana Malik Ibrahim Malang,

2. Ketua Jurusan Matematika yang telah memberikan motivasi

dan rekomendasi penggunaan buku petunjuk praktikum ini

dalam beberapa acara perkuliahan mata kuliah;

3. Semua pihak yang terlibat langsung maupun tak langsung

dalam penyusunan buku ini.

Semoga bantuan rielnya mendapat balasan yang setimpal dari

Allah S.W.T. dan akhirnya penulis berharap agar buku ini


3/59

ii

memberikan mamfaat bagi mahasiswa dan pembaca pada

umumnya, oleh karena itu kritik dan saran masih penulis harapkan

untuk penyempurnaan dikemudian hari.

Malang, 22 Februari 2015

Muhammad Jamhuri, M.Si


4/59

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................................... i

DAFTAR ISI ....................................................................... iii

PART 1 Curve Fitting ToolBox ....................................................................... 1

Pengenalan Curve Fitting Tool ................................................................. 2

Interpolasi 1D ................................ .......................................................... 6

Polynomial Fitting atau Regressi .............................................................. 9

Interpolasi 2D ........................................................................................... 13

Construction Spline Curves in 2D and 3D ................................................. 16

PART2 Optimization Toolbox .......................................................................... 20

Mencari Akar Persamaan ......................................................................... 21

Solusi Sistem Persamaan .......................................................................... 23

Sistem Persamaan nonlinier..................................................................... 26

Optimisasi ............................................................................................... 28

PART 3 Ordinary Differenttial Equation ......................................................... 33

Vanderpool Equation.............................................................................. 34.

Persamaan Mathieus ............................. ........................... ...................... 36

Delay Differential Equation..................................................................... 38

PART 4 PDE Toolbox .................................................................................... 40

Solusi PDP dengan Script Function .......................................................... 41

Solusi PDP dengan PDE Toolbox.............................................................. 45

Sistem PDP ............................................................................................... 52


5/59

Panduan Praktikum Pemrograman

Komputer I

Mohammad Jamhuri

February 22, 2015


6/59

Part I

Curve Fitting ToolBox

1


7/59

Chapter 1

Pengenalan Curve-Fitting

Tool

1. Buka Tool curve f ittingdengan menggunakan perintah

c f t o o l

pada command window, tekan enter maka akan dimunculkan jendela berikut:

2. Untuk memilih data, gunakan data cencus.mat bawaan matlab denganmenggunakan perintah

2


8/59

CHAPTER 1. PENGENALAN CURVE-FITTING TOOL 3

l o a d c e n s u s

setelah ditekan enter, didalamworkspacemuncul dua variabel, yaitucdatedan pop. Selanjutnya import data tersebut menggunakan Tool Curve Fit-ting dengan mengklik tombol data. Pilih cdate untuk XData dan pop

untukY Data. Jika benar, akan muncul gambar berikut:

3. Klik Create Data Setuntuk mengimpor data ke dalam Toolbox, jika benarakan diperoleh gambar berikut


9/59


4. Selanjutnya akan kita gunakanT ool F itting untuk memfitting datacencusdengan polinomial derajat-2. Pilih dan klik tombol fittingsehingga muncul

jendelafitting, klik tombol New fit, pilih quadratic polynomial pada ko-takpolynomial, ubah FileName-nya menjadi poly2, kemudian klik tombolApply, jika benar tampilan jendelanya adalah sebagai berikut:

5. Pada jendela CurveFittinTool pilih menu V iew Residuals LinePlotsehingga tampilannya menjadi berikut


10/59


6. Pada gambar residual, menunjukkan masih ada kemungkinan untuk mem-

peroleh fitting yang lebih baik.

7. Lakukan percobaan dengan mengganti derajat polinomial pada kotak pili-hanpolynomial.

8. Untuk mengekstrapolasi jumlah populasi pada tahun 2000 s.d 2050, klikAnalysis dan isikan rentang tahun yang akan dicari nilai ekstrapolasinya.Centang tanda untuk menampilkan gambar hasil interpolasi serta gambarhasil ekstrapolasi secara bersama-sama.


11/59

Chapter 2

Interpolasi 1D

2.1 Tutorial 1: Penggunaan interp1 di Command

Window.

1. Pada praktikum ini akan ditunjukkan cara penggunaan fungsiinterp1 un-tuk menginterpolasi himpunan data dengan metode pchip

2. Buatlah data vektor dengan menuliskan kode Matlab berikut pada Com-mand Window.

x =[1 2 3 4 5 ] ;v =[12 16 31 10 6 ] ;

3. Lakukan interpolasi menggunakan spasi data 0.1, yaitu

x q = ( 1 : 0 . 1 : 5 ) ;vq=i n t e r p 1( x , v , xq , p c h ip ) ;

4. Gambarkan hasil interpolasi beserta datanya. Gunakan kode berikut

p l o t( x , v , o ) ;h o ld onp l o t(xq , vq , ) ;l e g e n d( s a m p le s , p c h ip ) ;

5. Setelah dijalankan, akan muncul gambar berikut

6


12/59

CHAPTER 2. INTERPOLASI 1D 7

6. Lingkaran pada gambar diatas adalah plot data, sedangkan kurva yangmenghubungkan lingkaran-lingkaran tersebut adalah hasil interpolasi meng-gunakan metode pchip.

2.2 Tutorial 2: Penggunaaninterp1 dengan Curve

Fitting Toolbox

1. Untuk menginterpolasi datax danv pada subbab 2.1 diatas, gunakan per-intah

c f t o o l

pada command window.

2. Lakukan pengaturan pada jendela Curve Fitting Toolbox, yaitu tuliskaninterp1 pada Text Fit Name, pilih x pada list X data, dan y pada Y

data. Pilih interpolant pada pilihan metode Curve Fitting, serta pilihShape-Preserving (PCHIP) pada list Method.


13/59


3. Simpan hasil interpolasi dengan memilih menu F it Save to workspacekemudian klik Ok.

4. Jika ingin menggunakan data hasil interpolasi untuk menentukan nilai yangada pada rentang data interpolasi, maka dapat digunakan perintah berikutpada command window

f i t t i n g m o d e l ( x a )

jika kita ingin mencari nilaiy (xa) .


14/59

Chapter 3

Polynomial-Fitting atau

Regressi

3.1 Tutorial

1. Permasalahan: tentukan parameter danpada model eksponensial

y=xex

berdasarkan data pada tabel berikut

x 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9 1.3 1.5 1.7 1.8

y 0.75 1.25 1.45 1.25 0.85 0.55 0.35 0.28 0.18

2. Tuliskan data yang terdapat pada tabel diatas di Command windows den-gan format penulisan sebagaimana berikut

x =[ 0 . 1 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 9 1 . 3 1 . 5 1 . 7 1 . 8 ] ;y =[ 0. 75 1 .2 5 1 .4 5 1 .2 5 0 . 85 0 . 55 0 .3 5 0 .2 8 0 . 1 8 ] ;

3. Buka Curve Fitting Toolbox, menggunakan perintah

c f t o o l

4. Lakukan pengaturan, yaitu pilih x pada X Data, pilih y pada Y Data,dan pilih Custom Equation serta tuliskan

axe x p ( bx )

9


15/59

CHAPTER 3. POLYNOMIAL-FITTING ATAU REGRESSI 10

pada kotak isian sebagaimana pada gambar berikut.

5. Nilai parameterdanyang diperoleh dari hasil perhitungan dapat dilihatpada kotak Result yaitua= 9.897danb=

2.532.

6. Lebih lanjut, misalkan kita ingin mengetahui nilai y pada saat x = 1,maka simpan project dengan memilih menu F it Save to W orkspace,selanjutnya akan muncul jendela popup berikut

7. Pilih tombol Ok sedemikian hingga pada jendela Workspace akan dita-mpilkan variabel sebagaimana berikut:


16/59


8. Ketikkan pada Command window perintah berikut

>>F=fi t t e d m o d e l

F =General model :F( x ) = axexp ( bx )C o e f f i c i e n t s ( w ith 95% c o n f i d e n c e b ou nd s ) :

a = 9 . 8 9 7 ( 9 . 0 7 9 , 1 0 . 7 2 )b = 2.532 ( 2 . 6 6 8 , 2.395)

>>

9. Untuk menghitung nilaiy pada x= 1, gunakan perintah berikut>>y=F ( 1 )

y =0 . 7 8 6 9

10. Dari gambar diatas diketahui bahwa nilaiy (1) = 0.7869.

3.2 Latihan

1. Tentukan parameter a danb pada model Regressi (3.2.1)

y=

a +

x

b

x

2(3.2.1)

berdasarkan data yang diberikan pada tabel berikut, serta tentukan nilai ypadax= 1.6

x 0.5 1 2 3 4

y 10.4 5.8 3.3 2.4 2


17/59


2. Tentukan nilai parameter a, b, dancpada model regressi (3.2.2)

y=a + bx + c

x (3.2.2)

berdasarkan data yang diberikan pada tabel berikut ini.

x 1 2 3 4 5

y 2.2 2.8 3.6 4.5 5.5


18/59

Chapter 4

Interpolasi 2D

4.1 Tutorial

1. Problem Statement. Misalkan diberikan data suhu pada koordinat persegi-panjang berikut

T(2, 1) = 60 T(9, 1) = 57.5

T(2, 6) = 55 T(9, 6) = 70

gunakan interpolasi untuk menentukan suhu pada koordinat x= 5.25 dany= 4.8.

2. Tuliskan data diatas di Command-Windows menggunakan format seba-gaimana berikut

x =[2 2 9 9 ] ;y =[1 6 1 6 ] ;

z =[60 55 5 7. 5 7 0 ] ;

3. Buka Curve Fitting Tool dengan perintah

c f t o o l

setelah terbuka, pilih menu File Clear Session sedemikian hingga projectyang sebelumnya masih ada, akan di hapus dari memori Curve-Fitting Tool-box.

4. Untuk memulai project baru, pilih icon Newfit, dan pilih x pada kotakisian X data, pilihy pada kotak isian Y data, sertaz pada kotak isian Zdata.

13


19/59


5. Untuk membangkitkan kode dari project yang sedang dijalankan, pilihmenuFile Generate Code, sehingga pada Matlab Editorakan tampilf unction createFitsebagaimana berikut:

f u n c t i o n [ f i t r e s u l t , g o f ] = c r ea t e F it ( x , y , z )

% CREATEFIT(X, Y, Z)% Cr ea te a f i t .%% Data f o r u n t i t l e d f i t 1 f i t :% X I n p u t : x % Y I n p u t : y % Z Output : z % O ut pu t :% f i t r e s u l t : a f i t o b j e ct r e p r e s e n t i n g t h e f i t .% g o f : s t r u c t u r e w i t h good ness o f f i t i n f o .

%% S ee a l s o FIT , CFIT , SFIT .% Autoge ne ra te d by MATLAB on 22Feb2015 1 4 : 0 6 : 1 5 %% F it : u n t i t l e d f i t 1 .[ xData , yData , zData ] = p r e pa r eS u r fa c e Da t a ( x , y , z ) ;

% S et up f i t t y p e and o p t io n s .f t = c u b i c i n t e r p ;o p t s = f i t o p t i o n s ( f t ) ;

% F i t model t o d at a .[ f i t r e s u l t , g o f ] = f i t ( [ xData , yData ] , zData , f t , o pt s ) ;% P l o t f i t w it h d at a .f i g u r e( Name , u n t i t l e d f i t 1 ) ;h = p l o t( f i t r e s u l t , [ xData , yData ] , zData ) ;l e g e n d( h , u n t i t l e d f i t 1 , z v s . x , y , . . .

L o c a ti o n , N or th Ea st ) ;% L ab el a xe s x l a b e l( x ) ;y l a b e l( y ) ;

z l a b e l( z ) ;g r i d on

6. Functiontersebut dapat dimodifikasi dan dapat digunakan kembali untukkeperluan lebih lanjut, atau dapat pula dipakai di Matlab yang tidak terse-dia Curve-Fitting Toolbox-nya.

7. Untuk menyimpan project di memori Matlab, pilih menu F it SavetoWorkspace sedemikian hingga pada jendela Workspace akan tersimpan

variabel-variabel seperti yang ditunjukkan gambar berikut


20/59


8. Selanjutnya untuk mengestimasi nilai suhu pada x = 5.25 dan y = 4.8,gunakan perintah berikut pada Command window

f i t t e d m o d e l ( 5 . 2 5 , 4 . 8 )

setelah di enter akan diperoleh hasil sebagaimana berikut:

ans =5 8 . 1 5 8 2

4.2 Latihan

1. Gunakan model Regressi linier berganda untuk menentukan nilai z padax= 2.5dany= 2.5berdasarkan data pada tabel berikut

x 0 1 1 2 2 3 3 4 4

y 0 1 2 1 2 1 2 1 2y 15.1 17.9 12.7 25.6 20.5 35.1 29.7 45.4 40.2

2. Gunakan model Regressi polinomial derajat-2 untukx dan derajat-2 untuky untuk menentukan nilai z pada x = 2.5 dan y = 2.5 berdasarkan data

pada tabel di soal nomor 1 diatas.


21/59

Chapter 5

Constructing Spline Curves in

2D and 3D

Contoh ini menunjukkan bagaiman cara menggunakan perintah csvn dari Tool-box Curve-Fitting, untuk membangun Kurva cubic spline dalam 2D dan 3D

5.1 Memilih Titik-titik1. Dalam contoh ini akan ditunjukkan cara menggambar kurva melalui daftar

titik-titik, pertama pilih beberapa titik acak pada bidang, kemudian simpandalam matriks, satu titik perkolom

npts=10;xy=[randn (1 , npts ) ;randn (1 , npts ) ] ;

pl ot (xy ( 1 , : ) , xy ( 2 , : ) , ro , LineWidth , 2 ) ;te xt ( xy ( 1 , : ) , xy ( 2 , : ) , [ repmat ( , npts , 1 ) , num2str ( ( 1 : npts ) )s e t ( gca , XTick , [ ] , YTick , [ ] )

2. Jalankan kode program tersebut, sehingga muncul gambar berikut

16


22/59

CHAPTER 5. CONSTRUCTING SPLINE CURVES IN 2D AND 3D 17

1

2 3

4

5

6

7

8

9

10

5.2 Menghubungkan titik-titik tersebut

1. Untuk menghubungkan titik-titik tersebut menjadi sebuah kurva, gunakanperintahcsvn dan plot menggunakan perintah fnplt

h o l d onf n p l t ( c s c v n ( x y ) , r , 2 )h o l d o f f

2. Jalankan kode program tersebut, dan selanjutnya akan muncul gambarberikut

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5.3 3D Spline Curve

1. Untuk membuat kurva spline dalam 3D, gunakan kode berikut


23/59


n p t s = 1 3 ;t = l i n s p a c e(0 ,8 pi, npts ) ;z = l i n s p a c e(1 , 1 , n pt s ) ;omz = s q r t (1z . ^ 2 ) ;x y z = [c o s( t ) .

omz; s i n( t ) .

omz ; z ] ;

p l o t 3( x y z ( 1 , : ) , x yz ( 2 , : ) , x yz ( 3 , : ) , . . . ro , LineWidth , 2 ) ; t e x t( x y z ( 1 , : ) , x yz ( 2 , : ) , x yz ( 3 , : ) , . . .[ repmat( , npts ,1 ) , num2str( ( 1 : n p ts ) ) ] )s e t( gca, X Tick , [ ] , Y Tick , [ ] , Z Ti ck , [ ] )bo x on

2. Jalankan kode program diatas, dan akan muncul gambar berkut

7

4

10

1

13

12

3

9

6 2

11

5

8

3. Untuk menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva, gunakan kodeprogram berikut

h o l d onf n p l t ( c s cv n ( x yz ( : , [ 1 :end 1 ] ) ) , r , 2 )

h o l d o f f

4. Dan setelah dijalankan akan menghasilkan gambar berikut:


24/59


7

10

4

6

9

3

12

13

1

2

11

5

8


25/59

Part II

Optimization Toolbox

20


26/59

Chapter 6

Mencari Akar Persamaan

6.1 Tutorial

1. Pada praktikum ini akan ditunjukkan cara mencari akar dari persamaannonlinier (6.1.1) berikut

ex x= 0 (6.1.1)Nilai awal yang digunakan adalah x0 = 1. Langkah-langkah penyelesaian-nya adalah sebagai berikut.

2. Tuliskan persamaan (6.1.1) sebagai function dalam Matlab berikut,

f u n c t i o n h=myFun1( x )h = exp(x)x ;

3. Buka Optimization Toolbox menggunakan perintah

o p t i m t o o l

4. Pada jendela Optimization Tool, pilih fzero pada Solver, isikan@myFun1pada Equation, dan pada option Let algorithm f ind interval containing x:dan isikan angka 0, kemudian klik tombol Start, dan akan diperoleh hasilsbb:

21


27/59

CHAPTER 6. MENCARI AKAR PERSAMAAN 22

5. Akar yang diperoleh dapat dilihat pada Form Final points (kiri bawah),akar yang diperoleh: 0.567.

6.2 Latihan Soal

1. Gunakanf zero-Solver untuk menentukan akar dari

0.6x2 + 2.4x= 5.5

gunakan interval awal xa= 5 danxb= 10.

2. Gunakanf zero-Solver untuk menentukan akar dari

4x3 6x2 + 7x= 2.3

gunakanx0= 0.1 sebagai nilai awal.


28/59

Chapter 7

Solusi Sistem Persamaan

7.1 Tutorial 1

1. Pada praktikum ini, kita akan mencari solusi dari sistem persamaan nonlin-ier menggunakan Optimization Toolbox. Sistem persamaan yang akankita cari solusinya adalah sebagai berikut

x2

+ xy = 10y+ 3xy2 = 57

2. Tuliskan sistem persamaan tersebut kedalam sebuah function-Matlab berikut

f u n c t i o n O=myFun2( x )O( 1 , 1 ) = x ( 1) ^2 + x ( 1 ) x ( 2 ) 1 0 ;O( 2 , 1 ) = x ( 2 ) + 3x ( 1 ) x ( 2 ) ^ 2 5 7 ;

3. Gunakan x1 = 1.5 dan x2 = 3.5 sebagai nilai awal dan pilih fsolve padaSolver,@myFun2pada Objective function,[1.5, 3.5]pada Start point,kemudian klik tombol Start, sehingga diperoleh hasil seperti pada gambarberikut.

23


29/59

CHAPTER 7. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN 24

4. Pada Final point dapat dilihat bahwa solusi untuk sistem persamaan diatasadalahx= 2 dany= 3.

7.2 Tutorial 2

1. Kali ini, kita akan menyelesaikan sistem persamaan dengan tiga variabel,yaitu

3x1 cos(x2x3)1

2 = 0 (7.2.1)

x21 81 (x2+ 0.1)2 + sin (x3) + 1.06 = 0 (7.2.2)ex1x2 + 20x3+

10 33

= 0 (7.2.3)

2. Nilai awal yang digunakan adalahx1= 0.1, x2= 0.1,danx3 = 0.1.3. Tuliskan sistem persamaan (7.2.1), (7.2.2), dan (7.2.3) kedalam sebuah

function-Matlab berikut:f u n c t i o n H=myFun3( x )

H( 1 ,1 ) = 3x(1) c o s( x ( 2 ) x ( 3 ) ) ( 1 / 2 ) ;


30/59

CHAPTER 7. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN 25

H(2,1)=x(1)^2 81(x(2)+0.1)^2+s i n( x ( 3 ) ) + 1. 0 6 ;H( 3 ,1 ) = exp(x ( 1 )x ( 2 ) ) + 2 0x ( 3 ) + ( 1 0 pi 3)/3;

4. Lakukan pengaturan pada jendela Optimization Toolbox sebagaimana padagambar berikut:

5. Solusi yang diperoleh adalah x1 = 0.5, x2 = 0, dan x3 =0.524 yangdapat dilihat pada Final point. Hasil numerik tersebut diperoleh setelahdilakukan iterasi sebanyak empat kali.


31/59

Chapter 8

Latihan: sistem persamaan

nonlinier

1. Tentukan solusi dari sistem-sistem persamaan berikut ini menggunakan Op-timization Toolbox.

(a) Soal latihan 1.

4x21 20x1+14 x22+ 8 = 01

2x1x

2

2+ 2x1 5x2+ 8 = 0

(b) Soal latihan 2.

x1(1 x1) + 4x2 = 12(x1 2)2 + (2x2 3)2 = 25

(c) Soal latihan 3.

3x1 cos(x2x3) 12

= 0

4x21 625x22+ 2x2 1 = 0exp(x1x2) + 20x3+10 3

3 = 0

(d) Soal latihan 4.

15x1+ x2

2 4x3 = 13

x21+ 10x2 x3 = 11x32 25x3 = 22

26


32/59

CHAPTER 8. LATIHAN: SISTEM PERSAMAAN NONLINIER 27

2. Gunakan x1 =x2 =x3 = 0 sebagai nilai awal. Pilihfsolve pada Solver,pilih Algorithm yang sesuai dari tiga macam pilihan yang dapat dipilihpada dropdown list.


33/59

Chapter 9

Optimisasi

9.1 Tutorial 1: Unconstrained Optimization

1. Pandang masalah mencari sebuah himpunan solusi[x1, x2]yang memenuhi

minx

f(x1, x2) =ex1

4x21+ 2x2

2+ 4x1x2+ 2x2+ 1

2. Untuk menyelesaikan masalah dua-dimensi diatas, tuliskan persamaan terse-but kedalam sebuah fungsi seperti berikut

f u n c t i o n f =o b j f u n ( x )f=exp ( x ( 1 ) ) ( 4 x(1)^2+2x(2)^2+4x ( 1 )x(2)+2x ( 2 ) + 1 ) ;

3. Tuliskan kode program berikut untuk menyelesaikan masalah optimisasiunconstrained

x 0 = [ 1 , 1 ] ;

op ti on s=opt imo pti ons ( @fminunc , Algorithm , quas inewton ) ;[ x , f v a l , e x i t f l a g , o u tp u t ]= f m i nu n c ( @ ob jf un , x0 , o p t i o n s ) ;

4. Setelah dijalankan program diatas akan menghasilkan output sbb:

Loc al minimum found .O p t i mi z a t io n c o mp l et ed b e c au s e t h e s i z e o f t h e g r a d i e n ti s l e s s than t h e d e f a u l t v a l u e o f t h e f u n c t i o n t o l e r a n c e .

5. Untuk menampilkan hasilnya ketikkan kode berikutx , f v a l , e x i t f l a g , o u tp u t

28


34/59

CHAPTER 9. OPTIMISASI 29

setelah dienter akan keluar output sbb:

f v a l = 3 . 6 6 0 9 e15e x i t f l a g = 1o u t p u t =i t e r a t i o n s : 8funcCount : 66s t e p s i z e : 1f i r s t o r d e r o p t : 1 .2 28 4 e007a lg o r it h m : mediums c a l e : Q u as iNewton l i n e se ar ch

9.2 Tutorial 2: Constrained Optimization

1. Pandang masalah meminimumkan fungsi Rosenbrocks

f(x) = 100

x2 x212

+ (1 x1)2

pada suatu lingkaran dengan jari-jari 1.

2. Tentukanx yang meminimumkan fungsif(x)pada himpunanx21+ x22 1.

3. Berikut ini adalah gambar dari fungsi Rosenbrocks

4. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, ketikkan kode berikut di commandwindow

e d i t r o se nb r oc k

5. Setelah Matlab editor terbuka, ketikkan kode berikut dan simpan dengannama rosenbrock


35/59


f u n c t i o n f =ro s e n b ro c k ( x )f=100(x(2)x(1)^2)^2+(1x ( 1 ) ) ^ 2 ;

6. Tuliskan fungsi constrain kedalam sebuah function sebagaimana berikut

f u n c t i o n [ c , c e q ] = u n i t d i s k ( x )c=x(1)^2+x(2)^2 1;ceq =[ ]

simpan dengan nama unitdisk.m

7. Selanjutnya jalankan optimization tool dengan mengetikkan perintah

o p t i m t o o l

dan GUI (graphical user interface) berikut akan terbuka

8. Pilihfmincon Constrained nonlinear minimizationpada Solver.9. PilihInterior point pada Algorithm.

10. Tuliskan @rosenbrock pada Objective function.

11. Tuliskan

0 0

pada Start point.

12. Tuliskan @unitdiskpada Nonlinear constraint function. Lebih detail-nya lihat gambar berikut


36/59


13. Pada Options pane (tengah-bawah), pilihiterativepadaLevel of display.

14. Klik Start pada Run solver and view results.

15. Akan muncul pesan berikut dibawah buttonStart.

O p t im i z at i o n r u nn i ng . O b j e c t i v e f u n c t i o n val ue :0 . 0 4 5 6 7 4 8 2 4 7 5 8 1 3 7 2 3 6 L o c a l minimum f o un d t h a ts a t i s f i e s th e c o n s t ra i n t s .O pt i mi z at i on c om pl et ed b ec au se t he o b j e c t i v ef u n c t i o n i s nond ec re as i ng i n f e a s i b l e d i r e c t i o n s ,t o w it hi n th e d e f a u l t v al ue o f t he f u n c t i o nt ol er an ce , and c o n s t ra i n t s a r e s a t i s f i e d t o

w it hi n t he d e f au l t v al ue o f t he c o n s t r ai n t t o l er a n ce .

16. Nilaixyang meminimumkan fungsi objektif muncul pada Final point.


37/59



38/59

Part III

Ordinary Differential Equation

33


39/59

Chapter 10

IVP: Vanderpool Equation

1. Pada praktikum kali ini, akan dijelaskan cara penyelesaian masalah nilaiawal pada persamaan van der Pol.

2. Persamaannya adalah

y1

1 y21

y1+ y1= 0 (10.0.1)

dengan >0 sebuah parameter skalar.

3. Tuliskan ulang persamaan (10.0.1) menjadi sistem persaaman differensialorde-1, yaitu

y1 = y2

y2 =

1 y21

y2 y1

4. Tuliskan sistem ODE diatas kedalam sebuah Matlab function berikut

f u n c t i o n dydt=vdp1 ( t , y )d y d t ( 1 , 1 ) = y ( 2 ) ;dydt(2,1)=(1y ( 1 ) ^ 2 )y(2)y ( 1 ) ;

5. Kali ini gunakan fungsi ode45, yaitu

[ t , y]= ode45 ( @vdp1 , [ 0 2 0 ] , [ 2 ; 0 ] ) ;

6. Tampilkan output dengan menulis dan jalankan kode berikut

p l o t( t , y ( : , 1 ) , , t , y ( : , 2 ) , )t i t l e( So lu ti on of van der Pol Equation , \mu=1 ) ;x l a b e l( t i m e t ) ; y l a b e l( s o lu t i o n y_1 ) ;l e g e n d( y_1 , y_2 )

34


40/59

CHAPTER 10. IVP: VANDERPOOL EQUATION 35

7. Setelah dijalankan akan muncul grafik dari solusi sbb

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203

2

1

0

1

2

3Solution of van der Pol Equation, = 1

time t

solution

y

y1

y2


41/59

Chapter 11

BVP: Persamaan Mathieus

1. Praktikum ini membahas penyelesaian masalah nilai batas pada persamaanMathieus, adapun persamaannya adalah

y + ( 2qcos(2x)) y= 0 (11.0.1)

dengan kondisi

y (0) = 1y (0) = 0 (11.0.2)

y () = 0

2. Untuk menyelesaikan persamaan differensial (11.0.1), terlebih dahulu tuliskansebagai sistem persamaan differensial orde-1, yaitu

y1

= y2

y

2 = ( 2qcos (2x)) y13. Tuliskan sistem persamaan orde-1 diatas dan kondisi batas (11.0.2)kedalam

dua buah fungsi Matlab berikut

dydx=mat4ode (x , y , lambda)d y d x ( 1 , 1 ) = y ( 2 ) ;dydx(2,1)=(lambda2q c o s( 2x ) ) y ( 1 ) ;

dan

f u n c t i o n r e s=mat4bc( ya , yb , lambda)r e s = [ya ( 2 ) ; yb ( 2 ) ; ya ( 1 ) 1 ] ;

36


42/59

CHAPTER 11. BVP: PERSAMAAN MATHIEUS 37

4. Buat tebakan awal dengan menuliskannya kedalam sebuah fungsi Matlabberikut

f u n c t i o n y i n i t =m a t 4 i n i t ( x )y i n i t = [ c o s( 4x ) ; 4 s i n( 4x ) ] ;

Untukbvpinit, gunakan kode berikut untuk tebakan nilai lambda

lambda=15;s o l i n i t =b v p i n i t (l i n s p a c e( 0 ,p i, 1 0 ) , @mat4init , lambda ) ;

5. Untuk menghitung solusinya gunakan BVP solver berikut

s o l=bvp4c (@mat4ode , @mat4bc , s o l i n i t ) ;

6. Selanjutnya untuk menampilkan hasil perhitungan gunakan kode berikutf p r i n t f ( F ou rt h e i g e n v a l u e i s a p p r o x i m a t e l y % 7. 3 f . \ n , s o l .

p a r a m e t e r s )x i n t = l i n s p a c e( 0 ,p i) ;S x i n t = d e v a l ( s o l , x i n t ) ;p l o t( x in t , S x in t ( 1 , : ) )a x i s( [ 0 p i 1 1 . 1 ] )t i t l e( E i g e n f u n c t i o n o f M at hi eu s e q u a t i o n . )x l a b e l( x )

y l a b e l( s o l u t i o n y )

7. Setelah dijalankan, akan tampil solusi dalam bentuk grafik berikut


43/59

Chapter 12

Delay Differential Equation

1. Pada praktikum ini dibahas tentang solusi dari persamaan differensial tunda(DDE) dengan konstan delay. Persamaan differensialnya adalah sebagaiberikut

y1(t) = y1(t 1)y2(t) = y1(t 1) + y2(t 0.2)y3

(t) = y2(t)

dimana

y1(t) = 1

y2(t) = 1

y3(t) = 1

untukt 0.

2. Tuliskan sistem persamaan differensial diatas ke dalam sebuah fungsi Mat-lab

f u n c t i o n d yd t = d de x1 de ( t , y , Z )y la g1 = Z ( : , 1 ) ;y la g2 = Z ( : , 2 ) ;dy dt = [ y l a g1 ( 1 ) ; y l a g1 ( 1)+ y l a g 2 ( 2 ) ; y ( 2 ) ] ;end

3. Tuliskan histori solusi sebagai fungsi Matlab berikut

f u n c t i o n S = d d ex 1 hi s t ( t )S = o n es ( 3 , 1 ) ;end

38


44/59

CHAPTER 12. DELAY DIFFERENTIAL EQUATION 39

4. Definisikan waktudelay-nya sebagai

l a g s = [ 1 , 0 . 2 ]

5. Selesaikan DDE dengan memanggildde23, dan gunakan interval 0 5 ,sebagai inputs o l=d d e2 3 ( @d dex 1de , la g s , @ d d ex 1 h is t , [ 0 , 5 ] ) ;

Fungsi dde23 menghasilkan solusi yang kontinu pada interval penginte-gralan

t0 tf

.

6. Gambar solusi yang diperoleh dari fungsidde23,menggunakan kode berikut

p l o t( s o l . x , s o l . y ) ;t i t l e( Anexample of Wil le andBaker ) ;x l a b e l( t i m e t ) ;y l a b e l( s o l u t i o n y ) ;l e g e n d( y_1 , y_2 , y_3 , Lo ca ti on , NorthWest ) ;

7. Hitung solusi pada 10 buah titik yang sama sepanjang interval integrasi,dan gambar hasilnya dari sol.y, gunakan kode berikut

t i n t = l i n s p a c e( 0 , 5 , 1 0 ) ;S i n t = d e v a l ( s o l , t i n t )

h o ld onp l o t( t i n t , S in t , o ) ;

8. Jalankan program untuk memperoleh gambar dari solusi berikut.


45/59

Part IV

PDE Toolbox

40


46/59

Chapter 13

Solusi PDP dengan

Script-Function

13.1 Tutorial

1. Pada praktikum ini akan dipraktekkan cara mencari solusi dari persamaandifusi

2 ut

= 2u

x2 pada {0 x 1, t 0} (13.1.1)

dengan kondisi awal dan kondisi batas

u (x, 0) = sin (x) (13.1.2)

u (0, t) = 0 (13.1.3)

xu (1, t) = exp(t) (13.1.4)

2. Tulis ulang persamaan differensial (13.1.1) dalam bentuk

c

x,t,u,

u

x

u

t =xm

x

xmf

x,t,u,

u

x

+ s

x,t,u,

u

x

sehingga diperoleh

2u

t =x0

x

x0

u

x

+ 0 (13.1.5)

41


47/59

CHAPTER 13. SOLUSI PDP DENGAN SCRIPT-FUNCTION 42

dengan

m = 0

c

x,t,u,

u

x

= 2

f

x,t,u,

u

x

=

u

x

s

x,t,u,

u

x

= 0

3. Tuliskan juga kondisi batas (13.1.4) dalam bentuk

p (x,t,u) + q(x, t) f

x,t,u,

u

x

= 0

sehingga diperoleh

et +

xu (1, t) = 0

4. Tuliskan sukuc, f, dans sebagai fungsi Matlab berikut

f u n c t i o n [ c , f , s]=pdex1pde (x , t , u ,DuDx)c=p i^ 2 ;

f=DuDx;s=0;

5. Tuliskan kondisi awal (13.1.2) dalam fungsi Matlab berikut

f u n c t i o n u0=pd ex 1i c (x )u0=s i n(p i x ) ;

dan kondisi batas (13.1.3) dan(13.1.4) sebagai

f u n c t i o n [ pl , ql , pr ,q r ]=pdex1bc ( xl , ul , xr , ur , t )p l=ul ;q l = 0 ;pr=p i exp(t ) ;qr =1;

6. Pilih bentuk titik-titik diskrit yang akan digunakan, yaitu

x=l i n s p a c e( 0 , 1 , 2 0 ) ;t=l i n s p a c e( 0 , 2 , 5 ) ;

7. Untuk mencari solusinya gunakan fungsipdxpe dengan setting sebagai berikut


48/59


m=0;s o l=pdepe (m, @pdex1pde , @pdex1ic , @pdex1bc , x , t ) ;

8. Tampilkan output program dengan menggunakan kode berikut

u=s o l ( : , : , 1 ) ;s u r f ( x , t , u ) ;t i t l e( Nu m e r ic al s o lu t i o n c om pu te d w it h 2 0 mesh p o in t s )x l a b e l( Dista nce x )y l a b e l( Time t )

9. Setelah dijalankan akan muncul grafik berikut

10. Tampilkan sebuah profil solusi pada tf = 2, dan gunakan kode berikut

f i g u r ep l o t( x , u ( en d, : ) )t i t l e( S o l u t i o n a t t = 2 )

x l a b e l( Dista nce x )y l a b e l( u ( x , 2 ) )

11. Jalankan kembali program dan akan muncul gambar berikut


49/59


13.2 Latihan

1. Selesaikan persamaan differensial berikut menggunakan cara seperti padatutorial diatas

utt= 2uxx {0< x 0}dengan kondisi awal dan kondisi batas

u (x, 0) =x, ut(x, 0) = 0 (13.2.1)

u (0, t) =u (l, t) = 0 (13.2.2)

2. Gambarkan solusi yang diperoleh ke dalam sebuah grafik dengan menggu-nakan fungsi surf.


50/59

Chapter 14

Solusi PDP dengan

PDE-Toolbox

1. Sebagai contoh, kita akan menentukan solusi persamaan Laplace 2D padadomain persegi panjang berikut

2u

x2

+2u

y2

= 0,

{0< x


51/59

CHAPTER 14. SOLUSI PDP DENGAN PDE-TOOLBOX 46

3. Atur domain atau daerah asal dari pdp (14.0.1) menggunakan menu Draw Rectangle/Square, kemudian klik sebarang dalam kotak kemudian seretsehingga diperoleh hasil seperti gambar berikut

4. Selanjutnya double-klik pada kotakR1 dan lakukan pengaturan pada jen-dela popup yang muncul sebagaimana berikut


52/59


5. AturAxismenggunakan menuOption Axis limitdan centang checklistAutoseperti gambar berikut

6. Jika pengaturannya benar, maka hasilnya adalah seperti gambar berikut


53/59


7. Tentukan model pde dengan menggunakan menuP DE Specif y pde

8. Berikutnya atur kondisi pada batas dengan klik menu Boundary boundary modSelanjutnya atur Boundary Specif y boundary conditions supaya memenuhipersamaan (14.0.2), (14.0.3), dan (14.0.4).

9. Selanjutnya gunakan menu Mesh Initialize mesh sehingga diperolehgambar berikut

10. Berikutnya gunakan menuSolve SolvePDEsehingga diperoleh gambarberikut


54/59


11. Selanjutnya klik menuP lot Selection

12. Lakukan pengaturan sebagaimana pada gambar berikut


55/59


13. Sehingga muncul gambar berikut

14. Untuk melihat solusi dalam bentuk angka, pilih menu Solve Export solutionsehingga tampil gambar berikut


56/59



57/59

Chapter 15

Sistem PDP

1. Pada praktikum ini, akan ditunjukkan cara mencari solusi sistem pdp meng-gunakan toolbox Matlab pdxpe.

2. Contoh sistem pdp yang akan diselesaikan adalah

u1t

= 0.0242u1x2

F(u1 u2)

u2t

= 0.170 2

u1x2

+ F(u1 u2)

denganF(y) = exp (5.73y)exp(11.46y) .Daerah asal untuk sistem pdptersebut0 x 1 dan untukt 0.

3. Kondisi awal dan kondisi batas yang harus dipenuhi oleh sistem tersebutadalah

u1(x, 0) = 1

u2(x, 0) = 0

dan

xu1(0, t) = 0

u2(0, t) = 0

u1(1, t) = 1

x u2(1, t) = 0

52


58/59

CHAPTER 15. SISTEM PDP 53

4. Tuliskan sistem pde diatas dalam bentuk berikut

11

.

t

u1u2

=

x

0.024(xu1)0.170(xu2)

+

F(u1 u2)F(u1 u2)


59/59

modul ppk i m. jamhuri, m.si

Documents