diktat 20 kalkulus ui

7/22/2019 Diktat 20 Kalkulus UI

1/33

UJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUI

Mata Kuliah : KalkulusHari/ Tanggal : Kamis/ 20 Oktober 2005Waktu : 110 menitDosen : Siti Nurrohmah

Sifat Ujian : Tutup Buku

1. (10) Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a.5

2 1x

+ b. 5 2 1x x+ <

2. (25) Diberikan fungsi:

0, -4 x -1

1, 0< x-1 2

( ) 1

0, x = 3

1, 3 < x 4

f x x


2/33

a.2(ln )

dx

x x b.

cos

1 sin

xdx

x c. 21

x

x

edx

e

d.2

2 4

6 5

xdx

x x

+

+ e. cos(ln3 )x dx f.

3

2 ( 2)

dz

z z z+ g. 2 cos

dx

x+


3/33

5 2 1

5 1 2

5 1 2 2 2

6 2 2

9 2

11

x x

x x

x x x

x

x

x

+

5 0

5

x

x

+

2 0

2

x

x

0, 4 1

1,0 1 2

( ) 1

0, 3

1,3 4

x

xf x x

x

x

<

< >

1 2

2 1 3

1 3

x

x

x

=

> = =

= =

b. di x = -1

1

1 1

1

lim 0 0

lim ( ) lim ( )1 1lim

1 2

x

x x

x

f x f x

x

+

+

=

=

f(x) di x = -1 diskontinu dan jenisnya diskontinu melompat yang tidak bisadihapuskan karena

1 1lim ( ) lim ( )

x xf x f x

+

.

di x = 1

1

1

1lim

1

1lim

1

x

x

x

x

+

=

=

Karena1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x +

maka di x = 1, fungsi diskontinu dan tidak dapat

dihapuskan.

di x = 3

3

3

1 1lim

1 2

lim 1 1

x

x

x

+

=

=

Karena3 3

lim ( ) lim ( )x x

f x f x +

, f(x) di = 3 diskontinu dan jenisnya diskontinu

melompat yang tidak dapat dihapuskan.

3a.

3b.


5/33

( )

( )

( )

22

22

22

2lim

3

2 1lim 1

4 332

lim 03

x

x

x

x

x

x

xx

x

+

> = =

> =

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

11 2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2

ln

1 1 1' . . 2 2 '

21

' 1.2 '

2

'

' '

' '

'

yarctg x y

x

y x y x x y x yy

y x yx

y yx x yy

x x x y

y yx x yy

x x

xy y x yy

xy yy x y

x y

y x y

= +

+ = + +

+ +

= +

+

= +

= +

= +

+=

3 2

2 3 2

1

2 0

3 ' 2 ' 0

gradien garis singgung = f'(1)

3 ' 2 ' 0

2 ' 5

5'2

persamaan garis singgung:

(1) '(1)( )

51 ( 1)

2

5 7

2 2

x y x y

x y x y xy x y

y y

y

y m

y f f x x

y x

y x

+ =

+ + + =

+ + + =

=

=

=

=

= +

3c.

Karena2 2

lim ( ) lim ( )x x

f x f x +

, maka limit di atas tidak mempunyai nilai.

4a.

4c.


6/33

( )

( )

2

1

2

1 11 1 1 1

1 1 1 1

1 2 1 1

2 2 1

1(1 ') 2. 1 .

2

'.1

'.1

11 11 1

'1

1'

x xy

xx x

x y x x

x y x x

x y x x x

xx y x y x

x

xx y x x y

x

xx x y y

xx x

x y y x

x

ee ee

ee e

e e e e

e e eturunan I

e y e e e

ee y e e

e

ey e e e

e

ee e e e ee e

ye e e e

ey

+

+

+ +

+ +

+ + + = =

+ + +

= + + +

= + +

+ = +

+ =

+

=

+

++ += =

+

+=

( )

( )

. 1 1 1

1 1

1 1 1'

1

1 1'

y x x

y x x

x y x x

y x

x y x y x

y y x

e e e

e e e

e e e ey

e e

e e e ey

e e e

+

+ +

+ +

+ + +=

+

+ +=

+

2 2

2

2

3

3

( )1

( 1) 1. '( )

( 1) ( 1)

'( ) 0 1 0

( ) tidak memiliki nilai max. atau min.

1 '( ) selalu negatif untuk x R

( 1)

. '( ) ( 1)

2 ''( ) 2( 1)

( 1)

''( ) 0 ti

xf x

x

x xa f x

x x

f x x x

f x

f xx

b f x x

f x xx

f x

=

= =

=

=

=

= =

=

3 3

dak ada nilai yang memenuhi

f(x) tidak mempunyai titik balik

f cekung ke atas f cekung ke bawah

2 2 0 0

(x - 1) (x - 1)

x > 1

> >

x < 1

4b.

5b.


7/33

2

1

2 2

1

(ln )misal :

ln

1

1

(ln )

1(ln )

ln

dx

x x

u x

du dxx

dxdu u c

x x u

x c cx

=

=

= = +

= + = +

2

2 4

6 5

2 4

( 5)( 1) ( 5) ( 1)

( 1) ( 5) 2 4

31 4 6

2

7

5 4 14 2

7 3

2 5 2 1

7 ( 5) 3 ( 1)

2 5 2 1

7 3ln 5 ln 1

2 2

x

x x

x A B

x x x x

A x B x x

x B B

x A A

dx dx

x x

d x d x

x x

x x c

+

+

+=

+ = +

= = =

=

=

=

=

=

= +

cos(ln 3 ) cos(ln 3 ) cos(ln 3 )

1cos(ln 3 ) cos(ln 3 ) sin(ln 3 ). .3

3

cos(ln 3 ) cos(ln 3 ) sin(ln 3 ) (ln 3 )

1cos(ln 3 ) cos(ln 3 ) sin(ln 3 ) cos(ln 3 ). .3

3

2 cos(ln 3 ) cos(ln 3 )

x dx x x xd x

x dx x x x x dxx

x dx x x x x xd x

x dx x x x x x x dxx

x dx x x

=

= +

= +

= +

=

[ ]

sin(ln3 )

1cos(ln 3 ) cos(ln 3 ) sin(ln 3 )

2

x x

x dx x x x c

+

= + +

Jadi, f cekung ke atas pada interval x > 1

f cekung ke bawah pada interval x < 1

6a.

6d.

6e.


8/33

UJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUIUJIAN TENGAH SEMESTER FTUI

Mata Kuliah : KalkulusHari/ Tanggal : Senin/ 17 Oktober 2005Waktu : 100 menitDosen : Sarini Abdullah, S.Si, M.StatsSifat Ujian : Tutup Buku

1. (20) Pilih salah satu dari dua soal berikut ini:

a. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan3

4 2 1 .xx

<

b. Tentukan domain dan daerah hasil untuk fungsi 2, 0

( ) , 0 2

3 , 2

x jika xf x x jika x

x jika x


9/33

c.2 2 5

dx

x x+ + d.

2

9

xdx

x

1. (20) Dua pojok sebuah persegi panjang berada pada sumbu X dan dua yanglainnya pada parabola y=12 - x2 , 0y . Berapa ukuran persegi panjang

semacam ini agar luasnya maksimum?


10/33

( )

( )

( ) ( )

( )( )

22

22

2 2

3

4 2 1

34 4 1

34 2 1 0

3 34 2 1 4 2 1 0

3 32 2 2 6 0

3 32 2 2 6 0

3 2 2 3 2 6 0

xx

xx

xx

x xx x

x x

x x

x x x xx x

x x x x

<

<


11/33

] ]

3

1

2 3

1 2

2 32 2

1 2

2 2 2; 2

dan 2; 2

2 2

1 12 2

2 2

1 1(4 1) 2(1) (9 4) 2(1)

2 2

3 52 2

2 2

1

x dx x x x

x x

x dx x dx

x x x x

+

diktat 20 kalkulus ui

Documents