sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky

7/23/2019 sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky

http://slidepdf.com/reader/full/sub-ruang-hhtff8trrrvuhgg-yythh-u-ui-iub-i-yyy-yyo8p-7y-79u-yoiky 1/18

SUB RUANG

Oleh:

Ivo Oktora (060210101166)

Silvi Triandriamaya (070210191004)

Zainul u!ron (07021019104")

#$ S %u&u! (0702101911'6)ina *i*ah (07021019116+)



Definisi Sub Ruang

Sub himpunan W dari sebuah ruang vektorV dinamakan subruang (subspace) V jika

W itu sendiri adalah ruang vektor dibawah penambahan dan perkalian skalar yangdidefisikan pada V



) ! " !#) ! ( !w ) " ( ! )!w

$) k( ! ) " k ! k %) (k!l) " k ! l &) kl ( ) " k (l )

') ' "

Aksioma warisan



Aksioma bukan warisan

W vu ∈+

W ∈∃0

W uW u ∈−∈∀ ,

W ku∈

1)4)

5)6)



eorema *

Jika W adalah himpunan dari satuatau lebih vektor dari sebuah ruangvektor V, maka W adalah subruangdari V jika dan hanya jika kondisiberikut berlaku :

a) Jika u dan v adalah vektor vektorpada W, maka u v terletak di W

b) Jika k adalah sebarang skalar dan

u adalah sebarang vektor pada W,maka ku berada di W



+ukti

!embuktian dari aksioma 1) dan 6)

aksioma

1)

6)

W vu ∈+

W ku∈

"ntuk mendapatkan aksioma 5)dapat kita peroleh dari aksioma 6)

Ambil k # $1 W u∈− .1

W u∈− aksioma 5)



aksioma 1)

"ntuk mendapatkan aksioma 4)dapat kita peroleh dari aksioma 1)

atau aksioma 6)W vu ∈+

Ambil v # $u W uu ∈−+ )(

W ∈0 aksioma 4)

aksioma 6) W ku∈

Ambil k # % W u∈.0

W ∈0 aksioma 4)



&ontoh 'oal

Misalkan: u dan v adalah vector-vektor sembarang pada W,dan W

adalah bidang sembarangyang melewati titik asal. Maka u+v

hars terletak pada W karena vector ini merpakan dan paralelogram yang dibentk oleh u dan v , dan vector ku hars

terletak pada W ntk scalar sembarang k karena ku terletak pada

garis yang melewati u. !adi, w terttp terhadap pen!mlahan dan

perkalian skalar, sehingga merpakan sb rang R 3

.

Vector u + v dan ku kedanya terletak pada

sat bidang yang sama dengan u dan v

W

u+vku

v

u

x

z

y



Misalkan W adalah himpnan sema titik (",y) pada # $

sedemikian hingga dan . %itik ini adalah titik-titik

pada kadran pertama. &impnan W bkan merpakan s rangdari # $ karena tidak terttp terhadap perkalian skalar. 'ebagai

contoh, v (1,1) terletak pada W, tetapi bentk negatinya (-1)v =

-v = (-1,-1) tidak terletak pada W.

0≥ x 0≥ y

&ontoh bukan sub ruang

yw

(-1,-1)

x

(1,1)



Soal ''emua vektor yang berbentuk (a,b,), dimanab#a

*unakan teorema 4 untuk menentukan bentukberikut apakah merupakan subruang + -

Jawab :

+ merupakan ruang vektor

Ambil sebarang dua elemen pada .1

*

1 RW ⊂

11111111$1 ),,,(, cabcba xW x x +==⇒∈

$$$$$$$ ),,,( cabcba x +==⇒

1$1

$1$1$1

$1$1$1$1 ),,(

W x x

ccaabb

ccbbaa x x

∈+⇒

+++=++++=+⇒



Ambil sebarang skalar k

dan

1W x∈

1

),,(

),,,(

W kx

kckbkakx

cabcba x

∈⇒

=⇒

+==

kckakb +=

Jadi .1 'ubruang pada

+



Semua vektor yang berbentuk (a,b,c), dimana b"a!c!'-unakan teorema * untuk menentukan bentuk berikutapakah merupakan subruang R# . /awab 0R# merupakan ruang vektor

*

$ RW ⊂

Ambil sebarang dua elemen pada

./ 1),,,(, 1111111$$1 ++==⇒∈ cabcba xw x x

1),,,( $$$$$$$ ++==⇒ cabcba x

$$1

$1$1$1

$1$1$1$1

$

),,(

W x x

ccaabb

ccbbaa x x

∉+⇒

++++=+

+++=+⇒

./ bukan sub ruang +

'oal /



10 isal " merupakan himpunan semuamatrik /2/ yang berbentukdengan syarat a# % dan d# %0

3unjukkan bahwa " subruang dri

ruang vektor matrik /2/ Jawab:

.Ambil a,b ", akan ditunjukkan

bahwaab ",karena a " maka dipenuhi a#

engan syarat a1 # % dan d1 # %, dan

∈

∈ ∈

∈

Soal #



Dengan syarat a " dan d " 1 maka

a! " , karena a' " dan a " ,

2aka a' ! a " ,sert dikarenakan d' " dan

d " , maka d' ! d " 1 jadi a ! 31

4mbila

3, ambilk

R akan ditunjukan bahwa ka 3, karena a 3 maka dipenuhi

a" dengan syarat a' " dan d' " 1

2aka ka" , berarti ka' " dan kd

' "

/adi ka 3

Sehingga 3 subruang dari ruang vektor 51

∈

∈ ∈

∈

∈

∈



'oal 4Misalkan + himpnan sema matrik $"$, berbentk dengan

syarat ad0. pakah + sb rang dari rang vektor matrik $"$

awab:

+ bkan sb rang dari matrik $"$, karena it dibthkan contoh

penyangkal.

d c

ba

U m ∈

−=

0$

*$1

U m ∈

−=

/

0$dan

U mm ∉

−=+

/*

2$$1 adi + bkan sb rang dari

matrik $ " $



Misalkan + himpnan sema solsi sistem persamaan linier

homogen , dengan berordo n"n dan tetap. %n!kkan

bahwa + sb rang #

n

.awab :

1. da vektor nol, 0, sehingga 0 0. adi, +3 .∅

$. mbil , berarti memenhi dan .

kan ditn!kkan bahwa

0= AX

U X X ∈$1, 01 = AX 0$ = AX

U X X ∈+$1 berar

ti

0)($1

=+ X X A

$1$1 )( AX AX X X A +=+ 4 sifat distributif perkalian matrik}

000)( $1 =+=+ X X A 4karena dan }01 = AX 0$ = AX

adi, U X X ∈+ $1

'oal 5



*. mbil, berarti memenhi . kan ditn!kkan

, berarti

.

{sifat asosiatif perkalian matrik}

{karena }

adi,

∴+ sb rang dari rang vektor # n.

U X ∈1 01 = AX

U kX ∈1

0)( 1 =kX A

)()( 11 AX k kX A =

00)( 1 == k kX A 01 = AX

U kX ∈1

sub-ruang hhtff8trrrvuhgg yythh u ui iub i yyy yyo8p 7y 79u yoiky

Documents