makalah mekanika statistik

7/24/2019 MAKALAH MEKANIKA STATISTIK

1/35

PERSAMAAN KEADAAN STATISTIK FERMI-DIRAC

DAN BOSE-EINSTEIN

Makalah ini dibuat guna memenuhi Mata Kuliah Mekanika Statistik

Dsen ! D"# Siti Nu"ul Khtimah

KE$OMPOK % !

N&R FAI'IN ()*)%+*+,

RIA D.I I'A/0ANTI ()*)%+**1

A&RISTA MIFTA/AT&$ I ()*)%+**2

PRO3RAM ST&DI PASCASAR4ANA FISIKA

FAK&$TAS MATEMATIKA DAN I$M& PEN3ETA/&AN A$AM

INSTIT&T TEKNO$O3I BAND&N3

)*%5


2/35

I# PENDA/&$&AN

Ditinjau secara Kuantum, statistika dibagi menjadi dua yaitu statistika Bose Einstein

dan Statistika Fermi Dirac, salah satu perbedaan dari keduanya adalah pemenuhan larangan

pauli, dimana Bose einstein tidak memenuhi kaidah larangan pauli, sedangkan fermi dirac

memenuhi larangan pauli.Sebelum kita membahas tentang persamaan keadaan pada Sistem

fermi dan bose einsten, alangkah baiknya kita membahas terlebih dahulu tentang perbedaan

utama fermi dirac dan bose einstein secara umum.

I#% Statistika Fe"mi Di"a6

Fermion memenuhi prinsip eksklusi Pauli dan juga sesuai dengan statistik Fermi

Dirac.eori spin!statistik menyatakan bah"a fermion mempunyai spin yang berupa separuh

bilangan bulat. Salah satu cara untuk menggambarkan spin ini ialah bah"a partikel dengan

spin #$% , seperti fermion, harus diputar oleh dua rotasi penuh untuk mengembalikan mereka

ke keadaan semula. &ontoh!contoh fermion antara lain' elektron, proton, dan neutron. Karena

masing!masing keadaan kuantum hanya dapat dihuni paling banyak oleh satu elektron (adi,

untuk memberikan jumlah dari tingkat energi )Surungan, %*##+.

banyaknya cara menempati tingkat!tingkat energi ini adalah

( )

#iii

is

ik

NgN

gW

==

...)#+

Dengan mengumpamakan maka kita -enggunakan

Pendekatan Sterling, kita dapat menghitung Entropi dari fermion.

Entropi dari fermion


3/35

...)%+

Fungsi partisi dari Fermi Dirrac

Fungsi partisi dari grand kanonik sendiri adalah

( ) ( )

==

*

,,,N

NN TVzTVzQ

... )+

dengan ,

( )

=n

n

nNi

ii

egTV

,

maka

( )

=

=

*

,,N n

n

n

N iii

egzTVzQ

Bila=

=

i

i

n

nN

untukFermig +)#

( ) ( )

+

=*

,,N n

n

ii

iizeTVzQ

Dengan fungsi fugasikTez

=

Sehingga Di dapat

( ) ( ) ( ) =* #

##

**,,

n n

nnzezeTVzQ

( ) ( )

=

n

n

i

izeTVzQ

,,

/anya, oleh karena prinsip ekslusi pauli

Sehingga

( ) ( izeTVzQi

+= #,, ...)0+


4/35

Banyaknya jumlah partikel dalam sistem,

-aka distribusi fermi diract untuk fermion adalah

...)1+

I#) Statistik Bse-Einstein

Penamaan statistik Bose!Einstein berhubungan dengan kenyataan bah"a partikel yang

ditinjau adalah partikel boson, yaitu yang memiliki momen magnetik intrisik )spin+ bulat.Partikel jenis ini tidak diatur oleh larangan Pauli sehingga dapat berada pada tingkat energi

yang samadengan yang lainnya. Boson dapat berupa partikel elementer, contohnya foton,

gluon dan partikel hipotetik /iggs boson2 dapat pula berupa komposit seperti meson dan

atom!atom bahkan molekul2 bergantung pada jumlahan spin!nya, apakah bulat atau pecahan

)Surungan, %*##+

banyaknya cara menempati tingkat!tingkat energi ini adalah

( )

( )#

#

# +

==

ii

iis

ik

gN

NgW

Dengan perlakuan sama pada statistik fermi dirac maka didapat untuk entropi dari Bose

Einstein adalah

Entropi Bose! einstein

= i ii

ii

i

i g

N

gN

g

NkS #ln#ln...)3+

...(6+


5/35

Fungsi Partisi

Dalam peninjauan fungsi partisi dari masing masing statistik , fungsi partisi dari fungsi

partisi kanonik lengkap yaitu '

Kita dapat menulis ulang persamaan fungsi partisi pada persamaan )+ adalah

( ) ( )

=

=*

,,,N

N

N TVzTVzQ

dengan

( )

=n

n

nNi

ii

egTV

,

maka

( )

=

=

*

,,

N n

n

n

N iii

egzTVzQ

Bila=

=

i

i

n

nN

untukBoseg +)#

-aka

( ) ( )

+

=*

,,N n

n

ii

iizeTVzQ

Dengan fungsi fugasi

kTez

=

Sehingga Di dapat

( ) ( ) ( ) =* #

##

**,,

n n

nnzezeTVzQ

( ) ( )

=

n

n

i

izeTVzQ

,,

Sehingga Fungsi partis dari Bose Einstein

...)4+

Banyaknya jumlah partikel dalam sistem,


6/35

-aka distribusi Bose! einstein 5ntuk Boson adalah

...)6+

Pada sistem boson tidak ada batas dalam mengisi jumlah pada masing!masing le7el anda

positif dan negatif pada persamaan inilah yang menyebabkan perbedaan antara kedua

distribusi ini. Di mana bah"a dalam distribusi Fermi!Dirac terbukti bah"a peluang elektron

menempati suatu keadaan adalah antara * dan #, karena dibatasi oleh pembagi 8#. keadaan

atau tidak memenuhi eksklusi Pauli.

I#, 3as Ideal Da"i Fe"mi Di"a6

Persamaan keadaan pada umumnya didapat dengan persamaan

...)#*+

Dengan fungsi partisi yang ditunjukkan persamaan )0+

( ) ( izeTVzQi

+= #,,

-aka

...)##+

Serta jumlah keadaan dapat ketahui adalah pada persamaan )1+


7/35

Serta kerapatan dari keadaan adalah

... )#%+

Dengan mengganti sigma menjadi integral maka didapat

dan

dengan Serta

Dengan menggunakan fungsi Fermi Dirac yaitu

-aka didapat bentuk seperti pada persamaan )#0+ diba"ah ini

Dengan mkT

h

%=

I#+ Pe"samaan Keadaan 3as Ideal Bse Einstein

...)#+

...)#0+


8/35

Persamaan keadaan pada umumnya didapat dengan persamaan )##+, caranya sama denga

fermi dirac

Dengan( ) izeTVzQ

i

= #,,

-aka

...)#1+

Serta jumlah keadaan dapat ketahui adalah

Serta kerapatan dari keadaan adalah

Dengan mengganti sigma menjadi integral maka didapat

Dan 8

Dengan

...)#9+


9/35

Dengan menggunakan fungsi Bose einstein yaitu

-aka didapat bentuk seperti diba"ah ini

Dengan mkT

h

%=

dan

II# PERSAMAAN KEADAAN 3AS FERMI IDEA$

5ntuk melihat salah satu aplikasi mekanika statistik maka akan dibahas gas fermi

ideal. :as fermi ideal adalah kumpulan fermion bebas )/uang,#643+. ;dapun ungkapan dari

persamaan keadaan dari fermion adalah sebagai berikut,

5ngkapan fungsi grand partisi untuk fermion, yaitu

< )#+

Dengan, < )%+

fungsi grand partisi dapat juga ditulis dalam bentuk

< )+

sehingga,

...)#3+


10/35

< )0+

5ntuk menentukan secara eksplisi fungsi grand partisi pada persamaan )0+ kitamengganti tanda penjumlahan dengan integral terhadap 7ariable momentum. 5ntuk maksud

tersebut, terlebih dahulu kita ubah ungkapan diskrit menjadi kontinu sebagai berikut,

< )1+

Dengan menggunakan )1+ maka )0+ menjadi,

< )9+

(umlah rata!rata sistem

< )3+

kita dapat menulis,

< )4+

Dengan demikian, jumlah rata!rata system dapat ditulis sebagai,


11/35

< )6+

Dari semua penjelasan di atas dapat dituliskan dua persamaan utama, yaitu

< )#*+

;gar lebih sederhana, didefinisikan panjang gelombang termal sebagai berikut,

< )##+

Dengan definisi )##+ maka persamaan )#*+ dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana

sebagai berikut,


12/35

< )#%+

di mana,

< )#+

< )#0+

5ntuk = yang sangat kecil maka pada persamaan )#0+ dapat diuraikan dalam

deret taylor disekitar = > *, 5raian tersebut adalah,

< )#1+

Sebaliknya, pendekatan untuk = yang besar dilakukan proses berikut,di definisikan

, karena maka,

< )#9+


13/35

Dengan demikian dapat ditulis sebagai,

< )#3+

Selanjutnya dengan mengganti 7ariabel sehingga dan

, dengan demikian persamaan )#3+ mengambi bentuk,

< )#4+

5ntuk menyelesaikan integral pada persamaan )#4+ secara parsial dan diperoleh,

< )#6+

Suku pertama di ruas kanan persamaan )#6+ adalah nol sehingga,

< )%*+

Selanjutnya kita uraikan dalam deret taylor disekitar dan didapat,

< )%#+

Dengan demikian


14/35

< )%%+

< )%+

a# Suhu tinggi dan ke"a7atan 8e"min "endah

Pada suhu tinggi laju partikel sangat besar sehingga panjang gelombang de Broglie

sangat kecil. Pada kerapatan rendah jarak antar partikel sangat besar sehingga 7olum yang

ditempati per partikel besar. ;kibatnya pada kondisi suhu tinggi dan kerapatan fermion

rendah terpenuhi,

< )%0+

etapi sehingga pada kondisi ini menuju * yang

menandakan = menuju *. Dengan demikian, berdasarkan persamaan )%+, dapat dilakukan

aproksimasi menuju pada = menuju *, yaitu

< )%1+

atau

< )%9+

5ntuk mencari = dilakukan operasi rekursif sebagai berikut. Dari persamaan di atas,

< )%3+


15/35

Pendekatan pertama untuk = adalah hanya mengambil suku pertama saja, yaitu

?ilai disubstitusikan pada = dalam persamaan )%3+ untuk mendapatakan

pendekatan yang lebih teliti untuk =, yaitu

< )%4+

Selanjutnya kita mendapat kan jumlah rata!rata system pada keadaan energi ke!i , yaitu

< )%6+

-engingat dan ketika @ A terjadi , maka

< )*+

yang merupakan distribusi -a"ell!Boltmann )partikel klasik+. Cni berarti pada suhu tinggi

dan kerapatan rendah fermion berperilaku sebagai partikel klasik. Ketika membahas fermion

pada suhu tinggi dan kerapatan rendah sebenarnya kita dapat langsung menggunakan statsitik

klasik, yaitu -a"ell !Bolt=mann, untuk menghindari kerumitan statistik Fermi!dirac.

Persamaan keadaan dapat diperoleh sebagai berikut,


16/35

< )#+

;tau

< )%+

Suku kedua di sebalah kanan sangat kecil sehingga praktis yang merupakan

persamaan keadaan gas ideal klasik

b# Suhu "endah dan ke"a7atan 8e"min tinggi

5ntuk kondisi ini berlaku sehingga dapat digunakan aproksimasi

< )%+

;mbil satu suku diruas kanan sebagai aproksimasi dan samakan dengan sehingga,

atau


17/35

< )+

-engingat maka,

< )0+

etapi sehingga,

atau

< )1+

(umlah sistem yang menempati keadaan energy ke!i adalah

< )9+

(ika maka ketika atau terjadi ,

sebaliknya jika maka ketika atau terjadi

.


18/35

II#% AP$IKASI SISTEM 3AS FERMI IDEA$ PADA BINTAN3 KATAI P&TI/

Bintang katai putih adalah bintang yang sudah kehabisan bahan bakar hydrogen .

idak ada reaksi fusi lebih lanjut. -ateri penyusun bintang hanyalah helium. Sumber energi

bintang semata!mata karena energi gra7itasi yang berasal dari kontraksi bintang secara

perlahan !lahan. Energi yang dipancarkan sangat sedikit sehingga bintang tampak putih

remang !remang. &ontoh bintang ini adalah pengiring Sirius. Binatng ini tidak tampak oleh

mata karena terlalu redup tetapi secara periodik menutup Sirius. Bintang ini dan Sirius

berotasi mengelilingi pusat massa keduanya.

Perkiraan besaran!besaran fisis bintang katai putih adalah

Kerapatan kg$m

-assa kg

Suhu pusat K

Suhu sebesar K berkaitan dengan energi sebesar

. Pada suhu ini semua atom

helium terionisasi. Bintang katai putih dapat dipandang sebagai kumpulan inti helium dan

electron!elektron yang berberak bebas.

Berdasarkan data kerapatan bintang kita dapat memperkirakan jumlah atom helium

per satuan 7olum. -assa atom helium adalah

(umlah atom helium per satuan 7olum adalah

Satu atom helium menyumbang dua electron. Dengan demikian, kerapatan electron adalah


19/35

Kerapatan ini melahirkan energi fermi sebesar

ampak bah"a energi termal. Dengan demikian dapat dikatakan bah"a dalam

bintang katai putih, electron menempati tingkat!tingkat energi paling dasar, jauh di ba"ah

energi fermi. Keadaan ini sangat mirip dengan assembli electron yang berada pada suhu

mendekati nol. (adi meskipun suhu bintang katai putih sangat tinggi, tetapi kerapatan yang

luar biasa tinggi menyebabkan energi fermi sangat besar. Energi yang dimiliki electron

sangat jauh di ba"ah energi fermi. Dari sifat ini kita dapat lakukan idealisasi sebagai berikut,

a. Bintang katai putih adalah assembli ? elektron pada keadaan dasar dengan kerapatan

sangat tinggi sehingga dinamika electron harus dijelaskan secara relati7istic.

b. Elektron bergerak dalam background ?$% buah inti helium yang melakukan gaya

gra7itasi sehingga seluruh system menyatu membentuk binatng.

;da tiga mekanisme yang harus diperhitungkan secara bersama pada bintang katai putih,

yaitu,

a. ekanan electron akibat ekslusi Pauli

b. /ukum gra7itasi

c. Dinamika relati7istic

Energi total relati7istic yang dimiliki electron adalah

Energi assembli gas fermi pada keadaan dasar adalah


20/35

Faktor % dimasukkan karena tiap tingkat energi ditepati dua electron dengan arah spin

berla"anan. Penjumlahan dia atas dapat diganti dengan integral dengan terlebih dahulu

melakukan transformasi sebagai berikut

(adi,

5ntuk menyelesaikan integral diatas dimisalkan

Dengan pemisalan diatas maka persamaan menjadi,

Energi rata!rata yang dimiliki tiap electron adalah


21/35

dengan

Dengan,

-isalkan massa total bintang - dan jari!jarinya maka

Karena dan maka

;tau

Dengan


22/35

ekanan yang dilakukan oleh gas Fermi adalah

Dengan

(adi didapatkan,

5ntuk kasus nonrelati7istic


23/35

5ntuk kasus relati7istic

Dengan

Plot Posebagai fungsi untuk kondisi nonrelati7istk dan relat7isitik tampak pada gambar

berikut,


24/35

:ambar #. Kebergantungan tekanan pada jari !jari bintang untuk kasus relati7istik dan

nonrelati7istik

III# STATISTIK BOSE-EINSTEIN (B-E

III#% Pe"samaan Keadaan B-E

Berangkat dari persamaan keadaan Bose!Einstein yaitu

( ) =p

pzekT

PV #ln

)#+

dan


25/35

=

=p

p

p

ze

zeQ

zzN

#ln

)%+

dengan > kT

#

, kadalah konstanta Blot=mann dan padalah energi setiap partikel

yang memiliki momentump. 5ntuk gas ideal B!E, persamaan # dan % berbeda saatz@

#, hal ini berkaitan dengan 7 > *. Dengan mengganti bentuk penjumlahan menjadi

bentuk integral diperoleh persamaan keadaan untuk gas ideal B!E yaitu,

( ) ( )

=*

%$%

. #ln

##ln

0 %z

Vdpzep

hkT

P mp

)a+

( )

+

=

*%$#

%

.#

#

#

0#%

z

z

Vez

dpp

h mp

)b+

dimana > V$N. Di sini diperkenalkan fungsi B!E yaitu,

( ) ( )

=

==* #

%$1

%

%$1

%

#ln0

l

lx

l

zdxzexzg

)0a+

( ) ( )

=

=

=#

%$.%$1%$.

l

l

l

zzg

zzzg

)0b+

dengan memanfaatkan fungsi B!E ini, persamaan keadaan di atas dapat dituliskan

menjadi

( )( )z

V

zg

kT

P= #ln

#.

%$1

)1a+( )

( )z

z

V

zg

+=

#

##.

%$.

)1b+

dimana> mkTh %$ . 5ntukz # persamaan keadaan B!E dapat ditulis( )

.

%$1

zg

kT

P=

)9a+

( ).

%$.#

zg=

. )9b+

Energi internal dari gas ideal B!E dituliskan

TQkTU

= ln%

)3+

dimana

kT

PVQ=ln

. )4+

Sehingga diperoleh energi internal gas ideal B!E yaitu

( ) PVzgVkT

U%

.

%

.%$1. ==

)6+

PVU

%

.=


26/35

Dari persamaan energi internal yang dituliskan pada persamaan 6, selanjutnya akan

dicari kapasitas kalor untuk gas ideal B!E. Sebelum diperoleh kapasitas kalor, terlebih

dahulu dibahas hubungan antara persamaan 9a dan 9b. Dari kombinasi kedua persamaan

tersebut diperoleh persamaan berikut,#

.

#

=

=

l

l

lV

N

NkT

PV

. )#*+

Bagian kanan dari persamaan #* disebut sebagai ekspansi 7irial dengan nilai lada!lah

Kapasitas kalor dapat didefinisikan sebagai

=Nk

PV

TNk

!V

%

.

. )##+

Sehingga diperoleh kapasitas kalor#

.

# %

.1

%

.

=

=

l

l

lV

V

N

l

Nk

!

atau dapat dituliskan dalam bentuk deret

+

+

+

+=

..

%..

***0,***99,**440,*#%

.

V

N

V

N

V

N

Nk

!V

)#%+

dimana> mkTh %$ , untuk T@ A kapasitas kalor pada persamaan #% akan menjadi

yaituNk!V

%

.=

. Kapasitas kalor untuk tinjauan kuantum akan menjadi klasik saat

temperatur sistem sangat besar.

III#) Kndensasi B-E

5ntuk mempelajari lebih detail tentang sifat!sifat persamaan keadaan B!E, kita harus

mencari fungsi Fugasi sebagai fungsi dari temperatur dan 7olume spesifik. Dengan

menggunakan persamaan 1b. 5ntuk menyelesaikan persamaan 1b terlebih dahulu kita

pelajari sifat!sifat dari persamaan B!E secara umum,

( )

=

=#l

n

l

nl

zzg

. )#+

ampak bah"a untuk nilai z dari * sampai #, memberikan nilai gn)z+ yang meningkat

secara positif. :rafik untukgn)z+ dengan nilaizdari * sampai # ditunjukkan pada gambar


27/35

#. ?ilai aproksimasi persamaan B!E saatz> # adalahgn)#+ > %,9#%. Selanjutnya dengan

mendefinisikan rata!rata bilangan okupasi untuk le7el partikel tunggal dengan

momentum 7> * yaitu

( )zzn = #$* )#0+

persamaan 1b dapat ditulis menjadi

( )zgV

n%$.

.*

.

=

)#1+

nilai V

n*.

harus bernilai positif maka

( )#%$..

g>

)#9+

persamaan #9 menunjukkan bah"a nilai harus berhingga. Fenomena ini disebut

sebagai Kondensasi Bose!Einstein.

:ambar #. :rafik antaragn)z+ denganz.

Selanjutnya kita akan melihat bah"a pada daerah ini, sistem dapat dinyatakan sebagai

gabungan dari dua fase termodinamika, fase pertama terdiri dari partikel!partikel yang

memiliki momentum 7 > *, fase yang kedua yaitu partikel!partikel yang memiliki

momentum 7 *. Saatz> # atau nilaign)#+ > %,9#% menunjukkan temperatur kritis T",

sehingga dapat didefinisikan

( )#%$..

g" = )#3+


28/35

atau

( )( ) .%

%$.

%

#

%

gmkT"

= )#4+

dimana > 7olume spesifik, m > massa partikel dan k> konstanta Bolt=mann. Dari

persamaan #3 dapat diperoleh 7olume kritis "saat temperaturnya Tyaitu

( )#%$.

.

g"

=

)#6+

dalam fungsi T"dan "daerah yang terjadi kondensasi adalah daerah dimana TT" atau

# ". Berikut ini grafik solusi untuk persamaan 1b,

:ambar %. :rafik hubungan antara G$H denganz

dan grafik antara fungsi Fugasizdengan H$Gditunjukkan pada gambar .

:ambar . :rafik fungsi Fugasi untuk gas ideal B!E

:rafik pada gambar % dan dipenuhi untuk 7olume Vyang berhingga. 5ntuk kasus V@

A kita peroleh,


29/35

( )

( ) ( )

=

=

#,

#,#

%$.

..

%$.

%$.

.

gzgkrkr

g

z

. )%*+

5ntuk( ) ( )#$ %$.

.g

, nilaizhanya dapat diperoleh dengan numerik.

Fungsi termodinamika yang lain untuk gas ideal Bose!Einstein ditunjukkan pada

persamaan %#, %%, %, %0, dan %1. Dengan mempertimbangkan temperatur kritis T"dan

7olume kritis " terhadap temperatur mutlak T dan 7olume spesifik diperoleh

persamaan!persamaan termodinamika berikut,

( )

( )

>=

""

""

tuTTgkT

tuTTzgkT

N

U

,#%.

,%

.

%$1.

%$1.

2 )%#+

( )

( )

>=

""

""

tuTTg

tuTTzzg

NkT

%

,#

,ln

%$1.

%$1.

2 )%%+

>

=""

""

tuTT

tuTTz

NkT

&

,*

,ln

2 )%+

( )

( )

>=

""

""

tuTTg

tuTTzzg

Nk

S

,#%

1

,ln%

1

%$1.

%$1.

2 )%0+

( ) ( )

( )

( )

>=

""

""

V

tuTTg

tuTTzg

zgzg

Nk

!

,#0

#1

,0

6

0

#1

%$1.

%$#

%$.

%$1.

. )%1+

Persamaan %# adalah persamaan Energi Cnternal gas ideal B!E, persamaan %% merupakan

Fungsi /elmholt= untuk gas ideal B!E, persamaan % merupakan Fungsi :ibbs untuk gas

ideal B!E, persamaan %0 adalah Entropi gas ideal B!E, dan persamaan %1 adalah

Kapasitas Kalor untuk gas ideal B!E.

III#, Ftn

&ahaya merupakan salah satu contoh dari gelombang elektromagnetik. Dalam teori

kuantum foton dihasilkan dari medan elektromagnetik. Setiap foton memiliki energi

yaitu '( dan momentum ', dimana ) > 99 : ($". Sesuai dengan konsekuensi

trans7ersalitas gelombang yang merupakan salah satu sifat dari gelombang

elektromagnetik, foton hanya memiliki dua 7ektor polarisasi . Dengan mengambil kasus


30/35

gelombang elektromagnetik yang berada pada kubus dengan 7olume V>*, didapatkan

nilai untuk yaitu,

: *

%

n. )%9+

dimana n adalah komponen 7ektor yang bernilai *, I #, I %, I ,... . Dari nilai pada

persamaan %9, maka dapat jumlah momentum yang dibolehkan antara )dan )8 d)dapat

dirumuskan sebagai berikut,

( )( )

d

Vd+

%

.%

0=

. )%3+

Selama atom dapat mengemisi dan mengabsorbsi foton, maka jumlah kuantitas foton

tidak tetap.

Energi total untuk foton sejumlah n,dengan momentum propagasi dan polarisasi

adalah( ) =

,

,, nn,

, )%4+

dimana J > c dan n,: *, #, %, ,... . Dalam ruang 7akum, foton tidak tampak, hal ini

akan mengakibatkan nilai potensial kimia dari foton adalah *. Sehingga fungsi partisi

dari foton dapat dituliskan,

= e

Q#

#

,, )%6+

dengan> #$kTdan (> c , jika persamaan %6 ditulis dalam logaritmik menjadi

( = eQ #ln%ln

. )*+

Sedangkan rata!rata bilangan okupasi untuk foton adalah( )( ) #

%ln#

=

= e

Qn

, )#+

faktor % menunjukkan dua kemungkinan polarisasi dari foton. Energi internal foton U

didefinisikan sebagai,

( )

=

QU

ln

, )%+

maka diperoleh

=

nU . )+

ekanan dapat diperoleh dengan mengubah terlebih dahulu fungsi Q)J,T+ menjadi

Q)V,T+, sehingga fungsi partisinya dapat ditulis,

( ) =

n

nV"eQ.$#

%#ln%ln

, )0+

dengan definisi tekanan( )

V

QP

= ln#

, )1+diperoleh


31/35

UPV

nV

P

.

#

.

#

=

=

. )9+

Sekarang kita menghitung energi internal U untuk seluruh ruang, dengan

memanfaatkan persamaan %3 dan mengganti bentuk penjumlahan menjadi integral pada

persamaan , maka

( ) ( ) ( )

=

=

*

.

*

.%

.

.##%

4

e

d

"

V

e

d"VU

"

. )3+

Sehingga diperoleh energi internal per satuan 7olume yaitu

( )

=*

, dTuV

U

, )4+

dimana u)(,T+ adalah fungsi radiasi Planck dengan bentuk

( )( )#

,.%

.

=

e"Tu

, )6+

dengan menghitung bentuk integral pada persamaan 4, diperoleh hasil

( )

( ).

0%

#1 "

kT

V

U

=. )0*+

Selanjutnya diperoleh kapasitas kalor per satuan 7olume yaitu

( )..0%

#1

0

"

Tk"V

=

. )0#+Dari hasil ini terlihat bah"a kapasitas kalor !V L T.

Cntensitas foton adalah jumlah energi foton yang menembus suatu permukaan per

satuan "aktu. Cntensitas foton dapat dirumuskan sebagai berikut,

( ) ( )

( )#00,

,%%

.

==

e"

Tu"T-

, )0%+

jika kita plotkan intensitas foton sebagai fungsi dari frekuensi dengan temperatur yang

berbeda!beda maka diperoleh grafik seperti yang ditunjukkan pada gambar 0.

:ambar 0. :rafik hukum adiasi Planck

:rafik pada gambar 0 menunjukkan bah"a bila temperatur benda berbeda!beda maka

akan menghasilkan frekuensi intensitas maksimum yang berbeda!beda pula. Selanjutnya


32/35

dengan mengintegralkan persamaan 0% untuk seluruh nilai frekuensi, maka diperoleh

intensitas foton sebagai fungsi dari temperatur.

( ) ( )( ) ( )

==

*

.

%

* #%

,

d

e"dT-T-

diperoleh

( )( )

0

.

0%

9*T

"

kT-

=

. )0+

dimana( )

=

.

0%

9* "

k

, konstanta .disebut sebagai konstanta Stefan!Bolt=mann.

III#+ Fnn

Fonon merupakan kuantitas gelombang bunyi dalam bentuk makroskopis. Bahasantentang fonon biasanya pada =at padat. Dalam =at padat kecepatan fonon " tidak

bergantung pada 7ektor polarisasi. Sehingga kita dapat mengabaikan faktor polarisasi

pada fonon. (ika suatu =at padat memiliki Nbuah atom, maka fonon akan memiliki N

mode normal. (umlah mode normal pada fonon dengan frekuensi antara (dan (8 d(

dapat dituliskan

( )

d

"d+

.%

%

%

.=

. )00+

(ika persamaan 00 kita integralkan sampai nilai frekuensi maksimum (mmaka diperoleh

( ) =m

Nd+

*

.

. )01+

?ilai N ini merupakan jumlah maksimum mode gelombang fonon. Sehingga energi

total dari fonon dapat ditulis

( ) =

=N

i

ii nn,.

#

. )09+

Sehingga fungsi partisinya menjadi

( ) #.

##

== eQ

N

i , )03+

jika ditulis dalam logaritmik


33/35

( )=

=N

i

ieQ.

#

#lnln

. )04+

Sedangkan energi internal fonon adalah

=

=

=

N

i

i

ie

QU

.

# #

ln

. )06+

Selanjutnya dengan memanfaatkan persamaan 00, kita hitung energi internal fonon

untuk seluruh ruang

( ) =m

e

d

"

VU

*

.

.% #%

.

, )1*+

dengan memisalkan t= maka persamaan 1* menjadi

( )

( ) ( ) =

*

.

.

0

#

6te

dttkT

N

U

, )1#+

dimana kT$#= . Persamaan 1# mirip dengan fungsi Debye seperti berikut

( )( ) ( ) =

x

te

dtt

xx/

*

.

.#

.

, )1%+

jika ditulis dalam bentuk deret

( )( )

( ) ( )

>>+


34/35

( )

( )

( )

>

+

+

==

/T

T

/

///

TTe

T

TkT

TTT

T

T

TkT

kT/N

U

/

,

1

.

,%*

#

4

.#.

..

0

%

, )11+

dimana T

T/. Sedangkan kapasitas kalor untuk fonon adalah

dTdU!V $= , )19+

diperoleh

( ) ( )

( )

=+=

#

.0...

e/

dT

d/T/

Nk

!V

, )13+

atau dalam bentuk deret

( )

( )

+

=

/T

T

/

//

V

TTeTT

TTT

T

Nk

!

/

,1

#%

,%*

##.

.0

%

. )14+

(ika persamaan 14 diplotkan akan diperoleh grafik seperti yang ditunjukkan pada gambar

1 berikut ini

:ambar 1. :rafik kapasitas kalor fonon terhadap temperatur.

:rafik pada gambar 1 menunjukkan bah"a kapasitas kalor fonon sebanding dengan T

jika TT/, hal ini akan memberikan konsekuensi untuk TT/, kapasitas kalor fonon

akan menuju nol. Sedangkan untuk TMMT/, kapasitas kalor fonon akan N Nk, hal ini


35/35

menunjukkan bah"a untuk temperatur fonon yang sangat tinggi maka nilai kapasitas

kalornya akan menuju statistik klasik.

Re8e"ensi !

/uang, K. )#643+. Sttisti"l0e"hni"s, %nd ed. )(ohnOiley, ?e" ork+

Pathria, .K. Q Beale, P.D. )%*##+. Sttisti"l 0e"hni"s, rd ed. )Butter"orth

/einemann+

Surungan,asrief1 /iktt 2ulih Fisik Sttistik. 5ni7ersitas /asanudin.

makalah mekanika statistik

Documents