makalah statistik b-e & f-d revisi 02-05-15 jadi

7/24/2019 Makalah Statistik B-e & F-d Revisi 02-05-15 Jadi

1/30

I. PENDAHULUAN

Ditinjau secara Kuantum, statistika dibagi menjadi dua yaitu Statistika Fermi-Dirac

dan Bose-Einstein, salah satu perbedaan dari keduanya adalah pemenuhan Larangan Pauli,

dimana Bose-Einstein tidak memenuhi kaidah larangan pauli, sedangkan Fermi-Dirac

memenuhi Larangan Pauli Kita perkenalkan !ungsi distribusi Fermi-Dirac dan Bose-Einsten

yaitu,

( )"e#p

"

+

+

=

kT

f

$F-D% dan

( )"e#p

"

+

=

kT

f

$B-E%

dimana kadalah konstanta Bolt&mann, T adalah temperatur, adalah energi, dan adalah

potensial kimia

I.1 Statistika Fermi-Dirac (F-D)

Statistik Fermi-Dirac memenuhi prinsip Larangan Pauli hal ini berhubungan dengan

teori spin-statistik yang menyatakan bah'a partikel !ermion mempunyai spin separuh

bilangan bulat (ontoh-contoh partikel !ermion antara lain) elektron, proton, dan neutron

Karena masing-masing keadaan kuantum hanya dapat ditempati paling banyak satu elektron

Dari pernyataan ini maka diperoleh peluang termodinamikanya yaitu

( )***

"iii

is

iDF

NgN

gW

==

. $"%

dimana,Ni=Jumlah partikel yangmengisi padatingkat kei

WFD=Peluang Keadaan Makrountuk FermiDirac

S=Banyaknyatingkat keadaan

Selanjutnya untuk memperoleh Entropi, kita ambil nilaigi danNi1 Dengan

menggunakan pendekatan Stirling, kita peroleh Entropi dari Fermion yaitu,

S=klnWk=k $+%

Penjelasan Slide dan


2/30

Karena kita anggap sistem terjadi !luktuasi jumlah partikel maka untuk memperoleh Fungsi

Partisi .rand Kanonik perlu ditambahkanzN, maka dapat ditulis

( ) ( )

=

=/

,,,N

N

N TVzTVzQ

$%

dengan

( )

=n

n

nNi

ii

egTV

,

, maka

( )

=

=

/

,,N n

n

n

N iii

egzTVzQ

untuk Fermi-Dirac,gn0 " dan mende!inisikan

=i

inN

, maka diperoleh

( ) ( )

+

=/

,,N n

n

ii

iizeTVzQ

dimanazadalah Fungsi Fugasi yaitukTez

= 1ika diekspansikan dapat dituliskan,

( ) ( ) ( ) =/ "

""

//,,

n n

nn

zezeTVzQ

Sehingga diperoleh

( ) ( )

=

n

n

i

izeTVzQ

,,

$a%

Karena statistik Fermi-Dirac memenuhi Ekslusi Pauli, dimana n hanya bernilai / dan "

Sehingga diperoleh

( ) ( )izeTVzQi

+= ",,

$b%

1ika ditulis dalam logaritmik

Penjelasan Slide 2 dan 3

Penjelasan Slide 4


3/30

( +=i

izeQ "lnln

$c%

I.2 Statistik Bose-Einstein (B-E)

Penamaan Statistik Bose-Einstein berhubungan dengan kenyataan bah'a partikel

yang ditinjau adalah partikel boson, yaitu yang memiliki momen magnetik intrinsik $spin%

bulat Partikel jenis ini tidak diatur oleh Larangan Pauli, sehingga setiap partikel dapat berada

pada tingkat energi yang sama (ontoh dari partikel Boson adalah !oton dan !onon Karena

Statistik Bose-Einstein tidak memenuhi Larangan Pauli maka peluang termodinamikanya

dapat ditulis,

( )( )*"*

*"

" +=

=ii

iis

iEB

gN

NgW

$2%

denganNi0 jumlah partikel yang mengisi pada tingkat ke-i

5B-E0 peluang keadaan makro untuk statistik Bose-Einstein

S 0 banyaknya tingkat keadaan

Sebagaimana pada Statistik F-D, dalam Statistik B-E juga mengambil nilai gi , Ni66 " dan

menggunakan aproksimasi Stirling, diperoleh Entropi untuk Statistik B-E yaitu,

=

i i

ii

i

ii

g

Ng

N

gNkS "ln"ln

$3%

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan a dapat diperoleh !ungsi partisi grand kanonik

untuk B-E Karena statistik B-E tidak memenuhi Larangan Pauli, maka nilai ndapat bernilai

/, ", +, , dst Sehingga persamaan a dapat ditulis,

( ) ( ) ( ) ( ) ++++= +"",, iii zezezeTVzQi

$7%

dimana

kTez

= Selanjutnya dengan menggunakan deret Polinomial yang berbentuk,

Penjelasan Slide 7


4/30

++++=

+"

"

"xxx

x

8aka !ungsi partisi untuk Bose-Einstein dapat dituliskan,

( ) ( ) "",, = izeTVzQi

$4a%

1ika ditulis dalam bentuk logaritmik

( =i

izeQ

"lnln

$4b%

9erlihat bah'a statistik B-E dan F-D memiliki bentuk !ungsi partisi yang berbeda

Perbedaan ini timbul karena adanya kaedah Larangan Pauli Larangan Pauli menyebutkan

bah'a tidak boleh ada dua atau lebih partikel yang menempati tingkat energi yang sama Dari

kedua statistik ini yaitu B-E dan F-D, statistik F-D memenuhi larangan Pauli sedangkan

statistik B-E tidak memenuhi larangan Pauli

II. PERSAAAN !EADAAN "AS IDEAL FERI

:ntuk melihat salah satu aplikasi mekanika statistik maka akan dibahas gas ideal

!ermi .as ideal !ermi adalah kumpulan !ermion bebas ;dapun ungkapan dari persamaan

keadaan dari !ermion adalah sebagai berikut,

:ngkapan !ungsi grand partisi untuk !ermion, yaitu

( ) ( izeTVzQi

+= ",,

< $"%

!ungsi grand partisi dapat juga ditulis dalam bentuk

kTPV

G eQZ ===

< $+%

sehingga,

< $%

Penjelasan Slide >>>


5/30

:ntuk menentukan secara eksplisi !ungsi grand partisi pada persamaan $% kita

mengganti tanda penjumlahan dengan integral terhadap ?ariable momentum :ntuk maksud

tersebut, terlebih dahulu kita ubah ungkapan diskrit menjadi kontinu sebagai berikut,

< $%

Dengan menggunakan $% maka $% menjadi,

< $2%

1umlah rata-rata sistem

< $3%

kita dapat menulis,

< $7%

Dengan demikian, jumlah rata-rata system dapat ditulis sebagai,


6/30

< $4%

Dari semua penjelasan di atas dapat dituliskan dua persamaan utama, yaitu

< $@%

;gar lebih sederhana, dide!inisikan panjang gelombang termal sebagai berikut,

< $"/%

Dengan de!inisi $"/% maka persamaan $@% dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana

sebagai berikut,

< $""%

di mana,


7/30

< $"+%

< $"%

:ntuk & yang sangat kecil makaf3 /2(z ) pada persamaan $"% dapat diuraikan dalam deret

taylor disekitar & 0 /, :raian tersebut adalah,

< $"%

Sebaliknya, pendekatan untuk & yang besar dilakukan proses berikut,di de!inisikan

= /k! , karena =( " #" N)$ %! maka,

< $"2%

Dengan demikianf3 /2(z ) dapat ditulis sebagai,

< $"3%

Selanjutnya dengan mengganti ?ariabel &2=y sehingga &=y dan &=

1

2y1/2

dy ,

dengan demikian persamaan $"3% mengambi bentuk,


8/30

< $"7%

:ntuk menyelesaikan integral pada persamaan $"7% secara parsial dan diperoleh,

< $"4%

Suku pertama di ruas kanan persamaan $"4% adalah nol sehingga,

< $"@%

Selanjutnya kita uraikan y3/2

dalam deret taylor disekitar dan didapat,

< $+/%

Dengan demikian

< $+"%

< $++%

a. S#$# tin%%i &an kera'atan ermion ren&a$

Pada suhu tinggi laju partikel sangat besar sehingga panjang gelombang de Broglie

sangat kecil Pada kerapatan rendah jarak antar partikel sangat besar sehingga ?olum yang


9/30

ditempati per partikel besar ;kibatnya pada kondisi suhu tinggi dan kerapatan !ermion

rendah terpenuhi,

< $+%

9etapi'

3

=f

3 /2(z ) sehingga pada kondisi ini f3 /2(z ) menuju / yang menandakan &

menuju / Dengan demikian, berdasarkan persamaan $++%, dapat dilakukan aproksimasi

f3 /2(z ) menuju pada & menuju /, yaitu

< $+%

atau

< $+2%

:ntuk mencari & dilakukan operasi rekursi! sebagai berikut Dari persamaan di atas,

< $+3%

Pendekatan pertama untuk & adalah hanya mengambil suku pertama saja, yaitu

Ailaiz

1 disubstitusikan pada & dalam persamaan $+3% untuk mendapatakan

pendekatan yang lebih teliti untuk &, yaitu

< $+7%

Selanjutnya kita mendapat kan jumlah rata-rata system pada keadaan energi ke-i , yaitu


10/30

< $+4%

8engingat (=1/k! dan ketika 9 C terjadi ze( i1 , maka

< $+@%

yang merupakan distribusi 8a#'ell-Boltmann $partikel klasik% ni berarti pada suhu tinggi

dan kerapatan rendah !ermion berperilaku sebagai partikel klasik Ketika membahas !ermion

pada suhu tinggi dan kerapatan rendah sebenarnya kita dapat langsung menggunakan statsitik

klasik, yaitu 8a#'ell -Bolt&mann, untuk menghindari kerumitan statistik Fermi-dirac

Persamaan keadaan dapat diperoleh sebagai berikut,

< $/%

;tau

< $"%

Suku kedua di sebalah kanan sangat kecil sehingga praktisP$

k! )1

yang merupakan

persamaan keadaan gas ideal klasik


11/30

. S#$# ren&a$ &an kera'atan ermion tin%%i

:ntuk kondisi ini berlaku '3/ 1 sehingga dapat digunakan aproksimasi

< $+%

;mbil satu suku diruas kanan sebagai aproksimasi dan samakan dengan '3/ sehingga,

atau

< $%

8engingat z * e( F

maka,

< $%

9etapi'=(2 +mk!)

1/2

sehingga,

atau

< $2%

1umlah sistem yang menempati keadaan energy ke-i adalah

< $3%


12/30

1ika,i,F maka ketika ! -0 atau ( - . terjadi ni )0

II.1 APLI!ASI SIS*E "AS IDEAL FERI PADA BIN*AN" !A*AI PU*IH

Bintang katai putih adalah bintang yang sudah kehabisan bahan bakar hydrogen

9idak ada reaksi !usi lebih lanjut 8ateri penyusun bintang hanyalah helium Sumber energi

bintang semata-mata karena energi gra?itasi yang berasal dari kontraksi bintang secara

perlahan -lahan Energi yang dipancarkan sangat sedikit sehingga bintang tampak putih

remang -remang (ontoh bintang ini adalah pengiring Sirius Binatng ini tidak tampak olehmata karena terlalu redup tetapi secara periodik menutup Sirius Bintang ini dan Sirius

berotasi mengelilingi pusat massa keduanya

Perkiraan besaran-besaran !isis bintang katai putih adalah

Kerapatan )1010

kg=m )1010

/M

8assa )1030

kg) MM

Suhu pusat )107

K) !M

Suhu sebesar 107

K berkaitan dengan energi sebesar k! )1,3&1016

J )103

e$

Pada suhu ini semua atom helium terionisasi Bintang katai putih dapat dipandang sebagai

kumpulan inti helium dan electron-elektron yang berberak bebas

Berdasarkan data kerapatan bintang kita dapat memperkirakan jumlah atom helium

per satuan ?olum 8assa atom helium adalah 4& (1,67&1027

kg ))6& 1027 kg 0 1umlah

atom helium per satuan ?olum adalah

Satu atom helium menyumbang dua electron Dengan demikian, kerapatan electron adalah


13/30

Kerapatan ini melahirkan energi !ermi sebesar

9ampak bah'aF energi termal Dengan demikian dapat dikatakan bah'a dalam

bintang katai putih, electron menempati tingkat-tingkat energi paling dasar, jauh di ba'ah

energi !ermi Keadaan ini sangat mirip dengan assembli electron yang berada pada suhu

mendekati nol 1adi meskipun suhu bintang katai putih sangat tinggi, tetapi kerapatan yang

luar biasa tinggi menyebabkan energi !ermi sangat besar Energi yang dimiliki electron

sangat jauh di ba'ah energi !ermi Dari si!at ini kita dapat lakukan idealisasi sebagai berikut,

a Bintang katai putih adalah assembli A elektron pada keadaan dasar dengan kerapatan

sangat tinggi sehingga dinamika electron harus dijelaskan secara relati?istic

b Elektron bergerak dalam background A=+ buah inti helium yang melakukan gaya

gra?itasi sehingga seluruh system menyatu membentuk binatng

;da tiga mekanisme yang harus diperhitungkan secara bersama pada bintang katai putih,

yaitu,

a 9ekanan electron akibat ekslusi Pauli

b ukum gra?itasi

c Dinamika relati?istic

Energi total relati?istic yang dimiliki electron adalah

Energi assembli gas !ermi pada keadaan dasar adalah

Faktor + dimasukkan karena tiap tingkat energi ditepati dua electron dengan arah spin

berla'anan Penjumlahan dia atas dapat diganti dengan integral dengan terlebih dahulu

melakukan trans!ormasi sebagai berikut


14/30

1adi,

:ntuk menyelesaikan integral diatas dimisalkan

Dengan pemisalan diatas maka persamaan menjadi,

Energi rata-rata yang dimiliki tiap electron adalah

dengan

Dengan,


15/30

8isalkan massa total bintang 8 dan jari-jarinya maka

Karenamn) mp dan

memp maka

;tau

Dengan

9ekanan yang dilakukan oleh gas Fermi adalah


16/30

Dengan

1adi didapatkan,

:ntuk kasus nonrelati?istic1F1

:ntuk kasus relati?istic1F1


17/30

Dengan

Plot Posebagai !ungsi untuk kondisi nonrelati?istk dan relat?isitik tampak pada gambar

berikut,

.ambar " Kebergantungan tekanan pada jari -jari bintang untuk kasus relati?istik dan

nonrelati?istik


18/30

III. S*A*IS*I! B+SE-EINS*EIN (B-E)

III.1 Persamaan !ea&aan "as I&ea, B-E

Fungsi partisi grand kanonik mempunyai hubungan dengan tekananP, ?olume V, dan

temperatur T ubungan ini dapat dituliskan dalam ungkapan berikut,kTPV

eQ =

=$"%

maka diperoleh persamaan berikut,

( ) =p

pzekT

PV "ln

$+%

dan

=

=p

p

p

ze

zeQ

zzN

"ln

$%

dengan0kT

"

, kadalah konstanta Blot&mann dan padalah energi setiap partikel yang

memiliki momentump :ntuk gas ideal B-E, persamaan + dan berbeda saatz ", hal

ini berkaitan dengan ' 0 / Dengan mengganti bentuk penjumlahan menjadi bentuk

integral diperoleh persamaan keadaan untuk gas ideal B-E yaitu,

( ) ( )

=/

+=+

"ln

""ln

- +z

Vdpzep

hkT

P mp

$a%

Penjelasan Slide "" dan -2


19/30

( )

+

=

/+="

+

"

"

"

-"+

z

z

Vez

dpp

h mp

$b%

dimana 0 V=N Di sini diperkenalkan !ungsi B-E yaitu,

( ) ( )

=

==/ "

+=2

++=2

+"ln-

x

zdxzexzg

$2a%

( ) ( )

=

=

="

+=+=2+=

zzg

zzzg

$2b%

dengan meman!aatkan !ungsi B-E ini, persamaan keadaan di atas dapat dituliskan

menjadi

( )( )z

V

zg

kT

P = "ln"

+=2

$3a%

( )

( )z

z

V

zg

+=

"

""

+=

$3b%

dimana!0

mkTh += :ntukzGG " persamaan keadaan gas ideal B-E dapat ditulis

( )

+=2

zg

kT

P=

$7a%

( )+="

zg=

$7b%

Energi internal dari gas ideal B-E dituliskan

T

QkT"

= ln+

$4%

dimana

kT

PVQ=ln

$@%

Sehingga diperoleh energi internal gas ideal B-E yaitu

( ) PVzgVkT

"+

+

+=2

==

$"/%

PV"+

=

Dari persamaan energi internal yang dituliskan pada persamaan "/, selanjutnya akan

dicari kapasitas kalor untuk gas ideal B-E Sebelum diperoleh kapasitas kalor, terlebih

dahulu dibahas hubungan antara persamaan 7a dan 7b Dari kombinasi kedua persamaan

tersebut diperoleh persamaan berikut,


20/30

"

"

=

=

V

N#

NkT

PV

$""%

Bagian kanan dari persamaan "" disebut sebagai ekspansi ?irial dengan nilai #ada-lah

Kapasitas kalor dapat dide!inisikan sebagai

=Nk

PV

TNk

$V

+

$"+%

Sehingga diperoleh kapasitas kalor"

" +

2

+

=

=

V

V

N#

Nk

$

atau dapat dituliskan dalam bentuk deret

+

+

+

+=

+

///-,///33,//44-,/"+

V

N

V

N

V

N

Nk

$V

$"%

dimana!0

mkTh +=

, untuk T C kapasitas kalor pada persamaan "+ akan menjadi

yaitu

Nk$V+

=

Kapasitas kalor untuk tinjauan kuantum akan menjadi klasik saat

temperatur sistem sangat besar

III.2 !on&ensasi B-E

:ntuk mempelajari lebih detail tentang si!at-si!at persamaan keadaan B-E, kita harusmencari !ungsi Fugasi sebagai !ungsi dari temperatur dan ?olume spesi!ik Dengan

menggunakan persamaan 3b :ntuk menyelesaikan persamaan 3b terlebih dahulu kita

pelajari si!at-si!at dari persamaan B-E secara umum,

( )

=

="

n

n

zzg

$"%

9ampak bah'a untuk nilai z dari / sampai ", memberikan nilai gn$z% yang meningkat

secara positi! .ra!ik untukgn$z% dengan nilaizdari / sampai " ditunjukkan pada gambar

Penjelasan Slide 3-4


21/30

" Ailai aproksimasi persamaan B-E saatz0 " adalahgn$"% 0 +,3"+ Selanjutnya dengan

mende!inisikan rata-rata bilangan okupasi untuk le?el partikel tunggal dengan

momentum '0 / yaitu

( )zzn = "=/$"2%

persamaan 3b dapat ditulis menjadi

( )zgV

n+=

/

=

$"3%

nilaiV

n/

harus bernilai positi! maka

( )"+=

g>

$"7%

persamaan "7 menunjukkan bah'a nilai harus berhingga Fenomena ini disebut

sebagai Kondensasi Bose-Einstein

.ambar " .ra!ik antaragn$z% denganz

Selanjutnya kita akan melihat bah'a pada daerah ini, sistem dapat dinyatakan sebagai

gabungan dari dua !ase termodinamika, !ase pertama terdiri dari partikel-partikel yang

memiliki momentum ' 0 /, !ase yang kedua yaitu partikel-partikel yang memiliki

momentum 'H / Saatz0 " atau nilaign$"% 0 +,3"+ menunjukkan temperatur kritis T%,

sehingga dapat dide!inisikan


22/30

( )"+=

g% =$"4%

atau

( )( ) +

+=

+

"

+

gmkT%

=

$"@%

dimana 0 ?olume spesi!ik, m 0 massa partikel dan k0 konstanta Bolt&mann Dari

persamaan "4 dapat diperoleh ?olume kritis %saat temperaturnya Tyaitu

( )"+=

g%

=

$+/%

dalam !ungsi T%dan %daerah yang terjadi kondensasi adalah daerah dimana TG T%atau

& % Berikut ini gra!ik solusi untuk persamaan 3b,

.ambar + .ra!ik hubungan antara I=J denganz

dan gra!ik antara !ungsi Fugasizdengan J=Iditunjukkan pada gambar

.ambar .ra!ik !ungsi Fugasi untuk gas ideal B-E


23/30

.ra!ik pada gambar + dan dipenuhi untuk ?olume Vyang berhingga :ntuk kasus V

C kita peroleh,

( )

( ) ( )

=

=

",

","

+=

+=

+=

gzg#k#'#k#'

gz

$+"%

:ntuk

( ) ( )"=+=

g, nilaizhanya dapat diperoleh dengan numerik

Fungsi termodinamika yang lain untuk gas ideal Bose-Einstein ditunjukkan pada

persamaan ++, +, +, +2, dan +3 Dengan mempertimbangkan temperatur kritis T%dan

?olume kritis % terhadap temperatur mutlak T dan ?olume spesi!ik diperoleh

persamaan-persamaan termodinamika berikut,

( )

( )

>=

%%

%%

#(#)TTgkT

#(#)TTzgkT

N

"

,"+

,+

+=2

+=2

$++%

( )

( )

>=

%%

%%

#(#)TTg

#(#)TTzzg

NkT

*

,"

,ln

+=2

+=2

$+%

>

=%%

%%

#(#)TT

#(#)TTz

NkT

G

,/

,ln

$+%

( )

( )

>=

%%

%%

#(#)TTg

#(#)TTzzg

Nk

S

,"+

2

,ln+

2

+=2

+=2

$+2%

( ) ( )

( )

( )

>=

%%

%%

V

#(#)TTg

#(#)TTzg

zgzg

Nk

$

,"-

"2

,-

@

-

"2

+=2

+="

+=+=2

$+3%

Persamaan ++ adalah persamaan Energi nternal gas ideal B-E, persamaan + merupakan

Fungsi elmholt& untuk gas ideal B-E, persamaan + merupakan Fungsi .ibbs untuk gas

ideal B-E, persamaan +2 adalah Entropi gas ideal B-E, dan persamaan +3 adalah

Kapasitas Kalor untuk gas ideal B-E

Penjelasan Slide @-


24/30

III. Foton

(ahaya merupakan salah satu contoh dari gelombang elektromagnetik Dalam teori

kuantum !oton dihasilkan dari medan elektromagnetik Setiap !oton memiliki energi

yaitu +, dan momentum +, dimana - 0 / ,=% Sesuai dengan konsekuensi

trans?ersalitas gelombang yang merupakan salah satu si!at dari gelombang

elektromagnetik, !oton hanya memiliki dua ?ektor polarisasi Dengan mengambil kasus

gelombang elektromagnetik yang berada pada kubus dengan ?olume V0., didapatkan

nilai untuk yaitu,

/.

+

n $+7%

dimana n adalah komponen ?ektor yang bernilai /, ", +, , Dari nilai pada

persamaan +3, maka dapat jumlah momentum yang dibolehkan antara -dan -M d-dapat

dirumuskan sebagai berikut,

( )( )

d

Vdf

+

+

-=

$+4%

Selama atom dapat mengemisi dan mengabsorbsi !oton, maka jumlah kuantitas !oton

tidak tetap

Energi total untuk !oton sejumlah n,dengan momentum propagasi dan polarisasi

adalah

( ) = , ,, nnE , $+@%

dimana N 0 c OO dan n,/ /, ", +, , Dalam ruang ?akum, !oton tidak tampak, hal ini

akan mengakibatkan nilai potensial kimia dari !oton adalah / Sehingga !ungsi partisi

dari !oton dapat dituliskan,

= e

Q"

"

,

, $/%

dengan0 "=kTdan ,0 c OO , jika persamaan +@ ditulis dalam logaritmik menjadi( =

eQ "ln+ln

$"%

Sedangkan rata-rata bilangan okupasi untuk !oton adalah

( )( ) "

+ln"

=

=

eQ

n

, $+%

!aktor + menunjukkan dua kemungkinan polarisasi dari !oton Energi internal !oton "

dide!inisikan sebagai,


25/30

( )

=

Q"

ln

, $%

maka diperoleh

=

n"

$%

9ekanan dapat diperoleh dengan mengubah terlebih dahulu !ungsi Q$N,T% menjadi

Q$V,T%, sehingga !ungsi partisinya dapat ditulis,

( =

n

nV%eQ="

+"ln+ln

, $2%

dengan de!inisi tekanan

( )V

QP

= ln"

, $3%diperoleh

"PV

nV

P

"

"

=

=

$7%

Sekarang kita menghitung energi internal " untuk seluruh ruang, dengan

meman!aatkan persamaan +4 dan mengganti bentuk penjumlahan menjadi integral pada

persamaan , maka

( ) ( ) ( )

=

=

/

/

+

""+

4

e

d

%

V

e

d%V"

%

$4%

Sehingga diperoleh energi internal per satuan ?olume yaitu

( )

=/

, dT)V

"

, $@%

dimana )$,,T% adalah !ungsi radiasi Planck dengan bentuk

( ) ( )", +

= e%T)

, $/%

dengan menghitung bentuk integral pada persamaan @, diperoleh hasil

( )

( )

-+

"2 %

kT

V

"

=

$"%

Selanjutnya diperoleh kapasitas kalor per satuan ?olume yaitu

( )-+

"2

-

%

Tk%V

=

$+%

Dari hasil ini terlihat bah'a kapasitas kalor $V T


26/30

ntensitas !oton adalah jumlah energi !oton yang menembus suatu permukaan per

satuan 'aktu ntensitas !oton dapat dirumuskan sebagai berikut,

( ) ( )

( )"--,

,++

==

e%

T)%T/

, $%jika kita plotkan intensitas !oton sebagai !ungsi dari !rekuensi dengan temperatur yang

berbeda-beda maka diperoleh gra!ik seperti yang ditunjukkan pada gambar

.ambar .ra!ik hukum adiasi Planck

.ra!ik pada gambar menunjukkan bah'a bila temperatur benda berbeda-beda maka

akan menghasilkan !rekuensi intensitas maksimum yang berbeda-beda pula Selanjutnya

dengan mengintegralkan persamaan untuk seluruh nilai !rekuensi, maka diperoleh

intensitas !oton sebagai !ungsi dari temperatur

( ) ( )( ) ( )

==

/

+

/ "+

,

d

e%dT/T/

diperoleh

( )( )

-

-+

3/T

%

kT/

=

$%

dimana

( )

=

-+

3/ %

k

, konstanta 0disebut sebagai konstanta Ste!an-Bolt&mann

III.0 Fonon

Fonon merupakan kuantitas gelombang bunyi dalam bentuk makroskopis Bahasan

tentang !onon biasanya pada &at padat Dalam &at padat kecepatan !onon % tidak

bergantung pada ?ektor polarisasi Sehingga kita dapat mengabaikan !aktor polarisasi

pada !onon 1ika suatu &at padat memiliki Nbuah atom, maka !onon akan memiliki N

mode normal 1umlah mode normal pada !onon dengan !rekuensi antara ,dan ,M d,

dapat dituliskan

( )

d%df +

+

+

= $2%

Penjelasan Slide -@


27/30

1ika persamaan kita integralkan sampai nilai !rekuensi maksimum ,mmaka diperoleh

( ) =m

Ndf

/

$3%

Ailai N ini merupakan jumlah maksimum mode gelombang !onon Sehingga energi

total dari !onon dapat ditulis

( ) =

=N

i

ii nnE

"

$7%

Sehingga !ungsi partisinya menjadi

( ) "

""

== eQ

N

i

, $4%

jika ditulis dalam logaritmik

( )=

=N

i

ieQ

"

"lnln

$@%

Sedangkan energi internal !onon adalah

=

=

=

N

i

i

ie

Q"

" "

ln

$2/%

Selanjutnya dengan meman!aatkan persamaan 2, kita hitung energi internal !onon

untuk seluruh ruang

( ) =m

e

d

%

V"

/

+"+

, $2"%

dengan memisalkan

(=maka persamaan 2" menjadi


28/30

( )

( ) ( ) =

/

-

"

@(e

d((kT

N

"

, $2+%

dimanakT="=

Persamaan 2+ mirip dengan !ungsi Debye seperti berikut

( )( ) ( ) =

x

(e

d((

xxD

/

"

, $2%

jika ditulis dalam bentuk deret

( )( )

( ) ( )

>>+


29/30

( ) ( )

( )

=+=

"

-

eD

dT

dDTD

Nk

$V

, $24%

atau dalam bentuk deret

( )

( )

+

=

DT

T

D

DD

V

TTeT

T

TTT

T

Nk

$

D

,2

"+

,+/

""

-

+

$2@%

1ika persamaan 2@ diplotkan akan diperoleh gra!ik seperti yang ditunjukkan pada gambar

2 berikut ini

.ambar 2 .ra!ik kapasitas kalor !onon terhadap temperatur

.ra!ik pada gambar 2 menunjukkan bah'a kapasitas kalor !onon sebanding dengan T

jika TG TD, hal ini akan memberikan konsekuensi untuk TGG TD, kapasitas kalor !onon

akan menuju nol Sedangkan untuk T66 TD, kapasitas kalor !onon akan Q Nk, hal ini

menunjukkan bah'a untuk temperatur !onon yang sangat tinggi maka nilai kapasitas

kalornya akan menuju statistik klasik

I. !ESIPULAN

Dari penjelasan tentang Statistik Fermi-Dirac dan Bose-Einstein di atas , diperoleh

kesimpulan sebagai berikut)

Statistik Fermi-Dirac memenuhi Larangan Pauli, sedangkan statistik Bose-

Einstein tidak memenuhi Larangan Pauli

Persamaan keadaan gas ideal Fermi-Dirac berbeda dengan persamaan keadaan gas

ideal Bose-Einstein


30/30

Ailai energi internal untuk Fermi-Dirac dan Bose-Einstein sama yaitu

2=3

2P$

Reerensi

uang, K $"@47% S(#(is(i%# 1e%h#ni%s, +nd ed $1ohn 5iley, Ae' Rork%

Pathria, K Beale, PD $+/""% S(#(is(i%# 1e%h#ni%s, rd ed $Butter'orth

einemann%

makalah statistik b-e & f-d revisi 02-05-15 jadi

Documents