mathematics for economy

Download Mathematics for Economy

Post on 26-Feb-2018

218 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    1/53

    MATHEMATICS FOR ECONOMY

    BAB XIV

    DINAMIKA EKONOMI DAN KALKULUS INTEGRAL

    BY

    ANDI FITIA NOVITASARI 13114410031

    ANDI AMIRAH MUMINATI 1311441029

    JURUSAN MATEMATIKA

    FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAN

    UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR2016

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    2/53

    KATA PENGANTAR

    Segala puji bagi Allah SWT atas Be!ah" Rah#at" $a% Hi$a&ah'N&a sehi%gga pe%ulis

    $apat #e%&elesai!a% #a!alah i%i $e%ga% bai!( )ala# hal i%i" !a#i #e%ulis #a!alah

    )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal sebagai !e+ajiba% !a#i sebagai Mahasis+a(

    ,ap*a% i%i $ibuat $e%ga% bebagai e-e%si bai! $ai bu!u &a%g Bapa! )*se%

    e!*#*%$asi!a%( Selai% itu" !a#i #e%gu.ap!a% tei#a !asih &a%g sebesa'besa%&a !epa$a

    piha! &a%g telah #e#ba%tu $ala# pe%&usu%a% lap*a% i%i(

    Ka#i #e%&a$ai bah+a #asih ba%&a! !e!ua%ga% &a%g #e%$asa pa$a lap*a% i%i(

    Oleh !ae%a itu !a#i #e%gu%$a%g pe#ba.a u%tu! #e#bei!a% saa% seta !iti! &a%g $apat

    #e#ba%gu% !a#i( Kiti! !*%stu!ti- $ai pe#ba.a sa%gat !a#i haap!a% u%tu!pe%&e#pu%aa% #a!alah sela%jut%&a(

    A!hi !ata se#*ga #a!alah i%i $apat #e#bei!a% #a%-aat bagi !ita se!alia%(

    Ma!assa" /0 1a%uai /203

    Pe%ulis

    0 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    3/53

    DAFTAR ISI

    KATA PENGANTAR(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( i

    )AFTAR ISI((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((ii

    PEMBAHASAN (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((0

    0( )i%a#i!a $a% I%tegasi((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((0/( I%tegal I%$e-i%it 5I%tegal Ta! Te%tu6(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((78( I%tegal )e-i%it(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((037( I%tegal Ta! Waja 5I#p*pe I%tegals6((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((/79( Bebeapa Apli!asi I%tegal $ala# E!*%*#i((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((/:3( M*$al petu#buha% )*#a(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((89

    )AFTAR P;STAKA ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((80

    Hal &a%g #e%ai! a$alah bah+a i%tega% &a%g te#asu! $ala# atua% III a$alah 1/x=x1

    "

    &a%g #eupa!a% be%tu! !husus $ai -u%gsi pa%g!at xn $e%ga% n=1 ( I%tega% !husus

    i%i ti$a! $apat $itei#a $ala# atua% pa%g!at" tetapi se!aa%g $apat $ila!sa%a!a% sepe%uh%&a

    #e%uut atua% l*gait#a(

    02 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    12/53

    Sepeti $i%&ata!a%"atua% l*gait#a $ibela!u!a% $e%ga% batasa% x>0 " !ae%a

    l*gait#a ti$a! $apat $ila!u!a% u%tu! %ilai x &a%g %*%p*siti-( Suatu -*#ulasi atua% &a%g

    lebih u#u#" &a%g $apat #e%ggu%a!a% %ilai x &a%g %egati=e" a$alah

    1x

    dx=lnx+c 5 x 0

    Ya%g juga #e%&iat!a% bah+a ( ddx ) ln|x|=1x " tepat sepeti ( ddx ) lnx=1x (A%$a haus

    #e&a!i%!a% $ii A%$a se%$ii bah+a pe%gga%tia% x 5$e%ga% esti!si x>0 6 $e%ga%

    x 5$e%ga% esti!si x 0 sa#a se!ali ti$a! #e%ga.au!a% u#us tesebut(

    1uga" sebagai #asalah %*tasi" pelu $ipehati!a% bah+a i%tegal 1

    xdx !a$a%g'

    !a$a%g juga $itulis sebagai dx

    x (

    Sebagai =aia% $ai Atua% II $a% III" !ita juga #e#pu%&ai $ua atua% bei!ut(

    A*(-"! II"

    f'(x ) e f(x)dx=e f(x)+c

    A*(-"! III"

    f'(x )

    f(x )dx=ln f(x )+c [ f(x )>0]

    Atau f(x )+c

    ln [ f(x )0]

    A*(-"! O+-")

    00 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    13/53

    Ketiga atua% &a%g $ibei!a% sebelu#%&a #e%gilustasi!a% #a!%a &a%g #e%$asai se#ua

    atua%'atua% i%tegasi( Setiap atua% selalu behubu%ga% $e%ga% u#us $ei=ati- tete%tu(

    1uga" !*%sta%ta abite selalu $ita#bah!a% $i bela!a%g 5#es!ipu% i%i pelu $ita#bah!a%

    lebih la%jut $e%ga% #e%ggu%a!a% !*%$isi batas tete%tu6 u%tu! #e%u%ju!!a% bah+a seluuh

    u#pu% -u%gsi pi#iti- $apat #e%i#bul!a% i%tega% tete%tu(

    Na#u% aga $apat #e%&elesai!a% i%tega% &a%g lebih u#it" !ita juga haus #e%.ai $ua

    atua% *peasi bei!ut i%i &a%g be!e%aa% $e%ga% i%tegal &a%g begu%a(

    A*(-"! IV !*+,-"' +!(#'""!

    I%tegal pe%ju#laha% $ai seju#lah -u%gsi &a%g tebatas a$alah ju#lah i%tegal $a% -u%gsi'

    -u%gsi tesebut( ;%tu! !asus $ua -u%gsi" i%i beati bah+a

    [ f(x)+g(x )]dx= f(x)dx+ g (x)dx

    Atua% i%i a$alah a!ibat %atual $ai !e%&ataa% bah+a

    d

    dx[F(x )+G (x )]

    A

    =d

    dxF(x )+

    d

    dxG (x )

    B

    =f(x )+g(x )

    C

    Kae%a A=C " #a!a be$asa!a% 586 !ita $apat #e%ulis

    [ f(x)+g(x )]dx=F(x)+G(x)+ c

    576

    Tetapi" $ai !e%&ataa% bah+a C " #a!a sela%jut%&a

    f(x ) dx=F(x )+c1 $a% g (x )dx=G (x )+c2

    1a$i !ita $apat #e#pe*leh 5$e%ga% pe%ju#laha%6

    f(x ) dx+ g (x ) dx=F(x )+G (x )+c1+c2 596

    0/ 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    14/53

    Kae%a !*%sta%ta c , c1 , $a% c2 %ilai%&a abite atau se#baa%g" #a!a !ita $apat

    #e%etap!a% c=c1+c2 ( Ke#u$ia% sisi !a%a% 576 $a% 596 #e%ja$i sa#a" $a% sebagai

    !*%se!ue%si%&a" sisi !ii%&a juga haus sa#a( I%ilah bu!ti atua% IV(

    C*%t*h 3 @

    Cailah (x3+x+1)dx=(x

    4

    4+ c1)+(x

    2

    2+ c2)+(x+c3 )=x

    4

    4+

    x2

    2+x+c

    )ala# ja+aba% &a%g tea!hi" !ita telah #e%ggabu%g!a% se!aligus !etiga !*%sta%ta &a%g

    besubs!ip #e%ja$i !*%sta%ta tu%ggal c (

    Sebagai pa!te! u#u" se#ua pe%ju#laha% !*%sta%ta abite $ai i%tegasi &a%g ti#bul

    sela#a p*ses bela%gsu%g selalu $apat $igabu%g!a% !e $ala# !*%sta%ta abite tu%ggal pa$a

    ja+aba% tea!hi(

    C*%t*h @

    Cailah (2e2x+ 14x7x2+5 )dx ( )e%ga% atua% I" !ita $apat #e%gi%tegasi!a% $ua su!upe%ju#laha% $ala# i%tega% se.aa tepisah" $a% !e#u$ia% #e%ju#lah!a% hasil%&a( Kae%a

    su!u 2e2x

    a$alah -*#at f'(x )ef(x) pa$a Atua% IIa" #a!a $e%ga% f(x )=2x "

    i%tegal%&a a$alah e2x+c1 ( )e#i!ia% juga" su!u lai%%&a"

    14x

    (7x2+5) " #e%ga#bil be%tu!

    f'(x )/ f(x ) " $e%ga% f(x )=7x

    2+5>0 ( 1a$i" #e%uut Atua% IIIa" i%tegal%&a a$alah

    ln (7x2+5 )+c2 . Oleh !ae%a itu" !ita $apat #e%ulis!a%

    08 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    15/53

    (2e2x+ 14x7x2+5 )dx=e2x+ ln (7x2+5 )+c

    )i #a%a !ita telah #e%ggabu%g!a% c1 $a% c2 !e $ala# satu !*%sta%ta abite c (

    A*(-"! V !*+,-"' +-$"'"!

    I%tegal k !ali suatu i%tega% 5 #eupa!a% suatu !*%sta%ta a$alah k !ali i%tegal $ai

    i%tega% tesebut( )ala# si#b*l $i%&ata!a% sebagai

    k f(x ) dx=k f(x ) dx

    Hasil $ai atua% i%i" se.aa *peasi*%al" a$alah bah+a !*%sta%ta pe%gali%&a $apat

    >$i-a!t*!a%?$ai ta%$a i%tegal( 5Perhatian @ )ala# hal i%i" su!u variabel tidak dapat

    difaktorkan atau $i!elua!a%6( ;%tu! #e#bu!ti!a% atua% i%i 5u%tu! !asus $i #a%a k

    a$alah bila%ga bulat atau i%tege6" !ita i%gat !e#bali bah+a k !ali f(x) sa#a saja

    ati%&a $e%ga% pe%ju#laha% f(x)k !ali *leh !ae%a itu" #e%uut Atua% I

    [ f(x )+ f(x )++ f(x )]dx

    k suku

    k f(x ) dx=

    f(x ) dx+ f(x ) dx++ f(x ) dx=k f(x ) dx

    k suku

    C*%t*h : @

    Cailah f(x) dx

    ( )i si%i k=1 " sehi%gga

    07 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    16/53

    f(x) dx= f(x ) dx

    1a$i" i%tegal %egati- $ai suatu -u%gsi a$alah %egati- $ai i%tegal -u%gsi tesebut(

    C*%t*h < @

    Cailah 2x2

    dx ( )e%ga% #e#-a!t*!a% !elua / $a% #e%ggu%a!a% Atua% I" !ita

    $apat!a%

    2x2dx=2x2dx=2(x3

    3+c

    1)=23x3+c

    C*%t*h 02 @

    Cailah 3x2dx ( )ala# !asus i%i" $e%ga% #e#-a!t*!a% !elua !*%sta%ta pe%gali a!a%

    $ihasil!a%

    3x2dx=3x2 dx=3(x3

    3+ c1)=x3+c

    Pehati!a% bah+a" bete%ta%ga% $e%ga% .*%t*h te$ahulu" su!u x3

    $ala# ja+aba% tea!hi

    ti$a! #e#ili!i setiap e!spesi bila%ga% pe.aha% &a%g $isa%$i%g!a% pa$a%&a( Hasil i%i

    $isebab!a% !ae%a -a!ta bah+a a%g!a 8 5!*%sta%ta pe%gali $ai i%tega%6 tepat sa#a $e%ga% /

    5pa%g!at $ai -u%gsi6 $ita#bah 0( )e%ga% #e%ga.u pa$a atua% pa%g!at 5Atua% I6" !ita lihat

    bah+a !*%sta%ta pe%gali (n+1) $ala# !asus sepeti i%i a!a% #e%gabai!a% pe.aha%

    1/(n+1)" sehi%gga #e%ghasil!a%

    (xn+1+c )sebagai ja+aba%(

    Se.aa u#u#" ji!a !ita #e#pu%&ai e!spesi (n+1)xn

    sebagai i%tega%"

    sesu%gguh%&a !ita ti$a! pelu #e%gelua!a% !*%sta%ta (n+1) $a% !e#u$ia%

    09 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    17/53

    #e%gi%tegasi!a% xn

    #elai%!a% !ita bisa la%gsu%g #e%ulis!a% xn+1+c sebagai

    ja+aba% &a%g be%a(

    C*%t*h 00 @

    Cailah (5exx2+ 3x )dx ,(x 0) ( C*%t*h i%i #e%gga#ba!a% Atua% I $a% sebe%a%&a" i%i juga #e%gga#ba!a% tiga atua% &a%g peta#[email protected]

    (5ex1x2 +3

    x )dx=5ex dxx2 dx+3 1xdx [menurut aturan IV dan V]

    (5ex+c1 )(x1

    1+c2)+(3 ln|x|+c3 )

    5ex+1

    x+3 ln|x|+c

    Kebe%aa% hasil%&a $apat $ibu!ti!a% lagi $e%ga% $i-ee%siasi(

    A*(-"! 5"!, M+'"*$"! S(**()

    Se!aa%g !ita a!a% #e#pe!e%al!a% $ua atua% i%tegasi lai% &a%g #e%.*ba u%tu!

    #e%&e$eha%a!a% p*ses i%tegasi" bila !ea$aa%%&a #e%gii%!a%" $e%ga% subtitusi =aiable

    i%tegasi asli%&a( Apabila =aiable i%tegasi &a%g bau saja $ipe!e%al!a% $apat #e#buat

    p*ses i%tegasi lebih #u$ah $aipa$a .aa &a%g la#a" atua%'atua% i%ilah &a%g a!a% $ipa!ai(

    A*(-"! VI "*(-"! )(**()

    I%tegal

    f( u)

    (du

    dx )teha$ap =aiabel

    x

    a$alah i%tegal

    f(u)teha$ap =aiabel @

    f(u )dudx

    dx= f( u) du=F(u )+c

    03 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    18/53

    )i #a%a *peasi du a!a% #e%gga%ti!a% *peasi dx

    Atua% i%i" &aitu pasa%ga% !al!ulus i%tegal $ai atua% a%tai" bisa $ibu!ti!a% $e%ga%

    atua% a%tai itu se%$ii( Be$asa!a% -u%gsi F(u) " $i #a%a u=u (x) " atua% a%tai

    #e%&ata!a% bah+a

    d

    dxF(u)=

    d

    duF(u )

    du

    dx=F' (u )

    du

    dx=f( u )

    du

    dx

    Kae%a f( u )( dudx ) #eupa!a% $ei=ati- F(u) " #a!a $apat $i%&ata!a% $ai 586 bah+ai%tegal 5a%ti $ei=ati-6 &a%g peta#a a!a% #e%ja$i

    f(u )dudx

    dx=F(u)+c

    )ala# !e%&ataa%%%&a" $apat A%$a pehati!a% bah+a hasil i%i juga beasal $ai pembatalan

    5canceling6 $ua e!spesi dx pa$a sisi !ii(

    C*%t*h 0/ @

    Cailah 2x (x2+1 ) dx ( 1a+aba%%&a $apat $ipe*leh $e%ga% telebih $ahulu #e%gali!a%

    i%tega% @

    2x (x2+1 ) dx= (2x3+2x ) dx=x4

    2+x2+c

    Tetapi se!aa%g #ai !ita !eja!a% $e%ga% atua% subtitusi( ;#pa#a!a% u=x2+1 ja$i

    du

    dx=2x " atau dx=

    du

    2x ( Bila !ita subtitusi!a%dx $e%ga% du /2x a!a% $ihasil!a%

    0 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    19/53

    2x (x2+1) dx=2xu dudx=u du=u

    2

    2+ c1

    1

    2(x4

    +2x2

    +1 )+c1=1

    2x4

    +x2

    +c

    )i#a%a c=1

    2+c1 ( 1a+aba% &a%g sa#a juga $apat $ipe*leh $e%ga% #e%subtitusi!a%

    2x $e%ga% du /dx 5!eti#ba%g dx $e%ga% du /2x (

    C*%t*h 08 @

    Cailah 6x2(x3+2)99 dx ( I%tega% .*%t*h i%i sulit $i!ali!a%" sehi%gga atua% subtitusi

    se!aa%g #e#pu%&ai !ese#pata% &a%g lebih bai! u%tu! #e%u%ju!!a% !ee-e!ti-a%%&a(

    ;#pa#a!a% u=x3+2 " #a!a

    du

    dx=3x2 " sehi%[email protected]

    6x2 (x3+2 )99 dx=(2 dudx )u99dx=2u99 du

    2

    100u

    100+c=1

    50(x3+2)100+c

    C*%t*h 07 @

    Cailah 8e2x+3

    dx ( Misal!a% u=2x+3 #a!adu

    dx=2 " atau dx=

    du

    2 ( Oleh

    !ae%a itu"

    8e2x+3 dx= 8eudu2=4 eu du=4 eu+c=4 e2x+3+c

    0: 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    20/53

    Sepeti $itu%ju!!a% *leh .*%t*h'.*%t*h tesebut" atua% i%i a!a% #e#ba%tu apabila

    !ita be$asa!a% piliha% &a%g bija!sa%a atas -u%gsi u=u (x) $apat #e%gi%tegasi!a%

    i%tega% 5-u%gsi x 6 sebagai hasil !ali $ai f(u) 5-u%gsi $ai u 6 $a% du /dx

    5$ei=ati- $ai -u%gsi u &a%g telah !ita pilih6( A!a% tetapi" sepeti $iga#ba!a% *leh $ua

    .*%t*h tea!hi" atua% i%i $apat $igu%a!a% juga bila i%tega% a+al $apat $ita%s-*#asi!a% !e

    $ala# pe%gali !*%sta%ta f(u)(du/dx ) ( Hal i%i ti$a! a!a% #e#pe%gauhi apli!abilitas%&a

    !ae%a pe%gali !*%sta%ta $apat $i-a!t*!a% !e lua $ai ta%$a i%tega%" sehi%gga &a%g tesisa

    a$alah i%tega% $ala# be%tu! f(u)(du/dx ) " sepeti &a%g $iis&aat!a% $ala# atua%

    subtitusi( Na#u% bila subtitusi =aiabel #e%&ebab!a% pe%gali variabel f(u)(du/dx ) "

    !ata!a%lah x !ali &a%g tea!hi" #a!a pe#-a!t*a% ti$a! $apat $ila!sa%a!a%" $a% atua%

    i%i ti$a! a!a %a$a gu%a%&a( )ala# !e%&ataa%%&a" ti$a! a$a u#us u#u# &a%g #e#bei!a%

    i%tegal hasil !ali $ai $ua -u%gsi $ala# be%tu! i%tegal &a%g tepisah $ai -u%gsi tesebut

    !ita juga ti$a! #e#ili!i u#us u#u# &a%g #e#bei!a% i%tegal hasil bagi $ai $ua -u%gsi

    $ala# be%tu! i%tegal &a%g tepisah( )i si%i te$apat alasa% #e%gapa i%tegasi" se.aa

    !eseluuha%" lebih sulit $aipa$a $i-ee%siasi $a% #e%gapa" $e%ga% i%tega% &a%g u#it" lebih

    #u$a u%tu! #e%.ai ja+aba%%&a $ala# tabel u#us i%tegasi &a%g telah $isusu% $a% bu!a%

    #e%geja!a% i%tegasi%&a se%$ii(

    A*(-"! VII !*+,-") +-&")"-$"! ","!7","!

    I%tegal $ai v teha$ap u sa#a $e%ga% uv $i!ua%gi i%tegal u teha$ap v (

    v du=uvu dv

    I%tisai $ai atua% i%i a$alah u%tu! #e%gga%ti!a% *peasi du $e%ga% *peasi dv (

    0< 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    21/53

    )asa pe#i!ia% $ai hasil i%i elati- se$eha%a( Peta#a" atua% hasil !ali $ai

    $i-ee%sial #e#bei!a% !ita

    d (uv )=v du+u dv

    1i!a i%tegasi!a% !e$ua sisi pesa#aa% 5&aitu" #e%gi%tegasi!a% setiap $i-ee%sial6" !ita

    $apat!a% pesa#aa% bau

    d (uv )= v du+u dv

    Atau uv= v du+u dv

    Ke#u$ia% $e%ga% #e%gua%gi u dv $ai !e$ua sisi" hasil%&a a!a% ti#bul sepeti &a%g

    $i%&ata!a% $i atas(

    C*%t*h 09 @

    Cailah x (x+1)1

    2 dx ( Ti$a! sepeti .*%t*h 0/ $a% 08" .*%t*h se!aa%g ti$a! $apat $i%ilai

    u%tu! je%is subtitusi &a%g $igu%a!a% $ala# atua% I( 5#e%gapaD6 A!a% tetapi" !ita bisa

    #e#peti#ba%g!a% i%tegal tete%tu i%i $ala# be%tu! v du $a% #e%ggu%a!a% Atua%

    II( ;%tu! tujua% i%i" !ita a!a% #isal!a% v=x " &a%g beati dv=dx " $a% juga #isal!a%

    v=2

    3(x+1)3 /2 " sehi%gga du=(x+1)

    1 /2dx ( 1a$i !ita $apat #e#pe*leh i%tegal

    x (x+1)

    1

    2 dx=

    v du=uv

    u dv

    2

    3(x+1)3 /2x 2

    3(x+1 )

    3

    2 dx

    /2 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    22/53

    2

    3(x+1 )

    3

    2 x 4

    15(x+1 )

    5

    2+c

    C*%t*h 03 @

    Cailah lnx dx ,(x>0) ( Kita ti$a! $apat #e%ggu%a!a% atua% l*gait#a $i si%i" !ae%a

    atua% itu behubu%ga% $e%ga% i%tega% 1/x , bu!a% lnx ( Kita juga ti$a! $apat

    #e%ggu%a!a% Atua% I( Tetapi bila !ita #isal!a% v=lnx " &a%g beati dv=( 1x )dx ,

    $a% juga u=x " sehi%gga du=dx #a!a pe%gi%tegasia% $apat $ila!sa%a!a% sebagai

    be!ut @

    lnx dx=v du=uvu dv

    x lnx dx=x lnxx+c=x (lnx1 )+c

    C*%t*h 0 @

    Cailah x ex

    dx ( )ala# !asus i%i" !ita #isal!a% saja v=x " $a% u=ex

    " sehi%gga

    dv=dx $a% du=ex

    dx ( )e%ga% #e%gu%a!a% Atua% II" !ita #e#pu%&ai

    x ex dx= v du=uv u dv

    exx ex dx=exxex+c=ex (x1 )+c

    ali$itas atas hasil i%i" sepeti juga .*%t*h'.*%t*h te$ahulu" tet%tu%&a $apat $i.e! !e#bali

    $e%ga% .aa $i-ee%siasi(

    3. I!*+,-"' D+/!*

    /0 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    23/53

    A-* I!*+,-"' D+/!*

    Se#ua i%tegal &a%g $isebut!a% $ala# bagia% 2#eupa!a% =aiasi &a%g [email protected] #asi%g'

    #asi%g #eupa!a% -u%gsi =aiabel $a% *leh !ae%a itu" ti$a! #e#pu%&ai %ilai %u#eis $e-i%it(

    Se!aa%g" u%tu! i%tegal i%$e-i%it tete%tu $ai -u%gsi !*%ti%u f(x) "

    f(x ) dx=F(x )+c

    1i!a !ita #e#ilih $ua %ilai x $ala# $*#ai%" !ata!a%lah a $a% b (a

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    24/53

    #e%$apat!a% F(b) $a% F(a) " $a% !e#u$ia% #e%.ai pebe$aa%%&a" sepeti

    $itu%ju!!a% pa$a sisi !a%a% $ai 536( A!a% tetapi" sebagai la%g!ah a+al !ita haus #e%.ai

    i%tegal i%$e-i%it #es!ipu% !ita bisa#e%gabai!a% !*%sta%tac

    " !ae%a !*%sta%tac

    i%i

    a!a% hila%g $ala# p*ses pe%.aia% &a%g bebe$a(

    C*%t*h 0 @

    E=aluasilah 1

    5

    3x2

    dx ( Kae%a i%tegal i%$e-i%it a$alah x3+c , #a!a i%tegal $e-i%it i%i

    #e#pu%&ai %ilai

    1

    5

    3x2dx=x3|15= (5 )3(1 )3=1251=124

    C*%t*h / @

    E=aluasilah a

    b

    kex

    dx ( )i si%i" li#it i%tegasi $ibei!a% $ala# si#b*l" !*%se!ue%si%&a hasil

    i%tegasi%&a juga $ala# be%tu! si#b*l'si#b*l @

    a

    b

    kex

    dx=kex|ba=k(ebea)

    C*%t*h 8 @

    E=aluasilah 0

    4

    (

    1

    1+x+2x

    )dx , (x 1 ) . I%tegal i%$e-i%it a$alah

    1+x+x2+cln " ja$i

    ja+aba%%&a a$alah

    0

    4

    ( 11+x+2x )dx=[ ln 1+x+x2 ] 40

    /8 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    25/53

    (ln 5+16 )(ln 1+0 )

    ln 5+16[karena ln 1=0]

    Pe%ti%g u%tu! $isa$ai bah+a li#it i%tegasi a $a% b !e$ua%&a #e%ga.u pa$a

    %ilai =aiabel x ( 1i!a !ita gu%a!a% subtitusi te!%i! =aiabel 5Atua% I $a% II6 sela#a

    i%tegasi $a% #e#asu!!a% =aiabel u " !ita pelu hati'hati u%tu! tidak #e#peti#ba%g!a%

    a $a% b sebagai li#it u ( C*%t*h 7 bei!ut i%i a!a% #e%gga#ba!a% hal i%i(

    C*%t*h 7 @

    E=aluasilah 1

    2

    (2x31)2 (6x2) dx . Misal!a% u=2x

    31 #a!adu

    dx=6x2, atau

    du=6x2 dx ( Se!aa%g pehati!a% bah+a" bila x=1,u a!a% #e%ja$i 1 " tetapi bila

    x=2,u a!a% #e%ja$i 15 $e%ga% !ata lai%" li#it i%tegasi $ala# be%tu! =aiabel u

    a!a% #e%ja$i 1 5ba+ah6 $a% 09 5atas6( Kae%a itu" $e%ga% #e%ulis !e#bali i%tegal

    tete%tu $ala# u a!a% #e#bei!a% !ita bu!a% 1

    2

    u2

    du tetapi

    1

    15

    u2

    du=1

    3u

    3|151 =1

    3(15313 )=1.1242

    3

    )e%ga% .aa lai%" peta#a !ita $apat #e%gubah u !e#bali #e%ja$i x $a% !e#u$ia%

    #e%ggu%a!a% li#it a+al 0 $a% / u%tu! #e%$apat!a% ja+aba% &a%g i$e%ti.(

    [13 u3]u=15u=1=[13 (2x31)3]x=2x=1=13 (15313 )=1.12423

    /7 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    26/53

    I!*+,-"' D+/!* )+"," D"+-" & B"8" K(-"

    Setiap i%tegal $e-i%it #e#pu%&ai %ilai $e-i%it( Nilai i%i bisa $ii%tepetasi!a% se.aa

    ge*#etis sebagai $aeah tete%tu $i ba+ah !u=a tete%tu(

    Ga-i! -u%gsi !*%ti%u != f(x) $i ga#ba!a% $ala# 506( 1i!a !ita beusaha u%tu!

    #e%gu!u $aeahA 5&a%g $iasi6 &a%g $ibatasi *leh !u=a $a% su#bu x a%taa $ua titi!

    a $a% b $ala# $*#ai%" !ita bisa #ela!u!a%%&a $e%ga% .aa [email protected] Peta#a !ita bagi

    i%te=al [ a , b ] !e $ala# % subi%te=al 5ti$a! pelu sa#a pa%ja%g6( E#pat $i a%taa%&a

    $iga#ba!a% $ala# Ga#ba 0(a &aitu" n=4 &a%g peta#a a$alah [x1, x2 ] $a% &a%g

    tea!hi" [x4 , x5 ] ( Kae%a #asi%g'#asi%g #e%gga#ba!a% peubaha% $ala# x " !ita

    $apat #e%ulis!a%%&a #asi%g'#asi%g sebagai " x1 , , " x4 ( Se!aa%g" pa$a subi%te=al

    #ai !ita buat e#pat bl*! e#pat pesegi pa%ja%g se$e#i!ia% upa sehi%gga ti%ggi #asi%g'

    #asi%g bl*! sa#a $e%ga% %ilai teti%ggi $ai -u%gsi &a%g $i.apai pa$a bl*! tesebut 5&a%g

    !ebetula% $i si%i teja$i pa$a batas sisi !ii tiap

    /9 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    27/53

    e#pat pesegi pa%ja%g6( 1a$i bl*! peta#a #e#pu%&ai ti%ggi f(x1) $a% leba " x1 " $a%

    se.aa u#u#" bl*! !e # #e#pu%&ai ti%ggi f(x#) $a% leba " x# ( T*tal $aeah A

    $ai hi#pu%a% bl*! i%i a$alah ju#lah $ai

    A=

    #=1

    n

    f(x # ) " x #(n=4 da$amGambar 1.a)

    Na#u% hal i%i sebe%a%&a bukan $aeah $i ba+ah !u=a &a%g !ita .ai" tetapi ha%&a

    #eupa!a% ap*!si#asi &a%g sa%gat !asa(

    Apa &a%g #e#buat A

    #e%&i#pa%g $ai %ilai A &a%g sebe%a%&a a$alah

    bagia% bl*! e#pat pesegi pa%ja%g &a%g ti$a! $iasi i%i #e#buat A

    #eupa!a%

    *=eti#asi $ai A ( A!a% tetapi" bila bagia% &a%g ti$a! $iasi $apat $i.iut!a% besa%&a $a%

    $apat $ibuat #e%$e!ati %*l" ap*!si#asi %ilai A

    a!a% #e%$e!ati %ilai A &a%g

    /3 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    28/53

    sebe%a%&a( HAsil i%i a!a% te+uju$ bila !ita beusaha #ela!u!a% seg#e%tasi i%te=al

    [ a , b ] &a%g se#a!i% teliti" sehi%gga %ilai n $i%ai!!a% $a% " x# $ipe!e.il sa#pai ta!

    tehi%gga( 1a$i bl*!'bl*! itu a!a% #e%ja$i lebih a#pi%g 5bila lebih ba%&a!6" $a% t*%jpla% $ilua !u=a a!a% hila%g" sepeti $apat $ilihat pa$a ga#ba 0(b( )e%ga% #ela!sa%a!a%%&a teus

    !e li#it" *peasi >perampingan? i%i #e%ghasil!a%

    limn %

    #=1

    n

    f(x#)" x#=limn %

    A=daera& A (7)

    )e%ga% s&aat bah+a li#it i%i #e#a%g a$a( 5li#it itu a$a $ala# !asus se!aa%g6( Pesa#aa%

    i%i sesu%gguh%&a #eupa!a% $e-i%isi -*#al $ai $aeah $i ba+ah !u=a(

    E!spesi pe%ju#laha% $ala# 56 limn %

    #=1

    n

    f(x # ) " x # " ha#pi #iip $e%ga% e!spesi

    i%tegal $e-i%it a

    b

    f(x)dx ( Me#a%g &a%g bela!a%ga% i%i $i$asa!a% pa$a &a%g te$ahulu(

    Pe%gga%tia% " x# $e%ga% $i-ee%sial dx $ila!u!a% $e%ga% .aa &a%g sa#a sepeti pa$a

    pe#bahasa% !ita sebelu#%&a #e%ge%ai ap*!si#asi $ala# jili$ 0( 1a$i !ita bisa #e%ulis

    !e#bali f(x#)" x# #e%ja$i f(x ) dx ( Bagai#a%a $e%ga% ta%$a pe%ju#laha%%&a D N*tasi

    #=1

    n

    #e%gga#ba!a% ju#lah su!u &a%g terbatas 5finite)( Bila !ita #isal!a% n % "

    $a% #e%.ai li#it $ai ju#lah itu" %*tasi egula u%tu! *peasi se#a.a# itu aga! !ua%g

    pa!tis( 1a$i $ipelu!a% subtitusi &a%g se$eha%a( Subtitusi itu a$alah a

    b

    , $i #a%a si#b*l

    S &a%g $ipepa%ja%g juga #e%u%ju!!a% ju#lah" $a% $i #a%a a $a% b 5sepeti hal%&a

    / 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    29/53

    #=1 $a% n 6be-u%gsi u%tu! #e%jelas!a% li#it tee%$ah $a% teti%ggi $ai ju#lah i%i(

    Si%g!at%&a" i%tegal $e-i%it a$alah !epe%$e!a% u%tu! li#it e!spesi ju#lah $ala# 56" &aitu"

    a

    b

    f(x ) dx=limn %

    #=1

    n

    f(x# ) " x#=daera& A

    1a$i &a%g $i!ata!a% i%tegal $e-i%it 5&a%g $i!e%al sebagai integral eimann6 se!aa%g

    #e#pu%&ai !*%*tasi daerah $a% juga !*%*tasi!umlah " !ae%a a

    b

    a$alah pasa%ga% atau

    i#ba%ga% !*%ti%u $ai !*%sep $is!et #=1

    n

    (

    )ala# ga#ba 506" !ita #e%.*ba u%tu! #e%gap*!si#asi!a% $aeah A $e%ga%

    #e%gua%gi se.aa siste#atis esti#asi A

    &a%g telalu ti%ggi $e%ga% seg#e%tasi i%te=al

    [ a , b ] &a%g lebih bai!( ,i#it &a%g $ihasil!a% $ai ju#lah $aeah bl*! itu $isebut integral

    atasuatu ap*!si#asi $ai atas( Kita juga $apat #e%gap*!si#asi!a $aeah A $ai ba+ah

    $e%ga% #e#be%tu! bl*! e#pat pesegi pa%ja%g &a%g $ibatasi *leh !u=a $a% bu!a% &a%g

    #e%*%j*l !elua( T*tal $aeahA

    $ai hi#pu%a% bl*! &a%g bau i%i a!a% #e%gesti#asi

    A terlalu rendah 5underestimate A6" tetapi begitu seg#e%tasi [ a , b ] #e%ja$i se#a!i%

    bai!" #a!a !ita a!a% #e%$apat!a% lagi

    A=Alimn %

    .,i#it ju#lah $aeah bl*! &a%g tea!hi i%i

    $isebut integral bawah 5lower integral6( 1i!a $a% ha%&a ji!a" i%tegal atas $a% i%tegal ba+ah

    /: 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    30/53

    %ilai%&a sa#a" #a!a i%tegal Rei#a%% a

    b

    f(x ) dx telah $i$e-i%isi!a%" $a% -u%gsi f(x )

    $i!ata!a% dapat diintegralkan se.aa eimann( A$a $alil &a%g #e%e%tu!a% $i #a%a -u%gsi

    f(x) $apat $ii%tegal!a%( Sesuai $e%ga% $alil $asa !al!ulus" suatu -u%gsi $apat

    $ii%tegal!a% $ala# [a ,b ] bila -u%gsi itu !*%ti%u !ita ti$a! pelu #eisau!a% hal i%i(

    Hal lai%%&a #u%g!i% juga haus $ipehati!a%( Mes!ipu% $aeah A $ala# ga#ba

    506 teleta! seluuh%&a $ala# bagia% &a%g #e%uu% $ai !u=a !=f(x) " #e%&a#a!a%

    !*%septual i%tegal $e-i%it $e%ga% suatu $aeah juga =ali$ u%tu! bagia% !u=a &a%g

    !e#ii%ga%%&a #e%a%ja!( )ala# !e%&ataa%%&a" !e$ua je%is !e#ii%ga% i%i juga bisa teja$i

    se.aa si#ulta% #isal%&a !ita $apat #e%ghitu%g 0

    b

    f(x ) dx sebagai $aeah $i ba+ah !u=a

    $ala# ga#ba 506 $i atas gais b (

    Pehati!a% bah+a" ji!a !ita hitu%g $aeah B $ala# ga#ba 5/6 $e%ga% i%tegal

    $e-i%it a

    b

    f(x ) dx " hasil%&a a!a% %egati=e" !ae%a ti%ggi setiap bl*! e#pat pesegi pa%ja%g

    &a%g a$a $ala# $aeah i%i a$alah %egati-( I%i #e%i#bul!a% pe%getia% daerah negatif " &aitu

    $aeah &a%g teleta! $i bawah su#bu x $a% $i atas !u=a tete%tu( Oleh !ae%a itu" ji!a

    !ita tetai! pa$a %ilai %u#eis $a% bu!a% %ilai aljaba $ai $aeah tesebut" !ita a!a%

    #e%ga#bil %ilai abs*lut $ai i%tegal $e-i%it &a%g ele=a%( )aeah C=c

    d

    f(x ) dx " $i lai%

    piha! #e#pu%&ai ta%$a p*siti- #es!ipu% teleta! $ala# $aeah %egati- $ai su#bu x i%i

    /< 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    31/53

    !ae%a setiap bl*! e#pat pesegi pa%ja%g #e#pu%&ai ti%ggi &a%g p*siti- $a% juga leba &a%g

    p*siti- bila !ita begea! $ai c !e d ( )ai si%i" i#pli!asi%&a a$alah jelas bah+a

    petu!aa% $ua li#it i%tegasi" $e%ga% #e#bali! aah pegea!a%" a!a% #e%gubah ta%$a

    " x# $a% i%tegal $e-i%it( Bila $iteap!a% pa$a $aeah B " !ita lihat bah+a i%tegal $e-i%it

    b

    a

    f(x ) dx 5$ai b !e a 6 a!a% #e#bei!a% ta%$a %egati- $ai $aeah B i%i a!a%

    #e%gu!u %ilai %u#eis $aeah i%i(

    B++-"" S/"* !*+-,-"' D+/!*

    Pe#bahasa% $ala# peaga- te$ahulu #e%ga%ta !ita pa$a si-at'si-at i%tegal $e-i%it bei!ut(

    S/"* 1Petu!aa% li#it i%tegasi #e%gubah ta%$a i%tegal $e-i%[email protected]

    a

    b

    f(x ) dx=a

    b

    f(x ) dx

    I%i $apat $ibu!ti!a% sebagai [email protected]

    a

    b

    f(x ) dx=F( a )F(b )=[F(b)F(a )]=a

    b

    f(x ) dx

    I%tegal $e-i%it juga #e#ili!i bebeapa si-at lai% &a%g #e%ai!(

    S/"* II I%tegal $e-i%it #e#pu%&ai %ilai %*l bila $ua li#it i%tegasi i$e%[email protected]

    a

    a

    f(x ) dx=F( a )F( a )=0

    82 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    32/53

    Me%uut i%tepetasi >$aeah?" i%i beati bah+a $aeah 5$i ba+ah !u=a6 $i atas se#baa%g

    titi! tu%ggal $ala# $*#ai% %*l( I%i sebagai#a%a #esti%&a" !ae%a $i pu%.a! suatu titi! pa$a

    su#bu " !ita ha%&a $apat #e%gga#ba sebuah 5satu $i#e%si6 gais" ti$a! pe%ah bisa 5$ua

    $i#e%si6 $aeah(

    S/"* III I%tegal $e-i%it $apat $ie!spesi!a% sebagai pe%ju#laha% bila%ga%

    tebatas $ai subi%tegal $e-i%it sebagai [email protected]

    a

    d

    f(x ) dx=a

    b

    f(x ) dx+b

    c

    f(x ) dx+c

    d

    f(x ) dx (a

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    33/53

    S/"* V a

    b

    kf(x ) dx=ka

    b

    f(x ) dx

    S/"* VI a

    b

    [f(x )+g (x )]dx=a

    b

    f(x ) dx+a

    b

    g (x ) dx

    S/"* VII 5pehitu%ga% #e%uut bagia%6 1i!a $i!etahui u56 $a% =56(

    vdu=uv| x=bx=a

    x=a

    x=b

    udv

    x=a

    x=b

    E#pat si-at &a%g tea!hi tesebut" &a%g se#ua%&a $ia#bil $ai atua% i%tegasi i%$e-i%ite"

    ti$a! #e#elu!a% pe%jelasa% lebih la%jut(

    P"!&"!,"! L"! "*") I!*+,-"' I!&+/!*

    Kita telah #e#pe!e%al!a% i%tegal $e-i%it $e%ga% .aa #e%&isip!a% $ua li#it i%tegasi pa$a

    i%tegal i%$e-i%ite( Se!aa%g !ae%a !ita telah #e%getahu* ati i%tegal $e-i%it" #ai !ita lihat

    bagai#a%a !ita $apat #e%ge#bali!a% i%tegal $e-i%it !e i%tegal i%$e-i%ite(

    Misal!a% bah+a" $aipa$a #e%etap!a% li#it atas $ai i%tegasi pa$a b" !ita bia!a% li#it atas

    i%i #e%ja$i suatu =aiabel" &a%g u%tu! #u$ah%&a $itu%ju!!a% sebagai ( 1a$i" i%tegal a!a%

    bebe%tu!(

    a

    b

    f(x ) dx=F(x )F(a)

    Ya%g !ae%a se!aa%g #e%ja$i suatu -u%gsi " #e%u%ju!!a% $aeah =aiabel $i ba+ah !u=a

    -56( Tetapi !ae%a su!u &a%g tea!hi pa$a sebelah !a%a% #eupa!a% !*%sta%ta" #a!a

    i%tegal%&a haus #eupa!a% a%gg*ta seu#pu% $ai -u%gsi pi#iti=e -56" &a%g !ita sebut

    8/ 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    34/53

    sebelu#b&a sebagai F56L.( 1i!a !ita tetap!a% .'F5a6" #a!a i%tegal $i atas pasti #e%ja$i

    i%tegal i%$e-i%it

    f(x ) dx (

    Oleh !ae%a itu" $ai segi i%i !ita bisa #e%ga%ggap sb*l sa#a ati%&a $e%ga%

    a

    x

    " $e%ga% s&aat &a%g $i#a!su$ $e%ga% =esi tea!hi sb*l l*#it i%tegasi ba+ah $i

    hubu%g!a% $e%ga% !*%sta%ta i%tegasi *leh pesa#aa% .'F5a6(

    4. I!*+,-"' T"$ :""- I#-%+- I!*+,-"')

    Bebeapa i%tegal $i%a#a!a% >ta! +aja?( Kita a!a% #e#bahas%&a se.aa si%g!at $ua je%is $i

    a%taa%&a(

    I!*+,-") &+!,"! L#* T"$ H!,,"

    Bila !ita #e#pu%&ai i%tegal $e-i%it $ala# be%tu!

    a

    %

    f(x ) dx $a% %

    b

    f(x ) dx

    )e%ga% satu li#it i%tegasi ta! hi%gga5i%-i%ite6"!ita %a#a!a% i%tegal'i%tegal tesebut sebagai

    i%tegal ta! +aja 5i#p*pe i%tegals6( )ala# !asus i%i" ti$a!lah #u%g!i% u%tu!

    #e%ga=aluasi #asi%g'#asi%g i%tegal sebagau(

    F(% )F(a) $a% F(b )F(% )

    Kae%a % bu!a%lah a%g!a" $a% *leh !ae%a itu" ti$a! $apat $isubtitusi!a% u%tu! $ala#

    -u%gsi F56( Oleh !ae%a itu" se!ali lagi !ita haus !e#bali !e !*%sep li#it atau batas(

    I%tegal ta! +aja peta#a &a%g $isebut!a% $i atas $apat $i$e-i%isi!a% #e%ja$i li#it

    $ai i%tegal lai%%&a 5&a%g +aja6 $a% batas atas $ai i%tegasi &a%g tea!hi .e%$eu%g

    #e%ja$i % &[email protected]

    a

    %

    f(x ) dx=limb %a

    b

    f(x ) dx

    Bila li#it i%i a$a" i%tegal ta! +aja $i!ata!a% !*%=ege% 5atau #e%uju satu titi!6" $a% p*ses

    pe%e%tua% li#it a!a% #e%ghasila% %ilai i%tegal( Bila li#it%&a ti$a! a$a" i%tegal ta! +aja

    $i!ata!a% $i=ege 5#e%&eba6 $a% $ala# !e%&ata%%&a ti$a! a$a ati%&a( )e%ga% !ata &a%g

    sa#a" !ita $apat #e%$e-i%isi!a%(

    88 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    35/53

    %

    b

    f(x ) dx= lima %

    a

    b

    f(x ) dx

    C*%t*h [email protected]

    E=aluasilah 1

    %1

    x2dx ( Peta#a !ita pehati!a% bah+a

    1

    b1

    x2dx=

    1

    x ]b1=1b +1

    1a$i" i%tegal &a%g $i!ehe%$a!i a$alah

    1

    %1

    x2dx=limb %1

    bdx

    x2= limb %(1

    b +1)=1

    I%tegal ta! +aja i%i a$alah !*%=ege% $a% #e#pu%&ai %ilai 0(

    Kae%a e!spesi li#it ti$a! pa!tis u%tu! $itulis" bebeapa *a%g lebih su!a u%tu!

    #e%ghila%g!a% %*tasi li#it $a% #e%ulis%&a se.aa se$eha%a

    1

    %1

    x2dx=

    1

    x ]%1=0+1=1

    Walaupu% $itulis!a% $ala# be%tu! i%i" i%tegal ta! +aja #asih a!a% $ii%tepese%tasi!a%

    $ala# !*%sep li#it(

    Se.aa ga-i!" i%tegal ta! +aja i%i tetap #e#pu%&ai !*%*tasi suatu $aeah( Tetapi !ae%a

    li#it li#it atas i%tegasi $iii%!a% u%tu! %ai! $e%ga% %ilai &a%g #a!i% besa $ala# !asus i%i"

    batas sisi !a%a% haus $ipeluas se.aa ta! tebatas !ea ah ti#u" sepeti $itu%ju!!a% $ala#

    Ga#ba(

    Walaupu% $e#i!ia%" !ita $apat #e#peti#ba%g!a% $aeah itu #e#pu%&ai %ilai $e-i%it 5li#it6

    sebesa 0

    C*%t*h /@

    E=aluasilah 1

    %dx

    x . Sepeti sebelu#%&a"telebih $ahulu !ita $apat!a%

    87 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    36/53

    1

    bdx

    x=lnx ] b

    1=ln bln 1=lnb

    Bila !ita #isal!a%

    b % ,

    !ita #e#pu%&ai

    ln b %

    ( 1a$i i%tegal ta! +aja a$alah$i=ege%(

    Ga#ba b #e%u%ju!!a% ga-i! 0 $a% juga $aeah &a%g behubu%ga% $e%ga% i%tegal

    tete%tu( Peluasa% !e aah ti#u &a%g ta! tebatas $ai batas sisi !a%a% !ali i%i a!a%

    #e%ghasil!a% $aeah &a%g ta! tebatas" #es!ipu% be%tu! ga-i! #e%u%ju!!a% se$i!it

    !esa#aa% $e%ga% &a%g a$a pa$a Ga#ba b(

    Bagai#a%a bila !e$ua li#it i%tegasi ta! tehi%ggaD Sehi%gga peluasa% la%gsu%g $a% a!a%

    #e#bei!a% $e-i%isi

    %

    %

    f(x ) dx=limb +%a %

    a

    b

    f(x ) dx

    Se!ali lagi" i%tegal ta! +aja i%i $i!ata!a% !*%=ege% ji!a $a% ha%&a ji!a li#it sepeti $ala#

    peta%&aa% tesebut a$a(

    I!*+,-"! T"$ T+-!,,"

    Mes!ipu% $e%ga% li#it i%tegasi &a%g tebatas" i%tegal tetap $apat bebe%tu! ta! +aja bila

    i%tega% #e%ja$i ta! tehi%gga $i #a%a saja $ala# i%te=al i%tegasi a"b( ;%tu!

    #e%ge=aluasi i%tegal se#a.a# i%i" !ita se!ali lagi haus #e%ghubu%g!a%%&a $e%ga% !*%sep

    li#it(

    C*%t*h 8

    89 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    37/53

    E=aluasilah 0

    11

    xdx ( I%tegal i%i bebe%tu! ti$a! +aja !ae%a" sepeti pa$a Ga#ba b"

    i%tega%%&a ta! hi%gga pa$a li#it ba+ah $ai i%tegasi5

    1

    x

    %

    bila

    +

    x 0

    6Oleh !ae%a

    itu" peta#a'ta#a !ita .ai i%tegal

    0

    11

    xdx=lnx ]1

    a=ln 1ln a=lna u%tu! a2

    )a% !e#u$ia% #e%ge=aluasi li#it%&a sebagai+

    a 0

    a

    lna 0+

    0

    11

    xdx= lim

    a 0+

    0

    11

    xdx=lim

    Kae%a li#it i%i ti$a! a!a%a$a 5bilaa %

    a 0+, ln " i%tegal tete%tu a$alah $i=ege%(

    C*%t*h 7

    E=aluasilah 0

    9

    x1/2

    dx Bila+

    a 0 I%tega% 1/x Me%ja$i ta! hi%gga" i%tega% i%i

    bebe%tu! ti$a! +aja( Se!ali lagi" telebih $ahulu !ita .ai

    x1/2

    dx= 2x1 /2 ] 9a=62a

    0

    9

    ,i#it $ai e!spesi i%i bila+

    a 0 a$alah 3'23( 1a$i i%tega% tete%tu a$alah !*%=ege% 5!e

    36(

    83 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    38/53

    Situasi i%i $i #a%a i%tega% #e%ja$i ta! hi%gga pa$a li#it atas $ai i%tegasi pesis seupa(

    A!a% tetapi" #eupa!a% p*p*si &a%g bebe$a sa#a se!ali bila %ilai i%tega% ta! tehi%gga

    teja$i pa$a i%te=al tebu!a 5a"b6 $a% bu!a pa$a a atau b( )ala# !e#u%g!i%a% i%i" !ita pelu

    #e#a%-aat!a% a$iti=itas i%tega% $e-i%it $a% #e#isah!a% i%tega% tete%tu &a%g peta#a !e

    $ala# subi%tegal( A%ggaplah bah+a -56 % bila x ( $i#a%a p a$alah titi! $ala#

    i%te=al 5a"b6 1a$i" $e%ga% si-at a$iti=itas atau pe%ju#laha%" !ita #e#pu%&ai

    a

    b

    f(x)dx=a

    (

    f(x)dx+b

    (

    f(x)dx

    I%tegal tete%tu $i sisi !ii $apat $ia%ggap sebagai #e%&atu 5!*%=ege%6 ji!a $a% ha%&a ji!a

    setiap subi%tegal #e#pu%&ai suatu li#it(

    C*%t*h 9

    E=aluasilah

    1

    x3dx=

    1

    1

    I%tega% .e%$eu%g ti$a! tehi%gga bila #e%$e!ati %*l ja$i !ita

    haus #e%ulis i%tegal tesebut sebagai pe%ju#laha%

    1

    x3dx=

    1

    0

    1

    x3dx+

    0

    1

    1

    x3dx

    1

    1

    5!ata!a%lah ) I1+I2 6

    I%tegal I1 " #e%&eba5$i=ege%6" !ae%a

    b 0 (12b2+

    1

    2 )=%b 0

    [12 x2] b1= lim 1

    b

    x3

    dx=lim

    a 0

    lim

    8 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    39/53

    1a$i" $apat segea !ita si#pul!a%" ta%pa haus #e%ge=aluasi I2 bah+a I%tegal%&a

    $i=ege%(

    8: 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    40/53

    ; B++-"" A'$") I!*+,-"' &"'"# E$%!%#.

    I%tegal $igu%a!a% $ala# a%alisis e!*%*#i $e%ga% bebagai .aa( Kita a!a%

    #e%gga#ba!a% bebeapa apli!asi se$eha%a $ala# bagia% se!aa%g $a% !e#u$ia%

    #e%u%ju!!a% apli!asi u%tu! #*$el petu#buha% )*#a $ala# Bagia% Sela%jut%&a(D"- F(!,) M"-!"' $+ F(!,) T%*"'

    Bila $i!etahui -u%gsi t*tal 5#isal%&a" -u%gsi t*tal bia&a6" p*ses $i-ee%siasi $apat

    #e%ghasil!a% -u%gsi #aji%al 5#isal%&a" -u%gsi bia&a #aji%al6( Kae%a p*ses i%tegasi

    #eupa!a% !ebali!a% $ai $i-ee%siasi" hal i%i sebali!%&a a!a% #e#u%g!i%!a% !ita u%tu!

    #e%.ai -u%gsi t*tal $ai -u%gsi #aji%al tete%tu(

    C*%t*h 0

    1i!a Bia&a #aji%al 5MC6 suatu peusahaa% #eupa!a% -u%gsi *utput C' (* )=2e0.2* $a%

    ji!a bia&a tetap a$alah Cf=90 " Cailah -u%gsi bia&a t*tal C56( )e%ga% #e%gi%tegasi!a%

    C56 teha$ap " !ita $apat!a% bah+a

    2e0.2* d*=2 10.2

    e0.2*+c=10e0.2*+c

    Hasil i%i $apat $igu%a!a% sebagai -u%gsi C56 &a%g $ii%gi%!a% !e.uali" #e%gi%gat !*%sta%ta

    abite ." ja+aba%%&a ti#bul ta%pa $ite%tu!a%( ;%tu%g%&a" i%-*#asi bah+a Cf=90 )apat

    $igu%a!a% sebagai !*%$isi a+al u%tu! #e%etap!a% !*%sta%ta( Bila 2" t*tal bia&a Q ha%&a

    a!a% te$ii $ai Cf. Oleh !ae%a itu" $e%ga% #e%etap!a% 2 $ala# hasil .*%t*h 0" !ita

    a!a% $apat!a% %ilai

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    41/53

    S a$alah %*l bila pe%$apata% Y a$alah :0" .ailah -u%gsi tabu%ga% S5Y6( Kae%a MPS

    #eupa!a% $ei=ati=e $ai -u%gsi S" #asalah%&a se!aa%g a$alah #e%.ai i%tegasi $ai S5Y6

    S (+)=(0.30.1+12 )d+=0.3+0.2+

    1

    2+c

    Nilai spesi-i! !*%sta%ta . $apat $ijelas!a% $ai !e%&ataa% bah+a S2 bila Y:0( Mes!ipu%

    $i!ata!a% se.aa tegas bah+a hal i%i bu!a%lah !*%$isi a+al 5ti$a! behubu%ga% $e%ga% Y26"

    #e%subtitusi!a% i%-*#asi i%i !e $ala# i%tegal sebelu#%&a a!a% #e#ba%tu u%tu!

    #e%e%tu!a% .( Kae%a

    22(85:06'2(/5

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    42/53

    Pesa#aa% peta#a #eupa!a% suatu i$e%titas &a%g #e%u%ju!!a% si%*%i#itas a%taa i%=estasi

    %ett* $a% peta#baha% #*$al( Kae%a I5t6 a$alah $ei=ati=e $ai K5t6" #a!a bealasa% bah+a

    K5t6 #eupa!a% i%tegal atau a%ti$ei=ati- $ai I5t6" sepeti $itu%ju!!a% $ala# pesa#aa%

    !e$ua( Ta%s-*#asi i%tega% $ala# pesa#aa% &a%g tea!hi juga #u$ah $ipaha#[email protected] Pealiha%

    $ai I !e $K$t a$alah #e%uut $e-i%isi" $a% ta%s-*#asi sela%jut%&a a$alah $e%ga%pe#batala% $ua $i-ee%sial &a%g i$e%ti." &aitu #e%uut atua% substitusi(

    Ka$a%g'!a$a%g !*%sep i%=estasi but* $igu%a!a% besa#a $e%ga% i%=estasi %ett* $ala#

    #*$el( )e%ga% #e%u%ju!!a% i%=estasi but* $e%ga% Ig $a% i%=estasi %ett* $e%ga% I" !ita

    $apat #e%ghubu%g!a%%&a satu sa#a lai% $e%ga% pesa#aa%

    Ig=I+-

    )i#a%a - #e%gga#ba!a% ti%g!at pe%&usuta% #*$al $a% - ti%g!at i%=estasi

    pe%gga%ti 5replacement investment).

    C*%t*h 8

    Misal!a% aus i%=estasi %ett* $iga#ba!a% $e%ga% pesa#aa% I(t)=3 t1 /2

    ( $a% pese$iaa%

    #*$al a+al" pa$a +a!tu t2" a$alah K526( Beapa jalu +a!tu #*$al KD $e%ga%

    #e%gi%tegasi!a% I5t6 teha$ap t" !ita pe*leh

    (t)=I(t) dt=3 t1/2dt=2 t3 /2+c

    Sela%jut%&a" ji!a t2 $ala# e!spesi pali%g !ii $a% pali%g !a%a%" !ita $apat!a% K526.( *leh

    !ae%a itu" jalu +a!tu K a$alah

    (t)=2t3/2+(0)

    Pehati!a% !esa#aa% $asa a%taa hasil $ala# pesa#aa% $i atas(

    K*%sep i%tegal $e-i%it #ulai #asu! hitu%ga% apabila !ita i%gi% #e%$apat!a% ju#lah

    pe#be%tu!a% #*$al sela#a bebeapa i%te=al +a!tu 5$a% bu!a% jalu +a!tu K6( Kae%a

    I(t) " !ita bisa #e%ulis i%tegal $e-i%it(

    a

    b

    I(t) dt=(t)] ba=(b )(a)

    ;%tu! #e%u%ju!!a% t*tal a!u#ulasi #*$al sela#a i%te=al +a!tu a"b( Te%tu saja" hal i%i

    juga u%tu! #e%u%ju!!a% suatu $aeah $i ba+ah !u=a I5t6( Tetapi haus $ipehati!a% bah+a

    $ala# ga-i! -u%gsi K5t6( I%tegal $e-i%it i%i a!a% telihat sebagai suatu jaa! =eti.al'se.aa

    70 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    43/53

    lebih !husus" sebagai pebe$aa% a%taa $ua jaa! =eti.al K5b6 $a% K5a6( 5,ihat ,atiha% 07(8'

    76(

    ;%tu! #elihat lebih jauh pebe$aa% a%taa K5t6 $a% I5t6" #ai !ita te!a%!a% bah+a #*$ul K

    a$alah !*%sep pese$iaa%" se$a%g!a% i%=estasi I a$alah !*%sep aus( )e%ga% $e#i!ia%" K5t6

    #e%u%ju!!a% ju#lah K &a%g a$a pa$a setiap titi! +a!tu" se#e%taa I5t6 #e#bei!a% !ita

    i%-*#asi te%ta%g ti%g!at i%=estasi 5%ett*6 pe tahu% 5atau pe pei*$e +a!tu6 &a%g bela!u

    pa$a setiap +a!tu( 1a$i u%tu! #e%ghitu%g ju#lah i%=estasi %ett* &a%g $isetujui 5a!u#ulasi

    #*$al6" !ita peta#a haus #e%e%tu!!a% pa%ja%g i%te=al &a%g telibat( Fa!ta i%i $apat juga

    $ilihat bila !ita #e%ulis !e#bali i$e%titas $K$t ) I(t) sebagai d ) I (t) " &a%g

    #e%&ata!a% bah+a $K" &aitu peta#baha% $ala# K" $i$asa!a% ti$a! ha%&a pa$a I5t6" &aitu

    ti%g!at aus" tetapi juga pa$a $t" &aitu +a!tu &a%g belalu( I%i $ibutuh!a% u%tu! #e%e%tu!a%

    i%te=al +a!tu $ala# e!spesi%(t)$t &a%g #e#ba+a i%tegal $e-i%it !e $ala# ga#baa%" $a%

    #e#bei!a% epese%tasi $aeah $i ba+ah !u=a I5t6' $a% bu!a% K5t6(

    C*%t*h [email protected]

    1i!a i%=etasi #eupa!a% aus !*%sta% pa$a I5t60222 5$*lla pe tahu%6" beapa!ah t*tal

    i%=estasi %ett*5pe#be%tu!a% #*$al6 sela#a satu tahu%" $ai t2 !etD 1elas" ja+ab%&a a$alah

    0(222 I%i $apat $ipe*leh se.aa -*#al sebagai [email protected]

    0

    1

    I( t) dt=0

    1

    1.000dt=1.000 t]10=1.000

    A%$a $apat #e#bu!ti!a% bah+a ja+aba% &a%g sa#a a!a% $ipe*leh bila tahu% &a%g telibat

    a$alah t=1

    !e t/

    C*%t*h [email protected]

    1i!aI5t6 3 t1 /2

    5seibu $*lla pe tahu%6'&aitu suatu aus &a%g ti$a! !*%sta%'apa &a%g a!a%

    teja$i $e%ga% pe#be%tu!a% #*$al sela#a i%te=al +a!tu 0"7" &aitu sela#a tahu% !e$ua"

    !etiga" $a% !ee#patD 1a+aba%%&a teleta! $ala# i%tegal bei!ut $e-i%[email protected]

    1

    4

    3 t1/2

    dt=2 t3 /2 ] 41=162=14

    Be$asa!a% .*%t*h te$ahulu" !ita $apat #e%&ata!a% ju#lah a!u#ulasi #*$al sela#a

    i%te=al +a!tu 2"t" u%tu! setiap ti%g!at i%=estasi I5t6 $e%ga% i%tegal $e-i%it

    7/ 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    44/53

    I( t)dt=( t)]t0=(t)(0)

    1

    4

    Ga#ba $iba+ah #e%gilustasi!a% !asus i%te=al +a!tu 2" t0 ( )ipa%$a%g $ai su$ut &a%g

    bebe$a" pesa#aa% $i atas #e%ghasil!a% e!spesi u%tu! jalu +a!tu K5t6 sebagai [email protected]

    (t)=(0 )+0

    t

    I(t)dt

    1u#lah K pa$a setiap +a!tu t a$alah #*$al a+al $ita#bah t*tal a!u#ulasi #*$al &a%g telah

    a$a(

    N'" S+$"-"!, &"- A-() K()

    Pe#bahasa% !ita sebelu#%&a te%ta%g pe%$is!*%t*a% $a% %ilai se!aa%g" &a%g $ibatasi pa$a

    !asus %ilai #asa $epa% tu%ggal " #e#bei!a% !ita u#us pe%$is!*%t*a%

    A50Li6't !asus $is!et

    )a% Ae't !asus !*%ti%u

    Se!aa%g #isal!a% !ita #e#pu%&ai alia% atau aus %ilai #asa $epa%'&aitu sea%g!aia%

    pe%$apata% piuta%g pa$a bebagai +a!tu $a% pe%geluaa% bia&a huta%g pa$a bebagai +a!tu(

    Bagai#a%a !ita #e%ghitu%g %ilai se!aa%g $ai seluuh alia% !as atau aus !asD

    )ala# !asus $is!et" ji!a !ita $ia%ggap a%g!a pe%$apata% $i #asa #e%$ata%g tese$ia

    pa$a a!hi tahu% !e't $a% juga #e%gasu#si!a% su!u bu%ga i pe tahu%" %ilai se!aa%g

    Rt#asi%g'#asi%g a!a% teja$i

    R050Li6'0 R/50Li6'/ R850Li6'8

    78 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    45/53

    1a$i" t*tal %ilai se!aa%g #eupa!a% ju#lah

    t=1

    3

    t(1+#)3

    5 $ala# !asus $i atas a$alah huu- Yu%a%i pi" &a%g #e%u%ju!!a% +a!tu se!aa%g6(Pebe$aa% hal i%i $e%ga% u#us %ilai tu%ggal ha%&a teleta! $ala# pe%gga%tia% $e%ga% Rt

    $a% $ala# pe%&isipa% ta%$a

    K*%sep pe%ju#laha% teus bela%jut !e !asus aus !as &a%g !*%ti%u" tetapi $ala# !*%te!s

    &a%g bela!a%ga% sb*l te%tu%&a haus $ihila%g!a% $a% $iga%ti $e%ga% ta%$ai%tegal $e-i%it( Peti#ba%g!a% alia% pe%$apat &a%g !*%ti%u pa$a ti%!at R5t6 $*lla pe tahu%(

    I%i beati bah+a pa$a tt0ti%g!at aus a$alah R5t06 $*lla petahu%" tetapi pa$a +a!tu lai% tt/

    ti%g!ata%%&a a!a% #e%ja$i R5t/6 pe tahu% $e%ga% t $ia%ggap sebagai =aiabel !*%ti%&u( Pa$asetiap titi! +a!tu" ju#lah pe%$apat% sela#a i%te=al t"tL$t $apat $itulis sebagai R5t6 $t( Bila

    $i$is!*%t*!a% se.aa !*%ti%&u pa$a ti%g!at R pe tahu%" %ilai se!aa%g%&a a!a% #e%ja$i

    R5t6e'tBila pe#asalaha%%&a se!aa%g a$alah #e%.ai t*tal %ilai se!aa%g $ai alia% tiga

    tahu%" ja+aba% !ita a!a% $ipe*leh $ala# i%tegal $e-i%it [email protected]

    trtdt

    0

    3

    E!spesi i%i" &a%g #eupa!a% =esi !*%ti%&u $ai ju#lah" ha%&a bebe$a $e%ga% u#us %ilai

    ti%ggal $ala# pe%gga%tia% $e%ga% R5t6 $a% $ala# pe#bubuha% ta%$a i%tegal $e-i%it

    C*%t*h 3

    Beapa!ah %ilai se!aa%g $ai aus pe%$apata% !*%ti%u bela%gsu%g sela#a & tahu% pa$a

    ti%g!at !*%sta% sebesa ) $*lla pe tahu% $a% $i$is!*%t*!a% pa$a ti%g!at pe tahu%D

    Me%uut u#us $i atas

    0

    !/ e

    rtdt=/

    0

    !ert

    dt=/[1

    r e

    rt

    ]!0

    77 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    46/53

    1e(r! )

    [/r ert] t=!t=0=/r (er!1 )=/r

    1a$i tega%tu%g pa$a )" " $a% &( Bila )8(222" 2(23 $a% &8" #isal%&a !ita#e#pe*leh

    =30000.06

    (1e0.12 )=5000 (10.8869 )=05.655 ap*!si#asi

    Nilai biasa%&a selalu p*siti- i%i sesuai $e%ga% p*siti=itas ) $a% seta 1er! (5Bila%ga% e #e#pu%&ai pa%g!at %egai- a!a% selalu #e#bei!a% pe.aha% &a%g p*siti-(

    C*%t*h

    )ala# pes*ala% pe%&i#pa%a% a%ggu" !ita asu#si!a% bia&a pe%&i#pa%a% a$alah %*l( Asu#si

    pe%&e$eha%aa% tesebut $ipelu!a% !ae%a !ita ti$a! #e%getahui .aa u%tu! #e%ghitu%g %ilai

    se!aa%g $ai aus bia&a( )e%ga% !eti$a!tahua% i%i" se!aa%g !ita siap u%tu! #e#pesilah!a%

    pe%&alu a%ggu u%tu! #e%ge%a!a% bia&a pe%&i#pa%a%(

    Misal!a% bai&a pe#belia% $ala# !asus a%ggu seju#lah C" teja$i pa$a saat se!aa%g( Nilai

    pe%juala% 5#asa #e%$ata%g6" &a%g be=aiasi #e%uut +a!tu" se.aa u#u# bisa $i%&ata!a%

    sebagai 5t6'%ilai se!aa%g%&a #e%ja$i 5t6 ert

    Se#e%taa %ilai pe%juala%

    #e%gga#ba!a% %ilai #asa $epa% tu%ggal 5ha%&a a$a satu ta%sa!si pe%juala% $ala# !asusa%ggu i%i6" bia&a pe%&i#pa%a% #eupa!a% suatu alia%( )e%ga% asu#si bia&a i%i a$alah

    alia% !*%sta% pa$a ti%g!at s $*lla pe tahu%" t*tal %ilai se!aa%g $ai bia&a pe%&i#pa%a%

    &a%g teja$i $ala# t tahu% a!a% beju#lah

    0

    t

    s ert

    dt=s

    r(1ert)

    1a$i" %ilai se!aa%g besih" &aitu %ilai &a%g haus $i#a!si#u#!a% *leh pe%&alu'$apat

    $i%&ata!a% sebagai

    1(t)=v (t) ert sr(1ert)C=[V( t)+

    sr]e

    rt srC

    Ya%g #eupa!a% -u%gsi *bje!ti- $ala# =aiabel piliha% t tu%ggal(

    79 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    47/53

    ;%tu! #e#a!si#u#!a% N5t6" %ilai t haus $ipilih se$e#i!ia% upa sehi%gga N5t62(

    )ei=ati- peta#a i%i a$alah

    1 '(t)=V '(t) ertr

    [V( t)+

    s

    r

    ]ert

    atua% hasil !ali

    [V '(t)rV( t)s ]ert

    )a% a!a% #e%ja$i %*l ji!a $a% ha%&a ji!a

    5t65t6Ls

    1a$i" pesa#aa% &a%g tea!hi i%i bisa $ia%ggap sebagai !*%$isi *pti#asi &a%g $ipelu!a%

    u%tu! pe#iliha% +a!u pe%juala% t

    I%tepestasi e!*%*#i atas !*%$isi i%i se.aa se$eha%a #eupa!a% pe%ulaa% i%[email protected]

    5t6 #e%gga#ba!a% ti%g!at peubaha% %ilai pe%juala%" atau peta#baha% $ala# " bilape%juala% $itu%$a sela#a satu tahu%" se$a%g!a% !e$ua su!u pa$a sisi !a%a% #asi%g'#asi%g

    #e%u%ju!!a% peta#baha% bia&a bu%ga $a% bia&a pe%&i#pa%a% &a%g $ia!ibat!a% *leh

    pe%u%$aa% pe%juala% se#a.a# itu5pe%$apata% $a% bia&a $ihitu%g pa$a +a!tu t6( 1a$i"

    !*%sep #e%&a#a!a% !e$ua sisi bagi !ita ha%&a #eupa!a% >a%ggu la#a $ala# b*t*l bau?"

    !ae%a hal i%i #eupa!a% !*%$isi &a%g sa#a saja $ai MCMR $ala# be%tu! &a%g lai%(

    N'" )+$"-"!, &"- A-() P+-+!*("'

    1i!a aus !as bela%gsu%g sela#a%&a'suatu situasi &a%g $i.*%t*h!a% *leh bu%ga atas *bligasi

    pepe%tual atau pe%$apata% atas a!ti=asi #*$al &a%g ta! $apat usa! sepeti ta%ah'%ilai

    se!aa%g $ai aus !as a!a% #e%ja$i

    0

    %

    ( t)ertdt

    Ya%g #eupa!a% i%tegal ta! +aja 5i#p*e i%tegal6

    C*%t*h :

    Cailah %ilai se!aa%g $ai alia% pe%$apata% pepe%tual &a%g #e%gali pa$a ti%g!at &a%g

    seaga# sebesa ) $*lla pe tahu%" bila ti%g!at $is!*%t* !*%ti%u ( Kae%a" $ala#

    #e%ge=aluasi i%tegal ta! +aja" !ita .u!up #e%ga#bil li#it i%tegal ta! +aja( Se.aa!husus" !ita $apat #e%ulis

    0

    %

    / ert

    dt=lim! %

    0

    %

    / ert

    dt= lim! %

    /

    r(1er! )=/

    r

    73 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    48/53

    Pehati!a% bah+a paa#ete & 5ju#lah tahu%6 telah hila%g $ai ja+aba% a!hi( Hal i%i #e#a%g

    sehaus%&a teja$i" !ae%a $i si%i !ita #e%gha$api aus pepe%tual( Kita bisa #e%ga#ati

    bah+a hasil !ita 5%ilai se!aa%gti%g!at aus pe%$apata% $ibagi 56 $is!*%t*6 se.aa tepat

    behubu%ga% $e%ga% u#us &a%g lai# $isebut >!apitalisasi? $ai suatu a!ti=a $e%ga% hasil

    pepe%tual(

    6. M%&"' +-*(#("! D%#"-

    )ala# pes*ala% petu#buha% p*pulasi seta pes*ala% pe#be%tu!a% #*$al" tujua%

    u#u#%&a a$alah u%tu! #e%gga#ba!a% jalu +a!tu be$asa!a% bebeapa p*la peubaha%

    =aiabel tete%tu( )ala# #*$el petu#buha% !lasi! $ai P*-esi )*#a" $i lai% piha!" i$e%&a

    a$alah u%tu! #e%e%tu!a% je%is jalu +a!tu &a%g $ipelu!a% u%tu! #e%gatasi%&a bila !*%$isi

    e!ulibiu# tete%tu pee!*%*#ia% telah $ipe%uhi(

    K+-"!,$" K+-"

    )asa pe#i!ia% $ai #*$el )*#a sebagai [email protected]

    0( Setiap peubaha% $ala# ti%g!at aus i%=estasi pe tahu% I5t6 a!a% #e%ghasil!a% $ua pe%gauh

    a!a% #e#pe%gauhi pe#i%taa% ageat seta !apasitas p*$u!ti- e!*%*#i(/( Pe%gah pe#i%taa% a!ibat peubaha% $ala# I5t6 be*peasi #elalui p*ses #ultiplie

    5pe%gga%$aa%6" &a%g $iasu#si!a% be!eja se!eti!a itu juga( 1a$i !e%ai!a% $ala# I5t6 a!a%

    #e%ai!a% ti%g!at aus pe%$apata% pe tahu% Y5t6 sebesa !elipata% $ai peta#baha% $ala#

    I5t6( Multiplie a$alah !0s" $i#a%a s #e%u%ju!!a% !e.e%$eu%ga% #e%abu%g #aji%al

    tete%tu 5!*%sta%6( )e%ga% asu#si bah+a I5t6 #eupa!a% satu'satu%&a aus pe%geluaa%

    5paa#eti.6 &a%g #e#pe%gauhi ti%g!at aus pe%$apata%" !ita !e#u$ia% $apat #e%&ata!a%

    bah+a

    d+dt=dI

    dt1s

    8( Kapasitas pe%gauh i%=estasi $iu!u $e%ga% peubaha% ti%g!at *utput p*te%sial e!*%*#i &a%g

    #a#pu #e#p*$u!si( )e%ga% #e%gasu#si!a% asi* !apasitas #*$al &a%g !*%sta%"!ita $apat

    #e%ulis2

    ) 3 5suatu !*%sta%ta6

    )i#a%a 2 5huu- Yu%a%i !appa6 #e%u%ju!!a% !apasitas atau aus *utput p*te%sial pe

    tahu%" $a% 3 5huu- &u%a%i h*6 #e%u%u!!a% asi* !apasitas'#*$al tete%tu( Te%tu saja" i%i

    #e%&iat!a% bah+a $e%ga% pese$iaa% #*$al K5t6 pee!*%*#ia% se.aa p*te%sial sa%ggu#

    #e%gp*$u!si p*$u! tahu%a%" atau pe%$apata%" sebesa 2 ) 3 K )*lla( Pehati!a% bah+a

    $ai 2 ) 3 K 5-u%gsi p*$u!si6" sela%jut%&a d2 ) 3d K )a%

    7 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    49/53

    d2

    dt=3

    d

    dt=3I

    )ala# #*$el )*#a" e!uilibiu# $i$e-i%is!a% sebagai situasi $i #a%a !apasitas

    p*$u!t*- $igu%a!a% sepe%uh%&a( Oleh !ae%a itu" u%tu! #e%.apai e!uilibiu# $ipelu!a%

    pe#i%taa% ageat &a%g tepat sa#a $e%ga% *utput p*te%sial &a%g $apat $ihasil!a% $ala#

    suatu tahu% &aitu +=2 A!a% tetapi" bila !ita seja! a+al #ulai $ai situasi e!ulibiu#

    pes&aata%%&a a!a% be!ua%g #e%ja$i #e%&ei#ba%g!a% peubaha% !apasitas $a%

    pe#i%taa% ageat" &aitu

    d+

    dt=

    d

    dt

    1alu +a!u i%=estasi I5t6 je%is apa &a%g $apat #e#e%uhi !*%$isi e!ulibiu# i%i pa$a

    se#ua +a!tuD

    M+!

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    50/53

    3s dt=3st+c2

    )e%ga% #e%&ata!a% !e$ua hasil $a% #e%ggabu%g!a% !e$ua !*%sta%ta" !ita $apat!a%

    ln|I|=3st+c2

    ;%tu! #e%$apat!a% |I| $ai ln|I| " !ita #ela!u!a% *peasi &a%g $i!e%al sebagai

    >#e%ga#bil a%til*g $ai l% |I| "? &a%g #e%ggu%a!a% !e%&ataa% bah+a elnx=x 1a$i" bila

    tiap sisi $ai #e%ja$i e!sp*%e% !*%sta%ta e" !ita $apat!a%

    eln|I|=e3st+c

    Atau |I|=e3st+ec=A e3st $i#a%a A )e

    c

    1i!a i%=estasi%&a p*siti-" #a!a% 4I4I" sehi%gga hasil sebelu#%&a #e%ja$i I5t6 A e3st

    " $i

    #a%a A a$alah abite( ;%tu! #e#bua%g !*%sta%ta abite" !ita #isal!a% t2 $ala#

    pesa#aa% I5t6 A e3st

    ;%tu! #e%$apat!a% I526 A e0=A I%i #e%e%t!a% !*%sta%ta A $a%

    #e#u%g!i%!a% !ita u%tu! #e%ge!spesi!a% pe%&elesaia%%&a' jalu i%=estasi &a%g $is&aat!a%

    Usebagai

    I5t6I526 e3st

    )i#a%a I526 #e%u%ju!!a% ti%g!at i%=estasi a+al

    Hasil i%i #e#pu%&ai ati e!*%*#i &a%g #e%.e#as!a%( ;%tu! #e%jaga !esei#ba%ga% a%taa

    !apasitas $a% pe#i%taa% sepa%ja%g +a!tu" ti%g!at aus i%=estasi haus be!e#ba%g tepat

    pa$a ti%g!at e!sp*%e%sial 3s " sepa%ja%g jalu sepeti &a%g $iga#ba!a% $ala# ga#ba

    07(3( 1elas" se#a!i% besa laju petu#buha% i%=estasi &a%g $is&aat!a% se#a!i% besa asi*

    !apasitas #*$al" atau !e.e%$eu%ga% #e%abu%g #agi%al( Tetapi pa$a setiap ti%g!at" se!ali

    %ilai 3 dan s d i!etahui" petu#buha% jalu i%=estasi &a%g $iis&aat!a% #e%ja$i sa%gat !a!u(

    R+=%- E&,+

    Se!aa%g #e%ja$i ele=a% u%tu! #e%a%&a!a% apa &a%g a!a% teja$i ji!a laju petu#buha%a.tual $a% i%=estasi' !ata!a%a ti%g!at 'bebe$a $ai ti%g!at ps &a%g $iis&aat!a%(

    Pe%$e!ata% )*#a a$alah u%tu! #e%$e-i%isi!a% !*e-isie% utilisasi(

    7< 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    51/53

    u=limt %

    +(t)(t) u0 beati utilitas !apasitas sebelu#%&a

    )a% #e%uju!!a% bah+a u=r /3s sehi%gga u ji!a

    r

    3s $e%ga% !ata lai%" ji!a a$a

    !eti$a!sesuaia% a%taa ti%g!at a.tual $a% &a%g $ibutuh!a% r 3 s " a!hi%&a a!a% !ita

    $apat!a% 5ji!a t % Bai! !e!ua%ga% !apasitas 5u06 atau !elebiha% !apasitas 5uV06"

    tega%tu%g pa$a apa!ah lebih besa atau lebih !e.il $ai 3s

    Na#u%" $apat $itu%ju!!a% bah+a !esi#pula% te%ta%g !e!ua%ga% !apasitas $a% !elebiha%

    !apasitas be%a'be%a $ipa!ai pa$a setuap +a!tu t" ti$a! ha%&a ji!a t % Kae%a ti%g!at

    petu#buha% #e%&ata!a% bah+a

    I5t6I526et $a%dI

    dt=rI(0)ert

    Oleh !ae%a itu" !ita #e#pe*leh

    d+

    dt=

    1

    s

    dI

    dt=

    r

    sI(0)ert

    d2

    dt=3I( t)=3I(0)ert

    Rasi* a%taa !e$ua $ei=ati=e tesebut(

    d+/dtd2/dt

    = r

    3s

    A!a% #e%uju!!a% !epa$a !ita besaa% elati=e $ai pe%gauh pe%.iptaa% pe#i%taa% $a%

    pe%gauh pe%ggea! !apasitas $ai i%=estasi pa$a tiap +a!tu t" #e%uut laju petu#buha%

    92 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    52/53

    a.tual ( bila 5ti%g!at a.tual6 #elebihi 3s 5ti%g!at &a%g $ibutuh!a%6" #a!a $Y$t

    d2/dt )a% pe%gauh !apasitas( Sebali!%&a bila V 3s " a!a% a$a $e-isie%si $ala#

    pe#i%taa% ageat$a% *leh !ae%a itu teja$i !elebiha% !apasitas(

    Hal &a%g a%eh te%ta%g !esi#pula% i%i a$alah bah+a i%=estasi se.aa a.tual tu#buh pa$a

    ti%g!at &a%g lebih .epat $ai &a%g $ibutuh!a% 5 3s 6" hasil a!hi%&a a!a% beupa

    !e!ua%ga% $a% bu!a% !elebiha% !apasitas( I%i sa#a a%eh%&a bila petu#buha% i%=estasi &a%g

    sebe%a%&a !ua%g $a% ti%g!at &a%g $ibutuh!a% 5V 3s 6 !ita a!a% #e%gala#i !elebiha%

    !apasitas $a% bu!a% !e!ua%ga%( Sesu%gguh%&a" !ae%a hasil &a%g bela+a%a% i%i" bila

    se!aa%g !ita pesilah!a% >e%tepe%eu? 5+ias+asta6 u%tu! #e%&esuai!a% laju petu#buha%

    a.tual 5&a%g sa#pai se!a%g $ia%ggap sebagai !*%sta%ta6 sesuai $e%ga% situasi !apasitas

    bela!u" #a!a biasa%&a #ee!a a!a% #e#buat pe%&esuaia% &a%g salah( )ala# !asus 3s

    #isal%&a" !e!ua%ga% !apasitas a!a% #e%$**%g ti%g!at i%=estasi &a%g lebih .epat( Tetapi i%ia!a% beati !e%ai!a% $ala# " !eti#ba%g pe%gua%ga%(K*%se!ue%si%&a" !eti$a!sesuaia% $i

    a%taa laju petu#buha% a!a% se#a!i% #e%i%g!at $a% bu!a% be!ua%g#e%uu%(

    Kesi#pula%%&a $isi%i a$alah bah+a $e%ga% !*%sta%ta paa#eti. 3 $a% s tete%tu" satu'

    satu%&a jala% u%tu! #e%ghi%$ai !e!ua%ga% $a% !elebiha% !apasitas p*$u!ti- a$alah $e%ga%

    #e%u%tu% aus i%=estasi se.aa behati'hati sepa%ja%g jalu e!uilbiu# $e%ga% laju

    petu#buha% 3s $a% sepeti telah $isa!si!a%" setiap $e=iasi atau pe%&i#pa%ga% $ai

    >sisi &a%g taja#? 5>a* e$ge?6 jalu +a!tu a!a% #e%ga!ibat!a% !egagala% u%tu! #e#e%uhi

    %*#a utilisasi pe%uh &a%g $iba&a%g!a% *leh )*#a $ala# #*$el i%i" I%i #u%g!i% bu!a%

    #eupa!a% haapa% &a%g #e%gge#bia!a%(

    90 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal

  • 7/25/2019 Mathematics for Economy

    53/53

    )AFTAR P;STAKA

    Chia%g" Alpha C $a% Wai%+ight Ke=i%" /223"&asar"dasar #atematika 'konomi, ilid .

    [email protected] Ela%gga