soal pd biasa orde 1

7/23/2019 Soal PD Biasa Orde 1

1/8

1. Tentukan solusi khusus persamaan berikut jika y = 3 untuk x = 0.

exdy

dx=4

Penyelesaian

exdy

dx=4dy

dx=4ex

Maka

y= 4ex dx=4 ex+cDengan mengetahui y = 3 untuk x = 0 dapat dihitung nilai c yaitu

y=4 ex+c 3=4+c ; c=7

ehingga solusi khusus adalah !

y= 4ex

dx=4 ex

+7

". elesaikan Persamaan Di##erensial berikut dengan cara memisahkan

$ariabelnya.

dy

dx=(1+x )(1+y )

Pisahkan berdasarkan $ariabelnya untuk mendapatkan!

1

(1+y )dy=(1+x ) dx

%ika kita integrasikan kedua ruas menjadi !

1(1+y )

dy= (1+x ) dx

ln(1+y )=x+1

2x

2+c

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

By Marlia & Unasi

CONTOH SOAL & PENYELESAIAN

PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA ORDE 1

Disusun oleh !

Marlia &ndah a$itri '110(3100)*

+nasi '110(3100,*

1 M-T&M-T/- ' 2&+4&2*


2/8

3. elesaikan Persamaan Di##erensial berikut dengan cara memisahkan

$ariabelnya.

9ydydx+4x=0

Dengan memisahkan $ariabelnya diperoleh !

9ydy=4xdxelanjutnya tiap ruas diintegralkan dan didapatkan solusi !9

2y

2=2x2+c

9

2y

2+2x2=c y

2

2+

2x2

9 =

c

9

y=

(4

9 x

2

+2

9c

)


By Marlia & Unasi


3/8

5. Perhatikan persamaan di##erensial berikut!dy

dx=

x+3y2x

Persamaan di atas tidak dapat diselesaikan dengan cara memisahkan

$ariabelnya. Dalam hal ini kita lakukan substitusi y=vx 6 dengan v adalah

#ungsi x . ehingga penyelesaiaannya !

Dari y=vx didi#erensialkan menjadidy

dx=v+x

dv

dx

ehinggax+3y2x

=1+3v

2

Persamaan sekarang menjadi!

v+xdv

dx =

1+3v2

xdv

dx=1+3 v

2 v=

1+v2

2

1+vdv=

1

xdx

/edua ruas diintegrasikan menjadi !2

1+vdv= 1

xdx

2 ln(1+v)=lnx+c

(1+v )2=c . xubstitusi v=y /x didapatkan

(1+yx) =c . xatau

(x+y )2=c . x3

7. elesaikan Persamaan Di##erensial berikut!

ePdx

dydx

y=x

Penyelesaian !

Dari persamaan di atas diperoleh P=1 dan Q=x8aktor integrasinya

ePdx

=ex

%ika kedua ruas persamaan dikalikandengan ex maka !

ex( dydx y)=ex (x)

exdy

dxex . y=ex . x


By Marlia & Unasi


4/8

d

dx{ex y }=ex . x d {ePdx . y }=ePdx . x=ePdx .Q

ehingga penyelesaiannya !

d (ex y)= ex . xdx

ex

. y=ex . x+ ex dx=ex . xex+cy=x1+c /ex

%ika #aktor integrasi ePdx

= 6 maka Persamaan Di##erensial linier orde satu

bisa dinyatakan dalam bentukd

dx( . y )= . Q

Dengan bentuk di atas6 penyelesaiannya menjadi !

. y=Q dx+catau

y .ePdx

= ePdx .Qd x+c

(. elesaikan Persamaan Di##erensial berikut.dy

dx+

y

x=x . y 2

Penyelesaian!

/edua ruas dibagi y2 menjadi

y2 dy

dx+

y1

x =x

Misalkan = y1n

6 n = " sehingga z=y1 dandz

dx=y2

dy

dx

upaya suku pertama didapatdz

dxmaka persamaan dikali916 diperoleh!

y2dy

dxy

1

x =x

Misalkan = y1n 6 n = " sehingga z=y1 dan

dz

dx=y2

dy

dx

upaya suku pertama didapatdz

dxmaka persamaan dikali 916 sehingga

diperoleh!

y2dy

dx

y1

x =x


By Marlia & Unasi


5/8

dz

dx

z

x=x PD Linier

8aktor integral ePdx

dimana P =1x

maka

ePdx=e

1x

dx

=elnx=elnx1

=1

x

:entuk umum PD linier didapat !

. y= ePdx .Qd x+cehingga

1

x. z= 1

x. (x ) dx+c

z

x=x+c

z=cxx2

/arena z=y1 makacxx2 1

y1=cxx2 y=

;. elesaikan PD berikut!

(x2

+y2

)y'

=xyPenyelesaian!

y'=

xy

(x2+y2)ubstitusikan ke dalam y=vx

y=vx dy

dx=v+x

dv

dx

xy

x2+y2

= vx

2

x2+v2x2

= v

1+v2

v+xdv

dx

= v

1+v2

xdv

dx

= v

1+v2v=

vvv2

1+v2

xdv

dx=v3

1+v2(1+v

2

v3 )d v= 1xdx

(v3+ 1v )dv=lnx+c v2

2 + ln v=lnx+ lnA


By Marlia & Unasi


6/8

A

lnK=ln

K= 1

2v2

x+ lnv+ lnln

lnK vx= 1

2v2

tapi y=v x v=y

x

lnK y= x

2

2y2

2y2lnK y=x2

,.


7/8

/ita ubah persamaan di atas menjaadi bentuk persamaan :ernoulli6 sehingga

bentuknya menjadi! y'+(2x )y=(

3

x )y2

Dengan demikian maka P=(2x ); Q=(3x ) dan n="6 sehinggapenyelesaiannya adalah!

y1n=e1eI(1n )Q.dx+c .e1 dengan I=(1n )P dx

-tau y12=e1eI (12 )(3x)dx+c . e1 dengan

I= (12 ) 2x

dx=2 lnx

-tau y1=e2ln x

e2lnx 3

xdx+c . e2lnx

-tau y1=x23x3dx+c . x2

%adi y1=

32 +c . x2 atau

1

y=32 +c . x2

10. Tentukan Persamaan +mum dari Persamaan Di##erensial berikut!

(yxy2 ) dx(x2 yx ) dy=0Penyelesaian!

(yxy2 ) dx(x2 yx ) dy=0y (1xy ) dxx (xy1 ) dy=0

Misalkan z=xy y=z

x dy=

xdzzdx

x2

Persamaan Di##erensial menjadi!

z

x(1z )dxx (z1 )(xdzzdxx2 )=0

z

x(1z )dx (z1 )(xdzzdxx )=0

( x )

z (1z ) dx(z1 ) (xdzzdx )=0

(zz2 ) dx(z1 )xdz+ (z1 )zdx=0(zz2+z2z ) dx(z1 )xdz=00dx(z1 )xdz=0

( 1x )0dx(z1 ) dz=0

0dx (z1 ) dz=ABz+1dz=AB

(1

2

z2

)+z=A


By Marlia & Unasi


8/8

B+1

2z

2+z=A

( 2

2B+z2+2z=2A ,2A=C

2B+z2+2z=C

z2+2z=C2B ,C2B=D

z2+2z=D

xy2+2xyD=0

Jadi bentuk persamaan umum dari (yxy2 ) dx(x2 yx ) dy=0

-dalah xy2+2xyD=0


By Marlia & Unasi

soal pd biasa orde 1

Documents