7/21/2019 3 momentum.pdf

1/29

Tujuan Pembelajaran UmumSetelah membaca modul mahasiswa memahami

penggunaan atau penerapan persamaan

momentum untuk aliran saluran terbuka.

Tujuan Pembelajaran Khusus

Setelah membaca modul dan menyelesaikansoal-soal pelatihan mahasiswa dapatmenyelesaikan kegunaan persamaan

momentum.

7/21/2019 3 momentum.pdf

2/29

Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa momentum dari

aliran melalui suatu penampang saluran sama dengan

jumlah gayagaya yang bekerja pada elemen aliran yangditinjau. Ambil suatu volume kontrol aliran seperti pada

gambar berikut ini :

Gambar 2.23. Sket penerapan prinsip momentum untuk suatu aliran

saluran terbuka

2

Gsin

Pf

G

P1

P2

Datum

1

Z

2

z

1L

y

7/21/2019 3 momentum.pdf

3/29

Kembali digunakan Hukum Newton :

K = m . a (2.24)

Untuk aliran dalam saluran terbuka berpenampang

persegi empat dengan kemiringan kecil Persamaan

Newton tersebut dapat diuraikan sebagai berikut :

Gambar 2.24. Sket penampang saluran dari Gb. 2.23.berbentuk persegi empat

B

y

7/21/2019 3 momentum.pdf

4/29

Dari gambar 2.23 dapat dinyatakan jumlah gayagaya yang bekerja di arah aliran yaitu :

K = P1- P2+ G sin - Pf (2.25)

Dari hukum hidrostatika diketahui bahwa(lihat gambar 2.23) :

P1= g y12 B (2.26)

P2= g y12 B (2.27)

7/21/2019 3 momentum.pdf

5/29

Komponen berat cairan aliran di arah aliran :

( ) sin2sin 21 LyyBgG +=

( )L

zz 21sin

= (2.29)

(2.28)

Gaya geser yang bekerja sepanjang aliran adalah :

'2

''

..

21

0

0

ff

fff

fff

f

f

hyy

Bgp

hhBghAgp

LiORgLOiRgp

iRgT

LOTP

+=

==

==

=

=

(2.30)

7/21/2019 3 momentum.pdf

6/29

( ) ( )

t

VV

VV

yy

tBgy

yy

Bg

Lyy

BgBygByg

f

21

21

2121

212

2

2

1

22

sin2

2121

+

+

=

+

+

++

( )t

VVa 12=

Dengan menggabungkan persamaan (2.26 s/d2.31 ke dalam persamaan 2.25) didapat

persamaan sebagai berikut :

ttQm

+

+===

2

yyB

2

VV 2121

Besarnya massa aliran adalah :

Percepatan aliran adalah : (2.31)

7/21/2019 3 momentum.pdf

7/29

( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2122212121212121

2

1

2

221

21

21

212

2

2

1

21

'212121

2

'22

2121

VVyyg

hyyzzyyyyyy

VVg

yy

hyy

zzyy

yy

f

f

+=

++++

+

+=

+

++

( )

2

1

2

22121

' VVg

hzzyyf

=++

'22

2

222

2

111 fh

gVyz

gVyz +++=++

atau

dibagig B persamaan tersebut menjadi :

dibagi (y1+ y2) persamaan tersebut menjadi :

(2.32)

7/21/2019 3 momentum.pdf

8/29

Persamaan tersebut tampak seperti persamaan

energi, hanya saja koefisien pembagian yangdigunakan adalah bukan , dan tinggikehilangan energi adalah hf' = kehilangan energi

eksternal yang disebabkan oleh gayagaya

yang bekerja dari dinding dan dasar saluran

pada cairan. c

Dalam aliran seragam dimana gayagaya

permukaan yang bekerja sama dengan jumlahperedaman energi maka perbedaan antara hfdan hf' tidak terjadi.

7/21/2019 3 momentum.pdf

9/29

Penerapan persamaan momentum pada suatu

aliran dalam saluran prismatis lurus, horisontaldan pada jarak pendek, menghasilkan

persamaan sebagai berikut :

Gambar 2.25. Sket saluran prismatis lurus horisontal dan

berpenampang persegi empat

y

B

1 2

P

1

P

2

L

Y

1

Y

2

G

7/21/2019 3 momentum.pdf

10/29

( )112221 sin VVg

yQPGPP f =++

22222

22

1111

2

11

2121

2121

AzgByygBygP

AzgByygBygP

===

===

( )112221 00 VVgyQ

AzgAzg =+

dimana :

= jarak titik berat ke dasar saluran

Persamaan momentum di arah aliran :

Karena terletak horizontal : sin = 0

Karena yang ditinjau jarak yang pendekPf= 0 ( kecil sekali sehingga dapat diabaikan)

(2.33)

zDengan besaran besaran tersebut diatas maka

persamaan (2.33) menjadi :

7/21/2019 3 momentum.pdf

11/29

Az

gA

QAz

gA

Q

gA

Q

gA

Q

A

Q

A

Q

g

QAzAz

A 2

2

2

1

2

1

2

2

2

1221

+=+

=

=

FAzgA

Q=+

2

dibagi g atau , dan apabila 1 = 2 = 1 maka

persamaan tersebut menjadi :

(2.34)

(2.35)

Apabila :

7/21/2019 3 momentum.pdf

12/29

maka persamaan (2.34) dapat dinyatakan sebagai

berikut :F1 = F2 (2.36)

Persamaan (2.35) menunjukkan bahwa F

merupakan fungsi dari y ( F = f(y) ), sehingga dapat

dibuat suatu lengkung hubungan antara F dan y.

Untuk memperjelas hal ini dapat dilihat pada contohsoal sebagai berikut :

7/21/2019 3 momentum.pdf

13/29

Contoh soal 2.6

(a) Buat suatu kurva hubungan antara y dan F untuk

suatu aliran saluran terbuka berpenampang

persegi empat dengan lebar = 6 m dan

Q = 5,4 m3/det.

Disamping itu buat pula kurva hubungan antaray dan E.

Letakkan dua gambar tersebut pada satu

halaman sehingga dapat dilihat persamaan dan

perbedaan antara dua kurva tersebut.

7/21/2019 3 momentum.pdf

14/29

(b) Tentukan besarnya kedalaman kritis yc.

(c) Apabila kedalaman air awal adalah y1= 0,40yc. berapa besar kedalaman urutannya y2dengan menggunakan cara aljabar dan

dengan kurva tersebut pada soal a)

(d) Perbedaan y1 dan y2 membentuk suatuloncatan air maka hitung besarnya kehilangan

energi akibat loncatan tersebut.

7/21/2019 3 momentum.pdf

15/29

(a) Perhitungan harga E dan harga F untuk berbagai

kedalaman air dari 0,10 m sampai dengan 1,00 m

dilakukan dengan membuat tabel sebagai berikut :

Tabel 2.4. Perhitungan harga E dan harga Fcontoh soal 2.5

y A = b y V = Q/A V2/2g E zA Q2/gA F

0,100,200,300,400,500,600,700,800,90

1,00

0,601,201,802,403,003,604,204,805,40

6,00

9,004,503,002,251,801,501,191,1251,00

0,90

4,1281,0320,4590,2580,1650,1150,0720,0650,051

0,041

4,2281,2320,7590,6580,6650,7150,7720,8560,951

1,041

0,030,120,270,480,751,081,471,922,43

3,00

4,9542,4471,6511,2390,9910,8260,7080,6190,550

0,495

4,9842,5971,9211,7191,7411,9062,1782,5392,980

3,495

H E d F k i h di l d

7/21/2019 3 momentum.pdf

16/29

Harga E dan F untuk setiap harga y diplot padakertas milimeter dengan hasil seperti pada

gambar 2.26.

Gambar 2.26. Hubungan antara lengkung energi spesifik(a) dan gaya spesifik (b)

0,5 1,0 1,5 1,0 2,02,75

2

0,5

y1 = 0,18

y2 = 0,87

1,0

y

E (m)

y

F (m)4,03,0

1,0

0,5

E2 = 0,924 E1 = 1,454

Loncatan Air

1

7/21/2019 3 momentum.pdf

17/29

(b)Menentukan besarnya kedalaman kritis yc:

(1) Dari kurva seperti pada gambar (hasil

perhitungan pada pertanyaan a) didapat harga

yc= 0,44 m (titik pada E dan F minimum).

(2) Dengan cara aljabarUntuk saluran berpenampang persegi empat

diketahui ;

Ac= B yc Vc=ccc y

qByqB

AQ ==

2

D

g2

V 2=Aliran kritis :

7/21/2019 3 momentum.pdf

18/29

Untuk saluran berpenampang persegi empat :

D = y berarti untuk aliran kritis ;

( )3

2

c

c

2

c

g

q

y................2

y

g2

y/q==

det90,000,6

40,5

2m

B

Qq

=

==

( )

m

yc

44,0

81,9

9,03

2

=

=

7/21/2019 3 momentum.pdf

19/29

(c) Apabila kedalaman air awal y1= 0,40 yc= 0,40 x

0,45 m = 0,18 m.

Maka untuk mencari kedalaman urutannya

(sequent depth) digunakan persamaan gaya

spesifik : F1 = F2

849,2

0972,0752,2

18,062

18,0

18,0681,9

4,5 2

11

1

2

=+=

+

=+ AzgA

Q

22

2

2

2 62681,9

4,5849,2 y

y

yF +==

0615,0950,0 23

2 =+ yy

7/21/2019 3 momentum.pdf

20/29

mg

VyE 924,0054,087,0

)87,06(81,92

4,587,0

2 2

22

222 =+=

+=+=

mg

VyE 454,1274,118,0

)18,06(81,92

4,518,0

2 2

22

111 =+=

+=+=

mmmEEE 529,0924,0454,121 ===

Dengan cara coba-coba didapat harga y2= 0,865 m

Dengan menggunakan kurva y vs E dan y vs F

didapat y2= 0,87 m

Selanjutnya diambil y2= 0,87 m

(d) D i k d Gb 2 26 did t h

7/21/2019 3 momentum.pdf

21/29

(d) Dari kurva pada Gb 2.26 didapat harga

E = E1 E2= 0,530 m

Dari kurva hubungan antara F dan y yangditunjukkan dalam soal 2.5a dapat dilihatbahwa untuk satu harga F didapat dua harga yyaitu y1 dan y2 yang merupakan kedalamanurutan (sequent depth), kecuali pada harga Fminimum yang hanya mempunyai satu hargay, atau dapat dikatakan bahwa y1= y2= yc .Untuk membuktikan bahwa untuk F minimum,

y = ycdiperlukan penurunan sebagai berikut :

( ) 0dy

Azd

dy

dA

gA

Q

dA

dF

QF

2

2

2

=+=

+= AzgA

7/21/2019 3 momentum.pdf

22/29

Gambar 2.27. Penampang saluran berbentuk sembarang

dA dy

z

T

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa T=dy

dA

U t k b h k d l d b h ( )d

7/21/2019 3 momentum.pdf

23/29

Untuk perubahan kedalaman dyperubahan

( )

( ) Azdy

TdyzA

atau

Azdy

dyTdyzA

++

++

2

:2

2

( )Azd

Apabila diferensial tingkat tinggi (dy2) dianggap

sama dengan nol:

( ) dyAAzd =

dalamstatic momentdari luas penampang basah

terhadap permukaan air adalah :

hi dF dAQ2

7/21/2019 3 momentum.pdf

24/29

sehingga : Ady

dF+=

dy

dA

gA

Q2

2

0dy

dF=

2

:

0dy

dA

gA

Q

2

2

2

2

2

2

D

g

V

DT

A

g

V

AgA

TQ

atau

A

=

==

=

=+Jadi :

yang berarti pada harga F minimum aliran adalah

aliran kritis.

F minimum apabila

7/21/2019 3 momentum.pdf

25/29

y1

y2

Sisi miring

APRON

1.Suatu pelimpah amabang pendek seperti pada

gambar 2.28 terletak pada suatu saluran

berpenampang persegi empat

Gambar 2.28. Suatu pelimpah ambang pendek

Aliran pada sisi miring pelimpah merupakan

7/21/2019 3 momentum.pdf

26/29

Aliran pada sisi miring pelimpah merupakanaliran super kritis. Tinggi permukaan air disaluran hilir sedemikian sehingga alirannyasubkritis.Perubahan kedalaman air dari y1 = 1,00 m key2= 1,50 m menyebabkan adanya loncatan air.

Dengan menggunakan persamaan momentumhitung besarnya debit tiap satuan lebar (q) dandebit aliran (Q).

2. Untuk menstabilkan loncatan air tersebut pada

soal 1 pada apron dipasang suatu ambangsehingga debit aliran q = 10 m2/det dan

kedalaman awal dari loncatan air y1= 1,50 m dan

kedalaman urutannya y2= 2,50 m.

Dengan menggunakan persamaan momentum

7/21/2019 3 momentum.pdf

27/29

Gambar 2.29. Suatu pelimpah pada apronnya dipasangsuatu ambang

y1y2

Sisi miring

AMBANG

Dengan menggunakan persamaan momentum

hitung tekanan pada muka ambang dalam KN/m.

7/21/2019 3 momentum.pdf

28/29

Penerapan Hukum Momemtum dapatditurunkan persamaan gaya spesifik F yang

merupakan fungsi dari kedalaman aliran.

Karena gaya spesifik meruapakan fungsi darikedalaman aliran (F = f(y)) maka dapat

digambarkan suatu kurva hubungan antarakedalaman air dan gaya spesifik.

Dari kurva F vs y tersebut dapat dilihat bahwauntuk satu harga F terdapat dua harga y. Dalam

hal ini kedalaman y2merupakan kedalaman

urutan (sequence depth) dari kedalaman y1darisuatu loncatan air.

7/21/2019 3 momentum.pdf

29/29

Kedalaman air dimanaharga F minimummenunjukkan angkayang sama antara y

1dan y2(y1= y2)kedalaman ini disebut

kedalaman kritis.

Apabila untuk suatudebit aliran tertentudalam suatu saluran

prismatis kurva energispesifik dan kurva gaya

gaya spesifikdisandingkan akan

dapat digunakan untukmenentukan besarnyakehilangan energi darisuatu loncatan air yang

terjadi di salurantersebut.