analisis real

Bacaan Warga KSA

Pengantar Analisis Real Introduction to real analysis

Dikumpulkan dari berbagai sumber oleh: Abu Abdillah

KOMUNITAS STUDI ALKWARIZMI UNAAHA

2013

Komunitas Studi Al Khwarizmi Abu Abdillah ii

PERSEMBAHAN

Untuk bahan bacaan warga KSA (Komunitas Studi Al Khwarizmi).

Pesan

Janganlah kesibukan duniamu melalaikan untuk menuntut ilmu Agama,

ingatlah bahwa yang wajib ain bagi kalian adalah menuntut ilmu Agama.

Komunitas Studi Al Khwarizmi Abu Abdillah iii

KATA PENGANTAR

uku ini ditulis dalam rangka pengadaan buku ajar mata kuliah

Analisis Real I dan II, yang merupakan mata kuliah wajib.

Buku ini berisi materi yang diperuntukan bagi mahasiswa

yang telah mengambil mata Kalkulus I dan Kalkulus II. Topik-topik dalam

buku ini sebenarnya sudah dikenal oleh mahasiswa yang telah mengambil

kedua mata kuliah tersebut. Hanya saja, materi pada buku ini lebih abstrak,

teoritis, dan mendalam. Materi pada buku ini merupakan materi dasar analisis

real. Analisis real merupakan alat yang esensial, baik di dalam berbagai

cabang dari matematika maupun bidang ilmu-ilmu lain, seperti fisika, kimia,

dan ekonomi. Mata kuliah Analisis I adalah gerbang menuju mata kuliah yang

lebih lanjut, baik di dalam maupun di luar jurusan Matematika. Jika mata

kuliah ini dapat dipahami dengan baik maka mahasiswa mempunyai modal

yang sangat berharga untuk memahami mata kuliah lain. Diharapkan, setelah

mempelajari materi pada buku ini, mahasiswa mempunyai kedewasaan

dalam bermatematika, yang meliputi antara lain kemampuan berpikir secara

deduktif, logis, dan runtut, serta memiliki kemampuan menganalisis masalah

dan mengomunikasikan penyelesaiannya secara akurat dan rigorous.

Buku ini terdiri dari lima bab. Bab I membahas tentang aljabar

himpunan, fungsi, dan induksi matematika. Sebagaimana kita ketahui bahwa

materi pada bab ini adalah materi penunjang pemahaman pada bab-bab

selanjutnya, maka diharapkan para pembaca dan pengajar tidak

mengabaikan penyampaian bab I ini. Bab II membahas tentang himpunan

bilangan real. Di dalamnya, dibicarakan tentang sifat aljabar (lapangan), sifat

terurut, dan sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real. Kemudian,

dibahas tentang himpunan bagian dari himpunan bilangan real yang

B

Komunitas Studi Al Khwarizmi Abu Abdillah iv

dikonstruksi berdasarkan sifat terurutnya, yang disebut sebagai interval.

Dijelaskan pula tentang representasi desimal dari bilangan real dan

menggunakannya untuk membuktikan Teorema Cantor. Selanjutnya, bab III

berisi tentang barisan bilangan real, yang meliputi definisi dan sifat-sifat

barisan, Teorema Bolzano-Weierstrass, kriteria Cauchy, barisan divergen,

dan sekilas tentang deret tak hingga. Kemudian, bab IV mendiskusikan

tentang definisi limit fungsi (termasuk limit sepihak, limit di tak hingga, dan

limit tak hingga) dan sifat-sifatnya. Lalu, bab V membahas kekontinuan fungsi,

yang meliputi definisi fungsi kontinu dan sifat-sifatnya, fungsi kontinu pada

interval, kekontinuan seragam, serta fungsi monoton dan fungsi invers.

Buku ini masih dalam proses pengembangan dan tentunya masih jauh

dari sempurna. Untuk itu, penulis membuka diri terhadap saran dan kritik dari

pembaca, demi semakin baiknya buku ini sebagai buku ajar mata kuliah wajib

Analisis I.

Unaaha, April 2013

Penulis,

Abu Abdillah

Komunitas Studi Al Khwarizmi Abu Abdillah v

DAFTAR ISI PERSEMBAHAN ............................................................................... ii KATA PENGANTAR ......................................................................... iii DAFTAR ISI ....................................................................................... v BAB I PENDAHULUAN

1.1 Aljabar Himpunan ........................................................... 1 1.2 Fungsi ............................................................................... 8 1.3. Induksi Matematika ......................................................... 17

BAB II HIMPUNAN BILANGAN REAL

2.1 Sifat Aljabar dari R .......................................................... 27 2.2 Sifat Terurut dari R ......................................................... 29

2.3. Sifat Kelengkapan dari R ............................................... 38 2.4. Interval ............................................................................. 48 2.5 Representasi Desimal dari Bilangan Real .................... 51

BAB III BARISAN BILANGAN REAL 3.1 Definisi Barisan Bilangan real ....................................... 54

3.2 Sifat-Sifat Barisan Bilangan Real .................................. 57 3.3 Teorema Bolzano-Weierstrass ....................................... 64 3.4 Kriteria Cauchy ............................................................... 65 3.5 Barisan Divergen ............................................................ 68

3.6 Deret Tak Hingga ............................................................ 71

BAB IV LIMIT FUNGSI

4.1 Titik Timbun ..................................................................... 80 4.2 Definisi Limit Fungsi ....................................................... 81 4.3 Teorema Limit Fungsi ..................................................... 84

Komunitas Studi Al Khwarizmi Abu Abdillah vi

BAB V KEKONTINUAN FUNGSI

5.1 Definisi Fungsi Kontinu .................................................. 89 5.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu .............................................. 92

5.3 Fungsi Kontinu pada Interval ......................................... 94 5.4 Kekontinuan Seragam .................................................... 97 5.5 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers ............................... 100

DAFTAR PUSTAKA

Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya (Abu Abdillah) 1

BAB I HIMPUNAN BILANGAN REAL

ada bab ini, kita akan membahas beberapa prasyarat yang diperlukan

untuk mempelajari analisis real. Bagian 1.1 dan 1.2 kita akan

mengulang sekilas tentang aljabar himpunan dan fungsi, yang

keduanya merupakan perkakas penting untuk semua cabang matematika.

Pada bagian selanjutnya yakni bagian 1.3 kita akan mengulas mengenai

induksi matematika. Sebagaimana kita ketahui bahwa induksi matematika

berhubungan dengan sifat dasar sistem bilangan asli yang akan sering kita

gunakan pada pembuktian beberapa masalah khusus dalam bab selanjutnya.

1.1 ALJABAR HIMPUNAN

Bila A menyatakan suatu himpunan, maka untuk suatu unsur x kita akan menuliskannya menjadi

Ax ,

untuk menyatakan x suatu unsur di A , x anggota A , atau x termuat di A ,

atau A memuat x . Selanjutnya bila kita ingin menyatakan bahwa x suatu

unsur yang bukan di A maka dapat kita tuliskan menjadi:

Ax ,

Selanjutnya bila A dan B keduanya adalah himpunan sehingga untuk setiap unsur Ax mengakibatkan Bx ( setiap unsur di A juga unsur di B ), maka

kita katakan A termuat di B , atau B memuat A , atau A suatu subhimpunan

dari B , dan kita menuliskannya dengan:

BA atau AB ,

Bila BA dan terdapat unsur di B yang bukan anggota A maka kita

katakan A subhimpunan sejati dari B .

P


1.1.1. Definisi Kesamaan Dua Himpunan

Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama bila keduanya memuat unsur yang sama. Dengan kata lain untuk setiap unsur x anggota himpunan A

maka x juga merupakan anggota himpunan B , dan juga sebaliknya untuk setiap

unsur y anggota himpunan B maka y juga merupakan anggota himpunan A .

Selanjutnya kedua buah himpunan A dan B dikatakan sama maka kita menuliskannya dengan:

BA

Untuk menunjukkan bahwa BA , kita harus menunjukkan bahwa BA dan AB .

Suatu himpunan dapat ditulis dengan mendaftar anggota-anggotanya,

atau dengan menyatakan sifat keanggotaannya. Kata sifat keanggotaan

memang menimbulkan keragu-raguan, akan tetapi bila P menyatakan sifat keanggotaan (yang tak bias maknanya) maka suatu himpunan x yang

memenuhi P akan kita tuliskan dengan cara:

)(xPx

Notasi diatas kita baca: himpunan semua x yang memenuhi (sedemikian

sehingga) P . Bila perlu untuk menyatakan subhimpunan S yang memenuhi P , maka kita dapat menuliskannya dalam bentuk:

)(xPSx

Beberapa himpunan tertentu akan banyak digunakan dalam buku ini, dan

akan kita tuliskan dengan penulisan standar yakni sebagai berikut:

Himpunan bilangan asli, ,...3,2,1N

Himpunan bilangan bulat ,...2,2,1,1,0

Himpunan bilangan rasional

0,, nnmnmQ

Himpunan bilangan real, R


Contoh-contoh:

1. Himpunan 0232 xxx N , menyatakan himpunan bilangan asli yang memenuhi persamaan kuadrat 0232 xx . Karena yang memenuhi

hanya 1x dan 2x , maka himpunan tersebut dapat juga dituliskan

menjadi 2,1 .

2. Terkadang formula dapat pula digunakan untuk menyingkat penulisan

himpunan. Sebagai contoh himpunan bilangan genap positif sering dituliskan

dengan cara Nxx2 , dari pada kita menuliskannya

NN xxyy ,2 .

Operasi Himpunan

Pada bagian ini kita akan mendefinisikan aturan untuk membangun

(mengkonstruksi) himpunan baru dari himpunan yang sudah ada.

1.1.2. Definisi

a. Bila A dan B keduanya adalah himpunan, maka irisan (interseksi) dari A dan B dituliskan dengan BA , merupakan himpunan yang unsur-unsurnya adalah anggota himpunan A dan juga merupakan anggota himpunan B .

BxAxxBA dan

b. Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang unsurnya paling tidak termuat di salah satu dari himpunan A atau B . Gabungan dari himpunan A dan B dituliskan dengan BA .

BxAxxBA atau

1.1.3. Definisi

Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut dengan himpunan kosong,

dituliskan dengan atau . Bila himpunan A dan B dua himpunan yang tidak mempunyai unsur bersama (yaitu, BA ), maka A dan B dikatakan saling asing atau disjoin.


1.1.4. Teorema

Misalkan BA, dan C sebarang himpunan, maka:

a) AAAAAA , Idempoten

b) ABBAABBA , Komutatif

c) CBACBACBACBA , Asosiatif

d) CABACBACABACBA ,

Distributif.

Bukti teorema diatas diserahkan kepada pembaca!

Dimungkinkan juga untuk menunjukkan bahwa bila nAAA ,...,, 21

merupakan koleksi himpunan, maka terdapat sebuah himpunan, maka terdapat

sebuah himpunan A yang memuat unsur yang merupakan unsur semua

himpunan njA j ,...,2,1, ; dan terdapat sebuah himpunan B yang unsurnya

paling tidak unsur dari suatu njA j ,...,2,1, . Dengan menanggalkan kurung,

kita tuliskan dengan

nAAAA ...21

nBBBB ...21

Untuk mempersingkat penulisan, A dan B di atas sering dituliskan dengan

n

jjAA

1

n

jjAB

1


1.1.5. Definisi

Misalkan A dan B suatu himpunan, maka komplemen dari B relatif terhadap A , dituliskan dengan BA \ (baca A minus B ) adalah himpunan yang unsur-

unsurnya adalah semua unsur di A tetapi bukan anggota B . Dibeberapa buku

ditulis menggunakan notasi BA atau A B .

BxanAxxBA d\

Seringkali A tidak dinyatakan secara eksplisit, karena sudah

dimengerti/disepakati. Dalam situasi begini BA \ sering dituliskan dengan AC .

1.1.6. Teorema

Misalkan CBA ,, sebarang himpunan, maka )\()\()(\ CABACBA ,

)\()\()(\ CABACBA .

Bukti:

Kita akan membuktikan kesamaan pertama dan meninggalkan bagian kedua

pada pembaca sebagai bahan latihan.

Untuk menunjukkan )\()\()(\ CABACBA , berarti yang harus

ditunjukkan adalah: )\()\()(\ CABACBA dan

)\()\()(\ CABACBA

Akan ditunjukkan )\()\()(\ CABACBA

Ambil sebarang )(\ CBAx , maka Ax dan CBx , ini berarti bahwa x di A tetapi x bukan unsur B atau C , karenanya x di A tetapi

x tidak di B dan x di A tetapi x tidak di C , sehingga dapat dituliskan

BAx \ dan CAx \ , hal ini berarti bahwa CABAx \\ , sehingga terbuktilah bahwa )\()\()(\ CABACBA

Akan ditunjukkan )\()\()(\ CABACBA


Ambil sebarang )\()\( CABAy , maka BAy \ dan CAy \ , maka Ay tetapi By dan Ay tetapi Cy . Jadi Ay tetapi bukan

anggota dari B atau C . Akibatnya Ay dan CBy , ini berarti

)(\ CBAy , sehingga terbukti bahwa )\()\()(\ CABACBA .

Dari dua bukti diatas dapat disimpulkan bahwa

)\()\()(\ CABACBA .

Produk (hasil kali) kartesius

Berikut ini kita definisikan produk kartesius yang akan kita gunakan pada

pembahasan tentang fungsi pada bagian selanjutnya.

1.1.7. Definisi

Bila A dan B keduanya adalah himpunan-himpunan tak kosong, maka produk kartesius dari A dan B yang selanjutnya akan kita tuliskan menggunakan notasi

BA adalah himpunan pasangan berurut ba, dengan Aa dan Bb

BbanAabaBA d,

Sehingga bila 3,2,1A dan 5,4B , maka

5,3,4,3,5,2,4,2,5,1,4,1 BA

Latihan 1.1.

1. Gambarkan diagram yang menyatakan masing-masing himpunan pada

Teorema 1.1.4

2. Buktikan teorema 1.1.4.

3. Buktikan bahwa BA jika dan hanya jika ABA .

4. Tunjukkan bahwa himpunan D yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari

tepat satu himpunan A atau B diberikan oleh ABBAD \\ .


Himpunan D ini sering disebut selisih simetris dari A dan B . Nyatakan dalam diagram.

5. Tunjukkan bahwa selisih simetris D pada soal nomor 4, juga diberikan oleh:

BABAD \

6. Jika BA tunjukkan BAAB \\

7. Diberikan himpunan A dan B , tunjukkan bahwa BA dan BA \ saling

asing dan bahwa BABAA \ .

8. Diberikan sebarang himpunan A dan B , tunjukkan BAABA \\ .

9. Bila nAAA ,...,, 21 suatu koleksi himpunan, dan E sebarang himpunan,

tunjukkan bahwa n

jj

n

jj AEAE

11

, dan n

jj

n

jj AEAE

11

.

10. Mengacu pada soal nomor 9 tunjukkan bahwa n

jj

n

jj AEAE

11

, dan

n

jj

n

jj AEAE

11

.

11. Mengacu pada soal nomor 9 buktikan hukum de morgan

n

j

n

jjj AEAE

1 1

\\

, n

jj

n

jj AEAE

11

\\

Catatan bila jAE \ dituliskan dengan jAC , maka kesamaan diatas mempunyai bentuk

n

jj

n

jj AA

11

CC , n

jj

n

jj AA

11

CC

12. Misalkan J suatu himpunan dan untuk setiap Jj , jA termuat di E .

Tunjukkan bahwa

Jj

jJj

j AA

CC , Jj

jJj

j AA

CC


13. Bila 1B dan 2B subhimpunan dari B dan 21 BBB tunjukkan bahwa

21 BABABA

1.2 FUNGSI

Pada bagian ini kita akan membahas gagasan fundamental suatu fungsi atau pemetaan. Selanjutnya akan kita ketahui bahwa fungsi merupakan suatu jenis khusus dari himpunan, walaupun terdapat visualisasi lain yang sering lebih

bersifat sugesti. Pada bagian terakhir ini kita akan banyak membahas mengenai

jenis-jenis fungsi, tetapi sedikit lebih abstrak dibandingkan bagian ini.

Bagi matematikawan abad terdahulu kata fungsi biasanya berarti

formula tertentu, seperti

532 xxxf

yang bersesuaian dengan masing-masing bilangan real x dan bilangan lain

xf . Mungkin juga seseorang memunculkan kontroversi, apakah nilai mutlak

xxh

dari suatu bilangan real merupakan fungsi sejati atau bukan. Selain itu definisi

x diberikan pula yakni:

0,0,

xxxx

xbilabila

Dengan berkembangnya matematika, semakin jelas bahwa diperlukan definisi

fungsi yang lebih umum. Juga semakin penting untuk kita membedakan fungsi

sendiri dengan nilai fungsi itu. Disini akan mendefinisikan suatu fungsi dan hal ini

akan kita lakukan dalam dua tahap.


Definisi pertama:

suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan

korespodensi yang memasangkan masing-masing unsur x di A secara tunggal

dengan unsur xf di B .

Definisi di atas mungkin saja tidak jelas, dikarenakan tidak jelasnya

makna frase aturan korespondensi. Untuk mengatasi hal ini kita akan mendefinisikan fungsi dengan menggunakan himpunan seperti yang telah

dibahas pada bagian sebelumnya.

Berikut ini adalah definisi yang mungkin saja dapat membuat kita

kehilangan kandungan intuitif dari definisi terdahulu, tetapi kita dapatkan

kejelasan.

Ide dasar pendefinisian berikut ini adalah memikirkan gambar dari suatu

fungsi; yaitu, suatu korelasi dari pasangan berurut. Bila kita perhatikan tidak

setiap koleksi pasangan berurut merupakan gambar suatu fungsi, karena sekali

unsur pertama dalam pasangan berurut diambil, unsur keduanya ditentukan

secara tunggal.

Gambar 1.1 Gambar grafik sebuah fungsi

1.2.1. Definisi

Misalkan A dan B himpunan, suatu fungsi dari A ke B adalah

himpunan pasangan berurut di f di BA sedemikian sehingga untuk masing-


masing Aa terdapat Bb yang tunggal dengan fbaba ',,, , maka 'bb . Himpunan A dari unsur-unsur pertama dari f disebut daerah asal

domain dari f , dan dituliskan fD . Sedangkan unsur-unsur dari B yang

menjadi unsur kedua di f disebut range dari f dan dituliskan dengan fR . Notasi

BAf :

Menunjukkan bahwa f suatu fungsi dari A ke B ; akan sering kita

katakan bahwa f suatu pemetaan dari A ke B atau f memetakan dari A ke

dalam B . Bila fba , , sering ditulis dengan:

afb

Pembatasan dan Perluasan Fungsi

Bila f suatu fungsi dengan domain fD dan 1D suatu subhimpunan

dari fD , sehing kali bermanfaat untuk mendefinisikan fungsi baru 1f dengan

domain 1D dan xfxf 1 untuk setiap 1Dx . Fungsi 1f ini disebut

pembatasan fungsi f pada 1D . Sehingga menurut definisi 1.2.1, kita

mempunyai

11 , Dafbaf

Terkadang kita tuliskan 11 Dff untuk menyatakan pembatasan

fungsi f pada himpunan 1D .

Konstruksi yang serupa untuk gagasan perluasan. Bila suatu fungsi g

dengan domain gD dan gDD 2 , maka sebarang fungsi 2g dengan

domain 2D sedemikian sehingga xgxg 2 untuk setiap gDx disebut

perluasan g pada himpunan 2D .


Bayangan Langsung dan Bayangan Invers

1.2.2. Definisi

Misalkan BAf : suatu fungsi dengan domain A dan range B . Bila E

subhimpunan A , maka bayangan langsung dari E terhadap f adalah

subhimpunan Ef dari A yang diberikan oleh

ExxfEf :

Bila H subhimpunan B , maka bayangan invers dari H terhadap f adalah

subhimpunan Hf 1 dari A , yang diberikan oleh

HxfAxHf :1

Jadi bila diberikan himpunan ,AE maka titik By 1 di bayangan langsung

Ef jika dan hanya jika terdapat paling tidak sebuah titik Ex 1 sedemikian

sehingga 11 xfy . Secara sama bila diberikan BH , titik Ax 2 di dalam

bayangan invers Hf 1 jika dan hanya jika 2xfy di .H

1.2.3. Contoh

a. Misalkan RRf : didefinisikan dengan 2xxf . Bayangan langsung

himpunan 20 xxE adalah himpunan 40 yyEf . Bila

40 yyG , maka bayangan invers G adalah himpunan

221 xxGf . Jadi EEff 1 .

Disatu pihak kita mempunyai GGff 1 . Tetapi bila 11 yyH , maka kita peroleh HxxHff 101

b. Misalkan BAf : , dan G , H subhimpunan dari B kita akan tunjukkan

bahwa HfGfHGf 111


Pada buku ini kita akan bahas HfGfHGf 111 dan meninggalkan yang sebaliknya yakni

HfGfHGf 111 sebagai latihan bagi pembaca.

i. Akan dibuktikan HfGfHGf 111

Ambil sebarang HGfx 1 , ini berarti bahwa HGxf , hal

ini mengakibatkan Gxf dan Hxf , sehingga ini mengakibatkan

Gfx 1 dan Hfx 1 , karena itu HfGfx 11 bukti selesai.

ii. Bukti sebaliknya diserahkan pada pembaca.

Sifat-sifat Fungsi

1.2.4. Definisi

Suatu fungsi BAf : dikatakan injektif atau satu-satu bila untuk

setiap Axx 21, demikian sehingga 21 xx mengakibatkan 21 xfxf . Bila f satu-satu, kita katakan f suatu injeksi.

Secara ekivalen, f injektif jika dan hanya jika 21 xfxf

mengakibatkan 21 xx untuk setiap Axx 21, .

1.2.5. Definisi

Suatu fungsi BAf : dikatakan surjektif atau memetakan A pada B

bila BAf . Bila f surjektif, maka kita sebut f suatu surjeksi.

Secara ekivalen, BAf : surjektif bila BfR , yaitu untuk setiap

By terdapat Ax sedemikian sehingga yxf .

Dalam pendefinisian fungsi, penting untuk menentukan domain dan

himpunan dimana nilainya diambil. Sekali hal ini ditentukan, maka dapat

menanyakan apakah fungsi tersebut surjektif atau tidak.


1.2.6. Definisi

Suatu fungsi BAf : dikatakan bijektif bila bersifat injektif dan

surjektif. Bila suatu fungsi f bijektif, kita sebut f suatu bijeksi.

Fungsi-Fungsi Invers

Bila BAf : suatu fungsi dari A ke B , (karenanya, subhimpunan

khusus dari BA ), maka pasangan berurut AB diperoleh dengan saling

menukar unsur pertama dan kedua di f . Secara umum hasil penukaran tersebut

bukanlah fungsi. Tetapi bila f injektif, maka penukaran ini menghasilkan fungsi

yang disebut invers dari f .

1.2.7. Definisi

Misalkan BAf : suatu fungsi injektif dengan domain A dan fR di

B . Bila fbaABabg ,, , maka g suatu fungsi injektif dengan fRgD dan range A . Fungsi g disebut fungsi invers dari f dan dituliskan

.1f

Dalam penulisan fungsi yang standar, fungsi 1f berelasi dengan f

sebagai berikut: yfx 1 jika dan hanya jika xfy .

1.2.8. Contoh

Suatu fungsi 1

x

xxf dengan 1 xRxfD bersifat injektif

(buktikan f suatu injeksi untuk latihan pembaca). Selanjutnya kita akan peroleh

invers dari f adalah dirinya sendiri (bukti diserahkan pada pembaca)


Fungsi Komposisi

Sering kita ingin mengkomposisikan dua buah fungsi dengan mencari

xf terlebih dahulu, kemudian menggunakan g untuk memperoleh xfg ,

akan tetapi hal ini bisa dilakukan bila xf ada didalam domain g . Jadi kita

harus mengasumsikan bahwa gDfR

1.2.9. Definisi

Untuk fungsi BAf : dan CBg : , komposisi fg adalah fungsi

dari A ke C yang didefinisikan dengan xfgxfg untuk setiap Ax .

1.2.10. Teorema

Bila BAf : dan CBg : fungsi dan H suatu subhimpunan dari C .

Maka HfgHfgHgf 11111 .

1.2.11. Teorema

Bila BAf : dan CBg : keduanya bersifat injektif, maka

komposisi fg juga bersifat injektif.

(Bukti teorema diberikan sebagai latihan bagi pembaca)

Barisan

Fungsi dengan sebagai domain memainkan aturan yang sangat

khusus dalam analisis, yang akan kita perkenalkan daalam konsep barisan

berikut ini.

1.2.12. Definisi

Suatu barisan dalam himpunan S adalah suatu fungsi yang domannya

himpunan bilangan asli dan rangenya termuat di S .

Untuk barisan SX : , nilai X di n sering ditulis dengan nx

daripada nx , dan nilainya sering kita sebut suku ke- n barisan tersebut. Barisan

itu sendiri sering dituliskan dengan nxn atau lebih sederhana dengan nx .


Sebagai contoh, barisan di R yang dituliskan dengan nn sama artinya dengan fungsi RX : dengan nnX .

Penting sekali untuk membedakan antara barisan nxn dengan

nilainya nxn , yang merupakan subhimpunan dari S . Suku barisan harus dipandang mempunyai urutan yang diinduksi dari urutan bilangan asli,

sedangkan range dari barisan hanya merupakan subhimpunan dari S . Sebagai

contoh, suku-suku dari barisan nn1 berganti-ganti 1 dan 1 , tetapi range dari barisan tersebut adalah 1,1 , memuat dua unsur dari R

Latihan 1.2.

1. Misalkan 11 xRxBA dan subhimpunan R dari R , apakah himpunan ini fungsi?

2. Misalkan f fungsi fungsi pada R yang didefinisikan dengan 2xxf , dan

01 xRxE dan 10 xRxF tunjukkan bahwa

0 FE dan 0 FEf . Sementara 10 xRyFfEf . Disini FEf adalah subhimpunan sejati dari FfEf . Apa yang terjadi bila 0 dibuang dari E dan F ?

3. Bila E dan F seperti soal nomor 2. Tentukan FE \ dan FfEf \ dan

tunjukkan bahwa FfEfFEf \\ salah!

4. Tunjukkan bahwa bila BAf : dan E , F subhimpunan dari A , maka

FfEfFEf dan FfEfFEf .

5. Tunjukkan bila BAf : , dan G , H subhimpunan dari B , maka

HfGfHGf 111 dan HfGfHGf 111


6. Misalkan f didefinisikan dengan Rxx

xxf

,12

. Tunjukkan bahwa

f bijektif dari R pada 11: yy .

7. Untuk Rba , dengan ba , tentukan bijeksi dari bxaxA pada

10 yyB .

8. Tunjukkan bahwa bila BAf : bersifat injektif dari AE , maka

EEff 1 . Berikan suatu contoh untuk menunjukkan kesamaan tidak dipenuhi bila f tidak injektif.

9. Tunjukkan bahwa bila BAf : bersifat surjektif, dan BH , maka

HHff 1 . Berikan satu contoh untuk menunjukkan kesamaan tidak dipenuhi bila f tidak surjektif.

10. Buktikan bila BAf : suatu injeksi, maka Rbaabf ,,1 suatu

fungsi dengan domain fR . Kemudian buktikan bahwa 1f injektif dan f

invers dari 1f .

11. Misalkan BAf : injektif, tunjukkan bahwa xxff 1 untuk setiap

fDx dan yyff 1 untuk setiap fRy .

12. Berikan contoh dua buah fungsi BAf : , BAf : dari BAf : pada

BAf : sehingga BAf : , tetapi BAf :

13. Buktikan teorema 1.2.10 dan 1.2.11

14. Misalkan gf , fungsi dan xxfg untuk semua x di fD . Tunjukkan

bahwa f injektif dan fDfR dan gDgR .

15. Misalkan gf , fungsi dan dan xxfg untuk semua x di fD dan

ygf untuk semua y di gD . buktikan bahwa 1 fg


1.3 INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan metode pembuktian penting yang akan

sering digunakan dalam buku ini. Metode ini digunakan untuk menguji kebenaran

suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Walaupun

kegunaannya terbatas pada masalah tertentu, tetapi induksi matematika sangat

dibutuhkan disemua cabang matematika. Karena banyak bukti induksi

matematika sangat diperlukan disemua cabang matematika. Karena banyak bukti

induksi mengikuti urutan formal argumen yang sama, kita akan sering

menyebutkan hasilnya mengikuti induksi matematika dan meninggalkan bukti

lengkapnya kepada pembaca. Dalam bagian ini kita akan membahas prinsip

induksi matematika dan memberi beberapa contoh untuk mengilustrasikan

bagaimana proses bukti induksi.

Kita akan mengasumsikan kebiasaan (pembaca) dengan himpunan

bilangan asli

,...3,2,1 Dengan operasi matematika penjumlahan dan perkalian seperti biasa dan

dengan arti suatu bilangan kurang dari bilangan lain. Kita juga akan

mengasumsikan sifat fundamental dari berikut ini

1.3.1. Sifat urutan dengan baik di

Setiap subhimpunan tak kosong dari mempunyai unsur terkecil.

Pernyataan yang lebih detail dari sifat ini sebagai berikut: bila S sub

himpunan dari dan S , maka terdapat unsur Sm sedemikian sehingga

km untuk setiap Sk .

Dengan berdasar sifat urutan dengan baik, kita akan menurunkan suatu

versi prinsip induksi matematika yang dinyatakan dalam suku-suku subhimpunan

dari . Sifat yang dideskripsikan dalam versi ini kadang-kadang mengikuti

turunan sifat .


1.3.2. Prinsip Induksi Matematika

Misalkan S sub himpunan dari yang mempunyai sifat:

i. S1

ii. Jika Sk , maka Sk 1 .

Maka S Bukti:

Andaikan S . Maka S\ . Karenanya berdasar sifat urutan dengan baik,

maka S\ mempunyai unsur terkecil, sebut m . Karena S1 , maka 1m .

Karena itu 1m dengan 1m juga bilangan asli. Karena mm 1 dan m

unsur terkecil di SN \ , maka 1m haruslah di S .

Sekarang kita gunakan hipotesis (2) terhadap unsur 1 mk di S , yang

berakibat mmk 111 di S . Kesimpulan ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa m tidak di S . Karena m diperoleh dengan pengandaian

S\ tidak kosong, kita dipaksa pada kesimpulan bahwa S\ kosong. Karena

itu kita telah buktikan bahwa S .

Prinsip induksi matematika sering dinyatakan dalam kerangka sifat atay

pernyataan tentang bilangan asli. Bila nP berarti pernyataan tentang n ,

maka nP benar untuk beberapa nilai n , tetapi belum tentu benar untuk yang

lain. Sebagai contoh, bila nP pernyataan nn 2 , maka 1P benar,

sementara nP salah untuk semua 1n , Nn dalam konteks ini prinsip induksi matematika dapat dirumuskan sebagai berikut:

Untuk setiap n , misalkan nP pernyataan tentang n , misalkan bahwa

a) 1P benar

b) Jika kP benar, maka 1kP benar.

Maka nP benar untuk semua n . Dalam kaitannya dengan versi induksi matematika terdahulu yang

diberikan pada 1.3.2, dibuat misalkan benarnPnS maka kondisi (1) dan (2) pada 1.3.2 berturut-turut tepat bersesuaian dengan (a) dan (b). Kesimpulan

S bersesuaian dengan kesimpulan bahwa nP benar untuk semua n .


Dalam (b) asumsi jika kP benar disebut hipotesis induksi. Disini, kita

tidak memandang pada benar salahnya kP , tetapi hanya pada validitas

implikasi jika kP benar, maka 1kP benar.

1.3.3. Contoh

a. Untuk setiap Nn , jumlah n pertama bilangan asli diberikan oleh

121...21 nnn

Untuk membuktikan kesamaan ini, kita misalkan S himpunan n ,

sehingga kesamaan tersebut benar. Kita harus membuktikan kondisi (1) dan

(2) pada 1.3.2 dipenuhi.

i. Bila 1n , maka kita mempunyai 11.1.211:1 P , jadi 1P benar

ii. Bila kP kita asumsikan benar yakni

1.21...21 kkk

Bila kita tambahkan pada kedua ruas dengan 1k ,maka menjadi:

11.211...21 kkkkk

11211...21

kkkk

12211...21 kkkk

21211...21 kkkk

111211...21 kkkk

Dari persamaan terakhir kita ketahui bahwa karena kP berimplikasi pada

akibat 1kP bernilai benar, sehingga terbukti bahwa:

121...21 nnn , untuk setiap n


b. Untuk setiap n , jumlah kuadrat dari n bilangan pertama asli adalah sebagai berikut:

6

121...21 222 nnnn

Untuk membuktikan formula diatas, maka pertama-tama kita buktikan

kebenaran formula diatas untuk 1n , selanjutnya jika benar untuk kn ,

maka akan dibuktikan benar pula untuk 1 kn

i. Bila 1n , maka kita mempunyai 166

611.21111:1 P , jadi

1P benar

ii. Bila kP kita asumsikan benar yakni

6121...21 222 kkkk

Bila kita tambahkan pada kedua ruas dengan 21k ,maka menjadi:

22222 16

1211...21 kkkkkk

16

1211...21 2222 kkkkkk

6

661211...21 2222 kkkkkk

666211...21

22222 kkkkkk

667211...21

22222 kkkkk

667211...21

22222 kkkkk

6

32211...21 2222 kkkkk

6

1121111...21 2222 kkkkk


Hasil terakhir memiliki arti bahwa 1kP bernilai benar sebagai implikasi

dari kP yang bernilai benar, mengikuti induksi matematika, maka validitas formula diatas berlaku untuk setiap n

c. Diberikan ba, , kita akan buktikan pernyataan ba adalah faktor dari nn ba untuk setiap n .

Pertama-tama kita akan melihat untuk 1n , maka kita ketahui bahwa

pernyataan matematika bernilai benar karena ba adalah faktor dari

baba 11 . Selanjutnya asumsikan bahwa pernyataan juga bernilai benar untuk kn ,

sehingga ba adalah faktor dari kk ba . Selanjutnya perhatikan bahwa:

1111 kkkkkk babababa babbaaba kkkkk 11

Berdasarkan hipotesis maka kita ketahui bahwa ba faktor dari kk baa , selain itu kita ketahui bahwa ba adalah faktor dari bab k , sehingga

dari sini kita simpulkan bahwa ba adalah faktor dari 11 kk ba . Dengan induksi matematika dapat kita simpulkan bahwa ba adalah faktor dari

nn ba untuk setiap n d. Untuk setiap n buktikanlah bahwa ketaksamaan berikut benar

!12 nn

Untuk membuktikan, pertama kita lihat untuk 1n yakni 2!1121 bernilai benar.

Selanjutnya kita asumsikan bahwa !12 kk . Dengan menggunakan fakta 22 k , diperoleh:

!11!2!1.2!122.22 1 kkkkkkk


Jadi, bila ketaksamaan tersebut berlaku untuk k , maka berlaku pula untuk

1k . Karenanya dengan induksi matematika, kita simpulkan bahwa

ketaksamaan tersebut benar untuk setiap n .

e. Bila Rr , 1r dan n , maka

rrrrr

nn

11...1

12

Ini merupakan jumlah n suku deret geometri. Untuk membuktikan kesamaan

diatas, kita misalkan 1n , maka kita mempunyai r

rr

1

112

, jadi formula

diatas benar untuk 1n . Selanjutnya kita asumsikan benar untuk kn ,

sehingga r

rrrrk

k

11...1

12 benar. Selanjutnya pada kedua ruas

kita tambahkan 1kr , sehingga menjadi:

11

12

11...1

kk

kk rr

rrrrr

r

rrrr

rr

rrr

rrrrrr

kkkkkkkk

11

111

11

11...1

22111112

rrrrrr

kkk

11...1

1112

Hasil terakhir memiliki arti formula tersebut juga berlaku untuk 1 kn ,

sehingga mengikuti prinsip induksi matematika, maka formula tersebut benar

untuk setiap n . Pada sekolah menengah kita sudah diajarkan membuktikan kesamaan diatas

tanpa menggunakan induksi matematika yakni:

Misalkan nn rrrS ...12 , maka 12 ... nnn rrrrrS ,

122 ......1 nnnnn rrrrrrrrSS 111 nn rSr

rrS

n

n

11 1


f. Penggunaan prinsip induksi matematika secara ceroboh dapat menghasilkan

kesimpulan yang salah. Pembaca diharapkan mencari kesalahan pada

Bukti Teorema berikut. Bila n sebarang bilangan asli dan bila maksimum dari dua bilangan

asli p dan q adalah n , maka qp . (akibatnya bila p dan q dua bilangan

asli sebarang, maka qp ).

Bukti:

Misalkan S sub himpunan dari bilangan asli sehingga pernyataan tersebut

benar. maka S1 , karena qp, di dan maksimumnya 1. Maka maksimum

1p dan 1q adalah k , karenanya 11 qp , karena Sk , dari sini

kita simpulkan qp . Jadi Sk 1 dan kita simpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap n .

g. Terdapat juga beberapa pernyataan yang benar untuk beberapa bilangan asli,

tetapi tidak untuk semua. Sebagai contoh formula 412 nnnP

memberikan bilangan prima untuk 41,...,3,2,1n . Tetapi, 1P bukan bilangan prima.

Prinsip induksi matematika memiliki bentuk dalam versi lain yang kadang-

kadang sangat berguna. Sering disebut prinsip induksi kuat, walaupun

sebenarnya ekivalen dengan versi terdahulu.

1.3.4. Prinsip Induksi Kuat.

Misalkan S sub himpunan sedemikian hingga S1 , dan bila Sk ,...,2,1

maka Sk 1 . Maka S .

Bukti ekivalensi prinsip induksi kuat dengan prinsip induksi matematika

diserahkan pada pembaca sebagai bahan latihan.


Latihan 1.3.

Buktikan bahwa yang berikut ini berlaku untuk semua n

1. 111...

3.21

2.11

nn

nn

2. 2

333 121...21

nnn

3. 2

11...321 122 nnn

4. nn 53 dapat dibagi 6

5. 152 n dapat dibagi 8

6. 145 nn dapat dibagi 16.

7. Buktikan bahwa jumlah pangkat tiga dari bilangan asli berurutan,

2,1, nnn habis dibagi 9.

8. Buktikan bahwa nn 2 untuk semua n

9. Tentukan suatu formula untuk jumlah

12121...

5.31

3.11

nn

Dan buktikan dugaan tersebut dengan menggunakan induksi matematika.

(dugaan terhadap pernyataan matematika, sebelum dibuktikan sering disebut

Conjecture)

10. Tentukan suatu formula untuk jumlah n buah bilangan ganjil pertama

12...31 n

Kemudian buktikan dugaan tersebut dengan menggunakan induksi

matematika


11. Buktikan variasi dari 1.3.2 berikut: misalkan S subhimpunan tak kosong dari

sedemikian sehingga untuk suatu 0n berlaku (a) Sn 0 , dan (b) bila

0k dan Sk , maka Sk 1 . Maka S memuat himpunan 0nnn .

12. Buktikan bahwa !2 nn Untuk setiap 4n , n (lihat latihan 11).

13. Buktikan bahwa 2232 nn untuk setiap 5n , n (lihat latihan 11).

14. Untuk bilangan asli yang mana nn 22 ? Buktikan pernyataanmu (lihat latihan 11)

15. Buktikan bahwa nn

1...2

11

1 untuk setiap n .

16. Misalkan S sub himpunan dari N sedemikian sehingga (a) Sk 2 untuk

setiap Nk , dan (b) bila Sk , dan 2k , maka Sk 1 . Buktikan

S .

17. Misalkan barisan nx didefinisikan sebagai berikut: 11 x , 22 x , dan

nnn xxx 12 21

untuk Nn . Gunakan prinsip induksi kuat 1.3.4. untuk

menunjukkan 21 nx untuk setiap n .


BAB II HIMPUNAN BILANGAN REAL

ab ini menjelaskan tentang hal-hal yang berkaitan dengan dengan

sistem bilangan real sebagai suatu sistem matematika yang

memiliki sifat-sifat sebagai suatu lapangan yang terurut dan lengkap.

Yang dimaksud dengan sistem bilangan real sebagai suatu lapangan di sini

adalah bahwa pada himpunan semua bilangan real R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian berlaku sifat-sifat aljabar dari lapangan. Sifat

terurut dari R berkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan real, sedangkan sifatnya yang lengkap berkaitan dengan konsep

supremum atau batas atas terkecil. Teorema-teorema dasar dalam kalkulus

elementer, seperti Teorema Eksistensi Titik Maksimum dan Minimum, Teorema

Nilai Tengah, Teorema Rolle, Teorema Nilai Rata-Rata, dan sebagainya,

didasarkan atas sifat kelengkapan dari R ini. Sifat ini berkaitan erat dengan konsep limit dan kekontinuan. Dapat dikatakan bahwa sifat kelengkapan dari R mempunyai peran yang sangat besar di dalam analisis real.

Bab ini terdiri dari beberapa sub bab. Sub bab 2.1 membahas sifat lapangan dari

R . Sub bab 2.2 menjelaskan sifat terurut dari R , dan di dalamnya dibahas juga tentang konsep nilai mutlak. Pada sub bab 2.3 didiskusikan tentang sifat

kelengkapan dari R . Pada sub bab ini dibahas mengenai sifat Archimedean dan sifat kerapatan dari himpunan bilangan rasional. Selanjutnya, sub bab 2.4,

menjelaskan tentang interval, sebagai suatu himpunan bagian dari R yang dikonstruksi berdasarkan sifat terurut dari R . Yang terakhir, sub bab 2.5 membahas tentang representasi desimal dari bilangan real. Pada sub bab ini,

juga dipaparkan bagaimana membuktikan Teorema Cantor dengan

menggunakan konsep representasi desimal dari bilangan real ini. Teorema

Cantor mengatakan bahwa himpunan R merupakan himpunan yang tak terhitung (uncountable).

B


2.1 Sifat Aljabar dari R

Sifat 2.1 (Sifat Aljabar dari R ). Pada himpunan bilangan real R yang dilengkapi operasi penjumlahan ( ) dan operasi perkalian ( ) berlaku sifat-sifat,

terhadap operasi penjumlahan :

T1. a b b a untuk setiap Rba,

T2. a b c a b c untuk setiap Rcba ,,

T3. Terdapat elemen R0 sedemikian sehingga 0 0a a a untuk setiap

Ra

T4. Terdapat elemen R a sedemikian sehingga 0a a a a untuk

setiap Ra terhadap operasi perkalian :

K1. a b b a untuk setiap Rba,

K2. a b c a b c untuk setiap Rcba ,,

K3. Terdapat elemen R1 sedemikian sehingga 1 1a a a untuk setiap

a

K4. Terdapat elemen Ra/1 sedemikian sehingga 1/ 1/ 1a a a a

untuk setiap Ra , dan

D. a b c a b a c dan b c a b a c a untuk setiap Rcba ,, .

Sifat T1 dan K1 merupakan sifat komutatif, sifat T2 dan K2 merupakan sifat

asosiatif, sifat T3 dan K3 menunjukkan eksistensi elemen identitas, dan sifat T4

dan K4 menunjukkan eksistensi elemen invers, berturut-turut masing-masing

terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Yang terakhir, sifat D merupakan

sifat distributif perkalian atas penjumlahan. Sifat T1-T4, K1-K4, dan D yang

dipenuhi oleh semua elemen di R , menjadikan R dipandang sebagai suatu lapangan.


Terkait dengan elemen identitas 0 (terhadap operasi penjumlahan) dan 1

(terhadap operasi perkalian), kita memiliki fakta bahwa kedua elemen ini

merupakan elemen yang unik atau tunggal. Selain itu, perkalian setiap elemen di

R dengan elemen 0 hasilnya adalah 0. Fakta-fakta ini, secara formal matematis, dapat direpresentasikan dalam teorema berikut ini.

Teorema 2.2.

a. Jika Raz, dan z a a maka 0z .

b. Jika u b b dengan Rbu, dan 0b maka 1.u

c. 0 0a untuk setiap Ra . Bukti. a. Berdasarkan sifat T3, T4, T2, dan hipotesis z a a ,

0 0z z z a a z a a a a . b. Berdasarkan sifat K1, K2, K3, dan hipotesis u b b , 0b ,

1 1/ 1/ 1/ 1u u u b b u b b b b . c. Berdasarkan sifat K3, D, dan T3,

0 1 0 1 0 1a a a a a a a .

Berdasarkan a., diperoleh bahwa 0 0a .

Selain fakta di atas, kita juga memiliki fakta berikut ini.

Teorema 2.3.

a. Jika Rba, , 0a , dan 1a b maka 1/b a .

b. Jika 0a b maka 0a atau 0b . Bukti.

a. Berdasarkan sifat K3, K4, K2, dan hipotesis 0a , dan 1a b ,

1 1/ 1/ 1 1/ 1/b b b a a b a a a a .

b. Andaikan 0a dan 0b . Akibatnya, 1/ 1a b a b . Berdasarkan hipotesis, yaitu 0a b , dan Teorema 2.2.c., kita memiliki bahwa

1/ 0 1/ 0a b a b a b ,


Terjadi kontradiksi di sini, yaitu antara pernyataan 1/ 1a b a b dan

1/ 0a b a b . Dengan demikian, haruslah bahwa 0a atau 0b .

Teorema 2.3.a. mengatakan bahwa eksistensi invers dari suatu elemen di R adalah unik. Sedangkan Teorema 2.3.b. mengandung arti bahwa perkalian dua

elemen tak nol di R tidaklah mungkin menghasilkan elemen nol.

Di dalam himpunan bilangan real R dikenal pula operasi lain, yaitu operasi pengurangan ( ) dan pembagian (:). Jika Rba, maka operasi pengurangan

didefinisikan dengan :a b a b sedangkan operasi pembagian

didefinisikan dengan : : 1/a b a b , 0b .

2.2 SIFAT TERURUT DARI R

Seperti yang telah disinggung pada pendahuluan bab ini, sifat terurut dari R berkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan

real. Seperti apa kedua konsep tersebut? Di sini, kita akan membahasnya.

Terlebih dahulu kita akan membahas konsep kepositifannya.

Sifat 2.4 (Sifat Kepositifan). Terdapat himpunan bagian tak kosong dari R ,

yang dinamakan himpunan bilangan real positif R , yang memenuhi sifat-sifat :

a. Jika Rba, maka Rba .

b. Jika Rba, maka Rba .

c. Jika Ra maka salah satu diantara tiga hal, yaitu Ra , 0a , dan Ra , pasti terpenuhi.

Sifat 2.4.c. disebut juga sebagai sifat Trichotomy. Sifat ini mengatakan bahwa R dibangun oleh tiga buah himpunan yang disjoin. Tiga buah himpunan tersebut

adalah himpunan Raa : yang merupakan himpunan bilangan real negatif, himpunan 0 , dan himpunan bilangan real positif R . Himpunan Raa :


bisa juga dituliskan dengan R . Jika Ra maka 0a dan a dikatakan

sebagai bilangan real positif. Jika 0Ra maka 0a dan a dikatakan

sebagai bilangan real nonnegatif. Jika Ra maka 0a dan a dikatakan

sebagai bilangan real negatif. Jika 0Ra maka 0a dan a dikatakan sebagai bilangan real nonpositif.

Penjumlahan k buah suku elemen 1 menghasilkan bilangan k . Himpunan

bilangan k yang dikonstruksi dengan cara demikian disebut sebagai himpunan

bilangan asli, dinotasikan dengan N . Himpunan N ini merupakan himpunan

bagian dari himpunan R . Himpunan ini memiliki sifat fundamental, yakni bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari N memiliki elemen terkecil. Sifat yang demikian disebut sebagai sifat well-ordering dari N .

Selanjutnya, jika kita ambil sembarang Nk maka Nk . Gabungan

himpunan N , 0 , dan : Nk k membentuk suatu himpunan yang disebut

sebagai himpunan bilangan bulat, dinotasikan dengan Z . Himpunan bilangan asli N disebut juga sebagai himpunan bilangan bulat positif, dinotasikan dengan

Z , sedangkan himpunan : Zk k disebut juga himpunan bilangan bulat

negatif, dinotasikan dengan Z .

Dari himpunan Z , kita bisa mengonstruksi bilangan dalam bentuk /m n , dengan 0n . Bilangan real yang dapat direpresentasikan dalam bentuk yang demikian

disebut sebagai bilangan rasional. Sebaliknya, bilangan real yang tidak dapat

direpresentasikan dalam bentuk itu disebut sebagai bilangan irasional. Himpunan

bilangan rasional dinotasikan dengan Q . Dapat dikatakan bahwa himpunan bilangan real R merupakan gabungan dua himpunan disjoin, himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. Bilangan 2 dan 0 merupakan contoh

bilangan-bilangan rasional, dan dapat ditunjukkan bahwa 2 , akar dari

persamaan 2 2x , merupakan contoh bilangan irasional (lihat Bartle-Sherbert [1]).


Sekarang, kita sampai kepada penjelasan tentang konsep ketidaksamaan antara

dua bilangan real, sebagai salah satu konsep yang berkaitan dengan sifat terurut

dari R .

Definisi 2.5. Misalkan Rba, .

a. Jika Rba maka a b atau b a .

b. Jika 0 Rba maka a b atau b a .

Sifat Trichotomy dari R mengakibatkan bahwa untuk sembarang Rba,

berlaku salah satu dari a b , a b , atau a b . Selain itu, dapat ditunjukkan

bahwa jika a b dan a b maka a b . Dari sifat terurut, dapat juga diperoleh fakta-fakta berikut ini.

Teorema 2.6. Misalkan Rcba ,, .

a. Jika a b dan b c maka a c .

b. Jika a b maka a c b c .

c. Jika a b dan 0c maka ac bc . Jika a b dan 0c maka ac bc .

d. Jika 0ab maka 0a dan 0b , atau 0a dan 0b .

e. Jika 0ab maka 0a dan 0b , atau 0a dan 0b .

Bukti Teorema 2.6.a-2.6.b menggunakan definisi 2.5 dan Teorema 2.6.d-2.6.e

menggunakan sifat Trichotomy. Bukti Teorema tersebut ditinggalkan sebagai

latihan bagi para pembaca.

Jika kita mengambil sembarang 0a maka 12 0a dan 120 a a . Hal ini

mengandung arti setiap kita mengambil bilangan positif pasti selalu didapat

bilangan positif lain yang lebih kecil daripadanya. Dengan kata lain, tidak terdapat

bilangan positif yang terkecil. Pernyataan ini merupakan maksud dari teorema

berikut ini.


Teorema 2.7. Jika Ra dan 0 a untuk setiap 0 maka 0a .

Bukti. Andaikan 0a . Pilih 12 a . Kita peroleh 0 a . Pernyataan ini

kontradiksi dengan hipotesis bahwa 0 a untuk setiap 0 . Dengan

demikian, haruslah bahwa 0a . Sebelumnya kita telah dikenalkan dengan bilangan real nonnegatif, yaitu elemen

dari himpunan 0R . Jika 0a atau 0a maka jelas bahwa 0Ra .

Jika 0a tentunya 0a , sehingga 0 Ra . Berdasarkan hal tersebut, akan didefinisikan apa yang disebut sebagai nilai mutlak dari suatu bilangan real.

Nilai mutlak ini akan me-nonnegatif-kan bilangan-bilangan real.

Definisi 2.8 (Nilai Mutlak). Nilai mutlak dari bilangan real a , dinotasikan dengan

a , didefinisikan dengan

, 0:

, 0.a a

aa a

Dari Definisi 2.8 tersebut tampak bahwa 0a atau a adalah bilangan

nonnegatif untuk setiap bilangan real a . Sebagai contoh, 1 1 , 0 0 , dan

2 2 .

Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu, di

antaranya seperti yang tertuang dalam fakta berikut ini.

Teorema 2.9.

a. ab a b untuk setiap Rba, .

b. Misalkan 0c dan Ra , a c jika dan hanya jika c a c .

c. Misalkan 0c dan Ra , a c jika dan hanya jika a c atau a c .

Bukti.


a. Jika 0a atau 0b maka 0 0ab dan 0a b . Jika , 0a b maka

0ab , a a , dan b b , sehingga ab ab dan a b ab . Jika 0a

dan 0b maka 0ab , a a , dan b b , sehingga ab ab dan

a b a b ab . Untuk kasus 0a dan 0b , penyelesaiannya serupa

dengan kasus sebelumnya.

b. Misalkan a c . Untuk 0a , kita peroleh a a c , sehingga didapat

0 a c . Untuk 0a , kita peroleh a a c atau a c , sehingga

didapat 0c a . Dengan menggabungkan hasil dari kedua kasus tersebut, kita peroleh c a c .

Untuk sebaliknya, misalkan c a c . Hal tersebut mengandung arti c a dan a c . Dengan kata lain, a c dan a c . Lebih sederhana, yang

demikian dapat dituliskan sebagai a c .

c. Misalkan a c . Untuk 0a , kita peroleh a a c . Untuk 0a , kita

peroleh a a c atau a c . Dengan menggabungkan hasil dari kedua

kasus tersebut, kita peroleh a c atau a c .

Untuk sebaliknya, jika a c atau a c maka a c atau a c . Dengan

kata lain, a c .

Perhatikan kembali sifat nilai mutlak yang terdapat pada Teorema 2.9. Untuk

yang bagian a., jika a b maka 2 2a a a a . Untuk bagian b., jika c a

maka a a a .

Selanjutnya, kita sampai kepada sifat nilai mutlak yang lain, yang dinamakan

dengan Ketidaksamaan Segitiga. Ketidaksamaan ini mempunyai kegunaan yang

sangat luas di dalam matematika, khususnya di dalam kajian analisis dan aljabar.


Teorema 2.10 (Ketidaksamaan Segitiga). Jika Rba, maka a b a b

dan kesamaan terjadi atau a b a b jika a kb , dengan 0k .

Bukti. Seperti yang telah dibahas sebelumnya, jika Rba, maka dapat

diperoleh bahwa a a a dan b b b . Jika kedua ketidaksamaan ini

kita jumlahkan maka a b a b a b atau a b a b . Bukti untuk pernyataan berikutnya ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca.

Lebih jauh, sebagai konsekuensi dari Teorema 2.10, kita memiliki akibat berikut

ini.

Akibat 2.11. Jika Rba, maka a b a b dan a b a b .

Bukti. Perhatikan bahwa a a b b . Dengan menggunakan ketidaksamaan

segitiga, a a b b a b b atau a b a b . Dengan cara yang

serupa dapat kita peroleh bahwa b b a a a b a . Akibatnya,

b a a b atau a b a b . Akhirnya, kita memiliki

a b a b a b atau a b a b .

Selanjutnya, perhatikan bahwa a b a b a b a b ,

berdasarkan ketidaksamaan segitiga.

Selanjutnya, kita akan melihat bagaimana konsep terurut dari R ini diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah-masalah ketidaksamaan.

Contoh 2.12. Tentukan himpunan penyelesaian dari ketidaksamaan 4 2 6x . Penyelesaian. Perhatikan bahwa

4 2 4 2 6 4 2 2 6 2 4 8 2x x x x x .

Tampak bahwa ketidaksamaan 4 2 6x dipenuhi oleh semua

: 2x x x .


Contoh 2.13. Cari semua penyelesaian dari ketidaksamaan 2 6x x . Penyelesaian. Perhatikan bahwa

2 26 6 0 2 3 0x x x x x x .

Darinya kita peroleh bahwa 2 0x dan 3 0x , atau 2 0x dan 3 0x .

Untuk kasus yang pertama kita dapatkan 2x dan 3x , atau dengan kata

lain 2 3x . Untuk kasus yang kedua kita peroleh bahwa 2x dan 3x . Perhatikan bahwa pada kasus kedua tersebut tidak ada nilai x yang

memenuhinya. Dengan demikian, ketidaksamaan 2 6x x dipenuhi oleh

semua 32: xxx R .

Contoh 2.14. Selidiki apakah ketidaksamaan

2 22 3xx

memiliki penyelesaian.

Penyelesaian. Perhatikan bahwa

2 2 2 32 3 82 0 02 3 2 3 2 3

x xx xx x x

.

Yang demikian berarti 3 8 0x dan 2 3 0x , atau 3 8 0x dan

2 3 0x . Untuk kasus yang pertama kita peroleh 8 / 3x dan 3/ 2x . Namun hal itu tidak mungkin terjadi, artinya tidak ada x yang memenuhi. Untuk

kasus yang kedua kita peroleh 8 / 3x dan 3 / 2x , atau dengan kata lain

8 / 3 3 / 2x . Jadi ketidaksamaan

2 22 3xx

memiliki penyelesaian, dan himpunan semua penyelesaiannya adalah

2/33/8: xx R .

Contoh 2.15. Cari himpunan penyelesaian dari 2 1 5x .


Penyelesaian. Berdasarkan Teorema 1.9.b., 5 2 1 5x atau 6 2 4x .

Darinya kita peroleh 3 2x . Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

23: xx R

Bisa juga ketidaksamaan tersebut diselesaikan dengan cara lain. Perhatikan

bahwa

2 1, 1/ 2

2 12 1 , 1/ 2.

x xx

x x

jika jika

Penyelesaiannya dibagi menjadi dua kasus, yaitu :

Kasus I, /x 1 2 .

Kita peroleh 2 1 2 1 5x x . Akibatnya, 2 4x atau 2x . Pada kasus ini,

himpunan penyelesaian dari 2 1 5x adalah

22/1:2:2/1: xxxxxx RRR l. Kasus II, /x 1 2 .

Kita peroleh 2 1 2 1 2 1 5x x x . Akibatnya, 2 6x atau 3x .

Pada kasus ini, himpunan penyelesaian dari 2 1 5x adalah

2/13:3:2/1: xxxxxx RRR .

Penyelesaian seluruhnya dari 2 1 5x adalah himpunan penyelesaian kasus I

digabung dengan himpunan penyelesaian kasus II. Akibatnya, kita dapatkan

himpunan penyelesaian keseluruhan dari 2 1 5x adalah

23: xx R .

Contoh 2.17. Tentukan himpunan penyelesaian dari 1 2x x .

Penyelesaian. Sebelum melangkah jauh di dalam menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, perhatikan bahwa

, 0, 0 jika jika

x xx

x x

dan

1, 11

1 , 1. jika jika

x xx

x x

Penyelesaiannya kita bagi menjadi tiga kasus terlebih dahulu, yaitu :


Kasus I, x 1 .

Kita peroleh x x dan 1 1 1x x x . Akibatnya,

1 1 2x x x x atau 2 3x atau 3/ 2x . Pada kasus ini,

himpunan penyelesaian dari 1 2x x adalah

12/3:1:2/3: xxxxxx RRR . Kasus II, x 1 0 .

Kita peroleh x x dan 1 1x x . Akibatnya, 1 1 2x x x x

atau 1 2 . Ketidaksamaan 1 2 dipenuhi oleh semua Rx . Untuk kasus II,

himpunan penyelesaian dari 1 2x x adalah

01:01: xxxxx RRR . Kasus III, x 0 .

Kita peroleh x x dan 1 1x x . Akibatnya, 1 1 2x x x x atau

2 1x atau 1/ 2x . Untuk kasus III, himpunan penyelesaian dari 1 2x x

adalah

2/10:2/1:0: xxxxxx RRR . Dengan menggabungkan himpunan penyelesaian untuk kasus I, kasus II, dan

kasus III, diperoleh seluruh nilai Rx yang memenuhi ketidaksamaan

1 2.x x , yaitu 2/12/3: xx R .

Contoh 2.18. Selidiki apakah ketidaksamaan 3 2 4x x memiliki

penyelesaian.

Penyelesaian. Sebelum melangkah jauh di dalam menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, perhatikan bahwa

3, 3

33 , 3.

jika jika

x xx

x x

dan

2, 2

22 , 2.

jika jika

x xx

x x

Penyelesaiannya kita bagi menjadi tiga kasus terlebih dahulu, yaitu :


Kasus I, x 2 .

Kita peroleh 3 3 3x x x dan 2 2 2x x x . Akibatnya,

3 2 3 2 4x x x x atau 2 3x atau 3 / 2x . Untuk kasus

ini, kita tidak mempunyai penyelesaian dari 3 2 4x x karena

2:2/3: xxxx RR .

Kasus II, x 2 3 .

Kita peroleh 3 3 3x x x dan 2 2x x . Akibatnya,

3 2 3 2 4x x x x atau 5 4 . Pernyataan ini merupakan

sesuatu yang mustahil. Jadi untuk kasus ini, kita tidak mempunyai penyelesaian.

Kasus III, x 3 .

Kita peroleh 3 3x x dan 2 2x x . Akibatnya,

3 2 3 2 4x x x x atau 2 5x atau 5 / 2x . Untuk kasus ini,

kita tidak mempunyai penyelesaian dari 3 2 4x x karena

2/5:3: xxxx RR .

Secara keseluruhan, kita tidak memiliki solusi untuk ketidaksamaan

3 2 4x x .

2.3 SIFAT KELENGKAPAN DARI R

Pada subbab ini kita akan membahas sifat ketiga dari R , yaitu sifat kelengkapan. Seperti yang telah dikatakan pada pendahuluan bab ini, sifat kelengkapan

berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil. Untuk itu, kita akan

bahas terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan batas atas dari suatu

himpunan bilangan real, dan kebalikannya, yaitu batas bawahnya.


Definisi 2.19. Misalkan X adalah himpunan bagian tak kosong dari R . a. Himpunan X dikatakan terbatas atas jika terdapat Ra sedemikian

sehingga a x , untuk setiap x X . Bilangan real a yang demikian disebut

sebagai batas atas dari X . b. Himpunan X dikatakan terbatas bawah jika terdapat Rb sedemikian

sehingga b x , untuk setiap x X . Bilangan real b yang demikian disebut

sebagai batas bawah dari X . c. Himpunan X dikatakan terbatas jika X terbatas atas dan terbatas bawah.

Himpunan X dikatakan tidak terbatas jika X tidak terbatas atas atau tidak terbatas bawah.

Sebagai contoh, perhatikan himpunan 0: xx R . Setiap elemen pada

himpunan 0: bb R merupakan batas bawah dari 0: xx R . Setiap

kita mengambil elemen 0: xxx R maka selalu kita dapatkan bahwa

1x x , sedangkan 0:1 xxx R . Yang demikian mengandung arti bahwa tidak ada Ra sedemikian sehingga a x , untuk setiap

0: xxx R . Jadi himpunan 0: xx R terbatas bawah tetapi tidak terbatas atas, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak terbatas.

Contoh lain, pandang himpunan 1: xx R . Himpunan 1: aa R

merupakan koleksi semua batas atas dari 1: xx R . Tidak ada Rb

sedemikian sehingga b x , untuk semua 1: xxx R , karena setiap kita

mengambil 1: xxx R maka selalu dapat kita peroleh bahwa 1x x ,

sedangkan 1:1 xxx R . Akibatnya, himpunan 1: xx R tidak

mempunyai batas bawah. Jadi himpunan 1: xx R terbatas atas tetapi tidak terbatas bawah, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak

terbatas.

Berdasarkan paparan sebelumnya, himpunan 10: xx R memiliki batas atas dan batas bawah, atau dengan kata lain himpunan tersebut merupakan


himpunan terbatas. Dari batas-batas bawahnya, kita dapat memilih batas bawah

yang terbesar, yaitu elemen 0. Sedangkan dari batas-batas atasnya, kita dapat

memilih batas atas yang terkecil, yaitu elemen 1. Berikut ini adalah definisi

secara formal dari batas atas terkecil, disebut supremum, dan batas bawah

terbesar, disebut infimum, dari suatu himpunan bilangan real.

Definisi 2.20. Misalkan X adalah himpunan bagian tak kosong dari R . a. Misalkan X terbatas atas. Elemen Ra dikatakan supremum dari X jika

memenuhi syarat-syarat :

(1) a adalah batas atas dari X

(2) a v , untuk setiap v , batas atas dari X .

b. Misalkan X terbatas bawah. Elemen Rb dikatakan infimum dari X jika

memenuhi syarat-syarat :

(1) b adalah batas bawah dari X

(2) b w , untuk setiap w , batas bawah dari X .

Selanjutnya, mungkin timbul pertanyaan, apakah perbedaan antara supremum

(infimum) dengan maksimum (minimum)? Contoh sebelumnya tentang himpunan

10: xx R , bisa menjadi ilustrasi untuk menjelaskan hal ini. Himpunan

10: xx R tidaklah mempunyai minimum dan maksimum, karena tidak

ada 10:, xxMm R sedemikian sehingga m x dan M x , untuk

setiap 10: xxx R . Sedangkan untuk supremum dan infimum,

himpunan 10: xx R memilikinya, yaitu 1 dan 0, masing-masing secara berurutan. Elemen minimum dan maksimum haruslah elemen dari himpunan

yang bersangkutan, tetapi elemen infimum dan supremum tidaklah harus

demikian. Jadi elemen infimum dan supremum bisa termasuk atau tidak

termasuk ke dalam himpunan yang bersangkutan. Himpunan 10: xx R memiliki infimum dan supremum, yaitu elemen 1 dan 0, yang termasuk ke dalam

himpunan 10: xx R .

Selanjutnya, kita akan memberikan formulasi lain dari definisi supremum dan

infimum pada definisi 2.20. Kita mulai dengan definisi supremum. Elemen a


adalah batas atas dari X ekuivalen dengan a x , untuk setiap x X .

Pernyataan a v , untuk setiap v , batas atas dari X , mengandung arti bahwa

jika z a maka z adalah bukan batas atas dari X . Jika z adalah bukan batas

atas dari X maka terdapat zx X sedemikian sehingga zx z . Jadi kita

mempunyai fakta bahwa jika z a maka terdapat zx X sedemikian

sehingga zx z . Selanjutnya, jika diberikan 0 maka a a . Dengan

menggunakan fakta sebelumnya, maka terdapat x X sedemikian sehingga

x a . Jadi kita memperoleh fakta baru, yang ekuivalen dengan fakta

sebelumnya, yaitu untuk setiap 0 terdapat x X sedemikian sehingga

x a . Dengan demikian kita memperoleh fakta-fakta yang ekuivalen

dengan definisi 2.20.

Teorema 2.21. Elemen Ra , batas atas dari X , himpunan bagian tak kosong

dari R , adalah supremum dari X jika dan hanya jika apabila z a maka

terdapat zx X sedemikian sehingga zx z .

Teorema 2.22. Elemen Ra , batas atas dari X , himpunan bagian tak kosong

dari R , adalah supremum dari X jika dan hanya jika untuk setiap 0

terdapat x X sedemikian sehingga x a .

Fakta-fakta serupa yang berkaitan dengan elemen infimum adalah sebagai

berikut.

Teorema 2.23. Elemen Rb , batas bawah dari X , himpunan bagian tak

kosong dari R , adalah infimum dari X jika dan hanya jika apabila z b maka

terdapat zx X sedemikian sehingga zx z .

Teorema 2.24. Elemen Rb , batas bawah dari X , himpunan bagian tak

kosong dari R , adalah infimum dari X jika dan hanya jika untuk setiap 0

terdapat x X sedemikian sehingga x b .


Bukti Teorema 2.23 dan Teorema 2.24 ditinggalkan sebagai latihan bagi para

pembaca.

Selanjutnya, mungkin kita mempertanyakan apakah elemen supremum atau

infimum tunggal atau tidak. Mari kita kaji masalah ini. Misalkan Rvu, adalah

supremum dari himpunan yang terbatas atas U . Untuk menunjukkan bahwa

supremum dari U adalah tunggal, berarti kita harus menunjukkan bahwa u v . Untuk menunjukkannya, perhatikan bahwa u w dan v w , untuk setiap w ,

batas atas dari U . Karena u dan v juga batas atas dari U , kita memiliki u v

dan v u . Yang demikian berarti u v atau supremum dari U adalah tunggal. Dengan mudah, dapat pula kita tunjukkan bahwa infimum dari suatu himpunan

yang terbatas bawah juga tunggal.

Berdasarkan semua penjelasan pada subbab ini, kita mempunyai suatu aksioma

yang sangat esensial. Aksioma inilah yang dimaksud dengan sifat Kelengkapan

dari R , atau biasa juga disebut sifat supremum dari .

Aksioma 2.25 (Sifat Kelengkapan dari R ). Setiap himpunan bagian dari R yang terbatas atas memiliki supremum di R .

Aksioma tersebut mengatakan bahwa R , digambarkan sebagai himpunan titik-titik pada suatu garis, tidaklah berlubang. Sedangkan himpunan bilangan-

bilangan rasional Q , sebagai himpunan bagian dari R yang juga memenuhi

sifat aljabar (lapangan) dan terurut, memiliki lubang. Inilah yang membedakan

R dengan Q . Karena tidak berlubang inilah, R , selain merupakan lapangan

terurut, juga mempunyai sifat lengkap. Oleh karena itu, R disebut sebagai lapangan terurut yang lengkap. Penentuan supremum dari himpunan

2,0:: 2 tttT Q bisa dijadikan ilustrasi untuk menjelaskan terminologi lubang pada himpunan Q . Supremum dari QT yaitu 2 , yang merupakan

akar dari persamaan 2 2x , bukanlah bilangan rasional. Bilangan 2 ini

merupakan salah satu lubang pada Q . Maksudnya, supremum dari QT

adalah 2 yang bukan merupakan elemen dari Q . Sehingga dapat dikatakan


bahwa aksioma kelengkapan tidak berlaku pada Q . Tetapi jika kita bekerja pada

R , yang demikian tidak akan terjadi.

Sekarang, misalkan V adalah himpunan yang terbatas bawah, artinya terdapat

Rl sedemikian sehingga l x , untuk setiap x V . Darinya, kita memperoleh

bahwa l x , untuk setiap x V . Dengan demikian, himpunan :x x V

terbatas atas. Menurut Aksioma 2.25., himpunan :x x V memiliki

supremum. Misalkan s adalah supremum dari :x x V . Yang demikian

berarti s x , untuk setiap x V , dan s r , untuk setiap r , batas atas dari

:x x V . Darinya, kita memiliki s x , untuk setiap x V , dan s r ,

untuk setiap r , batas atas dari :x x V . Dapat ditunjukkan bahwa r batas

atas dari :x x V jika dan hanya jika r adalah batas bawah dari V . Jadi

kita memiliki s x , untuk setiap x V , dan s t , untuk setiap t , batas bawah

dari V , atau dengan kata lain, s adalah infimum dari himpunan V . Berdasarkan penjelasan tersebut, kita memiliki hal yang serupa dengan Aksioma

2.25, yaitu bahwa setiap himpunan bagian dari R yang terbatas bawah memiliki infimum di R .

Contoh 2.26. Tentukan supremum dari himpunan 1: xxS R . Penyelesaian. Kita klaim terlebih dahulu bahwa sup S , supremum dari S , adalah 1. Klaim kita benar jika dapat ditunjukkan bahwa :

1. Batas atas dari S adalah 1, atau 1x , untuk setiap x S .

2. 1v , untuk setiap v , batas atas dari S . Jelas bahwa 1 adalah batas atas dari S . Selanjutnya, misalkan 1v . Perhatikan

elemen 1/ 2 / 2v . Dapat ditunjukkan bahwa 1/ 2 / 2 1v v . Artinya, setiap

elemen 1v bukanlah batas atas dari S . Jelas bahwa v batas atas dari S jika

dan hanya jika 1v . Hal ini sekaligus menunjukkan bahwa 1 merupakan batas

atas terkecil dari S . Dengan demikian, 1 merupakan supremum dari S .


Selanjutnya, kita akan menggunakan Teorema 2.21 untuk menunjukkan 1 adalah

supremum dari S . Jika 1v , berdasarkan pembahasan tadi, dengan memilih

1/ 2 / 2vs v , kita peroleh bahwa vs S dan vv s . Jadi 1 merupakan

supremum dari S .

Kita akan coba cara lain untuk menunjukkan bahwa 1 merupakan supremum dari

S , seperti yang tertulis pada Teorema 2.22. Diberikan 0 . Di sini kita akan

memilih apakah ada s S sedemikian sehingga 1 s (pemilihan s yang

demikian tidaklah unik). Jika kita memilih 1 / 2s maka kita memperoleh apa

yang kita harapkan, karena jelas bahwa 1 / 2 1s , atau dengan kata lain

s S dan 1 1 / 2s . Yang demikian selalu mungkin untuk sembarang

0 yang diberikan. Jadi memang 1 adalah supremum dari S .

Contoh 2.27. Tentukan infimum dari 0: xxI R . Penyelesaian. Kita klaim terlebih dahulu bahwa inf I , infimum dari I , adalah 0. Klaim kita benar jika dapat ditunjukkan bahwa :

1. Batas bawah dari I adalah 0, atau 0 x , untuk setiap x I .

2. 0w , untuk setiap w , batas bawah dari I .

Jelas 0 merupakan batas bawah dari I . Berikutnya, misalkan 0w . Perhatikan

bahwa 0 / 2w w . Di sini / 2w I . Artinya, jika 0w maka w bukan batas

bawah dari I . Jelas bahwa 0w jika dan hanya jika w adalah batas bawah

dari I . Hal ini sekaligus menunjukkan bahwa 0 adalah batas bawah terbesar dari I .

Berikutnya, kita akan menggunakan Teorema 2.23 untuk menunjukkan 0 adalah

infimum dari I . Misalkan 0w . Berdasarkan pembahasan sebelumnya, dengan

memilih / 2wi w , kita peroleh bahwa wi I dan wi w . Akibatnya, 0 adalah

infimum dari I .


Cara lain, adalah dengan menunjukkan seperti apa yang tercantum pada

Teorema 2.24. Diberikan 0 . Kita akan memilih apakah ada i I sedemikian

sehingga 0i . Jika / 2i maka i I dan i . Hal ini selalu

mungkin untuk sembarang 0 yang diberikan. Dengan demikian, 0 adalah

infimum dari I .

Contoh 2.28. Tunjukkan bahwa jika himpunan RS terbatas atas dan 0a

maka supremum dari : :aS as s S , sup aS a sup S .

Penyelesaian. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah tersebut. Kita mulai dengan cara yang pertama, yaitu bahwa kita harus menunjukkan bahwa

a sup S adalah batas atas dari aS atau a sup S as , untuk setiap s S , dan

a sup S v , untuk setiap v , batas atas dari aS . Karena S adalah himpunan

yang terbatas atas, S mempunyai supremum, menurut sifat Kelengkapan dari R .

Karenanya, sup S s , untuk setiap s S . Karena 0a , a sup S as , untuk

setiap s S . Artinya, a sup S adalah batas atas dari aS . Akibatnya, aS memiliki supremum. Selanjutnya, misalkan w adalah sembarang batas atas dari

aS atau w as , untuk setiap s S . Karena 0a , kita peroleh bahwa /w a s ,

untuk setiap s S . Di sini /w a adalah batas atas dari S . Akibatnya,

/w a sup S atau w a sup S . Kita peroleh bahwa a sup S w , untuk setiap w ,

batas atas dari aS . Jadi sup aS a sup S .

Cara kedua untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan menunjukkan

bahwa a sup S adalah batas atas dari aS dan untuk setiap v a sup S terdapat

vs aS sedemikian sehingga vv s . Telah ditunjukkan bahwa a sup S adalah

batas atas dari aS . Sekarang, misalkan v a sup S . Karena 0a , /v a sup S .

Akibatnya, terdapat /v as S sedemikian sehingga // v av a s . Karenanya, kita

memperoleh /v av as . Di sini jelas bahwa /v aas aS . Dengan memilih /v v as as ,

kita mempunyai vs aS dan vv s . Jadi SaaS supsup .

Lebih jauh, kita akan melihat bagaimana sifat kelengkapan dari R ini digunakan untuk menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan asli N tidak mempunyai


batas atas. Artinya tidak terdapat Rx sedemikian sehingga n x , untuk

setiap Nn , atau dengan kata lain jika diberikan Rx terdapat Nxn

sedemikian sehingga xn x .

Teorema 2.29 (Sifat Archimedean). Jika Rx maka terdapat Nxn

sedemikian sehingga xn x .

Bukti. Andaikan N memiliki batas atas atau terdapat Rx sedemikian

sehingga n x , untuk setiap Nn . Akibatnya, x adalah batas atas dari N .

Menurut sifat kelengkapan dari R , N memiliki supremum. Misalkan supremum

dari N itu adalah a . Perhatikan bahwa 1a a . Karena 1a jelas bukan batas

atas dari N , maka terdapat Nm sedemikian sehingga 1a m . Darinya kita

memiliki bahwa 1a m . Perhatikan bahwa N1m . Yang demikian

mengakibatkan bahwa a bukan batas atas dari N . Hal ini kontradiksi dengan

asumsi di awal bahwa a adalah supremum dari N , yang tiada lain juga

merupakan batas atasnya. Jadi himpunan N tidak memiliki batas atas atau Jika

Rx maka terdapat Nxn sedemikian sehingga xn x .

Sekarang, misalkan 0t . Kita peroleh bahwa 1/ 0t . Menurut sifat

Archimedean, terdapat Nn , yang bergantung pada 1/ t (bisa juga dikatakan

bergantung pada t ), sedemikian sehingga 1/n t , atau juga bisa ditulis sebagai

1/ n t . Berdasarkan pembahasan ini, kita memiliki akibat berikut.

Akibat 2.30. Jika 0t maka terdapat Ntn sedemikian sehingga 0 1/ tn t

Selain Akibat 2.30, sifat Archimedean memilki konsekuensi lain, seperti yang

dinyatakan pada akibat berikut ini.

Akibat 2.31. Jika 0y maka terdapat Nyn sedemikian sehingga

1y yn y n .

Bukti. Misalkan mymE y :: N dengan Ry . Sifat Archimedean

menjamin bahwa himpunan yE tidaklah kosong. Karena yE himpunan bagian


dari N dan tidak kosong, maka menurut sifat well-ordering dari R , yE

mempunyai elemen terkecil. Misalkan elemen terkecil itu adalah yn . Karena yn

adalah elemen terkecil dari yE , maka 1y yn E atau yn y 1 . Dengan

demikian 1y yn y n .

Jika kita memiliki dua buah sembarang bilangan rasional yang berbeda, secara

intuitif kita akan mengatakan bahwa di antara keduanya juga terdapat bilangan

rasional yang lain dan jumlahnya bisa tak berhingga. Dengan kata lain, himpunan

semua bilangan rasional Q adalah himpunan yang rapat. Secara formal,

memang dapat dibuktikan bahwa Q memiliki sifat yang demikian.

Teorema 2.32. Jika Qyx, dan x y maka terdapat bilangan rasional r

sedemikian sehingga x r y .

Bukti. Misalkan 0x . Akibatnya, 0y . Menurut Akibat 2.30, terdapat Np

sedemikian sehingga 1/ p y . Bilangan rasional : 1/r p memenuhi x r y .

Berikutnya, misalkan 0x . Darinya, kita memiliki 0y x . Berdasarkan Akibat

2.30, terdapat Nm sedemikian sehingga 1/ m y x . Karenanya, 1 my mx

atau 1 mx my . Pandang 0mx . Menurut Akibat 2.31, terdapat Nn

sedemikan sehingga 1n mx n . Dari 1n mx kita memperoleh 1n mx ,

sehingga 1n mx my . Dari mx n kita memperoleh mx n my . Akibatnya,

/x n m y . Bilangan rasional : /r n m memenuhi x r y .

Terakhir, misalkan 0x atau 0x . Akibatnya, 0y x . Dengan cara serupa

seperti pada kasus 0x , kita bisa mendapatkan bilangan rasional r sedemikian sehingga x r y .

Kita juga memiliki fakta lain, yang analog dengan teorema 2.32, untuk himpunan

bilangan-bilangan irasional.


Akibat 2.33. Jika Ryx, dan x y maka terdapat bilangan irasional z

sedemikian sehingga x z y .

Bukti. Dari hipotesis kita dapatkan bahwa R2/,2/ yx dan / 2 / 2x y .

Menurut Teorema 2.32, terdapat bilangan rasional 0r sedemikian sehingga

/ 2 / 2x r y atau 2x r y . Bilangan : 2z r merupakan bilangan

irasional dan memenuhi x z y .

2.4 INTERVAL

Pada subbab ini kita membahas suatu himpunan bagian dari R yang dikonstruksi berdasarkan sifat terurut dari R . Himpunan bagian ini dinamakan sebagai interval.

Definisi 2.34. Misalkan Rba, dengan a b .

a. Interval buka yang dibentuk dari elemen a dan b adalah himpunan

bxaxba ::, R . b. Interval tutup yang dibentuk dari elemen a dan b adalah himpunan

bxaxba ::, R . c. Interval setengah buka (atau setengah tutup) yang dibentuk dari elemen a

dan b adalah himpunan bxaxba ::, R atau bxaxba ::, R .

Semua jenis interval pada Definisi 2.34 merupakan himpunan yang terbatas dan

memiliki panjang interval yang didefinisikan sebagai b a . Jika a b maka

himpunan buka ,a a dan himpunan tutup ,a a a , yang dinamakan

dengan himpunan singleton. Elemen a dan b disebut titik ujung interval.

Selain interval terbatas, terdapat pula interval tak terbatas. Pada interval tak

terbatas ini, kita dikenalkan dengan simbol dan yang berkaitan dengan

ketak terbatasannya.


Definisi 2.35. Misalkan Ra .

a. Interval buka tak terbatas adalah himpunan axxa ::, R atau

axxa ::, R .

b. Interval tutup tak terbatas adalah himpunan axxa ::, R atau axxa ::, R .

Himpunan bilangan real R merupakan himpunan yang tak terbatas dan dapat

dinotasikan dengan , . Perlu diperhatikan bahwa simbol atau

bukanlah bilangan real. Karenanya, dapat dikatakan bahwa R ini tidak mempunyai titik-titik ujung.

Teorema 2.36 (Karakterisasi Interval). Jika RS adalah himpunan yang

memuat paling sedikit dua elemen dan memiliki sifat :

jika Ryx, dan x y maka ,x y S ,

maka S merupakan suatu interval. Bukti. Kita akan membuktikannya untuk empat kasus.

Kasus I, S adalah himpunan terbatas.

Karena S himpunan terbatas maka S mempunyai infimum atau supremum.

Misalkan infimum dan supremum dari S adalah masing-masing, secara

berurutan, a dan b . Jika x S maka a x b . Karenanya, ,x a b .

Akibatnya, ,S a b .

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa ,a b S . Misalkan ,z a b atau

a z b . Yang demikian berarti z bukan batas bawah dari S . Akibatnya,

terdapat zx S sedemikian sehingga zx z . Kita memperoleh pula bahwa z

bukan batas atas dari S . Itu artinya bahwa terdapat zy S sedemikian sehingga

zz y . Kita mendapatkan bahwa ,z zz x y . Karena menurut hipotesis,

,z zx y S , maka z S . Karena yang demikian berlaku untuk sembarang

,z a b , maka ,a b S .


Jika ,a b S maka ,a b S . Karena telah diperoleh bahwa ,S a b , maka

,S a b . Jika ,a b S maka ,S a b cukup dinyatakan dengan ,S a b .

Karena ,a b S dan ,S a b , maka ,S a b . Jika a S dan b S maka

,S a b dan ,a b S masing-masing, secara berurutan, cukup dinyatakan

,S a b dan ,a b S . Akibatnya, kita memperoleh ,S a b . Jika a S dan

b S maka dapat ditunjukkan bahwa ,S a b .

Kasus II, S adalah himpunan yang terbatas atas tetapi tidak terbatas bawah.

Karena S terbatas atas, maka S mempunyai supremum. Misalkan supremum

dari S adalah b . Kita memperoleh bahwa x b , untuk setiap x S . Akibatnya,

,S b .

Berikutnya, kita akan menunjukkan bahwa ,b S . Misalkan ,z b

atau z b . Karena z bukan batas atas dari S , maka terdapat zy S

sedemikian sehingga zz y . Karena S tidak terbatas bawah, maka terdapat

zx S sedemikian sehingga zx z . Akibatnya, ,z zz x y . Karena menurut

hipotesis, ,z zx y S , maka z S . Yang demikian berlaku untuk sembarang

,z b . Karena itu, ,b S .

Jika b S maka ,b S dapat pula dinyatakan dengan ,b S .

Karena ,S b dan ,S b , maka ,S b . Jika b S maka

,S b cukup dinyatakan dengan ,S b Akibatnya, bersama dengan

,b S , kita memperoleh bahwa ,S a b .


Kasus III, S adalah himpunan yang tidak terbatas atas tetapi terbatas bawah. Dengan cara yang serupa, seperti pada kasus II, dapat ditunjukkan bahwa

,S a atau ,S a dengan a adalah infimum dari S .

Kasus IV, S adalah himpunan yang tidak terbatas.

Berdasarkan hipotasis, jelas bahwa RS . Selanjutnya, kita akan menunjukkan

bahwa SR . Misalkan Rz . Karena S tidak terbatas, maka z bukanlah

batas bawah dan batas atas dari S . Akibatnya, terdapat ,z zx y S sedemikian

sehingga zx z dan zz y . Darinya, kita memiliki ,z zz x y . Menurut hipotesis,

,z zx y S . Akibatnya, z S . Karena hal ini berlaku untuk sembarang Rz ,

maka SR . Dengan demikian, SR .

Jadi, secara keseluruhan, telah ditunjukkan bahwa S merupakan suatu interval

di R .

2.5 REPRESENTASI DESIMAL DARI BILANGAN REAL Semua bilangan real dapat dinyatakan dalam bentuk lain yang disebut sebagai

bentuk desimal. Misalkan 0,1x . Jika kita membagi interval 0,1 menjadi 10

sub interval yang sama panjangnya, maka 1 1/10, 1 /10x b b untuk suatu

1 0,1,2,...,9b . Jika kita membagi lagi interval 1 1/10, 1 /10b b menjadi 10

sub interval yang sama panjangnya, maka

2 21 2 1 2/10 /10 , /10 1 /10x b b b b untuk suatu 2 0,1, 2,...,9b . Jika

proses tersebut terus dilanjutkan maka kita akan memperoleh barisan nb

dengan 90 nb , untuk semua Nn , sedemikian sehingga x memenuhi

1 2 1 22 2

1... ...

10 10 10 10 10 10nn

n n

bbb b b bx

.


Representasi desimal dari 0,1x adalah 1 20, ... ...nb b b . Jika 1x dan NN

sedemikian sehingga 1N x N maka representasi desimal dari 1x adalah

1 2, ... ...nN b b b dengan 1 20, ... ...nb b b adalah representasi desimal dari 0,1x N .

Sebagai contoh, kita akan menentukan bentuk desimal dari 1/7. Jika 0,1 dibagi

menjadi 10 sub interval yang sama panjang maka 1/ 7 1/10, 1 1 /10 . Jika

1/10, 1 1 /10 dibagi menjadi 10 sub interval yang sama panjang maka

2 21/ 7 1/10 4 /10 ,1/10 4 1 /10 . Selanjutnya, akan kita peroleh

2 3 2 31/ 7 1/10 4 /10 2 /10 ,1/10 4 /10 2 1 /10 . Jika proses ini terus

dilanjutkan akan kita dapatkan bahwa 1/ 7 0,142857142857...142857... .

Representasi desimal dari suatu bilangan real adalah unik, kecuali bilangan-

bilangan real berbentuk /10nm dengan ,m n dan 1 10nm . Sebagai

contoh, representasi decimal dari 1/2 adalah 0,4999 atau 0,5000 (Coba

pembaca periksa mengapa yang demikian bisa terjadi). Contoh lain,

1/8=0,124999...=0,125000... .

Coba perhatikan kembali representasi decimal dari 1/7 yaitu

0,142857142857...142857... . Terdapat pengulangan deretan angka 142857 pada

representasi desimal dari 1/7. Representasi desimal yang demikian disebut

reperesentasi desimal periodik dengan periode 6p yang menunjukkan jumlah

deretan angka yang berulang. Dapat ditunjukkan bahwa bilangan real positif

adalah rasional jika dan hanya jika representasi desimalnya adalah periodik (lihat

Bartle-Sherbert [1]).

Dengan menggunakan representasi desimal dari bilangan real ini, kita akan

membuktikan Teorema Cantor yang mengatakan bahwa himpunan semua

bilangan real adalah tak terhitung (uncountable).


Teorema 2.37. Interval satuan 10::1,0 xx R adalah tak terhitung (uncountable).

Bukti. Andaikan interval 0,1 countable. Misalkan 1 20,1 , ,..., ,...nx x x .

Karena setiap elemen di 0,1 dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, maka kita

dapat menyatakan bahwa

1 11 12 1

2 21 22 1

1 2

0, ... ...0, ... ...

0, ... ...

n

n

n n n nn

x b b bx b b b

x b b b

dengan 0 9

analisis real

Documents