bab 3-tangen dan bulatan

7/23/2019 Bab 3-Tangen Dan Bulatan

1/33


2/33

BULATANBULATAN

Lokus titik yang bergerak dengan jarakLokus titik yang bergerak dengan jarak

yang sama daripada satu titikyang sama daripada satu titikTitik yang bergerak menghasilkan lilitanTitik yang bergerak menghasilkan lilitan

bulatan, titik tetap dinamai pusat bulatanbulatan, titik tetap dinamai pusat bulatan

Jarak titik yang bergerak dengan titik tetapJarak titik yang bergerak dengan titik tetapdinamai jejaridinamai jejari


3/33

TANGENTANGENSatu garis lurus yang bersentuhan denganSatu garis lurus yang bersentuhan denganbulatanbulatan

atau lengkok pada satu titik dinamai titik tangenatau lengkok pada satu titik dinamai titik tangenGarisan yang menyambungkan pusat bulatanGarisan yang menyambungkan pusat bulatan

dengan titik tangen dinamai garisan normaldengan titik tangen dinamai garisan normal

Garisan normal berkeadaan serenjang denganGarisan normal berkeadaan serenjang dengan

garisan tangengarisan tangenetangenan boleh berlaku antara dua bulatanetangenan boleh berlaku antara dua bulatan

yang bersentuh se!ara dalam atau luaryang bersentuh se!ara dalam atau luar


4/33

Tangen

Titik sentuhan

Sudut antara

jejari dan tangen

"#$%N

&

'

(

A

L

Rajah 1: Tangen dan Titik Sentuhan

Tangen


5/33

Tangen boleh juga berlaku di antara dua lengkok atau duaTangen boleh juga berlaku di antara dua lengkok atau dua

bulatan seperti yang ditunjukkan dalam rajah ) dan rajah * ataubulatan seperti yang ditunjukkan dalam rajah ) dan rajah * atau

antara lengkok dan bulatan+ Titik sentuhannya, iaitu antara lengkok dan bulatan+ Titik sentuhannya, iaitu

dinamakan titik tangen+dinamakan titik tangen+

'ajah ) menunjukkan dua bulatan yang menyentuh di sebelah'ajah ) menunjukkan dua bulatan yang menyentuh di sebelah

luar+ Titik sentuhannya terletak pada garisan yangluar+ Titik sentuhannya terletak pada garisan yang

menyambungkan pusat bagi bulatan itu+ Jarak di antara pusatmenyambungkan pusat bagi bulatan itu+ Jarak di antara pusat

bulatan ialah "'-r%+bulatan ialah "'-r%+

R r

'ajah )


6/33

'ajah * menunjukkan dua bulatan yang menyentuh di sebelah'ajah * menunjukkan dua bulatan yang menyentuh di sebelah

dalam+ Titik sentuhannya terletak pada garisan yangdalam+ Titik sentuhannya terletak pada garisan yang

menyambungkan pusat bulatan dan garisan itu dipanjangkan+menyambungkan pusat bulatan dan garisan itu dipanjangkan+

Jarak di antara pusat bulatan ialah "'.r%+Jarak di antara pusat bulatan ialah "'.r%+

R

r

Rajah 3


7/33

A BP

O

r

Membina Bulatan yang Diberi Jejari r unit dan BertangenMembina Bulatan yang Diberi Jejari r unit dan Bertangen

Kepada Satu Garisan di Titik pada Garisan ituKepada Satu Garisan di Titik pada Garisan itu


8/33

CBP

O

A

Q R

r

(embina Bulatan yang /iberi Jejari r unit(embina Bulatan yang /iberi Jejari r unit

dan Bertangen kepada /ua Garisandan Bertangen kepada /ua Garisan


9/33


10/33

Membina Garisan Tangen Kepada Satu BulatanMembina Garisan Tangen Kepada Satu Bulatanada Titik !ang Terletak Di "ilitan Bulatanada Titik !ang Terletak Di "ilitan Bulatan

"angkah#langkah:"angkah#langkah:

Lukiskan bulatan pusatnya & dan tandakan titik yang diberi+Lukiskan bulatan pusatnya & dan tandakan titik yang diberi+

/ari & lukiskan garisan lurus yang melalui + anjangkan/ari & lukiskan garisan lurus yang melalui + anjangkangarisan itu supaya panjangnya melebihi panjang diametergarisan itu supaya panjangnya melebihi panjang diameterbulatan+bulatan+

/engan menggunakan sebagai pusat dan & sebagai jejari,/engan menggunakan sebagai pusat dan & sebagai jejari,lukiskan lengkok supaya menyilang garisan lurus pada 0+lukiskan lengkok supaya menyilang garisan lurus pada 0+

Bahagi dua sama jarak &0+ embahagi dua sama serenjangBahagi dua sama jarak &0+ embahagi dua sama serenjangAB ialah garisan tangen yang dikehendaki+AB ialah garisan tangen yang dikehendaki+


11/33

O

P

Q

(embina Garisan Bertangen kepada Satu Bulatan(embina Garisan Bertangen kepada Satu Bulatan

pada Titik yang Terletak di Lilitan Bulatanpada Titik yang Terletak di Lilitan Bulatan


12/33

Membina Garisan Bertangen Kepada Satu Bulatan dariMembina Garisan Bertangen Kepada Satu Bulatan dari

TitikTitik PPyang Terletak di "uar Bulatanyang Terletak di "uar Bulatan


Lukiskan bulatan pusatnya & danLukiskan bulatan pusatnya & dantandakan titik yang diberi+tandakan titik yang diberi+

Lukiskan garisan lurus &+Lukiskan garisan lurus &+

/engan & sebagai diameter, bina/engan & sebagai diameter, bina

separuh bulatan supaya menyilangseparuh bulatan supaya menyilangbulatan yang diberi pada 0+bulatan yang diberi pada 0+

/ari , lukiskan garisan lurus 0'+/ari , lukiskan garisan lurus 0'+

0' ialah garisan tangen yang0' ialah garisan tangen yang

dikehendaki+dikehendaki+


13/33

P

O

Q

(embina Garisan Bertangen kepada Satu Bulatan(embina Garisan Bertangen kepada Satu Bulatan

dari Titik yang Terletak di Luar Bulatandari Titik yang Terletak di Luar Bulatan


14/33

Membina Garisan Tangen Sepunya !ang Menyentuh Sebelah "uar DuaMembina Garisan Tangen Sepunya !ang Menyentuh Sebelah "uar DuaBulatan !ang Tidak Sama BesarBulatan !ang Tidak Sama Besar


"ukiskan kedua#dua bulatan yang diberi$ pusat masing#masing %"ukiskan kedua#dua bulatan yang diberi$ pusat masing#masing %dan &'dan &'

Sambungkan % dan & supaya menyilang bulatan pada ( dan B'Sambungkan % dan & supaya menyilang bulatan pada ( dan B'

Tandakan titik ) pada garisan %(B& supaya jarak B)*%('Tandakan titik ) pada garisan %(B& supaya jarak B)*%('Dengan menggunakan %& sebagai diameter$ bina separuh bulatan'Dengan menggunakan %& sebagai diameter$ bina separuh bulatan'

Dengan menggunakan & sebagai pusat dan &) sebagai jejari$Dengan menggunakan & sebagai pusat dan &) sebagai jejari$lukiskan lengk+k supaya menyilang separuh bulatan pada D'lukiskan lengk+k supaya menyilang separuh bulatan pada D'

Dari &$ lukiskan garisan lurus yang selari dengan &D, supayaDari &$ lukiskan garisan lurus yang selari dengan &D, supayamenyilang bulatan pada -'menyilang bulatan pada -'

"ukiskan garisan lurus yang melalui , dan -'"ukiskan garisan lurus yang melalui , dan -',- ialah garisan tangen yang dikehendaki',- ialah garisan tangen yang dikehendaki'


15/33

T

O QP

A

B

R

r

(R - r)

(embina Garisan Tangen Sepunya yang (enyentuh(embina Garisan Tangen Sepunya yang (enyentuh

Sebelah Luar /ua Bulatan yang Tidak Sama BesarSebelah Luar /ua Bulatan yang Tidak Sama Besar


16/33

Membina Garisan Tangen Sepunya !ang Menyentuh SebelahMembina Garisan Tangen Sepunya !ang Menyentuh SebelahDalam Dua BulatanDalam Dua Bulatan


"ukiskan kedua#dua bulatan yang diberi$ pusat masing#masing %"ukiskan kedua#dua bulatan yang diberi$ pusat masing#masing %

dan &'dan &'

Sambungkan % dan & supaya menyilang bulatan pada ( dan B'Sambungkan % dan & supaya menyilang bulatan pada ( dan B'

Tandakan titik ) pada garisan %(B& supaya jarak ()*B&'Tandakan titik ) pada garisan %(B& supaya jarak ()*B&'

Dengan menggunakan %& sebagai diameter$ bina separuh bulatan'Dengan menggunakan %& sebagai diameter$ bina separuh bulatan'

Dengan menggunakan % sebagai pusat dan jejari %)$ lukiskanDengan menggunakan % sebagai pusat dan jejari %)$ lukiskanlengk+k supaya menyilang separuh bulatan pada D'lengk+k supaya menyilang separuh bulatan pada D'

Sambungkan %D supaya menyilang bulatan pertama pada ,'Sambungkan %D supaya menyilang bulatan pertama pada ,'Dari &$ lukiskan garisan lurus yang selari dengan D,% supayaDari &$ lukiskan garisan lurus yang selari dengan D,% supayamenyilang bulatan kedua pada -'menyilang bulatan kedua pada -'

"ukiskan garisan lurus yang melalui , dan -'"ukiskan garisan lurus yang melalui , dan -'

,- ialah garisan tangen yang dikehendaki,- ialah garisan tangen yang dikehendaki


17/33

P

B

r

T

(R+r)

QO

R

A

(embina Garisan Tangen Sepunya yang (enyentuh(embina Garisan Tangen Sepunya yang (enyentuh

Sebelah dalam /ua BulatanSebelah dalam /ua Bulatan


18/33

Membina Dua Bulatan$ Diberi Jejari Masing#MasingMembina Dua Bulatan$ Diberi Jejari Masing#Masing rr.nit$.nit$

Supaya Kedua#Dua Bulatan Bertangen Kepada SatuSupaya Kedua#Dua Bulatan Bertangen Kepada SatuGarisan "urusGarisan "urus


"ukiskan garisan lurus (B yang diberi'"ukiskan garisan lurus (B yang diberi'

"ukiskan garisan %& yang selari dengan (B$ dan jarak di antara"ukiskan garisan %& yang selari dengan (B$ dan jarak di antara

kedua#duanya ialah r unit'kedua#duanya ialah r unit'

Dengan menggunakan % dan kemudian & sebagai pusat bulatan danDengan menggunakan % dan kemudian & sebagai pusat bulatan dan

jejarinya r unit$ lukiskan kedua#dua bulatan tangen yangjejarinya r unit$ lukiskan kedua#dua bulatan tangen yang

dikehendaki'dikehendaki'


19/33

A B

O Q

rr r

(embina /ua Bulatan, /iberi Jejari (asing.masing r unit, supaya(embina /ua Bulatan, /iberi Jejari (asing.masing r unit, supaya

kedua.dua Bulatan Bertangen epada Satu Garisan Luruskedua.dua Bulatan Bertangen epada Satu Garisan Lurus


20/33

Membina Bulatan !ang Melalui TitikMembina Bulatan !ang Melalui Titik PPDan Bertangen KepadaDan Bertangen Kepada

Satu Garisan ada TitikSatu Garisan ada Titik QQ


"ukiskan garisan lurus (&B dan tandakan titik yang"ukiskan garisan lurus (&B dan tandakan titik yangdiberikan' Sambungkan &'diberikan' Sambungkan &'

Bina garisan serenjang &R'Bina garisan serenjang &R'

Bina garisan pembahagi dua sama serenjang bagiBina garisan pembahagi dua sama serenjang bagi

garisan & supaya menyilang &R di %'garisan & supaya menyilang &R di %'

Dengan menggunakan % sebagai pusat dan %& sebagaiDengan menggunakan % sebagai pusat dan %& sebagai

jejari$ lukiskan bulatan tangen yang dikehendaki'jejari$ lukiskan bulatan tangen yang dikehendaki'


21/33

BA Q

P

O

R

(embina Bulatan yang (elalui Titik dan(embina Bulatan yang (elalui Titik dan

Bertangen kepada Satu Garisan pada Titik 0Bertangen kepada Satu Garisan pada Titik 0


22/33

Membina Bulatan JejarinyaMembina Bulatan Jejarinya rr.nit$ !ang Menyentuh Sebelah.nit$ !ang Menyentuh Sebelah

"uar Satu Bulatan "ain$ Jejarinya"uar Satu Bulatan "ain$ Jejarinya RR.nit$ ada Titik Di.nit$ ada Titik Di

"ilitan Bulatan"ilitan Bulatan


"ukiskan bulatan yang diberi$ pusatnya %'"ukiskan bulatan yang diberi$ pusatnya %'Tandakan titik ' Sambungkan % dan panjangkan ke ('Tandakan titik ' Sambungkan % dan panjangkan ke ('

Dengan menggunakan % sebagai pusat dan /R0rDengan menggunakan % sebagai pusat dan /R0r

sebagai jejari$ lukiskan lengk+k supaya menyilang %(sebagai jejari$ lukiskan lengk+k supaya menyilang %(

pada S'pada S'Dengan menggunakan S sebagai pusat dan jejari r unit$Dengan menggunakan S sebagai pusat dan jejari r unit$

lukiskan bulatan yang dikehendaki'lukiskan bulatan yang dikehendaki'


23/33

O SP

R

A

r

(R+r)

(embina Bulatan Jejarinya r unit yang menyentuh sebelah luar satu(embina Bulatan Jejarinya r unit yang menyentuh sebelah luar satu

bulatan lain, jejarinya ' unit pada titik di lilitan bulatanbulatan lain, jejarinya ' unit pada titik di lilitan bulatan


24/33

Membina Bulatan JejarinyaMembina Bulatan Jejarinya rr .nit$ !ang Menyentuh Sebelah.nit$ !ang Menyentuh Sebelah

Dalam Satu Bulatan "ain$ JejarinyaDalam Satu Bulatan "ain$ JejarinyaRR

.nit$ ada Titik.nit$ ada TitikPP

DiDi"ilitan Bulatan"ilitan Bulatan


"ukiskan bulatan yang diberi$ pusatnya %'"ukiskan bulatan yang diberi$ pusatnya %'

Tandakan titik dan kemudian sambungkan %'Tandakan titik dan kemudian sambungkan %'

Dengan menggunakan % sebagai pusat dan jejari /R#r$Dengan menggunakan % sebagai pusat dan jejari /R#r$

lukiskan lengk+k supaya menyilang % pada &'lukiskan lengk+k supaya menyilang % pada &'

Dengan menggunakan & sebagai pusat dan jejari r unit$Dengan menggunakan & sebagai pusat dan jejari r unit$

lukiskan bulatan yang dikehendaki'lukiskan bulatan yang dikehendaki'


25/33

O

R

PS

r

(R- r)

(embina Bulatan jejarinya r unit yang menyentuh sebelah dalam satu(embina Bulatan jejarinya r unit yang menyentuh sebelah dalam satu

bulatan lain jejarinya ' unit pada titik di lilitan bulatanbulatan lain jejarinya ' unit pada titik di lilitan bulatan


26/33

Membina Bulatan Tangen !ang Menyentuh SebelahMembina Bulatan Tangen !ang Menyentuh Sebelah"uar Satu Bulatan "ain ada"uar Satu Bulatan "ain ada TTDan Melalui TitikDan Melalui Titik

PPDi "uar BulatanDi "uar Bulatan


"ukiskan bulatan yang diberi$ pusatnya %'"ukiskan bulatan yang diberi$ pusatnya %'Tandakan titik T dan ' Sambungkan T'Tandakan titik T dan ' Sambungkan T'

Bina garisan yang membahagi dua samaBina garisan yang membahagi dua samaserenjang garisan T'serenjang garisan T'

Sambungkan %T dan panjangkan sehinggaSambungkan %T dan panjangkan sehinggagarisan itu menyilang garisan pembahagi duagarisan itu menyilang garisan pembahagi duasama serenjang pada &'sama serenjang pada &'

Dengan menggunakan & sebagai pusat dan jejariDengan menggunakan & sebagai pusat dan jejari&T$ lukiskan bulatan yang dikehendaki'&T$ lukiskan bulatan yang dikehendaki'


27/33

O

Q

T

P

(embina Bulatan Tangen yang menyentuh sebelah luar satu bulatan(embina Bulatan Tangen yang menyentuh sebelah luar satu bulatan

lain pada T dan melalui titik di luar bulatanlain pada T dan melalui titik di luar bulatan


28/33

Membina Bulatan yang menyentuh satu bulatan yang diberiMembina Bulatan yang menyentuh satu bulatan yang diberi

serta menyentuh garisan lurus di titikserta menyentuh garisan lurus di titik PP


"ukiskan bulatan pusatnya % dan garisan lurus (B yang diberi'"ukiskan bulatan pusatnya % dan garisan lurus (B yang diberi'

Tandakan titik 'Tandakan titik '

Dari lukiskan garisan ) yang serenjang kepada (B'Dari lukiskan garisan ) yang serenjang kepada (B'

Melalui % lukiskan garisan yang serenjang kepada (B supayaMelalui % lukiskan garisan yang serenjang kepada (B supaya

menyilang bulatan yang diberi pada ,'menyilang bulatan yang diberi pada ,'

Sambungkan , untuk mendapatkan titik persilangan -'Sambungkan , untuk mendapatkan titik persilangan -'Dari % lukiskan garisan yang melalui - dan menyilang ) pada &'Dari % lukiskan garisan yang melalui - dan menyilang ) pada &'

Dengan menggunakan & sebagai pusat dan jejari &$ lukiskanDengan menggunakan & sebagai pusat dan jejari &$ lukiskan

bulatan yang dikehendaki'bulatan yang dikehendaki'


29/33

A

Q

BP

C

F

O

E

(embina Bulatan yang menyentuh satu bulatan yang diberi serta(embina Bulatan yang menyentuh satu bulatan yang diberi serta

menyentuh garisan lurus di titik menyentuh garisan lurus di titik


30/33

Membina Bulatan Tangen Jejarinya r unit$ yang MenyentuhMembina Bulatan Tangen Jejarinya r unit$ yang MenyentuhSebelah "uar Satu Bulatan "ain$ Jejarinya R unit danSebelah "uar Satu Bulatan "ain$ Jejarinya R unit dan

melalui titik yang terletak di luar bulatanmelalui titik yang terletak di luar bulatan


"ukiskan bulatan yang diberi$ pusatnya %'"ukiskan bulatan yang diberi$ pusatnya %'Dengan menggunakan % sebagai pusat dan jejari /R 0 rDengan menggunakan % sebagai pusat dan jejari /R 0 runit$ lukiskan satu lengk+k'unit$ lukiskan satu lengk+k'

Dengan menggunakan sebagai pusat dan jejari r unit$Dengan menggunakan sebagai pusat dan jejari r unit$

lukiskan lengk+k supaya menyilang lengk+k yanglukiskan lengk+k supaya menyilang lengk+k yangpertama pada &'pertama pada &'

Dengan menggunakan & sebagai pusat dan jejari r unit$Dengan menggunakan & sebagai pusat dan jejari r unit$lukiskan bulatan yang dikehendaki'lukiskan bulatan yang dikehendaki'

( bi B l t T j j i it t h b l h l( bi B l t T j j i it t h b l h l


31/33

Q

O

P

Q'

R

(R+r)

rr

(embina Bulatan Tangen jejarinya r unit yang menyentuh sebelah luar(embina Bulatan Tangen jejarinya r unit yang menyentuh sebelah luar

satu bulatan lain jejarinya ' unit dan melalui titik yang terletak di luarsatu bulatan lain jejarinya ' unit dan melalui titik yang terletak di luar

bulatanbulatan


32/33

Membina Bulatan yang menyentuh satu bulatan yang diberiMembina Bulatan yang menyentuh satu bulatan yang diberi

serta menyentuh garisan lurus di titikserta menyentuh garisan lurus di titik PP


"ukiskan bulatan pusatnya % dan garisan lurus (B yang diberi'"ukiskan bulatan pusatnya % dan garisan lurus (B yang diberi'

Tandakan titik 'Tandakan titik '

Dari lukiskan garisan ) yang serenjang kepada (B'Dari lukiskan garisan ) yang serenjang kepada (B'

Melalui % lukiskan garisan yang serenjang kepada (B supayaMelalui % lukiskan garisan yang serenjang kepada (B supaya

menyilang bulatan yang diberi pada ,'menyilang bulatan yang diberi pada ,'

Sambungkan , untuk mendapatkan titik persilangan -'Sambungkan , untuk mendapatkan titik persilangan -'Dari % lukiskan garisan yang melalui - dan menyilang ) pada &'Dari % lukiskan garisan yang melalui - dan menyilang ) pada &'

Dengan menggunakan & sebagai pusat dan jejari &$ lukiskanDengan menggunakan & sebagai pusat dan jejari &$ lukiskan

bulatan yang dikehendaki'bulatan yang dikehendaki'


33/33

Angan-angan tidak akan

mengubah kita walauseinci, tetapi apa yang

kitalaksanakan itulah yang

mengubah kita

bab 3-tangen dan bulatan

Documents