7/23/2019 DIFERENSIASI NUMERIS

http://slidepdf.com/reader/full/diferensiasi-numeris 1/6

DIFERENSIASI NUMERIS

Misalkan diketahui: y = f(x)

dan ingin dicari turunannya atau dy/dx pada x=x0,

maka sebelumnya kita biasanya telah memakai bahwa turunan pertama suat

fungsi adalah gradien suatu kurva f(x).

01

01 )()(

 x x

 x  f   x  f  

dx

dym

−

−==

atau berdasarkan definisi matematika:

Dengan mengambil nilai ∆x yang kecil, maka definisi diatas dapat pul

dikerjakan dengan pendekatan secara numeris

semakin kecil ∆x maka semakin mendekati nilai sejatinya. Sehingg

bentuknya:

  x

 x  f   x x  f  

dx

dy

∆

−∆+=

)()(

Ada 3 bentuk pendekatan turunan secara numeris, yaitu:

1. seperti bentuk diatas, disebut bentuk forward

2. Bentuk backward,

7/23/2019 DIFERENSIASI NUMERIS

http://slidepdf.com/reader/full/diferensiasi-numeris 2/6

  x

 x x  f   x  f  

dx

dy

∆

∆−−=

)()(

3. Bentuk central,

 x

 x x  f   x x  f  

dx

dy

∆

∆−−∆+=

.2

)()(

Menurut teori pendekatan central adalah yang terbaik 

Contoh:

carilah turunan dari y = x2 pada x=1 dengan cara central

ambil ∆x=0,01

bandingkan dengan cara analitis!!

Tugas:

Cari turunan dari 14

1

3

1 23++= x x y pada x=5

Dengan cara forward, backward dan central

Menggunakan matlab

Bandingkan dengan cara analitis, mana yang paling mendekati nilai analit

(nilai sejatinya)

TURUNAN KE DUA SUATU FUNGSI

Untuk turunan kedua fungsi, dapat diperoleh dari gabungan cara forward da

backward diatas, dimana turunan kedua merupakan selisih dari 2 fung

turunan pertama dibagi ∆x

 x

 x

 x x  f   x  f   x x  f  

 x

 x

 x x  f   x  f  

 x

 x  f   x x  f  

dx

dy

dx

d 

∆

∆

∆−+−∆+

=∆

∆

∆−−−

∆

−∆+

=

)()(.2)()()()()(

}{

  2

)()(.2)(

 x

 x x  f   x  f   x x  f  

∆

∆−+−∆+=

7/23/2019 DIFERENSIASI NUMERIS

http://slidepdf.com/reader/full/diferensiasi-numeris 3/6

Contoh:

Tentukan secara numeris nilai dari y’’ bila y= x3 pada x=1

ambil ∆x=0,01

Bandingkan dengan hasil cara analitis

TURUNAN KE 3 DAN YANG LEBIH TINGGI

Untuk turunan ke3 fungsi atau yang lebih tinggi, dapat diperoleh da

penurunan dari selisih turunan kedua atau turunan yang lebih rendah

Misalkan:

  2

)()(.2)()(''

 x

 x x  f   x  f   x x  f   x  f  

∆

∆−+−∆+=

Maka selisih mundurnya:

2

).2()(.2)()(''

 x

 x x  f   x x  f   x  f   x x  f  

∆

∆−+∆−−=∆−

Maka

 x

 x

 x x  f   x x  f   x  f   x x  f  

 x

 x x  f   x  f    f  

∆

∆

∆−+∆−+−∆+

=∆

∆−−=

2

)2()(3)(3)(

)('')('''''

1

)2()(3)(3)(

'''3

 x

 x x  f   x x  f   x  f   x x  f  

  f   ∆

∆−+∆−+−∆+

=

Dst…… analog untuk turunan yang lebih tinggi

7/23/2019 DIFERENSIASI NUMERIS

http://slidepdf.com/reader/full/diferensiasi-numeris 4/6

7/23/2019 DIFERENSIASI NUMERIS

http://slidepdf.com/reader/full/diferensiasi-numeris 5/6

7/23/2019 DIFERENSIASI NUMERIS

http://slidepdf.com/reader/full/diferensiasi-numeris 6/6