rsume teori

7/24/2019 Rsume teori

1/21

PENGANTAR FISIKA TEORI

NAMA : ILLAVI PEBRIAN PRASETI

NIM : 121810201027

RESUME :

AKIBAT-AKIBAT TRANSFORMASI LORENTZ DAN RUANG 4 DIMENSI

MINKOWSKIAN

Kon!"#$% Lo!&n'

Pengukuran panjang (jarak dari satu titik ujung ke titik ujung yang lainnya dari sebuah

objek) dalam kerangka acuan yang berbeda.

Misalnya : tinjau sebuah batang yang diam dalam kerangka acuan lembam S, berada

sejajar dengan sumbu-. satu ujungnya memiliki koordinat (x1',0,0) dan ujung yang

lain dengan koordinat (x2', 0,0 ) . Maka dalam kerangka S panjang batang adalah :

L0=x2'

x1'

(!."")

#enganL0 merupakan panjang proper yaitu jarak antara dua titik yang diukur pada

keadaan diam, panjang yang diukur pada kerangka acuan diam.

Seorang pengamat berada dalam kerangka acuan S, akan mengamati batang bergerak

dengan laju $. pada %aktu yang sama t, juga akan mengamati panjang batang dengan

beda koordinat (x2x1 ) antara kedua ujungnya. &oordinat-koordinat x2'dan x1

'

dihubungkan dengan x2, x1 dan t melalui trans'ormasi orent untuk koordinat

adalah :

x1

'=

x1vt

1v2/c2danx

2

'=

x2vt

1v2/c2

(!."*)

Illavi Pebrian Praseti 1


2/21


Maka beda koordinatnya adalah :

L0=x2'x1

'

L0=

x2vt

1v2/c2

x1vt

1v2/c2

L0=

x2vtx

1+vt

1v2/c2

L0=

x2x

1

1v2/c2

#enganL=x

2x

1 , adalah panjang batang dalam S maka :

L0=

L

1v2/c2

+tau

L=L01

v2

c2; =

1

1v

2

c2

L=1

L

0 (!.")

adi untuk v>0 , persamaan (!.") memperlihatkan bah%aL


3/21


Seorang pengamat di dalam kerangka acuan S mengukur %aktu tersebut sebagai

t1

dant2 . /aktu ini dihubungkan dengan pengukuran dalam kerangka acuan S melalui

trans'ormasi balik orent yaitu :

t1=t1

'

+v x'

/c2

1v2

c2

dant2=t2

'

+v x'

/c2

1v2

c2

(!."0)

&arena itu, inter$al %aktu menurut pengamat di S, adalah beda antara dua %aktu yang

diukur dalam S : t=t

2t

1

t=

t2'+v x

'/c

2

1v

2

c2

t1'+v x

'/c

2

1v

2

c2

t=

t2

't

1

'+

v x'

c2

v x'

c2

1v

2

c2

t= t2

't1'

1 v

2

c2

t= t '

1v

2

c2

(!."1)

t= t '

adi sebuah jam yang bergerak pada laju $ dalam kerangka acuan S berjalan lebih lambat

terhadap seorang pengamat yang diam pada kerangka acuan S. akibat dari trans'ormasi

orent ini dinamakan dilatasi waktu.

*ono+ 1



4/21


Seorang astronot yang tingginya tepat 203 cm di bumi, berbaring sejajar dengan sumbu pesa%at

angkasa yang bergerak dengan kelajuan 3.0c relati$e terhadap bumi. 4erapakah tinggi astronot

jika diukur oleh pengamat dalam pesa%at tersebut5 4erapakah tinggi astronot jika diukur oleh

pengamat di bumi5

a%ab :

#iketahui :L

0=180 cm

6 7 3.0c

#itanya : a. tinggi astronot diukur oleh pengamat dalam pesa%at 5

b. tinggi astronot diukur oleh pengamat di bumi 5

Penyelesaian :

a. Menurut pengamat yang ada di pesa%at angkasa, atronot itu diam jadi tingginya tetap

yaitu 203 cm (panjang proper).

b. Menurut pengamat di bumi, astronot bergerak dengan laju 3.0c maka :

L=L0

1v

2

c

2

L=180cm1(0.8c )

2

c2

L=180 cm10.64c

2

c2

L=180 cm10.64

L=180 cm0.36

L=180cm0.6



5/21


L=108cm

*ono+ 2

4erapa kelajuan pesa%at ruang angkasa yang bergerak relati$e terhadap bumi supaya ! jam di

dalam pesa%at sama dengan 2 jam di bumi.

a%ab :

#iketahui :t

0=1jam

t=2jam

#itanya : $ 5

Penyelesaian :

&elajuan pesa%at dapat dicari dengan menggunakan persamaan !."1 :

t= t

0

1v

2

c2

2jam= 1jam

1v2

c2

1

v2

c2=

1jam

2jam

1v

2

c2=

1

4



6/21


11

4=

v2

c2

v2

c2=

3

4

v= 34 c2 v=0.75 c2

v=0.86 c

P"!",o#$ K&."! /T%n P"!",o

Sebuah parado muncul ketika deduksi logic dari sekumpulan alasan diberikan menuju

ke suatu kesimpulan yang bertentangan.

Salah satu parado relati$itas sebagai konsekuensi dari teori relati$itas khusus yaitu

dinamakan parado kembar (t%in parado). Parado kembar terkait dengan eksperimen pemikiran dari dua jam identik yang satu

ditinggal di bumi sedangkan yang lain diba%a ikut dalam perjalanan ke ruang angkasa

dengan kelajuan $, kemudian dikembalikan lagi ke bumi.

Misal : dua jam tersebut diganti dengan dua orang bersaudara kembar bernama +ndi dan

+nto, lahirnya pada %aktu bersamaan namun dengan gen yang sangat berbeda. +ndi

adalah seorang astronot yang sering bepergian ke ruang angkasa. Sedangkan +nto adalah

orang rumahan yang tinggal di bumi. Pergantian ini boleh dilakukan karena proses

kehidupan seperti detak jantung, pernapasan, dan sebagainya merupakan jam-jam

biologis yang memiliki keteraturan baik.

Pada usia !2 tahun, +ndi meninggalkan +nto dari bumi dan pergi menuju sebuah bintang

selama tujuh tahun menurut sebuah jam yang +ndi ba%a, dengan kecepatan



7/21


=v

c=

24

25=0.96

dari kelajuan cahaya. Setelah +ndi mencapai bintang, dia

membalikkan arah pesa%atnya dan kembali dengan kecepatan yang sama mengambil

%aktu tujuh tahun pula.

Saat kembali ke rumah si kembar, +nto mencatat bah%a +ndi berumur

21+2 7=35tahun , sedangkan +nto saat itu berumur 2 tahun. 4agaimana bias

terjadi menurut teori relati$itas khusus5

+nto diam di rumah dan mengukur %aktu antara tiga peristi%a :

E1 - +ndi meninggalkan rumah

E2 - +ndi membalikkan kecepatan

E3 - +ndi tiba kembali ke rumah

+nto mengukur %aktu yang berlalu dengan jam biologis melekat pada badannya

dan mentaati semua hokum 'isika.

+ndi mengukur %aktu berlalu antara peristi%a-peristi%a itu dengan sebuah jam

yang diba%a dan jam biologisnya yang ada pada badannya.

Misal : S adalah kerangka diam dari +nto, S kerangka diam dari +ndi pada perjalannya

ke ruang angkasa, dan S kerangka diam +ndi pada perjalanan baliknya. +ndi mencatat

t '12=7 tahun

dari %aktu yang telah berlalu antara peristi%a-peristi%aE

1danE

2

dant ' '

23=7 tahun

antaraE

2danE

3 . &arena jam milik +ndi bergerak terhadap



8/21


+nto, dari dilatasi %aktu relati$istic diketahui bah%a +nto mengukur %aktu antara

peristi%a-peristi%a yang berturutan sebagai berikut :

t12= t '

12

t12=

1

12

t '12

t12=

1

1(24

25 )2

7 tahun

t12= 1

15766257 tahun

t12=

1

496257 thaun

t12=25

7 7 tahun

t12=25 tahun

#an

t23= t ' '

23

t23=

1

12t ' '

23



9/21


t23=

1

1(24

25 )2

7 tahun

t23= 1

15766257 tahun

t23=

1

496257 thaun

t23=25

7 7 tahun

t23=25tahun

8mur +ndi pada saat kembali ke rumah sebagaimana diukur oleh jam biologisnya adalah

21+t '12+t ' '

23=21+7+7=35 tahun

8mur +nto ketika +ndi kembali, menurut jam biologisnya adalah

21+t12+t

23=21+25+25=71tahun

+ndi bergerak terhadap +nto, menurut dilatasi %aktu relayi$istik, jam +ndi akan

berjalan lebih lambat dibandingkan dengan jam milik +nto.

+nto bergerak terhadap +ndi, jam +nto akan berjalan lebih lambat dibandingkan

dengan jam milik +ndi.

Parado kembar adalah : bila umur si kembar dihitung dari sudut pandang +nto

dengan memiliki jam yang bergerak, maka akan mendapatkan hasil sebaliknya,

+nto akan berumur 9* tahun dan +ndi 2 tahun.

erak relati$e +ndi dan +nto memang simetrik tetapi tidak identik. +ndi telah

mengubah kerangka acuan lembamnya pada saat membalik sedangkan +nto tidak.



10/21


+ndi telah mengambil sebuah kerangka lembam baru S dengan alat ukur meter

dan jam yang berneda.

Peristi%a yang simultan dalam S adalah tidak simultan dalam S, maka tidak

dapat menerapkan kembali persamaan untuk dilatasi %aktu.

*ono+ 3

Seorang %anita mengadakan perjalanan pulang pergi dengan memakai pesa%at ruang angkasa ke

bintang yang berjarak " tahun cahaya, dengan kelajuan 3.1c. 4erapa hari lebih mudakah umur

%anita itu dibandingkan dengan saudara kembarnya yang tinggal di bumi ketika ia kembali dari

perjalanannya.

a%ab :

Satu tahun cahaya sama dengan jarak yang ditempuh cahaya dalam satu tahun dalam ruang

hampa. arak ini sama dengan 9.46 1015

m

Menurut saudaranya di bumi, %anita itu mnempuh perjalanan dalam %aktu

tlama perjalanan=2L

v =

2 4 c

0.9 c =8.889 tahun

8sia saudaranya akan bertambah 0.01 tahun. Sedangkan menurut %anita itu dia menempuh

perjalanan pulang pergi selama :

t'=

t

t'=

t

1

12

t'=1

2tlama perjalanan



11/21


t'=1(

0.9 c

c )2

8.89 tahun

t'=10.81 8.89 tahun

t'=0.19 8.89tahun

t'=3.875tahun

adi beda usianya (8.8893.875 )tahun 5 tahun

S%)("n%"$ R&("%%"$

Misal : tinjau dua buah titik ruang-%aktu (x1 , t1) dan (x2 , t2 ) dalam kerangka acuan S.

andaikan keduanya adalah simultan, sehingga dalam kerangka acuan S,t

1 sama dengant2 .

8ntuk trans'ormasi %aktu dalam S, trans'ormasi orentnya diberikan oleh :

t '1=(t1 v x1c2 )dant'2=(t2

v x2

c2 )

Maka inter$al %aktu dalam S antara dua peristi%a diberikan oleh :

t '1t '

2=

v(x2x1 )c

2

Sebagaimanat1=t

2 adalah simultan dalam S, maka simultanitas dalam S tidak mengibatkan

simultanitas dalam S. kecuali :



12/21


&edua peristi%a berada pada tempat yang sama (x1=x2 ) , inter$al %aktu antara dua

peristi%a adalah nol.

ika v/c adalah kecil, v sangat kecil dibandingkan dengan laju cahaya. #ua

peristi%a adalah simultan dalam kedua krangka acuan.

R)"n5 4 D%&n$% M%n#o$#%"n

#alam prinsip relati$itas klasik, ruang dan %aktu dibedakan, ruang dan %aktu dibahas

secara terpisah. ;amun dalam teori relati$itas khusus, ruang dan %aktu tidak dapat

dipisahkan.

/aktu dapat dipandang sebagai bagian dari koordinat karena setiap peristi%a dalam teori

relati$itas selalu berhubungan dengan kedudukan titik dan kapan peristi%a itu terjadi,

maka dinamakan ruang-%aktu. #engan tambahan %aktu sebagai koordinat maka sesungguhnya dunia adalah berdimensi

empat. Pendekatan geometri adalah salah satu cara untuk memahami bah%a sesungguhnya dunia

berdimensi empat dengan membahas mengenai konsep ruang dan %aktu, dan

menurunkan konsep ruang-%aktu empat dimensi Minko%ski dari analogi geometri


13/21


+pabila garis tersebut diperluas ke arah $ertical maka garis akan menjadi sebuah bidang

datar, sehingga diperoleh satu tambahan dimensi pengukuran yaitu tinggi. 4idang adalah

ruang berdimensi dua. +pabila garis tersebut diperluas kea rah $ertical dank e arah

samping (lebar) maka ada dua tambahan dimensi pengukuran yaitu panjang dan lebar.

Maka ruang tersebut dikatakan berdimensi tiga.

=uang dimensi tiga ditambah satu dimensi lagi sehingga ruang berdimensi empat (2>9).

?actor %aktu sebagai tambahan dimensinya disertakan, angka 2 dalam (2>9). &arena

sesungguhnya alam adalah suatu ruang berdimensi empat. /aktu sendiri dapat

digambarkan dengan diagram di ba%ah ini :

Sumbu %aktu pada ruang berdimensi empat digambarkan dengan metode gra'ik dengan

koordinat ruang hanya di%akili oleh satu sumbu koordinat saja, missal sumbu . jadi

akan diperoleh ruang-%aktu sebagai berikut :



14/21


#ari diagram di atas dapat dilihat bah%a :

Sumbu adalah garis t73

Sumbu t adalah garis 7 3

&oordinat dari sebuah titik dalam ruang-%aktu ini adalah (t , x ) berarti harga t dan

adalah relati$e.

#eskripsi dari sebuah peristi%a titik digambarkan dalam kerangka S dengan koordinat

( t , x ) atau (t , x, y , z) dan dalam S dengan koordinat (t ' , x ' ) atau

(t', x ', y ', z ') . ika titik asal koordinat S dan S berhimpit pada t=t'=0 maka

hubungan antara (t , x ) atau (t , x, y , z) dan (t ' , x ' ) atau (t', x

', y

', z ')

diberikan oleh persamaan trans'ormasi orent.

Permasalahan pada penulisan ruang-%aktu berdimensi empat : ketiga koordinat ruang

memiliki satuan jarak sedangkan t memiliki satuan %aktu. 8ntuk memecahkan

permasalahan ini, seorang ahli matematika bernama Minko%ski memna'aatkan teori

relati$itas khusus untuk merumuskan ruang-%aktu ini. #alam koordinat


15/21


4ila seberkas cahaya dipancarkan dari satu titik pada saat t dan mencapai titik yang lain

dalam %aktu t+ t , maka selang %aktu yang dibutuhkan oleh berkas cahaya untuk

merambat adalah (t+ t)t= t . Maka laju cahaya dide'inisikan :

c=jarak duatitik

selang waktu=

( jarak duatitik) t

#an

c2=

(jarak dua titik=jarak)2

t2

(jarak)2=c2 t2

+tau

x2

+ y2

+ z2

=c2

t2

c2 t2+ x2+ y2+ z2=0 (!.*2)

#alam bentuk di''erensial dapat ditulis kembali menjadi

c2

d t2+d x

2+d y

2+d z

2=0 (!.*!)

#ari persamaan tersebut dapat dide'inisikan suatu besaran aru yang disebut metric ruang-

%aktu yang dinyatakan dengands

sebagai berikut :

ds2=c2d t2+d x 2+d y 2+d z 2 (!.*9)

#engan melihat kembali teorema Pythagoras, ruas kanan dari persamaan !.*9

mengandung penjumlahan kuadrat empat buah di''erensial yakni

d(ct)2 , dx2 , dy2 ,dandz2 dan sebuah titik dalam geometri


16/21


berdimensi empat, dinyatakan melalui koordinat yang bersangkutan yaitu

! (ct , x, y , z ) .

Pada persamaan !.*9, ada sesuatu yang kurang tepat dalam mende'inisikan metric ruang-

%aktu yaitu tidak semua 'actor kuadrat di''erensialnya bernilai positi'. +da tanda

negati$e di depan kuadrat di''erensial koordinat %aktu d(ct)2

. @al ini karena

berpegang pada teorema Pythagoras bah%a metric ds2

adalah jumlah kuadrat

di''erensial koordinatnya. Si'at-si'at ruang-%aktu dengan de'inisi metric demikian

dinamakan ruang-%aktu Minko%ski. &arena 'actor kuadrat di''erensial koordinat metric

Minko%sky ini tetap, berarti ruang Minko%ski adalah ruang-%aktu datar.

Si'at-si'at trans'ormasi orent dalam ruang-%aktu Minko%skyPada persamaan trans'ormasi orent, ditinjau dua buah kerangka acuan lembam tiga

dimensi, S dan S yang bergerak relati$e satu dengan yang lain. &erangka acuan lembam

S bergerak dengan kecepatan tetap searah sumbu dari kerangka acuan lembam S.

%aktu dan koordinat ruang diukur dalam dua kerangka masing-masing adalah t dan

(x , y , z ) dan t " dan (x ' , y ' , z ') . &emudian diperoleh persamaan trans'ormasi

yang dituliskan dalam bentuk matrik :

(ct '

x '

y '

z ')=(

0 0

0 0

0

0

0

0

1

0

0

1)(

ct

x

y

z) (!.*")

#engan =v /c dan =1/12

.

Sesuai dengan geometri analisis di atas, komponen %aktu dapat dimasukkan menjadi satu

kesatuan dengan ketiga komponen ruang, sehingga sekarang memiliki ruang-%aktu

empat dimensi. &oordinat-koordinat dalam ruang empat dimensi dinyatakan masing-masing dengan

( ct ,x , y , z ) dalam kerangka acuan lembam S dan (c t',x ' , y ' ,z ' ) dalam kerangka

acuan lembam S.



17/21


;otasi baru untuk menyatakan koordinat-koordinat dalam ruang empat dimensi agar

tidak dibingungkan oleh keberadaan %aktu dalam kedua koordinat tersebut, yaitu :

(x

0

x1

xx

3

2

)#

(ct

x

yz

)dan

(x '

0

x '1

x 'x '

3

2

)#

(ct '

x '

y 'z '

) (!.**)

Persamaan !.*" menjadi

(x '

0

x '1

x '

x '3

2)=( 0 0

0 0

0

0

0

0

1

0

0

1)(

x0

x1

x

x3

2) (!.*)adi peristi%a dalam ruang %aktu empat dimensi diberikan oleh sebuah titik dengan

koordinat (x0

, x1

, x2

, x3 ) , terjadi pada kedudukan (x

1, x

2, x

3 ) pada %aktu t=x0/c

. Arayektori untuk sebuah peristi%a sebagai 'ungsi dari %aktu dan ruang dinamakan

%orld line, yaitu tempat kedudukan titik-titik dalam ruang-%aktu. Sebagai contoh, %orld

line dari seberkas sinar cahaya yang merambat dalam $akum adalah trayektori x0=x

1

.

ihat gambar !.*



18/21


Persamaan trans'ormasi orent dapat diungkapkan dalam bentuk yang lebih sederhana.Arans'ormasi koordinat dalam kerangka S dide'inisikan :

x0

$ ix0

x1

$ x1

x2

$ x2

(!.*)

x3

$ x3

6ariable %aktu x0 (ct) diganti menjadi ix

0 (ict) , dan koordinat yang lain tetap

dengan i=1 . #alam koordinat S yaitu :

x '0

$i x ' 0

x '1

$ x '1

(!.*0)x '

2$ x '

2

x '3

$ x '3

8ntuk menurunkan persamaan trans'ormasi orent, digunakan hubungan :

c2

t '2+x '

2+y '

2+z '

2=c

2t

2+x

2+y

2+z

2

+tau

( ix'0 )2+(x '1 )2+ (x '2)2+(x '3 )2=(x0 )2+(x1 )2+(x2 )2+(x3 )2 (!.*1)

Substitusikan persamaan (!.*) dan (!.*0) ke persamaan (!.*1), maka diperoleh :

( i x '0 )2+(x '1 )2+(x '2 )2+(x '3 )2=(ix 0 )2+ (x1 )2+(x2 )2+(x3 )2

(1x '0 )2

+(x '1 )2

+(x '2 )2

+(x '3 )2

=(1x0 )2

+(x1 )2

+(x2 )2

+ (x3 )2



19/21


(x '0 )2+(x '1 )2+ (x '2)2+(x '3 )2=(x0 )2+ (x1 )2+(x2 )2+(x3 )2 (!.3)

#ari persamaan !.3 bah%a koordinat %aktu imajiner x0 ( ict) termasuk dalam

trans'ormasi koordinat sama seperti koordinat x1

, x2

, x3

. @asil ini merupakan

kenyataan dari prinsip relati$itas, dimana %aktu merupakan bagian dari hokum-hukum

alamiah dalam bentuk sama seperti koordinat ruang x1

, x2

, x3

. #an memperlihatkan

bah%a geometri analitik dunia " dimensi serupa dengan geometri abalitik ruang

(


20/21


(x '0 )2+(x '1 )2+ (x '2)2+(x '3 )2=(x0 )2+ (x1 )2+(x2 )2+(x3 )2

*ono+ 6

4uktikan bah%a dalam ruang empat dimensi Minko%ski, trans'ormasi orent merupakan rotasi

koordinat.

a%ab :

Persamaan trans'ormasi orent dalam bentuk matrik (!.*) adalah :

(x '

0

x '1

x '

x '3

2)=( 0 0 0 0

0

0

0

0

1

0

0

1)(x

0

x1

x

x3

2)#engan mensubstitusikan hubungan (!.*) dan (!.*0) maka diperoleh :

(ix'

0

x '1

x '

x '3

2

)=

( 0 0

0 0

0

0

0

0

1

0

0

1)(ix

0

x1

x

x3

2

)(

x '0

x '1

x '

x '3

2)=( i 0 0

i 0 0

0

0

0

0

1

0

0

1)(

x0

x1

x

x3

2)Misalkan cosh %= . #engan menggunakan hubungan cosh

2xsinh

2x=1, maka

diperoleh sinh %= dan tanh %= . Substitusikan hubungan ini ke persamaan di

atas :



21/21


(x '

0

x '1

x '

x '3

2)=( i 0 0

i 0 0

0

0

0

0

1

0

0

1)(

x0

x1

x

x3

2)(

x '0

x '1

x '

x '3

2)=( cosh % i sinh % 0 0

i sinh % cosh % 0 0

0

0

0

0

1

0

0

1)(

x0

x1

x

x3

2)unakan hubungan cos i%=cosh % dan sin i%=i sinh % , maka

(

x '0

x '1

x 'x '

3

2

)=

(

cos i% sin i% 0 0

sin i% cos i% 0 0

00

00

10

01

)(

x0

x1

xx

3

2

)Persamaan di atas menyatakan rotasi dari salah satu kerangka acuan sebesar sudut i% .Persamaan trans'ormasi orent merupakan suatu rotasi dalam system koordinat kompleks

(x0 , x1 , x2 , x3 ) . Searah sumbu kompleks i% . adi system koordinat kompleks

(x0 , x1 , x2 , x3 ) adalah ruang-%aktu Minko%ski. #iagram secara geometri diberikan

pada gambar !.*


rsume teori

Documents