bahan8 teori probabilitas

7/21/2019 bahan8 Teori probabilitas

http://slidepdf.com/reader/full/bahan8-teori-probabilitas 1/15

TEORI PROBABILITAS

Saat ini teori peluang telah menjadi suatu alat penting dalam berbagai bidang

rekayasa, meteorologi, asuransi,operasi-operasi bisnis, dan berbagai bidang eksperimen.

Bahkan teori peluang menjadi dasar metode statistik, yaitu suatu bidang matematika

yang aplikasinya hampir meliputi semua bidang.

A. Himpunan

1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan

dapat dibeda-bedakan. Setiap objek yang secara kolektif membentuk himpunan

tersebut disebut elemen atau unsur atau anggota dari himpunan tersebut.

Himpunan dilambangkan dengan sepasang kurung kerawal dan

biasanya dinyatakan dengan huruf besar, seperti A, B, C, ….Anggota himpunan

dinyatakan dengan dan bukan himpunan dilambangkan dengan . Dalam

statistk himpunan dikenal sebagai populasi.

2. Penulisan Himpunan

a. Cara pendaftaran

Dengan cara pendaftaran, unsur himpunan ditulis satu persatu atau didaftar

Contoh :

1) A = {a,i,u,e,o}

2) B = {1,2,3,4,5}

b. Cara pencirian

Dengan cara pencirian, unsur-unsur himpunan ditulis dengan

menyebutkan sifat-sifat atau ciri-ciri unsur himpunan tersebut.

Contoh :

1) A = {X : x huruf hidup}

2) B = {X : 1 x 5 }

Tanda (:) dibaca sedemikian rupa, sehingga atau X dimana

3. Macam-macam himpunan

a. Himpunan semesta



Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat seluruh objek yang

dibicarakan atau himpunan yang menjadi objek pembicaraan. Himpunan

semesta dilambangkan dengan S atau U

Contoh :

S = U = {a, b, c, ......}

S = U = {X : x bilangan asli }

b. Himpunan Kosong

adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong

dilambangkan dengan atau { }

c. Himpunan bagian

Adalah himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain. Himpunan

bagian dilambangkan , Banyaknya himpunan bagian dari sebuah

himpunan dengan n unsur adalah 2n.

Contoh :

Jika diketahui A = {1,2,3}, tentukan banyaknya himpunan bagian dari A

dan tuliskan himpunan-himpunan bagian tersebut.

Penyelesaian :

-Banyaknya himpuan bagian A adalah 23 = 8

- Himpunan bagian di atas adalah : { }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3},

{2,3}, {1,2,3}

d. Himpunan komplemen

Adalah himpuan semua unsur yang tidak temasuk dalam himpunan yang

diberikan. Jika himpunannya adalah A maka himpunan komplemennya

dilambangkan Ac atau A’ atau A .

Contoh :

Jika diketahui S = {1,2,3,4,5,6,7}

B = {2,3,4}

Tentukan Bc !

Penyelesaian :

Bc = {1,5,6,7}

Diagram Vennya adalah :



Bc = daerah yang diarsir

Digram Venn Himpunan Bc

4. Operasi Himpunan

a. Operasi gabungan (union)

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang

termasuk di dalam A atau didalam B atau di dalam A dan B sekaligus.

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A B atau A

+ B. Dituliskan : A B = {X : x A, x B, atau x AB}.

Diagram Vennnya :

A B daerah yang diarsir

Contoh soal:

Jika diketahui:

S = { X : 0 < x < 10}

P = {2 ,3 ,5 ,7}

G = {2, 4, 6, 8, 10}

Tentukan: P G!

Penyelesaian :

P G = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}



b. Operasi irisan (interseksi)

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk

di dalam A dan di dalam B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B

dilambangkan A B atau AB dan dituliskan:

A B = { X : x A dan x B}.

Diagram Vennya :

Diagram venn dari A B

Contoh soal:

Jika diketahui: S = { X : 2 x 8}

P = {2, 3, 5, 7}

A = {2, 3, 4, 6}

Tentukan P A !

Penyelesaian: P A = {2, 3}

c. Operasi selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur A yang tidak

termasuk di dalam B. Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan

A - B atau A Bc. Dituliskan: { X : x A dan x B ) atau {X : X A

dan x Bc}.

Diagram Vennnya:

Diagram Venn dari A – B

Contoh soal: Jika diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}



P = {2, 3, 5, 7}

G = {2, 4, 6, 8}

Tentukan P – G !

Penyelesaian: P- G ={ 3 , 5, 7}

Contoh soal:

Suatu kelas yang jumlah mahasiswanya 70 orang, 50 orang di antaranya

senang statistik, 40 orang senang matematika, serta 30 orang senang statistik

dan matematika.

a. Berapa orang yang tidak senang statistik dan matematika?

b. Gambarkan diagram Vennnya!

Penyelesaian :

a. n( S) = 70 orang, n( S t) = 50 orang, n(M) = 40 orang, n(St M) = 30

orang.

n(St M) = n(St) + n( M) - n(St M) = 50 + 40 - 30 = 60 orang

n(St M)c = n (S) - n(St M ) = 70 -6 0 = 10 orang

b. Diagram Vennnya:

B. Permutasi dan Kombinasi

1. Prinsip dasar membilang

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n1 cara, kejadian kedua dalam n2. cara,

demikian seterusnya, sampai kejadian k dalam nk cara, keseluruhan kejadian dapat

terjadi dalam:

n1 x n2 x ... x nk , cara



Contoh soal:

Seorang pengusaha ingin bepergian dari Jakarta ke Ujungpandang melalui

Surabaya. Jika Jakarta-Surabaya dapat dilalui dengan tiga cara dan Surabaya-

Ujungpandang dapat dilalui dengan dua cara, ada berapa cara pengusaha tersebut

dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya?

Penyelesaian:

Misalkan: dari Jakarta ke Surabaya ( n 1 ) = 3 cara

dari Surabaya ke Ujungpandang (n2) = 2 cara

Cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya

adalah:

n1 x n2 = 3 x 2 = 6 cara

2. Faktorial

Faktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut

mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya.

Faktorial dilambangkan: "!".

Jika: n = 1, 2, maka:

n! = n(n - 1) (n - 2) ... x 2 x 1

= n(n - 1)!

Catatan:

1! = 1

0! = 1

Contoh soal:

Tentukan nilai faktorial dari bilangan berikut!a. 5!

b. 3! x 2!

c.!4

!6

Penyelesaian:

a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

b. 3! x 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12



c. 301234

123456

!4

!6

1.

Permutasi

a.

Pengertian permutasi

Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke

dalam suatu urutan tertentu dengan memperhatikan ur utannya tanpa ada

unsur yang boleh diulang. Jadi pada permutasi susunan ab dan ba adalah

berbeda.

Contoh:

Ada 3 objek, yaitu ABC. Pengaturan objek-objek tersebut ialah ABC, ACB ,

BCA, BAC , CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 objek

menghasilkan enam pengaturan dengan cara yang berbeda.

b. Rumus-rumus permutasi

1)

Permutasi dari n objek tanpa pengembalian

a) Permutasi dari n objek seluruhnya

Permutasi dari n objek seluruhnya tanpa pengembalian dirumuskan;

nPn = n!

Contoh soal:

Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda,

3 buku statistik yang berbeda, dan 2 buku akuntansi. Semua

buku akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang

mungkin dari kejadian berikut ini?

(1) • Buku-buku matematika dapat disusun.

• Buku-buku statistik dapat disusun.

• Buku-buku akuntansi dapat disusun.

• Ketiga kelompok buku itu dapat disusun.

(2) Masing-masing kelompok buku (subjek) disusun bersama

(dijadikan satu).

Penyelesaian:



• Buku-buku matematika dapat disusun dalam:

4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara

• Buku-buku statistik dapat disusun dalam:

3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara

• Buku-buku akuntansi dapat disusun dalam:

2P2 = 2! = 2 x 1 = 2 cara

• Ketiga kelompok buku dapat disusun dalam:

3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara

Masing-masing kelompok buku disusun bersama dalam:

4! x 3! x 2! x 3! = 24 x 6 x 2 x 6 = 1.728 cara

b) Permutasi sebanyak r dari n objek

Permutasi sebanyak r dari n objek tanpa pengembalian dirumuskan:

Contoh Soal :1) Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C,

dan D hendak dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang

bendahara.

(a) Berapa cara keempat calon tersebut dipilih?

(b) Tuliskan kemungkinan susunannya!

Penyelesaian :

n = 4 dan r = 3

24

1

1234

)!34(

!434.

P a

b. Kemungkinan susunannya

ABC, ABD, ACB, ADB, ADC, ACD,BAC,

BAD, BCA, BCD, BDA, BDC CAB, CAD,



CBA , CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA,

DBC, DCA, DCB

c)

Permutasi melingkar

Sejumlah objek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam suatu

lingkaran dalam (n-1) ! cara

Contoh :

Sebuah kelompok orang yang terdiri dari 4 orang mengelilingi sebuah

meja bundar. Dalam berapa cara keempat orang itu dapat diatur

sekeliling meja tersebut ?

Penyelesaian :

n = 4

P = (n – 1) !

= (4 – 1) !

= 3 !

= 6 cara

2) Permutasi dari n objek dengan pengembalian

Rumus :

nPr = nr

r n dan bilangan bulat positif

contoh :

tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsur

yang terpilih !

Penyelesaian :

n = 3 dan r = 23P2 = 32 = 9

Yaitu : AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB

3) Permutasi dari n objek yang sama

Rumus :

nPn1 , n2, n3, ......=!........!..!

!

321 nnn

n

dengan n1 + n2 + n3 + .... = n



contoh soal :

(1) Tentukan permutasi dari kata “ TAMAT “

Penyelesaian :

n = 5, n1 = 2, n2 = 2, n3 = 1

30

11212

12345

!1!2!2

!51,2,25

P

2. Kombinasi

a. Pengertian

Kombinasi adalah menyusun beberapa objek tanpa memperhatikan urutan

objek tersebut. Jadi pada kombinasi ab dan ba adalah sama

Contoh :

Ada 4 objek, yaitu: A, B, C, D. Kombinasi 3 dari objek itu adalah ABC, ABD,

ACD,BCD kelompok hanya dibedakan berdasarkan objek yang diikutsertakan,

bukan urutannya. Oleh karena itu:

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA

ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA

ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCA

BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB

b. Rumus-rumus kombinasi

1) Kombinasi r dari n objek yang berbeda

Contoh soal :

i) Tentukan nilai dari 6

4C

Penyelesaian :



15

!)46(!4

!66

4

C

ii)

Dari 5 pemain bulu tangkis yaitu A, B, C, D dan E hendak dipilih dua

orang untuk permainan ganda. Berapa banyak pemain ganda yang

mungkin terbentuk

Penyelesaian :

n = 5 dan r = 2

10

!)25(!2

!55

2

C

2) Hubungan permutasi dengan kombinasi

Contoh soal :

Tentukan nilai permutasi dan kombinasi berikut :

24

46

!)34(!3

!4!3

!3) 4

3

4

3

C P a

C. PROBABILITAS

1. Pengertian Probabilitas

Pengertian mengenai probabilitas dapat dilihat dari tiga macam pendekatan, yaitu

pendekatan klasik, frekuensi relatif, dan subjektif.

a. Pendekatan klasik



Menurut pendekatan klasik, probabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari

banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin.

Menurut pendekatan klasik, probabilitas dirumuskan:

Keterangan:

P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A

X = peristiwa yang dimaksud

n = banyaknya peristiwa yang mungkin

Contoh soal:

Dua buah dadu dilempar ke atas secara bersamaan. Tentukan probabilitas

munculnya angka berjumlah 5!

Penyelesaian:

Hasil yang dimaksud (X) = 4, yaitu (1,4), (4,1), (2,3), (3,2)

Hasil yang mungkin (n) = 36, yaitu (1,1), (1,2), (1,3), ....... (6,5), (6,6)

b. Pendekatan fr ekuensi relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas diartikan sebagai :

1) proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi

stabil; atau

2) frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.

Probabilitas berdasarkan pendekatan frekuensi relatif sering disebut sebagai

probabilitas empiris. Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan, sehingga

nilai probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut.

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dirumuskan:

Keterangan:



P (X i ) = probabilitas peristiwa i

f i = frekuensi peristiwa i

n = banyaknya peristiwa yang bersangkutan

Dalam prakteknya, frekuensi relatif itu sendiri dapat digunakan dalam -

memperkirakan nilai probabilitas dari kejadian bersangkutan.

Contoh soal:

Dari hasil ujian statistik II, 65 mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas

MENARA, didapat nilai-nilai sebagai berikut.

X 5,0 6,5 7,4 8,3 8,8 9,5

F 11 14 13 15 7 5

X= nilai statistik

Tentukan probabilitas salah seorang mahasiswa yang nilai statistiknya 8,3!

Penyelesaian:

Frekuensi mahasiswa dengan nilai 8,3 (f) = 15 Jumlah

mahasiswa (n) = 65

c. Pendekatan subjekti f

Menurut pendekatan subjektif, probabilitas diartikan sebagai tingkat

kepercayaan individu yang didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa

terkaan saja.

Contoh soal:

Seorang direktur akan memilih seorang supervisor dari empat orang calon yang

telah lulus ujian saringan. Keempat calon tersebut sama pintar, sama lincah, dan

semuanya dapat dipercaya. Probabilitas tertinggi (kemungkinan diterima)

menjadi supervisor ditentukan secara subjektif oleh sang direktur



Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum

mengenai probabilitas, yaitu sebagai berikut.

Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan

tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak).

Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas

memiliki batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1 (0 P 1).

- Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa

tersebut tidak akan terjadi.

- Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa

tersebut pasti terjadi.

- Jika 0 < P < 1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau

peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

2. Percobaan, Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Peristiwa

Percobaan adalah proses pelaksanaan pengukuran atau observasi yang

bersangkutan

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu

percobaan.

Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel. Kejadian atau peristiwa

adalah himpunan bagian dari ruang sampel pada suatu percobaan, atau hasil dari

percobaan.

Contoh soal:

Dua buah mata uang setimbang dilemparkan ke atas. Tentukan percobaan, ruang

sampel, titik sampel, dan peristiwa yang mungkin!

Penyelesaian :

Percobaan : pelemparan 2 mata uang logam

Ruang sampel :{A, G}, {A, A}, {G, A}, {G, G}

Titik sampel :G (gambar) dan A (angka)

Peristiwa : A dengan A, A dengan G, dan G dengan G



3. Probabilitas Beberapa Peristiwa dengan Pendekatan Kombinasi

Mencari probabilitas satu atau beberapa peristiwa dapat dilakukan dengan

menggunakan pendekatan kombinasi :

4. Peristiwa Komplementer

Dua peristiwa disebut peristiwa komplementer apabila peristiwa yang satu

melengkapi peristiwa lainnya atau peristiwa yang saling melengkapi. Jika peristiwa

A dan B adalah peristiwa komplementer, probabilitas terjadinya peristiwa itu adalah

bahan8 teori probabilitas

Documents