bag 3 differensial

7/24/2019 Bag 3 Differensial

http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 1/17

Bagian 3Differensiasi

Bagian 3 Differensiasi berisi materi tentang penerapan konsep limit untukmenghitung turunan dan berbagai teknik differensial. Pada penerapan konseplimit, Anda akan diperkenalkan dengan konsep dasar mencari turunan sebuahfungsi dengan menggunakan limit. Sedangkan pada teknik differensial, Andaakan mempelajari 6 (enam teknik dasar untuk mencari turunan sebuahfungsi.

Differensiasi merupakan materi penting untuk mengikuti materi dalam seri

matematika berikutn!a, !aitu "atematika ## dan "atematika ###. $ntuk itupenguasaan !ang sempurna terhadap teknik differensial menjadi hal !angmutlak.

%ompetensi !ang diharapkan setelah men!elesaikan bagian 3 Differensiasiadalah Anda diharapkan mampu &'. "enghitung turunan fungsi dengan menggunakan konsep limit. "enghitung turunan fungsi dengan menggunakan ) (tujuh teorema

dasar turunan3. "enghitung turunan fungsi trigonometri*. "enghitung turunan dengan menggunakan aturan rantai+. "enghitung turuanan fungsi implisit

6. "enghitung turunan fungsi transenden). "enghitung turunan kedua dan turunan ketiga

3.1 Garis Singgung dan Perubahan Nilai

elah dijelaskan pada bagian sebelumn!a bah-a garis singgung sebuahkura didapat dengan cara menggeser garis potong secara perlahan/lahanhingga menuju suatu limit tertentu. Pada gambar di ba-ah, garis potong P0kura f(1 diputar sehingga menjadi garis singgung di titik P. %edua garis, !aitugaris singgung dan garis potong, mempun!ai kemiringan !ang disebut slope.

%emiringan garis potong dinamakan msec dan kemiringan garis singgungdinamakan mtan. %emiringan garis potong adalah selisih jarak ertikal dibagidengan selisih jarak hori2ontal, atau

01

01sec

)()(

x x

x f x f m

−−

= 3.'

ika kita misalkan 1' menuju 14 maka f(1' akan menuju f(14. adi kemiringansebuah garis singgung dapat didefinisikan

01

01tan

)()(lim

01 x x

x f x f m

x x

−

−=

→3.

Matematika Teknik 1\Diferensiasi 33



Rata-rata dan Kecepatan Seketika5al sama juga berlaku untuk kecepatan pada sebuah gerakan perpindahanbenda. ika dimisalkan sebuah benda bergerak dari s4 ke s' pada -aktu t4 ket', maka kecepatan didefinisikan

01

01

01

01 )()(

t t

t f t f

t t

s svave −

−=

−−

= 3.3

ika dilihat pada gambar di ba-ah ini, ae adaslah kemiringan dari kuragerakan benda.

S

S = f(t)

t

ata/rata kecepatan 7tempuhwaktu

tempuh jarak

"eskipun kecepatan rata/rata digunakan penuh untuk beberapa kepentinganhal tersebut tidak selalu mempun!ai arti !ang sama dalam masalah/masalahfisika. Sebagai contoh jika mobil menabrak pohon, kerusakan tidak ditentukanoleh kecepatan rata/rata hingga -aktu bertubrukan tapi oleh kecepatan

seketika pada saat kejadian tepat pada saat tubrukan.


01

01sec

xx

)x(f )x(f

m −−

=

01

tan

xxlimm→

=

21

01

xx

)x(f )x(f

−

−

sb. y

sb. x

P

Q

secant line

sb. y

sb. x

P

Q

f(x1)

f(x0)

f(x1) – f(x

0)

secant line

tangent line



V ave

t t

S S Vinst.

S = f(t) (t1,S1)

S1 S1

S0 (t0,s0) S0

t0 t1 t0 t1

01

01avc

tt

SSV

−−

= 01

inst

ttlimV→

=Vave

01

01avc

tt

)t(f )t(f V

−−

= 01

inst

ttlimV→

=

01

01

tt

)t(f )t(f

−−

Rata-rata dan Perubahan Nilai Seketika

mtan

sb.y S

y = f(x) y = f(x)

f(x1)

f(x0)

x0 x1 x0 x1

msec =01

01

xx

)x(f )x(f

−−

01

inst

ttlimV→

=

01

01

xx

)x(f )x(f

−−

8ontoh 3.'"isalkan ! 7 1 9 '

a. entukan rata/rata perubahan pada interal :3,+;b. entukan kecepatan perubahan pada 1 7 / *c. entukan kecepatan perubahan pada sembarang 1.

Pen!elesaian&

a. 835

1026

35

)3()5()()(

01

01sec =

−−

=−−

=−−

= f f

x x

x f x f m

b.

1!)1(lim

)()(lim

1

2

1

01

01tan

101 +−+

=−−

=−→→ x

x

x x

x f x f m

x x x

8)(lim

16lim 1

1

2

1

tan

11

−=−=

+

−=

−→−→ x

x

xm

x x




c.01

2

0

2

1

01

01

tan

)1()1(lim

)()(lim

0101 x x

x x

x x

x f x f m

x x x x −+−+

=−−

=→→

001

01

20

21

tan 2)(limlim0101

x x x x x

x xm

x x x x=+=

−−=

→→

Latihan Soal 3.1Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir !ang benar. Selamat berlatih...<<<

$ntuk soal berikut, a carilah kemiringan pada sembarang titik 1 4, b gunakanhasil bagian a untuk mencari kemiringan pada titik 14 !ang dberikan.

'. 2.............1)( 0

2 =+= x x x f

. 2.............23)( 02 =++= x x x x f

3.2 Turunan

Definisi turunan &a. ika P(14 , !4 adalah titik pada grafik sebuah fugsi f(1, maka garis

singgung fungsi f(1 pada P didefinisikan sebagai garis penerus di P

dengan kemiringan

h

x f h x f m

h

)()(lim 0

0tan

−+=

→3.*

b. =ungsi f >(1 didefinisikan dengan rumus

"

)f(x")f(xlimm(x)f# 00

0"tan

−+==

→3.+

adalah disebut derivatif ?turunan !ang nilain!a pada sembarang 1 dari

fungsi f(1. Daerah asal?domain dari f >(1 berlaku untuk sembarang 1 !angmana limit ini ada.

8ontoh 3.'8arilah nilai turunan untuk fungsi f(1 7 1 9 ' dengan menggunakankonsep limit.

Pen!elesaian &

f >(1 7 limh

x f h x f )()( −+

h 4




7 lim[ ] [ ]

h

xh x 11)( 22 +−++

h 4

7 limh

xh xh x 12 222 −−++

h 4

7 limh

h xh 22 +

h 4

7 lim h x +2

h 4

7 1

8ontoh 3.8arilah nilai turunan untuk fungsi f(1 7 m1 9 b dengan menggunakan konseplimit

Pen!elesaian &

f >(1 7 limh

x f h x f )()( −+

h 4

7 lim[ ] [ ]

h

bmxbh xm +−++ )(

h 4

7 limh

bmxbmhmx −−++

h 4

7 limh

mh 7 m

h 4

8ontoh 3.3

8arilah nilai turunan untuk fungsi f(1 7 x dengan menggunakan konsep

limit.

Pen!elesaian&

f>(1 7 limh

x f h x f )()( −+

h 4




7 limh

xh x −+ )(

h 4

7 lim[ ] xh xh

xh x xh x

++++−+

)(

()(

h 4

7 lim xh x ++ )(

1

h 4

7 x2

1

Notasi Turunan

Penulisan notasi turunan dilakukan dengan berbagai simbol, !aitu

[ ])()(## x f dx

d x f

dx

dy y ===

Persamaan di atas dibaca turunan fungsi ! terhadap 1.

Berdasarkan notasi di atas maka&

[ ] x xdx

d 212 =+

[ ] mbmxdx

d =+

[ ] x

xdx

d

2

1=

Proses untuk mendapatkan turunan, seperti !ang dilakukan pada contoh diatas, disebut differensiasi .

Latihan Soal 3.2

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir !ang benar. Selamat berlatih...<<<

$ntuk setiap soal di ba-ah ini, carilah turunan fungsi f(1 denganmenggunakan konsep limit.

'. )1()( += x x x f




. x

x f −

=2

1)(

3.!

!)(−=

x x f

*.2

1)(

+=

x x f

+. ))(1()( −+= x x x f

3.3 Teknik-teknik Differensial

Persamaan untuk mencari turunan !ang diberikan oleh persamaan 3.+ dapat

digunakan secara luas untuk semua fungsi. @alaupun demikian, untuk fungsi!ang lebih rumit pemakaian tidak menjadi sederhana. Dengan kata lain,pen!elesaian memerlukan langkah !ang sangat panjang dan rumit.

$ntuk menentukan turunan sebuah fungsi, untuk fungsi/fungsi !ang lebihrumit, digunakan teknik differensial. Ada ) (tujuh teorema dasar !ang dapatdigunakan untuk mencari turunan sebuah fungsi aljabar. ujuh teorema diba-ah ini merupakan dasar dalam menguasai teknik differensial.

eorema ' &ika f adalah sebuah fungsi konstan, dikatakan f(1 7 8 untuk semua nilai 1,maka &

[ ] 0=C dx

d 3.6

eorema &ika n adalah bilangan bulat positif, maka &

[ ] 1−= nnnx x

dx

d 3.)

eorema 3 &"isalkan 8 adalah konstanta. ika f adalah differensiabel pada 1 maka c.f jugadifferensiabel pada 1, maka &

[ ] [ ])()( x f dx

d C xCf dx

d

= 3.

eorema * &ika f dan g adalah differensiabel pada 1, maka f 9 g juga differensiabel pada1 &

[ ] [ ] [ ])()()()( x g dx

d x f

dx

d x g x f

dx

d +=+ 3.a

Dengan asumsi (/'.g, maka &

[ ] [ ] [ ])()()()( x g dx

d x f

dx

d x g x f

dx

d −=− 3.b




eorema + &ika f dan g adalah differensiabel, maka f.g juga differensiabel pada 1 &

[ ] [ ] [ ])()()()()().( x f dx

d x g x g dx

d x f x g x f dx

d

+= 3.'4

eorema 6 &

ika f dan g adalah fungsi !ang differensiabel pada 1 dan g(1 ≠ 4, maka f?g

differensiabel pada 1 &

[ ] [ ]

[ ] 2)(

)().()().(

)(

)(

x g

x g dx

d x f x f

dx

d x g

x g

x f

dx

d −

=

3.''

eorema ) &

ika g differensiabel pada 1 dan g(1 ≠ 4, maka '?g(1 adalah differensiabel

pada 1 &

[ ]

[ ] 2)(

)(

)(

1

x g

x g dx

d

x g dx

d −=

3.'

Turunan Tingkat Tinggiika turunan f> dari fungsi f adalah differensiabel, maka turunan dari f>dinotasikan f>> dan dinamakan turunan kedua dari f& ika turunan keduaditurunkan lagi, kita akan mendapatkan turunan ketiga, dan seterusn!a.urunan !ang lebih dari satu kali dinamakan turunan tingkat tinggi. %aidah/kaidah teorema di atas tetap berlaku untuk turunan tingkat tinggi.

[ ] [ ] [ ]dst x f dx

d x f

dx

d x f

dx

d →→→ )()()(

3

3

2

2

8ontoh 3.*

8arilah turunan )( 5! x x y −=Pen!elesaian&

[ ] [ ] [ ] 65!5! 5!)()()( x x xdx

d x

dx

d x x

dx

d

dx

dy −=−=−=

8ontoh 3.+

8arilah turunan x y =

Pen!elesaian&2$1 x x y ==

( ) x

x x xdx

d

dx

dy x f y

2

1

2

1

2

1)(## 2$112$12$1 ====== −−

8ontoh 3.6

8arilah turunan )%3)(( 32 −−= x x y

Pen!elesaian&




[ ] [ ] [ ])()%3()%3()()%3)(( 233232 −−+−−=−−= xdx

d x x

dx

d x x x

dx

d

dx

dy

)2)(%3()%)(( 322 x x x xdxdy −+−=

)186()36%( 2 x x x xdx

dy −+−=

x x xdx

dy183615 2 −−=

Latihan Soal 3.3Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir !ang benar. Selamat berlatih...<<<

$ntuk setiap fungsi berikut, carilah turunan pertama dan sederhanakan ja-aban !ang didapat.

'.1

1)(

2

+−

= x

x x f

. )!(2

1)( += x x f

3.!

3 1)(

x x x f +−= −

*.

x

x x f 1

)( +=

+. )1

(1

)( 2 cb x

xa

x f ++=

3. Turunan !ungsi Trigono"etri

urunan fungsi trigonometri dapat dicari dengan menggunakan persamaan3.+. 5asil dari pen!elesaiann!a dapat dilihat dalam persamaan berikut.

[ ] )()( xCos xSindx

d =

[ ] )()( xSin xCosdx

d

−=[ ] )()( 2 xSec xTan

dx

d =

[ ] )()( 2 xCsc xCotg dx

d −=

[ ] )()()( xTan xSec xSecdx

d =

[ ] )()()( xCotg xCsc xCscdx

d −=




8ontoh 3.)8arilah turunan fungsi Sin (1

Pen!elesaian &

[ ] =)( xSindx

d

7 limh

Sinxh xSin −+ )(

0→h

7 limh

SinxhSin xCoshCos xSin −+ ..

0→h

7 lim

h

hSin xCos

h

hCos xSin )()1( +−

0→h

7 8os 1

Latihan Soal 3.Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir !ang benar. Selamat berlatih...<<<Dengan menggunakan konsep limit, buktikan persamaan turunan fungsitrigonometri di atas.

3.# $turan Rantai

Aturan rantai untuk mencari turunan, digunakan jika kita menjumpai komposisifungsi atau fungsi !ang din!atakan dalam bentuk f o g.

"isalkan terdapat dua fungsi f(1 dan g(1, maka ! 7 (fog(1 7 f(g(1ika u 7 g(1 maka ! 7 f(u

adi fungsi ! 7 f(u dapat dicari turunann!a )(# u f dx

dy = . Dengan cara lain

dapat ditulis&

dx

du

du

dy

dx

dy.=

8ontoh 3.8arilah turunan fungsi ! 7 *8os 13

Pen!elesaian&

! 7 *8os 13

misalkan 13 7 u CCCCC. du 7 31




! 7 *8os u

dx

du

du

dy

dx

dy.=

7 [ ] [ ]3.)( xdx

d xCos

du

d

7 /*Sin u. 31

8ontoh 3.8arilah turunan fungsi - 7 an (*t3 9 t

Pen!elesaian &

- 7 an (*t3 9 t

misalkan (*t3

9 t 7 1 CCC...d1 7 't

9 '- 7 tan 1

dt

dx

dx

dw

dt

dw.=

7 [ ] [ ]t t dx

d xTan

dx

d +3.)(

7 )112.( 22 +t xSec

7 ('t 9 ' Sec (*t39 t

umus/rumus umum untuk mencari turunan fungsi dengan menggunakan

aturan rantai diberikan dalam persamaan di ba-ah ini.

[ ]dx

duU nU

dx

d nn .. 1−=

[ ]dx

du

xU

dx

d .

2

1=

[ ]dx

duU CosU Sin

dx

d ).()( =

[ ]dx

duU SinU Cos

dx

d ).()( −=

[ ]dx

duU SecU Tan

dx

d ).()( 2=

[ ]dx

duU CscU Cot

dx

d ).()( 2−=

[ ]dx

duU TanU SecU Sec

dx

d )().()( =

[ ]dx

duU Cot U CscU Csc

dx

d )().()( −=




8ontoh 3.'48arilah turunan fungsi ! 7 (' 9 1+ 8ot 1/

Pen!elesaian &

"isalkan (' 9 1+ 8ot 1 7 $ CCCCCCCCC.. ! 7 $

[ ]85 )(.1 −+ xCot xdx

d

7 [ ]8−U dx

d

7 /$/ [ ])(.1 xCot xdx

d +

7 /$/. [ ])(.5).( 25 xCot x xCsc x +

7 ('9 1+8ot 1/ [ ])(.0)(.8 25 xCot x xCsc x −−

Notasi Differensial

[ ] 0=C dx

d 0=C d

[ ]dx

df C f C

dx

d .. =

[ ] df C f C d .. =

[ ]dx

dg

dx

df g f

dx

d ±=± [ ] dg df g f d ±=±

[ ]dx

df g

dx

dg f g f

dx

d ... += [ ] df g dg f g f d ... +=

[ ]2

..

$ g

dx

dg f

dx

df g

g f dx

d −= [ ]

2

..$

g

dg f df g g f d

−=

Latihan Soal 3.#Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir !ang benar. Selamat berlatih...<<<

Eunakan aturan rantai untuk mencari turunan pertama fungsi berikut.

'. x y 3c&s 2=. x y 2c&s1sin( +=

3. %5

)%(

1

+−

=

x x

y




*.

+=

1sin 3

x

x y

+.2

3 ! −

−=

x x y

3.% Differensiasi &"'lisit

Pada bagian sebelumn!a kita selalu menulis fungsi dengan menempatkanunsur ! di sisi kiri persamaan dan unsur 1 di sisi kanan persamaan. Adabeberapa fungsi !ang tidak bisa dipisahkan secara tegas antara 1 dan !.Sebagai contoh, fungsi !1 91! 7 '4 tidak bisa dipisahkan antara nilai 1 dan!. Dengan kata lain kita tidak bisa menuliskan unsur ! saja di kiri persamaandan unsur 1 saja di kanan persamaan. =ungsi/fungsi !ang tidask bisadipisahkan antara unsur 1 dan unsur ! dalam penulisann!a, disebut fungsi

implisit.

Pandang suatu persamaan&

1.! 7 '

Satu cara untuk mendapatkan d!?d1 adalah dengan menulis kembalipersamaan di atas menjadi ! 7'?1 kemudian menurunkann!a terhadap 1.

2

11

x xdx

d

dx

dy −=

=

Bagaimanapun cara tersebut merupakan satu metode !ang benar. 8ara lain!ang dapat digunakan adalah dengan menurunkan kedua sisi persamaan 1.!7 ' sebelum men!elesaikan setiap ! dalam bentuk 1.

Dengan pendekatan ini akan diperoleh&

[ ] [ ]1.dx

d y x

dx

dy=

[ ] [ ] 0. =+ xdx

d y y

dx

dy x

0. =+ ydx

dy x CCCCCCCC.

x

y

dx

dy−=

5asil ini kelihatann!a tidak sama dengan cara pertama, tapi denganmenggantikan nilai ! maka akan diperoleh&

2

1

xdx

dy−=

"etode kedua untuk mendapat turunan ini dinamakan differensiasi implisit."etode ini terutama digunakan saat sukar atau tidak mungkin men!elesaikansecara tegas fungsi ! dalam bentuk 1.

8ontoh 3.''8arilah turunan dari +! 9 Sin (! 7 1




Pen!elesaian&

[ ] [ ] →=+ x

dx

d ySin y

dx

dy)(5 2

[ ] [ ] [ ] →=+ xdx

d ySin

dx

d y

dx

dy)(5 2

1)(2.5 =+dx

dy yCos

dx

dy y

[ ] 1)(10 =+ yCos ydx

dy

)(10

1

yCos ydx

dy

+=

8ontoh 3.'8arilah turunan fungsi )! 9 13! 7 *

Pen!elesaian&

[ ] [ ]! 32

dx

d y x y

dx

d =+

[ ] [ ] [ ]! 32

dx

d y x

dx

d y

dx

d =+

031 32 =

++

dx

dy x y x

dx

dy y

[ ] [ ] 031 23 =++ y x x ydx

dy

[ ][ ]3

2

1

3

x y

y x

dx

dy

+−=

Latihan Soal 3.%Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir himpunan pen!elesaian !ang

benar. Selamat berlatih...<<<

8arilah turunan fungsi implisit di ba-ah ini.

'. 15 223 =+− x y x y x

. x y x =+ 3522 )3(

3. x y x =)sin( 22

*. x y xy =+ )(tan 25

+. 21 y xy =+




3.( Turunan !ungsi Transenden

=ungsi transenden adalah fungsi !ang mengandung unsur logaritma (log,logaritma alami (ln, dan bilangan eksponensial (e. urunan fungsitransenden dapat dicari dengan menggunakan persamaan di ba-ah ini.

( ) xdx

d b

l&g = 0........,ln

1> x

b x

( ) xdx

d ln = 0.........,

1 > x x

( )U dx

d b

l&g =dx

dU

bU .

ln

1

( )U dx

d ln =

dx

dU

U .

1

( ) xdx

d

ln = 0.........,

1

≠ x x

)( xe

dx

d = ex

)( U edx

d 7

dx

dU eU .

eknik aturan rantai sering digunakan dalam mencari turunan fungsitransenden.

8ontoh 3.'3

8arilah turunan

+ x x x

1sinln

2

Pen!elesaian&

+ x x x

dx

d

1

sinln

2

+−+ )1ln(

2

1)ln(sinln 2 x x x

dx

d

= ( ) x x

x

x +−+

12

1

sin

c&s2

= x

x x 22

1c&t

2

+−+

= x x x

c&t)1(2

12 ++

−

8ontoh 3.'*

8arilah turunan fungsi

( ) 2

32

1

1!

x

x x y

+

−=




Pen!elesaian &

( ) 2

32

1

1!

x

x x y

+−=

Fogaritma alami (ln kita kerjakan di kedua sisi persamaan, sehingga menjadi&

)1ln()1!ln(3

1ln2ln 2 x x x y +−−+=

21

8

1!

3$!21

x

x

x xdx

dy

y +−

−+=

+−

−+

+−

=22

32

1

8

63

12

)1(

1!.

x

x

x x x

x x

dx

dy

8ontoh 3.'+

8arilah turunan fungsi )1ln( 3+

= xe y

Pen!elesaian&

[ ])1ln( 3+= xe

dx

d

dx

dy

[ ] )'1ln(. 3)1ln( 3

+= + xdx

d e

dx

dy x

[ ] )1(.

)1(

1. 3

3

)1ln( 3

+

+

= + x

dx

d

x

edx

dy x

[ ] 2

3

)1ln( 3.)1(

1.

3

x x

edx

dy x

+= +

[ ])1ln(

3

23

.)1(

3 +

+= x

e x

x

dx

dy

Latihan Soal 3.(Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir himpunan pen!elesaian !ang

benar. Selamat berlatih...<<<

8arilah turunan pertama untuk soal berikut.

'.1

1

2

2

+

−=

x

x y

. x x y =3. )2ln(sin x y =*. )2(sin2 xe y x=

+. x x

x y

ln

ln

+=


bag 3 differensial

Documents