kaljut pasal 15.7-15.9 sadu dkk

7/22/2019 Kaljut Pasal 15.7-15.9 Sadu Dkk

1/32

1

Paper Kalkulus Lanjut

Bidang Singgung, Hampiran

Maksimum Dan Minimum

Metode Lagrange

Oleh:

Putu Gina Anindyas (1113011002)

Dody Arya Wibowo (1113011004)

Ni Nyoman Wulan Darma Putri (1113011007)

Putu Sadu Wirawan (1113011109)

Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Pendidikan Ganesha

2012


2/32

2

15.7 Bidang Singgung, Hampiran

Sebelumnya kita sudah dikenalkan dengan (Gambar 1). Keadaanyang lebih umumnya adalah . atau . Kurva pada permukaan ini melalui , jika adalah persamaan parametrik pada kurva ini, makauntuk seluruh t,

F( ) = kBerdasarkan aturan rantai,

Ini dapat dinyatakan dengan menggunakangradien F dan turunan vektor . Perhatikan

Ruas kanan dari persamaan ini dapat ditulis sebagai

Jadi

Karena

Jadi, menurut persamaan di atas

Gambar 1


3/32

3

Definisi Garis normal pada permukaan S di titik pada S adalah garismelalui yang bilangan-bilangan arahnya adalah komponen-komponen vectornormal pada S di .

Gradien di (x0, y0,z0) tegak lurus terhadap garis singgung di titik ini. Titik ini

terletak pada kurva F() = k. Lihat gambar 2.

Gambar 2

Sebagai konsekuensi dari definisi ini, dapat dituliskan persamaan bidang singgung.

Bukti Pernyataan pertama adalah langsung dan yang kedua menyusul darinya

dengan memperlihatkan

Definisi

Misalkan menentukan suatu permukaan dan misalkan F dapatdidiferensialkan di sebuah titik dari permukaan dengan . Maka bidang yang melalui P yang tegak lurus dinamakan bidang singgung permukaan itu di P

Teorema A

(Bidang singgung).Untuk permukaan , persamaan bidangsinggung di adalah

+ + Dalam hal khusus, untuk permukaan , persamaan bidang singgung diadalah


4/32

4

Dari definisi tersebut dapat dituliskan persamaan simetri dari garis normal pada S

di pada permukaan adalah

Penyebut dalam persamaan simetri dari garis normal adalah komponen dari vector

yang merupakan vector normal pada S di .CONTOH 1 Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap

permukaan di (-2,-4,6).Jawab:

Andaikan , maka sehingga .Jadi sesuai teorema, persamaan bidang singgung di (-2,-4,6) adalah

dan persamaan simetri dari garis normal yang melalui (-2,-4,6) adalah

CONTOH 2 Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap

permukaan di Jawab:Andaikan maka , sehingga Jadi sesuai teorema, persamaan bidang singgung di adalah

Dan persamaan simetri garis normal melalui adalah


5/32

5

DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN Andaikan dan suatu titik tetap pada permukaan. Akan digunakan sumbu-sumbu koordinat baru

(sumbu-sumbu dx, dy, dz) yang sejajar dengan sumbu-sumbu lama, dengan sebagai titik asal (Gambar 4). Pada system yang sebelumnya, bidang singgung di

mempunyai persamaan

Gambar 4

tetapi pada system yang baru persamaan ini mengambil bentuk sederhana

Pentingnya dz dari fakta bahwa jika dan , yang merupakanrepresentasi perubahan kecil dalam dan , makaakan merupakan hampiranyang baik terhadap

, perubahan di

. Ini digambarkan pada Gambar 5 dan

walaupun tidak kelihatan berupa suatu hampiran yang baik terhadap ,penghampiran ini akan semakin baik jika dan semakin kecil.

Definisi

Andaikan , dengan suatu fungsi yang dapat dideferensialkan,dan andaikan dx dan dy (disebut diferensial-diferensial dari dan ) berupapeubah-peubah. Diferensial dari peubah tak bebas, , disebut juga

diferensial total dari dan ditulis didefinisikan oleh


6/32

6

Gambar 5

Contoh 3

Misalkan . Hitunglah dan dz ketika (x,y) berubahdari (2,1) menjadi (2,03; 0,98)

Penyelesaian

Di (2,1) dengan

Contoh 4


7/32

7

Rumus P = k(T/V), dimana k adalah konstanta menyatakan tekanan P dari suatu gas

dalam ruang tertutup dengan volume V dan suhu T. Tentukan secara hampiran

persentase kesalahan (error) maksimum dalam P yang terjadi akibat kesalahan 0,4%

dalam mengukur suhu, dan kesalahan 0,9% dalam mengukur volume

Penyelesaian

Keslahan dalam P adalah P, yang dapat dihampiri dengan dP. Jadi,

|| ||

Kesalahan relatif maksimum ||, mendekati 0,013 dan persentase kesalahanmaksimum mendekati 13%

Ruang lingkup pembahasan tentang hampiran jauh lebih luas dibandingkan dengan

apa yang kita bahas disini. Ingat kembali bahwa, untuk fungsi dengan satu peubah,hampiran orde pertama,

Telah diperluas menjadi hampiran Taylor orde kedua

Dan menjadi hampiran Taylor orde ke n. Analogi untuk fungsi dua peubah adalah


8/32

8

Dan

[ ]Lebih dari itu, fungsi fungsi di atas masih bisa diperluas dapat diperluas menjadi orde

ken dan menjadi fungsi-fungsi dengan lebih dari dua peubah .

Latihan Soal 15.7

2. Tentukan persamaan bidang singgung terhadap permukaan yang diberikan pada

titik yang ditentukan

Jawab :

Misalkan Sehingga

Maka

Berdasarkan teorema A maka persamaan bidang singgung di adalah


9/32

9

4. Jawab :

Misalkan Sehingga Maka Berdasarkan teorema A maka persamaan bidang singgung di adalah

11. Andaikan . Hitung dan bila berubah dari

ke .Jawab:

Maka, besar di dengan dan adalah


10/32

10

Suatu gagasan aproksimasi sejalan dengan apa yang dilakukan disini. Perlu diingat

kembali bahwa untuk fungsi satu peubah, aproksimasi orde pertama

telah diperluas menjadi aproksimasi orde kedua dari Taylor

dan juga dapat diperluas ke aproksimasi Taylor orde ke-n.

Analogi untuk fungsi dua peubah adalah

() dan

()

+ () () ()

14. tentukan sebuah titik pada permukaan dimana garissinggungnya sejajar dengan bidang Jawab :

merupakan normal dari Misalkan Maka


11/32

11

adalah normal dari di adalah normal dari di maka

Jadi titik itu adalah 18. tunjukkan persamaan bidang singgung terhadap elipsoid :

di

dapat ditulis bentuk Jawab:

Misalkan =

Sehingga Maka Berdasarkan teorema A maka persamaan bidang singgung di adalah


12/32

12

Pada soal diketahui

Maka untuk

Substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1 maka ;

28. Tentukan dan sederhanakan persamaan bidang singgung terhadap permukaan

di . Kemudian dengan sumbu koordinatnya adalah Jawab : Misalkan

Maka persamaan bidang singgungnya adalah

Kita ketahui :


13/32

13

Maka subsitusikan ke 1

Perpotongan dengan sumbu koordinatnya adalah

Maka jumlah perpotongan bidang ini dengan sumbu koordinatnya adalah

++

( )


14/32

14

15.8 Maksimum dan MinimumSuatu terapan yang penting dari turunan fungsi satu peubah ada dalam kajian

tentang nilai ekstrem sebuah fungsi, yang berperan pada berbagai masalah

meliputi maksimum dan minimum. Hal ini dibicarakan dalam kalkulus 1, di mana

dibuktikan teorema-teorema yang mencakup turunan pertama dan kedua, yang

dapat menentukan nilai maksimum dan minimum relative sebuah fungsi. Dalam

memperluas teori mengenai fungsi dari dua peubah, akan dilihat bahwa kasusnya

serupa dengan fungsi satu peubah. Selanjutnya, andaikan dan masing-masing berupa sebuah titik peubah dan sebuah titik tetap, di ruangdimensi-dua.

DefinisiAndaikan suatu titik di S, yaitu daerah asal darif.(i) f()adalah nilai maksimum(global) dari fpada Sjika untuk

semua di S.(ii) f(p0) adalah nilai minimum (global) dari fpada S jika f() f(p) untuk

semua di S.(iii)f(p0) adalah nilai ekstrem (global) dari f pada S jika ia adalah suatu nilai

maksimum (global) atau suatu nilai-nilai minimum (global).

Definisi yang sama berlaku dengan kata globaldigantikan oleh lokaljika, pada (i)

dan (ii), hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, denganN

suatu lingkungan dari .Gambar 1 memberikan tafsiran geometri dari konsep yang telah kita definisikan.

Perhatikan bahwa suatu maksimum (atau minimum) global secara otomatis adalah

suatu maksimum (suatu minimum) lokal.

Gambar 1


15/32

15

Teorema A

(Teorema Keujudan Maksimum-Minimum). Jika f kontinu pada suatu

himpunan tertutup dan terbatas S, maka f mencapai suatu nilai maksimum

(global) dan suatu nilai minimum (global) di S.

Teorema pertama sangat besar dan sukar untuk dibuktikan, tetapi secara intuisi

jelas.

DI MANA NILAI-NILAI EKSTREM MUNCUL? Situasinya serupa seperti

pada kasus satu peubah. Titik-titik kritis darif pada Sada tiga jenis.

1. Tititk-titik batas.2. Tititk-titik stationer. Kita sebut adalah suatu titik dalam dari Sdi mana f

dapat didiferensialkan dan Pada titik yang demikian, bidangsinggung adalah mendatar.

3. Titik-titik singular. Kita sebut suatu titik singular jikaadalah suatu titik-dalam dari Sdi mana f tidak dapat didiferensialkan- misalnya, titik di mana

grafikmempunyai pojok tajam.Sekarang dapat dinyatakan teorema besar lainnya, secara nyata teorema ini dapat

dibuktikan.

Teorema B

(Teorema TitiK Kritis). Andaikan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang

mengandung p0. Jika f(p0) adalah suatu nilai ekstrem, maka p0 haruslah berupa

suatu titik kritis; yakni p0berupa salah satu dari:

(i) Suatu titik batas dari S; atau(ii) Suatu titik statsioner darif; atau(iii)Suatu titik singular darif.Bukti Andaikan bahwa

bukan suatu titik batas ataupun suatu titik singular

(sehingga adalah suatu titik-dalam di mana ada). Disini hanya perlumemperlihatkan bahwa Untuk mudahnya, tetapkan ).Karena f mempunyai suatu nilai ekstrem di , fungsi mempunyai suatu nilai ekstrem di . Lebih lanjut gdapat dideferensialkan di


16/32

16

karenafdapat dideferensialkan di karena itu menurut Teorema Titik Kritisuntuk fungsi satu peubah

dengan cara yang serupa, fungsi mempunyai suatu nilai ekstremdiy0 yang memenuhi

gradient adalah 0 karena kedua parsialnya adalah 0.

Teorema dan buktinya adalah sahih tidak tergantung apakah nilai-nilai ekstrem

berupa nilai-nilai ekstrem global atau lokal.

CONTOH 1 carilah nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari

Jawab:

dapat didiferensialkan sepanjang daerah asalnya. Jadi, titik kritis yangmungkin adalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan menetapkan dan

Titik kritisnya adalah Sekarang kita tinggal memutuskan apakah adalah nilai maksimum atauminimum atau bukan keduanya. Perhatikan bahwa

Untuk

dan


17/32

17

, maka

Jadi menurut definisi, adalah nilai maksimum global.CONTOH 2 carilah nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari

Jawab:

dapat didiferensialkan sepanjang daerah asalnya. Jadi, titik kritis yangmungkin adalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan menetapkan dan

Titik kritisnya adalah Sekarang tinggal memutuskan apakah adalah nilai maksimum atau minimumatau bukan keduanya. Perhatikan bahwa, untuk

Sketsa gambar f terlihat dalam gambar yang berbentuk pelana pada titik dekat

pusat. Jelaslah disini bahwaftidak memenuhi definisi (i) dan (ii).

Jadi, titik disebut titik pelana dari fungsif.


18/32

18

SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Teorema berikut adalah suatu analogi

terhadap Uji Turunan Kedua untuk fungsi satu peubah.

CONTOH 3Tentukan ekstrem (jika ada), untuk fungsiyang didefinisikan oleh .Jawab:

Titik-titik kritis fungsi tersebut diperoleh dengan menyelesaikan system persamaan

Teorema C

(Uji Parsial-Kedua). Andaikan bahwa f(x,y) mempunyai turunan parsialkedua kontinu di suatu lingkungan dari (x0,y0) dan bahwa = 0.Ambil

Maka:

(i) JikaD> 0 dan fxx(x0,y0) < 0, maka f(x0,y0) adalah nilai maksimum

lokal;

(ii) Jika D> 0 dan fxx(x0,y0) > 0, maka f(x0,y0) adalah nilai minimumlokal;

(iii) JikaD< 0 danf(x0,y0) bukan suatu nilai ekstrem ((x0,y0) adalah titik

pelana);

(iv) JikaD= 0, pengujian tidak memberi kesimpulan.


19/32

19

Dengan demikian, titik kritisnya adalah Nilai ekstrem diperoleh dengan mencari turunan kedua dari

Selanjutnya, Untuk titik

Karena dan makaadalah minimum lokal.CONTOH 4Tentukan ekstrem (jika ada), untuk fungsiyang didefinisikan oleh .Jawab:

Titik-titik kritis fungsi tersebut diperoleh dengan menyelesaikan system persamaan

Dengan demikian, titik kritisnya adalah Nilai ekstrem diperoleh dengan mencari turunan kedua dari


20/32

20

Selanjutnya, Untuk dan

Karena ,makaadalah titik pelana.Untuk dan ,

Karena dan maka adalah minimum lokal.

Untuk dan

Karena dan maka adalah minimum lokal.CONTOH 5 Tentukan jarak terdekat dari titik asal (0, 0, 0) ke titik (x,y,z)

yang terletak pada bidang Jawab:

Jarak dari titik asal (0, 0, 0) ke titik (x,y,z) memenuhi persamaan


21/32

21

Untuk memudahkan penyelesaian, ambil

Karena (x,y,z) terletak pada bidang

maka (i) dapat

diubah menjadi fungsi dua peubah sebagai berikut

Sekarang kita akan mencari nilai minimum dari (ii).

Titik-titik kritis fungsi tersebut diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan

dan sebagai berikut

Kurangkan (a) dan (b),

Maka diperoleh, . Substitusi hasil ini ke persamaan (a)

Sehingga titik kritis fungsi tersebut adalah Nilai ekstrem diperoleh dengan mencari turunan kedua

Selanjutnya, dapat dicari dan untuk titik


22/32

22

Karena makaadalah nilai minimum.Kemudian substitusi

Karena jadi jarak terdekat dari titik asal (0, 0, 0) ke titik yang terletak pada bidang adalah

CONTOH 6 Tentukan dimensi dari sebuah persegi panjang berdiagonal 2

sedemikian rupa sehingga luasnya maksimum.

Jawab:

Misalnya panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut adalah dan , dengan dan . Kita ingin menentukan ukuran dan sedemikian rupasehingga luasnya, , maksimum dengan syarat diagonalnyamemenuhi . Dari . diperoleh . Substitusikan hasil ini pada persamaan luas maka

Turunan pertama dari adalah

Karena maka sehingga titik kritisnya adalah titik stasioner: maka


23/32

23

Karena , maka yang memenuhi adalah .Kemudian substitusi ke persamaan

Sehingga titik kritisnya adalah . Dengan demikian, dimensi dari persegipanjang berdiagonal 2 dengan luas maksimum adalah

CONTOH 7 Carilah nilai maksimum dan nilai minimum pada himpunan tertutup .Jawab:

dapat didiferensialkan sepanjang daerah asalnya. Titik kritis yang mungkinadalah titik batas Sdan titik stasioner. Titik stasioner diperoleh dengan menetapkan

dan .

Titik kritisnya adalah Batas Sadalah , yang secara parametris dapat dijabarkan dengan


24/32

24

Kemudian mencari titik ekstrem dari fungsi satu peubah

Dengan aturan rantai kita peroleh

Titik kritis

diperoleh dengan menetapkan

dan titik batasnya.

Selanjutnya substitusi , , dan ke dan

Untuk Untuk Untuk Untuk Untuk Sehingga seluruh titik kritis dari adalah .Untuk mencari nilai minimum dan maksimum, substitusi titik-titik kritisnya ke

.


25/32

25

Dengan demikian, nilai maksimumfdi S adalah 2 dan nilai minimumnya adalah 0.

Latihan Soal 15.8

Tentukanlah titik kritisnya, dan apakah setiap titik tersebut memberikan titik

maksimum local atau nilai minimum local atau merupakan titik pelana. Petunjuk

gunakan Teorema C!

1.

Pembahasan:

Karena

maka adalah :

Substitusi sekarang nilai :

Sehingga titiktitik kritisnya yang diperoleh adalah dan Sekarang dan Sehingga

dengan menggunakan teorema C maka :


26/32

26

Untuk titik kritisnya maka . Lebih jauh lagi ,sehingga dengan menggunakan ketentuan pada Teorema C yang menyatakan

jika dan adalah sebuah nilai minimum local;sehingga adalah sebuah nilai minimum local dari.

Dan untuk titik kritisnya maka . Sehingga denganmenggunakan ketentuan pada Teorema C yang menyatakan jika dan adalah sebuah titik pelana

2. Pembahasan:

Karena

maka adalah :

( Untuk k = 0 maka


27/32

27

Untuk k = 1 maka Untuk k = -1 maka Karena batasnya adalah ( maka


Sehingga titiktitik kritisnya yang diperoleh adalah dan Sekarang

dan

Sehingga dengan menggunakan teorema C maka :

Untuk titik kritisnya maka . Lebih jauh lagi sehingga dengan menggunakan ketentuan pada Teorema C yang menyatakanjika dan adalah sebuah nilai minimum local;sehingga adalah sebuah nilai minimum local dari.

Dan untuk titik kritisnya maka . Sehingga denganmenggunakan ketentuan pada Teorema C yang menyatakan jika dan adalah sebuah titik pelana.

3. Gunakan metode-metode pada subbb ini untuk menentukan jarak terpendek darititik asal ke bidang Pembahasan:


28/32

28

Perhatikan, S merupakan jarak terpendek dari titik asal kebidang.

dan Sehingga jarak terpendeknya adalah :

Karena maka adalah :


Sehingga titiktitik kritisnya yang diperoleh adalah


29/32

29

Sekarang dan Sehinggadengan menggunakan teorema C maka :

Lebih jauh lagi , sehingga dengan menggunakan

ketentuan pada Teorema C yang menyatakan jika dan adalah sebuah nilai minimum local; sehingga adalah sebuah nilai minimum local dari

.

Sehingga untuk maka :


30/32

30

15.9 Metode Lagrange

Metode lagrange atau juga disebut dengan penggali Langrange (Lagrange

multiplier), merupakan cara yang lebih sederhana untuk menyelesaikan permasalahan

nilai maksimum dan minimun suatu fungsi yang sudah dibahas pada subbab

sebelumnya.

Interpretasi Geometrik dari Metode Lagrange

Bagian dari contoh soal pada subbab sebelumnya adalah memaksimumkan fungsi

objektif yang terkena kendala di mana

. Gambar 1 menunjukkan permukaan

beserta kendalanya,

silinder elips yang merepresentasikan kendala tersebut. Bagian kedua dari gambar1

menunjukkan perpotongan kendala dan permukaan Masalah optimasidalam hal ini adalah untuk menentukan di mana fungsi tersebut mencapai titik

maksimun dan di mana mencapai minimum di sepanjang kurva perpotongan ini. Baik

bagian kedua maupun bagian ketiga dari gambar 1 menyarankan bahwa nilai

maksimum danh minimum akan terjadi ketika kurva ketinggian dari fungsi objektif f

menyinggung kurva kendala. Inilah gagasan kunci dibalik metode penggali

Langrange.

Gambar. 1


31/32

31

Grafik dari kendala juga sebuah kurva; kurva itu ditunjukkan dengankurva biru pada gambar 2. Untuk memaksimumkan fyang dikenai kendala berarti menentukan kurva ketinggian dengan kemungkinan k terbesar yangmemotong kurva kendala. Terbukti dari gambar 2 bahwa kurva ketinggian semacam

ini bersinggungan dengan kurva kendala di titik P0 = (x0, y0), sehingga nilai

maksimum f yang dikenai kendala adalah f(x0, y0). Titik singgunglainnya, p1 = (x1, y1), menghasilkan nilai minimum f(x1, y1) dari f yang dikenai

kendala .

Metode Langrange menyediakan sebuah prosedur aljabar untuk menentukan titik p0

dan titik p1. Karena di titik seperti ini, kurva ketinggian dan kurva kendala saling

bersinggungan ( mempunyai sebuah garis singgung yang sama), maka kedua kurva

tersebut mempunyai garis tegak lurus yang sama. Tetapi, di sebarang titik pada kurva

ketinggian tersebut, vektor gradien tegak lurus terhadap kurva ketinggian, dandengan cara yang sama, tegak lurus terhadap kurva kendala. Jadi, dan sejajar di p0dan juga di p1; dalam hal ini

dan Untuk bilangan-bilangan taknol dan


32/32

Teorema A Metode Lagrange

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(p) yang dikenai kendala g(p) = 0,

selesaikan sistem persamaan

dan Untuk pdan . Setiap titik pseperti ini adalah sebuah titik kritis untuk soal ekstremterkendala, dan yang bersesuaian dengan itu disebut penggali Langrange.

Latihan Soal 15.9

1. Tentukan jarak terkecil antara titik asal dan permukaan 0922 zyx Penyelesaian:

Misalkan zyxP ,, adal sembarang titik di permukaan tersebut. Kuadrat jarak

diantara titik asal dan P adalah2222

zyxd . Dari persamaan itu akan

diperoleh 9, 2222 yxyxyxfd

Titik kritis didapat dengan menentukan 022, xyxyxfx dan

22, xyyxfy . Dengan menghilangkan y dari persamaan itu diperoleh

02 3

xx

Maka titik kritisnya adalah ,1,2,0,0 dan 1,2 .Untuk menguji masing-masing nilai ini diperlukan

22 444, xyfffyxD xyyyxx

Maka hanya 0,0 yang memenuhi sebagai titik yang menghasilkan jarak

minimum yaitu 2.

kaljut pasal 15.7-15.9 sadu dkk

Documents